1 Zahl umwandeln? Leseprobe - LERNEN WILL MEHR · 2019-04-03 · Leseprobe. LERNEN 1...

44

Transcript of 1 Zahl umwandeln? Leseprobe - LERNEN WILL MEHR · 2019-04-03 · Leseprobe. LERNEN 1...

Zahlen und Maße

Darum geht’s in diesem Kapitel:Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Raum“. Im täglichen Leben haben wir ständig mit Zahlen zu tun. Größen wie Strecken und Flächen können mit Zahlen und Maßeinheiten beschrieben werden.

Das lernst du in den folgenden Lerneinheiten:1 Grundrechnungsarten und Zahlenmengen2 Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und

Gleitkommadarstellung3 Prozent- und Promillerechnung

Hoch hinausDie Raumstation ISS (Interna-tional Space Station) umkreist die Erde in einer Höhe von ca. 400 km. In welche anderen Maßeinheiten kann man diese Zahl umwandeln?1

Angewandte Mathematik I 1

Aktiviere dein M-BOOK online!

wirlernenmitmanz.at

Nutze dieses Kapitel mit zusätzlichen Aufgaben und digitalen Lernkarten.

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Zahlen und

Leseprobe

Zahlen und

Darum geht’s in diesem Kapitel:

Leseprobe

Darum geht’s in diesem Kapitel:Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik

Leseprobe

Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet Le

seprobe

wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Le

seprobe

die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Raum“. Im täglichen Leben haben wir ständig mit Zahlen Le

seprobe

Raum“. Im täglichen Leben haben wir ständig mit Zahlen zu tun. Größen wie Strecken und Flächen können mit

Leseprobe

zu tun. Größen wie Strecken und Flächen können mit

LERNEN

1 Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Die ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstver-ständlich erscheinen, und Symbole, mit denen mathematische Aussagen einfacher dargestellt werden können.

A 1.1 ★ Einfache Rechnungen D

Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst, um die folgenden Aufgaben zu lösen.a) Eine Packung Eier enthält 6 Stück. Wie viele Eier enthalten 5 Packungen?b) An einem Winterabend beträgt die Temperatur 2 °C, in der Nacht wird es um

5 Grad kälter. Wie hoch war die Temperatur in der Früh?c) 12 Bonbons sollen gerecht auf 4 Kinder aufgeteilt werden. Wie viele bekommt jedes?d) 3 Pizzen werden gleichmäßig auf 5 Personen aufgeteilt. Wie viel bekommt jede?

GrundrechnungsartenWir wiederholen zuerst einige Grundbegriffe.

Bezeichnungen bei den GrundrechnungsartenMan unterscheidet verschiedene Rechenstufen:

Rechenarten erster Stufe:

■ Addition: Summand + Summand = Summe

■ Subtraktion: Minuend – Subtrahend = Differenz Umkehrung der Addition

GrundrechnungsartenDie vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die grundlegenden Rechengesetze in den Zahlenmengen sind die Basis für viele Anwendungen der Mathematik.

1

2 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Grundrechnungsarten

Leseprobe

Grundrechnungsarten Zahlenmengen

Leseprobe

ZahlenmengenDie ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln

Leseprobe

Die ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule

Leseprobe

auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstver

Leseprobe

gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstverständlich erscheinen, und Symbole, mit denen Le

seprobe

ständlich erscheinen, und Symbole, mit denen Aussagen einfacher dargestellt werden können.Le

seprobe

Aussagen einfacher dargestellt werden können.

Einfache Rechnungen Leseprobe

Einfache Rechnungen Leseprobe

DLeseprobe

D

Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst, Leseprobe

Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst,

Rechenarten zweiter Stufe:

■ Multiplikation: Faktor · Faktor = Produkt wiederholte Addition derselben Zahl (z. B.: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 · 4)

■ Division: Dividend : Divisor = Quotient Umkehrung der Multiplikation

Rechenart dritter Stufe:

■ Potenzieren: Basis PotenzExponent = wiederholte Multiplikation derselben Zahl (z. B. 2 2 2 23$ $ = )

Reihenfolge der RechenoperationenEs ist wichtig, die Reihenfolge der Rechenoperationen zu beachten.

Reihenfolge der Rechenoperationen

Rechenarten höherer Stufe werden zuerst ausgeführt!(Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung)

Ausnahme: Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.

L 1.1 Verschiedene Ergebnisse durch Klammern B

Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:a) ·4 5 32+ = b) ·4 5 32+ =_ i c) ·4 5 3 2+ =_ i d) ·4 5 3 2+ =_ iLösung:a) · ·4 5 3 4 5 9 4 45 492+ = + = + =b) · · ·4 5 3 9 3 9 9 812 2+ = = =_ ic) ·4 5 3 4 15 4 225 2292 2+ = + = + =_ id) ·4 5 3 4 15 19 3612 2 2+ = + = =_ _i i

Grundlegende RechengesetzeIn der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen Satz, der nicht mehr weiter bewiesen werden muss oder kann, bezeichnet man als Axiom.

Axiome für das Rechnen mit Zahlen: Die folgenden Grundregeln sind mithilfe von Variablen aufgeschrieben und gelten in allen Zahlenbereichen.

Kommutativgesetz der Addition

a + b = b + a

Assoziativgesetz der Addition

a + (b + c) = (a + b) + c

Kommutativgesetz der Multiplikation

a · b = b · a

Assoziativgesetz der Multiplikation

a · (b · c) = (a · b) · c

Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · ca · (b – c) = a · b – a · c

MalpunktDer Malpunkt kann vor einem Buchstaben oder einer Klammer auch weggelassen werden; 2a bedeutet dasselbe wie 2 · a, a · (b + c) dasselbe wie a(b + c).

Exponent = HochzahlDen Exponenten bezeichnet man auch als Hochzahl.

Punkt vor StrichDie Punktrechnung stellt eine stärkere Verbindung als die Strichrechnung dar. Als Eselsbrücke kannst du dir merken, dass ein Punkt Superkleber viel fester als ein Strich mit einem Klebestick hält.

VariableUm allgemeine Zusammen-hänge auszudrücken, verwen-det man Variablen. Das sind meist Buchstaben, die für eine beliebige Zahl stehen können.

Angewandte Mathematik I 3

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.

Leseprobe Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.

Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:

Leseprobe

Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:4 5

Leseprobe

4 5 3

Leseprobe

3 2

Leseprobe

2+ =

Leseprobe

+ =·+ =·

Leseprobe

·+ =·4 5+ =4 5

Leseprobe

4 5+ =4 5 3+ =3

Leseprobe

3+ =3 2+ =2

Leseprobe

2+ =24 5+ =4 5

Leseprobe

4 5+ =4 5_

Leseprobe

_4 5_4 5

Leseprobe

4 5_4 5_

Leseprobe

_4 5_4 5

Leseprobe

4 5_4 54 5+ =4 5_4 5+ =4 5

Leseprobe

4 5+ =4 5_4 5+ =4 5 i

Leseprobe

i+ =i+ =

Leseprobe

+ =i+ =

Leseprobe

d)

Leseprobe

d) 4 5

Leseprobe

4 54 5+ =4 5

Leseprobe

4 5+ =4 5_

Leseprobe

_

Leseprobe

15 4 225 229

Leseprobe

15 4 225 22915 4 225 229+ =15 4 225 229

Leseprobe

15 4 225 229+ =15 4 225 22915 19 361

Leseprobe

15 19 361

Leseprobe

2

Leseprobe

215 19 361215 19 361

Leseprobe

15 19 361215 19 36115 19 361=15 19 361

Leseprobe

15 19 361=15 19 361

Grundlegende RechengesetzeLeseprobe

Grundlegende RechengesetzeIn der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon Le

seprobe

In der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen

Leseprobe

bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen

A 1.2 ★ Rechengesetze erklären C D

a) Erkläre in Worten, was die Rechengesetze aussagen.b) Gib zu jedem Rechengesetz ein Beispiel mit beliebigen Zahlen an.c) Zeige anhand von je einem Gegenbeispiel, dass die folgenden „Rechengesetze“

nicht gelten:• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Subtraktion• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Division• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz beim Potenzieren

A 1.3 ★ Reihenfolge der Rechenoperationen B

Berechne die angegebenen Terme.a) 5 · 12 + 4 · 25 =

(5 · 12 + 4) · 25 =5 · (12 + 4) · 25 =5 · (12 + 4 · 25) =

b) 240 : 20 – 5 · 2 =240 : (20 – 5) · 2 =240 : (20 – 5 · 2) =(240 : 20 – 5) · 2 =

c) 20 · 8 + 32 : 16 – 12 · 5 =20 · (8 + 32) : (16 – 12) · 5 =20 · (8 + 32 : 16) – 12 · 5 =(20 · 8 + 32) : (16 – 12) · 5 =20 · [8 + 32 : (16 – 12)] · 5 =[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =

Mathematische SymboleAußer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.

Symbole für mathematische RelationenZwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.

Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen: Beziehungen bezeichnet man auch als Relationen.

a = b a ist gleich ba!b a ist ungleich ba b a ist ungefähr gleich b (rund)a | b a ist ein Teiler von b

a b a ist kleiner als ba b a ist kleiner als oder gleich b (höchstens)a b a ist größer als ba b a ist größer als oder gleich b (mindestens)

Es gibt auch noch weitere Relationszeichen zwischen Zahlen, z. B.:a % b a ist sehr viel kleiner als ba ∼ b a ist proportional zu b

A 1.4 ★ Unnötige Zeichen D

Erkläre, warum man kein Zeichen für „a ist nicht kleiner als b“ und „a ist nicht größer als b“ braucht.

a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d

DistributivgesetzBeim Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken mit mehr als zwei Summanden wendet man ebenfalls das Distributivgesetz an.

2

4 Angewandte Mathematik I

Leseprobe[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =

Leseprobe[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =

Mathematische Symbole

Leseprobe

Mathematische SymboleAußer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der

Leseprobe

Außer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.

Leseprobe

Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.

Symbole für mathematische

Leseprobe

Symbole für mathematische Relationen

Leseprobe

RelationenZwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen

Leseprobe

Zwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.

Leseprobe

Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.

Leseprobe

Leseprobe

Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen:Leseprobe

Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen:

Symbole aus der mathematischen LogikIn der mathematischen Logik geht es um Beziehungen zwischen Aussagen. Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.

Wahre Aussagen: „Der Jänner hat 31 Tage.“, „3 < 5“ …

Falsche Aussagen: „2015 ist ein Schaltjahr.“, „1 = 2“ …

Keine Aussagen: „Guten Morgen!“, „Wie geht es dir?“ …

Aussageformen: „a < 7“, „x = 2y“ …

Eine Aussageform wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt.

Symbole für Verknüpfungen von Aussagen: Aussagen können miteinander verknüpft werden.

¬A nicht A (ist wahr, wenn A falsch ist)A B A und B (ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)A B A oder B (ist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)A B wenn A, dann B; aus A folgt B (ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)A B genau dann A, wenn B; A ist äquivalent zu B (ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide

falsch sind) x für alle x gilt … x es gibt ein x, sodass … x es gibt kein x, sodass …

Verknüpfungen von Aussagen können durch Wahrheitswerttabellen verdeut-licht werden.

A 1.5 ★ Wer kommt zur Party? A

Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.a) Bernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.b) Wenn Alina kommt, kommt Bernhard auch.c) Wenn Christine kommt, kommt Alina nicht.

A 1.6 ★ Wahr oder falsch? C

Kreuze bei den folgenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch sind:a) 10 < 10 w. A. f. A.b) 10 ⩽ 10 w. A. f. A.c) ¬(2 + 2 = 5) w. A. f. A.d) (3 < 4) ∧ (3 < –4) w. A. f. A.e) (3 < 4) ∨ (3 < –4) w. A. f. A.f) (x = 3) ⇒ (x2 = 9) w. A. f. A.g) (x = 3) ⇔ (x2 = 9) w. A. f. A.

A 1.7 ★★ Umkehrung einer „wenn – dann“-Aussage D

Erkläre anhand eines Beispiels, warum man aus der Aussage „Wenn A, dann B“ nicht folgern kann „Wenn nicht A, dann nicht B“. Gib die richtige Umkehrung an.

w. A.wahre Aussagef. A.falsche Aussage

LINKWahrheitswerttabellenVertiefender Inhalt zu Wahrheitswerttabellen und zugehöriges Lehrbeispiel L 1.2

LINKBoole’sche OperatorenVertiefender Inhalt

Angewandte Mathematik I 5

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobeist wahr, wenn A falsch ist)

Leseprobeist wahr, wenn A falsch ist)

ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)

Leseprobeist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)

ist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)

Leseprobeist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)

ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)

Leseprobeist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)

(

Leseprobe

(ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide

Leseprobe

ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind)

Leseprobe

falsch sind)

Verknüpfungen von Aussagen können durch

Leseprobe

Verknüpfungen von Aussagen können durch Wahrheitswerttabellen

Leseprobe

Wahrheitswerttabellen

Wer kommt zur Party?

Leseprobe

Wer kommt zur Party?

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Leseprobe

Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina Leseprobe

Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die Le

seprobe

kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.Le

seprobe

folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.ernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.Le

seprobe

ernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.

Symbole aus der MengenlehreEine Menge im mathematischen Sinn ist eine Zusammenfassung von Objek-ten (Gegenstände, Zahlen, Punkte …), den Elementen der Menge. Wenn man die Elemente einer Menge aufzählt, schreibt man sie in geschwungene Klammern; dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an.

Eine Menge, die keine Elemente besitzt, heißt leere Menge. Man schreibt: { } oder ∅.

Symbole aus der Mengenlehre

x A x ist ein Element von A.x A x ist kein Element von A.A B A ist eine Teilmenge von B. (Jedes Element von A ist auch in B enthalten.)A B A ist eine echte Teilmenge von B. (A ist Teilmenge von B, es gibt aber auch

Elemente von B, die nicht in A enthalten sind.)A B A ist keine Teilmenge von B.A B Durchschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A

als auch in B enthalten sind)A B Vereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder

beiden enthalten sind)A \ B Di³erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten

sind)

GA Komplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)

andere Schreibweise: A'A B Produktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in

A und deren zweites Element in B enthalten ist)

L 1.3 Elemente und Teilmengen C

Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 3, 5, 7}Setze die passenden Zeichen ein:a) 3 G 3 A 3 Bb) A G B G A B

Lösung:a) 3 ∈ G 3 ∉ A 3 ∈ B (Links steht eine Zahl, rechts der Name einer Menge – es kann also

„ Element“ oder „nicht Element“ eingesetzt werden.)b) A ⊆ G (oder A ⊂ G) B ⊆ G (oder B ⊂ G) A ⊈ B

(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“ oder „keine Teilmenge“ eingesetzt werden.)

MengeIn der Umgangssprache ist „eine Menge“ gleichbedeu-tend mit „viel“; in der Mathe-matik kann eine Menge auch wenige oder gar keine Elemente besitzen.

LINK

(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“

Warum ist überall nichts drin?Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

6 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobechschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A

Leseprobechschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A

ereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder

Leseprobeereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder

erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten

Leseprobe

erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten

omplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente

Leseprobe

omplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)

Leseprobe

von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)

Leseprobe

von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)

oduktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in

Leseprobe

oduktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in A und deren zweites Element in B enthalten ist)

Leseprobe

A und deren zweites Element in B enthalten ist)

Elemente und Teilmengen

Leseprobe

Elemente und Teilmengen

Leseprobe

C

Leseprobe

C

Es sind folgende Mengen gegeben:Leseprobe

Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Le

seprobe

G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Symbole aus der MengenlehreEine Menge im mathematischen Sinn ist eine Zusammenfassung von Objek-ten (Gegenstände, Zahlen, Punkte …), den Elementen der Menge. Wenn man die Elemente einer Menge aufzählt, schreibt man sie in geschwungene Klammern; dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an.

Eine Menge, die keine Elemente besitzt, heißt leere Menge. Man schreibt: { } oder ∅.

Symbole aus der Mengenlehre

x A x ist ein Element von A.x A x ist kein Element von A.A B A ist eine Teilmenge von B. (Jedes Element von A ist auch in B enthalten.)A B A ist eine echte Teilmenge von B. (A ist Teilmenge von B, es gibt aber auch

Elemente von B, die nicht in A enthalten sind.)A B A ist keine Teilmenge von B.A B Durchschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A

als auch in B enthalten sind)A B Vereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder

beiden enthalten sind)A \ B Di³erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten

sind)

GA Komplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)

andere Schreibweise: A'A B Produktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in

A und deren zweites Element in B enthalten ist)

L 1.3 Elemente und Teilmengen C

Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 3, 5, 7}Setze die passenden Zeichen ein:a) 3 G 3 A 3 Bb) A G B G A B

Lösung:a) 3 ∈ G 3 ∉ A 3 ∈ B (Links steht eine Zahl, rechts der Name einer Menge – es kann also

„ Element“ oder „nicht Element“ eingesetzt werden.)b) A ⊆ G (oder A ⊂ G) B ⊆ G (oder B ⊂ G) A ⊈ B

(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“ oder „keine Teilmenge“ eingesetzt werden.)

MengeIn der Umgangssprache ist „eine Menge“ gleichbedeu-tend mit „viel“; in der Mathe-matik kann eine Menge auch wenige oder gar keine Elemente besitzen.

LINKWarum ist überall nichts drin?Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

L 1.4 Verknüpfungen von Mengen B

Bilde mit den Mengen aus Lehrbeispiel L 1.3:a) A ⋂ B b) A ⋃ B c) A \ B d) AGNLösung:a) A ⋂ B = {2}b) A ⋃ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

c) A \ B = {4, 6, 8, 10}d) AGN = {1, 3, 5, 7, 9}

Eine Menge kann angegeben werden,

■ indem man ihre Elemente aufzählt (aufzählendes Verfahren), z. B. M = {1, 2, 3, 4, 5},

■ indem man beschreibt, welche Elemente zur Menge gehören (beschreibendes Verfahren), z. B. M = {x ∈ G | x ⩽ 5}, sprich: „Menge aller Elemente x von G, für die gilt: x ist kleiner oder gleich 5“ (G ist die Menge aus Lehrbeispiel L 1.3).

A 1.8 ★ Mengen beschreiben A C

Es seien:A: die Menge aller Angestellten einer FirmaM: die Menge aller männlichen AngestelltenF: die Menge aller weiblichen AngestelltenS: die Menge aller Angestellten, die Sport betreibenInterpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die „Alltagssprache“.a) M ⋂ S b) M ⋃ S c) F \ S d) M ⋂ F e) M ⋃ F

A 1.9 ★ Geometrie und Mengenlehre A

Übersetze in Mengenschreibweise:a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.b) Die Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.c) Die Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.d) Die Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.

Abb. 1.1.1

k

C

B

A

h

g

A 1.10 ★ Verknüpfungen von Mengen B

Es sind folgende Mengen gegeben:M = {a, e, i, o, u} N = {a, b, c, d, e, f} P = {u, v, w}

Bilde die folgenden Verknüpfungen:a) M ⋂ Nb) M ⋂ P

c) N ⋂ Pd) M ⋃ N

e) M ⋃ Pf) M \ N

g) N \ Mh) P \ N

LINKWie viele Teilmengen hat eine Menge?Eine Packung Twax mit 2 Riegeln hat 4 Teilmengen.

Angewandte Mathematik I 7

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

Interpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die

Leseprobe

Interpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die

d

Leseprobe

d)

Leseprobe

) M

Leseprobe

M ⋂

Leseprobe

⋂ F

Leseprobe

F e)

Leseprobe

e)

Geometrie und Mengenlehre

Leseprobe

Geometrie und Mengenlehre

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Übersetze in Mengenschreibweise:

Leseprobe

Übersetze in Mengenschreibweise:ie Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.

Leseprobe

ie Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.ie Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.

Leseprobe

ie Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.ie Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.

Leseprobe

ie Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.

Leseprobe

ie Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.Leseprobe

ie Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.Leseprobe

ALeseprobe

A

ZahlenmengenEinige Zahlenmengen sind so wichtig, dass man ihnen eigene Namen gegeben hat.

Natürliche Zahlen

Menge der natürlichen Zahlen

, , , , , ,0 1 2 3 4 5 …N = # -

Axiome für natürliche Zahlen

• Null ist eine natürliche Zahl.• Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n + 1 als Nachfolger.• Null ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl.

Die natürlichen Zahlen haben einen Anfang, aber kein Ende. Man kann sie auf dem Zahlenstrahl veranschaulichen:

Abb. 1.1.2 Die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen einteilen:ℕg = {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen

ℕu = {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen

A 1.11 ★ Rechnen mit natürlichen Zahlen D

Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe jeweils deine Entscheidung!

Ganze ZahlenWenn man zu den natürlichen Zahlen noch die negativen (ganzen) Zahlen dazu nimmt, erhält man die Menge der ganzen Zahlen.

Menge der ganzen Zahlen

ℤ = {… –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …}

Eine ganze Zahl ist durch ihren Betrag (der immer positiv ist) und ihr Vorzei-chen festgelegt. Für den Betrag einer Zahl a schreibt man | a | :

| +3 | = | –3 | = 3

Die ganzen Zahlen kann man auf der Zahlengeraden anschaulich darstellen, entweder als Punkte oder als Pfeile: Ein nach rechts gerichteter Pfeil bedeutet eine positive Zahl, ein nach links gerichteter eine negative. (Die natürlichen Zahlen liegen auf dem positiven Zahlenstrahl, das heißt auf dem Teil der Zahlengeraden rechts von 0.)

Zwei Zahlen werden addiert, indem man die entsprechenden Pfeile aneinan-derhängt.

3 LINK

Ist 0 eine natürliche Zahl?Da sind sich nicht einmal die Mathematiker/innen einig.

8 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

LeseprobeDie natürlichen Zahlen haben einen Anfang, aber kein Ende. Man kann sie

LeseprobeDie natürlichen Zahlen haben einen Anfang, aber kein Ende. Man kann sie

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen

Leseprobe

Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen

= {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen

Leseprobe

= {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen

= {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen

Leseprobe

= {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Leseprobe

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Leseprobe

D

Leseprobe

D

Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche

Leseprobe

Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche

b) Leseprobe

b) subtrahiert. Leseprobe

subtrahiert. c)Leseprobe

c) multipliziert.Leseprobe

multipliziert.Begründe jeweils deine Entscheidung!Le

seprobe

Begründe jeweils deine Entscheidung!

L 1.5 Addition auf der Zahlengeraden B

Addiere –3 und +5 grafisch.Lösung:Zeichne einen Pfeil von 0 bis –3. Von seiner Spitze aus zeichne einen Pfeil, der 5 Ein-heiten nach rechts geht. Er endet bei +2, das ist das Ergebnis der Addition:(–3) + (+5) = +2

Meist lässt man die Klammern weg und schreibt:–3 + 5 = 2

Abb. 1.1.3 Grafische Darstellung der Addition (–3) + (+5) = +2

A 1.12 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen D

Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe jeweils deine Entscheidung!

Negative Zahlen auf dem TI-8xZum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste (-) verwen-den („Vorzeichen-Minus“). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!

Abb. 1.1.4

A 1.13 ★ Klammer oder nicht? D

Erkläre, warum die Rechnungen –26 und (–2)6 (wie in Abb. 1.1.4) verschiedene Ergebnisse haben.

Rationale ZahlenWenn man zwei ganze Zahlen dividiert, erhält man als Ergebnis oft einen Bruch. Die ganzen Zahlen gemeinsam mit den Brüchen bilden die Menge der rationalen Zahlen.

Menge der rationalen Zahlen

Die Menge ℚ enthält alle Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, wo-bei im Nenner nicht 0 stehen darf.

Auf der Zahlengeraden liegen die Brüche zwischen den ganzen Zahlen.

Jeder Bruch kann in eine endliche oder periodische Dezimalzahl umgewan-delt werden.

LINKRechenregeln für negative ZahlenWiederholung und zugehörige Lehrbeispiele L 1.6 – L 1.8

Rational Lateinisch ratio: (hier) Verhält-nis; eine rationale Zahl kann als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.

Angewandte Mathematik I 9

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlen

Leseprobe

Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlenmultipliziert.

Leseprobe

multipliziert. d)

Leseprobe

d) dividiert.

Leseprobe

dividiert.

Zum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste

Leseprobe

Zum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste ). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu

Leseprobe

). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!

Leseprobe

setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

L 1.9 Brüche in Dezimalzahlen umwandeln B

Forme die Brüche in Dezimalzahlen um:: ,8

3 3 8 0 375= = • Die Division geht ohne Rest auf, die De-zimalzahl bricht nach drei Stellen ab.

: , ,127 7 12 0 583333 0 583…= = = o • Hier bleibt immer wieder 4 als Rest, das

Ergebnis ist eine periodische Dezimal-zahl.

A 1.14 ★ Rechnen mit rationalen Zahlen D

Prüfe, ob man eine rationale Zahl erhält, wenn man zwei beliebige rationale Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe deine Entscheidung!

Auf dem TI-8x gibst du einen Bruch einfach als Division ein. Mit dem Befehl 1:} Frac im Menü MATH kannst du das Ergebnis als Bruch anzeigen lassen (englisch fraction = Bruch). Mit dem Menüpunkt 2:} Dec kommst du zur Dezimalschreibweise zurück.

Abb. 1.1.5 Abb. 1.1.6

Achtung: Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner

musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beispiel ·2 47 5+ berech-

nen willst, lautet die Eingabe: (7+5)/(2*4).

Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.

A 1.15 ★ Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra B

Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraa) (7+5)/2*4b) 7+5/(2*4)ein. Welches Ergebnis erhältst du? Schreibe diese Taschenrechner-Eingabe als „normalen Bruch“ auf und kontrolliere durch händisches Nachrechnen.

Reelle ZahlenObwohl auf jedem Abschnitt der Zahlengeraden unendlich viele rationale Zahlen liegen, gibt es auch Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können (z. B.  , ,2 3  π …). Man bezeichnet sie als irrationale Zahlen.

Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen.

Menge der reellen Zahlen

Die Menge ℝ enthält alle Punkte der Zahlengeraden, das heißt alle rationalen und irrationalen Zahlen.

LINKRechenregeln für Brüche, gemischte Zahlen, periodi-sche DezimalzahlenWiederholung und Lehrbei-spiele L 1.10 – L 1.11

10 Angewandte Mathematik I

Leseprobe = Bruch). Mit dem Menüpunkt

Leseprobe = Bruch). Mit dem Menüpunkt

Leseprobe

Leseprobe

Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner

Leseprobe

Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner

musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beisp

Leseprobe

musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beispnen willst, lautet die Eingabe:

Leseprobe

nen willst, lautet die Eingabe: (7+5)/(2*4).

Leseprobe

(7+5)/(2*4).

Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.

Leseprobe

Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.

Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra Leseprobe

Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraLe

seprobe

Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraLeseprobe

Leseprobe

Die Menge der positiven reellen Zahlen bezeichnet man mit ℝ+, die Menge der negativen reellen Zahlen mit ℝ–. (Analog gilt das auch für die anderen Zahlenmengen.)

Abb. 1.1.7 Dem Wert 2 entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden.

Einen Abschnitt der Zahlengeraden bezeichnet man als Intervall. Man schreibt die Intervallgrenzen in eckige Klammern, die nach innen zeigen, wenn die Intervallgrenzen dazugehören (abgeschlossenes Intervall), und nach außen, wenn die Grenzen nicht dazugehören (offenes Intervall).

So bedeutet zum Beispiel:

■ [0,8; 3,2] alle reellen Zahlen von 0,8 bis 3,2 einschließlich der Grenzen

■ ]–2,8; –0,3[ alle reellen Zahlen zwischen –2,8 und –0,3, aber ohne die Grenzen

■ [2; ∞[ alle reellen Zahlen von 2 bis unendlich (Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall dort immer offen.)

Abb. 1.1.8 Die Intervalle [0,8; 3,2], ]–2,8; –0,3[ und [2; ∞[

Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt, gehört der Endpunkt nicht dazu.

Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).

Es gibt auch halboffene Intervalle, z. B. [–3; 1,5[ oder ]–3; 1,5].

Zusammenhang zwischen den ZahlenbereichenDie Zahlenmengen sind verschachtelt: Jede der angeführten Zahlenmengen ist eine Teilmenge der darauffolgenden:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Abb. 1.1.9 Zahlenmengen

Jede natürliche Zahl ist also gleichzeitig eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist auch rational und jede rationale Zahl ist reell.

LINK

Wie groß ist unendlich?Unendlich (Symbol: ∞ ) ist keine Zahl, und selbst die größten denkbaren Zahlen sind nichts im Vergleich zur Unendlichkeit.

LINKZahlenmengenZusammenfassende Lernkarte

Angewandte Mathematik I 11

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

einschließlich der Grenzen

Leseprobe

einschließlich der Grenzen

ohne die Grenzen

Leseprobeohne die Grenzen

(Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall

Leseprobe(Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

]–2,8; –0,3[

Leseprobe

]–2,8; –0,3[ und

Leseprobe

und [2; ∞[

Leseprobe

[2; ∞[

Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter

Leseprobe

Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt,

Leseprobe

Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt, gehört der Endpunkt nicht dazu.

Leseprobe

gehört der Endpunkt nicht dazu.

Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, Leseprobe

Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).Le

seprobe

also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).Leseprobe

Es gibt auch halboffene Intervalle, z.Leseprobe

Es gibt auch halboffene Intervalle, z.Leseprobe

A 1.16 ★★ Zahlenmengen C D

Setze in die Felder der Tabelle die zutreffenden Zeichen ∈ oder ∉ ein. Begründe deine Entscheidung.

–7

19

2,25

–0,04

37

520-

,3 3o

,0 9o

36

10

ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grund-rechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.

Ganze ZahlenA 1.17 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B

Berechne die angegebenen Terme:a) (+10) + (–6) – (+7) =b) (+15) – (–9) + (–12) = c) (–21) – (+8) + (+11) =d) (–9) + (+16) – (–10) = e) (+48) – (+23) – (–52) – (+5) =f) (–75) + (+15) – (–36) – (+6) =

g) (+91) + (–70) – (+14) + (–30) = h) (–64) – (+12) – (–80) – (–18) =i) (–6) + (–7) – [(+11) – (–5)] =j) (+18) – [(+5) + (–29)] – (+9) =k) [(–27) – (–12)] + [(+5) – (+14)] =l) (+108) – [(–42) + (+16) – (–14)] =

A 1.18 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B

Berechne die angegebenen Terme: a) (+6) · (–4) + (+4) · (+10) – (+2) · (–5) =b) (–6) · (–4) – (+4) · (–10) + (–2) · (–5) =c) [(+6) · (–4) + (+4)] · (+10) – (+2) · (–5) =

d) (+6) · [(+4) + (–4) · (–10)] – (–2) · (–5) =e) (–6) · (+4) + (–4) · [(+10) + (+2) · (–5)] =f) [(–6) · (–4) – (+4)] · [(–10) + (+2)] · (+5) =

A 1.19 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B

Berechne die angegebenen Terme: a) (–36) : (+9) – (+21) : (–7) = b) (+9) : (–12) + (–15) : (–6) =c) [(–96) : (–8) + (+4)] · (+6) =

d) (–96) : [(–8) + (+4) · (+6)] =e) (–96) : [(–8) + (+4)] · (+6) =f) [(+120) + (–43)] : [(–40) – (–18)] =

LINKRechnen mit ganzen ZahlenAufgaben A 1.20 – A 1.25

12 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grund

Leseprobe

In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grundrechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.

Leseprobe

rechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.

Rechnen mit ganzen Zahlen Leseprobe

Rechnen mit ganzen Zahlen Leseprobe

BLeseprobe

B

Berechne die angegebenen Terme:Leseprobe

Berechne die angegebenen Terme:

Rationale ZahlenA 1.26 ★ Brüche kürzen B

Ermittle die gekürzte Form der folgenden Brüche:

a) 7545 = b) 132

88 = c) 16896 = d) 52

130 = e) 14403420 =

A 1.27 ★ Brüche erweitern B

Bestimme durch Erweitern den Zähler so, dass die Brüche den gegebenen Nenner haben:

a) 43

48= b) 57

40= c) 125

240= d) 83

1000= e) 3516

770=

A 1.28 ★ Brüche addieren und subtrahieren B

a) 21

31+ =

b) 65

83+ =

c) 43

31- =

d) 52

154- =

e) 1 52 2 3

2+ =

f) 3 32 4 6

5+ =

g) 8 95 3 6

1- =

h) 5 121 3 4

3- =

i) 43

21

65+ - =

j) 2 73 1 2

1145+ - =

k) 5 21 3 9

2 1 61- + =

l) 1 254

21 2 10

3- + =

A 1.29 ★ Brüche multiplizieren und dividieren B

a) ·1 32 9 =

b) ·54

83 =

c) ·65

109 =

d) ·94 1 8

7 =

e) ·2 52 3 3

1 =

f) ·2 121 2 10

7 =

g) :41 3 =

h) :54 8 =

i) :52

103 =

j) :127

95 =

k) :3 43

85 =

l) :4 51 4 3

2 =

A 1.30 ★★ Mit Brüchen rechnen B

a) ·2 43 1 5

2 1 32 2 6

1- + =

b) ·2 43 1 5

2 1 32 2 6

1- + =b l

c) ·3 31 1 5

1 1 83

21- + =b l

d) ·3 31 1 5

1 1 83

21- + =b bl l

e) ·2 31 3 2

1 1 71

21+ - =b bl l

f) ·2 31 3 2

1 1 71

21+ - =b l

Rechnen mit PotenzenA 1.38 ★ Rechnen mit Zahlen und Potenzen B

Berechne die folgenden Potenzen.a) ·4 45 4 = b) ·5 52 3 = c) ·6

6 62

3 =

Keine Angst vor Brüchen!Wenn zwei Tafeln Schokolade gleichmäßig auf drei Personen aufgeteilt werden sollen, wird z. B. jede Tafel gedrittelt und jede Person erhält zwei Drittel Schokolade, als Bruch geschrieben:

32

LINKBruchrechnen Aufgaben A 1.31 – A 1.37

Angewandte Mathematik I 13

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe=

Leseprobe=

9

Leseprobe

9 1

Leseprobe

1 6

Leseprobe

61

Leseprobe

1- +

Leseprobe

- + =

Leseprobe

=

Leseprobe

25

Leseprobe

25 2

Leseprobe

21

Leseprobe

1 2

Leseprobe

2 10

Leseprobe

103

Leseprobe

3- +

Leseprobe

- +1- +1

Leseprobe

1- +1 =

Leseprobe

=

Leseprobe

- +

Leseprobe

- +

Leseprobe

Brüche multiplizieren und dividieren

Leseprobe

Brüche multiplizieren und dividieren

Leseprobe

B

Leseprobe

B

g)

Leseprobe

g) :

Leseprobe

:4

Leseprobe

41

Leseprobe

1 3 =

Leseprobe

3 =

Leseprobe

h)

Leseprobe

h) :

Leseprobe

:5

Leseprobe

54

Leseprobe

4 8 =

Leseprobe

8 =

Leseprobe

i)Leseprobe

i) 5Leseprobe

52

Leseprobe

2

Leseprobe

Leseprobe

A 1.39 ★★ Struktur der Potenz D

Erkläre, ob die Eingabe der Potenz ins CAS von GeoGebra richtig ist oder nicht. Schreibe gegebenenfalls eine korrigierte Version auf.

a) 4

2 3·7

3 5-_ i

Abb. 1.1.10

b) ·5

3 82

2 10

Abb. 1.1.11

c) 2 75·2

7-

Abb. 1.1.12

d) ··

7 52 33 2

4

Abb. 1.1.13

A 1.40 ★★ Zahlenpotenzen im Kopf B

Berechne die folgenden Potenzen ohne technisches Hilfsmittel.

a) ·2 32 2 = b) ·5 32- = c) 93 4-

=_ i

d) ·2

2 33

3 2- - =

A 1.41 ★★ Struktur von Zahlenpotenzen B

Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.

a) , :0 25 4110

7=b l b) 3

66

2

- = c) 32 2 5

=b l d) ,, · ,2 8

1 5 0 55

3 2=

A 1.42 ★★ Klammern und Potenzen A B

Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.

a) ·6

2 32

4 5- - = b) ·

3 54 82 2

6 3

-- = c) 5

6 25

3 3- =

Aussagen und ZahlenmengenA 1.43 ★ Grundrechnungsarten D

Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.a) (a ∈ ℕg) ∧ (b ∈ ℕg) ⇒ a + b ∈ ℕg b) (a ∈ ℕu) ∧ (b ∈ ℕu) ⇒ a + b ∈ ℕu c) (a ∈ ℕg) ∨ (b ∈ ℕg) ⇒ a · b ∈ ℕg

d) (a ∈ ℕu) ∨ (b ∈ ℕu) ⇒ a · b ∈ ℕu e) (a > 0) ∨ (b > 0) ⇒ a · b > 0f) (a < 0) ∧ (b < 0) ⇒ a + b < 0

A 1.44 ★★ Teilbarkeit D

„a ist ein Teiler von b“ wird abgekürzt: a | b. Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und stelle fest, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, gib ein Gegenbeispiel an.a) 2 | x ⇒ 4 | xb) 4 | x ⇒ 2 | x

c) 2 | x ⇒ 4 | x2d) (2 | x) ∧ (3 | x) ⇒ 6 | x

e) (2 | x) ∧ (4 | x) ⇒ 8 | x

A 1.45 ★ Mengen-Angabe A B

Gib die folgenden Mengen im aufzählenden Verfahren an:a) E = {x ∈ ℕ | 5 ⩽ x ⩽ 12} b) F = {x ∈ ℕ | 2 < x < 9} c) G = {x ∈ ℤ | –4 ⩽ x < 4}

A 1.46 ★ Verknüpfungen A B

Bilde mit den Mengen aus dem vorigen Beispiel (A 1.45):a) E ⋂ F b) F ⋂ G

c) E ⋂ G d) E ⋃ F

e) F ⋃ Gf) E \ F

g) F \ Eh) G \ E

LINK

u

. Erkläre, was die folgenden Aussagen

| x

Wahr oder falsch? Manche Aussagen sind ein Widerspruch in sich.

14 Angewandte Mathematik I

Leseprobed)

Leseprobed) 2

Leseprobe2

2 3

Leseprobe2 3·2 3·

Leseprobe·2 3·

3

Leseprobe3

3 2

Leseprobe3 22 33 22 3

Leseprobe2 33 22 3·2 3·3 2·2 3·

Leseprobe·2 3·3 2·2 3·-

Leseprobe- -

Leseprobe- =

Leseprobe=

Leseprobe

Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.

Leseprobe

Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.5

Leseprobe

5=

Leseprobe

=b l

Leseprobe

b l3b l3

Leseprobe

3b l3

Leseprobe

d)

Leseprobe

d) , ·

Leseprobe

, ·2 8

Leseprobe

2 81 5 0 5

Leseprobe

1 5 0 5, ·1 5 0 5, ·

Leseprobe

, ·1 5 0 5, · ,1 5 0 5,

Leseprobe

,1 5 0 5,3 2

Leseprobe

3 21 5 0 53 21 5 0 5

Leseprobe

1 5 0 53 21 5 0 5, ·1 5 0 5, ·3 2, ·1 5 0 5, ·

Leseprobe

, ·1 5 0 5, ·3 2, ·1 5 0 5, ·

Leseprobe

Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.

Leseprobe

Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.

3 5

Leseprobe

3 54 8

Leseprobe

4 82 2

Leseprobe

2 23 52 23 5

Leseprobe

3 52 23 56 3

Leseprobe

6 34 86 34 8

Leseprobe

4 86 34 83 5-3 5

Leseprobe

3 5-3 53 52 23 5-3 52 23 5

Leseprobe

3 52 23 5-3 52 23 5 =

Leseprobe

=

Leseprobe

c)

Leseprobe

c) 6 2

Leseprobe

6 2

Aussagen und Zahlenmengen

Leseprobe

Aussagen und Zahlenmengen Grundrechnungsarten Le

seprobe

Grundrechnungsarten Leseprobe

DLeseprobe

D

Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Leseprobe

Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.Le

seprobe

Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.a + b Leseprobe

a + b ∈Leseprobe

∈ ℕLeseprobe

e) (2 | x) ∧ (4 | x) ⇒ 8 | x

LINKWahr oder falsch? Manche Aussagen sind ein Widerspruch in sich.

A 1.47 ★ Intervalle A B C

Gib die folgenden Mengen in Intervallschreibweise an und zeichne sie auf der Zahlengeraden ein:a) J = {x ∈ ℝ | –2 ⩽ x ⩽ 5} b) K = {x ∈ ℝ | 1,5 < x < 6,3} c) L = {x ∈ ℝ | x ⩾ 3}

A 1.48 ★ Verknüpfungen B

Bilde mit den Mengen aus dem vorigen Beispiel (Aufgabe A 1.47):a) J ⋂ K b) J ⋂ L c) J ⋃ K d) K ⋃ L e) K \ J f) J \ L

A 1.49 ★ Zahlenmengen zuordnen C

Ergänze in allen leeren Kästchen die Zeichen ∈ bzw. ∉.

0,5

510

9

4

7

–32

KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und Zahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.

A 1.53 ★★ Rationale Zahlen B D

Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der Zahlengeraden dar.

a) 6 und 8 b) und31

21 c) –12,5 und –12,49

A 1.54 ★ Irrationale Zahlen B

Berechne mit dem Taschenrechner die Werte der folgenden irrationalen Zahlen und gib jeweils zwei rationale Zahlen an, zwischen denen sie liegen:a) 5 b) 23 c) 2π

A 1.55 ★★ Behauptung D

Beurteile die Aussage: „Das offene Intervall ]0; 10[ enthält alle Zahlen von 0 bis 9.“

A 1.56 ★★ Meteorologie, traditionell B D

Eine alte „Volksweisheit“ lautet: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich’s Wetter, oder es bleibt, wie’s ist.“Stelle diese Aussage mit logischen Symbolen dar (H: „Der Hahn kräht.“, W: „Das Wetter ändert sich.“) und erkläre, warum sie immer wahr ist.

LINK

J \ L

Kannst du richtig Nein sagen?Übe dich in der Kunst der Verneinung.

LINKAussagen und ZahlenmengenAufgaben A 1.50–A 1.52

Angewandte Mathematik I 15

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

In dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und

Leseprobe

In dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und ahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole

Leseprobe

ahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen

Leseprobe

kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.

Leseprobe

anwenden und überprüfen.

Rationale Zahlen Leseprobe

Rationale Zahlen Leseprobe

BLeseprobe

BLeseprobe

DLeseprobe

D

Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für Leseprobe

Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für Leseprobe

die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Leseprobe

die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele Le

seprobe

Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der

Leseprobe

rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der Leseprobe

A 1.57 ★★ Zahlenmengen C

Multiple Choice (1 aus 5): Die Zahl m 535=- ist gegeben. Welche der folgenden

Argumentationen stimmt? Kreuze die richtige Aussage an.

m ist keine ganze Zahl, weil es ein Bruch ist.

m ist eine rationale Zahl, weil es als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann.

m ist eine natürliche Zahl, weil man durch 5 kürzen kann.

m ist keine reelle Zahl, weil es rational ist.

m ist eine rationale Zahl, weil jede reelle Zahl rational ist.

A 1.58 ★★★ Wahrheitsgehalt von Aussagen prüfen D

Prüfe den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen. Begründe deine Überlegungen.a) Alle natürlichen Zahlen sind rational.b) Es gibt reelle Zahlen, die auch ganze Zahlen sind.c) Nicht alle ganzen Zahlen sind reell.d) Die Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.e) Das Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.

A 1.59 ★★★ Mathematische Symbole D Begründe, welche der Pfeile ⇒, ⇔, ⇐ in die Lücke passen.a) a ist durch 10 teilbar. a ist durch 5 und 2 teilbar.

b) b ist durch 20 teilbar. b ist durch 2 und 10 teilbar.

c) c ist eine Primzahl > 3. c Nu! .

d) d ist ein Deltoid. d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen Diagonalen.

e) 0 < z < n nz ∉ ℕ

A 1.60 ★★ Zahlenterme berechnen B

Berechne die folgenden Zahlenterme:

a) ·10 2 9 17 5 6 3 4· · 2- - - - =_ _i i

b) ( , ) ·737 2 4 3

5- - =

c) ·2 6 9 3 41·- - - =` _ ij

d) · · , :2 7 4 0 5 321- - - =b l

e) , · ·0 5 2 23

31 2 5- - - - - =_ b _i l i

f) · · , ,3 2 31 3 2 0 125 0 5- - + - =_b il

g) · · · :143 42 9

591 3 2 3

1- - - - + =_ bi l

h) · : : : ·54

29

83

27

65

32

103

74+ - =b bl l

KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben

Ich kann Aussagen in mathematische Symbole übertragen und Aussagen, in denen Symbole vorkommen, interpretieren.

A 1.56, A 1.59

Ich kann die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ beschreiben und entscheiden, ob eine Zahl zu einer dieser Mengen gehört.

A 1.53, A 1.54, A 1.55, A 1.57, A 1.58

Ich kann die Zahlenmengen auf der Zahlengeraden veranschaulichen. A 1.53

Ich kann mit positiven und negativen Zahlen sowie mit Brüchen rechnen. A 1.60

LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP

16 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobeie Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.

Leseprobeie Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.

as Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.

Leseprobeas Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.

in die Lücke passen.

Leseprobe

in die Lücke passen. a ist durch 5 und 2 teilbar.

Leseprobe

a ist durch 5 und 2 teilbar.

b ist durch 2 und 10 teilbar.

Leseprobe

b ist durch 2 und 10 teilbar.

d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen

Leseprobe

d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen

Zahlenterme berechnen

Leseprobe

Zahlenterme berechnen

Leseprobe

B

Leseprobe

B

Berechne die folgenden Zahlenterme:Leseprobe

Berechne die folgenden Zahlenterme:

3 4Leseprobe

3 4·3 4·Leseprobe

·3 4·2Leseprobe

23 423 4Leseprobe

3 423 4 =Leseprobe

=iLeseprobe

i3 4i3 4Leseprobe

3 4i3 4

LERNEN

2 Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und

GleitkommadarstellungWir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen ineinander umgerechnet.

A 1.61 ★★ „Das macht nach Adam Riese …“ D

Eine Aufgabe aus einem alten Rechenbuch (Ries, Adam: Rechnung auf der Linien und Federn. 1522):„Ein Pfund einer Ware kostet 3 Groschen 9 Pfennig. Wie viel kosten 3 Zentner 2 Stein 7 Pfund? Antwort: 68 Gulden 9 Pfennig.“(1 Zentner = 5 Stein; 1 Stein = 22 Pfund; 1 Gulden = 21 Groschen; 1 Groschen = 12 Pfennig)a) Überprüfe das Ergebnis.b) Erkläre die Vorteile des modernen Maß- und Währungssystems.

MaßeinheitenDas metrische System wurde 1793 in Frankreich und in der Folge in fast allen Ländern der Erde eingeführt. Es besteht aus einheitlichen Maßen, die leicht ineinander umgerechnet werden können.

Wie ist 1 Meter definiert?Das Urmeter legte bis 1960 die Grundeinheit des metrischen Systems fest. Heutzutage ist die Länge 1 Meter über die Lichtgeschwindigkeit definiert.

LINK

heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen

Ist ein altes Kilo heute leichter? Das Urkilogramm schrumpft auf rätselhafte Weise.

1

Angewandte Mathematik I 17

Leseprobe

Leseprobe

Maßzahlen und

Leseprobe

Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und

Leseprobe

Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

GleitkommadarstellungWir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr

Leseprobe

Wir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Le

seprobe

große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Leseprobe

Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das Leseprobe

Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen Le

seprobe

heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen ineinander umgerechnet.Le

seprobe

ineinander umgerechnet.Leseprobe

Leseprobe

Längen-, Flächen- und RaummaßeAlle Maße für Längen, Flächen und Volumina leiten sich vom Meter ab.

Es wurde ursprünglich definiert als 100000001 der Länge eines

Erdquadranten (ein Viertel eines Meridians, siehe die rote Linie im Bild).

Längenmaße umwandeln

1 km = 1000 m1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mmHilfestellung: : 1000 : 10 : 10 : 10

km m dm cm mm

· 1000 · 10 · 10 ·10

Weil ein m2, also ein Quadrat mit einem Meter Seitenlänge, 102 = 100 dm2 enthält, ist die Umwandlungszahl für Flächenmaße 100.

Flächenmaße umwandeln

1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 ha: Hektar1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 a: Ar

Hilfestellung: : 100 : 100 : 100

m2 dm2 cm2 mm2

· 100 · 100 · 100

Ein Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 103 = 1000 dm3. Die Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.

Raummaße umwandeln

1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3

Hilfestellung: : 1000 : 1000 : 1000

m3 dm3 cm3 mm3

· 1000 · 1000 · 1000

Flüssigkeiten und Gase werden in Liter gemessen. 1 Liter ist nur ein anderer Name für 1 dm3.

Maße für Flüssigkeiten und Gase

1 hl = 100 L1 L = 10 dl = 100 cl = 1000 ml1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3

Einheiten für die MasseDie Masse (umgangssprachlich: das Gewicht) von Körpern wird in Kilogramm gemessen. 1 kg ist die Masse von 1 L Wasser bei einer Temperatur von 4 °C (größte Dichte).

Ein ErdquadrantDer Abstand des Nordpols vom Äquator sollte ursprüng-lich genau 10 000 km betragen.

1 L = 1 dm3

UnverwechselbarFür den Liter kann auch das Einheitenzeichen l verwendet werden. Um in vielen Schrift-arten eine Verwechslung mit „groß I“ zu vermeiden, ist L für Liter gebräuchlich, wenn keine Vorsilbe davor steht.

18 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

= 100 dm

Leseprobe

= 100 dm2

Leseprobe

2

ha: Hek

Leseprobe

ha: Hektar

Leseprobe

tara: Ar

Leseprobe

a: Ar

: 100

Leseprobe

: 100

cm

Leseprobe

cm2

Leseprobe

2 mm

Leseprobe

mm2

Leseprobe

2

100

Leseprobe

100

Leseprobe

· 100

Leseprobe

· 100

Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 10

Leseprobe

Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 10Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.

Leseprobe

Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.

Raummaße umwandeln

Leseprobe

Raummaße umwandeln

000 cmLeseprobe

000 cm3Leseprobe

3 = 1Leseprobe

= 1 000Leseprobe

000 000Leseprobe

000 000 mmLeseprobe

000 mm: 1000Leseprobe

: 1000 Leseprobe

: 1000Leseprobe

: 1000

dmLeseprobe

dmLeseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Masseneinheiten umwandeln

1 t = 1000 kg t: Tonne1 kg = 100 dag = 1000 g

L 1.12 Mit unterschiedlichen Einheiten rechnen A B

Ein Balken aus Fichtenholz ist 2,5 m lang, 12 cm breit und 15 mm dick. Fichtenholz hat eine Dichte von 0,47 kg/dm3. Berechne die Masse des Balkens in Gramm.Lösung: Die Formelzeichen sind:Masse = Volumen · Dichte … Dichte m … Massem = V · V … Volumen

Wir müssen alle Längenangaben in dieselbe Einheit umwandeln, am besten in dm:2,5 m = 25 dm12 cm = 1,2 dm15 mm = 0,15 dm

Das Volumen beträgt also 25 · 1,2 · 0,15 = 4,5 dm3, und der Balken wiegt 2,115 kg = 2115 g.

Zeitmaße und GeschwindigkeitsmaßeHier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.

Zeitmaße umwandeln

1 d = 24 h d: Tag (lat. dies)1 h = 60 min = 3600 s h: Stunde (lat. hora)

L 1.13 Zeitangaben umrechnen B

a) Forme 2 h 17 min 30 s in h um. Lösung:

17 min = h6017 ; 30 s = h3600

30

2 h 17 min 30 s = , h2 6017

360030 2 2917.+ +

b) Forme 4,27 h in die Schreibweise h, min, s um. Lösung: 0,27 h = 0,27 · 60 min = 16,2 min; 0,2 min = 0,2 · 60 s = 12 s 4,27 h = 4 h 16 min 12 s

Geschwindigkeiten gibt man meist in m/s (Meter pro Sekunde) oder km/h (Kilometer pro Stunde) an. Wenn sich ein Körper in einer Sekunde 1 m fortbewegt, legt er in einer Stunde 3600 m = 3,6 km zurück. Es gilt also:

Umwandlung Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde

1 m/s = 3,6 km/h

ρgriechischer Buchstabe rho

LINK

,27 h = 0,27 · 60 min = 16,2 min; 0,2 min = 0,2 · 60 s = 12 s

Unterwegs mit Lichtgeschwindigkeit?Das sichtbare Licht breitet sich mit der Lichtgeschwindig-keit c 3 10· 8. m/s aus.

Angewandte Mathematik I 19

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe, und der Balken wiegt

Leseprobe, und der Balken wiegt

Geschwindigkeitsmaße

Leseprobe

GeschwindigkeitsmaßeHier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.

Leseprobe

Hier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.

ag (lat.

Leseprobe

ag (lat. ag (lat.

Leseprobe

ag (lat. dies

Leseprobe

dies)

Leseprobe

))

Leseprobe

)h: St

Leseprobe

h: Stunde (lat.

Leseprobe

unde (lat. hora

Leseprobe

hora)

Leseprobe

)

Zeitangaben umrechnen Leseprobe

Zeitangaben umrechnen Leseprobe

BLeseprobe

B

orme 2 h 17 min 30 s in h um.Leseprobe

orme 2 h 17 min 30 s in h um.

Auf dieses Ergebnis hätte man auch so kommen können:

/ , /km h hkm

sm m s1 1

136001000

3 61= = =

A 1.62 ★ Einheiten umwandeln B

Forme in die angegebenen Einheiten um:a) 50 m = mm

0,5 km = m4,3 hm = dm8,450 km = cm7300 cm = km

b) 0,6 m2 = dm2

13,7 m2 = cm2

0,36 km2 = m2

18 600 mm2 = cm2

6700 cm2 = m2

c) 17 m3 = dm3

0,6 m3 = cm3

75 000 cm3 = m3

d) 70 ml = L0,53 L = ml = dm3

2 L = ml = dm3 = cm3

e) 720 g = dag50 dag = g72 kg = g95 kg = t

f) 2 h = min = s17 min = s430 s = min s

g) 30 m/s = km/h144 km/h = m/s

Zahlen in Fest- und GleitkommadarstellungFür große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.

Zahlen im DezimalsystemBekanntlich benutzen wir ein Stellenwertsystem, um Zahlen zu schreiben. Das heißt, der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht. Für jede Stelle, die sie nach links rückt, wird der Wert verzehnfacht. Man spricht daher auch vom Dezimalsystem (Zehnersystem).

Beispiel: · · ·2345 2 10 3 10 4 10 53 2= + + +

Dadurch können mit nur 10 Ziffern beliebig große Zahlen geschrieben werden. (Bei großen Zahlen teilt man die Ziffern in Dreiergruppen.)

Bei Stellen, die nach dem Komma stehen, ist der Wert jeder Stelle ein Zehntel der vorigen.

Beispiel: , · · · ·5 6789 5 6 101 7

101 8

101 9

101

2 3 4= + + + +

Das kann man auch mit negativen Hochzahlen schreiben:

,5 6789 5 6 10 7 10 8 10 9 10· · · ·1 2 3 4– – – –= + + + +

(Über negative Hochzahlen erfährst du mehr in Kapitel 2.)

LINKDie wichtigsten MaßeinheitenZusammenfassende Lernkarte

2

Achtung: Im englischen Sprachraum verwendet man einen Punkt statt des Kommas.

20 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobecm

Leseprobecm

s

Leseprobe

s

s

Leseprobe

s

Leseprobe

/s

Leseprobe

/s

Zahlen in Fest- und

Leseprobe

Zahlen in Fest- und GleitkommadarstellungLe

seprobe

GleitkommadarstellungFür große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Le

seprobe

Für große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Leseprobe

Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen Leseprobe

Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen Leseprobe

Darstellung von sehr großen ZahlenIn den Naturwissenschaften treten oft sehr große Zahlen auf. Damit man leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl (eine Stelle 0 vor dem Komma) und einer Zehnerpotenz.

Gleitkommadarstellung (Fließkommadarstellung) einer Zahl

z = m · 10k m … Mantisse, 1 ⩽ | m | < 10 k … Exponent, k ∈ ℤ

Die Multiplikation einer Zahl mit 10k, k > 0, bedeutet, dass das Komma um k Stellen nach rechts verschoben wird.

Die „normale“ Schreibweise (das Komma steht immer nach der Einerstelle) bezeichnet man als Festkommadarstellung.

L 1.14 Gleitkommadarstellung B

Stelle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung dar: a) 2345 b) 17 250 c) 5 120 000Lösung:a) 2345 = 2,345 · 1000 = 2,345 · 103

b) 17 250 = 1,725 · 10 000 = 1,725 · 104

c) 5 120 000 = 5,12 · 1 000 000 = 5,12 · 106

L 1.15 Festkommadarstellung B

Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: a) 3,65 · 102 b) 7,03 · 105 c) 6,249 · 107

Lösung:a) 3,65 · 102 = 3,65 · 100 = 365b) 7,03 · 105 = 7,03 · 100 000 = 703 000c) 6,249 · 107 = 6,249 · 10 000 000 = 62 490 000

Die Schreibweise 1 · 100 bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Wir erhalten also: 100 = 1

Darstellung von sehr kleinen ZahlenAuch Zahlen, die kleiner als 1 sind, können in Gleitkommadarstellung geschrieben werden. Dafür verwendet man negative Hochzahlen. Die Multi-plikation einer Zahl mit 10–k, –k < 0, bedeutet, dass das Komma um k Stellen nach links verschoben wird.

L 1.16 Kleine Zahlen in Gleitkommadarstellung B

Stelle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung dar: a) 0,7 b) 0,0245 c) 0,00013Lösung:a) 0,7 = 7 · 0,1 = 7 · 10–1

b) 0,0245 = 2,45 · 0,01 = 2,45 · 10–2

c) 0,00013 = 1,3 · 0,0001 = 1,3 · 10–4

Darstellung von sehr großen ZahlenIn den Naturwissenschaften treten oft sehr große Zahlen auf. Damit man leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl (eine Stelle

Gleitkommadarstellung (Fließkommadarstellung) einer Zahl

k

LINK

leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl

Wie schwer ist die Sonne?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr großen Zahlen gefunden.

LINK

bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird.

Multi-

Wie schwer ist die Sonne?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr großen Zahlen gefunden.

Was schätzt du?1 Reiskorn auf das 1. Feld des Schachbretts, auf jedes weitere doppelt so viele wie auf das vorherige – wie groß wird dieser Reisberg?

Angewandte Mathematik I 21

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar:

Leseprobe

Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: ,03 · 10

Leseprobe

,03 · 105

Leseprobe

5 c)

Leseprobe

c)

Leseprobe

= 3,65 · 100 = 365

Leseprobe

= 3,65 · 100 = 3650 Le

seprobe

000 = 703Leseprobe

00 = 703 0Leseprobe

000Leseprobe

00 = 6,249 · 10 Le

seprobe

= 6,249 · 10 0 Leseprobe

000 Leseprobe

00 0Leseprobe

000 = 62Leseprobe

00 = 62 49Leseprobe

490Leseprobe

0 0Leseprobe

000Leseprobe

00

bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Leseprobe

bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Leseprobe

Ein negativer Exponent gibt also an, die wievielte Stelle nach dem Komma als erste von 0 verschieden ist.

L 1.17 Von der Gleitkommadarstellung zur Festkommadarstellung B

Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: a) 3,8 · 10–2 b) 1,24 · 10–3 c) 9,6 · 10–5

Lösung:a) 3,8 · 10–2 = 3,8 · 0,01 = 0,038 b) 1,24 · 10–3 = 1,24 · 0,001 = 0,00124c) 9,6 · 10–5 = 9,6 · 0,00001 = 0,000096

A 1.63 ★ Zahlen in unterschiedlichen Darstellungsformen B

Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle:

Festkommazahl Gleitkommazahl

5235,6

798 400

1,45 1016

1,022 109

0,0000034

1,1 10−12

9,8 · 1015

A 1.64 ★ Umwandlung in Gleitkommadarstellung B

Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:a) 54 000 000 000 = b) 0,000 003 52 = c) 0,500 400 = d) 20 400 000 =

e) 0,000 000 007 = f) 9 060 000 000 = g) 2000,007 = h) 36,2 =

A 1.65 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B

Wandle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung um:a) 7,5 · 105 = b) 3,2 · 103 = c) 1,3 · 10–4 = d) 5,35 · 106 =

e) 9,71 · 10–5 = f) 7,514 · 108 = g) 7,514 · 10–4 = h) 4,2 · 10–9 =

A 1.66 ★ Die Welt in Zahlen B

Forme folgende Maßzahlen in Gleitkommadarstellung um:a) Die Masse eines Wasserstoffatoms beträgt etwa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 66 kg.b) Der Eiffelturm in Paris hat eine Masse von ca. 7 300 000 kg.c) Die Erde hat eine Masse von etwa 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.d) Ein Eisenatom hat einen Durchmesser von ungefähr 0,000 000 000 2 m. e) Die Geschwindigkeit des Lichts beträgt ca. 300 000 000 m/s.f) Die Erde umläuft die Sonne in einem mittleren Abstand von etwa

150 000 000 000 m.g) Der Umfang der Erde ist 40 000 km.

LINKWie schwer ist ein Elektron?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr kleinen Zahlen gefunden.

22 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe1,45

Leseprobe1,45

Leseprobe 10

Leseprobe1016

Leseprobe16

1,022

Leseprobe

1,022

Leseprobe

10

Leseprobe

109

Leseprobe

9

1,1

Leseprobe

1,1

Leseprobe

10

Leseprobe

10−12

Leseprobe

−12

9,8 · 10

Leseprobe

9,8 · 1015

Leseprobe

15

Umwandlung in Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Umwandlung in Gleitkommadarstellung

Leseprobe

B

Leseprobe

B

Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:

Leseprobe

Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

e)

Leseprobe

e) 0

Leseprobe

0,000

Leseprobe

,000 0

Leseprobe

000 007 =

Leseprobe

00 007 = f

Leseprobe

f)

Leseprobe

) 9

Leseprobe

9 060 000

Leseprobe

060 000gLeseprobe

g)Leseprobe

) 2000,007 = Leseprobe

2000,007 = Leseprobe

Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe

Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

h) Die Masse des Mondes beträgt 73 Trillionen t.i) Ein Virus hat einen Durchmesser von ca. 0,000 000 1 m.j) Der Durchmesser eines Atoms ist 0,000 000 1 mm.

Vorsilben für EinheitenBei Einheiten für physikalische Größen verwendet man Vorsilben wie Kilo-, Dezi-, Milli- für Vielfache und Teile. Diese Vorsilben sind im Internationalen Einheitensystem (SI) festgelegt. Sie sind ebenfalls Bezeichnungen für Zehnerpotenzen.

Potenz Name SI-Vorsilbe Abkürzung

1018 Trillion Exa E

1015 Billiarde Peta P

1012 Billion Tera T

109 Milliarde Giga G

106 Million Mega M

103 tausend Kilo k

102 hundert Hekto h

101 zehn Deka da

10–1 Zehntel Dezi d

10–2 Hundertstel Centi c

10–3 Tausendstel Milli m

10–6 Millionstel Mikro µ

10–9 Milliardstel Nano n

10–12 Billionstel Piko p

10–15 Billiardstel Femto f

10–18 Trillionstel Atto a

Eine kleine Hilfe zum Umrechnen: : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

k h da 1 d c m

· 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

· 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3

… G M k 1 m µ n …

· 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103

L 1.18 Umwandeln von SI-Einheiten B

Wandle in die angegebene Einheit um und gib das Ergebnis in normierter Gleitkom-madarstellung an:a) 3,57 nm = mb) 3,57 mm = µm

c) 125 km = md) 0,04 mm = nm

Lösung:a) 3,57 nm = 3,57 · 10–9 m • von der kleineren (10–9) in die größere

(100) Einheit: · 10–9

SISystème international d'unités (franz.)

µgriechischer Buchstabe my

normierte GleitkommadarstellungGleitkommadarstellung, bei der die Mantisse zwischen 1 und 10 liegt und dabei echt kleiner als 10 ist

Angewandte Mathematik I 23

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

c

Leseprobe

c

m

Leseprobe

m

µ

Leseprobe

µ

Nano

Leseprobe

Nano n

Leseprobe

n

Billionstel Piko

Leseprobe

Billionstel Piko p

Leseprobe

p

Femto

Leseprobe

Femto f

Leseprobe

f

Trillionstel

Leseprobe

Trillionstel Atto

Leseprobe

Atto

Eine kleine Hilfe zum Umrechnen:Leseprobe

Eine kleine Hilfe zum Umrechnen:: 10Leseprobe

: 10 : 10Leseprobe

: 10Leseprobe

Leseprobe

b) 3,57 mm = 3,57 · 103 µm • von der größeren (10–3) in die kleinere (10–6) Einheit: · 103

c) 125 km = 125 · 103 m = 1,25 · 105 m • der erste Faktor wird durch 102 dividiert, der zweite mit 102 multipliziert

d) 0,04 mm = 0,04 · 106 nm = 4 · 104 nm • der erste Faktor wird mit 102 multipliziert, der zweite durch 102 dividiert

A 1.67 ★★ Dieselbe Zahl – unterschiedliche Schreibweisen B

Forme in die angegebenen Schreibweisen um:

Festkommazahl Gleitkommazahl SI-Vorsilben

85 000 m

350 MJ

2,7 · 109 W

60 mg

0,000 075 m

0,000 000 003 s

Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner

L 1.19 Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner B

Berechne mit dem Taschenrechner zuerst 2 000 0002 und dann den Kehrwert dieser Zahl.Lösung: Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4 000 000 000 000 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 1012.Den Kehrwert kannst du mit der Taste x–1 berechnen. Hier lautet das Ergebnis 2,5E–13, also 2,5 · 10–13 = 0,000 000 000 000 25.

Abb. 1.2.1 Abb. 1.2.2

Wie du siehst, zeigt der Taschenrechner sehr große und kleine Zahlen automatisch als Gleitkommazahlen an. Wenn du willst, dass alle Zahlen so dargestellt werden, musst du im Menü MODE in der ersten Zeile Sci markieren (engl. scientific = wissenschaftlich) und mit ENTER bestätigen.

Um eine Gleitkommazahl einzugeben, verwendest du die Taste 2nd [EE]. 3 · 105 gibst du zum Beispiel mit der Tastenfolge 3 2nd [EE] 5 ein.

LINK

multipliziert,

Was ist die „Engineering“ Notation?Es gibt auch andere gebräuch-liche Gleitkommadarstellun-gen, z.B. die „technische“ Darstellung (englisch: engineering notation).

Joule (J)Einheit der EnergieWatt (W)Einheit der Leistung

LINK

00 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner

berechnen. Hier lautet das

LINKSprichst du schon Taschenrechner?Wenn du eine Gleitkomma-darstellung ausgewählt hast – wie schreibt dein Taschen-rechner die Zahl 8 an?

24 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

60 mg

Leseprobe

60 mg

Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner

Leseprobe

Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner

Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner

Leseprobe

Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner

Leseprobe

B

Leseprobe

B

0

Leseprobe

000

Leseprobe

00 0

Leseprobe

000

Leseprobe

002

Leseprobe

2 und dann den Kehrwert dieser

Leseprobe

und dann den Kehrwert dieser

Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4

Leseprobe

Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4 0

Leseprobe

000

Leseprobe

00 0

Leseprobe

000

Leseprobe

00 0

Leseprobe

000

Leseprobe

00 0

Leseprobe

000 (vier Billionen).

Leseprobe

00 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner

Leseprobe

Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 10

Leseprobe

das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 1012

Leseprobe

12.

Leseprobe

.Den Kehrwert kannst du mit der Taste

Leseprobe

Den Kehrwert kannst du mit der Taste

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

x

Leseprobe

xx

Leseprobe

xx

Leseprobe

x–1

Leseprobe

–1 berechnen. Hier lautet das

Leseprobe

berechnen. Hier lautet das berechnen. Hier lautet das

Leseprobe

berechnen. Hier lautet das berechnen. Hier lautet das

Leseprobe

berechnen. Hier lautet das –13, also 2,5 · 10Le

seprobe

–13, also 2,5 · 10Leseprobe

–13Leseprobe

–13 = 0,000Leseprobe

= 0,000 000Leseprobe

000 000Leseprobe

000Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Rechnen mit gerundeten Zahlen – Rundungsregeln und sinnvolle GenauigkeitL 1.20 Wie viel Genauigkeit ist sinnvoll? C

Interpretiere die folgende Berechnung:„Ein ICE (Intercity Express) fährt von Wien nach Linz (190 km) mit einer Durch-schnittsgeschwindigkeit von 105 km/h. Die Fahrzeit beträgt daher

, ...t h105190 1 80952= = , das sind 1 h 48 min 34,29 s.“

Lösung:Eine solche Antwort ist natürlich sinnlos. Niemand kann die Fahrzeit eines Zugs auf Hunderts telsekunden genau angeben. Die Entfernung ist auf km gerundet, sie kann in Wirklichkeit jeden Wert zwischen 189,5 km und 190,5 km haben. Auch die Geschwindigkeit ist gerundet – hier ist die Un ge nauig keit wahrscheinlich noch grö-ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes-tenfalls 1,8 h = 1 h 48 min.

Zur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler möglichst klein zu halten.

Rundungsregel

• Wenn an der ersten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abge-rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.

• Wenn an der ersten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufge-rundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.

L 1.21 Runden B

a) Runde 463 und 468 auf Zehner. Lösung: 463 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3) 468 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)

Manchmal müssen auch die davorstehenden Stellen erhöht werden:b) Runde 2,396 auf Hundertstel. Lösung: 2,396 ≈ 2,40 (Rundungsfehler: 0,004; die 0 an der Hundertstelstelle wird ange-

schrieben, um anzudeuten, dass auf Hundertstel und nicht auf Zehntel gerundet wurde.)

Vermeide es, in mehreren Schritten zu runden!c) Runde 18,47 auf Ganze. Lösung: 18,47 ≈ 18 (Rundungsfehler: 0,47) Wenn du rechnest: 18,47 ≈ 18,5 ≈ 19, erhältst du einen größeren Rundungsfehler

von 0,53.

Das Ergebnis einer Rechnung kann höchstens so genau sein wie die genaueste Angabe! Wenn beispielsweise eine gemessene Länge mit

3

Mathematische Bildung„Der Mangel an mathemati-scher Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen wie durch maßlose Schärfe im Zahlenrechnen.“Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Wie du siehst, zeigt der Taschenrechner sehr große und kleine Zahlen automatisch als Gleitkommazahlen an. Wenn du willst, dass alle Zahlen so dargestellt werden, musst du im Menü MODE in der ersten Zeile Sci markieren (engl. scientific = wissenschaftlich) und mit ENTER bestätigen.

Um eine Gleitkommazahl einzugeben, verwendest du die Taste 2nd [EE]. 3 · 105 gibst du zum Beispiel mit der Tastenfolge 3 2nd [EE] 5 ein.

LINKSprichst du schon Taschenrechner?Wenn du eine Gleitkomma-darstellung ausgewählt hast – wie schreibt dein Taschen-rechner die Zahl 8 an?

Angewandte Mathematik I 25

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes

Leseprobe

ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes

Zur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler

LeseprobeZur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler

sten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abge

Leseprobe

sten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abgerundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.

Leseprobe

rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.

Leseprobe

rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.sten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufge

Leseprobe

sten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufgerundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.

Leseprobe

rundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.

unde 463 und 468 auf Zehner.

Leseprobe

unde 463 und 468 auf Zehner.

63 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3)Leseprobe

63 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3)68 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)Le

seprobe

68 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)

3,2 m angegeben ist, können wir davon ausgehen, dass der wahre Wert zwischen 3,15 m und 3,25 m liegt.

A 1.68 ★ Genauigkeit eines Ergebnisses B C

Die Seitenlängen eines rechteckigen Zimmers wurden mit 5,25 m und 3,62 m gemessen. Schätze ab, wie groß der Flächeninhalt des Zimmers mindestens und höchstens sein kann.

A 1.69 ★★ Ergebnisse schätzen B C

Schätze die Ergebnisse der folgenden Berechnungen ab und markiere, welche der folgenden Zahlen dem Ergebnis jeweils am nächsten liegt. a) (5,1 · 1013) · (4,6 · 10–19) 2,4 · 10–32 2,3 · 10–5

2,2 · 105 2,5 · 10–6

b) (9,1 · 1012) · (3,9 · 104) 7,4 · 1017 6,5 · 1017

3,4 · 1017 1,7 · 1017

c) (6,2 · 10–5) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1012 5,6 · 1011

5,6 · 10–12 5,6 · 10–11

d) (8,1 · 106) · (5,3 · 108) 4,4 · 1015 4,2 · 1017

4,3 · 1013 4,5 · 10–16

ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Maßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkomma-darstellung gezielt üben und festigen.

Rechnen mit Zahlen in GleitkommaschreibweiseA 1.71 ★ Umwandlung in Gleitkommadarstellung B

Stelle in Gleitkommadarstellung dar.a) 13 500 000b) 0,0008

c) 0,2d) 30 000

A 1.72 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B

Stelle in Festkommadarstellung dar.a) 8 · 10–4

b) 1,25 · 104

c) 5 · 10–3

d) 4,78 · 107

A 1.73 ★ Millionen & Co. B

Stelle in Gleitkommadarstellung dar.a) 20 Millionen b) 200 Milliarden c) 10 Trillionen

A 1.74 ★ SI-Einheiten umwandeln B

Wandle in die angegebene Einheit um und gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an.a) 3500 km = mb) 600 µm = mc) 12,4 mm = kmd) 0,003 m = nme) 750 g = mgf) 42 mg = kg

g) 0,015 mg = µgh) 6600 ns = msi) 0,48 TW = MWj) 98 000 kW = GWk) 24,5 kJ = Jl) 5 360 000 t = Mt

LINK

Die Seitenlängen eines rechteckigen Zimmers wurden mit 5,25 m

) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1011

5,6 · 10–11

8

Etwas verschätzt?Eine Million Menschen auf dem Tahrir-Platz in Kairo – ist dies überhaupt möglich?

LINKMaßeinheitenAufgabe A 1.70

Blöd gelaufenAm 23. September 1999 verglühte die Sonde Mars Climate Orbiter in der Mars -atmosphäre, weil die NASA im metrischen System, der Hersteller der Sonde aber in anderen Einheiten, nämlich in yards und pounds, gerechnet hatten.

26 Angewandte Mathematik I

Leseprobe,5 · 10

Leseprobe,5 · 10–16

Leseprobe–16

In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu

Leseprobe

In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu aßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkomma

Leseprobe

aßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkommadarstellung gezielt üben und festigen.

Leseprobe

darstellung gezielt üben und festigen.

Rechnen mit Zahlen in Gleitkommaschreibweise

Leseprobe

Rechnen mit Zahlen in Gleitkommaschreibweise Umwandlung in Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Umwandlung in Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Stelle in Gleitkommadarstellung dar.

Leseprobe

Stelle in Gleitkommadarstellung dar.c)Leseprobe

c) 0,2Leseprobe

0,2d)Leseprobe

d)

Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe

Umwandlung in Festkommadarstellung Stelle in Festkommadarstellung dar.

Leseprobe

Stelle in Festkommadarstellung dar.

A 1.75 ★★ Große und kleine Zahlen aus den Naturwissenschaften B

Stelle alle Ergebnisse in Gleitkommadarstellung dar.a) Unser blauer Planet Erde braucht für seine Umrundung um die Sonne 365 Tage,

wobei er eine Entfernung von 9,4608 · 108 Kilometern zurücklegt. Ermittle die Geschwindigkeit der Erde.

b) Der Durchmesser der Milchstraße beträgt 8,5 1017 Kilometer. Berechne jene Zeitspanne, die das Licht benötigt, um diesen Durchmesser zu durchqueren, wenn es mit 3 105 km/s unterwegs ist.

c) Auch wenn die menschlichen Haare unterschiedlich dick sind, so ist ein menschliches Haar im Durchschnitt 6 · 10–2 mm stark. Die sehr belastbaren Spinnenfäden sind aber nur ein Zwölftel so dick. Berechne die Stärke eines Spinnen fadens.

d) Eine Raumsonde sendet ein Signal mit der Lichtgeschwindigkeit von 3 105 km/s zur Erde, das 4 Stunden 6 Minuten für seine Reise benötigt. Ermittle die Entfernung, die das Signal zurücklegt.

e) Im Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u. a. rote und weiße Blutkörperchen vorhanden sind. In 1 mm3 Blut sind 5 · 106 rote Blutkörperchen mit einem Durchmesser von je 7 10–3 mm enthalten. Berechne die Anzahl der roten Blutkörperchen eines Erwachsenen.

f) Jedes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und einem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von ,1 674 10· 24-  g, ein O-Atom eine Masse von ,2 675 10· 23-  g. Die atomare Masseneinheit u ist ein Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls in atomaren Masseneinheiten.

Ergebnisse abschätzen und rundenA 1.79 ★ Ergebnisse runden B

Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.a) Ein Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.b) In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete

3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete. (Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)c) Ein Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem

Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).

d) In einem Land sind 1,7 Millionen Menschen zuckerkrank, das sind 7 % der Bevölkerung. Berechne, wie viele Einwohner das Land hat.

e) Bei einem Test legt ein Auto eine Strecke von 1000 m in 48,5 s zurück. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s.

A 1.80 ★★ Überschlagsrechnung B C

Schätze die Ergebnisse der folgenden Berechnungen im Kopf ab und markiere, welche der angegebenen Zahlen deinem Ergebnis am nächsten kommt.

a) 123 · 456 5000 10 000 50 000 100 000

b) 23 400 · 0,025 200 600 6000 20 000

c) 365633 000 0,2 50 500 2000

d) 144 0075 0,005 0,03 0,5 200

e) ·175

36 252 10 50 300 1000

f) ,· ,

0 231 200 4 5 500 1000 6000 25 000

LINKRechnen mit Zahlen in Gleitkomma schreibweiseAufgaben A 1.76 – A 1.78

Achtung: Achte bei Anwen-dungsaufgaben immer darauf, dass du die Ergebnisse angemessen rundest!

LINKErgebnisse abschätzen und rundenAufgabe A 1.81

c) (6,2 · 10–5) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1012 5,6 · 1011

5,6 · 10–12 5,6 · 10–11

d) (8,1 · 106) · (5,3 · 108) 4,4 · 1015 4,2 · 1017

4,3 · 1013 4,5 · 10–16

A 1.72 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B

Stelle in Festkommadarstellung dar.

LINKEtwas verschätzt?Eine Million Menschen auf dem Tahrir-Platz in Kairo – ist dies überhaupt möglich?

Blöd gelaufenAm 23. September 1999 verglühte die Sonde Mars Climate Orbiter in der Mars -atmosphäre, weil die NASA im metrischen System, der Hersteller der Sonde aber in anderen Einheiten, nämlich in yards und pounds, gerechnet hatten.

Angewandte Mathematik I 27

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

m Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u.

Leseprobe

m Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u. Blut sind 5 · 10

Leseprobe Blut sind 5 · 106

Leseprobe

6 rote

Leseprobe rote

 mm enthalten. Berechne

Leseprobe mm enthalten. Berechne

edes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und

Leseprobeedes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und

einem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von

Leseprobeeinem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von ,1 674 10·

Leseprobe,1 674 10· 24

Leseprobe24-

Leseprobe-  g,

Leseprobe g,

 g. Die atomare Masseneinheit u ist ein

Leseprobe

 g. Die atomare Masseneinheit u ist ein Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls

Leseprobe

Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls

Ergebnisse abschätzen und runden

Leseprobe

Ergebnisse abschätzen und runden

Leseprobe

Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.

Leseprobe

Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.in Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.

Leseprobe

in Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.n einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete

Leseprobe

n einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete 3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Leseprobe

3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete. Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)Le

seprobe

Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)in Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem Le

seprobe

in Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand Le

seprobe

Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).Le

seprobe

zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).

KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du gelernt, wie man mit Maßzahlen und Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung rechnet und wie man Maßeinheiten ineinander umwandelt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.

A 1.82 ★ Gleitkommadarstellung C

Zuordnungsformat (2 zu 4): Zahlen können in Gleitkomma- oder Festkommadarstellung aufgeschrieben werden. Ordne den beiden Festkommadarstellungen die passenden Gleitkommadar-stellungen zu.

0,04 mm A 4 · 10–5 m

17 GW B 1,7 · 1010 W

C 1,7 · 1011 W

D 4 · 10–4 m

A 1.83 ★★ Gold B D Gold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1 g. Die Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280 Tonnen.a) Berechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen.

(Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.)b) 1 dm3 Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen

Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen. • Erkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.• Berechne die Seitenlänge in Meter.

A 1.84 ★ Haare B D Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben durchschnittlich 150 000 Kopfhaare, Brünette 100 000 und Rothaarige 75 000. Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.a) Berechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten

Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.• Erkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra

berechnen muss.b) Ermittle, wie viele Haare man nebeneinanderlegen müsste, um den ganzen

Erdumfang (40 000 km) zu bedecken.

A 1.85 ★ Hochwasser B D Anfang Juni 2013 kam es an der Donau zu einem Jahrhunderthochwasser. In einem Artikel heißt es: „Wo sonst rund 2000 Kubikmeter Wasser pro Sekunde fließen, mussten die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter mit rund 11 000 Kubikmetern pro Sekunde fertigwerden. Das sind jede Sekunde fast 80 000 volle Badewannen.“a) Überprüfe diese Behauptung, wenn eine Badewanne 130 Liter fasst.b) Berechne, wie viele Liter Wasser in einer Stunde durch die Donau flossen.

Rechne in Gleitkommadarstellung.

SRDP

SRDP

SRDP

28 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

LeseprobeGold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1

LeseprobeGold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1 g. Die

Leseprobeg. Die

Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280

Leseprobe

Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280 Tonnen.

Leseprobe

Tonnen.erechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen.

Leseprobe

erechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen. (Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.)

Leseprobe

(Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.) Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen

Leseprobe

Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen.

Leseprobe

Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen. rkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.

Leseprobe

rkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.erechne die Seitenlänge in Meter.

Leseprobe

erechne die Seitenlänge in Meter.

Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben

Leseprobe

Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben 00 Kopfhaare, Brünette 100

Leseprobe

00 Kopfhaare, Brünette 100Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.Le

seprobe

Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.erechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten Le

seprobe

erechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.Le

seprobe

Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.Leseprobe

rkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra Leseprobe

rkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra LeseprobeSRDP

LeseprobeSRDP

A 1.86 ★★ Ergebnisse abschätzen B

Schätze die folgenden Ergebnisse mithilfe der Gleitkommadarstellung ab (ohne Taschenrechner!):a) Die Erde hat einen Radius von ca. 6400 km. Berechne die Oberfläche und das

Volumen der Erde. (Kugeloberfläche: O = 4r2π, Kugelvolumen: V r34 3r= )

b) Auf der Erde leben ungefähr 7 Milliarden Menschen. Die Erdoberfläche ist zu ca. 70 % von Wasser bedeckt. Berechne, wie viele Menschen durchschnittlich auf einem Quadratkilometer Landfläche leben.

c) Der Radiosender Ö3 sendet auf den Frequenzen (= Anzahl der elektromagnetischen Schwingungen pro Sekunde) von 99,9 MHz und 101,3 MHz. Elektromagnetische Wellen pflanzen sich (wie auch das Licht) mit einer Geschwindigkeit von 300 000 km/s fort. Berechne die Wellenlänge von Radiowellen (d. h. die Strecke, die während einer Schwingung zurückgelegt wird).

d) Das menschliche Herz schlägt ca. 80-mal pro Minute. Berechne, wie viele Schläge es in einem ganzen Leben macht, wenn du von einer durchschnittlichen Lebenserwartung ausgehst.

KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben

Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen, ineinander umwandeln und damit rechnen.

A 1.83, A 1.84, A 1.85

Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwan-deln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.

A 1.82, A 1.84, A 1.85

Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden. A 1.83, A 1.84, A 1.85

Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen. A 1.86

LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP

Angewandte Mathematik I 29

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Meine Kompetenzen

Leseprobe

Meine Kompetenzen

Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen,

Leseprobe

Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen, einander umwandeln und damit rechnen.

Leseprobe

einander umwandeln und damit rechnen.

Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwan

Leseprobe

Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwandeln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.

Leseprobe

deln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.

Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden.Leseprobe

Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden.Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen.Leseprobe

Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen.

LERNEN

3 Prozent- und Promillerechnung

Prozente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzuden-ken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6 % Fettgehalt, bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10 % Umsatzsteuer, kämpfst dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15 % Steigung … Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.

A 1.87 ★ Begriffsverwirrung A C

In einer Zeitung liest du: „In Großstädten trennt jeder fünfte Haushalt Papier von Restmüll. In den ländlichen Gebieten führt hingegen nur jede vierte Familie Mülltrennung durch.“a) Nimm zu dieser Aussage kritisch Stellung.b) Übersetze die Begriffe „jeder Fünfte“, „jede Vierte“ in Prozentangaben.

Wenn man verschiedene Anteile oder Änderungsraten miteinander vergleichen will, bezieht man sie auf denselben Ausgangswert. In der Prozentrechnung ist dieser Wert 100, also ist 1 % (Prozent) ein Hundertstel des Grundwerts.

Sehr kleine Teile gibt man manchmal in Promille an. 1 ‰ (Promille) ist ein Tausendstel des Grundwerts.

Wichtige BegriffeDer Grundwert G ist der Basiswert, auf den sich die Prozent-/Promilleangaben beziehen.

Der Prozentsatz/Promillesatz p gibt an, wie viele Hundertstel/Tausendstel vom Grundwert genommen werden.

Von 0 auf 100Auf manchen Straßen überwindet man innerhalb kürzester Zeit aufgrund der starken Steigung mehrere Hundert Höhenmeter. Die Filbert Street gilt mit 31,5 Prozent Steigung als die steilste Straße im hügeligen San Francisco.

Prozentital. per cento, „von Hundert“

Promilleital. per mille, „von Tausend“

30 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Prozent- und

Leseprobe

Prozent- und Promillerechnung

Leseprobe

PromillerechnungProzente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzuden

Leseprobe

Prozente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzudenken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6

Leseprobe

ken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10

Leseprobe

bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10

Leseprobe

dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15Leseprobe

dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung Le

seprobe

Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.Le

seprobe

so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.Leseprobe

Leseprobe

CLeseprobe

C

Der Prozentanteil/Promilleanteil A ist der Wert des Anteils in €, kg, mm …

Prozentanteil

·GA p100= p … Prozentsatz

Promillanteil

·GA p1000= p … Promillesatz

Berechnung des Prozentanteils (Prozentwerts)

L 1.22 Prozentwert berechnen B

Ein USB-Stick ist mit einem Preis von € 29,80 ausgezeichnet. Im Rahmen eines Son-derangebots wird der Preis um 50 % gesenkt. Berechne den neuen Preis.Lösung:Möglichkeit 1: Schlussrechnung100 % … € 29,80 1 % … €  0,298 50 % … € 14,90Möglichkeit 2: Multiplikation

, , , ,A 29 80 10050 29 80 0 5 14 90· ·= = =

Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.

Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:

z. B.: 35 % v n 200 = 0,35  200

v n wird zu

Wenn der Grundwert um p % erhöht oder erniedrigt werden soll, ist es einfa-cher, gleich den neuen Wert zu berechnen. Zum Beispiel beträgt bei einer Erhöhung um 5 % der neue Wert 105 %, bei einer Abnahme um 5 % müssen 95 % berechnet werden. Allgemein gilt:

Erhöhung und Erniedrigung des Grundwerts

Erhöhung des Grundwerts um p %:

A G p1 100·= ++ b lVerringerung des Grundwerts um p %:

A G p1 100·= -- b l

Achtung: Achte in der Angabe immer genau darauf, ob etwas um p % oder auf p % vergrößert, verkleinert, ermäßigt, verteuert … wird!

A 1.88 ★ Verpackung A B

Aufgrund der Ergebnisse einer Kundenumfrage wird ein Müsli nun in einer größeren Packung angeboten. Bisher enthielt eine Schachtel 250 g. Die neue Packung beinhaltet um 20 % mehr Müsli. Stelle einen Term auf, der das neue Gewicht beschreibt. Berechne das neue Gewicht.

Hurra, ich hab's!Einer Anekdote zufolge rief Archimedes von Syrakus Heureka (altgriech. für „Ich habe (es) gefunden.“), nachdem er das nach ihm benannte Archimedische Prinzip entdeckt hatte.

Formeln zur PromillerechnungWenn mit Promille gerechnet wird, muss in allen Formeln 1000 statt 100 gesetzt werden.

Achtung: Physikalisch korrekt müsste man von der Masse sprechen, im alltäglichen Sprachgebrauch wird aber der Begriff „Gewicht“ verwendet.

Angewandte Mathematik I 31

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

Leseprobe

Leseprobe

Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.

Leseprobe

Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.

Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:

Leseprobe

Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:

v n 200

Leseprobe

v n 200

Leseprobe

=

Leseprobe

=

Leseprobe

0,35  200

Leseprobe

0,35  200

v n

Leseprobe

v n

Leseprobe

wir

Leseprobe

wird zu

Leseprobe

d zu

enn der Grundwert um pLeseprobe

enn der Grundwert um p% erLeseprobe

% erhöht oder erniedrigt werden soll, ist es einfaLeseprobe

höht oder erniedrigt werden soll, ist es einfacher, gleich den neuen Wert zu berechnen. Zum Beispiel beträgt bei einer Le

seprobe

cher, gleich den neuen Wert zu berechnen. Zum Beispiel beträgt bei einer Leseprobe

% der neu Leseprobe

% der neue Wert 105Leseprobe

e Wert 105%, bei einer Abnahme um 5Leseprobe

%, bei einer Abnahme um 5echnet werden. Allgemein gilt:Le

seprobe

echnet werden. Allgemein gilt:Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

A 1.89 ★★ Abverkaufspreise A B D

In deinem Lieblingsgeschäft ist Lagerabverkauf. Bei den Hosen gibt es eine Preisreduktion um 20 %, bei Pullovern um 30 % und bei T-Shirts um 25 %. Du wählst eine weiße Hose (Preis etikett: € 49,90), zwei T-Shirts (Preisetikett: jeweils € 15,90) und einen Pullover (Preisetikett: € 44,90). a) Stelle einen Term auf, der den Geldbetrag, den du bezahlen musst, beschreibt. b) Berechne diesen Geldbetrag. c) Zeige, dass die prozentuelle Ersparnis nicht die Summe der einzelnen

Prozentangaben ist.

A 1.90 ★★ Prozentangaben richtig interpretieren C

Vergleiche die „Angabesätze“ und die „Partnersätze“. Finde die Paare. (Achtung: Es gibt mehr „Partnersätze“ als „Angabesätze“.)Angabesätze:a) Der Preis für eine Herrenjeans wird um 25 % reduziert.b) Die Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12 %

erhöht. c) Das Auslaufmodell eines Snowboards wird heuer auf 40 % des Listenpreises

reduziert.d) Die durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um

15 % gefallen.e) Die Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54 %

gefallen.f) Kaffee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der

Kilopreis um 15 % reduziert.g) Erdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,

muss man um 30 % mehr zahlen.h) 2015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1. 1. 2016 auf 112 %

erhöht. i) 2015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1. 1. 2016 wurde

diese um 14 % erhöht. j) Earl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine

Preiser höhung auf 115 %.„Partnersätze“: 1. Man muss nun 112 % des alten Preises zahlen. 2. Sie kostet nun 4

3 des ursprünglichen Preises. 3. Man muss nun um 40 % weniger zahlen als im Vorjahr. 4. Er kostet nun 5

3 des ursprünglichen Preises. 5. Man zahlt jetzt nur mehr 6,95 Euro für 1 kg. 6. Nun muss man nur mehr 85 % der alten Preise zahlen. 7. Man zahlt jetzt nur mehr das 0,4-Fache des Ursprungspreises. 8. Man muss nun 121 % des alten Preises zahlen. 9. Man zahlt dann € 786,20 dafür.10. Nun muss man nur mehr 15 % der alten Preise zahlen.11. Man zahlt jetzt nur mehr das 0,46-Fache des früheren Preises.12. Man zahlt dann € 775,20 dafür.13. Man zahlt jetzt nur mehr 5,95 Euro für 1 kg. 14. Man zahlt dann 5,60 Euro für 1 kg.15. Man muss nun um 60 % weniger zahlen als im Vorjahr.16. Man zahlt dann € 40,25.17. Man zahlt dann 5,20 Euro für 1 kg.18. Man zahlt dann € 514 dafür.19. Man zahlt dann € 42,50. 20. Man zahlt dann € 504 dafür.

Verschiedene Arten der Euro-SchreibweiseDas €-Zeichen kann der Zahl voran- oder nachgestellt werden oder man kann die Währung auch nach der Zahl ausschreiben.

32 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

ie Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12

Leseprobe

ie Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12

es Listenpreises

Leseprobees Listenpreises

ie durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um

Leseprobeie durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um

ie Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54

Leseprobe

ie Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54 %

Leseprobe

%

affee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der

Leseprobe

affee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der

rdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,

Leseprobe

rdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,

015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1.

Leseprobe

015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1.

015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1.

Leseprobe

015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1.

arl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine

Leseprobe

arl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine öhung auf 115

Leseprobe

öhung auf 115 %

Leseprobe

%.

Leseprobe

.

% d Leseprobe

% des alten Preises zahlen.Leseprobe

es alten Preises zahlen. des ursprünglichen Preises.Le

seprobe

des ursprünglichen Preises.eniger zahlen als im Vorjahr.Leseprobe

eniger zahlen als im Vorjahr.

A 1.91 ★★ Netto- und Bruttopreis A B

a) Der Nettopreis für einen Lautsprecher beträgt € 32,50. Dazu kommen 20 % Umsatzsteuer (USt). Ermittle den Steuerbetrag und den Bruttopreis.

b) Für Lebensmittel gilt ein Umsatzsteuersatz von 10 %. Ein Kilogramm Käse kostet € 16,00. Frau Wagner kauft 350 g Käse. Berechne den Nettopreis, den Steuerbetrag und den Bruttopreis.

c) Gib Formeln für den Bruttopreis B an, wenn der Nettopreis N bekannt ist, bei normalem bzw. ermäßigtem Umsatzsteuersatz.

A 1.92 ★ Anders ausgedrückt ist das … A B

Manche Prozentsätze kann man durch einfache Brüche ausdrücken.Vervollständige die Tabelle.

Prozentsatz Bruch in Worten

50 % 21 jeder Zweite

25 %

43

101

jeder Fünfte

5 %

drei von fünf

Berechnung des Prozentsatzes

L 1.23 Prozentsatz berechnen A B C

Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das Computer-spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere diese.Lösung:Die Ermäßigung beträgt 9 Euro.Möglichkeit 1: Schlussrechnung€ 29,80 … 100 %

€ 1,00 … , %29 80100

€ 9,00 … , , %29 80100 9 30 2· =

Möglichkeit 2: DivisionDer Prozentanteil wird durch den Grundwert dividiert.

, , , %p 29 89 0 302 30 2= = =

Der Verkaufspreis wurde um 30,2 % vergünstigt.

NettopreisPreis ohne UmsatzsteuerUmsatzsteuerSteuer, die auf den Umsatz erhoben wirdBruttopreisPreis einschließlich Umsatzsteuer

Angewandte Mathematik I 33

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

jeder Fünfte

Leseprobe

jeder Fünfte

drei von fünf

Leseprobe

drei von fünf

Prozentsatzes

Leseprobe

Prozentsatzes

Prozentsatz berechnen

Leseprobe

Prozentsatz berechnen

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Leseprobe

B

Leseprobe

B

Leseprobe

Leseprobe

C

Leseprobe

C

Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf Leseprobe

Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das ComputerLe

seprobe

wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das ComputerLeseprobe

spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere Leseprobe

spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere

Dieser Rechenweg lässt sich auch als Formel schreiben:

Prozentsatz

p GA 100·=

A 1.93 ★ Bevölkerungswachstum B

Ein Ort hatte vor 10 Jahren 1320 Einwohner, jetzt sind es 1670. Berechne, um wie viel Prozent die Einwohnerzahl gestiegen ist.

A 1.94 ★ Mieterhöhung B

Die Miete für eine Wohnung wird von € 530 auf € 568 erhöht. Berechne, wie viel Prozent die Erhöhung ausmacht.

A 1.95 ★ Sonderangebot B

Ein Artikel kostet € 35. Bei einem Sonderangebot wird er um € 25 angeboten. Ermittle, um wie viel Prozent der Artikel verbilligt wurde.

A 1.96 ★★ Bahnausbau B D

Durch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf 1 h 45 min.a) Berechne, wie viel Prozent Zeitersparnis das ergibt.b) Der Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % von

105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.

A 1.97 ★ Ab-Hof-Verkauf B

Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.

Berechnung des Grundwerts

L 1.24 Grundwert ermitteln A B

Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Ermittle den regulären Preis.Lösung:Der ermäßigte Preis beträgt 70 % des ursprünglichen Verkaufspreises.Möglichkeit 1: Schlussrechnung

70 % … € 20,80

1 % … € ,7020 8

100 % … € ,70

2 8 1000 · = € 29,71

Möglichkeit 2: DivisionUm 70 % zu erhalten, musste man den Grundwert mit 0,7 multiplizieren. Wir erhal-ten daher den ursprünglichen Preis, indem wir den ermäßigten Preis durch 0,7 divi-dieren:

,, ,G 0 7

2 8 29 710= =

Wahrscheinlich wurde der Pullover ursprünglich um € 29,70 angeboten.

Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-

formel A Gp100

·= herleiten

(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).

34 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

LeseprobeDurch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf

LeseprobeDurch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf

er Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24

Leseprobe

er Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % v

Leseprobe

% von

Leseprobe

on 105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“

Leseprobe

105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.

Leseprobe

Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.

Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50.

Leseprobe

Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.

Leseprobe

Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.

Grundwerts

Leseprobe

Grundwerts

Grundwert ermitteln

Leseprobe

Grundwert ermitteln

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Leseprobe

B

Leseprobe

B

Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Leseprobe

Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Leseprobe

Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Leseprobe

Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion.

Dieser Rechenweg lässt sich auch als Formel schreiben:

Prozentsatz

p GA 100·=

A 1.93 ★ Bevölkerungswachstum B

Ein Ort hatte vor 10 Jahren 1320 Einwohner, jetzt sind es 1670. Berechne, um wie viel Prozent die Einwohnerzahl gestiegen ist.

A 1.94 ★ Mieterhöhung B

Die Miete für eine Wohnung wird von € 530 auf € 568 erhöht. Berechne, wie viel Prozent die Erhöhung ausmacht.

A 1.95 ★ Sonderangebot B

Ein Artikel kostet € 35. Bei einem Sonderangebot wird er um € 25 angeboten. Ermittle, um wie viel Prozent der Artikel verbilligt wurde.

A 1.96 ★★ Bahnausbau B D

Durch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf 1 h 45 min.a) Berechne, wie viel Prozent Zeitersparnis das ergibt.b) Der Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % von

105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.

A 1.97 ★ Ab-Hof-Verkauf B

Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.

Berechnung des Grundwerts

L 1.24 Grundwert ermitteln A B

Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Ermittle den regulären Preis.Lösung:Der ermäßigte Preis beträgt 70 % des ursprünglichen Verkaufspreises.Möglichkeit 1: Schlussrechnung

70 % … € 20,80

1 % … € ,7020 8

100 % … € ,70

2 8 1000 · = € 29,71

Möglichkeit 2: DivisionUm 70 % zu erhalten, musste man den Grundwert mit 0,7 multiplizieren. Wir erhal-ten daher den ursprünglichen Preis, indem wir den ermäßigten Preis durch 0,7 divi-dieren:

,, ,G 0 7

2 8 29 710= =

Wahrscheinlich wurde der Pullover ursprünglich um € 29,70 angeboten.

Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-

formel A Gp100

·= herleiten

(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).

Als Formel geschrieben:

Grundwert

G pA 100·=

Die zweite Möglichkeit (siehe L 1.24) kann man sehr schön mithilfe von Gleichungen anschreiben. Mehr dazu erfährst du in Kapitel 2.

A 1.98 ★ Grundbesitz B

Ein Bauer hat 5,6 ha Wiesen, das sind 35 % seines Grundbesitzes. Gib an, wie groß der gesamte Besitz ist.

A 1.99 ★ Landwirtschaft B

Auch auf dem Land nimmt der Anteil der Bevölkerung, der in der Landwirtschaft arbeitet, immer mehr ab.a) In einem Ort leben 45 Bauern, das sind 6,25 % der Bevölkerung. Berechne, wie

viele Einwohner der Ort hat.b) 2013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,

das waren 3,63 % aller Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt erwerbstätig waren.

A 1.100 ★ Nettopreis berechnen B

Ein Artikel kostet inkl. 20 % Mehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.

A 1.101 ★ Kleinkredit B

Für einen Kredit wurden inkl. 7 % Zinsen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt. Ermittle die Höhe des Kredits.

Mehrfach veränderter GrundwertIm Alltag kommt es oft vor, dass der Preis einer Ware sich um p1 % verändert und dann ein zusätzlicher Rabatt von p2 % gewährt wird. Dabei verändert sich mit jeder Preis änderung auch automatisch der Grundwert mit.

RabattEin Rabatt ist ein Preisnachlass, der vom Netto-preis (Listenpreis) abgezogen wird (Abverkauf, Modelländerung, Kundentreue …).

SkontoBei Barzahlung oder bei Bezahlung einer Rechnung innerhalb einer Frist wird ein Preis-nachlass von 2 % bis zu 5 % gewährt (Kassa-skonto).

Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-

formel A Gp100

·= herleiten

(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).

LINK

Ein Rabatt ist ein Preisnachlass, der vom Netto-preis (Listenpreis) abgezogen wird (Abverkauf,

Rechnung innerhalb einer Frist wird ein Preis-

LINK

Um oder auf?Beim Prozentrechnen kommt es auf das Um und Auf an.

Angewandte Mathematik I 35

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

Leseprobeer Bevölkerung. Berechne, wie

Leseprobeer Bevölkerung. Berechne, wie

013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,

Leseprobe013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,

ler Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt

Leseprobeler Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt

ehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.

Leseprobe

ehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.

insen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt.

Leseprobe

insen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt.

Mehrfach veränderter Grundwert

Leseprobe

Mehrfach veränderter GrundwertIm Alltag kommt es oft vor, dass der Preis

Leseprobe

Im Alltag kommt es oft vor, dass der Preis % v

Leseprobe

% verändert und dann

Leseprobe

erändert und dann ein zusätzlicher Rabatt von pLe

seprobe

ein zusätzlicher Rabatt von p2Leseprobe

2 % gLeseprobe

% gewährt wird. Leseprobe

ewährt wird. Dabei verändert sich mit jeder PreisLe

seprobe

Dabei verändert sich mit jeder PreisLeseprobe

äLeseprobe

änderung Leseprobe

nderung auch automatisch der Grundwert mit. Le

seprobe

auch automatisch der Grundwert mit. Leseprobe

L 1.25 Rabatt berechnen A B C

Im Drogeriemarkt wird die Hautcreme, die du gewöhnlich kaufst, jetzt in einer etwas größeren Dose angeboten als bisher. Dies liefert auch die Begründung für eine Preissteigerung von 8 % gegenüber dem bisherigen Preis von € 17,90. Da du aber eine Stammkundenkarte für diesen Drogeriemarkt besitzt, wird dir ein Rabatt von 5 % gewährt. Gib den Preis für die Dose an. Interpretiere die Grafik – richte dein Augenmerk besonders auf die 100 % der linken Säule im Vergleich zu den 95 % der rechten Säule.

Rabatt berechnen

ursprünglicher Preis

Preis nach Erhöhung P1

100 %neuer

Grundpreis

+ 8 %

100 % 95%

– 5 %Erhöhung Rabatt

neuer Verkaufspreis

P2

Abb. 1.3.1

Lösung:

Möglichkeit 1:Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den Skonto ab.p1 = 17,90 · 1,08 = 19,33p2 = 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Möglichkeit 2:Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.p2 = 17,90 · 1,08 · 0,95 = 18,37Interpretation der Grafik: Da nach der Preiserhöhung von 8 % der neue Grundwert G1 108 % des ursprünglichen Grundwerts beträgt, sind die 95 % von G1 mehr als die ursprünglichen 100 %.

A 1.102 ★★ Mehrfache Preisänderungen C D

a) Erkläre, warum der Preis in L 1.25 nicht um 3 % (= 8 % – 5 %) erhöht wurde.b) Untersuche, ob es auf die Reihenfolge der Preisänderungen ankommt.

A 1.103 ★★ Preissenkungen B D

Ein Artikel kostet € 80. Der Preis wird zuerst um 15 % und dann nochmals um 10 % gesenkt.a) Berechne, um wie viel Prozent der Artikel insgesamt billiger geworden ist.b) Erkläre, warum du für a) den ursprünglichen Preis nicht kennen musst.

36 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Grundpreis

Leseprobe

Grundpreis

95%

Leseprobe95%

Leseprobe

LeseprobeVerkaufspreis

LeseprobeVerkaufspreis

Leseprobe

Leseprobe

Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den

Leseprobe

Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den

= 19,33 · 0,95 = 18,37 Leseprobe

= 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Le

seprobe

Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.

Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.Leseprobe

Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.

L 1.25 Rabatt berechnen A B C

Im Drogeriemarkt wird die Hautcreme, die du gewöhnlich kaufst, jetzt in einer etwas größeren Dose angeboten als bisher. Dies liefert auch die Begründung für eine Preissteigerung von 8 % gegenüber dem bisherigen Preis von € 17,90. Da du aber eine Stammkundenkarte für diesen Drogeriemarkt besitzt, wird dir ein Rabatt von 5 % gewährt. Gib den Preis für die Dose an. Interpretiere die Grafik – richte dein Augenmerk besonders auf die 100 % der linken Säule im Vergleich zu den 95 % der rechten Säule.

Rabatt berechnen

ursprünglicher Preis

Preis nach Erhöhung P1

100 %neuer

Grundpreis

+ 8 %

100 % 95%

– 5 %Erhöhung Rabatt

neuer Verkaufspreis

P2

Abb. 1.3.1

Lösung:

Möglichkeit 1:Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den Skonto ab.p1 = 17,90 · 1,08 = 19,33p2 = 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Möglichkeit 2:Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.p2 = 17,90 · 1,08 · 0,95 = 18,37Interpretation der Grafik: Da nach der Preiserhöhung von 8 % der neue Grundwert G1 108 % des ursprünglichen Grundwerts beträgt, sind die 95 % von G1 mehr als die ursprünglichen 100 %.

A 1.102 ★★ Mehrfache Preisänderungen C D

a) Erkläre, warum der Preis in L 1.25 nicht um 3 % (= 8 % – 5 %) erhöht wurde.b) Untersuche, ob es auf die Reihenfolge der Preisänderungen ankommt.

A 1.103 ★★ Preissenkungen B D

Ein Artikel kostet € 80. Der Preis wird zuerst um 15 % und dann nochmals um 10 % gesenkt.a) Berechne, um wie viel Prozent der Artikel insgesamt billiger geworden ist.b) Erkläre, warum du für a) den ursprünglichen Preis nicht kennen musst.

A 1.104 ★★ Umsatzsteigerung D

Der Umsatz einer Firma ist in einem Jahr um 8 % gestiegen, im darauffolgenden Jahr um 5 %. Argumentiere, ob die gesamte Umsatzsteigerung genau 13 %, mehr oder weniger als 13 % beträgt.

A 1.105 ★★ Roller C

Ein Tretroller wird um 30 % verbilligt angeboten. Die Kassiererin zieht vom ermäßigten Preis versehentlich noch einmal 30 % ab. Tobias meint: „Ich habe den Roller um den halben Preis bekommen.“ Überprüfe, ob diese Behauptung stimmt.

Rechnen mit ZinsenWenn du Geld auf die Bank einzahlst (auf ein Sparbuch oder Girokonto), erhältst du dafür Habenzinsen. Davon werden aber noch 25 % Kapitalertrag-steuer (KESt) abgezogen. Bei anderen Anlageformen (Aktien, Anleihen …) beträgt die KESt 27,5 %. Wenn du dein Konto überziehst oder einen Kredit aufnimmst, werden dir dafür Sollzinsen berechnet. Diese sind um ein Vielfa-ches höher als die Habenzinsen.

Meist sind die Zinssätze p. a., also pro anno, angegeben. Es ist demnach ein Jahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist, musst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht immer gleich!

Spareinlagen Girokonten, Kredite

1 Jahr 360 Tage 365 Tage

1 Monat 30 Tage = 121 Jahr kalendermäßig

1 Tag 3601 Jahr

L 1.26 Soll- und Habenzinsen A B C

Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der Habenzins-satz beträgt 0,25 %. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz von 9,3 % p. a. oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am Konto ist. Stelle eine Formel auf, mit der du die Haben- und Sollzinsen für n Tage berechnen kannst. Berechne jene Zinsen, die du für die Kontoüberziehung für einen Monat bezahlen musst, und vergleiche diese mit jenen Zinsen, die du für deine 228 Euro während dieses Monats erhalten hättest. Lösung:

ZHaben = , ,n228 0 0025 3601 0 75$ $ $ $ • Da 25 % KESt von den Zinsen abgezogen

werden, bleiben nur noch 75 % übrig. ZHaben = , ,228 0 0025 12

1 0 75$ $ $

ZHaben 0,04

Habenzinsen: € 0,04

ZSoll = ,271 0 093 36530$ $ • Konto wird um € 271 für genau 30 Tage

überzogen.ZSoll = 2,07Sollzinsen: € 2,072,07 : 0,04 = 51,75 ⇒ Die Sollzinsen betragen ca. das 52-Fache der Habenzinsen.

Derzeit (Stand: 2017) sind die Habenzinsen fast null. 

LINK

Was schätzt du?1 Euro 2000 Jahre gespart – wie groß ist dein Zinsertrag?

Angewandte Mathematik I 37

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

Leseprobe

Leseprobeo anno, angegeben. Es ist demnach ein

Leseprobeo anno, angegeben. Es ist demnach ein

Jahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist,

LeseprobeJahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist,

musst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein

Leseprobemusst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein

Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht

Leseprobe

Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Girokonten, Kredite

Leseprobe

Girokonten, Kredite

365 Tage

Leseprobe

365 Tage

kalendermäßig

Leseprobe

kalendermäßig

Soll- und Habenzinsen

Leseprobe

Soll- und Habenzinsen

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Leseprobe

Leseprobe

B

Leseprobe

B

Leseprobe

C

Leseprobe

C

Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der HabenzinsLeseprobe

Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der HabenzinsLeseprobe

. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du Leseprobe

. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz Le

seprobe

hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz . oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am Leseprobe

. oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am

A 1.106 ★★ Sparbuchzinsen berechnen B

Berechne die Zinsen auf einem Sparbuch, das zu 1,2 % p. a. verzinst wird, wenn du 500 Euro für 10 Monate am Sparbuch belässt.

A 1.107 ★★ Kosten der Kontoüberziehung B

Du überziehst dein Konto für 3 Wochen um 1.260 Euro. Ermittle die Sollzinsen bei einem Zinssatz von 10,2 %.

A 1.108 ★ Kleinkredit B

Für einen Kredit wurden inkl. 5 % Zinsen nach einem Jahr € 2.730 zurückgezahlt. Ermittle die Höhe des Kredits.

A 1.109 ★★★ Sparzinsen B

Für ein Sparguthaben von € 7.500 erhielt man nach 4 Monaten (und nach Abzug von 25 % KESt) € 28,13 Zinsen. Ermittle den Jahreszinssatz.

Prozent – ProzentpunkteWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den Ausdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen Grundwert.

L 1.27 Wahl B D

Eine Partei erhielt bei einer Wahl 20 % der abgegebenen Stimmen, bei der nächs-ten Wahl konnte sie ihren Stimmenanteil auf 25 % steigern.a) Berechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.b) Berechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.c) Erkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.Lösung:a) 25 – 20 = 5 Der Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.

b) ,2025 1 25=

Die Anzahl der Stimmen ist um 25 % gestiegen.c) Man muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben

worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.

A 1.110 ★ Verzugszinsen A B

Wenn eine Schuld nicht rechtzeitig bezahlt wird, werden Verzugszinsen verrechnet. Der Verzugszinssatz liegt fünf Prozentpunkte über dem Basiszinssatz, der von der Österreichischen Nationalbank bekanntgegeben wird.Frau Kaiser muss für eine nicht bezahlte Rechnung 8 % Verzugszinsen p. a. zahlen.a) Gib den Basiszinssatz an.b) Berechne, wie viel Prozent des Basiszinssatzes der Verzugszinssatz ausmacht.

A 1.111 ★ Alkohol B D

Peter hat nach einem Lokalbesuch einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰. Dieser Wert nimmt pro Stunde um 0,2 Promillepunkte ab.a) Berechne, um wie viel Prozent die Alkoholmenge in Peters Körper in der ersten,

zweiten und dritten Stunde jeweils abnimmt.b) Erkläre, warum die Ergebnisse aus a) verschieden groß sind. LINK

Formeln zur Prozent- und Promillerechnung Zusammenfassende Lernkarte

38 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

LeseprobeWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den

LeseprobeWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den

Ausdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen

LeseprobeAusdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen

er abgegebenen Stimmen, bei der nächs

Leseprobe

er abgegebenen Stimmen, bei der nächs% s

Leseprobe

% steigern.

Leseprobe

teigern.erechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.

Leseprobe

erechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.erechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.

Leseprobe

erechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.

Leseprobe

rkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.

Leseprobe

rkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.

er Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.

Leseprobe

er Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.

ie Anzahl der Stimmen ist um 25Leseprobe

ie Anzahl der Stimmen ist um 25 % gLeseprobe

% gLeseprobe

estiegen.Leseprobe

estiegen.an muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben Le

seprobe

an muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben Leseprobe

worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.Leseprobe

worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.

ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zur Prozent- und Promillerechnung gezielt üben und festigen.

Prozentanteil berechnenA 1.112 ★ Prozentwerte schätzen und berechnen B

Berechne die fehlenden Werte: (Schätze ab, ob dein Ergebnis stimmen kann.)a) 5 % von 70 =b) 50 % von 150 =

c) 5 % von 980 =d) 75 % von 600 =

e) 9 % von 10 = f) 50 % von 20 =

A 1.113 ★ Obstverarbeitung A B

Von der Apfelernte im Umfang von 2750 kg wurden 80 % zu Saft, der Rest zu Apfelchips weiterverarbeitet. Stelle eine Formel auf, mit der du die zu Apfelchips verarbeitete Menge berechnen kannst. Berechne die Menge an Äpfeln, die für Chips verwendet wird.

A 1.114 ★★ Unterhaltungselektronik A B

Der Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den Bruttopreis auf. Berechne den Bruttopreis bei 20 % USt.

A 1.115 ★★ Wertminderung A B

Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung beträgt 18 % pro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf. Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren verkauft.

A 1.116 ★★ Kunsthandel A B

Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350 % gestiegen. a) Stelle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um

wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.b) Berechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.

A 1.117 ★★ Rechnung vom Installateur B

Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20 % USt. Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung binnen 5 Tagen 2 % Skonto erhält.

A 1.118 ★ Verpflegungskosten A B

Es ist üblich, 10 % des Rechnungsbetrages als Trinkgeld zu geben. Die Rechnung besteht aus einer Hauptspeise zu € 20,40 und einem Mineralwasser für € 2,40. Stelle eine Formel auf, die das Trinkgeld bei einem Rechnungsbetrag R angibt. Ermittle das Trinkgeld für obige Rechnung.

Prozentsatz berechnenA 1.119 ★★ Krankenstände A B

Von den 20 Mitarbeiterinnen einer Firma sind 4 krank. Berechne, welcher Prozentanteil der Mitarbeiterinnen krank ist. Veranschauliche diesen Anteil anhand einer grafischen Darstellung.

A 1.120 ★★ Schnäppchenjagd A B C

Konrad hat sich ein T-Shirt um 29 Euro im Sommerschlussverkauf gekauft. Es war um 30 % verbilligt. Am nächsten Tag wäre es allerdings 40 % billiger gewesen. Vergleiche die beiden Preise miteinander – erstelle eine Formel für den prozentuellen Unterschied.

LINKWelche beiden Zahlen unterhalten sich da?Die Prozentrechnung ist überall.

Angewandte Mathematik I 39

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

LeseprobeDer Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den

LeseprobeDer Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den

Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung

Leseprobe

Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung ro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf.

Leseprobe

ro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf. Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren

Leseprobe

Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren

Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals

Leseprobe

Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des

Leseprobe

unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350

Leseprobe

mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350 % g

Leseprobe

% gestiegen.

Leseprobe

estiegen. telle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um

Leseprobe

telle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.

Leseprobe

wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.erechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.Le

seprobe

erechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.

Rechnung vom Installateur Leseprobe

Rechnung vom Installateur Leseprobe

Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20Leseprobe

Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung Le

seprobe

Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung

A 1.121 ★★ Lesebudget B

Rudi erhält monatlich 50 Euro Taschengeld. Da er sehr gerne und viel liest, kauft er sich zweimal im Monat um 9,90 Euro ein Buch. Berechne, wie viel Prozent seines Taschengeldes Rudi für Bücher ausgibt.

A 1.122 ★★ Achtung Kredithai! B

Bei einem „Kredithai“ lieh sich Herr Lacina 1.200 Euro. Nach einem Monat musste er 1.380 Euro zurückzahlen. Berechne den Zinssatz.

Grundwert berechnenA 1.123 ★★ Immobilien B D

Ein Makler vermittelt den Kauf eines Grundstücks und erhält dafür eine Provision von 3 % des Kaufpreises. Diese Provision beträgt € 5.700. Erkläre, wie du den Preis des Grundstücks ermitteln kannst.

A 1.124 ★★ Hi-Fi-Ausstattung A B

Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35 % des Verkaufspreises leisten. a) Stelle eine Formel für den Verkaufspreis auf. b) Ermittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.

A 1.125 ★ Gehaltserhöhung A B

Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5 % € 1.740.a) Modelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g

darstellt.b) Ermittle das ursprüngliche Gehalt.

Vermischte AufgabenA 1.126 ★ Den richtigen Ausdruck finden A D

Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist. Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.a) Ein Preis wird verdoppelt. b) Ein Preis ist auf das Dreifache gestiegen. c) Ein Preis wird um die Hälfte höher.d) Ein Preis viertelt sich.e) Ein Preis wird um 30 % verringert.f) Ein Preis wird um ein Zehntel vermindert.

A 1.127 ★★ Gemeinderatswahl B

Bei der Gemeinderatswahl wurden 5848 gültige Stimmen abgegeben. Partei A erhielt 2488 der gültigen Stimmen, Partei B erhielt 37 %. Die restlichen gültigen Stimmen entfielen auf Partei C und D zu gleichen Teilen. Berechne für jede der vier Parteien die Anzahl und den Prozentsatz der gültigen Stimmen. Runde auf Ganze.

A 1.128 ★★★ Fehlzeiten A B

Im vorigen Schuljahr waren aufgrund einer Grippe-Epidemie 182 Schüler/innen einer Schule länger als eine Woche krank, das waren 62 % aller Schüler/innen. In diesem Schuljahr waren bei gleicher Gesamtschüler/innenzahl nur 82 Schüler/innen länger als eine Woche krank. Übertrage den Text in eine Gleichung, die den Prozentsatz der kranken Schüler/innen darstellt. Untersuche, um wie viel Prozentpunkte der Anteil der länger erkrankten Schüler/innen gesunken ist.

KredithaiEin Kredithai ist ein mit unsauberen Mitteln und ohne Genehmigung arbeitender Kreditgeber. Er bietet die Kredite oft zu extrem hohen Zinsen an.

40 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35

Leseprobe

Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35

rmittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.

Leseprobermittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.

Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5

Leseprobe

Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5 %

Leseprobe

%

odelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g

Leseprobe

odelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g

Den richtigen Ausdruck finden

Leseprobe

Den richtigen Ausdruck finden

Leseprobe

A

Leseprobe

A

Leseprobe

Leseprobe

D

Leseprobe

D

Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist.

Leseprobe

Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist. Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.

Leseprobe

Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.

Leseprobe

in Preis wird verdoppelt. Leseprobe

in Preis wird verdoppelt. in Preis ist auf das Dreifache gestiegen. Le

seprobe

in Preis ist auf das Dreifache gestiegen. Leseprobe

in Preis wird um die Hälfte höher.Leseprobe

in Preis wird um die Hälfte höher.

A 1.129 ★★ Autotest A B

Ein Autohersteller gibt im Datenblatt eines Fahrzeuges einen Verbrauch von 4,6 L Benzin auf 100 km an. Beim Test einer Autozeitschrift stellte sich heraus, dass dieses Fahrzeug 6,6 L verbraucht. Stelle eine Gleichung auf, die die prozentuelle Abweichung p des realen Verbrauches v vom angegebenen Wert angibt. Ermittle, um wie viel Prozent der Testwert von der Angabe des Herstellers abweicht.

A 1.130 ★★ Hausbau A B

Für den Bau eines Wohnhauses werden Materialien im Wert von 202.500 Euro eingekauft. Berechne die Ersparnis für den Bauherrn bei Barzahlung und 3 % Skonto. Stelle eine Formel auf, mit der du bei einem Materialwert von m Euro und einem 2 % Skonto den Preis ermitteln kannst.

A 1.131 ★★ Autokauf A C D

Drei Autofirmen haben unterschiedliche Konditionen:Firma A: 5 % Rabatt auf den Neupreis, 3 % SkontoFirma B: 8 % Rabatt auf den Neupreis, kein SkontoFirma C: 6 % Rabatt auf den Neupreis und 2 % SkontoStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst. Interpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine Vorgangsweise.

A 1.132 ★★★ MP3-Player A B

Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10 % gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere Preisreduktion von 5 %. Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung auf, wenn der MP3-Player zuerst um p1 und dann um p2 Prozent verbilligt wird.

A 1.133 ★★ Preisschwankungen D

Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11 % teurer. Später wird dieser Preis wieder um 11 % gesenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.

A 1.134 ★★ Goldring B D

Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in

Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = 241 ).

Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.a) Berechne, wie viel Gold der Ring enthält.b) Erkläre, warum das 14 Karat entspricht.

A 1.135 ★★ Blutalkoholkonzentration B D

Die Blutalkoholkonzentration (BAK) ist ein Maß für die Menge des Alkohols im Körper. Sie wird üblicherweise in Promille angegeben. Laut einer gängigen Berechnungsformel wird die Alkoholmenge (in Gramm) durch die reduzierte Körpermasse (in Kilogramm) dividiert. (Die reduzierte Körpermasse ist der Anteil des Körpers, in dem sich der Alkohol verteilt. Sie ist das 0,6- bis 0,7-Fache der Gesamtmasse.)a) Begründe, dass man mit dieser Berechnung die BAK in Promille erhält.b) Jemand trinkt 3 Viertel Wein mit einem Alkoholvolumenanteil von 12 %. 1 Liter

Alkohol wiegt 800 g. Die reduzierte Körpermasse beträgt 45 kg. Berechne die BAK dieser Person.

LINKVermischte AufgabenAufgaben A 1.136 –A 1.144

Angewandte Mathematik I 41

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

LeseprobeStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst.

LeseprobeStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst.

Interpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine

LeseprobeInterpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine

Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10

Leseprobe

Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10 %

Leseprobe

%gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere

Leseprobe

gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere . Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt

Leseprobe

. Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung

Leseprobe

günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung und dann um p

Leseprobe

und dann um p2

Leseprobe

2 Prozent verbilligt wird.

Leseprobe

Prozent verbilligt wird.

Leseprobe

Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11

Leseprobe

Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11 % t

Leseprobe

% teurer. Später wird dieser Preis wieder

Leseprobe

eurer. Später wird dieser Preis wieder esenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/

Leseprobe

esenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/

Leseprobe

günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.

Leseprobe

günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.

Goldring Leseprobe

Goldring Leseprobe

B Leseprobe

B Leseprobe

D Leseprobe

D

Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in Leseprobe

Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in

Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = Leseprobe

Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = Leseprobe

Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.Leseprobe

Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.Leseprobe

KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du die Grundlagen zur Prozent- und Promillerechnung kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.

A 1.145 ★ Brutto – Netto – MWSt. C

Lückentext: Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist.Ein Buch kostet ohne 10%ige Mehrwertsteuer x Euro.Der (1) wird durch (2) beschrieben.

(1) (2)

Bruttopreis,x1 1

Mehrwertsteuerbetrag · ,x 1 1 Nettopreis ,x 0 1+

A 1.146 ★★★ Haushaltsgeräte B C D

Der Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie, welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden zweiten Tag eingeschaltet.) Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 La) Berechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.b) Schätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.c) Vergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,

für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m3 Wasser beträgt € 1,43.)

A 1.147 ★★ Mopedkauf A B D

Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3 % Skonto, weil er bar bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und 12 Monatsraten zu je € 105. Stelle eine Formel für die jeweiligen Kosten auf und begründe anhand dieser, welche Variante günstiger ist.

A 1.148 ★★★ Messfehler A B D

Ein Behälter in Form eines Quaders weist folgende Abmessungen auf: Die Länge misst 10 m, die Breite 5,8 m und die Höhe 4,1 m. Jede dieser Abmessungen ist mit einem Messfehler von ± 1 % behaftet. Berechne das minimale und das maximale Füllvolumen in Liter. Begründe, warum du zur Beantwortung dieser Frage die Angabe von Länge, Breite und Höhe nicht benötigst. Stelle eine Formel für die Berechnung des prozentuellen Unterschieds zwischen dem minimalen und dem maximalen Volumen auf.

A 1.149 ★★ Gehaltsverhandlung A C

Im Rahmen von Gehaltsverhandlungen werden folgende drei Modelle vorgestellt: (Als Basis gelten immer die Bruttogehälter.)Modell 1: Gehaltserhöhung um 1,7 % Modell 2: Gehaltserhöhung um 50 Euro/MonatModell 3: eine Einmalzahlung von 700 Euro

Erinnerung:1 Liter = 1 dm3

42 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

LeseprobeDer Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie,

LeseprobeDer Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie,

welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden

Leseprobe

welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden

Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L

Leseprobe

Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 L

Leseprobe

Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 Lerechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.

Leseprobe

erechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.chätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.

Leseprobe

chätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.ergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,

Leseprobe

ergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere, für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider

Leseprobe

für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch

Leseprobe

Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m

Leseprobe

haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 mWasser beträgt € 1,43.)

Leseprobe

Wasser beträgt € 1,43.)

Mopedkauf Leseprobe

Mopedkauf Leseprobe

A Leseprobe

A Leseprobe

BLeseprobe

BLeseprobe

Leseprobe

DLeseprobe

D

Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3Leseprobe

Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt Le

seprobe

bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und

Leseprobe

sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und

KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du die Grundlagen zur Prozent- und Promillerechnung kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.

A 1.145 ★ Brutto – Netto – MWSt. C

Lückentext: Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist.Ein Buch kostet ohne 10%ige Mehrwertsteuer x Euro.Der (1) wird durch (2) beschrieben.

(1) (2)

Bruttopreis,x1 1

Mehrwertsteuerbetrag · ,x 1 1 Nettopreis ,x 0 1+

A 1.146 ★★★ Haushaltsgeräte B C D

Der Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie, welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden zweiten Tag eingeschaltet.) Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 La) Berechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.b) Schätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.c) Vergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,

für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m3 Wasser beträgt € 1,43.)

A 1.147 ★★ Mopedkauf A B D

Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3 % Skonto, weil er bar bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und 12 Monatsraten zu je € 105. Stelle eine Formel für die jeweiligen Kosten auf und begründe anhand dieser, welche Variante günstiger ist.

A 1.148 ★★★ Messfehler A B D

Ein Behälter in Form eines Quaders weist folgende Abmessungen auf: Die Länge misst 10 m, die Breite 5,8 m und die Höhe 4,1 m. Jede dieser Abmessungen ist mit einem Messfehler von ± 1 % behaftet. Berechne das minimale und das maximale Füllvolumen in Liter. Begründe, warum du zur Beantwortung dieser Frage die Angabe von Länge, Breite und Höhe nicht benötigst. Stelle eine Formel für die Berechnung des prozentuellen Unterschieds zwischen dem minimalen und dem maximalen Volumen auf.

A 1.149 ★★ Gehaltsverhandlung A C

Im Rahmen von Gehaltsverhandlungen werden folgende drei Modelle vorgestellt: (Als Basis gelten immer die Bruttogehälter.)Modell 1: Gehaltserhöhung um 1,7 % Modell 2: Gehaltserhöhung um 50 Euro/MonatModell 3: eine Einmalzahlung von 700 Euro

Erinnerung:1 Liter = 1 dm3

(Wichtig: Es gibt 14 Gehälter – 12 „normale“ + je einmal Urlaubs- und Weihnachtsgeld.)Frau A verdient 2.876 Euro/Monat. Frau B verdient 1.990 Euro/Monat. Frau C verdient 4.000 Euro/Monat.Stelle mathematische Modelle für jedes der drei Gehaltsmodelle auf. Vergleiche die drei Modelle. Lege dabei besonderes Augenmerk darauf, welches Modell für welche Arbeitnehmerin am besten wäre.Zusatzaufgabe: Finde heraus, wie viel Nettogehalt jeder der drei Arbeit-nehmerinnen in etwa bleibt.

A 1.150 ★★★ Umsatzentwicklung A B

a) Ein Unternehmen hatte vom Jahr 2015 auf das Jahr 2016 einen Rückgang an Umsatzerlösen von 6,6 %. Der (direkte) Umsatz im Jahr 2015 betrug € 2.611.535,15. Berechne den Umsatz von 2016.

b) Für das Jahr 2017 ist eine Umsatzsteigerung von 5 % gegenüber dem Jahr 2016 geplant. Finde einen Term, der die Umsatzveränderung von 2015 auf 2017 darstellt.

c) Infolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere Arbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal sollen im Vergleich zum Jahr 2016 gesenkt werden. 2017 können sie um 6 % gesenkt werden, im Jahr 2018 ist eine zusätzliche Senkung um 3 % gegenüber dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau € 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.

d) Der Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61 Tausend Euro zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.

A 1.151 ★★ Krebsgefahr durch Fleisch? D

Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18 % zunimmt. Diese Meldung sorgte für große Aufregung in der Öffentlichkeit.Nimm an, dass 6 % der Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken (das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus verschiedenen Medien:a) 18 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.b) 18 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.c) Eine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.d) Das Darmkrebsrisiko steigt durch starken Fleischkonsum um ungefähr einen

Prozentpunkt.

A 1.152 ★★ Semmeringbahn B D

Die Steigung von Bahnstrecken wird in Promille angegeben. Sie gibt das Verhältnis des Höhenunterschieds zur horizontal gemessenen Strecke an. Die Semmeringbahn war die erste Gebirgsbahn Europas.a) Die Strecke von Payerbach-Reichenau bis zum Semmering ist 21,451 km lang

und weist eine durchschnittliche Steigung von 18,8 ‰ auf. Berechne den Höhenunterschied.

b) Der steilste Abschnitt zwischen Eichberg (609 m ü. d. M.) und Klamm-Schottwien (699 m ü. d. M.) ist 4016 m lang. Ermittle die durchschnittliche Steigung.

c) Erkläre, warum die Steigung in Promille der Höhendifferenz in Metern pro Kilometer Strecke entspricht.

ü. d. M.über dem Meeresspiegel

LINK

Bereit für die Abfahrt?Beim Hahnenkammrennen in Kitzbühel geht‘s steil bergab. Wie steil, kannst du mit dem Steigungsdreieck berechnen.

Angewandte Mathematik I 43

Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobeolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere

Leseprobeolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere

Arbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal

LeseprobeArbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal

sollen im Vergleich zum Jahr 2016 gesenkt werden. 2017 können sie um 6

Leseprobesollen im Vergleich zum Jahr 2016 gesenkt werden. 2017 können sie um 6 %

Leseprobe%

gesenkt werden, im Jahr 2018 ist eine zusätzliche Senkung um 3

Leseprobegesenkt werden, im Jahr 2018 ist eine zusätzliche Senkung um 3 % g

Leseprobe% gegenüber

Leseprobeegenüber

dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau

Leseprobe

dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau € 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.

Leseprobe

€ 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.er Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61

Leseprobe

er Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61 Tausend Euro

Leseprobe

Tausend Euro zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.

Leseprobe

zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.

Leseprobe

D

Leseprobe

D

Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch

Leseprobe

Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das

Leseprobe

den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18

Leseprobe

Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18 % zu

Leseprobe

% zunimmt. Diese Meldung sorgte für

Leseprobe

nimmt. Diese Meldung sorgte für große Aufregung in der Öffentlichkeit.

Leseprobe

große Aufregung in der Öffentlichkeit.er Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken

Leseprobe

er Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken (das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus

Leseprobe

(das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus verschiedenen Medien: Le

seprobe

verschiedenen Medien: Leseprobe

8 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.Leseprobe

8 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.8 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.Le

seprobe

8 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.ine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.

Leseprobe

ine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.

A 1.153 ★ Soll- und Habenzinsen B D

a) Roman hat sein Konto 2 Monate (61 Tage) lang um € 900 überzogen. Der Sollzinssatz beträgt 8 % p. a. Berechne, wie viel Überziehungszinsen Roman zahlen muss.

b) Tamara hat ihr Geld auf einem Sparbuch mit 2 % Jahreszinssatz angelegt. Nach Abzug von 25 % KESt erhält sie nach einem Jahr € 52,50 Zinsen. Ermittle, wie hoch das Kapital am Anfang des Jahres war.

c) Ivo hat sein Geld in einem Fond in ausländischer Währung angelegt, bei dem er 10 % Rendite erhält. Leider ist der Wert dieser Währung im selben Zeitraum um 10 % gesunken. Ivo meint: „Wenigstens bekomme ich mein Geld zurück.“ Erkläre, warum er unrecht hat.

KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben

Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und Prozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.

A 1.146, A 1.151, A 1.152

Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi-malzahlen oder Bruchteilen) berechnen.

A 1.146, A 1.147 , A 1.148, A 1.149, A 1.150, A 1.152,

Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind. A 1.153

Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis. A 1.145

Ich kann Rabatte und Skonti berechnen. A 1.147

LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP

44 Angewandte Mathematik I

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Kann ich?

Leseprobe

Kann ich?

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Leseprobe

Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und

Leseprobe

Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und rozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.

Leseprobe

rozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.

Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi

Leseprobe

Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi

Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind.

Leseprobe

Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind.

Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis.

Leseprobe

Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis.

Ich kann Rabatte und Skonti berechnen.

Leseprobe

Ich kann Rabatte und Skonti berechnen.