Proseminar Kategorientheorie

13. Juni 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Mengenlehre 4

1.1 Naive Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Aussonderungsprinzip: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Abbildungen zwischen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Kardinal - und Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Kategorien 8

2.1 Duale Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Objektfreie De�nition einer Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Graphen von Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Funktoren 12

3.1 Kategorien der Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Natürliche Transformationen 16

4.1 Natürliche Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Funktorkategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Yoneda-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Objekte und Morphismen 21

5.1 Anfangs- und Endobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Nullobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Schnitte und Retraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Mono- und Epimorphismen 24

6.1 Monomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Reguläre und extremale Monomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Reguläre und extremale Epimorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Injektive Objekte und essentielle Einbettungen 29

7.1 Injektive Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.1.1 Konkrete Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.1.2 Injektive Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2 Essentielle Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3 Injektive Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.4 Projektive Objekte & Duales Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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INHALTSVERZEICHNIS 3

8 Quellen und Senken 35

8.1 Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.3 Senken und Koprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kapitel 1

Mengenlehre

"No problem is so big or so complicated that it can't be run away from!"

Linus van Pelt, Peanuts

1.1 Naive Mengenlehre

Cantor (19.Jh.): Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten,wohl unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Ele-mente von M genannt werden) zu einem Ganzen.Als existent vorausgesetzt werden: N = Menge der natürlichen Zahlen,

Z = Menge der ganzen Zahlen,Q = Menge der rationalen Zahlen,R = Menge der reellen Zahlen;

Die Naive Mengenlehre sieht vor: Für jede Eigenschaft ε existiert die Menge {x|ε(x)}.Also existiert auch die Menge {x|x = x}, die sog. �Allmenge�.⇒ Paradoxon von Russel und Zermelo:Sei R die Menge aller Mengen, die nicht Element von sich selbst sind.

R = {x|x Menge ∧ x /∈ x}

Dann gilt für alle Mengen y:y ∈ R⇔ y /∈ y

Dies gilt insbesondere auch für y = R. Es folgt:

R ∈ R⇔ R /∈ R

Widerspruch!

1.1.1 Aussonderungsprinzip:

Für jede Menge M und jede Eigenschaft ε existiert:

N = {x|x ∈M ∧ ε(x)} = {x ∈M |ε(x)}

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1.1. NAIVE MENGENLEHRE 5

De�nition. Eine Menge M heiÿt Teilmenge einer Menge N , falls jedes Element von M einElement von N ist.

∀x ∈M : x ∈ N

De�nition. Seien A und B Mengen. Wir de�nieren:

Komplement: A \B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}

Vereinigung: A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

Schnitt: A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

Satz 1.1.1 (Eigenschaften der Komplemente). Seien A, B und D Mengen. Weiter soll gelten,dass A und B Teilmengen von D seien. Dann gilt für die relativen Komplemente in D:

A ∪Ac = D

A ∩Ac = ∅

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

De�nition. Ein Mengensystem M ist eine Menge, deren Elemente alle Mengen sind.

De�nition. Sei M eine Menge. Dann ist die Potenzmenge von M die Menge aller Teilmengenvon M :

P(M) = {A|A ⊆M}

1.1.2 Abbildungen zwischen Mengen

De�nition. Seien a, b Objekte. Dann ist das geordnete Paar von a und b, geschrieben (a, b),de�niert durch:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Es gilt:

(a, b) = (b, a)⇔ a = c ∧ b = d

De�nition. Eine Menge R heiÿt Relation, falls jedes x ∈ R ein geordnetes Paar ist. Sind a, bObjekte und gilt (a, b) ∈ R, so schreiben wir hierfür a R b.

De�nition. Sei R eine Relation auf A.

1. R heiÿt re�exiv, falls für alle x ∈ A gilt: x R x

2. R heiÿt symmetrisch, falls für alle x, y ∈ A gilt: x R y ⇒ y R x

3. R heiÿt transitiv, falls für alle x, y, z ∈ A gilt: x R y ∧ y R z ⇒ x R z

4. Ist R re�exiv, symmetrisch und transitiv, so heiÿt R Äquivalenzrelation auf A.

6 KAPITEL 1. MENGENLEHRE

1.2 Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre

De�nition. Als Klasse wird eine beliebige Zusammenfassung beliebiger Objekte bezeichnet. Siewird de�niert durch logische Eigenschaften, welche alle Objekte der Klasse erfüllen. Eine Klasseheiÿt Menge, wenn sie Element einer Klasse ist. Klassen, die keine Mengen sind, werden als echteKlassen bezeichnet (manchmal auch Unmengen).

Konglomerate sind Ansammlungen, welche Klassen oder Konglomerate als Elemente enthalten.Ein mathematisches Universum fasst beliebige bekannte und unbekannte, über Axiome de�nierteObjekte zusammen, auch Mengen von Objekten. Es gilt: Jede Menge ist eine Klasse, jede Klasseist ein Konglomerat.Axiome:

• Extensionalitätsaxiom: Zwei Klassen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Ele-mente enthalten.

∀X,Y : (X = Y ⇔ ∀z : (z ∈ X ⇔ z ∈ Y ))

• Axiom der leeren Menge: Es existiert eine Klasse, die keine Elemente enthält.

∃X : ∀y : ¬(y ∈ X)

• Paarmengenaxion: Zu je zwei Mengen existiert eine Menge, deren Elemente genau diebeiden Mengen sind.

∀x, y : ∃z : ∀w : (w ∈ z ⇔ (w = x ∨ w = y))

• Vereinigungsaxiom: Zu jeder Klasse existiert eine Klasse, deren Elemente genau dieElemente der Elemente aus der ersten Klasse sind.

∀X : ∃Y : ∀z : (z ∈ Y ⇔ ∃w : (w ∈ X ∧ z ∈ w))

• Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge existiert eine Menge, deren Elemente genau dieTeilmengen der ersten Menge sind.

∀x : ∃y : ∀z : (z ∈ y ⇔ ∀w : (w ∈ z ⇒ w ∈ x))

• Unendlichkeitsaxiom: Es existiert eine Menge, die die leere Menge und mit jedem Ele-ment y auch die Menge y ∪ {y} enthält.

∃x : (∅ ∈ x ∧ ∀y : (y ∈ x⇒ y ∪ {y} ∈ x))

• Fundierungsaxion: Jede nichtleere Klasse enthält ein zu dieser Klasse disjunktes Element.

∀X : (X 6= ∅ ⇒ ∃y : (y ∈ X ∧ ¬∃z : (z ∈ X ∧ z ∈ y)))

• Komprehensionsschema: Zu jeder Eigenschaft existiert die Klasse aller Mengen, diediese Eigenschaft erfüllen.

• Ersetzungsaxiom: Das Bild einer Menge unter einer Funktion ist wieder eine Menge.

∀F, x : (F Funktion ⇒ ∃y : ∀z : (z ∈ y ⇔ ∃w : (w ∈ x ∧ (w, z) ∈ F )))

• Auswahlaxiom: Es existiert eine Funktion, die jeder nichtleeren Menge eines ihrer Ele-mente zuordnet.

∃F : (F Funktion ∧ ∀x : (x 6= ∅ ⇒ ∃y : (y ∈ x ∧ (x, y) ∈ F )))

1.3. KARDINAL - UND ORDINALZAHLEN 7

1.3 Kardinal - und Ordinalzahlen

De�nition. Die Kardinalzahl (oder auch Mächtigkeit) gibt im Allgemeinen an, wie viele Ele-mente eine Menge enthält. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist eine natürliche Zahl. Jedochkann man dieses Konzept auch auf unendliche Mengen anwenden. Unendliche Mengen könnenunterschiedliche Mächtigkeit haben.

Die �kleinste� unendliche Menge ist die der natürlichen Zahlen. Die Mächtigkeit wird mit ℵ0

bezeichnet. Die Mächtigkeit der reellen Zahlen wird meist mit C (von �continuum�) bezeichnet.

Satz 1.3.1. Mächtigkeit der Potenzmenge.Sei M eine Menge, P(M) die Potenzmenge von M .Dann gilt: |M | < |P(M)|.

Natürliche Zahlen werden für zwei Zwecke verwendet: Zum Einen geben sie die Anzahl derElemente endlicher Mengen an, zum Anderen geben sie die Position eines Element in einergeordneten Menge an. Letzteres wird Ordinalzahl genannt. Für endliche Mengen stimmen beideAngaben überein, für unendliche Mengen jedoch nicht.

De�nition. Eine Menge S heiÿt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch Teilmenge von Sist.Alternativ: Eine Menge X heiÿt Ordinalzahl, wenn für jedes y ∈ X die Menge y∪{y} ein Elementvon X oder identisch mit X ist und für jede Teilmenge Y von X die Vereinigung der Elementevon Y ein Element von X oder identisch mit X ist.

Es gilt: |N| = |Z| = |Q| < |R|Bemerkung (Kontinuumshypothese). Sei M eine Menge und es gelte |N| ≤ |M | ≤ |R|. Dann gilt:|N| = |M | oder |M | = |R|.

Satz 1.3.2 (Fundamentalsatz der Mengenlehre). In der klassisches Mathematik gilt: Die Kon-tinuumshypothese ist weder beweisbar noch widerlegbar.

Kapitel 2

Kategorien

De�nition. Eine Kategorie A entspricht einem Quadrupel (O,Mor, id, ◦) bestehend aus

(1) einer Klasse O, genannt Objekte von A.

(2) für jedes Paar (A,B) von Objekten in A einer Menge Mor(A,B), genannt Morphismen inA von A nach B. Dann gilt ∀A,B ∈ O: Mor(A,B) := {f |f ∈ A und f : A→ B}

(3) für jedes Objekt A in A einem Morphismus AidA−−→ A, genannt Identität von A in A.

(4) einer Zuordnungsvorschrift , die jedem Morphismus Af−→ B und jedem B

g−→ C in A einen

A-Morphismus Ag◦f−−→ C, genannt Verknüpfung von f und g, zuordnet. Diese hat folgende

Eigenschaften:

a) Es gilt das Assoziativgesetz: Für Af−→ B, B

g−→ C, Ch−→ D: h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f

b) Identitäten in A verhalten sind wie Identitäten, was die Hintereinanderausführung

anbelangt. Für A-Morphismus: Af−→ B gilt: idB ◦ f = f und f ◦ idA = f

c) Die Mengen Mor(A,B) sind paarweise disjunkt.

Bemerkung. Diese Kategorien werden häu�g auch als lokal kleine Kategorien bezeichnet. Ist zu-sätzlich auch die Klasse der Objekte von A eine Menge, so bezeichnet man A als kleine Kategorieund oft lässt man in einer allgemeinen Kategorie sowohl für Objekte als auch für die Morphismenechte Klassen zu.

Bemerkung.

(1) Mor(A,B) kann auch leer oder eine echte Klasse ein.Wir bezeichnen Mor(A :=

⋃A,B∈Ob(A)

Mor(A,B)) als die Klasse der A-Morphismen

(2) f : A → B sei A-Morphismus, dann ist A der De�nitionsbereich (dom(f)) und B derWertebereich (cod(f)) von f . Beide sind eindeutig.

(3) Die Verknüpfung ◦ ist de�niert auf der Klasse Mor(A). Für das Paar (f, g) gilt: f ◦ g istde�niert, wenn dom(f) = cod(f)

(4) Wenn von mehreren Kategorien die Rede ist, verwendet man Indizes z.B. MorA(A,B)

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(5) statt �Morphismen� verwendet man häu�g den Begri� �Pfeile�, da Morphismen nicht un-bedingt Abbildungen sein müssen.

(6) Die Klasse von A-Objekten wird bezeichnet mit Ob(A)

Beispiel 1. Kategorie SET, deren Objektklasse die Klasse der Mengen ist. Mor(A,B) ist dieMenge aller Funktionen f : A→ B dazwischen. idA ist die Indentitätsfunktion auf A und ◦ dieübliche Verknüpfung.

Beispiel 2. Kategorie VEC, deren Objekte reelle Vektorräume sind. Mor(A,B) sind lineareAbbildungen, idA und ◦ wie in Bsp.1.

Beispiel 3. Kategorie GRP, deren Objekte alle Gruppen sind. Mor(A,B) sind die Homomor-phismen dazwischen. idA und ◦ wie in Bsp.1.

Beispiel 4. partiell geordnete Klassen als Kategorien PROST: Jede partiell geordnete Klasse,d.h. jedes Paar (X,≤), mit X Klasse und ≤ eine re�exive und transitive Relation auf X, bildeteine Kategorie C(X,≤) = (O,Mor, id, ◦) wie folgt (Objekte sind Elemente von X):

O = X, ∀x, y ∈ X : Mor(x, y) =

{{(x, y)}, wenn x ≤ y∅, sonst

und idx = (x, x).

De�nition. Ein Morphismus f : A→ B in einer Kategorie wird Isomorphismus genannt, wennein Morphismus g : B → A existiert mit g ◦ f = idA und f ◦ g = idB . g wird Inverses zu fgenannt.

Satz 2.0.3. Wenn f : A→ B, g : B → A und h : B → A Morphismen sind, sodass g ◦ f = idAund f ◦ h = idBgilt, dann ist g = h.

Satz 2.0.4.

(1) Af−→ B Isomorphismus ⇒ B

f−1

−−→ A Isomorphismus und (f−1)−1 = f

(2) Af−→ B und B

g−→ C Isomorphismen ⇒ Af◦g−−→ C Isomorphismus und (g◦f)−1 = f−1 ◦g−1

De�nition. Objekte A und B einer Kategorie sind isomorph ⇔ Es existiert ein Isomorphismusf : A→ B.

Bemerkung. Eine Kategorie, bei der nur Isomorphismen als Morphismen zugelassen werden nenntman Gruppoid.

Beispiel 5. Eine Gruppe entspricht einer Kategorie mit nur einem Objekt und als Morphismenlässt man nur Automorphismen zu - somit ein Spezialfall eines Gruppoids.

De�nition. Eine Kategorie A ist Unterkategorie von einer Kategorie B, wenn gilt:

(1) Ob(A) ⊆ Ob(B)

(2) für alle A,A′ ∈ Ob(A) gilt: MorA(A,A′) ⊆ MorB(A,A′)

(3) für alle A-Objekte A ist die B-Identitüt auf A auch die A-Identität auf A.

(4) Die Zuordnungsvorschrift in A ist eine Einschränkung der Zuordnungsvorschrift in B fürdie Morphismen auf A.

De�nition. A ist volle Unterkategorie von B, wenn zusätzlich (zur De�nition der Unterkatego-rie) gilt: ∀A,A′ ∈ Ob(A) : MorA(A,A′) = MorB(A,A′).

10 KAPITEL 2. KATEGORIEN

Beispiel 6. Kategorie FinSET (Kategorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen) ist volleUnterkategorie von SET.

Beispiel 7. Kategorie PROST ist volle Unterkategorie der Kategorie REL (Kategorie derRelations-erhaltenden Abbildungen zwischen Paaren (X,ϕ) mit X Menge und ϕ binäre Relationauf X).

2.1 Duale Kategorien

De�nition. Für eine Kategorie A = (O,Mor, id, ◦), ist Aopp = (O,MorAopp , id, ◦opp) die dualeKategorie zu A, wobei gilt:

a) Ob(A) = Ob(Aopp)

b) MorAopp(A,B) = MorA(B,A)

c) f ◦opp g = g ◦ fBeispiel 8. Wenn A = (X,≤) eine partiell geordnete Klasse, als Kategorie betrachtet, ist, danngilt: Aopp = (X,≥), betrachtet als Kategorie.

2.2 Objektfreie De�nition einer Kategorie

De�nition. partiell binäre Algebra

(1) Eine partiell binäre Algebra ist das Paar (X, ∗), welches aus einer Klasse X und einerpartiell binären Operation ∗ auf X besteht.

(2) Wenn (X, ∗) eine partiell binäre Algebra ist, dann wird ein u ∈ X die Einheit von (X, ∗)genannt, wenn gilt x ∗ u = x (wenn x ∗ u de�niert ist) und u ∗ y = y (wenn u ∗ y de�niertist)

De�nition. Eine objekt-freie Kategorie ist eine partiell binäre Algebra C = (M, ◦), wobei dieElemente vonM Morphismen genannt werden und an die folgende Bedingungen gestellt werden:

a) Verknüpfungs-BedingungFür Morphismen f,g,h sind folgende Bedingungen äquivalent:- g ◦ f und h ◦ g sind de�niert- h ◦ (g ◦ f) ist de�niert- (h ◦ g) ◦ f ist de�niert

b) AssoziativitätsbedingungWenn für f, g und h die Anpassungsbedingung gilt, dann gilt: h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f

c) Existenz einer EinheitFür alle Morphismen f existieren Einheiten uC und uD von (M, ◦), sodass uC ◦ f undf ◦ uD de�niert sind.

d) Mengen-BedingungFür jedes Paar von Einheiten (u1, u2) von (M, ◦) ist die KlasseMor(u1, u2) = {f ∈M |f ◦ u1 und u2 ◦ f sind de�niert} eine Menge.

Satz 2.2.1. Wenn A eine Kategorie ist, dann gilt:

a) (Mor(A), ◦) ist eine objekt-freie Kategorie

b) Ein A-Morphismus ist eine A-Identität, wenn er eine Einheit auf (Mor(A), ◦) ist.

2.3. GRAPHEN VON KATEGORIEN 11

2.3 Graphen von Kategorien

Häu�g verwendet man zur Darstellung von Kategorien gerichtete Graphen. Ein Graph bestehtimmer aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten. Hier stellen die Knoten unsereObjekte der Kategorien dar. Die Kanten sind gerichtete Kanten und stellen die Morphismenzwischen den jeweiligen Objekten dar.

Beispiel 9. Der folgende gerichtete Graph entspricht einer Kategorie mit drei Objekten und diePfeile entsprechen den Morphismen. Der identische Morphismus auf den Objekten ist hier nichtexplizit dargestellt.

•:: //

��@@@

@@@@

•zz

������

���

oo

•

Kapitel 3

Funktoren

De�nition. Es seien A und B Kategorien. Ein (kovarianter) Funktor F : A → B ist einestrukturerhaltende Abbildung, die

(1) jedem A-Objekt A ein B-Objekt F(A) zuordnet:F : A 7→ F (A)

(2) jedem A-Morphismus Af−→ A′ einen B-Morphismus F (A)

F (f)−−−→ F (A′) zuordnet:∀A,A′ ∈ A: F : MorA(A,A′)→ MorB(F (A), F (A′))

Dabei muss gelten:

(i) F bewahrt die Struktur, d.h. F (f ◦ g) = F (f) ◦ F (g), sofern f ◦ g de�niert ist

(ii) F erhält Identitätsmorphismen, d.h. ∀A ∈ A: F (idA) = idF (A)

De�nition. Es seien A und B Kategorien. Ein kontravarianter Funktor F : A → B ist einestrukturerhaltende Abbildung mit

(1) F : Ob(A) 3 A→ F (A) ∈ Ob(B)

(2) ∀A,A′ ∈ A: F : MorA(A,A′)→ MorB(F (A′), F (A))

Dabei muss gelten:

(i) F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f), sofern f ◦ g de�niert ist

(ii) ∀A ∈ A: F (idA) = idF (A)

Bemerkung. Wählt man die objekt-freie De�nition einer Kategorie, so entspricht ein Funktoreiner struktur- und identitätserhaltenden Abbildung auf der Morphimenklasse.

Beispiel 10. Sei A eine Kategorie. Der identische Funktor idA : A → A, de�niert durch idA(Af−→

A′) = Af−→ A′, bildet Objekte und Morphismen identisch auf sich ab. idA ist kovariant.

Beispiel 11. Sei A eine Kategorie. Der Vergiss-Funktor U : A → Set ordnet jedem Objekt (miteiner bestimmten Struktur) die zugrundeliegende Menge und jedem Morphismus die zugrunde-liegende Mengenabbildung zu. U ist kovariant.

Beispiel 12. Sei A eine Kategorie und A ∈ Ob(A). Der kovariante Hom-Funktor Hom(A,−) :A → Set ist de�niert durch:Hom(A,−)(B

f−→ C) := Hom(A,B)Hom(A,f)−−−−−−→ Hom(A,C), wobei Hom(A, f)(g) = f ◦ g ist.

12

13

Beispiel 13. Sei A eine Kategorie und A ∈ Ob(A). Der kontravariante Hom-Funktor Hom(−, A) :

A → Set ist de�niert auf einem A-Morphismus Bf−→ C durch:

Hom(−, A)(Bf−→ C) := HomA(B,A)

Hom(f,A)−−−−−−→ HomA(C,A), mit Hom(f,A)(g) = g ◦ f , wobeidie Struktur von A gilt.

Satz 3.0.1. Wenn F : A → B und G : B → C Funktoren sind, dann ist auch die Verknüpfung

G ◦ F : A → C, de�niert durch (G ◦ F )(Af−→ A′) = G(F (A))

G(F (f))−−−−−→ G(F (A′)), ein Funktor.

De�nition. (1) Ein Funktor F : A → B heiÿt Isomorphismus, wenn ein Funktor G : B→ Aexistiert, sodass G ◦ F = idA und F ◦G = idB.

(2) Die Kategorien A und B heiÿen isomorph, wenn ein Isomorphismus F : A → B existiert.

Bemerkung. Der Funktor G ist durch F eindeutig bestimmt, deswegen nennen wir ihn F−1.

Satz 3.0.2. Alle Funktoren F : A → B bewahren Isomorphismen. Zum Beispiel: Wenn A k−→ A′

ein A-Isomorphismus ist, dann ist F (k) ein B-Isomorphismus.

Bemerkung. Dieser Satz kann benutzt werden um zu zeigen, dass einige Objekte in einer Kate-gorie nicht isomorph sind.

De�nition. Ein Funktor F : A → B heiÿt

• voll, falls F : MorA(A,A′)→ MorB(F (A), F (A′)) surjektiv ist

• treu, falls F : MorA(A,A′)→ MorB(F (A), F (A′)) injektiv ist

• volltreu, falls F : MorA(A,A′)→ MorB(F (A), F (A′)) bijektiv ist

• Einbettung, falls F injektiv auf der Klasse der Morphismen Mor(A) ist

Bemerkung. Seien A ∈ Ob(A) und f ∈ Mor(A). Ist F : A → B eine Einbettung, so bildendie Objekte F (A) mit den Morphismen F (f) eine Unterkategorie von B. Diese wird mit F(A)bezeichnet.

Satz 3.0.3. Seien F : A → B ein volltreuer Funktor und f : X → Y ein Morphismus derKategorie A. Dann gilt: f ist Isomorphismus ⇔ F(f) ist Isomorphismus.

Bemerkung. (1) Ein Funktor F ist eine Einbettung ⇔ F ist treu und injektiv auf Objekten

(2) Ein Funktor F ist ein Isomorphismus ⇔ F ist volltreu und bijektiv auf Objekten

Beispiel 14. Der Vergissfunktor U : Vec→ Set ist treu, aber weder voll noch eine Einbettung.

Beispiel 15. Der kovariante Potenzmengen-Funktor P : Set → Set ist eine Einbettung, abernicht voll.

Satz 3.0.4. Seien F : A → B und G : B→ C Funktoren.

(1) Wenn F und G Isomorphismen sind (bzw. Einbettungen, treu oder voll), so ist es auchG ◦ F .

(2) Ist G ◦ F eine Einbettung (bzw. treu), so ist es auch F .

(3) Ist F surjektiv auf den Objekten und ist G ◦ F voll, dann ist G voll.

14 KAPITEL 3. FUNKTOREN

Satz 3.0.5. Wenn F : A → B ein volltreuer Funktor ist, dann existiert für jeden B-Morphismusf : F (A)→ F (A′) ein eindeutiger A-Morphismus g : A→ A′ mit F (g) = f .Des Weiteren ist g ein A-Isomorphismus ⇔ f ist B-Isomorphismus.

De�nition. (1) Ein Funktor F : A → B heiÿt wesentlich surjektiv, wenn für jedes B ∈ Ob(B)ein A ∈ Ob(A) existiert, sodass F (A) isomorph zu B ist.

(2) Ein Funktor F : A → B heiÿt Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.

(3) Die Kategorien A und B heiÿen äquivalent, wenn eine Äquivalenz von A nach B existiert.

Beispiel 16. Jeder Isomorphismus zwischen Kategorien ist eine Äquivalenz. Demzufolge sindisomorphe Kategorien äquivalent.

Beispiel 17. Die Kategorie Mat ist äquivalent zur Kategorie der endlich-dimensionalen R-Vektorräume FinV ecR, aber sie sind nicht isomorph.Dass es keinen Isomorphismus gibt, liegt daran, dass in Mat verschiedene Objekte nicht iso-morph sein können.Eine Äquivalenz wird jedoch gegeben durch einen Funktor, der jeder natürlichen Zahl n ∈Ob(Mat) den Vektorraum Rn und jeder n × m-Matrix A ∈ Mor(Mat) die lineare Abbildungvon Rn nach Rm zuordnet, die widerum jedem x = (x1, x2, ...xn) ∈ Rn den Vektor xA ∈ Rmzuordnet.

Satz 3.0.6. (1) Ist F : A → B eine Äquivalenz, dann existiert eine Äquivalenz G : B→ A.

(2) Sind F : A → B und H : B→ C Äquivalenzen, so ist auch H ◦F : A → C eine Äquivalenz.

De�nition. Sei F : A → B ein Funktor. Der duale Funktor F opp : Aopp → Bopp ist de�niertdurch: F opp(A

f−→ A′) = F (A)F (f)−−−→ F (A′).

Bemerkung. O�ensichtlich gilt: (F opp)opp = F

Satz 3.0.7. Jede der folgenden Eigenschaften von Funktoren ist selbst-dual: Isomorph, Einbet-tung, treu, voll, wesentlich surjektiv und Äquivalenz.

3.1 Kategorien der Kategorien

Bemerkung. Funktoren verhalten sich zwischen Kategorien wie Morphismen. Sind sind bezüg-lich der assoziativen Verknüpfung abgeschlossen und die Identitätsfunktoren verhalten sich wieIdentitäten bezüglich der Verknüpfung.Beim Aufbau der Kategorie aller Kategorien entstehen jedoch zwei Schwierigkeiten:

(1) Die Kategorie aller Kategorien würde als Objekte solche wieVec oder Top haben, die echteKlassen sind. Aber echte Klassen können keine Elemente von Klassen sein. Also würde dasKonglomerat aller Objekte keine Klasse sein.

(2) Seien A und B beliebige Kategorien. Es ist nicht allgemein gültig, dass das Konglomerataller Funktoren von A nach B eine Menge bildet.

Diese Probleme werden eliminiert, indem wir unsere Aufmerksamkeit Kategorien widmen, dieMengen sind.

De�nition. Eine Kategorie A heiÿt klein, wenn ihre Klasse von Objekten Ob(A) eine Mengeist. Andernfalls heiÿt sie groÿ.

3.1. KATEGORIEN DER KATEGORIEN 15

Bemerkung. Wenn Ob(A) eine Menge ist, dann muss auch Mor(A) eine Menge sein, genauso wiedie Kategorie A = (Ob(A),Mor, id, ◦) eine Menge sein muss.

De�nition. Die Kategorie Cat der kleinen Kategorien hat als Objekte alle kleinen Kategorien,als Morphismen von A nach B alle Funktoren von A nach B, als Identitäten die Identitätsfunk-toren und als Verknüpfung die übliche Verknüpfung von Funktoren.

Bemerkung. (1) Dass Cat tatsächlich eine Kategorie ist, folgt aus:

(a) Da jede kleine Kategorie eine Menge ist, ist das Konglomerat aller kleinen Kategorieneine Klasse.

(b) Für jedes Paar (A,B) von kleinen Kategorien ist das Konglomerat aller Funktorenvon A nach B eine Menge.

(2) Cat selbst ist nicht klein.

Bemerkung. (1) Eine Quasikategorie ist ein Quadrupel (O,Mor, id, ◦), das genau wie eine Ka-tegorie de�niert ist, auÿer dass O keine Klasse mehr sein muss und dass jedes KonglomeratMor(A,B) keine Menge mehr sein muss.

(2) Die Quasikategorie CAT aller Kategorien hat als Objekte alle Kategorien, als Morphismenvon A nach B alle Funktoren von A nach B, als Identitäten die Identitätsfunktoren undals Verknüpfung die übliche Verknüpfung von Funktoren.

(3) Jede Kategorie ist eine Quasikategorie.

(4) CAT ist eine echte Quasikategorie und zwar in dem Sinne, dass CAT keine Kategorie ist.

Kapitel 4

Natürliche Transformationen

Sei V ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum und V ∗ der duale Vektorraum (d.h. die linea-ren Abbildungen V −→ R ). V und V ∗ sind isomorph. Folglich sind auch V und V ∗∗ isomorph.Allerdings besteht ein fundamentaler Unterschied zwischen den beiden Situationen. Es gibt einennatürlichen Isomorphismus τ : V −→ V ∗∗ welcher jedem Vektor x die Funktion τ(x) : V ∗ −→ Rzuordnet. Jedoch besteht kein natürlicher Isomorphismus zwichen V und V ∗. Dieses Kapitel for-malisiert den Begri� 'Natürlichkeit'.De�nition. Seien F,G: A −→ B Funktoren.

Eine natürliche Transformation τ von F nach G (geschrieben: τ : F −→ G oder F τ //G )ist eine Abbildung, welche jedem A-Objekt A einen B-Morphismus τA : FA −→ GA( τA heiÿtKomponente) zuordnet, so dass die folgenden natürlichen Bedingung erfüllt sind:

Für jeden A-Morphismus Af //A′ , soll das Diagramm

FAτA //

Ff

��

GA

Gf

��FA′ τA′

// GA′

kommutieren.

Beispiel 1. Sei U : Grp −→ Set der Vergiss-Funktor und seiS : Grp −→ Set der Quadrat-Funktor, de�niert durch

S(Gf //H) = G2

f2

//H2 . Für jede Gruppe G, ist ihre Multiplikation eine Abbildung τG :G2 −→ G. Die Familie τ = (τG) ist eine natürliche Transformation von S nach U. Die natürlichenBedingungen meinen einfach, dass f(x · y) = f(x) · f(y) für jeden Gruppen-Homomorphismus

Gf //H und jedes x, y ∈ G gilt. Also können Multiplikationen in Gruppen als natürliche

Transformationen betrachtet werden. Ebenso kann für jede Art von Algebra, jede der de�niertenOperationen als natürliche Transformation zwischen geeigneten Funktoren angesehen werden.

De�nition. Wenn G,G′ : A −→ B Funktoren sind und Gτ //G′ eine natürliche Transforma-

tion, dann gilt

1. für jeden Funktor F : C −→ A , ist die natürliche Transformation τF : G ◦ F −→ G′ ◦ F

16

4.1. NATÜRLICHE ISOMORPHISMEN 17

de�niert als(τF )C = τFC

2. für jeden Funktor H : B −→ D , ist die natürliche Transformation Hτ : H ◦G −→ H ◦G′de�niert als

(Hτ)A = H(τA)

Ebenfalls ist die natürliche Transformation G′oppτopp//Gopp de�niert als

τoppA = τA

Beispiel 18. Wenn Bf //C ein A-Morphismus ist, dann sind

homA(C,−)τf //homA(B,−)

de�niert durch τf (g) = g ◦ f , und

homA(−, B)σf //homA(−, C)

de�niert durch σf (g) = f ◦ g, natürliche Transformationen.

Beispiel 19. Wenn S2 : Set −→ Set der Quadrat-Funktor ist und∆ : id −→ S2 die natürliche Transformation, welche mit jedem gegebenen X die diagonaleAbbildung ∆X : X −→ X2, gegeben durch x 7−→ (x, x), verbindet, dann

1. S2∆ : S2 −→ S2 ◦ S2 ist gegeben durch (x, y) 7−→ ((x, x), (y, y)),

2. ∆S2 : S2 −→ S2 ◦ S2 ist gegeben durch (x, y) 7−→ ((x, y), (x, y)).

4.1 Natürliche Isomorphismen

De�nition. Seien F,G : A −→ B Funktoren.

1. Eine natürliche Transformation Fτ //G bei der τA ein Isomorphismus ist, nennt man

natürlicher Isomorphismus von F nach G. Allgemein: Eine natürliche Transformation Fnach G mit Komponenten die zu einer speziellen Klasse M von B-Morphismen gehören,nennt mann M-Transformationen.

2. Wenn F und G natürlich isomorph sind (geschrieben : F ∼= G) , bedeutet das, dass einnatürlicher Isomorphismus von F nach G existiert.

Beispiel 4.Für jeden Funktor F : A −→ B haben wir die identische natürliche Transformationauf F, idF : F −→ F gegeben durch

(idF )A = idFA

, welche ein natürlicher Isomorphismus ist.

Beispiel 20. Wenn f ein Morphismus ist und τfund σfdie zugehörigen natürlichen Transforma-tionen für die Hom-Funktoren, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

18 KAPITEL 4. NATÜRLICHE TRANSFORMATIONEN

1. f ist ein Isomorphismus

2. σf ist ein natürlicher Isomorphismus

3. τf ist ein natürlicher Isomorphismus

Also, wenn A und B isomorphe Objekte sind, dann sind Hom(A,−) und Hom(B,−)natürlichisomorphe Funktoren und genau so auch Hom(−, A) und Hom(−, B).Die Umkehrung gilt ebenfalls.

Letztes mal haben wir gesehen, dass wenn A F //B ein Äquivalenz ist, dann gibt es ein Äqui-

valenz B G //A .Nun da wir den Begri� des natürlichen Isomorphismus eingeführt haben, können wir diese Aus-sage noch spezi�zieren und zwar wie folgt:

Satz 4.1.1. Ein Funktor A F //B ist einÄquivalenz, genau dann wenn ein Funktor B G //Aexistiert, so dass idA ∼= G ◦ F und F ◦G ∼= idB .

4.2 Funktorkategorie

Wenn F,G,H : A −→ B Funktoren und Fσ //G und G

τ //H natürliche Transformationen,dann ist die Hintereinanderschaltung von natürlichen Transformationen τ ◦ σ : F −→ H , dienatürliche Transformation, welche jedem A-Objekt A den Morphismus τA ◦σA : F (A) −→ H(A)zuordnet.

FAFf //

σA

��τA◦σA

!!

FA′

σA

��τA◦σA

}}

GAGf //

τA

��

GA′

τA

��HA

Hf//HA′

Bemerkung. Es ist o�ensichtlich, dass die Hintereinanderschaltung von natürlichen Transfor-mationen eine natürliche Transformation ist, diese Hintereinanderschaltung assoziativ ist unddass die identische natürliche Transformation als Einheit auftritt.

De�nition. Für kleine Kategorien A und B, besitztdie Funktorkategorie [A,B],

1. als Objekte alle Funktoren von A nach B,

2. als Morphismen von F nach G, alle natürlichen Transformationen von F nach G,

3. als Identitäten, die identischen natürlichen Transformationen

4.3. YONEDA-LEMMA 19

4. als Hintereinanderschaltungen, die Hintereinanderschaltungen aller oben angegebenen na-türlichen Transformationen.

Bemerkung. Wenn A und B groÿe Kategorien sind (also normale Kategorien) dann bilden sieeine Quasi-Kategorie.

Satz3.1. Für jeden Funktor F : A −→ Set , jedes A-Objekt A und jedes Element a ∈ F (A)existiert eine eindeutige natürliche Transformation

τ : Hom(A,−) −→ F mit τA(idA) = a

Beweis. Sei τB(f) = (F (f))(a).Punktweise Auswertung ergibt, dass τ eine natürliche Transformation ist.Wenn δ : Hom(A,−) −→ F ist, so dass δA(idA) = a ist, dann folgt aus der Natürlichkeit von δ,

δB(f) = δB(f ◦ idA) = (δB ◦Hom(A, f))(idA) = (F (f) ◦ δA)(idA) = F (f)(a) = τB(f)

(f ist ein A-Morphismus). �

4.3 Yoneda-Lemma

Das Yoneda-Lemma legt nahe, dass es vorteilhaft ist mit der Kategorie aller Funktoren von Anach Set zu arbeiten, anstatt mit der eigentlichen Kategorie A.Die Kategorie Set ist uns wohlbekannt und ein Funktor von A nach Set kann als Darstellungvon A, in bekannte Strukturen, aufgefasst werden.A selbst ist in dieser Funktorkategorie enthalten, auÿerdem erscheinen neue Objekte, welche inA fehlten und versteckt waren.

De�nition. Ein Funktor F : A −→ Set heiÿt darstellbar (von einem A-Objekt A), wenn Fnatürlich isomorph zum Hom-Funktor

Hom(A,−) : A −→ Set

ist.

Bemerkung. Objekte die den selben Funktor darstellen (oder zwei natürlich isomorphe Funk-toren) sind isomorph.

Beispiel 6. Vergiss-Funktoren sind oft darstellbar:

1. Vec −→ Set ist darstellbar durch den Vektorraum R

2. Grp −→ Set ist darstellbar durch die Gruppe der ganzen Zahlen Z

Das Yoneda-Lemma betri�t Funktoren F:A −→ Set.Ist A eine Kategorie, dann wird jedes Objekt A von A zu einem natürlichen Funktor von Set.Also zu einem Hom-Funktor Hom(A,−).Der kovariante Hom-Funktor Hom(A,−) überführt X in die Menge der Morphismen Mor(A,X)und einen Morphismus f : X −→ Y in den Morphismus f ◦ −, welcher einen Morphismus g ausMor(A,−) in den Morphismus f ◦ g aus Mor(A, Y ) überführt.Korollar.Wenn F : A −→ Set ein Funktor ist und A ein A-Objekt, dann ist die Abbildung

Y : [Hom(A,−), F ] −→ F (A)

20 KAPITEL 4. NATÜRLICHE TRANSFORMATIONEN

de�niert als u = Y (σ) = σA(idA), eine Bijektion.(Wobei [Hom(A,−), F ] die Menge aller natürlichen Transfomationen von Hom(A,−) nach F). Yheiÿt Yoneda-Abbildung.

Beweis.Der Beweis wird durch das folgende kommutative Diagramm verdeutlicht:

Hom(A,A)Hom(A,f)//

σA

��

Hom(A,X)

σX

��F (A)

Ff// F (X)

mit idA //

��

f

��u //(Ff)u = σX(f)

Das Diagramm zeigt, dass die natürliche Transformation σ eindeutig bestimmt ist durch σA(idA) =u, da es für jeden Morphismus f : A −→ X ein σX(f) = (Ff)u gibt.Weiterhin de�niert jedes Element u ∈ F (A) auf diese Weise eine natürliche Transformation.So bietet das Yoneda-Lemma eine komplette Darstellung aller natürlichen Transformationen vomHom-Funktor Hom(A,−) zum FunktorF : A −→ Set. �Theorem. Für jede Kategorie A, ist der Funktor E : A −→ [Aopp,Set], de�niert als

E(Af //B) = Hom(−, A)

σf // Hom(−, B)

wobei σf (g) = f ◦ g , eine volle Einbettung.Beweis. Die beschriebene Zuordnung bewahrt eindeutig Identitäten und Hintereinanderschaltun-gen. Also ist es ein Funktor. Wenn f und f' verschiedene Elemente von Hom(A,B) sind, dannsind σf und σf ′ eindeutig verschieden von idA. Daher ist E treu.Vollheit folgt aus dem Korollar zum Yoneda-Lemma mit F = Hom(B,−).

Kapitel 5

Objekte und Morphismen

5.1 Anfangs- und Endobjekte

De�nition. Ein Objekt A in einer Kategorie A heiÿt Anfangsobjekt (initiales Objekt), wenn fürjedes Objekt B aus A genau ein Morphismus f: A → B existiert.

Satz 5.1.1. Anfangsobjekte sind eindeutig, d.h.

i) wenn A und B Anfangsobjekte sind, dann sind A und B isomorph.

ii) wenn A ein Anfangsobjekt ist, dann ist auch jedes Objekt, das isomorph zu A ist, einAnfangsobjekt.

Beispiel 21. Für die Kategorie SET ist die leere Menge ∅ das einzige Anfangsobjekt. Ebenso istfür die Kategorie POS die leere partiell geordnete Menge das einzige Anfangsobjekt und für dieKategorie TOP der leere topologische Raum.

Beispiel 22. Für die KategorienGRP undAB ist jede einelementige Gruppe ein Anfangsobjekt,ebenso für VEC.

Beispiel 23. In einer partiell geordneten Menge betrachtet als Kategorie ist ein Objekt genaudann ein Anfangsobjekt, wenn es das kleinste Element der Ordnung ist (falls dies existiert).

Bemerkung. Endliche partiell geordnete Mengen können in Hasse-Diagrammen visualisiert wer-den. Dabei werden die Elemente der Menge als Punkte in der Ebene gezeichnet, wobei direkteNachfolger höher liegen als ihre Vorgänger. Zwei Knoten a und b werden durch eine Kanteverbunden, wenn a < b gilt und es kein c gibt mit a < c < b.

Beispiel 24. Kommakategorie: Zu jedem C-Objekt A gibt es eine Kategorie (A ↓ C) (auch mit(A, C) bezeichnet), die Kategorie der Objekte unter A, deren Objekte C-Morphismenf: A → B, g: A → C usw. sind und deren Morphismen C-Morphismen h: B → C sind, für diefolgendes Diagramm kommutiert:

Af

��~~~~

~~~

g

��@@@

@@@@

Bh

// C

Dann ist A ein Anfangsobjekt von (A ↓ C).

21

22 KAPITEL 5. OBJEKTE UND MORPHISMEN

De�nition. Ein Objekt A in einer Kategorie A heiÿt Endobjekt (terminales/�nales Objekt),wenn für jedes Objekt B aus A genau ein Morphismus f: B → A existiert.

Satz 5.1.2. Endobjekte sind eindeutig.

Beispiel 25. Für die Kategorie SET ist jede einelementige Menge ein Endobjekt.

Beispiel 26. Für die Kategorien VEC, POS, GRP, AB, TOP und CATof ist das entspre-chende Objekt zur einelementigen Menge {0} ein Endobjekt.

Beispiel 27. In der Kategorie REL ist ({0} , {(0, 0)}) ein Endobjekt.

Beispiel 28. In einer partiell geordneten Menge betrachtet als Kategorie ist ein Objekt genaudann ein Endobjekt, wenn es das gröÿte Element der Ordnung ist (falls dies existiert).

Beispiel 29. Kommakategorie: In (C ↓ A) (auch mit (C, A) bezeichnet), der Kategorie der Objek-te über A, dem dualen Konzept zur Kategorie der Objekte unter A, kommutiert das Diagramm

Bh //

f ��@@@

@@@@

C

g��~~

~~~~

~

A

und A ist ein Endobjekt von (C ↓ A).Bemerkung. Die Begri�e �Anfangsobjekt� und �Endobjekt� sind dual zueinander, d.h. A ist einEndobjekt in A genau dann, wenn A ein Anfangsobjekt in Aopp ist.

5.2 Nullobjekte

De�nition. Ein Objekt A in A heiÿt Nullobjekt, wenn es sowohl ein Anfangs- als auch einEndobjekt ist.

Satz 5.2.1. Nullobjekte sind eindeutig.

Beispiel 30. In den Kategorien SET und TOP existieren keine Nullobjekte.

Beispiel 31. In der Kategorie VEC ist der Nullvektorraum Nullobjekt.

Beispiel 32. In den Kategorien GRP und AB existieren Nullobjekte, nämlich die triviale Grup-pe, die nur aus dem neutralen Element besteht.

Beispiel 33. In der Kategorie POS existieren keine Nullobjekte.

Bemerkung. Nullobjekte sind selbstdual, d.h. A ist ein Nullobjekt in A genau dann, wenn A einNullobjekt in Aopp ist.

5.3 Schnitte und Retraktionen

De�nition. Ein A-Morphismus f: A → B heiÿt Schnitt in A, wenn ein A-Morphismusg: B → A existiert, so dass g ◦ f =idA gilt, d.h. wenn f ein Linksinverses besitzt.

Satz 5.3.1.

i) Wenn f: A → B und g: B → C Schnitte sind, dann ist auch g ◦ f: A → B → C ein Schnitt.

ii) Wenn g ◦ f: A → B → C ein Schnitt ist, dann ist f ein Schnitt.

5.3. SCHNITTE UND RETRAKTIONEN 23

Satz 5.3.2.

i) Jeder Funktor erhält Schnitte, d.h. wenn F: A → B ein Funktor ist und f ein A-Schnitt,dann ist F (f) ein B-Schnitt.

ii) Jeder Funktor, der voll und treu ist, re�ektiert Schnitte, d.h. wenn F: A → B voll und treuund F (f) ein B-Schnitt ist, dann ist f ein A-Schnitt.

Beispiel 34. In der Kategorie SET ist ein Morphismus f genau dann ein Schnitt, wenn f injektivist, aber nicht ∅ → A mit A 6= ∅.Beispiel 35. In der Kategorie VEC sind die Schnitte genau die injektiven linearen Abbildungen.

Beispiel 36. Für Mengen X, Y (bzw. topologische Räume) und a ∈ Y ist f: X → X×Y, de�niertdurch f(x)=(x,a), ein Schnitt in SET bzw. TOP.

Bemerkung. Der Begri� �Schnitt� kommt aus Beispiel 16, denn das Bild von f ist ein �Querschnitt�des Produkts, das homomorph zu X ist.

De�nition. Ein A-Morphismus f: A → B heiÿt Retraktion in A, wenn ein A-Morphismusg: B → A existiert, so dass f ◦ g=idB gilt, d.h. wenn f ein Rechtsinverses besitzt. Wenn es einesolche Retraktion gibt, wird B ein Retrakt von A genannt.

Bemerkung. Der Begri� �Retraktion� kommt aus der Topologie, wo ein Unterraum Y eines Raum-es X Retrakt heiÿt, wenn es eine stetige Funktion f: X → Y gibt mit f(y)=y ∀ y ∈ Y, so dass füre: Y → X gilt: f ◦ e=idY .

Satz 5.3.3. Für einen A-Morphismus f sind folgende Aussagen äquivalent:

i) f ist ein Isomorphismus in A.

ii) f ist ein A-Schnitt und eine A-Retraktion.

Satz 5.3.4. Für Retraktionen gilt:

i) Wenn f: A → B und g: B → C Retraktionen sind, dann ist auch g ◦ f: A → C eineRetraktion.

ii) Wenn g ◦ f: A → C eine Retraktion ist, dann ist g eine Retraktion.

Satz 5.3.5. Weiterhin gilt:

i) Jeder Funktor erhält Retraktionen.

ii) Jeder Funktor, der voll und treu ist, re�ektiert Retraktionen.

Beispiel 37. In der Kategorie SET ist ein Morphismus f genau dann eine Retraktion, wenn fsurjektiv ist. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom für Mengen.

Beispiel 38. In der Kategorie VEC sind die Retraktionen genau die surjektiven linearen Abbil-dungen.

Bemerkung.

i) Die Begri�e �Schnitt� und �Retraktion� sind dual zueinander.

ii) Aus Satz 3.2. und der dualen Aussage, Satz 3.5., folgt, dass jeder Funktor, der voll undtreu ist, Isomorphismen re�ektiert.

Kapitel 6

Mono- und Epimorphismen

6.1 Monomorphismen

De�nition. Sei A Kategorie, A,B,C ∈ Ob(A)

Ein Morphismus Af−→ B heiÿt Monomorphismus, wenn für jedes Paar Morphismen C

h

⇒kA

gilt: f ◦ h = f ◦ k ⇒ h = k

Beispiel.

1) f ist in Set und Vec genau dann Monomorphismus, wenn f injektiv ist.

2) In CAT sind die Monormorphismen genau die einbettenden Funktoren

Satz.

1) Sind Af−→ B und B

g−→ C Monomorphismen, so ist auch g ◦ f Monomorphismus

2) Ist Af−→ B

C−→ Monomorphismus, so ist f Monomorphismus.

3) Hat f ein rechts Inverses, so ist f Monomorphismus. (Insbesondere ist jeder Isomorphismusauch Monomorphismus)

4) Jeder darstellbare Funktor F : A →Set erhält Monomorphismen.

5) Ist der Funktor F : A → B treu und F(f) ein B-Monomorphismus, so ist f ein A-Monomorphismus.

De�nition. Sei A Kategorie, A,B,C ∈ Ob(A)

Ein Morphismus Af−→ B heiÿt Epimorphismus, wenn für jedes Paar Morphismen B

h−→ C,

Bk−→ C gilt: h ◦ f = k ◦ f ⇒ h = k

Beispiel.

f ist in Set, Top, Rel und Vec genau dann Epimorphismus, wenn f surjektiv ist. Für Set undVec gilt dies auch für Morphismen, die ein links Inverses haben.

Satz.

1) Sind Af−→ B und B

g−→ C Epimorphismen, so ist auch g ◦ f Epimorphismus

24

6.2. REGULÄRE UND EXTREMALE MONOMORPHISMEN 25

2) Ist Af−→ B

g−→ C Epimorphismus, so ist g Epimorphismus.

3) Hat f ein links Inverses, so ist f Epimorphismus. (Insbesondere ist jeder Isomorphismusauch Epimorphismus)

4) Ist der Funktor F : A → B treu und F(f) ein B-Epimorphismus, so ist f einA-Epimorphismus.

Darüber hinaus bleiben Epi- und Monomorphismen zwischen Äquivalenzen erhalten.

De�nition.

1) Ein Morphismus der sowohl Epimorphismus als auch Monomorphismus ist, wird Bimor-

phismus genannt.

2) Eine Kategorie heiÿt ausgeglichen, wenn in ihr jeder Bimorphismus gleichzeitig ein Iso-morphismus ist.

Beispiel.

Set, Vec und Grp sind ausgeglichen.Rel und Cat hingegen sind nicht ausgeglichen, es existieren also Bimorphismen, die keine Iso-morphismen sind.

6.2 Reguläre und extremale Monomorphismen

De�nition. Sei Af

⇒gB ein Paar von Morphismen. Ein Morphismus E

e−→ A wird Egalisator

(engl. Equalizer) von f und g genannt, wenn folgende Bedingungen gelten:

1) f ◦ e = g ◦ e,

2) zu jedem Morphismus e′ : E′ → A mit f ◦ e′ = g ◦ e′, existiert ein eindeutiger Morphismuse : E′ → E, so dass e′ = e ◦ e, dass also das Diagramm:

E′

e′

AAA

AAAA

e

��E

e // Af //g// B

kommutiert.

Beispiel.

Sei A eine der Kategorien Set, Vec, Top, oder Grp. Sind Af

⇒gBA-Morphismen und sei

E = {a ∈ A|f(a) = g(a)} eine Teilmenge von A (bzw. linearer Unterraum, Unterraum, Un-tergruppe), so ist die Identität auf E ein Egalisator.

Satz. Egalisatoren sind bis auf Isomorphie eindeutig, d.h. für Morphismen Af

⇒gB gilt:

1) sind Ee−→ A und E′

e′−→ A Egalisatoren von f und g, so existiert ein Isomorphismus E′k−→ E

mit e′ = e ◦ k

26 KAPITEL 6. MONO- UND EPIMORPHISMEN

2) ist Ee−→ A ein Egalisator von f und g und E′

k−→ E ein Isomorphismus, so ist E′e◦k−−→ A

ebenfalls Egalisator.

Beweis. ...

Bemerkung. Ist Ee−→ A ein Egalisator zu A

f

⇒gB, so sind folgende Aussagen äquivalent:

1) f = g,

2) e ist ein Epimorphismus

3) e ist Isomorphismus

4) idA ist ein Egalisator von f und g

De�nition. Ein Morphismus Ee−→ A heiÿt regulärer Monomorphismus, wenn er Egalisator

(irgend)eines Morphismus Paares ist.

Satz.

1) Ein Morphismus mit rechts Inversem ist ein regulärer Monomorphismus.

2) Reguläre Monomorphismen sind Monomorphismen.

Beweis. ???

Beispiel.

1) In Set sind die injektiven Funktionen die reguläre Monomorphismen.

2) In Top sind die Einbettungen von Unterräumen die regulären Monomorphismen.

3) In Vec und Grp sind alle Monomorphismen regulär.

De�nition. Wenn für einen Monomorphismus m aus m = f ◦ e, wobei e ein Epimorphismus ist,folgt, dass e ein Isomorphismus ist, so heiÿt m extremal.

Satz. Seien Af−→ B und B

g−→ C Morphismen.

1) Ist f ein extremaler Monomorphismus und g ein regulärer Monomorphismus, so ist g ◦ fein extremaler Monomorphismus.

2) Ist g ◦ f ein extremaler Monomrphismus, so ist f extremaler Monomorphismus.

3) Ist g ◦ f ein regulärer Monomorphismus und g ein Monomorphismus, so ist f ein regulärerMonomorphismus.

Desweiteren ist jeder reguläre Monomorphismus extremal.

Bemerkung. Für einen Morphismus f gilt: f ist genau dann Isomorphismus, wenn f ex-tremaler Monomorphismus und Epimorphismus ist.

Satz. In jeder Kategorie A gilt, dass A genau dann ausgeglichen ist, wenn in A jeder Mo-nomorphismus extremal ist.

6.3. REGULÄRE UND EXTREMALE EPIMORPHISMEN 27

6.3 Reguläre und extremale Epimorphismen

De�nition. Sei Af

⇒gB ein Morphismen Paar. Ein Morphismus B

c−→ C heiÿt Koegalisator

von f und g, wenn gilt:

1) c ◦ f = c ◦ g,

2) für jeden Morphismus c′ : B → C ′ mit c′ ◦ f = c′ ◦ g existiert ein eindeutiger Morphismusc : C → C ′, s.d. c′ = c ◦ c ist, also das Diagramm

Af //g// B

c //

c′ AAA

AAAA

C

c

��C ′

kommutiert.

Beispiel. ...Auf Grund der Dualität der Koegalisatoren zu den Egalisatoren können die Sätze zu den Egali-satoren auf die Koegalisatoren übertragen werden.

De�nition. Ein Morphismus Bc−→ C heiÿt regulärer Epimorphismus, wenn er Koegalisator

eins Morphismen Paares ist.

Beispiel.

1) In Set, Vec und Grp gilt:Regulärer Epimorphismus = Epimorphismus = surjektive Morphismen

2) In Top existieren surjektive Morphismen, die nicht regulär sind.

3) In Cat existieren reguläre Epimorphismen, die nicht surjektiv sind.

Bemerkung. Die Vergissfunktoren inVec undGrpnach Set erhalten reguläre Epimorphismen,jedoch nicht Koegalisatoren.

De�nition. Wenn für einen Eipmorphismus m aus m = e ◦ f , wobei e ein Epimorphismus ist,folgt, dass e ein Isomorphismus ist, so heiÿt m extremal.

Satz.

1) Jeder Morphismus mit links Inversem ist ein regulärer Epimorphismus.

2) Jeder reguläre Epimorphismus ist auch extremal.

Bemerkung. In den meisten gängigen Kategorien sind die regulären und extremalen Epimor-phismen identisch. Allerdings gibt es Gegebeispiele, z.B. in Cat.

Folgendes Diagramm soll die Implikationen der vorher de�nierten Begri�e noch einmal verdeut-lichen:

28 KAPITEL 6. MONO- UND EPIMORPHISMEN

Isomorphismus

px hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

&.UUUUUUUUUUUUUUUUU

UUUUUUUUUUUUUUUUU

��

linksInverses

��

rechtsInverses

��regularerMonomorphismus

��

regularerEpimorphismus

��extremalerMonomorphismus

��

extremalerEpimorphismus

��

Bimorphismus

px hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

&.UUUUUUUUUUUUUUUU

UUUUUUUUUUUUUUUU

Monomorphismus Epimorphismus

Kapitel 7

Injektive Objekte und essentielle

Einbettungen

7.1 Injektive Objekte

7.1.1 Konkrete Kategorien

De�nition (konkrete Kategorie). Sei X eine Kategorie.Eine konkrete Kategorie über X ist ein Paar (A, U), wobeiA eine Kategorie ist und U : A → Xein treuer Funktor1.

Eine konkrete Kategorie über Set wird auch Konstrukt genannt.

Beispiel 39. (i) Jedes Paar einer KategorieAmit der Identität idA ist eine konkrete Kategorie.

(ii) Die KategorieTopVec der topologischen Verktorräume2 kann über verschiedene Funktorenangesehen werden als:Konstrukt, konkrete Kategorie über Top, konkrete Kategorie über Vec.

(iii) Viele Kategorien können über den Vergissfunktor zu einem Konstrukt gemacht werden,dies geht jedoch nicht immer: Gegenbeispiel: hTop, die Kategorie der homotopischen To-pologischen Räume

De�nition (Einbettung, Erweiterung). Sei A eine konkrete Kategorie über X . Sei mit für D ∈Ob(A) : |D| := U(D) notiert, dann:

◦ Ein A-Morphismus Af−→ B heiÿt Anfangsmorphismus,

∀C ∈ Ob(A) ∀ |C| g−→ |A| ∈Mor(X ) für die ein h ∈Mor(A)

mit U(f) ◦ g = U(h) existiert, gilt : ∃ g ∈Mor(A) : U(g) = g(7.1)

◦ Ein Anfangsmorphismus Af−→ B, der einen monomorphen unterliegenden3 X -Morphismus

|A| U(f)−→ |B| hat wird Einbettung genannt.

1U heiÿt in diesem Zumsammenhang auch unterliegender Funktor.2Morphismen sind hier die stetigen linearen Transformationen.3Mit unterliegendem Morphismus ist, das Bild U(f) gemeint.

29

30 KAPITEL 7. INJEKTIVE OBJEKTE UND ESSENTIELLE EINBETTUNGEN

◦ Sei Af−→ B eine Einbettung, dann heiÿt (f,B) Erweiterung von A und (A, f) Anfangs-

unterobjekt von B.

Beispiel 40. (i) Betrachtet man eine Kategorie C als konkrete Kategorie über sich selbst mitder Identität als Funktor, so ist jeder Morphismus auch Anfangsmorphismus und es gilt4:

Init(C) = Emb(C) = Mono(C)

(ii) In den Konstrukten Vec und Grp sind die Anfangsmorphismen genau die regulären Mo-nomorphismen. und es gilt für D ∈ {Vec,Grp }:

RegMono(D) = Init(D) = Emb(D) = Mono(D)

(iii) In dem Konstrukt Cat sind die Einbettungen genau die einbettenden Funktoren.

7.1.2 Injektive Objekte

De�nition (injektives Objekt). In einer konkreten Kategorie A heiÿt ein Objekt C injektiv,

falls für jede Einbettung Am−→ B und jeden Morphismus A

f−→ C ein Morphismus Bg−→ C

existiert, so dass das Diagramm kommutiert.

Am //

f ��@@@

@@@@

B

g

��C

Bemerkung. In der De�nition ist die Eindeutigkeit von g nicht gefordert.

Beispiel 41. (i) In Set sind injektive Objekte genau die nichtleeren Mengen.

(ii) In Vec ist jedes Objekt injektiv.

(iii) In Grp sind die injektiven Objekte genau die Endobjekte.

(iv) In Ab sind die injektiven Objekte genau die teilbaren abelschen Gruppen, also alle Objektevon Div (z.B. Q).

Satz 7.1.1. Jedes Endobjekt ist injektiv.

Beweis. Diagramm aus der De�nition von injektiv:

Am //

f ��@@@

@@@@

B

g

��C

Da C Endobjekt ist, existiert jeweils genau ein f bzw. g nach C. Also muss das Diagrammkommutieren.

Satz 7.1.2. Jedes Retrakt eines injektiven Objektes ist injektiv.

4Notation: Mono(A), RegMono(A), Init(A), Emb(A) - Klasse der (regulären) Monomorphismen, Anfangs-morphismen, Einbettungen von A.

7.2. ESSENTIELLE EINBETTUNGEN 31

Beweis. Sei C ein injektives Objekt und Am−→ B eine Einbettung, sei zudem A

f−→ D einMorphismus und C

r−→ D eine Retraktion, also D Retrakt von C. Dann existiert ein MorphismusD

s−→ C invers zu r, also r ◦ s = idD. Da C injektives objekt ist, existiert Bg−→ C:

Am //

f

��

B

g

��r◦g

~~~~~~

~~~

D s// C

De�nition (genügend injektive Objekte). Eine Kategorie hat genügend injektive Objekte,falls jedes ihrer Objekte Anfangsunterobjekt eines injektiven Objektes ist.

Beispiel 42. Kategorien mit genügend injektiven Objekten:

(i) die Kategorie Mod-R sowie R-Mod der R-Moduln über einem Ring R

(ii) die Kategorie Ab der abelschen Gruppen

7.2 Essentielle Einbettungen

De�nition (essentiell). Eine Einbettung Am−→ B in einer konkreten Kategorie heiÿt essentiell,

falls gilt: Af◦m−→ C Einbettung =⇒ B

f−→ C Einbettung.

Beispiel 43. - Die Isomorphismen von Vec sind essentielle Einbettungen.

- Die einzigen essentiellen Einbettungen in Set sind die bijektiven Abbildungen und Abbil-dungen ∅ −→ {a} mit leerer Domain und ein-elementiger Codomain.

- In der Kategorie Ab der abelschen Gruppen ist eine Einbettung Gϕ−→ H genau dann

essentiell, wenn der Schnitt von ϕ(A) und einer jeden nicht-trivialen Untergruppe von Bnicht-trivial ist.Ein Beispiel hierfür ist die Einbettung von (Z,+) in (Q,+).

Satz 7.2.1. (1) Jeder Isomorphismus ist essentielle Einbettung.

(2) Die Hintereinanderschaltung essentieller Einbettungen ist essentielle Einbettung.

(3) f, g Einbettungen, g ◦ f essentielle Einbettung =⇒ g essentielle Einbettung.

(4) f, g ◦ f essentielle Einbettungen =⇒ g essentielle Einbettung

Satz 7.2.2. Injektive Objekte haben keine echte essentielle Erweiterung.

Beweis. Sei C ein injektives Objekt und sei Cm−→ D eine Erweiterung dieses injektiven Objektes.

Dann existiert eine Retraktion Dg−→ C, so dass idC = g ◦m, denn das folgende Diagramm muss

nach De�nition von C kommutieren:C

m //

idC @@@

@@@@

D

g

��C

Wenn m essentielle Einbettung ist, dann ist g Einbettung und damit auch ein Isomorphismus.Also ist auch m ein Isomorphismus. (m,D) kann also keine echte Erweiterung sein.

32 KAPITEL 7. INJEKTIVE OBJEKTE UND ESSENTIELLE EINBETTUNGEN

7.3 Injektive Hülle

De�nition (injektive Hülle). Eine injektve Hülle von A ist eine Erweiterung Am−→ B von A,

so dass B injektives Objekt und m essentielle Einbettung ist.

Beispiel 44. (i) In Vec hat jedes Objekt eine injektive Hülle, durch die triviale Erweiterung

AidA−→ A.

(ii) In Set hat jedes Objekt eine injektive Hülle, durch die triviale Erweiterung AidA−→ A, falls

A 6= ∅ oder durch A −→ {a}, falls A = ∅.

(iii) In Ab ist die injektive Hülle von Z genau Q.

(iv) In Rng hat jeder Integritätsbereich seinen Quotientenkörper als injektive Hülle.

Satz 7.3.1. Injektive Hüllen sind im wesentlichen eindeutig, also

1. Sind (m,B) und (m′, B′) injektive Hüllen des Objektes A, so existiert ein Isomorphismus

Bk−→ B′ mit m′ = k ◦m.

2. Ist (m,B) eine injektive Hülle des Objektes A und B k−→ B′ ist ein Isomorphismus, dannist auch (k ◦m,B′) eine injektive Hülle von A.

Satz 7.3.2. Falls das Objekt A eine injektive Hülle hat und (m,B) eine Erweiterung von A ist,so ist das folgende äquivalent:

1. (m,B) ist injektive Hülle von A.

2. (m,B) ist eine maximale essentielle Erweiterung von A, d.h. (m,B) ist essentielleErweiterung von A und B hat keine echte essentielle Erweiterung.

3. (m,B) ist eine gröÿte essentielle Erweiterung von A, d.h. (m,B) ist essentielle Erwei-terung von A und für jede essentielle Erweiterung (m′, B′) von A existiert eine essentielleEinbettung B′ m−→ B mit m = m ◦m′.

4. (m,B) ist eine kleinste injektive Erweiterung von A, d.h. (m,B) ist eine injektiveErweiterung von A und für jede injektive Erweiterung (m′, B′) existiert eine EinbettungB

m−→ B′ mit m′ = m ◦m.

5. (m,B) ist eine minimale injektive Erweiterung von A, d.h. (m,B) ist eine injektive

Erweiterung von A und falls A m−→ B = Am′−→ B′

m−→ B mit m′ und m Einbettungen undB′ injektives Objekt, so ist m ein Isomorphismus.

7.4 Projektive Objekte & Duales Konzept

Das duale Konzept zum injektiven Objekt liefert uns das projektive Objekt.

Bemerkung (projektives Objekt). C projektives Objekt. (Grobe De�nition)

Sei Am−→ B Epimorphismus, dann existiert zu jedem C

g−→ B ein Cf−→ A, so dass das Dia-

gramm kommutiert:

Cf

��~~~~

~~~

g

��A

m // B

7.4. PROJEKTIVE OBJEKTE & DUALES KONZEPT 33

Es gilt: C injektiv in A ⇐⇒ C projektiv in Aopp.Bemerkung. Überblick zum dualen Konzept:

injektives Objekt ! projektives ObjektEinbettung ! Quotientenmorphismus

essentielle Einbettung ! coessentieller Quotientenmorphismusinjektive Hülle ! projektive Überdeckung

Literaturverzeichnis

[1] Adámek, Herrlich, Strecker: Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats, OnlineEdition 2004, S. 152-162

[2] Herrlich, Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon, Inc. 1973, S. 67-77

34

Kapitel 8

Quellen und Senken

8.1 Quellen

De�nition. Sei C eine Kategorie, A ein Objekt in C, fi : A→ Ai eine Familie von Morphismenin C mit De�nitionsbereich A und i ∈ I wobei I eine Klasse ist. Dann bezeichnet man dasgeordnete Paar (A, (fi)i∈I) als Quelle. Dabei ist A der De�nitionsbereich der Quelle und dieFamilie (Ai)i∈I der Wertebereich.

Bemerkung. (1) Die Indexklasse I der Quelle (A, fi)I kann eine echte Klasse, eine nicht leereMenge, oder die leere Menge sein. Ist I = ∅ , wird die Quelle durch A bestimmt. Für I 6= ∅ist die Quelle von der Familie (fi)I abhängig.

(2) Quellen mit Indexmenge der leeren Menge werden als leere Quellen bezeichnet und (A,∅)geschrieben. Falls geeignet, werden Objekte als leere Quellen betrachtet.

(3) Quellen mit der Indexmenge {1, ..., n} werden n-Quellen genannt und mit (A, (f1, ..., fn))bezeichnet. Falls geeignetet, werden Morphismen f : A→ B als 1-Quellen (A, f) betrachtet.

De�nition. Sei S = (Afi−→ Ai)I eine Quelle und für jedes i ∈ I sei Si = (Ai

gij−−→ Aij)Ji eineQuelle, dann ist

(Si) ◦ S = (Agij◦fi−−−−→ Aij)i∈I,j∈Ji

auch eine Quelle und wird die Komposition von S und der Familie (Si)I genannt.

Bemerkung. Für die Komposition einer Quelle S = (Afi−→ Ai)I und Morphismus f : B → A

schreibt manS ◦ f = (B

fi◦f−−−→ Ai)I

Die Komposition von Quelle und Morphismus ist ein Spezialfall für die Komposition von Quellen.

De�nition. Eine Quelle S = (A, fi)I ist eine Mono-Quelle, falls sie von links gekürzt werden

kann. Das heiÿt falls für jedes Paar Br⇒sA von Morphismen aus S ◦ r = S ◦ s folgt, dass r = s.

Beispiel 45. Eine leere Quelle (A,∅) ist eine Mono-Quelle genau dann wenn für jedes Objekt Bhöchstens ein Morphismus von B nach A existiert.

Beispiel 46. Eine 1-Quelle (A, f) ist eine Mono-Quelle genau dann wenn f ein Monomorphismusist.

35

36 KAPITEL 8. QUELLEN UND SENKEN

Beispiel 47. In der Kategorie SET sind Mono-Quellen genau die punkte-trennenden Quellen(A, fi)I , d.h. für Quellen (A, fi)I mit a, b ∈ A und a 6= b existieren i ∈ I mit fi(a) 6= fi(b).

Beispiel 48. In vielen gängigen Kategorien, z.B. in VEC, GRP, TOP und POS ist eine Quelleeine Mono-Quelle genau dann wenn sie punkte-trennend ist.

Bemerkung. Eine Kategorie C wird als dünne Kategorie bezeichnet, wenn für jedes Paar vonObjekten (A,B) in C, mor(A,B) nur ein Element besitzt.

Beispiel 49. In jeder quasi-geordneten Klasse, als Kategorie betrachtet, ist jede Quelle eineMono-Quelle. Diese Eigenschaft charakterisiert dünne Kategorien.

Satz 8.1.1.

(1) Darstellbare Funktoren erhalten Mono-Quellen. D.h. sei G : A → SET ein darstellbarerFunktor und S eine Mono-Quelle in A, dann ist GS eine Mono-Quelle in SET.

(2) Treue Funktoren re�ektieren Mono-Quellen. D.h. sei G : A → B ein treuer Funktor, S =(A, fi) eine Quelle in A und GS = (GA,Gfi) eine Mono-Quelle in B, dann ist S eineMono-Quelle in A.

Satz 8.1.2. In einem Konstrukt (A, U) ist jede punkte-trennende Quelle eine Mono-Quelle. DieUmkehrung gilt, wenn U darstellbar ist.

Satz 8.1.3. Sei T = Si ◦ S eine Komposition von Quellen.(1) Wenn S und alle Si Mono-Quellen sind, dann ist T ebenfalls eine Mono-Quelle.(2) Ist T eine Mono-Quelle, dann ist auch S eine Mono-Quelle.

Satz 8.1.4. Sei (A, fi)I eine Quelle.(1) Wenn (A, fj)J eine Mono-Quelle ist mit J ⊆ I, dann ist (A, fi)I ebenfalls eine Mono-Quelle.(2) Wenn fj mit j ∈ I ein Monomorphismus ist, dann ist (A, fi)I eine Mono-Quelle.

De�nition. Eine Mono-Quelle S ist extremal falls für S = S ◦ e mit e ist Epimorphismus, giltdass e ein Isomorphismus ist.

Beispiel 50. Eine 1-Quelle ist eine extremale Mono-Quelle genau dann, wenn f ein extremalerMonomorphismus ist.

Beispiel 51. In ausgeglichenen Kategorien(z.B. SET, VEC und GRP) ist jede Mono-Quelleextremal. Es gilt auch die Umkehrung: Ist jede Mono-Quelle in Kategorie C extremal, dann istC ausgeglichen.

Beispiel 52. Eine Quelle (Afi−→ Ai)I in POS ist eine extremale Mono-Quelle, falls gilt:

a ≤ b⇔ ∀i ∈ I, fi(a) ≤ fi(b).

Beispiel 53. In einer Halbordnung, als Kategorie betrachtet, ist eine Quelle (A → Ai)I eineextremale Mono-Quelle genau dann, wenn A eine maximale untere Schranke von {Ai|i ∈ I} ist.

8.2 Produkte

De�nition. Eine Quelle P = (Pfi−→ Ai)I ist ein Produkt, falls für jede Quelle S = (A

fi−→ Ai)I

mit gleichem Wertebereich wie P ein eindeutiger Morphismus Af−→ P mit S = P ◦ f existiert.

Ein Produkt mit gleichem Wertebereich (Ai)I wird das Produkt der Familie (Ai)I genannt.

8.3. SENKEN UND KOPRODUKTE 37

Beispiel 54. Eine leere Quelle (P,∅) ist ein Produkt genau dann wenn P ein Endobjekt ist.Folglich kann man, betrachtet man leere Quellen als Objekte, sagen: Endobjekte sind leere Pro-dukte.

Satz 8.2.1. Jedes Produkt ist eine extremale Mono-Quelle.

Satz 8.2.2. Für eine Familie von (Ai)I Objekten, sind die Produkte von (Ai)I bis auf Isomorphieeindeutig.

Bemerkung. (1) Produkte von (Ai)I werden mit (∏i∈I Ai

πj−→ Aj)j∈I bezeichnet. Oder einfachermit(∏Ai

πj−→ Aj)I , wobei die Morphismen πj als Projektionen bezeichnet werden.

(2) Falls (∏Ai

πj−→ Aj)I ein Produkt ist und (Afj−→ Aj)I eine Quelle mit gleichem Wertebereich,

dann wird der eindeutige Morphismus f : A→∏Ai mit fj = πj ◦f für alle j ∈ I bezeichnet

mit 〈fi〉:

A

fj !!CCC

CCCC

C〈fi〉 // ∏Ai

πj

��Aj

Beispiel 55. Sei (Ai)I eine Familie von Mengen mit Indexmenge I, und sei∏i∈I Ai dessen

karthesisches Produkt, dann ist die Familie von Projektionen πj :∏i∈I Ai → Aj ein Produkt in

SET.

Beispiel 56. Analog sind in den Kategorien VEC, AB und GRP die �direkten Produkte�, inPOS die �ordinalen Produkte� und in TOP die �topologischen Produkte�, als Quellen über dieProjektionen betrachtet, Produkte.

Beispiel 57. Eine 1-Quelle (P, p) ist ein Produkt genau dann wenn p ein Isomorphismus ist.Folglich kann man, betrachtet man 1-Quellen als Morphismen, sagen Isomorphismen sind 1-Produkte.

De�nition. (1) Eine Kategorie enthält Produkte, falls für jede Familie von Objekten (Ai)I mit

der Indexmenge I, ein Produkt (∏Ai

πj−→ Aj)I existiert.(2) Eine Kategorie enthält endliche Produkte, falls für jede endliche Familie (Ai)I von Objekten

ein Produkt (∏Ai

πj−→ Aj)I existiert.

Satz 8.2.3.

(1) Eine Kategorie, für die ein Produkt für alle Familien mit einer Index-Klasse existiert, isteine dünne Kategorie.

(2) Für eine kleine Kategorie existieren Produkte genau dann wenn sie äquivalent zu einem voll-ständigen Verband ist.

Satz 8.2.4. Für alle Klassen von Morphismen, ist jedes Produkt von injektiven Objekten ebenfallsinjektiv.

8.3 Senken und Koprodukte

De�nition. Ein geordnetes Paar ((fi)i∈I , A) mit Objekt A (wobei A der Wertebereich der Senkeist) und einer Familie von Morphismen fi : Ai → A mit Index-Klasse I ist eine Senke. Die Familie(Ai)i∈I ist der De�nitionsbereich der Senke.

38 KAPITEL 8. QUELLEN UND SENKEN

De�nition. Eine Senke P = (Aifi−→ P )I ist ein Koprodukt, falls für jede Senke S = (Ai

fi−→ A)I

mit gleichem De�nitionsbereich P ein eindeutiger Morphismus Pf−→ A mit S = f ◦ P existiert.

Bemerkung. (1) Koprodukte von (Ai)I werden mit (Ajµj−→

∐Ai)I bezeichnet, Morphismen µj

als Injektionen.

(2) Falls (Ajµj−→

∐Ai)I ein Koprodukt ist und (Aj

fj−→ A)I eine Senke mit gleichem De�niti-onsbereich, dann wird der eindeutige Morphismus f :

∐Ai → A mit fj = f ◦ µj für alle

j ∈ I bezeichnet mit [fi]:

A∐Ai

[fi]oo

Aj

fj

aaCCCCCCCCµj

OO

Die folgende Tabelle enthält die Bezeichnungen für die dualen Konzepte dieses Kapitels.

Konzept Duales KonzeptQuelle SenkeMono-Quelle Epi-Senkeextremale Mono-Quelle extremale Epi-SenkeProdukt (

∏Ai, πj)j∈I Koprodukt (µj ,

∐Ai)j∈I

Projektion πj Injektion µj

A

fj !!CCC

CCCC

C〈fi〉 // ∏Ai

πj

��Aj

A∐Ai

[fi]oo

Aj

fj

aaCCCCCCCCµj

OO

Beispiel 58. In SET ist die disjunkte Vereinigung⊎i∈I Ai das Koprodukt, wobei

⊎i∈I Ai de�-

niert wird duch die Vereinigung⋃i∈I(Ai × {i}) der Familie (Ai)I .

Beispiel 59. VEC hat abstrakte Koprodukte, die als direkte Summen⊕

i∈I Ai einer Familie(Ai)I von Vektorräumen bezeichnet werden.

Beispiel 60. GRP hat abstrakte Koprodukte, die freie Produkte genannt werden.