10. Elektrostatik

10.1 Elektrische Ladung10.2 Coulombsches Gesetz10.3 Elektrisches Feld10.4 Kraft auf Ladungen10.5 Elektrisches Potential10.6 Elektrische Kapazität

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1.1 Der Raum

Inhalt

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10.1 Elektrische Ladung

Es gibt (genau) zwei Arten von Ladungen+ (positiv) und – (negativ)

Es gilt: gleichnamige Ladungen stoßen sich ab

+ -+ -

Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an

+ -

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Eigenschaften von Ladungen- Ladungen sind quantisiert- Es gibt kleinstmögliche Ladungsmenge

= Elementarladung ee = 1,60217733(49) x 10-19 CBeispiele: Elektron (e-) q = - e

Proton (p) q = + ePositron (e+) q = + e

- Jede Ladungsmenge ist ganzzahliges Vielfaches von e(Ausnahme Quaks)

- Ladungen können nur Paarweise erzeugt werdenz.B. γ e+ e- (später mehr)

- Es gilt immer Ladungserhaltung (in geschlossenem System)

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Elektrische Leiter und IsolatorenMan unterscheidetLeiter - Guter Transport von Ladungen innerhalb des Materials- Ursache sind frei bewegliche Ladungsträger (meist Elektronen)- Beispiele: fast alle Metalle Cu, Fe, Al, .... die Erde

Isolatoren- Kein Transport von Ladungen innerhalb des Materials- Keine frei beweglichen Ladungsträger- Beispiele: Glas, Plastik, Nylon, .... Luft

Halbleiter- schlechter Transport von Ladungen innerhalb des Materials- Wenige frei bewegliche Ladungsträger- Bespiele: Ge, As, Si

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Was passiert ?

Plastik

Frage:Warum können Luftballons an der Tafel kleben?

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10.2 Coulombsches GesetzWir hatten:Kraft zwischen zwei Punktladungen q1 und q2 in Abstand r

Bei mehr als zwei Ladungen gilt:Die Gesamtkraft auf eine Ladung ist durch die Vektorsummeder einzelnen Kräfte gegeben.

Beispiel: + + - xq1 q2 q3

Fges auf 1 = F2 auf 1 + F3 auf 1

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10.3 Elektrisches Feld

Def.: mit q = Testladung

1. Beispiel: Punktladung

q = positiv

+

q = negativ

-

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2. Beispiel: Zwei Punktladungen, E-Feld am Punkt P = ?

Für x >> a

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Elektrisches Dipolfeld

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3. Beispiel: Homogene geladene ebene Fläche A mit Gesamtladung Q und Flächenladungsdichte σ = Q/A

Ergebnis (siehe Übung)+ + + ++ + + +

E

E = σ2 ε0

++++

E

4. Beispiel: Zwei entgegengesetzt homogen geladene Leiterflächenmit Flächenladungsdichte +σ bzw. -σ

+++++++++

+

+

+

+

+

--------

-

-

-

-

+++++++++

--------

~~ E = σε0

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5. Beispiel: homogene Linienverteilung der Gesamtladung Q aufLänge 2a. E-Feld im Punkt P = ?

Ergebnis für a >> x:

Mit Linienladungsdichte λ

(siehe Übung)

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10.4 Kraft auf Ladungen

10.4.1 Punktladung im elektrischen Feld

Auf Teilchen der Ladung q wirkt im elektrischen Feld E Kraft F

Beispiele:1. Tintenstrahldrucker2. Monitor

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10. Elektrostatik

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10.4.2 Dipol im elektrischen Feld- Atom besteht aus Atomkern in Elektronenwolke.- Falls Elektronenwolke kugelsymmetrisch

Ladungsschwerpunkte Kern-Elektron identisch Atome sind unpolar.

- Falls Ladungsschwerpunkte nicht identisch Dipol

Elektrischer Dipol:- Paar von Punktladungen mit q1=q2- Ladungen ungleichnamig geladen- Ladungen getrennt durch Abstand l

Man definiert elektrisches Dipolmoment p

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Polare Moleküle haben permanentes Elektrisches Dipolmoment.

Falls unpolare Moleküle in äußeremElektrischen Feld Dipol mit induziertem Dipolmoment

10. Elektrostatik

Frage: F und M auf Dipol in äußerem elektrischen Feld E = ?

Annahme: E = konstantKraft F = ?

Drehmoment M = ?

Keine Kraft entlang einer Achse

Kräftepaar Drehmoment M = 0

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Für potentielle Energie Epot gilt:dreht sich Dipol um Winkel dθ verrichtet E Arbeit

Potentielle Energie = negative verrichtete Arbeit

θ = 0o entspricht minimaler Energieθ = 1800 entspricht maximaler Energie

Integration ergibt

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10.5 Das elektrische PotentialWir hatten für die potentielle Energie

h0

h1

∆Epot = mgh1 – mgh0

Im Gravitationsfeld Im elektrischen Feld

m

m g

h0

h1

q

q

∆Epot = qEh1 – qEh0

Epot = mgh Epot = qEd

E

h

Beachte: Gilt nur für homogene Felder

dEpot wächst Epot wächst

für welches q?

10. Elektrostatik

Man definiert (Änderung des) Potential(s)

Es gilt: Potentialdifferenz ∆V = Spannung U

Einheit der Spannung: 1 V = 1 J/CEinheit der elektrischen Feldstärke: 1 N/C = 1 V/m

Problem:

∆V = Vb - Va

Potentielle Energie ist abhängig von Ladung im E-Feld

Lösung:

= U-

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Beispiel: Potential einer Punktladung

mit:

Für das Potential ergibt sich:

+

V

-

V

negativnegativ

positivpositiv

Potential VLadung q

V = - E ds

VVV0V

V

Es gilt:

ds ds

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Beispiel Batterie

12 V

+ -

Batterie mit 12 V

- Potential positiver Anschluss ist um 12 V höher als negativer Anschluss

- Positive Ladungen werden vom positiven Pol abgestoßen und bewegen sich durch Leiter zur Lampe

- In Lampe wird potentielle elektrische Energie in Wärme umgewandelt

Lichtemission

Epot = q 12 V

+ +Epot = 0

- Am negativen Pol Epot = 0- Chemische Energie in Batterie gibt

Ladung elektrische potentielle Energie

Hinweis: In Wirklichkeit bewegen sich Elektronen, später mehr

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Beispiel: Potential eines Platenkondensators

+ + + + + + + + +

- - - - - - - - -

V = - E ds

Integrationsweg

y

d

V = - E dso

d= Ed E = σ

ε0mit

V = σε0

d + + + + + + + + +

- - - - - - - - -Äquipotentiallinien

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10.6 KondensatorenZwei beliebige, elektrisch geladene Leiter, getrennt durch einen Isolator,bilden einen Kondensator

Meist (in der Praxis fast immer) gilt: Ladungen sind dem Betrag nach gleich aber ungleichnamig

Kondensator der Ladung Q bedeutet: - Hohes Potential: Ladung = Q+- Niedriges Potential: Ladung = Q-- |Q+| = |Q-| Gesamtladung = null

oder Q+

Q+

Q+

Q-Isolator

Q+

Q-| Q+ | = | Q- |

Nur dies wird betrachtet

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Für einen Kondensator gilt: - Das elektrische Feld in jedem Raumpunkt des Kondensators ist

proportional zum Betrag der Ladung Q - Die Potentialdifferenz zwischen den geladenen Leitern ist

proportional zu Q

Verdopplung von Q (an beiden Leitern) führt zu

Verdopplung der LadungsdichteVerdopplung des elektrischen FeldesVerdopplung der Potentialdifferenz U

ABER: Verhältnis Q / U = KONSTANT = C = Kapazität

Kondensator ist- Ladungsspeicher- Energiespeicher

+-

UQ+

Q-

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Kapazität: C =QU

SI-Einheit = Farad (F) 1 F = 1 C/V Bei normalen Anwendungen C zwischen 10-12 F und 10-4 FSymbol:

Bauarten:

1 cm

Anwendungen:

- Elektronischen Schaltkreisen- Computerchips- Elektronenblitzgeräten- Lasern - Glättung von gleichgerichtetem

Wechselstrom- usw.

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10.6.1 Berechnung von Kapazitäten

1. Plattenkondensator: - parallele Platten- jeweils mit Fläche A- Abstand d

Q+

Q- d

A

ALeitung

Leitung

d << Kantenlänge E = homogen

+ + + + + + + + +

- - - - - - - - -

U

Es gilt E = σε0

mit σ = Q/A folgt

E = Qε0 A mit U = Ed =

1ε0

Q dA

folgt für C

C = QU = ε0

Ad

unabhängig von Q

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2. Zylinderkondensator- leitfähiger Draht oder Zylinder mit Außenradius a und Ladung Q+

- zweiter konzentrischer Zylinder mit Innenradius b und Ladung Q-

- Länge LFür das Feld eines zylindrischen geladenenLeiters der Ladung Q gilt:

E = 1

2πε0

λr

12πε0

QL r= mit λ

QL=

U = +

-E ds =

12πε0 L a

b drr

Q=

12πε0 L

Qln b/a

C =QU

mit2πε0 LC = ln b/a

unabhängig von Q

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10.6.2 Kondensatoren seriell und parallel

Problem: Kondensatoren gibt es nur mit Standard-KapazitätenLösung: Man kombiniere Kondensatoren zur gewünschten Kapazität

1. Reihenschaltung

++++

++++

- - - -

- - - -

a

b

cVab = U

C1

C2

Va – Vc = U1

Vc – Vb = U2

U1 =QC1

U2 =QC2

,

U = U1 + U2 = Q ( 1C1

1C2

+ )

UQ

1C1

1C2

+=

Q+

Q+

Q-

Q-

Cges = UQ

bzw.

1Cges

QU

=

1Cges

=

1C1

1C2

+

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Bei mehr als 2 Kondensatoren gilt:

1Cges

=1C1

1C2

+1C3

1Cn

+ + ......

++++

++++

- - - -

- - - -

a

b

cVab = U

C1

C2

Q+

Q+

Q-

Q-

++++- - - -

a

b

Vab = U Cges

Q+

Q-=

+_

=

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2. Parallelschaltung++

++--

--a bVab = U

C1

C2

Q1+

Q2+

Q1-

++ --

Q2-

Die Potentialdifferenz ist an beiden Platten gleich U1 = U2 = U

Die Ladungen beider Platten sind nicht (unbedingt) gleich

Q1 = C1 V , Q2 = C2 V

Für Qges = Q und somit Cges = C gilt:

Q = Q1 + Q2 = U (C1 + C2)QU

= C1 + C2

Allgemein gilt für n Kapazitäten: Cges = C1 + C2 + C3 ..... + Cn

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d A

10.6.3 Kondensator als Energiespeicher

+-

UQ+

Q-

Ein/Aus

Batterie+ _

dW = U´ dq´ = Betrag der Arbeit

q´C

dq´

W = dW = q´C

dq´0

Q

W = q2

2 C

Epot=q2

2 C= 1

2CU2

Energiedichte: wel = 12

ε0 E2Epot =

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Beispiele für Anwendugen

- BlitzlichtgerätAufladen eines Kondensators mit Hilfe einer Batterie auf 400 V Entladung innerhalb von MikrosekundenLeistung: einige kW

- Ladungsspeicher DRAM (dynamisches RAM)EPROM (Eraseable Programmable Read Only Memory)Flash-Speicher

- Kondensator als SensorAbstands- DickemessungenBeschleunigungssensorDrucksensor

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10.7 Dielektrika +

+ +

+ +

+ +

+ +

--

--

--

--

-

Kondensator„leer“

+ +

+ +

+ +

+ +

+

--

--

--

--

-+ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + +

InduzierteDipole imDielektrikum

+ +

+ +

+ +

+ +

+

--

--

--

--

-

Dielektrikum schwächt E0

(In der Praxis füllt Dielektrikum gesamten Innenraum aus)

Q0 , E0Q = Q0 , E < E0

Es gilt: E = E0

εr

εr : Dielektrizitätszahl

damit U = U0

εr

damit C = C0

εr

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Funktionen des Dielektrikums

- Erhöhung der Kapazität- mechanischer Abstandshalter- Erhöhung der Durchschlagsfestigkeit

Material Dielektrizitätszahl Durchschlagfestigkeitin kV mm-1

Glas 5,6 14Luft 1,00059 3Papier 3,7 16Plexiglas 3,4 40Porzellan 7 5,7