2.12.4 Gekoppelte Schwingungen

download 2.12.4 Gekoppelte Schwingungen

If you can't read please download the document

  • date post

    05-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    215
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 2.12.4 Gekoppelte Schwingungen

  • 2.12.4 Gekoppelte Schwingungen

    Wenn mehrere schwingungsfahige Systeme miteinander wechselwirken, gekoppelt sind, wie mandies nennt, dann treten neben den Eigenfrequenzen der einzelnen Oszillatoren neue, zu bestimm-ten kollektiven Schwingungszustanden gehorende Eigenfrequenzen auf. Diese Eigenschwingun-gen des gekoppelten Systems konnen durch die Wahl geeigneter Anfangsbedingungen selektivangeregt werden. Je mehr Systeme miteinander in Wechselwirkung stehen, desto grosser ist dieZahl der charakteristischen Schwingungszustande und desto vielfaltiger sind die Phanomene.Wir beschranken uns hier auf den Fall von zwei miteinander durch eine Kopplungsfeder ver-bundenen Federoszillatoren. Beim Einstieg in die Kinematik hatten wir in Abbildung 2.5 schondie Bewegung zweier gekoppelter Pendel diskutiert. Das damalige Beispiel ist mit dem jetztfolgenden nahezu identisch.

    Ob wir es nun mit zwei durch eine Feder verbundenen Pen-deln zu tun haben, oder mit zwei elastisch mit den Wandenund untereinander verbundenen Kugeln, die fundamentalenSchwingungen der beiden Systeme sind die gleichen, namlicheine Schwingung mit dem Schwerpunkt in Ruhe und harmo-nischer Variation des relativen Abstands bzw. einer Schwin-gung mit unverandertem Abstand und harmonischer Bewe-gung des Schwerpunkts. Die dazugehorigen Eigenfrequenzenermitteln wir aus den Bewegungsgleichungen. Zwei identi-sche, ungedampfte, lineare Oszillatoren haben im ungekop-pelten Fall die gleichen Eigenfrequenzen

    !0 =

    sk

    m

    d2x1;2dt2

    + !20x1;2 = 0

    Wenn die Verbindungsfeder die Federkonstante hat, be-kommen wir fur das gekoppelte System aus dem 2. New-ton'schen Prinzip die folgende Bewegungsgleichungen:

    md2x1dt2

    = kx1 + (x2 x1)

    md2x2dt2

    = kx2 (x2 x1)

    x1 x2

    1 2 1 2

    a1

    a2a3

    a4

    1 2

    Mit der Substitution 12(x2 + x1) xS (Koordinate des Schwerpunkts) und x1 x2 = xR

    (Abstand oder relative Position der beiden Massen) erhalten wir nach Addition bzw. Subtraktionder beiden Gleichungen zwei neue, entkoppelte Gleichungen fur xR und xS :

    d2xSdt2

    = kmxS = !2SxS

    d2xRdt2

    = k + 2m

    xR = !2RxR

    Die beiden Eigenfrequenzen, die in den entkoppelten Gleichungen fur xS und xR vorkommen,nennt man die Normalfrequenzen des Systems gekoppelter Oszillatoren:

    !S = !0 =

    sk

    m!R = !0 =

    sk + 2

    m

    2.185

  • Wenn die die Kopplung relativ schwach ist (
  • hat, hat x2 einen Bauch und umgekehrt. Durch die Kopplung wird Energie von einem Oszillatorauf den andern ubertragen und umgekehrt. Die Zeit, die zur vollstandigen Ubertragung benotigtwird, entspricht einem Viertel der Periode der langsamen Amplitudenmodulation:

    =1

    4

    2

    T=

    (!R !S) =

    !

    ist umso langer, je schwacher die Kopplung ist.

    Fur eine Kette von N gekoppelten Oszillatoren ergeben sichanaloge Resultate. Es existieren dann N Normalschwingun-gen. Bei der 1. Normal- oder Grundschwingung sind alle Os-zillatoren in Phase, bei der N . Normalschwingung (hochsteFrequenz) sind benachbarte Oszillatoren gegeneinander um180 phasenverschoben. In der Abbildung ist der Fall vondrei Oszillatoren gezeigt. Wird zur Zeit t = 0 nur der ersteOszillator der Kette ausgelenkt, so ubertragt sich seine Ener-gie, wie im obigen Beispiel, auf den zweiten, von diesem aufden dritten und so fort. Die Storung panzt sich langs derganzen Kette fort. Wir erhalten eine Welle. Wenn die Kettebegrenzt ist, kehrt sich der Prozess der Energieubertragungam Ende der Kette wieder um. Ist die Kette unbegrenzt,wandert die Schwingung entlang der Kette in einer Rich-tung.

    1 2 3

    b1

    b2

    b3

    2.13 Wellen

    Unter einer Welle versteht man eine sich in einem kontinuierlichen Medium ausbreitende Storung.Bei einer Wasserwelle, dem uns vielleicht vertrautesten Wellentyp, ist das kontinuierliche Me-dium oensichtlich die Flussigkeit, und die Storung ist eine lokale Verschiebung von Flussig-keitsschichten, die sich uber die Oberache hinweg ausbreitet. Bei einer Seilwelle, die wir z.B. durch durch einen kraftigen Schlag auf ein Stuck Seil erzeugen konnen, besteht die Storungin einer ortlich begrenzten Auslenkung von Seilelementen aus ihrer normalen Position. Einesolche Storung wandert das kontinuierliche Medium, also hier das Seil, entlang. Bei einer Kettevon Oszillatoren, wie wir sie im vorigen Abschnitt diskutiert haben, bestand die Storung ineiner Auslenkung des einzelnen Oszillators aus seiner Ruhelage, die durch die Kopplung auf dennachsten Nachbarn ubertragen werden kann. Ein fester Korper kann, wie wir das in der Festig-keitslehre gesehen haben, als ein System von lauter atomaren Oszillatoren angesehen werden,die elastisch an eine Ruhelage in einem dreidimensionalen Gitter gebunden sind. Wird nun aneinem Punkt eine Storung erzeugt, z. B. durch einen Schlag, dann breitet sich diese Storungdurch die Kopplung unter den einzelnen Oszillatoren im Kristall aus. Dies ist der Mechanismusder Schallwellenausbreitung in festen Korpern. Die zu einer Schallwelle gehorende Storung be-steht aus einer Verschiebung von Atomen, Gruppen von Atomen oder auch von makroskopischenSchichten. Dies gilt auch fur Schallwellen in Gasen. Mit der Verschiebung von Gasschichten gehtauch eine wandernde Druckwelle, eine lokale Erhohung oder Erniedrigung des Drucks einher.Bei elektrischen Wellen in Kabeln, bei Licht und anderen elektromagnetischen Wellen bestehtdie Storung in zeitlich und ortlich veranderlichen elektrischen und magnetischen Feldern.

    Wichtige Begrie fur die Beschreibung von Wellen sind die Ausbreitungsgeschwindigkeit,die Grosse der Storung (auch Erregung) genannt und die Richtung der Storung relativ zur

    2.187

  • Ausbreitungsgeschwindigkeit. Stehen Ausbreitungsgeschwindigkeit und Richtung der Storungsenkrecht aufeinander, so spricht man von transversalen Wellen, sind beide parallel zueinanderso spricht man von longitudinalen Wellen. Beispiele fur rein transversale Wellen sind die Wellendes elektromagnetischen Spektrums, Licht, Rontgenstrahlen, etc., Schallwellen in Gasen sindrein longitudinal, Schallwellen in festen Korpern haben beide Komponenten.

    2.13.1 Eindimensionale und harmonische Wellen

    Wir beginnen mit dem einfachsten Fall einer eindimensionalen Welle. Als Beispiel wahlen wirein langes, gespanntes elastische Seil, das lokal durch einen Schlag deformiert wird.

    Seilwelle

    Die Storung, die das Seil entlang wandert,und zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 erzeugtwird, soll durch eine Funktion u(x; t = 0) u(x; 0) beschrieben werden. x ist die Koor-dinate entlang des Seils. Die Erregung u, indiesem Fall die Deformation des Seil senk-recht zur Seilrichtung, breitet sich mit derGeschwindigkeit v aus.

    Wir nehmen an, dass die Storung (Welle) nicht gedampft ist, d. h. dass sie ihre Hohe nicht

    andert und auch die Form erhalten bleibt. Man nennt die Storung dann dispersionsfrei. DieFormtreue der Storung in Funktion von Ort und Zeit impliziert

    u(x; t) = u(x+ x; t+ t)

    Wenn die Wandergeschwindigkeit v ist, dann sind x und t miteinander verknupft durch dieBeziehung

    v =x

    t

    Die Beziehung, die aus der Voraussetzung der Formtreue folgt, ist durch jede Funktion vomTyp

    u(x; t) = u(x vt)erfullt, d. h. die zunachst unabhangigen Variablen x und t treten nur in der Kombination xvtauf, denn dann gilt

    u(x+x v(t+t)) = u(x vt+ (x vt)) = u(x vt) = u(x; t)

    Die Grossen x und t sind nicht mehr unabhangige Variable, sondern miteinander durch dieFortpanzungsgeschwindigkeit v verknupft.

    Wahrend die obige Welle in positiver x-Richtung lauft, wird eine in negativer x-Richtungkaufende Welle, durch die Funktion u(x; t) = u(x+ vt) beschrieben. Das Vorzeichen kann mansich leicht klarmachen. Breitet sich eine Welle in der positiven xRichtung aus, so kommt der

    2.188

  • vordere Teil der Welle, die Wellenfront (mit positivem x gegenuber dem Wellenzentrum) beifestem x fruher an, bei Ausbreitung in negativer Richtung kommt dieser Teil spater an.

    Harmonische Wellen: Eine wichtige Klasse von ungedampften Wellen sind die harmo-nischen Wellen. Sie deshalb so wichtig, weil sich jede beliebige Storung als eine Uberlagerungvon harmonischen Storungen schreiben lasst, auch die oben gezeichnet Form eines Pulses. DieErregung ist in diesem Fall eine harmonische Funktion sowohl des Ortes wie der Zeit

    u(x; t) = u(x vt) = u0 sin k(x vt)

    Das Argument der Sinus-Funktion, die sogenannte Phase der Welle muss dimensionslos sein.Deshalb mussten wir den zusatzlichen Faktor k, die sogenannte Wellenzahl mit der Dimensioneiner reziproken Lange einfuhren. (Achtung: Die hier eingefuhrte Wellenzahl k hat nichts mitFederkonstante k zu tun ! Hier werden fur zwei verschiedene physikalische Grossen traditionelldie gleichen Buchstaben verwendet.) Die Grosse u0 nennt man Amplitude.

    Graphisch konnen wir eine harmonische Welle in zwei Bildern wiedergeben. Im Orts- oderMomentanbild wird u als Funktion von x bei fester Zeit t aufgetragen, im Zeitbild wird u alsFunktion von t fur einen festen Ort x dargestellt. Beide Darstellungen ergeben Sinus-Kurven,doch ist ihre physikalische Bedeutung ganz verschieden.

    Im Ortsbild wird die raumliche Periode Wellen-lange genannt, und mit dem Buchstaben be-zeichnet. Mit u(x; t) = u(x+ ; t) folgt

    u0 sin(kx+ k kvt) = u0 sin(kx kvt)

    ) k = 2; = 2k

    hat die Dimension [Lange].

    Im Zeitbild tritt die zeitliche Periode T auf, ge-legentlich auch Schwingungsdauer genannt. Mitu(x; t) = u(x; t+ T ) folgt:

    u0 sin(kx kvt kvT ) = u0 sin(kx kvt)

    ) kvT = 2; kv = 2T !

    Die Kreisfrequenz ! hat die Dimension [Zeit1].

    Statt ! konnen wir auch die Frequenz verwenden:

    ! 2; = 1T

    ) kv = 2

    Die Wellengeschwindigkeit (auch Phasengeschwindigkeit genannt) v ist also gegeben durch

    v =