2. Mechanik starrer Körper: 2.2 Dynamik · Zentrifugalkraft (Trägheitskraft auf einen Körper,...

2.2.1 (1)2. M

echanik starrer Körper: 2.2 D

ynamik

Inhalt:2.2.1 K

räfte 2.2.2 Im

puls2.2.3 A

rbeit, Energie, Leistung

2.2.4 Schw

ingungen2.2.5 R

otation

Dynam

ik: Einfluss von Masse und K

raft auf die Bew

egung

2.2.1 (2)2.2.1 K

räfte: Reibung

Ursachen der R

eibung: Oberflächenrauigkeit und A

dhäsionA

nziehung zw. M

olekülen der benachbarten Stoffe (elektrom

agnetische WW

); nur lokale K

ontakte wegen R

auigkeit der Oberflächen

1) zw. ruhenden K

örpern :H

aftreibung(H

aftreibungskraft proportional Norm

alkraft:|F

HR

max| ∝

|FN |)

relevant beim G

ehen, Rad fahren, …

(probieren S

ie es auf einer Eisfläche)

ohne Reibung kein K

raftübertrag || Oberfläche

2) zw. bew

egten Körpern:

a) Gleitreibung (kleiner als H

aftreibung; auch proportional zur Norm

alkraft)b) R

ollreibung (kleiner als Gleitreibung)

c) Bew

egung eines Körpers in Flüssigkeiten &

Gasen: R

eibung proportional zur Viskosität und zur R

elativ-Geschw

indigkeit (für kleine Geschw

indigkeit)

Mikroskopische B

erührungsfläche ist proportional zur N

ormalkraft

2.2.1 (3)2.2.1 K

räfte: Reibung

Haftreibung

Gleitreibung

|FH

Rm

ax| = μH

R|F

N |

Haftreibungskraft F

HR

proportional zur angreifenden K

raft F(für F

≤ FH

Rm

ax)

Der m

aximale W

ert der H

aftreibungskraft ist proportional zur N

ormalkraft:

v = const. falls angreifende K

raft F= -F

GR ,

und

FF

GR

F

|FG

R | = μG

R|F

N |

Experim

ent

2.2.1 (4)2.2.1 K

räfte: Kreisbew

egung

Bsp.: K

reisbewegung

Um

einen Körper der M

asse m auf eine K

reisbahn mit R

adius R zu zw

ingen, muss

die Zentripetalkraft Fz aufgebracht w

erden. Diese ist zum

Kreism

ittelpunkt gerichtet.

|Fz | = m

az = m

v2/ R

= m ω

2R (a

z s. Kap. 2.1)

2.2.1 (5)2.2.1 K

räfte: Kreisbew

egung

|Fz | = m

az = m

v2/ R

= m ω

2R

(az s. K

ap. 2.1)

Frage: W

ie schnell muss der R

adfahrer am S

cheitelpunkt des Loopings sein, dam

it er mit der B

ahn in K

ontakt bleibt?

2.2.1 (6)

Ein Inertialsystem

ist ein Bezugssystem

, in dem die new

tonschen Axiom

e gelten. In einem

Inertialsystem ist der R

aum hom

ogen & isotrop und die Zeit hom

ogen. B

eschleunigte Bezugssystem

esind keine Inertialsystem

e.

2.2.1 Kräfte: Inertialsystem

e

2.2.1 (7)

Ein Inertialsystem

ist ein Bezugssystem

, in dem die new

tonschen Axiom

e gelten. In einem

Inertialsystem ist der R

aum hom

ogen & isotrop und die Zeit hom

ogen. B

eschleunigte Bezugssystem

esind keine Inertialsystem

e.

(1) Beobachter in verschiedenen B

ezugsystemen, die relativ zueinander nicht

beschleunigtwerden, m

essen für ein sich bewegendes Teilchen die

gleiche B

eschleunigungund dam

it auch die gleichen Kräfte.

Addition der G

eschwindigkeiten, nur v(t0 ), ist unterschiedlich, nicht aber a(t).

(2) In relativ zueinander beschleunigten Bezugssystem

enw

erden unterschiedliche B

eschleunigungenund dam

it auch unterschiedliche K

räftegem

essen Scheinkräfte

2.2.1 Kräfte: Inertialsystem

e

0 t

0t

v(t)v(t

)a(t)dt

=+∫

2.2.1 (8)2.2.1 K

räfte: Scheinkräfte

Sichtw

eise im

beschleunigten System

:Vom

mitbeschleunigten

(abgebremsten) B

eobachter(im

Auto) aus :

Insassen werden durch die

Trägheitskraft beschleunigt. D

iese ist eine Scheinkraft.

Sichtw

eise im Inertialsystem

:Vom

ruhenden Beobachter

aus wirkt auf die Insassen

keine Kraft, und ein frei

beweglicher K

örper folgt ohne K

rafteinwirkung

dem 1. N

ewtonschen A

xiom ...

Scheinkräfte (Trägheitskräfte) treten nur in beschleunigten Bezugssystem

enauf.

Sie w

erden nichtvon anderen Körpern ausgeübt.

Beschreibung der Vorgänge in beschleunigten B

ezugssystemen:

-für einen äußeren (nicht-beschleunigten) Beobachter

einfach-

ein innerer (mitbeschleunigter) B

eobachter muss Scheinkräfte einführen

Bsp. 1: A

bbremsen

eines fahrenden Autos:

2.2.1 (9)2.2.1 K

räfte: Scheinkräfte: Trägheitskraft

Bsp. 2:Zug w

ird aus dem S

tand beschleunigt; im Zug fällt ein B

all (der Fall beginnt noch im

stehenden Zug)Vom

ruhenden Beobachter

aus fällt der Ball geradlinig nach unten.

Vom m

itbeschleunigten Beobachter

aus wird der B

all nach hinten beschleunigt, w

as er durch eine Scheinkraft (Trägheitskraft)erklärt.

2.2.1 (10)2.2.1 K


Bsp. 3:S

chwerelosigkeit im

Parabelflug („zero-g“E

xperimente)

Für den mitbeschleunigten B

eobachterkompensieren

sich während des

Parabelflugs gerade die S

chwerkraftund die Trägheitskraft.

2.2.1 (11)2.2.1 K


Bsp. 3:S

chwerelosigkeit im

Parabelflug („zero-g“E

xperimente)

ES

A student campaign

2.2.1 (12)2.2.1 K

räfte: Scheinkräfte: Zentrifugalkraft

Bsp. 4:Zentrifugalkraft

(Trägheitskraft auf einen Körper, der im

rotierenden Bezugssystem

ruht)

Kreisbew

egungU

m einen K

örper der Masse m

auf eine K

reisbahn mit R

adius r zu zw

ingen, muss die

ZentripetalkraftFz = m

a= -m

ω2

r

aufgebracht werden. D

iese ist zum

Kreism

ittelpunkt gerichtet. S

ichtweise im

beschleunigten S

ystem:

Passagier spürt

Zentrifugalkraft (Scheinkraft)

Ruhender

Beobachter:

Kette bringt

Zentripetalkraft auf

Fz = -m

ω2

r

FZF

= + m ω

2r

2.2.1 (13)2.2.1 K





ruht)

Sichtw

eise im

beschleunigten S

ystem:

Passagier spürt

Zentrifugalkraft (S

cheinkraft)

Ruhender

Beobachter:

Kette bringt

Zentripetalkraft auf

Fz = -m

ω2

r

FZF

= + m ω

2r

(Ultra-)Zentrifuge

trennt Teilchen verschiedener M

assen in S

uspension (durch S

edimentation)

Bsp.:

r = 5cm, ν

= ω / 2π

= 103/s

m a = m

ω2

r a

= ω2

r = 4 π

2106/s

2* 5 * 10-2m

~ 2 * 10

6m/s

2

~ 2 * 105g

r = 5m, ν

= 1/6 s-1

a ~ g / 2

2.2.1 (14)2.2.1 K





ruht)

Zentrifugalkraft erzeugt künstliche Gravitation in rotierenden R

aumstationenElysium

(2013)

2.2.1 (15)2.2.1 K

räfte: Scheinkräfte: Corioliskraft

Bsp. 5:C

orioliskraft(Trägheitskraft auf einen K

örper, der sich im rotierenden B

ezugssystem bew

egt)

Für den mitbeschleunigten (rotierenden) B

eobachter bewegt sich der B

all nicht geradlinig.

-> Ballw

urf auf rotierender S

cheibe

Beobachtervon A

ußen(im

Inertialsystem)

Beobachterm

it auf S

cheibe

2.2.1 (16)2.2.1 K


2.2.1 (17)2.2.1 K


2.2.1 (18)2.2.1 K


Bsp. 5:C



ezugssystem bew

egt)

wichtig für W

ind und Wolkenbew

egungen

ohne E

rdrotationm

it E

rdrotation

2.2.1 (19)2.2.1 K


Bsp. 5:C



ezugssystem bew

egt)

wichtig für W

ind und Wolkenbew

egungen

ohne E

rdrotationm

it E

rdrotation

2.2.1 (20)2.2.1 K

räfte: Zusamm

enfassung

2. New

tonsches Axiom

: Aktionsprinzip

Massenpunkte w

erden ausschließlich durch Kräfte beschleunigt.

Es gibt 4 fundam

entale Kräfte

(WW

): G

ravitation , elektromagnetische W

W, schw

ache WW

, starke WW

Spezialfall der G

ravitation:Gew

ichtskraft FG

= mg

Kräfte w

erden vektoriell addiert

Die N

ewtonschen A

xiome gelten nur in Inertialsystem

en. In beschleunigten B

ezugssystemen

treten Scheinkräfteauf.

12

2

mm

FG

r ⋅=

Fm

a=

⋅r

r

1N = 1kg m

/s2

2.2.1 (21)2. M


ynamik

Inhalt:2.2.1 K

räfte 2.2.2 Im

puls2.2.3 A


2.2.4 Schw

ingungen2.2.5 R

otation

Dynam


raft auf die Bew

egung

2.2.2 (22)2.2.2 Im

puls

Berechnung der B

ewegungsbahn ist häufig kom

pliziert oder unlösbar …B

sp.:zeitabhängige Kräfte

beim Stoß

(wirken nur kurz, variieren dabei stark)

wg. actio = reactio

sind die K

raftstöße entgegengesetzt gleich, d.h. ihre Sum

me ist N

ull!

Beschreibung als „K

raftstoß“:

f0 tt

Ft

F(t)dtΔ

=∫

2.2.2 (23)2.2.2 Im

puls

Der K

raftstoßw

ird als Impulsübertrag

Δpbezeichnet:

actio = reactio, d.h. beide Impulsüberträge heben sich auf!

Gesam

timpuls bleibt konstant(erhalten)w

ährend des gesamten Vorgangs!

f0 tt

pF(t)dt

Δ=∫

rr

Erhaltungsgrößen -bleiben in jedem

geschlossenenS

ystem konstant (erhalten):

(geschlossenes System

: von Außenw

elt abgekoppelt, keine Wechselw

irkung)

-sind fundamentale Folge der Sym

metrie der R

aumzeit:

Experim

ent ist unabhängig von: ZeitEnergie-Erhaltung

Ort

Impuls-Erhaltung, D

rehwinkel

Drehim

puls-Erhaltung-erlauben einfache B

eschreibung über Bilanzgleichungen

ii

System X(t)

const∈

=∑

12

12

pp

(pp)

(pp)

+=

+Δ

+−

Δr

rr

rr

rvorher

nachher

2.2.2 (24)2.2.2 Im

puls

Anschaulich ist der Im

pulsgleich dem

„Schwung“

einer sich bewegenden M

asse.

Impuls ist proportional zur G

eschwindigkeit und zur M

asse.

Kraft

Beschleunigung

Impuls

Geschw

indigkeit

ddp

F(t)d

(mv)

ma

dtt

==

=r

rr

rf0 tt

pF(t)dt

Δ=∫

rr

1. New

tonsches Axiom

:W

irkt keine Kraft auf einen frei bew

eglichen Körper, so ändert sich sein Im

puls nicht .2. N

ewtonsches A

xiom:

Ausschließlich K

räfte verursachen eine Impulsänderung.

3. New

tonsches Axiom

: Im

abgeschlossenen System

ist der Gesam

timpuls erhalten.

F(t)m

a=

rr

(m=const.)

p(t)m

v=

rr

Einheit p:

1 Ns = 1 kg m

/s

2.2.2 (25)2.2.2 Im

puls: Impulserhaltung

Der Im

puls mehrerer O

bjekte ist die vektorielle Sum

me der E

inzelimpulse.

Impulserhaltung:

Ges

11

22

pm

vm

vconst.

→

=+

+=

rr

rK

für alle Zeiten!

Bsp.:A

bstoßung der Schlittschuhläufer

Idee:keine Reibungskraft, d.h. kein Im

pulsübertragparallel zum

Boden, d.h. die beiden Läufer bilden

ein abgeschlossenes System

vorher:v1 =v

2 =0 m

1 v1 + m

2 v2 = 0

hinterher:m1 v‘1 + m

2 v‘2 = 0(Im

pulserhaltung)m

1 v‘1 = -m2 v‘2

(v‘: Strich steht für „hinterher“)

Experim

ente: Impulserhaltung

2.2.2 (26)2.2.2 Im

puls: Impulserhaltung

Der Im

puls mehrerer O

bjekte ist die vektorielle Sum

me der E

inzelimpulse.

Impulserhaltung:

Ges

11

22

pm

vm

vconst.

→

=+

+=

rr

rK

für alle Zeiten!

Gas Gas

Gas

vm m

v

vm

vm

vdtdm

dt dvm

vm

dt dp

⋅−

=⇒

⋅−

=⇒

+=

⋅=

=

&&

&&

&0

' ')0

()

(

')0

()

(

)(

)0'

(

0'

m dmv

vt

v

dtv

m mv

tv

tmt

mG

as

Gas

t

t

∫

∫

=

=

⋅−

= −=

−&

))(

ln()

(

))(

ln() )

(ln(

)0(

)(

0

0tm m

vt

v

tm m

vm

tm

vv

tv

StartG

as

Gas

Gas

=

=−

=−

Rakete im

Zeitintervall dt:

Impuländerung der R

akete + Gas

Raketengleichung

für den Start

dxx

fdt

xt

xf

txx

t

t∫

∫=

=

)(

)0(

0'

)(

')]'

([

&

2.2.2 (27)2.2.2 Im

puls: Zusamm

enfassung

Kräfte

sind die Ursache von Im

pulsänderungen.

Impulsübertrag = K

raftstoß

Anschaulich ist der Im

puls p der „Schwung“.

Im abgeschlossenen System

ist der Impuls erhalten,

d.h. der Gesam

timpuls ist konstant.

dpF(t)

dt=

rr

f0 tt

pF(t)dt

Δ=∫

rrp(t)

mv

=r

r

2.2.1 (28)2. M


ynamik

Inhalt:2.2.1 K

räfte 2.2.2 Im

puls2.2.3 A

rbeit, Energie, Leistung2.2.4 S

chwingungen

2.2.5 Rotation

Dynam


raft auf die Bew

egung

2.2.2 (29)2. M

echanik starrer Körper: 2.2.3 A


Manchm

al interessiert uns nicht der zeitliche Ablaufder B

ewegung,

sondern nur Anfangs-und Endzustand, z.B

. deren Energie. M

it Erhaltungsgrößen wie Energie, Im

puls und Drehim

puls lassen sich Vorgänge oft viel einfacher beschreiben.

Energie Eist gespeicherte A

rbeit W; Leistung P

istArbeit pro Zeit.

Arbeit ist proportional

zu Kraft und W

eg:

WF

s=

⋅Δr

r

2.2.2 (30)2.2.3 A


Einheit: 1 N

m = 1 kg m

2/s2

= 1 J (Joule)W

Fs

=⋅Δ

Arbeit ist K

raft mal W

eg:

(hier: konstante Kraft F parallel zum

Weg Δs)

Es gibt verschiedene Form

en von Arbeit:

Beschleunigungsarbeit, H

ubarbeit, Spannarbeit, Reibungsarbeit, …

Mit diesen w

ird Energie von einer Form

in eine andere überführt (Energieerhaltung):

kinetische Energie, potenzielle Energie, thermische Energie (W

ärme),

chemische Energie, …

2.2.2 (31)2.2.3 A


Verallgemeinerungen:

•konstante Kraft F

nicht parallel Δs

•Kraft F(s) hängt vom

Ort ab

•Weg nicht geradlinig

21

WF(s)ds

=∫rr

r

WF

s=

⋅Δr

r

Linienintegral

WF(x)dx

=∫

2.2.2 (32)2.2.3 A


Bsp.:H

ubarbeit potenzielle Energie

(Energie im

ruhenden Körper)

Verrichtung von Arbeit gegen die G

ravitationskraft.

WF

sm

gh

=⋅Δ

=⋅

⋅ΔhΔ

potE

mg

h⇒

=⋅

⋅

pot1

pot0

WE

(h)

E(h

)⇒

=−

Die verrichtete A

rbeit ist in dem K

örper in Form

von potenzieller Energie

gespeichert. 0

h

1h

1) konstanteK

raft F parallelzur Strecke Δs.

Dann gilt:

WF

s=

⋅Δ

2.2.2 (33)2.2.3 A


1) konstanteK

raft F parallelzur Strecke Δs.

Dann gilt:

WF

s=

⋅Δ

Die verrichtete A

rbeit ist in dem B

all in Form von kinetischer E

nergiegespeichert.

Bsp.:B

eschleunigungsarbeit kinetische Energie (E

nergie in bewegter M

asse)E

in frei beweglicher B

all wird aus der R

uhe (v0 =0) m

it einer konstanten M

uskelkraft F über eine Strecke Δs auf die G

eschwindigkeit v beschleunigt

(keine Reibung, keine anderen K

räfte):

22

21

11

22

2W

Fs

ma

atm

(at)m

v=

⋅Δ=

⋅=

=

kin,1kin

21

kin2

,0E

Ev

WE

m⇒

==

−⇒

FΔs

~~~s

0s

1

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