14. Elastisch-plastische Beanspruchung von Baute ilen

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Festkörpermechanik – Prof. Dr. M. Kuna Vorlesung Technische Mechanik B TM_B_02.01.11.Kuna.doc 180 14. Elastisch-plastische Beanspruchung von Bauteilen Motivation: Traglasteigenschaften bei plastischem Materialverhalten, Sicherheitsreserven ? Berechnung von Umformprozessen (Blech, Massiv, Walzen), Technologie Simulation von Crashvorgängen (Energieabsorption, Sicherheit) 14.1. Elastisch-ideal-plastisches Materialverhalten Die Gesamtdehnungen ergeben sich aus elastischem und plastischem Anteil: : e p p e F E E σ ε ε ε ε σ σ σ ε ε = + = + < = = Bei Erreichen der Fließspannung σ F stellt sich eine unbeschränkte plastische Dehnung ein: ( ) : ; p p F F sign E σ σ σ ε ε ε ε = = + →∞ Bei Entlastung bleibt p ε erhalten. 14.2. Traglastberechnung für Fachwerke 14.2.1. Statisch bestimmte Fachwerke α α 1 2 2 A A A A = = 45 α = ° (208) Kein Kriechen oder Relaxation! ε σ σ F ε p F V F H 1 2 Bild 94 Bild 95

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14. Elastisch-plastische Beanspruchung von Bauteilen

Motivation: • Traglasteigenschaften bei plastischem Materialverhalten, Sicherheitsreserven ? • Berechnung von Umformprozessen (Blech, Massiv, Walzen), Technologie • Simulation von Crashvorgängen (Energieabsorption, Sicherheit) 14.1. Elastisch-ideal-plastisches Materialverhalten

Die Gesamtdehnungen ergeben sich aus elastischem und plastischem Anteil:

:

e p p

eF

E

E

σε ε ε ε

σσ σ ε ε

= + = +

< = =

Bei Erreichen der Fließspannung σF stellt sich eine unbeschränkte plastische Dehnung ein:

( ) : ;p pFF sign

Eσσ σ ε ε ε ε= = + →∞

Bei Entlastung bleibt pε erhalten. 14.2. Traglastberechnung für Fachwerke

14.2.1. Statisch bestimmte Fachwerke

α α 1

2 2A AA A==

45α = °

(208)

Kein Kriechen oder Relaxation!

ε

σ

σF

εp

FV

FH

1 2

Bild 94

Bild 95

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( )( )

( ) ( )

1 2

2 1

1 2

: : sin 0

: cos 01 12 2

S S V

S S H

S V H S V H

GGB F F F

F F F

F F F F F F

α

α

↑ + − =

→ − + =

⇒ = + = −

( ) ( )

( )

F

Spannungen:

Fließbedingungen: - 1,2

1 1, 1 12 2 2

Normierung: ,

1 11 1, 1 12 2 2

Gerade: 2 2 2

Sjj

j

j F

V H V H

F F

VHH V

F F

V H V H

V H V H

FA

jF F F F

A AFFf f

A A

f f f f

f f f f

σ

σ σ σ

σ σ

σ σ

=

< < =

+ −− < < − < <

= =

− < + < − < − <

= ± − = ± +

Zulässigkeitsbereich = Fließviereck = Fließgrenzkurve

Bild 96

1

1

-1

-1

pTL

+2

-2

fV

2−

1Z

2Z

fH

p

p*

2D

1D

Fließbedingung

Zulässigkeitsbereich

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p - elastischer Bereich pTL - plastische Grenzlast = Traglast (da Fachwerk sofort zum Mechanismus wird) p* - plastisches Versagen beider Stäbe bei n Stäben ergibt sich Polygonzug bei m > 2 Lastparametern ein Polyeder der Dimension m mit n Hyperflächen 14.2.2. Statisch unbestimmtes Fachwerk

1 2 3

45

A A A AEα

= = =

=

( )sin

1 3 21: : 02S S SGGB F F F Fα

↑ + + − =

( )cos

3 1 1 31: 02 S S S SF F F Fα

→ − = ⇒ =

( )21 3 2

1in[1] :2sin 2

SS S S

F FF F F Fα

−= = = −

MENABREA: 3

10Si iF

SiiH H i

F lW FF F EA=

∂∂= =

∂ ∂∑

mit 2H SF F= folgt

( )1 3 21 2 [1] 0

2S S Sl lF F F

EA EA + + = −

( )1 3 2S S SF F F+ =

2 21 2[4]in[1] : 12 2 2S SF F F F + = ⇒ = +

1 31

2 2S SF F F= =+

Spannungen 1 3 2 11, , 2

2 2Sj

jj

F FA A

σ σ σ σ σ= = = =+

F

A

1

2

3 l

α α

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Bild 97

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Erreichen der Fließgrenze im am höchsten belasteten Stab S2:

22 2mit [6]

2F el FF Aσ σ σ+= ⇒ =

elast. Grenzlast elF

Tragfähigkeit von 2S ist erschöpft ( )2S FF Aσ= Fachwerk bleibt aber kinematisch bestimmt (unbeweglich) und wird jetzt statisch bestimmt. Weitere Belastung möglich bei 2 const.S FF Aσ= =

( )1 31: : 02 FGGB A A Fσ σ σ↑ + ⋅ + − =

1 32

2 FFA

σ σ σ ⇒ = = −

Erreichen auch 1σ und 3σ die Fließspannung, so fließen alle drei Stäbe und das Fachwerk verliert seine Tragfähigkeit. Es kommt zu unbegrenzten Verformungen → Mechanismus kinematisch unbestimmt.

( )1 3

2 2

2F Tr FF Aσ σ σ σ+

= = ⇒ =

Traglast (plast. Grenzlast)TrF

2Tr el elF F F= >

Berechnung der Verformung (y-Verschiebungen des Kraftangriffspunktes A)

a) im elast. Bereich elF F≤ :

2 2 22 2 2 2

S el FA Ael

F l F l lFlu uEA EA EA E

σ= = = =

+ +

b) el TrF F F≤ ≤ „eingeschränktes plast.“ Fließen, da S2 unbegrenzt nachgibt, wird die Verformung durch S1 und S3 elastisch bestimmt:

1 11 1

22 2 mit [8]cosA A F

l l Fu l l uE E A

∆ σε σα

= = = = −

c) bei Erreichen der Traglast [9] : 2 2Tr ATr F AellF F u uEσ= = =

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

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Oberhalb TrF kommt es zum uneingeschränkten plast. Fließen, d.h. Fachwerk verliert seine Tragfähigkeit und wird zum (Fließ-) mechanismus. 14.3. Biegung bei elastisch – plastischer Beanspruchung

14.3.1. Gerade reine Biegung

Annahmen: • schlanker prismatischer Stab/Träger mit konst. Querschnitt • Gültigkeit der BERNOULLI – Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte • Material ist linear – elastisch / ideal – plastisch mit gleich großer Zug- und

Druckfließspannung • Querschnitt symmetrisch zur y – Achse

F

FTr

Fel

uAel

uA

uATr

Bild 98

Bild 99

y

x S

oy

uy

0zσ <

0zσ >

bM

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a) Vollständig elastischer Zustand

( ) ( );bz z F

xx

My y yσ σ σ= ≤I

Erreicht die max. Spannung an einer Radfaser die Fließspannung, so bezeichnet man das entsprechende Biegemoment als elastisches Grenzmoment.

maxel

F el b Fb

M M WW

σ σ σ= = ⇒ =

b) Teilweise plastischer Zustand Im höher belasteten Bereich des Querschnittes entsteht ein plastisches Gebiet (eingeschränktes plast. Fließen). Bei weiterer Laststeigerung von bM fließt ein zweiter Bereich, ausgehend von der anderen Randfaser. Dazwischen erstreckt sich noch ein elastischer Bereich, der einen linearen Spannungsverlauf aufweist. Die Spannungsnulllinie

( ) 0z Nyσ = verschiebt sich gegenüber dem Schwerpunkt 0y = . Die Grenzen der plast. Bereiche findet man anhand der Äquivalenzbedingungen für Längskraft und Biegemoment:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2

0 1 2

1 2

0 1 2

2 1

1 2 1 2

0

mit 21, ,2

u

u

yy y

L F z Fy y y

yy y

b F z Fy y y

z F N

N

F b y dy y b y dy b y

M y b y dy y y b y dy y b y dy

y y y y y

y y y y y

σ σ σ

σ σ σ

σ σ

= − + + =

= − + +

= − −

⇒ = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Die weitere Plastifizierung des elast. Bereiches führt zu einer Steigerung des ertragbaren Biegemomentes.

(209)

Bild 100

x

y

Fσ−

1y

Ny

Fσ−

1y

2yNy

Fσ+

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c) Vollplastischer Zustand In diesem Zustand sind beide plast. Bereiche zusammengewachsen, d.h. der elast. Bereich ist verschwunden. Deshalb kommt es zum uneingeschränkten plastischen Fließen, der Balken bildet ein Fließgelenk. Übertragen werden kann nur noch ein plast. Biegemoment oder Traglastmoment bTrM . Äquivalenzbedingungen:

0;L F u F o u oF A A A A Aσ σ= − = + =

2u oAA A⇒ = =

( ) ( ) ( )0

u N

N

y y

bTr F F F xu xoy y

M b y y dy b y y dy S Sσ σ σ= − = −∫ ∫

( )12bTr F Su SoM y y Aσ= −

plast. Widerstandsmoment: ( )012pl Su SW y y A= − bTr pl FM W σ= ⋅

Das Verhältnis zwischen elast. Grenzlastmoment und plast. Grenzlastmoment (Traglastmoment) wird Formfaktor genannt, da es nur von der Querschnittsform abhängt (Sicherheitsreserve bei Plastifizierung):

plbTr

el

WMM W

α = =

(210)

(211)

(213)

Bild 101

Soy

Suy

oy

Ny

uAuy

x

y

Ny

Fσ−

Fσ+

(212)

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Bsp.: Dreieckquerschnitt

01 22 3 4N

bhA c h y = + =

( )12 3 4u N

h bhA b c y = + − =

[1] und [2]:

( )

( )

1 4 3 26

22

23

Ny h

c b

bb y y hh

⇒ = − +

=

= − −

( ) ( )

( ) ( )

32

2

23

2

1 2 212

1 2 212

2 26

N

N

h

xuy

y

xo

h

bTr F

S y b y dy bh

S y b y dy bh

M bh σ

= ⋅ = −

= ⋅ = − −

−⇒ =

( )

2

2 3

2 26

2 24 363

4 2 2 2,34

pl

xxxx

pl

W bh

bh bhWh

WW

α

−=

= = =

= = − ≈

I I

[1]

[2]

h 3

h

b

Su

Su

ySo

ySu

yN

ySu

ySo

y

x

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Bsp.: Träger mit Rechteckquerschnitt unter Linienlast

geg.: , , , ,ges.: ,

plast. Zone

F

bel bTr

q l b hM M

σ

elast. Grenzmoment:

( )22 2

max21 ; bei 0

8 8b bq l z q lM z M z

l = − = =

2

6bhW =

2 2

2

48 3

elbel F el F

q l bhM W ql

σ σ= ⋅ = ⇒ =

teilplastischer Zustand:

q

z

y

l/2 l/2

[1]

[2]

[3]

h

b A/2

A/2

ySo

ySu

-σF

+σF

x

y

yu

yo

-yF

+yF

yN=0

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Äquivalenzbedingung bei symmetrischen Biegespannungen:

( )0

2uF

F

yy

b z Fy

M y y b dy y b dyσ σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ ∫

( )mit 0 gilt im elast. BereichN z FF

yy yy

σ σ= =

23 2 2

0

23 2 4 3

F u

F

y y

Fb F F

F y

yy y hM b by

σ σ = + = −

2

mit [3] : ergibt sich Grenze des plast. Bereichs:6F bel

bhMσ =

3 22

bF

bel

MhyM

= −

plast. Grenzmoment = Traglastmoment:

bTr pl F Su S0hM W ; A bh; y y4

σ= = = − =

( )2

02 4pl Su SA bhW y y= − =

3Formfaktor2

plbTr Tr

bel el

WM qM W q

α = = =

Begrenzung der plast. Zone:

222[1] [3]in[4] : 3 2F

q lyh

+ = −

8⋅221

8

zl

− 2

elq l

2 22 22 3 2 HyperbelF

el el

y q z qh q l q

⇒ − = −

für ist nur bei 02

3für entartet [6] in Gerade.2

el F

Tr el

hq q y z

q q q

= = =

= =

2 23Fy zh l

= ±

seitliche Ausdehnung des Fließgelenkes: 2Fhy = ±

0, 292 3pl

lz l⇒ = ± ≈

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

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14.3.2. Gerade Biegung und Längskraft

Spannungen: b Lz

xx

M FyA

σ = +I

Querschnitt symmetrisch bezüglich y – Achse Fließbedingung als Funktion von , :L bF M

0, klein oder 0 :b L LM F F> < Fließen beginnt oben!

( ) ( )0 0 00 0!b Lz F

xx

M Fy y yA

σ σ> = + ≥ − <I

0, groß und 0 :b L LM F F> > Fließen beginnt unten!

( ) 0b LF z u u

xx

M Fy yA

σ σ≥ = + >I

zpl

y

z

[1]

[2]

Bild 102

h x

y

S

oAoy

Soy

Suy

uyuA

Nely Ny

Fσ+ Fσ+

bM

LF

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Bsp: Rechteckquerschnitt ,2uhA b h y= ⋅ =

[2] : 0, 0 :b LM F> >

( ) 2

6 b Lz u F

M Fybh bh

σ σ= + = elast. Grenzlast

mit Lel LTr FF F bhσ= =

und 2

;2 in [3] :3 4bel bTr bTr F

bhM M M σ= =

3 12

b L

bTr LTr

M FM F

+ = elast. Grenzzustand

plast. Grenzlast bei vollständiger Plastifizierung:

Ny − Spannungsnulllinie ,o uA A − Teilflächen mit Schwerpunkten ,So Suy y

Äquivalenzbedingungen:

( ) ( ) ( )0

0

u N

N

y y

L F F u Fy y

F b y dy b y dy A Aσ σ σ= − = −∫ ∫

Rechteck: ( )2 0L N F NF y b yσ= − <

( ) ( )0

u N

N

y y

b F Fy y

M b y y dy b y y dyσ σ= −∫ ∫ ( )xu xo FS S σ= −

Rechteck: 2 21 44b N FM h y bσ = −

Elimination von Ny aus beiden Gleichungen mit [4] und [5] ergibt Grenzkurve der vollplast. Belastung (Traglast):

( )2

1 ParabelbL

LTr bTr

MFF M

+ =

[3]

[4]

[5]

(214)

(215)

(216)

(217)

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Rechteck: L LTrF F b bTrM M 14.4. Torsion bei elastisch – plastischer Beanspruchung

Einschränkung auf kreisförmige dickwandige Querschnitte

reine Schubbeanspruchung im Querschnitt

t

t

M rτ =I

Bild 103

tM

R

FrFτ

1

1

-1

-1 23

− 23

+ elastisch

plastisch

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Die Fließspannung unter Schub Fτ ergibt sich aus der Zug – Fließspannung nach:

v. MISES: 3F

Fστ = ; TRESCA:

2F

Fστ =

a) elast. Grenzlast: max bei tF

t

M r RW

τ τ= = =

Plastifizierung beginnt bei Fr R=

Kreisquerschnitt: 4 3,2 2t tR W Rπ π

= =I

3

2tel F t FM W Rπτ τ= =

b) elast.- plast. Bereich:

( )2

0 0

2 2

0

Äquivalenzbedingung

2 2F

F

R

t

r RF

t FF r

M r r r d dr

M r r dr r drr

π

τ ϕ

τπ π τ

= ⋅ =

= +

∫ ∫

∫ ∫

3 34

6t F FM R rπ τ = −

bzw. plast. Zonenradius mit Fτ aus (218):

3 4 3 tF

tel

Mr RM

= −

c) Vollplastischer Zustand:

0 unbegrenzte Verdrehung Fr ϕ= ⇒ →∞

(219): 32 43 3Tr F telM R Mπ τ= =

Verdrehwinkel elastisch: ( )maxmax

tF

t

MG I G R

τϕ ϑ τ τ′ = = = ≤

(218)

(219)

(220)

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plastisch: F

FG rτϑ =

da plast. Zone Fr r> keinen Verformungswiderstand besitzt

14.5. Einachsige Verformungsgesetze

14.5.1. Fließbedingung

Zur Formulierung des Grenzzustandes, wo Fließen beginnt, wird eine Fließbedingung Φ mit folgenden Eigenschaften definiert:

( ) 0Φ σ < elastischer Bereich

( ) 0Φ σ = bei Eintreten plast. Fließens

( ) ( )0 0Φ σ Φ σ= ⇒ = bei Fortschreiten des plast. Fließens Für das elastisch-ideal-plastische Modell lautet die Fließbedingung:

( ) 0FΦ σ σ σ= − = Daraus folgen die plastischen Dehnungsänderungen (Geschwindigkeiten):

( )

0 für 0 und 0 plast. Fließen0 für 0 oder 0

Entlastung aus demelast. Bereich

plast. Bereich

p

p

ε Φ Φ

ε Φ Φ

≠ = =

= < <

Anwendungsbereich: Berechnung der plastischen Grenzlasten

Bild 104 telM TrM

tM

ϑ

(221)

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14.5.2. Verfestigung

Verfestigung bedeutet eine Erhöhung der aktuellen Fließgrenze als Folge der plastischen Deformation (strain hardening) oder plastischen Formänderungsarbeit (Work hardening). Für Spannungen oberhalb der Anfangs-Fließspannung σF0 stellt sich eine endliche bleibende plast. Dehnung ein.

( ) ( )0 : bzw.p pF Fg fσ σ ε σ σ ε≥ = =

Für die Funktion g(σ) existieren viele Beschreibungen z.B.:

• lineare Verfestigung ( )01p

FpE

ε σ σ= −

• Potenzgesetz Verfestigung 0

np σε α

σ

=

(RAMBERG-OSGOOD)

plastischer Tangentenmodul p pE ∆σ∆ε

=

Daraus ergibt sich ein effektiver Tangentenmodul

pT

p

E EE

E E∆σ∆ε

⋅= =

+ aus:

p TE E E∆σ ∆σ ∆σ∆ε = + =

Bisher wurde nur monotone Belastung diskutiert. Wenn das Material nach plast. Verformung in die entgegengesetzte Richtung (Zug → Druck) entlastet und wiederbelastet wird, zeigt es meistein anderes plastisches Verhalten, z.B. dass plast. Fließen früher einsetzt (Fließgrenze hat sich verschoben) – BAUSCHINGER-Effekt. Hinsichtlich des Einflusses einer reversiblen Belastung unterscheidet man zwei Verfestigungsarten, die wesentliche Bedeutung erlangt haben:

(222)

ε

σ

ε p ε e

ε p ε e

σF0

σF

Bild 105

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a) isotrope Verfestigung Nach Belastungsumkehr kommt es erst wieder zum plast. Fließen, wenn die bereits erreichte Fließgrenze σF wieder überschritten wird, Fσ σ≥ d.h. der verfestigte (elastische) Bereich vergrößert sich und bleibt bestehen. Die Spannungs-Dehnungskurve wird bzgl. des Nulldurchgangs σ = 0 (Punkt B) gespiegelt. Das Maß für die isotrope Verfestigung ist die Größe ( )pR R ε= , um die sich der Werkstoff

gegenüber seiner Anfangsfließgrenze verfestigt hat:

( ) ( )0p p

F F Rσ ε σ ε= +

Somit lautet die isotrope Fließbedingung:

( ) ( ) ( )0, 0p p pF F RΦ σ ε σ σ ε σ σ ε= − = − − =

Die Fließgrenze hängt nun von der bisher erreichten Verfestigung R ab, weshalb die plast. Dehnung pε als interne Variable zur Quantifizierung dieses Materialzustandes in Φ Eingang findet.

σ

R

R

σF

σF

B

A

A’ M’

σF0

−σF0

σF

M

ε

Bild 106

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b) kinematische Verfestigung (PRAGER) Die isotrope Verfestigungsregel erklärt nicht den BAUSCHINGER-Effekt !? Unter kinematischer Verfestigung versteht man eine Verschiebung der Fließbedingung in Richtung der aktuellen Belastung, wobei die Größe des elastischen Bereiches ( )0d.h. F Fσ σ= unverändert bleibt. Die Verschiebung des Bezugspunktes der Fließbedingung wird durch die kinematische Verfestigungsvariable X ausgedrückt. Für die Veränderung von X mit der plastischen Verformung muss zusätzlich zur Fließbedingung eine Evolutionsgleichung aufgestellt werden, z.B. lineare kinematische Verfestigung als Funktion der internen Zustandsvariablen pε .

( )( ) ( ) 0

Materialkonstante

, 0

p p

p pF

X X c c

X

ε ε

Φ σ ε σ ε σ

= = ⋅ −

= − − =

Die Spannungs-Dehnungs-Kurve wird bzgl. des Bezugspunktes C gespiegelt, der das Zentrum des elast. Bereiches darstellt. Die Variable X repräsentiert eine „innere Spannung“ des neutralen Zustandes (Rückspannung – backstress), die überwunden werden muss, wenn die äußere Belastung auf Null zurückgeht. Tatsächlich weisen reale metallische Werkstoffe eine kombinierte isotrop-kinematische Verfestigung auf.

x

A

A’

M’

σF0

M

ε

C

σ

2 σF0

(223)

Bild 107