14. Elastisch-plastische Beanspruchung von Baute ilen
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14. Elastisch-plastische Beanspruchung von Bauteilen
Motivation: • Traglasteigenschaften bei plastischem Materialverhalten, Sicherheitsreserven ? • Berechnung von Umformprozessen (Blech, Massiv, Walzen), Technologie • Simulation von Crashvorgängen (Energieabsorption, Sicherheit) 14.1. Elastisch-ideal-plastisches Materialverhalten
Die Gesamtdehnungen ergeben sich aus elastischem und plastischem Anteil:
:
e p p
eF
E
E
σε ε ε ε
σσ σ ε ε
= + = +
< = =
Bei Erreichen der Fließspannung σF stellt sich eine unbeschränkte plastische Dehnung ein:
( ) : ;p pFF sign
Eσσ σ ε ε ε ε= = + →∞
Bei Entlastung bleibt pε erhalten. 14.2. Traglastberechnung für Fachwerke
14.2.1. Statisch bestimmte Fachwerke
α α 1
2 2A AA A==
45α = °
(208)
Kein Kriechen oder Relaxation!
ε
σ
σF
εp
FV
FH
1 2
Bild 94
Bild 95
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( )( )
( ) ( )
1 2
2 1
1 2
: : sin 0
: cos 01 12 2
S S V
S S H
S V H S V H
GGB F F F
F F F
F F F F F F
α
α
↑ + − =
→ − + =
⇒ = + = −
( ) ( )
( )
F
Spannungen:
Fließbedingungen: - 1,2
1 1, 1 12 2 2
Normierung: ,
1 11 1, 1 12 2 2
Gerade: 2 2 2
Sjj
j
j F
V H V H
F F
VHH V
F F
V H V H
V H V H
FA
jF F F F
A AFFf f
A A
f f f f
f f f f
σ
σ σ σ
σ σ
σ σ
=
< < =
+ −− < < − < <
= =
− < + < − < − <
= ± − = ± +
Zulässigkeitsbereich = Fließviereck = Fließgrenzkurve
Bild 96
1
1
-1
-1
pTL
+2
-2
fV
2−
1Z
2Z
fH
p
p*
2D
1D
Fließbedingung
Zulässigkeitsbereich
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p - elastischer Bereich pTL - plastische Grenzlast = Traglast (da Fachwerk sofort zum Mechanismus wird) p* - plastisches Versagen beider Stäbe bei n Stäben ergibt sich Polygonzug bei m > 2 Lastparametern ein Polyeder der Dimension m mit n Hyperflächen 14.2.2. Statisch unbestimmtes Fachwerk
1 2 3
45
A A A AEα
= = =
=
( )sin
1 3 21: : 02S S SGGB F F F Fα
↑ + + − =
( )cos
3 1 1 31: 02 S S S SF F F Fα
→ − = ⇒ =
( )21 3 2
1in[1] :2sin 2
SS S S
F FF F F Fα
−= = = −
MENABREA: 3
10Si iF
SiiH H i
F lW FF F EA=
∂∂= =
∂ ∂∑
mit 2H SF F= folgt
( )1 3 21 2 [1] 0
2S S Sl lF F F
EA EA + + = −
( )1 3 2S S SF F F+ =
2 21 2[4]in[1] : 12 2 2S SF F F F + = ⇒ = +
1 31
2 2S SF F F= =+
Spannungen 1 3 2 11, , 2
2 2Sj
jj
F FA A
σ σ σ σ σ= = = =+
F
A
1
2
3 l
α α
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Bild 97
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Erreichen der Fließgrenze im am höchsten belasteten Stab S2:
22 2mit [6]
2F el FF Aσ σ σ+= ⇒ =
elast. Grenzlast elF
Tragfähigkeit von 2S ist erschöpft ( )2S FF Aσ= Fachwerk bleibt aber kinematisch bestimmt (unbeweglich) und wird jetzt statisch bestimmt. Weitere Belastung möglich bei 2 const.S FF Aσ= =
( )1 31: : 02 FGGB A A Fσ σ σ↑ + ⋅ + − =
1 32
2 FFA
σ σ σ ⇒ = = −
Erreichen auch 1σ und 3σ die Fließspannung, so fließen alle drei Stäbe und das Fachwerk verliert seine Tragfähigkeit. Es kommt zu unbegrenzten Verformungen → Mechanismus kinematisch unbestimmt.
( )1 3
2 2
2F Tr FF Aσ σ σ σ+
= = ⇒ =
Traglast (plast. Grenzlast)TrF
2Tr el elF F F= >
Berechnung der Verformung (y-Verschiebungen des Kraftangriffspunktes A)
a) im elast. Bereich elF F≤ :
2 2 22 2 2 2
S el FA Ael
F l F l lFlu uEA EA EA E
σ= = = =
+ +
b) el TrF F F≤ ≤ „eingeschränktes plast.“ Fließen, da S2 unbegrenzt nachgibt, wird die Verformung durch S1 und S3 elastisch bestimmt:
1 11 1
22 2 mit [8]cosA A F
l l Fu l l uE E A
∆ σε σα
= = = = −
c) bei Erreichen der Traglast [9] : 2 2Tr ATr F AellF F u uEσ= = =
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
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Oberhalb TrF kommt es zum uneingeschränkten plast. Fließen, d.h. Fachwerk verliert seine Tragfähigkeit und wird zum (Fließ-) mechanismus. 14.3. Biegung bei elastisch – plastischer Beanspruchung
14.3.1. Gerade reine Biegung
Annahmen: • schlanker prismatischer Stab/Träger mit konst. Querschnitt • Gültigkeit der BERNOULLI – Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte • Material ist linear – elastisch / ideal – plastisch mit gleich großer Zug- und
Druckfließspannung • Querschnitt symmetrisch zur y – Achse
F
FTr
Fel
uAel
uA
uATr
Bild 98
Bild 99
y
x S
oy
uy
0zσ <
0zσ >
bM
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a) Vollständig elastischer Zustand
( ) ( );bz z F
xx
My y yσ σ σ= ≤I
Erreicht die max. Spannung an einer Radfaser die Fließspannung, so bezeichnet man das entsprechende Biegemoment als elastisches Grenzmoment.
maxel
F el b Fb
M M WW
σ σ σ= = ⇒ =
b) Teilweise plastischer Zustand Im höher belasteten Bereich des Querschnittes entsteht ein plastisches Gebiet (eingeschränktes plast. Fließen). Bei weiterer Laststeigerung von bM fließt ein zweiter Bereich, ausgehend von der anderen Randfaser. Dazwischen erstreckt sich noch ein elastischer Bereich, der einen linearen Spannungsverlauf aufweist. Die Spannungsnulllinie
( ) 0z Nyσ = verschiebt sich gegenüber dem Schwerpunkt 0y = . Die Grenzen der plast. Bereiche findet man anhand der Äquivalenzbedingungen für Längskraft und Biegemoment:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
0 1 2
1 2
0 1 2
2 1
1 2 1 2
0
mit 21, ,2
u
u
yy y
L F z Fy y y
yy y
b F z Fy y y
z F N
N
F b y dy y b y dy b y
M y b y dy y y b y dy y b y dy
y y y y y
y y y y y
σ σ σ
σ σ σ
σ σ
= − + + =
= − + +
= − −
⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Die weitere Plastifizierung des elast. Bereiches führt zu einer Steigerung des ertragbaren Biegemomentes.
(209)
Bild 100
x
y
Fσ−
1y
Ny
Fσ−
1y
2yNy
Fσ+
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c) Vollplastischer Zustand In diesem Zustand sind beide plast. Bereiche zusammengewachsen, d.h. der elast. Bereich ist verschwunden. Deshalb kommt es zum uneingeschränkten plastischen Fließen, der Balken bildet ein Fließgelenk. Übertragen werden kann nur noch ein plast. Biegemoment oder Traglastmoment bTrM . Äquivalenzbedingungen:
0;L F u F o u oF A A A A Aσ σ= − = + =
2u oAA A⇒ = =
( ) ( ) ( )0
u N
N
y y
bTr F F F xu xoy y
M b y y dy b y y dy S Sσ σ σ= − = −∫ ∫
( )12bTr F Su SoM y y Aσ= −
plast. Widerstandsmoment: ( )012pl Su SW y y A= − bTr pl FM W σ= ⋅
Das Verhältnis zwischen elast. Grenzlastmoment und plast. Grenzlastmoment (Traglastmoment) wird Formfaktor genannt, da es nur von der Querschnittsform abhängt (Sicherheitsreserve bei Plastifizierung):
plbTr
el
WMM W
α = =
(210)
(211)
(213)
Bild 101
Soy
Suy
oy
Ny
uAuy
x
y
Ny
Fσ−
Fσ+
(212)
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Bsp.: Dreieckquerschnitt
01 22 3 4N
bhA c h y = + =
( )12 3 4u N
h bhA b c y = + − =
[1] und [2]:
( )
( )
1 4 3 26
22
23
Ny h
c b
bb y y hh
⇒ = − +
=
= − −
( ) ( )
( ) ( )
32
2
23
2
1 2 212
1 2 212
2 26
N
N
h
xuy
y
xo
h
bTr F
S y b y dy bh
S y b y dy bh
M bh σ
−
= ⋅ = −
= ⋅ = − −
−⇒ =
∫
∫
( )
2
2 3
2 26
2 24 363
4 2 2 2,34
pl
xxxx
pl
W bh
bh bhWh
WW
α
−=
= = =
= = − ≈
I I
[1]
[2]
h 3
h
b
Su
Su
ySo
ySu
yN
ySu
ySo
y
x
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Bsp.: Träger mit Rechteckquerschnitt unter Linienlast
geg.: , , , ,ges.: ,
plast. Zone
F
bel bTr
q l b hM M
σ
elast. Grenzmoment:
( )22 2
max21 ; bei 0
8 8b bq l z q lM z M z
l = − = =
2
6bhW =
2 2
2
48 3
elbel F el F
q l bhM W ql
σ σ= ⋅ = ⇒ =
teilplastischer Zustand:
q
z
y
l/2 l/2
[1]
[2]
[3]
h
b A/2
A/2
ySo
ySu
-σF
+σF
x
y
yu
yo
-yF
+yF
yN=0
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Äquivalenzbedingung bei symmetrischen Biegespannungen:
( )0
2uF
F
yy
b z Fy
M y y b dy y b dyσ σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ ∫
( )mit 0 gilt im elast. BereichN z FF
yy yy
σ σ= =
23 2 2
0
23 2 4 3
F u
F
y y
Fb F F
F y
yy y hM b by
σ σ = + = −
2
mit [3] : ergibt sich Grenze des plast. Bereichs:6F bel
bhMσ =
3 22
bF
bel
MhyM
= −
plast. Grenzmoment = Traglastmoment:
bTr pl F Su S0hM W ; A bh; y y4
σ= = = − =
( )2
02 4pl Su SA bhW y y= − =
3Formfaktor2
plbTr Tr
bel el
WM qM W q
α = = =
Begrenzung der plast. Zone:
222[1] [3]in[4] : 3 2F
q lyh
+ = −
8⋅221
8
zl
− 2
elq l
2 22 22 3 2 HyperbelF
el el
y q z qh q l q
⇒ − = −
für ist nur bei 02
3für entartet [6] in Gerade.2
el F
Tr el
hq q y z
q q q
= = =
= =
2 23Fy zh l
= ±
seitliche Ausdehnung des Fließgelenkes: 2Fhy = ±
0, 292 3pl
lz l⇒ = ± ≈
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
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14.3.2. Gerade Biegung und Längskraft
Spannungen: b Lz
xx
M FyA
σ = +I
Querschnitt symmetrisch bezüglich y – Achse Fließbedingung als Funktion von , :L bF M
0, klein oder 0 :b L LM F F> < Fließen beginnt oben!
( ) ( )0 0 00 0!b Lz F
xx
M Fy y yA
σ σ> = + ≥ − <I
0, groß und 0 :b L LM F F> > Fließen beginnt unten!
( ) 0b LF z u u
xx
M Fy yA
σ σ≥ = + >I
zpl
y
z
[1]
[2]
Bild 102
h x
y
S
oAoy
Soy
Suy
uyuA
Nely Ny
Fσ+ Fσ+
bM
LF
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Bsp: Rechteckquerschnitt ,2uhA b h y= ⋅ =
[2] : 0, 0 :b LM F> >
( ) 2
6 b Lz u F
M Fybh bh
σ σ= + = elast. Grenzlast
mit Lel LTr FF F bhσ= =
und 2
;2 in [3] :3 4bel bTr bTr F
bhM M M σ= =
3 12
b L
bTr LTr
M FM F
+ = elast. Grenzzustand
plast. Grenzlast bei vollständiger Plastifizierung:
Ny − Spannungsnulllinie ,o uA A − Teilflächen mit Schwerpunkten ,So Suy y
Äquivalenzbedingungen:
( ) ( ) ( )0
0
u N
N
y y
L F F u Fy y
F b y dy b y dy A Aσ σ σ= − = −∫ ∫
Rechteck: ( )2 0L N F NF y b yσ= − <
( ) ( )0
u N
N
y y
b F Fy y
M b y y dy b y y dyσ σ= −∫ ∫ ( )xu xo FS S σ= −
Rechteck: 2 21 44b N FM h y bσ = −
Elimination von Ny aus beiden Gleichungen mit [4] und [5] ergibt Grenzkurve der vollplast. Belastung (Traglast):
( )2
1 ParabelbL
LTr bTr
MFF M
+ =
[3]
[4]
[5]
(214)
(215)
(216)
(217)
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Rechteck: L LTrF F b bTrM M 14.4. Torsion bei elastisch – plastischer Beanspruchung
Einschränkung auf kreisförmige dickwandige Querschnitte
reine Schubbeanspruchung im Querschnitt
t
t
M rτ =I
Bild 103
tM
R
FrFτ
Fτ
1
1
-1
-1 23
− 23
+ elastisch
plastisch
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Die Fließspannung unter Schub Fτ ergibt sich aus der Zug – Fließspannung nach:
v. MISES: 3F
Fστ = ; TRESCA:
2F
Fστ =
a) elast. Grenzlast: max bei tF
t
M r RW
τ τ= = =
Plastifizierung beginnt bei Fr R=
Kreisquerschnitt: 4 3,2 2t tR W Rπ π
= =I
3
2tel F t FM W Rπτ τ= =
b) elast.- plast. Bereich:
( )2
0 0
2 2
0
Äquivalenzbedingung
2 2F
F
R
t
r RF
t FF r
M r r r d dr
M r r dr r drr
π
τ ϕ
τπ π τ
= ⋅ =
= +
∫ ∫
∫ ∫
3 34
6t F FM R rπ τ = −
bzw. plast. Zonenradius mit Fτ aus (218):
3 4 3 tF
tel
Mr RM
= −
c) Vollplastischer Zustand:
0 unbegrenzte Verdrehung Fr ϕ= ⇒ →∞
(219): 32 43 3Tr F telM R Mπ τ= =
Verdrehwinkel elastisch: ( )maxmax
tF
t
MG I G R
τϕ ϑ τ τ′ = = = ≤
(218)
(219)
(220)
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plastisch: F
FG rτϑ =
da plast. Zone Fr r> keinen Verformungswiderstand besitzt
14.5. Einachsige Verformungsgesetze
14.5.1. Fließbedingung
Zur Formulierung des Grenzzustandes, wo Fließen beginnt, wird eine Fließbedingung Φ mit folgenden Eigenschaften definiert:
( ) 0Φ σ < elastischer Bereich
( ) 0Φ σ = bei Eintreten plast. Fließens
( ) ( )0 0Φ σ Φ σ= ⇒ = bei Fortschreiten des plast. Fließens Für das elastisch-ideal-plastische Modell lautet die Fließbedingung:
( ) 0FΦ σ σ σ= − = Daraus folgen die plastischen Dehnungsänderungen (Geschwindigkeiten):
( )
0 für 0 und 0 plast. Fließen0 für 0 oder 0
Entlastung aus demelast. Bereich
plast. Bereich
p
p
ε Φ Φ
ε Φ Φ
≠ = =
= < <
Anwendungsbereich: Berechnung der plastischen Grenzlasten
Bild 104 telM TrM
tM
ϑ
(221)
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14.5.2. Verfestigung
Verfestigung bedeutet eine Erhöhung der aktuellen Fließgrenze als Folge der plastischen Deformation (strain hardening) oder plastischen Formänderungsarbeit (Work hardening). Für Spannungen oberhalb der Anfangs-Fließspannung σF0 stellt sich eine endliche bleibende plast. Dehnung ein.
( ) ( )0 : bzw.p pF Fg fσ σ ε σ σ ε≥ = =
Für die Funktion g(σ) existieren viele Beschreibungen z.B.:
• lineare Verfestigung ( )01p
FpE
ε σ σ= −
• Potenzgesetz Verfestigung 0
np σε α
σ
=
(RAMBERG-OSGOOD)
plastischer Tangentenmodul p pE ∆σ∆ε
=
Daraus ergibt sich ein effektiver Tangentenmodul
pT
p
E EE
E E∆σ∆ε
⋅= =
+ aus:
p TE E E∆σ ∆σ ∆σ∆ε = + =
Bisher wurde nur monotone Belastung diskutiert. Wenn das Material nach plast. Verformung in die entgegengesetzte Richtung (Zug → Druck) entlastet und wiederbelastet wird, zeigt es meistein anderes plastisches Verhalten, z.B. dass plast. Fließen früher einsetzt (Fließgrenze hat sich verschoben) – BAUSCHINGER-Effekt. Hinsichtlich des Einflusses einer reversiblen Belastung unterscheidet man zwei Verfestigungsarten, die wesentliche Bedeutung erlangt haben:
(222)
ε
σ
ε p ε e
ε p ε e
σF0
σF
Bild 105
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a) isotrope Verfestigung Nach Belastungsumkehr kommt es erst wieder zum plast. Fließen, wenn die bereits erreichte Fließgrenze σF wieder überschritten wird, Fσ σ≥ d.h. der verfestigte (elastische) Bereich vergrößert sich und bleibt bestehen. Die Spannungs-Dehnungskurve wird bzgl. des Nulldurchgangs σ = 0 (Punkt B) gespiegelt. Das Maß für die isotrope Verfestigung ist die Größe ( )pR R ε= , um die sich der Werkstoff
gegenüber seiner Anfangsfließgrenze verfestigt hat:
( ) ( )0p p
F F Rσ ε σ ε= +
Somit lautet die isotrope Fließbedingung:
( ) ( ) ( )0, 0p p pF F RΦ σ ε σ σ ε σ σ ε= − = − − =
Die Fließgrenze hängt nun von der bisher erreichten Verfestigung R ab, weshalb die plast. Dehnung pε als interne Variable zur Quantifizierung dieses Materialzustandes in Φ Eingang findet.
σ
R
R
σF
σF
B
A
A’ M’
σF0
−σF0
σF
M
ε
Bild 106
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b) kinematische Verfestigung (PRAGER) Die isotrope Verfestigungsregel erklärt nicht den BAUSCHINGER-Effekt !? Unter kinematischer Verfestigung versteht man eine Verschiebung der Fließbedingung in Richtung der aktuellen Belastung, wobei die Größe des elastischen Bereiches ( )0d.h. F Fσ σ= unverändert bleibt. Die Verschiebung des Bezugspunktes der Fließbedingung wird durch die kinematische Verfestigungsvariable X ausgedrückt. Für die Veränderung von X mit der plastischen Verformung muss zusätzlich zur Fließbedingung eine Evolutionsgleichung aufgestellt werden, z.B. lineare kinematische Verfestigung als Funktion der internen Zustandsvariablen pε .
( )( ) ( ) 0
Materialkonstante
, 0
p p
p pF
X X c c
X
ε ε
Φ σ ε σ ε σ
= = ⋅ −
= − − =
Die Spannungs-Dehnungs-Kurve wird bzgl. des Bezugspunktes C gespiegelt, der das Zentrum des elast. Bereiches darstellt. Die Variable X repräsentiert eine „innere Spannung“ des neutralen Zustandes (Rückspannung – backstress), die überwunden werden muss, wenn die äußere Belastung auf Null zurückgeht. Tatsächlich weisen reale metallische Werkstoffe eine kombinierte isotrop-kinematische Verfestigung auf.
x
A
A’
M’
σF0
M
ε
C
σ
2 σF0
(223)
Bild 107