§ 1 Verknupfungen, Halbgruppen, Gruppen

1.1 Def.

M 6= ∅

(i) assoziatives· : M × M −→ M

(a, b) 7−→ a · bheißt Verknupfung auf M .

(ii) Verknupfung auf M heißt assoziativ ⇐⇒ ∀a, b, c ∈ M (ab)c = a(bc)Verknupfung auf M heißt kommutativ ⇐⇒ ∀a, b ∈ M ab = ba

1.2 Def.

H 6= ∅, · Verknupfung auf M

(i) (H, ·) heißt Halbgruppe ⇐⇒ · ist assoziativ

(ii) (H, ·) Halbgruppe, dann e ∈ H heißt linksneutrales (rechtsneutrales)

Element ⇐⇒ ∀a ∈ Hea = a

(ae = a)

(iii) e ∈ H heißt neutrales Element ⇐⇒ e links- und rechtsneutral

1.3 Lemma

Halbgruppe H besitzt hoechstens ein neutrales Element.

1.4 Def. linksinvers

Sei (H, ·) eine Halbgruppe mit neutralem Element e.Sei a ∈ H. Ein Element b ∈ H heißt linksinvers zu a ⇐⇒ b · a = e

1.5 Def.

Sei G eine nichtleere Menge. Sei · eine Verknupfung auf G. Das Paar (G, ·)heißt Gruppe⇐⇒

(i) · ist assoziativ

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G : e · a = a(Existenz eines linksneutralen Elementes)

(iii) ∀e ∈ G mit (ii) ∀a ∈ G ∃b ∈ G : b · a = e(Losbarkeit der Gleichung)

1

1.6 Lemma Rechenregeln in Gruppen

Sei (G, ·) eine Gruppe mit linksneutralem Element e.Dann gelten:

(i) ∀a, b ∈ G (b · a = e =⇒ a · b = e)

(ii) e ist neutrales Element in G(somit nach Lemma 1.4

︸ ︷︷ ︸

neutr. Elt. eindeutig

: e ist eindeutig bestimmt.

(iii) ∀a ∈ G ex. genau ein b ∈ G mit b · a = e(b = a−1, das Inverse von a)

(iv) ∀a, b ∈ G (a · b)−1 = b−1 · a−1, insbesondere (a−1)−1 = a

(v)∀a, x, y ∈ G a · x = a · y =⇒ x = y(Kurzungsregeln) x · a = y · a =⇒ x = y

(vi) ∀a, b ∈ G ex. genau ein x und genau ein y mit ax = b und ya = b

(vii) ∀a ∈ G ist die Linkstranslation

la : G −→ G la(x) = a · x

und die Rechtstranslation

ra : G −→ G ra(x) = x · a

bijektiv

1.7 Lemma

Sei (G, ·) eine Halbgruppe. Dann gilt:(G, ·) ist Gruppe ⇐⇒ ∀a ∈ G sind die Linkstranslation la und die

Rechtstranslation ra surjektiv.

1.8 Lemma

Sei G eine nichtleere endliche Menge. Sei (G, ·) eine Halbgruppe. Dann sindfolgende Aussagen aquivalent

(i) (G, ·) ist Gruppe

2

(ii) In jeder Spalte und in jeder Zeile der Verknupfungstafel von · stehtjedes Element von G.

(iii) Es gibt weder eine Spalte s noch eine Zeile z in der Verknupfungstafelmit der folgenden Eigenschaft:s enthalt ein Element von G zweimalz enthalt ein Element von G zweimal

1.9 Def.

Eine Gruppe (G, ·) heißt abelsch oder kommutativ⇐⇒ ∀a, b ∈ G : a · b = b · a

M 6= ∅ Menge γ(M) Menge der Bijektionen von M in sich

3

§ 2 Gruppenhomomorphismen

2.1 Def.

Seien (G, ·) und (G′, ◦) Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G −→ G′ heißt Homo-morphismus⇐⇒ ∀a, b ∈ G : ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)

2.2 Lemma

(i) Seien G,G′ Gruppen mit den neutralen Elementen e bzw. e′.Sei ϕ : G −→ G′ ein Homomorphismus.Dann gelten:ϕ(e) = e′, ∀a ∈ G : ϕ(a−1) = ϕ(a)−1

(ii) Sind G,G′, G′′ Gruppen und sind

ϕ : G −→ G′

sowie

ϕ′ : G′ −→ G′′

Homomorphismen dann ist ϕ′ ◦ ϕ ein Homomorphismus von G nachG”.

2.3 Def.

Sei ϕ : G −→ G′ ein Homomorphismus. Sei e′ das neutrale Element in G′.Dann heißen

{a|a ∈ G,ϕ(a) = e′} Kern von ϕ (Kern ϕ)

{a′ ∈ G′|∃a ∈ G : ϕ(a) = a′} Bild ϕ

2.4 Def.

Ein Homomorphismus ϕ : G −→ G′

heißt Monomorphismus ⇐⇒ ϕ injektivEpimorphismus ⇐⇒ ϕ surjektivIsomorphismus ⇐⇒ ϕ bijektiv

Falls G = G′, so heißt ϕ Endomorphismus.

4

Ein Isomorphismus ϕ : G −→ G heißt Automorphismus.

Zwei Gruppen G und G′ heißen isomorph ⇐⇒

∃ Isomorphismus ϕ : G −→ G′

2.5 Lemma

Sei ϕ : G −→ G′ ein Homomorphismus.Dann gelten

(i) ϕ ist Monomorphismus ⇐⇒ Kern ϕ = {e}

(ii) ist ϕ ein Isomorphismus, so ist auch ϕ−1 ein Isomorphismus.

G a ∈ G ϕa : G −→ Gx 7−→ axa−1

Automorphismus

innerer Automorphismus von G

Aut ϕ von G heißt innerer Automorphismus von G ⇐⇒

∃a ∈ G : ϕ = ϕa

5

§ 3 Untergruppen

3.1 Def.

Sei (G, ·) eine Gruppe. Sei U ⊂ G. Dann heißt (U, ·) Untergruppe von G⇐⇒ (U, ·) ist Gruppeimplizit: U ist bei · abgeschlossen∀a, b ∈ Ugilta · b ∈ U

U UG von G e neutral in Ge′ neutral in U=⇒ e′ = e

e · e′ = e′ = e′ · ekurzen

3.2 Lemma

Sei G eine Gruppe. Sei U ⊂ G,U 6= ∅Dann gilt:

U ist UG von G ⇐⇒ ∀a, b ∈ U gilt a · b−1 ∈ U

Proof. ist U UG =⇒ mit a, b ∈ U gilt auch a · b−1 ∈ UUmgekehrt gelte ∀a, b ∈ Ua · b−1

U 6= ∅ ∃a ∈ U Vor. fur a, aa · a−1 ∈ U =⇒ e ∈ U

b ∈ U Vor. mit e, be · b−1 ∈ U =⇒ b−1 ∈ U

•Verknupfung auf U : a, b ∈ U=⇒ a, b−1 ∈ U=⇒ a · b−1 ∈ U=⇒

V or. a · (b−1)−1

6

3.3 Lemma

Sei ϕ : G −→ G′ ein HomomorphismusDann gelten:

(i) Ist U UG von G, dann ist ϕ(U) UG von G′. Insbesondere ist Bild ϕeine UG von G.

(ii) Ist U UG von G′ ⇒ ϕ−1(U ′)= {a ∈ G|ϕ(a) ∈ U}

ist UG von G. Insbesondere

Kern ϕ ist UG von G

Inn(G) = Menge der inneren Automorphismen von GInn(G) ⊂ Aut(G) ⊂ γ(G)

7

§ 4 Normalteiler

4.1 Def.

Sei G eine Gruppe. Sei H eine UG von G. Sei a ∈ G.Die Menge

a · H = {a · h|h ∈ H}

heißt Linksnebenklasse von a bezuglich H.Die Menge

H · a = {h · a|h ∈ H}

heißt Rechtsnebenklasse von a bezuglich H.Falls G abelsch

⇒ ∀a ∈ G ∀ UG H von G : aH = HaaH = Haah = ha

4.2 Lemma

Sei G eine Gruppe, sei H eine UG von G. Seien a, b ∈ G.Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) aH = bH

(ii) b ∈ aH

(iii) a−1b ∈ H

4.3 Def.

Sei G eine Gruppe, sei H eine UG von G.Seien a, b ∈ G.a heißt kongruent zu b modulo H(a ≡ b mod H)⇐⇒ eine der drei Bedingungen aus 4.2 ist erfullt.

4.4 Lemma

Sei G eine Gruppe, H UG von G.Dann wird durch durch die Kongruenz eine Aquivalenzrelation auf G defi-niert.Fur alle a ∈ G ist aH die Aquivalenzklasse, welche a enthalt.

8

4.5 Lemma

Sei G eine Gruppe, H eine UG von G.Sei G/H (G modulo p H) die Menge der Linksnebenklassen von H, sei H\

G

die Menge der Rechtsnebenklassen bzgl. H. Dann wird durch

aH 7−→ Ha−1

eine bijektive Abbildung

f : G/H −→ H\G definiert.

Sei R eine Aquivalenzrelation auf G. Sei K eine Aquivalenzklasse. Dann heißtein Element a ∈ K Reprasentant von K.

4.6 Lemma

Sei G eine Gruppe. Sei H eine UG von G. Dann sind folgende Aussagenaquivalent:

(i) ∀a ∈ G : aH = Ha

(ii) ∀a ∈ G : aHa−1 ⊂ H

(iii) ∀a ∈ G : aHa−1 = H

4.7 Def.

Eine UG heißt Normalteiler ⇐⇒ eine der Bedingungen aus 4.6 ist erfullt.falls G abelsch =⇒ jede UG ist NTH ⊳ G

4.8 Lemma

Sei ϕ : G −→ G′ ein Homomorphismus.Dann gelten:

(i) Ist N ′ ⊳ G′, so ist ϕ−1(N ′) ⊳ Ginsbesondere: Kern ϕ ⊳ G

(ii) Ist ϕ surjektiv und gilt N ⊳ G, so gilt auch ϕ(N) ⊳ G′

9

§ 5 Faktorgruppen und Isomorphiesatze

5.1 Satz

Sei G eine Gruppe, sei N ⊳G. Sei G/N die Menge der Linksnebenklassen vonN in G. Sei π : G −→ G/N die durch a 7−→ aN gegebene Abbildung.Dann gilt:Es gibt genau eine Verknupfung ◦ auf G/N mit folgenden Eigenschaften:

(i) ( G/N , ◦) ist eine Gruppe

(ii) π : G −→ G/N ist ein Homomorphismus

5.2 Def.

Sei G eine Gruppe, N⊳ G. Dann heißt die in 5.1 konstruierte Gruppe ( G/N , ◦)Faktorgruppe von G modulo N .π heißt kanonischer Homomorphismus.

5.3 Folg.

Sei G eine Gruppe. Sei U UG von G.Dann gilt:U ⊳ G ⇐⇒ ∃ Gruppe G′ und Hom. ϕ : G −→ G′ mit Kern ϕ = U

5.4 Satz

Sei ϕ : G −→ G′ HomomorphismusSei N ⊳ G. Dann gelten:Es gibt einen Homomorphismus ϕ : G/N −→ G′ so dass

D kommutiert ⇐⇒ N ⊂ Kern ϕ

D : Gϕ

//

π��

G′

G/N

ϕ

==z

zz

zz

zz

z

Gilt N ⊂ Kern ϕ =⇒ ϕ ist eindeutig bestimmt.

Bild ϕ = Bild ϕ, Kern ϕ = π(Kern ϕ)Kern ϕ = π−1 Kern(ϕ)

10

Speziell:ϕ surj. ⇐⇒ ϕ surj.N = Kern ϕ =⇒ ϕ inj.

. einzige Moglichkeit, ϕ yu definieren:

ϕ(aN) = ϕ(a)

5.5 Folg. (Homomorphiesatz)

Sei ϕ : G −→ G′ ein Homomorphismus. Dann ist durch ϕ(a Kern ϕ) := ϕ(a)ein injektiver Homomorphismus ϕ : G/Kern ϕ −→ G′ definiert. Insbesonderesind G/Kern ϕ und ϕ(G) isomorph.

5.6 Folg. (Erster Isomorphiesatz)

Sei G eine Gruppe, seien H,N UG von G mit N ⊳ G.Dann gilt:

H/H∩N ≃ HN/N

5.7 Folg. (Zweiter Isomorphiesatz)

Sei G eine Gruppe. Seien M ⊂ N ⊂ G mit M ⊳ G,N ⊳ G. Dann gelten:

(i) N/M ⊳ G/M

(ii) (G/M)/( N/M ) ≃G/N

11

§ 6 Gruppenordnung, zyklische Gruppen

6.1 Def.

Sei G eine Gruppe, sei U eine UG in G. Dann heißt die Anzahl der Links-nebenklassen von U in G Index von U ([G : U ]). Der Index der trivialenUntergruppe {e} in G heißt Ordnung von G.

6.2 Satz (Lagrange)

Sei G eine Gruppe. U UG in G. Dann gilt:

[G : U ] · ord U = ord G

Insbesondere: Falls ord G endlich ist, so teilt ord U die ord G.

6.3 Def.

Eine Gruppe G heißt zyklisch⇐⇒ ∃a ∈ G : G = {an|n ∈ Z}a heißt erzeugendes Element von G G =< a >G zyklisch ⇐⇒ ∃ Epimorphismus ϕ : Z −→ G

6.4 Satz

Sei G eine zyklische Gruppe mit erzeugendem Element a. Sei m = ord GDann gelten:

(i) m = ∞ ⇐⇒ G ≃ Z

(ii) m < ∞ ⇐⇒ G ≃ Z/mZ

6.5 Def.

Sei G eine Gruppe, a ∈ G. Dann heißt die Ordnung der von a erzeugtenzyklischen Untergruppe < a > Ordnung von a (ord a).

6.6 Folg.

Sei G eine endliche Gruppe mit ord G = n. Dann gilt:

∀a ∈ G ord a | ord G

Ist ord G eine Primzahl, dann ist G zyklisch, und jedes Element a ∈ G, a 6= eerzeugt G. (hat also ord a = p)

12

6.7 Folg. (Kleiner Fermatscher Satz)

Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt:

∀a ∈ G aord G = e

6.8 Folg.

Sei G eine Gruppe. Sei a ∈ G mit ord a = n < ∞. Sei m ∈ Z, sei d = (m,n).Dann gilt: ord (am) = n

d

6.9 Folg.

Sei G zyklische Gruppe der Ordnung n. Sei a erzeugendes Element von G.Dann gilt:Genau die Potenzen am mit (m,n) = 1 erzeugen G.

6.10 Folg.

Sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n.Es gilt:Zu jedem Teiler t von n, t > 0 gibt es genau eine Untergruppe U mit ord U =t.Ist a erzeugendes Element von G, so ist U erzeugt von a

nt .

13

§ 7 Gruppenoperationen

7.1 Def.

Sei G eine Gruppe. Sei M 6= ∅.Sei ◦ : G × M −→ M eine Abbildung◦ heißt Operation von G auf M⇐⇒

(i) ∀a, b ∈ G,∀C ∈ M a ◦ (b ◦ C) = (a · b) ◦ C

(ii) ∀C ∈ M e ◦ C = C

G operiert vermoge ◦ auf MG operiere auf M=⇒ jedes Element a ∈ G induziert eine Permutation von M

7.2 Satz (Cayley)

Jede Gruppe G ist zu einer Permutationsgruppe isomorph.

M 6= ∅ γ(M) Gruppe der bijektiven Abb. von M in sicheine UG von γ(M) heißt Permutationsgruppe

G operiere auf MAquivalenzrelation auf M :A,B ∈ M A ∼ B ⇐⇒ ∃a ∈ G : B = a · A

7.3 Def.

Die Gruppe G operiere auf der Menge M . Die Aquivalenzklassen bei derOperation heißen Bahnen. (Bahn auch Transitivitatsgebiet)

Die Anzahl der Elemente in einer Bahn heißt Bahnlange.

Die Gruppe G operiert transitiv auf M⇐⇒∀A,B ∈ M gilt: B ∼ A⇐⇒∀A,B ∈ M gilt: ∃a ∈ G : B = a · AFalls G auf M transitiv operiert, so heißt M homogener Raum.

14

7.4 Lemma

Seien G eine Gruppe, M 6= ∅ eine Menge.G operiere auf M . Sei x ∈ M . Dann ist die Menge U = {a ∈ G|ax = x} eineUG von G, die Stabilisationsgruppe von x. (Stabilisator, Isotropiegruppe)

7.5 Lemma

Die Lange der Bahn eines Elementes x ∈ M stimmt mit dem Index vonStab(x) in G uberein.

7.6 Satz (Bahnzerlegungsformel)

Seien M eine endliche Menge, G eine Gruppe. G operiere auf M . Sei R einvollstandiges Reprasentantensystem fur die der Operation entsprechendenAquivalenzklassen.Dann gilt:

|M | =∑

x∈R

|x| =∑

x∈R

[G : Stab(x)]

15

§ 8 Sylow Satze

8.1 Lemma

Sei p eine Primzahl. Seien m,n, r ∈ N, so dass gilt:

n = prm

Dann gilt fur s = 0, 1, 2, . . . , r:(

n

ps

)

= pr−smξ mit ξ ∈ N

Proof.(

n

ps

)

=n(n − 1) . . . (n − ps + 1)

ps(ps − 1) . . . (ps − ps + 1)

=n

ps

ps−1

∏

i=1

n − i

ps − i= pr−sm ·

ps−1

∏

i=1

n − i

ps − i︸ ︷︷ ︸

ξ

fur i = 1, . . . , ps − 1 i = pi · ti p ∤ tipi ‖ i

ξ =

(n − 1

ps − 1

)

noch z.z.ps

−1∏

i=1

n−ips−i

≡ 1 mod p

ps−1

∏

i=1

n − i

ps − i=

ps−1

∏

i=1

prm − piti

ps − piti

=

ps−1

∏

i=1

pr−im − tips−i − ti

=Z

N

Z = µp + a µ, a ∈ Z

a =

ps−1

∏

i=1

(−ti) p ∤ a

N = λp + a

ξ =µp + a

λp + a

16

ξλp + ξa = µp + a

aξ − a = µp − ξλ =⇒ p | a(ξ − 1) aber p ∤ a

=⇒ p | ξ − 1

8.2 Def.

Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G der Ordnung pn (n ∈ N) heißtp-Gruppe. Seien G eine endliche Gruppe und U eine UG von G.

U heißt p-Untergruppe ⇐⇒ U ist p-Gruppe

U heißt p-Sylow Gruppe in G⇐⇒

(i) U ist p-Untergruppe

(ii) ord U ist die hochste p-Potenz welche ord G teilt.

8.3 Satz (1. Sylowscher Satz)

Sei p eine Primzahl. Sei G eine endliche Gruppe mit

ord G = prm mit m ∈ N, p ∤ m

Dann besitzt G zu jedem s mit 0 ≤ s ≤ r eine Untergruppe U mit

ord U = ps

8.4 Folgerung

Jede Teilmenge T von G mit |T | = ps, so dass |B(T )| nicht durch pr−s+1

teilbar ist, hat die Gestalt Stab(T ) · a, wobei

| Stab(T )| = ps und a ∈ T

8.5 Satz

Sei G eine endliche Gruppe. Sei p eine Primzahl mit p | ord G. Seien P einep-Sylow Gruppe in G und U eine p-Untergruppe von G.Dann gilt:U ist in einer zu P konjugierten p-Sylow-Gruppe enthalten. Insbesondere: jezwei p-Sylow Gruppen in G sind konjugiert.

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8.6 Satz

Sei G eine Gruppe der Ordnung prm , p Primzahl , r ≥ 1, p ∤ m.Dann gilt ∀s = 0, . . . , r : Die Anzahl der Untergruppen von G der Ordnungps ist ≡ 1 mod p.insbesondere: Die Anzahl der p-Sylowgruppen von G ist ≡ 1 mod p.weiter gilt: Die Anzahl der p-Sylowgruppen von G teilt m.

8.7 Lemma

Seien G eine Gruppe und M eine endliche Menge. G operiere transitiv aufM (d.h. M einzige Bahn).Fur y ∈ M sei Stab y Stab UG dann gelten folgende Aussagen:

∃v ∈ N : ∀y ∈ M : {y ∈ M | Stab x = Stab y} = v

Ist t =| {Stab y | y ∈ M} |, so folgt | M |= t · v

18

§ 9 Freie abelsche Gruppen

9.1 Lemma

Sei G eine Gruppe. Seien U1, U2 UG von G mit

U1 ∩ U2 = {e}, U1 · U2 = G

∀x ∈ U1, y ∈ U2 xy = yx

Dann ist die Abbildung

ϕ : U1 × U2 −→ Gmit (x, y) 7−→ x · y

ein Isomorphismus.

9.2 Def.

Sei S eine nichtleere Menge. Sei F (S) die Menge der Abbildungen

f : S −→ Z

mit f(s) = 0 fur alle außer endlich vielen s ∈ S.F (S) mit der durch

(f + g)(s) = f(s) + f(g) (f, g ∈ F (S))

definierten Addition heißt die freie von S erzeugte abelsche Gruppe.S heißt freies Erzeugendensystem oder auch Basis von F (S).Eine abelsche Gruppe A heißt freie abelsche Gruppe ⇐⇒ ∃S : A ≃ F (S)

9.3 Lemma

Seien A und A′ abelsche Gruppen. A′ sei frei.Sei f : A −→ A′ ein surjektiver Homomorphismus mit Kern f = B. Danngibt es eine UG C von A mit C ≃ A′ und

A = B ⊕ C

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9.4 Satz

Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Sei B eine UG von A. Danngelten:

(i) B ist frei. Die Kardinalzahl einer Basis von B ist nicht großer als dieKardinalzahl einer Basis von A.

(ii) Je zwei Basen von B sind gleichmachtig. (Diese Machtigkeit heißt Rangvon B).

20

§ 10 Der Hauptsatz uber endlich erzeugte

abelsche Gruppen

10.1 Def.

Sei A eine abelsche Gruppe. Ein Element a ∈ A endlicher Ordnung heißtTorsionselement. Die Menge der Torsionselemente in A heißt die Torsionsun-tergruppe von A.Eine abelsche Gruppe, in der das neutrale Element 0 das einzige Torsions-element ist heißt torsionsfrei.

At Menge der Torsionselemente in A

p Primzahl A(p) Menge der Elemente in A, deren Ordnung eine Po-tenz von p ist.

10.2 Lemma

A(p) ist UG von At. Ist A endlich, so ist A(p) eine p-Gruppe.

10.3 Satz

Sei A eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n. Dann gilt:

A =⊕

p|np Primzahl

A(p)

10.4 Lemma

Sei A eine abelsche p-Gruppe. Sei a1 ∈ A ein Element maximaler Ordnung.Sei A1 =< a1 >. Sei b ∈ A/A1

von der Ordnung pr.Dann gibt es einen Reprasentanten a in A von b mit ord a = pr.

10.5 Def.

Seien r1, . . . , rs nat. Zahlen. Eine abelsche p-Gruppe A heißt vom Typ (pr1 , . . . , prs)⇐⇒ A ≃ Z/pr1Z ⊕ . . . ⊕ Z/prsZ

21

10.6 Satz

Sei A 6= {0} eine abelsche p-Gruppe. Dann gibt es eindeutig bestimmtenaturliche Zahlen r1, . . . , rs, so dass A vom Typ (pr1 , . . . , prs) ist, und so dassr1 ≥ r2 ≥ . . . ≥ rs

10.7 Satz

Sei A 6= {0} eine endliche erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe. Dann istA frei und besitzt eine endliche Basis.

10.8 Satz

Sei A eine endlich erzeugte Gruppe. Sei At die Torsionsuntergruppe von A.Dann gilt:At ist endlich und A/At

ist eine endlich erzeugte, torsionsfreie abelsche Grup-pe.Weiter

A ≃ At ⊕A/At

22

§ 11 Rechenregeln in Ringen

11.1 Def.

Sei R eine nichtleere Menge. Seien + und · Verknupfungen auf R.Das Tripel (R, +, ·) heißt Ring⇐⇒

(i) (R, +) ist abelsche Gruppe

(ii) · ist assoziativ, d.h. ∀a, b, c ∈ R a · (b · c) = (a · b) · c

(iii) (Distributivgesetze)∀a, b, c ∈ R gilt(a + b)c = ac + bca(b + c) = ab + ac

R heißt kommutativ ⇐⇒ · kommutativ(∀a, b ∈ R a · b = b · a)Falls R 6= {0} und falls es ein Element 1 ∈ R gibt mit∀a ∈ R 1 · a = a · 1 = a, so heißt R Ring mit 1

11.2 Lemma

Sei R ein Ring. Seien a, b, c ∈ R.Dann gelten:

(i) a · 0 = 0 · a = 0

(ii) (−a)b = a(−b) = −(a · b)

(iii) (−a)(−b) = ab

(iv) a(b − c) = ab − ac

(v) ist R Ring mit 1 ⇒ 1 ist eindeutig bestimmt und 1 6= 0

11.3 Def.

Sei R ein Ring. Seiena, b ∈ R \ {0} a · b = 0

Dann heißt a Linksnullteiler, b Rechtsnullteiler.R heißt nullteilerfrei ⇐⇒ R besitzt keine Nullteiler.Ein Nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritatsbereich.

23

11.4 Lemma

Sei R ein nullteilerfreier Ring. Sei a ∈ R \ {0}. Dann gilt ∀b, c ∈ R :

ab = ac =⇒ b = c

ba = ca =⇒ b = c

11.5 Def.

(i) Sei R Ring mit 1. Seien a, b ∈ R mit ab = 1.

b heißt rechtsinvers zu a, a heißt linksinvers zu b.b heißt invers zu a ⇐⇒ a · b = b · a = 1a heißt Einheit in R ⇐⇒ a hat in R ein inverses Element.

(ii) Bildet R \ {0} bei · eine Gruppe, so heißt (R, +, ·) Schiefkorper. IstR \ {0} bei · abelsche Gruppe, so heißt (R, +, ·) Korper.

R \ {0} = R∗

11.6 Lemma

Sei R 6= {0} ein Ring mit 1. Dann bildet die Menge der Einheiten in R bei ·eine Gruppe (die Einheitengruppe).

Folgerung

R 6= {0} ist Schiefkorper. ⇐⇒ R \ {0} bildet bei · eine Gruppe.

11.7 Satz

Sei R 6= {0} ein endlicher nullteilerfreier Ring. Dann ist R bereits ein Schiefkorper.Insbesondere ist jeder endliche Integritatsbereich ein Korper.

11.8 Folgerung

Sei m ∈ N eine naturliche Zahl. Dann gilt:

Z/mZ ist Korper ⇐⇒ m Primzahl

24

§ 12 Ringhomomorphismen und Ideale

12.1 Def.

Seien R,R′ Ringe. Eine Abb. ϕ : R −→ R′ heißt Ringhomomorphismus ⇐⇒

(i) ∀a, b ∈ R : ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

(ii) ∀a, b ∈ R : ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

Ein bijektiver Ringhomomorphismus heißt Isomorphismus.Ein Isomorphismus ϕ : R −→ R heißt Automorphismus.

12.2 Lemma

Sei ϕ : R1 −→ R2 ein Ringhomomorphismus Dann gelten:

(i) ϕ(R1) ist Ring, ϕ(0) = 0

(ii) Sei R1 6= {0} Ring mit Eins und ϕ(R1) 6= {0} =⇒ ϕ(1) ist Eins in ϕ(R2)

12.3 Def.

Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊂ R heißt Ideal ⇐⇒

(i) (I, +) ist UG von (R, +)

(ii) ∀r ∈ R gilt

r · I ⊂ I und

I · r ⊂ I

r · I := {r · i|i ∈ I}

R Ring I ⊂ R Ideal. I induziert auf R Aquivalenzrelation.

r1, r2 ∈ R r1 ≡ r2 mod I

⇐⇒ r1 − r2 ∈ I

R/I Ringstruktur auf R/I

r1, r2 ∈ R r1, r2 ∈R/I

r1 · r2 := r1 · r2

25

12.4 Def.

Sei R ein Ring, I ein Ideal in R (I ⊳ R). Dann heißt der Ring R/I derRestklassenring von R nach I (R modulo I)

12.5 Satz

Seien R1, R2 Ringe, I ⊳ R1. Dann gelten:

(i) π : R1 −→ R1/I mit π(r) = r ist ein Ringhomomorphismus mitKern π = I.

(ii) Ist ϕ : R1 −→ R2 Ringhomomorphismus, so ist Kernϕ ein Ideal in R1.

(iii) Ein Homomorphismus ϕ : R1 −→ R2 ist injektiv ⇐⇒ Kern ϕ = {0}

(iv) Sei ϕ : R1 −→ R2 ein surjektiver Ringhomomorphismus. Dann gilt:

R1/Kern ϕ ≃ R2

12.6 Hauptsatz uber simultane Kongruenzen, chinesi-scher Restsatz

Seien R ein kommutativer Ring mit 1, n ∈ N, n ≥ 2I1, . . . , In Ideale in R, so dass fur alle Paare (i, j) 1 ≤ i < j ≤ n gilt:

Ii + Ij = R, x1, . . . , xn ∈ R

Dann gibt es ein x ∈ R mit x ≡ xj mod Ij fur j = 1, . . . , n.

12.7 Folgerung

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Seien I1, . . . , In Ideale in R mit Ij +Ik = R fur j 6= k. Dann gilt

R/ nTi=1

≃ R/I1 × . . . × R/In

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§ 13 Ringerweiterungen

R kommutativer, nullteilerfreier RingS ⊂ R,S 6= ∅, 0 /∈ S, S bei · abgeschlossen ∀a, b ∈ S a · b ∈ S

Ziel

Konstruktion eines Oberringes Rs von R.“Bruche mit Zahlern in R und Nennern in S”Betrachten Relation auf R × S, sei ∼s die durch

(r1, s1) ∼s (r2, s2) ⇐⇒ r1s2 − r2s1 = 0

gegebene Relation∼s ist Aquivalenzrelation Rs Menge der AquivalenzklassenRingstruktur auf Rs

(r1, s1) + (r2, s2) := (r1s2 + r2s1, s1s2)

(r1, s1) · (r2, s2) := (r1r2, s1s2)

(Rs, +, ·) ist kommutativer Ring0 : (0, s) s ∈ Sbei + ist zu (r, s) (−r, s) inversRs Ring mit Eins s ∈ S

(s, s) · (r, s1) = (rs, s1s)

= (r, s1)

Einheiten in Rs alle Elemente der Form (s1, s2) s1, s2 ∈ S(s2, s1) invers bei ·

13.1 Def.

Sei R ein kommutativer nullteilerfreier Ring. Sei S ⊂ R,S 6= ∅, 0 /∈ S. S seibei · abgeschlossen. Dann heißt der Ring Rs der Quotientenring von R nachS.

13.2 Satz

Sei R ein nullteilerfreier, kommutativer Ring. Sei S ⊂ R,S 6= ∅, 0 /∈ S, S bei ·abgeschlossen. Dann gibt es einen injektiven Ringhomomorphismus

ϕ : R −→ Rs

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Das Element (r, s) in Rs kann als Quotient von r ∈ R, s ∈ S aufgefasstwerden.Gilt S = R \ {0}, so ist Rs ein Korper, (Quotientenkorper von R).

R kommutativer Ring mit Eins

F = {f |f : N0 −→ R, f(s) = 0 fur alle außer endlich vielen s ∈ N0}

13.3 Lemma

Die Menge F mit den durch

(f + g)(s) = f(s) + g(s) ∀s ∈ N0

und(f · g)(s) =

∑

s1+s2=ss1,s2∈N0

f(s1)g(s2) s ∈ N0

erklarten Verknupfungen ist ein kommutativer Ring mit Eins.

13.4 Def.

Bezeichnung: (F, +, ·) = R[X]Dann heißt der Ring R[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X uberR (Polynomring in X mit Koeffizienten in R).

13.5 Satz

Seien R1 und R2 kommutative Ringe mit 1 (1 ∈ R), R1 ⊂ R2. Sei α ∈ R2.Dann wird durch die Zuordnung f(x) 7−→ f(α) ein Homomorphismus

ϕ : R1[X] −→ R1[α]

definiert.ϕ ist ein Isomorphismus ⇐⇒ f(α) = 0 ⇐⇒ samtliche Koeffizienten von f sind 0

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§ 14 Teilbarkeit in Ringen

R kommutativer Ring mit 1

14.1 Def.

Seien a, b ∈ R.a teilt b ⇐⇒ ∃c ∈ R a · c = bin Zeichen a|b.a heißt assoziiert zu b ⇐⇒ ∃ Einheit ε ∈ R aε = b

14.2 Lemma

Der Durchschnitt von Idealen ist ein Ideal.

14.3 Def.

Sei M ⊂ R.(M) heißt das von M erzeugte Ideal = Durchschnitt aller Ideale, welche Menthalten.

M 6= ∅ =⇒ (M) =

{

r ∈ R|∃m1, . . . ,mn ∈ M,∃r1, . . . , rn ∈ R r =n∑

i=1

rimi

}

14.4 Def.

Ein Ideal Z heißt Hauptideal ⇐⇒ ∃a ∈ RZ = (a)R heißt Hauptidealrin ⇐⇒ jedes Ideal in R ist Hauptideal

14.5 Lemma

Fur a, b ∈ R gelten:

(i) a|b ⇐⇒ (b) ⊂ (a)

(ii) Ist R Integritatsbereich =⇒ (a assoziert zu b ⇐⇒ (a) = (b))

14.6 Def.

Sei R Integritatsbereich, sei r ∈ R \ {0}, r ist keine Einheit.r heißt unzerlegbar oder irreduzibel ⇐⇒ (r = ab, a, b ∈ R =⇒ a oder b ist Einheit)r heißt Primelement ⇐⇒ (r|ab, a, b ∈ R =⇒ r|a oder r|b)

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14.7 Def.

Sei R kommutativer Ring mit 1.Ein Ideal I 6= R in R heißt maximal ⇐⇒ es gibt kein Ideal J in R mitI ⊂ J ⊂ R und mit I 6= J, J 6= R.Ein Ideal P heißt Primideal ⇐⇒ P 6= R, R \ P sei · abgeschlossen ( ⇐⇒a · b ∈ P =⇒ a ∈ P oder b ∈ P )

14.8 Satz

Sei R kommutativer Ring mit 1. Sei I ein Ideal in R. Dann gelten:

(i) I Primideal ⇐⇒ R/I ist Integritatsbereich

(ii) I maximal ⇐⇒ R/I ist Korper

14.9 Folgerung

Sei R kommutativer Ring mit 1. Dann ist jedes maximale Ideal ein Primideal.

14.10 Def.

Sei R ein Integritatsbereich.

(i) Seien a1, . . . an ∈ R\{0}. Ein Element d ∈ R heißt großter gemeinsamer Teilervon a1, . . . an ⇐⇒

(a) d|ai fur i = 1, . . . , n

(b) falls d1|ai, i = 1, . . . , n =⇒ d1|d

(ii) a1, . . . , an heißen relativ prim ⇐⇒ die einzigen gemeinsamen Teilervon a1, . . . , an sind Einheiten

Konvention

ab jetzt Hauptidealring auch Integritatsbereich!

14.11 Satz

Sei R ein Hauptidealring. Seien a1, . . . an ∈ R \ {0}. Dann gelten:

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(i) a1, . . . , an haben einen ggT d in R. d ist bis auf einen Einheitsfaktoreindeutig bestimmt. Es gilt

r1, . . . , rn ∈ R : d =n∑

i=1

riai

(ii) a1, . . . , an sind relativ prim ⇐⇒

∃r1, . . . , rn ∈ R :n∑

i=1

riai = 1

(iii) p ∈ R ist irreduzibel ⇐⇒ (p) ist maximal

(iv) p ∈ R ist irreduzibel ⇐⇒ p ist prim

(v) jede aufsteigende Kette von Idealen in R wird schließlich konstant

(vi) zu jedem a ∈ R \ {0}, welches keine Einheit ist, existiert ein Primele-ment p mit p|a

(vii) Falls a0|a1 . . . an und a0 und a1 relativ prim, so gilt a0|a2 . . . an

(viii) Sind p, q prim in R =⇒ entweder sind p und q assoziiert oder p und qsind relativ prim

14.12 Def.

Sei R ein Integritatsbereich. R heißt ZPE-Ring (Zerlegung in Primelemente)(Literatur auch faktorieller Ring) ⇐⇒

(i) jedes Element r ∈ R \ {0}, r keine Einheit lasst sich als Produkt vonPrimelementen schreiben:

(∗) r = p1 . . . ps

14.13 Satz

Sei R ein Hauptidealring. Dann ist R ein ZPE-Ring.

14.14 Folgerung

Z ist ein ZPE-Ring.

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14.15 Def.

Ein Integritatsbereich R heißt Euklidischer Ring ⇐⇒ Es gibt eine Abbil-dung ϕ : R \ {0} −→ N0 (ϕ Euklidische Bewertungsfunktion) mit folgenderEigenschaft:Fur alle a, b ∈ R mit b 6= 0 ∃q, r ∈ R mit a = qb + r, so dass entweder r = 0oder ϕ(r) < ϕ(b)

14.16 Satz

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

14.17 Folgerung

Der Polynomring in einer Variablen uber einem Korper ist ein euklidischerRing.

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§ 15 Primelementzerlegung in Polynomrin-

gen

15.1 Def.

Sei R ein ZPE-Ring.Sei f(X) = a0 + a1X + . . . + anX

n ∈ R[X]. Dann heißt c = (a0, a1, . . . , an)der Inhalt von f .

15.2 Satz (Gaußsches Lemma)

Sei R ein ZPE-Ring. Seien f, g primitive Elemente in R[X]. Dann ist auchf · g primitiv.

15.3 Lemma

Sei R ein ZPE-Ring. Sei K der Quotientenkorper von R.Sei f(X) ∈ K[X], f 6= 0.Dann gibt es Elemente a, b ∈ R und ein primitives Polynom ϕ(X) ∈ R[X]mit f(X) = a

bϕ(X).

Dabei sind ab

und ϕ(X) bis auf Einheitsfaktoren aus R eindeutig bestimmt.

15.4 Lemma

Sei R ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkorper. Seien f(X), g(X), h(X) ∈K[X] mit

f(X) = g(X)h(X)

Sei f = af ∗, g = bg∗, h = ch∗ mit f ∗, g∗, h∗ ∈ R[X] primitiv, a, b, c ∈ KDann gilt:

f ∗(X) = εg∗(X)h∗(X)

wo ε eine Einheit in R ist.Weiter gilt:

εa = b · c

Insbesondere gelten:

(i) Sei f(X) ∈ R[X], und sei g(X) ∈ R[X] primitiv.Falls g(X)|f(X) in K[X], dann folgt g(X)|f(X) in R[X]

(ii) f ∗(X) ist in R[X] irreduzibel ⇐⇒ f(X) ist in K[X] irreduzibel

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