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In diesem Kapitel werden Fliessbedingungen für Scheibenelemente untersucht.

Im ersten Teil werden – als Wiederholung von Stahlbeton I – die Gleichgewichtsbedingungen aufgestelltund die Fliessbedingungen für orthogonal bewehrte Scheibenelemente hergeleitet.

Anschliessend werden Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung untersucht. Zum Schluss werden dieFliessbedingungen für orthogonal bewehrte Scheibenelemente – welche eine konstante Betondruck-festigkeit voraussetzen – um den Einfluss einer vom Verzerrungszustand abhängigen Betondruckfestigkeiterweitert.

Wie bereits in der Vorlesung Stahlbeton I werden meist Scheiben in der Ebene (x, z) betrachtet, da diesder Situation eines Trägerstegs entspricht (Längsachse des Trägers in x-Richtung). Somit werdenSpannungen { x, z, xz } resp. Membrankräfte { nx, nz, nxz } h·{ x, z, xz } untersucht (h =Scheibendicke). Selbstverständlich können die Gleichgewichts- und Transformationsformeln auch fürScheiben in der Ebene (x, y) analog formuliert werden (Spannungen { x, y, xy } und Membrankräfte { nx,ny, nxy } h·{ x, y, xy }).

2 Scheiben und Träger

28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

2.4 Scheibenelemente – Fliessbedingungen

2

Wiederholung aus Stahlbeton I:

- Gleichgewichtsbedingungen für Scheiben

- Formulierung in { } oder in Membrankräften { n } mit { n } h· { } (mit der Scheibendicke h (oft auch mit t oder bw bezeichnet))

Scheiben – Gleichgewicht


GleichgewichtsbedingungenGleichgewicht in Richtungen x, z:

resp. in Membrankräften ( , konstant über Scheibendicke h):

mit (Momentenbedingung My = 0):

resp.

Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positiver AchsenrichtungPositive Membrankräfte entsprechen positiven SpannungenIndizes: 1-Richtung, 2-Normalenrichtung

zx xz

0

0

x xzx

zx zz

qx z

qx z

0

0

x xzx

zx zz

x x z z xz xz

n n h qx zn n h qx z

n h n h n h

zx xzn n

,( )zx zx xdx dz

,( )x x xdx dz

,( )xz xz zdz dx

,( )z z zdz dx

xdz

zxdz

xzdx zdx

dx

dzxq dxdz

zq dxdz

x

z

Wiederholung aus Stahlbeton I:

- Spannungstransformation und Darstellung im Mohrschen Kreis

- Hauptrichtungen und Hauptspannungen (Richtungen mit tn 0, maximale / minimale Werte derNormalspannung)

- Vorzeichenkonvention im Mohrschen Kreis abweichend von üblicher Konvention

3

Scheiben – Spannungstransformation


Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

2 2

2 2

2 2

cos sin 2 sin cossin cos 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )

n x z xz

t x z xz

nt z x xz

sinz

xcoszx

cosx

t

n

tn 1

z

coszcosxz

t

1nt sinzx

sinx

nx

t

z

n

sinxz

T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )

Wiederholung aus Stahlbeton I

4




cos 2 sin 22 2

cos2 sin 22 2

sin 2 cos22

x z x zn xz

x z x zt xz

x ztn xz

2 2cos 2 cos sin

sin 2 2sin cos

2 21 sin cos

T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )sinz

xcoszx

cosx

t

n

tn 1

z

coszcosxz

t

1nt sinzx

sinx

nx

t

z

n

sinxz

Wiederholung aus Stahlbeton I

5




T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )

Mittelpunkt / Radius Mohrscher Kreis

cos 2 sin 22 2

cos2 sin 22 2

sin 2 cos22

x z x zn xz

x z x zt xz

x ztn xz

11

2 2

1,3

210 tan2

42 2

xznt tn

x z

x z xzx z

sinz

xcoszx

cosx

t

n

tn 1

z

coszcosxz

t

1nt sinzx

sinx

nx

t

z

n

sinxz

Wiederholung aus Stahlbeton I: Kräfte in orthogonal bewehrten Stahlbetonscheiben

- Die Beanspruchung muss der Summe der Kräfte in Beton und Bewehrung entsprechen

- Koordinatenachsen im Stahlbeton stets so gewählt, dass sie mit den Bewehrungsrichtungenzusammenfallen (meist x-Achse in Richtung der stärkeren Bewehrung). Bei schiefer Bewehrung fälltdie x-Achse mit einer Bewehrungsrichtung zusammen.

- Orthogonale Bewehrung in Richtung der Koordinatenachsen x und z gibt keinen Beitrag zu nxz, d.h.nxzs 0.

- Anstatt in Kräften kann die Formulierung in äquivalenten Spannungen erfolgen (Betonspannungen undmit dem jeweiligen geometrischen Bewehrungsgehalt multiplizierte Spannungen in der Bewehrung,was den durch die Scheibendicke dividierten Membrankräften entspricht).

Ergänzende Bemerkung:

- Bei der Untersuchung äquivalenter Spannungen müsste, streng genommen, auch bei denBetonspannungen ein Korrekturterm eingeführt werden (analog zum Faktor [1 ] bei Normalkraft), danicht die ganze Scheibendicke zur Verfügung steht. Für Membrannormalkräfte in x- und z-Richtungwäre dies (1 x ) und (1 z ). Da in der Regel ein gegenüber den Bewehrungsrichtungen geneigtesDruckfeld resultiert (Betondruck als Querdruck über Bewehrung übertragbar), wird auf diesenKorrekturterm verzichtet. Man erkennt jedoch, dass das Betondruckfeld durch die Bewehrung gestörtwird.

6

x

13

3c

nx

nzx

nxznz

x

13

3c 1h

x

zx

xzz

z

z

Scheiben – Gleichgewicht


Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

• Beton homogen und isotrop, nimmt Druckspannungen ≤ fc in beliebige Richtung aufaber keine Zugspannungen

• Bewehrung nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf, bis maximal zum Betrag fs und ist so verteilt und verankert, dass mit äquivalenten Spannungen gerechnet werden kann

• Starrer Verbund zwischen Beton und Bewehrung

In Membrankräften:

In äquivalenten Spannungen:

(Bewehrungsgehalte x asx /h, z asz /h)

xs sx sx

zs sz s

xc xc

zc

x x z z

z

x

xc

xzc

x

z

xz xz

zs xz zcx

n n ann

n

n nn nn n

n h n h n h

an

xc

zc

x

x sx

z

z

sz

x

z

cxz

Wiederholung aus Stahlbeton I: Kräfte in orthogonal bewehrten Stahlbetonscheiben

- Verhalten auch bei «isotroper Bewehrung» (gleiche Bewehrung in beide Richtungen) nicht isotrop!

- «Schub» auf die Richtung der (x-) Bewehrung bezogen!

7

Spannungenim Beton

x sx

z sz

äussereBeanspruchung

F

F1

x

13

3c

x

zx

xzz

Scheibenelemente – Gleichgewicht


x, z: Richtungen der Bewehrung, Verhalten nicht isotrop (auch nicht für asx = asz)!

23

23

3

cossinsin cos

x sx x sx

z sz z sz

c

c

c

xc

zc

x

xz zc

z

x

3

Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

Darstellung mit Mohrschen Kreisen (bei orthogonaler Bewehrung einfach, da xzs 0):

: Hauptdruckrichtung im Beton

Fliessbedingungen für isotrope Materialien (Stahl: Tresca, von Mises) können nicht aufStahlbeton angewendet werden, auch nicht für die Bemessung der Bewehrung und selbst dannnicht, wenn diese «isotrop» (gleicher Bewehrungsgehalt in beide Richtungen) ist. DieAnwendung kann auf der sicheren oder unsicheren Seite liegen.

Ein offensichtlicher Unterschied besteht beispielsweise im Zug-/Druckwiderstand: EineBeanspruchung in eine Bewehrungsrichtung beeinflusst den Widerstand der Bewehrung in deranderen Bewehrungsrichtung nicht; nach Tresca / von Mises wird der Druckwiderstand in eineRichtung dagegen durch eine senkrecht dazu wirkende Zugbeanspruchung reduziert (undumgekehrt). Andererseits hat ein Material mit Fliessbedingungen nach Tresca / von Mises einenSchubwiderstand, eine orthogonale (isotrope) Bewehrung dagegen nicht.

Tresca

- Hauptspannungsebene: Sechseck- Raum: zwei elliptische Kegel und verbindender elliptischer Zylinderv. Mises

- Hauptspannungsebene: dem Tresca-Sechseck umschriebene Ellipse- Raum: Der Fliessbedingung von Tresca umschriebenes Ellipsoid

Scheibenelemente– Fliessbedingungen


Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für ebenen Spannungszustand(für Stahlbeton nicht geeignet, auch nicht bei «isotroper Bewehrung»!)

1 3 1 3( , , ) 0sMax f

2 2 2 23 0x x z z xz sf

Trescavon Mises

x

3

1

x

xz

zxzz

sf sf

sf

sf

1

sf sf

2sf

xz

Trescasf

sf

x

z3

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Wiederholung aus Stahlbeton I – Biegung und Normalkraft (resp. Baustatik)

- Interaktionsdiagramme von Stahlbetonträgern unter Biegung und Normalkraft können, für idealplastisches Verhalten, durch eine grafische Linearkombination der aplastischen Bereiche von Betonund Bewehrung ermittelt werden.

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)


Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung(1) Beton allein

Aplastischer Bereich Yc < 0, begrenzt durch FliessgrenzeYc = 0 (besteht aus zwei Parabeln)Plastische Verzerrungsinkremente sindorthogonal zur Fliessgrenze, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz, allgemein

)

,2 2 2

,2 2 2

02 2

2

m cc c yc c

c

m cc c yc c

c

cc yc c

c

m c c c

c c

Nh hN bf M Nbf

Nh hN bf M Nbf

NhY M Nbf

N Y Nhbf Y

mmmm ,,,m

mmmm ,,,m

m

Druckzone oben:

Druckzone unten:

Fliessfunktion:

Fliessgesetz:ycM

Ygrad

h/21

EOcE

cfABD

C

c

c

sAb

h

sA

Nx

y zm

2 c

h Nbf

cf

2cbh f

0cY

0cY

mm

cbhf2 8cbh f

2 8cbh f

N

M

10




Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As A’s(2) Bewehrung allein

Aplastischer Bereich Ys < 0 ist bei zwei Bewehrungslagen ein Parallelogramm (bei symmetrischer Bewehrung As = A’sRhombus), das durch die den beiden Bewehrungslagen entsprechenden Vektoren aufgespannt wirdKombination der beiden Bewehrungslagen grafisch durch geometrische Linearkombination(siehe Kombination von Beton und Bewehrung)Eckpunkte: beide Bewehrungen fliessen, Seiten: eine Bewehrung fliesstPlastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze Ys = 0, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz)

h/21

,2s s s shA f A f

,2s s s shA f A f

s sA f h

2 s sA f2 s sA f

s sA f h

CO

yfFGI

H s

D

sEBA

s

yfJ

E

M

sAb

h

sA

Nxy zm

2 c

h Nbf

0cYmm

M

N0cYcf

11




Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As A’s(3) Stahlbeton = Beton + Bewehrung

Fliessfigur des Stahlbetons durch geometrische Linearkombination der Fliessgrenzen Yc = 0 und Ys = 0Vorgehen: Fliessgrenze (Yc = 0) rein translatorisch mit ihrem Ursprung entlang Fliessgrenze (Ys = 0) bewegen (oder umgekehrt Ys = 0 entlang Yc = 0)Resultierender Bereich Y < 0 entspricht dem aplastischen Bereich des Stahlbetonquerschnitts, mindestens schwach konvex, Fliessgesetz (Orthogonalität der plastischen Verzerrungsinkremente bezüglich Fliessgrenze) gilt weiterhinEntlang gerader Stücke der Fliessgrenze bleibt eine Bewehrung elastisch (starr)Vorgehen auf beliebige Bauteile und Beanspruchungen übertragbar

h/21

h/21

mmD

C 0Y

M

N

C

AO

H

G

F

E

Wiederholung aus Stahlbeton I – Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente:

- Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente können analog wie Interaktions-diagramme für Biegung und Normalkraft durch eine grafische Linearkombination der aplastischenBereiche von Beton und Bewehrung ermittelt werden

- Aplastischer Bereich der orthogonalen Bewehrung: Rechteck in Ebene nxz xz 0

- Aplastischer Bereich des Betons: Zwei elliptischen Kegel (vorne c1 0, hinten c3 -fc )

12

sz sza f

sz sza fxsn

zsnsx sxa f sx sxa f

xzsn

s s sf f2ch f

2xzc c xc c zcn hf n hf n

2xzc xc zcn n n

xzcn

chf

xcnchf

zcn

0c cf

Scheibenelemente – Fliessbedingungen


Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben(«Stahlbeton = Beton + Bewehrung»):

Scheibendicke hBeton und Stahl ideal plastisch, starrer VerbundBezeichnungen fc und fy (Zug) resp. fy’ (Druck) bei Bemessung ersetzen durch fc kc fcd und fy - fy’ fsd

Fliessbedingung Bewehrung: Fliessbedingung Beton:(nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf) (homogen, isotrop, mit fct = 0)

nx

nzx

nxznz

xc

xc

z

xs

sx s

zs

sz sz

x

z c

x

xz

c

c

x

xz

nnn n

a

n

nn

a

n

n

n

x

13

3c

13

Wiederholung aus Stahlbeton I – Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente

constxznzn

xn

xzn

sz sza f

sz sza fxsn

zsnsx sxa f sx sxa f

xzsn

s s sf f2ch fxzcn

chf

xcnchf

zcn



Fliessbedingung für orthogonal bewehrte ScheibenGeometr. Linearkombination Beton + Bewehrung

nx

nzx

nxznz

xc

xc

z

xs

sx s

zs

sz sz

x

z c

x

xz

c

c

x

xz

nnn n

a

n

nn

a

n

n

n

x

13

3c

Vorgehen: Fliessgrenze Yc = 0 rein translatorisch mit ihrem Ursprung entlang der Fliessgrenze Ys = 0 bewegen (oder umgekehrt Ys = 0 entlang Yc = 0)


14

12

5

47

constxznzn

xzn

xn

zn

xnxzn



Fliessbedingung / Fliessregimes StahlbetonLinearkombination der Fliessbedingungen, d.h. verschieben der Fliessbedingung des Betons (Ursprung) entlang der Fliessbedingung der Bewehrung«Stahlbeton = Stahl + Beton»

21

22

23

224

25

26

7

( )( ) 0( )( ) 0( )( ) 0

2 0

( )( ) 0( )( ) 0

xz sx sx x sz sz z

xz c sz sz z sz sz z

xz sx sx x c sx sx x

xz c

xz sx sx x c sx sx x

xz c sz sz z sz sz z

x

Y n a f n a f n

Y n hf a f n a f n

Y n a f n hf a f n

Y n h f

Y n a f n hf a f n

Y n hf a f n a f n

Y n2 ( )( ) 0z c sx sx x c sz sz zhf a f n hf a f n

NB: Bewehrungsflächen je Längeneinheit in x- und z-Richtung sx sx x sz sz za A s a A s


15

12

5

47

constxznzn

xzn

xn

zn

xnxzn



Fliessbedingung / Fliessregimes StahlbetonY1: Beide Bewehrungen fliessen auf Zug

( sx fsx, sz fsz, 0 ≥ c3 ≥ -fc)

Y2: z-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht( sz fsz, c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx)

Y3: x-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht( sx fsx, c3 -fc, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y4: Beton bricht( c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y5: x-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht( sx -f’sx, c3 -fc, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y6: z-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht( sz -f’sz, c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx)

Y7: Beide Bewehrungen fliessen auf Druck, Beton bricht( sx -f’sx , sz -f’sz, c3 -fc)(mittlere Betonhauptspannung ebenfalls negativ)

NB: Bruchart: sehr duktil / duktil (ausser bei sehr flachen Druckfeldneigungen) / spröd


16

13

X

ZQ

2

22xz

2z xz

Verzerrungsinkremente und HauptdruckrichtungVerzerrungsinkremente sind proportional zu den Komponenten der äusseren Normalen auf die Fliessfläche (Gradient) im jeweiligen Punkt der Fliessfigur ( ≥ 0: beliebiger Faktor):

Neigung α der Hauptdruckrichtung 3 bez. x-Achse folgt mit Mohrschem Kreis aus plastischen Dehnungsinkrementen (Hauptverzerrungsrichtung = Hauptdruckspannungsrichtung Beton):



, ,x z xzx z xz

Y Y Yn n nx n

2 2

2cos(2 ) 1 cos (2 ) sin (2 )cot 2 cot cot(2 )sin(2 ) sin (2 )

z x

xzxzxz

mit 21

22

23

24

25

26

27

: cot ( ) ( ):cot ( ) ( ):cot ( ) ( ):cot 1:cot ( ) ( ):cot ( ) ( ):cot (

sx sx x sz sz z

c sz sz z sz sz z

sx sx x c sx sx x

sx sx x c sx sx x

c sz sz z sz sz z

Y a f n a f n

Y hf a f n a f n

Y a f n hf a f n

YY a f n hf a f n

Y hf a f n a f n

Y hf ) ( )c sx sx x c sz sz za f n hf a f n

2

cot 1z x z x

xz xz

2

1

17

Wiederholung aus Stahlbeton I: Bemessung orthogonal bewehrter Scheibenelemente in Regime 1

constxzn

chf

sz sz za f nxzn

cot 0.5cot 2.0

chf sx sx xa f n

xzn



Bemessung der BewehrungBemessungspraxis: in der Regel Regime 1 (duktile Bruchart; Fliessen der beiden Bewehrungen vor Betonbruch, Beton bleibt intakt). Fliessbedingung für Regime 1 in Parameterform ( direkte Bemessung):

Bedingung, damit Fliessregime 1 massgebend wird (kein Betonbruch):

NB:Grösse von fc siehe Stahlbeton III. Näherung gemäss SIA 262 : fc = kc fcd (mit kc = 0.55)Neigung des Betondruckfelds im Regime 1 folgt aus: Wert k cot theoretisch frei wählbar, in Bemessungsnormen oft Bedingung 0.5 2Verwendung von k 1, d.h. 45°: «linearisierte Fliessbedingungen», in vielen FE-Programmen implementiert. Sichere Bemessung, aber nur eine von vielen Möglichkeiten (bei separater Grenzwertbildung für nx, ny, nxy u.U. stark auf sicherer Seite)

21 ( )( ) 0xz sx sx x sz sz zY n a f n a f n

cotk1

sx sx x xz

sz sz z xz

a f n k n

a f n k n

c sx sx sz sz x zhf a f a f n n

2cot ( ) ( )sx sx x sz sz za f n a f n

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Wiederholung aus Stahlbeton I: Bemessung orthogonal bewehrter Scheibenelemente in Regime 2



Stegdruckbruch (Regime 2)

Ist die Bedingung nicht eingehalten, liegt eine Bruchart vor, bei welcher der Beton auf Druck versagt.

Praktisch relevant ist insbesondere bei Trägern das Regime 2, welches in Fällen mit vorliegt.

Bruchart: Fliessen der z-Bewehrung mit gleichzeitigem Betondruckbruch heisst Stegdruckbruch («web crushing»)Schubwiderstand des Scheibenelements lässt sich als Viertelkreisbogen darstellenBegrenzungen für cot entsprechen im Diagramm Geraden

NB: Darstellung rechts = Projektion der Fliessfigur in die Ebene (nz, nxz), um Betrag asz fyz verschoben (nx= verallgemeinerte Reaktion)

c sx sx sz sz x zhf a f a f n n

sx sx x sz sz za f n a f n

Regime 2 Regime 4

2chf

xzn

sz sz za f n2chf

cot 0.5

cot 2.0

zn

xzn

xnProjizierter Schnitt

Auf dieser und den folgenden beiden Folien wird gezeigt, wie eine schiefe Bewehrung bemessen resp.ihre Fliessbedingung ermittelt werden kann [Seelhofer (2009)].

Die Verhältnisse sind komplizierter als bei orthogonaler Bewehrung, da die schiefe Bewehrung sich amAbtrag von Schubbeanspruchungen nxz beteiligt (anders als bei orthogonaler Bewehrung, für die nxzs 0ist).

Transformiert man die Beanspruchung unter Verwendung schiefwinkliger Koordinaten (in Bewehrungs-richtung), kann die Bemessung jedoch analog wie für orthogonale Bewehrung erfolgen. Dabei wählt mander Einfachheit halber die Koordinatenachsen so, dass eine Bewehrungsrichtung in x-Richtung verläuft.

Die angegebenen Beziehungen wurden von Seelhofer und Marti hergeleitet und sind wesentlichpraktischer als ältere «Bemessungsalgorithmen» für schiefe Bewehrung, wie sie in FE-Programmen(sofern diese überhaupt eine Bemessung schiefer Bewehrung erlauben) heute noch implementiertwerden.

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Schiefe Bewehrung

Bei schiefwinkliger Bewehrung wird die Ermittlung der Fliessbedingungen mathematisch deutlich komplizierter. Für Regime 1 erhält man z.B. die Fliessbedingung:

sin cos cot 2 cos

sincot

x y xy

y

xy y

2 2 21

0 0

sin cos cos sin 0xy n sn x sx n sn x n sn yY f f f f ss

Mit auf schiefwinklige Koordinaten transformierten Beanspruchungen folgen daraus die Beziehungen für die Bemessung der Bewehrung in Regime 1, mit:

und für die Kontrolle der Betondruckspannung

11 1sin sinx sx n snf k f k

cos sin cotk

1

,x

,ny

11

31 2 cos

sinc ck k f

(siehe Dissertation Seelhofer, 2009)

Wie für orthogonale Bewehrung können auch die Fliessbedingungen schiefwinklig bewehrter Scheiben-elemente unter Membranbeanspruchung durch eine grafische Linearkombination der aplastischen Be-reiche von Beton und Bewehrung ermittelt werden.

Der aplastische Bereich jeder Bewehrungslage ist eine Gerade. Während diese Geraden für Be-wehrungen in Koordinatenrichtung (hier: x-Bewehrung) achsparallel sind, verlaufen sie für eine schiefeBewehrung windschief. Sie liegen weder in der Ebene, nxz xz 0, noch sind ihre Projektionen in dieseEbene zu einer der Achsen parallel. Die Eckpunkte einer gegenüber der x-Achse um den Winkel k

geneigten Bewehrung sind durch die ihrer Fliesszugkraft ask·fsk entsprechenden Membrankräfte {nx, nz,nxz}sk {ask·fsk·cos2

k, ask·fsk·sin2k, ask·fsk·sin k·cos k} resp. die äquivalenten Spannungen { k·fsk·cos2

k,k·fsk·sin2

k, k·fsk·sin k·cos k} gegeben (siehe untere Abbildung links).

Diese beiden Geraden der Bewehrungen in Richtung x und k können zu einem Parallelogramm kombiniertwerden, welches in der durch die beiden Geraden definierten Ebene liegt (obere Abbildung rechts).

Bei drei schiefwinkligen Bewehrungslagen entspricht der aplastische Bereich der Bewehrung einemParallelepiped, siehe untere Abbildung rechts. Für noch mehr Bewehrungsrichtungen kann die Fliessfigurals grafische Linearkombination der Fliessfiguren der einzelnen Bewehrungslagen konstruiert werden.

(Fortsetzung auf folgender Folie)

20

kk sk



Schiefe Bewehrung

(aus Dissertation Seelhofer, 2009)

Der aplastische Bereich des Betons besteht wie bei orthogonaler Bewehrung aus zwei elliptischen Kegeln(vorne c1 0, hinten c3 -fc). Kombiniert man die aplastischen Bereiche von Beton und Bewehrung,resultiert die Fliessfigur des schief bewehrten Stahlbetonelements, siehe Abbildung oben.

Alternativ kann eine schiefe Bewehrung durch eine äquivalente orthogonale Ersatzbewehrung ersetztwerden. Setzt man einen konstanten Spannungszustand in der Bewehrung voraus, lässt sich derSpannungszustand in einem Bewehrungsnetz bestehend aus beliebig vielen, im Allgemeinen in nichtorthogonalen Richtungen eingelegten Bewehrungslagen auf das x-z-Koordinatensystem transformieren,siehe Gleichungen in der Abbildung.

Die äquivalenten Stahlspannungen der äquivalenten orthogonalen Bewehrung entsprechen dann denHauptspannungen ( s1, s2) des durch ( sx, sy , sxy) definierten Spannungszustands. Die Richtungen deräquivalenten orthogonalen Bewehrung entsprechen den zugehörigen Hauptrichtungen (1, 2).

Für die äquivalente orthogonale Ersatzbewehrung können die Fliessbedingungen für orthogonaleBewehrung angewendet werden. Für den Nachweis sind die Beanspruchungen in die Richtungen (1, 2)der Bewehrung zu transformieren.

21



Schiefe Bewehrung

zwei schiefwinklig angeordnete Bewehrungslagen: ebene, parallelogrammförmige, gegenüber der sx- sy-Ebene geneigte Fliessfigur der Bewehrung.

drei Bewehrungslagen: Parallelepiped

Beliebige Beanspruchung ohne Beton

Fliessfigur Stahlbeton-Scheibenelement resultiert aus Verschiebung der Fliessfigur des Betons mit ihrem Ursprung auf der Fliessgrenze der Bewehrung (geometrische Linearkombination)

Alternativ können n schiefwinklige Bewehrungen auf das orthogonale x-z-Koordinatensystem transformiert und daraus eine äquivalente orthogonale Ersatzbewehrung ermittelt werden. Für diese können sodann die Fliessbedingungen orthogonaler Bewehrung verwendet werden, wobei die Beanspruchung in die Richtung der orthogonalen Ersatzbewehrung zu transformieren sind.(siehe Dissertation Seelhofer, 2009)

2 22 2

1,2

2 11

4cos cos

2 221sin tan

2

sin cos

sx sy sxysx zsx si i s si i

i i

sxysy si i s

i sx sz

sxy si i ii

sx

sy

sxy

x

ycf

2sinn snf

2sinn snf

C

BA

22 cosn snf2 x sxf2cosx sx n snf f

cfy

x

0 E

xy 21

45

D6 7

3

(aus Dissertation Seelhofer, 2009)

Auf dieser und den folgenden beiden Folien (aus Kaufmann (1998)) wird untersucht, wie der Einfluss einervom Verzerrungszustand abhängigen Druckfestigkeit auf den Widerstand orthogonal bewehrter Scheiben-elemente berücksichtigt werden kann.

Grundsätzlich erfordert die Berücksichtigung einer vom Verzerrungszustand abhängigen Druckfestigkeitdie Durchführung von Last-Verformungsberechnungen (siehe Kapitel «Last-Verformungsverhalten). DerEinfluss kann jedoch mit einigen Vereinfachungen in guter Näherung analytisch erfasst werden.Untersuchungen mit einem verfeinerten Modell (Cracked Membrane Model CMM) bestätigen dieseAussage.

Wichtig ist die Erkenntnis, dass eine vom Verzerrungszustand abhängige Druckfestigkeit keinen Einflussauf den Tragwiderstand im Regime 1 hat, da der Widerstand in diesem Regime durch das Fliessen derbeiden Bewehrungen eindeutig bestimmt ist. Sie beeinflusst jedoch den Verlauf der Grenzen des Regimes1 und den Bruchwiderstand in den Regimes 2, 3 etc.

In der Abbildung ist links die Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheibenelemente mit konstanterDruckfestigkeit dargestellt. Der Bereich, in welchem ein Versagen durch Fliessen der beidenBewehrungen eintritt (Regime 1) ist dreieckförmig (durch die gelbe Linie begrenzt). Mit einer vomVerzerrungszustand abhängigen Druckfestigkeit (kleinere Druckfestigkeit bei grossen Querdehnungen)tritt bei besonders flachen (oder steilen) Druckfeldneigungen ein frühzeitiger Betonbruch auf, da beisolchen Neigungen die Verzerrungen grösser sind. Der Bereich des Regimes 1 wird daher entsprechendeingeengt.

Die mittlere Abbildung zeigt Berechnungen mit dem CMM (sehr aufwändig, jeder Punkt des Diagrammsentspricht einer Last-Verformungsanalyse). Die rechte Abbildung zeigt die Näherung, welche auf dernächsten Seite hergeleitet wird. Diese stimmt gut mit den genaueren Berechnungen überein.

22



x sx x

c

ff

1.5

0z sz z

c

ff

1.50

0.75

xz

cf 0.50

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3xz

cf0.85

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3'xz

cf0.85

2 3'x sx x

c

ff

1.50

2 3'z sz z

c

ff

2.5

szr szf

szr tzf

sxr txfsxr sxf

x sx x

c

ff

1.50

cot 2.0z sz z

c

ff

1.5

cot 0.54

2

3

1

2 3'x sx x

c

ff

2.50

z sz z

c

ff

sxr sxf2.5

szr szf43

21

Grenze Regime 1: Beton bricht, stärkere Bewehrung an Fliessgrenze 1 bestimmbar

Konstante Betondruckfestigkeit(fc unabhängig von 1)

«Genaue» Berechnungmit CMM, Ansatz [MPa]:

Näherung mit gleichem Ansatz, siehe nächste Folie

2/3

1

( )0.4 30

cc c

fk f

Betondruckfestigkeit

Auf der rechten Seite sind nochmals die Fliessbedingungen für ideal plastisches Verhalten und konstanteBetondruckfestigkeit (oben) und die Bruchbedingungen unter Berücksichtigung der verformungs-abhängigen Betondruckfestigkeit dargestellt (gleiche Abbildungen wie auf vorhergehender Folie).

Die Näherung (unterste Abbildungen) basiert auf der Annahme, dass an der Regimegrenze dieBetonstauchung 3 cu -0.002 beträgt und die stärkere Bewehrung gerade die Fliessgrenze erreicht,wobei die Zugversteifung mit einem Faktor 0.8 berücksichtigt wurde ( sm 0.8· fs /Es).

Damit folgt die Hauptdehnung an der Regimegrenze 1-2 mit 3 cu und x sm aus der Beziehung 1 x

( x 3)cot2 , da die Druckfeldneigung bekannt ist: an der Regimegrenze fliessen beide Bewehrungen,somit ist

Durch Einsetzen in die Beziehung für die effektive Betondruckfestigkeit erhält man die angegebenenGleichungen. Für die Regimegrenze gelten diese Gleichungen mit sehr guter Näherung (da die ge-troffenen Annahmen für die Dehnungen an der Regimegrenze zutreffen). Für Bereiche weiter entfernt istdie Näherung immer noch ausreichend.

23

2cot ( ) ( )sx sx x sz sz za f n a f n



BetondruckfestigkeitDie Fliessfigur kann unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Betondruckfestigkeit vom Verzerrungszustand modifiziert werden.

Bereich Regime 1 reduziert (betroffen: Zonen mit sehr flachen / steilen Neigungen)

Berechnung mit gerissenem Scheibenmodell (CMM, mittlere Reihe) ist aufwändig

Näherungslösung (untere Abbildungen):2/3

12

12/3

2 22

2/32 2

3

( )0.4 30

: ( )( )( )25 29: ( ) 2.0

3 ( ) 12

( )25 29: ( ) 2.03 ( ) 12

cc c

xz x sx x z sz z

cxz z sz z

z sz z

cxz x sdx x

x sx x

fk f

Y f ffY ff

fY ff

mit dem Ansatz (1998)

(unverän

:

dert)

22 2/3

425: ( )29xz cY f

x sx x

c

ff

1.5

0z sz z

c

ff

1.50

0.75

xz

cf 0.50

x sx x

c

ff

1.50

cot 2.0z sz z

c

ff

1.5

cot 0.54

2

3

1

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3xz

cf0.85

2 3x sx x

c

ff

2.50

2 3z sz z

c

ff

2.5

szr szf

szr tzf

sxr txfsxr sxf

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3xz

cf0.85

2 3x sx x

c

ff

2.50

z sz z

c

ff

sxr sxf2.5

szr szf43

21


Die auf der vorhergehenden Folie dargestellten Gleichungen gelten für die dort angegebene Beziehung fürdie effektive Betondruckfestigkeit.

Mit der Beziehung für die effektive Betondruckfestigkeit gemäss der Norm SIA 262 resultieren die obenangegebenen Gleichungen. Diese können für eine Bemessung nach Norm auch in den Regimes 2, 3 und4 verwendet werden.

24



BetondruckfestigkeitDie Fliessfigur kann unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Betondruckfestigkeit vom Verzerrungszustand modifiziert werden.

Bereich Regime 1 reduziert (betroffen: Zonen mit sehr flachen / steilen Neigungen)

Berechnung mit gerissenem Scheibenmodell (CMM, mittlere Reihe) ist aufwändig

Näherungslösung (ca. untere Abbildungen)

12

1

2 22

2 23

1.2 55: ( )( )

135 50 73: ( )22 11 ( ) 21

135 50 73: ( )22 11 ( ) 21

(unverändert)

gemäss SIA 262 (2013), :

cc c

xz x sdx x z sdz z

cxz z sdz z

z sdz z

cxz x sdx x

x sdx x

fk f

Y f f

fY ff

fY ff

22

40.6516: 0.327 )

49 2 (d.h. c

xz c xz cfY f f

x sx x

c

ff

1.5

0z sz z

c

ff

1.50

0.75

xz

cf 0.50

x sx x

c

ff

2.50

cot 2.0z sz z

c

ff

1.5

cot 0.54

2

3

1

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3xz

cf0.85

2 3x sx x

c

ff

1.50

2 3z sz z

c

ff

2.5

szr szf

szr tzf

sxr txfsxr sxf

2 3x sx x

c

ff

2.5

02 3

z sz z

c

ff

2.50

1.2

2 3xz

cf0.85

2 3x sx x

c

ff

2.50

z sz z

c

ff

sxr sxf2.5

szr szf43

21


25



Zusammenfassung

«Stahlbeton = Stahl + Beton»

für Bemessung auf Basis von FE-Berechnungen(Grenzwerte) gut geeignet

bei Bemessung Regime 1 anstreben, Kontrolle derVoraussetzungen nötig (kein Betonbruch, Druckfestigkeit siehe Spannungsfelder resp. Last-Verformungsverhalten)

sichere Bemessung mit linearisierten Fliessbedingungen möglich

Regime 2 bei Trägern wichtig, «Stegdruckbruch»

schiefe Bewehrung kann gleich behandelt werden (mathematisch komplizierter)

2 Scheiben und Träger - ETH Zürich - Homepage · 2 WiederholungausStahlbetonI: -...

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