§2.1 Kinematik des Massenpunktes

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§2.1 Kinematik des Massenpunktes 1. Koordinatensysteme: r r = x y z Z x y MP Kartesische Koordinaten r r = r θ ϕ MP Kugel (Polar) Koordinaten θ ϕ r r r = ρ ϕ z MP Zylinder Koordina ten ϕ ρ z r r = x 0 y z 0 + v y t r r = ? ? ? r r = ? ? ? r r = ρ sin( ω t ) ρ cos( ω t ) z 0 r r = r 0 θ 0 ω t r r = ρ 0 ω t z 0 Bsp: Geradlin ige Bewegung || Y- Achse: Kreis um z-Achse: Schraube: r r = ρ sin( ωt ) ρ cos( ωt ) z 0 + v z t r r = ? ? ? r r = ρ 0 ω t z 0 + v z t r r Gaub 1 E1 WS14/15

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Kartesische Koordinaten. Kugel (Polar) Koordinaten. Zylinder Koordinaten. Z. MP. MP. MP. r. z. y. x. Bsp:. Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:. Kreis um z-Achse:. Schraube:. §2.1 Kinematik des Massenpunktes. 1. Koordinatensysteme:. Bsp.: Gleichförmige geradlinige Bewegung. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

§2.1 Kinematik des Massenpunktes1. Koordinatensysteme:

rr =

x

y

z

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

Z

x

y

MP

Kartesische Koordinaten

rr =

r

θ

ϕ

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

MP

Kugel (Polar) Koordinaten

θ

ϕ

r

rr =

ρ

ϕ

z

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

MP

Zylinder Koordinaten

ϕ

ρ

z

rr =

x0

y

z0

+ vy ⋅t

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

?

?

?

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

?

?

?

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

ρ ⋅sin(ω ⋅t)

ρ ⋅cos(ω ⋅t)

z0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

r0

θ0

ω ⋅t

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

ρ 0

ω ⋅t

z0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

Bsp:

Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:

Kreis um z-Achse:

Schraube:

rr =

ρ ⋅sin(ω ⋅t)

ρ ⋅cos(ω ⋅t)

z0 + vz ⋅t

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

?

?

?

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr =

ρ 0

ω ⋅t

z0 + vz ⋅t

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rr

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Page 2: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

rr (t) =

r v (t)dt∫

rv (t) =

r a (t)dt∫

Bahnkurve

Momentangeschwindigkeit tangential zur Bahnkurve

Beschleunigung

Bsp.: Gleichförmige geradlinige Bewegung

rv = const.

rr (t) =

r v dt∫

Bsp.: konstant beschleunigte Bewegung

ra = const.

rv (t) =

r a dt∫

rr (t) =

r a ⋅t +

r v 0dt∫

rr (t)

r r (t)

rv (t) =

r r (t)

rv (t)

x

z

y

ra (t) =

r v (t)

ra (t)

= r r (t)

= r

v ⋅t +r r 0

= r

a ⋅t +r v 0

=1

2r a ⋅t 2 +

r v 0 ⋅t +

r r 0

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Page 3: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Bsp.: Freier Fall

va =

0

0

−g

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟;

vv 0 =

0

0

0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟;

vr 0 =

0

0

h

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

=>z(t)=−12

⋅ g⋅ t2 +h

vz(t)=−g⋅t

Auftreffen bei z=0 nach

t=2⋅ hg

Endgeschwindigkeit:

vmax= 2⋅g⋅h

z

h

t

-v

v =−g⋅t

Bsp.: Schiefe Ebene:

ϕ

ϕ =15°

v g

⇒ at = g ⋅sinϕ ≈g

4

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Page 4: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Bsp.: Schräger Wurf:

rr (t) =

vox ⋅t

0

−1

2gt 2 + v0z ⋅t + h

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

x

z

h

ϕ

v0z

v0x

r v 0

Waagrechter Wurf:

v0z =0 Senkrechter Wurf:

v0x =0

t=x

v0x

Scheitel bei:

dzdx

=0

xs =v0x ⋅v0z

gmax für 45°

xw aus

z(xw) =0

⇒ z(x) = −1

2

g

vox2

x 2 +v0z

v0x

x + h

⇒ −g

vox2 xs+

v0z

v0x

=0

=cos(ϕ) ⋅v0 ⋅sin(ϕ) ⋅v0

g

=v0

2

2 ⋅g⋅sin (2ϕ )

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Page 5: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung

Bsp.: Kreisbewegung

rr =

R ⋅cos(ω ⋅t)

R ⋅sin(ω ⋅t)

0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

rv =

−R ⋅ω ⋅sin(ω ⋅t)

R ⋅ω ⋅cos(ω ⋅t)

0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

ra =

−R ⋅ω2 ⋅cos(ω ⋅t)

−R ⋅ω2 ⋅sin(ω ⋅t)

0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

v =dsdtWinkelgeschwindigkeit

ω=

ds=R⋅ dϕ

r v (t)

r v (t+Δt)

R

y

v r

⇒ va = −ω2 ⋅

v r

=−ω2 ⋅R ⋅v e r

=R⋅dϕdt

=R⋅ω

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Zentripetalbeschleunigung

Page 6: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Allgemeine krummlinige Bewegung

v ändert Richtung und Betrag

z

x

yp

va =

dv v

dtan

at Bsp.:

va n = 0 Geraden (z.B. senkrechter Wurf)

v a t =0 z.B. Konstante Kreisbahn

Koordinatensystem so wählen, dass

ˆ e n

ˆ e tund in

ˆ x − ˆ y -Ebene liegen

=dv

dt⋅ ˆ e t + v ⋅

d ˆ e tdt

= va t +

v a n

Approximation der Bahn durch Kreisbögen

ds=ρ ⋅dϕ

dϕdt

=dϕds

⋅dsdt

=dϕds

⋅v=1ρ

⋅v

⇒ va =

dv

dt⋅ ˆ e t +

v2

ρ⋅ ˆ e n

Vergleich konstante Bewegung

ρ

ρ2

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Page 7: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

ˆ e t =

cosϕ

sinϕ

0

⎜ ⎜

⎟ ⎟

dˆ e tdt

=

−sinϕ ⋅dϕdt

cosϕ ⋅dϕdt

0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

;

ˆ e n =

cos(ϕ +π2

)

sin(ϕ +π2

)

0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⇒dˆ e tdt

=dϕdt

⋅ ˆ e n

⇒ an =v⋅dϕdt

⋅ ˆ e n

⇒ va =

dv

dt⋅ ˆ e t + v ⋅

dt⋅ ˆ e n =

dv

dt⋅ ˆ e t +

v2

ρ⋅ ˆ e n

=

−sinϕ

cosϕ

0

⎜ ⎜

⎟ ⎟

ϕ

ˆ e t

x

y

p

ˆ e n

ϕ

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Zur Herleitung der Normalbeschleunigung

Page 8: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Newton‘s Mechanics

BraheKepler

GallileiBacon

DescartesLeibnitz

Stellar Orbits

Gravity

F = pddtActio = Reactio

Leibniz

Galilei

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Page 9: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen

vF Ist ein Vektor zerlegbar; superponierbar

I. Newtonsches Axiom

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.

Def: Impuls

Def: kräftefrei

vp = m ⋅

v v

Σ v

F i = 0

Bsp.:

vF Auflage

vF G

⇒ Der Impuls eines freien Teilchens ist konstant

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Page 10: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

II. Newtonsche Axiom

Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft

vF =

dv p

dt

vF = m ⋅

dv v

dt+

dm

dt⋅v v

Falls m = const.

vF = m ⋅

v a

Masseneinheit:

vF [ ] =1

kg ⋅ms2

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Page 11: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

III. Newtonsches Axiom

Actio = Reactio

Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A

vF a = −

v F b

Def.:Isoliertes System(abgeschlossenes)

Keine Wechselwirkung mit der Aussenwelt

Bsp.: BA(Wagen oder Skateboards)

vF a +

v F b = const

⇒d

v p adt

+d

v p bdt

= 0

⇒ v

F a = −v F b

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Page 12: §2.1   Kinematik des Massenpunktes

Molecular Dynamics Calculations

Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals

Fi= Fi jΣ=1jjiN( , )x x = /m d x dtFiii222= const

jiFi jFi

S.Cui, J.Yu, F. Kühner, K.Schulten, H.E. Gaub JACS (2007), Vol 129, p 14710-

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