2.) Grundlagen der Netzwerkberechnung / Gleichstrombetriebwiebe/El_NT/Vorlesun/El_NT_2_13.pdfIn dem...

Prof. Dr. Joachim Wiebe Elektrische NachrichtentechnikHS EL / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik 13.04.14 Seite 2-1

2.) Grundlagen der Netzwerkberechnung / Gleichstrombetrieb

2.1 Quellen

2.1.1 Grundlagen, Modelle, Schaltsymbole

Eine elektrische Spannungsquelle ist ein Element mit zwei Polen (Anschl�ssen), der Pluspol undder Minuspol.Die Quelle erzeugt st�ndig an ihrem Pluspol einen �berschuss an positiven Ladungstr�gern und anihrem Minuspol einen �berschuss an negativen Ladungstr�gern durch Umwandlung chemischeroder mechanischer Energie oder Strahlungsenergie.

Beispiel: Aufbau einer Zink-Kohle-Batterie (Gruppe der galvanischen Elemente)

* Zink l�st sich in Salmiak(chem. L�sungsdruck)

* Elektron bleibt in Becher* Zinkion(+) reagiert mit Salmiak,

ergibt Zinkchlorid auf derInnenseite des Bechers

* Ladung von Zink(+) an NH4-Ion(+)�bergeben

* Bei Stromfluss treibt NH4-Ion(+)zum Kohlestift und gibt Ladung ab.

* Vorgang ersch�pft, wenn Zinkober-fl�che in Zinkchlorid umgewandelt

Das Beispiel der Batterie zeigt, dass die Spannungsquelle mehrere Eigenschaften hat:• Sie bewirkt die Ladungstrennung.• Bei Stromfluss hat sie einen elektrischen Widerstand.• Ihre Kennwerte ver�ndern sich mit der Zeit, z.B. durch Entladung.

Zumindest die ersten beiden Punkte gelten f�r alle Spannungsquellen.


2.1.2 I-U-Kennlinie der Spannungsquelle bzw. Stromquelle

a) Ersatz-Spannungsquelle

b) Ersatz-StromquelleBild 2-1: I-U-Kennlinie einer Spannungs- bzw. Strom-

quelle mit Innenwiderstand Bild 2-2: Quellenersatzschaltungen

Die Kennlinie in Bild 2-1 geh�rt sowohl zu der Ersatzspannungsquelle als auch zu der Ersatzstrom-quelle. Angenommen ist dabei, dass die Quelle infolge eines Lastwiderstandes oder sonstigerBeschaltung einen Strom I an ihren Klemmen abgeben kann.

Erkl�rungen zu den Ersatzschaltungen und der Kennlinie:• Die Ideale Spannungsquelle U0 liefert bei beliebigem Klemmenstrom I immer die Spannung U0.

Sie ist damit ein Quellenmodell mit dem Innenwiderstand Ri= 0.• Die Ideale Stromquelle IK liefert bei beliebiger Klemmenspannung U immer den Strom IK.

Sie ist damit ein Quellenmodell mit dem Innenwiderstand Ri= ∞.• Die Ideale Spannungsquelle U0 ist sinnvoll in Verbindung mit einem kleinen Innenwiderstand Ri,

also f�r die meisten technisch wichtigen F�lle, z.B. Batterie, Netzteil, Audioverst�rker-Ausgang.• Die Ideale Stromquelle IK ist sinnvoll in Verbindung mit einem gro�en Innenwiderstand Ri,

damit f�r spezielle F�lle wie der Ausgangswiderstand einer Transistors.• Die Kennlinie ist eine abfallende Gerade; ihre Steigung bestimmt der Innenwiderstand Ri.

Die Steigung ist ΔI/ΔU= - 1/Ri = - IK/U0• Der Innenwiderstand ergibt sich zu Ri = U0/IK. Damit ist er auch messtechnisch zu ermitteln.• Die beiden Quellenersatzschaltungen sind f�r alle Betriebsf�lle (= alle Belastungen) absolut

gleichwertig. Sie haben bei allen Belastungen immer dieselbe Klemmenspannung U unddenselben Klemmenstrom I.Bitte pr�fen f�r die Spezialf�lle Kurzschluss und Leerlauf !

Fragen:• Wie kann der Betrieb des Ladefalls erreicht werden? Schaltungsaufbau ?• Wie kann der „verbotene Betrieb“ erreicht werden? Schaltungsaufbau ?


2.2 Schaltungsberechnung / Kirchhoffsche Regeln

2.2.1 Begriffe zur Schaltungsstruktur

Beispiel zur Aufgabenstellung

Anmerkung: Statt des Stromes durch R4 kann jeder andere Strom gesucht werden. Mit Hilfe desOhmschen Gesetzes k�nnen die Spannungen an der Widerst�nden aus dem jeweiligen Stromberechnet werden.

Darstellung der Schaltungsstruktur durch Knoten und Zweige

Knoten sind Verbindungspunkte von mindestenszwei Stromwegen.

Zweige sind die Stromwege zwischen genauzwei Knoten.In einem Zweig flie�t ein bestimmter Strom vondem einen Knoten bis zum anderen; der Zweigstromist an jeder Stelle des Zweiges derselbe !!!Es spielt keine Rolle, wieviele Schaltelemente in demZweig in Reihe liegen, denn: in einer Serienschaltung ist der Strom �berall gleich. („Wasser-schlauch ohne L�cher“)

F�r die Schaltungsberechnung ist es sehr wichtig, zuerst die Knoten-Zweig-Gestalt zu sehen!

2.2.2 Kirchhoffsche Knotenregel


2.2.3 Kirchhoffsche Maschenregel

2.2.4 Ablaufplan zum Aufstellen der Berechnungsgleichungen

Wirkliche Anzahl der Unbekannten

Zun�chst sind alle Str�me in den Zweigen und alle Spannungen an Widerst�nden unbekannt.Da aber die Spannungen mit dem Ohmschen Gesetz aus den Zweigstr�men direkt berechnet werdenk�nnen, sind tats�chlich nur die Zweigstr�me als Unbekannte da. Man muss also nur die Anzahlder Zweige abz�hlen.

Nicht mitgez�hlt werden dabei Zweige, die eine Stromquelle enthalten. Der Wert IK f�r jede Strom-quelle muss bekannt sein, sonst kann die Schaltung gar nicht berechnet werden.

In dem Beispiel von 2.2.1 gibt es sechs Zweige ohne Stromquelle. Damit ist die wirkliche Anzahlder Unbekannten gleich sechs.

F�r diese sechs Unbekannten wird ein lineares Gleichungssystem mit sechs unabh�ngigen Glei-chungen ben�tigt. Die Gleichungen erh�lt man aus der Knotenregel und der Maschenregel.Knotenregel und Maschenregel liefern zusammen genau die n�tige Anzahl an linear unabh�ngigenGleichungen, nicht mehr und nicht weniger. Den ersten Teil liefert die Knotenregel, den Rest dieMaschenregel.


Vorbereitung: Stromz�hlpfeile eintragen

Als Beispiel wird die Schaltung in 2.2.1 verwendet.

(*)Die Stromz�hlpfeilek�nnen in beliebigerRichtung eingetragenwerden.

Knotenregel anwenden auf K-1 Knoten

Hier sind 4 Knoten vorhanden. Nur 3 ergeben linear unabh�ngige Gleichungen.

( K1 ) 0 = I1 - I2 - I3( K2 ) 0 = - I1 + I2 - I4 - I5( K3 ) 0 = I3 + I4 + I6 - Ik

Maschenregel f�r die restlichen erforderlichen Gleichungen

Hier: 6 Unbekannte - 3 Knotengleichungen => es fehlen 3 Gleichungen

Ein Beispiel f�r die Wahl der Maschen:

(*) Der Umlaufsinn der Maschen ist beliebig.(*) Eine Masche darf keinen Knoten zweimal

durchlaufen.(*) Die Anlage der Maschen ist nicht eindeutig.(*) Eine korrekte Anlage der Maschen kann �ber

die Baumstruktur gefunden werden.


Baumstruktur zu dem Beispiel der Maschenanlage oben:

Baumzweige sind die Zweige, diemindestens gebraucht werden, umalle Knoten einmal miteinanderzu verbinden => Vollst�ndiger Baum. Daf�r gibt es mehrere L�sungen.

Die �brigen Zweige sind die Maschenzweige.Die Maschenzweige werden nach und nach einzeln eingef�gt.Immer wenn ein Maschenzweig eingef�gt wird, entsteht eine Masche.

Die Maschenanlage, die �ber den vollst�ndigen Baum entsteht, ist immer korrekt und vollst�ndig.Nicht alle g�ltigen Maschenanlagen k�nnen �ber einen vollst�ndigen Baum gefunden werden.

Aufstellen der Maschengleichungen:

(M1) 0 = -U0 + UR1 + UR20 = -U0 + R1I1 + R2I2

(M2) 0 = - U2 + U3 - U40 = - R2I2 + R3I3 - R4I4

(M3) 0 = U4 - U6 - U50 = R4I4 - R6I6 - R5I5

Gleichungssystem aus den 6 Gleichungen K1, K2, K3, M1, M2, M3nach dem gesuchten Zweigstrom aufl�sen.


Beispiel zur Schaltungsberechnung

U01= 1,5V R1= 1ΩU02= 1,4V R2= 2ΩR3= 5Ω

Gesucht ist der Strom I3 durch R3.

LÄsungsweg:

* Stromz�hlpfeile eintragen* Knotengleichung angeben* Maschen w�hlen* Maschengleichungen angeben* Werte der Schaltelemente einsetzen* Gleichungssystem nach I3 aufl�sen

LÄsung: I3= 0,2588A


2.3 Ersatzspannungs- und Ersatzstromquellen


2.4 Leistungsanpassung und Wirkungsgrad

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