2 Внутренние внешние и граничные точки...

14
97 Практическое занятие 2 Тема: Внутренние, внешние и граничные точки множества. Свойства топологических пространств. Непрерывные отображения ТП План занятия 1. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Замыкание. 2. Связность. Отделимость. Компактность. 3. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Замыкание. Основные факты Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство и точка иХ. Любое открытое множество, содержащее точку и, называется окрестностью этой точки. Возьмем в Х некоторое множество Н. Точка и называется внутренней точкой множества Н, если существует такая окре- стность Q точки и, что QH (рис. 2). Множество всех внутрен- них точек множества Н обозначается через int H. Точка b называется внешней точкой множества Н, если существует такая окрестность V точки b, в которой нет точек Рис. 2. множества Н, т.е. VC х Н (рис. 2). Множество всех внешних точек множества Н обознача- ется через ext Н. Точка с называется граничной точкой множества Н, если в любой окрестности точ- ки с имеются как точки множества Н, так и точки, не принадлежащие Н (рис. 2). Множе- ство всех граничных точек множества Н обозначается через Н и называется границей Н. Из определений следует: 1. int Hext Н∪∂Н=Х . 2. int Hext Н=int H∩∂Н=ext Н∩∂Н=. 3. int H=ext C х Н и ext H= int C х Н. 4. Н=C х Н. 5. int HH, ext HC х Н. Теорема. Для любого множества Н множества int H и ext Н открыты. Теорема. Для того чтобы множество было открытым, необходимо и достаточ- но, чтобы оно совпадало с множеством своих внутренних точек. Точка а называется точкой прикосновения множества Н, если каждая окрестность точки а имеет с Н хотя бы одну общую точку. Множество всех точек прикосновения множества Н называется замыканием мно- жества Н и обозначается H. Из определений следует: 1. H=int H∪∂Н=C х (ext H). 2. НH. 3. H= Н∪∂Н. Теорема. Замыкание любого множества замкнуто. Теорема. Для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточ- но, чтобы оно совпадало со своим замыканием. Теорема. Граница любого множества замкнута. Примеры решения типовых задач Задача 7 На плоскости Е 2 задан открытый круг Х={М(х,у)| x 2 +y 2 <r 2 }. Найти множества его

Transcript of 2 Внутренние внешние и граничные точки...

Page 1: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

97

Практическое занятие 2 Тема: Внутренние, внешние и граничные точки множества.

Свойства топологических пространств. Непрерывные отображения ТП

План занятия 1. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Замыкание. 2. Связность. Отделимость. Компактность. 3. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.

Внутренние, внешние и граничные точки множества. Замыкание. Основные факты

Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство и точка и∈Х. Любое открытое множество, содержащее точку и, называется окрестностью этой точки.

Возьмем в Х некоторое множество Н. Точка и называется внутренней точкой множества Н, если существует такая окре-стность Q точки и, что Q⊂H (рис. 2). Множество всех внутрен-них точек множества Н обозначается через int H.

Точка b называется внешней точкой множества Н, если существует такая окрестность V точки b, в которой нет точек Рис. 2. множества Н, т.е. V⊂CхН (рис. 2). Множество всех внешних точек множества Н обознача-ется через ext Н.

Точка с называется граничной точкой множества Н, если в любой окрестности точ-ки с имеются как точки множества Н, так и точки, не принадлежащие Н (рис. 2). Множе-ство всех граничных точек множества Н обозначается через ∂Н и называется границей Н.

Из определений следует: 1. int H∪ext Н∪∂Н=Х . 2. int H∩ext Н=int H∩∂Н=ext Н∩∂Н=∅. 3. int H=ext CхН и ext H= int CхН. 4. ∂Н=∂CхН. 5. int H⊂H, ext H⊂CхН.

Теорема. Для любого множества Н множества int H и ext Н открыты. Теорема. Для того чтобы множество было открытым, необходимо и достаточ-

но, чтобы оно совпадало с множеством своих внутренних точек. Точка а называется точкой прикосновения множества Н, если каждая окрестность

точки а имеет с Н хотя бы одну общую точку. Множество всех точек прикосновения множества Н называется замыканием мно-

жества Н и обозначаетсяH. Из определений следует:

1. H=int H∪∂Н=Cх(ext H).

2. Н⊂ H.

3. H= Н∪∂Н. Теорема. Замыкание любого множества замкнуто. Теорема. Для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточ-

но, чтобы оно совпадало со своим замыканием. Теорема. Граница любого множества замкнута.

Примеры решения типовых задач

Задача 7 На плоскости Е2 задан открытый круг Х=М(х,у)| x2+y2<r2. Найти множества его

Page 2: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

98

внутренних точек, внешних точек и границу. Решение

Обозначим через ϖ окружность: ϖ=М(х,у)| x2+y2=r2, через D– внешнюю часть окружности: D=М(х,у)| x2+y2>r2. Покажем, что int X=X, ∂X=ϖ, ext X=D.

Пусть М(х0,у0) – произвольная точка открытого круга Х, х0

2+ у02<r2.

Если r02=х0

2+ у02 и 0<R0< r- r0, то шаровая окрест-

ность точки М, радиуса R0, целиком лежит в Х (рис. 3). Поэтому X⊂ int X. С другой стороны, как следует из определения, int X⊂ X. Следовательно, int X=X. Рис. 3. Пусть P∈ϖ. Очевидно, любая окрестность точки Р пересекает как открытый круг Х, так и его дополнение. Поэтому ϖ⊂∂X.

Рассмотрим точку Q(х1,у1), Q∈D. Тогда х12+ у1

2>r2. Если r12=х1

2+ у12, 0<R1< r1- r, то

шаровая окрестность с центром в точке Q и радиуса R1 не пересекает Х (рис. ). Таким об-разом, D⊂ ext X. Так как Е2= X∪ϖ∪D, X=int X, ϖ⊂∂X, D⊂ ext X, Е

2= int X∪∂X ∪ext X, то из доказанных включений вытекает: ext X=D, ∂X=ϖ. Задача 8

На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Найти int X, ext X, ∂X, если Х – открытый круг: Х=М(х,у)| x2+y2<r2.

Решение В пространстве с концентрической топологией множество в том и только в том

случае является открытым, когда оно вместе с каждой своей точкой М содержит открытый круг с центром с центром в начале координат, которому принадлежит М.

Если М0(х0,у0)∈Х, то r02=х0

2+ у02<r2. Поэтому точка М0 принадлежит

int X, так как в качестве открытого множества, содержащего М0 и принадлежащего Х, можно взять само множество Х. Таким образом, X⊂ int X.

Пусть N1(х1,у1)∉Х, r12=х1

2+ у12≥ r2. Если G – произвольное открытое множество,

содержащее N1, то существует такой открытый круг ΩR с центром в начале координат, ко-торый содержит N1 и принадлежит G. Очевидно, ΩR∩Х≠∅, следовательно G∩Х≠∅. Таким образом, любое открытое множество, содержащее N1, пересекает Х, т.е. N1∈∂X. Отсюда следует, что Е2\ X⊂∂X. Так как X∪(Е2\ X)= Е2, то из этих включений следует: int X=X, ∂X= Е2\ X, ext X=∅. Задача 9

На плоскости Е2 задан интервал I=М(х,0)| b<x<a. Найти замыкание этого множе-ства.

Решение В данном случае замыканию принадлежат концы интервала М1(а,0) и М2(b,0). Дей-

ствительно, в любой шаровой окрестности, а следовательно, и в любой произвольной ок-рестности этих точек содержатся точки интервала I. Пусть точка N не принадлежит отрезку М1М2. Если точка N не лежит на прямой М1М2, то под d будем понимать расстояние от N до прямой М1М2. Если N∈(М1М2), то в качестве d примем наименьшее из расстояний |NM1| или |NM2|. Шаровая окрестность с центром в точке N и радиуса r, где r<d, не пересекает отрезок М1М2. Поэтому N∉ I .

Таким образом, I =[М1М2]. Задача 10

Page 3: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

99

На плоскости Е2 топология задана так, как в задаче 3. Найти замыкание квадрата К=М(х,у)| -а≤x≤a, -а≤у≤a.

Решение Нам необходимо найти все точки прикосновения квадрата К. В рассматриваемой

топологии под окрестностью точки М0(x0,y0) понимается «полоса» Оε=М(x, y)| |x-x0|<ε, где ε- некоторое положительное число. Поэтому точка в том и только в том случае являет-ся точкой прикосновения квадрата, когда в любой ε-окрестности ее абсциссы на оси Ох содержится абсцисса некоторой точки квадрата. Абсциссы точек квадрата заполняют от-

резок [-а,а]. Поэтому K =N(х,у)| -а≤x≤a, -∞≤у≤+∞.

Задачи для самостоятельного решения 28. Найти int H, ext H и ∂H для множества Н⊂Е

2, если: а) Н=М(x, y)| |x|≤2, |y|≤2; б) Н=М(x, y)| x2+y2 ≤4; в) Н=М(x, y)| x2+y2 =4. в естественной топологии. 29. Найти int H, ext H и ∂H для множества Н⊂Е

1, если: а) H - интервал; б) H -отрезок; в) H -полуинтервал; г) H -открытый луч; д) H -замкнутый луч; е) H -множество точек, координаты которых рациональные числа; ж) H -множество точек, координаты которых иррациональные числа. 30. На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Найти int H, ext H и ∂H, если: а) Н - замкнутый круг: Н=М(x, y)| x2+y2≤r2; б) Н - окружность: Н=М(x, y)| x2+y2=r2; в) Н – внешняя часть открытого круга: Н=М(x, y)| x2+y2≥r2; г) Н – прямая линия М(x, y)| х=а; д) Н – квадрат М(x, y)| -а≤х≤а, -а≤у≤а. 31. На плоскости Е2 задана топология так, как указано в задаче 27. Найти int H, ext H и ∂H, если: а) Н - открытая полуплоскость Н=М(x, y)| х>а; а) Н - открытая полуплоскость Н=М(x, y)| y>а; г) Н - прямая Н=М(x, y)| х+у=0; б) Н - окружность: Н=М(x, y)| x2+y2=r2; д) Н – квадрат Н=М(x, y)| -а≤х≤а, -а≤у≤а. 32. В множестве Х=a, b семейство подмножеств Ф= ∅, Х, a. Убедившись, что Ф- топологическая структура, найти int a, ext a, ∂ a, int b, ext b, ∂ b. 33. Пусть Х=a,b,с. На Х введена топология так, как указано в задаче 3. Найти int a,b, ext a,b, ∂ a,b. 34. На множестве Х введена дискретная топология, Н – произвольное подмножество про-странства Х. Найти int H, ext H и ∂H. 35. На бесконечном множестве Х введена топология Зарисского, Н – открытое подмноже-ство пространства Х. Найти int H, ext H и ∂H. 36. Привести примеры таких множеств Х плоскости Е2, которые не совпадают со всей плоскостью и удовлетворяют условию: а) int Х=∅; б) ∂ Х⊄Х; в) ∂ Х⊂Х;

Page 4: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

100

г) ∂ Х=Х; д) Х⊂∂Х, Х≠∂Х; е) ext Х=∅. 37. Привести примеры множеств плоскости Е2, не удовлетворяющих условиям: а) ∂(А∩В)= ∂А∪∂В; б) ∂(А∩В)= ∂А∩∂В; в) int (А∪В)= int А∪ int В; г) ext (А∩В)= ext А∪ext В. 38. Доказать, что в пространстве с дискретной топологией граница любого множества пуста. 39. Доказать, что в пространстве ℜ1 с естественной топологией: а) внутренность множества рациональных чисел пуста; б) замыкание множества рациональных чисел есть ℜ1; в) граница множества иррациональных чисел есть ℜ1. 40. Найти замыкания следующих множеств плоскости Е2: а) окружности М(x, y)| x2+y2=r2; б) открытого круга М(x, y)| x2+y2<r2; в) замкнутого круга М(x, y)| x2+y2≤r2; г) объединения двух открытых полуплоскостей λ1=М(x, y)| y>0, λ2=М(x, y)| y<0 на плоскости. 41. На плоскости Е2 топология задана так, как указано в задаче 27. Найти замыкания сле-дующих множеств: а) открытого круга М(x, y)| x2+y2<r2; б) прямой М(x, y)| х+у=0; в) прямой М(x, y)| х=0. 42. На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Найти замыкания следующих множеств: а) открытого круга М(x, y)| x2+y2<r2; б) замкнутого круга М(x, y)| x2+y2≤r2; в) прямой М(x, y)| х=у; г) прямой М(x, y)| х=r. 43. Пусть Х=a,b,с. На Х введена топология так, как указано в задаче 3. Найти замыкания множеств a, b, с. 44. Доказать, что если два открытых множества не пересекаются, то: а) замыкание любого из них не пересекается с другим; б) множества внутренних точек их дополнений не пересекаются. 45. Найти замыкание множества, состоящего из одной точки А, в пространствах с триви-альной и дискретной топологиями. 46. Доказать, что замыкание множества Н есть пересечение всех замкнутых множеств, со-держащих Н. 47.Доказать, что в дискретном пространстве всякое множество совпадает со своим замы-канием. 48.На бесконечном множестве Х введена топология Зарисского. Доказать, что замыкание любого бесконечного множества совпадает со всем множествомХ.

Связность. Отделимость. Компактность Основные факты

Топологическое пространство называется несвязным, если оно может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих общих точек. Если такого разбиения не существует, пространство называется связным.

Можно дать и другое определение: пространство Х называется связным, если в нем одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно яв-

Page 5: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

101

ляется связным пространством относительно индуцированной топологии. Другими слова-ми, множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если нельзя най-ти двух открытых в Х множеств G1 и G2, таких, что Н⊂G1∪G2, (Н∩G1)∩(Н∩G2)=∅, Н∩G1≠∅, Н∩G2≠∅.

Теорема. Пусть Нα – совокупность связных подмножеств пространства Х,

имеющих общую точку. Тогда множество Н= ααH∪ также будет связным в Х.

Среди всех связных множеств в Х, содержащих а, всегда имеется наибольшее, т.е. такое, которое содержит любое связное множество, содержащее точку а. Это наибольшее связное множество, содержащее точку а, называется компонентой связности точки а в Х.

Теорема. Компоненты связности двух различных точек либо не пересекаются, ли-бо совпадают.

Областью называется непустое открытое связное множество. Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Аксиома Хаусдорфа. Для любых двух различных точек пространства существу-ют их непересекающиеся окрестности.

Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются хаусдорфовыми (или отделимыми).

Из определения следует: 1. Подпространства хаусдорфова пространства будут хаусдорфовыми. 2. Метрическое пространство является хаусдорфовым относительно топологии, индуци-рованной метрикой, т.к. любые две различные точки можно отделить шаровыми окрест-ностями с центрами в этих точках и с радиусами, меньшими половины расстояния между ними.

Совокупность Σ=Gβ открытых множеств топологического пространства (Х,Ф) на-зывается открытым покрытием, если объединение множеств семейства Σ совпадает с Х.

Топологическое пространство Х называется компактным, или компактом, если из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Множество М в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной то-пологии.

Теорема. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множе-ства М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.

Лемма. Пусть М – компактное подмножество хаусдорфова пространства Х и точка а∉М. Тогда существуют непересекающиеся открытые множества G1⊃М и G2∋а.

Теорема. Компактное множество М хаусдорфова пространства замкнуто. Теорема. Для того, чтобы в n-мерном евклидовом пространстве множество М

было компактным, необходимо и достаточно, чтобы М было замкнуто и ограничено.

Примеры решения типовых задач Задача 11

Доказать, что топологическое пространство, определенное в задаче 3, не является хаусдорфовым.

Решение В рассматриваемой топологии множество тогда и только тогда является открытым,

когда оно вместе с любой своей точкой М0(x0,y0) содержит «полосу» Оε=М(x, y)| |x-x0|<ε, где ε- некоторое положительное число. Для решения задачи достаточно найти две различ-ные точки, для которых любая «полоса», содержащая первую точку, содержит и вторую. Рассмотрим точки М0(x0,y0) и М1(x0,y1), где y0≠y1. Точки М0 и М1 разные, но имеют одина-ковые абсциссы. Поэтому «полоса», содержащая точку М0, содержит и точку М1.

Тогда в этих точках не выполняется аксиома Хаусдорфа, следовательно, данное то-

Page 6: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

102

пологическое пространство не является отделимым, ч.т.д. Задача 12

Выяснить, является ли компактным множество всех иррациональных чисел отрезка [a,b] числовой прямой.

Решение Числовая прямая является метрическим пространством. Множество точек метриче-ского пространства компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Множество иррациональных чисел отрезка [a,b] ограничено, но не замкнуто. Действи-тельно, возьмем рациональное число отрезка [a,b]. В любой его окрестности содержится иррациональное число. Поэтому рациональные числа отрезка [a,b] являются точками при-косновения множества иррациональных чисел этого отрезка. Множество иррациональных чисел не является замкнутым, т.к. не содержит все свои точки прикосновения, следова-тельно, оно не компактно. Задача 13

На бесконечном множестве Х задана топология Зарисского - топологическая струк-тура, состоящая из самого множества Х, пустого множества и всех подмножеств множест-ва Х, дополнения которых до Х являются конечными множествами. Доказать, что Х – ком-пактное топологическое пространство.

Решение Пусть система открытых множеств Gα образует покрытие пространства Х:

Х= ααG∪ . (1)

Покажем, что из этого покрытия можно выбрать такую подсистему, состоящую из конечного числа подмножеств Gα1, Gα2,…,Gα n, что

Х= i

n

iGα

1=∪ . (2)

Возьмем произвольное открытое множество Gα1, принадлежащее покрытию. Тогда CXGα1 – конечное множество:

CXGα1= i

n

iM

2=∪ , (3)

где Мi – точки множества Х. Обозначим через Gα i одно из множеств системы Gα, кото-рое содержит точку Мi. Такое множество в силу (1) всегда существует. Таким образом,

i

n

iM

2=∪ ⊂ i

n

iGα

1=∪ . Тогда из (3) следует (2), а значит, Х – компакт, ч.т.д.

Задача 14

На множестве Х=a,b задана топология, состоящая из самого множества Х, пусто-го множества и множества a. Доказать, что множество Х является связным.

Решение Так как в данной топологической структуре в Х, кроме самого множества Х и пус-

того множества, содержится только одно нетривиальное открытое подмножество, оно равно a, то Х очевидно нельзя представить как объединение двух непересекающихся открытых множеств. Следовательно, Х связно, ч.т.д. Задача 15

Доказать, что отрезок прямой Е1 – связное подпространство. Решение

Пусть отрезок [a,b] не является связным множеством. Это означает, что существу-ют два непустых множества G1 и G2 ,открытые в топологии, индуцированной на отрезке

Page 7: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

103

[a,b] топологией прямой Е1, такие, что [a,b]= G1 ∪G2, G1 ∩G2=∅. Пусть a∈G1. Шаровая окрестность точки a в индуцированной на [a,b] топологии имеет вид Оε(а)=[a,а+ε). Рас-смотрим множество М чисел вида а+ε, таких, что [a,а+ε)⊂G1. Так как a∈G1 и G1 – откры-тое множество, то a входит в G1 вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. Отсюда следует, что М – непустое. Множество М ограничено сверху точками y, где у>b. Поэтому существует точная верхняя грань с множества М.

Покажем, что с принадлежит G1. Пусть с∈G2. В силу того, что G2 – открытое мно-жество, существует µ-окрестность (с-µ,с+µ) точки с, принадлежащая G2. Поэтому на про-межутке (с-µ,с) нет точек множества М, т.е. существует число с-µ, меньшее с, ограничи-вающее М сверху. Мы получили противоречие с утверждением с=sup M. Таким образом, с∈G1.

Но G1 – открытое множество, поэтому существует δ-окрестность (с-δ,с+δ) точки с, которая целиком принадлежит G1. Так как с=sup M, то на промежутке (с-δ,с) существует точка р множества М: [a,р)⊂G1. Отсюда следует [a,с+δ)⊂G1, т.е. с+δ∈М. Поэтому точка с не является верхней гранью множества М.

Мы получили противоречие, которое показывает, что предположение о несвязно-сти отрезка [a,b] ложно.

Задачи для самостоятельного решения 49. Связно ли пространство: а)с тривиальной топологией; б)с дискретной топологией; в)с концентрической топологией? 50. Пусть множество Х=a, b.На множестве Х топология задана так, как указано в задаче 1. Является ли топологическое пространство Х связным? 51. Будет ли топологическое пространство Х, состоящее из элементов a,b,с, связным, если его топология определена так, как указано: а) в задаче 2; б) в задаче 3? 52. Доказать, что подпространство рациональных чисел отрезка [0,1] не является связным топологическим пространством.

53. На плоскости Е2 дана гипербола 12

2

2

2

=−b

y

a

x. Доказать, что она не является связным

топологическим пространством. 54. Доказать, что замыкание связного подпространства связно. Верно ли обратное утвер-ждение? 55. Доказать, что следующие подпространства прямой Е1 являются связными: а) интервал (a,b); б) полуинтервал [a,b); в) луч (a,+∞). 56. На плоскости Е2 топология задана так, как указано в задаче 27. Пусть Р – объединение двух полуплоскостей Р=Р1∪Р2, Р1=М(x, y)| х=0, y≥2, l2=М(x, y)| y=0, х≥2. Доказать, что Р – связное подпространство. 57. На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Даны два луча l1=М(x, y)| y≥2, l2=М(x, y)| y≤-2. Будет ли подпространство L= l1∪l2 связным? 58. Привести пример такой топологии плоскости Е2, в которой окружность не является связным подпространством. 59. Доказать, что топология любого метрического пространства является хаусдорфовой. 60. Доказать, что концентрическая топология плоскости Е2 не является хаусдорфовой. 61. Выяснить, является ли хаусдорфовым бесконечное множество, в котором определена топология Зарисского.

Page 8: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

104

62. Доказать, что конечное множество в том и только в том случае является хаусдорфо-вым, когда топология в нем дискретная. 63. Доказать, что из покрытия прямой интервалами Un где Un=(n-2,n+2), n – целое число, нельзя выделить конечного подпокрытия. 64. Привести пример покрытия интервала (a,b), из которого нельзя выделить конечного подпокрытия. 65. Выяснить, являются ли компактными: а) открытый круг плоскости Е2: М(x, y)| x2+y2<r2; б) замкнутый круг плоскости Е2: М(x, y)| x2+y2≤r2; в) прямая М(x, y)| х+y-2=0; г) множество всех рациональных чисел отрезка [a,b] числовой прямой; д) множество всех точек плоскости с целочисленными координатами, принадлежащих кругу x2+y2<r2; е) множество всех точек плоскости с рациональными координатами, принадлежащих пря-моугольнику а≤х≤b, c≤у≤d; ж) множество точек плоскости Е2: М(x, y)| x2+y2=-1; з) конечное множество точек на прямой Е1;

и) множество точек прямой Е1 с координатами 1,

2

1,

3

1, …,

n

1, … .

66. Компактны ли на евклидовой плоскости с концентрической топологией множества, указанные в задаче 65? 67. На плоскости Е2 топология задана так, как указано в задаче 27. Доказать, что множест-во Н=М(x, y)| а≤х≤b является компактным. 68. Пусть на бесконечном множестве Х определена топология Зарисского. Является ли то-пологическое пространство Х компактным? 69. Доказать, что бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, неком-пактно. 70. Компактно ли пересечение двух компактных множеств? 71. Доказать, что в пространстве Еn с естественной топологией отрезок, сфера любой раз-мерности, симплекс – компактные множества, а прямая, полуплоскость любой размерно-сти, множество всех точек с целочисленными координатами – некомпактны. 72. Доказать, что конечное объединение компактных множеств топологического про-странства является компактным множеством. Привести пример бесконечной системы компактных множеств некоторого топологического пространства, объединение которых не является компактным.

Непрерывные отображения топологических пространств

Основные факты Пусть даны топологические пространства X и Y и отображение f:Х→Y. Отображе-

ние f называется непрерывным в точке а∈Х, если для каждой окрестности V точки f(a) существует такая окрестность U точки а, что f(U)⊂V (рис. 4).

Рис.4.

Отображение f называется непрерывным на множестве Н⊂Х, если f непрерывно в каждой его точке.

Page 9: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

105

Теорема. Для того, чтобы отображение f:Х→Y было непрерывным на Х, необхо-димо и достаточно, чтобы полный прообраз любого открытого (замкнутого) множест-ва был открытым (замкнутым) множеством.

Теорема. Пусть X, Y, Z – топологические пространства. Если отображения f:Х→Y и g:Y→Z непрерывны, то отображение h=g f: Х→Z также непрерывно.

Теорема. Если Х – компактное топологическое пространство и f:Х→Y - непре-рывное отображение Х в Y, то f(X) компактно в Y.

Примеры решения типовых задач Задача 16

На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Выяснить является ли поворот вокруг начала координат на угол ϕ непрерывным отображением.

Решение Нам необходимо выяснить, является ли при указанном вращении прообраз откры-

того множества также открытым. В концентрической топологии множество в том и только в том случае является открытым, когда оно вместе с каждой своей точкой содержит от-крытый круг с центром в начале координат, которому принадлежит эта точка. При враще-нии вокруг начала координат открытые круги преобразуются сами в себя. Поэтому прооб-раз открытого множества является открытым. Задача 17

Приведите пример непрерывного отображения, в котором образ открытого (замк-нутого) множества не является множеством открытым (соответственно замкнутым).

Решение Отображение f: ℜ→ℜ по закону f(х)=х

2 непрерывно, но образом открытого интер-вала (-1,1) служит полуоткрытый интервал [0,1).

Отображение f: (ℜ\0) →ℜ по закону f(х)=x

1 непрерывно на замкнутом множестве

[1,+∞), образом которого служит незамкнутое множество (0,1].

Задачи для самостоятельного решения 73. Доказать, что всякое отображение пространства с дискретной топологией в любое то-пологическое пространство непрерывно. 74. Доказать, что всякое отображение любого топологического пространства в простран-ство с тривиальной топологией непрерывно. 75. На плоскости Е2 задана концентрическая топология. Выяснить, является ли непрерыв-ным отображением: а) гомотетия с центром в начале координат; б) осевая симметрия с осью, проходящей через центр; в) параллельный перенос на ненулевой вектор? 76. На плоскости Е2 топология задана так, как указано в задаче 27. Выяснить, является ли непрерывным отображением: а) параллельный перенос на произвольный вектор; б) осевая симметрия с осью Ох; в) осевая симметрия относительно прямой у=х; г) гомотетия с центром в начале координат;

д) поворот вокруг начала координат на угол 2

π.

77. Дано топологическое пространство Х=a, b. Топология на Х определена так, как ука-зано в задаче 1. Выяснить, является ли непрерывным отображение f: Х→Х, если f(а)=b, f (b)=а.

Page 10: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

106

78. Даны два топологических пространства Х1=a, b, c и Х2=a/, b/. Топология на Х1 оп-ределена так, как указано в задаче 2, а на Х2 так, как указано в задаче 1. Отображение f: Х1→ Х2 имеет вид f(a)=a/, f(b)= b/, f(c)= b/. Доказать, что f- непрерывное отображение. 79. Даны два топологических пространства Х1=a, b, c и Х2=a/, b/, c/. Топология на Х1 определена так, как указано в задаче 2, а на Х2 так, как указано в задаче 3.Будет ли ото-бражение f: Х1→ Х2 непрерывным, если: а) f(a)=a/, f(b)= b/, f(c)= с/; б) f(a)=a/, f(b)= b/, f(c)= b/? 80. Является ли непрерывным отображением плоскости Е2 на себя: а) движение плоскости; б) подобие плоскости; в) аффинное преобразование плоскости? 81. Дано отображение f: Е2→ Е2, определенное функциями х/=yex, y/=y2ex. Доказать, что оно непрерывное. Будет ли образ прямой у=1 замкнутым множеством при этом отображении? 82. На плоскости заданы множества М: х≥0 и N: х<0. Отображение f определено сле-дующим образом: f|М есть параллельный перенос на вектор (1,0), f|N - параллельный перенос на вектор (-1,0). Доказать, что отображение f не является не-прерывным на прямой х=0 и непрерывно в остальных точках. 83. Непрерывно ли отображение плоскости с естественной топологией на себя, если оно оставляет неподвижными все точки за исключением точек О(0,0) и А(0,1), причем О пере-ходит в А, а А- в О. 84. Доказать, что при непрерывном отображении: а) образ связного множества является связным; б) образ компактного множества является компактным. 85. Доказать, что при непрерывном отображении компактного пространства в хаусдорфо-во пространство образ любого замкнутого множества замкнут. 86. Привести пример такого непрерывного отображения одного топологического про-странства на другое, при котором: а) образ открытого множества является замкнутым; б) прообраз связного множества не является связным; в) прообраз компактного множества не является компактным. 87. Доказать, что пространство Х тогда и только тогда несвязно, когда существует непре-рывная функция f: Х→ Е1, принимающая ровно два значения.

Гомеоморфизм. Погружение. Вложение Основные факты

Отображение f:Х→Y называется топологическим, или гомеоморфизмом, если f об-ратимо и отображения f и f-1 непрерывны.

Из определения гомеоморфизма и теоремы о прообразе открытого (замкнутого) множества в непрерывном отображении следует утверждение: для того чтобы взаимно однозначное отображение f топологического пространства Х на топологическое про-странство Y было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ любого от-крытого множества из Х был открытым множеством в Y и чтобы прообраз любого от-крытого множества из Y был открытым множеством в Х.

Говорят, что топологическое пространство Х гомеоморфно топологическому про-странству Y, если существует гомеоморфизм f:Х→Y.

Отношение гомеоморфности топологических пространств рефлексивно, симмет-рично и транзитивно, т.е. оно является отношением эквивалентности.

Свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфизмах в пространствах, имеющих, кроме топологической, и другие структуры, называют топологическими.

Приведем примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов.

Page 11: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

107

1. Любые два интервала (а,b) и (c,d) гомеоморфны. Гомеоморфизм между ними устанав-

ливается, например, линейной функцией у= c)ax(ab

cd +−−−

, где х∈(а,b), а у∈(c,d)

(рис. 5).

Рис. 5. Рис. 6. 2. Сфера гомеморфна поверхности куба. Для того, чтобы установить гомеоморфизм меж-ду ними, достаточно поместить их центры в одну точку и произвести из нее центральное проектирование (рис. 6).

Рассмотрим непрерывное отображение f:Х→Y, и пусть f0:Х→f(Х) – приведение ото-бражения f, т.е. такое отображение, что f0(х)=f(x) для любого х∈Х. Если f0 – гомеоморфизм, то f называется вложением Х в Y.

Если f(Х)=Y, то f0=f и в этом случае вложение f является гомеоморфизмом. Отображение f:Х→Y называется погружением X в Y, если у каждой точки х∈Х су-

ществует окрестность U, такая, что сужение отображения f на эту окрестность, т.е. ото-бражение f|U явля- ется вложением.

Примеры решения типовых задач Задача 18

Доказать, что отображение f: Х→Y двух подпространств прямой Е1 является го-меоморфизмом, если Х=[0,1], Y=[3,5], f(х)=2х+3.

Решение Отображение топологических пространств называется гомеоморфизмом, если оно

непрерывно и имеет обратное отображение, которое также непрерывно. Данное отобра-жение f(х)=2х+3 непрерывно, т.к. функция f(х) непрерывна на Е1. Легко видеть, что об-ратное отображение

f -1: [3,5]→[0,1] определено функцией f –1(х)=2

1х-

2

3. Так как функция f –1(х) непрерывна,

то и отображение f –1 также непрерывно. Следовательно, f является гомеоморфизмом ука-занных топологических пространств.

Задача 19

Определить функцию y=f(x), которая устанавливает гомеоморфизм между подпро-странствами Х и Y прямой Е1, если Х=(-∞,+∞), Y=(a,b).

Решение

Будем искать функцию y=f(x) в виде y=р аrcctg x+q. Так как aylimx

=−∞→

, bylimx

=+∞→

,

то pπ+q=a, q=b. Отсюда bxarcctgba

y +−=π . Найденная функция непрерывна на всей

Page 12: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

108

прямой Е1. Она имеет обратную: ba

bxctgy

−−

=)(π

, которая на интервале (a,b) непрерыв-

на. Поэтому функция f(x)= bxarcctgba +−

π искомая.

Задача 20

Доказать, то замкнутая ломаная Х, состоящая из трех звеньев, и окружность Y плоскости Е2

гомеоморфны между собой. Решение

Установим взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение ломаной Х на окружность Y. Учитывая, что любые две окружности плоскости гомеоморфны и любые два треугольника гомеоморфны, а также, что отношение гомеоморфности транзитивно, без ограничения общности можно считать, что окружность Y описана вокруг ломаной Х, причем ее центр находится внутри ломаной (рис. 7). Каждой точке М ломаной поставим в соответствие точ-ку М/= f(М) – центральную проекцию точки М из центра О на окружность. Это отображение является взаимно однозначным. Покажем, что отображения f и f –1 непрерывные. Пусть G/ - открытое множество окружности Y в топологии,

индуцированной на Y топологией плоскости Е2. Это оз-начает, что каждая точка М/ входит в G/ вместе со своей шаро-вой окрестностью, которая в свою очередь является открытой дугой окружности Y, середина которой совпадает с точкой М/. Нам необходимо показать, что прообраз G=f –1(G/) множества G/ является открытым множеством ломаной Х. Рис. 7.

Для этого достаточно доказать, что прообраз шаровой окрестности точки М/ явля-ется открытым в Х, т.е. пересечением Х и открытого множества плоскости Е2.

Рассмотрим, например, открытую дугу ∪

// NN 21 . Пусть Ω - внутренняя область угла N1

/ОN2

/. Она состоит из внутренних точек угла и является открытым множеством плоско-

сти Е2 (докажите это самостоятельно). Прообраз f –1(∪

// NN 21 ) совпадает с пересечением

Х∩Ω. Поэтому f –1(∪

// NN 21 ) открыт в Х. Таким образом, f – непрерывное отображение. Аналогично доказывается, что f –1 непрерывное отображение.

Задачи для самостоятельного решения 88. Доказать, что отображение f: Х1→ Х2 двух подпространств прямой Е1 является гомео-морфизмом: а) Х1=(-∞;+∞), Х2=(0;+∞), f(x)=е

x; б) Х1=(0;+∞), Х2=(-∞;+∞), f(x)=ln x;

в) Х1=(-2

π;

2

π), Х2=(-∞;+∞), f(x)=tg x;

г) Х1=(-∞;+∞), Х2=(0;π), f(x)=arcctg x. 89. Определить функцию y=f(x), которая устанавливает гомеоморфизм между подпро-странствами Х1 и Х2 на прямой Е1, если: а) Х1=[a; b], Х2=[c; d]; б) Х1=(-∞;+∞), Х2=(a;+ ∞); в) Х1=(-∞;+∞), Х2=(-∞, a); г) Х1=(a; b), Х2=(с;+ ∞).

Page 13: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

109

90. Является ли гомеоморфизмом плоскости на себя: а) движение плоскости; б) подобие плоскости; в) аффинное преобразование плоскости. 91. Доказать, что подпространства Х1 и Х2 плоскости Е2 гомеоморфны между собой: а) Х1 и Х2 – две окружности; б) Х1 и Х2 – два открытых круга; в) Х1 и Х2 – два треугольника; г) Х1 – парабола, Х2 – прямая; д) Х1 – гипербола, Х2 – пара непересекающихся интервалов. 92. Непрерывное отображение f, определяемое формулами х=r cos t, y=r sin t, взаимно од-нозначно отображает полуинтервал [0, 2π) на окружность x2+y2=r2. Доказать, что это ото-бражение не является гомеоморфизмом. 93. Доказать, что отрезок, интервал, полуинтервал, ок-ружность, тренога (рис. 8а), крест (рис. 8б) попарно не гомеоморфны между собой как подпространства плоскости Е2. 94. Докажите, что отрезок и квадрат не гомеоморфны. 95. Доказать, что эллипс, гипербола и парабола попар-но не гомеоморфны. 96. Доказать, что пространство иррациональных чисел с топологией, индуцированной естественной топологи-ей пространства Е1, не гомеоморфно Е1. Рис. 8. 97. Привести пример двух негомеоморфных топологических пространств, каждое из кото-рых гомеоморфно подпространству другого. 98. Пусть А – объединение семи отрезков на плоскости с общим концом. Доказать, что множество Е2\А гомеоморфно плоскости с выколотой точкой. 99. Сколько разрезов необходимо сделать: а) в круге с тремя отверстиями; б) на торе, чтобы получить множество, гомеоморфное кругу? 100. Разбейте латинский (русский) алфавит на классы гомеоморфных букв. 101. Гомеоморфны ли следующие пространства (в тех случаях, когда топологическая структура не указывается, имеется в виду естественная топология или топология, индуци-рованная естественной): а) однополостный гиперболоид и эллиптический цилиндр; б) двуполостный гиперболоид и пара параллельных плоскостей; в) сфера и плоскость; г) сфера из которой удалена одна точка (две точки), и плоскость; д) плоскость с естественной топологией и она же с концентрической (тривиальной, дис-кретной) топологией; е) лист Мебиуса и цилиндр, ограниченный двумя окружностями; ж) бутылка Клейна и тор; з) тор и сфера? 102. Найти все поверхности второго порядка пространства Е3, которые гомеоморфны: а) сфере; б) плоскости; в) эллиптическому цилиндру; г) паре параллельных плоскостей.

Вопросы для самоподготовки 1. Что называется окрестностью точки? Дайте определение внутренних, внешних, гранич-ных точек. Какими свойствами они обладают? 2. Что такое точка прикосновения множества? Верно ли, что точками прикосновения яв-

Page 14: 2 Внутренние внешние и граничные точки ...sgpi.ru/userfiles/image/matfak/chernyshova/geom2k4s/p03... · 2010-12-16 · Точка b называется

110

ляются внутренние и граничные точки множества? Что называется замыканием множест-ва? 2. Верно ли, что открытое множество совпадает с множеством своих внутренних точек, а замкнутое – со своим замыканием? Открытым или замкнутым множеством является гра-ница любого множества? 3. Дайте определения и перечислите свойства: а) связности; б) отделимости; в) компактности топологического пространства и множества в топологическом пространстве. 4. Дайте определение отображения, непрерывного в точке и на множестве. 5. Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы отображение то-пологических пространств было непрерывно? 6. Всегда ли образ замкнутого (открытого) множества замкнут (открыт) при непрерыв-ном отображении? (Примеры). 7. Является ли непрерывной композиция двух непрерывных отображений? 8. Является ли компактным множество f(X) в Y, если X=f-1(Y) компактно и отображение f – непрерывно? 9. Является ли связным множество f(X) в Y, если X=f-1(Y) связно и отображение f – непре-рывно? 10. Дайте определение и сформулируйте необходимое и достаточное условие гомеомор-физма топологических пространств. 11. Какие пространства называются гомеоморфными? Приведите примеры гомеоморфных пространств. 12. Дайте определение вложения и погружения множеств. Какое из этих двух понятий яв-ляется более широким, а какое – более узким?