12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

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Mathe Analytische Geometrie 12/1 Def.: Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckfläche, und parallelogramme als Seitenflächen begrenzt wird. Def.: Ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist, heißt Spat. S.75/8 H G E F c D C b A a B a) AC = a b AF = a c AH = b c b) AG= a b c S. 76/10 C D c E b B F O a A DE = 1 2 BA= 1 2 a b DE= DC CE = 1 2 BC 1 2 CA= 1 2 c b 1 2 a c = 1 2 c b a c =1over 2 a b *

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Mathe LK Analytische Geometrie (Herr Schmidt), Paul Klee Gymnasium, Schuljahr 05/06 (Erstes Halbjahr, K12)

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Mathe Analytische Geometrie 12/1Def.:Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckfläche, und parallelogramme als Seitenflächen begrenzt wird.Def.: Ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist, heißt Spat.S.75/8

H G

E F

c

D C b

A a Ba)

AC=abAF=acAH=bc

b)AG=abc

S. 76/10 C

D c E

b B F

O a ADE= 1

2BA= 1

2⋅a−b

DE=DCCE=12BC 1

2CA=1

2⋅c−b1

2a−c = 1

2⋅c−ba−c=1over 2⋅a−b

*

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An der Stelle * wurde das Distributivgesetz angewandt. Welche Gesetze gelten überhaupt in der Vektorrechnung?1.3.Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor (S-Multiplikation) --> Multiplikation mit einer Skalareinheitz.B: Kraft

m F 3 F=FFF Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erhält man wieder einen Vektor. Dieser hat die dreifache Länge und die gleiche Richtung (nur in diesem Beispiel)

Bsp:

a −1,5a

Allgemein:Für k∈R;a∈V gilt:Der Vektor k⋅a hat die |k|-fache Länge von a.Für k > 0 haben a und k⋅a gleiche RichtungFür k < 0 haben a und k⋅a entgegengesetzte Richtung

Rechengesetze:1) Gemischtes Assoziativgesetz Für r , s∈R und v∈V gilt:

r⋅s⋅v =r⋅s⋅vBeispiel: r = 2, s = 1,5

r⋅s⋅v r⋅s⋅v

2) S- DistributivgesetzFür r , s∈R und v∈V gilt:rs⋅v=r⋅vs⋅v

3) V-DistributivgesetzFür r∈R und a ,v∈V gilt:r⋅ab=r⋅ar⋅b

2. Koordinaten

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2.1.Darstelluing von Punkten im Koordinatensystem

e3

e2

e1

Die Basisvektoren e1, e2, e3 besitzen die Länge 1:∣e1∣=∣e2∣=∣e3∣=1

Koordinatendarstellung:

e1=100 ; e2=0

10 ; e3=0

01

Der Vektor OP ist der Ortsvektor des Punktes P bezüglich des Ursprungs O.

P(5|3|-2) --> OP= 53−2

x1

x2

x3

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jeder Vektor des Ruames lässt sich eindeutig als Summe vom vielfachen der Basisvektoren darstellen.a=k1⋅e1k 2⋅e2k3⋅e3 mit k i∈R;a∈V

Die Zalhen k 1,k 2,k 3 heißen koordinaten von a . Die Vektoren k 1⋅e1,k 2⋅e2und k 3⋅e3 nennt man die Komponenten des Vektors aFolgerungen:1) Ist eine Koordinate null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenebene2) Sond zwei Koordinaten null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenachse

3) Die Vektorkoordinaten des Orstvektors OP=p= p1

p2

p3 stimmen mit den Punktkoordinaten des

Punktes P überein.2.2.Das Rechnen mit Vektoren

a±b=a1±b1

a2±b2

a3±b3 ;k⋅a=k⋅a1

k⋅a2

k⋅a3

Merke: Zwei Vektoren sind genau dann parallel (kollinear im 3D-Raum), wenn der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist.

Bsp: a=134;b=

268;c=

41216

hier: b=2⋅a ;c=4⋅a ;b=12c

S.86/8

OA=123

OB=321

AB=OB−OA

OC=OBAB=2OB−OA= 52−1

s.86/9

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OR=456

OS=789

SR=OR−OS

OA=ORSR=2OR−OS=123

OB=OS−SR=2OS−OR=101112

Teilverhältnisse

P T Q P Q TDef.: Ist T∈PQ , T≠Q und P der Anfangspunkt, dann heißt =PT :TQ Teilverhältnis von T bezüglich [PQ] Man unterscheidet:

T∈[PQ ] : innere Teilung mit =PTTQ

0

T∉[PQ ] : äußere Teilun g mit =−PTTQ

0

Def: T teilt [PQ] im Verhältnis genai dann, wenn PT=⋅TQ

Beispiele:Bestimme bei folgenden Aufgaben jeweils 1) ? ; 2) ?3) allgemeine Formel zur Herleitung des Ortsvektors0T=TPT=⋅TQ0T−0P=⋅0Q−0T

0T=⋅0Q0P

1

T=⋅QP

1Betrachte =−1 : T soll außerhalb von PQ sein und gleich weit entfernt sein --> gibt es nichtDef.: Wird eine Strecke [PQ] durch einen inneren und äußeren punkt im gleichen Verhlältnis geteil, spricht man von einer harmonischen TeilungBeispiel:

3 2

P Ti Q TA

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Kennzeichne farbig die Bereiche wo T liegen kann für sämtliche mögliche Fälle für 01 1

−10 =0 −1

P =1 Q

2.3.Der Schwerpunkt eines Dreiecks Beispielaufgabe zur Bestimmugn der Koordinaten des SchwerpunktsGeg.: ABC mit A(1|1|2); B(3|2|4); C(-4|0|-4)Ges.: S(s1|s2|s3)Aus der Mittelstufe bekannt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt die Seitenhalbierende im Verhäktnis 2:1 (Wird später bewießen)

C

S

A B

0

s=aAS=a23⋅AM

--> m=12bc

m=12 pq

Merke: Der Ortsvektor des Mittelpunktes M einer Strecke [PQ] ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Endpunkt

--> s=a23−am=a2

3⋅−a1

2bc =1

3a1

3b1

3c

Merke: Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Ecken

s=13⋅abc

S.98/7S ABC=

13abc

SM aM bM c=

13 ma mb mc =

13abc q.e.d.

S.98/8

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Beh,; SA1SA2...SAn=0

∑i=1

nSAi=0

Bew.: ∑i=1

nSAi= A1−S A2−s... An−S=∑

i=1

nAi−n⋅S

S=12 A1... An=

1n∑i=1

nAi

S.98/9Bew. siehe 98/7S.98/10Beh: [M ABM CD ]∩[M BCM AD]={ S }zu zeigen: M abS=S M CD und M BC S=S M AD

zu1: S−M AB=M CD−S

S−12⋅AB=1

2 CD−S

2⋅S=12⋅ABCD

3. Lineare Anhängigkeit von Vektoren3.1.Linearkombination von Vektoren Def.:Der Vektor v=k 1⋅v1k 2⋅v2...k n⋅vn mit k1, ...., kn ∈ℝ heißt Linearkombination der Vektoren v1 , ... , vnk 1 , k 2 ,... , k n sind die Koeffizienten der Vektoren v1 , ... , vn

Definition: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heißen komplanarBsp.:

A B

Komplanare Vektoren sind z.B.: EF ,AB ,AD ,HG ,EG ,...Bsp für eone Linearkombination: EG=EFFG

Aufgabe: Zeige zeichnerisch und rechnerisch, dass sich der Vektor v=42 als Linearkombination

der Vektoren v1=−12 v2=1

−1 und v3=20

l=2k−2l=k−2m4

--> für jedes l lösbarl=8k=5

m=12

D C

E FG

H

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3.2.Linear abhängige und unabhängige Vektoren

Der Vektor v=0,50,5−0,5 lässt sich linear aus den Vektoren v1=0

1−1 und v2=1

−11

erzeugen:v=v10,5 v2

Ebenso lässt sich v1 aus v und v2 erzeugen: v1=v−0,5 v2

Ebenso lässt sich v2 aus v und v1 erzeugen: v2=2v−2 v1

Es existiert also eine Wechselseitige Abhängigkeit zwischen v , v1 und v2 :v=v1−0,5⋅v2=0

Definition:Die Vektoren v1 , v2 ,... , vn heißen linear unabhägig, wenn die Gleichung k 1⋅v1k 2⋅v2...k n⋅vn=0 mit k1, ... kn ∈ℝ¿ nur für k 1=k 2=...=k n erfüllt ist.

Ansonsten sind sie linear abhängig.

II. Lineare Gleichungssysteme1) Schnitt von GeradenGeg.: Zwei Geraden g und hGes.: Schnittpunkt Sg :2x3y=21h :3x4y=6

g : y=23x−7

h : y=32−

34x

Lösungsmöglichkeiten:– Gleichsetzungsverfahren– Subtraktions- und Addidtionsverfahren (vorher evtl. Multiplizieren)– Einsetzungsverfahren

S.9 3a)

b)

implizite Darstellund der Geraden

explizite Darstellung

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c)

d)

e)

0

f)

g)

h)

1

1

1

1

1

1

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s.10/4a)

b)

3

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c)

d)

4

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e)

f)

2. Lineare GleichungssystemeBsp. für ein lineares Gleichungssystem (LGS)13x1−5 x2=72x2=3 x18

Def.:Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn is allen Gleichungen die Unbekannten höchstens in der ersten Potenz vorkommen. Es besteht i.A. aus m Gleichungen und n Unbekannten. Man spricht vom m-n-System

Eine Lösung des LGS ist ein n-Tupel von Zahlen.Schreibweise:

x1 |x2 |x3 |... |xn oder x1

x2

...xn

Die Faktoren vor dem Unbekannten heißten Koeffizienten des Systems. Sind alle Konstanten 0, so ist das LGS homohen, ansonsten inhomogen

3. Die Lösbarkeit eines 2-2-Systemsa) eine Lösung:1 x1−x2=52x1x2=15

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12: 2x1=20x1=10x2=5L={10 |5}

b) keine Lösung12x1 x2=722 x1x2=31−2: 0=4L={}

c) unendlich viele Lösungen1 x1x2=122 x12 x2=22:2=1

setze x1 = k:x2=1−kL={x1 | x2 |x1=k∈ℝ ; x2=1−k }

oder:

x1

x2=k1−k=01k⋅1

−1Die Lösung ist nicht eindeutig, z.B. Setze x2 = m

x1

x2=10m⋅−11

Inhomgenes LGS:10,5 x1−2 x20,5 x3=32−x18 x2−x3=−630,25 x1−2 x20,25 x3=1,51−2⋅3: x2=02 ' x1=6− x3

2 ' ∈13=3x1=6−x3

L={x1 | x2 | x3| x1=6−k ; x2=0 ; x3=k∈ℝ}

x1

x2

x3=6

00k⋅

−101

Homogenes LGS:

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10,5 x1−2 x20,5 x3=02−x18 x2−x3=030,25 x1−2 x20,25 x3=0x2=0x1=−x3

L={x1 | x2 | x3 | x1=−k ; x2=0 ; x3=k∈ℝ}

x1

x2

x3=k⋅−1

01

Beobachtungen:1) Bei der homogenen Lösung fällt der konstante Teil weg2) Ein homogenes LGS besitzt zumindest immer die triviale Lösung ( 0 | 0 | 0) 3) Die Lösung des homogenen Systems ist gleich der Parameterabhängigen Lösung des

inhomogenen Systems

S.15/2 a)1 x1−x2=62x1x2=−2

b)P11 |1P22|−4Geradengleichungen gleichsetzen1 x2=−5 x16

212x2=

−52x13

c)12x1 x2=0

2x112x2=0

4. Der Gauß-Algorithmus

1) x1 + 3x2 + x3 = 52) x2 - 2x3 = 63) x3 = -2

Das Lgs liegt in der sog. Dreiecksform vor und ist deshlab sehr leicht zu lösen

Allgemein: Ein LGS ist sehr leicht zu lösen, wenn es in der Stufenform vorkommt, dh jede Gleichung besitzt min. Eine variable weniger als die zuvor

Ziel von Gauß:Beschaffung einer Stufenform, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert.

Hilfsmittel:

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– Multiplikation mit einer Zahl, die ungleich 0 ist– Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und einer Vielfachen einer anderen

1. Beispiel (1) x1 + 4x2 + x3 = 7 (1) x1 + 4x2 + x3 = 7 (2) 3x1 + 2x2 + 4x3 = -1 (2) – 3(1) (2) -10x2 + x3 = -22 (3) 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 (3) – 2(1) (3) -3x2 + 2x3 = -10

3− 310

2 (1) x1 + 4x2 + x3 = 7 in (1) x1 = 1

(2) -10x2 + x3 = -22 in (2) x2 = 2 (3) 17/10x3 = -34/10 aus (3) x3 = -2

2. Beispiel Zur Verienfachung werden die Variablen weggelassen(1) x1 + x2 + x3 = 5(2) 2x1 + 3x2 = 3

(3) 3x1 + 2x3 = 1(4)

1 1 1 5 (3) – 3(1) 1 1 1 5 (3) + 3(2) 1 1 1 5 (2) + 2(3) 1 1 1 5 (1) – (2)2 3 0 3 0 1 -2 -7 0 1 -2 -7 0 1 0 33 0 3 1 (2) – 2(1) 0 -3 -1 -14 0 1 5 0 0 1 5 (1) – (3)

1 0 0 -30 1 0 3 x1 = -3 ; x2 = 3; x3 = 50 0 1 5DiegonalformS.111/2c)

a=3−14

b=−51−2

c=2−13

d=−3−110

−3−110 =k1⋅3

−14 k 2⋅−5

1−2k 3⋅2

−13

1 ) −3=3 k 1−5k 22k 3

2 ) −1=−k 1k 2−k3

3 ) 10=4k1−2k 23 k 3

3 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 10

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3 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 10I + 3 IIIII + 4 II0 -2 -1 -60 2 -1 6-1 1 -1 -1I + IIIII – II0 0 1 0-1 -1 0 -70 2 -1 6I + IIIII + I0 1 0 30 0 1 01 0 0 4

L={x1 | x2 | x3 | x1=4 ; x2=3 ; x3=0}d=4a3b

Def.: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heißen komplanarFolgerung:

1) Zwei nicht kollineare Vektoren a und b spannen eine Ebene auf.Jede Linearkombination von a und b lieft wiederrum in dieser Ebene, und ist deshalb komplanar zu a und b

2) Sind a und b nicht kollinear, dann lässt sich jeder zu a und b komplanare Vektor c in eindeutiger Weise aus a und b .

Beweis:Vor.: a nicht∥b ; c=⋅aµ⋅bBeh.: Es exisitert nur ein und µBew.: Mit Hilfe des Widerspruchbeweises:Annahme: Es gibt 1 , 2 , µ1, µ2:

1) c=1⋅aµ1⋅b2) c=2⋅aµ2⋅b

1) – 2) : 0=1−2⋅aµ1−µ2⋅bAnn.: 1≠2

--> a=−µ1−µ21−2

⋅b --> a∥b Widerspruch! --> 1=2

ebenso mit µ1 = µ2

q.e.d.

a kollinear zu b

k 1⋅a ¿k2⋅b=0 --> a=−k 2

k1⋅b

Page 17: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

k 1⋅ak 2⋅bk 3⋅c=0Zettel 3 Folgerungen:a ,bkollinear

<--> a ,b linear abhängig

a ,b ,c komplanar<-->

a ,b ,c linear abhängig

S.112/10

a=2−14 ; b=−3

01 ; c=−4

−16 ; v=3

−313

Beh.: a ,b ,c sind komplanarZ.z. a ,b ,c sind linear abhängig

2 -3 -4 0-1 0 -1 04 1 6 0I + 2 II III + 4 II

0 -3 -6 00 1 2 01 0 1 0--> unendlich viele Lösungen--> sind linear abhängig--> komplanar

k 1k 3=0k 22k3=0k 3=uk 1=−uk 2=−2u

gleiches für a ,b ,vb)

k 1⋅2−14 k2⋅−3

01 =0

00

2k1−3k 2=0−k1=04k 1k 2=0

--> a und b sind linear unabhängig--> a und b sind nicht kollinear

−7000a−14000b7000c=0

Page 18: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

c)k 1⋅ak 2⋅bk 3⋅c=v

2 -3 -4 3-1 0 -1 -34 1 6 13I + 2 IIIII + 4 II

0 -3 -6 -30 1 2 1-1 0 -1 -3

k 22k3=1k 1k 3=3k 3=uk 2=1−2uk 1=3−u

k 1

k 2

k 3=3

10u⋅

−1−21

2a−bc=v1a−3b2c=v

5. Das Determinatenverfahren5.1. Systeme mit 2 UnbekanntenAllgemeines 2-2-System: I : a1 x1b1 x2=c1

II : a2 x1b2 x2=c2

I ' : a1b2 x1b1b2 x2=b2c1

II ' : −a2b1 x1−b1b2 x2=−b1 c2

I ' II ' : a1b2−a2b1⋅x1=b2 c1−b1c2

x1=b2c1−b1 c2

a1b2−a2b1

x2=a1 c2−a2 c1

a1b2−a2b1

Bezeichnugn:Schreibt man die Koeffitienten in ein rechteckiges Schema, erhält man eine sogenannte Matrix(Mehrzahl Matrizen)hier:

a1 b1

a2 b2=AQuadratische Matrix

Stimmd die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahld er Unbekannten überein, so erhält man eine nicht quadratische MatrixMan definiert:

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det A=∣a1 b1

a2 b2∣=a1b2−a2b1=D

Hauptdeterminante

Ersetz man nun a1 | a2 (bzw b1 | b2) durch die Konstanten des inhomogenen LGS c1 | c2 erhökt man die sog. Nebendeterminanten

A1=c1 b1

c2 b2 --> det A1=∣c1 b1

c2 b2∣=c1b2−c2b1=D1

A2=a1 c1

a2 c2 --> det A2=∣a1 c1

a2 c2∣=a1 c2−a2c1=D2

Cramersche Regel:Das lineare 2-2-System hat folgende Lösungen

x1=det A1

det A

x2=det A2

det A

x1=D1

D

x2=D2

Dsofern D≠0

5.2. Systeme mit drei Unbekanntena1 x1b1 x2c1 x3=d1

a2 x1b2 x2c2 x3=d2

a3 x1b3 x2c3 x3=d 3

Cramersche Regel:

x1=D1

D

x2=D2

D

x3=D3

DD≠0

Berechnung einer 3x3-Matrix (bzw. Determinate)

∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3∣a1 b1

a2 b2

a3 b3

=D=a1b2 c3b1c2a3c1a2b3−a3b2 c1−b3c2a1−c3a2b1

(Regel von Sarrus) vgl. FS Seite 77Bsp S.40/9a)

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2x1x25x3=12x14x2 x3=1x1x22 x3=1

D=∣2 1 52 4 11 1 2∣

2 12 41 1

=1

D1=∣1 1 51 4 11 1 2∣

1 11 41 1

=−9=x1

D2=4=x2

D3=3= x3

sin cos tan cos−cos sin tan sin0 −1 tan sin cos tan

−cos sin tan0 −1

D=tan21Allgemein gilt:Wenn D≠0 --> LGS besitzt genau eine LösungD = 0 und mindestens ein Di≠0 --> LGS hat keine LösungD = 0 und alle Di = 0 --> LGS hat unendlich viel Lösungen oder keine Lösung

Bsp:x1−x22 x3=1−2 x12 x2−4 x3=22 x1−2 x24x3=2D1=D2=D3=D=02 x1−2 x24x3=−22 x1−2 x24x3=2

--> WiderspruchKomplanaritätskriteriena ,b ,c sind nicht komplanar für v gibt es eine eindeutige Linearkombination vonv beliebig a ,b und cv=k 1⋅ak 2⋅bk 3⋅c

eindeutig lösbar

a ,b ,c nicht komplanar <=> Genau dann wenn D≠0 ansonten:a ,b ,c komplanar <=> D = 0

wobei D=∣a1 b2 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3∣

4 a)

a=−12t b=−1

t2 c=t−1

2

Page 21: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

k 1⋅ak 2⋅bk 3⋅c=0 nur für k1 = k2 = k3 = 0−1 −1 t 02 t −1 0t 2 2 0

−1 −1 t 00 t−2 2t−1 00 2−t 2t2 0

−1 −1 t 00 t−2 2t−1 00 0 −t 2−2t−1 0

−t2−2 t−1=0t12=0t=−1

sei t≠−1 und k3 = 0 t−2⋅k 22t−1k 3=0t=2

sei t≠−1 ; t≠2 ; k 2=k 3=0−k1−k 2t⋅k 3=0k 1=0t∈R ohne {−1 ;2}

a) v=2a−b v ,a ,b komplanarb) -- w ,a ,b nicht komplanar

c) c=32a11

4b−5

4w a ,b , w nicht komplanar

d) -- da a ,b ,v komplanar und x nicht komplanar zu a ,b ,ve) unendl. a ,b ,v komplanar und z komplanar

Fazit:Jeder Vektor lässt scih in eindeutiger Weise al Linearkombination dreier nicht komplanarer Vektoren schreiben: Sind drei Vektoren komplanar, lässt sich ein vierter Vektor nicht (wenn er nicht in der gleichen Ebene liegt ) oder auf unendlich viele Arten dieser 3 Vektoren darstellen.

Anwendung der Linearen Unabhängigkeit1) Beweise:Im Dreieck teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1

ba

A B

C

S

Page 22: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

c

Geg.: a ,b ,cBeh.: AS=2⋅SM a

Vorgehen:(1) Suche eine geschlossene Vektorkette in der die gesuchten Transversallinien beteiligt sind

ABBSSA=0(2) Drücke die Vektoren durch die gegebenen Vektoren aus

AB=c ; BS=a12b⋅k ; SA=m⋅1

2ab

--> ck⋅a12bm⋅1

2ab=0

(3) Ordnen

a⋅k12m

12kmbc=0

mit c=−a−b

k12ma

12k

mb−a−b=0

k12m−1a

12km−1b=0

(4) Nutze die lineare Unabhängigkeit

k12m−1=0

12km−1=0

k=23=m

BS=23BM b

BS :SM b=2 :1S.121/14Geg.: u ,v , wb)

(1) ETTL¿=0

(2) ET=k⋅EM=k⋅12

uw

TL=m⋅LS=m⋅LE22EK=m⋅−u−1

6w5

6v

LE=12CB−u=−1

2w1

2vu

--> u 12k−m1w

12k−1

6m−1

2v⋅5

6m1

2=0

Page 23: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

56m1

2=0

m=−35

12k1

10−1

2=0

k=45

12⋅4

53

5−1=0

ET=45EM ET :TM=4 :1

TL=−35LS LT :TS=3 :2

III. Der abstrakte Vektorraum1. Basis und DimensionSatz: Ein beliebiges Paar linear unabhäniger Vektoren b1 und b2 bildet die Basis der Ebene. Jeder weitere Vektor der Ebene lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von b1 und b2 darstellen:x=x1⋅b1x2⋅b2x1 , x2 heißen Koordinaten von xb1 , b2 heiße Basisvektoren

Beweis der Eindeutigkeit (Abi)WiderspruchsbeweisAnnahme: Es gibt noch eine 2. DarstellungX=x1 '⋅b1x2 '⋅b2

x=x1⋅b1x2⋅b2

1) – 2) 0=b1x1 '−x2b2x2 '−x2Da b1 und b2 linear unabhängig--> x1 '−x1=0 --> x1 '=x1

--> x2 '− x2=0 --> x2 '= x2

--> Widerspruch; qedSatz: Analoges gilt für den Raum:Die linear unabhängigen Vektoren b1 , b2 , b3 bilden die Basis des Raums.Bsp.:

Welche Koordinaten hat der Vektor x=−1−11 bzgl.

a) der Standardbasis B1 {100 ,

010 ,

001}

x=−1100−10

1010

01

Page 24: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

b)

B2={111 ,

010 ,

001}

x=k 1⋅111k 2⋅0

10k 3⋅0

01

D=1≠0--> b1 , b2 , b3 sind linear unabhängigIn der Mathematik unterscheidet man Räume verschiedener Dimensionen, je nachdem wie viele Basisvektoren man bracuht, um alle Punkte und Vektoren beschreiben zu können. Ein Raum ist gleich Menge von Punkten bzw. Vektoren = Vektorraum

2. GruppenEine Menge M mit der Verknüpfung „ ° „ heißt Gruppe M ; ° wenn gilt:1) ∀ a ,b∈M --> a°b∈M (Abgeschlossenheit)2) Für jedes a∈M gibt es ein e∈M mit: a°e=a=e°a (e: neutrales Element)3) Für jedes a∈M gibt es ein a−1∈M mit a°a−1=e=a−1 °a (a-1: inverses Element)4) Assoziativ Gesetz: ∀ a ,b , c∈M : a°b°c =a°b°c

Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz: 5) ∀ a ,b∈M : a°b=b°a dann heißt M ; ° kommutative oder abelsche Gruppe

Beispiele:a)ℝ ;

1) ab∈ℝ2) a0=0=0a (0 ist neutrales Element)3) a−a =04) jo5) jo

--> ℝ ; abelsche Gruppeb)ℝ ;⋅

1) a⋅b∈ℝ2) a⋅1=1⋅a=a (1 ist neutrales Element)

3) a⋅1a=1 ℝ ;⋅ ist keine Gruppe, aber ℝ∖{0};⋅

c) ℤ ; abelsche Grupped) ℤ ;⋅ keine Gruppee) ℕ ; ist keine Gruppe, da kein neutrales Element enthalten ist3. VektorräumeEine Menge V mit den Verknüpfungen + und * heißt Vektorraum über ℝabgekürzt: V ;;⋅ , wenn gilt:

1) V ; ist eine abelsche Gruppe2) Für die Verknüpfung „*“ gilt:

(es sei a ,b∈VR ; r , s∈ℝ )a) r⋅a∈VR

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b) rs⋅a=r⋅as⋅ac) ab⋅r=a⋅rb⋅rd) r⋅s⋅a= r⋅s ⋅ae) 1⋅a=a

Beispiele für Vektorräume:1) Dreidimensionaler geometrischer Vektorraum V ; ;⋅2) Polynome 1. Grades über ℝ : P1 ; ;⋅

p x=a⋅xbq x=c⋅xd

Zu zeigen: (P1; + ) ist eine abelsche Gruppe

IV. Geraden im RaumZiel: Geraden und Strecken sollen druch Gleichungen beschreiben werdenProblem: Eine Biene fliege auf einer geraden Bahn quer durch ein Zimmer in Richtung Honig.Beschreibe die Flugbahn vektoriell

Zur eindeutigen Festlegung einer Geraden im Raum genügt ein Punkt und ein Richtungsvektor1. Darstellungsmöglichkeiten einer Geraden im Rauma) Punkt – Richtungsgleichung (Parameterform)Es sei A ein Punkt mir dem Ortsbektor OA und u ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann bilden sich die Punkte x mit dem Ortsvektor g :x=OAk⋅u mit k∈ℝ

Eine Gerade durch den Punkt AA heißt Aufpunkt, u Richtungsvektor und k Parameterb) Zweipunktgleichung (Parameter)Sind A und B zwei Punkte, so ergiebt sich die Geradengleichung zug :x=OAk⋅OB−OA

Bemerkung: Je nach Wahl des Aufpunkts oder des Richtungsvektors können sich für die selbe Gerade unterschiedliche Darstellungen ergebenBsp.: R(2|6|0); Q(6|4|2); G(10|2|4); P(16|-1|7)

g :x=ORk⋅OQ−OR =260k⋅

4−22 =2

60m⋅

2−11

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g :x=OQk⋅OG−OQ=642k⋅

4−22

S.143/11

sa:x=−5,54−3 m⋅5

−14

sb :x=7,509 k⋅−4,5

3−6

sc :x=11,529 k⋅−10,5

0−6

S.142/5

g1:x=000k⋅

101

g2 :x=000k⋅

−101

S.142/7

g :x=000k⋅

−11−1

S.142/9a) g :x=OAk⋅−OAOB b) k≥0c) k≤1d) 0≤k≤1S.145/25

OPa=12−1a⋅

2−7−2

Analytische Geometrie

I) Die Vektorrechnung 1. Der geometrische Vektorraum

Page 27: 12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

1.1.Vektoren im Anschauungsraum Def.:

a

Ein Vektor ist die Menge aller gleichsinnig parallelen und gleich langen Pfeile. Ein einzelner Pfeil heißt Repräsentant dieses Vektors.Bezeichnung:• kleine Buchstaben: a ;b ;c• große Buchstaben: AB ; CD

A Fußpunkt (Anfangspunkt)

B Endpunkt/SpitzeEin Vektor bezeichnet eine Parallelverschiebung (Translation)Def.: Ein Vektor, dessen Repräsentanten die Länge 0 haben, heißt Nullvektor 0

Ein Vektor heißt Gegenvektor eines Vektors a , wenn sich die Repräsentanten nur durch die entgegengesetzte Richtung unterscheiden.

1.2.Vektoraddition und Vektorsubtraktion

a b

ab „Fuß an Spitze“

zur Subtraktion: gesucht x∈Vektorraum V mit x=b−axa=b

a x „Fuß an Fuß“

oder„Spitze an Spitze“

b

x=−ab

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−a

x

b

Rechengesetze:a) Kommutativgesetz: Für alle a ,b∈V gilt: ab=bab) Assoziativgesetz: Für alle a ,b ,c∈V gilt: abc=abc

Beweis:

a b

ab bc c

abc

c) a0=a („Nullelement“)a−a=0 („Inverses Element“)

S.75/5

a) UV VW= UW

AB CA= CA AB= CBc) RS− RT= TSd) AB TA BT=0e) XY− ZY− XZ= XZ ZX=0S.75/6

a) ABx=0x= BA

b) x= BCc) x= CB AB= AB CD