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  • 2. Mathematische Grundlagen

    Erforderliche mathematische Hilfsmittel:

    Summen und Produkte

    Exponential- und Logarithmusfunktionen

    21

  • 2.1 Endliche Summen und Produkte

    Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Die Summe derZahlen notiert man wie folgt:

    a1 + a2 + . . . + an =n

    i=1ai =

    iIai

    Bezeichnungen:

    i heit Summationsindex

    I = {1, . . . , n} heit Indexmenge

    22

  • Bemerkungen:

    Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlensein (I Z), z.B. I = {4,3,2,1,0,1,2,3}. Fur dieSumme gilt dann:

    iIai =

    3

    i=4ai = a4 + a3 + a2 + a1 + a0 + a1 + a2 + a3

    Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Fur dieSumme definiert man dann

    iIai = 0.

    23

  • Fragen:

    Warum ist das Summenzeichen wichtig?

    Wie kann man formal mit Summen rechnen?

    Antworten:

    Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der ge-samten Statistik

    Es gibt Rechenregeln fur Summen, die allesamt formal be-wiesen werden mussen(Aufgabe der Mathematik)

    24

  • Rechenregeln fur endliche Summen: [I]

    Dazu seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

    Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n

    i=1( ai + bi) =

    n

    i=1 ai +

    n

    i=1 bi

    = n

    i=1ai +

    n

    i=1bi

    Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n

    i=1ai =

    n

    i=1a = n a

    25

  • Rechenregeln fur endliche Summen: [II]

    Fur jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt:n

    i=1ai =

    m

    i=1ai +

    n

    i=m+1ai

    Fur jedes ganzzahlige m gilt:n

    i=1ai =

    n+m

    i=1+maim

    26

  • Spezielle endliche Summen: [I]

    n

    i=1i = 1 + . . . + n =

    n (n + 1)2

    n

    i=1i2 =

    n (n + 1) (2n + 1)6

    n

    i=1i3 =

    n2 (n + 1)2

    4

    27

  • Spezielle endliche Summen: [II]

    Es seien a1, b R, ai = a1 + (i 1) b fur i = 2, . . . , n. Dannheit a1, a2, . . . , an endliche arithmetische Folge 1. Ordnungund es gilt:

    n

    i=1ai =

    n2 (2a1 + (n 1) b)

    Es seien a1, q R, ai = a1 qi1 fur i = 2, . . . , n. Dann heita1, a2, . . . , an endliche geometrische Folge und es gilt fur q 6=1:

    n

    i=1ai = a1

    qn 1q 1

    28

  • Doppelsummen: [I]

    Es sei

    a11 a12 a1ma21 a22 a2m... ... . . . ...

    an1 an2 anm

    eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen

    29

  • Doppelsummen: [II]

    Die Summe uber alle diese Zahlen notiert man als Doppel-summe:

    n

    i=1

    m

    j=1aij = a11 + a12 + . . . + a1m

    + a21 + a22 + . . . + a2m...

    + an1 + an2 + . . . + anm

    Es gilt:n

    i=1

    m

    j=1aij =

    m

    j=1

    n

    i=1aij

    30

  • Weiteres Beispiel fur eine Doppelsumme:

    n

    i=1

    n

    j=iaij = a11 + . . . + . . . + . . . + a1n

    + a22 + . . . + . . . + a2n

    + a33 + . . . + a3n

    ...

    + ann

    (Der Laufbereich des 2. Index hangt vom 1. Index ab)

    31

  • Endliche Produkte

    Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Mit der IndexmengeI = {1,2, . . . , n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt:

    a1 a2 . . . an =n

    i=1ai =

    iIai

    Bemerkung:

    Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Furdas Produkt definiert man dann

    iI ai = 1

    32

  • Rechenregeln fur endliche Produkte:

    Es seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

    Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n

    i=1 ai bi = n n

    n

    i=1ai

    n

    i=1bi

    Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n

    i=1ai =

    n

    i=1a = an

    33

  • 2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus

    Zwei wichtige mathematische Funktionen:

    Naturliche Exponentialfunktion

    Naturlicher Logarithmus

    Hier:

    Mathematische Definition und Eigenschaften

    34

  • Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.B.

    in der Wachstumstheorie (VWL)

    in Mikro- und Makromodellen (VWL)

    im gesamten Finance-Bereich (BWL)

    im Operations-Research (BWL)

    in der Statistik / Okonometrie

    35

  • Definition der Exponentialfunktion: [I]

    Betrachte die unendliche Reihe

    k=0

    xk

    k!= 1 + x +

    x2

    2+

    x3

    6+

    x4

    24+

    (k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, alsok! = 1 2 . . . k)

    Man kann zeigen, dass die Summe fur jedes x R gegen eineendliche Zahl konvergiert

    36

  • Definition der Exponentialfunktion: [II]

    Fur jedes x R definiert man

    exp(x) =

    k=0

    xk

    k!

    Die Funktion exp : R R heit naturliche Exponentialfunk-tion

    37

  • Graph der naturlichen Exponentialfunktion

    38

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    -2 -1 0 1 2 3

    x

    exp(

    x)

  • Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I]

    Es gilt:

    exp(0) = 1exp(1) = e 2.71828 (Eulersche Zahl)

    Fur alle x R gilt:

    exp(x) > 0

    Fur alle x R gilt:

    exp(x) d exp(x)

    d x= exp(x)

    (Ableitung ist gleich der Funktion selbst)

    39

  • Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II]

    Die Funktion exp ist streng monoton wachsend

    Fur beliebige x, y R gilt die Beziehung:

    exp(x + y) = exp(x) exp(y)

    (Funktionalgleichung)

    Fur alle x R gilt

    exp(x) = limn

    (

    1 +xn

    )n

    (Aquivalente Darstellung zur Summendefinition)

    40

  • Jetzt:

    Die exp-Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunk-tion

    Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0,)

    Definition des naturlichen Logarithmus

    Die Umkehrfunktion der naturlichen Exponentialfunktion

    exp : R (0,)heit naturlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit

    ln : (0,) R

    41

  • Graph des naturlichen Logarithmus

    42

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    0 2 4 6 8 10

    x

    ln(x

    )

  • Eigenschaften des naturlichen Logarithmus:

    Die Funktion ln ist streng monoton wachsend

    Fur x > 0 gilt:

    ln(x) =d ln(x)

    d x=

    1x

    Fur beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung

    ln(x y) = ln(x) + ln(y)

    (Funktionalgleichung)

    43

  • Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I]

    Die allgemeine Potenz ist fur alle x > 0, y R definiert durch

    xy = exp(y ln(x))

    Insbesondere ist fur x R

    ex = exp(x)

    Es sei a > 0 und a 6= 1. Der allgemeine Logarithmus vonx > 0 zur Basis a ist definiert durch

    y = loga(x) x = ay

    44

  • Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II]

    Es gelten die folgenden Beziehungen:

    ln(x) = loge(x)

    ln(x) = loga(x) ln(a)

    loga(x) =ln(x)ln(a)

    Es sei f : R (0,) eine differenzierbare Funktion. Furjedes x R heit die Ableitung

    (ln(f(x)) =d ln(f(x))

    d x=

    f (x)f(x)

    die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x(auch: stetige Wachstumsrate)

    45