12

2 Ausmultiplizieren und Ausklammern

„Da gehe ich doch lieber zum Metzger!“

Beim Umformen von Termen wird häufig das Distributivgesetz angewendet.Das Produkt x · (y + 5) kann man durch Ausmultiplizieren als Summe schreiben: x · (y + 5) = x · y + x · 5 = x · y + 5 · xUmgekehrt kann man die Summe r 2 + r s durch Ausklammern als Produkt schreiben. r 2 + r s = r · r + r · s = r · (r + s)

Im Produkt x · (y + 5) ist der Faktor (y + 5) eine Summe.In einem Produkt können auch beide Faktoren Summen sein. In Fig. 1 ist das Produkt (a + b) · (c +d ) als Flächeninhalt eines Rechtecks veranschaulicht. Dieses Rechteck wird schrittweise in die vier Teilflächen a · c; a · d; b · c und b · d zerlegt.Die Terme (a + b) · (c + d) und a · c + a · d + b · c + b · d sind also gleichwertig (äquivalent).

Die Äquivalenz der Terme kann man auch rechnerisch bestätigen. Dazu wird das Distribu-tivgesetz mehrfach angewendet. Man multipliziert das Produkt (a + b) · (c + d) schritt-weise aus. Die erste Anwendung des Distributivgesetzes ergibt (a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) (Fig. 2).

Die beiden Summanden a · (c + d) und b · (c + d) sind Produkte. Diese können eben-

falls mithilfe des Distributivgesetzes als Summen geschrieben werden.

So erhält man a · (c + d) = a · c + a · d und b · (c + d) = b · c + b · d (Fig. 3).

Daraus ergibt sich (a + b) · (c + d) = a c + a d + b c + b d

AusmultiplizierenMan multipliziert das Produkt zweier Summen aus, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multipliziert und dann die Produkte addiert.

AusklammernHaben die Summanden einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen ausklammern. Dabei muss man jeden Summanden durch den gemeinsamen Faktor teilen.

Fig. 2 Fig. 3Fig. 1

Ausmultiplizieren

Produkt Summe

Ausklammern

13

I Termumformungen und Gleichungen

2 Ausmultiplizieren und Ausklammern

Beispiel 1 AusmultiplizierenSchreibe als Summe.a) 3 a · (5 + 4 b) b) (4 + x) · (3 x + 2) c) 12 – (2 x + 3) · (2 x – 3)Lösunga) 3 a · (5 + 4 b)

= 3 a · 5 + 3 a · 4 b= 15 a + 12 a b

b) (4 + x) · (3 x + 2)= 4 · 3 x + 4 · 2 + x · 3 x + x · 2= 12 x + 8 + 3 x 2 + 2 x= 3 x 2 + 12 x + 2 x + 8= 3 x 2 + 14 x + 8

c) 12 – (2 x + 3) · (2 x – 3)= 12 – (4 x 2 – 6 x + 6 x – 9)= 12 – (4 x 2 – 9)= 12 – 4 x 2 + 9= – 4 x 2 + 21

Beispiel 2 AusklammernSchreibe als Produkt.a) 7 b – 9 b 2 b) 3 x 2 + 6 x c) 12 x 2 + 4 xLösunga) 7 b – 9 b 2

= 7 · b – 9 b · b= b · (7 – 9 b)

b) 3 x 2 + 6 x= 3 x · x + 3 x · 2= 3 x · (x + 2)

c) 12 x 2 + 4 x= 3 x · 4 x + 1 · 4 x= 4 x · (3 x + 1)

Aufgaben

Multipliziere aus.a) (a + b) · 2 b) 2,5 · (e – f) c) 1 _ 2 · ( r 2 + s 2 ) d) (x + y) · (– 1) e) ( x 2 – y ) · (– 2) f) (– 3,2) · (5 x y – 1)g) ( 2 · ( 5 x 2 – 8 z ) ) · 3 h) (a b + b ) · 3 b i) 4 x · (a + 3 b)j) ( 3 u – v _ 2 ) · w k) ( – (p – q) ) · (– r) l) ( x · (2 x + 3 y) ) · 5m) (p – q + 2 r) · r n) (– u) · (u – u v + w) o) ( x 2 + 2 x y – y 2 ) · yp) k _ 2 · (4 k – 3 u + 6 k u) q) 3 · (x + 2 y) · z r) 5 · (2 a – b) + cs) 2 d – 3 e · (4 e + 3 f) t) 5 t 2 + (2 w – t) · r) u) (2 x – y) · 3 – (2 a – 3)v) x · (2 x · 3 y) + (x + y) · 2 w) (5 – 3) · (7 x – 3 c) x) 3 – (5 n – 7 m) · 4 x + y

Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.a) 3 x + 4 · (1 – x) – (x – 2) b) 3 · (2 r – s) – (4 s – 1,5 r) + 10 rc) 2 a – 6 · (2 b – 3 a) + 4 · (3 b – 5 a) d) x – y · (2 – x) + 2 x ye) (– x – y) · z – 2 z · (– x + y) f) – 9 x · (– 3 y + 5 z) + (– 7 y – 6 z) · 5 x

Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen.a) (x + 5) · (3 x + 1) b) (3 + 2 s) · (s – 4) c) (4 a – 5) · (3 a + 7)d) (b – 3) · (b – 5) e) (2 a + b) · (b + 8 c) f) (v + 5 w) · (2 s + 7)g) (4 – 6 p) · (q + 5 p) h) (5 x + 3 y) (x – 6 y) i) (a + 7) · (b + 8)j) 3 · (v + 5) · (s + 2) k) (5 + p) · (q + 6) l) (4 + r) · 5 · (t + 6)m) (b – c) · (c – b) + c 2 n) a b – (a – b) (a + b) o) (c – 5) 2

Klammere aus.a) a x – a y b) b y – 24 y c) 18 x 2 – 9 y 2 d) 5 v 2 – 4 u v e) 9 a – 6 b + 12 c f) 5 a + 24 a b – a 2 g) u · 4 – 8 v u 2 + 32 u 2 h) 6 x 2 y – 9 y 2 x + 3 x y i) a (3 – x) + b (3 – x)j) (a + b) c – (a + b) d k) (s + t) · 5 – (t + s) a l) (t + 3) · 4 + a (t + 3)

Schreibe als Produkt.a) 7 u – 14 v b) 16 x 2 – 24 y 2 c) b y + 2 yd) b y – b e) x – x 2 f) v 2 – u vg) 6 r t – 3 r s h) 1 _ 2 r s + s 2 t i) 7 x y – 14 x s + 49 a xj) 5 b 3 + 10 b 2 – 25 b k) 6 a z 3 – 3 a z 2 + 9 a z l) 2 x 2 y – 4 x 3 y + 3 x 2

1

2

3

4

5