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2. Kinematik Physik für E-Techniker

Doris Samm FH Aachen

2. Kinematik

2.1 Grundsätzliche Bewegungsarten2.2 Modell Punktmasse2.3 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)2.4 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)2.5 Beschleunigung (1-dimensional)2.6 Bahnkurve2.7 Bewegung in 3 Dimensionen2.8 Gleichförmige Kreisbewegung2.9 Relativbewegungen



2. Kinematik: Lehre von Bewegung (beschreibt nur)

1. Translation

Änderung der OrientierungPunkte bewegen sich auf Kreisbögen

Änderung der PositionJeder Punkt des Körpers hat die gleiche Bahnkurve

[Animation]

2.1 Grundsätzliche Bewegungsarten (ausgedehnte Körper):

x

2. Rotation (Drehung)

[Animation]

x



Allgemein gilt:

Beachte: Bahnkurve = f (Bezugs- und Koordinatensystems)

Jede Bewegung ist eine Überlagerung von Translation und Rotation. [Animation]

Beispiel:Bahnkurven von Punkten auf dem Rad eines Fahrzeugs

[Animation]

[Animation]



Bewegung: z. B. Änderung des Ortes (y) mit der Zeit (t), y = f(t) = y(t)

Beispiele: y = k oder y = k` t (k, k` = Konstanten)

Problem: Bewegungen sind meist kompliziert.(Hund, Katze, Maus,...)

Lösung: Idealisierung ausgedehnter Körper zur PUNKTMASSE =Körper, dessen Masse man sich in einem Punkt konzentriert denkt

2.2 Modell Punktmasse



Modell Punktmasse anwendbar, falls …1. der Körper nahezu punktförmig ist,

z.B. e- in einem elektrischen Leiter,2. die Körperabmessungen klein gegenüber dem Abstand sind,

z.B. Erde um Sonne,3. man einen repräsentativen Punkt wählt.

z.B. Schwerpunkt einer Kugel,Punkt auf Autostoßstange

Beschreibung von Bewegung in1. Koordinatensystem2. Bezugssystem

BahnkurveAllgemein: r(t) = (x(t), y(t), z(t))Beispiel: r(t) = (0, v0t, 0) m [Animation]



2.3 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)

Annahme: Bewegung: 1-dimensional (z.B. x-Achse)Modell: Punktmasse

[Animation]

x

Beispiel:

Def.: Mittlere Geschwindigkeit

[Animation]



Problem:

Keine Aussagen möglich• über v zu einem

bestimmten Zeitpunkt • über eine Bahnkurve

Typische mittlere Geschwindigkeiten:Schnecke 10-3m/sSpaziergang 1 m/sSchnellste Mann 10 m/sGasmoleküle 500 m/sMond um Erde 1000 m/se- in Fernsehröhre 107 m/sLichtgeschwindigkeit (Vakuum) 3x108 m/s



Beispiele:

v(t) = ? v(t) = ?

2.4 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)

Def.: momentane Geschwindigkeit



2.5 BeschleunigungAnnahme: Bewegung ist 1-dimensional.Fragen: Wie schnell wird man schnell ?

Wie schnell wird man langsam ?

Def.: Mittlere Beschleunigung

Def.: Momentane Beschleunigung



2.6 Bahnkurve aus v und a (1-dimensional)

Es gilt:

Beispiele:

1. v(t) = konst. = v0 x(t) = ?2. a(t) = konst. = a0 v(t) = ? , x(t) = ?



2.7 Bewegung in 3 Dimensionen

Ort einer Punktmasse durch Ortsvektorr = (x,y,z) = | r | r̂

Mittlere Geschwindigkeit

Momentane Geschwindigkeit

MittlereBeschleunigung

ΜomentaneBeschleunigung



Der schiefe Wurf

Beispiel einer 2-dimensionalen Bewegung:

Tennisball auf der Erde

Annahmen:1. Tennisball ist punktförmig2. Ball hat Anfangsgeschwindigkeit v0 3. Abwurfwinkel = α4. Erdbeschleunigung a = g = konstant5. Reibung wird vernachlässigt

Frage: Wie sieht y = f(x) aus ? Bahnkurve



Zum Zeitpunkt t = 0 gilt:

Für Bewegung in x-Richtung gilt:

Auflösen nach der Zeit ergibt:



Für Bewegung in y-Richtung gilt:

mit

Parabel: y(x) = ax + bx2x

y



Βeweis:

Achtung !!!!

Ändert sich Geschwindigkeit in Betrag und /oder Richtungliegt beschleunigte Bewegung vor !!!!

mit v^ v^

folgt nach Produktregel v^ v^

v^

!!!!! v^



2.8 Gleichförmige Kreisbewegung (|v| konst.)Im Punkt p gilt:

Im Punkt q gilt:

Für Δt von p q

pq = Länge des Kreisbogens von p q



Für mittlere Beschleunigung < ax > gilt:

x - Richtung

Für mittlere Beschleunigung < ay > gilt:

y – Richtung



Frage: Momentane Beschleunigung in Punkt P = ?

Wir haben:

Antwort: Man mache Grenzübergang θ 0



Momentane Beschleunigung in P

Betrag)

Zentripetalbeschleunigung

Ursache für KreisbewegungenF = m v2/r Zentripetalkraft



Zentripetalbeschleunigung:

• ⊥ zur Tangentialgeschwindigkeit• Richtung zum Kreismittelpunkt• Ursache für Kreisbewegung

Fragen: (gleichförmige Kreisbewegung)

2. Ist jede Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ?1. Bleibt die Geschwindigkeit konstant ?

3. Ist die Beschleunigung konstant ?



2.9 Relativbewegungen

Es gilt: • Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig. • Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig.

Sie sind Funktion des Bezugssystems.

Beispiel: • Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit vZg.• Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit vFg.

Frage: Wie groß ist vFahrgast ?

Antwort: Das hängt vom Bezugssystem ab.



Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt:vFahrgast = vFg

Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt:vFahrgast = vFg + vZg

v = f (Bezugssystem)



Die Galilei-Transformation Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional)Annahmen:1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B.2. Bezugssystem A ruht.3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

vB/A relativ zu A entlang der positiven x-Richtung.4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-Richtung bewegt.



Es gilt für Bahnkurve xP/A (t) von P in A:xP/A = xB/A + xP/B

xP/B (t) = Bahnkurve von Pin Bezugssystem B

xB/A (t) = Bewegung von B relativ zu A

Es gilt für Geschwindigkeit vP/A:

Es gilt für Beschleunigung aP/A:



Ein merkwürdiges Beispiel:

Zug mit vZg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c relativ zum Bahndamm: vZg = 0,9 c = 0,9 . 3 . 108 m/s

Fahrgast mit vFg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zum Zug: vFg = 0,3 c = 0,3 . 3 . 108 m/s

Am Bahndamm ruhender Beobachtersollte messen: vFahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c

Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen!Es gilt:• Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden.• Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation)

ist nur gültig, falls v << c( Später mehr)

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