2. Kristallstrukturen - dlr.de · Kubische Struktur Härte, Zugfestigkeit und Streckgrenze...

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1 2. Kristallstrukturen 2.1 Bindungsarten polarisiertes Atom Ion (+) gemeinsame Valenzelektronen (–) Ion (+) Ion (–) Metall-Ion (+) Elektronengas (–) Metallische Bindung Wolfram (W): E B = 50 kJ/mol Ionenbindung NaCl: E B = 43 kJ/mol Kovalente Bindung SiC: E B = 68 kJ/mol van-der-Waals-Bindung CH 4 : E B = 0.6 kJ/mol Bindungskräfte zwischen den Atomen ermöglichen systematische und geordnete Anlagerung der Atome Entstehung von Kristallstrukturen
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    04-Jul-2019
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  • 1

    2. Kristallstrukturen2.1 Bindungsarten

    polarisiertes AtomIon (+)

    gemeinsameValenzelektronen ()

    Ion (+)

    Ion ()

    Metall-Ion (+)

    Elektronengas ()

    Metallische BindungWolfram (W):EB = 50 kJ/mol

    IonenbindungNaCl: EB = 43 kJ/mol

    KovalenteBindungSiC:EB = 68 kJ/mol

    van-der-Waals-BindungCH4:EB = 0.6 kJ/mol

    Bindungskrfte zwischen den Atomen ermglichen systematische und geordnete Anlagerung der Atome Entstehung von Kristallstrukturen

  • 2

    2.2 Metallische Bindung

    berlappung von Energiebndern: Freie Leitungselektronen Isotrope Bindungsverhltnisse Groe Vielfalt von Strukturen

    Ene

    rgie

    E

    Reziproker Atomabstanda

    1s2s

    2p3s3p

    Mg

    Atomabstand

    Energie E

    N(E

    )

    Energiezustnde im

    1. Band

    2. Band

    Reine metallische Bindung z. B. in Alkali-Metallen durchDelokalisierte Valenz-Elektronen

    In 3d bergangsmetallen zustzliche Kovalente Bindungsanteile durchberlappung gerichteter 3d-Orbitale

    Verstrkung der Bindung Beispiele: W, Fe, Ni, Co....

  • 3

    2.3 Kristallstrukturen

    Anzahl der Atome in der Basis:

    1 in Edelgaskristallen, 2 in Fe, 4 in SiF4, 12 in MoAl12103 in Polymerkristallen, 106 in Viruskristallen

    Gittertranslation:T = u a + v b + w cT: Translationsvektora, b, c: primitive Translationsvektoren

    Gitter + Basis = Kristallstruktur

  • 4

    a

    b

    TT = -a + 3b

    Kristallstruktur: f (r) [ g ( r ) = f (r - r"") g (r) dr

    Basis f (r) (Faltung von Basis und Gitter) Raumgitter g (r)

  • 5

    2.4 Translationsinvarianz, Einheitszelle und Ortsvektoren

    Kriterium fr die Elementarzelle

    Sie ist die Zelle mit dem Kleinstmglichen Volumen

    ab

    c

    Kriterium fr den Aufbau von Kristallstrukturen:

    Der Raum mu sich lckenlos mit identischen Einheitszellen ausfllen lassen,Damit eine Translation in den drei Raumrichtungen die Struktur reproduziert.

    Koordinationszahl

    Die Zahl der nchsten Gitterpltze

    Beispiel: pk: 6; krz: 8; kfz: 12

  • 6

    a

    c

    r1

    r2

    r3

    b

    r1

    r2

    r3

    a

    c

    b

    x:y:z = 0:1:1x:y:z = 1:1/2:1/2 = 2:1:1x:y:z = 1/2:1:1/2 = 1:2:1

    [u,v,w]=[011][u,v,w]=[211][u,v,w]=[121]

    krz kfz

    Die 6 quivalenten Richtungen

    [001]

    [001]

    [010][010]

    [100]

    [100]

    a

    bc

    -

    -

    -

    Ortsvektoren im Kristallgitter

    r = x a + y b + z c

    r1 = 1 a + 0 b + 1 c

    r2 = 1/2 a + 1/2 b + 1/2 c

    r2 = 1/2 a + 1/2 b + 1/2 c

    Richtungen im Kristallgitter

    Richtungsindizes u, v, w

    r1 = 0 a + 1 b + 1 c

    r2 = 1 a + 1/2 b + 1/2 c

    r2 = 1/2 a + 1 b + 1/2 c

  • 7

    2.5 Miller-Indizes und Kristallklassen

    Bezeichnung von Ebenen im Kristallgitter

    a

    b

    c

    1

    2

    3

    12

    4

    1 2 33 (100) (010) (001)

    1/4 : 1/3 : 1/2 = 3 : 4 : 6;

    (h,k,l) = (346)

    hkl: Miller-Indizes

    na = 4; 1/na = 1/4

    nb = 3; 1/nb = 1/3

    nc = 2; 1/nc = 1/2

  • 8

    Gitternetzebenen

    (210)

    y

    z

    x[210]

    y

    z

    x

    (100) (100)

    y

    z

    x

    (111)

    x

    y

    z(011)

  • 9

    7 Kristallsysteme

    Kubisch

    Trigonal

    Tetragonal Orthorhombisch

    Monoklin Triklin Hexagonal

    a = b = ca = b = g = 90

    a b ca b g 90

    a b ca = b = g = 90

    a = b = ca = b = g 90

    a b ca = g = 90, b 90

    a b ca b g 90

    a = b ca = b = 90, g = 120

    a

    b

    c

    b

    a g

  • 10

    2.6 Die 14 Bravaisgitter

    Kubisch I Kubisch P Kubisch F Tetragonal P Tetragonal I

    Erweiterung der Kristallklassen durch Hinzufgen weiterer Gitterpunkte 14 Bravais-Gitter

    Ortho-Rhombisch P

    Ortho-Rhombisch C

    Ortho-Rhombisch I

    Ortho-Rhombisch F Rhombo-

    edrisch RHexa-gonal P

    Monoklin P Monoklin C Triklin

  • 11

    a

    b

    c

    b

    a g

    Triklin

    Monoklin

    Orthorombisch

    Tetragonal

    Kubisch

    Rhomboedrisch

    Hexagonal

    Gittersystem Anzahl Symbol

    Einschrnkungenfr Achsen undWinkel

    1

    2

    4

    2

    3

    1

    1

    P

    P,C

    P,C,I,F

    P,I

    R

    P

    a = b = 90

    (keine)

    a = b = g = 90

    a = ba = b = g = 90

    a = b = c

    a = ba = b = g 90

    a = ba = b = 90g = 120

    P oder scI oder bccF oder fcc

    a = b = g = 90

  • 12

    2.7 nderung der Struktur

    kubischraumzentriert(bcc)

    kubischflchenzentriert(fcc)

    kubischraumzentriert(bcc)

    T [C] schmelz-flssig

    d-Eisen

    g-Eisen

    a-Eisen

    -273

    911

    1392

    1536

  • 13

    Kristallstrukturen des Kohlenstoffs (C)

    Diamant:Tetraedrische BindungenHrtester FestkrperMetastabile Hochdruckphase

    Graphit:Schicht-StrukturWeicher FestkrperStabile Phase

    Anisotrope Transporteigenschaften

  • 14

    berstrukturen in geordneten Mischkristallen

    T > 793 K:UngeordnetHart und sprdeKubische kfz Struktur

    T < 793 K:GeordnetWeich und duktilTetragonale Struktur

    CuAu Cu3Au

    Geordnete berstrukturin Cu3AuKubische Struktur

    Hrte, Zugfestigkeit und Streckgrenze

    Elektrische Leitfhigkeit, magn. Suszeptibilitt

  • 15

    2. 8 Symmetrien

    5-zhlige Drehachsen sind in der Krisatallographie verboten!keine Translationsinvarianz, keine Raumfllung!

    Erlaubte Drehungen (Drehachsen)

    2" (1-zhlig)2"/2 (2-zhlig)2"/3 (3-zhlig)2"/4 (4-zhlig)2"/6 (6-zhlig)

    Symmetrieebenen

    Drehung um eine Symmetrieachse, die durch einen Gitterpunkt fhrt, die den Kristall in sich selbst berfhrt.

    3 vierzhlige 4 dreizhlige 6 zweizhlige

    Drehachsen einesWrfels

  • 16

    Punktsymmetrien:

    3 = 3 + 1

    4 = mm H2O

    Spiegelung an einer Ebene: z. B. an der yz-Ebene: y = y, z = z, x = - xDas Vorhandensein einer Spiegelebene wird durch das Symbol m angezeigt.

    Inversion (Spiegelung an einem Punkt): y = - y, z = - z, x = - x

    Drehachsen, Deckungsgleichheit durch Rotation um einen Winkel, 2-, 3-, 4-, 6-zhlig

    Drehinversionsachsen: Drehung und gleichzeitige InversionBezeichnung durch

    2 , 3 , 4 , 6

    Drehinversionsachsen

    dreizhlig vierzhlig

    2 symmetrischeund 1 antisymmetrischeSchwingungsform

  • 17

    Hamilton-Operator H:

    zweifache Symmetrie, Invarianz bei entsprechender Koordinatentransformation

    Zuordnung von s (Operator) zur Spiegelung, Anwendung auf H , y oder R

    deren Beschreibung in den gespiegelten Koordinaten

    Die zwei Spiegelebenen des H2O mssen sich in den physikalischen Eigenschaften des Molekls ausdrcken

    Darstellung in Matrizen: Beispiel: Spiegelung an yz-Ebene:

    -1 0 00 1 00 0 1

    xyz

    =

    -xyz

    Reduzierung der dreidimensionalen Darstellung auf dreieindimensionale Matrizen:[(-1)x; (1)y; (1)z] = (-x; y, z)

    Ist H spiegelsymmetrisch, so sind die Operatorenvertauschbar.

    Eigenzustnde von H verhalten sich symmetrisch oderantisymmetrisch zu diesen Operatoren, oder quivalent,sie besitzen gerade oder ungerade Paritt.

    Keine entarteten Energiezustnde

    (Beispiel: H2-Molekl)

    s Y+ =1 Y+; C2 Y+ = +1 Y+s Y- = -1 Y-; C2 Y- = -1 Y-

    C2: zweizhlige Drehachses2 = 1 und (C2)2 = 1Eigenwerte: 1

  • 18

    2.9 Stereographische ProjektionDarstellung der Flchen eines Kristalls

    Flchennormale schneidet Polkugel im PolAbbbildung obere Hlfte, geschlossene SymboleAbbildung untere Hlfte, offene Symbole

    Kombination der Symmetrieelemente:32 Kristallklassen (Punktgruppen)Punktgruppensymbole nach Schnflies:Cj: (j=2,3,4,6) j-zhlige DrehachseSj: j-zhlige DrehinversionsachseDJ: j zweizhlige Drehachsen senkrecht

    zu einer j-zhligen HauptdrehachseT: 4 drei und 3 zweizhlige DrehachsenO: 4 drei und 3 vierzhlige DrehachsenCi: ein InversionszentrumCs: eine Symmetrieebeneh: horizontal = senkrecht zur Drehachsev: vertikal = parallel zur Hauptdrehachsed: diagonal = parallel zur Hauptachse in

    der Winkelhalbierenden zwischen denzweizhligen Drehachsen

    Symmetrieelemente zweier Punktgruppen;m, s, n: zwei-, drei-, vierzhlige DrehachsenAusgezogene Linien: Spiegelebenen

    4mm = C4v m = D3d

    3

  • 19

    Texturen

    Ausrichtung der Kristallite in polykristallinen Festkrpern in eine Vorzugsrichtung

    Punktlinien auf einem Textur-Diagrammmit [111] als Faserachse

    Faser-Textur ineinem Draht

    Walz-Textur in einem Blech

    Entstehung einesTextur-Diagramms

    AB: DrehachseOS: einfallender Strahl

    0: reflektierende EbeneI, II, II, IV: reflektierteStrahlen, symmetrisch zuEbenen ABVV und0HH

  • 20

    2.10 Dichteste Packung harter Kugeln

    Hexagonal, kubisch-flchenzentriertedichteste Packung harter Kugeln

    A

    A

    B

    A A A A

    A A A

    A A A

    A A A A

    B B B

    B B B

    B B B

    C C C

    C C C

    C C C

    Metalle: Symmetrische Bindungsverhltnisse Modell harter Kugeln Energetisch begnstigt: Dichteste Packung

    Schichtfolge: ABABABABHexagonal dichtest gepacktSchichtfolge: ABCABCABCKubisch-flchenzentriertdichtest gepackt

  • 21

    2.11 Fnfzhlige Symmetrie in Quasikristallen

    Ikosaedrisches Raumgitter Elektronenbeugungsbild von Al-14at%-Mn

    keine Translationsfernordnung, aber Orientierungsfernordnung

    Al6Li3CuIkosaedereinkristall

    Pentagons fllen nicht den Raum

  • 22

    2.12 Amorphe Strukturen

    Systeme mit gerichteter atomarer Bindung: z. B. SiO2kristallin

    amorphSysteme mit symmetrischer atomarer Bindung: z. B. Metalle

    kristallin amorph