2 Mengen, Relationen,...

Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2.1 Mengen

Definition 2.1 [Georg Cantor 1895]

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseres

Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem

Ganzen.

Mengen werden definiert:

extensional: durch Angabe aller Elemente (nur für endliche Mengen)

Beispiele: {0, 1, 2, 3},{{a}, {a, b}

}

intensional: durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden

Eigenschaft

Beispiele: {x | x ist natürliche Zahl und x < 4},{y | E(y)

}


Beispiel 1 (Weitere Beispiele von Mengen)

N = {0, 1, 2, . . .} Menge der natürlichen Zahlen

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen

∅ = {x | x 6= x} = { } die leere Menge

Elementbeziehung

Element-Relation: x ∈ M

x ist Element der Menge M, x ist Element von M

x ist aus M

Negation von x ∈ M: x /∈ M

es ist nicht x ∈ M, x ist nicht aus M


Mengengleichheit und -inklusion

Gleichheit: A = B :⇔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B)

x ist genau dann Element der Menge A, wenn

x Element von B ist

Inklusion: A ⊆ B :⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)

wenn x Element der Menge A ist, so ist x auch aus B

echte Inklusion: A ⊂ B, A ( B :⇔ A ⊆ B ∧ ∃x(x ∈ B ∧ x 6∈ A)

A ⊆ B und es gibt ein x ∈ B, welches nicht aus A ist

Satz 2.1 Es seien A, B,C Mengen.

1. Es gilt stets A ⊆ A.

2. Aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C.

3. Es gilt genau dann A = B, wenn sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A

erfüllt sind.


Operationen für Mengen

Vereinigung: A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}

x ist genau dann Element der Menge A ∪ B, wenn

x Element von A oder von B ist

Durchschnitt: A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}

x ist genau dann Element der Menge A ∩ B ist, wenn

x aus A und aus B ist

Eigenschaft 2.2 1. Es gelten A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B und

A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B.

2. Aus A ⊆ C und B ⊆ D folgen A ∩ B ⊆ C ∩ D und

A ∪ B ⊆ C ∪ D.

3. Aus A, B ⊆ C und A, B ⊆ D folgt A ∪ B ⊆ C ∩ D.


Hilfssatz 2.3 Die folgenden Beziehungen sind paarweise äquivalent:

A ∩ B = A, A ⊆ B und A ∪ B = B.

Satz 2.4 (Eigenschaften der Operationen ∩ und ∪ )

Es seien A, B,C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen:

A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A (Kommutativität)

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C , A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Assoziativität)

A ∩ A = A , A ∪ A = A (Idempotenz)

Lemma 2.5 (Verschmelzungsgesetze) Es seien A, B Mengen. Dann

gelten die folgenden Gleichungen:

A ∩ (A ∪ B) = A und A ∪ (A ∩ B) = A.


Satz 2.6 (Die Distributivgesetze) Es seien A, B,C Mengen. Dann

gelten die folgenden Gleichungen:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Die Potenzmenge

Definition 2.2 Es sei M eine Menge. Die Menge {A : A ⊆ M} aller

Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M.

Sie wird mit 2M oder P(M) bezeichnet.

Beispiel 2 2∅ ={

∅}

2{∅} ={

∅, {∅}}

2{a,b} ={

∅, {a}, {b}, {a, b}}


Das Komplement

Definition 2.3 Es seien M eine Menge und A ∈ 2M. Dann heißt

A := {x | x ∈ M ∧ x /∈ A}

das Komplement von A (in M).

Eigenschaft 2.7 A ist dasjenige Element X der Potenzmenge 2M, für

welches gleichzeitig die Bedingungen A ∩ X = ∅ und A ∪ X = M

gelten.

Satz 2.8 (DEMORGANsche Regeln) Es seien A, B ∈ 2M. Dann

gelten

A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B


Weitere Mengenoperationen

Mengendifferenz A \ B := {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}

symmetrische Differenz A ∆ B := (A \ B) ∪ (B \ A)

= (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Es seien Mi ⊆ M.

unendliche Vereinigung⋃

i∈I

Mi :={x : x ∈ M ∧ ∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Mi)

}

unendlicher Durchschnitt⋂

i∈I

Mi :={x : x ∈ M ∧ ∀i(i ∈ I → x ∈ Mi)

}


2.2 Relationen

Es seien X,Y Mengen.

geordnetes Paar (x, y)(

oder [x, y])

Kreuzprodukt A× B := {(x, y) | x ∈ A und y ∈ B}

Eigenschaft 2.9 Es seien A, B,C,D Mengen. Dann folgt aus A ⊆ B

und C ⊆ D auch A× C ⊆ B× D. Weiter gelten

A× ∅ = ∅ × A = ∅

(A ∩ B)× (C ∩ D) = (A× C) ∩ (B× D)

(A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C)

A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C)

(A \ B)× C = (A× C) \ (B× C)

A× (B \ C) = (A× B) \ (A× C)


Mehrfaches Kreuzprodukt

Frage der Reihenfolge!

Unser Standard (für n ≥ 3):

A1 × A2 × · · · × An := A1 ×(A2 × (A3 × (. . .× An))

)

speziell: A1 × A2 × A3 × A4 := A1 ×(A2 × (A3 × A4)

)

Definition 2.4 Eine Teilmenge R von A1 × A2 × · · · × An heißt

(n-stellige) Relation über A1, . . . , An.

Gilt A1 = . . . = An = A, so sprechen wir auch von einer n-stelligen

Relation über A.


Beispiel 3 (Datumsrelation)

A1 = Tag := {1, . . . , 31}

A2 = Monat := {1, . . . , 12}

A3 = Jahr := {1900, . . . , 2100}

Datum ⊆ Tag × Monat × Jahr

Beispiele: (29, 2, 2000) ∈ Datum , (29, 2, 1900) /∈ Datum

(31, 7, 2007) ∈ Datum , (31, 6, 2007) /∈ Datum

Beispiel 4 (die natürliche Ordnung der ganzen Zahlen ≤ )

≤ ⊆ Z × Z


Eigenschaften zweistelliger Relationen

Definition 2.5 Es seien M eine Menge und R eine zweistellige

Relation über M.

Wir nennen die Relation R

reflexiv , falls für alle x ∈ M stets (x, x) ∈ R gilt,

symmetrisch , falls aus (x, y) ∈ R stets (y, x) ∈ R folgt,

transitiv , falls aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R stets (x, z) ∈ R folgt,

antisymmetrisch , falls aus (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R stets x = y

folgt.


Äquivalenzrelationen

Definition 2.6 Es seien M eine Menge und ≈ eine zweistellige

Relation über M.

Wir nennen ≈ eine Äquivalenzrelation über M, falls ≈ reflexiv,

transitiv und symmetrisch ist.

Beispiel 5 Es sei M die Menge der Schüler einer Schule. Für

a, b ∈ M definieren wir a ≈ b gdw. a, b sind Schüler derselben Klasse.

Definition 2.7 Es sei M 6= ∅ eine Menge. Eine Teilmenge Z der

Potenzmenge 2M heißt Zerlegung (Klasseneinteilung) von M, falls

1.⋃

A∈Z A = M

2. A 6= ∅ für alle A ∈ Z und

3. A ∩ B = ∅ für alle A, B ∈ Z , A 6= B gelten.


Definition 2.8 Es seien ≈ eine Äquivalenzrelation über M und

a ∈ M. Wir nennen

[a]≈ := {b | b ∈ M und a ≈ b}

die von a erzeugte Äquivalenzklasse .

Satz 2.10 Für jede Äquivalenzrelation ≈ über M ist die Menge aller

Äquivalenzklassen

Z≈ := {[a]≈ : a ∈ M}

eine Zerlegung von M.

Umgekehrt definiert für jede Zerlegung Z von M die Beziehung

a ≈ b gdw. es gibt ein A ∈ Z mit a, b ∈ A

eine Äquivalenzrelation über M.


Halbordnungsrelationen

Definition 2.9 Es seien M eine Menge und � eine zweistellige

Relation über M.

Wir nennen � eine Halbordnungsrelation über M, falls � reflexiv,

transitiv und antisymmetrisch ist.

Beispiel 6 1. Ist M eine Menge, so ist die Relation ⊆ eine

Halbordnungsrelation über M = 2M.

2. ≤ ist eine Halbordnungsrelation über Z.

3. Die Teilbarkeitsrelation | ist eine Halbordnungsrelation über N.

Lemma 2.11 Ist � eine Halbordnungsrelation über M und ist

T ⊆ M, so ist die Einschränkung �T := � ∩(T × T ) von � auf T

eine Halbordnungsrelation über T .


Definition 2.10 Es sei M eine durch � halbgeordnete Menge, und

es sei T Teilmenge von M. Wir nennen a ∈ M

minimales Element von T , falls a ∈ T und b 6≺ a für alle b ∈ T gilt.

Minimum von T , falls a ∈ T und a � b für alle b ∈ T gilt.

untere Schranke von T , falls a � b für alle b ∈ T gilt.

Infimum von T , falls a das Maximum der Menge

{b | b ∈ M und b ist untere Schranke von T } ist.

Supremum von T , falls a das Minimum der Menge

{b | b ∈ M und b ist obere Schranke von T } ist.

Folgerung 2.12 1. Jedes Minimum von T ist sowohl minimales

Element, untere Schranke als auch Infimum von T .

2. Ist eine untere Schranke von T Element von T , so ist sie

Minimum von T .


Spezielle Operationen für zweistellige Relationen

Definition 2.11 Es seien R ⊆ A× B, S ⊆ B× C zweistellige

Relationen.

Verbindung

R ◦ S :={(a, c) | es gibt ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S

}

Umkehrrelation R−1 :={(b, a) | (a, b) ∈ R

}

Folgerung 2.13 R1 ◦ (R2 ◦ R3) = (R1 ◦ R2) ◦ R3

Folgerung 2.14 Eine zweistellige Relation R ⊆ A× A ist genau dann

symmetrisch, wenn R = R−1, und R ist genau dann transitiv, wenn

R ◦ R ⊆ R.


Folgerung 2.15 Es seien R,R1,R2,R3 zweistellige Relationen über

einer Menge M. Dann gelten die folgenden Beziehungen.

Aus R1 ⊆ R2 folgen R1 ◦ R3 ⊆ R2 ◦ R3 und R−11

⊆ R−12

.

Aus R2 ⊆ R3 folgt R1 ◦ R2 ⊆ R1 ◦ R3 .

Aus R ⊆ R−1 folgt R = R−1 .

R1 ◦ (R2 ∪ R3) = (R1 ◦ R2) ∪ (R1 ◦ R3)

(R1 ∪ R2) ◦ R3 = (R1 ◦ R3) ∪ (R2 ◦ R3)

(R1 ∪ R2)−1 = R−1

1∪ R−1

2und (R1 ∩ R2)

−1 = R−11

∩ R−12

(R1 ◦ R2)−1 = R−1

2 ◦ R−11


Definition 2.12 Es seien M eine Menge und R ⊆ M× M eine

zweistellige Relation über M.

Wir nennen R∗ die reflexive und transitive Hülle von R, falls R∗ die

kleinste reflexive und transitive Relation ist, die R umfasst. Wir nennen

R+ die transitive Hülle von R, falls R+ die kleinste transitive Relation

ist, die R umfasst.

Ferner seien IM :={(a, a) | a ∈ M

}, R0 := IM und Rn := R ◦ Rn−1

für n ≥ 1.

Lemma 2.16 Es sei eine Relation R ⊆ M× M gegeben. Für alle

n ≥ 0 gilt (m,m′) ∈ Rn genau dann, wenn es eine Folge c0, c1, ..., cnvon Elementen aus M mit c0 = m, cn = m′ und (ci, ci+1) ∈ R für

i = 0, ..., n− 1 gibt.

Satz 2.17 Es sei R ⊆ M× M eine Relation auf einer Menge M.

Dann gilt R+ =⋃

∞

i=1 Ri und R∗ =

⋃∞

i=0 Ri.


2.3 Funktionen

Leonhard Euler (1755) : Eine Funktion benennt eine Abhängigkeit, die

„alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann,

unter sich begreift“.

Definition 2.13 [Funktion]

Eine Relation R ⊆ A× B heißt eindeutig , falls aus (a, b1), (a, b2) ∈ R

stets b1 = b2 folgt.

Eine Relation f ⊆ A× B heißt (partielle ) Funktion bzw. Funktion

aus A in B, falls f eindeutige Relation ist.


Definition 2.14 Es sei f ⊆ A× B eindeutige Relation.

Wir nennen f eine Funktion von A in B, falls der Definitionsbereich

dom( f ) = {a | a ∈ A ∧ ∃b(b ∈ B ∧ f (a) = b)}

mit A übereinstimmt.

Wir nennen f eine Funktion aus A auf B, falls der Wertebereich

ran( f ) = {b | b ∈ B ∧ ∃a(a ∈ A ∧ f (a) = b)}

mit B übereinstimmt.

Wir nennen f eine Funktion von A auf B, falls dom( f ) = A und

ran( f ) = B gelten.

Notation: f (a) = b für (a, b) ∈ f ,

f :⊆ A → B für f ist (partielle) Funktion aus A in B und

f : A −→ B für f ist (vollständig definierte) Funktion von A in B


Definition 2.15 Eine Relation R ⊆ A× B heißt eindeutigumkehrbar , falls R−1 eine Funktion ist.

Folgerung 2.18 Eine Relation R ⊆ A× B ist genau dann eindeutig

umkehrbar, wenn aus (a1, b), (a2, b) ∈ R stets a1 = a2 folgt.

Definition 2.16 Wir nennen eine (partielle) Funktion f ⊆ A× B

eineindeutig , falls f eindeutige und eindeutig umkehrbare Relation ist.

Notation:

Bild einer Menge M ⊆ A: f (M) = { f (a) | a ∈ M}

Urbild einer Menge M′ ⊆ B: f−1(M′) = {a | f (a) ∈ M′}


Andere Bezeichnungen:

Eine Funktion f :⊆ A −→ B heißt

injektiv, falls |{x : f (x) = y}| ≤ 1 für alle y ∈ B gilt,

d.h. f ist eineindeutig,

surjektiv, falls |{x : f (x) = y}| ≥ 1 für alle y ∈ B gilt,

d.h. f ist Abbildung auf B, und

bijektiv, falls |{x : f (x) = y}| = 1 für alle y ∈ B gilt,

d.h. f ist injektiv und surjektiv.

Bemerkung: Die Bezeichnungen injektiv, surjektiv und bijektiv

werden meist für vollständig definierte Funktionen benutzt.


Hintereinanderausführung von Funktionen

Folgerung 2.19 Es seien f :⊆ A → B und g :⊆ B → C Funktionen.

1. Dann ist die Relation f ◦ g eine Funktion aus A in C, und es gilt

f ◦ g(a) = g( f (a)) für a ∈ dom( f ) ∩ f−1(dom(g)).

2. Sind darüberhinaus f und g eineindeutige Funktionen, so ist auch

f ◦ g eineindeutig.

3. Gelten f : A → B und f (A) ⊆ dom(g), so ist auch f ◦ g : A → C.

Bezeichnung: Die Menge aller Funktionen von A in B wird mit

BA bezeichnet :

BA := { f | f : A → B}


n-stellige Funktionen

f :⊆ An → B

n-faches Kreuzprodukt

äqivalente Darstellungen

An = A× · · · × A︸︷︷︸

n-mal

oder

An = {g | g : {1, . . . , n} → A}

Folgerung 2.20 (Spezialfall) A0 = A∅ = {∅}

2 Mengen, Relationen,...

Documents

Transcript of 2 Mengen, Relationen,...