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2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen VWL I/WS 2007/08 84 2. Theorie des Haushalts Theorie des Verbraucherverhaltens Theorie des Faktorangebots Vorgehensweise in drei Schritten: 1) Konsumentenpräferenzen 2) Budgetrestriktion 3) Haushaltsoptimum Annahme des Homo oeconomicus

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2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 84

2. Theorie des Haushalts � Theorie des Verbraucherverhaltens � Theorie des Faktorangebots Vorgehensweise in drei Schritten:

1) Konsumentenpräferenzen

2) Budgetrestriktion

3) Haushaltsoptimum Annahme des Homo oeconomicus

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 85

2.1 Konsumentenpräferenzen Präferenzen beschreiben, wie ein Haushalt verschiedene Güterbündel für sich in eine Rangfolge bringt. Präferenzrelationen:

schwache Präferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel A )x,x(A2

A1

mindestens so hoch wie das Güterbündel B )x,x(B2

B1 : BAf

Indifferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel A )x,x(A2

A1 gleich hoch wie

das Güterbündel B )x,x(B2

B1 : A ∼ B

strikte Präferenz: Gilt BAf aber nicht ABf , so bewertet der Haushalt das

Güterbündel A )x,x(A2

A1 höher als das Güterbündel B )x,x(

B2

B1 : BA f

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 86

Annahmen über Präferenzen:

Vollständigkeit: Für jedes Paar denkbarer Güterbündel A )x,x(A2

A1 und B )x,x(

B2

B1

gilt BAf oder ABf oder beides.

Reflexivität: Jedes Güterbündel )x,x( 21 ist mindestens so gut, wie es selbst,

d.h. )x,x()x,x( 2121 f .

Transitivität: Wenn für drei beliebige Güterbündel A )x,x(A2

A1 , B )x,x(

B2

B1 und

C )x,x(C2

C1 gilt, BAf und CBf , dann gilt auch CAf .

Nichtsättigung: Gilt für zwei Güterbündel A )x,x(A2

A1 und B )x,x(

B2

B1 (mit A≠B),

daß A von jedem Gut mindestens genau so viel enthält wie B, dann gilt BAf . Stabilität der Präferenzen: Im betrachteten Zeitraum ändern sich die Präferenzen des Haushalts nicht.

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 87

x1

x2

A

x1A

x2A

G

D

E

H

B

Abbildung 2.1: Güterbündel und Präferenzen

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 88

x1

x2

A

x1A

x2A

G

D

E

H

B

L

K

Abbildung 2.2: Konstruktion einer Indifferenzkurve

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 89

x1

x2

A

x1A

x2A

G

D

E

H

B

U1

Abbildung 2.3: Eine Indifferenzkurve

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 90

x1

x2

A

D

B

U1

U2

U3

Abbildung 2.4: Eine Indifferenzkurvenschar

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 91

x1

x2

A

D

B

Abbildung 2.5: Indifferenzkurven können sich nicht schneiden

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 92

weitere Annahme über Präferenzen: strikte Konvexität: Ist ein Haushalt zwischen zwei Güterbündeln A und B mit

(A≠B) indifferent, dann gilt für jede Mischung (Linearkombination) C der beiden

Güterbündel C = α A + (1− α) B, mit 0 ≤ α ≤ 1: AC f ∼ B. konvexe Menge: Alle Punkte auf einer Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten einer konvexen Menge sind ebenfalls Elemente der Menge.

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 93

x1

x2

A

B

C = α A + (1− α) B

Abbildung 2.6: Konvexität der Präferenzen

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 94

x1

x2

A

B

x1

x2

A

B

(a) konvexe Präferenzen (b) Nicht-konvexe

Präferenzen

x1

x2

A

B

(c) konkave Präferenzen

Abbildung 2.7: Konvexe und nicht-konvexe Präferenzen

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 95

x1

x2

A

D

B

E

∆x2

∆x1

tan α =∆x2/∆x1

α

Abbildung 2.8: Die Grenzrate der Substitution

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 96

Grenzrate der Substitution:

0dU1

2

x

xGRS

=∆

∆−=

infinitesimale Betrachtung:

0dU1

2

dx

dxGRS

=

−=

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 97

x1

x2

A

D

B

E

Abbildung 2.9: Sinkende Grenzrate der Substitution

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 98

Spezialfälle:

x1

x2

U1 U2 U3 U4

Abbildung 2.10: Vollkommene Substitutionsgüter

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 99

x1

x2

U1

U2

U3

U4

Abbildung 2.11: Vollkommene Komplementärgüter

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 100

x1

x2

U1 U2 U3 U4

Abbildung 2.12: x2 ist ein neutrales Gut

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 101

x1

x2

U1

U2

U3

Abbildung 2.13: x2 ist ein Ungut

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 102

Nutzenfunktionen Der „Nutzen“ gibt den zahlenmäßigen Wert des Niveaus der Bedürfnisbefriedigung an, das durch den Konsum eines bestimmten Güterbündels erreicht wird. Nutzenfunktion: mathematische Beziehung zwischen einem Güterbündel und einem Nutzenniveau: U = U(x1,x2)

� schwache Präferenz: BAf wenn )x,x(U)x,x(UB2

B1

A2

A1 ≥

� Indifferenz: A∼B wenn )x,x(U)x,x(UB2

B1

A2

A1 =

� strikte Präferenz: BA f wenn )x,x(U)x,x(UB2

B1

A2

A1 >

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 103

Unterscheidung von ordinaler und kardinaler Nutzenmessung Messung auf einer kardinalen Skala ist eindeutig bis auf eine positive lineare

Transformation U~

= a + b⋅U, b > 0. � ordinale Nutzenfunktion ordnet Güterbündel in einer Rangordnung an. � kardinale Nutzenfunktion legt nicht nur die Rangordnung verschiedener Güterbündel zueinander fest, sondern bestimmt auch die relative Größe der Nutzendifferenzen zwischen verschiedenen Güterbündeln eindeutig.

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 104

Beispiel: Anna wählt zwischen verschiedenen Güterbündeln

Güterbündel Nutzen (U) Flasche Limonade 4 Becher Eis 8 Kinobesuch 16

Transformation: U~

= - 8 + 2⋅U,

Güterbündel Nutzen (U~

) Flasche Limonade 0 Becher Eis 8 Kinobesuch 24

Wichtig: Weder ordinale noch kardinale Nutzenmessung erlaubt interpersonelle Nutzenvergleiche!

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 105

Exkurs: Ursprünge der Nutzentheorie (Jeremy Bentham (1748-1832)):

„Nature has placed mankind under the governance of two sovereign masters, pain and pleasure. It is for them alone to point out what we ought to do, as well as to determine what we shall do. ... The principle of utility recognizes this subjection. ...

By the principle of utility is meant that principle which approves or disapproves of every action whatsoever, according to the tendency it appears to have to augment or diminish the happiness of the party whose interest is in question.“

Jeremy Bentham, An Introduction to the Principles of Morals and Legislation, Veröffentlichung 1823, Chapter I.

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 106

ordinale Nutzenfunktionen darf man jeder monotonen (ordnungserhaltenden) Transformationen unterziehen. monotone Transformation f(U): Wenn UA > UB, dann gilt auch f(UA) > f(UB). Beispiele:

� positive lineare Transformation: U~

= a + b⋅U, b>0.

� logarithmische Transformation: )Uln(U~

= , für 0U ≥ .

� Quadratwurzel: UU~

= , für 0U ≥ .

Transformation: UU~

= ,

Güterbündel Nutzen (U) Nutzen ( UU~

= ) Flasche Limonade 4 2 Becher Eis 8 2,83 Kinobesuch 16 4

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 107

Abbildung 2.14: Nutzenfunktion U(x1,x2) = 4x10.9x2

0.5

0

2

4 6

8 10

x1

0

2 4

6 8

10

x2

0

25

50

75

100

U x1 , x2

0

2

4 6

8 10

x1

0

25

50

75

100

U

x1 , x2

0 2

4

6

8

10

x1

0

2

4

6

8

10

x2

0 25

50

75

100

U x1 , x2

2

4

6

8

10

x1

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 108

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

Abbildung 2.15: Indifferenzkurvenschar

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 109

Häufig verwendet: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γβ

Beispiel: Ermittlung einer Indifferenzkurve aus einer Nutzenfunktion für β=γ=1.

2121 xx)x,x(U =

Wie lautet die Indifferenzkurve für U = 50?

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 110

Abbildung 2.16: Nutzenfunktion U(x1,x2) = x1x2

0

2

4

6

8

10

x1

0

2

4

6

8

10

x2

0

25

50

75

100

U x1 , x2

0

2

4

6

8

10

x1

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 111

1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

Abbildung 2.17: Indifferenzkurve für U = 50

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 112

Nutzenfunktion für perfekte Substitute:

U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2

allgemeine Form der Indifferenzkurven:

Uxbxa 21 =⋅+⋅ � 12 xb

a

b

Ux ⋅−=

Nutzenfunktion für perfekte Komplemente:

U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2}

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 113

x1

x2

U2/b

tan α = -(a/b)

U1/b

Abbildung 2.18: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen Substitutionsgütern

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 114

x1

x2

U1

U2

x2 = (a/b)x1

x1 = U2/a

x2 = U2/b

Abbildung 2.19: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen

Komplementärgütern

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 115

partielle Nutzenfunktion: )x,x(U 21

erste partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach der Menge eines Gutes: Grenznutzen (marginal utility) des Gutes. Grenznutzen von x1:

01

11

2012

11

1 xx

)x,x(U)x,x(U

x

U

−=

läßt man 01

11 xx − → 0:

1

211

x

)x,x(UMU

∂=

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 116

x1

U

U0

x10

x11

U1

)x,x(U 21

tan α =∆U/∆x1

α

Abbildung 2.20: Grenznutzen I

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 117

Grenznutzen von x2:

02

12

021

121

2 xx

)x,x(U)x,x(U

x

U

−=

läßt man 02

12 xx − → 0:

2

212

x

)x,x(UMU

∂=

allgemein: h

21h

x

)x,x(UMU

∂= , h =1,2.

verbreitete Annahme:

21

212

x

)x,x(U

∂< 0,

22

212

x

)x,x(U

∂<0

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 118

„Gesetz“ vom abnehmenden Grenznutzen

x1

U

U0

x10

x11

U1

)2

x,1

x(U

Abbildung 2.21: Grenznutzen II

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 119

GRS und Grenznutzen Entlang einer Indifferenzkurve gilt U)x,x(UU 21 == .

Das totale Differential der Nutzenfunktion ist

22112

2

211

1

21 dxMUdxMUdxx

)x,x(Udx

x

)x,x(UdU +=

∂+

∂= .

Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, d.h. dU = 0

2211 dxMUdxMU0 +=

⇔ 1122 dxMUdxMU =−

⇔ 2

1

0dU1

2

MU

MU

dx

dx=−

=

, d.h. 2

1

0dU1

2

MU

MU

dx

dxGRS =−=

=

.

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 120

α

x1

x2

A

tan α = GRS =MU1/MU2

α

Abbildung 2.22: GRS und Grenznutzen

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 121

Eine monotone Transformation beeinflußt die GRS nicht:

z.B. U~

= a + b⋅U: 11 MUbU~

M ⋅=

22 MUbU~

M ⋅=

2

1

2

1

0dU1

2

MU

MU

MUb

MUb

dx

dxGRS =

⋅=−=⇒

=

GRS bei vollkommenen Substitutionsgütern:

U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2

b

a

dx

dxGRS

0dU1

2 =−==

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 122

Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:

0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γβ

1

21

21

21

1

0dU1

2

x

x

xx

xx

dx

dxGRS

γ

β=

γ

β=−=⇒

−γβ

γ−β

=

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 123

monotone Transformation: logarithmierte Cobb-Douglas-Funktion

0, ,xlnxln)x,x(U 2121 >γβγ+β=

1

1x

MUβ

=

2

2x

MUγ

=

21

21

212

xx

)x,x(U β−=

∂,

22

22

212

xx

)x,x(U γ−=

∂.

1

2

2

1

0dU1

2

x

x

x

x

dx

dxGRS

γ

β=

γ

β

=−=⇒

=

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 124

weitere Transformation: Cobb-Douglas-Funktion potenzieren mitγ+β

1

0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γ+β

γ

γ+β

β

Definition: γ+β

γ=α−⇒

γ+β

β=α )1( , d.h. wir schreiben

01 xx)x,x(U12121 >α>= α−α

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 125

1

2

1

2

21

12

11

0dU1

2

x

x

x)1(

x

xx)1(

xx

dx

dxGRS

γ

β=

α−

α=

α−

α=−=⇒

α−α

α−−α

=

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 126

Abbildung 2.23: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion mit α = 0.5

0

2

4

6

8

10

x1

0

2

4

6

8

10

x2

2.5

5

7.5

10

U x1 , x2

2

4

6

8

10

x1

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 127

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

Abbildung 2.24: Indifferenzkurvensystem für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

(α = 0.5)

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 128

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5 U(x1,x2 = 5)

U(x1,x2 = 2)

Abbildung 2.25: Partielle Nutzenfunktion für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

(α = 0,5)

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 129

2 4 6 8 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

MU1(x2=5)

MU1(x2=1)

Abbildung 2.26: Grenznutzen von x1 bei x2 =2 und x2 = 5 für Cobb-Douglas-

Nutzenfunktion (α = 0.5)

2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen

VWL I/WS 2007/08 130

Literatur:

Breyer (2007), S. 115-23, 127-31. Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 101-121. Varian (2007), Kap. 3+4.

2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung

VWL I/WS 2007/08 131

2.2 Budgetbeschränkung

Ixpxp 2211 ≤+

p1: Preis von x1 p2: Preis von x2 I: Einkommen

Gibt der Haushalt das ganze Einkommen aus, so ist die Budgetbeschränkung: Ixpxp 2211 =+

� 1

2

1

2

2 xp

p

p

Ix −=

2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung

VWL I/WS 2007/08 132

x1

x2

tan α = -(p1/p2)

I/p2 1

x

2p

1p

2pI

2x −=

I/p1

I2

x2

p1

x1

p ≤+α

Abbildung 2.27: Die Budgetrestriktion

2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung

VWL I/WS 2007/08 133

x1

x2

I0/p2

1x

2p

1p

2pI

2x

1

−=

I0/p1

I1/p2

I1/p1

1x

2p

1p

2pI

2x

0

−=

Abbildung 2.28: Einkommensänderungen und die Budgetgerade

2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung

VWL I/WS 2007/08 134

x1

x2

I0/p2

1x

2p

11

p

2pI

2x −=

I/p10

I1/p2

I/p11

1x

2p

01

p

2pI

2x −=

Abbildung 2.28: Preisänderungen und die Budgetgerade

2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung

VWL I/WS 2007/08 135

proportionale Änderung aller Preise:

1

2

1

2

1

2

1

2

2 xp

p

p

Ix

p

p

p

Ix −

µ=

µ

µ−

µ=

proportionale Änderung von Einkommen und Preisen:

1

2

1

2

1

2

1

2

2 xp

p

p

Ix

p

p

p

Ix −=

µ

µ−

µ

µ=

Literatur: Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 122-126. Varian (2007), Kap. 2.

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 136

2.3 Haushaltsoptimum

x1

x2

A

Budgetgerade

B

U3

U2

U1

x1A

x1B

x2A

x2B

Abbildung 2.29: Das Haushaltsoptimum

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 137

� Steigung von Indifferenzkurve und Budgetgerade ist gleich:

2

1

p

pGRS = oder

2

1

2

1

p

p

MU

MU=

-- Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis.

2

2

1

1

p

MU

p

MU=

-- Grenznutzen pro Ausgabeneinheit ist bei beiden Gütern gleich.

-- Gleichheit des internen Austauschverhältnisses (GRS) und des externen

Austauschverhältnisses (Preisverhältnis).

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 138

x1

x2

B

U3 U2 U1

x1B=I/p1

Abbildung: 2.30: Randlösung für das Haushaltsoptimum I

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 139

x1

x2

B U3

U2

U1

x2B=I/p2

Abbildung: 2.31: Randlösung für das Haushaltsoptimum II

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 140

Ermittlung des Haushaltsoptimums mit dem Lagrange-Ansatz Gegeben: Zielfunktion: (Nutzenfunktion) maxx1,x2 U(x1,x2)

Nebenbedingung: I = p1x1 + p2x2

1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:

0= p1x1 + p2x2 - I

2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:

Z(x1,x2,λ) = U(x1,x2) - λ( p1x1 + p2x2 - I)

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 141

3. Schritt: Maximierung von Z über x1,x2. Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:

0pMUx

Z11

1

=λ−=∂

∂ (1)

0pMUx

Z22

2

=λ−=∂

∂ (2)

0IxpxpZ

2211 =+−−=λ∂

∂ (3)

Umformung von (1) und (2) zu 11 pMU λ= (1’), 22 pMU λ= (2’)

Division von (1) durch (2):

2

1

2

1

2

1

p

p

p

p

MU

MU=

λ

λ= (4)

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 142

Lösung von (3) und (4) ergibt das nutzenmaximierende Güterbündel x1* = x1 (p1,p2,I) x2* = x2 (p1,p2,I) Die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung werden nicht überprüft. Ein Maximum ist sichergestellt, da die Nutzenfunktion quasikonkav und die Budgetmenge konvex ist.

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 143

x1

x2

B

U3 U2

U1

D

E

Abbildung 2.32: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum I

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 144

x1

x2

B

U3

U2

U1

C

A

Abbildung 2.33: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum II

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 145

Rechenbeispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Zielfunktion: (Nutzenfunktion) maxx1,x2 x1αx2

1-α

Nebenbedingung: I = p1x1 + p2x2

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 146

Fall perfekter Substitute:

U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2

allgemeine Form der Indifferenzkurven:

12 xb

a

b

Ux ⋅−= ,

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 147

x1

x2 U3

Steigung = -(a/b)

U1

Steigung = -(p1/p2)

U2

A

x1 = I/p1 Abbildung 2.34: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern

– Fall I

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 148

x1

x2 U3

Steigung = -(a/b)

= -(p1/p2)

U1

U2

Abbildung 2.35: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern

– Fall II

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 149

x1

x2

U3

Steigung = -(a/b)

U1

Steigung = -(p1/p2)

U2

A x2 = I/p2

Abbildung 2.36: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern

– Fall III

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 150

Fall perfekter Komplemente

U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2}

p1x1 + p2x2 = I und x2 = 1xb

a

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 151

x1

x2

U1

U2

U3

A

x1A

x2A

x2 = (a/b)x1

Abbildung 2.37: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Komplementärgütern

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 152

Beispiel 3.4: Ein Treuhandfonds für die Hochschulausbildung (Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 134f.)

Ausbildung

Konsum

(C)

A

B

U2

U1

AusbildungA

CA

CB

AusbildungB

D

U3

Abbildung B2.1: Zweckgebundener Transfer I

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 153

Ausbildung

Konsum

(C)

A

B

U2 U1

AusbildungA

CA

CB

AusbildungB

Abbildung B2.2: Zweckgebundener Transfer II

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 154

Ausbildung

Konsum

(C)

A B

U2 U1

AusbildungA

CA

CB

AusbildungB

Abbildung B2.3: Zweckgebundener Transfer III

2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum

VWL I/WS 2007/08 155

Literatur: Breyer (2007), 123-26. Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 127-134, 138-142. Varian (2007), Kap. 5.