2-WP-Fall der Portfoliotheorie · Organisatorisches Vorbereitungen Zwei-Wertpapierfall...

OrganisatorischesVorbereitungen

Zwei-Wertpapierfall

Portfolio- und Kapitalmarkttheorie

2-WP-Fall der Portfoliotheorie

Prof. Dr. Daniela Lorenz

Julius-Maximilians-Universitat Wurzburg

Sommersemester 2018


Zwei-Wertpapierfall

Organisatorisches

VorbereitungenLiteraturHintergrundBeispielAnnahmenRendite und Risiko

Zwei-WertpapierfallRendite und Risiko eines PortfoliosTransformationskurveMinimum-Varianz-PortfolioSpezialfalleEffiziente PortfoliosOptimales Portfolio


Zwei-Wertpapierfall

Kontakt 1

I Prof. Dr. Daniela Lorenz

I Sanderring 2, Raum 381

I Tel: 0931 31 88174

I Email: [email protected]

I Sprechstunde: nach Vereinbarung


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Allgemeine Kursinformationen 2

Portfolio- und Kapitalmarkttheorie

I Pflicht in Schwerpunkt Corporate Finance

I Pflicht in Vertiefung FACT

I Wahl in Schwerpunkt Geldpolitik

I Ahnlich Bank 1a, aber 2 SWS VL + 2 SWS Ubung

Vorlesung Ubung

Daniela Lorenz Jonathan BergmannDienstag 16.00-17.30 Mittwoch 8.30 -10.00

Brose-HS HS 162

I Kursunterlagen: WueCampus2


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Lernziele 3

I Wie bestimmen Sie Ihr optimales Wertpapier-Portfolio?

I Welches ist das bedeutendste Modell der modernenKapitalmarkttheorie?

I Auf welchen Annahmen beruht dieses Modell?

I Welche sind die Ergebnisse und Implikationen dieses Modells?

I Wie lassen sich diese empirisch uberprufen und mit welchenErgebnissen?

I Welche Alternativen und Erweiterungen gibt es?

In den kommenden Wochen werden wir Antworten auf dieseFragen suchen!


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LiteraturHintergrundBeispielAnnahmenRendite und Risiko

Literatur 4I Brealey/Myers/Allen (2012), “Principles of Corporate Finance”, Part 2,

S.184–223.

I Cochrane (2005),“Asset Pricing”, revised edition, Princeton UniversityPress.

I Copeland/Weston/Shastri (2008), “Finanzierungstheorie undUnternehmenspolitik”, dt. Ubersetzung der 4. Aufl., Kap. 5 (S.151–203).

I Hillier/Ross/Westerfield/Jaffe/Jordan (2013), “Corporate Finance”, 2ndEuropean Edition, Part 3, S. 237–283.

I Huang/Litzenberger (1988),“Foundations for Financial Economics”Prentice Hall.

I Kruschwitz (2014), “Investitionsrechnung”, 14. Aufl., S. 342–365.

I Markowitz (1952), “Portfolio Selection”, Journal of Finance (7), S.77–91.

I Pennacchi (2008), “Theory of Asset Pricing”, Pearson Addison Wesley.

I Wenger (1991), “Diversifikation und Kapitalmarktgleichgewicht”, WiSt,S. 81–87.


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Diversifikation 5

“...it is advisable to divide goods which are exposed to some smalldanger into several portions rather than to risk them all together.”

Daniel Bernoulli (1793)

I Diversifikation als Instrument zur Senkung des Verlustrisikosist seit langem bekannt

I Fingerspitzengefuhl der Investoren

I 1950’er: theoretische und mathematische Grundlage fur diePortfoliowahl → Entstehung der modernen Portfoliotheorie


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Moderne Portfoliotheorie 6

I Die Portfoliotheorie wurde im Jahre 1952 von Harry M.Markowitz entwickelt.

I In der Standardversion geht es um folgendes Problem:I Ein Investor hat ein bestimmtes Budget, das er fur riskante

Anlagen (z.B. Aktien) auszugeben wunscht.I Es gibt eine Menge verschiedener Aktien j, uber die folgende

Informationen bekannt sind:

– erwartete Renditen E(rj),– Varianzen der Renditen V ar(rj),– Kovarianzen der Renditen Cov(rj , ri)

I Wie ist das Portfolio zu wahlen (ωj)?


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Beispiel - Fragestellung 7

Die Vorgehensweise bei der Portfoliowahl wird anhand von einemBeispiel mit zwei Wertpapieren veranschaulicht

I 2 riskante Finanztitel:I Zalando SE AktieI Daimler AG Aktie

1. Was ist das Portfolio mit dem geringsten Risiko?

2. Was ist das Portfolio mit der hochsten erwarteten Rendite?

3. Was ist die optimale Wertpapierallokation?


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Zalando SE 8

I Europas fuhrende Online-Plattform fur Mode (MDAX)

I An der Borse seit 1. Oktober 2014I Kennzahlen 2016

I Umsatz: 3,639 Mrd.eI Bilanzsumme: 2,569 Mrd.eI Ergebnis nach Steuern: 120,50 Mio.eI Anzahl Mitarbeiter: 11.998


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Zalando SE 9


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Daimler AG 10

I Hersteller von Personenkraftwagen und Nutzfahrzeugen

I An der Borse seit 12.11.1998 (DAX)I Kennzahlen 2016

I Umsatz: 153,261 Mrd.eI Bilanzsumme: 242,988 Mrd.eI Ergebnis nach Steuern: 8,526 Mrd.eI Anzahl Mitarbeiter: 282.488


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Daimler AG 11


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Annahmen im Markowitz-Modell 12

Kapitalmarkt

I Keine Transaktionskosten und Steuern

I Das gesamte Vermogen des Investors wird in riskanteWertpapiere investiert

I Die Wertpapiere sind beliebig teilbare Guter

I keine Leerverkaufe (zunachst)

I 1-Perioden-Welt

Investoren

I Investoren sind Preisnehmer

I µ− σ − Prinzip


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Vorgehensweise 13

Nach Markowitz besteht der Investitionsprozess aus zwei Stufen

I 1. Stufe: Beobachtung und Schatzung der zukunftigenEntwicklung der Wertpapierpreise bzw. -renditen

rt =Xt −Xt−1

Xt−1

I 2. Stufe: Entscheidung uber die Zusammensetzung desPortfolios → Portfoliowahl


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Renditen 14

Historische Rendite

I Arithmetischer Durchschnittr = 1

T

∑Tt=1 rt

I Geometrischer Durchschnittr = [(1 + r1) · (1 + r2) · . . . · (1 + rT )]1/T − 1

Erwartete Rendite

I Zeitreihenanalyse

I Analystenforecasts

I Zukunftsszenarien: E(r) =∑Ss=1 rs · qs

Zustand s Depression Normal BoomWahrscheinlichkeit qD qN qB

Rendite rD rN rB


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Risiko 15

Risiko einer Anlage wird durch die Varianz Var(r) bzw.Standardabweichung σ(r) beschrieben.

Fur die Varianz gilt:

I Bei historischen RenditenVar(r) = σ2 = 1

T−1∑Tt=1(rt − r)2

I Bei erwarteten RenditenVar(r) = σ2 = E[(r − E(r))2] = E[r2]− E[r]2

Fur die Standardabweichung gilt:

I σ(r) =√

Var(r)


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Kovarianz und Korrelation 16

Lineare Zusammenhange werden durch die Kovarianz bzw. Korrleationbeschrieben.

Die Kovarianz Cov ist ein nicht normiertes Maß (keine Aussage uberStarke des Zusammenhangs)

I Bei historischen RenditenCov(rx, ry) = 1

T−1∑Tt=1(rxt − rx)(ryt − ry)

I Bei erwarteten RenditenCov(rx, ry) = E[(rx−E[rx])·(ry−E[ry])] = E[rx ·ry]−E[rx]·E[ry]

Die Korrelation ρ ist dagegen zwischen -1 und 1 normiert.

I ρ =Cov(rx,ry)√

Var(rx) Var(ry)=

Cov(rx,ry)σ(rx)σ(ry)


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Beispiel 17

I Verwendung historischer Monatsdaten

I Datenbasis: monatliche Renditen (Okt 2014 – Okt 2017)

I arithmetischer Durchschnitt

I −→ ExcelSheet

Aktie Rendite r Risiko σ2 Zusammenhang ρZalando 0,0288 0,0123

0,3683Daimler 0,0071 0,0068


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Rendite und Risiko eines PortfoliosTransformationskurveMinimum-Varianz-PortfolioSpezialfalleEffiziente PortfoliosOptimales Portfolio

Erwartungswert eines Portfolios 18

I Kombination aus beiden Finanztiteln

I ωi ist der Anteil des Wertpapiers i am Portfolio P , mit 0 ≤ ωi ≤ 1und ω1 + ω2 = 1

I Die historische durchschnittliche Rendite des Portfolios rP ist somitrP = ω1r1 + ω2r2

I Die erwartete Rendite des Portfolios rP ist somitE[rP ] = ω1E[r1] + ω2E[r2]

I In Matrizenschreibweise: E[rP ] = ω′µ = µ′ω

mit ω =

(ω1

ω2

)und µ =

(E[r1]E[r2]

)


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Varianz eines Portfolios 19

I Bei der Berechnung der Varianz des Portfolios ist die Kovarianz dereinzelnen Wertpapiere zu beachten

I Fur die Varianz des Portfolios gilt:

Var(rP ) = Var(ω1r1 + ω2r2)

= ω21 Var(r1) + 2ω1ω2 Cov(r1, r2) + ω2

2 Var(r2)

I In Matrizenschreibweise: Var[rp] = ω′Σω

mit ω =

(ω1

ω2

)und Σ =

(Var(r1) Cov(r1, r2)

Cov(r2, r1) Var(r2)

)


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Beispiel - Portfolio 20

I Angenommen, wir halten ein Portfolio P , das zur Halfte ausder Zalando-Aktie und zur Halfte aus der Daimler-Aktiebesteht

I −→ ExcelSheet

I Die durchschnittliche monatliche Rendite des Portfolios Pbetragt:

E[rP ] = 0, 0180

I Die Varianz des Portfolios P betragt:

Var[rP ] = 0, 0065


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Varianz des Portfolios und die Allokation 21

I Die Varianz lasst sich in der Abhangigkeit von ω1 darstellen,indem man fur ω2 = 1− ω1 einsetzt

I In einem Zwei-Wertpapierfall ergibt sich fur die Varianz desPortfolios:

Var(rP ) = ω21 Var(r1) + 2ω1(1− ω1) Cov(r1, r2)

+ (1− ω1)2 Var(r2)

I Diese Beziehung lasst gut graphisch abbilden!

−→ Beispiel: ExcelSheet


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Transformationskurve 22

I Viel bekannter ist die Renditen-Risiko-Darstellung dermoglichen Portfoliokombinationen

I Fur die vorhin ermittelten Standardabweichungen werdenzugehorige erwartete Renditen ermittelt

I Das Resultat ist die sogenannte Transformationskurve. Siebeschreibt alle Kombinationen von E[rP ] und σ[rp], die durchMischung erreichbar sind

I Teilweise Risikovernichtung moglich

−→ Beispiel: ExcelSheet.xls


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Transformationskurve 23

σ[r1]σ[r2]

σ[rP ]

E[r1]

E[r2]

E[rP ]


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Minimum-Varianz-Portfolio 24

I MVP ist die Wertpapierallokation mit dem geringsten Risiko

I FOC:∂Var[rp]

∂ω1

!= 0

I Im Zwei-Wertpapier-Fall gilt:

ω1 =Var(r2)− Cov(r1, r2)

Var(r1) + Var(r2)− 2 Cov(r1, r2)


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Spezialfall 1: Leerverkaufe 25

I Sind Leerverkaufe zulassig, gilt ωi < 0 und ωj > 1

I Transformationskurve hat keine Endpunkte

σ[r1]σ[r2]

σ[rP ]

E[r1]

E[r2]

E[rP ]


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Spezialfall 2: Mischung mit risikolosem Asset 26

I Portfolio bestehend ausriskantes Asset risikoloses Asset

Anteil ω 1− ωRendite rj rf

I Erwartete Portfoliorendite:

E(rP ) = rf + ω (E(rj)− rf )

I Varianz der Portfoliorendite:

V ar(rP ) = ω2 V ar(rj)

I Transformationsgerade:

E(rP ) = rf +E(rj)− rf

σjσ(rp)


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Spezialfall 2: Mischung mit risikolosem Asset 27

σ[r1]

σ[rP ]

E[r1]

rF

E[rP ]


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Spezialfall 3: Perfekte positive Korrelation 28

I ρ = +1, keine Risikovernichtung moglich (sofern Leerverkaufeunzulassig)

I Transformationsgerade:

E(rP ) =E(r2)σ1 − E(r1)σ2

σ1 − σ2+E(r1)− E(r2)

σ1 − σ2σ(rP )

I MVP: Alles in Wertpapier mit kleinerer Varianz

σ[r1]σ[r2]

σ[rP ]

E[r1]

E[r2]

E[rP ]


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Spezialfall 4: Perfekte negative Korrelation 29

I ρ = −1: vollstandige Risikovernichtung moglich

I Transformationskurve besteht aus 2 linearen Teilabschnitten, diesich bei σ(rP ) = 0 treffen.

I MVP: ω1 = σ2

σ1+σ2

σ[r1]σ[r2]

σ[rP ]

E[r1]

E[r2]

E[rP ]


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Einfluss der Korrelation 30

Im Zwei-Wertpapierfall wird die Form der Kurve durch dieKorrelation der beiden Renditen bestimmt

ρ = 0

ρ = −1

ρ = +1

σ[rA]σ[rB]

σ[rP ]

E[rA]

E[rB]

E[rP ]


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Effiziente Portfolios 31

I Ein risikoaverser Investor wurde aus zwei Portfolios mitgleichem Risiko, das mit der hoheren erwarteten Renditeauswahlen

I Effizienter Rand:

σ[r1]σ[r2]

σ[rP ]

E[r1]

E[r2]

E[rP ]


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Optimales Portfolio 32

I Das optimales Portfolio ist abhangig von der Risikoeinstellung

σ[rp]

E[rp]

σ[rp]

E[rp]

σ[rp]

E[rp]


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Zuruck zu unserem Eingangsbeispiel 33

1. Das Portfolio mit dem geringsten Risiko ist:

2. Das Portfolio mit der hochsten erwarteten Rendite ist:

3. Die optimale Allokation der Wertpapiere in dem Portfolio ist:

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