§2-1 §2 Darstellung geometrischer Objekte, Farbe, Beleuchtung Visualisierung mit C++ / OpenGL - SS...

§2-1

§2 Darstellung geometrischer Objekte, Farbe, Beleuchtung

Visualisierung mit C++ / OpenGL - SS 2005

Aufgabe

Modellieren Sie mittels Bézier-Kurven einen Kreis.

Hinweis: Beginnen Sie mit einem Viertelkreis

Modellieren Sie anschließend eine Kugel aus Bézier-Patches

§2-2



2.9 Freiformkurven und -flächen – Rationale Kurven

Rationale Bézier-Kurven

Mit polynomialen Segmenten lassen sich Kegelschnitte, wie z.B.

Kreise und Ellipsen, nicht exakt darstellen. Um dies zu

ermöglichen, betrachten wir Bézier-Kurven in projektiven Räumen

unter Verwendung von homogenen Koordinaten. Als Gewichte der Kontrollpunkte bi führen wir die Größen wi ein.

Somit erhalten wir die Darstellung für rationale Bézier-Kurven.

Letztere sind gebrochen-rationale Funktionen, d.h. Zähler und

Nenner sind Polynome. Mit dieser Technik wird es möglich,

Kegelschnitte exakt darzustellen.

§2-3




Wir erhalten folgende rationale Bézier-Kurvendarstellung:

)(

)()(

~

0

tBw

tBwtB

njj

n

j

niin

i

),(~

)(

)()(

0

0

0 tBbtBw

tBbwtX n

ii

n

inii

n

i

niii

n

i

§2-4




1

101

1

1

1

1

11

10

1010

Einfluss unterschiedlicherPunktgewichte

§2-5




Beispiel:

Darstellung eines Viertelkreises

b0 = (0,1) b1 = (1,1)

b2 = (1,0)

w0 = 1w1 =

w2 = 1

5.0

§2-6



2.9 Freiformkurven und -flächen – Splinekurven

Bei der Interpolation mit Polynomen treten insbesondere bei hohen

Polynomgraden starke Oszillationen auf. Um diese Oszillationen

einzudämmen, setzt man Kurven aus mehreren Segmenten von

niedrigem Polynomgrad zusammen. Von den einzelnen

Teilpolynomen verlangt man, dass sie sich in den Nahtstellen (die

hier mit den Stützstellen übereinstimmen) „glatt“ aneinander-

fügen.

§2-7




Definition: Ck-Stetigkeit

Eine Funktion f(t) ist Ck-stetig (k 0), wenn die Funktion und ihre k Ableitungen stetig sind. Ck [t0 ,tn] ist die Klasse der Ck-stetigen

Funktionen auf dem Intervall [t0 ,tn].

Definition: Spline

= {t0, t1, , tn} sei ein monotoner (Knoten-)Vektor mit reellen

Stützstellen ti< ti+1. Eine Funktion S heißt Spline vom Grad k-1 (von

der Ordnung k), wenn gilt:

(1) S ist ein Polynom vom Grad k-1 in jedem Teilintervall [ti, ti+1]

(2) S ist Ck-2-stetig auf [t0, tn].

§2-8




Bemerkungen:

1. Der Spline S wird als interpolierender Spline bezeichnet, wenn

für gegebene Interpolationspunkte (Ordinaten).

2. Der interpolierende Spline ist i.a. nicht eindeutig bestimmt. Er

hat noch k-2 Freiheitsgrade, d.h. eine Vorgabe von Rand-

bedingungen ist nötig.

Für kubische Spines (k=4) wählt man oft die natürlichen Randbedingungen S´´(t0) = 0 und S´´(tn) = 0.

Identifiziert man die Knoten t0 und tn miteinander, so entsteht ein

geschlossener Spline (ohne Randbedingungen).

§2-9




Kubische Splines

Statt die Form der interpolierenden Funktion vorzuschreiben, z.B.

als Polynom eines bestimmten Höchstgrades, kann man auch

Eigenschaften vorschreiben, wie z.B. einen möglichst „glatten“

Verlauf.

Fordern wir

[1]

unter den Nebenbedingungen

[2] , und

so ergibt sich folgendes Resultat:

dtt

t

tgn

0

2

,n, jp)g(t jj )0(

minimal

00 '' p)(tg nn p)(tg ''

§2-10




Satz: minimum-norm property

Unter allen Funktionen , die die Bedingung [2]

erfüllen, erteilt die interpolierende kubische Splinefunktion dem

Integral [1] den kleinsten Wert.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die beiden Freiheitsgrade der

Spline-Funktionen zu nutzen. Hier werden die beiden am häufig-

sten verwendeten Fälle behandelt.

und natürlicher Spline

0)( 0 tS 0)( ntS

)()();()();()( 000 nnn tStStStStStS

],[ 02

nttCgS

periodischer Spline

§2-11




Um den Weg zu Algorithmen für Splinekurven aufzuzeigen, berechnen wir hier zunächst einmal die Koeffizienten eines

natürlichen kubischen Splines:

für Dies führt auf folgende Bedingungen für die Polynome Si:

32 )t(td)t(tc)t(tba(t)SS(t) iiiiiiii

ni p) (tS iii ,...,0

1,...,0;, 1 nittt ii

iiii dcba ,,,

11

1

1

1

,n,i

)(t S'') ''(tS

)(t S') '(tS

)(t S) (tS

iiii

iiii

iiii

§2-12




Dies hat folgende Auswirkungen auf die Koeffizienten:

211111 32 )t(td)t(tcbb iiiiiiii

)(622 111 iiiii ttdcc

nittdttcttbaa iiiiiiiiiii ,...,1,311

211111

1,...,1 ni

1,...,1 ni

nipa ii ,...,0

§2-13




Wir setzen i:=ti+1-ti und erhalten nach einigen Umformungen:

)(c))((c)(c iiiiiii 1111 2

)a(aΔ

)a(aΔ ii

iii

i1

11

33

)(3

11 ii

ii ccd

)c(c)a(ab iii

iii

i 23

111

1,...,0 ni

1,...,0 ni

1,...,1 ni

§2-14




Da gilt, die also bekannt sind, ist im Wesentlichen ein

lineares Gleichungssystem mit n-1 Gleichungen und bislang n+1 Unbekannten ci (i=0,...,n) zu lösen.

Für einen natürlichen kubischen Spline gilt ,

was c0=cn=0 bedeutet.

Fassen wir nun die Erkenntnisse zu einem Algorithmus zusammen:

0)()( 0 ntStS

ii pa ia

§2-15




Algorithmus für natürliche kubische Splines

Gegeben seien n+1 Stützstellen ti mit t0 < t1 < ... < tn

und die Funktionswerte (bzw. Interpolationspunkte) .

Gesucht ist der zugehörige natürliche kubische Spline S in

der Darstellung

für und

Berechnung der Koeffizienten :

[3]

32 )t(td)t(tc)t(tba(t)S iiiiiiii 1, ii ttt

iiii dcba ,,,

ii pa

00 ncc

ni ,...,0

1,...,0 ni

npp ,...,0

§2-16




[4]

[5]

[6]

Bemerkungen:

1. Die Gleichungen [4] lauten in Matrizenschreibweise

)c(cd iii

i

13

1

)c(c)a(ab iii

iii

i 23

111

bAc

)a(a)a(a iii

iii

11

133

)(c)(c)(c iiii-ii-i- 1111 22

iii tt 1

1,...,1 ni

1,...,0 ni

1,...,0 ni

(Gleichungssystem für ci )

§2-17




mit

1

1

.

.

.

:

nc

c

c

2

21

1

1

0

01

1

12

.

.

.3:

n

nn

n

nn aaaa

aaaa

b

)(..

..

.)(

..

A:

nnn

n

122

22

2211

110

20

0

02

02

§2-18




2. Die Matrix A ist tridiagonal, symmetrisch, diagonal-dominant,

positiv definit und besitzt nur positive Elemente. A ist damit

regulär und das lineare Gleichungssystem hat eine ein-

deutige Lösung. Als Lösungsverfahren sollte man die direkte

LU-Zerlegung für tridiagonale Matrizen verwenden, da der

Algorithmus Komplexität O(n) hat.

Im Fall periodischer Splines entfallen die Randbedingungen und

es ergibt sich ein analoger Algorithmus.

§2-19




Algorithmus für periodische kubische Splines

Identifiziert man die Stützstellen t0 und tn miteinander, d.h., p0 = pn ,

die Interpolationskurve ist geschlossen und besitzt auch bei t0

(bzw. tn) einen C2-stetigen Übergang, so ändert sich an dem o.g.

Algorithmus nur die Matrix A des Systems [4]:

)(

)(A

nn

n

0110

1

2211

0110

20

0

02

02

§2-20




Diese Matrix A ist zyklisch tridiagonal, symmetrisch, diagonal-

dominant, positiv definit und besitzt nur positive Elemente; d.h. A ist

gut konditioniert. Das System kann wiederum in 0(n) gelöst

werden.

§2-21




Da die Aufgabe der Splines in CAD im Wesentlichen in der

Modellierung ebener oder räumlicher Kurven besteht, benötigen

wir im folgenden den Begriff des vektorwertigen oder

parametrischen Splines.

Definition : Ist eine

Zerlegung des Intervalls so heißt eine Abbildung

parametrischer Spline vom Grad k-1 (Ordnung k),

wenn die Komponentenfunktionen Splines vom Grad k-1 sind.

Insbesondere gilt für die „Komponenten-Splines“ xi :

, wofür

wir im folgenden kurz schreiben.

bt...ttat...t: nn 100 ,, ,

],[2 baCX k )3,2,1(],[2 ibaCx k

i

;, IRba 3,: IRbaX

§2-22




Lokale Glattheitseigenschaften räumlicher Kurven, die durch

Aneinanderhaftung von Teilkurven entstehen, belegt man

üblicherweise mit folgender Begriffsbildung:

Definition: Sind und

parametrische Kurven mit und und haben den gemeinsamen Punkt X(t1)=Y(s0), so sprechen wir

genau dann von einem Ck-Übergang der Kurven in ihrem

gemeinsamen Punkt, wenn gilt:

für alle r mit 1 r k.

(Unstetigkeiten werden als C-1-stetig bezeichnet.)

],[ 10 ttCX m ],[ 10 ssCY n

)()( 01 sYds

dtX

dt

dr

r

r

r

310 ,: IRttX 3

10 ,: IRssY

§2-23




Algorithmus für parametrische kubische Splines

Gegeben seien von einer Raumkurve die Interpolationspunkte

Gesucht ist ein interpolierender parametrischer kubischer Spline.

1. Schritt: Parametrisierung: Festlegung der Parameterwerteti (i = 0,...,n) zu den Interpolationspunkten

2. Schritt: Festlegung der Randbedingungen

3. Schritt: Berechnung der Spline Komponenten Sx,Sy,Sz so dass Sx(ti)=xi,

Sy(ti)=yi, Sz(ti)=zi, (i=0,...,n) mit Hilfe des jeweiligen Spline-Algorithmus,

.,...,0,,: nizyxp iiii

§2-24




Bemerkung:

Bei geschlossenen Kurven eignen sich periodische Splines, sofern

die Kurve überall „glatt“ ist. Liegen eine oder mehrere „Spitzen“ vor

(C0-Übergängen, z.B. beim Querschnitt einer Tragfläche), dann

eignen sich natürliche Splines mit den Spitzen als Anfangs- und

Endpunkten.

32 )()()()()( ixiixiixixixix ttdttcttbatStS 32 )()()()()( iyiiyiiyiyiyiy ttdttcttbatStS 32 )()()()()( iziiziiziziziz ttdttcttbatStS

1,...,0 , , 1 nittt ii

§2-25




Parametrisierungen

Die Parameterwahl bestimmt sehr stark das Aussehen und damit

auch die Qualität der Kurven (und Flächen).

Gleiche Interpolationsaufgabe mit unterschiedlichen Parametrisierungen

§2-26




Parametrisierungen

Die Wirkung der Parameterwahl kann durch folgende kinematische

Interpretation visualisiert werden: Der Kurvenparameter t wird als

Zeitparameter aufgefasst, der angibt, wie lange ein Punkt X benötigt,

um die Kurve X(t) zu durchlaufen.

Wir betrachten zunächst die Interpolation einer Punktmenge durch eine

Kurve; d.h. wir legen ein Parameterintervall [a,b] zugrunde und

interpolieren n+1 Punkte.

§2-27




Äquidistante Parametrisierung

Bei der äquidistanten Parametrisierung steht nun für jedes zu interpolierende Punktepaar (Pi,Pi+1) die gleiche Durchlaufzeit zur

Verfügung.

Sind die Abstände zwischen den Punkten sehr unterschiedlich, so muss

der Kernpunkt X die Interpolationskurve mit unterschiedlicher

Geschwindigkeit durchlaufen. Folgt einem großen Abstand ein kleiner

Abstand, so muss die größere Geschwindigkeit stark „abgebremst“

werden, was zu einem „Überschwingen“ der Interpolationskurve führen

kann.

0; ; ,...,nitiatn

abt i

§2-28




Chordale Parametrisierung

Die Parametrisierung sollte der „Struktur der Punktmenge“ in

gewissem Sinne angepasst werden. Einen solchen Zugang liefert

die chordale Parametrisierung,

Die Parameterintervalle werden proportional zu den Abständen

benachbarter Stütz- bzw. Interpolationspunkte gewählt mit s als Normierungsfaktor (z.B. s = Gesamtlänge des von den Pi

erzeugten Polygons).

.: 11 s

PPttt ii

iii

§2-29




Zentripetale Parametrisierung

Eine weitere Möglichkeit der Parameterwahl, welche die Struktur

der Daten nachbildet, ist die so genannte zentripetale Parametri-

sierung [Lee 1975]:

Hier wird die zentripetale Beschleunigung näherungsweise

minimiert. Sinnvoll sind auch Kombinationen dieser drei Typen.

Eine Parametrisierung, die nicht nur Abstände, sondern auch noch

Winkeländerungen in den Interpolationspunkten berücksichtigt,

wurde von T. Foley entwickelt (siehe [Foley 1989]).

s

PPt

ii

i

1:

§2-30




§2-31



2.9 Freiformkurven und -flächen – B-Splines

Basis Splines

Bei der Konstruktion von Splines haben wir bisher polynomiale

Basisfunktionen (z.B. Bernsteinpolynome) für die Darstellung der

einzelnen Segmente betrachtet. Dies führt zur Konstruktion von

Übergangsbedingungen an den Segmenttrennstellen.

Ein eleganterer Ansatz zur Konstruktion von Splinekurven besteht

darin, Ck-2-stetige Basisfunktionen aus mehreren Segmenten der

Ordnung k zu konstruieren. Bei Verwendung dieser Basis Splines

(B-Splines) entfallen die Übergangsbedingungen und es werden

zudem weniger Kontrollpunkte (Koeffizienten) benötigt.

§2-32




Beispiel: Quadratische B-Splinekurve mit Kontrollpunkten d0...d5.

d0

t0=t1= t2 t3 t6= t7= t8t4

2 43

t5

5

d5 d4

d3

d2

d1 2 :

3

5

: 4

3 :

4

§2-33




Eine offene B-Splinekurve der Ordnung k (vom Grad k-1) ist

gegeben durch

m+1 Kontrollpunkte d0,...,dm (de Boor-Punkte) und

m+k+1 Knoten x0x1 ... .xm+k (Knotenvektor).

Das Definitionsgebiet der B-Spline Kurve ist das Intervall [xk-1, xm+1], welches m-k+2 Segmente enthält. Die übrigen Knoten

bestimmen das Verhalten der Kurve an den Rändern.

Für das erste Splinesegment benötigt man k de Boor-Punkte, für

jedes weitere Segment nur einen zusätzlichen de Boor-Punkt.

§2-34




de Boor-Algorithmus

Analog zum de Casteljau-Algorithmus für Bézier-Kurven ermöglicht

der de Boor-Algorithmus die effiziente Auswertung von

B-Splinekurven (ohne die einzelnen Segmente herzuleiten).

Zu gegebenem Parameter t bestimmt man zunächst den Index r, so dass t [xr , xr+1).

Der zugehörige Punkt f ( t ) der Splinekurve wird dann aus den de Boor-Punkten dr-k+1,...,dr wie folgt ermittelt:

§2-35




De Boor-Algorithmus

Für t [xr , xr+1) berechnet sich die B-Splinekurve aus

mit

),...,1(0 rkridd ii

)1,..,1;,...,1()1( 111 kjrjkriddd j

ij

ij

ij

ij

i 1)( k

rdtf

ijki

iji xx

xt

)(110

12

02

01

tfddd

dd

d

krrr

krkr

kr

Schema des de Boor-Algorithmus

§2-36




De Boor-Algorithmus

1. Beispiel: k=4, m=4

m-k+2 = 2 polynomiale Segmente

d0

dm

d2d1

d3

...

x0 x1 xk-1 xm+1 xm+k

§2-37




De Boor-Algorithmus


d0

dm

d2d1

d3

x0 x1 xk-1 xm+1 xm+kt

d4

d3

d21

1

1

21

31

41

t [x4 , x5) r=4

§2-38




De Boor-Algorithmus


d0

dm

d2d1

d3


d4

d3

d21

1

1

32

42

d4

d32

2

§2-39




De Boor-Algorithmus


d0

dm

d2d1

d3


d4

d3

d21

1

1

43

d4

d32

2

f(t)=d43

§2-40




2. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

t

),...,3(1 rridi

§2-41




2. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

t

),...,2(2 rridi

§2-42




2. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

t

),1(3 rridi

§2-43




2. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

t

)(4 tfdr

§2-44




3. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

t=xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

Auswerten an einem

Knoten

),...,3(1 rridi

§2-45




3. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

t=xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

Auswerten an einem

Knoten

),...,2(2 rridi

§2-46




3. Beispiel (k=5):

dr-4

dr

dr-2dr-3

dr-1

...

t=xr xr+1

rr-1 r+1r-2r-3 r+2 r+3

Auswerten an einem

Knoten3rd

)(431 tfdd rr

§2-47




B-Splines

Aus dem de Boor-Algorithmus ergeben sich die Basisfunktionen Ni,k(t) (B-Splines) zu den einzelnen de Boor-Punkten di (analog zu

den Bernstein-Polynomen für Bézier-Kurven).

[1] Rekursionsformel von de Boor und Cox

sei eine nichtfallende Folge von Knoten.

0INiix

sonst 0

1:)( 1

1,

iii

xtxtN

)()(:)( 1,11

1,1

, tNxx

txtN

xx

xttN ki

iki

kiki

iki

iki

§2-48




Beispiel 1: = {0,1,2,3,4}, k=1,...,3

sonst 0

)1,0[ 11,0

t

N

sonst 0

)3,2[ 11,2

t

N

sonst 0

)2,1[ 11,1

t

N

sonst 0

)4,3[ 11,3

t

N

sonst 0

1,2)[t -2

)1,0[

2,0

t

N

sonst 0

[2,3)t -3

1,2)[ 1

2,1

t

N

sonst 0

)4,3[t -4

2,3)[ 2

2,2

t

N

§2-49




[3,4) 0

[2,3) 2

t-3

)2,1[ 2

1-tt-3t-2

0,1)[ 2

2

2

3,0

t

t

N

3,4)[ 2

t-4

)3,2[ 2

2-tt-41-tt-3

)2,1[ 2

1

)1,0[ 0

2

2

3,1

t

N

§2-50




Beispiel 2: ={0,0,0,1,2,3,4,4,4}, k=1,...,3

01,11,0 NN sonst 0

)1,0[ t11,2

N sonst 0

)2,1[ t11,3

N

01,71,6 NN sonst 0

)4,3[ t11,5

N sonst 0

)3,2[ t11,4

N

§2-51




02,0 N sonst0

)1,0[121

t N ,

sonst0

)2,1[2

)1,0[

22

-t

t

N ,

sonst 0

[3,4) 32,5

t

N

sonst0

)4,3[4

)3,2[2

24

-t

t-

N ,

sonst 0

)3,2[3

)2,1[1

23

-t

t-

N ,

02,6 N

sonst 0

)1,0[1 2

3,0

tN

sonst 0

1,2)[ 2

2

0,1)[ 2

21

2

31

-t)(

-t)(t-t)(t

N ,

§2-52




[3,4) 2

4

)3,2[2

2431

1,2)[ 2

1

sonst 0

2

2

33

-t)(

)(tt)()t()-t(

)(t-

N ,

3,4)[ 3

sonst 023,5

tN

)4,3[16102

3

)3,2[ 2

2

sonst 0 2

34

tt²-

)(t-

N ,

sonst 0

)3,2[ 2

3

)2,1[ 2

132

)1,0[ 2

2

2

32

-t)(

)(tt)()t(t

t

N ,

§2-53




].,[,)(:)( 110

,

mk

m

ikii xxttNdtf

Mit Hilfe dieser Basis Splines erhalten wir nun folgende

Darstellung:

[2] Definition: B (Basis)-Splinekurven

(a) Das Kontrollpolygon d0,...,dm, die Ordnung k (Grad k-1) und

die m+k+1 Knoten x0x1 ... xm+k definieren eine

offene B-Splinekurve, gegeben durch

§2-54




(b) Das Kontrollpolygon d0,...,dm, die Ordnung k (Grad k-1) und

die m+2 Knoten x0x1 ... xm+1 definieren eine

geschlossene B-Splinekurve, gegeben durch

wobei die fehlenden Knoten periodisch ergänzt werden:

Diejenigen B-Splines, welche aus dem Intervall [x0,xm+1]

herausragen, müssen am jeweils anderen Rand des Intervalls

angetragen werden.

],,[,)(:)( 100

,

m

m

ikii xxttNdtf

.1 iii xx ,12 iimim xx

,1 imii xx ,2,1,0i

§2-55



Beispiel (k=3, m=4):

x0 xk-1 xm+1 xm+k

d0 dk

offene B-Splinekurve

x0 xm+1

geschlossene B-Splinekurve

d0 dm

0 m 0m ... ......

...

...


§2-56



Bemerkungen:

1. Jede Kontrollpunktänderung hat nur lokalen Einfluss.

2. Bei offenen B-Splinekurven werden die Randpunkte d0 und dm interpoliert, wenn gilt: x0=...=xk-1 und xm+1=...=xm+k.

Die Knoten x0 und xm+k haben keinen Einfluss auf den

Kurvenverlauf.

3. Die Trägerintervalle der B-Splines sind wie folgt definiert:

kmmkk

m,km,k,k

,x,x,x,x,x,x

NdNdNdsf

110

1100


§2-57



Satz: Convex-Hull und Variation-Diminishing Property

(a) Jede Gerade schneidet eine ebene B-Splinekurve nicht öfter

als das zugehörige B-Splinepolygon.

(b) Die B-Splinekurve liegt in der konvexen Hülle des

zugehörigen B-Splinepolygons. Genau genommen liegt jeder

Kurvenpunkt in der konvexen Hülle von k lokalen

Kontrollpunkten.

Beweis: siehe [Lane:1983]

Bemerkung:

Liegen k aufeinander folgende Kontrollpunkte auf einer Geraden,

so enthält auch die Kurve ein Geradensegment.


§2-58




Man kann B-Splinekurven in Bézier-Segmente umwandeln, indem

man die Vielfachheit aller Knoten durch sukzessives

Knoteneinfügen auf k-1 erhöht. Die B-Splines degenerieren

dadurch zu Bersteinpolynomen.

§2-59



2.9 Freiformkurven und -flächen – NURBS

NURBS (non-uniform rational B-splines)

Wegen der geringeren Datenmenge empfiehlt es sich oft, die

B-Splinedarstellung einzusetzen. NURBS sind rationale, nicht-

uniforme B-Splines, die besonders im CAD-Bereich Anwendung

finden:

Knoten-Sequenz {x0 ,...., xn+k}

Kontrollpunktmenge {d0 ,....,dn}

Gewichtesequenz {w0 ,....,wn}

)(

)()(

tNw

tNdwtf

kii

kiii

§2-60



2.9 Freiformkurven und -flächen – Splineflächen

Splineflächen

Splineflächen sind aus mehreren Patches (Flächensegmenten)

zusammengesetzt. An den Trennkurven der Patches sind gewisse

Stetigkeitsbedingungen für glatte Übergänge einzuhalten.

§2-61



2.9 Freiformkurven und -flächen – B-Splineflächen

B-Splineflächen

Aus dem Tensorprodukt der Darstellung für B-Splinekurven

gewinnt man B-Splineflächen. Für die Definition einer B-

Splinefläche benötigt man also

- zwei Ordnungen k und l

- de Boor Punkte dij (i=0,...,m; j=0,...,n)

- zwei Knotenvektoren (x0, ..., xm+k) und (y0, ..., yn+l)

B-Splineflächen können auch in eine oder beide Richtungen

geschlossen sein (Zylindermantel, Torus).

§2-62




B-Splineflächen

Die B-Spline-Darstellung ist erheblich kompakter als eine

Darstellung der entsprechenden Patches. Die Parametrisierung ist

durch die beiden Knotenvektoren festgelegt.

yn+1

yl-1

xk-1xm+1 ...

... (Definitions-

bereich)

§2-63




B-Splineflächen

Die Auswertung einer B-Splinefläche f(s,t) erfolgt mit dem

de Boor-Algorithmus. Zuerst wertet man für jede Zeile von de Boor-Punkten eine B-Splinekurve dj := fj (s) aus, welche dann

die Kontrollpunkte einer Flächenkurve f(t) (s = konst.) liefert.

Alternativ dazu kann man auch folgende Summe auswerten:

§2-64



2.9 Freiformkurven und -flächen – Darstellung

Darstellung von NURBS in OpenGL

Erzeugung eines NURBS-Objekts und Rückgabe des Zeigers darauf:

GLUnurbsObj* gluNewNurbsRenderer(void);

Definition der NURBS-Eigenschaften

void gluNurbsProperty(GLUnurbsObj* nurbs,

// erzeugtes NURBS-Objekt

GLenum property,

// Eigenschaft

GLfloat value

// Eigenschaftswert

);

§2-65




NURBS-Eigenschaften und Eigenschaftswerte (Auswahl)

Eigenschaft mögliche Werte

GLU_SAMPLING_TOLERANCE value>0

GLU_DISPLAY_MODE GLU_FILL |

GLU_OUTLINE_POLYGON |

GLU_OUTLINE_PATCH

GLU_CULLING GL_TRUE | GL_FALSE

GLU_AUTO_LOAD_MATRIX GL_TRUE | GL_FALSE

§2-66




Spezifikation eines Callbacks zur Fehlerbehandlung

void gluNurbsCallback(GLUnurbsObj* nurbs,

// erzeugtes NURBS-Objekt

GLenum which,

// Art des Callbacks:

// GLU_ERROR

void (*fn)(GLenum errorCode)

// Funktionspointer des

// Callbacks

);

§2-67




Beispiel einer Callback-Funktion

void CALLBACK nurbsError(GLenum errorCode)

{

const GLubyte *estring;

estring = gluErrorString(errorCode);

fprintf (stderr, "Nurbs Error: %s\n", estring);

exit (0);

}

§2-68




Spezifikation der NURBS- / B-Spline-Kurve

Definition der NURBS-Eigenschaftenvoid gluNurbsCurve(GLUnurbsObj* nurbs, // NURBS-Objekt

GLint knotCount, // KnotenanzahlGLfloat *knots, // KnotenvektorGLint stride, // Offset zwischen

// de Boor PunktenGLfloat *control, // de Boor PunkteGLint order, // Ordnung der

// KurveGLenum type // Typ der

// darzustellenden// Kurve, z.B.// GL_MAP1_VERTEX3

// GL_MAP1_VERTEX4);

§2-69




Spezifikation der NURBS- / B-Spline-Fläche

Definition der NURBS-Eigenschaftenvoid gluNurbsSurface(GLUnurbsObj* nurbs, // NURBS-Objekt

GLint uKnotNum, GLfloat* uknots, // Knotenvektor uGLint vKnotNum, GLfloat* vknots, // Knotenvektor vGLint ustride, GLint vstride // Offset zwischen // de Boor PunktenGLfloat *controlArray, // de Boor PunkteGLint uorder, GLint vorder // Ordnung der

// KurveGLenum type // Typ der

// darzustellenden// Kurve, z.B.// GL_MAP1_VERTEX3// GL_MAP1_VERTEX4 );

§2-70




Darstellung der NURBS- / B-Spline-Kurve / -Fläche

void gluBeginCurve(GLUnurbsObj* nurbs);gluNurbsCurve(........);void gluEndCurve(GLUnurbsObj* nurbs);

bzw.void gluBeginSurface(GLUNnurbsObj* nurbs);gluNurbsSurface(........);void gluEndSurface(GLUnurbsObj* nurbs);

§2-71




Darstellung von NURBS in OpenGL

Löschen eines NURBS-Renderer-Objekts:

void gluDeleteNurbsRenderer(GLUnurbsObj* nurbs);

§2-72



Aufgabe

Ergänzen Sie das Beispielprogramm surface.c von der Website um folgende Eigenschaften:

- Ermöglichen Sie eine Navigation um die Fläche mit Hilfe der Maus

- Ermöglichen Sie eine Modifikation einzelner Kontrollpunkte z.B. mit Hilfe der Tastatur

(z.B. Springen von einem Kontrollpunkt zum anderen auf Tastendruck, Einfärben des jeweils aktiven Kontrollpunkts, Verschieben des Kontrollpunkts auf Tastendruck.)

§2-1 §2 Darstellung geometrischer Objekte, Farbe, Beleuchtung Visualisierung mit C++ / OpenGL - SS...

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