· 2020. 6. 25. · PANEPISTHMIO KUPROU TMHMA FUSIKHS DIPLWMATIKH ERGASIA Epanakanonikopo—hsh...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Επανακανονικοποίηση και Μίξη

του Τελεστή Gluino – Glueστην Υπερσυμμετρική Θεωρία

Yang – Mills N=1

Φοίβος Φιλιππίδης

ΙΟΥΝΙΟΣ 2020

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Επανακανονικοποίηση και Μίξη

του Τελεστή Gluino – Glueστην Υπερσυμμετρική Θεωρία

Yang – Mills N=1

Φοίβος Φιλιππίδης

Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. Χαράλαμπος ΠαναγόπουλοςΣυνεπίβλεψη: Δρ. Μάριος Κώστα

Η Ατομική Διπλωματική Εργασία υποβλήθηκε προς μερική εκπλήρωση

των απαιτήσεων απόκτησης του πτυχίου Φυσικής του Τμήματος

Φυσικής του Πανεπιστημίου Κύπρου

ΙΟΥΝΙΟΣ 2020

“Fall in love with some activity, and do it! Nobody ever figures out what life isall about, and it doesn’t matter. Explore the world. Nearly everything is reallyinteresting if you go into it deeply enough. Work as hard and as much as you wantto on the things you like to do the best. Don’t think about what you want to be,but what you want to do. Keep up some kind of a minimum with other things sothat society doesn’t stop you from doing anything at all.”

Richard Feynman

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Το ενδεχόμενο ύπαρξης της Υπερσυμμετρίας (SUSY) στη φύση έχει μελετηθείτις τελευταίες περίπου 4 δεκαετίες, αλλά ακόμη αυτό το ερώτημα παραμένειαναπάντητο. Η Υπερσυμμετρία είναι μια χωροχρονική συμμετρία, η οποίαπεριλαμβάνει μετασχηματισμούς που μετατρέπουν φερμιονικούς βαθμούς ελευθερίας

(ημιακέραιο σπιν) σε μποζονικούς (ακέραιο σπιν), και αντίστροφα. Εισαγωγή τηςΥπερσυμμετρίας στο Καθιερωμένο Πρότυπο (SM), με τρόπο ώστε να εμφανίζεται οελάχιστος αριθμός νέων στοιχειωδών σωματιδίων, οδηγεί στο Ελάχιστο

Υπερσυμμετρικό Καθιερωμένο Πρότυπο (MSSM). Μέχρι σήμερα, δεν έχουνεμφανιστεί πειραματικές ενδείξεις που να συνηγορούν στην ύπαρξη

Υπερσυμμετρίας. Ωστόσο, υπάρχουν σημαντικοί λόγοι για τους οποίους ησυμμετρία αυτή αναμένεται να υπάρχει. Τέτοια παραδείγματα είναι η απάμβλυνσητου προβλήματος της ιεραρχίας κλιμάκων στο καθιερωμένο πρότυπο, η δυνατότηταερμηνείας των ισχυρών και ηλεκτρασθενών αλληλεπιδράσεων ως ένα ενιαίο

φαινόμενο, και η εμφάνιση της Yπερσυμμετρίας στην περιγραφή της ΚβαντικήςΒαρύτητας μέσω της Θεωρίας Χορδών. Ενα άλλο κίνητρο για τη μελέτη της

συμμετρίας αυτής είναι το γεγονός ότι ένα υπερσυμμετρικό σωματίδιο είναι πιθανός

υποψήφιος για την σκοτεινή ύλη.

Αν όντως η Υπερσυμμετρία υπάρχει, αυτή θα πρέπει να παραβιάζεταιαυθόρμητα, ώστε να είναι συμβατή με τη φαινομενολογία των θεμελιωδώνδυνάμεων. Δεδομένου ότι το φαινόμενο αυθόρμητης παραβίασης είναι κατά βάση μη– διαταρακτικό, η μελέτη των φάσεων μιας υπερσυμμετρικής θεωρίας είναι ιδιαίτεραδύσκολη. Ιδιαίτερα επιθυμητή θα ήταν, συνεπώς, η μη – διαταρακτική μελέτη, μέσωαριθμητικών προσομοιώσεων. Η βασική μεθοδολογία για τέτοιου είδους μελέτηεπιβάλλει την κβάντωση μιας θεωρίας σ’ ένα διακριτοποιημένο χωροχρονικό πλέγμα.΄Ομως και αυτή η αντιμετώπιση συναντά σημαντικές δυσκολίες που οφείλονται εν

μέρει στο γεγονός ότι, στις προσομοιώσεις, οι χωροχρονικές συμμετρίεςπαραβιάζονται ούτως ή άλλως. Η επαλήθευση ότι στα μη – διαταρακτικάαποτελέσματα επανακτώνται οι αρχικές συμμετρίες μιας θεωρίας, αποτελεί μιαάκρως μη – τετριμμένη διαδικασία η οποία, στην περίπτωση της Υπερσυμμετρίας,αποτελεί ένα μείζον ανοικτό αντικείμενο έρευνας.

Η παρούσα διπλωματική εργασία περιλαμβάνει συνολικά πέντε κεφάλαια εκ των

οποίων τα πρώτα τέσσερα δίνουν μια εκτενή περιγραφή του γενικού θεωρητικού

υποβάθρου που απαιτείται για τους πρωτότυπους υπολογισμούς που ακολουθούν.

i

ii

Στο πρώτο κεφάλαιο, εισάγουμε τη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων όπου γίνεταιαναφορά στην κανονική κβάντωση των πεδίων. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται

περιγραφή της κβάντωσης των πεδίων με τη βοήθεια των συναρτησιακών

ολοκληρωμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια του χωροχρονικού

πλέγματος ως ομαλοποιητής της Θεωρίας των Κβαντικών Πεδίων. Γίνεται επίσηςαναφορά στη διαταρακτική μελέτη της QCD (Κβαντικής Χρωμοδυναμικής) στοπλέγμα καθώς επίσης και εισαγωγή στο ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης, μεαντίστοιχο παράδειγμα το ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης στη θεωρία φ3. Το

τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην Υπερσυμμετρία, που είναι και το βασικόαντικείμενο μελέτης αυτής της διπλωματικής εργασίας. Τέλος, στο πέμπτοκεφάλαιο παρουσιάζονται υπολογισμοί που αφορούν το σύνθετο τελεστή Gluino –Glue σε θεωρίες Yang – Mills. Ο τελεστής αυτός παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρονεπειδή δημιουργεί, δρώντας στο κενό, τις πλέον ελαφρές υπερσυμμετρικέςκαταστάσεις που είναι άχρωμες, και συνεπώς συμβατές με την ιδιότητα τουπεριορισμού. Οι καταστάσεις αυτές είναι οι υπερσυμμετρικοί σύντροφοι τωνκαταστάσεων glueball, και η συγκριτική μελέτη τους με αριθμητικές προσομοιώσειςαναμένεται να δώσει μια ποσοτική περιγραφή του μηχανισμού παραβίασης της

Υπερσυμμετρίας. Μελετούμε την επανακανονικοποίηση του τελεστή Gluino – Glue,και υπολογίζουμε τους συντελεστές μίξης με άλλους σύνθετους τελεστές, κάνονταςχρήση της θεωρίας διαταραχών σε επίπεδο ενός βρόχου. Στον επίλογο δίνονταικάποιες δυνατές μελλοντικές προεκτάσεις της εργασίας. Τέλος, η εργασία κλείνειμε δύο παραρτήματα, στα οποία παραπέμπει το κυρίως κείμενο της εργασίας.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Θα ήθελα αρχικά να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας

διπλωματικής εργασίας Δρ. Χαράλαμπο Παναγόπουλο, για τη συνεχή καθοδήγησηκαι βοήθεια που μου παρείχε κατά την εκπόνηση της εργασίας αυτής. Θα ήθελαεπίσης να ευχαριστήσω τον μεταδιδακτορικό ερευνητή Δρ. Μάριο Κώστα για τηναμέριστη υποστήριξη του στα πλαίσια όλων των υπολογισμών που φέραμε εις πέρας.

Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την οικογένεια και τους φίλους μου για τηνυποστήριξη και τη βοήθεια τους, σε όλη τη διάρκεια των προπτυχιακών μουσπουδών.

iii

Περιεχόμενα

Περίληψη i

Ευχαριστίες iii

Κατάλογος Σχημάτων vi

Κατάλογος Πινάκων vii

1 Εισαγωγή στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 11.1 Η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου και η αναγκαιότητά του στη

Σχετικιστική Κβαντομηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Γενικός Φορμαλισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 O φορμαλισμός της κανονικής Κβάντωσης των Πεδίων . . . . 61.2.2 Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης στη Θεωρία Κβαντικών

Πεδίων – Θεώρημα Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Οι δράσεις των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Η δράση Klein – Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο . . . 131.3.2 Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια . . . . . . . . . . . 141.3.3 Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής (QED) . . . . . . 161.3.4 Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD) για τις

ισχυρές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Οι διαδότες των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Η κβάντωση του ελεύθερου βαθμωτού πεδίου Klein – Gordonκαι ο αντίστοιχος διαδότης του . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου Dirac και οαντίστοιχος διαδότης του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.3 Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου και οι

αντίστοιχοι διαδότες τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5 Η έννοια της επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων 462.1 Η έννοια του Συναρτησιακού Ολοκληρώματος (Path Integral) και η

εφαρμογή του στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv

Περιεχόμενα v

2.2.1 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Klein – Gordon . 512.2.2 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Dirac . . . . . . . 552.2.3 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του φωτονικού διαδότη . . . . 572.2.4 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του γκλουονικού διαδότη . . . 63

3 Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο πλέγμα 673.1 Η αναγκαιότητα του χωροχρονικού πλέγματος στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein – Gordon στο πλέγμα . . . . . . . 693.3 Το φερμιονικό πεδίο Dirac στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.1 Naive («αφελή») φερμιόνια και το πρόβλημα του διπλασιασμού 743.3.2 Φερμιόνια Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Διαταρακτική μελέτη στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.1 Διαταρακτική μελέτη της QCD στο πλέγμα . . . . . . . . . . 953.6.2 Εισαγωγή στο ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης . . . . . . . . . 993.6.3 Ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης στη θεωρία φ3 . . . . . . . . . 99

4 Υπερσυμμετρία 1064.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Εισαγωγή στην άλγεβρα της Υπερσυμμετρίας . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Υπερσυμμετρικά σύνολα καταστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4 Εισαγωγή στην πιο απλή θεωρία Υπερσυμμετρίας . . . . . . . . . . . 118

5 Μελέτη του τελεστή Gluino – Glue 1255.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Σημασία και ιδιότητες του τελεστή Gluino – Glue . . . . . . . . . . . 1265.3 Ορισμοί και υποψήφιοι τελεστές μίξης με διαστάσεις 7/2 και 5/2 . . . 1285.4 Διαδικασία υπολογισμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.5 Διαστατική ομαλοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.6 Πλεγματική ομαλοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Επίλογος 142

Παραρτήματα 143

A Υπολογισμός μέσων τιμών πολυωνύμων με γκαουσιανό

βάρος 143A.1 Μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος143A.2 Μέση τιμή μιγαδικού πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με

γκαουσιανό βάρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B Στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδειο χώρο 153

Περιεχόμενα vi

Βιβλιογραφία 159

Κατάλογος Σχημάτων

1.1 Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2) → −(x1 − x2) σεχωροειδή και χρονοειδή διαστήματα για τη μελέτη της διατήρησης της

αιτιότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1 Υπολογισμός του διαδότη ενός μη σχετικιστικού κβαντικού

σωματιδίου με τη χρήση συναρτησιακού ολοκληρώματος (PathIntegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Διακριτοποίηση του χρόνου στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα (PathIntegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Απεικόνιση των συνδέσμων (links) στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . 813.2 Απεικόνιση της στοιχειώδους πλακέτας (plaquette) στο μν – επίπεδο 833.3 Διαγράμματα 1 βρόχου φερμιονικού διαδότη . . . . . . . . . . . . . 973.4 Διαγράμματα 2 βρόχων φερμιονικού διαδότη . . . . . . . . . . . . . 983.5 Αναπαράσταση των πεδίων στα διάφορα σημεία του χώρου . . . . . . 1013.6 Διαγράμματα Feynman στην τάξη O(g2

0) της θεωρίας διαταραχών . . 1023.7 Διάγραμμα που συνεισφέρει στην τάξη O(g2

0) της θεωρίας διαταραχών 1033.8 Διατήρηση της ορμής για το υπό μελέτη διάγραμμα . . . . . . . . . . 105

5.1 Διαγράμματα Feynman ενός βρόχου που συνεισφέρουν στη

συνάρτηση Green δύο σημείων του τελεστή Gluino – Glue . . . . . . 135

vii

Κατάλογος Πινάκων

4.1 Υπερσυμμετρικές αναπαραστάσεις για N=1 . . . . . . . . . . . . . . 118

viii

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων

1.1 Η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου και η

αναγκαιότητά του στη Σχετικιστική

Κβαντομηχανική

Ως πεδίο ορίζουμε μια φυσική ποσότητα σε κάθε σημείο του χωροχρόνου.Βρίσκει εφαρμογή σε συστήματα με άπειρους βαθμούς ελευθερίας, καθώς και στηνκατασκευή φυσικών νόμων που να ισχύουν τοπικά. Η έννοια αυτή εισήχθηκε στηνπροσπάθεια δημιουργίας μιας θεωρίας που θα μπορούσε να εξηγήσει τις

ηλεκτρομαγνητικές αλλά και τις βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων, σεκλασικό επίπεδο, καθώς οι δυνάμεις αυτές δεν απαιτούσαν την επαφή τωνσωματιδίων αλλά δρούσαν εξ αποστάσεως. Αυτό είχε ως συνέπεια ότι οι δυνάμειςαυτές μεταξύ των αλληλεπιδρώντων σωματιδίων, εξαρτώνται από τη μεταξύ τουςαπόσταση. Για το λόγο αυτό ήταν αναγκαία η εισαγωγή της ποσότητας του πεδίουπου θα λειτουργούσε ως ο μεσολαβητής μεταξύ δύο αλληλεπιδρώντων σωματιδίων

και ο οποίος «μεταφέρει» τη δύναμη από το ένα σωματίδιο στο άλλο. Μάλιστα, ηποσότητα αυτή έπρεπε να είναι καλά ορισμένη παντού στο χώρο, έτσι ώστε τασωματίδια, όπου και να βρίσκονται, να μπορούν να αλληλεπιδράσουν μεταξύ τουςμέσω των πεδίων. Η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου, λοιπόν, οδήγησε στηνανάγκη για τη δημιουργία μιας νέας θεωρίας, της Θεωρίας Κλασικών Πεδίων, στηνοποία τα πεδία παίζουν το ρόλο του φορέα αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων.

1

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 2

Συμπερασματικά η κλασική θεωρία χειρίζεται τα σωματίδια και τα πεδία ως δύο

εντελώς διαφορετικές οντότητες, γεγονός για το οποίο η κβαντική θεωρία δενσυμφωνεί. Ενδείξεις οι οποίες μαρτυρούν τη διαφωνία αυτή ήταν καταρχάς ηκυματική μορφή που παρουσίαζε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, που προέκυψε από τηλύση των κλασικών εξισώσεων του Maxwell, στην οποία η ταχύτητα διάδοσης τουκύματος συνέπιπτε με την ταχύτητα του φωτός. Δηλαδή παρατηρήθηκε για πρώτηφορά ότι κάποιο σωματίδιο, το φωτόνιο, μπορούσε να περιγραφεί ως κύμα, το οποίομάλιστα δεν ήταν τίποτα άλλο από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Δεν ήταν όμωςαρκετή η παρατήρηση αυτή για την υιοθέτηση της περιγραφής των σωματιδίων ως

πεδία. Τίποτε δεν μπορούσε όμως να εγγυηθεί ότι η περιγραφή αυτή είναι η σωστήγια τα υπόλοιπα σωματίδια π.χ. για το ηλεκτρόνιο. Στην Κβαντική Μηχανικήόμως, η οποία μελετά τα σωματίδια σε μικρές κλίμακες, το κάθε σωματίδιο παύει ναέχει την κλασική έννοια ενός σωματιδίου αλλά αποκτά κυματικές ιδιότητες (όπωςακριβώς συμβαίνει για το φωτόνιο) που επιτρέπουν στα παρατηρήσιμα μεγέθη (π.χ.θέση σωματιδίου, ορμή σωματιδίου) να μην μπορούν να καθοριστούν με πλήρηβεβαιότητα (Αρχή αβεβαιότητας Heisenberg). Τα σωματίδια είναι κύματα τα οποίααπλώνονται στο χώρο και εξαιτίας των αβεβαιοτήτων αυτών για τα παρατηρήσιμα

μεγέθη, εισάγεται στη θεωρία αυτή η κβάντωση των σωματιδίων, οι κανόνες τωνπιθανοτήτων και η έννοια της κυματοσυνάρτησης, η οποία σχετίζεται με τηνπιθανότητα μέτρησης παρατηρήσιμων μεγεθών, ενώ η ίδια δεν αποτελεί κάποιοφυσικό μέγεθος. Η έννοια της κυματοσυνάρτησης αρκούσε για να περιγράψει μησχετικιστικά στοιχειώδη σωματίδια, διατηρώντας την κλασική διάκριση μεταξύσωματιδίου και πεδίου. ΄Ομως δεν μπορούσε να περιγράψει ικανοποιητικά τα

στοιχειώδη σωματίδια τα οποία αποκτούσαν ταχύτητες που πλησίαζαν την ταχύτητα

του φωτός δηλαδή τα σχετικιστικά στοιχειώδη σωματίδια. ΄Ετσι εμφανίζεται ξανάστη θεωρία αυτή το πεδίο κατέχοντας κάποιες επιπρόσθετες ιδιότητες από αυτές

της κλασικής περιγραφής του.

Η Σχετικιστική Κβαντομηχανική μελετά τη μηχανική σωματιδίων σε πολύ

μικρές κλίμακες διαστάσεων (κβαντομηχανικές) και πολύ υψηλές ενέργειες(σχετικιστικές). Δηλαδή συνδυάζει τις αρχές που διέπουν την Κβαντομηχανικη καιτην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Για το συνδυασμό των προαναφερθέντωνθεωριών, δεν αρκούσε μόνο η αντικατάσταση της κυματοσυνάρτησης με το πεδίο,το οποίο πλέον θα περιέγραφε τις καταστάσεις στις οποίες μπορούν να βρεθούν τα

σχετικιστικά σωματίδια. Εκκρεμούσε η κβάντωση της φυσικής αυτής ποσότητας εναντιστοιχία με την Κβαντομηχανική στην οποία γίνεται κβάντωση των ποσοτήτων

που περιγράφουν τα μη σχετικιστικά σωματίδια. ΄Οταν επετεύχθη αυτό


οδηγηθήκαμε στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων η οποία μπορεί να περιγράψει όλες τις

θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης εκτός από τη βαρυτική, που έχει μικρότερη ισχύ σεσχέση με τις άλλες (ηλεκτρομαγνητική, ισχυρή και ασθενής δύναμη) στουποατομικό επίπεδο των στοιχειωδών σωματιδίων.

Η αναγκαιότητα του πεδίου στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική έγκειται σε

τρεις λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι δεν δύναται να μιλήσουμε για σχετικιστικέςκβαντομηχανικές μονοσωματιδιακές καταστάσεις. Σύμφωνα με τη σχετικιστική

σχέση ενέργειας – ορμής E2 = (pc)2 + (mc2)2, εμφανίζονται δύο κλάδοι για τηνενέργεια, ένας θετικός και ένας αρνητικός και παρατηρούμε ότι η θεμελιώδηςκατάσταση (η κατάσταση με τη χαμηλότερη ενέργεια) δεν έχει κατώτατοενεργειακό φράγμα. Το πρόβλημα αυτό αίρεται, αρκεί να σκεφτεί κανείς τιςκαταστάσεις αυτές ως πολυσωματιδιακές καταστάσεις, συμβατές με την

απαγορευτική αρχή του Pauli. Σε μια τέτοια ερμηνεία, η κατάσταση χαμηλότερηςενέργειας («κενό») είναι αυτή στην οποία όλες οι μονοσωματιδιακές καταστάσειςαρνητικής ενέργειας είναι πλήρως κατειλημμένες. Η μη πλήρωση μιας κατάστασηςαρνητικής ενέργειας ισοδυναμεί με την παρουσία ενός αντισωματιδίου. Λόγω τηςερμηνείας αυτής, δόθηκε η δυνατότητα της ταυτόχρονης δημιουργίας ζεύγουςσωματιδίου – αντισωματιδίου από το κενό της θεωρίας, ανά πάσα στιγμή, όπουχρησιμοποιείται μέρος της ενέργειας του συστήματος. Αυτό συμβαίνει και στηνπερίπτωση όπου η ενέργεια του κενού δεν είναι αρκετή για τη δημιουργία του

ζεύγους σωματιδίου – αντισωματιδίου. Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται το

ζεύγος σωματιδίου – αντισωματιδίου ως «εικονικά» σωματίδια. Τα εικονικά

σωματίδια είναι σωματίδια με πολύ μικρό χρόνο ζωής, που θα έχουν τηναπαιτούμενη ενέργεια λόγω της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg∆E · ∆t ≥ ~/2. Δεν μπορούν να παρατηρηθούν σε πειράματα, αλλά η παρουσίατους επηρεάζει φυσικές ποσότητες (όπως τη μάζα ενός σωματιδίου ή την ηλεκτρικήεπίδραση μεταξύ φορτισμένων σωματιδίων) με μετρήσιμο τρόπο. Η ύπαρξη τωνεικονικών σωματιδίων είναι ένα καθαρά κβαντομηχανικό φαινόμενο. Τα σωματίδιααναδύονται από το κενό και εξαφανίζονται πριν «η φύση προλάβει να καταγράψειτην ύπαρξή τους». Επιπλέον (πραγματικά) σωματίδια μπορούν να εκπέμψουνεικονικά, τα οποία αφού κινηθούν για πολύ μικρά διαστήματα εξαφανίζονται,αλληλεπιδρώντας με άλλα σωματίδια. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenbergπεριορίζει τη διάρκεια της εφήμερης παρουσίας των εικονικών σωματιδίων και

επομένως και την απόσταση που μπορούν να διανύσουν. Η παρουσία τους

περιπλέκει τους υπολογισμούς σε απλά φαινόμενα, όπως για παράδειγμα ηηλεκτρική αλληλεπίδραση μεταξύ ενός ηλεκτρονίου και ενός πρωτονίου. Η έμμεση


παρουσία τους σε υποατομικά φαινόμενα μπορεί να αναδείξει νέα σωματίδια και νέες

δυνάμεις που διαφεύγουν την άμεση παρατήρηση ακόμη και στα πειράματα των

μεγαλύτερων επιταχυντών. ΄Οσα αναφερθήκαν πιο πάνω για τα εικονικά σωματίδιαισχύουν αντίστοιχα στην περίπτωση της εξαΰλωσης σωματιδίου – αντισωματιδίου.΄Αρα, η κάθε κατάσταση σχετικιστικών σωματιδίων μπορεί να περιέχει άπειρασωματίδια και αντισωματίδια, τα οποία δημιουργούνται ή εξαϋλώνονται ανά πάσαστιγμή. Συνεπώς, ο αριθμός των σωματιδίων της κάθε κατάστασης είναιμεταβλητός και για το λόγο αυτό η έννοια της κυματοσυνάρτησης δεν μπορεί να

περιγράψει τέτοιες καταστάσεις οι οποίες δεν έχουν σταθερό αριθμό σωματιδίων.Το πεδίο ωστόσο μπορεί να περιγράψει τις καταστάσεις αυτές και έτσι θεωρείται

απαραίτητο στοιχείο για τη θεωρία της Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής.

΄Ενας δεύτερος λόγος αναγκαιότητας του πεδίου είναι η εξήγηση της σχέσης

σπιν και στατιστικής μεταξύ μη διακρίσιμων (πανομοιότυπων) σωματιδίων. ΣτηνΚβαντική Μηχανική η κατάσταση που περιγράφει δύο πανομοιότυπα σωματίδια

γίνεται μέσω κατασκευής συμμετρικής ή αντισυμμετρικής κυματοσυνάρτησης,επιβάλλοντας έτσι τη στατιστική των σωματιδίων με το χέρι. Αν η κατάστασηαναφέρεται σε μποζόνια, δηλαδή σε σωματίδια τα οποία έχουν ακέραιο σπιν, ηανταλλαγή δύο σωματιδίων αφήνει την κατάσταση αμετάβλητη και άρα η

κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να κατασκευαστεί έτσι ώστε να είναι συμμετρική. Αν ηκατάσταση αναφέρεται σε φερμιόνια, δηλαδή σε σωματίδια τα οποία έχουνημιακέραιο σπιν, η ανταλλαγή δύο σωματιδίων αλλάζει την κατάσταση κατά έναπρόσημο και άρα η κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να κατασκευαστεί έτσι ώστε να

είναι αντισυμμετρική. Με την εισαγωγή του πεδίου όμως, η σχέση μεταξύ σπιν καιστατιστικής για τα πανομοιότυπα σωματίδια (θεώρημα σπιν – στατιστικής) πηγάζειαπό το φορμαλισμό της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων και έτσι δεν κρίνεται αναγκαίος

ο καθορισμός της στατιστικής των σωματιδίων με το χέρι.

Τέλος, η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων αποφεύγει την παραβίαση της αιτιότητας.Αιτιότητα είναι η σχέση μεταξύ αιτίου και αιτιατού, δηλαδή υπάρχει αιτιώδηςσυνάφεια δύο καταστάσεων (αιτίας και αποτελέσματος), όταν είναι βέβαιο ότι ηδεύτερη κατάσταση προέκυψε εξ αιτίας της πρώτης. Θα παρατηρήσουμε ότι ότανυπολογίζουμε το διαδότη ενός ελεύθερου σωματιδίου (σχετικιστικού ή μη) από τοχωροχρονικό σημείο (~x0, t0) στο (~x, t), παρατηρούμε παραβίαση της αιτιότηταςβάσει της Κβαντικής Μηχανικής:

K(~x, t; ~x0, t0) = 〈~x, t|~x0, t0〉 = 〈~x| e−(i/~)H(t−t0)|~x0〉


Αντικαθιστώντας τη σχετικιστική μορφή της χαμιλτονιανής του συστήματος H =√(pc)2 + (mc2)2, ο διαδότης μετατρέπεται σε:

K(~x, t; ~x0, t0) = 〈~x | e−(i/~) (t−t0)√

(pc)2+(mc2)2| ~x0〉

=

∫d3p e−(i/~) (t−t0)

√(pc)2+(mc2)2〈~x | ~p〉〈~p | ~x0〉

Από την Κβαντική Μηχανική γνωρίζουμε ότι 〈~x | ~p〉 =[1/(2π~)3/2

]e(i/~) ~p·~x, άρα:

K(~x, t; ~x0, t0) =

∫d3p

(2π~)3e− (i/~) (t−t0)

√(pc)2+(mc2)2 + (i/~) ~p·(~x−~x0)

=1

(2π~)3

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ e(i/~) p |~x−~x0| cos θ

∫ ∞0

dp p2 e − (i/~) (t−t0)√

(pc)2+(mc2)2

= − i

(2π~)2 |~x− ~x0|

[∫ ∞0

dp p e(i/~)(p|~x−~x0| −(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)−∫ ∞

0

dp p e − (i/~)(p|~x−~x0| +(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)]Εκτελούμε την εξής αλλαγή μεταβλητών p → −p στο δεύτερο ολοκλήρωμα καικαταλήγουμε στην παρακάτω μορφή του διαδότη:

K(~x, t; ~x0, t0) = − i

(2π~)2 |~x− ~x0|

∫ ∞−∞

dp p e(i/~)(p|~x−~x0| −(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)Το ολοκλήρωμα της πιο πάνω έκφρασης μπορεί να επιλυθεί με τη βοήθεια της μεθόδου

της στάσιμης φάσης, δηλαδή θεωρώντας |~x − ~x0| c(t − t0). Η συνάρτηση φάσηςp |~x − ~x0| − (t − t0)

√(pc)2 + (mc2)2 έχει στάσιμο σημείο στο ps = (imc |~x −

~x0|)/(√|~x− ~x0|2 −

(c(t− t0)

)2). Επομένως:

K(~x, t; ~x0, t0) ≈( mc

2π~)(3/2)

c(t− t0) (|~x− ~x0|2 −(c(t− t0))2

)−(5/4)e−(mc/~)

√|~x−~x0|2−

(c(t−t0)

)2

≈( mc

2π~)(3/2)

c(t− t0) |~x− ~x0|−(5/2) e−(mc/~)|~x−~x0| (1.1)

Στο αποτέλεσμα που βρήκαμε παρατηρούμε ότι ο διαδότης K(~x, t; ~x0, t0) από το

χωροχρονικό σημείο (~x0, t0) στο (~x, t), αν και μικρός, είναι πεπερασμένος στο όριο|~x − ~x0| c(t − t0), δηλαδή έξω από το φωτεινό κώνο, περιοχή η οποία είναιαπαγορευμένη λόγω διατήρησης της αιτιότητας. ΄Ετσι συμπεραίνουμε ότι όταν

εφαρμόζουμε τη θεωρία της Κβαντικής Μηχανικής προσπαθώντας να περιγράψουμε

σχετικιστικά σωματίδια, παραβιάζουμε την αιτιότητα. ΄Οπως είπαμε και πιο πάνω, ηεισαγωγή του πεδίου σωματιδίων και αντισωματιδίων μπορεί να απαλείψει το


πρόβλημα αυτό. Μετά από ανάλυση του προβλήματος και πράξεις, βρίσκουμε ότι οδιαδότης ενός σωματιδίου σε χωροειδή διαστήματα (x > ct) δεν διαφέρει από το

διαδότη ενός αντισωματιδίου με αντίστροφη χωροχρονική φορά. ΄Ετσι

συμπεραίνουμε ότι η μελέτη της εξάρτησης μιας παρατήρησης σε ένα χωροχρονικό

σημείο με μια παρατήρηση σε ένα άλλο χωροχρονικό σημείο, δίνει πλάτηπιθανότητας διάδοσης ανάμεσα στα δύο σημεία ενός σωματιδίου και ενός

αντισωματιδίου τα οποία αλληλοεξουδετερώνονται σε χωροειδή διαστήματα, χωρίςνα παραβιάζεται η αιτιότητα.

Συνοψίζοντας, λοιπόν, η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων κατάφερε να περιγράψειτις καταστάσεις στις οποίες εμφανίζεται διαφορετικός και μη σταθερός αριθμός

σωματιδίων, συνέβαλε στην εξήγηση της σχέσης σπιν και στατιστικής και έλυσε τοπρόβλημα της παραβίασης της αιτιότητας εισάγοντας τα αντισωματίδια. Πέρα απόαυτά όμως, ένα επίσης σπουδαίο επίτευγμα της θεωρίας αυτής είναι ότι κατάφερε ναδώσει τα κατάλληλα εργαλεία τα οποία είναι απαραίτητα για τον υπολογισμό χρόνων

ημιζωής των σωματιδίων, ενεργών διατομών σε σκεδάσεις καθώς και άλλωνχρήσιμων παρατηρήσιμων ποσοτήτων. Με τη διαχρονική πειραματική επαλήθευσητων πιο πάνω μεγεθών, η θεωρία αυτή καθιερώθηκε ως η σωστή περιγραφή τωναλληλεπιδράσεων.

1.2 Γενικός Φορμαλισμός

1.2.1 O φορμαλισμός της κανονικής Κβάντωσης των

Πεδίων

Στην Κβαντικη Μηχανική, η κβάντωση των κλασικών σωματιδίων γίνεταιμέσω της μετατροπής των ποσοτήτων που περιγράφουν κλασικά το υπό εξέταση

σύστημα σε ερμιτιανούς τελεστές ενός χώρου Hilbert. Οι ποσότητες που

περιγράφουν κλασικά ένα σύστημα είναι τυπικά η γενικευμένη συντεταγμένη qi(t)

του κάθε σωματιδίου και η συζυγής ορμή του pi(t). Τώρα, οι ερμιτιανοί τελεστές(οι οποίοι αντικαθιστούν τις κλασικές ποσότητες) ικανοποιούν τις εξής μεταθετικέςσχέσεις (στην εικόνα Heisenberg):


[qi(t), pj(t)] = i~ δij[qi(t),qj(t)] = [pi(t), pj(t)] = 0

(1.2)

κατ’ αντιστοιχία των κλασικών σχέσεων:

qi(t), pj(t)PB = δij

qi(t), qj(t)PB = pi(t), pj(t)PB = 0

όπου PB είναι τα άγκιστρα Poisson και οι τελεστές μέσα στα άγκιστρα αναφέρονταιστην ίδια χρονική στιγμή t. Αντίστοιχα, όλα τα παρατηρήσιμα μεγέθη μετατρέπονταισε ερμιτιανούς τελεστές, αφού αποτελούν συναρτήσεις των qi(t) και pi(t).

Η κβάντωση των κλασικών πεδίων ακολουθεί πιστά την κβάντωση των

κλασικών σωματιδίων, που συναντούμε στην Κβαντική Μηχανική και πουαναφέρθηκε πιο πάνω. Στην περίπτωση όμως της κβάντωσης των κλασικών πεδίων,εκτός από τα συνήθη παρατηρήσιμα μεγέθη, μετατρέπονται και τα πεδία σεερμιτιανούς τελεστές ενός χώρου Fock (δεύτερη κβάντωση). Ο χώρος αυτός

περιλαμβάνει άπειρους χώρους Hilbert καθότι αναπαριστά καταστάσεις μεμεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Στο φορμαλισμό αυτό που περιγράφουμε, το ρόλοτης γενικευμένης συντεταγμένης qi(t) παίζει το πεδίο φ(~x, t) και αντίστοιχα το

ρόλο της συζυγούς ορμής έχει το συζυγές πεδίο π(~x, t), το οποίο ορίζεται με τηχρήση του φορμαλισμού της Θεωρίας Κλασικών Πεδίων. Στο σημείο αυτό

παρουσιάζεται μια σημαντική διαφορά η οποία πρέπει να τονιστεί. Σε αντίθεση μετην Κβαντική Μηχανική, στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων το πεδίο αποτελεί μιασυνεχή συνάρτηση του χωροχρόνου. Γνωρίζουμε όμως ότι η συντεταγμένη qi(t)ενός σωματιδίου έχει μόνο χρονική εξάρτηση και ορίζεται σε ένα μόνο σημείο του

χώρου. Για το λόγο αυτό, στην περίπτωση του πεδίου ο διακριτός δείκτης iαντικαθίσταται από τη συνεχή μεταβλητή x. Για την κβάντωση ενός τέτοιου

συνεχούς συστήματος, όπως είναι το πεδίο, πρέπει να υπάρξει απαραίτητηγενίκευση όσον αφορά τις μεταθετικές σχέσεις (1.2).

Αρχικά, θα ορίσουμε το συζυγές πεδίο π(~x, t) για σκοπούς πληρότητας και

έπειτα θα εξαγάγουμε τις μεταθετικές σχέσεις των πεδίων γενικεύοντας έτσι τις

αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις (1.2). Για να καταστεί σαφής ο παραλληλισμόςμεταξύ της κβάντωσης πεδίου και σωματιδίου, θα θεωρήσουμε το πεδίο ως σύστημαμε πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας, διαμερίζοντας τον τριδιάστατο χώρο σε


κελιά όγκου ∆Vi και ορίζοντας τη συντεταγμένη φi(t) από τη μέση τιμή του φ(~x, t)

στο i – οστό κελί:

φi(t) ≡1

∆Vi

∫(ith cell)

d3x φ(~x, t)

Αντίστοιχα, η ποσότητα φi(t) ορίζεται ως η μέση τιμή της παραγώγου ∂φ(~x, t)/∂t

και η Li, ως η μέση τιμή της λαγκρανζιανής πυκνότητας στο i – οστό κελί. Βάσειτων πιο πάνω ορισμών, η λαγκρανζιανή γράφεται ως:

L =

∫d3xL →

∑i

∆ViLi

Σύμφωνα με την Κλασική Μηχανική, η συζυγής ορμή θα είναι:

pi(t) =∂L

∂φi(t)= ∆Vi

∂Li∂φi(t)

≡ ∆Vi πi(t)

όπου πi(t) είναι η συζυγής πυκνότητα ορμής. Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχέςσύστημα, η συζυγής πυκνότητα ορμής, ορίζεται ως:

π(~x, t) =∂L(φ, ∂µφ)

∂φ(~x, t)(1.3)

η οποία είναι το συζυγές πεδίο του φ(~x, t). Οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις (1.2)για το πιο πάνω διακριτό σύστημα θα είναι:

[φi(t), pj(t)] = i~ δij[φi(t), φj(t)] = [pi(t), pj(t)] = 0

ή συναρτήσει του πi(t):

[φi(t), πj(t)] =i~δij∆Vi

[φi(t), φj(t)] = [πi(t), πj(t)] = 0

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχές σύστημα, οι πιο πάνω σχέσεις μετατρέπονται σε:

[φ(~x, t), π(~y, t)] = i~ δ3(~x− ~y)

[φ(~x,t), φ(~y, t)] = [π(~x, t), π(~y, t)] = 0(1.4)

όπου πήραμε το όριο ∆Vi → 0.


Για φυσικά συστήματα τα οποία περιγράφονται από περισσότερα του ενός ανεξάρτητα

πεδία φr(~x, t), τα πιο πάνω αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν και έτσι τα συζυγήπεδία ορίζονται ως:

πr(~x, t) =∂L

∂φr(~x, t)(1.5)

και οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις ως:

[φr(~x, t), πs(~y, t)] = i~ δrs δ3(~x− ~y)

[φr(~x, t), φs(~y, t)] = [πr(~x, t), πs(~y, t)] = 0(1.6)

Με τον πιο πάνω φορμαλισμό μπορούμε να περιγράψουμε την κβάντωση των

πεδίων που αναφέρονται σε μποζόνια, τα οποία είναι συμμετρικά ως προς τηνεναλλαγή σωματιδίων. Αντίστοιχος φορμαλισμός χρησιμοποιείται στην περιγραφήτης κβάντωσης πεδίων που αναφέρονται σε φερμιόνια. Στην περίπτωση αυτή

χρειάζεται αντικατάσταση των μεταθετικών σχέσεων με τις αντίστοιχες

αντιμεταθετικές σχέσεις, όπως αποδεικνύεται από το θεώρημα σπιν – στατιστικής.Αυτό έχει ως συνέπεια ότι τα φερμιονικά πεδία είναι αντισυμμετρικά ως προς την

εναλλαγή σωματιδίων, γεγονός που επιβεβαιώνεται και πειραματικά.

1.2.2 Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων – Θεώρημα Noether

Συμμετρία είναι η ιδιότητα ενός αντικειμένου ή συστήματος, να παραμένειαναλλοίωτο μετά από ένα σύνολο αλλαγών (μετασχηματισμών). Τις πιο

χαρακτηριστικές περιπτώσεις συμμετρίας που συναντάμε στη φύση, μπορούμε να τιςκατατάξουμε σε δυο μεγάλες κατηγορίες: Υπάρχουν οι συνεχείς συμμετρίες (π.χ.περιστροφές) και οι διακριτές συμμετρίες (π.χ. ανακλάσεις). Από την Κλασικήμηχανική, γνωρίζουμε ότι ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα της λαγκρανζιανήςθεώρησης είναι ότι αυτή αποκαλύπτει με άμεσο τρόπο ποσότητες που διατηρούνται

κατά τη μελέτη ενός φυσικού συστήματος εξαιτίας κάποιας συμμετρίας. Για

παράδειγμα, η ομογένεια του χρόνου (συμμετρία ως προς τη χρονική μετατόπιση)συνεπάγεται τη διατήρηση της ενέργειας, η ομογένεια του χώρου (συμμετρία ωςπρος τη χωρική μετατόπιση) συνεπάγεται τη διατήρηση της ορμής και η χωρικήισοτροπία του χώρου (συμμετρία ως προς τη στροφή προς οποιαδήποτε κατεύθυνση


στο χώρο) συνεπάγεται τη διατήρηση της στροφορμής. Η σχέση συνεχών

συμμετριών και νόμων διατήρησης στη Θεωρία Κλασικών Πεδίων περιγράφεται

μέσω ενός θεωρήματος, του θεωρήματος της Noether. Το θεώρημα αυτό συνεχίζεινα ισχύει και στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, αφού οι διατηρούμενες ποσότητεςορίζονται με τον ίδιο τρόπο, με τη μόνη διαφορά της μετατροπής των συναρτήσεωντων πεδίων σε τελεστές. Βάσει του θεωρήματος της Noether, όταν ένα φυσικόσύστημα υποβάλλεται σε συνεχή μετασχηματισμό, ο οποίος αποτελεί συμμετρία,δηλαδή οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος μένουν αναλλοίωτες, τότε υπάρχει μιαορισμένη ποσότητα jµ(x), η οποία καλείται ρεύμα της Noether, που είναι συνάρτησητου συστήματος και υπακούει στην εξίσωση συνέχειας ∂µj

µ(x) = 0. Το γεγονόςότι η εξίσωση αυτή ισχύει σε κάθε σημείο του χωροχρόνου, καθιστά το ρεύμαjµ(x) χρήσιμο για τη μελέτη τοπικών φαινομένων. ΄Ενα τέτοιο θεώρημα που

επιτρέπει την περιγραφή παρατηρούμενων τοπικών κανόνων στη φύση μέσω των

απαιτήσεων συμμετρίας μιας τοπικής λαγκρανζιανής πυκνότητας επιτρέπει την

εισαγωγή όρων αλληλεπίδρασης (που σχετίζονται με τα διατηρούμενα ρεύματα) στηλαγκρανζιανή πυκνότητα, δημιουργώντας έτσι νέες θεωρίες, συμβατές με τις ενλόγω συμμετρίες. Γι’ αυτό και μας ενδιαφέρει η εφαρμογή του θεωρήματος Noetherστη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων.

΄Ενας συνεχής απειροελάχιστος μετασχηματισμός του πεδίου φ(x) (στο εξήςx ≡ xµ = (~x, t)) μπορεί να γραφτεί με τη γενική μορφή:

φ(x)→ φ′(x) = φ(x) + α∆φ(x)

όπου α είναι απειροελάχιστη σταθερά και ∆φ(x) κάποια παραμόρφωση του πεδίου.Για να αποτελεί συμμετρία ένας τέτοιος γενικός μετασχηματισμός πεδίου, πρέπει ηλαγκρανζιανή πυκνότητα του συστήματος να μένει αναλλοίωτη ή να μεταβάλλεται

κατά μία ολική παράγωγο, έτσι ώστε οι εξισώσεις Euler - Lagrange του συστήματοςνα παραμένουν αμετάβλητες. Δηλαδή:

L(x)→ L′(x) = L(x) + α∂µJµ(x) (1.7)

όπου Jµ(x) είναι συνάρτηση η οποία εξαρτάται από την παραμόρφωση ∆φ(x).Ταυτόχρονα, ένας τυχαίος συνεχής απειροελάχιστος μετασχηματισμός τηςλαγκρανζιανής πυκνότητας (ασχέτως αν αποτελεί συμμετρία ή όχι) έχει την


παρακάτω γενική μορφή:

L(φ(x), ∂µφ(x))→ L′(φ(x), ∂µφ(x)) = L(φ(x), ∂µφ(x)) + α∆L(φ(x), ∂µφ(x))

= L+ α∂L∂φ

∆φ+ α∂L

∂(∂µφ)∂µ(∆φ)

= L+ α∂µ(∂L

∂(∂µφ)∆φ) + α

[∂L∂φ− ∂µ(

∂L∂(∂µφ)

)]∆φ

Αν το πεδίο φ(x) υπακούει στην εξίσωση Euler – Lagrange, τότε ο τελευταίος όροςστην πιο πάνω σχέση μηδενίζεται. Επομένως:

L′(φ(x), ∂µφ(x)) = L(φ(x), ∂µφ(x)) + α∂µ(∂L

∂(∂µφ)∆φ)

Εξισώνοντας την πιο πάνω σχέση με την (1.7), προκύπτει ότι για παραμορφώσειςπου αποτελούν συμμετρία, οι εξισώσεις κίνησης οδηγούν στη σχέση:

∂µjµ(x) = 0 jµ(x) =

∂L∂(∂µφ)

∆φ− Jµ(x) (1.8)

Η ποσότητα jµ(x) είναι το αποκαλούμενο ρεύμα της Noether και είναι διατηρούμενοδιότι ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας. ΄Ετσι, όπως ισχύει για κάθε διατηρούμενορεύμα, το αντίστοιχο φορτίο Q:

Q ≡∫all space

j0d3x (1.9)

διατηρείται, δηλαδή ικανοποιεί την εξίσωση dQ/dt = 0. Το φορτίο αυτό, για κάθεανεξάρτητη συμμετρία είναι διαφορετικό διατηρούμενο μέγεθος. ΄Αρα, για κάθεανεξάρτητη παράμετρο η οποία χαρακτηρίζει το σύνολο συμμετριών της L, έχουμεκαι ένα νόμο διατήρησης.

΄Ενα σημαντικό παράδειγμα εφαρμογής του θεωρήματος Noether είναι το εξής:΄Οπως αναφέραμε πιο πάνω, όταν το σύστημα υποβάλλεται σε μετασχηματισμούςχωροχρονικής μετατόπισης, τότε οι διατηρούμενες ποσότητες είναι η ολική ορμήκαι η ολική ενέργεια του συστήματος, δύο πολύ σημαντικά μεγέθη στη μελέτη τηςκβάντωσης των πεδίων. Οι μετασχηματισμοί αυτοί, οι οποίοι ορίζονται από την πιοκάτω έκφραση:

xµ → x′µ = xµ − αµ


επιφέρουν τις εξής μεταβολές για το πεδίο:

φ(x)→ φ′(x) = φ(x+ α) = φ(x) + αµ∂µφ(x)

Η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι βαθμωτή ποσότητα, όπως το πεδίο, γι’ αυτό καιμετασχηματίζεται με τον ίδιο τρόπο:

L → L′ = L+ αµ∂µL = L+ αν∂µ(δµνL)

΄Αρα, Jµν = δµνL και τα διατηρούμενα ρεύματα (ένα ρεύμα για κάθε τιμή του ν =

0, 1, 2, 3) που ικανοποιούν την εξίσωση ∂µjµν = 0 είναι:

jµν =∂L

∂(∂µφ)∂νφ− δµνL (1.10)

Επομένως, τα διατηρούμενα μεγέθη των πιο πάνω ρευμάτων θα είναι αφ’ ενός ηχαμιλτονιανή του συστήματος, η οποία ορίζεται ως:

H =

∫d3x j00 =

∫d3x [π(x)φ(x)− L] ≡

∫d3x H (1.11)

όπου H ονομάζεται χαμιλτονιανή πυκνότητα, και αφ’ ετέρου οι τρεις συνιστώσες τηςφυσικής (ολικής) ορμής του συστήματος, οι οποίες ορίζονται ως:

P i =

∫d3x j0i = −

∫d3x π(x)∂i φ(x)

⇒ ~P = −∫d3x π(x)~∇ φ(x) (1.12)

1.3 Οι δράσεις των πεδίων

Στο παρόν υποκεφάλαιο, θα ορίσουμε τις δράσεις των ελεύθερων αλλά και τωναλληλεπιδρώντων πεδίων. Οι δράσεις των πεδίων διαδραματίζουν ένα πολύ

σημαντικό ρόλο στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, εκπεφρασμένη με συναρτησιακάολοκληρώματα, τα οποία θα εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.


1.3.1 Η δράση Klein – Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό

πεδίο

΄Ενα ελεύθερο βαθμωτό πεδίο περιγράφεται από την εξίσωση Klein – Gordon:

[ + (mc

~)2 ] φ(x) = 0 (1.13)

όπου =∑3

µ=0 ∂µ∂µ είναι ο τελεστής D’ Alembert. Η εξίσωση αυτή προκύπτει

όταν αντικαταστήσουμε την ενέργεια και την ορμή ως ακολούθως: E → i~ ∂/∂t

και ~p → −i~~∇, δηλαδή όπως ακριβώς συμβαίνει και στην κβαντομηχανική εξίσωσητου Schrödinger. Η μόνη ριζική διαφορά είναι η εγκατάλειψη της μη σχετικιστικήςσχέσης ενέργειας – ορμής E = −→p 2/(2m) και η υιοθέτηση της σχετικιστικής

σχέσης E2 = (~pc)2 + (mc2)2. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση Klein – Gordonχειρίζεται ισότιμα το χώρο και το χρόνο και έτσι κρίνεται συμβατή με τις απαιτήσεις

της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, εν αντιθέσει με την εξίσωση Schrödinger.Αρχικά, η εξίσωση Klein – Gordon είχε προταθεί ως σχετικιστική διόρθωση τηςελεύθερης εξίσωσης Schrödinger με φ(x) να είναι η κυματοσυνάρτηση ενός

σχετικιστικού σωματιδίου, στα πλαίσια μιας θεωρίας κβαντικού σχετικιστικούσωματιδίου. Απορρίφθηκε όμως, λόγω των ακόλουθων προβλημάτων πουπαρουσιάζει: είναι διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο και έτσι ηαρχική συνθήκη φ(~x, t0), δεν είναι αρκετή για την πλήρη περιγραφή τουσυστήματος. Επίσης, έχει αρνητικές τιμές για την ενέργεια χωρίς κατώτατο φράγμακαι αρνητικές πυκνότητες πιθανότητας. Στη συνέχεια, όμως, επανερμηνεύθηκεχρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακή ερμηνεία των καταστάσεων και τελικά

επέζησε ως θεωρία κλασικού ελεύθερου βαθμωτού πεδίου.

Σε μονάδες όπου ~ = c = 1, η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του βαθμωτού πεδίουέχει την εξής μορφή:

LK−G =1

2∂µφ∂µφ−

1

2m2φ2 (1.14)

καθώς η εξίσωση Euler – Lagrange που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη λαγκρανζιανήαυτή, δίνει την επιθυμητή εξίσωση Klein – Gordon:


∂L∂φ− ∂ν(

∂L∂(∂νφ)

) = 0

⇒ −m2φ− ∂ν [∂

∂(∂νφ)(1

2∂ρφ g

ρµ∂µφ)] = 0⇒ −m2φ− ∂ν(1

2δνρ g

ρµ∂µφ+1

2∂ρφ g

ρµδµν) = 0

⇒ −m2φ− ∂ν(1

2∂νφ+

1

2∂νφ) = 0⇒ (∂µ∂µ +m2)φ = 0

⇒ ( +m2)φ(x) = 0

Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Klein – Gordon είναι:

S =

∫d4x L =

∫d4x (

1

2∂µφ ∂µφ−

1

2m2φ2)

=1

2

∫d4x ∂µ(φ∂µφ)− 1

2

∫d4x φ(x)( +m2)φ(x)

Το πρώτο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα ως προς

το σύνορο της τετραδιάστατης χωροχρονικής περιοχής ολοκλήρωσης. Επειδή

απαιτούμε το πεδίο φ(x) να μηδενίζεται στα άκρα της περιοχής ολοκλήρωσης, τότετο ολοκλήρωμα αυτό δίνει τελικά μηδέν και επομένως η δράση Klein – Gordon γιατο ελεύθερο βαθμωτό πεδίο είναι:

SK−G = −1

2

∫d4x φ(x)( +m2)φ(x) (1.15)

1.3.2 Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια

Το σπινοριακό πεδίο των ελεύθερων φερμιονίων περιγράφεται από την ελεύθερη

εξίσωση Dirac:

(i/∂ −m)ψ(x) = 0 (1.16)

όπου /∂ = γµ∂µ και γµείναι οι 4x4 πίνακες Dirac, οι οποίοι ικανοποιούν την

αντιμεταθετική σχέση γµ, γν = 2 gµν . Η εξίσωση αυτή είναι διαφορική εξίσωσηπρώτης τάξης ως προς το χρόνο και έτσι χρειάζεται μια αρχική συνθήκη για την

περιγραφή του συστήματος, έχει μη αρνητικές πυκνότητες πιθανότητας ενώεμφανίζονται και πάλι οι αρνητικές τιμές για την ενέργεια χωρίς κατώτατο φράγμα.Η εξίσωση αυτή προήλθε σε μια προσπάθεια απάλειψης των προαναφερθέντων

προβλημάτων της εξίσωσης Klein – Gordon, στα πλαίσια της περιγραφής μιας


θεωρίας κβαντικού σχετικιστικού σωματιδίου. Η εξίσωση Dirac κατάφερε ναεπιλύσει δύο από τα τρία προβλήματα της εξίσωσης Klein – Gordon, εντούτοιςαπορρίφθηκε και αυτή η εξίσωση ως περιγραφή θεωρίας κβαντικού σωματιδίου.Επέζησε όμως ως θεωρία κλασικού πεδίου, χρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακήερμηνεία των καταστάσεων, με τη θεμελιώδη κατάσταση να έχει πλήρωςσυμπληρωμένες τις αρνητικές ενεργειακές στάθμες (θάλασσα Dirac), λύνοντας έτσιτο πρόβλημα της ανυπαρξίας ενεργειακού φράγματος. Αυτός ο τρόπος επίλυσηςτου προβλήματος αρνητικών τιμών ενέργειας, καταδεικνύει επίσης και την ύπαρξηκαταστάσεων οι οποίες ερμηνεύονται ως αντισωματίδια. Στις καταστάσεις αυτές ηθάλασσα του Dirac είναι συμπληρωμένη, με εξαίρεση μια μονοσωματιακήκατάσταση. Αποδεικνύεται ότι καταστάσεις σωματιδίων με αρνητική ενέργεια πουδιαδίδονται στο χωροχρόνο κατά την αντίστροφη φορά ισοδυναμούν με καταστάσεις

αντισωματιδίων με θετική ενέργεια που διαδίδονται στο χωροχρόνο κατά την ορθή

φορά. Σημαντική ιδιότητα της εξίσωσης Dirac είναι ότι εμπλέκει ένα πεδίο μετέσσερεις συνιστώσες και επομένως είναι κατάλληλη να περιγράψει ένα σπινοριακό

πεδίο, όπως τα φερμιόνια.

Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του φερμιονικού πεδίου έχει την εξής μορφή:

LF = ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x) (1.17)

όπου ψ(x) ≡ ψ+(x)γ0είναι το συζυγές πεδίο του ψ(x). ΄Οντως, η εξίσωση Euler

– Lagrange της λαγκρανζιανής αυτής δίνει την επιθυμητή εξίσωση Dirac για τοσπινοριακό πεδίο ψ(x):

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ (i/∂ −m)ψ(x) = 0

Επίσης, προκύπτει μία εξίσωση Euler – Lagrange για το συζυγές πεδίο ψ(x):

∂L∂ψ− ∂ν(

∂L∂(∂νψ)

) = 0⇒ −mψ − ∂ν(iψγµδµν) = 0

⇒ +i∂µψγµ +mψ = 0⇒ ψ(i

←−∂µγ

µ +m) = 0

⇒ ψ(x)(i←−/∂ +m) = 0 (1.18)

Η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την (1.16).


Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Dirac είναι η ακόλουθη:

SF =

∫d4x L =

∫d4x ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x) (1.19)

1.3.3 Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής (QED)

Η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (QED) περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις τωνηλεκτρονίων μέσω της ανταλλαγής φωτονίων. Η δράση της QED αποτελείται απόδύο μέρη: τη δράση των ηλεκτρονίων και τη δράση των φωτονίων. Επίσης, η δράσηαυτή αναμένεται να παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς

μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U(1), δηλαδή η QED είναι μιαθεωρία βαθμίδος. ΄Ετσι, τόσο η δράση των φωτονίων όσο και η δράση τωνηλεκτρονίων θα πρέπει να παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από αυτούς τους

μετασχηματισμούς, η κάθε μια ξεχωριστά.

Αρχικά, ας εξετάσουμε το κομμάτι της δράσης που αφορά τα ηλεκτρόνια. ΄Οπωςσυζητήσαμε στο υποκεφάλαιο 1.3.2, η δράση των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι:

SEL =

∫d4x ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x)

αφού περιγράφει το σπινοριακό πεδίο των ελεύθερων φερμιονίων και τα ηλεκτρόνια

είναι φερμιόνια. Η δράση αυτή των ηλεκτρονίων παραμένει αναλλοίωτη κάτω απότους ολικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας:

ψ(x)→ Gψ(x)

ψ(x)→ ψ(x)G−1

όπου G είναι ένα στοιχείο της αβελιανής ομάδας U(1), δηλαδή G = eiΛ με Λ να είναι

ανεξάρτητο του x. ΄Ομως, κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας,δηλαδή G(x) = eiΛ(x), δεν συμβαίνει το ίδιο. Για να πετύχουμε τοπικά αναλλοίωτηδράση, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την κανονική τετραδιάστατη παράγωγο ∂µ μετη συναλλοίωτη παράγωγο Dµ, η οποία ορίζεται ως εξής:

Dµ = ∂µ + ieAµ (1.20)

όπου e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Η συναλλοίωτη αυτή παράγωγος

περιλαμβάνει το φωτονικό πεδίο Aµ και έτσι δίνει όρο σύζευξης του φωτονικού


πεδίου με το πεδίο των ηλεκτρονίων. Δεδομένου ότι, κάτω από τοπικούςμετασχηματισμούς βαθμίδος ισχύει Aµ(x) → Aµ(x) − 1/e ∂µΛ(x), συμπεραίνουμεότι Dµ → G(x)DµG

−1(x). Τελικά, η διαμορφωμένη δράση των ηλεκτρονίων θαείναι η εξής:

SEL =

∫d4x ψ(x)(iγµDµ −m)ψ(x) (1.21)

η οποία είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς:

ψ(x)→ G(x)ψ(x)

ψ(x)→ ψ(x)G−1(x)

Aµ(x)→Aµ(x)− 1

e∂µΛ(x)

(1.22)

Απομένει τώρα η κατασκευή της δράσης των φωτονίων. Η δράση αυτή στηνπραγματικότητα θα περιλαμβάνει μόνο ένα κινητικό όρο, αφού όρος σύζευξηςφωτονίων – ηλεκτρονίων έχει ήδη ληφθεί υπόψη και έχει προστεθεί στη δράση τωνηλεκτρονίων, ενώ τα φωτόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους καθώς δεν έχουνηλεκτρικό φορτίο. Επίσης, στη δράση αυτή δεν θα υπάρχει ούτε καν όρος μάζαςκαθότι ένας τέτοιος όρος δεν είναι τοπικά αναλλοίωτος όπως θέλουμε. Επομένως, ηδράση που περιγράφει τα φωτόνια είναι η εξής:

SPH = −1

4

∫d4x FµνF

µν (1.23)

όπου Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Η δράση αυτή ταυτίζεται με την κλασική δράση Maxwellπου περιγράφει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η δράση αυτή είναι επίσης αναλλοίωτηκάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος του φωτονικού πεδίου, όπωςαπορρέει από τους μετασχηματισμούς (1.22).

Τώρα, έχοντας προσδιορίσει τη δράση των ηλεκτρονίων και τη δράση τωνφωτονίων, καταλήγουμε στη δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής η οποία είναιη εξής:

SQED = SPH + SEL = −1

4

∫d4x FµνF

µν +

∫d4x ψ(x)(iγµDµ −m)ψ(x) (1.24)

Η πιο πάνω δράση είναι μια τοπικά αναλλοίωτη δράση, κάτω από τους

μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U(1). Απομένει τώρα να

ελέγξουμε ότι όντως η λαγκρανζιανή της πιο πάνω δράσης δίνει τις σωστές


εξισώσεις κίνησης. Οι εξισώσεις Euler – Lagrange για τα πεδία ψ(x) και ψ(x) είναι

οι ακόλουθες:

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ (i/∂ − e /A−m)ψ(x) = 0 (1.25)

και:

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ ψ(x)(i←−/∂ + e /A+m) = 0 (1.26)

όπου /A = γµAµ. Οι δυο αυτές εξισώσεις είναι ισοδύναμες και αποτελούν την εξίσωσηDirac, συζευγμένη όμως με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Από την τελευταία εξίσωσηEuler – Lagrange βρίσκουμε:

∂L∂Aµ

− ∂ν(∂L

∂(∂νAµ)) = 0⇒ −∂(ψeγρgρσA

σψ)

∂Aµ+

1

4∂ν [

∂(gρρ′gσσ′Fρ′σ′F ρσ)

∂(∂νAµ)] = 0

⇒ −ψeγρgρµψ +1

2∂ν [Fρσ

∂F ρσ

∂(∂νAµ)] = 0⇒ −ψeγρgρµψ + ∂νFνµ = 0

⇒ ∂µFµν = eψγνψ (1.27)

η οποία είναι η συμπτυγμένη γραφή των εξισώσεων Maxwell στις μονάδες όπουc = µ0 = 1, καθώς η ποσότητα eψγνψ ισούται με το τετραδιάνυσμα ρεύματοςjν = (eρ, e~j). Συνοπτικά, η πιο πάνω δράση είναι αναλλοίωτη κάτω από τουςτοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U(1) και δίνει όντωςτις σωστές εξισώσεις κίνησης. ΄Ετσι είναι κατάλληλη να περιγράψει τις

ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις.

1.3.4 Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD)

για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις

Η Κβαντική Χρωμοδυναμική (QCD) περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις των quarkμέσω της ανταλλαγής γκλουονίων. Η δράση της QCD αποτελείται από δύο μέρη: τηδράση των γκλουονίων και τη δράση των quark. Επίσης, η δράση αυτή αναμένεταινα παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας της

μη αβελιανής ομάδας SU(3), δηλαδή η QCD είναι μια θεωρία βαθμίδος. ΄Ετσι, τόσοη δράση των γκλουονίων όσο και η δράση των quark θα πρέπει να παραμένουναναλλοίωτες κάτω από αυτούς τους μετασχηματισμούς, η κάθε μια ξεχωριστά.


Για τη μελέτη της QCD, θα χρησιμοποιήσουμε ως πρότυπο τη δράση της QEDπου περιγράφηκε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο. Στις μη αβελιανές θεωρίες

βαθμίδος SU(N), στη θέση ενός ελεύθερου πεδίου Dirac, έχουμε N τέτοια πεδία μείδια μάζα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα quark και antiquark, συναντώται στηφύση σε N = 3 διαφορετικά είδη. Για τη διάκριση των ειδών αυτών, προσδίδουμεστα quark και antiquark διαφορετικό «χρώμα». Για το λόγο αυτό, το πεδίο ψ

αντικαθίσταται από το διάνυσμα – στήλη 3x1˜ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

και το πεδίο ψ από τοδιάνυσμα – γραμμή 1x3

˜ψ =

(ψ1, ψ2, ψ3

). Το γκλουονικό πεδίο αντίστοιχα

μετατρέπεται σε πίνακα 3 x 3Ãµ, ούτως ώστε να μπορεί να συζευχθεί με

αλληλεπιδρώντα quark. Η δράση των quark παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SQ =

∫d4x

˜ψ(x)(iγµDµ −m)

˜ψ(x) (1.28)

όπου Dµ = ∂µ + igÃµ και g είναι η σταθερά σύζευξης ισχυρής αλληλεπίδρασης. Η

δράση SQ παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς:

˜ψ(x)→

˜G(x)

˜ψ(x)

˜ψ(x)→

˜ψ(x)

˜G−1(x)

Ãµ(x)→

˜G(x)

Ãµ(x)

˜G−1(x)− i

g ˜G(x)∂µ

˜G−1(x)

(1.29)

όπου τώρα˜G(x) είναι ένα στοιχείο της μη αβελιανής ομάδας SU(3), δηλαδή

˜G(x) = ei˜

Λ(x). Ο πίνακας˜Λ(x) είναι ερμιτιανός και ανήκει στην άλγεβρα Lie της

SU(3). Οι τοπικοί μετασχηματισμοί (1.29) για τα quark είναι ανάλογοι τωνμετασχηματισμών που φαίνονται στην έκφραση (1.22). Πράγματι, αν η ποσότητα

˜G(x) = ei˜

Λ(x)περιγράφει πίνακα 1x1, τότε οι σχέσεις (1.29) ανάγονται στις (1.22).

Απομένει τώρα η κατασκευή της δράσης των γκλουονίων, η οποία θα μοιάζειμε αυτή των φωτονίων αλλά θα παρουσιάζει κάποιες βασικές διαφορές. Κατ’ αρχάς,αφού το πεδίο μετατράπηκε σε πίνακα, τότε και ο αντίστοιχος τανυστής του θαείναι και αυτός πίνακας

˜Fµν . Απαιτούμε ο τανυστής

˜Fµν να είναι τουλάχιστον

συναλλοίωτος κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς της SU(3), δηλαδή

˜Fµν → G(x)

˜FµνG

−1(x), κατ’ αναλογία με το φωτονικό πεδίο. Η απλούστερηπαράγωγη ποσότητα, η οποία είναι βαθμωτή και αναλλοίωτη κάτω από τουςτοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας είναι το ίχνος της

˜Fµν

˜F µν . ΄Ετσι η

γκλουονική δράση κατασκευάζεται από την ποσότητα αυτή. Τώρα, ο ορισμός του


τανυστή˜Fµν πρέπει να διαφοροποιηθεί λίγο σε σχέση με το φωτονικό τανυστή,

ούτως ώστε να είναι συναλλοίωτος. Η απαίτηση αυτή οδηγεί στην πιο κάτω

γενίκευση του τανυστή:

˜Fµν = ∂µ

Ãν − ∂ν

Ãµ + ig[

Ãµ,

Ãν ] (1.30a)

Για το λόγο αυτό, η δράση των γκλουονίων δεν θα περιέχει μόνο ένα κινητικό όροαλλά και όρους αλληλεπίδρασης. ΄Ετσι, στο στάδιο αυτό έχει υπεισέλθει η δεύτερηβασική διαφορά μεταξύ της δράσης των γκλουονίων και της δράσης των φωτονίων. Ηύπαρξη του χρώματος δημιούργησε διαφορετικά είδη γκλουονίων, τα οποία μπορούννα αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους. ΄Εχοντας υπόψη όλα τα πιο πάνω, η τελική μορφήτης γκλουονικής δράσης είναι η εξής:

SG = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) (1.30b)

Εδώ σημειώνουμε ότι, αφού η ποσότητα−i/g˜G(x)∂µ

˜G−1(x) είναι ερμιτιανός πίνακας

με ίχνος μηδέν, τότε η υπόθεση ότι και το γκλουονικό πεδίοÃµ είναι ερμιτιανός

πίνακας με ίχνος μηδέν είναι αυτοσυνεπής. ΄Ετσι το πεδίοÃµ, ανήκει στην άλγεβρα

Lie της SU(3) και επομένως μπορεί να γραφτεί ως:

Ãµ(x) =

8∑a=1

Aaµ(x)λa

2(1.31)

όπου Aaµ(x) αποτελούν οκτώ διαφορετικά γκλουονικά πεδία τα οποία αντιστοιχούν

στους οκτώ γεννήτορες λa της SU(3), που είναι οι 3 x 3 πίνακες Gell – Mann.Κατ’ αντιστοιχία, και ο τανυστής

˜Fµν ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU(3) και έτσι

γράφεται ως:

˜Fµν(x) =

8∑a=1

F aµν(x)

λa

2(1.32a)

όπου:

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ − gfabcAbµ Acν (1.32b)

Η έκφραση (1.32b) προκύπτει από την αντικατάσταση της (1.31) μέσα στην (1.30a)και με χρήση των σχέσεων μετάθεσης και ορθογωνιότητας των πινάκωνGell – Mann:


[λa, λb] = 2i8∑c=1

fabc λc (1.33a)

tr(λa λb) = 2δab (1.33b)

Με αντικατάσταση της σχέσης (1.32a) στην γκλουονική δράση προκύπτει:

SG = −1

4

∫d4x F a

µνFµνa (1.34)

που μοιάζει με τη φωτονική δράση.

Τώρα, έχοντας προσδιορίσει τη δράση των quarks και τη δράση των γκλουονίων,καταλήγουμε στη δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής η οποία είναι η εξής:

SQCD = SG + SQ = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) +

∫d4x

˜ψ(x)(iγµDµ −m)

˜ψ(x)

(1.35)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα quark έχουν έξι διαφορετικές γεύσεις, τότε η συνολικήδράση της QCD γράφεται:

SQCD = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) +

6∑f=1

∫d4x

˜ψf (x)(iγµDµ −mf )

˜ψf (x)

= −1

4

8∑a=1

∫d4x F a

µνFµνa +

6∑f=1

3∑a,b=1

4∑α,β=1

∫d4x (ψaf )α [iγµαβ(Dµ)ab −mfδ

abδαβ] (ψbf )β

(1.36)

1.4 Οι διαδότες των πεδίων

Μέσω της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων, μπορεί να γίνει μελέτη παρατηρήσιμωνιδιοτήτων των στοιχειωδών σωματιδίων. Η μελέτη αυτή στηρίζεται στον

υπολογισμό στοιχείων πινάκων και συναρτήσεων συσχέτισης σύνθετων τελεστών

των κβαντικών πεδίων. Μια τέτοια συνάρτηση συσχέτισης αποτελεί ο διαδότηςενός κβαντικού πεδίου, ο οποίος έχει πολύ μεγάλη σημασία και η μορφή του οποίουκρίνεται βοηθητική για την κατασκευή των υπόλοιπων και πιο σύνθετων

συναρτήσεων συσχέτισης. Βέβαια, ο ορισμός των διαδότων των κβαντικών πεδίων,προϋποθέτει την κβάντωση των πεδίων αυτών.


1.4.1 Η κβάντωση του ελεύθερου βαθμωτού πεδίου

Klein – Gordon και ο αντίστοιχος διαδότης του

Θα ασχοληθούμε αρχικά με την κβάντωση του ελεύθερου βαθμωτού πεδίου

Klein – Gordon. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται ο φορμαλισμός ο οποίος περιγράφηκεστο υποκεφάλαιο 1.2.1 και που αφορά την κβάντωση των πεδίων. Πρώτα όμως,θα πρέπει να επιλύσουμε την εξίσωση Klein – Gordon (1.13) (σε μονάδες ~ =

c = 1) ούτως ώστε να βρούμε την κλασική μορφή του πεδίου αυτού και έπειτα ναγίνει η κβάντωσή του. Η κβάντωση του κλασικού πεδίου στο χώρο των θέσεωνείναι μη τετριμένη και έτσι θα μεταφερθούμε στο χώρο των ορμών χρησιμοποιώντας

μετασχηματισμούς Fourier. Στην περίπτωση αυτή, το πεδίο γράφεται στη μορφή:

φ(~x, t) =

∫d3p

(2π)3ei ~p·~x φ(~p, t) (1.37)

(με φ∗(~p, t) = φ(−~p, t) έτσι ώστε φ(~x, t) να είναι πραγματικό). Τότε, η εξίσωσηKlein – Gordon παίρνει την πιο κάτω μορφή:

(∂2

∂t2+ |~p|2 +m2) φ(~p, t) = 0 (1.38)

η οποία για κάθε τιμή του ~p, δίνει μια εξίσωση κλασικού απλού αρμονικού ταλαντωτήμε συχνότητα ταλάντωσης:

ωp = +√|~p|2 +m2 (1.39)

Καταλήγουμε έτσι στο συμπέρασμα ότι η κβάντωση του πεδίου ανάγεται πλέον

στην κβάντωση άπειρων ασύζευκτων κλασικών αρμονικών ταλαντωτών. Από τηνΚβαντική Μηχανική, γνωρίζουμε τον ακριβή τρόπο επίλυσης του προβλήματοςαυτού.

Η χαμιλτονιανή ενός κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στην εικόνα Schrödingerέχει την πιο κάτω μορφή:

H =1

2π2 +

1

2ω2φ2

όπου τα φ και π ικανοποιούν τη μεταθετική σχέση [φ, π] = i. Τώρα, για να βρεθούνοι ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις της ανωτέρω χαμιλτονιανής, θα πρέπει ναεισαγάγουμε δύο τελεστές: τον τελεστή αναβίβασης a† και τον τελεστή


καταβίβασης a, όπως ακριβώς πράττουμε στην Κβαντική Μηχανική. Οι τελεστέςαυτοί, ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις:

φ ≡ 1√2ω

(a+ a†) (1.40a)

π ≡ −i√ω

2(a− a†) (1.40b)

Η σχέση μετάθεσης των φ και π, βάσει των πιο πάνω ορισμών, μετατρέπεται σε:

[a, a†] = 1 (1.41)

Η χαμιλτονιανή τώρα, γράφεται ως εξής:

H = ω(a†a+1

2) = ω(aa† − 1

2) (1.42)

΄Εστω ότι |n〉 είναι ιδιοκατάσταση της πιο πάνω χαμιλτονιανής με ιδιοτιμή En,(H|n〉 = En|n〉). Τότε αποδεικνύεται ότι οι καταστάσεις a†|n〉 και a|n〉 είναι επίσηςιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής με ιδιοτιμές En + ω και En − ω αντίστοιχα.΄Ητοι:

H(a†|n〉) = (En + ω)(a†|n〉), H(a|n〉) = (En − ω)(a|n〉)

Για το λόγο αυτό, οι τελεστές αυτοί καλούνται τελεστής αναβίβασης καικαταβίβασης καθότι δημιουργούν καινούργιες ιδιοκαταστάσεις με αυξημένες ή

μειωμένες ιδιοτιμές αντίστοιχα. Για να υπάρξει όμως θεμελιώδης κατάσταση |0〉,ορίζεται ένα κατώτατο φράγμα για την ενέργεια En, κάτω από το οποίο ο τελεστήςκαταβίβασης δεν μπορεί να δημιουργήσει πλέον άλλη ιδιοκατάσταση, δηλαδήa|0〉 = 0. Η ιδιοτιμή της κατάστασης αυτής είναι E0 = ω/2. Οι υπόλοιπεςιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής προκύπτουν από την αλλεπάλληλη δράση του

τελεστή αναβίβασης στη θεμελιώδη κατάσταση, |n〉 = (a†)n|0〉. Χρησιμοποιώνταςτις πιο κάτω μεταθετικές σχέσεις:

[H, a†] = ωa†, [H, a] = −ωa

μπορούμε να βρούμε τις ιδιοτιμές των ιδιοκαταστάσεων |n〉, οι οποίες είναι ίσες μεEn = (n+ 1/2)ω, δηλαδή H|n〉 = (n+ 1/2)ω|n〉.


Ακολουθώντας την πιο πάνω διαδικασία καταφέραμε την κβάντωση ενός μόνο

απλού αρμονικού ταλαντωτή. Για να επιτευχθεί η κβάντωση του συγκεκριμένουσυστήματος, δηλαδή του συστήματος άπειρων ανεξάρτητων αρμονικών ταλαντωτών,χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία μόνο που τώρα ο κάθε ταλαντωτής, θα έχει τηδική του ορμή p, συχνότητα ταλάντωσης ωp, τελεστή αναβίβασης a†p και

καταβίβασης ap. Σε αναλογία με τις σχέσεις (1.40), γράφουμε:

φ(~p) =1√2ωp

(ap + a†p)

π(~p) = −i√ωp2

(ap − a†p)

Επιστρέφοντας πίσω στο χώρο των θέσεων, τα πεδία φ και π, παίρνουν την πιο κάτωμορφή τελεστών (στην εικόνα Schrödinger):

φ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2ωp

(apei~p·~x + a†pe

−i~p·~x) (1.43)

π(~x) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√ωp2

(apei~p·~x − a†pe−i~p·~x) (1.44)

Οι πιο πάνω σχέσεις μπορούν να γραφτούν στην εξής πιο χρήσιμη μορφή:

φ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2ωp

(ap + a†−p)ei~p·~x (1.45)

π(~x) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√ωp2

(ap − a†−p)ei~p·~x (1.46)

Με βάση τους πιο πάνω ορισμούς, οι μεταθετικές σχέσεις (1.4) (σε μονάδες ~ = c =

1), επιφέρουν τις μεταθετικές σχέσεις:

[ap, a†q] = (2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.47a)

[ap, aq] = [a†p, a†q] = 0 (1.47b)

Αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο σε μια κβαντική θεωρία, είναι η εύρεσητων ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων του τελεστή της χαμιλτονιανής, όπως ακριβώςγίνεται και στην Κβαντική Μηχανική. Για να κατασκευαστεί αυτός ο τελεστής, θαπρέπει να βρούμε την κλασική χαμιλτονιανή που περιγράφει το σύστημα και να την

κβαντώσουμε. Αυτό γίνεται με την αντικατάσταση των τελεστών των πεδίων φ(~x)

και π(~x) με τις αντίστοιχες σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω. Ορίζουμε πρώτα την


κλασική συζυγή πυκνότητα ορμής του πεδίου, σύμφωνα με τις σχέσεις (1.3) και(1.14):

π(~x, t) = φ(~x, t) (1.48)

΄Ετσι, η κλασική χαμιλτονιανή του πεδίου, σύμφωνα με τις (1.11) και (1.14), παίρνειτην εξής μορφή:

H =

∫d3x

1

2[π(~x, t)2 + (~∇φ(~x, t))2 +m2φ(~x, t)2] (1.49)

Στο σημείο αυτό, σημειώνουμε ότι τα πεδία που εμφανίζονται στην κλασικήχαμιλτονιανή εξαρτώνται από το χώρο και το χρόνο, ενώ οι τελεστές των πεδίωνπου ορίσαμε πιο πάνω είναι μόνο χωρικά εξαρτημένοι. Αυτό συμβαίνει διότι οιτελεστές είναι γραμμένοι στην εικόνα Schrödinger. Για το λόγο αυτό κι εμείς θαθεωρήσουμε ότι τα μεγέθη μας έχουν μόνο χωρική εξάρτηση, θα κβαντώσουμε τοσύστημα στην εικόνα Schrödinger και στη συνέχεια θα μετατρέψουμε τακβαντισμένα μεγέθη σε χρονοεξαρτημένα μέσω της μετάβασης στην εικόνα

Heisenberg. Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (1.45) και (1.46) στην κλασικήχαμιλτονιανή και βρίσκουμε:

H =

∫d3x

∫d3p d3q

(2π)6ei(~p+~q)·~x

1

4

[−√ωpωq(ap − a†−p)(aq − a

†−q)

+−~p · ~q +m2

√ωpωq

(ap + a†−p)(aq + a†−q)]

Χρησιμοποιώντας τη σχέση δ(3)(~p + ~q) =∫d3x [1/(2π)3] ei(~p+~q)·~x, η χαμιλτονιανή

γράφεται ως εξής:

H =

∫d3p

(2π)3

1

4

[−√ωpω−p(ap − a†−p)(a−p − a†p) +

|~p|2 +m2

√ωpω−p

(ap + a†−p)(a−p + a†p)]

=

∫d3p

(2π)3

ωp2

(apa†p + a†pap) (1.50)

Η πιο πάνω σχέση είναι ο κβαντωμένος τελεστής της Χαμιλτονιανής στην εικόνα

Schrödinger. Από την πιο πάνω έκφραση, εξάγονται οι ακόλουθες μεταθετικέςσχέσεις:

[H, a†p] = ωpa†p, [H, ap] = −ωpap (1.51)


Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.47a), η χαμιλτονιανή Klein – Gordon μπορεί ναγραφτεί και ως:

H =

∫d3p

(2π)3ωp(a

†pap +

1

2[ap, a

†p]) (1.52)

Ο δεύτερος όρος ισούται με (1/2)(2π)3δ3(0), το οποίο είναι μια άπειρη σταθερά.Θεωρώντας ότι ο όρος αυτός αποτελεί το άθροισμα των θεμελιωδών ενεργειών όλων

των κβαντικών αρμονικών ταλαντωτών (ωp/2), δηλαδή το αποκαλούμενο «κενό»της θεωρίας, το γεγονός αυτό είναι αποδεκτό. Τα πειράματα όμως, μετρούν μόνοενεργειακές διαφορές από τη θεμελιώδη κατάσταση της χαμιλτονιανής με αποτέλεσμα

ο όρος αυτός να μπορεί να αγνοηθεί από όλους μας τους υπολογισμούς. Συνεπώς,η χαμιλτονιανή μπορεί ισοδύναμα να γραφεί ως:

H =

∫d3p

(2π)3ωpa

†pap (1.53)

Με τη βοήθεια της χαμιλτονιανής (1.53) και των μεταθετικών σχέσεων (1.51)μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής

Klein – Gordon. Η θεμελιώδης κατάσταση (ή το «κενό») |0〉, για την οποία ισχύειap|0〉 = 0 ∀p, έχει ιδιοενέργεια E = 0 αφού αγνοήσαμε προηγουμένως την άπειρη

σταθερά. Με τη δράση των τελεστών αναβίβασης στο κενό, κατασκευάζουμε όλεςτις υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις. ΄Ετσι, η κατάσταση a†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της Hμε ιδιοτιμή ίση με ωp. Η κατάσταση a†pa†q|0〉 είναι επίσης ιδιοκατάσταση της H μειδιοτιμή ίση με ωp + ωq. Γενικεύοντας, η κατάσταση a†p1

· · · a†pn|0〉 είναιιδιοκατάσταση της H με ιδιοτιμή ίση με ωp1 + · · ·+ ωpn .

Τώρα, αφού βρήκαμε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, απομένει να βρούμετις ιδιοκαταστάσεις της ορμής. Η κλασική ολική ορμή του συστήματος δίνεται απότη σχέση (1.12). Αντικαθιστώντας τους τελεστές φ(~x) και π(~x) (σχέσεις (1.45) –(1.46)), ο τελεστής ολικής ορμής του συστήματος παίρνει τη μορφή:

~P =

∫d3p

(2π)3~p a†pap (1.54)

ο οποίος θυμίζει τον τελεστή της χαμιλτονιανής, όπου αγνοήσαμε την άπειρησταθερά. Ισχύουν, επίσης, οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις, κατ’ αντιστοιχία μετις (1.51) για τη χαμιλτονιανή:

[~P, a†q] = ~qa†q, [~P, aq] = −~qaq (1.55)


Δρώντας με τον τελεστή της ολικής ορμής στις ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής

παρατηρούμε ότι αποτελούν και ιδιοκαταστάσεις της ορμής:

~P |0〉 = 0, ~P (a†q|0〉) = ~q(a†q|0〉)

΄Ετσι, όταν ο τελεστής αναβίβασης a†p δράσει στην κατάσταση κενού θα δημιουργήσειμια καινούργια κατάσταση a†p|0〉 με ορμή ~p με ενέργεια ωp =

√|~p|2 +m2. Παρομόιως

η κατάσταση a†p1· · · a†pn|0〉 έχει ορμή ~p1 + · · ·+ ~pn και ενέργεια ωp1 + · · ·+ ωpn . Οι

καταστάσεις αυτές που αναφέρονται πιο πάνω, ικανοποιούν τη σχετικιστική σχέσηενέργειας – ορμής. Επομένως μπορεί κανείς να χαρακτηρίσει τις καταστάσεις αυτέςως «σχετικιστικά σωματίδια». Συγκεκριμένα, σωματίδια με καθορισμένη ορμή καιόχι θέση. ΄Ετσι, από το σημείο αυτό και έπειτα θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμόEp αντί του ωp για τις ιδιοενέργειες.

Δημιουργείται όμως τώρα ένα βασικό ερώτημα για τον αριθμό των σωματιδίων

που περιέχει η κάθε κατάσταση. Αν γράψουμε την κάθε ιδιοτιμή ορμής ~p ωςάθροισμα από μονοσωματιδιακές ορμές, δηλαδή ~p =

∑i n

(p)i ~pi, όπου n

(p)i είναι ο

αριθμός κατάληψης των σωματιδίων για κάθε μονοσωματιδιακή ορμή, τότε οαριθμός των σωματιδίων που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή της ορμής θα είναι

Np =∑

i n(p)i . Κατά τον ίδιο τρόπο, αν ο τελεστής της ολικής ορμής γραφτεί ως

~P =∫

[d3p/(2π)3]Np ~p (κατ’ αντιστοιχία της έκφρασης για την ιδιοτιμή ορμής),όπου Np είναι ο τελεστής αρίθμησης των σωματιδίων που αντιστοιχούν στην κάθε

ορμή ~p, τότε ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού αριθμού των σωματιδίων θαείναι N =

∫[d3p/(2π)3]Np. ΄Αρα, εν τέλει, ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού

αριθμού σωματιδίων κάθε κατάστασης ορίζεται:

N =

∫d3p

(2π)3a†pap (1.56)

Οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή αυτού είναι οι ίδιες με αυτές της χαμιλτονιανής και

ολικής ορμής, καθώς οι τελεστές αυτοί μετατίθεται μεταξύ τους:

[H,N ] = [~P,N ] = 0

Με τη βοήθεια των μεταθετικών σχέσεων:

[N, a†p] = a†p, [N, ap] = −ap (1.57)


μπορούμε να βρούμε τις ιδιοτιμές του τελεστή N :

N |0〉 = 0, N(a†p|0〉) = 1(a†p|0〉), N(a†p1· · · a†pn|0〉) = n(a†p1

· · · a†pn|0〉)

΄Ετσι, κάθε φορά που ο τελεστής αναβίβασης a†p δρα σε μια ιδιοκατάσταση ορμήςκαι ενέργειας, τότε αυξάνεται ο αριθμός των σωματιδίων της κατάστασης κατά 1.Αντίστοιχα, κάθε φορά που ο τελεστής καταβίβασης ap δρα σε μια ιδιοκατάστασηορμής και ενέργειας, τότε ο αριθμός των σωματιδίων της κατάστασης μειώνεται κατά1. Επομένως, δικαιολογείται η ονομασία των τελεστών αυτών, οι οποίοι ονομάστηκαντελεστής δημιουργίας και καταστροφής αντίστοιχα, αφού ο ένας δημιουργεί και οάλλος εξαφανίζει ένα σωματίδιο με καθορισμένη ορμή.

Με το φορμαλισμό αυτό, επίσης, μπορούμε να εισαγάγουμε τον ορισμό τηςστατιστικής των σωματιδίων. Η μεταθετική σχέση [a†p, a

†q] = 0 συνεπάγεται ότι η

κατάσταση δύο σωματιδίων a†pa†q|0〉 είναι ταυτόσημη με την a†qa†p|0〉 υποδηλώνοντας

ότι τα σωματίδια είναι μη διακρίσιμα. Ακόμη, η πιο πάνω μεταθετική σχέση γιαq = p συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†pa

†p|0〉, η οποία υποδηλώνει

την ύπαρξη δύο σωματιδίων στην ίδια ενεργειακή κατάσταση, μπορεί να υπάρξει.Γενικεύοντας, η δράση του τελεστή a†p άπειρες φορές στην κατάσταση κενού

επιτρέπεται με αποτέλεσμα η κάθε ενεργειακή κατάσταση να μπορεί να καταληφθεί

από 0 έως άπειρα σωματίδια. Τα δύο πιο πάνω συμπεράσματα αποτελούν αρχές τηςστατιστικής Bose – Einstein και υποδηλώνουν, ακριβώς, ότι το πεδίο Klein –Gordon αναφέρεται σε μποζόνια.

Οι καταστάσεις ορμής ενός σωματιδίου |p〉 = a†p|0〉 που βρήκαμε, υπακούουνστην εξής σχέση ορθοκανονικότητας:

〈p|q〉 = (2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.58)

Πράγματι:

〈p|q〉 = 〈0|apa†q|0〉 = 〈0|[ap, a†q] + a†qap|0〉 = (2π)3δ(3)(~p− ~q)〈0|0〉

Θεωρώντας ότι η κατάσταση κενού είναι εξ ορισμού κανονικοποιημένη 〈0|0〉 = 1

τότε όντως καταλήγουμε στην σχέση (1.58). Τώρα, αφού μιλάμε για σχετικιστικόσωματίδιο, η κάτασταση ορμής ενός σωματιδίου κάτω από τους μετασχηματισμούς


Lorentz ενέργειας – ορμής:

p′x = γ(px − βEp), p′y = py

p′z = pz, E ′p = γ(Ep − βpx)

πρέπει να παραμένει αμετάβλητη. Το ίδιο και η σχέση ορθοκανονικότητας.Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της δέλτα συνάρτησης του Dirac:

δ(f(x)− f(x0)) =1

|f ′(x0)|δ(x− x0)

παρατηρούμε ότι η ποσότητα δ(3)(~p − ~q) δεν είναι αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς Lorentz. Πράγματι, π.χ. για μετασχηματισμούς ταχύτητας κατάμήκος του άξονα x:

δ(p′x − q′x) =1

|dp′xdpx|δ(px − qx)

⇒ δ(px − qx) = γ(1− βdEpdpx

)δ(p′x − q′x) = γ(1− β pxEp

)δ(p′x − q′x)

=γ

Ep(Ep − βpx)δ(p′x − q′x) = δ(p′x − q′x)

E ′pEp

Επίσης:

δ(py − qy) = δ(p′y − q′y), δ(pz − qz) = δ(p′z − q′z)

΄Αρα:

δ(3)(~p− ~q) = δ(3)(~p′ − ~q′)E ′pEp

Αντιθέτως, η ποσότητα Ep δ(3)(~p − ~q) παραμένει αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς Lorentz, βάσει της πιο πάνω σχέσης. ΄Ετσι, επαναορίζουμε τησχέση ορθοκανονικότητας ως εξής:

〈p|q〉 = 2Ep(2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.59)


(Ο παράγοντας 2 δεν είναι απαραίτητος, όμως είναι βολική σύμβαση). Επομένως, ηκατά Lorentz αναλλοίωτη κατάσταση ορμής ενός σωματιδίου είναι:

|p〉 =√

2Epa†p|0〉 (1.60)

Βάσει του νέου ορισμού που αφορά τις ιδιοκαταστάσεις της ορμής, o μοναδιαίοςτελεστής 1, στο χώρο των μονοσωματιδιακών καταστάσεων, μπορεί να γραφεί ως:

1 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep|p〉〈p| (1.61)

΄Οντως:

〈p′|1|p′′〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep〈p′|p〉〈p|p′′〉 = 2Ep′(2π)3δ(3)(~p′ − ~p′′) = 〈p′|p′′〉

Ορίζουμε τώρα, τις ιδιοκαταστάσεις της θέσης |x〉 έχοντας λάβει υπόψη τηνΚβαντομηχανική σχέση 〈p|x〉 = e−i~p·~x:

|x〉 = 1|x〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep|p〉〈p|x〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−i~p·~x|p〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

e−i~p·~xa†p|0〉

Παρατηρούμε ότι υπολογίζοντας τη δράση του τελεστή του πεδίου Klein – Gordonφ(~x) στην κατάσταση κενού, προκύπτει ο πιο πάνω ορισμός της ιδιοκατάστασηςθέσης:

φ(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(ei~p·~xap + e−i~p·~xa†p)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

e−i~p·~xa†p|0〉 ≡ |x〉

Δηλαδή, δρώντας με τον τελεστή του πεδίου πάνω στην κατάσταση κενού,δημιουργείται ένα σωματίδιο με καθορισμένη θέση x.

Τώρα, αφού βρήκαμε και τις ιδιοκαταστάσεις θέσης, μπορούμε πια να ορίσουμεκαι το διαδότη του πεδίου Klein – Gordon. Πρώτα, όμως, θα πρέπει να γράψουμεόλους τους τελεστές στην εικόνα Heisenberg, έτσι ώστε όλα τα μεγέθη ναμετατραπούν σε χρονοεξαρτημένα. ΄Ετσι, λοιπόν, ο τελεστής του πεδίου και τουσυζυγούς πεδίου γράφονται στην εικόνα Heisenberg ως εξής:

φ(~x, t) = eiHtφ(~x)e−iHt

π(~x, t) = eiHtπ(~x)e−iHt


Τώρα, με τη βοήθεια των σχέσεων:

Hap = ap(H − Ep), Ha†p = a†p(H + Ep)

που προκύπτουν από τις μεταθετικές σχέσεις (1.51), εξάγονται οι εξής σχέσεις:

eiHtape−iHt = ape

−iEpt, eiHta†pe−iHt = a†pe

iEpt

Τελικά, τα πεδία γράφονται:

φ(~x, t) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(ape−ip·x + a†pe

ip·x) (1.62)

π(~x, t) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√Ep2

(ape−ip·x − a†peip·x) (1.63)

όπου p · x = xµpµκαι p0 ≡ Ep στις εκθετικές συναρτήσεις. Οι ιδιοκαταστάσεις

θέσης στην εικόνα Heisenberg είναι |~x, t〉 = φ(~x, t)|0〉.

Από την Κβαντική Μηχανική, γνωρίζουμε ότι ο διαδότης ενός μη σχετικιστικούσωματιδίου έχει την εξής μορφή:

K(~x2, t2; ~x1, t1) = 〈~x2, t2|~x1, t1〉

για t2 > t1. Στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων ο διαδότης θα έχει την ανάλογη μορφή.Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των ιδιοκαταστάσεων θέσης με τη χρήση του τελεστή

του πεδίου, ο διαδότης του πεδίου Klein – Gordon παίρνει την εξής μορφή:

DK−G(x1 − x2) =

〈0|φ(x2)φ(x1)|0〉 για x0

2 > x01

〈0|φ(x1)φ(x2)|0〉 για x01 > x0

2

= θ(x01 − x0

2)〈0|φ(x2)φ(x1)|0〉+ θ(x02 − x0

1)〈0|φ(x1)φ(x2)|0〉

≡ 〈0|T [φ(x1)φ(x2)]|0〉 (1.64)

όπου το σύμβολο T που παρουσιάζεται στις εκφράσεις σημαίνει διάταξη των τελεστών

πεδίου κατά φθίνοντα χρόνο. Ο πιο πάνω είναι ο διαδότης του πεδίου Klein – Gordonμεταξύ δύο χωρικών σημείων και ονομάζεται διαδότης Feynman. Εκτελώντας τις


πράξεις καταλήγουμε:

DK−G(x1 − x2) =

θ(x0

1 − x02)〈0|

[∫ d3p1d3p2

(2π)6

1

2√Ep1Ep2

(ap1e−ip1·x1 + a†p1

eip1·x1) · (ap2e−ip2·x2 + a†p2

eip2·x2)]|0〉

+θ(x02 − x0

1)〈0|[∫ d3p1d

3p2

(2π)6

1

2√Ep1Ep2

(ap2e−ip2·x2 + a†p2

eip2·x2) · (ap1e−ip1·x1 + a†p1

eip1·x1)]|0〉

= θ(x01 − x0

2)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−ip(x1−x2) + θ(x0

2 − x01)

∫d3p

(2π)3

1

2Epeip(x1−x2)

=

θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)

+θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe+iEp(x0

1−x02)e−i~p(~x1−~x2)

Με την εξής αλλαγή μεταβλητών: ~p→ −~p στο δεύτερο ολοκλήρωμα, προκύπτει:

DK−G(x1 − x2) =

θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)+

θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe+iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)

΄Επειτα, χρησιμοποιούμε το εξής ολοκλήρωμα:∫∞−∞ dp

0[(e−ip

0(x01−x0

2))/(

(p0)2−E2p +

iε)], το οποίο στο μιγαδικό επίπεδο ολοκλήρωσης και στο όριο ε → 0 ισούται με

−2πi[(e−iEp(x0

1−x02))/(

2Ep)], όταν η περιοχή ολοκλήρωσης είναι το κάτω μιγαδικό

ημιεπίπεδο, ενώ ισούται με −2πi[(eiEp(x0

1−x02))/(

2Ep)]όταν η περιοχή ολοκλήρωσης

είναι το άνω μιγαδικό ημιεπίπεδο. ΄Ετσι, με αντικατάσταση του ολοκληρώματος αυτούμέσα στον πιο πάνω διαδότη, ο τελευταίος παίρνει την εξής μορφή:

DK−G(x1 − x2) =

θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

∫dp0

2π

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip0(x0

1−x02)ei~p(~x1−~x2)

+θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

∫dp0

2π

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip0(x0

1−x02)ei~p(~x1−~x2)

=

∫d4p

(2π)4

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip(x1−x2)

⇒ DK−G(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (1.65)


Η γενική σχέση υπολογισμού της συνάρτησης Green του πεδίου Klein – Gordon γιαN χωροχρονικά σημεία είναι:

DK−G(x1, x2, · · · , xN) = 〈0|T [φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN)]|0〉 (1.66)

όπου τα βήματα είναι τα ίδια με αυτά που φαίνονται πιο πάνω, μόνο που τώρα ηδιαδικασία γίνεται πιο σύνθετη εξαιτίας του υπολογισμού της δράσης N τελεστών

πεδίου.

΄Οπως μελετήσαμε στο υποκεφάλαιο 1.1, όταν υπολογίζουμε το διαδότη ενόςελεύθερου σωματιδίου (σχετικιστικού ή μη) από το χωροχρονικό σημείο (~x0, t0)

στο (~x, t), παρατηρούμε παραβίαση της αιτιότητας βάσει της Κβαντικής Μηχανικής.Επίσης αναφέραμε ότι η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων αποφεύγει την παραβίαση της

αιτιότητας. Πράγματι, ο γενικός φορμαλισμός της Κβάντωσης των Πεδίων, όπωςαυτός περιεγράφηκε στο υποκεφάλαιο 1.2, ερμηνεύει ορθά την αιτιότητα. Αυτό πουπρέπει να μας ενδιαφέρει, όταν μιλάμε για αιτιότητα, είναι αν η παρατήρηση σε έναχωροχρονικό σημείο επηρεάζει την παρατήρηση σε ένα άλλο σημείο, η διαφορά τωνοποίων είναι χωροειδής (spacelike) κι όχι αν ένα σωματίδιο μπορεί να διαδοθεί σεχωροειδή διαστήματα. Μας ενδιαφέρει δηλαδή, αν η πιθανότητα μέτρησης κάποιουφυσικού μεγέθους στο σημείο x1, επηρεάζεται από τη μέτρηση του μεγέθους στοσημείο x2, όταν (x1 − x2)2 < 0 και x0

1 > x02. Η πιθανότητα αυτή, στην Κβαντική

Μηχανική, υπολογίζεται μέσω του διαδότη ενός σωματιδίου μεταξύ των δύο αυτώνσημείων, διότι οι μετρήσεις γίνονται για ένα συγκεκριμένο σωματίδιο κι έτσι η μόνηπερίπτωση να παρθεί μέτρηση και στα δύο σημεία είναι η διάδοση του σωματιδίου.Στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων όμως, οι μετρήσεις που γίνονται στα δύο σημεία δεναντιστοιχούν κατ’ ανάγκη σε ένα συγκεκριμένο σωματίδιο και άρα η μέτρηση ενόςφυσικού μεγέθους στα δύο σημεία δε συνεπάγεται και διάδοση κάποιου σωματιδίου

μεταξύ των δύο σημείων. Αυτό συμβαίνει λόγω της πολυσωματιδιακής θεμελιώδουςκατάστασης. Συμπεραίνουμε έτσι, ότι η διατήρηση ή μη της αιτιότητας δεν μπορείνα μελετηθεί μέσω κάποιου διαδότη αλλά απαιτείται η σύγκριση των μετρήσεων ενός

φυσικού μεγέθους μεταξύ των δύο προαναφερθέντων σημείων. Χρησιμοποιώνταςτο πεδίο ως το φυσικό μέγεθος που θα προσπαθήσουμε να μετρήσουμε, τότε ουπολογισμός του μεταθέτη [φ(x1), φ(x2)] είναι ο πλέον κατάλληλος για τη μελέτη

της εξάρτησης των μετρήσεων του πεδίου στα δύο σημεία. Αν ο μεταθέτης αυτόςμηδενίζεται σε χωροειδή διαστήματα, τότε οι δύο μετρήσεις, με οποιαδήποτε σειράκι αν εκτελεστούν, δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και άρα η μία μέτρηση δεν επηρεάζειτην άλλη. Αντίστοιχα, ο κάθε μεταθέτης που περιέχει οποιαδήποτε συνάρτηση του


Σχήμα 1.1: (α) Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2) → −(x1 − x2)σε χωροειδή διαστήματα.

(β) Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2)→ −(x1 − x2) δεν υπάρχει σεχρονοειδή διαστήματα.

φ(x), συμπεριλαμβανομένου και του π(x), επίσης θα μηδενίζεται. Απομένει δηλαδή,να αποδείξουμε ότι ο πιο πάνω μεταθέτης μηδενίζεται σε χωροειδή διαστήματα, ώστενα έχουμε διατήρηση της αιτιότητας:

[φ(x1), φ(x2)] =

∫d3pd3q

(2π)6

1√4EpEq

[(ape−ip·x1 + a†pe

ip·x1), (aqe−iq·x2 + a†qe

iq·x2)]

=

∫d3p

(2π)3

1

2Ep(e−ip·(x1−x2) − eip·(x1−x2))

= D(x1 − x2)−D(x2 − x1)

όπουD(x1−x2) =∫

(d3p/(2π)3)(1/2Ep)e−ip·(x1−x2)

είναι ο διαδότης ενός σωματιδίου

από το σημείο x2 στο x1 για x02 > x0

1. Οι διαδότες D(x1 − x2) και D(x2 − x1) είναι

αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. ΄Ετσι, όταν (x1 − x2)2 < 0,μπορούμε να εκτελέσουμε τον εξής μετασχηματισμό (x1 − x2) → −(x1 − x2) με

συνεχή τρόπο στον D(x2−x1), όπου μια τέτοια συνεχής μετάβαση είναι επιτρεπτή σεχωροειδή διαστήματα όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε και από το σχήμα (1.1)(α).΄Ετσι, ο D(x2 − x1) έχει μετατραπεί σε D(x1 − x2), εξακολουθώντας να παραμένειαναλλοίωτος κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Αντίθετα, όταν (x1 − x2)2 >

0, δεν υπάρχει συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2) → −(x1 − x2) διότι

μια τέτοια συνεχής μετάβαση δεν είναι επιτρεπτή σε χρονοειδή διαστήματα όπως


φαίνεται στο σχήμα (1.1)(β). Συνοπτικά, σε χωροειδή διαστήματα, οι δύο πιο πάνωδιαδότες αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα ο μεταθέτης [φ(x1), φ(x2)] να δίνει

0, διατηρώντας έτσι την αιτιότητα.

1.4.2 Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου

Dirac και ο αντίστοιχος διαδότης του

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτήν της κβάντωσης του ελεύθερου

βαθμωτού πεδίου Klein – Gordon, καταφέρνουμε την κβάντωση του ελεύθερουφερμιονικού πεδίου Dirac. Υπάρχει όμως η βασική διαφορά ότι τώρα οι μεταθετικέςσχέσεις (1.4) μετατρέπονται σε αντιμεταθετικές δίοτι αν τις κρατήσουμε αυτούσιες,τότε παραβιάζεται η αιτιότητα. Προκύπτει, έτσι:

ψα(x), ψ†β(y) = δ(3)(x− y)δαβ

ψα(x), ψβ(y) = ψ†α(x), ψ†β(y) = 0(1.67)

Οι πιο πάνω σχέσεις είναι αντίστοιχες των (1.4), με τις αντικαταστάσεις:φ(x) = ψ(x) και π(x) = iψ†(x) (προκύπτει από τη σχέση (1.3)). Τώρα, από τηλύση της εξίσωσης Dirac, προκύπτει η κλασική έκφραση που δίνει το πεδίο ψ(x).Το πεδίο ψ(x), όμως, ικανοποιεί ταυτόχρονα και την εξίσωση Klein – Gordon.΄Ετσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και πάλι προκύπτουν κλασικές εξισώσεις

απλού αρμονικού ταλαντωτή, με τη διαφορά όμως ότι στην περίπτωση αυτή το πεδίοδεν έχει μόνο μία συνιστώσα, αλλά τέσσερεις. Κάτω από τους μετασχηματισμούςLorentz, το πεδίο Dirac συμπεριφέρεται ως δισπίνορας και έτσι μπορεί να πάρει δύοτιμές «σπιν». Συνεπώς, για κάθε τιμή της ορμής αλλά και κάθε τιμή του «σπιν»προκύπτει μία κλασική εξίσωση απλού αρμονικού ταλαντωτή με συχνότητα

ωp = +√|~p|2 +m2. ΄Ετσι, η κβάντωση του πεδίου μετατρέπεται στην κβάντωση

άπειρων ανεξάρτητων αρμονικών ταλαντωτών, όπως ακριβώς και στην περίπτωσητου πεδίου Klein – Gordon, αλλά τώρα ο κάθε ταλαντωτής, θα έχει τη δική τουορμή p, το δικό του «σπιν» s, συχνότητα ταλάντωσης ωp και τελεστή αναβίβασηςbsp†και καταβίβασης asp. Οι τελεστές αυτοί συμβολίζονται με διαφορετικό γράμμα

καθότι το πεδίο Dirac περιλαμβάνει και αντισωματίδια. ΄Εχοντας λάβει υπόψη τα πιοπάνω, το πεδίο ψ(~x) παίρνει την εξής μορφή γενίκευσης της (1.43), στην εικόνα


Schrödinger:

ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspus(p)e+i~p·~x + bsp

†vs(p)e−i~p·~x] (1.68)

όπου Ep = ωp. Απαιτώντας, οι μερικές λύσεις us(p)e−ipµxµ με θετικές ενέργειες

i∂/∂t = Ep(Ep > 0) και vs(p)eipµxµ με αρνητικές ενέργειες i∂/∂t = −Ep(Ep > 0)

να ικανοποιούν την εξίσωση Dirac, τότε οι πίνακες us(p) και vs(p) παίρνουν την πιοκάτω μορφή:

us(p) =

(√Ep − ~p · ~σ ξs√Ep + ~p · ~σ ξs

), vs(p) =

( √Ep − ~p · ~σ ns

−√Ep + ~p · ~σ ns

)

όπου ~σ = (σ1, σ2, σ3) είναι οι τρείς πίνακες Pauli και ξs, ns σπίνορες που ικανοποιούντις σχέσεις ορθοκανονικότητας ξr†ξs = δrs και nr†ns = δrs. Αντίστοιχα, το συζυγέςπεδίο ψ(~x) = ψ†(~x)γ0

ορίζεται:

ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†us(p)e−i~p·~x + bspv

s(p)e+i~p·~x] (1.69)

όπου us = us†γ0και vs = vs†γ0. Με βάση τους πιο πάνω ορισμούς, οι

αντιμεταθετικές σχέσεις (1.67), επιφέρουν τις εξής:

arp, asq† = brp, bsq

† = (2π)3δ(3)(~p− ~q)δrs (1.70a)

arp, asq = arp†, asq

† = 0 (1.70b)

brp, bsq = brp†, bsq

† = 0 (1.70c)

arp, bsq = arp†, bsq

† = 0 (1.70d)

arp, bsq† = arp

†, bsq = 0 (1.70e)

Ακολουθώντας πιστά τη διαδικασία και τα βήματα της κβάντωσης του πεδίου

Klein – Gordon, σειρά έχει τώρα η εύρεση των τελεστών της χαμιλτονιανής και τηςφυσικής ορμής του συστήματος, καθώς επίσης και των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεώντους. Η κλασική χαμιλτονιανή, σύμφωνα με τη σχέση (1.11), παίρνει την πιο κάτωμορφή:

H =

∫d3x[ψ(x)(−iγi∂i +m)ψ(x)] (1.71)


Η εύρεση του τελεστή της χαμιλτονιανής γίνεται πάντα στην εικόνα Schrödinger. Αςβρούμε πρώτα την έκφραση (−iγi∂i + m)ψ(~x). Αντικαθιστώντας τη σχέση (1.68)για το πεδίο προκύπτει:

(−iγi∂i +m)ψ(~x) = (−γipi +m)

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspus(p) + bs−p

†vs(−p)]ei~p·~x

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:

(−γipi +m)us(p) = Epγ0us(p), (−γipi +m)vs(−p) = −Epγ0vs(−p)

η πιο πάνω σχέση μετατρέπεται σε:

(−iγi∂i +m)ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

√Ep2γ0

2∑s=1

[asp us(p)− bs−p

†vs(−p)]ei~p·~x

΄Αρα, ο τελεστής της χαμιλτονιανής γράφεται ως:

H =

∫d3xd3pd3q

(2π)6

√Eq4Ep

∑r,s

[as−p†us(−p) + bsp v

s(p)]γ0[arq ur(q)− br−q

†vr(−q)]ei(~p+~q)·~x

Χρησιμοποιώντας τις εξής σχέσεις:∫d3x ei(~p+~q)·~x = (2π)3δ(3)(~p+ ~q),

us†(±p)ur(±p) = vs†(±p)vr(±p) = 2Epδrs, us†(±p)vr(∓p) = vs†(±p)ur(∓p) = 0

η χαμιλτονιανή παίρνει την πιο κάτω τελική μορφή:

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[as−p†as−p − bspbsp

†] =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp − bspbsp

†]

Από την έκφραση αυτή, εξάγονται οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις:

[H, as†p] = Epas†p, [H, asp] = −Epasp

[H, bs†p] = Epbs†p, [H, bsp] = −Epbsp

(1.72)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.70a), η χαμιλτονιανή Dirac μπορεί να γραφτεί και ως:

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp + bsp

†bsp − bsp, bsp†] (1.73)


Ο τελευταίος όρος του πιο πάνω ολοκληρώματος ισούται με −(2π)3δ3(0), το οποίοείναι μια άπειρη σταθερά. ΄Οπως και στην περίπτωση του πεδίου Klein – Gordon,μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο αυτό από όλους μας τους υπολογισμούς, καθώςστα πειράματα μετράμε μόνο ενεργειακές διαφορές από τη θεμελιώδη κατάσταση.Τελικά:

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp + bsp

†bsp] (1.74)

Ανάλογα, ο τελεστής της ολικής ορμής του συστήματος παίρνει την εξής μορφή:

~P =

∫d3p

(2π)3~p∑s

[asp†asp + bsp

†bsp] (1.75)

η οποία προκύπτει από τις σχέσεις (1.12), (1.68), (1.69) και (1.70a). Οι δυο αυτοίτελεστές, της φυσικής ορμής και της χαμιλτονιανής, όπως είναι εμφανές, έχουν τιςίδιες ιδιοκαταστάσεις, όπως ακριβώς συμβαίνει και στην περίπτωση του πεδίου Klein– Gordon. Η θεμελιώδης κατάσταση (ή το «κενό») |0〉 των τελεστών αυτών, γιατην οποία ισχύει asp|0〉 = 0 και bsp|0〉 = 0 ∀p, s, έχει ιδιοενέργεια E = 0 και ιδιοτιμή

ορμής ~p = 0. ΄Ολες οι υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις μπορούν να κατασκευαστούναπό τη δράση των τελεστών αναβίβασης στο κενό. Με τη χρήση των μεταθετικώνσχέσεων (1.72) για τη χαμιλτονιανή, αλλά και τις αντίστοιχες σχέσεις για τη φυσικήορμή μπορούν να προσδιοριστούν οι ιδιοτιμές του κάθε τελεστή. ΄Αρα, η κατάστασηas†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep και ιδιοτιμήορμής ίση με ~p. Ομοίως, η κατάσταση as1†p1

· · · asn†pn|0〉 είναι ιδιοκατάσταση τηςH και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep1 + · · · + Epn και ιδιοτιμή ορμής ίση με

~p1 + · · · + ~pn. Επίσης, η κατάσταση bs†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P μειδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep και ιδιοτιμή ορμής ίση με ~p. Ομοίως, η κατάστασηbs1†p1

· · · bsn†pn|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep1 +

· · · + Epn και ιδιοτιμή ορμής ίση με ~p1 + · · · + ~pn. Επομένως, και ο τελεστής asp†

και ο bsp†δημιουργούν καταστάσεις σχετικιστικών σωματιδίων με την ίδια ενέργεια

και ίδια ορμή. Οι καταστάσεις που δημιουργούνται από τον τελεστή asp†καλούνται

σωματίδια, ενώ οι καταστάσεις που δημιουργούνται από τον τελεστή bsp†καλούνται

αντισωματίδια.

΄Οπως και στο πεδίο Klein – Gordon, έτσι κι εδώ η διαδικασία κβάντωσηςεπιτρέπει τον προσδιορισμό της στατιστικής των σωματιδίων. Η αντιμεταθετικήσχέση arp†, asq† = 0 συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†p

ra†qs|0〉 είναι

ταυτόσημη με την −a†qsa†pr|0〉 υποδηλώνοντας ότι τα σωματίδια είναι μη διακρίσιμα


και αντισυμμετρικά ως προς την εναλλαγή τους. Ακόμη, η πιο πάνω αντιμεταθετικήσχέση για q = p συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†p

ra†ps|0〉, η οποία

υποδηλώνει την ύπαρξη δύο σωματιδίων με διαφορετικό σπιν στην ίδια ενεργειακή

κατάσταση, μπορεί να υπάρξει. Αντίθετα, αν επιπλέον r = s τότε η κατάσταση δύο

σωματιδίων a†psa†ps|0〉, η οποία υποδηλώνει την ύπαρξη δύο σωματιδίων, με ίδιο σπιν,

στην ίδια ενεργειακή κατάσταση, δεν μπορεί να υπάρξει. Συνοπτικά, η κάθεενεργειακή κατάσταση μπορεί να καταληφθεί από 0 έως 2 σωματίδια, αφού οσυνολικός αριθμός των διαφορετικών σπιν είναι 2. Τα δύο πιο πάνω συμπεράσματααποτελούν αρχές της στατιστικής Fermi – Dirac και υποδηλώνουν, ακριβώς, ότι τοπεδίο Dirac αναφέρεται σε φερμιόνια.

Απαιτώντας οι ιδιοκαταστάσεις ορμής των φερμιονίων και αντιφερμιονίων να

παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz, προκύπτουν οι πιοκάτω ορισμοί κατ’ αναλογία των ιδιοκαταστάσεων ορμής του πεδίου Klein – Gordon:

|p, s〉fermion ≡√

2Epa†p

s|0〉 (1.76a)

|p, s〉antifermion ≡√

2Epb†p

s|0〉 (1.76b)

Οι καταστάσεις αυτές ικανοποιούν την εξής σχέση ορθοκανονικότητας:

〈p, r|q, s〉 = 2Ep(2π)3δ(3)(~p− ~q)δrs (1.77)

(η οποία ισχύει τόσο για τις ιδιοκαταστάσεις ορμής των φερμιονίων όσο και τωναντιφερμιονίων). Τώρα, οι ιδιοκαταστάσεις θέσης του πεδίου Dirac, προκύπτουν απότη δράση των τελεστών του πεδίου στην κατάσταση κενού, όπως ακριβώς συμβαίνειστο πεδίο Klein – Gordon. Η κατάσταση:

ψα(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†usα(p)e−i~p·~x + bspv

sα(p)e+i~p·~x]|0〉

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

(usα(p)e+i~p·~xasp†|0〉) (1.78)


δίνει ένα φερμιόνιο με καθορισμένη θέση x, ενώ η κατάσταση:

ψα(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspusα(p)e+i~p·~x + bsp

†vsα(p)e−i~p·~x]|0〉

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

(vsα(p)e−i~p·~xbsp†|0〉) (1.79)

δίνει ένα αντιφερμόνιο με καθορισμένη θέση x.

Στην εικόνα Heisenberg, τα πεδία ορίζονται:

ψα(x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspusα(p)e−ip·x + bsp

†vsα(p)e+ip·x] (1.80)

ψα(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†usα(p)e+ip·x + bspv

sα(p)e−ip·x] (1.81)

Επίσης, ο διαδότης Feynman του φερμιονικού πεδίου Dirac μεταξύ δύο χωρικώνσημείων θα έχει την εξής μορφή, κατ’ αντιστοιχία με το διαδότη για το πεδίο Klein– Gordon:

DFαβ(x1 − x2) =

〈0|ψα(x1)ψβ(x2)|0〉 για x0

1 > x02

−〈0|ψβ(x2)ψα(x1)|0〉 για x02 > x0

1

= θ(x01 − x0

2)〈0|ψα(x1)ψβ(x2)|0〉 − θ(x02 − x0

1)〈0|ψβ(x2)ψα(x1)|0〉

≡ 〈0|T [ψα(x1)ψβ(x2)]|0〉 (1.82)

όπου η χρονική διάταξη που υποδηλώνεται από το σύμβολο T συμπεριλαμβάνει και

το πρόσημο. Εδώ σημειώνουμε ότι στην πιο πάνω κατασκευή του διαδότη Dirac,λαμβάνεται υπόψη η ύπαρξη του αντισωματιδίου. ΄Ενα σχετικιστικό σωματίδιο γιανα μεταβεί από ένα χωρικό σημείο ~x2 στο ~x1, μπορεί να το κάνει με δύο τρόπους:είτε το σωματίδιο να διαδοθεί από το χωροχρονικό σημείο x2 στο x1 με x

01 > x0

2,είτε το αντισωματίδιό του να διαδοθεί από το χωροχρονικό σημείο x1 στο x2 με

x02 > x0

1. Το αρνητικό πρόσημο που εισάγεται στο διαδότη του αντισωματιδίουοφείλεται στις αντιμεταθετικές σχέσεις που ικανοποιούν τα πεδία. Εκτελώντας τιςπράξεις καταλήγουμε τελικά στο εξής αποτέλεσμα:

DFαβ(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i(/p+m)αβ

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (1.83)

το οποίο προκύπτει με όμοιο τρόπο, όπως και ο διαδότης Klein – Gordon.


Τέλος, εξετάζουμε τη διατήρηση ή μη της αιτιότητας. Η αιτιότητα εξετάζεταιμέσω του αντιμεταθέτη ψα(x1), ψβ(x2). ΄Οπως και στο πεδίο Klein – Gordon,αυτό που απαιτούμε είναι οι μετρήσεις ενός παρατηρήσιμου μεγέθους σε δύο

διαφορετικά χωροχρονικά σημεία να μην επηρεάζουν η μία την άλλη, σε χωροειδήδιαστήματα. ΄Ετσι, ο μεταθέτης [O(x1), O(x2)], όπου O(x) είναι κάποιο

παρατηρήσιμο μέγεθος, πρέπει να μηδενίζεται για (x1 − x2)2 < 0. Επειδή όλοι οιτελεστές των παρατηρήσιμων μεγεθών είναι διγραμμικοί (bilinear), δηλαδήκατασκευάζονται από ζυγό αριθμό σπινοριακών πεδίων, όπως και η χαμιλτονιανή(1.74), τότε και ο πιο πάνω αντιμεταθέτης αν μηδενίζεται έξω από τον κώνο φωτός,μπορεί να δώσει την επιθυμητή μεταθετική σχέση των παρατηρήσιμων μεγεθών. Τογεγονός ότι το φερμιονικό πεδίο υπακούει σε αντιμεταθετική, αντί για μεταθετική,σχέση, δεν έρχεται σε αντίφαση με την πιο πάνω αναφορά σε μεταθέτες, επειδή τοφερμιονικό πεδίο δεν είναι παρατηρήσιμο. Κάτι τέτοιο συνάδει με το γεγονός ότικανείς δεν έχει δει ποτέ ένα φυσικό μετρήσιμο σύστημα να αλλάζει πρόσημο σε μια

περιστροφή κατά 360o.

ψα(x1), ψβ(x2) =

∫d3p d3q

(2π)6

1√4EpEq

2∑s,r=1

aspu

sα(p)e−ip·x1 + bsp

†vsα(p)eip·x1 ,

arq†urβ(q)e+iq·x2 + brqv

rβ(q)e−iq·x2

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[(us(p)us(p))αβ e−ip(x1−x2) + (vs(p)vs(p))αβ e

+ip(x1−x2)]

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

[(/p+m)αβ e−ip(x1−x2) + (/p−m)αβ e

+ip(x1−x2)]

= (i/∂x1+m)αβ

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(e−ip(x1−x2) − e+ip(x1−x2))

= (i/∂x1+m)αβ (D(x1 − x2)−D(x2 − x1))

όπουD(x1−x2) =∫

(d3p/(2π)3)(1/2Ep)e−ip·(x1−x2)

είναι ο διαδότης ενός σωματιδίου

του πεδίου Klein – Gordon από το σημείο x2 στο x1 για x02 > x0

1. ΄Οπως αναφέραμεκαι στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1−x2)→−(x1 − x2), μετατρέπει τον D(x2 − x1) σε D(x1 − x2) σε χωροειδή διαστήματα,ενώ σε χρονοειδή δεν υφίσταται ένας τέτοιος μετασχηματισμός. ΄Αρα σε χωροειδήδιαστήματα οι διαδότες D(x1 − x2) και D(x2 − x1) αλληλοεξουδετερώνονται. Αυτόέχει ως αποτέλεσμα ο αντιμεταθέτης ψα(x1), ψβ(x2) να δίνει όντως 0, διατηρώνταςέτσι την αιτιότητα.


1.4.3 Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού

πεδίου και οι αντίστοιχοι διαδότες τους

Το φωτονικό και το γκλουονικό πεδίο ικανοποιούν, σε σχέση με τα υπόλοιπαπεδία, μια επιπλέον συμμετρία, τη συμμετρία βαθμίδος. Για το λόγο αυτό, ηκβάντωση των πεδίων αυτών αποτελεί μια από τις δυσκολότερες περιπτώσεις

κβάντωσης πεδίων. Η συμμετρία βαθμίδος επιτρέπει στα πεδία αυτά να μην

ορίζονται με μοναδικό τρόπο, καθότι υπάρχει η δυνατότητα επιλογής κάποιαςσυνθήκης, που ονομάζεται βαθμίδα και αντιστοιχεί σ’ ένα μετασχηματισμό συμβατόμε τη συμμετρία αυτή. ΄Ετσι, όταν για παράδειγμα προσπαθήσουμε να κβαντώσουμετο φωτονικό πεδίο Aµ(x), όπως είναι ορισμένο με τις τέσσερεις συνιστώσες του,παρατηρούμε ότι δεν είναι όλες οι συνιστώσες δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας.Αναλύοντας το φωτονικό πεδίο σε επίπεδα κύματα, παρατηρούμε τότε ότιαποτελείται μόνο από εγκάρσια κύματα, δηλαδή κύματα όπου το διάνυσμα πόλωσηςείναι κάθετο στο κυματάνυσμα διάδοσης. Με άλλα λόγια, παρατηρούμε δύο μόνοφυσικές καταστάσεις πόλωσης, το οποίο συνεπάγεται δύο δυναμικές μεταβλητές.΄Αρα, ο ορισμός του φωτονικού πεδίου περιέχει δύο «κάλπικες» μεταβλητές πουπρέπει με κάποιο τρόπο να εξαφανιστούν. Αυτό γίνεται μέσω της επιλογής

βαθμίδας η οποία να εξαφανίζει τις δύο από τις τέσσερεις μεταβλητές. Δεν υπάρχει,όμως, μοναδικός τρόπος επιλογής δύο ανεξάρτητων διανυσμάτων πόλωσης για έναδοσμένο κυματάνυσμα. Επιπλέον, κάτι που πρέπει να ληφθεί οπωσδήποτε υπ’ όψινείναι η συναλλοιώτητα της βαθμίδος κατά Lorentz, αφού τα πεδία είναισχετικιστικά. Μία ακόμη λεπτομέρεια είναι ότι η χρονική συνιστώσα του πεδίουA0(x) δεν έχει συζυγές πεδίο καθότι η ποσότητα (∂L/∂A0) είναι μηδέν. Συνεπώςτο πεδίο A0(x) θα πρέπει να μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των υπολοίπων

βαθμών ελευθερίας. Συνεπώς, η όλη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης τουφωτονικού και γκλουονικού πεδίου είναι ξεκάθαρα πιο σύνθετη από αυτές των

πεδίων Klein – Gordon και Dirac. ΄Ομως, η κβάντωση των πεδίων μπορεί να γίνεικαι με μια πιο εύκολη μέθοδο, με τη χρήση συναρτησιακών ολοκληρωμάτων, ταοποία θα περιγραφούν στο επόμενο κεφάλαιο. Λόγω της πολυπλοκότητας, λοιπόν,της κανονικής κβάντωσης του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου θα παραλείψουμε

το στάδιο αυτό καθώς και την εξαγωγή των αντίστοιχων διαδοτών τους. Η

κανονική κβάντωση του φωτονικού πεδίου περιγράφεται με κάθε λεπτομέρεια στο

[1]. Στο επόμενο κεφάλαιο, θα επιχειρήσουμε τη συναρτησιακή κβάντωση τωνπεδίων.


1.5 Η έννοια της επανακανονικοποίησης

Ο φορμαλισμός της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων, αν και πετυχαίνει τη σωστήπεριγραφή ελεύθερων σχετικιστικών στοιχειωδών σωματιδίων, εντούτοις ότανεφαρμοστεί σε αλληλεπιδρώντα σωματίδια εμφανίζει το βασικό πρόβλημα ότι

εμπεριέχει απειρισμούς. Κατά τον υπολογισμό όρων υψηλότερης τάξης στη θεωρίαδιαταραχών (διαγράμματα Feynman με βρόχους) που οφείλονται σε όρουςαλληλεπίδρασης παρατηρούμε αποκλίσεις στην υπεριώδη περιοχή, δηλαδή στηνπεριοχή υψηλών ορμών/ενεργειών ή ισοδύναμα μικρών χωροχρονικών αποστάσεων.Αυτό είναι αναμενόμενο από τη στιγμή που η θεωρία περιέχει άπειρους βαθμούς

ελευθερίας, επιβάλλοντας τη συνεχή άθροιση άπειρων εσωτερικών καταστάσεωνστους βρόχους αλληλεπίδρασης. Καθώς, όμως, οι απειρισμοί αντιστοιχούν στιςτιμές φυσικών μεγεθών του συστήματος, τότε δημιουργείται η εσφαλμένη εντύπωσηότι η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων δεν αποτελεί παρά ένα καθαρά μαθηματικό

κατασκεύασμα, χωρίς φυσική σημασία. ΄Ετσι, λοιπόν, απαιτείται η χρήση μιαςμεθόδου η οποία θα αίρει τους απειρισμούς και θα τους απαλείφει από τα φυσικά

μεγέθη. Η μέθοδος αυτή καλείται επανακανονικοποίηση (renormalization).

΄Ενα πρώτο στάδιο της επανακανονικοποίησης είναι η «ομαλοποίηση» τηςθεωρίας, δηλαδή ο ορισμός της θεωρίας με κάποιο τροποποιημένο τρόπο, στονοποίο δεν παρουσιάζονται απειρισμοί. Τα πιο διαδεδομένα παραδείγματα τέτοιωνομαλοποιήσεων είναι:

• ο ορισμός της θεωρίας σε D = 4− 2ε διαστάσεις (διαστατική ομαλοποίηση),

• ο ορισμός σε ένα διακριτοποιημένο χωροχρόνο, στον οποίο γειτονικά σημείααπέχουν απόσταση a (πλεγματική ομαλοποίηση),

• η εισαγωγή επί πλέον πεδίων με αρνητικούς διαδότες και μεγάλες μάζες M(ομαλοποίηση τύπου Pauli – Villars),

• η ολοκλήρωση ως πεπερασμένη μόνο περιοχή των ορμών p, |p| < Λ

(ομαλοποίηση τύπου momentum cut – off)

Καθεμιά από τις τέσσερις πιο πάνω ομαλοποιήσεις οδηγεί σε πεπερασμένες

συναρτήσεις Green, νοουμένου ότι ο αντίστοιχος «ομαλοποιητής» (ε, a, M , Λ) δενέχει πάρει ακόμα την οριακή του τιμή (ε→ 0, a→ 0, M →∞, Λ→∞).


Κεντρική ιδέα της μεθόδου της επανακανονικοποίησης είναι η απορρόφηση των

απειρισμών από παραμέτρους της θεωρίας και ο επαναπροσδιορισμός τους ώστε οι

παράμετροι αυτές (π.χ. σταθερές σύζευξης, μάζες) να μην αποκλίνουν καθώς οομαλοποιητής τείνει στο όριό του, αλλά να αποκτούν τις πεπερασμένες, φυσικέςτιμές τους. Οι αρχικές μάζες και σταθερές σύζευξης που υπάρχουν στη δράση δεναποτελούν πειραματικά μετρήσιμες ποσότητες διότι δε λαμβάνουν υπ’ όψιν τιςκβαντικές διακυμάνσεις του κενού, δηλαδή τις αλληλεπιδράσεις με τα σωματίδια πουγεννιούνται ανά πάσα στιγμή από το κενό. Οι παράμετροι αυτές ονομάζονται

«απογυμνωμένες» παράμετροι (bare) κι αφού δεν είναι μετρήσιμες μπορούν νααποκλίνουν. Οι αποκλίσεις των παραμέτρων αυτών επιλέγονται έτσι ώστε να

αναιρούνται από το αποκλίνον άθροισμα των διαγραμμάτων Feynman. Στη

συνέχεια, ορίζονται οι φυσικές παράμετροι με τη μετατροπή των απογυμνωμένωνπαραμέτρων σε πεπερασμένες. Η μετατροπή αυτή δε γίνεται με μοναδικό τρόπο,καθώς υπάρχει αυθαιρεσία στην πεπερασμένη τιμή που μπορεί να λάβει η κάθε

απογυμνωμένη παράμετρος. Το φυσικό περιεχόμενο της θεωρίας παραμένει το ίδιογια όλες τις διαφορετικές δυνατότητες επανακανονικοποίησης (σχήμαεπανακανονικοποίησης). Η περιγραφή της εξάρτησης των φυσικών παραμέτρων απότο σχήμα επανακανονικοποίησης γίνεται μέσω των εξισώσεων της ομάδας

επανακανονικοποίησης. Η επανακανονικοποίηση μπορεί να γίνει επίσης εισάγονταςκατάλληλους όρους στη δράση, οι οποίοι είναι ορισμένοι με τρόπο ώστε να«σκοτώνουν» το αποκλίνον άθροισμα των διαγραμμάτων Feynman. Η εισαγωγήτέτοιων όρων καταφέρνει την κατ’ ευθείαν επανακανονικοποίηση των φυσικώνπαραμέτρων μέσα στη δράση.

Για να μπορούμε να υλοποιήσουμε τη διαδικασία της επανακανονικοποίησης

πρέπει η θεωρία να πληροί κάποια κριτήρια. Βασικό κριτήριο: να είναι πεπερασμένοτο πλήθος των παραμέτρων που χρειάζεται να επαναπροσδιοριστούν προκειμένου να

μην απειρίζονται όλα τα μετρήσιμα μεγέθη. Αν ισχύει το αντίθετο, τότε η θεωρία,δεν μπορεί να επανακανονικοποιηθεί, όπως για παράδειγμα συμβαίνει στις θεωρίες:Βαρύτητα, Υπερβαρύτητα (στις περισσότερες εκδοχές της), αλληλεπιδράσειςτεσσάρων φερμιονίων, κ.ά. Κάποιες επανακανονικοποιήσιμες θεωρίες είναι οι εξής:φ4, QED, Yukawa, άμαζη μη αβελιανή θεωρία βαθμίδος, κ.ά.

Η επανακανονικοποίηση, λοιπόν, αποτελεί ένα όμορφο μαθηματικό

κατασκεύασμα που αίρει τους απειρισμούς της θεωρίας. Επίσης, εκτός του ότι δίνειμια πεπερασμένη τιμή στις παραμέτρους της θεωρίας, αναδεικνύει και μια φυσικήτους ιδιότητα, μέσω του ορισμού τους σε συγκεκριμένη ενεργειακή κλίμακα, η


οποία καλείται κλίμακα επανακανονικοποίησης (renormalization scale). Για

παράδειγμα, στην QCD, προκύπτει ότι η επανακανονικοποιημένη σταθερά σύζευξηςτείνει στο μηδέν σε μεγάλες ενεργειακές κλίμακες, ενώ αντιθέτως αποκτά μεγάλεςτιμές σε χαμηλές ενέργειες. Κατά συνέπεια, η επανακανονικοποίηση της QCDμπορεί να γίνει διαταρακτικά σε υψηλές ενέργειες ενώ η επανακανονικοποίηση της

QCD σε χαμηλές ενέργειες πρέπει να γίνει μη διαταρακτικά.

Κεφάλαιο 2

Η συναρτησιακή μορφή της

Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων

2.1 Η έννοια του Συναρτησιακού

Ολοκληρώματος (Path Integral) και η

εφαρμογή του στην Κβαντική Μηχανική

Συναρτησιακό ολοκλήρωμα καλείται το πολλαπλό ολοκλήρωμα, στο οποίο ηολοκλήρωση γίνεται αθροίζοντας ένα συναρτησιακό G[f(x)] ως προς ένα συνεχές

φάσμα συναρτήσεων f(x), σε αντιδιαστολή με την άθροιση μιας συνάρτησης f(x)

ως προς ένα συνεχές φάσμα τιμών της μεταβλητής x, όπως συμβαίνει στο κανονικόολοκλήρωμα. Δηλαδή, αντί του συνηθισμένου ολοκληρώματος

∫dxf(x), το

συναρτησιακό ολοκλήρωμα ορίζεται με τον εξής τρόπο:∫Df G[f ] ≡

∫ ∏x

df(x) G[f(x)]

Δεδομένου ότι ο ορισμός του συναρτησιακού ολοκληρώματος, απαιτεί τηδιακριτοποίηση της μεταβλητής x σε xi, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται ως εξής:∫

Df G[f ] ≡∫ ∏

i

dfi G[f1, f2, · · · ]

όπου fi = f(xi). Η εφαρμογή ενός τέτοιου ολοκληρώματος είναι χρήσιμη για τηναναπαράσταση συναρτήσεων συσχέτισης (όπως είναι ο διαδότης των πεδίων) σε

46

Κεφάλαιο 2. Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων 47

συστήματα πολλών συνεχών βαθμών ελευθερίας q(t), καθώς αποδεικνύεταιαπλούστερο σε σχέση με τη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης. Η χρήση τουσυναρτησιακού ολοκληρώματος στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, όπου το κάθεπεδίο εξαρτάται από άπειρους συνεχείς βαθμούς ελευθερίας, αποτελεί μια από τιςπιο σημαντικές εφαρμογές. Επίσης, υπάρχουν βασικοί λόγοι για τους οποίουςπροτιμάται η συναρτησιακή παρά η κανονική κβάντωση των πεδίων: ΄Οπως

αναφέραμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο η κανονική κβάντωση του φωτονικού και

γκλουνικού πεδίου είναι περίπλοκη. Ωστόσο, με τη βοήθεια του συναρτησιακούολοκληρώματος, δίνονται με σχετικά εύκολο τρόπο οι διαδότες των πεδίων αυτών.΄Ενας άλλος λόγος είναι ότι, ενώ το συναρτησιακό ολοκλήρωμα βασίζεται στιςβασικές αρχές της Κβαντικής Μηχανικής, δεν εμφανίζει το φορμαλισμό τωντελεστών, δηλαδή δεν απαιτείται η μετατροπή των πεδίων σε τελεστές. Τα πεδίααντιμετωπίζονται ως συναρτήσεις κάνοντας έτσι πιο εύκολη τη διαχείρισή τους.Ακόμη, θεμελιώδης ποσότητα του συναρτησιακού ολοκληρώματος αποτελεί ηλαγκρανζιανή κι όχι η χαμιλτονιανή και με τον τρόπο αυτό ένα τέτοιο ολοκλήρωμα

διατηρεί καταφανή τη συμμετρία Lorentz. Επίσης, σε αντίθεση με την κανονικήκβάντωση, στις θεωρίες βαθμίδος ο έλεγχος της ανεξαρτησίας φυσικών μεγεθώναπό την επιλογή βαθμίδος είναι πιο άμεσος με τη χρήση συναρτησιακού

ολοκληρώματος. Επιπρόσθετα, μια πολύ στενή αναλογία με τη ΣτατιστικήΜηχανική εμφανίζεται όταν γίνεται χρήση συναρτησιακών ολοκληρωμάτων,γεγονός που επιτρέπει τη χρήση κοινών τεχνασμάτων της Στατιστικής Μηχανικής

και της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων. Τέλος, η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίωνχρησιμοποιείται και για μη διαταρακτικούς υπολογισμούς στις θεωρίες

αλληλεπιδρώντων πεδίων.

Η απλούστερη εφαρμογή του συναρτησιακού ολοκληρώματος βρίσκεται στην

Κβαντική Μηχανική και συγκεκριμένα στον υπολογισμό του διαδότη ενός

σωματιδίου μεταξύ δύο χωροχρονικών σημείων. Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα,στην προκειμένη περίπτωση, υπολογίζει την πιθανότητα μετάβασης του σωματιδίουαπό το ένα χωροχρονικό σημείο στο άλλο, αθροίζοντας όλα τα δυνατά μονοπάτιαμεταξύ των δύο αυτών σημείων, όπως φαίνεται στο σχήμα (2.1), με το κατάλληλοστατιστικό βάρος, το οποίο επιτυγχάνεται με τη διακριτοποίηση του χρόνου. Οδιαδότης ενός μη σχετικιστικού σωματιδίου από το σημείο (q0, t0) στο (qf , tf ) στην

εικόνα Heisenberg είναι ο εξής:

K(qf , tf ; q0, t0) = 〈qf , tf |q0, t0〉


Σχήμα 2.1: Πιθανά μονοπάτια διάδοσης ενός σωματιδίου από το χωροχρονικόσημείο (q0, t0) στο (qf , tf )

Με την εισαγωγή του μοναδιαίου τελεστή ως συνάρτηση του ket |q1, t1〉 (όπουt0 < t1 < tf και q1 = q(t1)), το οποίο είναι οποιαδήποτε ενδιάμεση κατάσταση τουσωματιδίου, προκύπτει:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫dq1〈qf , tf |q1, t1〉〈q1, t1|q0, t0〉

Συμπεραίνεται, δηλαδή, ότι ο διαδότης ενός σωματιδίου K(qf , tf ; q0, t0) από το

(q0, t0) στο (qf , tf ) ισούται με το γινόμενο των διαδοτών

K(qf , tf ; q1, t1) · K(q1, t1; q0, t0), αθροισμένο ως προς όλα τα ενδιάμεσα σημεία(q1, t1). ΄Επειτα, διαμερίζουμε το διάστημα του χρόνου [t0, tf ] σε (N + 1) ίσα

διαστήματα πλάτους ∆t = ti+1 − ti. Με τον τρόπο αυτό, ο διαδότης από την αρχικήστην τελική κατάσταση θα ισούται με το άθροισμα συνεισφορών απ’ όλα τα δυνατάδιακριτοποιημένα μονοπάτια μεταξύ των δύο σημείων, όπου η συνεισφορά του κάθεμονοπατιού θα ισούται με το γινόμενο N+1 επιμέρους διαδοτών, όπως φαίνεται καιστο σχήμα (2.2). ΄Ετσι, ο διαδότης γράφεται ως εξής:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫dq1 · · ·

∫dqN〈qf , tf |qN , tN〉〈qN , tN |qN−1, tN−1〉 · · · 〈q1, t1|q0, t0〉

=

∫ N∏i=1

dqi〈qf , tf |qN , tN〉〈qN , tN |qN−1, tN−1〉 · · · 〈q1, t1|q0, t0〉


Σχήμα 2.2: ΄Ενα διακριτοποιημένο δυνατό μονοπάτι διάδοσης ενός σωματιδίουαπό το χωροχρονικό σημείο (q0, t0) στο (qf , tf )

όπου dqi =∏n

a=1 dqai , n είναι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων και t0 < t1 <

· · · < tN < tf . Ο διαδότης μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων (qi, ti) και (qi+1, ti+1)

με 0 ≤ i ≤ N μπορεί να γραφεί με τη χρήση της σχέσης μετάβασης από την εικόνα

Heisenberg στην εικόνα Schrödinger |q, t〉 = e(i/~)Ht|q〉 σε:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) = 〈qi+1, ti+1|qi, ti〉 = 〈qi+1|e−(i/~)H(ti+1−ti)|qi〉

= 〈qi+1|e−(i/~)H∆t|qi〉

Αντικαθιστούμε τον τελεστή της χαμιλτονιανής με την πιο κάτω σχέση:

H(q, p) =1

2m

n∑a=1

(pa)2 + V (Q)

όπου pa είναι ο τελεστής της συζυγούς ορμής της συνιστώσας a του τελεστή Q που

αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση θέσης |q〉. ΄Αρα:

exp

(− i

~H∆t

)= exp

[− i

~

(1

2m

n∑a=1

(pa)2 + V (Q)

)∆t

]≈

n∏a=1

exp

(− i

~1

2m(pa)2 ∆t

)exp

(− i

~V (Q)∆t

)


Επομένως:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) = 〈qi+1|n∏a=1

exp

(− i

~1

2m(pa)2 ∆t

)|qi〉 exp

(− i

~V (qi)∆t

)

Με την εισαγωγή του μοναδιαίου τελεστή ως συνάρτηση των ιδιοκαταστάσεων ορμής

|pi〉, ο διαδότης μετατρέπεται σε:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =

∫dpi

n∏a=1

exp

(− i

~1

2m(pai )

2 ∆t

)〈qi+1|pi〉〈pi|qi〉 exp

(− i

~V (qi)∆t

)

όπου dpi =∏n

a=1 dpai . Χρησιμοποιώντας τη σχέση 〈q|p〉 = (2π~)(−n/2) e(i/~)~p·~q,

προκύπτει:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) = exp

(− i

~V (qi)∆t

) n∏a=1

∫dpai2π~

exp

(− i∆t

2~m(pai )

2 +i

~(qai+1 − qai )pai

)

Χρησιμοποιώντας, επίσης, το γκαουσιανό ολοκλήρωμα∫dx e−ax

2+bx =√π/a eb

2/4a,ο διαδότης γράφεται:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =

(m

2πi~∆t

)n/2exp

i

~∆t

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

](2.1)

Από την πιο πάνω σχέση, ο συνολικός διαδότης από το (q0, t0) στο (qf , tf )

μετατρέπεται σε:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

) N∏i=1

K(qi+1, ti+1; qi, ti)

=

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

)(m

2πi~∆t

)(N+1)(n/2)

exp

i

~∆t

N∑i=0

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

]

Στο όριο του συνεχούς, δηλαδή ∆t→ 0 και N →∞, ο διαδότης παίρνει τη μορφή:

K(qf , tf ; q0, t0) = N limN→∞

(∫ N∏i=1

n∏a=1

dqai

)exp

[i

~

∫ tf

t0

dt

(1

2m

n∑a=1

(qa(t))2 − V(q(t)

))]


όπου:

N = lim∆t→0,N→∞

(m

2πi~∆t

)(N+1)n/2

Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς:

Dq ≡ N limN→∞

N∏i=1

n∏a=1

dqai και L(q, q) ≡ 1

2m

n∑a=1

(qa(t))2 − V(q(t)

)ο διαδότης παίρνει την πιο κάτω τελική μορφή:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫ q(tf )

q(t0)

Dq eiS(q)/~ (2.2)

όπου S(q) =∫ tft0dtL(q, q). Επομένως, στη διάδοση ενός σωματιδίου μεταξύ δύο

χωροχρονικών σημείων συνεισφέρουν όλα τα δυνατά μονοπάτια, κάθε ένα με βάροςeiS/~. Ανάλογος τύπος ισχύει επίσης και για το διαδότη ενός πεδίου, τον οποίο θαεξετάσουμε στο αμέσως επόμενο υποκεφάλαιο.

2.2 Η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων

2.2.1 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Klein

– Gordon

Η γενίκευση της διαδικασίας της συναρτησιακής κβάντωσης του μη

σχετικιστικού κβαντικού σωματιδίου, δίνει τη συναρτησιακή αναπαράσταση τουδιαδότη του πεδίου Klein – Gordon. Αρχικά, όμως, θα πρέπει να γίνει η μετατροπήτης έκφρασης του διαδότη Klein – Gordon σε μορφή ανάλογη με αυτήν ενόςκβαντικού σωματιδίου. Την έκφραση αυτή θα την επαναφέρουμε στην πραγματικήτης πεδιακή μορφή αφού εκτελέσουμε τη διαδικασία της συναρτησιακής κβάντωσης.Η συνάρτηση Green του πεδίου Klein – Gordon για N χωροχρονικά σημεία, θαέχει την εξής αντίστοιχη μορφή σε όρους Κβαντικής Μηχανικής:

〈E0|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|E0〉 (2.3)


Η πιο πάνω έκφραση προκύπτει όταν γίνουν οι αντικαταστάσεις |0〉 → |E0〉 καιφ(x) → Qa(t) στη σχέση (1.66), (με a να είναι ο διακριτοποιημένος δείκτης πουαντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου). Οι αντικαταστάσεις αυτές προκύπτουν αφούη κατάσταση κενού είναι η θεμελιώδης ιδιοκατάσταση ενέργειας και ο τελεστής πεδίου

δρα ως χρονικά εξαρτώμενος τελεστής θέσης (στην εικόνα Heisenberg). Η έκφρασηαυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με:

limt0→ i∞tf→−i∞

〈qf , tf |T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|q0, t0〉〈qf , tf |q0, t0〉

(2.4)

όπου q0 = qa0 και qf = qaf αντιστοιχούν στις αρχικές και τελικές τιμές του πεδίουσε κάθε σημείο του χώρου, αντίστοιχα, ενώ οι χρόνοι παίρνουν φανταστικές τιμές,μέσω στροφής τους κατά 90o στο μιγαδικό επίπεδο. Πράγματι, χρησιμοποιώνταςτις σχέσεις μετάβασης από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schrödinger, αλλάκαι εισάγοντας, στη σχέση (2.4), το μοναδιαίο τελεστή δύο φορές υπό τη μορφήαθροίσματος ενός πλήρους σετ από ιδιοκαταστάσεις ενέργειας 1 =

∑κ |Ek〉〈Ek|, η

πιο πάνω σχέση γίνεται:


∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0〈qf |Eκ′〉〈Eκ′|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|Eκ〉〈Eκ|q0〉∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0〈qf |Eκ′〉〈Eκ′ |Eκ〉〈Eκ|q0〉

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 〈qf |Eκ′〉 = ψκ′(qf ), 〈Eκ|q0〉 = ψκ∗(q0) και

〈Eκ′|Eκ〉 = δκ′κ, καταλήγουμε στην εξής έκφραση:


∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0 ψκ′(qf )ψκ∗(q0)〈Eκ′ |T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|Eκ〉∑

κ e−iEκtf eiEκt0 ψκ(qf )ψκ

∗(q0)

Στο όριο όπου t0 → i∞ και tf → −i∞, οι όροι e−iEκ′ tf , e−iEκtf και eiEκt0

μηδενίζονται εκτός από την περίπτωση όπου κ = κ′ = 0 δηλαδή στη θεμελιώδη

ενέργεια, την οποία θεωρούμε μηδενική. ΄Ετσι, εν τέλει, η πιο πάνω έκφρασημετατρέπεται στη ζητούμενη (2.3). Σημειώνουμε βέβαια, ότι στο τελευταίο βήμα,έγιναν οι εξής υποθέσεις: θεωρήσαμε ότι υπάρχει ένα ενεργειακό χάσμα μεταξύθεμελιώδους και πρώτης διεγερμένης κατάστασης.

Αφού αποδείχθηκε η ισότητα της σχέσης (2.3) με τη σχέση (2.4), θα πρέπειτώρα να εκφράσουμε την τελευταία υπό μορφή συναρτησιακού ολοκληρώματος.Κατ’ αρχάς, ο παρονομαστής είναι το ανάλογο του γνωστού διαδότη του μησχετικιστικού κβαντικού σωματιδίου και επομένως, παίρνει τη μορφή της σχέσης


(2.2). Ο αριθμητής, με τη διακριτοποίηση του χρόνου, την εισαγωγή του μοναδιαίουτελεστή αριστερά από κάθε τελεστή Qai(ti), εκπεφρασμένου συναρτήσει ενόςπλήρους σετ από ιδιοκαταστάσεις θέσης 1 =

∫dqai |qai , ti〉〈qai , ti| και τη χρήση των

σχέσεων μετάβασης από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schrödinger όπωςαυτές ορίστηκαν για τα kets στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, αλλά και τηναντίστοιχη σχέση για τον τελεστή: Qai(ti) = eiHtiQaie

−iHti , μπορεί να γραφτεί ως:

∫ N∏i=1

dqi [qa1(t1) · · · qaN (tN)]〈qf , tf |q1, t1〉〈q1, t1|q2, t2〉 · · · 〈qN , tN |q0, t0〉 (2.5)

όπου qai(ti) είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή Qai και t1 > t2 > · · · > tN .Χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.1), από το προηγούμενο υποκεφάλαιο, ο αριθμητήςτου κβαντομηχανικού ανάλογου παίρνει την κάτωθι μορφή (σε μονάδες ~ = 1):

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

)(m

2πi∆t

)(N+1)(n/2)

[qa1(t1) · · · qaN (tN)]·

exp

i∆t

N∑i=0

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

]

Στην έκφραση αυτή, ο όρος V (qi) είναι το μέρος της Χαμιλτονιανής το οποίο δεν

περιέχει χρονικές παραγώγους, περιέχει όμως όρους με χωρικές παραγώγους.Ακολουθώντας, από εδώ και πέρα, τα ίδια βήματα με αυτά του προηγούμενουυποκεφαλαίου, καταλήγουμε στην εξής σχέση:

〈E0|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|E0〉 =

∫ q(−i∞)

q(i∞)Dq qa1(t1) · · · qaN (tN) eiS(q)∫ q(−i∞)

q(i∞)Dq eiS(q)

(2.6)

όπου S(q) =∫ −i∞i∞ dtL(q, q). Επαναφέροντας, τώρα, τη συνάρτηση Green στην

πεδιακή της μορφή, η συναρτησιακή της αναπαράσταση τελικά θα είναι:

DK−G(x1, x2, · · · , xN) =

∫Dφ φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN)eiSK−G(φ)∫

Dφ eiSK−G(φ)(2.7)

όπου Dφ =∏

x dφ(x) και SK−G(φ) είναι η δράση Klein – Gordon όπως αυτή δίνεταιαπό τη σχέση (1.15). Αντίστοιχα, οποιαδήποτε συνάρτηση Green, η οποία περιέχει


τελεστές του πεδίου Klein – Gordon O(φ) έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

〈O(φ)〉 =

∫Dφ O(φ)eiSK−G(φ)∫Dφ eiSK−G(φ)

(2.8)

Ας υπολογίσουμε το διαδότη Klein – Gordon μεταξύ δύο σημείων:

DK−G(x1 − x2) = 〈0|T [φ(x1)φ(x2)]|0〉 =

∫Dφ φ(x1)φ(x2)eiSK−G(φ)∫

Dφ eiSK−G(φ)(2.9)

Ο πιο πάνω διαδότης έχει τη μορφή μέσης τιμής πραγματικού πολυωνύμου με

γκαουσιανό βάρος, όταν διακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή x → xi και

εκτελέσουμε στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδειο χώρο (βλέπεΠαράρτημα), όπου οι φανταστικοί χρόνοι, οι οποίοι προέκυψαν πιο πάνω,μετατρέπονται σε πραγματικούς Ευκλείδειους χρόνους, μέσω της σχέσης t = −itE:

DK−G(x1 − x2) =

∫ ∏i dφ(xi) [φ(x1)φ(x2)] exp

(− 1

2

∑i,j φ(xi) Kij φ(xj)

)∫ ∏

i dφ(xi) exp

(− 1

2

∑i,j φ(xi) Kij φ(xj)

)(2.10)

με Kij = (∂µ∂µ + m2)ij, όπου η φανταστική μονάδα i απαλείφεται εξαιτίας τηςμετατροπής του διαφορικού ολοκλήρωσης των χρόνων σε διαφορικό Ευκλείδειων

χρόνων. Επίσης αποδεικνύεται, βάσει των εξισώσεων που αφορούν τη μέση τιμήπολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος, ότι ο διαδότης ισούταιμε:

DK−G(x1 − x2) = (K−1)1,2 (2.11)

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο Minkowski, ισχύει η παρακάτω σχέση:

(∂µ∂µ +m2) DK−G(x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2) (2.12)

Η προσθήκη του παράγοντα −i δίπλα από τη συνάρτηση δέλτα έγινε ούτως ώστενα κρατήσουμε πραγματικές τιμές για το χρόνο και έτσι να αποφύγουμε τη χρήση

φανταστικών τιμών του χρόνου μέσα σ’ αυτήν. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς


Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:∫d4p

(2π)4(∂µ∂µ +m2)

(DK−G(p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)

⇒∫

d4p

(2π)4

[(−ipµ)(−ipµ) +m2

](DK−GF (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)

⇒ (−p2 +m2)DK−G(p) = −i

⇒ DK−G(p) =i

p2 −m2(2.13)

Επομένως, ο διαδότης Klein – Gordon δύο σημείων στο χώρο των θέσεων (μεκατάλληλες συνοριακές συνθήκες) είναι:

DK−G(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (2.14)

όπου ο όρος iε προστέθηκε στον παρονομαστή για την αποφυγή ύπαρξης πόλων πάνω

στον πραγματικό άξονα. Η σχέση που προέκυψε είναι πράγματι η ίδια με τη σχέση(1.65) όπως αυτή που εξάγεται από τη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης.

2.2.2 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Dirac

Ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία, όπως αυτή που μόλις κάναμε για το πεδίοKlein – Gordon, μπορεί να γίνει η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη τουπεδίου Dirac. ΄Ετσι, η φερμιονική συνάρτηση Green γιαN = 2` χωροχρονικά σημεία,κατ’ αντιστοιχία με το πεδίο Klein – Gordon, παίρνει την παρακάτω συναρτησιακήμορφή:

GFα1···α`;β1···β`(x1, · · · , x`; y1, · · · , y`) = 〈0|T

[ψα1(x1) · · ·ψα`(x`)ψβ1(y1) · · · ψβ`(y`)

]|0〉

=

∫DψDψ

[ψα1(x1) · · ·ψα`(x`)ψβ1(y1) · · · ψβ`(y`)

]eiSF (ψ,ψ)∫

DψDψ eiSF (ψ,ψ)(2.15)

όπου ψ είναι μεταβλητές Grassmann, DψDψ =∏

x,y

∏4α,β=1 dψβ(y)dψα(x) και

SF (ψ, ψ) είναι η δράση Dirac όπως δίνεται από τη σχέση (1.19). Επίσης,οποιαδήποτε συνάρτηση Green που περιέχει τελεστές των φερμιονικών πεδίωνO(ψ, ψ) έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

〈O(ψ, ψ)〉 =

∫DψDψ O(ψ, ψ) eiSF (ψ,ψ)∫DψDψ eiSF (ψ,ψ)

(2.16)


Υπολογίζοντας το διαδότη Dirac δύο σημείων έχουμε:

DFαβ(x1 − x2) = 〈0|T

[ψα(x1)ψβ(x2)

]|0〉

=

∫DψDψ ψα(x1)ψβ(x2) eiSF (ψ,ψ)∫

DψDψ eiSF (ψ,ψ)(2.17)

΄Οταν διακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή x → xi και εκτελέσουμε στροφή

Wick (t = −itE), ο διαδότης αυτός έχει τη μορφή μέσης τιμής μιγαδικού πολυωνύμουμεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος. ΄Ετσι έχουμε:

DFαβ(x1 − x2) =∫ ∏

i,j

∏4γ,δ=1 dψγ(xi)dψδ(xj)

[ψα(x1)ψβ(x2)

]exp

(−∑

i,j

∑4γ,δ=1 ψγ(xi)Kγδ(xi, xj)ψδ(xj)

)∫ ∏

i,j

∏4γ,δ=1 dψγ(xi)dψδ(xj) exp

(−∑

i,j

∑4γ,δ=1 ψγ(xi)Kγδ(xi, xj)ψδ(xj)

)(2.18)

με Kγδ(xi, xj) = −(iγµ∂µ −m)γδ, όπου η φανταστική μονάδα i απαλείφεται εξαιτίαςτης στροφής Wick, όπως και στην περίπτωση του πεδίου Klein – Gordon. Επίσηςαποδεικνύεται, βάσει των εξισώσεων που αφορούν τη μέση τιμή μιγαδικούπολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος, ότι ο διαδότης ισούταιμε:

DFαβ(x1 − x2) = K−1

αβ (x1, x2) (2.19)

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο, ισχύει η παρακάτω σχέση:

−(iγµ∂µ −m)αβDFβγ(x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2)δαγ (2.20)

όπου και πάλι κρατήσαμε πραγματικές τιμές για το χρόνο. Χρησιμοποιώντας

μετασχηματισμούς Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:

−∫

d4p

(2π)4(iγµ∂µ −m)αβ

(DFβγ(p) e

−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)δαγ

−∫

d4p

(2π)4

[iγµ(−ipµ)−m

]αβ

(DFβγ(p) e

−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)δαγ[

− (γµpµ −m)DF (p)

]αγ

= −iδαγ


Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη εξ αριστερών με (γµpµ +m)βα, προκύπτει:[−((γµpµ)2 −m2

)DF (p)

]βγ

= −i(γµpµ +m)βγ

⇒ −(p2 −m2)DFβγ(p) = −i(γµpµ +m)βγ

⇒ DFβγ(p) =

i(/p+m)βγ

p2 −m2(2.21)

Επομένως, ο φερμιονικός διαδότης Dirac στο χώρο των θέσεων (με κατάλληλεςσυνοριακές συνθήκες) είναι:

DFαβ(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i(/p+m)αβ

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (2.22)

Για να αποφύγουμε και πάλι την ύπαρξη πόλων πάνω στον πραγματικό άξονα,προσθέσαμε στον παρονομαστή της έκφρασης τον όρο iε. Η πιο πάνω σχέση είναιπράγματι η ίδια με τη (1.83) όπως αυτή προέκυψε από τη διαδικασία της κανονικήςκβάντωσης.

2.2.3 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του φωτονικού

διαδότη

Η κβάντωση του φωτονικού πεδίου, όπως αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 1.4.3,απαιτεί επιλογή κάποιας συγκεκριμένης βαθμίδας και για το λόγο αυτό διαφέρει από

την κβάντωση των πεδίων Klein – Gordon και Dirac. Το ίδιο ισχύει και για τησυναρτησιακή κβάντωση, μόνο που στην περίπτωση αυτή υπάρχει η ελευθερίαεπιλογής οποιασδήποτε βαθμίδας επιθυμούμε. Εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασίασυναρτησιακής κβάντωσης με αυτήν των πεδίων Klein – Gordon και Dirac,παρατηρούμε ότι στην πραγματικότητα η συνάρτηση Green φωτονικών πεδίων γιαδύο χωροχρονικά σημεία δεν μπορεί να οριστεί. Το πρόβλημα γενικεύεται για τιςσυναρτήσεις Green φωτονικών πεδίων για N χωροχρονικά σημεία. Οι Faddeev καιPopov κατάφεραν με επιτυχία να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα αυτό με το κόλποπου θα περιγράψουμε πιο κάτω.


Η φωτονική συνάρτηση Green για N χωροχρονικά σημεία, κατ’ αντιστοιχία μετο πεδίο Klein – Gordon, παίρνει την παρακάτω συναρτησιακή μορφή:

[DPH(x1, x2, · · · , xN)

]µ1µ2···µN

= 〈0|T [Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)]|0〉

=

∫DA [Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)] eiSPH(A)∫

DA eiSPH(A)(2.23)

όπου DA =∏

x

∏3µ=0 dAµ(x) και SPH(A) είναι η φωτονική δράση όπως αυτή

δίνεται από τη σχέση (1.23). ΄Οταν αναφερόμαστε στο συνεχή χωροχρόνο, η πιοπάνω συνάρτηση Green παρουσιάζει πρόβλημα καθότι το συναρτησιακό

ολοκλήρωμα∫DA eiSPH(A)

δε δίνει πεπερασμένη τιμή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ησυνάρτηση Green, όπως είναι ορισμένη, να μην μπορεί να δώσει ορθάαποτελέσματα. Εξετάζουμε για ευκολία το φωτονικό διαδότη δύο σημείων:

DPHµν (x1 − x2) =

∫DA [Aµ(x1)Aν(x2)] eiSPH(A)∫

DA eiSPH(A)

Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες, η δράση SPH(A) μπορεί να γραφεί

ως:

SPH(A) =1

2

∫d4xAµ(x) (∂ρ∂

ρgµν − ∂µ∂ν) Aν(x)

΄Οπως και στην περίπτωση του διαδότη Klein – Gordon, o φωτονικός διαδότης έχειτη μορφή μέσης τιμής πραγματικού πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος, ότανδιακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή x → xi και εκτελέσουμε στροφή Wick(t = −itE):

DPHµν (x1 − x2) =∫ ∏

i

∏3ρ=0 dAρ(xi) [Aµ(x1)Aν(x2)] exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)∫ ∏

i

∏3ρ=0 dAρ(xi) exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)με Kµν

ij = −(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν)ij, όπου και πάλι η φανταστική μονάδα i απαλείφεται

εξαιτίας της στροφής του Wick. Επομένως, βάσει των εξισώσεων που αφορούν τημέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος, ο διαδότηςισούται με:


(K−1µν

)1,2

(2.24)


Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο, ισχύει η παρακάτω σχέση:

−(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν)DPH

νσ (x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2) δµσ (2.25)

όπου κρατήσαμε πραγματικές τιμές για το χρόνο. Χρησιμοποιώντας

μετασχηματισμούς Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:

−∫

d4p

(2π)4(∂ρ∂

ρgµν − ∂µ∂ν)(DPHνσ (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2) δµσ

⇒ −∫

d4p

(2π)4

[(−ipρ)(−ipρ)gµν − (−ipµ)(−ipν)

](DPHνσ (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2) δµσ

⇒ (p2gµν − pµpν)DPHνσ (p) = −iδµσ (2.26)

Αφού ο πίνακας 4 × 4 (p2gµν − pµpν) δεν είναι αντιστρέψιμος, η εξίσωση πουκαταλήξαμε δεν έχει λύση. Πράγματι, ο πίνακας αυτός έχει το ιδιοδιάνυσμα pν μειδιοτιμή 0, πράγμα που σημαίνει ότι η ορίζουσα του είναι μηδενική και ως εκ τούτουο πίνακας είναι μη αντιστρέψιμος. Συνεπώς, όταν το φωτονικό πεδίο παίρνει τημορφή Aµ(p) ∼ pµΛ(p) στο χώρο των ορμών ή αντίστοιχα Aµ(x) ∼ ∂µΛ(x) στο

χώρο των θέσεων, όπου Λ(x), Λ(p) είναι τυχαίες βαθμωτές συναρτήσεις, τότε ηφωτονική δράση μηδενίζεται. Το φωτονικό πεδίο Aµ(x) καθώς και η δράση του

Sph(A) υπακούουν στη συμμετρία βαθμίδος και για το λόγο αυτό επιδιώκουμε το

διαχωρισμό του διαφορικού ολοκλήρωσης DA σε δύο επιμέρους ολοκληρώματα:

DA = DA gaugeinequivalent

DA gaugeequivalent

Το κομμάτι DA gaugeequivalent

περιλαμβάνει όλους τους μετασχηματισμούς βαθμίδος μιας

συνάρτησης πεδίου, ενώ το κομμάτι DA gaugeinequivalent

περιλαμβάνει όλες τις

συναρτήσεις πεδίου που δε σχετίζονται μεταξύ τους μέσω μετασχηματισμών

βαθμίδος. Σε ένα διανυσματικό χώρο συναρτήσεων, όπου το κάθε σημείο τουχώρου αντιστοιχεί σε μια διάταξη Aµ(x), ο πιο πάνω διαχωρισμός αναπαρίσταταιμέσω τροχιών. Η κάθε μια από τις τροχιές αυτές περιλαμβάνει όλες τις ισοδύναμεςδιατάξεις που σχετίζονται μεταξύ τους με μετασχηματισμό βαθμίδος. Στις τροχιέςαυτές περιλαμβάνεται και το σύνολο διατάξεων Aµ(x) = −(1/e)∂µΛ(x), το οποίοαποτελεί μετασχηματισμό βαθμίδος της Aµ(x) = 0. Το σύνολο αυτό μηδενίζει τηφωτονική δράση, σύμφωνα με τα παραπάνω, δίνοντας στην ολοκληρωτέα συνάρτησηeiSPH(A)

την τιμή 1. Επειδή αυτό συμβαίνει για κάθε συνάρτηση βαθμίδας Λ(x),


δηλαδή για όλα τα σημεία ολοκλήρωσης της συγκεκριμένης τροχιάς, τα οποία είναιάπειρα, το συναρτησιακό ολοκλήρωμα

∫DA gauge

equivalenteiSPH(A)

απειρίζεται. Αυτό έχει

ως συνέπεια και το ολικό συναρτησιακό ολοκλήρωμα∫DA eiSPH(A)

να απειρίζεται,με αποτέλεσμα ο ορισμός της συναρτησιακής μορφής του φωτονικού διαδότη να

είναι, όντως, προβληματικός. ΄Αρα, αυτό που χρειάζεται ο συναρτησιακός φωτονικόςδιαδότης είναι η βελτίωση του ορισμού του. Μία βελτίωση που να απομονώνει τοκομμάτι του συναρτησιακού ολοκληρώματος που περιλαμβάνει μία μόνο φυσική

διάταξη από κάθε τροχιά, αποφεύγοντας έτσι την απευθείας προσμέτρηση τωνάπειρων ισοδύναμων φυσικών διατάξεων η οποία οδηγεί σε ένα αποκλίνον

συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίστηκε επιτυχώς από τους Faddeev και Popov, οιοποίοι εισήγαγαν στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα, συναρτήσεις δέλτα κάποιαςβαθμίδας. Με τον τρόπο αυτό κατάφεραν να απομονώσουν το κομμάτι του

συναρτησιακού ολοκληρώματος, το οποίο μετρά ένα μόνο μετασχηματισμό βαθμίδοςμιας συνάρτησης πεδίου. Απαραίτητη στη διαδικασία αυτή ήταν ωστόσο, ηολοκλήρωση του απομονωμένου αυτού συναρτησιακού ολοκληρώματος, ως προςόλες τις συναρτήσεις βαθμίδος Λ(x). Το κόλπο των Faddeev και Popov επέτυχετην απαίτηση αυτή. Για να απομονώσουν ένα μετασχηματισμό βαθμίδας, επέλεξαναρχικά μια βαθμίδα G(AΛ) = 0, όπου G(AΛ) είναι κάποια συνάρτηση του

μετασχηματισμένου πεδίου AµΛ(x) = Aµ(x) − (1/e)∂µΛ(x). Η βαθμίδα αυτή

επιβλήθηκε στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα μέσω της συνάρτησης δέλτα δ(G(AΛ)

).

Οι Faddeev και Popov χρησιμοποίησαν την ταυτότητα:

1 =

∫DΛ(x)δ

(G(AΛ)

)det

(δG(AΛ)

δΛ

)(2.27)

η οποία αποτελεί συνεχή γενίκευση της ταυτότητας:

1 =

(∏i

∫dλi

)δ(n)(g(a)) det

(∂gi∂λj

)

για n – διάστατα ολοκληρώματα. Εισήγαγαν την ταυτότητα αυτή στον αριθμητή καιπαρονομαστή της συνάρτησης Green N σημείων και έτσι:∫DA

∫DΛ(x) δ

(G(AΛ)

)det(δG(AΛ)/δΛ

)[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)

]eiSPH(A)∫

DA∫DΛ(x) δ

(G(AΛ)

)det(δG(AΛ)/δΛ

)eiSPH(A)


Η γενικευμένη βαθμίδα Lorentz είναι η απλούστερη βαθμίδα που μπορεί ναχρησιμοποιηθεί. Συγκεκριμένα:

G(A) = ∂µAµ(x)− ω(x)

όπου ω(x) μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση. Με αντικατάσταση τηςβαθμίδας αυτής στην ορίζουσα det

(δG(AΛ)/δΛ

), παρατηρούμε ότι η τελευταία είναι

ανεξάρτητη τόσο από το A, όσο και από το Λ:

det

(δG(AΛ)

δΛ

)= det

(− 1

e∂µ∂µ

)Για το λόγο αυτό, η ορίζουσα μπορεί να γραφεί έξω από το συναρτησιακόολοκλήρωμα τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή. ΄Ετσι, η ορίζουσααπαλείφεται. Εστιάζουμε ακολούθως την προσοχή μας σε συναρτήσεις φωτονικώνπεδίων f(Aµ1(x1), Aµ2(x2), · · · , AµN (xN)) (ή και των παραγώγων τους) οι οποίεςμένουν αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, δηλαδή

f(Aµ1(x1), Aµ2(x2), · · · , AµN (xN)) = f(Aµ1

Λ(x1), Aµ2

Λ(x2), · · · , AµNΛ(xN)). Η

ιδιότητα αυτή πρέπει να ισχύει για συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε μετρήσιμα

φυσικά μεγέθη. Τώρα, αφού η φωτονική δράση μένει αναλλοίωτη κάτω απόμετασχηματισμούς βαθμίδος, δηλαδή SPH(A) = SPH(AΛ), μπορούμε ναεκτελέσουμε την εξής αλλαγή μεταβλητών A → AΛ

και DA = DAΛ (με Jacobianνα ισούται με μονάδα). Με τον τρόπο αυτό, το πεδίο AΛ(x) έγινε πλέον μια βουβή

μεταβλητή ολοκλήρωσης και ως εκ τούτου μπορούμε να τη μετονομάσουμε πίσω σε

A(x). Τελικά, ο διαδότης γράφεται ως ακολούθως:∫DΛ

∫DA δ

(∂µAµ(x)− ω(x)

)[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)

]eiSPH(A)∫

DΛ∫DA δ


)eiSPH(A)

Καταφέραμε δηλαδή, η ολοκληρωτέα συνάρτηση να είναι ανεξάρτητη του Λ(x) και

έτσι μπορεί να γραφεί έξω από το ολοκλήρωμα ως προς Λ τόσο στον αριθμητή όσο

και στον παρονομαστή. Με τον τρόπο αυτό εξαφανίζεται και η ολοκλήρωση ωςπρος Λ και τώρα το μόνο που μας απομένει είναι ο χειρισμός της συνάρτησης

δ(∂µAµ(x) − ω(x)

). Αφού η ω(x) μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή

συνάρτηση, σύμφωνα με τον ορισμό της γενικευμένης βαθμίδας Lorentz, τότε καιτα συναρτησιακά ολοκληρώματα του αριθμητή και παρονομαστή του διαδότη, ταοποία την περιέχουν, δεν θα εξαρτώνται από αυτήν. Δεδομένης αυτής της

ιδιότητας, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση δ(∂µAµ(x) − ω(x)

)με


έναν κανονικοποιημένο γραμμικό συνδυασμό από συναρτήσεις δέλτα με διαφορετικά

ω(x). Αυτό δικαιούμαστε να το κάνουμε καθότι το συναρτησιακό ολοκλήρωμα θαπρέπει να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για κάθε συνάρτηση ω(x), άρα το ίδιο ισχύει καιγια το γραμμικό συνδυασμό τους. Τώρα, αυτός ο γραμμικός συνδυασμός που θαπάρουμε, θα είναι συναρτησιακό ολοκλήρωμα ως προς όλα τα ω(x) καθότι η ω(x)

είναι συνεχής συνάρτηση. Το τελευταίο βήμα που χρησιμοποίησαν οι Faddeev καιPopov ήταν να προσδώσουν σε κάθε συνάρτηση δέλτα του γραμμικού συνδυασμού,γκαουσιανό βάρος με κέντρο το ω = 0, το οποίο και επιτρέπεται να εφαρμοστείχωρίς περιορισμό. Δηλαδή, η συνάρτηση δ


)μετατρέπεται στην πιο

κάτω έκφραση:

N(α)

∫Dω exp

(− i∫d4x

ω2(x)

2α

)δ(∂µAµ(x)− ω(x)

)όπου N(α) =

∏x

√iπ/2α είναι σταθερά κανονικοποίησης και α είναι οποιαδήποτε

πεπερασμένη σταθερά. Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα ως προς ω απαλείφεται από τησυνάρτηση δέλτα δίνοντας:

N(α) exp

(− i∫d4x

1

2α

(∂µAµ(x)

)2)

Η σταθερά κανονικοποίησης N(α) βρίσκεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον

παρονομαστή της συνάρτησης Green. ΄Ετσι, απαλείφεται από την έκφραση καιεπομένως η φωτονική συνάρτηση Green παίρνει τελικά τη μορφή:

[DPH(x1, · · ·xN)

]µ1···µN

=

∫DA

[Aµ1(x1) · · ·AµN (xN)

]ei[SPH(A)+SGF (A)

]∫DAei

[Sph(A)+SGF (A)

] (2.28)

όπου SGF (A) = −(1/2α)∫d4x

(∂µAµ(x)

)2είναι η λεγόμενη «Gauge Fixing»

δράση. Αυτή είναι η σωστή φωτονική συνάρτηση Green N σημείων για το συνεχήχωροχρόνο και για διαταρακτικούς υπολογισμούς. Αντίστοιχα, οποιαδήποτεσυνάρτηση Green που περιέχει φωτονικά πεδία O(A), η οποία όμως είναιαναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, έχει την εξής συναρτησιακήμορφή:

〈O(A) gaugeinvariant

〉 =

∫DA O(A) ei

[SPH(A)+SGF (A)

]∫DA ei

[SPH(A)+SGF (A)

] (2.29)


Με το νέο αυτό συναρτησιακό ορισμό της φωτονικής συνάρτησης Green, αςξαναγράψουμε το διαδότη. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, η δράση SGF (A),δίνεται ως εξής:

SGF (A) = − 1

2α

∫d4x

(∂µAµ(x)∂νAν(x)

)=

1

2

∫d4x Aµ(x)

(1

α∂µ∂ν

)Aν(x)

Αθροίζοντας την πιο πάνω έκφραση με τη φωτονική δράση και ακολουθώντας τα

ίδια βήματα όπως προηγουμένως, καταλήγουμε στη σχέση (2.24) με Kµν(xi, xj) =

−(∂ρ∂ρgµν−∂µ∂ν +(1/α)∂µ∂ν). Με την αντικατάσταση του καινούριου Kµν(xi, xj)

στην (2.25) και εκτελώντας τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Fourier, η εξίσωση(2.26) γίνεται: [

p2gµν −(

1− 1

α

)pµpν

]DPHνσ (p) = −iδµσ

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη εξ αριστερών με[(1/p2)gρµ− (1−α)(pρpµ/p

4)]:[

1

p2gρµ − (1− α)

pρpµp4

][p2gµν −

(1− 1

α

)pµpν

]DPHνσ (p)

= −i[

1

p2gρµ − (1− α)

pρpµp4

]δµσ

⇒ DPHµν (p) = − i

p2

(gµν − (1− α)

pµpνp2

)(2.30)

Τελικά, ο φωτονικός διαδότης στο χώρο των θέσεων είναι:


∫d4p

(2π)4

−ip2 + iε

(gµν − (1− α)

pµpνp2 + iε

)e−ip(x1−x2) (2.31)

όπου και εδώ ο όρος iε προστέθηκε στον παρονομαστή για την αποφυγή ύπαρξης

πόλων πάνω στον πραγματικό άξονα.

2.2.4 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του γκλουονικού

διαδότη

Η κβάντωση του γκλουονικού πεδίου γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως στην

περίπτωση που αφορά το φωτονικό πεδίο, καθώς παρουσιάζει το ίδιο πρόβλημααπειρισμού του συναρτησιακού ολοκληρώματος

∫DA eiSG(A), όπου


DA =∏

x

∏8a=1

∏3µ=0 dA

aµ(x) και SG(A) είναι η γκλουονική δράση όπως αυτή

δίνεται από τη σχέση (1.34). Ακολουθώντας τη διαδικασία που έγινε για το

φωτονικό πεδίο, ορίζουμε πρώτα την γκλουονική συνάρτηση Green για N

χωροχρονικά σημεία, κατ’ αντιστοιχία του πεδίου Klein – Gordon:

[DG(x1, x2, · · · , xN)

]µ1µ2···µN

= 〈0|T [Aa1µ1

(x1)Aa2µ2

(x2) · · ·AaNµN (xN)]|0〉

=

∫DA [Aa1

µ1(x1)Aa2

µ2(x2) · · ·AaNµN (xN)] eiSG(A)∫DA eiSG(A)

(2.32)

΄Επειτα, εφαρμόζουμε τη διαδικασία των Faddeev και Popov και εισάγουμε στοναριθμητή και παρονομαστή της συνάρτησης Green την ταυτότητα που δίνεται από τησχέση (2.27), όπου στην περίπτωση αυτή:

AaµΛ(x) = Aaµ(x) +

1

g∂µΛa(x) + fabcAbµ(x)Λc(x)

G(A) = ∂µAaµ(x)− ωa(x)

με ωa(x) να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση. Τώρα, όμως, σε αντίθεση με τηνπερίπτωση της φωτονικής συνάρτησης Green, στη γκλουονική συνάρτηση Green ηορίζουσα det

(δG(AΛ)/δΛ

)εξαρτάται από το γκλουονικό πεδίο Aaµ(x) και συνεπώς

δεν μπορεί να γραφεί έξω από το συναρτησιακό ολοκλήρωμα:

det

(δG(AΛ)

δΛ

)= det

(δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

δΛa(x)

)=

1

gdet[∂µ∂µ + gfabc

(∂µAbµ(x) + Abµ(x)∂µ

)δac]

Οι Faddeev και Popov, βάσει του γνωστού γκαουσιανού ολοκληρώματος μεμεταβλητές Grassmann από το οποίο γνωρίζουμε ότι δίνει μία ορίζουσα στη δύναμη+1, όπως ακριβώς και στην περίπτωση αυτή, έγραψαν την πιο πάνω ορίζουσα ωςσυναρτησιακό ολοκλήρωμα ενός νέου σετ από πεδία Grassmann. ΄Ετσι:

det

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)=

∫Dc Dc exp

[−∫d4x c

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

]=

∫Dc Dc exp

[i

∫d4x c

(− g

δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

]


όπου Dc Dc =∏

x,y

∏8a,b=1 dc

b(y) dca(x) και ο παράγοντας (−i/g) έχει απορροφηθεί

στον ορισμό των c και c. Τελικά, η ορίζουσα γράφεται ως εξής:

det

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)=

∫Dc Dc eiSFP (A,c,c) (2.33)

όπου:

SFP (A, c, c) =

∫d4x c

(− g

δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

=

∫d4x

[ca(x)

[− ∂µ∂µδac − gfabc

(∂µAbµ(x) + Abµ(x)∂µ

)]cc(x)

](2.34)

είναι η λεγόμενη δράση «Faddeev – Popov». Τα νέα αυτά πεδία c και c, ενώ εξορισμού θεωρήσαμε ότι είναι μεταβλητές Grassmann και άρα ικανοποιούν

αντιμεταθετικές σχέσεις, ωστόσο συμπεριφέρονται σαν βαθμωτά πεδία κάτω απόμετασχηματισμούς Lorentz, πράγμα που υποδηλώνεται από το γεγονός ότι δενέχουν δείκτη Dirac όπως το σπινοριακό φερμιονικό πεδίο. Αυτό συνεπάγεται

λανθασμένη σχέση μεταξύ σπιν και στατιστικής. Το γεγονός αυτό όμως δεν

δημιουργεί καμμιά αντίφαση δεδομένου ότι τα πεδία αυτά δεν ανταποκρίνονται σε

φυσικά σωματίδια και έτσι τους δόθηκε η ονομασία ghost fields. Τα πεδία c και cχρησιμοποιούνται ως επιπλέον σωματίδια στον υπολογισμό διαγραμμάτων Feynman.Με την εισαγωγή των ghost fields, η γκλουονική συνάρτηση Green για N

χωροχρονικά σημεία γίνεται:

[DG(x1, · · · , xN)

]µ1···µN

=∫DΛ

∫DA

∫Dc Dc [Aa1

µ1(x1) · · ·AaNµN (xN)] ei

(SG(A)+SFP (A,c,c)

)δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

∫DΛ

∫DA

∫Dc Dc ei

(Sg(A)+SFP (A,c,c)

)δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

(2.35)

Από το σημείο αυτό και έπειτα, ο διαδότης αντιμετωπίζεται με τον ίδιο ακριβώςτρόπο όπως αυτός του φωτονικού πεδίου και έτσι ακολουθώντας τα βήματα του

προηγούμενου υποκεφαλαίου, ο γκλουονικός διαδότης παίρνει την εξής μορφή:

[DG(x1, · · · , xN)

]µ1···µN

=

∫DA Dc Dc [Aa1

µ1(x1) · · ·AaNµN (xN)] ei

(SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

)∫DA Dc Dc ei

(SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

)όπου SGF (A) = −(1/2α)

∫d4x

(∂µAaµ(x)

)2. Από τη στιγμή που προσθέσαμε ταghost fields στη δράση προκύπτουν κάποιοι επιπλέον όροι, όπως κορυφές


αλληλεπίδρασης μεταξύ γκλουονίων και ghost fields καθώς και διαδότες των ghostfields. Γενικότερα, οποιαδήποτε συνάρτηση Green που περιέχει γκλουονικά πεδίακαι ghost fields O(A, c, c), η οποία είναι όμως αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς βαθμίδος, έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

〈O(A, c, c) gaugeinvariant

〉 =

∫DA Dc Dc O(A, c, c) ei

[SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

]∫DA Dc Dc ei

[SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

] (2.36)

Ας υπολογίσουμε τον γκλουονικό διαδότη στη χαμηλότερη τάξη της θεωρίας

διαταραχών, δηλαδή αγνοώντας μη τετραγωνικούς όρους στη δράση. Στην τάξηαυτή, τα ghost fields δεν συνεισφέρουν και έτσι:

DGµν(x1 − x2) = 〈Aaµ(x1)Abν(x2)〉 =

∫DA [Aaµ(x1)Abν(x2)] ei

(S

(0)G (A)+SGF (A)

)∫DA ei

(S

(0)G (A)+SGF (A)

)(2.37)

Οι δράσεις S(0)G (A) και SGF (A) μπορούν να γραφούν κατ’ αντιστοιχία με τις δράσεις

του φωτονικού διαδότη, στην παρακάτω μορφή:

S(0)G (A) =

1

2

∫d4x Aaµ(x) (∂ρ∂

ρgµνδab − ∂µ∂νδab) Abν(x)

και:

SGF (A) =1

2

∫d4x Aaµ(x)

(1

α∂µ∂νδab

)Abν(x)

Με τα ίδια βήματα που έγιναν για την περίπτωση του φωτονικού διαδότη δύο σημείων,καταλήγουμε στην πιο κάτω έκφραση:

DGµν(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

−iδab

p2 + iε

(gµν − (1− α)

pµpνp2 + iε

)e−ip(x1−x2) (2.38)

όπου και πάλι ο όρος iε προστέθηκε στον παρονομαστή για την αποφυγή ύπαρξης

πόλων πάνω στον πραγματικό άξονα.

Κεφάλαιο 3

Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

στο πλέγμα

3.1 Η αναγκαιότητα του χωροχρονικού

πλέγματος στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

Στο υποκεφάλαιο 1.5 αναφερθήκαμε στην έννοια της επανακανονικοποίησηςκαι είδαμε ότι ένα πρώτο στάδιό της είναι η ομαλοποίηση, δηλαδή ο ορισμός τηςθεωρίας με τροποποιημένο τρόπο ο οποίος αποφεύγει τους απειρισμούς. Αναφέραμεεπίσης τα πιο διαδεδομένα παραδείγματα ομαλοποιήσεων. ΄Ενα εξ αυτών είναι ηπλεγματική ομαλοποίηση, δηλαδή ο ορισμός της θεωρίας σε ένα διακριτοποιημένοχωροχρόνο, στον οποίο γειτονικά σημεία απέχουν απόσταση a (όπου a είναι οαντίστοιχος ομαλοποιητής). Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε την αναγκαιότητατου χωροχρονικού πλέγματος στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων και θα ασχοληθούμε

με τις συναρτήσεις Green των πεδίων στο πλέγμα. Επίσης, στο προηγούμενοΚεφάλαιο, είδαμε ότι η χρήση του συναρτησιακού ολοκληρώματος στην ΘεωρίαΚβαντικών Πεδίων αποτελεί μια καλή και εύκολη μέθοδο για τον υπολογισμό

διαδοτών και συναρτήσεων Green των πεδίων. ΄Ομως, ένα συναρτησιακόολοκλήρωμα έχει μια καλά ορισμένη έννοια μόνο για πεπερασμένο αριθμό

μεταβλητών ολοκλήρωσης. Αντίθετα, οι συναρτησιακές εκφράσεις της ΘεωρίαςΚβαντικών Πεδίων περιέχουν άπειρους βαθμούς ελευθερίας που σημαίνει ότι τα

συναρτησιακά ολοκληρώματα θα περιέχουν άπειρες μεταβλητές ολοκλήρωσης και

ενδέχεται να αποκλίνουν. Για να αποκτήσουν, λοιπόν, τα συναρτησιακάολοκληρώματα καλά ορισμένη έννοια χρειάζεται ομαλοποίηση. Στη διαδικασία αυτή

67

Κεφάλαιο 3. Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο πλέγμα 68

το συναρτησιακό ολοκλήρωμα αποκτά πεπερασμένες τιμές ενόσω ο ομαλοποιητής

δεν παίρνει την οριακή του τιμή, δηλαδή την τιμή εκείνη που αντιστοιχεί σε φυσικάαποτελέσματα. Η πλεγματική ομαλοποίηση έχει το πλεονέκτημα ότι δίνει τη

δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους πέρα από τη θεωρία διαταραχών (π.χ.αριθμητική προσομοίωση) για τον υπολογισμό συναρτησιακών ολοκληρωμάτων.

Ο υπολογισμός συναρτήσεων Green στο χωροχρονικό πλέγμα χωρίζεται σεδύο στάδια. Αρχικά γίνεται η ομαλοποίηση (regularization) όπου εισάγουμε τοχωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a στη συνάρτηση Green μέσω της αντικατάστασηςxµ → nµa όπου nµ ∈ Z. Με τον τρόπο αυτό θεραπεύονται οι υπεριώδεις απειρισμοί.Τα συναρτησιακά ολοκληρώματα, τότε, αποκτούν διακριτό αριθμό μεταβλητώνολοκλήρωσης, που όμως το αποτέλεσμά τους θα έχει ισχυρή εξάρτηση από τονομαλοποιητή a. Μετά το στάδιο αυτό πρέπει να ακολουθήσει η μετάβαση από τηνπλεγματική δομή πίσω στον συνεχή χωροχρόνο. Δηλαδή, πρέπει να πάρουμε τοόριο a → 0, εξαφανίζοντας έτσι τον ομαλοποιητή από τις συναρτήσεις Green.΄Ομως παρατηρείται και πάλι ότι τα συναρτησιακά ολοκληρώματα απειρίζονται. Γιανα αποκτήσουν πεπερασμένη τιμή οι συναρτήσεις Green στο όριο του συνεχούς,χρειάζεται να ακολουθήσουμε τη μέθοδο της επανακανονικοποίησης. Αυτό έχει ωςσυνέπεια, οι απογυμνωμένες παράμετροι της θεωρίας, όπως η σταθερά σύζευξης καιοι μάζες των σωματιδίων, αλλά και τα ίδια τα πεδία να γίνονται εξαρτημένα από τονομαλοποιητή a.

Ο υπολογισμός συναρτήσεων Green στο πλέγμα, γίνεται συνήθως στο χώροτων ορμών διότι εκεί ο υπολογισμός είναι λιγότερο πολύπλοκος. Η μετάβαση στοχώρο των ορμών πετυχαίνεται μέσω των μετασχηματισμών Fourier και τη χρήσητου αντιστρόφου πλέγματος. Οι συναρτήσεις Green, τότε, μετατρέπονται σεολοκληρώματα ορμών με περιορισμένο διάστημα ολοκλήρωσης, τα όρια του οποίουείναι της τάξης του αντιστρόφου της σταθεράς πλέγματος a−1 . Συγκεκριμένα, μιασυνάρτηση f(x) που είναι ορισμένη σε τετραδιάστατο πλέγμα, δηλαδή με x = na

όπου n ∈ Z, έχει τον εξής μετασχηματισμό Fourier:

f(na) =

∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4fa(p)e

ipna (3.1)

όπου τα όρια του p είναι [−π/a, π/a] (είναι συνεχής ο χώρος των ορμών), δηλαδή ηπρώτη ζώνη Brillouin του αντίστροφου πλέγματος, καθώς λόγω περιοδικότηταςfa(p) = fa(p + 2π/a) δε χρειάζεται να οριστεί σε όλο τον χώρο του αντιστρόφου

πλέγματος. Αντίστοιχα, μια συνάρτηση fa(p) ορισμένη στο τετραδιάστατο


αντίστροφο πλέγμα έχει τον εξής μετασχηματισμό Fourier:

fa(p) = a4

+∞∑n=−∞

f(na)e−ipna (3.2)

λόγω του ότι ο χώρος των θέσεων είναι διακριτός. Κατά τον υπολογισμό

συναρτήσεων Green στο πλέγμα συναντούμε συχνά τη συνάρτηση δέλτα τουKronecker. Η συνάρτηση αυτή, κατά τη μετάβαση στο χώρο των ορμών,μετατρέπεται σε:

δnm =

∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4a4eip(n−m)a (3.3)

όπου θέσαμε f(na) = δnm και fa(p) = a4e−ipma στις (3.1) και (3.2) εξαιτίας τηςσχέσης

∑+∞n=−∞ δnme

−ipna = e−ipma. Επίσης, θέτοντας fa(p) = δ(4)P (p) (όπου ο

δείκτης P προέρχεται από τη λέξη «periodic» – περιοδική) και f(na) = 1/(2π)4

στις (3.1) και (3.2) προκύπτει ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης δέλταορισμένης στο χώρο των ορμών και στην πρώτη ζώνη Brillouin:

δ(4)P (p) = a4

+∞∑n=−∞

1

(2π)4e−ipna (3.4)

Η συνάρτηση αυτή έχει μη μηδενική τιμή στις τιμές της ορμής p = 2π`/a, όπου` ∈ Z γι’ αυτό και ονομάζεται περιοδική συνάρτηση δέλτα. Η πιο πάνω σχέση είναιχρήσιμη κατά τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green στο χώρο των ορμών.

3.2 Το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein – Gordon

στο πλέγμα

Η συνάρτηση Green του πεδίου Klein – Gordon για N χωροχρονικά σημεία,όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, γράφεται σε συναρτησιακή μορφή στονΕυκλείδειο συνεχή χώρο ως:

DK−GE(x1, · · · , xN) = 〈φE(x1) · · ·φE(xN)〉 =

∫DφE[φE(x1) · · ·φE(xN)]e−S

EK−G(φE)∫

DφEe−SEK−G(φE)


όπου SEK−G(φE) δίνεται από τη σχέση (βλέπε Παράρτημα):

SEK−G(φE) = −iSK−G(φ) =1

2

∫d4xEφE(x)(−E +m2)φE(x) (3.5)

Για τη μετάβαση από το συνεχή χωροχρόνο στο χωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a,πρέπει να εκτελέσουμε τις πιο κάτω αντικαταστάσεις:

xEµ → nµa, (µ = 1, 2, 3, 4) (3.6a)

φE(x)→ φ(na), (3.6b)∫d4xE → a4

∑n

(3.6c)

EφE(x)→ ∂µ∂µφ(na) =1

a2

4∑µ=1

[φ(na+ µa) + φ(na− µa)− 2φ(na)] (3.6d)

όπου µ είναι μοναδιαίο διάνυσμα στην μ – διεύθυνση:

DφE →∏n

dφ(na) (3.6e)

Τότε η συνάρτηση Green μετατρέπεται σε:

〈φ(n1a) · · ·φ(nNa)〉 =

∫ ∏` dφ(`a)[φ(n1a) · · ·φ(nNa)]e−S

LK−G(φ)∫ ∏

` dφ(`a)e−SLK−G(φ)

(3.7a)

όπου:

SLK−G(φ) = −1

2a2∑n,µ

[φ(na)

(φ(na+ µa) + φ(na− µa)

)]+

1

2a2(8 +m2a2)

∑n

[φ(na)φ(na)

] (3.7b)

Η μορφή της δράσης (3.7b) στο πλέγμα δεν ορίζεται με μοναδικό τρόπο. Απλάεπιλέξαμε την πιο απλή δυνατή μορφή, με μοναδική όμως απαίτηση (που πρέπει ναικανοποιεί και κάθε δράση στο πλέγμα), να μετατρέπεται στην σωστή συνεχή έκφρασήτης, στο κλασικό όριο του συνεχούς a→ 0.

΄Επειτα, έχουμε ως στόχο να αφήσουμε μόνο αδιάστατες μεταβλητές καιπαραμέτρους στα συναρτησιακά ολοκληρώματα, απορροφώντας έτσι τον

ομαλοποιητή a μέσα σ’αυτές. Η παράμετρος μάζας m έχει διαστάσεις αντιστρόφουμήκους σε μονάδες [~] = [c] = 1, ενώ προκειμένου η Ευκλείδεια δράση Klein –


Gordon να είναι αδιάστατη, το πεδίο φ έχει και αυτό διαστάσεις αντιστρόφου

μήκους. ΄Ετσι ορίζουμε τις νέες αδιάστατες ποσότητες φn και m ως εξής:

φn ≡ a φ(na) (3.8a)

m ≡ a m (3.8b)

Τότε, η συνάρτηση Green παίρνει την ακόλουθη μορφή:

D(n1, · · · , nN ; m) = 〈φn1 · · · φnN 〉 =

∫ ∏` dφ` [φn1 · · · φnN ] e−S

LK−G(φ)∫ ∏

` dφ` e−SLK−G(φ)

(3.9a)

όπου:

SLK−G(φ) =1

2

∑n,m

φnKnmφm (3.9b)

με:

Knm = −∑µ>0

[δm,n+µ + δm,n−µ − 2δmn] + m2δmn (3.9c)

Με τον τρόπο αυτό, η συνάρτηση Green έγινε ανεξάρτητη του a κι συνεπώς μπορείνα υπολογιστεί για οποιαδήποτε τιμή της πλεγματικής σταθεράς a. Συγκεκριμένα,έχει τη μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος,της οποίας το αποτέλεσμα είναι γνωστό. Ο τελικός υπολογισμός της συνάρτησηςGreen επιτυγχάνεται εφόσον επαναφέρουμε σ’ αυτήν τις πραγματικές μεταβλητές καιπαραμέτρους, και άρα τον ομαλοποιητή a, και πάρουμε το όριο του συνεχούς a→ 0.Δηλαδή:

DK−GE(x1, · · · , xN) = lima→0

1

aND(

xE1a, · · · , x

EN

a; am) (3.10)

Παίρνοντας συνεχώς όλο και μικρότερες τιμές για τη σταθερά πλέγματος a, το όριοτου συνεχούς θεωρείται η τιμή του a στην οποία η συνάρτηση Green παύει να αλλάζειμε περαιτέρω μείωση του a.

Ας εστιάσουμε την προσοχή μας στο διαδότη μεταξύ δύο σημείων, δηλαδήDK−GE(x1 − x2) = 〈φE(x1)φE(x2)〉. Στο πλέγμα, αλλά και χρησιμοποιώντας τις


αδιάστατες μεταβλητές και παράμετρους, ο διαδότης παίρνει την πιο κάτω μορφή:

D(n,m; m) = 〈φnφm〉 = K−1nm (3.11)

Το πιο πάνω στοιχείο του αντιστρόφου πίνακα K−1μπορεί να βρεθεί από την

εξίσωση:

∑`

Kn` K−1`m = δnm (3.12)

η οποία επιλύεται ευκολότερα στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιούμε τον ορισμότης συνάρτησης δέλτα του Kronecker (3.3) ούτως ώστε να μεταβούμε στο χώροτων ορμών. Για να έχουμε αδιάστατες μεταβλητές, ορίζουμε p ≡ a p διότι η ορμή

έχει διαστάσεις αντιστρόφου μήκους. Επομένως, η συνάρτηση δέλτα του Kroneckerμετατρέπεται στην ίδια σχέση με τις αλλάγές p→ p και a→ 1. Τότε, η σχέση (3.9c)παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Knm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4K(p) eip(n−m) (3.13a)

όπου:

K(p) = 44∑

µ=1

sin2 pµ2

+ m2 (3.13b)

Στη συνέχεια κάνουμε το εξής ansatz:

K−1nm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4D(p) eip(n−m)

Αντικαθιστούμε την πιο πάνω έκφραση στην εξίσωση (3.12). Επιπρόσθετα,χρησιμοποιούμε την έκφραση (3.4) για την περιοδική συνάρτηση δέλτα με τιςαλλαγές p → p και a → 1, απαλείφοντας έτσι το άθροισμα ως προς ` στην (3.12).Τελικά D(p) = K−1(p) και επομένως:

D(n,m; m) = K−1nm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4

eip(n−m)

4∑4

µ=1 sin2 pµ2

+ m2(3.14)

΄Ετσι, ο διαδότης στο συνεχές θα είναι:

DK−GE(x1 − x2) = lima→0

1

a2D(

xE1a,xE2a

; am) (3.15a)


όπου:

D(xE1a,xE2a

; am) = a2

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4D(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.15b)

με:

D(pE) =1

p2 +m2(3.15c)

και:

p2 =4∑

µ=1

p2µ, pµ =

2

asin

(pEµ a

2

)(3.15d)

Καθώς a → 0, τα όρια του ολοκληρώματος [−π/a, π/a] μετατρέπονται σε

(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2εξαιτίας της sin(pEµ a/2)

a→0−−→ pEµ a/2. Εν τέλει στο όριοτου συνεχούς, ο διαδότης μετατρέπεται στην πιο κάτω γνωστή Ευκλείδειασυνάρτηση (βλέπε Παράρτημα):

DK−GE(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2 +m2eip

E(xE1 −xE2 ) (3.16)

Η περίπτωση που μόλις εξετάσαμε, δηλαδή το πεδίο Klein – Gordon στο πλέγμα,είναι η απλούστερη για το λόγο ότι η πλεγματική της δράση που κατασκευάσαμε είναι

η αναμενόμενη δράση κατά τη μετάβαση σε διακριτές μεταβλητές, χωρίς να χρειάζεταιπροσθήκη όρων, οι οποίοι στο όριο του συνεχούς μηδενίζονται. Επίσης, πρόκειταιγια μια ελεύθερη θεωρία, χωρίς όρους αλληλεπίδρασης κι επομένως η μάζα m πουχρησιμοποιείται στη δράση είναι και η φυσική μάζα του συστήματος. Συνεπώς, η μάζαμπορεί να πάρει συγκεκριμένη τιμή, η οποία παραμένει σταθερή κατά τη μετάβασηa→ 0, ενώ αντίστοιχα, η αδιάστατη παράμετρος μάζας m παίρνει μεταβλητές τιμές,και άρα στο όριο του συνεχούς ρυθμίζεται (για κάποια μικρή τιμή του a) έτσι ώστενα δίνει τη σωστή τιμή της m. Οι υπόλοιπες θεωρίες που θα εξετάσουμε θα είναι πιοπερίπλοκες καθότι δεν πληρούν τα πιο πάνω (είτε και τα δύο είτε ένα εκ των δύο).


3.3 Το φερμιονικό πεδίο Dirac στο πλέγμα

3.3.1 Naive («αφελή») φερμιόνια και το πρόβλημα του

διπλασιασμού

Για τη μελέτη φερμιονικού διαδότη στο πλέγμα, ακολουθούμε την ίδιαδιαδικασία όπως και στην περίπτωση του πεδίου Klein – Gordon. Σε αυτήν όμωςτην περίπτωση, προκύπτει ένα πρόβλημα, το λεγόμενο πρόβλημα διπλασιασμού, τοοποίο μας αναγκάζει να παρεκκλίνουμε λίγο από τον απλό φορμαλισμό του πεδίου

Klein – Gordon στο πλέγμα. Ας ξεκινήσουμε εντοπίζοντας τις δυσκολίες πουσυναντούμε κατά τη διακριτοποίηση φερμιονικών συναρτήσεων Green. Η

συνάρτηση Green του πεδίου Dirac για N χωροχρονικά σημεία, όπως είδαμε στοπροηγούμενο κεφάλαιο, γράφεται σε συναρτησιακή μορφή στον Ευκλείδειο συνεχήχώρο ως:

[DF (x1, · · · , x`; y1, · · · , y`)

]Eα1···α`;β1···β`

= 〈ψEα1(x1) · · ·ψEα`(x`)ψ

Eβ1

(y1) · · · ψEβ`(y`)〉

=

∫DψEDψE

[ψEα1

(x1) · · ·ψEα`(x`)ψEβ1

(y1) · · · ψEβ`(y`)]e−S

EF (ψE ,ψE)∫

DψEDψE e−SEF (ψE ,ψE)

όπου SEF (ψE, ψE) δίνεται από τη σχέση (βλέπε Παράρτημα):

SEF (ψE, ψE) = −iSF (ψ, ψ) =

∫d4xEψE(x)(γEµ ∂

Eµ +m)ψE(x) (3.17)

Για να μετατρέψουμε το συνεχή χωροχρόνο σε χωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a,εκτελούμε τις πιο κάτω αντικαταστάσεις:

xEµ → nµa, yEµ → mµa, (µ = 1, 2, 3, 4) (3.18a)

ψEα (x)→ ψα(na), (3.18b)

ψEβ (y)→ ψβ(ma), (3.18c)∫d4xE → a4

∑n

(3.18d)

∂Eµ ψEα (x)→ ∂µψα(na) =

1

2a[ψα(na+ µa)− ψα(na− µa)] (3.18e)


όπου µ είναι μοναδιαίο διάνυσμα στην μ – διεύθυνση:

DψE DψE →∏n,α

dψα(na)∏m,β

dψβ(ma) (3.18f)

Τότε η συνάρτηση Green μετατρέπεται σε:

〈ψα1(n1a) · · ·ψα`(nà)ψβ1(m1a) · · · ψβ`(mà)〉 =∫ ∏n,α dψα(na)

∏m,β dψβ(ma)[ψα1(n1a) · · ·ψα`(nà)ψβ1(m1a) · · · ψβ`(mà)]e−S

LF (ψE ,ψE)∫ ∏

n,α dψα(na)∏

m,β dψβ(ma)e−SLF (ψE ,ψE)

(3.19a)

όπου:

SLF (ψ, ψ) = a4∑n,µα,β

ψα(na)(γEµ)αβ

1

2a

[ψβ(na+ µa)− ψβ(na− µa)

]+ a4 m

∑n,α

[ψα(na)ψα(na)

] (3.19b)

Στη συνέχεια, μετατρέπουμε τις μεταβλητές και παραμέτρους του συναρτησιακούολοκληρώματος σε αδιάστατες, απορροφώντας έτσι τον ομαλοποιητή a μέσα σ’αυτές.Η παράμετρος μάζαςm έχει διαστάσεις αντιστρόφου μήκους σε μονάδες [~] = [c] = 1,ενώ προκειμένου η Ευκλείδεια δράση Dirac να είναι αδιάστατη, τα πεδία ψ και ψ έχουνδιαστάσεις [μήκος]−3/2. Ορίζουμε έτσι τις νέες αδιάστατες ποσότητες ψα(n), ˜ψα(n)

και m ως εξής:

ψα(n) ≡ a3/2 ψα(na) (3.20a)˜ψα(n) ≡ a3/2 ψα(na) (3.20b)

m ≡ a m (3.20c)

Η συνάρτηση Green παίρνει τότε την πιο κάτω μορφή:

[D(n1, · · · , n`,m1, · · · ,m`; m)

]α1···α`;β1···β`

= 〈ψα1(n1) · · · ψα`(n`) ˜ψβ1(m1) · · · ˜ψβ`(m`)〉

=

∫ ∏n,α d

˜ψα(n)∏

n,β dψβ(m)[ψα1(n1) · · · ψα`(n`) ˜ψβ1(m1) · · · ˜ψβ`(m`)]e−SLF (ψ, ˜ψ)∫ ∏

n,α d˜ψα(n)

∏n,β dψβ(m)e−S

LF (ψ, ˜ψ)

(3.21a)


όπου:

SLF (ψ, ˜ψ) =∑n,mα,β

˜ψα(n)Kαβ(n,m)ψβ(m) (3.21b)

με:

Kαβ(n,m) =∑µ

[1

2

(γEµ)αβ

(δm,n+µ − δm,n−µ)

]+ m δαβ δmn (3.21c)

Η έκφραση αυτή έχει την ίδια μορφή με τη μέση τιμή ενός μιγαδικού πολυωνύμου

μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος, της οποίας το αποτέλεσμα είναιγνωστό. Ο τελικός υπολογισμός της συνάρτησης Green θα επιτευχθεί αφούεπαναφέρουμε σ’ αυτήν τις πραγματικές μεταβλητές και παραμέτρους, και άρα τονομαλοποιητή a, και πάρουμε το όριο του συνεχούς a→ 0. ΄Αρα:

[DF (x1, · · · , x`; y1, · · · , y`)

]Eα1···α`;β1···β`

=

lima→0

1

a3`

[D(

xE1a, · · · , x

E`

a,yE1a, · · · , y

E`

a; am)

]α1···α`;β1···β`

(3.22)

Ας δούμε το διαδότη DFαβ

E(x1 − x2) = 〈ψEα (x1)ψEβ (x2)〉. Στο πλέγμα, αλλά και με

αδιάστατες μεταβλητές και παραμέτρους, παίρνει τη μορφή:

Dαβ(n,m; m) = 〈ψα(n) ˜ψβ(m)〉 = K−1αβ (n,m) (3.23)

Το πιο πάνω στοιχείο του αντιστρόφου πίνακα K−1μπορεί να βρεθεί από την

εξίσωση:

∑λ,`

K−1αλ (n, `) Kλβ(`,m) = δαβδnm (3.24)

η οποία μπορεί να επιλυθεί ευκολότερα στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιώντας τηνίδια διαδικασία με το προηγούμενο υποκεφάλαιο, η λύση της εξίσωσης που προκύπτειείναι η ακόλουθη:

Dαβ(n,m; m) = K−1αβ (n,m) =

∫ π

−π

d4p

(2π)4

(−i)∑4

µ=1

[(γEµ)αβ

sin(pµ)]∑4

µ=1 sin2 pµ + m2eip(n−m)

(3.25)


΄Ετσι, ο διαδότης στο συνεχές θα ισούται με:

DFαβ

E(x1 − x2) = lim

a→0

1

a3Dαβ(

xE1a,xE2a

; am) (3.26a)

όπου:

Dαβ(xE1a,xE2a

; am) = a3

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dαβ(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.26b)

με:

Dαβ(pE) =(−i)

∑4µ=1

[(γEµ)αβpµ]

+mδαβ

p2 +m2, p2 =

4∑µ=1

p2µ, pµ =

1

asin(pEµ a)

(3.26c)

Στην περίπτωση του φερμιονικού πεδίου στο πλέγμα, παρατηρούμε ότι στο όριοa → 0, τα όρια του ολοκληρώματος [−π/a, π/a] μετατρέπονται σε (−∞,+∞), ενώη ποσότητα pµ δεν μπορεί να αντικατασταθεί με την p

Eµ , όπως συμβαίνει στην

περίπτωση του πεδίου Klein – Gordon, διότι το όρισμα του ημιτόνου στην (3.26c)είναι το διπλάσιο της (3.15d), κι αυτό κάνει μεγάλη διαφορά. ΄Οταν a → 0, ησυνάρτηση pµ μπορεί να προσεγγίζει την p

Eµ μόνο για τιμές της p

Eµ κοντά στο 0.

΄Ομως, η συνάρτηση pµ, στο όριο αυτό, παίρνει πεπερασμένη τιμή, όχι μόνο γιαpEµ → 0, αλλά και στα σημεία που ορίζουν τα όρια της πρώτης ζώνης Brillouin(δηλαδή pEµ → ±π/a). Συνεπώς, ο διαδότης Dirac δύο σημείων στο πλέγμα, στοόριο του συνεχούς, δέχεται συνεισφορές από συνολικά δεκαέξι σημεία τουαντιστρόφου πλέγματος, εκ των οποίων μόνο ένα σημείο, αυτό που βρίσκεται στοκέντρο της ζώνης Brillouin, ανταποκρίνεται στον σωστό συνεχή διαδότη και άραείναι το μόνο που έχει συνεχές ανάλογο. Τότε λέμε ότι ο διαδότης που φτιάξαμεαναφέρεται σε δεκαέξι φερμιόνια κι όχι σε ένα, όπως θα έπρεπε. Το πρόβλημα αυτόονομάζεται πρόβλημα διπλασιασμού γιατί για κάθε επιπλέον διάσταση του

χωροχρονικού πλέγματος διπλασιάζει τον αριθμό των φερμιονίων που συνεισφέρουν

στο διαδότη. Επομένως, ο διαδότης Dirac στο πλέγμα, που ορίσαμε πιο πάνω,χρήζει βελτίωσης ώστε να αποφεύγεται το πρόβλημα που περιγράψαμε. Για τηναντιμετώπιση του προβλήματος του διπλασιασμού, έχουν γίνει αρκετές προτάσειςστη βιβλιογραφία, με τις πιο διαδεδομένες να είναι τα φερμιόνια Wilson καιφερμιόνια Staggered. Τα φερμιόνια Wilson θα περιγραφούν στο αμέσως επόμενουποκεφάλαιο.


3.3.2 Φερμιόνια Wilson

Ορίζοντας μια διαφορετική διακριτοποίηση της δράσης Dirac στο πλέγμα,πετυχαίνουμε να αποφύγουμε το πρόβλημα του διπλασιασμού στο διαδότη των

φερμιονίων. Απαιτούμε η δράση αυτή να δίνει την ίδια συνάρτηση στο συνεχές όριοκαι να είναι με τέτοιο τρόπο ορισμένη ώστε η πεπερασμένη τιμή που δίνει η pµ στα

άκρα της πρώτης ζώνης Brillouin να αίρεται από κάποιο μη πεπερασμένο όρο, οοποίος μηδενίζεται στο κέντρο της ζώνης Brillouin. Μια διαφορετική

διακριτοποίηση στο πλέγμα μπορεί να είναι η ακόλουθη:

SLF(W )

(ψ, ψ) = SLF (ψ, ψ)− a3 r

2

∑n,α,µ

[ψα(na)

(ψα(na+ µa) + ψα(na− µa)− 2ψα(na)

)]= −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)ψβ(na− µa)

]+ a3(ma+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.27)

όπου η παράμετροςWilson r μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή (r 6= 0). Τα φερμιόνιατης νέας αυτής δράσης ονομάζονται φερμιόνια Wilson. Ο νέος όρος στη δράση,γραμμένος συναρτήσει των συνεχών μεταβλητών, είναι ανάλογος του a κι επομένωςμηδενίζεται στο όριο a→ 0, όπως ακριβώς επιδιώκαμε. Πράγματι:

−a3 r

2

∑n,α,µ

[ψ(na)

(ψα(na+ µa) + ψα(na− µa)− 2ψα(na)

)]→

−a3 r

2

1

a4

∫d4xψ(x)a2ψ(x) = −a r

2

∫d4xψ(x)ψ(x)

Η δράση Wilson συναρτήσει αδιάστατων μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως:

SLF(W )

(ψ, ψ) =∑n,mα,β

˜ψα(n)K(W )αβ (n,m)ψβ(m) (3.28a)


όπου:

K(W )αβ (n,m) = −1

2

∑µ

[(rδαβ −

(γEµ)αβ

)δm,n+µ +

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)δm,n−µ

]+ (m+ 4r) δmn δαβ

(3.28b)

Η πιο πάνω δράση οδηγεί στην εξής μορφή του διαδότη στο συνεχές (ακολουθώνταςτην ίδια διαδικασία με το προηγούμενο υποκεφάλαιο):

DFαβ

E(x1 − x2) = lim

a→0

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dαβ(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.29a)

όπου:

Dαβ(pE) =(−i)

∑4µ=1

[(γEµ)αβpµ]

+m(W )(pE)δαβ

p2 +m(W )(pE)2 (3.29b)

με pµ να δίνεται από την (3.26c) και:

m(W )(pE) = m+2r

ap2 (3.29c)

(Η συνάρτηση p2δίνεται από την (3.15d)). Από την (3.29c) παρατηρούμε ότι

m(W )(pE) → m στο όριο a → 0, για όλες τιμές της pEµ εκτός από τις τιμές κοντάστα άκρα της πρώτης ζώνης Brillouin (pEµ → ±π/a), στις οποίες απειρίζεται. Μετον τρόπο αυτό, αίρεται η συνεισφορά των φερμιονίων από τα άκρα της πρώτηςζώνης Brillouin κι επομένως ο διαδότης Wilson, στο όριο του συνεχούς, δίδει τοσωστό διαδότη ενός φερμιονίου. Αξίζει να αναφερθεί ότι, αίροντας το πρόβληματου διπλασιασμού, δημιουργήθηκε ένα άλλο πρόβλημα, η ρήξη της χειραλικήςσυμμετρίας, ακόμα και για m = 0. Κάτω από μετασχηματισμούς χειρός ψ → eiθγ

E5 ψ

και ψ → ψeiθγE5 , όπου θ μια παράμετρος και γE5 = γE1 γ

E2 γ

E3 γ

E4 ο ερμιτιανός πίνακας

για τον οποίο ισχύει η αντιμεταθετική σχέση γE5 , γEµ = 0, η δράση Wilsonπαραμένει αναλλοίωτη για m = 0, σε αντίθεση με ό,τι συμβαίνει στο συνεχές.


3.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο πλέγμα

Οι θεωρίες που ορίσαμε πιο πάνω μέχρις στιγμής στο πλέγμα ήταν ελεύθερες

θεωρίες, δίχως όρους αλληλεπίδρασης. Από το σημείο αυτό και έπειτα, θαμελετήσουμε τις θεωρίες βαθμίδος, ορισμένες στο πλέγμα. Στις θεωρίες αυτές,ισχύει η συμμετρία βαθμίδος, η οποία απαιτούμε να ισχύει και στην πλεγματικήμορφή τους. Θα ξεκινήσουμε, λοιπόν, από τον ορισμό της ΚβαντικήςΗλεκτροδυναμικής (QED) στο πλέγμα.

Η Ευκλείδεια δράση της QED είναι η εξής:

SEQED(AE, ψE, ψE) = −iSQED(A,ψ, ψ)

=1

4

∫d4xEFE

µνFEµν +

∫d4xEψE(x)(γEµD

Eµ +m)ψE(x)

(3.30)

Η δράση αυτή χωρίζεται στην δράση των φωτονίων SEPH(A) και την δράση των

ηλεκτρονίων SEEL(A,ψ, ψ). Η δράση των ηλεκτρονίων θα μοιάζει με αυτή τωνελεύθερων φερμιονίων στο πλέγμα, εισάγοντας όμως τον κατάλληλο όροαλληλεπίδρασης, όπως άλλωστε γίνεται και στη συνεχή μορφή της δράσης.Επομένως, θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε στο

υποκεφάλαιο 1.3.3 για την εξαγωγή της δράσης των ηλεκτρονίων στο συνεχέςπροσαρμοσμένη στο πλέγμα. Ξεκινούμε, λοιπόν, με τη δράση Wilson τωνελεύθερων φερμιονίων (3.27). Πρώτα εκτελούμε μια μετατόπιση στις μεταβλητέςτου αθροίσματος της (3.27), έτσι ώστε η φερμιονική δράση Wilson να πάρει τημορφή:

SLF(W )

(ψ, ψ) = −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)ψβ(na)

]+ a3(ma+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.31)

Στη συνέχεια, απαιτούμε η δράση να μένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούςμετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας U(1). Οι μετασχηματισμοί αυτοί, ορισμένοι


στο πλέγμα έχουν την κάτωθι μορφή:

ψα(na)→ G(na)ψα(na)

ψα(na)→ ψα(na)G−1(na)(3.32)

όπου G(na) = eiΛ(na). Η πιο πάνω δράση, όπως και στην περίπτωση της συνεχούςδράσης των ελεύθερων ηλεκτρονίων, δε μένει αναλλοίωτη κάτω από τους (3.32),εξαιτίας της παρουσίας των όρων ψα(na)ψβ

((n + µ)a

)και ψα

((n + µ)a

)ψβ(na), οι

οποίοι μετασχηματίζονται ως ψα(na)G−1(na)G((n + µ)a

)ψβ((n + µ)a

)και

ψα((n + µ)a

)G−1

((n + µ)a

)G(na)ψβ(na) αντίστοιχα. Επειδή τα δύο πεδία δεν

είναι ορισμένα στο ίδιο σημείο του πλέγματος, δεν μπορούν να ικανοποιήσουν τηναπαιτούμενη συνθήκη αναλλοιώτητας της δράσης. Για να πετύχουμε τοπικά

αναλλοίωτη δράση, εισάγουμε τις ποσότητες Un,n+µ και Un+µ,n ανάμεσα στα δύο

πεδία των πιο πάνω εκφράσεων, αντίστοιχα, και απαιτούμε οι ποσότητες αυτές ναείναι συναλλοίωτες κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς της U(1), πουορίσαμε πιο πάνω. Δηλαδή:

Un,n+µ → G(na)Un,n+µG−1((n+ µ)a

)Un+µ,n → G

((n+ µ)a

)Un+µ,nG

−1(na)(3.33)

Οι ποσότητες αυτές ορίζονται μόνο στους συνδέσμους που ενώνουν δύο γειτονικά

σημεία του πλέγματος, γι’ αυτό και πήραν την ονομασία σύνδεσμοι (links).Σχηματικά απεικονίζονται στο σχήμα 3.1. Επίσης, αφού G(na) και G−1

((n + µ)a

)

Σχήμα 3.1: Απεικόνιση των συνδέσμων (links) στο πλέγμα

είναι στοιχεία της άλγεβρας της U(1), τότε η υπόθεση ότι και ο σύνδεσμος Un,n+µ

είναι στοιχείο της U(1) είναι αυτοσυνεπής. Επομένως, μπορεί να γραφεί στην εξήςμορφή:

Un,n+µ = eiφµ(na) (3.34)


όπου φµ(na) ∈ [0, 2π]. ΄Ετσι, η δράσηWilson των ηλεκτρονίων της QED στο πλέγμαθα πάρει τη μορφή:

SLEL(W )

(U, ψ, ψ) = −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Un,n+µψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †n,n+µψβ(na)

]+ a3(m0a+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.35)

όπου η μάζα των ηλεκτρονίων συμβολίζεται με m0 διότι δεν είναι η φυσική μάζα

των ηλεκτρονίων αλλά η αντίστοιχη απογυμνωμένη παράμετρος. Απαιτώντας η πιοπάνω δράση να δίνει στο όριο του συνεχούς, το κομμάτι της (3.30) που αντιστοιχείστα ηλεκτρόνια, βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των συνδέσμων με το φωτονικό πεδίοAµ(na). Οι σύνδεσμοι, σύμφωνα με την (3.34) εξαρτώνται από τη φάση φµ(na), ηοποία πρέπει να είναι αδιάστατη. Από την άλλη το πεδίο Aµ(na) έχει διαστάσεις

αντιστρόφου μήκους. ΄Αρα κάνουμε το εξής Ansatz: φµ(na) = caAµ(na), όπου cείναι αδιάστατη σταθερά. Για a→ 0, ο σύνδεσμος ισούται περίπου με:

Un,n+µ ≈ 1 + icaAµ(na)

Η έκφραση (3.35) δίνει το κομμάτι της (3.30) που αντιστοιχεί στα ηλεκτρόνια, στοόριο του συνεχούς, αν θέσουμε c = e0, όπου e0 δεν είναι το φυσικό φορτίο του

ηλεκτρονίου αλλά η αντίστοιχη απογυμνωμένη παράμετρος. Επομένως:

Uµ(na) ≡ Un,n+µ = eie0aAµ(na) (3.36)

Με τον ορισμό αυτό εξακολουθεί να ισχύει η (3.33) κάτω από μετασχηματισμούςβαθμίδος και συγκεκριμένα G(na)Uµ(na)G−1

((n+ µ)a

)= eie0aA

Λµ(na), όπου AΛ

µ(na)

είναι μια διακριτή εκδοχή του AEµ (xE) − 1e0∂Eµ Λ(xE). Συνεπώς, ικανοποιείται και ο

σωστός μετασχηματισμός βαθμίδος στο πλέγμα για το φωτονικό πεδίο.

Για να ολοκληρώσουμε την κατασκευή της δράσης της QED στο πλέγμα,πρέπει να κατασκευάσουμε και τη φωτονική δράση στο πλέγμα. Πρέπει και αυτή ναείναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς της U(1) κι επίσης να είναισυνάρτηση μόνο των συνδέσμων. Τέτοιες συναρτήσεις που να πληρούν τα δύο πιοπάνω κριτήρια μπορούν εύκολα να κατασκευαστούν παίρνοντας το γινόμενο των


συνδέσμων γύρω από ένα κλειστό βρόχο στο πλέγμα. Κάθε βρόχος στο πλέγμα,ονομάζεται Wilson loop. Λόγω της τοπικότητας της φωτονικής δράσης στο

συνεχές:

SEPH(AE) = −iSph(A) =1

4

∫d4xEFE

µνFEµν (3.37)

είναι προτιμητέοι οι μικρότεροι δυνατοί βρόχοι. Ο απλούστερος βρόχος είναι ηστοιχειώδης πλακέτα (plaquette) που απεικονίζεται στο σχήμα 3.2:

Σχήμα 3.2: Απεικόνιση της στοιχειώδους πλακέτας (plaquette) στο μν – επίπεδο

και η οποία ορίζεται ως:

Uµν(na) = Uµ(na)Uν(n+ µ)a

)U †µ((n+ ν)a

)U †ν(na) (3.38)

όπου οι σύνδεσμοι στο βρόχο πολλαπλασιάζονται κατά την αντίστροφη φορά των

δεικτών του ρολογιού. Τοποθετώντας την (3.36) μέσα στην (3.38) βρίσκουμε:

Uµν(na) = eie0a2Fµν(na) (3.39)

όπου Fµν(na) = (1/a)

[(Aν((n + µ)a

)− Aν(na)

)−(Aµ((n + ν)a

)− Aµ(na)

)]είναι η διακριτή μορφή του συνεχούς ηλεκτρομαγνητικού τανυστή. Στη συνέχειαπαρατηρούμε ότι η έκφραση:

1

e20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(Uµν(na) + U †µν(na)

)]


μετατρέπεται, στο όριο a→ 0, στην πιο κάτω διακριτή μορφή της φωτονικής δράσης(3.37):

1

4a4∑n,µ,ν

Fµν(na)Fµν(na)

΄Αρα:

SLPH(U) =1

e20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(Uµν(na) + U †µν(na)

)]=

1

e20

∑plaquette

Re(1− Uplaquette) (3.40)

όπου Uplaquette = Uµν(na) και∑

plaquette =∑

n,µ,νµ<ν

Από τις σχέσεις (3.35) και (3.40), η συνολική δράση της QED, με τη χρήσηφερμιονίων Wilson, γράφεται:

SL QED(compact)

(U, ψ, ψ) =1

e20

∑plaquette

Re(1− Uplaquette)

− a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Uµ(na)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †µ(na)ψβ(na)

]+ a3(m0a+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.41)

Αυτή ονομάζεται δράση συμπαγούς QED, διότι το πεδίο τιμών των U είναι

συμπαγές. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε διαταρακτικές μεθόδους της QED στοπλέγμα τότε χρειάζεται να προσθέσουμε στη δράση τον Gauge Fixing όρο, τονοποίο αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 2.2.3. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετάβασηςαπό το συνεχές στο πλέγμα, που ορίσαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια, ηΕυκλείδεια Gauge Fixing δράση μετατρέπεται σε:

SLGF (A) =1

2α

a2

4

∑n,µ,ν

[Aµ(n+ µ)a

)− Aµ

(n− µ)a

)][Aν(n+ ν)a

)− Aν

(n− ν)a

)](3.42)


Αφού ορίσαμε τη δράση της QED στο πλέγμα, μπορούμε πλέον να ορίσουμετις συναρτήσεις Green της θεωρίας αυτής. Η δράση εκτός από τα φερμιονικά πεδίαπεριέχει και τις μεταβλητές των συνδέσμων (που εξαρτώνται από το φωτονικόπεδίο) κι επομένως το μέτρο ολοκλήρωσης των συναρτήσεων Green στο πλέγμα θαέχει τη γενική μορφή DUDψDψ. Εδώ όμως πρέπει να προσέξουμε ώστε η

συμμετρία βαθμίδος, που επιβάλλουμε στη δράση της QED να μην παραβιάζεται απότη διαδικασία της ολοκλήρωσης. ΄Αρα πρέπει να ορίσουμε ένα αναλλοίωτο, κάτωαπό μετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας U(1), μέτρο ολοκλήρωσης. Τα

διαφορικά ολοκλήρωσης DψDψ έχουν οριστεί σε προηγούμενα υποκεφάλαια καιείναι αναλλοίωτα κάτω από τους μετασχηματισμούς της U(1). ΄Αρα, μας μένει οορισμός του διαφορικού DU . Στην περίπτωση της QED, το μέτρο ολοκλήρωσηςDU είναι τετριμμένο διότι οι σύνδεσμοι είναι στοιχεία της ομάδας U(1) και άραπαραμετρικοποιούνται από μία μόνο πραγματική φάση φµ(na), που παίρνει τιμές στοκλειστό διάστημα [0, 2π] ενός επίπεδου χώρου. Επομένως, το αναλλοίωτο, κάτωαπό μετασχηματισμούς βαθμίδος, μέτρο ολοκλήρωσης DU ορίζεται ως:

DU ≡∏n,µ

dφµ(na) (3.43)

΄Ετσι, οι συναρτήσεις Green της QED, με τη χρήση φερμιονίων Wilson, ορίζονταιως:

〈O(U, ψ, ψ)〉 =

∫DUDψDψO(U, ψ, ψ)e−S

LQED(U,ψ,ψ)∫

DUDψDψ e−SLQED(U,ψ,ψ)(3.44)

ή συναρτήσει του φωτονικού πεδίου Aµ(na) (καθώς φµ(na) ∼ Aµ(na)):

〈O(A,ψ, ψ)〉 =

∫DADψDψO(A,ψ, ψ) e−S

LQED(A,ψ,ψ)∫

DADψDψ e−SLQED(A,ψ,ψ)(3.45)

όπου DA =∏

n,µ dAµ(na). Εκτελώντας διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς a καικρατώντας μόνο όρους μέχρι O(a2) (οι οποίοι είναι μηδενικής τάξης ως προς e0), ηδράση SLPH(A) γράφεται:

SLPH(A) =a2

2

∑n,mµ,ν

Aµ(na)Kphµ,ν(n,m)Aν(ma) +O(e2

0) (3.46a)


όπου:

Kphµ,ν(n,m) =

∑ρ

[δn,mδµ,ν − δn−ρ,mδµ,ν − δn−ρ+µ,mδρ,ν

+ δn−ρ,mδρ,ν − δn+ρ,mδµ,ν + δn,mδµ,ν

+ δn+µ,mδρ,ν − δn,mδρ,ν ]

(3.46b)

Επίσης, η δράση SLGF (A), μπορεί να γραφτεί στην εξής πιο χρήσιμη μορφή:

SLGF (A) =a2

2

∑n,mµ,ν

Aµ(na)KGFµ,ν (n,m)Aν(ma) (3.47a)

όπου:

KGFµ,ν (n,m) =

1

α[δn,m − δn−ν,m − δn+µ,m + δn+µ−ν,m] (3.47b)

΄Ετσι ο διαδότης παίρνει τη μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού πολυωνύμου με

γκαουσιανό βάρος και επομένως:

〈Aµ(na)Aν(ma)〉 = K−1µν (n,m) (3.48)

με Kµν(n,m) = Kphµν(n,m) +KGF

µν (n,m). Το στοιχείο K−1µν (n,m) μπορεί να βρεθεί

από την εξίσωση:

∑ρ,`

K−1µρ (n, `) Kρν(`,m) = δµνδnm (3.49)

Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία με το υποκεφάλαιο 3.2, η λύση της εξίσωσηςπου προκύπτει είναι:

Dµν(na,ma) = K−1µν (n,m) =

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dµν(p

E)eipE(n−m)a (3.50a)

όπου:

Dµν(pE) =

1

p2

(δµν − (1− α)

pµpνp2

)(3.50b)


με p2και pµ να δίνονται από τη σχέση (3.15d). ΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων στο

συνεχές θα είναι:

DPHµν

E(x1 − x2) = lim

a→0Dµν(x

E1 , x

E2 ) (3.51)

Στο όριο a → 0, τα όρια του ολοκληρώματος [−π/a, π/a] μετατρέπονται σε

(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2. Εν τέλει στο όριο του συνεχούς, ο διαδότης

μετατρέπεται στην πιο κάτω γνωστή Ευκλείδεια συνάρτηση:

DPHµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.52)

3.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα

Η θεωρία της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD) στο πλέγμα μπορεί ναπροκύψει χρησιμοποιώντας ως πρότυπο αυτήν της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής,κάνοντας τις κατάλληλες προσθήκες ή αλλαγές, όπως είναι ο δείκτης του χρώματοςστο φερμιονικό και γκλουονικό πεδίο και ο δείκτης της γεύσης στο φερμιονικό

πεδίο των quark. ΄Οπως και στην συνεχή δράση της QCD, τα πεδία αντικαθίστανταιαπό πίνακες 3 × 3, καθώς η QCD ικανοποιεί τη συμμετρία βαθμίδος της ομάδαςSU(3). Συνεπώς, ο σύνδεσμος στην θεωρία αυτή ορίζεται ως:

˜Uµ(na) = ei˜

φµ(na) (3.53a)

όπου:

˜φµ(na) = g0a

˜Aµ(na) = g0a

8∑a=1

Aaµ(na)T a (3.53b)

g0 είναι η απογυμνωμένη σταθερά σύζευξης της ισχυρής αλληλεπίδρασης και

T a = λa/2 (λa: πίνακες Gell – Mann) είναι οι γεννήτορες της SU(3) στηνπροσαρτημένη (adjoint) αναπαράσταση (όπως και στην περίπτωση των συνεχώνγκλουονικών πεδίων). Τότε η φερμιονική δράση Wilson των quark της QCD


γράφεται:

SLQ(W )

(U, ψ, ψ) = −a3 1

2

∑f,nα,βa,b,µ

[(ψaf )α(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)˜Uabµ (na)(ψbf )β(na+ µa)

+ (ψaf )α(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)˜U †µ

ab(na)(ψbf )β(na)

]+ a3

∑f,n,α,a

((m0)f a+ 4r

)(ψaf )α(na)(ψaf )α(na)

(3.54)

Η πιο πάνω δράση είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς της

SU(3), γραμμένους σε διακριτή μορφή:

˜ψ(na)→

˜G(na)

˜ψ(na)

˜ψ(na)→

˜ψ(na)

˜G−1(na)

˜Uµ(na)→

˜G(na)

˜Uµ(na)

˜G−1(na+ µa)

˜U †µ(na)→

˜G(na+ µa)

˜U †µ(na)

˜G−1(na)

(3.55)

όπου˜G(na) = ei˜

Λ(na).

Επίσης, η στοιχειώδης πλακέτα, γενικεύοντας την (3.38), θα έχει τη μορφή:

˜Uµν(na) =

˜Uµ(na)

˜Uν((n+ µ)a

)˜U †µ((n+ ν)a

)˜U †ν(na) (3.56)

Τοποθετώντας την (3.53) μέσα στην (3.56) βρίσκουμε:

˜Uµν(na) = eig0a2

˜Fµν(na) (3.57)

όπου˜Fµν(na) ≈ (1/a)

[(Ãν((n+ µ)a

)−

Ãν(na)

)−(

Ãµ((n+ ν)a

)−

Ãµ(na)

)]+

ig0[Ãµ(na),

Ãν(na)] είναι η διακριτή μορφή του συνεχούς τανυστή (1.30a). Στην

πραγματικότητα η πιο πάνω σχέση μεταξύ˜Fµν(na) και

Ãµ(na) δεν είναι ακριβής.

Επειδή, οι μεταβλητές των συνδέσμων που εμφανίζονται στην (3.56) είναι πίνακεςπου δεν μετατίθενται, η ακριβής σχέση μεταξύ

˜Fµν(na) και

Ãµ(na) προκύπτει από

τη χρήση της σχέσης Baker – Campbell – Hausdorff:

eAeB = eA+B+ 12

[A,B]+···


Η σχέση αυτή περιέχει άπειρους όρους. ΄Ετσι, αυτό που κάναμε, προκειμένου νακαταδείξουμε ότι η πλεγματική δράση έχει το σωστό όριο στο συνεχές, ήταν ναπάρουμε διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς a, στο όρισμα του εκθετικού, και νακρατήσουμε μόνο όρους τάξης O(a2). Αφού ορίσαμε και την πλακέτα, τότε ηγκλουονική δράση στο πλέγμα, σε αντιστοιχία με τη φωτονική δράση, θα έχει τηνπαρακάτω μορφή:

SLG(U) = c tr∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(˜Uµν(na) +

˜U †µν(na)

)]

όπου c είναι σταθερά. Στην QCD επιβάλλεται η χρήση του ίχνους καθώς η πλακέταείναι πίνακας. Η δράση αυτή στο όριο a → 0 αναπαράγει τη συνεχή Ευκλείδεια

δράση:

SEG(A) =1

2tr

∫d4x

˜Fµν

˜Fµν

μόνο για c = 2/g20. ΄Αρα, η γκλουονική δράση στο πλέγμα γράφεται:

SLG(U) =2

g20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(˜Uµν(na) +

˜U †µν(na)

)]=

2

g20

∑plaquette

Re[tr(1−

˜Uplaquette)

](3.58)

όπου˜Uplaquette =

˜Uµν(na).

Από τις σχέσεις (3.54) και (3.58), η συνολική δράση της QCD, με τη χρήσηφερμιονίων Wilson, γράφεται ως ακολούθως:

SL QCD(compact)

(U, ψ, ψ) =2

g20

∑plaquette

Re[tr(1− Uplaquette)

]− a3 1

2

∑f,nα,βa,b,µ

[(ψaf )α(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Uabµ (na)(ψbf )β(na+ µa)

+ (ψaf )α(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †µ

ab(na)(ψbf )β(na)

]+ a3

∑f,n,α,a

((m0)fa+ 4r

)(ψaf )α(na)(ψaf )α(na)

(3.59)


Στην πιο πάνω έκφραση, και στο εξής, παραλείπουμε την περισπωμένη από τουςσυνδέσμους, θεωρώντας ότι αφού μιλάμε για QCD εννοείται ότι οι σύνδεσμοι είναιπίνακες. Η πιο πάνω σχέση ονομάζεται δράση συμπαγούς QCD, διότι το πεδίο τιμώντων συνδέσμων είναι ο συμπαγής γεωμετρικός χώρος της ομάδας SU(N). Αν όμωςχρησιμοποιήσουμε διαταρακτικές μεθόδους της QCD στο πλέγμα τότε χρειάζεταινα προσθέσουμε στη δράση τους όρους Gauge Fixing και Faddeev – Popov, τουςοποίους αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 2.2.4. Η Ευκλείδεια Gauge Fixing δράση τηςQCD στο πλέγμα έχει την ίδια μορφή με την (3.42) με την προσθήκη του δείκτηχρώματος a σε όλα τα φωτονικά πεδία (για να μετατραπούν σε γκλουονικά).

SLGF (A) =1

2α

a2

4

∑n,µ,ν,a

[Aaµ(n+ µ)a

)− Aaµ

(n− µ)a

)][Aaν(n+ ν)a

)− Aaν

(n− ν)a

)](3.60)

Η Ευκλείδεια δράση Faddeev – Popov, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετάβασηςαπό το συνεχές στο πλέγμα, όπως αυτές ορίστηκαν στα προηγούμενα υποκεφάλαια,μετατρέπεται σε:

SLFP (A) = a4∑n

[ca(na)

(δ(∑

µ(AaµΛ(na)− AaµΛ(na− µa)

)δΛb(na)

)cb(na)

](3.61)

Για να ορίσουμε την ποσότητα δ(∑

µ(AaµΛ(na) − Aaµ

Λ(na − µa))/δΛb(na),

χρησιμοποιούμε τους μετασχηματισμούς βαθμίδος του συνδέσμου:

Uµ(na)→ UΛµ (na) = G(na)Uµ(na)G−1(na+ µa)

και την ακόλουθη σχέση:

U(φ+ δφ

)= U

(φ)(

1 + iδφaµ(na)Eab(φ)T b)

=(1 + iδφaµ(na)Eba(φ)T b

)U(φ) (3.62)

όπου δφ μικρό, T b οι γεννήτορες της SU(3) στην adjoint αναπαράσταση, δφaµ(na) =

g0aδAaµ(na) και:

Eab(φ) =

(eiφµ(na) − 1

iφµ(na)

)ab(3.63)

Θεωρώντας έναν απειροελάχιστο μετασχηματισμό βαθμίδoςG(na) = 1 + iδΛa(na)T a, τον οποίο αντικαθιστούμε στο μετασχηματισμένο


σύνδεσμο UΛµ (na) και χρησιμοποιώντας τη σχέση (3.62) μπορούμε να ορίσουμε το

διαφορικό του γκλουονικού πεδίου:

δAaµ(na) =1

g0a

∑b

[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abδΛb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]baδΛb(na+ µa)

](3.64)

΄Ετσι:

δ

(∑µ

(AaµΛ(na)− Aaµ

Λ(na− µa)

)=

1

g0a

∑b,µ,m

[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abδm,n −

[E−1

(g0aAµ(na)

)]baδm,n+µ

]−[[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]abδm,n−µ −

[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]baδm,n

]δΛb(ma)

(3.65)

και επομένως, η δράση Faddeev – Popov στο πλέγμα ορίζεται ως εξής:

SLFP (A) =a2∑n,µ

ca(na)

[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abcb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]bacb((n+ µ)a)

]−[[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]abcb((n− µ)a)−

[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]bacb(na)

]=− a2

∑n,µ

(ca((n+ µ)a)− ca(na)

)[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abcb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]bacb((n+ µ)a)

](3.66)

Ορίζοντας τη δράση της QCD στο πλέγμα, μπορούμε πλέον να ορίσουμε τιςσυναρτήσεις Green της θεωρίας αυτής. Το μέτρο ολοκλήρωσης θα έχει την ίδιαγενική μορφή DUDψDψ με αυτό της QED, αλλά ο ορισμός του διαφορικού DU θαείναι διαφορετικός διότι τώρα απαιτούμε το μέτρο ολοκλήρωσης να είναι αναλλοίωτο

κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας SU(3). Συνεπώς, οι σύνδεσμοι,οι οποίοι είναι πίνακες, και ανήκουν στον μη – επίπεδο χώρο της ομάδας SU(3),παραμετρικοποιούνται συνολικά από τις 8 διαφορετικές φάσεις φaµ(na). Επομένως,το αναλλοίωτο, κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, μέτρο ολοκλήρωσης DUµμπορεί να συσχετιστεί με το διαφορικό

∏a dφ

aµ με τη βοήθεια της μετρικής του

χώρου αυτού. Ο ορισμός του στοιχειώδους μήκους στο χώρο της ομάδας SU(3)


είναι ο εξής:

d2s = tr(dU †µ(na)dUµ(na)) (3.67)

όπου dUµ(na) = U(φ + dφ) − U(φ). Το στοιχειώδες μήκος συναρτήσει τωνσυντεταγμένων φaµ(na) του χώρου αυτού, έχει την ακόλουθη μορφή:

d2s =∑a,b

gab(φ)dφaµ(na)dφbµ(na) (3.68)

όπου g(φ) είναι η μετρική της ομάδας SU(3). Εξισώνοντας τις σχέσεις (3.67) και(3.68), προκύπτει ότι:

dUµ(na) =√

det(g(φ)

)∏a

dφaµ(na) (3.69)

Η μετρική μπορεί να βρεθεί από τις σχέσεις (3.62), (3.63), (3.67) και (3.68) ωςακολούθως:

gab(φ)dφaµ(na)dφbµ(na) = tr[U(φ)idφaµ(na)Eac

(φ)T c(−i)dφbµ(na)Ebd

(φ)T dU †

(φ)]

=1

2Eac(φ)Ecb†(φ)dφaµ(na)dφbµ(na)

=

(1− cosφµ(na)

φ2µ(na)

)abdφaµ(na)dφbµ(na)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση ορθογωνιότητας tr(T aT b) = δab/2. ΄Αρα:

g(φ) =

(1− cosφµ(na)

φ2µ(na)

)(3.70)

Τότε το μέτρο ολοκλήρωσης DU θα έχει την πιο κάτω μορφή:

DU = e−Smeas(φ)∏n,µ,a

dφaµ(na) (3.71)

όπου:

Smeas(φ) = −1

2

∑n,µ

tr ln

[2(1− cosφµ(na)

)φ2µ(na)

](3.72)

Με τον παράγοντα 2 στην πιο πάνω σχέση πετυχαίνουμε ώστε με ανάπτυγμα τουσυνημιτόνου, ο λογάριθμος να ξεκινά με τον μοναδιαίο πίνακα. Ο παράγοντας αυτός


μπορεί να συμπεριληφθεί, αφού θα δώσει απλώς μία σταθερά στα συναρτησιακάολοκληρώματα του αριθμητή και παρονομαστή των συναρτήσεων Green και άρα θααπαλείφεται. Η δράση Smeas μπορεί να γραφεί και στην εξής μορφή, συναρτήσει τουγκλουονικού πεδίου:

Smeas(A) = −1

2

∑n,µ

tr ln

[1 + 2

∞∑`=1

(−1)`

(2`+ 2)!

(g0aAµ(na)

)2`]

(3.73)

΄Ετσι, οι συναρτήσεις Green της QCD, με τη χρήση φερμιονίων Wilson, ορίζονταιως:

〈O(A,ψ, ψ)〉 =

∫DADψDψO(A,ψ, ψ)e−S

LQCD(A,ψ,ψ)−Smeas(A)∫

DADψDψ e−SLQCD(A,ψ,ψ)−Smeas(A)(3.74)

όπου DA =∏

n,µ,a dAaµ(na).

Ας υπολογίσουμε τον γκλουονικό διαδότη στο πλέγμα μέχρι μηδενικής τάξης

όρους ως προς g0, δηλαδή στη χαμηλότερη τάξη της θεωρίας διαταραχών. Στην τάξηαυτή οι δράσεις SLFP (A, c, c) και Smeas(A) δεν συνεισφέρουν:

〈Aaµ(na)Abν(ma)〉 =

∫ ∏`,ρ,c dA

cρ(`a)[Aaµ(na)Abν(ma)]e−[SLG(A)+SLGF (A)]∫ ∏`,ρ dAρ(`a)e−[SLG(A)+SLGF (A)]

όπου SLG(A), SLGF (A) δίνονται από τις σχέσεις (3.58) και (3.60) αντίστοιχα.Κρατώντας μόνο όρους μέχρι O(a2), η δράση SLG(A) γράφεται:

SLG(A) =a2

2

∑n,mµ,νa

Aaµ(na)KGµ,ν(n,m)Aaν(ma) (3.75a)

όπου:

KGµ,ν(n,m) =

∑ρ

[δn,mδµ,ν − δn−ρ,mδµ,ν − δn−ρ+µ,mδρ,ν

+ δn−ρ,mδρ,ν − δn+ρ,mδµ,ν + δn,mδµ,ν

+ δn+µ,mδρ,ν − δn,mδρ,ν ]

(3.75b)


Επίσης, η δράση SLGF (A), γράφεται στην πιο κάτω χρήσιμη μορφή:

SLGF (A) =a2

2

∑n,mµ,νa

Aaµ(na)KGFµ,ν (n,m)Aaν(ma) (3.76a)

όπου:

KGFµ,ν (n,m) =

1

α[δn,m − δn−ν,m − δn+µ,m + δn+µ−ν,m] (3.76b)

Συμπεραίνουμε ότι ο διαδότης παίρνει τη μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού

πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος και έτσι το αποτέλεσμα είναι γνωστό:

〈Aaµ(na)Abν(ma)〉 = K−1µν (n,m) (3.77)

με Kµν(n,m) = KGµν(n,m) +KGF

µν (n,m). Το στοιχείο K−1µν (n,m) μπορεί να βρεθεί

από την εξίσωση:

∑ρ,`

K−1µρ (n, `) Kρν(`,m) = δµνδnm (3.78)

η οποία μπορεί να επιλυθεί ευκολότερα στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιώντας τηνίδια διαδικασία με το υποκεφάλαιο 3.2, η λύση της εξίσωσης που προκύπτει είναι ηακόλουθη:

Dµν(na,ma) = K−1µν (n,m) =

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dµν(p

E)eipE(n−m)a (3.79a)

όπου:

Dµν(pE) =

1

p2

(δµν − (1− α)

pµpνp2

)(3.79b)

με p2και pµ να δίνονται από τη σχέση (3.15d). ΄Ετσι, ο διαδότης στο συνεχές θα

είναι ο ακόλουθος:

DGµν

E(x1 − x2) = lim

a→0Dµν(x

E1 , x

E2 ) (3.80)

Στο όριο a → 0, τα όρια του ολοκληρώματος [−π/a, π/a] μετατρέπονται σε

(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2. Εν τέλει στο όριο του συνεχούς, ο διαδότης


μετατρέπεται στην πιο κάτω γνωστή Ευκλείδεια συνάρτηση (βλέπε Παράρτημα):

DGµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.81)

3.6 Διαταρακτική μελέτη στο πλέγμα

3.6.1 Διαταρακτική μελέτη της QCD στο πλέγμα

Η ανάγκη για μελέτη μη διαταρακτικών φαινομένων της θεωρίας της Κβαντικής

Χρωμοδυναμικής, όπως ο περιορισμός των quark (confinement), οι μάζες τωναδρονίων, κ.ά., αποτέλεσε την αιτία της δημιουργίας της Κβαντικής

Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα. Ωστόσο, η διαταρακτική μελέτη της ΚβαντικήςΧρωμοδυναμικής στο πλέγμα παραμένει μέχρι σήμερα στο προσκήνιο των ερευνών.Η μελέτη αυτή είναι πιο σύνθετη από τη διαταρακτική μελέτη στο συνεχές εξαιτίας

της ύπαρξης κορυφών αλληλεπίδρασης στο πλέγμα που δεν έχουν συνεχές

ανάλογο. Εντούτοις παρατηρείται ότι είναι πολύ χρήσιμη, ακόμη και γιαυπολογισμούς σε χαμηλότερες ενέργειες.

Η διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα αποτελεί

ένα δυναμικό εργαλείο για την εφαρμογή της διαδικασίας της

επανακανονικοποίησης. Ορισμένα επανακανονικοποιημένα μεγέθη στην QCD στοπλέγμα υπολογίζονται επί του παρόντος μόνο στη θεωρία διαταραχών. Η θεωρίαδιαταραχών στο πλέγμα προσφέρεται για την εφαρμογή διαφορετικών σχημάτων

επανακανονικοποίησης. Για να συγκρίνουμε τις προσομοιώσεις στο πλέγμα με ταπειραματικά αποτελέσματα, μεγέθη όπως οι παράμετροι (η σταθερά σύζευξης, οιμάζες, κλπ.) πρέπει να συνδέονται με τις ισοδύναμες παραμέτρους στο σχήμα

επανακανονικοποίησης MS, καθώς σ’ αυτό το σχήμα είναι, τυπικά, εκπεφρασμένατα πειραματικά αποτελέσματα. Συνεπώς, δεδομένης της φύσης του σχήματος MS,η διαδικασία της μετατροπής παραμέτρων, πεδίων, κλπ., στο σχήμα MS απαιτεί

διαταρακτικούς υπολογισμούς.

Η θεωρία διαταραχών για κβαντικά πεδία υπαγορεύει τον χωρισμό της δράσης

σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος περιλαμβάνει τετραγωνικούς όρους ως προς τα πεδίακαι το δεύτερο περιλαμβάνει τους όρους αλληλεπίδρασης. Συγκεκριμένα,SE = SE(2) + SEint. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το συναρτησιακό ολοκλήρωμα ναπαίρνει τη μορφή

∫DφEe−S

E(2)

(φ)e−SEint(φ). Στη συνέχεια εφαρμόζεται ανάπτυγμα


Taylor του εκθετικού e−SEint(φ)ως προς τη σταθερά σύζευξης g0. Δηλαδή, αν

SEint(φ) = g0V (φ) τότε e−SEint(φ) =

∑∞k=0

(−g0)k

k!V k(φ). Θεωρώντας ότι η σταθερά g0

είναι μικρή, μπορούμε να αγνοήσουμε μεγάλες δυνάμεις του g0 από το ανάπτυγμα.΄Ετσι, τώρα, στον υπολογισμό των συναρτήσεων Green πρέπει να ληφθούν υπόψηκαι αυτοί οι επιπλέον όροι. Η διαδικασία αυτή δημιουργεί τις λεγόμενες κορυφέςαλληλεπίδρασης μεταξύ των πεδίων της θεωρίας. Επίσης, οι διαδότες των πεδίωνθα περιλαμβάνουν πλέον όχι μόνο την απλή μετάβαση ενός σωματιδίου από ένα

χωροχρονικό σημείο σε άλλο, αλλά και όλες τις πιθανές ενδιάμεσες

αλληλεπιδράσεις με άλλα σωματίδια που υπαγορεύουν οι κορυφές αλληλεπίδρασης.΄Ολες αυτές οι πιθανές διαδικασίες, για σκοπούς ευκολίας συμβολίζονται μεδιαγράμματα, τα λεγόμενα διαγράμματα Feynman. Στη θεωρία διαταραχών στοπλέγμα, δημιουργούνται και επιπλέον κορυφές αλληλεπίδρασης δίνοντας

περισσότερα διαγράμματα Feynman σε κάθε διαταρακτική τάξη, τα οποία δενυπάρχουν στο όριο του συνεχούς.

Στο κεφάλαιο αυτό, θα επισημάνουμε τα διαγράμματα Feynman μέχρι δύοβρόχων που συνεισφέρουν στον υπολογισμό του ολικού φερμιονικού διαδότη.Διαγράμματα Feynman είναι η σχηματική απεικόνιση όλων των ενδιάμεσωναλληλεπιδράσεων σωματιδίων που συνεισφέρουν στον υπολογισμό μιας συνάρτησης

Green στη θεωρία διαταραχών. Τα διαγράμματα αυτά αποτελούνται πάντα απόεξωτερικές γραμμές, δηλαδή τα άκρα του διαγράμματος, οι οποίες αντιστοιχούν σταπεδία που εμφανίζονται στη συνάρτηση Green και εσωτερικές γραμμές πουσχηματίζουν βρόχους. Οι εξωτερικές γραμμές συμβολίζουν πραγματικά σωματίδιαενώ οι εσωτερικές συμβολίζουν εικονικά σωματίδια που ξεπηδούν από το κενό,αλληλεπιδρούν με τα πραγματικά σωματίδια αλλά και μεταξύ τους και στο τέλος

εξαϋλώνονται. Ο τρόπος που κατασκευάζεται ένα τέτοιο διάγραμμα είναι η ένωσηκορυφών αλληλεπίδρασης κάποιας τάξης ως προς g0 με διαδότες μηδενικής τάξης ως

προς g0, δημιουργώντας εσωτερικούς βρόχους. Ανάλογα με τον αριθμό των

βρόχων, το κάθε διάγραμμα αντιστοιχεί σε κάποια διαταρακτική τάξη του g0.Τυπικά, ένας βρόχος αντιστοιχεί σε διαταρακτική τάξη g2

0, οι δύο βρόχοι σεδιαταρακτική τάξη g4

0, κ.ο.κ. Το άθροισμα όλων των διαγραμμάτων Feynman με `βρόχους, πολλαπλασιασμένα με κάποιο συνδυαστικό παράγοντα, ο οποίος δίνεταιαπό το θεώρημα του Wick (βλέπε Παράρτημα), δίνει τη συνάρτηση Green στην 2`

τάξη ως προς g0 της θεωρίας διαταραχών.

Μια ειδική κατηγορία των διαγραμμάτων Feynman που εμφανίζεται συχνάστον υπολογισμό συναρτήσεων επανακανονικοποίησης των πεδίων είναι τα


«ακρωτηριασμένα» (amputated) 1 PI (one particle irreducible) διαγράμματα. Ταδιαγράμματα αυτά προκύπτουν από την αποκοπή των άκρων του διαγράμματος που

αντιστοιχούν σε πλήρεις διαδότες των εξωτερικών πεδίων. Διαγράμματα 1 PI, είναιεκείνα που εξακολουθούν να παραμένουν συνδεδεμένα μετά από την αποκοπή μιας

γραμμής. Ο λόγος που εμφανίζονται μόνο ακρωτηριασμένα διαγράμματα είναι ότι τοκομμάτι του διαγράμματος που αποκόπτεται είναι κοινό στις συναρτήσεις Green μείδια εξωτερικά πεδία και ως εκ τούτου αποδεικνύεται ότι απαλείφεται από τους

υπολογισμούς.

Για τον υπολογισμό ακρωτηριασμένων συναρτήσεων Green με τελεστές πουείναι κατασκευασμένοι από φερμιονικά μόνο πεδία (κατ’ αναλογία με το φερμιονικόδιαδότη), χρειάζεται η κατασκευή των διαγραμμάτων Feynman με εξωτερικέςγραμμές τα φερμιονικά πεδία. Στα σχήματα 3.3 και 3.4, παρατίθενται ταακρωτηριασμένα 1PI διαγράμματα Feynman ενός και δύο βρόχων αντίστοιχα, τουφερμιονικού διαδότη. Η κυματιστή (ευθεία, διακεκομμένη) γραμμή στα διαγράμματααντιπροσωπεύει γκλουόνια (φερμιόνια, πεδία φαντάσματα). Το γεμάτο κουτί

συμβολίζει κορυφές που προέρχονται από τη δράση Smeasure. O γεμάτος κύκλοςείναι φερμιονικός αντισταθμιστικός όρος μάζας (mass counterterm), ο οποίοςπροέρχεται από διαδικασία επανακανονικοποίησης.

1 2

Σχήμα 3.3: Διαγράμματα 1 βρόχου φερμιονικού διαδότη


262423

65 873 4

28

9 10 12 13 14

15 16 17 19 20

21 22 25

27

18

11

Σχήμα 3.4: Διαγράμματα 2 βρόχων φερμιονικού διαδότη


3.6.2 Εισαγωγή στο ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης

Η QCD είναι μια θεωρία που χαρακτηρίζεται από ασυμπτωτική ελευθερία.Συγκεκριμένα, η σταθερά σύζευξης, η οποία χαρακτηρίζει την ένταση της ισχυράςαλληλεπίδρασης ανάμεσα σε δύο σωματίδια, υφίσταται μείωση στην τιμή της, όταντα σωματίδια βρεθούν σε μικρές αποστάσεις. Αντίστοιχα, αύξηση της απόστασηςσυνεπάγεται αύξηση της σταθεράς σύζευξης. Το γεγονός αυτό εξηγεί γιατί ταquarks που βρίσκονται σε ένα βαρυόνιο δεν μπορούν να διαχωριστούν. Επίσης, ηασυμπτωτική ελευθερία δίνει τη δυνατότητα χρήσης της θεωρίας διαταραχών σε

μικρές αποστάσεις λόγω της μικρής τιμής της σταθεράς σύζευξης. Η διαταρακτικήμελέτη στο πλέγμα είναι χρήσιμη καθότι δίνει τη δυνατότητα μελέτης της

ανάκτησης κάποιων συμμετριών στο όριο όπου α → 0 οι οποίες παραβιάζονται στο

πλέγμα, όχι όμως στο συνεχές, όπως οι συμμετρίες της ομάδας Poincaré.Αντιθέτως, η μη διαταρακτική ανάλυση θα ήταν δύσκολη. Η θεωρία διαταραχώναποδεικνύει επίσης την εμφάνιση κάποιων ανωμαλιών στο πλέγμα που εμφανίζονται

και στο συνεχές (ανωμαλία Adler – Bell – Jackiw). Ακόμη, η χρήση της θεωρίαςδιαταραχών στο χωροχρονικό πλέγμα δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της

παραμέτρου Λ, η οποία αποτελεί μονάδα μέτρησης για διαστατικές παρατηρούμενεςποσότητες. Δηλαδή, τα μεγέθη που μετρώνται σε προσομοιώσεις τα οποία είναιαναγκαστικά αδιάστατα, μπορούν να μετατραπούν μέσω του Λ σε διαστατικές

ποσότητες, ώστε να συγκριθούν με αντίστοιχες πειραματικές τιμές. Η σύγκρισηπειραματικών αποτελεσμάτων με αποτελέσματα από προσομοιώσεις είναι μια

ιδιαίτερα περίπλοκη διαδικασία επειδή στο πλέγμα εμφανίζονται επιπλέον όροι οι

οποίοι δεν έχουν συνεχές ανάλογο αλλά οδηγούν σε συνεισφορές οι οποίες δεν

απαλείφονται στο όριο α → 0. Μια σημαντική χρήση της θεωρίας διαταραχώναποτελεί ο υπολογισμός συναρτήσεων επανακανονικοποίησης, οι οποίες είναι έναεπιπρόσθετο αναγκαίο συστατικό για την εύρεση φυσικών μεγεθών μέσα από

προσομοιώσεις. Σε αρκετές περιπτώσεις συμπεριλαμβανομένων και των

υπερσυμμετρικών δράσεων, ο υπολογισμός των συναρτήσεων αυτών δεν μπορεί επίτου παρόντος να γίνει παρά μόνο διαταρακτικά.

3.6.3 Ανάπτυγμα ασθενούς σύζευξης στη θεωρία φ3

Στο υποκεφάλαιο αυτό, με την προσθήκη όρου αλληλεπίδρασης στη δράση τουελέυθερου βαθμωτού πεδίου Klein – Gordon, θα μελετήσουμε τη διαδικασία με τηνοποία χειριζόμαστε διαταρακτικά μια θεωρία στο πλέγμα και θα παρουσιαστεί ο


τρόπος κατασκευής των διαγραμμάτων Feynman από τις κορυφές, χρησιμοποιώνταςως παράδειγμα τη συνάρτηση Green του διαδότη. Σημειώνουμε ότι η θεωρία φ3

δεν

αντιστοιχεί σε φυσική θεωρία αλλά είναι Toy Model.

Ας θεωρήσουμε την ακόλουθη ευκλείδεια δράση στο συνεχές που αφορά το

ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein – Gordon:

S[φ] =1

2

∫d4xφ(x)

(− +m2

)φ(x) +

g0

3!

∫d4x

(φ(x)

)3 (3.82)

όπου g0 1. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η σταθερά σύζευξης g0 στο εν λόγω μοντέλο

δεν είναι αδιάστατη, αλλά έχει διαστάσεις μάζας, δηλαδή διαστάσεις αντιστρόφουμήκους. Μεταβαίνοντας στο πλέγμα και χρησιμοποιώντας αδιάστατες παραμέτρους,η πιο πάνω δράση μετατρέπεται σε:

S[φ] =1

2

∑n,m

φnKnmφm +g0

3!

∑n

φ3n (3.83)

όπου n, m είναι διακριτοποιημένα σημεία του χωροχρόνου και:

Knm = −∑µ>0

[δn+µ,m + δn−µ,m − 2δnm] +m2 δnm

Τώρα, μπορούμε να χωρίσουμε τη δράση σε δύο όρους, τον ελεύθερο (τετραγωνικό)όρο της δράσης και τον όρο αλληλεπίδρασης Sint:

S[φ] = SK−G + Sint (3.84)

Η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε είναι η εξής:

〈φnφm〉 =

∫Dφφnφme−SK−G−Sint∫Dφ e−SK−G−Sint

(3.85)

Χρησιμοποιώντας ανάπτυγμα Taylor για το εκθετικό με τον όρο αλληλεπίδρασηςe−Sint προκύπτει:

〈φnφm〉 =

∫Dφφnφme−SK−G

[1− g0

3!

∑k φ

3k +

g20

2!(3!)2

(∑k φ

3k

)2+ · · ·

]∫Dφ e−SK−G−Sint

(3.86)

Σημειώνουμε ότι οι όροι του διαδότη με περιττές δυνάμεις πεδίων μπορούν να

παραλειφθούν, αφού δίνουν μηδέν.


Κρατώντας μόνο όρους μέχρι τη δεύτερη δύναμη της σταθεράς σύζευξης, μελετάμετη θεωρία διαταραχών στη δεύτερη τάξη. Συγκεκριμένα:

〈φnφm〉g20

=g2

0

2!(3!)2

∫Dφφnφme−SK−G

(∑k φ

3k

)(∑k′ φ

3k′

)∫Dφ e−SK−G−Sint

(3.87)

Κάθε όρος στην πιο πάνω εξίσωση εμπλέκει ένα γκαουσιανό εκθετικό

πολλαπλασιασμένο με ένα πολυώνυμο. ΄Ετσι η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει άμεσασε κλειστή μορφή χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Wick (βλέπε Παράρτημα):

〈φnφm〉g20

=∑k,k′

∑l1, l2, ..., l8 ∈ n,m, k1, k2, k3, k′1, k

′2, k′3

li 6= lj

δk1k2k3δk′1k′2k′3K−1l1l2K−1l3l4K−1l5l6K−1l7l8

(3.88)

όπου K−1l1l2είναι ο διαδότης του πεδίου Klein – Gordon, που ενώνει τα πλεγματικά

σημεία l1 και l2. Οι δυνατοί συνδυασμοί με τους οποίους μπορούμε να φτιάξουμε ταζεύγη των δεικτών, οδηγούν στο συμπέρασμα ότι στο πιο πάνω άθροισμα υπάρχουν7!! όροι. Η ποσότητα 〈φnφm〉g2

0γράφεται ως άθροισμα διαγραμμάτων Feynman.

Αναπαριστώντας τα πεδία στα διάφορα σημεία του χώρου

(φk, φk, φk, φk′ , φk′ , φk′ , φm, φn), αντιλαμβανόμαστε πώς θα προκύψουν τα

διαγράμματα αυτά. Στο σχήμα 3.5, τα σημεία του χώρου αναπαριστώνται με μιατελεία. Το πεδίο σε κάποιο σημείο του χώρου αναπαρίσταται με ελεύθερη γραμμήπου ξεκινά από το εν λόγω σημείο.

Σχήμα 3.5: Αναπαράσταση των πεδίων στα διάφορα σημεία του χώρου


Παρατηρούμε ότι προκύπτουν δύο κορυφές από τα σημεία του χώρου k και k′. Στοσυγκεκριμένο παράδειγμα βλέπουμε ότι ανάλογα με την τάξη της θεωρίας

διαταραχών που μελετάμε, προκύπτει και ο αντίστοιχος αριθμός από κορυφές,δηλαδή στην τρίτη τάξη της θεωρίας διαταραχών θα προέκυπταν τρεις κορυφές.Στο σχήμα 3.6 φαίνονται τα διαγράμματα Feynman που προκύπτουν όταν ενώσουμετα ελεύθερα άκρα των πιο πάνω σχημάτων.

Σχήμα 3.6: Διαγράμματα Feynman στην τάξη O(g20) της θεωρίας διαταραχών

Η γραμμή που ενώνει δύο πλεγματικά σημεία l1 και l2 αναπαριστά τον αντίστοιχο

διαδότη K−1l1l2

. Το πρώτο διάγραμμα προκύπτει με 36 τρόπους, το δεύτερο με 6, τοτρίτο με 9, το τέταρτο με 18 και το πέμπτο με 36 και συνεπώς έχουμε συνολικά36 + 6 + 9 + 18 + 36 = 7!!. Αθροίζοντας τις μαθηματικές εκφράσεις που

προκύπτουν από τα πιο πάνω διαγράμματα, λαμβάνοντας υπόψη τον παράγοντα πουυποδηλώνει τους τρόπους με τους οποίους αυτά μπορούν να δημιουργηθούν αλλά

και τον παράγοντα 1/2! που προκύπτει από το ανάπτυγμα Taylor, και τέλος ένανπαράγοντα −g0/3! για κάθε κορυφή, υπολογίζουμε την ποσότητα 〈φnφm〉g2

0. Τώρα,

θα υπολογίσουμε χωρίς να λάβουμε υπόψη τους πολλαπλασιαστικούς παράγοντες

που αναφέρθηκαν πιο πάνω, την έκφραση K−1nl (K−1

ll′ )2K−1l′m του διαγράμματος που

φαίνεται στο σχήμα 3.7.


Σχήμα 3.7: Διάγραμμα που συνεισφέρει στην τάξη O(g20) της θεωρίας διαταραχών

Χρησιμοποιώντας τον διαδότη του πεδίου Klein – Gordon:

K−1nm = 〈φnφm〉 =

∫ π

−π

d4k

(2π)4

eik(n−m)

4∑4

µ=1 sin2(kµ2

) +m2(3.89)

έχουμε στον χώρο των ορμών:

K−1nl (K−1

ll′ )2K−1l′m =

∫d4pd4p′d4qd4q′

(2π)16

eiq(n−l)eiq′(l′−m)eip(l−l

′)eip′(l−l′)(

q2 +m2)(q′2 +m2

)(p2 +m2

)(p′2 +m2

)(3.90)

όπου q και q′ αποτελούν τις εξωτερικές ορμές του διαγράμματος και p, p′ τιςεσωτερικές ορμές. Τα όρια των ολοκληρωμάτων [−π, π] υπονοούνται στην πιο

πάνω έκφραση. Ορίζουμε:

p2 = 44∑

µ=1

sin2(pµ2

) (3.91)

H συνάρτηση δέλτα στον χώρο των ορμών ορίζεται ως ακολούθως:

δ(4)P (p) = α4

+∞∑n=−∞

1

(2π)4e−ipnα (3.92)

όπου P προέρχεται από το «periodic – περιοδική» λόγω του ότι απειρίζεται για τιςτιμές p = 2πn/α, όπου n ανήκει στο σύνολο των ακεραίων αριθμών. Σημειώνουμεεδώ ότι οι τιμές της ορμής ολοκληρώνονται μόνο στην πρώτη ζώνη Brillouin καιείναι συνεχείς.


Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω σχέση προκύπτει τελικά:

K−1nl (K−1

ll′ )2K−1l′m =

∫d4pd4p′d4qd4q′

(2π)16(2π)8δ(−q + p+ p′)δ(q′ − p− p′)

eiqn−iq′m(

q2 +m2)(q′2 +m2

)(p2 +m2

)(p′2 +m2

) (3.93)

όπου οι συναρτήσεις δέλτα δείχνουν τη διατήρηση ορμής στο διάγραμμα.Συγκεκριμένα ισχύει q = p+ p′ και q′ = p+ p′. Μετά από απλοποιήσεις έχουμε:

K−1nl (K−1

ll′ )2K−1l′m =

∫d4pd4qd4q′

(2π)12(2π)4δ(q′ − q)

eiqn−iq′m(

q2 +m2)(q′2 +m2

)(p2 +m2

)((q − p)2 +m2

) (3.94)

Η συνάρτηση δέλτα που εμφανίζεται στην πιο πάνω σχέση δείχνει ότι οι δύο

εξωτερικές ορμές του διαγράμματος ισούνται, όπως και θα αναμέναμε. Τελικάπροκύπτει η πιο κάτω έκφραση:

K−1nl (K−1

ll′ )2K−1l′m =

∫d4pd4q

(2π)8

eiq(n−m)(q2 +m2

)2(p2 +m2

)((p− q)2 +m2

)=

∫ π

−πd4q

eiq(n−m)

(q2 +m2)2

(∫ π

−πd4p

1

(p2 +m2)((p− q)2 +m2)

) (3.95)

Το πρώτο ολοκλήρωμα εμφανίζεται σε όλα τα διαγράμματα του διαδότη Klein –Gordon, ανεξάρτητα από την τάξη της θεωρίας διαταραχών στην οποία βρίσκονται.Αντίστοιχα, στη θεωρία της QCD στο πλέγμα, θα συναντούσαμε ένα φερμιονικό ήένα γκλουονικό διαδότη για καθένα από τα πεδία που εμπλέκονται στον ορισμό της

αντίστοιχης συνάρτησης Green. Σχηματικά, αναπαριστώνται σαν τα άκρα τωνδιαγραμμάτων, που καταλήγουν στα εξωτερικά σημεία του πλέγματος. Η παρένθεσηεκφράζει τη μαθηματική αναπαράσταση στον χώρο των ορμών του

ακρωτηριασμένου διαγράμματος (του διαγράμματος δηλαδή, στο οποίο απουσιάζουντα εξωτερικά του άκρα). Παρατηρούμε ότι η έκφραση αυτή εξαρτάται μόνο από τηνεξωτερική ορμή q. Τέλος, στο σχήμα 3.8 παρουσιάζεται γραφικά, η διατήρηση τηςορμής. Σημειώνουμε ότι οι εσωτερικές γραμμές των διαγραμμάτων (ανεξάρτητα απότη θεωρία στην οποία βρισκόμαστε), τυπικά αφορούν σωματίδια με μη φυσικέςορμές (off – shell, p2 6= m2), ενώ για τις εξωτερικές γραμμές συχνά μας ενδιαφέρειη επιλογή φυσικών τιμών για τις ορμές (on – shell, q2 = m2).


Σχήμα 3.8: Διατήρηση της ορμής για το υπό μελέτη διάγραμμα

Η τελική έκφραση, (3.95), δείχνει ότι για θεωρίες στις οποίες ισχύει m = 0

παρουσιάζεται μια υπέρυθρη ανωμαλία, δηλαδή η έκφραση απειρίζεται για μηδενικέςτιμές της ορμής q.

Κεφάλαιο 4

Υπερσυμμετρία

4.1 Εισαγωγή

Στη φυσική, οι συμμετρίες που περιγράφουν ένα φυσικό σύστημα μπορούν ναδώσουν αρκετές πληροφορίες για το ίδιο το σύστημα, χωρίς να είναι γνωστοί σεβάθος οι φυσικοί νόμοι που το διέπουν. ΄Οπως έχουμε δει, βάσει του θεωρήματοςτης Noether, αν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο κάτω από κάποιους

μετασχηματισμούς συμμετρίας τότε υπάρχει ένας αντίστοιχος νόμος διατήρησης. Οισυμμετρίες πρέπει να αποτυπώνουν τις ιδιότητες της φύσης όπως αυτές

αναδεικνύονται πειραματικά. Συγκεκριμένα, προσπαθούμε πρώτα να κατανοήσουμετις συμμετρίες έτσι ώστε να μπορέσουμε να δημιουργήσουμε νόμους συμβατούς με

αυτές. Ταυτόχρονα, ορισμένες συμμετρίες είναι και απαραίτητες για την κατασκευήκβαντικών θεωριών χωρίς προβλήματα απειρισμού. Συγκεκριμένα, το ΚαθιερωμένοΠρότυπο βασίζεται στην ομάδα Lorentz, στην ομάδα SU(3)c για το χρώμα και στις

ομάδες SU(2)w και U(1) για τις ασθενείς και ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις. Ησυμμετρία SU(3)c × SU(2)w × U(1) είναι μια συμμετρία που δρα σε ένα εσωτερικόχώρο. Από την άλλη, η γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein για τηνβαρύτητα βασίζεται στην ομάδα Lorentz και συγκεκριμένα σε τοπικές χωροχρονικέςσυμμετρίες.

Γενικά, οι συμμετρίες στην σωματιδιακή φυσική μπορούν να χωριστούν σε δύοκατηγορίες, τις χωροχρονικές συμμετρίες και τις εσωτερικές συμμετρίες. Είναισημαντική η διερεύνηση της δυνατότητας να υπάρχουν συμμετρίες οι οποίες

συνδέουν αυτές τις δύο κατηγορίες. ΄Οπως αποδεικνύεται, ο μοναδικός τρόπος γιανα γίνει η σύνδεση αυτή είναι η Υπερσυμμετρία, η οποία επιτυγχάνεται μέσω

106

Κεφάλαιο 4. Υπερσυμμετρία 107

γενίκευσης της αντίληψης της συμμετρίας. Γνωρίζουμε ότι οι συνεχείς συμμετρίεςμπορούν να εκφραστούν μαθηματικά μέσω μεταθετικών σχέσεων. Μια μεγάλη

κατηγορία από ομάδες, οι λεγόμενες «Lie Groups», σχετίζονται με άλγεβρες οιοποίες αποτελούνται αποκλειστικά από σχέσεις μετάθεσης. Αν επιπλέον υπάρχουνκαι σχέσεις αντιμετάθεσης, δημιουργούνται οι καλούμενες «Graded Lie Algebras».Οι δομές αυτές έχουν ύπαρξη στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων και έχουν μελετηθεί

από μαθηματικής σκοπιάς. Συγκεκριμένα, οι γεννήτορες της Υπερσυμμετρίαςαποτελούν μια άλγεβρα με μεταθέτες και αντιμεταθέτες η οποία είναι μια επέκταση

της Poincaré άλγεβρας των θεωριών πεδίου. Περισσότερες λεπτομέρειες θα

συζητηθούν στο υποκεφάλαιο που αφορά την άλγεβρα της υπερσυμμετρίας. Απότην υπερσυμμετρική άλγεβρα προκύπτει ότι κάθε υπερσυμμετρική θεωρία είναι

απαραίτητο να περιέχει ίσο αριθμό μποζονικών και φερμιονικών βαθμών ελευθερίας,εκφυλισμένων ως προς τη μάζα.

Στη φύση γνωρίζουμε ότι τα quarks και τα λεπτόνια είναι φερμιόνια τα οποίααπαρτίζουν την ύλη. Η Υπερσυμμετρία επιβάλλει για κάθε φερμιόνιο πρέπει ναυπάρχουν δύο μποζονικοί σύντροφοι λόγω των δύο βαθμών ελευθερίας των

φερμιονίων, οι οποίοι προέρχονται από την ιδιοστροφορμή τους. Το ίδιο συμβαίνειαντίστοιχα και για κάθε αντιφερμιόνιο. Για τα γνωστά στη φύση μποζόνια, τουςφορείς δηλαδή των δυνάμεων, πρέπει να υπάρχει ένας φερμιονικός σύντροφος με ίσοαριθμό βαθμών ελευθερίας. Το αυθόρμητο σπάσιμο της υπερσυμμετρίας έχει ωςαποτέλεσμα, εν τέλει, οι μάζες ανάμεσα στους υπερσυμμετρικούς συντρόφους ναδιαφέρουν και μάλιστα αρκετά. Για αυτόν τον λόγο δεν υπήρξε πειραματικήεπιβεβαίωση της ύπαρξης της Υπερσυμμετρίας μέχρι σήμερα. ΄Ενα από τα καλύτεραμοντέλα, το οποίο μπορεί να αντικαταστήσει το Standard Model λύνονταςυπάρχοντα προβλήματα όπως είναι το γνωστό πρόβλημα της ιεραρχίας, είναι τοMinimal Supersymmetric Standard Model. Η ανάγκη για φυσική πέρα από τοStandard Model και τα προβλήματα που λύνονται μέσω Υπερσυμμετρίας, τηδιατηρούν στο προσκήνιο των πειραματικών ερευνών.

4.2 Εισαγωγή στην άλγεβρα της

Υπερσυμμετρίας

Για να μπορέσει κανείς να διατυπώσει περιορισμούς στις δυνατές συμμετρίες

της φύσης πρέπει αρχικά να εισαγάγει την έννοια του πίνακα σκέδασης S


(Scattering Matrix, S – Matrix). Η δράση του πίνακα S σε μια αρχική κατάστασηενός φυσικού συστήματος δίνει μια νέα κατάσταση του συστήματος αυτού.Δηλαδή, τα πινακοστοιχεία του πίνακα S δίνουν το πλάτος μετάβασης από μιαοποιαδήποτε αρχική κατάσταση ενός φυσικού συστήματος σε κάποια άλλη

οποιαδήποτε τελική κατάσταση. Λόγω του άπειρου αριθμού των δυνατών

καταστάσεων των συστημάτων, οι διαστάσεις του πίνακα αυτού είναι επίσηςάπειρες. Επίσης, εξαιτίας των συμμετριών που περιέχει μια φυσική θεωρία, ταπινακοστοιχεία του εν λόγω πίνακα δεν είναι εντελώς ανεξάρτητα – συνδέονταιμεταξύ τους. Ακριβώς λόγω αυτής της σύνδεσης λέμε ότι ο πίνακας S έχει κάποιεςσυμμετρίες. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε μια αρχική κατάσταση ενόςσυστήματος δύο πανομοιότυπων σωματιδίων και δρώντας με τον πίνακα S παίρνουμετην τελική κατάσταση του συστήματος αυτού. Αν ανταλλάξουμε την αρχική θέσητων δύο σωματιδίων και δράσουμε ξανά με τον πίνακα S στη νέα αρχική αυτήκατάσταση, θα έχουμε την ίδια τελική κατάσταση με προηγουμένως. Λέμε ότι οπίνακας S είναι συμμετρικός ως προς την ανταλλαγή των δύο αυτών πανομοιότυπωνσωματιδίων. Οι πιθανές συμμετρίες που θα μπορούσε να έχει ο πίνακας, σύμφωναμε το θεώρημα των Coleman – Mandula είναι οι χωροχρονικές μετατοπίσεις, οιμετασχηματισμοί Lorentz και περιορισμένος αριθμός εσωτερικών συμμετριών.Δηλαδή, το πιο γενικό σετ από γεννήτορες που σχετίζονται με τις συμμετρίες τουπίνακα S είναι οι τελεστές Pm των χωροχρονικών μετατοπίσεων (που μεταβάλλουντην τετραδιανυσματική θέση μιας κατάστασης), οι τελεστές Mmn των

μετασχηματισμών Lorentz και πεπερασμένος αριθμός τελεστών Bl που είναι

βαθμωτοί, με την έννοια ότι μετατίθενται με τους μετασχηματισμούς Lorentz(εσωτερικές συμμετρίες). Επίσης, το θεώρημα υποστηρίζει ότι οι τελεστές Bl

πρέπει να ανήκουν στην άλγεβρα μιας συμπαγούς ομάδας Lie. Δηλαδή, η ομάδαστην οποία ανήκει η άλγεβρα των γεννητόρων Bl, αν την σκεφτούμε γεωμετρικάσαν ένα σύνολο από σημεία, πρέπει να έχει περιορισμένο όγκο. Ο τελευταίος αυτόςπεριορισμός για τους γεννήτορες Bl είναι αναγκαίος αν αναλογιστούμε το θεώρημα

Wigner. Σύμφωνα με το θεώρημα Wigner, οι μη συμπαγείς ομάδες Lie δεν έχουνμοναδιακές αναπαραστάσεις εκτός και αν οι αναπαραστάσεις αυτές είχαν άπειρες

διαστάσεις. Οπότε εάν οι γεννήτορες Bl ανήκαν στην άλγεβρα μιας μη συμπαγούς

ομάδας Lie με στοιχεία Ai, θα υπήρχε πρόβλημα αφού τα μετασχηματισμένααντικείμενα μετά από τη δράση των στοιχείων της ομάδας Ai, δε θα ήτανκανονικοποιημένα. ΄Αρα, με βάση το θεώρημα Coleman – Mandula, μόνο τα τρίαεκείνα είδη συμμετριών του πίνακα S είναι επιτρεπτά. Παρ’ όλα αυτά, το πιο πάνωθεώρημα λαμβάνει υπόψη μόνο μετατιθέμενα («ζυγά») αντικείμενα. Δηλαδή, οι


γεννήτορες μιας άλγεβρας ικανοποιούν μόνο μεταθετικές σχέσεις. Επιτυγχάνεταιγενίκευση της άλγεβρας αυτής, εάν εκτός από τους Bl, Pm και Mmn γεννήτορες

προστεθούν και κάποια άλλα αντικείμενα, τα οποία θα ονομάσουμε «μονά»αντικείμενα, έτσι ώστε να υπάρχουν εκτός από σχέσεις μετάθεσης και σχέσειςαντιμετάθεσης ανάμεσα στους γεννήτορες της άλγεβράς μας.

΄Εστω ότι Q, Q′ και Q′′ αντιπροσωπεύουν μονά στοιχεία της άλγεβρας και X,X ′ και X ′′ ζυγά στοιχεία της άλγεβρας. Οι σχέσεις μετάθεσης – αντιμετάθεσηςανάμεσα στα στοιχεία αυτά παίρνουν την πιο κάτω μορφή:

Q,Q′ = X

[X,X ′] = X ′′

[Q,X] = Q′′

(4.1)

Οι νέες αυτές άλγεβρες ονομάζονται Graded Lie Algebras (λογική ονομασία αναναλογιστεί κανείς ότι υπάρχουν διαβαθμίσεις στις άλγεβρες αυτές – με την έννοιατης ύπαρξης τόσο «μονών» όσο και «ζυγών» στοιχείων). Σύμφωνα με τους Haag,Łopuszański και Sohnius, η μοναδική Graded Lie Algebra που είναι συμβατή με τιςσυμμετρίες του πίνακα S και με τη σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίων, είναι ηάλγεβρα της Yπερσυμμετρίας που θα περιγράψουμε στη συνέχεια. Στην άλγεβρααυτήν οι τελεστές X είναι οι τελεστές στους οποίους αναφέρεται το θεώρημα

Coleman – Mandula, δηλαδή οι τελεστές ορμής, μετασχηματισμών Lorentz και οιτελεστές που σχετίζονται με τις εσωτερικές συμμετρίες. Τα χαρακτηριστικά τωναντιμετατιθέμενων τελεστών Q θα σχολιαστούν πιο κάτω.

Παρουσιάζονται ορισμένες σχέσεις μετάθεσης – αντιμετάθεσης της

υπερσυμμετρικής άλγεβρας:

QAa , QbB = 2σm

abPmδ

AB

QAa , Q

Bb = QaA, QbB = 0

[Pm, QAa ] = [Pm, QaA] = 0

[Pm, Pn] = 0

(4.2)

Σύμφωνα με την απόδειξη που παρατίθεται πιο κάτω, οι τελεστές Q, οι οποίοιαποτελούν τα αντιμετατιθέμενα στοιχεία της άλγεβρας, μετασχηματίζονται με βάσητην αναπαράσταση M(1

2, 0) της ομάδας Lorentz και κατά συνέπεια έχουν ένα

σπινοριακό δείκτη (a). Οι τελεστές Q έχουν δείκτη (a) και μετασχηματίζονται μεβάση την αναπαράσταση M(0,1

2) της ομάδας Lorentz. Ο τελεστής Q


αντιπροσωπεύει απλά το ερμιτιανό συζυγές του τελεστή Q. Οι δείκτες

A,B = 1, .., N αντιπροσωπεύουν το πλήθος των τελεστών Q, Q. ΄Οπως

αποδεικνύεται, όσο περισσότερους τελεστές έχουμε, τόσο περισσότερα

υπερσυμμετρικά σωματίδια έχουμε, δηλαδή τόσους περισσότερους συντρόφους γιακάθε ήδη αποδεδειγμένα υπάρχον σωματίδιο. Τώρα, παρατηρώντας την πρώτησχέση της (4.2) και αναλογιζόμενοι το γεγονός ότι ο τελεστής Pm έχει διαστάσειςενέργειας, μπορούμε να βρούμε τη διαστατικότητα των τελεστών Q, Q. Οι

διαστάσεις τους είναι [Ενέργεια]12 . ΄Εχοντας βρει τις διαστάσεις των τελεστών Q,

Q, το επόμενο βήμα είναι να βρούμε σε ποια αναπαράσταση της ομάδας Lorentzανήκουν οι τελεστές. Οι τελεστές Q μπορούν να γραφούν ως άθροισμα από

αντικείμενα – τελεστές στους οποίους δρουν διαφορετικές αναπαραστάσεις τωνμετασχηματισμών Lorentz. Συγκεκριμένα, μπορούν να γραφούν ως εξής:

Q =∑

Qa1···aα a1···aβ (4.3)

΄Οπου οι δείκτες ai και aj μπορούν να πάρουν τις τιμές 1 και 2. Ο δείκτης i εκτείνεταιαπό την τιμή 1 μέχρι την τιμή α και ο δείκτης j από την τιμή 1 μέχρι την τιμή β.Οι τελεστές Qa1···aα a1···aβ είναι συμμετρικοί ως προς τους υπογραμμισμένους δείκτες

a1 · · · aα και a1 · · · aβ. Ο κάθε όρος έχει σπιν α+β2

, κάτι το οποίο προκύπτει απόσύνθεση στροφορμών, λαμβάνοντας υπόψη ότι επιθυμούμε συμμετρικότητα ως προςτους υπογραμμισμένους δείκτες. ΄Οροι οι οποίοι είναι αντισυμμετρικοί ως προς ένατυχαίο ζεύγος από δείκτες a1 ···aα απορρίπτονται αφού έχουν συμπεριληφθεί ήδη στοάθροισμα και αφού επιθυμούμε ο κάθε όρος του αθροίσματος της σχέσης (4.3) ναανήκει σε διαφορετική Lorentz αναπαράσταση. Το ίδιο συμβαίνει για όρους οι οποίοιείναι αντισυμμετρικοί ως προς τυχαίο ζεύγος από τους δείκτες a1 · · · aβ. Επίσης απότο θεώρημα σπιν – στατιστικής προκύπτει ότι πρέπει α+β να είναι περιττός αριθμός

έτσι ώστεα+β

2να είναι ημιακέραια ποσότητα. Τώρα, έστω ότι παίρνουμε το εξής

γινόμενο:

Qa1···aα a1···aβQb1···bα b1···bβ (4.4)

Και οι δύο όροι του γινομένου έχουν σπινα+β

2. Οι «συνιστώσες στροφορμής» των

όρων διαφέρουν ανάλογα με την τιμή που παίρνουν οι δείκτες. Επιλέγοντας ai = 1,aj = 1, bi = 1, bj = 1 για όλες τις δυνατές τιμές i και j, έχουμε:

Q1···1 1···1Q1···1 1···1 (4.5)


Κάνοντας τη συγκεκριμένη επιλογή είναι σαν να επιλέξαμε τη χαμηλότερη συνιστώσα

ιδιοστροφορμής που θα μπορούσαν να έχουν οι όροι Q και Q. Αναλογιζόμενοι τογεγονός αυτό καταλαβαίνουμε ότι μόνη δυνατή ολική τιμή της ιδιοστροφορμής που

θα μπορούσαμε να πάρουμε από τη σύνθεση στροφορμών των τελεστών Q1···1 1···1

και Q1···1 1···1 είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή ιδιοστροφορμής που μπορεί να προκύψει

από τη σύνθεση στροφορμών των τελεστών Qa1···aα a1···aβ και Qb1···bα b1···bβ , δηλαδή ηιδιοστροφορμή α+β. Για όσα ακολουθούν ορίζουμε Q1···1 1···1 ≡ Q και Q1···1 1···1 ≡Q για απλοποίηση.

Με την υπόθεση ότι οι τελεστές Q και Q ανήκουν στην Υπερσυμμετρική

΄Αλγεβρα γενικής μορφής (4.1), λαμβάνοντας υπόψη και το θεώρημα Coleman –Mandula, προκύπτει ότι ο αντιμεταθέτης των μονών αντικειμένων Q και Q πρέπειαναγκαστικά να είναι ανάλογος με τον τελεστή της ορμής. Δε θα μπορούσε ναήταν ανάλογος με τους γεννήτορες Bl αφού είναι βαθμωτές ποσότητες και ως εκ

τούτου θα προέκυπτε: α + β = 0. Αυτό δεν επιτρέπεται αφού όπως ειπώθηκε τοθεώρημα σπιν – στατιστικής επιβάλλει το άθροισμα α + β να ισούται με περιττό

αριθμό. Οπότε αποδείχθηκε ότι α+ β = 1⇒ α+β2

= 12και άρα οι τελεστές Q και Q

έχουν σπίν12.

Η πιο πάνω απόδειξη υπονοεί ότι οι τελεστές Q και Q μέσα στην έκφραση (4.3)με σπιν μεγαλύτερο από

12, ισούνται με μηδέν. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής:

Καταρχάς, αφού βρέθηκε ότι το σπιν του γινομένου QQ είναι α + β = 1, στηνπερίπτωση με α + β > 1 ισχύει QQ = 0 και άρα:

Q, Q = 0 (4.6)

Τώρα, αν πολλαπλασιάσουμε από τα δεξιά την πιο πάνω σχέση με το ket μιας τυχαίαςκατάστασης |α〉 και από τα αριστερά με το bra της κατάστασης 〈α|, θα έχω:

〈α|QQ|α〉+ 〈α|QQ|α〉 = 0 (4.7)

Αφού 〈α|QQ|α〉 ≥ 0 και 〈α|QQ|α〉 ≥ 0 για να ισχύει η πιο πάνω σχέση πρέπει να

ισχύει:

Q|α〉 = 0

Q|α〉 = 0(4.8)


Αυτό αυτόματα σημαίνει ότι Q = 0, Q = 0, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν τελεστές μεσπιν μεγαλύτερο της τιμής

12.

Τα πιο πάνω αποδείχτηκαν για Qa1···aα a1···aβ και Qb1···bα b1···bβ με ai = 1, aj = 1,

bi = 1, bj = 1 για όλες τις δυνατές τιμές i και j. Δηλαδή όπως ειπώθηκε,αποδείχθηκαν για όρους Q, Q με τη χαμηλότερη συνιστώσα ιδιοστροφορμής που θαμπορούσαν να έχουν. Λόγω της συμμετρίας Lorentz, το πιο πάνω συμπέρασμαισχύει για κάθε τελεστή Qa1···aα a1···aβ .

Αφού από τους πιο πάνω σχολιασμούς προέκυψε ότι οι τελεστές Q, Q έχουνσπιν

12, ο τελεστής υπ’ αριθμόν L (QL) όντως πρέπει να έχει ένα σπινοριακό δείκτη

και γράφεται ως QLa . Οι τελεστές Q είναι απλά το ερμιτιανό συζυγές των τελεστών

Q και ισχύει ότι:

Q∗a ≡ Qa (4.9)

Επίσης, όπως αναφέρθηκε, ο αντιμεταθέτης ανάμεσα στους τελεστές Q και Q είναιανάλογος με τον τελεστή της ορμής. Η ακριβής σχέση είναι η εξής:

QLa , QaM = PaaC

LM (4.10)

όπου Paa = σ maa Pm. Επειδή όμως στην πραγματικότητα ο πίνακας CL

M είναι

ερμιτιανός μπορούμε να τον διαγωνιοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τον μοναδιακό

πίνακα U, οι στήλες του οποίου είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα CLM ως εξής:

UCLMU

†. Αυτή η διαγωνιοποίηση θα έχει ως αποτέλεσμα να είναι εφικτή η αλλαγήβάσης στο αντισυμμετρικό κομμάτι της Υπερσυμμετρικής ΄Αλγεβρας. Μπορούμε ναεπιλέξουμε με τέτοιο τρόπο τη βάση αυτή έτσι ώστε να ισχύει:

QLa , QaM = 2Paaδ

LM (4.11)


Χωρίς περαιτέρω αποδείξεις, παρουσιάζεται η γενική υπερσυμμετρική άλγεβρα(παραλείποντας τις σχέσεις που περιέχουν τους μετασχηματισμούς Lorentz):

[Pm, Pn] = 0

[Pm, QLa ] = [Pm, QaL] = 0

[Pm, Bl] = [Pm, XLM ] = 0

QLa , QaM = 2σ m

aa PmδLM

QLa , Q

Mb = εabX

LM

QaL, QbM = εabX†LM

[X LM , QaK ] = [X LM , QKa ] = 0

[X LM , XKN ] = [X LM , Bl] = 0

[Bl, Bm] = ic klmBk

[QLa , Bl] = SLl MQ

Ma

[QaL, Bl] = −S∗l ML QaM

X LM = αl,LMBl

(4.12)

όπου Sl ερμιτιανός πίνακας. Τα μετατιθέμενα αντικείμενα X ονομάζονται centralcharges γιατί μετατίθενται με όλους τους υπόλοιπους γεννήτορες. Επίσης, όλοι οιγεννήτορες εκτός από τους Q είναι μετατιθέμενα αντικείμενα. Τέλος, ο συμβολισμόςX LM

υποδηλώνει αντισυμμετρικότητα ως προς L και M .

4.3 Υπερσυμμετρικά σύνολα καταστάσεων

Στο παρόν υποκεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα χαρακτηριστικά μη αναγώγιμων

υπερσυμμετρικών αναπαραστάσεων όταν βρισκόμαστε στην υπερσυμμετρική

άλγεβρα με N = 1 ή σε διευρυμένες υπερσυμμετρικές άλγεβρες (N > 1). Μπορείνα δημιουργηθεί μια υπερσυμμετρική αναπαράσταση ξεκινώντας από μια

μονοσωματιδιακή κατάσταση την οποία ονομάζουμε κατάσταση κενού

(καταχρηστικά αφού δεν είναι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας της χαμιλτονιανής)και την οποία συμβολίζουμε με Ωspin. Η δράση των υπερσυμμετρικών τελεστώνστην κατάσταση αυτή δημιουργεί καταστάσεις οι οποίες ανήκουν στην ίδια

αναπαράσταση και αποτελούν τους υπερσυμμετρικούς συντρόφους της κατάστασης

κενού Ωspin. Τα χαρακτηριστικά των αναπαραστάσεων αυτών θα μας

απασχολήσουν πιο κάτω.


Σε κάθε υπερσυμμετρική αναπαράσταση υπάρχει ίσος αριθμός μποζονικών και

φερμιονικών καταστάσεων. Το επιχείρημα αυτό μπορεί να αποδειχθεί εισάγονταςτον τελεστή (−)NF ο οποίος δρα σε φερμιονικές/μποζονικές καταστάσεις ωςακολούθως:

(−)NF |boson〉 = |boson〉

(−)NF |fermion〉 = −|fermion〉(4.13)

Τώρα, έστω ότι έχουμε την τυχαία κατάσταση |ψ〉 και την κατάσταση |ψnew〉 =

Qa|ψ〉. Λόγω του σπινοριακού δείκτη του τελεστή Q, η κατάσταση |ψnew〉 θα είναιφερμιόνιο αν η κατάσταση |ψ〉 είναι μποζόνιο και το αντίστροφο. Οπότε έχουμε:

(−)NF |ψ〉 = ±|ψ〉

(−)NFQa|ψ〉 = ∓Qa|ψ〉(4.14)

Πολλαπλασιάζοντας εξ αριστερών την πρώτη σχέση με τον τελεστή Qa και

συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει:

(−)NFQa|ψ〉 = −Qa(−)NF |ψ〉 (4.15)

Η πιο πάνω σχέση ισχύει για κάθε κατάσταση |ψ〉 και έτσι τελικά προκύπτει:

Qa, (−)NF = 0 (4.16)

Τώρα, έστω ότι έχουμε:

tr[(−)NF QAa , QbB] = tr[(−)NF (QA

a QbB + QbBQAa )] (4.17)

Χρησιμοποιώντας την κυκλική ιδιότητα του ίχνους και τη σχέση αντιμετάθεσης

(4.16) έχουμε:

tr[(−)NF QAa , QbB] = tr[−QA

a (−)NF QbB +QAa (−)NF QbB] = 0 (4.18)

Με τη χρήση της πιο πάνω έκφρασης και τη σχέση αντιμετάθεσης που παρουσιάστηκε

στο προηγούμενο κεφάλαιο:

QAa , QbB = 2σm

abPmδ

AB (4.19)


προκύπτει ότι:

0 = tr[(−)NF QAa , QbB] = 2σ m

abδABtr[(−)NFPm] (4.20)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το |ψ〉 είναι ιδιοκατάσταση των τελεστών Pm, έχουμε:

Pm|ψ〉 = pm|ψ〉

PmQ|ψ〉 = QPm|ψ〉 = pmQ|ψ〉 (4.21)

Συνεπώς οι τελεστές Pm έχουν ως ιδιοκαταστάσεις το |ψ〉 και τους υπερσυμμετρικούςσύντροφους του, με τις ίδιες ιδιότητες. ΄Ετσι, από την (4.20) καταλήγουμε:

2σ mabδABpµtr[(−)NF ] = 0

⇒ tr[(−)NF ] = 0 (4.22)

Το ίχνος μπορεί να γραφεί με τον εξής τρόπο:

tr[(−)NF ] =∑〈ψ|(−)NF |ψ〉 (4.23)

όπου το πιο πάνω άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις μιας αναπαράστασης.Αφού το πρώτο μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι μηδέν, οι καταστάσεις στο δεύτερομέλος είναι μισές μποζονικές και μισές φερμιονικές έτσι ώστε να ικανοποιείται η

ισότητα. Συμπεραίνουμε δηλαδή ότι σε μια αναπαράσταση έχουμε τον ίδιο αριθμόμποζονικών και φερμιονικών καταστάσεων.

Ας μελετήσουμε πιο κάτω τα χαρακτηριστικά των αναπαραστάσεων με μη

μηδενική μάζα m0 6= 0. Στο σημείο αυτό σημειώνουμε ότι θα μεταβούμε σε ένασύστημα αναφοράς με μηδενική ταχύτητα, στo οποίo ο τελεστής της ορμής παίρνειτη μορφή P 2 = −m2

0, όπου m0 η μάζα ηρεμίας της κατάστασης κενού. Τότε, οικαταστάσεις οι οποίες δημιουργούνται από αυτή με δράση των τελεστών Q θα

έχουν την ίδια μάζα ηρεμίας. Φυσικά, το γεγονός αυτό είναι επιθυμητό καθότι,όπως αναφέρθηκε, οι καταστάσεις σε μια αναπαράσταση αποτελούν τουςυπερσυμμετρικούς συντρόφους της κατάστασης κενού.


Στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς, οι αντιμεταθετικές σχέσεις μεταξύ τωντελεστών Q και Q παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

QAa , QbB = 2m0δabδ

AB

QAa , Q

Bb = QaA, QbB = 0

(4.24)

Προφανώς, οι δείκτες A, B παίρνουν τις τιμές 1 μέχρι N ανάλογα με το σε ποιαυπερσυμμετρική άλγεβρα βρισκόμαστε. Ορίζουμε τους τελεστές δημιουργίας (α A

a )†

και καταστροφής α Aa ως ακολούθως:

α Aa =

1√2m0

QAa

(α Aa )† =

1√2m0

QaA

(4.25)

Οι αναπαραστάσεις αυτής της άλγεβρας Clifford είναι γνωστές και κατασκευάζονταιαπό την κατάσταση κενού Ω, το οποίο ορίζεται από την ιδιότητα: α A

a Ω = 0. Μετη βοήθεια των σχέσεων αντιμετάθεσης (4.24) και βάσει του ορισμού των τελεστώνδημιουργίας και καταστροφής, προκύπτουν τελικά οι εξής σχέσεις αντιμετάθεσης:

α Aa , (α B

b )† = δ ba δ

AB

α Aa , α B

b = (α Aa )†, (α B

b )† = 0(4.26)

Εξ ορισμού η δράση των τελεστών δημιουργίας πάνω σε μια κατάσταση κενού (Ω)δημιουργεί τις καταστάσεις μιας αναπαράστασης ως εξής:

Ω(n)a1

A1· ··anAn =

1√n!

(α A1a1

)† · · · (α Anan )†Ω (4.27)

Στην πιο πάνω έκφραση, οι δείκτες ai παίρνουν τις τιμές 1 και 2 και οι δείκτες Aiτις τιμές 1 μέχρι N . Λόγω τις αντισυμμετρικότητας των τελεστών (αAa )† δεν

μπορούν να εμφανίζονται στο πιο πάνω γινόμενο τελεστών, δύο τελεστές με τουςίδιους δείκτες ai και Ai γιατί έτσι θα παίρναμε μηδέν. Δηλαδή, στο πιο πάνωγινόμενο, μπορούν να εμφανίζονται και να δρουν στην κατάσταση κενού το πολύ2N τελεστές. Συμπεραίνουμε έτσι ότι συνολικά οι καταστάσεις που μπορούν ναδημιουργηθούν από τη δράση των τελεστών δημιουργίας στην κατάσταση κενού


είναι:

d =2N∑n=0

(2Nn

)= 22N

(4.28)

⇒ Η διαστατικότητα μιας αναπαράστασης είναι 22N .Η αναπαράσταση που προκύπτει ξεκινώντας από την κατάσταση κενού με

ιδιοστροφορμή 0, δηλαδή η κατάσταση Ω0 ονομάζεται θεμελιώδης αναπαράσταση.Αποδεικνύεται ότι η μεγαλύτερη τιμή ιδιοστροφορμής μιας κατάστασης σε μια

θεμελιώδη αναπαράσταση είναιN2.

Στο παρόν υποκεφάλαιο, επικεντρωνόμαστε στην περίπτωση όπου N = 1. Ηθεμελιώδης αναπαράσταση αποτελείται από τις πιο κάτω καταστάσεις:

Ω

(αa)†Ω

1√2

(αa)†(αb)

†Ω = − 1

2√

2εab(αc)†(αc)

†Ω

(4.29)

Η κατάσταση Ω έχει σπιν μηδέν, ενώ οι καταστάσεις (α1)†Ω και (α2)†Ω έχουν

ιδιοστροφορμή12αφού οι τελεστές (αa)

†μετασχηματίζονται σύμφωνα με την

αναπαράσταση (0, 12) κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Λόγω της

αντισυμμετρικότητας των σπινοριακών δεικτών του τελεστή δημιουργίας, τογινόμενο (αa)

†(αb)†μετασχηματίζεται με βάση την αναπαράσταση (0, 0) και

επομένως η κατάσταση1√2(αa)

†(αb)†Ω έχει ιδιοστροφορμή 0. Παρατηρούμε ότι στη

θεμελιώδη αναπαράσταση της περίπτωσης N=1 ικανοποιούνται οι απαιτήσεις πουτέθηκαν πιο πάνω.

Τώρα, γενικεύουμε τα αποτελέσματα για την περίπτωση, για οποιαδήποτευπερσυμμετρική αναπαράσταση με N=1. ΄Εστω ότι ξεκινάμε από την κατάστασηκενού Ωj, ιδιοστροφορμής j, τότε η αναπαράσταση θα περιέχει μια κατάσταση μειδιοστροφορμή j (αν δε δράσει κανένας τελεστής στην κατάσταση κενού),καταστάσεις με ιδιοστροφορμές (j + 1

2) και (j − 1

2) αν δράσει ένας τελεστής

δημιουργίας (προκύπτει από 12⊗ j) και κατάσταση με ιδιοστροφορμή j αν δράσει

γινόμενο 2 τελεστών δημιουργίας στην κατάσταση κενού (προκύπτει από 0⊗ j = j)


Τα πιο πάνω συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα που αφορά τις υπερσυμμετρικές

αναπαραστάσεις για N=1:

Spin Ω0 Ω 12

Ω1 Ω 32

0 2 1 0 012

1 2 1 01 0 1 2 132

0 0 1 22 0 0 0 1

Πίνακας 4.1: Υπερσυμμετρικές αναπαραστάσεις για N=1

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι υπερσυμμετρικές αναπαραστάσεις για τις

περιπτώσεις N>1. Η περίπτωση που εξετάστηκε πιο πάνω είναι και η πιο

ενδιαφέρουσα (δηλαδή για N=1) ως υποψήφια υπερσυμμετρική γενίκευση τουκαθιερωμένου προτύπου, καθότι αυξάνοντας τον αριθμό N , τόσο αυξάνονται οικαταστάσεις που αποτελούν μια αναπαράσταση και άρα οι υπερσυμμετρικοί

συντρόφοι ενός σωματιδίου. Προτιμάται η περίπτωση με το μικρότερο αριθμό

υπερσυμμετρικών συντρόφων, δηλαδή η περίπτωση N=1. Επίσης οι περιπτώσειςγια N>4 απορρίπτονται καθώς η θεμελιώδης αναπαράσταση αποτελείται απόκαταστάσεις με τιμή ιδιοστροφορμής μεγαλύτερη από 2, πράγμα που οδηγεί σεπαραβίαση της μοναδιακότητας στη διαδικασία κβάντωσης.

4.4 Εισαγωγή στην πιο απλή θεωρία

Υπερσυμμετρίας

Η πιο απλή υπερσυμμετρική θεωρία αποτελείται από τρία πεδία, τα οποία τελικάανάγονται σε δύο. Τα πεδία που απαρτίζουν τη θεωρία αυτή είναι ένα βαθμωτόπεδίο A, ένα σπινοριακό πεδίο ψ (σπίνορας τύπου Weyl) και τέλος ένα βαθμωτόπεδίο F , το οποίο εξαρτάται από τα πεδία A και ψ. Σημειώνουμε ότι, αν ένα πεδίοσε μια θεωρία μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των υπόλοιπων πεδίων της θεωρίας,τότε αυτό ονομάζεται auxiliary field («βοηθητικό» πεδίο). Στο υποκεφάλαιο αυτό,θα παρουσιαστούν οι απειροστές μεταβολές των πεδίων που αναφέρθηκαν κάτω από

μετασχηματισμούς Υπερσυμμετρίας, καθώς επίσης και η Λαγκρανζιανή πυκνότηταπου προκύπτει με την απαίτηση η δράση να είναι αναλλοίωτη κάτω από απειροστούς

μετασχηματισμούς Υπερσυμμετρίας. Αξίζει να σημειωθεί ότι η συγκεκριμένη θεωρία


που θα μελετήσουμε δεν μπορεί να περιγράψει τη φύση καθώς, όπως αναφέρθηκε πιοπάνω, αποτελείται από πεδία με ιδιοστροφορμή 1

2(το πεδίο ψ) και 0 (τα πεδία A και

F ), ενώ στη φύση υπάρχουν και σωματίδια με ιδιοστροφορμή 1. Η Υπερσυμμετρικήάλγεβρα που θα μας απασχολήσει είναι η άλγεβρα που περιγράφηκε στο προηγούμενο

υποκεφάλαιο (N=1), δηλαδή με ένα είδος τελεστών Q.

Ξεκινάμε τη μελέτη μας με το πεδίο A της θεωρίας. Κάτω από ένα

μετασχηματισμό Υπερσυμμετρίας, το βαθμωτό πεδίο A μετασχηματίζεται ως εξής:

A′ = eξQ+ξQA (4.30)

Μπορεί να αντιστοιχηθεί ο ρόλος της παραμέτρου ξ σε ένα μετασχηματισμό

Υπερσυμμετρίας με τον ρόλο της γωνίας σε ένα μετασχηματισμό περιστροφής.Είναι αναγκαίο η παράμετρος ξ να έχει σπινοριακό δείκτη, δηλαδή να έχει δύοβαθμούς ελευθερίας, όπως και οι τελεστές Q. Οι παράμετροι ξ και ξ είναι

ελεύθερες. Στην πραγματικότητα οι παράμετροι ξ είναι αντιμετατιθέμενα

αντικείμενα, δηλαδή οι συνιστώσες τους αντιμετατίθενται μεταξύ τους και με τιςσυνιστώσες των τελεστών Q, οι οποίοι είναι επίσης «μονά» αντικείμενα. Επίσης,υπάρχει μόνο ένα ζεύγος παραμέτρων ξ, όπως ένα είναι και το ζεύγος τωντελεστών Q στην Yπερσυμμετρική ΄Αλγεβρα με N=1. Κάποιες σχέσεις μετάθεσης– αντιμετάθεσης που προκύπτουν είναι οι εξής:

ξa, ξb = 0 (4.31)

ξa, Qb = 0 (4.32)

[Pm, ξa] = 0 (4.33)

Λαμβάνοντας υπόψη τις πιο πάνω σχέσεις, η άλγεβρα της Υπερσυμμετρίας μπορεί ναεκφραστεί εξ ολοκλήρου με σχέσεις μετάθεσης. ΄Ετσι, οι σχέσεις αντιμετάθεσης τηςάλγεβρας μετατρέπονται στις πιο κάτω σχέσεις μετάθεσης:

[ξQ, ξQ] = 2ξσmξPm

[ξQ, ξ′Q] = [ξQ, ξ′Q] = 0

[Pm, ξQ] = [Pm, ξQ] = 0

(4.34)

Από τη σχέση (4.30) καθώς και την ακόλουθη σχέση:

Qa, Qb = 2σmabPm (4.35)


είναι δυνατό να βρούμε τις διαστάσεις του τελεστή Q, καθώς και των παραμέτρων ξ.΄Ετσι προκύπτει ότι, αφού ο τελεστής Pm έχει διαστάσεις ενέργειας, ο τελεστής Qέχει διαστάσεις [Ενέργεια]

12 και η παράμετρος ξ έχει διαστάσεις [Ενέργεια]−

12 . Τώρα,

αναπτύσσοντας κατά Taylor τον όρο του εκθετικού στη σχέση (4.30) προκύπτει:

A′ = A+∞∑N=1

(ξQ+ ξQ)N

N !A (4.36)

Συνεπώς ο απειροστός μετασχηματισμός Υπερσυμμετρίας του πεδίου A (ημεταβολή δηλαδή του πεδίου A κάτω από ένα μετασχηματισμό Υπερσυμμετρίας, ηοποία περιέχει μία δύναμη των παραμέτρων ξ και ξ) παίρνει την εξής μορφή:

δξA = (ξQ+ ξQ)× A (4.37)

Aφού δεν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της δράσης του τελεστή Q στο πεδίο A, δενμπορούμε ακόμα να υπολογίσουμε την πιο πάνω ποσότητα. Γι’ αυτό υπολογίζουμετην ποσότητα (δηδξ − δξδη)A, χρησιμοποιώντας τις νέες σχέσεις μετάθεσης τηςάλγεβρας, οι οποίες διατυπώθηκαν πιο πάνω:

(δηδξ − δξδη)A = [ηQ+ ηQ][ξQ+ ξQ]A− [ξQ+ ξQ][ηQ+ ηQ]A

= 2(ησmξ − ξσmη)PmA

= −2i(ησmξ − ξσmη)∂mA

(4.38)

Επομένως, ένας απειροστός μετασχηματισμός του πεδίου A πρέπει να περιέχει μιαδύναμη ως προς ξ, ξ και να είναι τέτοιος έτσι ώστε να ικανοποιείται η πιο πάνωσχέση. ΄Ενας τέτοιος μετασχηματισμός θα μπορούσε να είναι ο εξής:

δξA =√

2ξψ (4.39)

Παρατηρούμε ότι έχει εισαχθεί ένα νέο πεδίο στη θεωρία. Αν το πεδίο A έχειδιαστάσεις [Ενέργεια]l, τότε το πεδίο ψ πρέπει να έχει διαστάσεις [Ενέργεια]l+

12 .

Επίσης, είναι αναγκαίο το πεδίο ψ να είναι σπίνορας, δηλαδή να έχει δύο βαθμούςελευθερίας έτσι ώστε η ποσότητα ξψ να μην έχει ελεύθερους σπινοριακούς δείκτες.Με την εισαγωγή του νέου αυτού πεδίου στην θεωρία, αυτομάτως δημιουργείται ηανάγκη εύρεσης της απειροστής μεταβολής του πεδίου, κάτω από ένα

μετασχηματισμό υπερσυμμετρίας. ΄Ενας τέτοιος μετασχηματισμός, συμβατός με την


(4.38) θα μπορούσε να είναι ο εξής:

δξψ = i√

2σmξ∂mA+√

2ξF (4.40)

΄Εχει, λοιπόν, εισαχθεί ακόμα ένα πεδίο στη θεωρία, το πεδίο F , το οποίο είναιβαθμωτό, όπως διαφαίνεται στην πιο πάνω σχέση και έχει διαστάσεις [Ενέργεια]l+1.Η μορφή του όρου που πολλαπλασιάζει το ξ στην (4.40) δεν μπορεί να είναι αυθαίρετη,αλλά υπαγορεύεται από την απαίτηση ότι, όπως και για το πεδίο A, έτσι και για τοπεδίο ψ, πρέπει να ισχύει η σχέση:

(δηδξ − δξδη)ψ = −2i(ησmξ − ξσmη)∂mψ (4.41)

αφού ο απειροστός μετασχηματισμός του πεδίου ψ ορίζεται όπως τον απειροστό

μετασχηματισμό του πεδίου A, δηλαδή ορίζεται ως δξψ = (ξQ+ ξQ)×ψ. Κάνονταςτις πράξεις, προκύπτει ότι ισχύει επίσης:

(δηδξ − δξδη)ψ = −2i(ησnξ − ξσnη)∂nψ − iσnσm∂mψ[ησnξ − ξσnη]

+√

2(ξδηF − ηδξF )(4.42)

Ο μόνος τρόπος να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις (4.41) και (4.42) είναι να ισχύειη πιο κάτω σχέση για τον απειροστό μετασχηματισμό του πεδίου F :

δξF = i√

2ξσm∂mψ (4.43)

Παρατηρούμε ότι δεν εμφανίζεται άλλο πεδίο στην εν λόγω θεωρία. ΄Ετσι, η θεωρίαπαραμένει με τα τρία πεδία A, F και ψ. Το πεδίο F , λοιπόν, είναι το τελευταίο πεδίοτης θεωρίας. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι μετασχηματισμοί και των τριών πεδίωνείναι γραμμικοί ως προς τα πεδία αυτά.

Είναι σημαντικό να παρουσιαστούν κάποια κοινά χαρακτηριστικά που έχουν όλα

τα πεδία τα οποία είναι τα τελευταία πεδία μιας υπερσυμμετρικής θεωρίας με N=1.Καταρχάς, παρατηρούμε ότι, λόγω της διαστατικότητας των παραμέτρων ξ και ξ, ότανεισάγεται ένα νέο πεδίο στη θεωρία μας μέσα από ένα απειροστό μετασχηματισμό, έχειαυτομάτως μεγαλύτερες διαστάσεις από το πεδίο που μετασχηματίζεται (οι διαστάσειςαυξάνονται κατά

12). ΄Ετσι, αν το αρχικό πεδίο A είχε διαστάσεις l, το πεδίο ψ το

οποίο είχε εισαχθεί κατά τον μετασχηματισμό του πεδίου A έχει διαστάσεις l+12

και το πεδίο F το οποίο εισήχθηκε κατά τον μετασχηματισμό του πεδίου ψ έχει

διαστάσεις l+1. Ως εκ τούτου, το τελευταίο πεδίο που εισάγεται στη θεωρία είναι


πάντα το πεδίο με τις μεγαλύτερες διαστάσεις. Η μόνη επιλογή είναι το πεδίο αυτόνα μετασχηματίζεται σαν χωροχρονική παράγωγος των προηγούμενων πεδίων, έτσιώστε να ικανοποιούνται οι διαστασιακές απαιτήσεις και ταυτόχρονα να μην εισάγεται

ένα νέο πεδίο στη θεωρία.

Τώρα, οδηγούμαστε στο επόμενο βήμα, στην εύρεση μιας Λαγκρανζιανήςπυκνότητας η οποία περιέχει όλα τα πεδία της θεωρίας. Η Λαγκρανζιανή αυτήπυκνότητα πρέπει να αλλάζει με τέτοιο τρόπο κάτω από ένα μετασχηματισμό

Υπερσυμμετρίας των πεδίων, ώστε να επιτυγχάνεται το αναλλοίωτο της δράσηςκάτω από τον εν λόγω μετασχηματισμό.

Μια τέτοια Λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι η εξής:

L = L0 +mLmL0 = i(∂mψ)σmψ + A∗A+ F ∗F

Lm = AF + A∗F ∗ − 1

2ψψ − 1

2ψψ

(4.44)

όπου L0 είναι κινηματικός όρος, Lm είναι όρος μάζας και m είναι αυθαίρετη

παράμετρος. Οπότε, χρησιμοποιώντας τους απειροστούς μετασχηματισμούς τωνπεδίων δξψ, δξF , δξA έχουμε την ποσότητα δξL0:

δξL0 = i∂n[−i√

2ξσm(∂mA∗) +√

2ξF ∗]σnψ + i(∂nψ)σn[i√

2σmξ(∂mA) +√

2ξF ]

+√

2ξψ(∂m∂mA) + A∗∂m∂

m(√

2ξψ)− i√

2(∂mψ)σmξF + F ∗[i√

2ξσm(∂mψ)]

=√

2ξσm(∂n∂mA∗)σnψ + i

√2ξ(∂nF

∗)σnψ −√

2(∂nψ)σnσmξ(∂mA)

+√

2ξψ(∂m∂mA) +

√2A∗ξ(∂m∂

mψ) + i√

2ξσm(∂mψ)F ∗

= i√

2ξσm(∂mψ)F ∗ + i√

2ξ(∂nF∗)σnψ +

√2ξσm(∂n∂mA

∗)σnψ

−√

2(∂nψ)σnσmξ(∂mA) +√

2ξψ(∂m∂mA) +

√2A∗ξ(∂m∂

mψ)

(4.45)

Απλοποιώντας την έκφραση έχουμε:

δξL0 = i√

2∂m(F ∗ξσmψ)−√

2(∂m∂mA∗)ξψ +

√2(∂mψ)ξ(∂mA) +

√2ξψ(∂m∂

mA)

+√

2A∗ξ(∂m∂mψ)

= i√

2∂m(ξF ∗σmψ) +√

2∂m[ψξ(∂mA)]−√

2(∂m∂mA∗)ξψ +

√2A∗ξ(∂m∂

mψ)

(4.46)


Χρησιμοποιώντας την πιο κάτω σχέση:

(A∗ψα) = ψα(A∗) + (ψα)A∗ + 2(∂mA∗)(∂mψα) (4.47)

΄Εχουμε τελικά:

δξL0 = i√

2∂m(F ∗ξσmψ) +√

2∂m[ψξ(∂mA)]−√

2(A∗)ξψ

+√

2ξ[(A∗ψ)− ψ(A∗)− 2(∂mA∗)(∂mψ)]

= i√


2ξ(A∗ψ) +√

2∂m[ψξ(∂mA)]

− 2√

2ξψ(A∗)− 2√

2ξ(∂mA∗)(∂mψ)

= i√


2ξ(A∗ψ) +√

2∂m[ψξ(∂mA)]− 2√

2ξ∂m[(∂mA∗)ψ]

⇒ δξL0 =√

2∂m[iξσmψF ∗ + ξ∂m(A∗ψ) + ψξ(∂mA)− 2ξ(∂mA∗)ψ]

(4.48)

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε την ποσότητα δξLm:

δξLm = (δξA)F + A(δξF ) + (δξA∗)F ∗ + A∗(δξF

∗)− 1

2(δξψ)ψ

− 1

2ψ(δξψ)− 1

2(δξψ)ψ − 1

2ψ(δξψ)

=√

2ξψF + i√

2Aξσm(∂mψ) +√

2ξψF ∗ − i√

2A∗(∂mψ)σmξ

− 1

2[i√

2σmξ(∂mA) +√

2ξF ]ψ − 1

2ψ[i√

2σmξ(∂mA) +√

2ξF ]

− 1

2[−i√

2ξσm(∂mA∗) +√

2ξF ∗]ψ − 1

2ψ[−i

√2ξσm(∂mA

∗) +√

2ξF ∗]

= i√

2Aξσm(∂mψ)− i√

2A∗(∂mψ)σmξ − i√

2

2ψσmξ(∂mA)− i

√2

2ψσmξ(∂mA)

+ i

√2

2ξσm(∂mA

∗)ψ + i

√2

2ξσmψ(∂mA

∗)

= i√

2Aξσm(∂mψ)− i√

2A∗(∂mψ)σmξ − i√

2ψσmξ(∂mA) + i√

2ξσmψ(∂mA∗)

(4.49)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση χ1σmχ2 = −χ2σ

mχ1, όπου χ1, χ2 τυχαίοι σπίνορες

τύπου Weyl, προκύπτει:

δξLm = i√

2∂m(Aξσmψ − ψσmξA∗) (4.50)


΄Οπως αποδείχτηκε, κάτω από ένα απειροστό μετασχηματισμό υπερσυμμετρίας ηΛαγκρανζιανή πυκνότητα μεταβάλλεται ως εξής:

L′ = L+ δξL

= L+√

2∂m[iξσmψF ∗ + ξ∂m(A∗ψ) + ψξ(∂mA)− 2ξ(∂mA∗)ψ]

+√

2im∂m(Aξσmψ − ψσmξA∗)

(4.51)

Το γεγονός ότι η μεταβολή αυτή είναι ολική παράγωγος εξασφαλίζει το

αναλλοίωτο της δράσης κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς. Από τη

συγκεκριμένη Λαγκρανζιανή πυκνότητα προκύπτουν οι εξής εξισώσεις κίνησης:

iσn∂nψ +mψ = 0 (4.52)

F +mA∗ = 0 (4.53)

και:

A+mF ∗ = 0 (4.54)

Παρατηρούμε από την (4.53) ότι το πεδίο F εξαρτάται από το πεδίο A μέσω μιαςαλγεβρικής (και όχι διαφορικής) σχέσης. Το πεδίο F είναι auxiliary field και η θεωρίαμας περιέχει δύο και όχι τρία ανεξάρτητα πεδία. Με την αντικατάσταση F = −mA∗

η εξίσωση (4.54) παίρνει τη μορφή:

A−m2A = 0 (4.55)

Συνεπώς, η Λαγκρανζιανή που κατασκευάσαμε μέχρι τώρα περιγράφει δύο ελεύθεραπεδία με την ίδια μάζα. Οι μποζονικοί βαθμοί ελευθερίας είναι ίσοι με τους

φερμιονικούς βαθμούς ελευθερίας (αφού το πεδίο A είναι μιγαδικό και το πεδίο ψσπινοριακό).

Κεφάλαιο 5

Μελέτη του τελεστή Gluino –

Glue

5.1 Εισαγωγή

Οι υπολογισμοί που ακολουθούν αφορούν την επανακανονικοποίηση και τη μίξη

του σύνθετου τελεστή Gluino – Glue στην Υπερσυμμετρική Θεωρία Yang – Mills(SYM) N=1. Χρησιμοποιούμε τόσο διαστατική, όσο και πλεγματική ομαλοποίηση.Υπολογίζουμε την επανακανονικοποίηση του τελεστή Gluino – Glue, η οποία δενείναι απλά πολλαπλασιαστική, λόγω του ότι ο τελεστής αυτός μπορεί να κάνει μίξημε άλλους τελεστές που δεν είναι καν αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούς

βαθμίδας και που έχουν ίσες ή (στο πλέγμα) μικρότερες διαστάσεις. Οι τελεστέςαυτοί μετασχηματίζονται σύμφωνα με την ίδια αναπαράσταση της ομάδας Lorentz, καιείναι επίσης αναλλοίωτοι κάτω από καθολικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος. ΄Εχουνεπίσης το ίδιο ghost number.

Υπολογίζουμε την κβαντική διόρθωση ενός βρόχου για τις σχετικές

συναρτήσεις Green δύο και τριών σημείων του τελεστή Gluino – Glue. Αυτό μαςεπιτρέπει να καθορίσουμε το συντελεστή επανακανονικοποίησης του υπό μελέτη

τελεστή στο σχήμα επανακανονικοποίησης MS καθώς επίσης και τους συντελεστές

μίξης των υπόλοιπων τελεστών που εμπλέκονται. Οι υπολογισμοί αυτοί γίνονταιχρησιμοποιώντας θεωρία διαταραχών τόσο στο συνεχές (d διαστάσεις), όσο καιστο πλέγμα. Χρησιμοποιούμε την ενδεδειγμένη διακριτοποίηση όπου τα gluinosορίζονται στα πλεγματικά σημεία (sites) και τα γκλουόνια βρίσκονται στους

125

Κεφάλαιο 5. Μελέτη του τελεστή Gluino – Glue 126

συνδέσμους (links) του πλέγματος. Η διαδικασία που ακολουθούμε βασίζεται στονφορμαλισμό Wilson των μη – υπερσυμμετρικών θεωριών βαθμίδος με βελτιωτικόόρο Clover για τα φερμιόνια. Ο αριθμός των χρωμάτων Nc, η παράμετρος βαθμίδοςα, και ο συντελεστής clover cSW θεωρούνται ελεύθερες παράμετροι.

5.2 Σημασία και ιδιότητες του τελεστή Gluino

– Glue

΄Οπως αναφέρθηκε στην περίληψη της διπλωματικής εργασίας, η

Υπερσυμμετρία (SUSY) έχει χαρακτηριστεί ιστορικά ως μια εφικτή προέκταση τουΚαθιερωμένου Προτύπου. Δίνει αποδεκτές απαντήσεις σε μια σειρά από ανοιχτάερωτήματα, όπως για παράδειγμα το πρόβλημα της ιεραρχίας κλιμάκων. Εμφανίζεταιστην περιγραφή της Κβαντικής Βαρύτητας μέσω της Θεωρίας Χορδών. Η ύπαρξητης Υπερσυμμετρίας δεν έχει ακόμη αποδειχθεί πειραματικά, παρά τις επί δεκαετίεςέρευνες σε πειράματα μεγάλων ενεργειακών κλιμάκων, συμπεριλαμβανομένων τωνπρόσφατων ανακαλύψεων στον επιταχυντή LHC. Προκειμένου η Υπερσυμμετρία ναείναι συμβατή με τη φαινομενολογία των θεμελιωδών δυνάμεων, θα πρέπει ναπαραβιάζεται αυθόρμητα. Φαινόμενα αυθόρμητης παραβίασης απαιτούν μη –διαταρακτική μελέτη μέσω αριθμητικών προσομοιώσεων. Η βασική μεθοδολογία γιατέτοιου είδους μελέτη επιβάλλει την κβάντωση μιας θεωρίας σε ένα

διακριτοποιημένο χωροχρονικό πλέγμα. Η αντιμετώπιση αυτή συναντά σημαντικέςδυσκολίες που οφείλονται εν μέρει στο γεγονός ότι, στις προσομοιώσεις, οιχωροχρονικές συμμετρίες παραβιάζονται ούτως ή άλλως. Μια λεπτομερής

διαδικασία επανακανονικοποίησης αποτελεί βασική προϋπόθεση για τη μη –διαταρακτική μελέτη. Η διαδικασία αυτή πρέπει να καθορίζει όλους τους σχετικούςαντισταθμιστικούς όρους (counter terms) της Λαγκρανζιανής, καθώς επίσης καιτους συντελεστές επανακανονικοποίησης και μίξης, ώστε το σωστό όριο τουσυνεχούς να μπορεί να επιτευχθεί, με την Υπερσυμμετρία και τη χειραλικήσυμμετρία να επαναφέρονται στο όριο αυτό.

Μια πρότυπη θεωρία, που διαθέτει τα ανωτέρω χαρακτηριστικά και

περιλαμβάνει πεδία βαθμίδος και πεδία ύλης είναι η Υπερσυμμετρική Κβαντική

Χρωμοδυναμική (SQCD). Η θεωρία αυτή, είναι ένα υποσύνολο του MSSM, και δενπεριλαμβάνει ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις, των οποίων οι επιπτώσεις μπορούνάλλωστε σε μεγάλο βαθμό να ληφθούν υπόψη διαταρακτικά. Κατά συνέπεια, η


ποσοτική μελέτη της αυθόρμητης παραβίασης της SUSY μέσω αριθμητικών

προσομοιώσεων είναι πολύ πιο εφικτή στην SQCD απ’ ότι στο MSSM. Παρομοίως,η Υπερσυμμετρική Θεωρία Yang – Mills περιέχει μόνο πεδία βαθμίδος και μπορεί ναχρησιμοποιηθεί για τη μελέτη των πιο ελαφρών δέσμιων υπερσυμμετρικών

καταστάσεων, που αντιστοιχούν σε σωματίδια αποτελούμενα από gluinos (λ) καιγκλουνικά πεδία (uµ). Αρχικές μη – διαταρακτικές μελέτες παρουσιάζονται στο [2].Η ενσωμάτωση των αποτελεσμάτων μας σχετικά με την επανακανονικοποίηση και

την μίξη του τελεστή Gluino – Glue, OGg, στις μελέτες αυτές, θα οδηγήσει σε μιαπιο συγκεκριμένη κατανόηση των μη διαταρακτικών μηχανισμών που διέπουν τη

φαινομενολογία της Υπερσυμμετρίας. Τα διαταρακτικά αποτελέσματα θα επιτρέψουνένα σαφέστερο σήμα στις προσομοιώσεις Monte Carlo. Στη θεωρία SYM,υπολογίζουμε τις σχετικές συναρτήσεις Green δύο και τριών σημείων του τελεστήGluino – Glue με εξωτερικά πεδία gluino, γκλουόνιο και ghost, χρησιμοποιώνταςτόσο διαστατική, όσο και πλεγματική ομαλοποίηση. Οι υπολογισμοί μας

εκτελούνται στο επίπεδο ενός βρόχου. Επιπλέον, οι κβαντικές διορθώσειςπροκαλούν μίξη ορισμένων άλλων τελεστών που έχουν τους ίδιους κβαντικούς

αριθμούς με τον τελεστή OGg. Αυτοί οι τελεστές χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες:τελεστές Class A, B και C. Ο τελεστής Gluino – Glue ανήκει σε μια ξεχωριστήκατηγορία από μόνη της δεδομένου ότι δεν υπάρχουν άλλοι τελεστές αναλλοίωτοι

κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος με ίσες ή μικρότερες διαστάσεις. Η

επανακανονικοποίηση του OGg καθώς και οι αντίστοιχοι συντελεστές μίξηςυπολογίζονται στο σχήμα MS.

Ο τελεστής Gluino – Glue ορίζεται ως εξής1:

OGg = σµνtrc(uµνλ) (5.1)

όπου:σµν =

1

2[γµ, γν ], uµν = ∂µυν − ∂νυµ + ig[υµ, υν ], (5.2)

Είναι ένας σύνθετος τελεστής με την ελάχιστη διαστατικότητα (7/2)περιλαμβάνοντας πεδία γκλουονίου και gluino. Ο OGg έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:1) Είναι μονήρης ως προς γεύση, 2) δεν περιέχει ελεύθερους χρωματικούς δείκτεςκαι 3) είναι αναλλοίωτος κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας (όπως αναφέρθηκεκαι προηγουμένως). Ο OGg αντιστοιχεί σε μια ελαφριά δέσμια κατάσταση τηςθεωρίας μαζί με τις καταστάσεις glueball και τις gluinoball. Παρόμοιοι σύνθετοιτελεστές είναι σημαντικοί στην μη – υπερσυμμετρική περίπτωση, δεδομένου ότι

1trc σημαίνει ίχνος ως προς όλα τα χρώματα.


χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό ορισμένων πλατών μετάβασης μεταξύ δέσμιων

καταστάσεων και στην εξαγωγή των form factors για μεσόνια και βαρυόνια. Οισυναρτήσεις συσχέτισης αυτών των τελεστών, που υπολογίζονται στο πλέγμα,δίνουν σημαντικά στοιχεία των φυσικών ιδιοτήτων της θεωρίας.

Για όσα ακολουθούν, η δομή θα είναι η εξής: Το υποκεφάλαιο 5.3 δείχνειόλους τους σχετικούς ορισμούς και όλους τους τελεστές που θα μπορούσαν

ενδεχομένως να αναμειχθούν με τον τελεστή OGg. Το υποκεφάλαιο 5.4 περιγράφειτη διαδικασία υπολογισμού. Στο υποκεφάλαιο 5.5, παρουσιάζουμε τα αποτελέσματάμας για την επανακανονικοποίηση και τους συντελεστές μίξης στη διαστατική

ομαλοποίηση. Στο υποκεφάλαιο 5.6 υπολογίζουμε όλες τις σχετικές συναρτήσειςGreen του τελεστή OGg χρησιμοποιώντας θεωρία διαταραχών στο πλέγμα. Γιατους υπολογισμούς χρησιμοποιούμε φερμιόνια clover και γκλουόνια Wilson. Στουποκεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε επίσης τα αποτελέσματά μας σχετικά με τις

επανακανονικοποιήσεις στο πλέγμα στο σχήμα MS.

5.3 Ορισμοί και υποψήφιοι τελεστές μίξης με

διαστάσεις 7/2 και 5/2

Η δράση της SYM, στο χώροMinkowski, είναι η ακόλουθη (Daείναι βοηθητικό

πεδίο – auxiliary field):

LSYM = −1

4υαµνυ

αµν +

i

2λαMγ

µDµλαM +1

2DαDα (5.3)

Απαλείφοντας τα βοηθητικά πεδία παίρνουμε:

LSYM = −1

4υαµνυ

αµν +

i

2λαMγ

µDµλαM (5.4)

όπου η Λαγκρανζιανή, LSYM είναι αναλλοίωτη (πέρα από μια ολική παράγωγο) κάτωαπό τους εξής υπερσυμμετρικούς μετασχηματισμούς:

δξuαµ = −iξMγµλαM ,

δξλαM =

1

4uαµν [γ

µ, γν ]ξM , (5.5)


Οι ορισμοί των συναλλοίωτων παραγώγων καθώς και οι ορισμοί των uµν και λM

φαίνονται πιο κάτω:

Dµλα = ∂µλα − gfαβγυβµλγ

υaµν = ∂µυαν − ∂νυαµ − gfαβγυβµυγν

λM =

(λa

λa

)(5.6)

Το σύμβολο M (Majorana) δείχνει τη φύση του gluino που εμφανίζεται. Γιααπλότητα, θα παραλείψουμε το M από τις σχέσεις που θα ακολουθήσουν. Οισυναλλοίωτες παραγώγοι είναι συνεπείς με τους εξής μετασχηματισμούς βαθμίδος:

u′µ = G−1uµG+i

g(∂µG

−1)G, λ′ = G−1λG (G(x) ≡ eiωα(x)Tα). (5.7)

Δεδομένου ότι η κανονικοποιημένη θεωρία δεν εξαρτάται από την επιλογή βαθμίδος

και δεδομένου ότι πολλές ομαλοποιήσεις, όπως η ομαλοποίηση στο πλέγμα,παραβιάζουν την υπερσυμμετρία στα ενδιάμεσα βήματα, μπορεί κανείς να επιλέξειτον συναλλοίωτο Gauge Fixing όρο, όπως και στην μη – υπερσυμμετρικήπερίπτωση, δηλαδή ανάλογο με B2 (Ba ≡ ∂µu

aµ). Η πλήρης δράση SYM

περιλαμβάνει επίσης, πέρα από το μέρος που περιγράφει τον όρο Gauge Fixing:

SGF =1

α

∫d4xtrc (∂µuµ)2 , (5.8)

(όπου α είναι η παράμετρος βαθμίδος: α = 1(0) αντιστοιχεί στη βαθμίδα Feynman(Landau)) και ένα μέρος που περιέχει τη συνεισφορά των ghost fields, που προκύπτειαπό τη διαδικασία Faddeev και Popov:

SGhost = −2

∫d4xtrc (c ∂µDµc) , (5.9)

όπου το ghost field c είναι ένα βαθμωτό πεδίο Grassmann το οποίο μετασχηματίζεταισύμφωνα με την προσαρτημένη (adjoint) αναπαράσταση της ομάδας βαθμίδος καιDµc = ∂µc + ig [uµ, c]. Κατά συνέπεια, η αντίστοιχη δράση στο συνεχές έχει τημορφή:

StotalSYM = SSYM + SGF + SGhost. (5.10)


Σημειώνουμε ότι, παρ’ όλο που οι όροι SGF και SGhost παραβιάζουν εκ κατασκευήςτους τη συμμετρία βαθμίδος, η δράση διατηρεί τη λεγόμενη συμμετρία BRST(Becchi – Rouet – Stora – Tyutin). Οι μετασχηματισμοί BRST περιέχουνπαραμέτρους που λαμβάνουν τις τιμές τους σε μια άλγεβρα Grassmann. Οι

μετασχηματισμοί BRST για τα πεδία της πλήρους δράσης SYM μπορούν να

βρεθούν ρυθμίζοντας τα ωα (βλέπε εξίσωση (5.7)) ώστε να ισούνται με cαξ, όπου ξείναι παράμετρος Grassmann. Κάτω από τους μετασχηματισμούς BRST, τα πεδίαπου εμφανίζονται στη LtotalSYM συμπεριφέρονται ως εξής:

uαµ → uαµ + (∂µca + gcαβγc

βAγµ) ξ,

λ → λ+ gcαλβfβαγT γ ξ

cα → cα − g

2fαβγcβcγ ξ,

cα → cα +Bα ξ,

Bα → Bα.

Κάτω από αυτούς τους μετασχηματισμούς, η δράση είναι πράγματι αναλλοίωτη.Δεδομένου ότι η επίδραση ενός μετασχηματισμού BRST στα πεδία βαθμίδος καιύλης είναι αυτή ενός μετασχηματισμού βαθμίδος (με παραμέτρους anticommutingωα → cαξ), όλα τα άλλα μέρη της δράσης, που είναι αναλλοίωτα κάτω απόμετασχηματισμούς βαθμίδος, θα είναι αυτόματα επίσης αναλλοίωτα κάτω απόμετασχηματισμούς BRST.

Βάσει γενικών θεωρημάτων επανακανονικοποίησης, οι τελεστές που

ενδεχομένως θα αναμειχθούν με τον OGg είναι τελεστές που είναι αναλλοίωτοικάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος και μερικοί άλλοι που χωρίζονται σε τρεις

κατηγορίες. Οι τελεστές Class A προκύπτουν από τη μεταβολή BRST άλλωντελεστών. Οι τελεστές Class B, μηδενίζονται από τις εξισώσεις κίνησης. Τέλος, οιτελεστές Class C είναι τελεστές που δεν ανήκουν στις πιο πάνω κατηγορίες.

Διερευνώντας ποιοι συγκεκριμένοι τελεστές των παραπάνω τριών τάξεων θα

αναμειχθούν ενδεχομένως με OGg, θα ξεκινήσουμε με τους τελεστές που είναιαναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος. Στην περίπτωσή μας, δενυπάρχουν άλλοι τελεστές που φέρουν τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς με τον

τελεστή Gluino – Glue και που να είναι αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούςβαθμίδος στη θεωρία SYM. Για τους τελεστές Class A, θα ξεκινήσουμε από το


μετασχηματισμό BRST των τελεστών που περιέχουν έναν ανοιχτό σπινοριακόδείκτη. Αυτός ο δείκτης περιέχεται αναγκαστικά σε ένα πεδίο gluino και,ταυτόχρονα, επιβάλλει την παρουσία ενός πεδίου c ή c ώστε να βρεθεί μια μεταβολήBRST που οδηγεί σε ένα φερμιονικό τελεστή με διαστάσεις μικρότερες ή ίσες του7/2. Σημειώνουμε ότι οι τελεστές πρέπει να μην έχουν ελεύθερους χρωματικούςδείκτες. Επίσης, δεν μπορούν να περιέχουν άλλα πεδία, επειδή τότε οι διαστάσειςθα είναι πολύ υψηλές. Προκύπτουν έτσι δύο υποψήφιοι τελεστές, από τις εξήςμεταβολές BRST:

OA1 = δBRST (λαcα) = λαBα + gfαβγcβλγ cα (5.11)

δBRST (λαcα) = fαβγcαcβλγ (5.12)

Οι τελεστές που περιέχουν διαφορετικό αριθμό πεδίων ghost απ’ ότι antighostδεν μπορούν να κάνουν μίξη με τον τελεστή OGg, αφού ο OGg έχει ghost numberίσο με μηδέν. Καταλήγουμε ότι ο πρώτος τελεστής, OA1, είναι αποδεκτός. Αυτός οτελεστής είναι ασήμαντος αν κάποιος ενδιαφέρεται για φυσικές εξωτερικές

καταστάσεις με εγκάρσια πόλωση. Ο δεύτερος όρος του OA1, θα εμφανιστεί επίσηςστους τελεστές Class C: OC4 = gfαβγcβλγ cα. Για να βρούμε τον συντελεστήμίξης για τον OC4, πρέπει να υπολογίσουμε συναρτήσεις Green τριών σημείων (μεεξωτερικά πεδία gluino – ghost – antighost).

Για τους τελεστές Class B ελέγχουμε τις εξισώσεις κίνησης για τα πεδία τωνgluino και γκλουονίου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι τελεστές πρέπει να έχουν

μηδενικό ghost number και δεδομένου ότι η εξίσωση κίνησης για το γκλουόνιο έχειήδη διαστατικότητα 3, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι εμφανίζονται μόνο οιεξισώσεις κίνησης για το πεδίο gluino. Αυτός ο τελεστής πρέπει επίσης να μην έχειελεύθερους χρωματικούς δείκτες, οπότε τον πολλαπλασιάζουμε με έναν παράγονταuαµγµ. Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε με το λα αλλά έτσι θα κατασκευάζαμεέναν τελεστή αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος με διαστατικότητα

4. Καταλήγουμε συνεπώς σε ένα μόνο τελεστή Class B: OB1 = trc(/u 6Dλ). Οιτελεστές Class B θα έχουν μηδενικά στοιχεία πίνακα με φυσικές καταστάσεις on –shell. Οι τελεστές Class C δεν είναι αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούςβαθμίδος, ούτε μεταβολές BRST ή τελεστές που μηδενίζονται από τις εξισώσειςκίνησης αλλά ικανοποιούν όλες τις απαιτήσεις που αναφέρονται στην εισαγωγή

αυτού του κεφαλαίου.


Παρουσιάζουμε όλους τους υποψήφιους τελεστές οι οποίοι μπορούν να κάνουν

μίξη με τον τελεστή OGg:

OA1 = trc(λB)− ig trc(λ[c, c]) (5.13)

OB1 = trc(/u 6Dλ) (5.14)

OC1 = trc(∂µλuµ) (5.15)

OC2 = trc(/uλ) (5.16)

OC3 = ig σµνtrc(λ[uµ, uν ]) (5.17)

OC4 = ig trc(λ[c, c]) (5.18)

Στα πλαίσια της SQCD, υπάρχει μια πληθώρα περαιτέρω τελεστών πουαναμειγνύονται. ΄Ολοι αυτοί οι τελεστές μοιράζονται τους ίδιους κβαντικούς

αριθμούς. Είναι μονήρεις ως προς τη γεύση και έχουν βαρυονικό αριθμό ίσο μεμηδέν. Περιέχουν επίσης πεδία quarks και squarks.

Στη διαστατική ομαλοποίηση, στο σχήμα MS, μίξη δεν μπορεί να υπάρξει μετελεστές Class C. Στο πλέγμα όμως αναμένονται επιπρόσθετοι, πεπερασμένοισυντελεστές μίξης τόσο για τους τελεστές Class A και B, όσο και για Class C.Σημειώνουμε επίσης ότι ο τελεστής OC2 έχει χαμηλότερες διαστάσεις και έτσι δεν

κάνει μίξη με τον OGg στη διαστατική ομαλοποίηση. Ωστόσο εμφανίζεται στηπλεγματική ομαλοποίηση.

5.4 Διαδικασία υπολογισμού

Οι επανακανονικοποιήσεις των τελεστών στις εξισώσεις (5.13) μέχρι (5.18)υπολογίζονται κατασκευάζοντας ένα πίνακα μίξης 6 × 6, ο οποίος περιλαμβάνει ένααναλλοίωτο τελεστή κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος OGg, ένα αναλλοίωτοτελεστή κάτω από μετασχηματισμούς BRST OA1, ένα τελεστή που μηδενίζεται απότις εξισώσεις κίνησης OB1 και τους τελεστές OC1,OC2,OC3,OC4. Ο πίνακας μίξηςεκφράζει τους επανακανονικοποιημένους τελεστές ως συνάρτηση των μη –επανακανονικοποιημένων τελεστών. Στο σχήμα MS στο συνεχές ο πίνακας αυτός


είναι τριγωνικός κατά blocks:

ORGg

ORA1

ORB1

=

ZGg zA1 zB1

0 ZA1 zAB

0 0 ZB1

OBGg

OBA1

OBB1

(5.19)

Yπολογίζουμε την πρώτη σειρά του, δεδομένου ότι ενδιαφερόμαστε μόνο για τηνεπανακανονικοποίηση του τελεστή Gluino – Glue. ΄Ετσι, ο τελεστής ORGg σχετίζεταιμε τους αντίστοιχους απογυμνωμένους, μέσω της πιο κάτω σχέσης:

ORGg = ZGgOBGg+zA1OBA1 +zB1OBB1 +zC1OBC1 +zC2OBC2 +zC3OBC3 +zC4OBC4 (5.20)

όπου ο συντελεστής επανακανονικοποίησης ZGg = 1 + O(g2) και οι συντελεστές

μίξης zi = O(g2), θα πρέπει να δηλώνονται πιο σωστά ως ZX,Y , όπου X είναι ηομαλοποίηση και Y το σχήμα επανακανονικοποίησης. Ο δείκτης B ονοματίζει τιςαπογυμνωμένες και ο δείκτης R τις επανακανονικοποιημένες ποσότητες. ΄Εχουμεσυμπεριλάβει και τελεστές Class C λόγω του γεγονότος ότι, στο πλέγμα μπορεί ναέχουν μη – μηδενικούς συντελεστές μίξης. Από τον παραπάνω πίνακα, είναι σαφέςότι οι τελεστές Class B μπορούν να αναμιχθούν μόνο με τελεστές της κατηγορίαςτους. Εάν η μορφή του πίνακα επανακανονικοποίησης δεν ήταν τριγωνική, τότε οιεπανακανονικοποιημένοι τελεστές Class A και B θα ήταν μη μηδενικοί on – shell,παρόλο που οι απογυμνωμένοι τελεστές είναι μηδενικοί. Η τριγωνική μορφήεξασφαλίζει ότι για τα φυσικά στοιχεία πίνακα έχουμε:

ORGg = ZGgOBGg (5.21)

΄Ετσι, μπορεί κανείς να αγνοήσει τους τελεστές που δεν είναι αναλλοίωτοικάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος για φυσικές καταστάσεις. Από την άλλη, ανκάποιος υπολογίσει τη συνάρτηση Green στο πλέγμα, μπορεί να πάρει πεπερασμένεςσυνεισφορές που δεν μπορούν να αγνοηθούν ακόμη και στο σχήμα MS. Για ναυπολογίσουμε το συντελεστή επανακανονικοποίησης ενός βρόχου και τους

συντελεστές μίξης, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Green δύο σημείων ORGg μεεξωτερικά πεδία gluino/γκλουονίου (σχήμα 5.1).


Επιπλέον, οι συνθήκες επανακανονικοποίησης περιλαμβάνουν την

επανακανικοποίηση για το γκλουόνιο, gluino, ghost και της σταθεράς σύζευξης:

uRµ =√Zu u

Bµ , (5.22)

λR =√Zλ λ

B, (5.23)

cR =√Zc c

B, (5.24)

gR = Zg µ−ε gB, (5.25)

όπου µ είναι μια αυθαίρετη κλίμακα με διαστάσεις αντίστροφου μήκους. Για τουςυπολογισμούς ενός βρόχου, η διάκριση μεταξύ gR και µ−εgB δεν είναι απαραίτητη.Θα χρησιμοποιήσουμε απλά το σύμβολο g. Τα αποτελέσματά μας παρουσιάζονταιως συναρτήσεις του µ που είναι η ενεργειακή κλίμακα που σχετίζεται με το µ μέσω

της σχέσης2: µ = µ

√eγE/4π.

΄Ολα τα αποτελέσματά μας υπολογίζονται ως συναρτήσεις της σταθεράς

σύζευξης g, του αριθμού των χρωμάτων Nc, της παραμέτρου Gauge Fixing α, τηςπαραμέτρου clover csw και της εξωτερικής ορμής q. Πιο συγκεκριμένα,υπολογίζουμε τις συναρτήσεις Green δύο σημείων 〈uα1

ν (q1)OGg(x)λα2(q2)〉, γιατρεις επιλογές της εξωτερικής ορμής q1 και q2. Αυτό έγινε ώστε να διαχωριστεί ηδομή tree – level των τελεστών. Σαφώς, στο δεξί σκέλος της εξίσωσης (5.20)εμφανίζονται όλοι οι τελεστές που μπορούν ενδεχομένως να αναμιχθούν με τον

Gluino – Glue. Οι συναρτήσεις Green tree – level αυτών των τελεστών μίξηςεμφανίζονται φυσικά στα αποτελέσματα για τις συναρτήσεις Green ενός βρόχουORGg, επιτρέποντάς μας έτσι να προσδιορίσουμε τους αντίστοιχους συντελεστέςμίξης. Τα διαγράμματα Feynman ενός βρόχου (one-particle irreducible (1PI)) πουσυμβάλλουν στη συνάρτηση Green φαίνονται στο σχήμα 5.1. Τα διαγράμματα 2 και4 δεν εμφανίζονται στο συνεχές, υπάρχουν όμως στο πλέγμα όπου τόσο η δράσηόσο και ο τελεστής περιέχουν όρους με οσοδήποτε μεγάλο αριθμό γκλουονίων.

Για τη συνάρτηση Green γκλουνίου – gluino έχουμε:

〈uRν ORGg λR〉amp = Z1/2λ Z1/2

u ZGg〈uBν OBGg λB〉amp+ zA1〈uBν OBA1 λ

B〉treeamp + zB1〈uBν OBB1 λB〉treeamp

+ zC1〈uBν OBC1 λB〉treeamp + zC2〈uBν OBC2 λ

B〉treeamp +O(g4) (5.26)

2γE είναι η σταθερά Euler και ισούται με γE = 0.57721.


Σχήμα 5.1: Διαγράμματα Feynman ενός βρόχου που συνεισφέρουν στησυνάρτηση Green δύο σημείων του τελεστή Gluino – Glue, 〈uνOGgλ〉 . Η

κυματιστή (διακεκομμένη) γραμμή αναπαριστά γκλουόνια (gluinos).

Μερικά σχόλια φαίνονται πιο κάτω:

1 Οι σταθερές επανακανονικοποίησης για το πεδίο gluino και το πεδίογκλουονίου, Zλ, Zu, δεν εξαρτώνται από τη γεύση στη θεωρία SYM,

2 Για να αποφύγουμε βαρύ συμβολισμό, έχουμε παραλείψει τα ορίσματασυντεταγμένων/ορμής στα λ, O, uν , καθώς και τους δείκτες Dirac στα〈uν O λ〉, κλπ.

΄Οπως έχει ήδη αναφερθεί, προκειμένου να επιβληθούν οι συνθήκες

επανακανονικοποίησης, χρειαζόμαστε τις εκφράσεις για τις συναρτήσεις Green tree– level των τελεστών. Συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις Green δύοσημείων, οι οποίες δεν μηδενίζονται:

〈ua1ν (q1)OGg(x) λa2(q2)〉treeamp =

1

2δa1a2iei(q1+q2)xσµρ(q1µδνρ − q1ρδµν)

= −1

2δa1a2iei(q1+q2)x(γν/q1 − q1ν) (5.27)

〈ua1ν (q1)OA1(x) λa2(q2)〉treeamp =

1

2δa1a2iei(q1+q2)xq1ν (5.28)

〈ua1ν (q1)OB1(x) λa2(q2)〉treeamp =

1

2δa1a2iei(q1+q2)x(γνγρ)q2ρ (5.29)

〈ua1ν (q1)OC1(x) λa2(q2)〉treeamp =

1

2δa1a2iei(q1+q2)xq2ν (5.30)

〈ua1ν (q1)OC2(x) λa2(q2)〉treeamp =

1

2δa1a2ei(q1+q2)xγν (5.31)


5.5 Διαστατική ομαλοποίηση

Επιλέγουμε διαστατική ομαλοποίηση για να υπολογίσουμε τις συναρτήσειςGreen δύοσημείων του OGg στο συνεχές. Η ομαλοποίηση αυτή είναι από τις πιο διαδεδομένεςστη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων και έχει ως αφετηρία την κατάστρωση της θεωρίας

σε d = 4 − 2ε διαστάσεις. Ωστόσο, δεδομένου ότι η εργασία σε έναν μη ακέραιοαριθμό διαστάσεων είναι αφηρημένη, πρέπει να είμαστε προσεκτικοί με τους ορισμούςμας για να αποφύγουμε ασυνέπειες.

Οι συμβάσεις μας για μετασχηματισμούς Fourier είναι:

uµ(q) =

∫d4x e−iq·x uµ(x), uµ(x) =

∫d4q

(2π)4eiq·x uµ(q) (5.32)

λ(q) =

∫d4x e−iq·x λ(x), λ(x) =

∫d4q

(2π)4eiq·x λ(q) (5.33)

c(q) =

∫d4x e−iq·x c(x), c(x) =

∫d4q

(2π)4eiq·x c(q) (5.34)

Τα διαγράμματα Feynman κατασκευάζονται με «κορυφές», που είναι οι όροι απότους οποίους απαρτίζονται οι τελεστές και το μη – τετραγωνικό μέρος της δράσης.Υπάρχουν συνολικά 4 κορυφές στο συνεχές για να κατασκευαστούν τα

διαγράμματα που φαίνονται στο σχήμα 5.1. Δύο από αυτές προέρχονται από τοντελεστή και οι άλλες δύο από τη δράση. Αντιστοίχιση των δεικτών των κορυφών(Dirac, χρώμα, Lorentz) με εκείνους των αντίστοιχων εξωτερικών πεδίωνυπονοείται. [kj υποδηλώνουν ορμή, αj(aj) είναι δείκτες χρώματος στην

προσαρτημένη (θεμελιώδη) αναπαράσταση. Τέλος ρ, σ, ν καθώς και µj (αναφέρεταιστα γκλουονικά πεδία) είναι δείκτες Lorentz].

Οι κορυφές του τελεστή, OGg, για gluino/γκλουόνιο και

gluino/γκλουόνιο/γκλουόνιο, φαίνονται πιο κάτω:

XOµ1(k1, k2) =

i

2δa1a2iei(k1+k2)xσρσ(k1ρδσµ1 − k1σδρµ1) (5.35)

XOµ1,µ2(k1, k2, k3) = −g

2fa1a2a3ei(k1+k2+k3)xσρνδρµ1δνµ2 (5.36)

Επιπρόσθετα, οι κορυφές που προέρχονται από τη δράση στο συνεχές, γιαgluino/antigluino/γκλουόνιο και τρία γκλουόνια, είναι:


XSµ1

=g

2(2π)4δ(k1 − k2 + k3)fa1a2a3γµ1 (5.37)

XSµ1,µ2,µ3

(k1, k2, k3) = −1

2ig(2π)4δ(k1 +k2 +k3)fa1a2a3δµ1µ2(−2k1µ3

+2k2µ3) (5.38)

Κοιτάζοντας τη συνάρτηση Green (5.26) πρέπει επίσης να γνωρίζουμε επίσης τιςποσότητες Zu και Zλ. Τα αποτελέσματα για τους συντελεστές

επανακανονικοποίησης DR στο σχήμα MS για το πεδίο gluino και γκλουονίου3

παρουσιάζονται για αυθαίρετες τιμές Nc και παραμέτρου β:

ZDR,MSu = 1− g2Nc

16π2

1

ε

(1 +

β

2

)(5.39)

ZDR,MSλ = 1 +

g2Nc

16π2

1

ε(1− β) (5.40)

Η συνολική έκφραση για όλες τις συναρτήσεις Green μπορεί να χωριστεί σε δύομέρη. ΄Ενα μέρος που περιέχει τους αποκλίνοντες (divergent) όρους (περιέχουνπόλους 1/ε) και ένα δεύτερο μέρος με πεπερασμένους όρους. Για να επιστρέψουμεστις τέσσερις διαστάσεις, πρέπει να μπορούμε να πάρουμε το όριο ε→ 0. Το σχήμαεπανακανονικοποίησης MS έχει οριστεί για να απαλείψει τους πόλους που

εμφανίζονται στις συναρτήσεις Green, χρησιμοποιώντας συντελεστές

επανακανονικοποίησης που περιέχουν αποκλειστικά όρους με πόλο, χωρίςπεπερασμένο μέρος. Χρήση των συντελεστών αυτών, σύμφωνα με τηνεξίσωση (5.26), οδηγεί στις επανακανονικοποιημένες συναρτήσεις Green στο σχήμαMS, οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή των αντίστοιχωνεπανακανονικοποιήσεων και συντελεστών μίξης στο πλέγμα. Σημειώνουμε ότι

αντίθετα, οι συνθήκες που απαιτούνται στο σχήμα RI ′ απαλείφουν το αποκλίνονμέρος, αλλά αλλάζουν και το πεπερασμένο μέρος.

Συγκεκριμένα, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Green δύο σημείων του τελεστήGluino – Glue για τις τρείς επιλογές ορμών: q2 = 0, q1 = 0, q2 = −q1. Στηδιαστατική ομαλοποίηση, οι αποκλίσεις προκύπτουν από τον πόλο 1/ε.Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι οι αποκλίνοντες όροι περιέχουν παράγοντες που

είναι ανάλογοι με τις εκφράσεις tree – level των αντίστοιχων συναρτήσεων Greenκαι έτσι καθορίζουμε τους συντελεστές επανακανονικοποίησης και μίξης. Κατά τον

3΄Εχουν υπολογιστεί στο [3].


υπολογισμό των συναρτήσεων Green, για την πρώτη επιλογή ορμής, βρίσκουμε:

〈ua1ν (q1)OGg λa2(q2)〉amp

∣∣DRq2=0

= −δa1a2ieiq1x(γν/q1 − q1ν) +g2Nc

16π2

1

2δa1 a2eiq1x

×[i(γν/q1 − q1ν)

(−12− 3β

2ε− 6− β +

β2

2− 12− 3β

2log

(µ2

q21

))](5.41)

Η έκφραση αυτή είναι ανάλογη του τιμής του tree – level τουOGg και έτσι δεν υπάρχειμίξη με OA1, zDR,MS

A1 = 0. Ο προσδιορισμός του ZGg στο σχήμα MS, το οποίο θαπρέπει να μην εξαρτάται από τη βαθμίδα, μπορεί να επιτευχθεί με την επιβολή τωνσυνθηκών επανακανονικοποίησης της εξίσωσης (5.26), και απαιτώντας το αριστερόμέλος της εξίσωσης να είναι πεπερασμένο. ΄Οπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οσυντελεστής επανακανονικοποίησης μπορεί να περιέχει μόνο όρους πόλων πέρα από

το tree – level στο σχήμα MS:

ZDR,MSGg = 1− g2Nc

16π2

3

ε(5.42)

Για τη δεύτερη επιλογή ορμής, η συνάρτηση Green tree – level είναι η ακόλουθη:

〈ua1(q1)OGg λa2ν (q2)〉amp

∣∣DRq1=0

=g2Nc

16π2

1

2δa1 a2eiq2x

[− iq2ν − iγν/q2

(3

2ε+ 1 +

3

2log

(µ2

q22

))](5.43)

Οι όροι που περιέχουν πόλους στην πιο πάνω εξίσωση δίνουν αυτόματα το

συντελεστή μίξης του τελεστή OB1:

zDR,MSOB1

=g2Nc

16π2

3

2ε(5.44)

Ο όρος που είναι ανάλογος με τη συνάρτηση Green tree – level του τελεστή OC1

είναι πεπερασμένος και, συνεπώς, ο συντελεστής zDR,MSC1 μηδενίζεται αυτόματα.

Τώρα, στην περίπτωση του τελεστή χαμηλότερης διάστασης OC2 δεν αναμένεται να

εμφανιστεί μίξη στο συνεχές, πράγματι zDR,MSC2 = 0.


Η τελευταία επιλογή ορμής για τη συνάρτηση Green δύο σημείων αντιστοιχεί στηνεισαγωγή του τελεστή Gluino – Glue με μηδενική ορμή:


∣∣DRq2=−q1

= −δa1a2i(γν/q1 − q1ν) +g2Nc

16π2

1

2δa1 a2

×[(iγν/q1 − q1ν)

(− 7− 12− 3β

2ε+β2

2− 12− 3β

2log

(µ2

q21

))+ iγν/q1

(2 +

3

2ε+

3

2log

(µ2

q21

))](5.45)

Τελικά, για τη μίξη των υπόλοιπων τελεστών OC3, OC4 πρέπει να υπολογίσουμε

τις συναρτήσεις Green τριών σημείων και να δούμε αν οι αντίστοιχοι πόλοι είναιανάλογοι των δομών tree – level που αντιστοιχούν στους OC3 και OC4.

5.6 Πλεγματική ομαλοποίηση

Στο υποκεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη μελέτη του τελεστή Gluino –Glue στο πλέγμα. Ο OGg στο πλέγμα ορίζεται ως εξής:

OGg = σµνtrc( Fµνλ) (5.46)

όπου:

Fµν =1

8(Qµν −Qνµ)

Qµν = Ux,x+µUx+µ,x+µ+νUx+µ+ν,x+νUx+ν,x

+ Ux,x+νUx+ν,x+ν−µUx+ν−µ,x−µUx−µ,x

+ Ux,x−µUx−µ,x−µ−νUx−µ−ν,x−νUx−ν,x

+ Ux,x−νUx−ν,x−ν+µUx−ν+µ,x+µUx+µ,x

(5.47)

Σκοπός αυτού του υποκεφαλαίου είναι να παρουσιάσει συνοπτικά τα

αποτελέσματα που αφορούν τους συντελεστές επανακανονικοποίησης και μίξης του

Gluino – Glue στο πλέγμα καθώς επίσης τις αντίστοιχες συναρτήσεις Green tree –level.


Πιο κάτω φαίνονται οι διαδότες σε επίπεδο tree – level των gluino, γκλουονίου καιghost:

Gluon Propagator :1

q2

(δµν − (1− α)

qµqνq2

), qµ =

2

asin

aqµ2, q2 =

∑µ

q2µ

Ghost Propagator :1

q2

Gluino Propagator :2

i /q + 2ra

∑µ sin2(aqµ/2)

(5.48)

Τα αποτελέσματα των υπολογισμών που αφορούν τους συντελεστές

επανακανονικοποίησης για το γκλουόνιο και το gluino φαίνονται στις πιο κάτωεκφράσεις:

ZL,MSλ = 1− g2Nc

16 π2

(12.8524 + 3.79201β − 5.58907 c2

sw

−4.49774 csw r + (1 + β) log(a2 µ2)

)(5.49)

ZL,MSu = 1 +

g2Nc

16 π2

[19.7392

1

N2c

− 17.1775− 1.38629β + 18.8508 c2sw

−1.59389 csw r + (1 +β

2) log(a2 µ2)

)(5.50)

Η συνάρτηση Green δύο σημείων (q2 = 0) δίνει την επανακανονικοποίηση για τοντελεστή Gluino – Glue, αφού είναι ανάλογη με τη συνάρτηση Green tree – level τουOGg:


∣∣Lq2=0

=g2Nc

16π2

1

2δa1 a2 i (γν/q1 − q1ν)

(−39.4784

N2c

+ 27.5552 + 4.1783β

+1

2β2 − 4.60023csw

2 − 12.8568csw r + 6 log(q21)− 3β

2log(q2

1)

)(5.51)

Ο προσδιορισμός του συντελεστή επανακανονικοποίησης μπορεί να βρεθεί

επιβάλλοντας τη συνθήκη που φαίνεται στην εξίσωση (5.26), όπου το αριστερό


μέλος είναι αυτό που υπολογίσαμε στη διαστατική ομαλοποίηση (εξίσωση (5.41)χωρίς τους πόλους):

ZL,MSGg = 1− g2Nc

16π2

(9.8696

N2c

− 1.76261− 9.9198 c2sw + 4.97646 csw r − 3 log(a2 µ2)

)(5.52)

Η συνθήκη της εξίσωσης (5.26) δίνει επίσης το συντελεστή μίξης με τον τελεστήOB1. Συγκρίνουμε τους πεπερασμένους όρους της εξίσωσης (5.43) με την πιο κάτωσυνάρτηση Green στο πλέγμα:


∣∣Lq1=0

=g2Nc

16π2

1

2δa1 a2

[− iq2ν + iγν/q2

(1.42407− 3

2log(q2

2)

)](5.53)

Βρίσκουμε ότι ο συντελεστής μίξης με τον τελεστή OB1 είναι ο εξής:

zL,MSB1 =

g2Nc

16π2

(− 0.42407 +

3

2log(a2 µ2)

)(5.54)

΄Ενας άμεσος τρόπος ελέγχου των αποτελεσμάτων μας είναι η εξαγωγή της

επανακανονικοποιημένης συνάρτησης Green στο MS, στην περίπτωση q2 = −q1,που είναι ήδη γνωστή από τους υπολογισμούς στο συνεχές και που φαίνεται στην

εξίσωση (5.45). Αυτό μπορεί να φανεί εύκολα αντικαθιστώντας τα ZL,MSGg και zL,MS

B1

στη συνθήκη (5.26) και χρησιμοποιώντας την πιο κάτω εξίσωση:


∣∣Lq2=−q1

=g2Nc

16π2

1

2δa1 a2

[i(γν/q1 − q1ν)

(−39.4784

N2c

+ 26.5552

+ 5.17831β + 0.5β2 − 4.60023 csw2 − 12.8568 csw r

+ 6 log(a2 q21)− 3β

2log(a2 q2

1)

)+ iγν/q1

(2.42407− 3

2log(a2 q2

1)

)](5.55)

Για όλους τους άλλους τελεστές που έχουν μη μηδενικές συναρτήσεις Green tree –level με εξωτερικά πεδία γκλουονίου και gluino, οι συντελεστές μίξης zL,MS

A1 , zL,MSC1

και zL,MSC2 μηδενίζονται αυτόματα.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας, παρουσιάστηκε μια λεπτομερής μελέτηγια τον τελεστή Gluino – Glue. Η επανακανονικοποίηση του τελεστή αυτού, είναιπολύ σημαντική ως ένα απαραίτητο βήμα για να εξάγουμε το φάσμα «χαμηλών»δέσμιων καταστάσεων από αριθμητικές προσομοιώσεις. Υπολογίστηκαν οι

συντελεστές μίξης του υπό μελέτη τελεστή με άλλους τελεστές καθώς επίσης και ο

συντελεστής επανακανονικοποίησης. Η επανακανονικοποίηση του τελεστή Gluino– Glue είναι απαραίτητη για τη σωστή ερμηνεία και το χειρισμό των συναρτήσεωνGreen, υπολογισμένων μέσω αριθμητικών προσομοιώσεων σε θεωρίες Yang –Mills. Κλείνοντας, παραθέτονται κάποιες πιθανές μελλοντικές προεκτάσεις τηςεργασίας. Ο υπολογισμός συναρτήσεων Green τριών σημείων για τον τελεστή OGgκαθώς επίσης και για τους τελεστές OC3 και OC4 είναι μια μελλοντική προέκταση

με την οποία θα μπορούν να προσδιοριστούν οι συντελεστές μίξης των OC3 και

OC4 με τον OGg (δεν μπορεί να γίνει αυτό με τις συναρτήσεις Green δύο σημείωναφού η δομή tree – level για αυτούς μηδενίζεται). Μια άλλη μελλοντική προέκτασηθα ήταν επίσης η συγκριτική μελέτη συναρτήσεων Green του φερμιονικού Gluino –Glue σωματιδίου με αυτές των μποζονικών glueballs και μεσονικών gluinoballs απότη στιγμή που το σωματίδιο Gluino – Glue και τα gluinoballs αναμένεται νααποτελούν τους υπεσυμμετρικούς συντρόφους του glueball. Είναι σημαντικό, έτσι,να επαληθευτεί ότι τα σωματίδια αυτά έχουν την ίδια μάζα, μέσω προσομοιώσεων.Μελλοντικά, θα ήταν επίσης ενδιαφέρουσα η επανακανονικοποίηση του

υπερσυμμετρικού ρεύματος Noether (supercurrent) στα πλαίσια της

Υπερσυμμετρικής Θεωρίας SYM. Η επανακανονικοποίηση του supercurrent και ηπιθανή μίξη του απαιτούν επίσης τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green, μεεξωτερικά γκλουόνια και gluinos. Τέλος, θα μπορούσε να γίνει μια εκτενήςδιαταρακτική μελέτη του τελεστή Gluino – Glue και του supercurrent στηνΥπερσυμμετρική Θεωρία QCD (SQCD). Οι τελεστές αυτοί στην SQCD εμφανίζουνπολύπλοκα μεικτά patterns κάτω από επανακανονικοποίηση, περιλαμβάνονταςεπίσης και πεδία quark και squark. Ο υπολογισμός των συντελεστών μίξης

διαταρακτικά θα αποτελούσε ένα απαραίτητο βήμα για την εξαγωγή των

αντίστοιχων κανονικοποιημένων συναρτήσεων Green από προσομοιώσεις MonteCarlo.

142

Παράρτημα A

Υπολογισμός μέσων τιμών

πολυωνύμων με γκαουσιανό

βάρος

A.1 Μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών

μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος

Ο υπολογισμός γκαουσιανών συναρτησιακών ολοκληρωμάτων χρησιμοποιείται

ώστε να βρεθεί η μέση τιμή πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος. Η πιο κάτω

έκφραση δείχνει τη μορφή που έχει ένα γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα με

πεπερασμένο αριθμό από πραγματικές μεταβλητές ολοκλήρωσης:

I(K) =

∫ N∏i=1

dxi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm

)(A.1)

όπου K είναι ένας συμμετρικός πίνακας N×N με ιδιοτιμές λi τέτοιες ώστε Re(λi) ≥0, λi 6= 0. Κάτω από μια αλλαγή μεταβλητών, με Jacobian J = 1, ο πίνακαςK μπορείνα καταστεί διαγώνιος, οπότε επιζούν μόνο τα στοιχεία που φέρουν τον ίδιο δείκτη.

143

Παράρτημα A. Υπολογισμός μέσων τιμών πολυωνύμων με γκαουσιανό βάρος 144

Επομένως:

I(K) =

∫ N∏i=1

dxi

N∏n=1

exp

(− 1

2Knnx

2n

)=

N∏i=1

[ ∫dxi exp

(− 1

2Kiix

2i

)]

= (2π)N/2( N∏

i=1

Kii

)−1/2

= (2π)N/2(detK)−1/2 (A.2)

Οι μέσες τιμές πολυωνύμων με γκαουσιανό βάρος μπορούν να προκύψουν από

ένα γενικευμένο γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα που ονομάζεται

συναρτησιακός γεννήτορας γκαουσιανού τύπου και ο οποίος ορίζεται ως εξής:

Z(K, J) =

∫ N∏i=1

dxi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm +N∑n=1

Jnxn

)(A.3)

όπου J είναι ένα διάνυσμα N συνιστωσών, το οποίο ονομάζεται εξωτερική πηγή. Ημέθοδος που ακολουθείται για την επίλυση του ολοκληρώματος αυτού απαιτεί την

εύρεση του ελαχίστου της ολοκληρωτέας συνάρτησης. ΄Αρα:

d

dxk

( N∑n,m=1

xnKnmxm −N∑n=1

Jnxn

)= 0

Η λύση της πιο πάνω εξίσωσης είναι xi (min) =∑N

j=1(K−1)ij Jj. Εκτελώντας τηνεξής αλλαγή μεταβλητών:

xi =N∑j=1

(K−1)ij Jj + yi (A.4)

το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε:

Z(K, J) = exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∫ N∏i=1

dyi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

ynKnmym

)

= exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)I(K)

= (2π)N/2(detK)−1/2 exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)(A.5)


Η μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος

ορίζεται ως:

〈xk1xk2 · · ·xk`〉 ≡ N∫ ( N∏

i=1

dxi

)[xk1xk2 · · ·xk` ] exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm

)(A.6)

όπου N = 1/I(K) είναι η σταθερά κανονικοποίησης έτσι ώστε 〈1〉 = 1. Ουπολογισμός της πιο πάνω έκφρασης μπορεί να προκύψει από την αλλεπάλληλη

παραγώγιση του συναρτησιακού γεννήτορα ως προς τις μεταβλητές Ji. Πράγματι,παραγωγίζοντας μια φορά ως προς κάποιο Jk:

∂

∂JkZ(K, J) =

∫ ( N∏i=1

dxi

)xk exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm +N∑n=1

Jnxn

)

Συνεπώς, με επαναλαμβανόμενη παραγώγιση ως προς τις μεταβλητές Ji, προκύπτειη ακόλουθη σχέση:

〈xk1 · · ·xk`〉 = N ∂

∂Jk1

· · · ∂

∂Jk`Z(K, J)

∣∣J=0

=∂

∂Jk1

· · · ∂

∂Jk`exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∣∣J=0

(A.7)

H σχέση αυτή οδηγεί στο θεώρημα του Wick. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, κάθεζεύγος δεικτών kpkq από τους k1, · · · , k` (` πρέπει να είναι άρτιος, διότι ησυνάρτηση συσχέτισης δίνει 0 αν ` είναι περιττός) του πολυωνύμου xk1 · · ·xk`συσχετίζεται με το στοιχείο πίνακα (K−1)kpkq . Λαμβάνοντας υπόψη όλους τουςδυνατούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να συνδυάσουμε όλους τους δείκτες

k1, · · · , k` σε ζεύγη, η μέση τιμή του πολυωνύμου xk1 · · ·xk` με το γκαουσιανό

βάρος exp

(− 1

2

∑Nn,m=1 xnKnmxm

)θα ισούται τελικά με:

〈xk1 · · ·xk`〉 =∑

όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί

όλων των δεικτών k1, · · · , k`σε ζεύγη

K−1kp1kp2

· · ·K−1kp`−1

kp`(A.8)


A.2 Μέση τιμή μιγαδικού πολυωνύμου

μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό

βάρος

Κάποιες θεωρίες πεδίου που έχουμε ήδη συζητήσει περιέχουν φερμιονικά

πεδία. Στις θεωρίες αυτές, οι συναρτήσεις συσχέτισης (ή συναρτήσεις Green) τωνφερμιονικών πεδίων αναμένουμε να είναι αντισυμμετρικές ως προς την ανταλλαγή

δύο ορισμάτων τους. Επιδιώκοντας να κατασκευάσουμε συναρτησιακό γεννήτορατέτοιων συναρτήσεων συσχέτισης, θα πρέπει να εισαγάγουμε μεταβλητές πουαντιμετατίθενται μεταξύ τους. Οι μεταβλητές αυτές, οι οποίες ονομάζονταιμεταβλητές Grassmann, έχουν εντελώς διαφορετική άλγεβρα από τις συνηθισμένεςμεταβλητές και για το λόγο αυτό χρειάζεται να ορίσουμε την παραγώγιση και την

ολοκλήρωση τέτοιων μεταβλητών.

΄Αλγεβρα Grassmann ορίζεται ο γραμμικός χώρος A (με πραγματικούς ήμιγαδικούς συντελεστές) ο οποίος προκύπτει από ένα σετ γεννητόρων θi που

ικανοποιούν την αντιμεταθετική σχέση:

θi, θj = θiθj + θjθi = 0, ∀i, j (A.9)

Ο ορισμός αυτός επιφέρει τη σχέση θ2i = 0, η οποία επιτρέπει μόνο τη δημιουργία

συναρτήσεων μέχρι πρώτου βαθμού ως προς θi. Επίσης, αρνητικές δυνάμεις των θiδεν μπορούν να υπάρξουν διότι στην άλγεβρα αυτή δεν μπορεί να οριστεί αντίστροφος

αριθμός Grassmann θinvi του θi τέτοιος ώστε θinvi θi = θiθ

invi = 1, εξαιτίας της πιο

πάνω αντιμεταθετικής σχέσης.

Το parity στην άλγεβρα Grassmann ορίζεται ως:

P (θi) = −θi (A.10)

Γενικεύοντας, όταν το parity δράσει σε πολυώνυμο με ` μεταβλητές Grassmann,τότε:

P (θi1 · · · θi`) = (−1)` θi1 · · · θi` (A.11)

Με τους ορισμούς αυτούς, συμπεραίνουμε ότι το parity μοιράζει τον χώρο A σε δύουποχώρους: τον υποχώρο A+

με θετικό parity, στον οποίο ισχύουν μεταθετικές


σχέσεις των στοιχείων του και τον υποχώρο A− με αρνητικό parity, στον οποίοισχύουν αντιμεταθετικές σχέσεις των στοιχείων του.

Τώρα, μπορούμε να ορίσουμε και την παραγώγιση ως προς μεταβλητέςGrassmann. Οι κανόνες παραγώγισης είναι οι ακόλουθοι:

1. Υπάρχουν δύο είδη παραγώγων. Υπάρχει η αριστερή παράγωγος ∂/∂θi, η οποίαδρα στα στοιχεία που βρίσκονται στα δεξιά της και η δεξιά παράγωγος

←−∂ /∂θi, η

οποία δρα στα στοιχεία που βρίσκονται στα αριστερά της, όπως φαίνεται παρακάτω:

∂

∂θiθj = δij (A.12)

θj

←−∂

∂θi= δij (A.13)

Ο λόγος που υπάρχουν και οι δύο αυτές παράγωγοι είναι οι αντιμεταθετικές

σχέσεις των θi που επιτρέπουν στις δύο παραγώγους να μην ισούνται σε κάποιες

περιπτώσεις. Επειδή η παράγωγος πάντα δρα στο δίπλα της στοιχείο, τότε για ναπαραγωγιστεί το κάθε στοιχείο μιας συνάρτησης πρέπει να μεταφερθεί δίπλα από

την παράγωγο μέσω των μεταθετικών ή αντιμεταθετικών σχέσεων που ικανοποιεί

με τα άλλα στοιχεία της συνάρτησης. Στις συνηθισμένες μεταβλητές, τα στοιχείαμιας συνάρτησης ικανοποιούν πάντα μεταθετικές σχέσεις και ως εκ τούτου τα δύο

είδη παραγώγων θα ισούνται πάντοτε. ΄Αρα, δεν υπάρχει λόγος χρησιμοποίησης καιτων δύο ειδών παραγώγων στις συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών. Αντίθετα,στις μεταβλητές Grassmann, όπως είδαμε και πιο πάνω υπάρχουν δύο υποχώροιπου ικανοποιούν ο ένας μεταθετικές και ο άλλος αντιμεταθετικές σχέσεις.Συνεπώς, στην παραγώγιση τέτοιων συναρτήσεων παίζει σημαντικό ρόλο ποια είναιη σειρά των μεταβλητών με την οποία είναι γραμμένος ο κάθε όρος της συνάρτησης,καθώς θα δώσει διαφορετικά αποτελέσματα. Αντίστοιχα, για τον ίδιο ακριβώςλόγο, παίζει σημαντικό ρόλο και ποιο είδος παραγώγου χρησιμοποιούμε (αριστερή ήδεξιά). Για παράδειγμα:

∂

∂θi(θiθj) = θj

(θiθj)

←−∂

∂θi= (−θjθi)

←−∂

∂θi= −θj


2. ΄Εστω f(θ) και g(θ) συναρτήσεις των μεταβλητών Grassmann θi, τότε ο κανόναςπαραγώγισης αθροίσματος θα είναι:

∂

∂θi

(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)= λ1

∂

∂θif(θ) + λ2

∂

∂θig(θ) (A.14)

(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)←−∂∂θi

= λ1f(θ)

←−∂

∂θi+ λ2g(θ)

←−∂

∂θi(A.15)

όπου λ1, λ2 ∈ R ή C. Επίσης, ο κανόνας παραγώγισης γινομένου θα είναι:

∂

∂θi

(f(θ)g(θ)

)=

(∂

∂θif(θ)

)g(θ) + P

(f(θ)

) ∂∂θi

g(θ) (A.16)

(f(θ)g(θ)

)←−∂∂θi

= f(θ)

←−∂

∂θiP(g(θ)

)+ f(θ)

(g(θ)

←−∂

∂θi

)(A.17)

Στη συνέχεια, ορίζουμε την ολοκλήρωση ως προς μεταβλητές Grassmann. Ηολοκλήρωση ως προς τέτοιες μεταβλητές είναι λιγο παράξενη, καθώς όπωςπροείπαμε οι συναρτήσεις της άλγεβρας αυτής περιλαμβάνουν όρους μόνο μέχρι

πρώτης τάξης ως προς θi κι επομένως το ολοκλήρωμα κάποιων συναρτήσεων, με τησυνηθισμένη του έννοια, δεν μπορεί να οριστεί. Αλλά, αυτό που μας ενδιαφέρει είναιο ορισμός του συναρτησιακού ολοκληρώματος ως προς μεταβλητές Grassmann, τοοποίο συναντούμε στην θεωρία φερμιονικών πεδίων, και άρα χρειαζόμαστε τονορισμό του αναλόγου

∫∞−∞ dx. ΄Αρα, στην περίπτωση αυτή, οι κανόνες

ολοκλήρωσης είναι οι ακόλουθοι:

1. Απουσία δέσμιων συνοριακών συνθηκών, το ολοκλήρωμα μιας ολικής παραγώγουμηδενίζεται: ∫

dθi∂

∂θif(θ) = 0 (A.18)

2. Το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος ως προς κάποια μεταβλητή είναι ανεξάρτητοτης μεταβλητής και άρα η παράγωγός του μηδενίζεται:

∂

∂θi

∫dθif(θ) = 0 (A.19)


3. ΄Ενας παράγοντας, του οποίου η παράγωγος μηδενίζεται, μπορεί να γραφεί έξωαπό το ολοκλήρωμα:∫

dθi(f(θ) c

)=

(∫dθif(θ)

)c, αν

∂

∂θic = 0 (A.20)

4. Ο κανόνας ολοκλήρωσης αθροίσματος είναι:∫dθi(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)= λ1

∫dθif(θ) + λ2

∫dθig(θ) (A.21)

5. Μια μετατόπιση της μεταβλητής ολοκλήρωσης πρέπει να δίνει το ίδιο αποτέλεσμαμε το αρχικό ολοκλήρωμα. Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε το ολοκλήρωμα μιαςσυνάρτησης με μία μόνο μεταβλητή Grassmann. Δηλαδή:∫

dθf(θ) =

∫dθ(a+ bθ)

όπου a ∈ A− και b ∈ A+, καθώς η συνάρτηση περιέχει όρους μέχρι πρώτης τάξηςως προς θ. Το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος θα εξαρτάται από τα a και bγραμμικά. Εκτελώντας την αλλαγή μεταβλητών θ → θ+ n, όπου n ∈ A−, απαιτούμετο αποτέλεσμα του ολοκληρώματος να μένει αναλλοίωτο. Συνεπώς, προκύπτει ηεξής ισότητα: ∫

dθ(a+ bθ) =

∫dθ((a+ bn) + bθ

)Αυτή η μετατόπιση της μεταβλητής ολοκλήρωσης άλλαξε τον σταθερό όρο της

ολοκληρωτέας συνάρτησης, αλλά άφησε αμετάβλητο τον γραμμικό όρο. Η μόνηγραμμική συνάρτηση των a και b που έχει αυτή την ιδιότητα είναι μια σταθερά

(συμβατικά επιλέγεται 1) επί το b. ΄Αρα, ορίζουμε:∫dθ(a+ bθ) = b (A.22)

Από την τελευταία σχέση, παρατηρούμε ότι b είναι η παράγωγος της (a+bθ) ως προς

θ. ΄Αρα, συμπεραίνουμε ότι παραγώγιση και ολοκλήρωση ταυτίζονται στην άλγεβραGrassmann. Πράγματι, η παράγωγος, όπως ορίζεται πιο πάνω, ικανοποιεί και τιςπέντε συνθήκες. Επομένως: ∫

dθif(θ) ≡ ∂

∂θif(θ) (A.23)


΄Εχοντας ορίσει την άλγεβρα των μεταβλητών Grassmann, είμαστε πλέον σεθέση να ορίσουμε και το γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα με μιγαδικές

μεταβλητές Grassmann. ΄Ενα γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα, λοιπόν, μεπεπερασμένο αριθμό από μιγαδικές μεταβλητές Grassmann ολοκλήρωσης έχει τηνεξής μορφή:

IG(K) =

∫ N∏i=1

dθidθi exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)(A.24)

όπου K είναι ένας πίνακας N×N . Αν διαγωνιοποιήσουμε τον K1τότε επιζούν μόνο

τα στοιχεία με ίδιο δείκτη. Επομένως:

IG(K) =

∫ N∏i=1

dθidθi

N∏n=1

exp

(− θnKnnθn

)=

N∏i=1

[ ∫dθidθi exp

(− θiKiiθi

)]

=N∏i=1

[∂

∂θi

∂

∂θiexp

(− θiKiiθi

)]

Το εκθετικό μπορεί να γραφεί ως σειρά Taylor, όπου οι όροι δεύτερης τάξης και άνω

ως προς θ και θ είναι μηδενικοί. ΄Αρα, exp

(− θiKiiθi

)= 1− θiKiiθi. Τότε:

IG(K) =N∏i=1

Kii = + detK (A.25)

O συναρτησιακός γεννήτορας γκαουσιανού τύπου για τη μέση τιμή γκαουσιανούπολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος, ορίζεται ως εξής:

ZG(K, J, J) =

∫ N∏i=1

dθidθi exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm +N∑n=1

Jnθn + θnJn

)(A.26)

όπου J και J είναι διανύσματα N συνιστωσών. Στη συνέχεια ακολουθούμε την ίδιαμέθοδο επίλυσης του ολοκληρώματος, με αυτήν στο παράρτημα Α1. ΄Ετσι,εκτελούνται οι εξής αλλαγές μεταβλητών:

θi =N∑j=1

(K−1)ij Jj + θ′i, θi =N∑j=1

Jj(K−1)ji + θ′i (A.27)

1μέσω μιας αλλαγής βάσης στις μεταβλητές θi με Jacobian J , και στις μεταβλητές θi με Jacobian

J−1.


Τότε το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε:

ZG(K, J, J) = exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∫ N∏i=1

dθ′idθ′i exp

(−

N∑n,m=1

θ′nKnmθ′m

)

= exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)IG(K) = (detK) exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)(A.28)

Η μέση τιμή του μιγαδικού πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος ορίζεται ως:

〈θk1 θq1 · · · θk` θq`〉 ≡ N∫ N∏

i=1

dθidθi[θk1 θq1 · · · θk` θq` ] exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)(A.29)

όπου N = 1/IG(K) είναι η σταθερά κανονικοποίησης. Ο υπολογισμός της πιο πάνωέκφρασης μπορεί να προκύψει από την αλεπάλληλη παραγώγιση του συναρτησιακού

γεννήτορα ως προς τις μεταβλητές Ji και Ji. Πράγματι, παραγωγίζοντας μια φοράως προς κάποιο Jq με τη χρήση αριστερής παραγώγου έχουμε:

∂

∂JqZG(K, J, J) =

∫ N∏i=1

dθidθi θq exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)

Αντίστοιχα, παραγωγίζοντας μια φορά ως προς κάποιο Jk με τη χρήση δεξιάς

παραγώγου έχουμε:

ZG(K, J, J)

←−∂

∂Jk=

∫ N∏i=1

dθidθi θk exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)

Συνεπώς, η επαναλαμβανόμενη παραγώγιση ως προς όλες τις μεταβλητές Ji και Ji,επιφέρουν την εξής σχέση:

〈θk1 θq1 · · · θk` θq`〉 = N[∂

∂Jq1· · · ∂

∂Jq`ZG(K, J, J)

←−∂

∂Jk1

· · ·←−∂

∂Jk`

]J=J=0

=

∂

∂Jq1· · · ∂

∂Jq`

[exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)] ←−∂

∂Jk1

· · ·←−∂

∂Jk`

J=J=0

(A.30)


H σχέση αυτή υπολογίζεται με το θεώρημα του Wick για φερμιόνια και θα ισούταιτελικά με:

〈θk1 θq1 · · · θk` θq`〉 =∑

όλες οι μεταθέσεις των δεικτών

k1, · · · , k` που γίνονταιζεύγη με τους q1, · · · , q`

εkp1 ···kp` K−1kp1q1· · ·K−1

kp`q`(A.31)

όπου:

εkp1 ···kp` =

+1, όταν ο αριθμός των εναλλαγών των δεικτών είναι άρτιος

−1, όταν ο αριθμός των εναλλαγών των δεικτών είναι περιττός

Παράρτημα B

Στροφή Wick από τον Minkowski

στον Ευκλείδειο χώρο

Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων παρουσιάζει μια στενή

σχέση με τη Στατιστική Μηχανική. Οι συναρτήσεις Green των πεδίων θυμίζουν τιςσυναρτήσεις συσχέτισης της Στατιστικής Μηχανικής, καθώς έχουν την ίδια γενικήδομή ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς όλες τις δυνατές διατάξεις ενός

εκθετικού στατιστικού βάρους. Γι’ αυτό άλλωστε για τον υπολογισμό τωνσυναρτησιακών διαδοτών, όπως είδαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια,δανειζόμαστε το κόλπο του υπολογισμού συναρτήσεων συσχέτισης της

Στατιστικής Μηχανικής, που πραγματοποιείται με την παραγώγιση ως προς κάποιαεξωτερική πηγή, όπως την πίεση ή το μαγνητικό πεδίο. ΄Ομως, στις συναρτήσειςσυσχέτισης της Στατιστικής Μηχανικής το στατιστικό βάρος είναι φθίνον

εκθετικό, ενώ στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων τοστατιστικό βάρος είναι μιγαδικό εκθετικό. Το γεγονός αυτό καθιστά αδιανόητη τηνπροσομοίωση μιας τέτοιας θεωρίας. Αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με την

κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών που θα μετατρέψει το μιγαδικό σε φθίνον εκθετικό.Η στροφή Wick, την οποία χρησιμοποιήσαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια, είναιμια μέθοδος που εκτελεί επιτυχώς την μετατροπή αυτή, μέσω της στροφής τουχρόνου στο μιγαδικό επίπεδο, ενώ μετατρέπει ταυτόχρονα τον τετραδιάστατοMinkowski χώρο σε τετραδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Σύμφωνα με αυτήν,εκτελούμε τον εξής μετασχηματισμό t = x0 → −ixE4 , όπου xE4 παίρνει πραγματικέςτιμές και αποτελεί την τέταρτη συνιστώσα του τετραδιανύσματος θέσης του

Ευκλείδειου χώρου (xE ≡ xEµ , όπου µ = 1, 2, 3, 4). Η στροφή Wick είναι πολύσημαντική διότι οι διαδότες στον τετραδιάστατο Ευκλείδειο χώρο δεν έχουν πόλους

153

Παράρτημα Β. Στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδειο χώρο 154

στον παρονομαστή αν η μάζα είναι μηδέν (αλλιώς έχουμε πόλο, αλλά μόνο γιαμηδενική ορμή, δηλαδή σε ένα σημείο μόνο, αντίθετα με το χώρο Minkowski, όπουοι παρονομαστές μηδενίζονται σε μια ολόκληρη επιφάνεια p2 − m2 = 0) και άρα ηολοκλήρωσή τους δε χρειάζεται να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο και μπορεί να γίνει

αριθμητικά. Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα προϋποθέτει διακριτοποίηση τουχωροχρόνου και δημιουργία πλέγματος, το οποίο στον Ευκλείδειο χώρο ξέρουμεπώς να το χειριστούμε. Επομένως, η στροφή Wick είναι απαραίτητη για τη μελέτητης Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων με συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

Η μετάβαση από τον Minkowski στον Ευκλείδειο χώρο, μέσω της στροφήςWick, επιφέρει τις εξής γενικές αλλαγές:

x0 = x0 → −ixE4 (B.1a)

xi = −xi → xEi (για i = 1,2,3) (B.1b)

∂0 = ∂0 → i∂E4 (B.1c)

∂i = −∂i → −∂Ei (για i = 1,2,3) (B.1d)∫d4x→ −i

∫d4xE (B.1e)

p0 = i∂0 → ipE4 = −∂E4 (B.1f)

pi = i∂i → −pEi = −i∂Ei (για i = 1,2,3) (B.1g)∫d4p→ −i

∫d4pE (B.1h)

Τώρα, για να επιτευχθεί η μετατροπή του μιγαδικού εκθετικού eiS σε φθίνον

εκθετικό e−SEκαι να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τα τεχνάσματα της

Στατιστικής Μηχανικής, χρησιμοποιούμε την παρακάτω σχέση:

iS = −SE (B.2)

Λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς (B.1) καθώς και τη σχέση (B.2),βρίσκουμε τις Ευκλείδειες δράσεις για τα διάφορα είδη πεδίων. Κατ’ αρχάς,ξεκινάμε από την παραγωγή της έκφρασης για την Ευκλείδεια δράση του πεδίου


Klein – Gordon. Θα χρειαστούμε, όμως, πρώτα και τους εξής μετασχηματισμούς:

φ(x) ≡ φ(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

φE(x) ≡ φ(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(B.3a)

=3∑

µ=0

∂µ∂µ → −E = −4∑

µ=1

∂Eµ ∂Eµ (B.3b)

Συνεπώς, η Ευκλείδεια δράση Klein – Gordon παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEK−G(φE) = −iSK−G(φ) =1

2

∫d4xEφE(x)(−E +m2)φE(x) (B.4)

Ακολούθως, για τον ορισμό της Ευκλείδειας δράσης Dirac θα χρειαστούμε επιπλέοντους εξής μετασχηματισμούς:

γµ, γν = 2gµν1

(για μ, ν= 0,1,2,3)→γEµ , γEν = 2δµν1

(για μ, ν= 1,2,3,4)(B.5a)

όπου gµν είναι η μετρική Minkowski ενώ δµν είναι η μετρική Ευκλείδη. Για να ισχύειη πιο πάνω σχέση, εκτελούμε τις ακόλουθες αλλαγές στους πίνακες Dirac:

γ0 → γE4 (B.5b)

γi → iγEi (για i= 1,2,3) (B.5c)

Αντίστοιχα, το πεδίο Dirac μετασχηματίζεται ως:

ψ(x) ≡ ψ(xµ)

(για μ=0,1,2,3)→

ψE(x) ≡ ψ(xEµ )

(για μ=1,2,3,4)(B.5d)

και το συζυγές πεδίο ως:

ψ(x) ≡ ψ(xµ) = ψ†(xµ)γ0 → ψE(x) ≡ ψ(xEµ ) = ψ†(xEµ )γE4 (B.5e)

Επομένως, η Ευκλείδεια δράση του φερμιονικού πεδίου παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEF (ψE, ψE) = −iSF (ψ, ψ) =

∫d4xEψE(x)(γEµ ∂

Eµ +m)ψE(x) (B.6)


Στη συνέχεια, για τον ορισμό της Ευκλείδειας φωτονικής δράσης χρειαζόμαστε τουςεξής ακόμη μετασχηματισμούς:

A0(x) = A0(x)→ iAE4 (x) (B.7a)

Ai(x) = −Ai(x)→ −AEi (x) (για i=1,2,3) (B.7b)

οι οποίοι μπορούν να γίνουν εύκολα αντιληπτοί στην απλή περίπτωση που το πεδίο

ισούται με Aµ(x) = ∂µΛ(x), το οποίο αποτελεί τη διάταξη που αντιστοιχεί στουςμετασχηματισμούς βαθμίδος του Aµ(x) = 0. Επιπρόσθετα, ισχύει:

FµνFµν

(για μ, ν=0,1,2,3)→

FEµνF

Eµν

(για μ, ν=1,2,3,4)(B.7c)

όπου FEµν = ∂Eµ A

Eν −∂Eν AEµ . ΄Αρα η φωτονική Ευκλείδεια δράση παίρνει την πιο κάτω

μορφή:

SEPH(AE) = −iSph(A) =1

4

∫d4xEFE

µνFEµν (B.8)

Επίσης, η Ευκλείδεια δράση της QED, σύμφωνα με το μετασχηματισμό τηςσυναλλοίωτης παραγώγου:

D0 → iDE4 (B.9a)

Di → DEi (για i=1,2,3) (B.9b)

ορίζεται ως:

SEQED(AE, ψE, ψE) = −iSQED(A,ψ, ψ)

=1

4

∫d4xEFE

µνFEµν +

∫d4xEψE(x)(γEµD

Eµ +m)ψE(x)

(B.10)

Κατ’ αντιστοιχία με τη φωτονική Ευκλείδεια δράση, ορίζεται και η γκλουονικήΕυκλείδεια δράση κάτω από τους εξής μετασχηματισμούς:

A0a(x) = A0a(x)→ iAa4

E(x) (B.11a)

Aia(x) = −Aia(x)→ −Aai

E(x) (για i=1,2,3) (B.11b)

FµνaF µνa

(για μ, ν=0,1,2,3)→

FµνaEFµν

aE

(για μ, ν=1,2,3,4)(B.11c)


όπου FµνaE = ∂Eµ A

aνE − ∂Eν A

aµE − gfabcA

bµEAcν

E. ΄Αρα η γκλουονική Ευκλείδειαδράση παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEG(AE) = −iSG(A) =1

4

∫d4xEFµν

aEFµνaE (B.12)

Επίσης, η Ευκλείδεια δράση της QCD, σύμφωνα με το μετασχηματισμό τηςσυναλλοίωτης παραγώγου, που είναι ο ίδιος με αυτόν του φωτονικού πεδίου τηςσχέσης (B.9), ορίζεται ως:

SEQCD(AE, ψE, ψE) = −iSQCD(A,ψ, ψ)

=1

4

8∑a=1

∫d4xEFµν

aEFµνaE+

6∑f=1

3∑a,b=1

4∑α,β=1

∫d4xE (ψaf )

Eα [(γEµ )αβ(DE

µ )ab +mf δαβ δab] (ψbf )

Eβ

(B.13)

Ακόμη, η Ευκλείδεια «Gauge Fixing» δράση, με τις παραπάνω αντικαταστάσειςγράφεται ως:

SEGF (AE) = −iSGF (A) =1

2α

∫d4xE

(∂Eµ A

Eµ (x)

)2 (B.14)

για την περίπτωση του φωτονικού πεδίου, ενώ αντίστοιχα για το γκλουονικό πεδίο:

SEGF (AE) = −iSGF (A) =1

2α

∫d4xE

(∂Eµ A

aµE(x)

)2 (B.15)

Τέλος, η Ευκλείδεια δράση «Faddeev – Popov», για την οποία ισχύει ο πιο κάτωμετασχηματισμός του ghost field:

c(x) ≡ c(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

cE(x) ≡ c(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(B.16a)

c(x) ≡ c(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

cE(x) ≡ c(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(B.16b)


παίρνει την εξής μορφή:

SEFP (AE, cE, cE) = −iSFP (A, c, c)

=

∫d4xE

[caE(x)

(δ(∂Eµ A

aµ

Λ(x)

δΛa(x)

)caE(x)

]=

∫d4xE

[caE(x)

(−[∂Eµ ∂

Eµ δ

ac + gfabc(∂Eµ A

bµ

E(x) + Abµ

E(x)∂Eµ

)])ccE(x)

](B.17)

Αφού ορίσαμε τις Ευκλείδειες δράσεις, σειρά έχουν οι Ευκλείδειοι διαδότες δύοσημείων. Με χρήση του μετασχηματισμού:

p2 = pµpµ → −pE2

= −pEµ pEµ (B.18)

ο Ευκλείδειος διαδότης Klein – Gordon παίρνει την κάτωθι μορφή:

DK−GE(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2 +m2eip

E(xE1 −xE2 ) (B.19)

όπου ο όρος iε δεν χρειάζεται πλεόν καθώς δεν εμφανίζεται πόλος στον

παρονομαστή. Αυτό ισχύει για όλες τις Ευκλείδειες δράσεις. Αντίστοιχα, οΕυκλείδειος φερμιονικός, φωτονικός και γκλουονικός διαδότης παίρνουν την πιοκάτω μορφή:

DFαβ

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

(−iγEµ pEµ +m)αβ

pE2 +m2eip

E(xE1 −xE2 ) (B.20)

DPHµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (B.21)

DGµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

δab

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (B.22)

Βιβλιογραφία

[1] J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields. Internationalseries in pure and applied physics, McGraw - Hill Book Company, 1965.

[2] Sajid Ali, Georg Bergner, Henning Gerber, Istvan Montvay, Gernot Münster,Stefano Piemonte and Philipp Scior, “Numerical results for the lightest boundstates inN=1 supersymmetric SU(3) Yang-Mills theory,” Phys. Rev. Lett. 122(2019) 221601 [arXiv: 1902.11127v1].

[3] M. Costa and H. Panagopoulos, “Supersymmetric QCD on the lattice:An Exploratory Study,” Phys. Rev. D 96 (2017) 034507 [arXiv:

1706.05222v1].

[4] M. Costa and H. Panagopoulos, “Supersymmetric QCD: Renormalization andMixing of Composite Operators,” Phys. Rev. D.99 (2019) 074512 [arXiv:

1812.06770v1].

[5] Sajid Ali, Georg Bergner, Henning Gerber, Istvan Montvay, Gernot Münster,Stefano Piemonte and Philipp Scior, “Analysis of Ward identities insupersymmetric Yang-Mills theory,” Eur. Phys. J C 78 (2018) 404 [arXiv:

1802.07067v1].

[6] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory.Westview Press Reading (Mass.), 1995.

[7] H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories. An Introduction. World ScientificLecture Notes in Physics, World Scientific, 3rd ed., 2005.

[8] J. Wess and J. Bagger, Supersymmetry and Supergravity. Princeton UniversityPress, 1992.

[9] J. C. Collins, Renormalization. Cambridge University Press, 1984.

159

Βιβλιογραφία 160

[10] J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena. ClarendonPress, 3rd ed., 1996.

[11] M. Kaku, Quantum Field Theory. A Modern Introduction. Oxford UniversityPress, 1993.

[12] J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics. Internationalseries in pure and applied physics, McGraw - Hill Book Company, 1964.

[13] J. Giedt, “Progress in four-dimensional lattice supersymmetry,”Int.J.Mod.Phys. A24 (2009) 4045-4095, [arXiv: 0903.2443v1].

[14] C. Gattinger and C. Lang, Quantum Chromodynamics on the Lattice. AnIntroductory Presentation. Lecture Notes in Physics, Springer, 2010.

[15] S. Capitani, S. Durr and C. Hoelbling, “Rationale for UV-filtered cloverfermions,” JHEP 0611 (2006) 028 [arXiv: hep-lat/0607006].

[16] R. Horsley, H. Perlt, P.E.L. Rakow, G. Schierholz and A. Schiller, “One - looprenormalisation of quark bilinears for overlap fermions with improved gaugeactions,” Nucl. Phys. B693 (2004) 3, Erratum-ibid. B713 (2005) 601.

[17] S. Caracciolo, P. Menotti and A. Pelissetto, “One-loop analytic computationof the energy-momentum tensor for lattice gauge theories,” Nucl. Phys. B375(1992) 195-239.

[18] H. Kawai, R. Nakayama and K. Seo, “Comparison of the Lattice Λ parameterwith the continuum Λ parameter in massless QCD,” Nucl. Phys. B189 (1981)40.

[19] Robert D.C. Miller, “Supersymmetric gauge fixing and the effective potential,”Phys. Lett. B129 (1983) 72.

[20] R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics, and All That.Princeton University Press, 2001.

[21] Chetyrkin, K.G. and Tkachov, F.V., “Integration by parts: the algorithm tocalculate β-functions in 4 loops,” Nucl. Phys. B192 (1981) 159, 1981.

· 2020. 6. 25. · PANEPISTHMIO KUPROU TMHMA FUSIKHS DIPLWMATIKH ERGASIA Epanakanonikopo—hsh...

Documents

Transcript of · 2020. 6. 25. · PANEPISTHMIO KUPROU TMHMA FUSIKHS DIPLWMATIKH ERGASIA Epanakanonikopo—hsh...