2. Stationäre elektrische Felder in Leitern · 1 2. Stationäre elektrische Felder in Leitern...

1

2. Stationäre elektrische

Felder in Leitern

Theoretische Elektrotechnik TET 1

• Die elektrische Stromdichte

• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes

• Widerstand und Leitwert

• Grenzbedingungen

• Energie und Leistungsumsatz

[Buch Seite 70-87]

-235-

2. Das stationäre elektri-

sche Strömungsfeld

Theoretische Elektrotechnik TET 1

• Die elektrische Stromdichte

• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes

• Widerstand und Leitwert

• Grenzbedingungen

• Energie und Leistungsumsatz

[Buch Seite 70-87]

Üblicherweise wird dieses Kapitel eher wie folgt überschrieben!

-236-

2

Stationäres elektrisches Feld im Leiter

Zur Bedeutung von «stationär»

(1) Metallischer Leiter im elektrischen Feld:

StationäreselektrischesFeld im Leiter?

+

–

u E E

i

i

+

–

+

–

E E feldfrei

Kurzzeitiges Ungleichgewicht (< 10 fs),d.h. Ladunsgträger wandern schnellan die Oberfläche. Im nachfolgendenGleichgewicht ist Inneres feldfrei!

Langandauerndes Ungleichgewicht:Quelle hält Potentialdifferenz aufrecht,Ladungsträger wandern ständig, d.h.stationär; Inneres ist nicht feldfrei.

-237-

u+

+

+

++

+ J E

i

i

vD

Stationäres elektrisches Feld im Leiter

Zur Bedeutung von «stationär»

• Wird die Potentialdifferenz (Spannung u) mit Hilfe einer (starren) Urspannungsquelle aufrecht erhal-

ten, dann herrscht auch im Innern des Metallsein elektrisches Feld vor.

• Ladungen wandern stetig (Geschwindigkeit vD) ent-sprechend der im Innern wirkenden Coulombkraft.

• Es findet ein dauernder, d.h stationärer Ausgleichs-vorgang der Ladungen statt.

• Dieser kann nur aufrecht erhalten werden, wenndie Spannungsquelle Ladungen «nachliefert», wasder Aufrecherhaltung der Spannung entspricht.

• Die Gesamtheit der stetig wandernden Ladungenwird mit dem stationären Strömungsfeld J um-schrieben (wird oft auch mit S oder G bezeichnet).

(2) Das elektrische Strömungsfeld:

«Nachschub»

Erster Hinweis aufdie Elektrodynamik.

-238-

3

u+

+

+

+ J E

i

i

Elektrode (El) A

vDs

D

Elektrische Stromdichte I

Ladungsträgerbewegung

Stationärer Fall:

i =dQ

dtQ = D n dA

dF

=El /

D n dAdF

d e

A

di =d e

dt

d e

dt=d

dtD dF( )

d

dt=

t+ds

dt s=

t+ v

s

d e

dt=

D

tdF + v n

Dn

s

A

AdF

(1) Strom als «Ladungszufuhr» von positiven Ladungsträger:

D =Dn n

di vD

QV == 0

D-Feld ist auchortsabhängig.

Integrationshülle ohne

totales Differenzial : d = t dt + s ds

-239-

di =d e

dt=

D

tdF + vD dF

di = vD dF = J dF

J = vD

di = J n dA = Jn dA dF = n dA

Jn =di

dA

u+

+

+

+ J E

i

i

Elektrode (El) A

vDs

D

Elektrische Stromdichte II


Stromdichte des Strömungsfeldes

(2) Ladungsträgerstrom Vom Typ «Stromdichte» und heisstVerschiebungsstromdichte (später).Im stationären Fall 0.

Stromdichte als Flächendichte deselektrischen Stromes.

Merke: Beim Strömungsfeld der bewegten Ladungsträger handelt es sich um einen soge-nannten Konvektionsstrom. Im Leiter wird der Konvektionsstrom zum Leitungsstrom.

(im stationären Fall)

-240-

4

di = J n dA

i = diA

= J n dAA

i = J n dAdFA

Ji

i

i

A

n

Elektrische Stromdichte III


(3) Stromdichte und elektrische Stromstärke:

Elektrischer Strom:

(4) Bezugspfeil der Stromstärke:

(A) Der Vektor der Stromdichte J wird physikalisch vor-gegeben (durch die Ladungsträgerbewegung).

(B) Der Bezugspeil der Stromstärke i (kein Vektor!) istgleichsinnig zu wählen, wie der willkürlich nach oben/unten orientierte Flächennormalenvektor.

(C) Die Stromstärke ist positiv bei n und J gleichge-richtet und negativ wenn entgegengesetzt gerichtet.

-241-

J = v

> 0

J = v

> 0

J = v

< 0

J = v

< 0

Elektrische Stromdichte IV


(5) Das Gesamtbild:

-242-

5

J = +( ) v +( ) + ( ) v( ) = J +( ) + J( )

mit : +( ) + ( ) = 0 Neutralitätsbedingung( )

J = +( ) v +( ) v( )( )

Elektrische Stromdichte V


• Positive und negative Ladungs-träger: bipolarer Stromtransport.

• Aus historischen Gründe ent-spricht die technische Strom-richtung der «Fliessrichtung»der positiven Ladungsträge.

• Alternative Szenarien desLadungstransportes wie z.B.

(a) die Ladungsbewegung imVakuum (Elektronenstrahl),

(b) die Ladungsbewegung imElektrolyten,

(c) die Ladungsbewegung imHalbleiter,

werden in GET1 diskutiert.

(6) Strömungsfeld aus unterschiedlichen Ladungsträgern:

Zur Orientierung von sieheauch Folie 242.

Zur Neutralitätsbedingung vergleiche auch Folien 11 (abgeschlossene Systeme) 12 (starke Kräfte) und 113 (Realstatus Potential in QED).

J( )

-243-

J

i

dF J

V

Elektrische Stromdichte VI

Ladungserhaltung

• Ladungserhaltung: Bilanz des Ladungstransports durch dieHüllfläche ist ausgeglichen, d.h. Ein- und Ausfuhr von Ladungheben sich auf. Die Zuleitung (cf. Folie 240) ist nun endlichdick und kann in V mitberücksichtigt werden. Es ergibt sichfür die Bilanz der externen Stromstärken des Leiters Null:

i =D

t+ J dF

V

=

=t

D dFV

+ J dFV

=

=t

divD dVV

+ J dFV

:= 0

(1) Bilanz der Stromstärke für eine geschlossene Hüllfläche:

-244-

6

J

i

dF J

V

Elektrische Stromdichte VII

Ladungserhaltung

• Die Rate der Ladungsänderung im Volumen V entsprichtgerade den ein- und austretenden elektrischen Strö-mungsfeldern.

• Wird das Volumen V als Knoten interpretiert, dann gilt:

t

dVV

+ J dFV

= 0

(2) Die Kontinuitätsgleichung:

Ladungs-erhaltung

dQ

dt+ i = 0 stationärer

Falli = 0

KirchhoffscherKnotensatz !

-245-

J

dF

V

Elektrische Stromdichte VIII

Ladungserhaltung

t

dVV

+ J dFV

= 0 stationärer

FallJ dF

V

= 0

(2) Die Kontinuitätsgleichung:

J n dAdFV

= 0Grundgesetz des stationärenStrömungsfeldes. Dies isteine Verallgemeinerung desKnotensatzes.

t+ divJ dV

V

= 0

t+ divJ = 0 stationärer

FalldivJ = 0

Kontinuitätsgleichung Differential-Form

Integral-Form

-246-

7

Elektrische Stromdichte IX

Zur Mikrophysik des Ladungstransportes

(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:

Nur statistisch ungeordneteTemperaturbewegung: Im Zeit-mittel kein Ladungstransport.

q

a)

q

b)

q

E U

x

s result.

Ungeordnete Temperaturbewegung wird durcheine feldinduzierte Driftbewegung überlagert:Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.

(Quellen -spannung)

• zylindrischer Leiter

• Es sei: T > 0 q > 0

-247-

Elektrische Stromdichte X


• Resultierende mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit):

v =sresult

iStösse i

= b E = :vD

(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:

q

q

E

x

s result.

1

234

v thermisch

sresult E

(detailiertere Herlei-tungen finden sich in GET1 ab Folie 124).

b: Beweglichkeit derLadungsträger qim gegebenen Leitermaterial.

i : mittlere Laufzeit.

• Kopplung der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte (Folie 240):

J = vD = b E = E J = E

[ ] = Sm 1

: elektrischeLeitfähigkeit.

Im stationären Fall ist die Stromdich-te J proportional zum E-Feld, mit derelektrischen Leitfähigkeit als Pro-portionalität (weiteres Grundgesetz).

-248-

8

Elektrische Stromdichte XI


• Als Ursache elektrischer Strömungsfelder und Stromstärkenmüssen elektrische Felder vorhanden sein.

• Dies ist eine allgemeine Darstellung des Ohmschen Gesetzes.

• Die Beweglichkeit b ist für negative Ladungsträger auchnegativ. Somit ist die Leitfähigkeit stets eine positive Grösse.

• Die Leitfähigkeit widerspiegelt die «Reibung» der Ladungs-träger am Ionengitter des Leitermaterials.

• Das Ohmsche Gesetz gilt nicht immer: Es gibt auch kompli-ziertere Zusammenhänge zwischen J und E (z.B. wenn dasMagnetfeld die Leitfähigkeit beeinflusst).

• Selbst bei kleinen Strömen bewegen sich bereits erheblicheLadungsmengen durch das Ionengitter, fast unbemerkt von

aussen: (a) Der Leiter ist neutral, (b) Trägerstrom und festeIonenbilden temporäre Di- bzw. Multi-Pole mit entsprechendlokal abklingenden Feldern (siehe Folie 63).

(2) Fazit:

J = E

[Sm/mm2]

Ag 62.5

Cu 58.8

Au 43.5

Al 35.7

Querschnitt: mm2

Länge: m

oder:

Ag = 62.5·106 S/m

-249-

I( )t+ divJ = 0

t+div E( ) =

t+div

D=

t+

Elektrische Stromdichte XII

Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»

• Das Innere des Leiters ist feldfrei,

d.h. es ist auchladungsfrei, bzw.

neutral.

(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:

t+ = 0

Beschreibt dasZeitverhalten imInnern des Leiters.

II( ) J = E

III( ) divD =

-250-

9

Elektrische Stromdichte XIII


(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:

t+ = 0 Ansatz : r ,t( ) := 0 r( ) T t( )

T

t+ T = 0 T t( ) = C e

t= C e

t

R

r ,t( ) = 0 r( ) C et

R = 0 r( ) et

RR =

(2) Mit Zahlen für Silber:

= 0 = 8.854 1012 F

m

= 62.5 106 Sm

R = 1.42 1019s Relaxationszeitkonstante

-251-

Elektrische Stromdichte XIV


(2) Relaxation der Raumladungsdichte

im metallischen Leiter:

Fragen: Driftet die Ladung wegen

R = 1.42·10–19 s mit Überlicht-geschwindigkeit auseinander?

Gilt das Driftmodel der Ladungsträgerbewegung noch?

-252-

10

Der elektrische Stromkreis I

Beschreibung der Spannungsquelle

• Elektromotorische Kraft: In der Spannungsquelle gibtes eine nichtelektrische, antreibende Kraft (z.B.chemisch), welche die Ladungstrennung vornimmt.

• Dieser Kraftwirkung kann in der Quelle ein «fiktives»elektrisches Feld Eemk zwischen b-a zugrunde gelegtwerden. Eine solche «elektrostatische Repräsenta-tion» der elektromotorischen Kraft heisst auch eingeprägte Feldstärke Eemk.

• Durch die Ladungstrennung entsteht ein QuellenfeldEQ, welches in der Quelle, d.h. zwischen b-a das «antreibende» Feld Eemk kompensiert:

• Konsequenz: Mit elektrostatischen Feldern können keine Ladungen getrennt werden, was wiederum auf

die «nichtelektrische Natur» von (statischen) elektri-schen Quellen hinweist.

(1) Elektromotorische Kraft und Ladungstrennung:

EQ +Eemk = 0

-253-

Der elektrische Stromkreis II


(2) Zwei Zugänge zur

Urspannung:

E dl = EQ dl/ b a{ }

= EQ dl = uQ

EQ dl = 0

(a) Urspannung über das externe Feld EQ (Quellenfeld), mit E = 0 entlang von b-a:

(b) Eingepägte Spannung über das interne Feld Eemk

(«Stromantrieb») mit Eemk = 0 ausserhalb von b-a:

E dl = Eemk +EQ( ) dl = Eemk dlb( )

a( )

= uemk

Das externe Feld EQ hatLadungen als Ursache:

-254-

11

Der elektrische Stromkreis III


(2) Zwei Zugänge zur Urspannung:

QuelleninterneDeutung derUrspannung:Antrieb inner-halb der Quelle

uemk = uba

uemk = Eemk dlb( )

a( )

= Eemk dl =

= Eemk( ) dl =

= EQ dl = uQ

QuellenexterneDeutung derUrspannung:Antrieb überdie Klemmen

uQ = u12

Mit Klemmen - alsBezugspfeilrichtung:

uQ = uemk

-255-

Der elektrische Stromkreis IV

Quelle und Strömungsfeld

(A)

E dl = Eemk dlb( )

a( )

+Jdl =

= uemk +Jdl =

= uQ +Jdl = 0

(1) Der Stromkreis:

(B)

Mit:

(A): Umlaufintegral (physikalisch motiviert)

(B): Maschensatz (netzwerktheoretisch)

Umlaufintegral bezüglich EQ ist Null. Äquipotentiale,Äquipotential-Flächen.

-256-

12

Der elektrische Stromkreis V


u12 = 0 N = E dl =Jdl

0

i = J n dAdFA

= J dFA

R12 =u12i

=

Jdl

0

J dFA

(2) Der elektrische Widerstand:

allgemein

-257-

Der elektrische Stromkreis VI


(A) Konstante Stromdichte (d.h. konstanter Querschnitt) und konstante Leitfähigkeit:

R12 =u12i

=

Jn dxdl

0

J n dAdFA

=

Jn dx0

Jn dAA

R12 =

dx0

dAA

=A


-258-

13

Der elektrische Stromkreis VII


(B) Zylindrische Anordnung mit variablemQuerschnitt und variabler Leitfähigkeit(Variationen nur in x-Richtung):

R12 =u12i

=

Jn dx0

Jn dAA

=

i

Adx

0

i

AdA

A

R12 =

i

Adx

0

i=

dx

x( ) A x( )0


-259-

J1

uQ

i

i

A1

J2

A2

0

1

2 1 + 2

0

x

1

uQ

x

Ex

Ex1

Ex2

u1

u2

u1u2

u1

u2

Der elektrische Stromkreis VIII


(3) Spannungs- und Stromverhältnisse:

J1 A11

J2 A21

E-Feld (Spannung) ist Ursache(links) und Wirkung (rechts) desStrömungsfeldes J (Strom) !

-260-

14

Der elektrische Stromkreis IX

Zusammenhang zwischen Widerstand und Kapazität

Ohne «Strom-durchführung»

u = E dl i = J dFV

Q = D dFV

(1) Widerstandsbehafteter Kondensator:

R =u

i=

E dl

J dFV

=

E dl

E dFV

C =Q

u=

D dFV

E dl=

E dFV

E dlR C = = R

Merke:Widerstandund Kapazi-tät hängennur von derGeometrieund demMaterial ab!Gibt es eineVerwandt-schaft?

Mit «Strom-durchführung»

-261-

EingeschlosseneLadung A

21

J

1

J

2

Die Grenzbedingungen I

Grenzbedingung der elektrischen Stromdichte

(1) Grundgesetz des elektrischen Strömungs- feldes (Folie 246):

t

dVV

+ J dFV

= 0

t+ divJ = 0

Integral-Form mit«Integrationsbox» V

Differential-Form

(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den Operator «div» die Flächendivergenz (Folie

96 ff.) und an Stelle von die Dichte .

n12 J2 J1( ) = 0t+ n12 J2 J1( ) = 0

t+DivJ = 0

Stationärer Fall

-262-

15

Die Grenzbedingungen II

Grenzbedingung des elektrischen Potentials

Grenzbedingungen bezüglich der Ableitung

des Potentials:

DivJ = n12 J2 J1( ) =t

(Folie 262)

J = E E = grad

DivJ = n12 2 grad 2 1grad 1( )=t

(Folie 41)

grad n =n

n = n12

DivJ = 22

n+ 1

1

n=

t2

2

n 11

n t= 0

P0

P

1 2

12

n12

Flächen-ladungsdichte

-263-

1

1 2

2

J1

J2

n12

t

Die Grenzbedingungen III

Brechungsgesetz der elektrischen Stromdichte

(1) Kombination der Grenzbedingungen:

(2) Fallunterscheidungen:

I( ) 2 : 1 = 0

II( ) 2 0 : 1 = 2

1 endlich

(1)

(2)

J1 n12 = J2 n12 1 E1 n12 = 2 E2 n12

E1 t = E2 t

1 E1 cos 1( )= 2 E2 cos 2( )

E1 sin 1( )= E2 sin 2( )

untere Gleichung 2( )obere Gleichung 1( )

tan 1( )tan 2( )

= 1

2

Dieses Brechungsgesetz gilt für den stationären Fall.

-264-

16

Die Grenzbedingungen IV

Beispiel: «Stromlinien»

Jn1 = J1 n12 = 11

n

1

n=

Jn1

1

2 = 0

J1

1

n12

J1

1 2

.

n12

Jn1 = J1 n12 = 0

1

n= 0

-265-

1

1, 1 2 , 2

2

J1

J2

n12

t

Die Grenzbedingungen V

Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»

(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:

t+ n12 J2 J1( ) =

t+ J2n J1n = 0

t+ 2E2n 1E1n = 0

E2n =1

2

E1n1

2 t

E1 t = E2 t

E2t = E1t

(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:

tan 1( )tan 2( )

=E1t E1nE2t E2n

=E2nE1n

Normalkom-ponenten.

Tangential-komponenten.

-266-

17

1

1 2

2

D1

D2

n12

t

Die Grenzbedingungen VI


(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:


tan 1( )tan 2( )

=E2nE1n

= 1

2

1

2E1n t

(B) Elektrische Flussdichte:

n12 D2 D1( ) = Dn2 Dn1 =

2 E2n 1 E1n =

E2n =1

2

E1n + E2t = E1t

tan 1( )tan 2( )

=E2nE1n

= 1

2

+2E1n

Gibt es zwei verschiedene Brechungs-gesetze? Siehe Normalkomponenten!

-267-

Die Grenzbedingungen VII



tan 1( )tan 2( )

= 1

2

+2E1n

=!

1

2

1

2E1n t

• Da beide Brechungsgesetze auf dem Verhältnis der gleichen elektrischen Feldkomponenten beruhen, müssen beide Brechungsgesetze gelten, bzw. die obenstehende Gleichung muss zwingend erfüllt sein.

• Die Flächenladungsdichte hat hier die Funktion, das Brechungsgesetz der elektrischen Flüsse mit dem-

jenigen der elektrischen Stromdichten zu verbinden.

• Welche Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte(t) ist zwingend notwendig, damit das (nichtstatio-

näre) Brechungsgesetz gilt?

-268-

18

Die Grenzbedingungen VIII


(2) Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte:

1

2

+2E1n

=!

1

2

1

2E1n t2

2 t+ = 2E1n

1

2

1

2

2

2 t+ = 2

1

J1n1

2

1

2

R2 t+ = J1n R2 R1( )

t+

R2

= J1n 1 R1

R2

Mit den Relaxationszeitkonstanten:

R1 =1

1R2 =

2

2

-269-

Die Grenzbedingungen IX


(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:

Homogene Lösung:

RB( ) 0( ) := 0

t+

R2

= J1n 1 R1

R2 t+

R2

= 0 H = 0 et

R2

t+

R2

= J1n 1 R1

R2

= const.

P

R2

= J1n 1 R1

R2

P = J1n R2 R1( )

Partikuläre Lösung:

= H + P RB( )

t( ) = J1n R2 R1( ) 1 et

R2

+ Inhomogene Lösung:

-270-

19

J1n R2 R1( )

R2 t

Die Grenzbedingungen X


(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:

t( ) = J1n R2 R1( ) 1 et

R2

• Für R1 = R2 bildet sich keine Flächenladungauf der Grenzschicht.

• Diese Zeitentwicklung gilt für die vorgege-bene Stromdichte J1n und nur bezüglichdes Brechnungsgesetzes aus Folie 268.

-271-

Dielektrische Absorption I

Strömungsfeld in nichthomogenen Medien

t+ divJ = 0

J = E

D = EJ = D

divJ = div D = divD+D grad

t+ + J grad = 0

(1) Die Kontinuitätsgleichung «revisited»:

t+ J grad = 0 grad =

2

grad

t+

R

=J

R

grad R( ) R =

-272-

20

Dielektrische Absorption II

Strömungsfeld in nichthomogenen Medien

(2) Diskussion:

t+

R

=J

R

grad R( )

R r( ) =r( )r( )

= J grad R( )

• Fliesst ein stationäres Strömungsfeld durch ein inhomogenes Medium, d.h. inhomogen in und , so bildet sich eine feste Raumladung

an dieser Stelle: dielektrische Absorption.

• Die Kontaktklemmen des Stromkreises sind z.B. solche Inhomogenitäten.

• Das zum stationären Strömungsfeld assozi-ierte, stationäre elektrische Feld kann auch aus diesen festen Raumladungen alleine be-stimmt werden, unter vollständiger Vernach-lässigung des Strömungsfeldes.

• Ladungen sind Ursache von E- und J-Feld.

• Die obige Gleichung korrespondiert einerseitsmit Folie 251 und andererseits mit Folie 269.

• Entladene Kondensatoren haben Restladung!

Stationärer Fall:

-273-

Dielektrische Absorption III

Beispiel: «Grenzfläche»

= Jn2

2

1

1

2

= Jn1

1

• Brechungsgesetz aus Folie 264 gilt.

• Es tritt eine inhomogene, gemässJn verteilte Flächenadung auf.

• Ist im Fall 2 die Grenzschichtkeine Äquipotentialfläche mehr?

1

1

2

2

.

J2n

J1n

J2

J1

n n = J nJn

grad R( ) nR

n

= JnR

nJn

R2 R1

n

n Jn R2 R1( )

= J grad R( )

J1n = J2n = Jn

identisch mitFolie 270 !

-274-

21

J

Zu den Grundgleichungen I

Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld

• Es ist nur die triviale Lösung ist möglich.

• Stromkreis braucht eine Quelle, d.h.eine eingeprägte Feldstärke. Dann gilt (Folie 254):

rotE = 0 E dl = 0

J dl = 0Jdl = 0

(1) Zur Wirbelfreiheit im stationären Fall:

J 0

Konstante Leitfähigkeitentlang des Stromkreises.

E dl = Eemk dl 0

-275-

J2

dF J1

V

b( )

R1

R2 J

dF

V

a( )

R

Zu den Grundgleichungen II

Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld

Merke: Der Integrand unter-scheidet sich lediglichin der Konstante !

(1) Zur Divergenzfreiheit im stationären Fall:

divJ = 0 J dFV

= 0

E dFV

= 0

Widerspruch ?

E dFV

= dVV

(a) Homogen: Bei homogenem R = / impliziertdie Gegenüberstellung in Ladungsfreiheit.

(b) Inhomogen: Bei inhomogenem / muss noch gelten; es gibt Ladungen in (Folie 273).

Giltimmer !

-276-

22

Eine formale Analogie IDualität zwischen Stromdichte und Flussdichte

ladungsfrei

D = E = grad

J = E = grad

divD = 0

divJ = 0

stationär

n12 J2 J1( ) = 0

n12 D2 D1( ) = 0

Ei =Dii

Ei =Jii

tan 1( )tan 2( )

= 1

2

tan 1( )tan 2( )

= 1

2

E = grad

= 0

D J

n12 E2 E1( ) = 0

-277-

Eine formale Analogie II

Dualität zwischen Stromdichte und Flussdichte

(1) Feldbilder der Punktladung bzw. des «Punktstromes»:

Q = D dFA

(2) Satz von Gauss in der Elektrostatik

bzw. «Satz von Gauss» beim

stationären Strömungsfeld:

Elektrostatik StationäresStrömungsfeld

Siehe Folien 239,244 und 261

J dFA

= J dFA1

+ J dFA2

I

= 0

J dFA1

= I J dFA A1

= I

-278-

23

Die Spiegelungsmethode I

Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld

StationäresStrömungsfeld:

Ströme überunendlich gutleitendenGrenzflächen

Überlegung:

Ladungsbe-wegung derSpiegelladun-gen ergibt dasgespiegelteStrömungsfeld.

Elektrostatik:

Ladungenüber unend-lich gutleitendenGrenzflächen

Ansätze:

Mehr hierzuwird in denFolien 210bis 216dargelegt.

0

-279-

Die Spiegelungsmethode II

Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld

StationäresStrömungsfeld:

Ströme in endlich gutleitenden Materialienmit einer Grenzschichtzum nichtleitendenMaterial.

Anwendung:

Tiefenerder

Überlegung:

Superpositionsprinzip

-280-

24

W12 = F dl1( )

2( )

=Q E dl1( )

2( )

=Q u12

P12 =dW12

dt= u12

dQ

dt= u12 i

du= 1 2 = +d =E dl =E n dl

di = J n dA

dP=du di=E n dl J n dA=

= E J dl dA = E J dV

du+

+

+

+ J E

di

di

dA

l n

dl

1 = +d

2 =

Leistungsdichte im Strömungsfeld I

Ladungstransport im Leiter

Feld leistet Arbeit, d.h.positive Ladungsträgerwerden angetrieben.

(1) Vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit:

p =dP

dV= E J

Vom E-FeldabgegebeneLeistungsdichte

-281-

u J E

i

i

Leistungsdichte im Strömungsfeld II


(2) Verlustleistung:

p =dP

dV= E J P = E J dV

V

Das vom E-Feld für den Ladungstransport geleistete Arbeit wirdans Leitersystem abgegeben, d.h. zur Überwindung der «Rei-bungsverluste» der Ladungsträger am Metallgitter aufgewendet.Das Metallgitter gerät dadurch in Schwingung, bzw. erwärmt sich.Die vom Feld geleistete Arbeit wird demnach in Wärme umge-wandelt und somit dem elektrischen System entzogen. Mannennt die beim Transport umgesetzte Arbeit Verlustleistung.

p = E J =1

J2= E

2Der «Reibungswider-stand» wird anhandvon charakterisiert.

(3) Das Joulesche

Gesetz:

-282-

25

Leistungsdichte im Strömungsfeld III


(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:

P= J E dVV

= J grad dVV

div s v( ) = s divv + v grad s

P= J grad dVV

=

= div J( ) dVV

+ divJ=0

dVV

= J dFV

Vektor-Identitätu

J E

i

i

dF

V

1 > 2

2

P= J dFV

-283-

P= J dFV

=

= 1 J dFA1

2 J dFA2

=

= 1 J dFA1

2 J dFA2

=

= 1 i( ) 2 i = 1 2( )>0

i =

= u i > 0

u J E

i

i

dF

V

1 > 2

2

A1

A2

Leistungsdichte im Strömungsfeld IV


(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:

Im gewählten Bezugspfeilsystem ist dieVerlustleistung eine positive Grösse.

-284-

26

P= E J dVV

= J dFV

P = u i = i2 R

R =P

i2=1

i2E J dV

V

=1

i2J dF

V

Leistungsdichte im Strömungsfeld V

Allgemeinere Definition des elektrischen Widerstands

Ströme sind besser zu bestimmen als Spannungen:

Bei der Definition der Leistung P = u·i ist die Spannungu in realen Systemen oft schwierig zu bestimmen, also:

J E

i

i

dF

V

1 > 2

2 R V

R V

Zur Äquipo-tentialliniesiehe Folie274 und 305.

-285-

+grad

grad = 0 =const.= 0

Das Randwertproblem I

Feldgleichungen des stationären Strömungsfeldes

(1) Potentialfeld und Strömungsfeld:

Ziel: Es ist eine partielle Differentialgleichung zu finden, welchealle Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes erfüllt.

divJ = div E( ) = div grad[ ]( )= grad grad div grad( )

= grad grad = 0

Es gibt hiernur eineLaplace-Gleichung.

Analogie: Ver-gleiche auchFolie 277 undFolie 178.

Vektoranalysis:VergleicheFolie 283.

• Kontinuitätsgl.• Gesetz von Ohm• stationär/statisch

-286-

27

Das Randwertproblem II

Formulierung für das Strömungsfeld

Merke: Das negative Vorzeichen der Stromdichten an beiden Stromtoren wird durch die Be-zugsrichtung des Stromes und den Gradient des zugehörigen Potentials «geregelt».

= 0

n= 0

n=

Jn2=

i

A2

n=

Jn3= +

i

A3

(2) Die «Stromformulierung» des Problems (rein Neumannsches RW-Problem):

r G

r G1

r G2

r G3

-287-

Das Randwertproblem III

Formulierung für das Strömungsfeld

= 0

n= 0

= 2

= 3

u = 1 2

(3) Die «Spannungsformulierung» des Problems (gemischtes RW-Problem):( )

r G

r G1

r G2

r G3

(4) Lösungsansätze:

Das stationäre Problem desStrömungsfeldes J löst man über das statische Potentialfeld( )

J = gradE = grad

J = E

( ) Merke:

Gemischte Rand-wertproblemesind oft nur miterheblichem Auf-wand und selten eindeutig zu lösen !

-288-

28

Das Randwertproblem IV

Beispiel: «Kontaktschiene»

• Relativ ausführliches Anschauungs-beispiel.

• Zweidimesnionale (2D) Rechnung,d.h. die Struktur ist in z-Richtung

unendlich ausgedehnt.

• Daher: Strombelag i / an Stelle derStromstärke.

• Die Zuleitungen seien unendlich leit-fähig: Grenzfläche wird somit zur Äquipotentialfläche, was das Problemsehr vereinfacht.

• Gesucht: Das Strömungsfeld im end-lich leitfähigen Material.

• Wird über das Potentialfeld gelöst.

(1) Die Problemstellung:

2s

2s

a

b

c

d

x

y i

i

-289-

Das Randwertproblem V


(1) Die Problemstellung:

2s

2s

a

b

c

d

x

y i

i

= 0 r 0,a] [ 0,b] [

x x=0y 0, b[ ]

= 0

x x=ay 0, b[ ]

= 0

y y=0x 0, a[ ]

=

i2 s x d < s

0 sonst

y y=bx 0, a[ ]

=

i2 s x c < s

0 sonst

ey = n

y = n

-290-

29

Das Randwertproblem VI


Siehe Folien181 und 183(H-1)+(H-2).

= p0 + p1y+ a1 cos kx( )+b1 sin kx( ) c1ek y+d1e

k y( )

(2) Ansetzen der Potentialfunktion:

x x=0y 0, b[ ]

= a1k sin k 0( )+b1k cos k 0( ) c1ek y+d1e

k y( ) = 0

b1 = 0

x x=ay 0, b[ ]

= a1k sin k a( ) c1ek y+d1e

k y( ) = 0

k = kn =na

-291-

Das Randwertproblem VII


Die Randbedingungen können nur mit Hilfe aller Eigenwerte/Eigenlösungenerfüllt werden: es muss eine Reihenentwicklung angesetzt werden.

(2) Ansetzen der Potentialfunktion:

y y=0x 0, a[ ]

= p1 +a1 cos knx( ) kn c1ekn 0 d1e

kn 0( )=i

2 s x d < s

0 sonst

y y=bx 0, a[ ]

= p1 +a1 cos knx( ) kn c1ekn b d1e

kn b( )=i

2 s x c < s

0 sonst

= p0 + p1y + cos knx( ) Cnekn y +Dne

kn y( )n=1

Cn := an cnDn := andn

-292-

30

Das Randwertproblem VIII


(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:

n G= n fn x( )

n=1

=!

RB( )x a,b[ ]Erzwingen der (Neumannschen)Randbedingung.

Frage: Wie testet man die «Gleichheit» von Funktionen?

x( )n ,tm x( ) = g x( ),tm x( )

:= dxG

tn ,tm = c nm =c n =m

0 n m

x( )n = g x( )

(A) Direkter Vergleich: (B) Projektionsmethode:

Aufwendig, da eigentlichfür jedes x auf Gleichheitgetestet werden muss, was«sehr viele» Bestimmungs-gleichungen für ergibt.

Die Projektion auf eine Testfunktion tm ermöglicht denVergleich zwischen wenigen Integralen (sprich: Zahlen).

-293-

Das Randwertproblem IX


Bekannte (stückweise) Approximation


RB( )x a,b[ ] m tm x( )m=0

n G= n fn x( )

n=1

=!

RB( )x a,b[ ]

t := f

Erzwingen der Randbedingung (RB)

n fn x( )n=1

tm x( ) dxa

b

= RB( )x a,b[ ]tm x( ) dx

a

b

nn=1

fn x( ) tm x( ) dxa

b

= RB( )x a,b[ ]tm x( ) dx

a

b

m

nn=1

Mnm = m n

• tm heisst Basisfunk- tion oder oft auch

Testfunktion.

• tm sollte «problem-spezifisch» gewähltwerden (z.B. oben).

• Naheliegend wäre:

(Galerkin-Methode)

Gleichungssystem

-294-

31

Das Randwertproblem X


• Fazit: Die Entwicklungskoeffizienten n der Feldentwicklung werden mit Hilfe einer Testfunktion tm (geeignete Basis ) bestimmt. Die Matrixelemente Mnm des hierfür

«konstruierten» Gleichungssystems sind die Momente fn I tm .

• Galerkin-Methode: Werden die Testfunktionen gleich den Entwicklungsfunktionen an-gesetzt, dann ergibt sich wegen der Orthogonalität der Basen für die Matrix aus Mnm eineDiagonal- oder gar Einheitsmatrix und das Gleichungssystem gerät zum reinen Koeffizien-tenvergleich (siehe Folien 191 und 192; und sind beides Fourier-Reihen).


m y( ) cos kmx( )tm x( )

m=0

=

i2 s x d < s; y = 0

0 sonst

i2 s x c < s; y = b

0 sonst

Galerkin-Methode: tm(.) = cos(.)anwenden zurErzwingung derRandbedingungen

und ausFolie 292.

-295-

y y=0x 0, a[ ]

= p1 + cos knx( ) kn Cnekn 0 Dne

kn 0( )n=1

=G x d < s

0 sonst

G = i2 s

m = 0 :

cos kmx( ) = cos ma x( ) = 1

p1 dx =0

a

G( )d s

d+s

dx p1 a = 2s G

p1 = G 2sa = i

a

Das Randwertproblem XI


Testfunktion für m = 0

(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :

Merke: Der Summentermwird wegen n = 1 bei m = 0durch die Orhogonalitäts-relation (cf. Folie 297) ausgeblendet!

-296-

32

m 0 :

cos knx( ) kn Cn Dn( ) cos kmx( ) dxn=10

a

A( )

= G( ) cos kmx( ) dxd s

d+s

B( )

A( ) : cos knx( ) kn Cn Dn( ) cos kmx( ) dxn=10

a

= km Cm Dm( )a

2

cos na x( ) cos m

a x( ) dx0

a

=

a2 n = m

0 n m

Das Randwertproblem XII


Orthogonalitätsrelationder Kosinusfunkttion.


-297-

m 0 :

B( ) : G( ) cos kmx( ) dxd s

d+s

=G

kmsin kmx( )

d s

d+s

=G

kmsin km d + s[ ]( ) sin km d s[ ]( )

=G

km2 cos kmd( ) sin kms( )

A( ) + B( ) : Cm Dm =4G

a km2 cos kmd( ) sin kms( )

Das Randwertproblem XIII



-298-

33

m 0 :

cos knx( )kn Cneknb Dne

knb( )cos kmx( ) dxn=10

a

A( )

= G cos kmx( ) dxc s

c+s

B( )

A( ) + B( ) : Cm ekm b Dm e km b=

4G

a km2 cos kmc( ) sin kms( )

Cm Dm =4G

a km2 cos kmd( ) sin kms( )

Cm ekm b Dm e km b=

4G

a km2 cos kmc( ) sin kms( )

Das Randwertproblem XIV


Gleichungs-system für dieunbekanntenEntwicklungs-koeffizientenCm und Dm.


-299-

Qm =4G

a km2 sin kms( ) = 2 i

a1km

sin kms( )kms( )

Das Randwertproblem XV


• geeigneteSubstitution

(5) Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten:

Dm=Qm

cos kmc( ) cos kmd( ) ekmb

2 sinh kmb( )

Cm=Qm

cos kmc( ) cos kmd( ) e kmb

2 sinh kmb( )

Cm Dm =Qm cos kmd( )

Cm ekm b Dm e km b=Qm cos kmc( )

sinh kmb( ) =

= 12 ekmb e kmb( )

• Zudem gilt für denSinus Hyperbolicus:

·e –km·b –

+

lösen

-300-

34

Das Randwertproblem XVI


(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):

x, y( ) = p0 + p1y + cos knx( ) Cnekn y +Dne

kn y( )n=1

m n

Cnekn y +Dne

kn y =Qn

2 sinh knb( )

cos knc( ) 2 cosh kny( )

cos knd( ) 2 cosh kn y b[ ]( )

Cn ekn y =

Qn

2 sinh knb( )cos knc( ) ekn y cos knd( ) ekn y b[ ]{ }

Dn ekn y =

Qn

2 sinh knb( )cos knc( ) e kn y cos knd( ) e kn y b[ ]{ }

(Folie 294)

-301-

Das Randwertproblem XVII


Mit den Substitutionen:

(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):

x, y( ) = p0i

ay

2 i

a

1

kns

sin kns( )kns

cos knx( )sinh knb( )n=1

cos knc( ) cosh kny( ) cos knd( ) cosh kn y b[ ]( ){ }

p1 =i

aQn =

2 i

a

1

kn

sin kns( )kns

kn =n

a

Potentialfunktion (Lösung):

Merke: Die Grösse p0 bleibt unbestimmt, d.h. das Potential kann lediglich bis auf eineKonstante bestimmt werden.

-302-

35

Das Randwertproblem XVIII


(7) Kompaktere Darstellung der Potentialfunktion:

x, y( ) = p0i

ay +

cos na x( )

sinh na b( )n=1

An coshna y( ) +

+Bn coshna y b[ ]( )

Merke: Die Grösse p0 bleibt unbestimmt.

An =2 i

ncos n

a c( )sin n

a s( )na s

Bn = +2 i

ncos n

a d( )sin n

a s( )na s

-303-

Das Randwertproblem XIX


(8) Die elektrische Feldstärke:

Ex = x=

n

a

sin na x( )

sinh na b( )n=1

An coshna y( ) +

+Bn coshna y b[ ]( )

Ey = y=

i

a

n

a

sin na x( )

sinh na b( )n=1

An sinhna y( ) +

+Bn sinhna y b[ ]( )

Die Berechnung erfolgt gleichwie beim Potential (Folie 303).

An ,Bn( ) :

E = grad E =Ex

Ey

=x

y

-304-

36

x, y( )

J x, y( )

Das Randwertproblem XX


• Die Feldlinien des Strömungs-feldes sind dieOrthogonal-trajektorien derÄquipotential-linien.

• Klar: Feldlinien des Strömungs-

feldes sind ja auch die Feld-

linien des elek-trischen Feldes.

(9) Darstellung des Potential- und des Strömungsfeldes:

-305-

n= const.

Das Randwertproblem XXI


• Die Neumannsche Rand- bedingung ist bei den un-

endlich gut leitenden Zu-leitungen erfüllt.

• Beim NeumannschenRandwertproblem scheintder Rand keine Äquipo-tentiallinie mehr zu sein (siehe hierzu auch die Folie 274).

• Die Bestimmung der Spannung wird daherproblematisch und damitauch die Berechnung deselektrischen Widerstands.

(10) Diskussion zum Potential:

-306-

37

Das Randwertproblem XXII


(A) Verlustleistung gemäss Folien 282, 283:

(11) Berechnung der elektrischen Leistung:

P= E J dVV

= J dFV

=

= J n dl;V

J n=n V

P=

ndl

V

n V= const.

P=

ndl

d s

d+s

+n

dlc+s

c s

-307-

Das Randwertproblem XXIII


(B) Approximative Annahme eines konstanten Potentials:


P=

nx,0( ) dx

d s

d+s

+n

x,b( ) dx( )c+s

c s

=y

y=0

x,0( ) dxd s

d+s

+y

y=b

x,b( ) dxc s

c+s

=i

2 sx,0( ) dx

d s

d+s

+i

2 sx,b( ) dx

c s

c+s

i

2 sd,0( ) 2s +

i

2 sc,b( ) 2s

-308-

38

Das Randwertproblem XXIV


(C) Resultat und Diskussion:


P i

2 sd,0( ) 2s +

i

2 sc,b( ) 2s =

id,0( )

ic,b( ) =

id,0( ) c,b( )

Es wurde hier die realistische Annahme eines über die Zuleitungen nur schwach variierendenPotentials gemacht, wodurch die Integration über sehr einfach ausfällt (siehe unten). Beieiner exakten Berechnung der Leistung müsste die Integration ausgeführt werden. Als Alter-

native gibt es zudem noch die erheblichschwierigere Volumenintegration der Leistungsdichte z.B. gemäss den Folien 282bzw. 307.

x,b( ) dxc s

c+s

c,b( ) 2s

-309-

R =1

i( )2

P=

2

i2i

d,0( ) c,b( ) =u

i

R =b

a+

cos na d( )

sinh na b( )

An + Bn coshna b( )

cos na c( )

sinh na b( )

An coshna b( )+ Bn

n=1

An =Ani( )

Bn =Bni( )

Das Randwertproblem XXV


Für die Potentialfunktion undderen EntwicklungskoeffizientenAn und Bn siehe Folie 303.

(12) Berechnung des elektrischen Widerstandsbelags bezüglich der Dicke :

Merke: Der Widerstandsbelag R' ist hier als Widerstand bezüglich derQuerschnittsabmessung in z-Richtung definiert (nicht pro Länge) !

-310-

39

Das Randwertproblem XXVI


Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)

(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :

R =b

a+

cos n2( )

sinh na b( )

An + Bn coshna b( )

cos n2( )

sinh na b( )

An coshna b( )+ Bn

n=1

An =Ani( )

=2

ncos n

2( )sin n

2( )n2

= 0 n

Bn =Bni( )

= +2

ncos n

2( )sin n

2( )n2

= 0 n

R

-311-

Das Randwertproblem XXVII


Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)

(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :

R =b

a+ 0{ }

n=1

=b

a

R =R

=b

a

2s

2s

a

b

c =d x

y i

i

Merke: Der Widerstandsbelag R' isthier als Widerstand bezüglich derQuerschnittsabmessung in z-Richtung definiert (nicht pro Länge) !

-312-

40

Das Randwertproblem XXVIII


(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :

R0 =b

aR

R0

d

a = 4

b = 2

2s = 0.4

-313-

Das Randwertproblem XXIX



R

R0 2s

a

a = 4

b = 2

2s = 0.4

b

2s

-314-

41

Das Randwertproblem XXX



R

R0c,d

a = 4

b = 2

2s = 0.4

-316-

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