Folie 1

§13 Lineare Unabhängigkeit

• Aus s1a1 + s2a2 + ... + smam = 0 folgt s1 = s2 = ... = sm = 0 .

(13.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum.

1o Eine endliche Menge {a1, a2, ... am} von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es Skalare s1, s2, ... sm aus K gibt mit:

• s1a1 + s2a2 + ... + smam = 0 , und

• nicht alle sk sind Null: dh. es gibt ein j aus {1,2, ... ,m} mit: sj ist nicht 0 . 2o Eine endliche Menge {a1, a2, ... am} von Vektoren aus V

heißt linear unabhängig, wenn für alle Skalare s1, s2, ... sm aus K gilt:

Offensichtlich ist eine endliche Menge genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist.

Folie 2

Kapitel III, §13

(13.2) Bemerkungen, Beispiele: Sei V ein K-Vektorraum.

1o Die Standardeinheitsvektoren {e1, e2, ... , en} aus Kn sind linear unabhängig.

3o A = {a} ist genau dann linear abhängig, wenn a = 0 .

2o Für jeden weiteren Vektor x aus Kn ist {x, e1, e2, ... , en} linear abhängig.

4o A = {a,b} ist genau dann linear abhängig, wenn a in Kb oder b in Ka liegt. Analog mit 3 Vektoren.

asas...asas...asasa mm1k1k1-k1-k2211k

mμ

kμ μμ

1

5o A = {a1, a2, ... am} ist genau dann linear abhängig, wenn es einen Index k zwischen 1 und m gibt sowie Skalare s1, s2, ... sk-1, sk+1, ... , sm aus K mit

Dh. ak ist Linearkombination der übrigen Elemente aus A .

Anschauung dahinter: Punkt, Gerade, Ebene („durch 0“).

Folie 3

Kapitel III, §13

6o Sei A aus V eine nichtleere endliche Menge. Dann

7o {a1, a2, ... am} sei linear unabhängig, und für ein x sei die Menge {x, a1, a2, ... am} linear abhängig. Dann ist x Linearkombination der a1, a2, ... am .

{a})\Span(Aa:Aaabhängig linear istA • {a})\Span(Aa:Aaunabhängig linear istA •

(13.3) Definition: (Ergänzung zu 13.1) Sei A eine Teilmenge im K-Vektorraum V .

{a})\Span(Aa:Aa: istA ängiglinear abh1o

2o {a})\Span(Aa:Aa:

abhängig linear nicht istA : istA

bhängiglinear una

Diese Definition ist mit der von 13.1 kompatibel wegen 13.2.6o . Sie ist anwendbar auch auf beliebige Teilmengen von V.

Folie 4

Kapitel III, §13

(13.4) Bemerkungen, Beispiele: Sei V ein K-Vektorraum.

1o Die leere Menge ist linear unabhängig.

}Ma:{ a 2o Die Menge ist linear unabhängig in K(M).

3o Ebenso: {Tk : k aus N} ist linear unabhängig in K[T] .

(13.5) Fundamentallemma: K sei Körper. Ein homogenes lineares Gleichungssystem

(13.6) Schrankenlemma: Hat der K-Vektorraum V ein Erzeugen-densystem mit n Elementen (n aus N), so sind je n+1 Vektoren aus V stets linear abhängig.

, 0xsmj

1jj

j

k

mit n Gleichungen und mit den m Unbestimmten xj hat im Falle m > n stets eine nichttriviale Lösung; dh. x aus Km\{0} mit den Komponenten xj , so dass das Gleichungssystem erfüllt ist.

,K s, n, ... 1,2, k j

k

Folie 5

Kapitel III, §13

Beweis: Sei {a1, a2, ... an} Erzeugendensystem von V.Und seien b1, b2, ... bn, bn+1 beliebige Vektoren aus V.

mitK sk Es gibt dann

Gesucht werden xj aus K , nicht alle 0, mit

. 1)n, ... 1,2,(k asbn

1kk

Die Behauptung folgt jetzt aus dem Fundamentallemma 13.5, denn

. 0bx1nj

1jjj

a)xs()as(x bxn

1j

1nj

1jj

1nj

1j

n

1jj

1nj

1jjj

0xsj

1nj

1jj

hat eine nichttriviale Lösung (n Gleichungen, n+1 Unbestimmte).