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  • Karlsruhe Institute of Technology

    KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and

    National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu

    1. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen Wolfgang Reichel

    Übersee-Vorlesung aus Oaxaca, Mexiko, 19. Oktober 2010

    Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Inhaltsübersicht

    1. Einführung: Notation und Beispiele

    2. Laplace- und Poissongleichung

    3. Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung

    4. Wellengleichung

    5. Methode der Charakteristiken (Gleichungen 1. Ordnung)

    2/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology 1. Einführung: Notation und Beispiele 1.1. Notation Ω ⊂ Rn sei offen. u : Ω→ R sei eine Funktion. Schreibweise: u(x) bzw. u(x1, x2, . . . , xn).

    Falls alle partielle Ableitungen der Ordnung ≤ k ∈ N existieren und stetig sind so schreibt man:

    u ∈ Ck (Ω) C0(Ω) = Menge der auf Ω stetigen Funktionen

    ∂u ∂xi

    , uxi , i = 1, . . . , n partielle Ableitung 1.Ordnung nach xi

    ∂2u ∂xj∂xi

    , uxi xj , i, j = 1, . . . , n partielle Ableitung 2.Ordnung nach xi , xj

    Reihenfolge erheblich? Satz von Schwarz: u ∈ C2(Ω)⇒ uxi xj = uxj xi

    3/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Gradient, Hesse-Matrix

    Für u ∈ C1(Ω) heisst der Spaltenvektor

    grad u = ∇u = ( ∂u ∂x1

    , . . . , ∂u ∂xn

    )T = (ux1 , . . . , uxn )

    T

    Gradient von u (=Richtung des steilsten Anstiegs von u)

    Für u ∈ C2(Ω) heisst die symmetrische n × n-Matrix

    D2u =

     ux1x1 · · · ux1xn ...

    . . . ...

    uxnx1 · · · uxnxn

     = 

    ∂2u ∂x21

    · · · ∂2u∂x1∂xn ...

    . . . ...

    ∂2u ∂xn∂x1

    · · · ∂2u ∂x2n

     Hesse-Matrix von u.

    4/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Höhere partielle Ableitungen Wie beschreibt man effizient höhere partielle Ableitungen von u? Multiindex-Schreibweise

    Definition (Multiindex) Ein Vektor α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 mit ganzzahligen Einträgen heisst Multiindex. Die ganze Zahl

    |α| = α1 + . . . + αn

    heisst Ordnung des Multiindexes. Für u ∈ C |α|(Ω) heisst

    Dαu := ∂|α|u

    ∂xα11 · · · ∂x αn n

    partielle Ableitung der Ordnung |α| zum Multiindex α.

    5/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Beispiele

    n = 2, α = (0, 1)

    Dαu = ∂u ∂x2

    n = 3, α = (2, 0, 1)

    Dαu = ∂3u

    ∂x21∂x3

    n = 4, α = (1, 1, 1, 1)

    Dαu = ∂4u

    ∂x1∂x2∂x3∂x4

    6/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Vektorwertige Funktionen Ist U : Ω→ Rl eine vektorwertige Funktion und U = (u1, . . . , ul)T so bedeutet U ∈ Ck (Ω), dass u1, . . . , ul ∈ Ck (Ω) liegen. Ebenso:

    DαU = (Dαu1, . . . ,Dαul)T

    Divergenz: im Fall l = n

    div U = ∇ · U = n∑

    i=1

    ∂ui ∂xi

    = u1,x1 + · · ·+ un,xn

    Rotation: im Fall l = n = 3

    rot U = ∇ × U =

     u3,x2 − u2,x3u1,x3 − u3,x1 u2,x1 − u1,x2

     = 

    ∂u3 ∂x2 − ∂u2 ∂x3

    ∂u1 ∂x3 − ∂u3 ∂x1

    ∂u2 ∂x1 − ∂u1 ∂x2

     7/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Identitäten zwischen rot, div, grad und ∆

    Seien u : Ω→ R, U : Ω→ Rn C2-Funktionen. Es gilt

    div grad u = ∇ · (∇u) = n∑

    i=1

    ∂2u ∂x2i

    = ux1x1 + · · ·+ uxnxn = ∆u

    ∆ = ∑n

    i=1 ∂2

    ∂x2i heisst Laplace-Operator.

    Für n = 3 gilt rot(rot U) = grad(div U) −∆U

    und div(rot U) = 0, rot(grad u) = 0.

    8/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology 1.2. Was ist eine partielle DGl?

    Pseudo-Definition Eine partielle Differentialgleichung (pDGl) ist eine Gleichung, welche Funktionswerte und partielle Ableitungen einer Funktion u : Ω→ Rl enthält. Dabei ist Ω ⊂ Rn offen. Beispiel: (Wellengleichung). n = 2, l = 1, Ω = R2. Sei

    u : {

    R2 → R (x, t) 7→ u(x, t) eine zweimal stetig differenzierbare Funtion

    u heisst Lösung der Wellengleichung

    (1) utt − uxx = 0 falls gilt: utt (x, t) − uxx(x, t) = 0 für alle (x, t) ∈ Ω × R. t =Zeit, x =Ort. (1) heisst eindimensionale Wellengleichung.

    Alternative Schreibweise für (1): ∂2u ∂t2 − ∂

    2u ∂x2

    = 0.

    9/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology 1.3. Woher kommen pDGlen? Welche Fragen stellen sich bei pDGlen?

    Physik: Quantenmechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik, Elastizitätstheorie, Optik, Flüssigkeits- und Gasdynamik, Kristallbildung, Wasserwellen usw.

    Biologie: Populationsdynamik, Musterbildung (Morphogenese), Räuber-Beute-Modelle, Ausbreitung von Krankheiten

    Chemie: Reaktionskinetik, Reaktions-Diffusionsmodelle

    Finanzmathematik: Bestimmung von Optionspreisen (Black Scholes Modell), stochastische Differentialgleichungen

    Geometrie: Bestimmung von Flächen vorgegebener mittlerer oder Gaußscher Krümmung, Beweis der Poincaré-Vermutung

    10/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Fragestellungen

    Explizite Lösungen sind die Ausnahme!

    Existenz von Lösungen

    Eindeutigkeit oder Vielfachheit von Lösungen

    Stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Daten

    qualitative Aussagen über Lösungen; Verhalten für grosse Zeiten; Aussagen über die Gestalt der Lösungen

    Bestimmung von Näherungen (-> Numerik)

    11/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology 1.4. Beispiele von pDGLen (a) Transportgleichung: u(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ∈ R am Ort x ∈ Rn. u ∈ C1(Rn+1). c ∈ Rn: Wind konstanter Stärke und Richtung Sei D ⊂ Rn offen: M(D) = Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t

    M(D) = ∫

    D u(x, t) dx =

    ∫ D+cτ

    u(x, t + τ) dx

    wobei τ > 0 eine beliebige Zeitspanne ist (Annahme: nichts geht verloren, nichts kommt dazu)

    M(D) = ∫

    D u(x, t) dx =

    ∫ D

    u(x + cτ, t + τ) dx

    Differentiation nach τ und Auswertung bei τ = 0:

    12/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Transportgleichung:

    d dτ

    ∣∣∣∣∣τ=0 ∫ D

    u(x, t) dx = d dτ

    ∣∣∣∣∣τ=0 ∫ D

    u(x + cτ, t + τ) dx

    0 = ∫

    D

     n∑ i=1

    ∂u ∂xi

    (x, t)ci + ∂u ∂t

    (x, t)

     dx D ⊂ Rn beliebig:⇒

    Transportgleichung: (2) n∑

    i=1

    ci ∂u ∂xi

    (x, t) + ∂u ∂t

    (x, t) = 0

    Kurz:

    C · ∇u + ∂u ∂t

    = 0, C = (c1, . . . , cn)T = konstant

    Verallg. Transportgleichung: (3) n∑

    i=1

    ci(x, t) ∂u ∂xi

    (x, t) + ∂u ∂t

    (x, t) = 0

    13/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology (b) Diffusions- bzw. Wärmeleitungsgleichung u(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ≥ 0 am Ort x ∈ Ω ⊂ Rn. u : Ω × [0,∞)→ R sei C1-Funktion.

    Diffusion Mechanismus, der Unterschiede in Stoffkonzentrationen ausgleicht.

    Wir betrachten folgendens Modell für Diffusion:

    F(x,t)

    F(x, t) ∈ Rn: Richtung und Stärke der Stoffzufuhr pro Zeiteinheit durch x ∈ Ω zum Zeitpunkt t f(x, t , u(x, t)) ∈ R: Reaktionsterm. Gibt Erzeugungs- (f > 0) oder Vernichtungsrate (f < 0) des Stoffes an der Stelle x zur Zeit t an. Kann abhängen von x, t sowie der aktuellen Stoffmenge u(x, t).

    14/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

  • Karlsruhe Institute of Technology Herleitung der Diffusionsgleichung Sei D ⊂ Ω ein Normalgebiet, ν=äussere Normal an ∂D

    F(x,t)

    D

    ν(x)

    ν(x)

    ∫ D

    u(x, t) dx =

    Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t

    d dt

    ∫ D

    u(x, t) dx︸ ︷︷ ︸ Änderung der Stoffmenge

    = − ∮ ∂D

    F(x, t) · ν(x) do︸ ︷︷ ︸ Zufuhr/Abfluss durch ∂D

    +

    ∫ D

    f(x, t , u(x, t)) dx︸