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2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) x y z O Bezugssystem (zeitlich fest oder variabel) Bahnkur ve bewegter (Massen-)Pun kt Ortsvektor t r kartesische Koordinaten t z t y t x t r

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2. Newtonsche Mechanik

2.1. Kinematik

Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen

Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen)

x

y

z

O

Bezugssystem(zeitlich fest oder variabel)

Bahnkurve

bewegter (Massen-)Punkt

Ortsvektor tr

kartesische Koordinaten

tztytx

tr

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Beispiele:

a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene

x

y

O

tax tby

0z a

b

x

yαtan

oder äquivalent

0zαsintvyαcostvx

22 bav Geschwindigkeit

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t

tr

b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene

x

y

O 0tz

ωtsinrtsinrtyωtcosrtcosrtx

tωttt

Winkelgeschwindigkeit

r

r rtr

cosr

sinr

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2.1.1. Geschwindigkeit

O

tr

Δttr rΔ

trΔttrrΔ

Def.: Momentangeschwindigkeit

rtd

rd

Δt

rΔlimtv

0Δt

1smv

Def.: Mittlere Geschwindigkeit:

τdτvΔt

1Δtt,v

tΔt

t

Es gilt:

Δt

rΔΔtt,v

Beweis: Tafel

tv

Tangente

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v

v v

2.1.2. Addition von Geschwindigkeiten

Komponentenzerlegung:

zzyyxx

z

y

x

evevevvvv

v

x

y

O

v

xxev

yyev

v

v

Addition komponentenweise:

x

y

Oxxevyyev

v

xx ev

yy ev

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2.1.3. Beschleunigung

O

tr

Δttr

rΔ tvΔttvvΔ

Def.: Momentanbeschleunigung

vtd

vd

Δt

vΔlimta

0Δt

2sma

Def.: Mittlere Beschleunigung:

Δt

vΔτdτa

Δt

1Δtt,a

tΔt

t

tv

Δttv

Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)

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2.1.4. Einfache Bewegungsabläufe

a) Freier Fall:

Massenanziehung Erdbeschleunigung g

.constgdt

dvz sm81,9g 2

Erdoberfläche

zega

zh

0

Tafelrechnung tgtvz 221 tghtz

Fallzeit T: 221 Tgh0Tz

Methode zur Messung von g2Th2g

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b) Schiefe Ebene: a

g

Tangetialbeschleunigung:

.constαsinga Lösung wie im freien Fall

Laufzeit:αsin

1αsing

s2t

sinααsintgts 221 Gerutschte Strecke s(t):

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c) Wurfparabel:

, 0

αsinvαcosv

v 0

0

0

x

y 0v

O L

H

g

0g

0a

komponentenweise konstante Beschleunigung wie freier Fall

y2

21

0 etgtvtr

• x(t) v0x t unabhängig von v0y

• x(t) t , y(t) t2 y(x) ist Parabel

Tafelrechnung α2sinL gv2

0 αsinH 2g2

v20

WurfhöheWurfweite

H max bei 90

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2.2. Dynamik von Massenpunkten

2.2.1. Trägheit

Trägheitsprinzip (Galilei): Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant.

1. Newtonsches Axiom: Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant.

Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich unbeschleunigt Inertialsystem

unbeschleunigt gegen was?

Ruhesystem des Weltalls der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

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2.2.2. Kräfte und Massen

2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft , so erfährt er eine Beschleunigung mit

Bewegungsgleichung:

F

a

amF

Definition der Massen-Einheit: [m] 1 kg (Kilogramm)

1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium-Zylinder, gelagert in Paris)

Definition der Kraft-Einheit: [F] 1 kg m s2 1 N (Newton) 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1 m s2 beschleunigt

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(Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen:

m

DD

x x0

entspannt belastet

mgF

x0

x

FederwaageKleine Auslenkung

0xxDF Hookesches Gesetz

D Federkonstante

Eichmessung mit Massen-Normal:

0kg1

kg1

xx

gm

0kg1kg1

D

xxDgmF

0xxDF 0gD xxm

Kraftmessung Massenmessung

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Bemerkungen:

a) Dichte:

Ausgedehnte homogene Körper: Volumen V Masse m

3mkg1ρ,V

mρ Definition: Dichte:

Beispiel: (H2O, 4C, 1 bar) 1000 kg m3 1 kg ℓ

1 ℓ 1 Liter 1 dm3

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b) Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes

z.B. freier Fall

gmF TT

Trägheitskraft Träge Masse

SR

MNG mGF 2

E

E

Gravitationskraft Schwere Masseconst.

Schwere Masse der Erde

Erdradius

Experiment ist unabhängig von mT (auf 1010)T

S2E

EN

T

G

m

m

Rg

MG

F

F

Folgerung: mS mT Festlegung: mmm TS

Gravitationskonstante 21311

E

2E

T

GN skgm106,67

M

Rg

F

FG

→ Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar

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c) Impuls: vmp

smkgp 1

2. Newtonsches Axiom (allgemein für m const.):

ptd

pdF

vmamF

(relevant bei Systemen von Massenpunkten)

d) Addition von Kräften:

Kraft ist Vektor übliche Vektoraddition

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3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip): Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert.

1F

2F

Actio Reactio

0FF 21

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2.2.3. Kraftfelder

Kraftfeld: t,r,rF Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt

Statisches Kraftfeld: Häufig: r,rF rF

Beispiele:

a) Zentralkraftfeld

Kraftfeld

eGG rrM

N 2

Gravitationsfeld

GmF

mProbemasse

M

Quell-Masse z.B. Erde

G

r

Kraft Feldlinien-Dichte

Analog: Elektrisches Feld

eE rr

Qπε41

20

EqF

Q: Quellladung

q: Probeladung

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const.E

Plattenkondensator

b) Homogenes Kraftfeld

.constEqF

c) Wirbelfeld ElektrischerStrom I

BMagnetisches

Wirbelfeld

Draht

q

vMagnetisches Feld

erB rI

2πμ0

Kraftfeld

rBvqv,rF

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d) Komplizierterer Fall:

Magnetisches Wechselfeld t,rB

t,rEt,rBrqt,r,rF

Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort r

r

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Fundamentale Kraftfelder:

• Gravitation

• Elektromagnetisch

• Stark (Kernkraft)

• Schwach (Radioaktivität)

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2.2.4. Arbeit und Energie

A

B

0 tr

rF

Kraftfeld

Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit

Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit:

rdFdW

rdFdW

(Joule) J1smkg1mN1W 22

Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung

vFtd

dWP

(Watt)1W sJ1P 1

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A

B

0 tr

rF

KraftfeldArbeit Bewegung

z.B. freie Bewegung im Kraftfeld:

B

A

221

B

A

vmrdrFΔW

(Beweis: → Tafelrechnung)

Definition der kinetische Energie T eines Massepunktes

mvT 221 J1T

(manchmal alternative Benennung T Ekin)

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A

B

0 tr

rF

KraftfeldDef.: Kraftfeld konservativ es gibt Stammfunktion V:

V heißt Potential des Feldes

VVgradF

Es gilt (vgl. Theorie-VL):

Potential V WA→B ist wegunabhängig 0rdF

Potential V 0FFrot

( “” gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten)

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Def.: Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld:

0r

rdrFrVr

r0

skalares Feld

VF

Def.: Äquipotentialflächen Flächen mit V const.

0rδ VrδVδr

VV

für

Folgerung: in Äquipotentialfläche V const. V 0 rVF

• Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen• Bewegung in Äquipotentialflächen W 0• Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt

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Beispiele:

Wirbelfeld hat kein Potential

Radialfeld

Dipolfeld

• •

Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V1V2) berühren sich nicht !

rF Äquipotentialfläche 2

V2 = V1 Δs·F

Äquipotentialfläche 1

Potential V1

Δs·F

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Beispiele für potentielle Energie:

a) Heben von Lasten: Tafelrechnung

m

Heben

zemgF

z

0

h hgmhV

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b) Potentielle Energie der Feder:

DD

x

entspannt belastet

F

0

x

xe

0xxDF Hookesches Gesetz

D Federkonstante

Tafelrechnung

221 xDxV

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Experiment:

m

Dgestaucht Dentspannt

m Maximalhöhe ( Umkehrpunkt

)

xh

mghDxV 221

22 xx2mg

Dh

Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld

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2.2.5. Erhaltungsgrößen

a) Impulserhaltungssatz

PF

QF

P Q

mP mQ 0FF QP

3. Axiom

2. Axiom

.constpp

0pp

QP

QP

Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt

Impulserhaltung: .constppi

i

Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativsind oder nicht!

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M

rm

m

rmr i

ii

ii

iii

S

Definition: Schwerpunkt

Gesamtmasse

Schwerpunktsatz: Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant.

Folgerung: i i

iiiSS .constprmprM

Schwerpunktimpuls

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Demo-Versuch: Luftkissenbahn

m m

Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder)

Faden

vv

der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!

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v2

Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz:

......

Sand (masselos)

m 0 m 0

v1

m 0

Munition, M 1 Kugel: dM

Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren?

MSand + Munition

Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)

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b) Energieerhaltungssatz

Voraussetzung: konservatives Kraftfeld rVrF

Tafelrechnung für Massenpunkt .constVTE

Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant.

Verallgemeinerung: System von Massenpunkten →

.constVTEE i

iii

i Verallgemeinerung: Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung

.constQVT

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Demo-Versuch: Looping

mg

z

h

R

m

v

Idealisierende Anahmen:

• Keine Reibung (dissipative Kraft)

• Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie)

x

y

R

m tv

tr

t

tsintcosRtr

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Winkelgeschwindigkeit:

tsintcosRtr

v

r

||a

a

Zentripetal-beschleunigung

ttω

Tafelrechnung

sincosta

cossinta

tatata

trcossintvtv

||

||

mit

R

v2||

2

ωRtatωRta

tωRtv

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Bedingung für Looping-Bewegung (oberster Punkt der Bahn):

mg

z

h

R

m

v

Rv2

mmgSchwerkraft

Zentripetal-

kraft

Tafelrechnung

Rh 25

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m1

1v

m2

2v

1v

2v

Wechsel-wirkungs-

gebiet

1v

1v

θ1

2v

2v

θ2

Streuwinkel

• Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const

• Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab

• Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmen

• Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const

• Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab

• Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmenBilliard: Direkter Stoß des Laien ziemlich elastisch

Profistoß mit Drall superelastisch

2.2.5. Stoßgesetze

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θθ

Beispiel: Elastische Streuung von Elementarteilchen

e+ e100 GeV

100 GeV

e+

e

Detektor

100 GeV 100 GigaVolt Beschleunigungsspannung

Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß:

2θ4sin

θd

Nd

sinθ

1

1

cosθd

Nd

1

Ωd

Nd

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eeeeBeispiel:

e

e

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e+ e100 GeV

100 GeV

Detektore+

Lichtquant (Photon) Gammastrahlung

Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen

Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor

Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen

Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor

Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen

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γeeee Beispiel:

e

e

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m1

1v

m2

2v

1v

2v

Impulserhaltung:

vmvmvmvm 22112211

(Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht)

Beispiel: total unelastischer Stoß

m1 m2

0v2

1vv

vmm

mvvmmvm

21

1211

21 vvv

m1 m2

Verformungsenergie Q ↗

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m2

L

Beispiel: Ballistisches Pendel

m1 v v'

Messe d dL

g

m

mmv

1

21

Tafelrechnung

Schwerpunktsbewegung:

L L

Umkehr-punkt

dh

dL

Aufheizung, Wärmeenergie Q

2

21

21 vmm

mm

2

1Q

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1v

1v

θ1

2v

2v

θ2

Streuwinkel

Elastischer Stoß: Q 0

...und zusätzlich Energieerhaltung

vmvmvmvm 2222

12112

12222

12112

1

6 UnbekannteImpulserhaltung 3 GleichungenEnergieerhaltung 1 Gleichung

21 v,v 2-dimensionale Lösungsschar

z.B. Parameter: 1 , 2

vmvmvmvm 22112211

Impulserhaltung...

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Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem

(S)

1v

(S)2v

(S)1v(S)

2v

Streuebene

0p S

Impulserhaltung im Schwerpunktsystem:

0pvmvmvmvm S)S(

22)S(

11)S(

22)S(

11

vmvm

vmvm )S(

22)S(

11

)S(22

)S(11

Energieerhaltung

vv,vv )S(

2)S(

2)S(

1)S(

1

Impulsübertrag:

211111 sinvm2vvmΔp

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Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem

Streuebene

0v 2

Schwerpunktgeschwindigkeit:

121

1S v

mm

mv

oft ruhend im Labor Laborsystem

(S)1v

(S)2v

m1 m2

(S)2S vv (S)

1v

1v

2v

1v

1

21

1S

S2

121

2S1

S1

vmm

mv0v

vmm

mvvv

min1v

Folgerung:21

21

mmmm

1min1 vv

0vmin1

falls m1 m2

Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken

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(S)2

(S)1 vv

(S)2v

Streuebene

50 % 50 %(S)2S vv S

(S)1 vv

1v

2v

1v

entartete Streukreise

vv 21 vv 21

Spezialfall: Targetsystem, m1 m2

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1v

1v

Streuebene

100 %

0vv (S)2S

1(S)1 vv

0vv 22 v2msinv2mΔp

0ΔT0vv

vv

11211

22

11

v2msinv2mΔp 0ΔT

0vv

vv

11211

22

11

Streuung in alle Richtungen

Spezialfall: Targetsystem, m2

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1v

Streuebene

100 %

1(S)2S vvv

0v(S)

1

vmΔp vmΔT

v2v0

vv

22

2222

1

12

11

vmΔp vmΔT

v2v0

vv

22

2222

1

12

11

Vorwärtsstreuung

(S)2v

0v (S)1

11 vv

2v

Spezialfall: Targetsystem, m1

Page 50: 2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik:Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik:Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) x y z O Bezugssystem.

vvvv 11

v

||v

v

Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand:

keine Kräfte parallel zur Wand

||v 1v

1v

vv ||||

2m

0vv 22

Folgerung: Reflexionsgesetz

Einfallswinkel Ausfallswinkel

0ΔTv2mαcosv2mΔp 1111

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2.2.6. Bewegung mit Reibung

Reibungsarten: Haft-, Gleit-, Rollreibung

Mikroskopische Theorie: Oberflächen-Beschaffenheit (sehr kompliziert)

Kleine Körper in Flüssigkeiten und Gasen: Stokes-Reibung

vαFR

Stokes-Reibung: (empirischer Befund)

Reibungskoeffizient: 1msNα

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a) Freie Bewegungm v0

x

α

Geschoss

x0 Eindringtiefe

Δx

t

xx0 + Δx

x0

vαFvm R texpvtv m

α0

τdτvxtxt

0

0

texp1vx mα

αm

00

Eindringtiefe:

αm

0

0

vxtxΔx

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b) Freier Fall

m

z

v

zemg

Bewegungsgleichung:

vαmgvm

Lösung:

texpvtexp1tv mα

0mα

αmg

Beweis: Prüfe für dieses v(t)1. v(0) v0 (Anfangsbedingung)

2. v(t) erfüllt die Bewegungsgleichung

Asymptotisches Verhalten:

.consttv αmg