2.12.4 Gekoppelte Schwingungen
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x 1 x 2 1 21 2 a 1 a 2 a 3 a 4 1 2
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2.12.4 Gekoppelte Schwingungen
Wenn mehrere schwingungsf�ahige Systeme miteinander wechselwirken, gekoppelt sind, wie mandies nennt, dann treten neben den Eigenfrequenzen der einzelnen Oszillatoren neue, zu bestimm-ten kollektiven Schwingungszust�anden geh�orende Eigenfrequenzen auf. Diese Eigenschwingun-gen des gekoppelten Systems k�onnen durch die Wahl geeigneter Anfangsbedingungen selektivangeregt werden. Je mehr Systeme miteinander in Wechselwirkung stehen, desto gr�osser ist dieZahl der charakteristischen Schwingungszust�ande und desto vielf�altiger sind die Ph�anomene.Wir beschr�anken uns hier auf den Fall von zwei miteinander durch eine Kopplungsfeder ver-bundenen Federoszillatoren. Beim Einstieg in die Kinematik hatten wir in Abbildung 2.5 schondie Bewegung zweier gekoppelter Pendel diskutiert. Das damalige Beispiel ist mit dem jetztfolgenden nahezu identisch.
Ob wir es nun mit zwei durch eine Feder verbundenen Pen-deln zu tun haben, oder mit zwei elastisch mit den W�andenund untereinander verbundenen Kugeln, die fundamentalenSchwingungen der beiden Systeme sind die gleichen, n�amlicheine Schwingung mit dem Schwerpunkt in Ruhe und harmo-nischer Variation des relativen Abstands bzw. einer Schwin-gung mit unver�andertem Abstand und harmonischer Bewe-gung des Schwerpunkts. Die dazugeh�origen Eigenfrequenzenermitteln wir aus den Bewegungsgleichungen. Zwei identi-sche, unged�ampfte, lineare Oszillatoren haben im ungekop-pelten Fall die gleichen Eigenfrequenzen
!0 =
sk
m
d2x1;2dt2
+ !2
0x1;2 = 0
Wenn die Verbindungsfeder die Federkonstante � hat, be-kommen wir f�ur das gekoppelte System aus dem 2. New-ton'schen Prinzip die folgende Bewegungsgleichungen:
md2x1dt2
= �kx1 + �(x2 � x1)
md2x2dt2
= �kx2 � �(x2 � x1)
x1 x2
1 2 1 2
a1
a2a3
a4
1 2
Mit der Substitution 1
2(x2 + x1) � xS (Koordinate des Schwerpunkts) und x1 � x2 = xR
(Abstand oder relative Position der beiden Massen) erhalten wir nach Addition bzw. Subtraktionder beiden Gleichungen zwei neue, entkoppelte Gleichungen f�ur xR und xS :
d2xSdt2
= � k
mxS = �!2
SxSd2xRdt2
= �k + 2�
mxR = �!2
RxR
Die beiden Eigenfrequenzen, die in den entkoppelten Gleichungen f�ur xS und xR vorkommen,nennt man die Normalfrequenzen des Systems gekoppelter Oszillatoren:
!S = !0 =
sk
m!R = !0 =
sk + 2�
m
2.185
Wenn die die Kopplung relativ schwach ist (� << k) k�onnen wir !R auch schreiben als
!R �s
k
m
�1 +
�
k
�= !0 +�! �! << !0
. Die Oszillatoren sind in Phase f�ur die 1. Normalschwingung (Schwerpunktsmode: (a); (a1)und (a2)) und 180� phasenverschoben f�ur die 2. Normalschwingung (Relativmode: (b); (a3) und(a4)). Diese k�onnen nur mit ganz besonderen Anfangsbedingungen angeregt werden. Nur wenndiese erf�ullt sind, treten die kollektiven harmonischen Schwingungen, f�ur die gilt
xS = xS0 sin(!0t � �S) xR = xR0 sin((!0 + �!)t� �R)
Im allgemeinen regt man einen Schwingungszustand an, der eine Superposition der beiden Nor-malschwingungen ist, zum Beispiel wenn Masse 2 anf�anglich in Ruhe ist, und Masse 1 in ihrerExtremalposition x0:
t = 0 : x1 = x0; x2 = 0 ) xR = x1 � x2 = x0 xS =1
2(x1 + x2) =
x02
xR = x0 cos!0t xS =x02cos((!0 +�!)t)
) x1(t) = x0 cos(!0t) cos�!
2t x2(t) = x0 sin(!0t) sin
�!
2t
Abbildung 2.101: Bewegung ei-nes Systems von zwei identi-schen gekoppelten Oszillatoren.Oben: Oszillator 1, der f�ur t =0 ausgelenkt wurde; unten: Os-zillator 2, f�ur t = 0 in derRuhelage. Federkonstanten: �(Kopplung) = 0:2k. Die gestri-chelten Kurven zeigen die lang-same Variation der Amplitudemit der Frequenz �!=2.
Die Amplitude der rasch schwingenden cos� oder sin�Funktion ist langsam moduliert mitder Frequenz �!=2. Man nennt dies eine Schwebung. Abbildung 2.101 zeigt den zeitlichenVerlauf der Bewegung der beiden Oszillatoren f�ur den Fall �!=!0 = 0:2. Wenn x1 einen Knoten
2.186
hat, hat x2 einen Bauch und umgekehrt. Durch die Kopplung wird Energie von einem Oszillatorauf den andern �ubertragen und umgekehrt. Die Zeit, die zur vollst�andigen �Ubertragung ben�otigtwird, entspricht einem Viertel der Periode der langsamen Amplitudenmodulation:
� =1
4
2�
T=
�
(!R � !S)=
�
�!
� ist umso l�anger, je schw�acher die Kopplung ist.
F�ur eine Kette von N gekoppelten Oszillatoren ergeben sichanaloge Resultate. Es existieren dann N Normalschwingun-gen. Bei der 1. Normal- oder Grundschwingung sind alle Os-zillatoren in Phase, bei der N . Normalschwingung (h�ochsteFrequenz) sind benachbarte Oszillatoren gegeneinander um180� phasenverschoben. In der Abbildung ist der Fall vondrei Oszillatoren gezeigt. Wird zur Zeit t = 0 nur der ersteOszillator der Kette ausgelenkt, so �ubertr�agt sich seine Ener-gie, wie im obigen Beispiel, auf den zweiten, von diesem aufden dritten und so fort. Die St�orung p anzt sich l�angs derganzen Kette fort. Wir erhalten eine Welle. Wenn die Kettebegrenzt ist, kehrt sich der Prozess der Energie�ubertragungam Ende der Kette wieder um. Ist die Kette unbegrenzt,wandert die Schwingung entlang der Kette in einer Rich-tung.
1 2 3
b1
b2
b3
2.13 Wellen
Unter einer Welle versteht man eine sich in einem kontinuierlichen Medium ausbreitende St�orung.Bei einer Wasserwelle, dem uns vielleicht vertrautesten Wellentyp, ist das kontinuierliche Me-dium o�ensichtlich die Fl�ussigkeit, und die St�orung ist eine lokale Verschiebung von Fl�ussig-keitsschichten, die sich �uber die Ober �ache hinweg ausbreitet. Bei einer Seilwelle, die wir z.B. durch durch einen kr�aftigen Schlag auf ein St�uck Seil erzeugen k�onnen, besteht die St�orungin einer �ortlich begrenzten Auslenkung von Seilelementen aus ihrer normalen Position. Einesolche St�orung wandert das kontinuierliche Medium, also hier das Seil, entlang. Bei einer Kettevon Oszillatoren, wie wir sie im vorigen Abschnitt diskutiert haben, bestand die St�orung ineiner Auslenkung des einzelnen Oszillators aus seiner Ruhelage, die durch die Kopplung auf denn�achsten Nachbarn �ubertragen werden kann. Ein fester K�orper kann, wie wir das in der Festig-keitslehre gesehen haben, als ein System von lauter atomaren Oszillatoren angesehen werden,die elastisch an eine Ruhelage in einem dreidimensionalen Gitter gebunden sind. Wird nun aneinem Punkt eine St�orung erzeugt, z. B. durch einen Schlag, dann breitet sich diese St�orungdurch die Kopplung unter den einzelnen Oszillatoren im Kristall aus. Dies ist der Mechanismusder Schallwellenausbreitung in festen K�orpern. Die zu einer Schallwelle geh�orende St�orung be-steht aus einer Verschiebung von Atomen, Gruppen von Atomen oder auch von makroskopischenSchichten. Dies gilt auch f�ur Schallwellen in Gasen. Mit der Verschiebung von Gasschichten gehtauch eine wandernde Druckwelle, eine lokale Erh�ohung oder Erniedrigung des Drucks einher.Bei elektrischen Wellen in Kabeln, bei Licht und anderen elektromagnetischen Wellen bestehtdie St�orung in zeitlich und �ortlich ver�anderlichen elektrischen und magnetischen Feldern.
Wichtige Begri�e f�ur die Beschreibung von Wellen sind die Ausbreitungsgeschwindigkeit,die Gr�osse der St�orung (auch Erregung) genannt und die Richtung der St�orung relativ zur
2.187
Ausbreitungsgeschwindigkeit. Stehen Ausbreitungsgeschwindigkeit und Richtung der St�orungsenkrecht aufeinander, so spricht man von transversalen Wellen, sind beide parallel zueinanderso spricht man von longitudinalen Wellen. Beispiele f�ur rein transversale Wellen sind die Wellendes elektromagnetischen Spektrums, Licht, R�ontgenstrahlen, etc., Schallwellen in Gasen sindrein longitudinal, Schallwellen in festen K�orpern haben beide Komponenten.
2.13.1 Eindimensionale und harmonische Wellen
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall einer eindimensionalen Welle. Als Beispiel w�ahlen wirein langes, gespanntes elastische Seil, das lokal durch einen Schlag deformiert wird.
Seilwelle
Die St�orung, die das Seil entlang wandert,und zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 erzeugtwird, soll durch eine Funktion u(x; t = 0) �u(x; 0) beschrieben werden. x ist die Koor-dinate entlang des Seils. Die Erregung u, indiesem Fall die Deformation des Seil senk-recht zur Seilrichtung, breitet sich mit derGeschwindigkeit v aus.
Wir nehmen an, dass die St�orung (Welle) nicht ged�ampft ist, d. h. dass sie ihre H�ohe nicht
�andert und auch die Form erhalten bleibt. Man nennt die St�orung dann dispersionsfrei. DieFormtreue der St�orung in Funktion von Ort und Zeit impliziert
u(x; t) = u(x+ �x; t+ �t)
Wenn die Wandergeschwindigkeit v ist, dann sind �x und �t miteinander verkn�upft durch dieBeziehung
v =�x
�t
Die Beziehung, die aus der Voraussetzung der Formtreue folgt, ist durch jede Funktion vomTyp
u(x; t) = u(x� vt)
erf�ullt, d. h. die zun�achst unabh�angigen Variablen x und t treten nur in der Kombination x�vtauf, denn dann gilt
u(x+�x� v(t+�t)) = u(x� vt+ (�x� v�t)) = u(x� vt) = u(x; t)
Die Gr�ossen x und t sind nicht mehr unabh�angige Variable, sondern miteinander durch dieFortp anzungsgeschwindigkeit v verkn�upft.
W�ahrend die obige Welle in positiver x-Richtung l�auft, wird eine in negativer x-Richtungkaufende Welle, durch die Funktion u(x; t) = u(x+ vt) beschrieben. Das Vorzeichen kann mansich leicht klarmachen. Breitet sich eine Welle in der positiven x�Richtung aus, so kommt der
2.188
vordere Teil der Welle, die Wellenfront (mit positivem x gegen�uber dem Wellenzentrum) beifestem x fr�uher an, bei Ausbreitung in negativer Richtung kommt dieser Teil sp�ater an.
Harmonische Wellen: Eine wichtige Klasse von unged�ampften Wellen sind die harmo-nischen Wellen. Sie deshalb so wichtig, weil sich jede beliebige St�orung als eine �Uberlagerungvon harmonischen St�orungen schreiben l�asst, auch die oben gezeichnet Form eines Pulses. DieErregung ist in diesem Fall eine harmonische Funktion sowohl des Ortes wie der Zeit
u(x; t) = u(x� vt) = u0 sin k(x� vt)
Das Argument der Sinus-Funktion, die sogenannte Phase der Welle muss dimensionslos sein.Deshalb mussten wir den zus�atzlichen Faktor k, die sogenannte Wellenzahl mit der Dimensioneiner reziproken L�ange einf�uhren. (Achtung: Die hier eingef�uhrte Wellenzahl k hat nichts mitFederkonstante k zu tun ! Hier werden f�ur zwei verschiedene physikalische Gr�ossen traditionelldie gleichen Buchstaben verwendet.) Die Gr�osse u0 nennt man Amplitude.
Graphisch k�onnen wir eine harmonische Welle in zwei Bildern wiedergeben. Im Orts- oderMomentanbild wird u als Funktion von x bei fester Zeit t aufgetragen, im Zeitbild wird u alsFunktion von t f�ur einen festen Ort x dargestellt. Beide Darstellungen ergeben Sinus-Kurven,doch ist ihre physikalische Bedeutung ganz verschieden.
Im Ortsbild wird die r�aumliche Periode Wellen-l�ange genannt, und mit dem Buchstaben � be-zeichnet. Mit u(x; t) = u(x+ �; t) folgt
u0 sin(kx+ k�� kvt) = u0 sin(kx� kvt)
) k� = 2�; � =2�
k
� hat die Dimension [L�ange].
Im Zeitbild tritt die zeitliche Periode T auf, ge-legentlich auch Schwingungsdauer genannt. Mitu(x; t) = u(x; t+ T ) folgt:
u0 sin(kx� kvt� kvT ) = u0 sin(kx� kvt)
) kvT = 2�; kv =2�
T� !
Die Kreisfrequenz ! hat die Dimension [Zeit�1].
Statt ! k�onnen wir auch die Frequenz � verwenden:
! � 2��; � =1
T) kv = 2��
Die Wellengeschwindigkeit (auch Phasengeschwindigkeit genannt) v ist also gegeben durch
v = !k= �� = �
T
2.189
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ist in der Regel durch das Medium bestimmt, alsof�ur einen bestimmten Wellentyp und ein festes Medium unver�anderbar. Ver�andert man daherdie Frequenz �, so �andert sich auch � entsprechend. Kleinere Wellenl�angen entsprechen h�oherenFrequenzen und umgekehrt.
Mit diesen verschiedenen Beziehungen erh�alt man folgende Schreibm�oglichkeiten f�ur eineharmonische Welle (am gebr�auchlichsten ist die zweite Form (*)):
u = u0 sin(kx� kvt)
= u0 sin(kx� !t) (*)
= u0 sin(2�(x=�� �t))
= u0 sin(2�(x=�� t=T ))
Die gewisse �Ahnlichkeit der mathematischen Form von Welle und Schwingung stiftet oftVerwirrung. Eine Welle wird beschrieben durch eine von Ort und Zeit abh�angige Funktionu = u0 sin(kx�!t). Eine Schwingung einer physikalischen Gr�osse f wird beschrieben durch einenur von der Zeit abh�angige Funktion f = f0 sin(!t� �).
2.13.2 Wellengleichung, Wellengeschwindigkeit f�ur verschiedene Wellentypen
Die harmonische Welle erf�ullt die sogenannte Wellengleichung. Wir erhalten diese Gleichungdurch zweimaliges Ableiten der Erregungsfunktion nach der Zeit, an festem Ort, bzw. nach demOrt, zu fester Zeit:
�du
dx
�t=const:
� @u
dx= u0k cos(kx� !t)
d2u
dx2
!t=const:
� @2u
dx2= �u0k2 sin(kx� !t)
�du
dt
�x=const:
� @u
dt= �u0! cos(kx� !t)
d2u
dt2
!x=const:
� @2u
dt2= �u0!2 sin(kx� !t)
) Wellengleichung :@2u
dt2= v2
@2u
dx2
Mit dem Symbol @ bezeichnet man die partielle Ableitung einer Funktion, die von mehrerenVariablen abh�angt, nach einer dieser Variablen. Die anderen Variablen werden beim Ableitenwie Konstanten behandelt (siehe H. H. Storrer, Einf�uhrung in die Mathematische Behandlungder Naturwissenschaften, Bd. 1, Abschnitt F23, p. 334).
Die Wellengleichung ist, wie wir sie hergeleitet haben, nur eine mathematische Beziehung,die harmonische Wellen erf�ullen. Ihr physikalischer Inhalt ergibt sich, wenn man eine konkreteSituation untersucht, bei der Wellen auftreten. In der Elektrizit�atslehre (Elektrodynamik) sinddie Grundgleichungen, die elektrische Felder und Magnetfelder verkn�upfen, die Maxwell'schenGleichungen. F�ur elektromagnetische Wellen (u = E; B) folgt aus letzteren Gleichungendann die obige Wellengleichung, die sich auch auf drei r�aumliche Dimensionen erweitern l�asst.Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist dann die Lichtgeschwindigkeit. In der Mechanik haben wir
2.190
als Grundgleichungen die Newton'schen Prinzipien kennengelernt. Viele mechanische Gr�ossenk�onnen als Erregung oder St�orung in einer Welle auftreten, z. B. Druck p, Verschiebung ~r.Angewendet auf die spezielle Situation folgt dann aus den Grundgleichungen der Mechanik dieentsprechende Wellengleichung mit der entsprechenden Geschwindigkeit v.
Beispiel { longitudinale Schallwelle in einem Stab: Wird ein Stab an einem Endeangestossen, so p anzt sich die entstehende Deformation longitudinal l�angs des Stabs fort. Diesnennt man eine Schallwelle. Wir betrachten zu einer festen Zeit (Ortsbild) ein St�uck diesesStabs, das die Ruhel�ange dx hat und zwischen den Querschnitten an den Stellen x und x+ dx.liegt. Die Verschiebung des Querschnitts bei x gegen�uber der Ruhelage ist u(x), diejenige beix+dx entsprechend u(x+dx). Die L�angen�anderung von dx betr�agt somit du = u(x+dx)�u(x).Die relative L�angen�anderung �(x) = du=dx l�asstsich mit dem Hooke'schen Gesetz mit der an die-ser Stelle des Stabs auftretenden Zugspannungin Verbindung setzen:
du
dx= �x =
�(x)
E
Die Masse des Elements des Stabs (Dichte �,Querschnitts �ache A) ist dm = A�dx, und das2. Newton'sche Prinzip liefert dann die Bewe-gungsgleichung (f�ur festes x):
dx+dux+dxx
σ(x) σ(x+dx) A
u(x+dx)=u+du
u(x)
dmd2u
dt2= A�dx
d2u
dt2= (�(x+ dx)� �(x))A =
d�
dxAdx = E
d2u
dx2Adx
) �
d2u
dt2
!x=fest
= E
d2u
dx2
!t=fest
) @2u
@t2=
E
�
@2u
@x2
Der Vergleich dieser Beziehung mit derjenigen, die wir f�ur die harmonische Welle gefundenhaben ergibt f�ur die longitudinale Schallwelle eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von
v =
sE
�z: B: Messing : E = 1:034� 1011 N=m2; � = 8:47� 103 kg=m3; v = 3:494 km=s
Die harmonische Welle ist nur eine m�ogliche Form einer Welle. Jede beliebige Funktion derForm u = u(y) mit y � x� vt erf�ullt die Wellengleichung, wie sich leicht veri�zieren l�asst:
@u@x
= @u@y
@2u@x2
= @2u@y2
@u@t
= @u@y
(�v) @2u@t2
= v2@2u@y2
@2u@t2
= v2@2u
@x2= E
�@2u@x2
Beispiel { transversale Schallwellen: Bei einer transversalen Schallwelle ersetzt dasSchubmodul G das Elastizit�atsmodul E:
v =
sG
�
Mit G < E gilt dann v(transversal) < v(longitudinal). Erdbebenwellen haben z. B. eine longi-tudinale und eine transversale Komponente mit vL = 8 km/s > vT = 4 km/s. Die verschiedenen
2.191
Laufzeiten zu seismischen Registierinstrumenten erlauben eine Bestimmung des Epizentrums.Ein biologische Anwendung, die Ortung eines Beutetiers beim nachtaktiven W�ustenskorpiondurch die Interpretation der zu verschiedenen Zeiten an den Sensoren der Beine ankommendenSchallwellen, haben wir im Abschnitt 1.2.2 und in den Abbildungen 1.8 und 1.9 schon kennen-gelernt. Abbildung 2.102 zeigt ein weiteres Beispiel.
GranitStollen
LongitudinaleWelle
TransversaleWelle
Wellen-fronten
Strahl
Wellen-fronten
StrahlS
Abbildung 2.102: Anwendung vonSchallwellen bei der Untersuchung tief-liegender Bodenschichten, z. B. beider Suche nach �Olfeldern. Die Explo-sion am Punkt S sendet sowohl longi-tudinale wie transversale Schallwellenaus, die sich im Granit in allen Rich-tungen ausbreiten. Die Wellen sindin der Abbildung der Klarheit halbernur jeweils in einer Halbkugel getrenntgezeichnet. Wellenfronten sind Ober- �achen (in diesem Fall Kugeln), auf de-nen die St�orung, die die Welle verura-sacht den gleichen Wert hat. Strahlensind Linien senkrecht zur Wellenfront,die die Ausbreitungsrichtung der Wel-le angeben. Die kurzen Doppelpfeile,die die Stahlen markieren zeigen dieRichtung der Schwingung, die d�unneSchichten des Mediums bei der Passageder Welle machen.
In Gasen kommen nur longitudinale Schallwellen vor, anstelle von E tritt die (adiabatische)Kompressibilit�at (bulk modulus) � auf:
E ! 1
�� = � 1
V
dV
dp=
Volumenabnahme
Druckzunahme
Aus den Zustandsgleichungen f�ur ideale Gase (siehe Abschnitt 3.2.1 der Thermodynamik) l�asstsich � berechnen, und damit die Abh�angigkeit der Schallgeschwindigkeit in Gasen von der Tem-peratur T , dem Druck p und dem Molekulargewicht des Gases M bestimmen:
v =
s1
��=
sRT�
M=r�p
�
� ist eine dimensionslose Konstante, das Verh�altnis der spezi�schen W�armen Cp=Cv (z. B.� = 5=3 f�ur He, � = 7=5 f�ur O2 und N2). F�ur Sticksto� bei T = 300 K ergibt sich mit R = 8:31J/(K Mol): v = 353 m/s.
F�ur eine transversale Welle l�angs einer gespannten Saite oder eines elastischen Seils, h�angtdie Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Seilspannung bzw. der Zugkraft Z ab, mit der die
2.192
Saite gespannt wird, sowie von der Masse des Seils pro Einheitsl�ange �.
v =
sZ
�
Bei Wasserwellen muss man zwei F�alle unterscheiden, je nachdem ob das Verh�altnis derWellenh�ohe zur Wassertiefe klein oder gross ist. Bei Ober �achenwellen kann man beobachten,dass die Wellenbuckel eine Geschwindigkeit haben, die abh�angig von der Wellenl�ange ist.
� << h v =
rg
k=
sg�
2�
Der Wellenbuckel l�auft auseinanderl�auft, wir beobachten Dispersion.Ist die Wellenl�ange gross gegen�uber der Wassertiefe, so h�angt die Geschwindigkeit nur von
der Wassertiefe h ab.� >> h v =
pgh
Mit abnehmender Wassertiefe wird die Welle langsamer und �uberschl�agt sich als Brandung imseichten K�stenwasser. Auch im Wasser gibt es an der Ober �ache nicht sichtbare Schallwellen.
Ein elektrisches Kabel kann man sich als eine Kette von Kondensatoren und Spulen (Indukti-vit�aten) vorstellen, d. h. eine Kette von Thomson'schen Schwingkreisen (siehe Abschnitt 4.4.3.2Wechselstr�ome). Die Eigenfrequenz eines Thomson'schen Schwingkreises ist !0 = 1=
pLC, wo-
bei C die Kapazit�at des Kondensators und L die Induktivit�at der Spule ist. Die Induktivit�atpro Einheitsl�ange eines Kabel bezeichnet man mit L0, die Kapazit�at pro Einheitsl�ange mit C0.Ein elektrischer Puls durchl�auft das Kabel mit
v =
r1
L0C0� 0:6c
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist v � c = 3�108
m/s. In Materie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner, abh�angend von der Dielektri-zit�atskonstante � und der magnetischen Permeabilit�at � des Materials.
v =1p
��0��0Vakuum : � = � = 1 v = c =
s1
�0�0
2.13.3 Energietransport durch Wellen
Mit einer fortlaufenden Welle irgendeines Typs wird Energie transportiert. Erinnern wir unszun�achst wieder an die Kette gekoppelter Oszillatoren (siehe Abschnitt 2.12.4). Schwingt der er-ste, so ist seine totale Energie zeitlich konstant und gleich der kinetischen Energie bei maximalerGeschwindigkeit oder der potentiellen Energie bei maximaler Auslenkung:
x = x0 sin!0t; v = !0x0 cos!0t ) xmax = x0; vmax = !0x0; !2
0=
k
m
E =m
2v2 +
k
2x2 =
m
2!2
0x2
0 =m
2v2max = const
Durch die Kopplung wird die Energie auf den zweiten Oszillator �ubertragen. Nach einergewissen Zeit ist der erste Oszillator in Ruhe und der zweite hat die volle Energie E. Diese
2.193
Energie�ubertragung setzt sich dann entlang der Kette fort. Von diesem Bild leiten wir ab,dass die transportierte Energie proportional ist zum Quadrat der Amplitude der Erregung derWelle x2
0, zur Masse des Oszillators m, und zum Quadrat der Frequenz des Oszillators !2
0. Eine
�ahnliche Situation �nden wir f�ur alle Wellentypen.F�ur eine transversale Seilwelle ist die Energie des Seilelements dxmit der Masse dm = �dx =
A�dx (� = Dichte, A = Querschnitts �ache):
dE =dm
2v2max =
�dx
2u20!
2 =A�dx
2u20!
2
Hier haben wir benutzt, dass die maximale Geschwindigkeit vmax des Seilelements sich aus demMaximum der zeitlichen Ableitung der Auslenkung u = u0 sin(kx� !t) ergibt:
vmax =
�@u
@t
�max
= u0!
Der Energie uss, d. h. die Energiemenge dE, die im Zeitintervall dt durch den Seilquerschnittstr�omt, ist dann
� =dE
dt=dE
dx
dx
dt=�A
2u20!
2v
Der auf die Fl�ache des Seilquerschnitts A bezogene Energie uss J = �=A wird Intensit�at derWelle genannt
J =�
A=
�
2u20!
2v
Die Resultate f�ur die Seilwelle best�atigen uns die Beobachtungen bei der Oszillatorenkette.Von der f�ur die Intensit�at erhaltenen Beziehung lassen sich die f�ur alle Wellentypen g�ultigenAussagen ableiten:
Intensit�at / u20 Amplitude der Welle im Quadrat/ !2 Frequenz der Welle im Quadrat/ v Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
Die Intensit�at einer elektromagnetischen Welle ist z. B. proportional zum Quadrat derAmplitude der elektrischen und magnetischen Feldst�arke (E0 bzw. B0) des sich ausbreitendenelektromagnetischen Feldes (v = c):
J / E2
0!2v = E2
0
�2�
�
�2
c3
Je kleiner die Wellenl�ange ist, desto gr�osser ist die transportierte Energie.Signal�ubertragung durch Wellen: Wellen spielen nicht nur als �Ubermittler von Ener-
gie sondern auch von Signalen und Information in unserer Umwelt eine fundamentale Rolle.Zwischen Lebewesen werden optische und akustische Signale ausgetauscht, die durch Wellen
�ubertragen werden. In der Technik werden elektromagnetische Wellen verschiedenster Frequen-zen zur Signal�ubertragung auf k�urzeren (� 100 m) wie auf l�angeren Distanzen (z. B.� 2�109 kmErde$ Jupiter) ben�utzt. Zunehmend wichtig werden Lichtwellen in Lichtleitern (optische Faser-kabel) f�ur die Nachrichten�ubermittlung. Im Organismus besorgen elektrische Spannungspulse,die als Wellen l�angs der Nervenfasern wandern, den Informationstransport.
Zu einem vollst�andigen �Ubertragungssystem geh�oren im Prinzip
2.194
� ein schwingender Sender, z. B. ein mechanischer oder elektrischer Oszillator,
� die abgestrahlte, fortlaufende Welle,
� und ein Empf�anger, oft ebenfalls ein Oszillator, der durch die einfallende Welle zu er-zwungenen Schwingungen angeregt wird, mit einer abstimmbaren Eigenfrequenz, um dasResonanzph�anomen n�utzen zu k�onnen.
H�au�g �nden auf dem �Ubertragungsweg Umwandlungen des Schwingungs- und Wellentypsstatt, z. B. von elastischen mechanischen Schwingungen zu elektromagnetischen bei Telephonoder Radio.
Eine streng harmonische Welle, die im Empf�anger eine harmonische Schwingung u(t) =u0 sin(!t � �) erzeugt, kann kein Signal �ubertragen, da ihre Frequenz, Amplitude und Pha-senkonstante �uber unendlich lange Zeiten konstant sind. Soll zu einer bestimmten Zeit einSignal �ubermittelt werden, so muss sich mindestens eine dieser Gr�ossen �andern, die Wellemuss moduliert werden. Dies kann durch einfaches Ein- und Ausschalten geschehen, z. B.bei automatischen T�ur�o�nern, Einbruchsicherungen usw., wo die Unterbrechung eines Licht-strahls (Lichtwelle als Signaltr�ager) ein Signal ausl�ost. Auf dem gleichen Prinzip beruht dieSprach�ubertragung mit Morsezeichen, die ebenfalls nur Ein- und Ausschaltvorg�ange einer har-monischen Licht- oder Schallwelle darstellen. Im allgemeinen besteht die Amplitudenmodu-lation nicht nur im Wechsel von Ein- und Aus-Zust�anden, u0(t) = u0 oder u = 0, sondernes ist u0(t) explizit eine zeitabh�angige Funktion. Oft wird auch harmonisch moduliert, wie z.B. u0(t) = um(1 + am cos!mt). Die Modulationsfrequenz !m ist in der Regel viel kleiner alsdie Tr�agerfrequenz !. Radiowellen im Lang- und Mittelwellenbereich werden auf diese Weisemoduliert. Die Tr�agerfrequenz betr�agt je nach Sender zwischen 150 kHz und 1600 kHz, die Mo-dulationsfrequenzen liegen im H�orbereich. Statt der Amplitude kann auch die Frequenz, bzw.die Phase einer Welle zeitabh�angig sein, d. h. moduliert werden, wie z. B. bei den UKW-Radiowellen. Auch bei der Signal�ubertragung im Organismus ist die H�au�gkeit (Frequenz) derSignalpulse und nicht ihre Amplitude das Mass f�ur die St�arke eines Reizes.
2.13.4 Superposition, Re exion, Transmission und Fourieranalyse
P anzen sich mehrere Wellenz�uge im gleichen Medium fort so gilt das Superpositionsprinzip. Esbesagt, dass die Wellenz�uge sich �uberlagern, und dabei verst�arken oder auch gegenseitig redu-zieren, ja sogar ausl�oschen k�onnen. Abbildung 2.103 illustriert eine solche Situation am Beispielzweier Wellenz�uge, die in entgegengesetzter Richtung einem Seil entlang laufen. W�ahrend derkurzen Zeit, in der sie �uberlappen, kann je nach Beobachtungszeitpunkt im Ortsbild verst�arktewie auch reduzierte Auslenkung der Seilelemente beobachtet werden.
Eine pr�azisere Formulierung des Superpositionsprinzips lautet: Wenn zwei oder mehr Wellendasselbe Medium passieren, ist die Verschiebung irgendeines Teilchens die Summe der Verschie-bungen, die die einzelnen Wellen ihm erteilen w�urden. Das Superpositionsprinzip gilt f�ur jedeArt von Erregung und f�ur jeden Wellentyp.
Tri�t eine Welle auf eine Diskontinuit�at, so k�onnen je nach Situation verschiedene E�ekteauftreten. Unter Diskontinuit�at verstehen wir hier eine Ver�anderung des Mediums in irgendeinerForm, { eine Schallwelle die sich in Luft fortp anzt tri�t auf eine Wand, { eine Schallwelle ineinem Stab erreicht dessen Ende, { eine elektrische Welle wird in ein Koaxialkabel geschickt,dessen Ende o�en oder kurzgeschlossen ist, { eine elektromagnetische Lichtwelle tritt von Luft
2.195
Abbildung 2.103: Superposition zweier Wellenz�uge in einem gespannten Seil. Gezeigt sindneun Ortsbilder zu verschiedenen Zeiten t. Die von links und von rechts einlaufenden Wel-len �uberlagern sich f�ur in einen kurzen Zeitintervall. Die totale Erregung kann st�arker oderschw�acher sein als die einzelne Welle f�ur sich. Die Zentren der Wellenz�uge sind mit Pfeilenmarkiert.
in das Glas einer Brille ein, { in einem See �andert sich die Wassertiefe an einer Stelle drastischin der N�ahe eine Untiefe, usw. In allen F�allen beobachtet man, dass die Wellen sich ver�andern,Teile laufen weiter, dringen in das neue Medium nach der Grenze ein, andere Teile werden ander Grenze re ektiert, und laufen im urspr�unglichen Medium r�uckw�arts. Man nennt spricht vonTransmission beim �Ubergang in das neue Medium und von Re exion beim im alten Mediumverbleibenden Anteil.
In Abbildung 2.104 ist skizziert, wie eine Schallwelle in zwei Anteile aufgespalten wird, wennsie vom Medium 1 an einer Grenz �ache in ein neues Medium 2 �ubertritt. Relevant f�ur dieAusbreitung von Schallwellen sind, wie wir gesehen haben die Materialkonstanten Dichte �i,Elastizit�atsmodul Ei und Ausbreitungsgeschwindigkeit vi =
pEi=�i (i = 1; 2). In der N�ahe
der Grenz �ache �uberlagern sich nach dem Superpositionsprinzip die einlaufende Welle und diere ektierte Welle, die sich im gleichen Medium in entgegengesetzter Richtung bewegen.
Um quantitativ zu ermitteln wie gross re ektierte und transmittierte Anteile f�ur eine ge-
2.196
Abbildung 2.104: Jede Zeile zeigt vier zu verschiedenen Zeiten registrierte Ortsbilder einerSchallwelle, die bei x = 0 auf eine Grenz �ache zwischen zwei Medien tri�t (1: x < 0, 2: x > 0).Die oberste Zeile zeigt nur den einfallenden Wellenzug, die zweite nur den re ektierten, die dritteden durchgehenden (transmittierten) und die letzte Zeile schliesslich die totale Schallwelle, d.h. die Summe aller drei Anteile. (r = (�1v1)=(�2v2) = 0:1; v1 = v2)
gebene Situation sind, konzentrieren wir uns auf Schallwellen, und schr�anken uns ferner aufharmonische St�orungen ein. Letzteres tun wir allerdings nur um die mathematische Diskussionm�oglichst einfach zu halten, die Resultate gelten f�ur jede Wellenform.
Medium 1 Medium 2x = 0
Einlaufende Welle: ui = A cos(k1x� !1t) Auslaufende Welle: ut = C cos(k2x� !2t)(! +x) (! +x)
Auslaufende Welle: ur = B cos(k1x+ !1t)(! �x)
2.197
F�ur x = 0 gilt zu allen Zeiten (Gleichheit der Erregung an der Grenz �ache):
A cos(�!1t) +B cos(!1t) = C cos(�!2t)
) !1 = !2;�1�2
=v1!1
!2v2
=k2k1
=v1v2; ) A+B = C
F�ur x = 0 gilt zu allen Zeiten (Gleichheit der Normalspannungen an der Grenz �ache):
� = �E =@u
@xE; �1 = �2
k1A sin(�!1t)E1 + k1B sin(!1t)E1 = Ck2 sin(�!2t)E2 ) E1k1(�A+B) = �Ck2E2
) (A� B) = Ck2k1
E2
E1
= Cv1v2
E2
E1
= C
sE2�2E1�1
L�osen wir die beiden obigen Beziehungen f�ur A + B und A � B auf, so ergibt sich f�ur dasVerh�altnis der Amplituden der re ektierten bzw. transmittierten Welle zu der der einfallendenWelle
B
A=
�1v1 � �2v2�1v1 + �2v2
C
A=
2�1v1�1v1 + �2v2
Mit Re exionskoe�zient (R) bezeichnet man das Verh�altnis der re ektierten zur einfallendenIntensit�at,
R =jBj2jAj2
�1v1�1v1
= (r � 1
r + 1)2 r � �1v1
�2v2
mit Transmissionskoe�zient das Verh�altnis der transmittierten zur einfallenden Intensit�at,
T =jCj2jAj2
�2v2�1v1
=4r
(r + 1)2
Die Erhaltung der Energie verlangt, dass R+T = 1 gilt, was die obigen Ausdr�ucke erf�ullen.Die Gr�osse, welche die Re exion bestimmt, ist in diesem Fall das Produkt �v, die sogenannte
Schallh�arte des Mediums. In Abbildung 2.107 sind verschiedene Situationen illustriert f�ur den�Ubergang von einem schallharten zu einem schallweichem Material und umgekehrt.
Spezialf�alle:
i) �1v1 = �2v2 ) B = 0; C = A. Es tritt keine Re exion auf: R = 0; T = 1.
ii) �1v1 >> �2v2 ) B = A; C = 2A. Es tritt nur Re exion auf: R = 1; T = 0. Die totaleAmplitude an der Stelle x = 0 betr�agt A+ B = 2A, freies Ende.
iii) �1v1 << �2v2 ) B = �A; C = 0. Auch hier tritt nur Re exion auf: R = 1; T = 0. DieAmplitude an der Stelle x = 0 ist A+B = 0, �xiertes oder kurzgeschlossenes Ende.
Wird eine Welle in ein unbekanntes Medium geschickt, so kann aus dem re ektierten Anteilauf Unstetigkeiten der Schallh�arte �v und aus der Laufzeit auf die r�aumliche Distanz zu dieseroder auch anderen Unstetigkeiten geschlossen werden. Diese Methode wird in der Geologie(z. B. Erdbebenwellen) angewandt, in der Schi�ahrt dient das Echolot zur zur Messung derWassertiefe. Flederm�ause, Wale und Delphine orientieren sich im Dunkeln durch Aussenden vonUltraschallsignalen, kommunizieren mit Artgenossen, lokalisieren Beutetiere oder orientieren sich
2.198
Abbildung 2.105: Die Hufeisen-nase kann eine iegende Mottein totaler Dunkelheit lokalisierenund auch ihre Geschwindigkeitfeststellen, indem sie Schallwel-len aussendet (Ultraschall: � �80 kHz, von Menschen nicht h�or-bar) und die von der Motte re- ektierten Signale registriert.
beim Flug im Dunkeln (siehe Abbildung 2.105). Auch in der Medizin wird mit die Ultraschall-Echographie z. B. in der pr�anatalen Diagnostik verwendet (siehe Abbildung 2.106).
Fourier-Zerlegung und Fourier-Reihe: Wir haben bei der Berechnung der Re exions-und Transmissionskoe�zienten uns auf Wellen beschr�ankt, die harmonische Funktionen desOrts und der Zeit sind. �Ahnlich ins wir bei der Wellengleichung vorgegangen und ganz amAnfang dieses Kapitel bei den Ortsbildern und Zeitbildern war dies auch der Fall. Dies geschahnicht nur aus dem Bed�urfnis heraus, die mathematischen Zusammenh�ange m�oglichst einfach zuhalten, sondern auch, weil uns der Satz von Jean-Baptiste Fourier (1768 - 1830) lehrt, dass jedeperiodische Funktion als Summe von harmonischen Funktionen aufgefasst werden kann. Ist u(t)eine solche periodische Funktion mit einer Periode T , d. h. u(t+ T ) = u(t), dann gilt
u(t) =1Xn=0
(An cos!nt+ Bn sin !nt) mit !n =2�n
T
Sind die Fourier-Koe�zienten An und Bn bekannt, so ist u(t) eindeutig bestimmt. Ist umgekehrtu(t) vorgegeben, so lassen sich An und Bn berechnen:
A0 =1
T
Z T
0
u(t)dt =
"1
T
Z T
0
u(t) cos(!0t)dt
#; B0 = 0
An =2
T
Z T
0
u(t) cos(!nt)dt; Bn =2
T
Z T
0
u(t) sin(!nt)dt (n � 1)
Die Fourier-Koe�zienten oder ihre graphische Darstellung, das sogenannte Frequenzspek-trum eignen sich sehr gut dazu, komplizierte periodische Funktionen eindeutig zu charakteri-sieren. Dies gilt nicht nur f�ur Zeitfunktionen, wie sie z. B. beim H�orvorgang (Musik, Spre-chen etc., siehe Abschnitte 2.13.6 und 2.13.7) oder auch medizinischen Diagnosemethoden wieElektrokardiogrammen und Elektroencephalogrammen aufgenommen werden, sondern auch f�urOrts-Funktionen. Wenn man eine Ortsfunktion nach Fourier-Komponenten zerlegt, muss die
2.199
Abbildung 2.106: Eine Ultraschallaufnahmeeines Foetus der nach seinem Daumen sucht,um zu saugen. Die Frequenz der benutztenSchallwellen ist etwa 5 MHz.
Abbildung 2.107: Re exion und Transmission von Schallwellen an der Grenz �ache zweier Mate-rialien. Oben links: r = 0:1; v1 = 2v2, d. h. �Ubergang schallweich zu schallhart mit Reduktionder Ausbreitungsgeschwindigkeit; oben rechts: r = 0:1; v2 = 2v1, d. h. �Ubergang schallweich zuschallhart mit Vergr�osserung der Ausbreitungsgeschwindigkeit; unten links: r = 10; v1 = 2v2,d. h. �Ubergang schallhart zu schallweich mit Reduktion der Ausbreitungsgeschwindigkeit; un-ten rechts: r = 10; v2 = 2v1, d. h. �Ubergang schallhart zu schallweich mit Vergr�osserungder Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die vier verschiedenen Kurven zeigen Ortsbilder der totalenErregung zu vier verschiedenen Zeiten { durchgezogen: vor dem Auftre�en auf die Grenz �ache,nur einlaufender Anteil erkennbar { lang gestrichelt: der Anfang des Wellenzugs hat die Grenzeschon erreicht, { kurz gestrichelt: das Ende des Wellenzugs erreicht die Grenze, re ektierte unddurchgehende Anteile sind deutlich erkennbar, { kurz-lang gestrichelt: nur noch auslaufendeAnteile erkennbar.
2.200
Frequenz ! und die Periode T durch die Wellenzahl k und die Wellenl�ange � ersetzt werden:
u(x) = u(x+ �) =1Xn=0
(An cosknx+ Bn sin knx) mit kn =2�n
�
A0 =1
�
Z �
0
u(x) cos(kx)dx; B0 = 0
An =2
�
Z �
0
u(x) cos(knx)dx; Bn =2
�
Z �
0
u(x) sin(knx)dx (n � 1)
Auch nicht-periodische Funktionen (T ! 1) lassen sich nach Fourier zerlegen. Statt derFourier-Koe�zienten An und Bn, die zu festen Werten von ! = !n geh�oren, statt eines diskre-ten Frequenzspektrums, erhalten wir dann eine kontinuierliche Frequenz-Verteilung A(!), bzw.B(!), die Fourier-Summe wird zum Fourier-Integral.
Abbildung 2.108 zeigt als Beispiel die Fourier-Zerlegung der periodischen S�agezahn-Funktion:
u(x) = 1� 2x
�; 0 � x � �; u(x+ �) = u(x)
Aus den obigen Formeln k�onnen wir die Koe�zienten berechnen
An =2
�
Z �
0
(1� 2x
�) cos(knx)dx = 0; Bn =
2
�
Z �
0
(1� 2x
�) sin(knx)dx =
2
�
1
n
und es ergibt sich
u(x) = 1� 2x
�=
2
�
�sin kx+
1
2sin(2kx) +
1
3sin(3kx) + : : :
�=
2
�
1Xn=1
1
nsin(
2�nx
�)
2.13.5 Stehende Wellen
Ist das Medium, in dem sich die Wellen ausbreiten, r�aumlich begrenzt, so k�onnen unter geeigne-ten Bedingungen stehende Wellen auftreten. Unter stehenden Wellen versteht man Wellen, diean festen Stellen im Raum Knoten (Punkte, Linien oder Fl�achen verschwindender Auslenkung)oder B�auche (maximale Auslenkung) zeigen. Das Ph�anomen der stehenden Wellen tritt in ein-,zwei- und dreidimensionalen Systemen auf, l�asst sich aber am leichtesten zun�achst an einem ein-dimensionalen System, n�amlich einer schwingenden Saite einf�uhren. Wird eine Saite, welche anbeiden Enden fest eingespannt ist, angezupft, so wird die so erzeugte Welle am eingespannten En-de re ektiert und �uberlagert sich der einlaufenden. Wiederholt man das Anzupfen in geeignetenZeitabst�anden, so kann man die sogenannten Grund- und Oberschwingungen der Saite anregen,wie sie in Abbildung 2.109 gezeigt sind. Die niedrigste Antriebsfrequenz, bei der eine stehendeWelle mit Knoten nur an den beiden Enden der Saite entsteht, geh�ort zur Grundschwingung, beider die Wellenl�ange doppelt so gross ist wie die L�ange der Saite. Bei ganzzahligen Vielfachen derGrundfrequenz treten die Oberschwingungen auf, deren Wellenl�angen ganzzahligen Bruchteilender doppelten Saitenl�ange entsprechen. Diese Beobachtungen lassen sich mit unseren Kenntnis-sen �uber die Re exion an festen Enden und mit dem Superpositionsprinzip erkl�aren. Abbildung2.110 illustriert die diskutierte Situation. Mit u(x; t) bezeichnen wir die transversale Auslenkungder Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist. Die von rechts (x > 0) auf die Einspannstelle
2.201
Abbildung 2.108: Die im erstenBild (oben links) dargestellte S�a-gezahn-Kurve wird in ihre Fou-rier-Komponenten zerlegt. Daszweite bis f�unfte Bild zeigen dieKurve im Vergleich zur Fourier-Reihe, die nach dem ersten, zwei-ten, dritten bzw. vierten Termabgebrochen wird. Das letzteBild (unten rechts) zeigt das da-zugeh�orige Fourier-Spektrum, d.h. die Amplitude des entspre-chenden Summanden in der Fou-rier-Reihe.
bei x = 0 einlaufende Welle u(x; t) = u0 cos(kx+ !t) �uberlagert sich der dort mit umgekehrterAmplitude re ektierten, nach rechts auslaufenden Welle u(x; t) = �u0 cos(kx � !t). F�ur dietotale Auslenkung, die an den beiden Enden bei x = 0 und x = L zu allen Zeiten verschwindenmuss, ergibt sich dann:
u(x; t) = u0 cos(kx+ !t) � u0 cos(kx� !t) = �2u0 sin kx sin!t
u(L; t) = �2u0 sin(kL) sin!t = 0 ) sin kL = 0; kL = n�; n = ganz
Bezeichnen wir den Wert der Wellenzahl k, der zur ganzen Zahl n geh�ort, mit kn, die dazu-geh�orige Wellenl�ange mit �n, so ergibt sich
kn =2�
�n=
n�
L) �n =
2L
n
Da zwischen Wellenzahl und Frequenz die eindeutige Beziehung !n = knv besteht, gilt ferner
!n =n�
Lv
Die Erregung l�angs der Saite l�asst sich damit schreiben als
un(x; t) = �2u0 sin(knx) sin(!nt); 0 � x � L
W�ahrend bei fortlaufenden Wellen nur die Geschwindigkeit durch das wellentragende Medi-um vorgegeben ist, sind bei stehenden Wellen durch die Begrenzung zus�atzlich die Wellenl�angen,
2.202
Abbildung 2.109: Stehende Wellen in einerSaite der L�ange L = 0:5 m. Bei der Grund-schwingung bewegen sich alle Saitenelementein Phase auf und ab. F�ur die Wellenl�ange gilt� = 2L = 1 m. F�ur die Oberschwingungen (inder vertikalen Achse versetzt gezeichnet) �n-det man �n = 2L=n. n ist eine ganze Zahl.An den eingespannten Enden tritt immer einKnoten auf.
λ2
λ2
λ2
t=0 14 Tt= 1
2 Tt= 34 Tt= t=T
Abbildung 2.110: Die f�unf zu verschiedenen Zeiten aufgenommenen Ortsbilder der einfallendenund re ektierten, nach links bzw. rechts fortlaufenden, harmonischen Wellen zeigen, wie die�Uberlagerung der beiden Wellen zu einer stehenden Welle f�uhren kann, bei der die Knoten undB�auche ortsfest sind.
bzw. Frequenzen quantisiert, d. h. es kommen nur diskrete Werte vor. Dem Wert n = 1 ent-spricht die Grundfrequenz
!1 = 2��1 =�
Lv; �1 = 2L
Die Oberschwingungen (Obert�one ) entsprechen den Zahlen n = 2; 3 : : :, also ganzen Vielfachender Grundfrequenz, wie wir vorher schon bemerkten. Die erste Oberschwingung unterscheidetsich von der Grundschwingung in der Frequenz um einen Faktor zwei, d. h. um eine Oktave.Beispiel { Kammerton: Um mit einer gespannten Stahlsaite (Durchmesser d = 0.5 mm) von1 m L�ange den Kammerton (� = 440 Hz) erzeugen zu k�onnen, muss man diese mit einer KraftZ = 1216 N vorspannen:
v = �1�1 = 2L�1 =
sZ
�) Z = �v2; � =
�d2
4� = 0:00157
kg
m
2.203
Beispiel - eingespannte, elastische St�abe: Der an beiden Enden eingespannte Stab zeigtdie gleichen Normalschwingungen wie die beidseitig eingespannte Saite. Dies gilt sowohl f�urtransversale Auslenkung (transversale Schallwellen) wie f�ur longitudinale Auslenkung (longitu-dinale Schallwellen). Da sich aber die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der longitudinalen undder transversalen Schallwelle unterscheiden, unterscheiden sich auch die zu den entsprechendenWellenl�angen geh�orenden Frequenzen:
�n =2L
n; �n;long =
vlong�n
=n
2L
sE
�
�n;trans =vtrans�n
=n
2L
sG
�G =
E
2(1 +m)
Das Schubmodul G ersetzt das Elastizit�atsmodul E. F�ureinen an beiden Enden o�enen Stab gelten die gleichen Be-ziehungen, jedoch �nden wir nun an den Stabenden Schwin-gungsb�auche statt -knoten. Ist der Stab in der Mitte �xiert,aber an den Enden o�en, so erzwingt man damit einen Kno-ten in der Mitte. Die geradzahligen Werte von n kommendann nicht vor, nach der 1. Eigenschwingung oder Grund-schwingung folgt, die dritte Eigenschwingung oder zweiteOberschwingung. Dies f�uhrt zu der Wellenl�angenbeziehung
�n =2L
2n� 1; n = 1; 2; 3; : : :
Ist der Stab nur an einem Ende eingespannt, wie zum Bei-spiel ein Degen, so ergibt sich
�n =4L
2n� 1; n = 1; 2; 3; : : :
(a) (b)
1.EigenschwingungGrundschwingung
2.Eigenschwingung1.Oberschwingung
3.Eigenschwingung2.Oberschwingung
4.Eigenschwingung3.Oberschwingung
1.EigenschwingungGrundschwingung
2.Eigenschwingung1.Oberschwingung
3.Eigenschwingung2.Oberschwingung
4.Eigenschwingung3.Oberschwingung
Bei nichtresonanter Anregung, wie dies z. B. beim Streichen, Schlagen oder Zupfen einesSaiteninstruments geschieht, werden nicht stehende Wellen einer de�nierten Frequenz angeregt,sondern ein ganzes Spektrum davon. Der allgemeine Schwingungszustand ist dann jeweils eineSuperposition harmonischer Normalschwingungen,
u(x; t) =Xn
An cos(!nt+ �n) sinknx
Beispiele - Membranen, Hohlk�orper: Stehende Wellen treten auch in zwei und mehrdi-mensionalen Systemen auf. Abbildung 2.112 zeigt die Grund- und Oberschwingungen einerStimmgabel. Die Stimmgabel ist h�au�g mit einem h�olzernen Hohlk�orper verbunden, dessenDimensionen so eingerichtet sind, dass die Grundfrequenzen �ubereinstimmen (siehe auch Ab-schnitt 2.13.6). Der Hohlk�orper wirkt als Resonator, der die Schallwelle in der Stimmgabel ineine Schallwelle im Raum, die in allen Richtungen wahrnehmbar ist, verwandelt. Die gleiche
2.204
Bass SaxophonBariton Saxophon
Tenor SaxophonAlt Saxophon
Sopran Saxohon
ViolineGeige
CelloBass
Abbildung 2.111: Der durch die horizontalenBalken angedeutete Frequenzbereich der ge-zeichneten Streichinstrumente und Saxopho-ne h�angt mit der Gr�osse des Instruments zu-sammen. Die Frequenzskala ist durch die Ta-sten angedeutet, die Frequenzen nehmen vonlinks nach rechts zu.
Funktion haben nat�urlich auch die K�orper der Saiteninstrumente. Die Wellenl�angen der Grund-schwingungen sind immer durch die linearen Dimensionen bestimmt. Je tiefer die T�one undFrequenzen sind, desto gr�osser sind die Klangk�orper (siehe Abbildung 2.111). Bildet man dasVerh�altnis der Wellenl�angen von Oberschwingungen untereinander und zur Grundschwingung,so ergibt dies nicht notwendigerweise ganze Zahlen. Dies ist nur f�ur die einfachen eindimensio-nalen Systeme so. F�ur schwingende Gl�aser, S�agen und andere komplexere Systeme �ndet mandie Schwingungszust�ande h�au�g nur experimentell, und nicht mathematisch. F�ur quadratischeund kreisf�ormige Membranen lassen sich die Normalschwingungen sichtbar machen, indem mandie Membranen mit Schmirgelpulver bestreut. Nur an den Knoten bleibt das Pulver auf derangestrichenen Membran liegen. Man nennt die entsprechenden Figuren nach ihrem EntdeckerChladni'sche Klang�guren (Abbildungen 2.112 und 2.113).
2.13.6 Schallwellen in Gasen { stehende Wellen in Pfeifen
In festen K�orpern k�onnen longitudinale Schallwellen (erzeugt durch Druck oder Zug) oder trans-versale Schallwellen (erzeugt durch Schub) auftreten. In einem Gas verschieben sich Gasschich-ten elastisch aus ihrer Ruhelage und es treten damit verbunden auch lokale Druck�anderungenauf. Man bezeichnet Schalldruck ps die Abweichung des momentanten Gasdrucks p(t) vom Mit-telwert p0. Die ruhende Gasschicht (an der Stelle x mit dem Querschnitt A und der Dicke �x,siehe Abbildung 2.114) wird durch die Schallwelle, f�ur die wir wieder eine harmonische Formannehmen, verschoben um
u(x; t) = u0 sin(kx� !t)
Die Dicke der betrachteten Schicht �andert sich unter dem Ein uss der Schallwelle, weil dieverschiedenen Lagen der Schicht sich unterschiedlich verschieben. Die relative �Anderung desVolumens V = A�x zu einer festen Zeit betr�agt:
�V
V=
1
A�xA (u(x+�x)� u(x)) =
�u
�x
2.205
Abbildung 2.112: Grund- undOberschwingungen einer Stimm-gabel (oben). Ernst Chladni(1756 - 1827) f�uhrt 1809 KaiserNapoleon seine Klang�guren vor(unten).
Abbildung 2.113: Stehende Wellen in einer Kesselpauke. Diebeobachteten Muster entsprechen den Chladni'schen Klang-�guren f�ur eine kreisf�ormige Membran.
vx
λ
∆x
u
u0u0
KompressionExpansion
Gleichgewichtsposition
Oszillierende Schicht
Abbildung 2.114: Verschiebung der Luftschichten in einer longitudinalen Schallwelle in einemGas.
2.206
Mit �x! 0 und �u=�x(t =const.)! @u=@x erh�alt man
�V
V= ���p =
�@u
@x
�t= u0k cos(kx� !t) � ��ps
Daraus folgt f�ur den Schalldruck
ps = �u0k�
cos(kx� !t) = p0s cos(kx� !t)
F�ur die Intensit�at der Schallwellen erhalten wir damit
J =�
2u20!
2v =�
2
��p0sk
�2!2v =
p20s
2�v
Die Einheit der Schallintensit�at ist"Druck2
Dichte Geschwindigkeit
#=
�Watt
m2
�
L
λ=2L
ANA
Die Schalldruckwelle ist gegen�uber der Verschiebungswelleum �=2 phasenverschoben. Dies sieht man besonders gut beiPfeifen, in denen auch in Pfeifen stehende Wellen angeblasenwerden k�onnen.
An o�enen Enden entsteht jeweils ein Druckknoten, an geschlossenen dagegen ein Druck-bauch. Die Verschiebungswelle hat maximale Amplitude bei einem o�enen Ende, und einenKnoten wenn das Pfeifenende abgeschlossen ist. Abbildung 2.115 zeigt die Grundschwingungeiner beidseitig o�enen Pfeife, oben die Verschiebung, unten den Schalldruck zu verschiede-nen Zeiten. Die Resultate, die wir f�ur elastischen St�abe gefunden hatten, lassen sich unschwer
�ubertragen:
(i) Beidseitig geschlossene Pfeife : �n =2L
n; !n =
n�
Lv
(ii) Einseitig o�ene Pfeife; �n =4L
2n� 1; !n =
(2n� 1)�
2Lv
(iii) Beidseitig o�ene Pfeife : �n =2L
n!n =
n�
Lv
Diese Resultate lassen sich experimentell best�atigen durch
� Anblasen verschiedener Orgelpfeifen: Die l�angsten Pfeifen produzieren die tiefsten T�one,
� das einseitige Schliessen einer o�enen Pfeife w�ahrend des Anblasens: die Grundfrequenzverdoppelt sich, die Wellenl�ange halbiert sich, die H�ohe des Pfeifentons nimmt zu,
� das Betreiben von Pfeifen mit leichtem (Helium) und schwerem Gas (CO2): v(He) >
v(CO2) ) �(He) > �(CO2),
� das Betreiben mit heissem und mit kaltem Gas: v =p�RT=M , eine heisser Pfeifenton ist
h�oher als ein kalter.
2.207
Abbildung 2.115: Grundschwingung einer beidseitigeo�enen Pfeife.
Flöte
Oboe
Saxophon
Zeit
Abbildung 2.116: Wellenformen ver-schiedener Blasinstrumente.
In jedem schwingungsf�ahigen System, das in der Musikerzeugung eingesetzt wird, ob es nundie Saite einer Geige ist oder die Luft in einer Orgelpfeife, werden die Oberschwingungen gleich-zeitig mit den Grundschwingungen angeregt. Die relativen Anteile, d. h. wie stark die Obert�onedem Grundton beigemischt sind, bestimmen neben dem Einschwingvorgang die Klangfarbe einesInstruments. Die Wellenformen verschiedener Blasinstrumente di�erieren sehr stark, auch wenndie gleiche Note gespielt wird (Abbildung 2.116).
2.13.7 Physiologische Aspekte von Schallwellen
Die am Ende des letzten Abschnitts erw�ahnte Messung von Schallintensit�aten leitet �uber zurDiskussion von einigen physiologischen Aspekten des H�orens, d. h. der Verarbeitung von durchSchallwellen produzierten Signalen im Ohr. Schallintensit�atsmesser sind einfach zu bauen, sieben�otigen ein Mikrophon, einen Verst�arker und ein Anzeigeger�at. Es bereitet keine Schwierig-keiten sie in Watt/m2 zu eichen. Dem Arbeitsphysiologen aber, der sich f�ur den Krach in einerMaschinenhalle interessiert, w�are mit einem solchen Messinstrument nicht gedient. Schall st�ortnur, wenn man ihn h�oren kann. Ultraschall macht keinen L�arm. Aber auch im H�orbereichwertet das Ohr nicht alle Frequenzen gleich. Seine h�ochste Emp�ndlichkeit liegt im Frequenzbe-reich um 3 kHz - nicht ohne Grund br�ullen Babies bevorzugt auf dieser Frequenz. Hier h�ort dieMutter bereits eine Intensit�at 10�13 Watt/m2. Schon bei einer Frequenz von 1 kHz erfordert dieSchallwelle die zehnfache Lautst�arke, wie uns Abbildung 2.118 zeigt. Aus dem gleichen Grundist der technische Aufwand in einem Orchester f�ur die tiefen T�one ungleich gr�osser als f�ur diehohen T�one. Einer Piccolo �ote stehen sechs Kontrab�asse gegen�uber, statt eines Hauchs bedarfes der kr�aftigen Armbewegungen von sechs Streichern um das menschliche Ohr zu erreichen.
Nicht nur die Frequenzabh�angigkeit, sondern auch die Tatsache, dass die Sinnesorgane (hierdas Ohr) innerhalb des emp�ndlichen Bereichs keine Messinstrumente mit linear geeichter Skala
2.208
Gehör-knöchelchen
Labyrint
Gehörnerv
Gehör-schnecke
OhrmuscheläussererGehörgang
EustachischeRöhre
Trommelfell
Abbildung 2.117: Aufbau des menschlichenOhrs: Geh�organg, Trommelfell und Mittel-ohr mit Geh�orkn�ochelchen und EustachischerR�ohre, Innenohr mit den drei Ringen desGleichgewichtsorgans (Labyrinth) und derSchnecke, an der der Geh�ornerv ansetzt.
120
100dB80
60
40
200dB
10 20 50 200 500 1 2 5 10 20Hz kHz
10-10
10-7
10-4
10-13
0.11
10
I/Wm-2
Abbildung 2.118: Frequenzabh�angigkeit desH�orverm�ogens: Die Kurven geben an, beiwelchen Schallintensit�aten und -frequenzendas menschliche Ohr einen bestimmten Laut-st�arkeeindruck hat. Die oberste Kurve ent-spricht in etwa der Schmerzgrenze, die unter-ste der H�orgrenze.
sind., macht die physikalische Intensit�atseinheit physiologisch sinnlos. W�urde das Ohr Intensit�atlinear wahrnehmen, k�onnte es niemals den viele Zehnerpotenzen abdeckenden Intensit�atsbereichverarbeiten. Folglich wird das Ohr, wie auch das Auge vermutlich loagrithmisch reagieren, diespostuliert jedenfalls das Weber-Fechner'sche Gesetz. Man ben�utzt daher bei der Angabe einerSchallintensit�at eine logarithmische Skala, die wie folgt de�niert ist:
N [Dezibel (dB)] = 10 log10J
J0
Die dimensionslose Gr�osse N ist ein Mass f�ur Schallintensit�at relativ zu einer Referenzinten-sit�at J0. Diese legt den Nullpunkt der Skala fest und wurde so gew�ahlt, dass sie in etwa derWahrnehmungsgrenze des menschlichen Ohres bei � = 1000 Hz entspricht: J0 = 10�12 W / m2.Bei dieser Frequenz entspricht also z. B. J = J0 � 0 dB, J = 10J0 � 10 dB und J = 100J0 �20 dB.
Art des Schalls Phonzahl
Bl�atterrauschen/ sehr ruhiges Zimmer 10/ 20Gespr�ache/ l�armige Strasse 60/ 70laute Musik 80vorbeifahrender Zug bis 100Flugzeugmotor in 4 m Abstand 130H�orschaden je nach Dauer der Einwirkung ab ca. 80
Tabelle 2.12: Typische Laut-st�arken von Ger�auschen ge-messen in Phon.
Die Frequenzabh�angigkeit der empfundenen Lautst�arke wird in der Phonskala (Abbildung
2.209
120
80
40
020 100 1000 10000
0
40
80
120
LautstärkePhon W/m2
1
10-4
10-8
10-12
Frequenz in Hz
Scha
llpeg
el in
db
Scha
llint
ensi
tät
Abbildung 2.119: Phonzahlen auf derDezibelskala der Schallintensit�at inFunktion der Frequenz der Schallwelle.
2.119) mit ber�ucksichtigt. Man untersucht bei welcher Lautst�arke eine grosse Anzahl von Ver-suchspersonen einen Ton einer anderen Frequenz als etwa gleich laut emp�ndet wie den Nor-malton einer bestimmten Phonzahl. F�ur die Normfrequenz � = 1000 Hz stimmen Phon- unddB-Skala �uberein. Wegen ihrer Frequenzunabh�angigkeit kann die Phonskala auch f�ur Ger�auscheverwendet werden, die mehrere Frequenzen enthalten. Beispiele f�ur typische Phonzahlen sind inTabelle 2.12 angeben. Der H�orbereich des Menschens beginnt bei 20 Hz, die obere Grenze um20 kHz liegt bei j�ungeren Menschen h�oher als bei �alteren.
Schallwellen, die aus der Luft in unser Ohr gelangen, regen das Trommelfell zum Schwingenan. Zur m�oglichst re exionsfreien Weiterleitung der einfallenden Energie an die Eintrittsmem-bran des Innenohrs (ovales Fenster) dienen die dazwischen liegenden Kn�ochelchen Hammer,Amboss und Steigb�ugel. Vom ovalen Fenster wandern die Wellen l�angs der sogenannten Basi-larmembran und zwar so, dass verschiedene Frequenzen an verschiedenen Stellen der Membranresonant grosse Amplituden erzeugen. Die Frequenzinformation wird also in eine Ortsinforma-tion verwandelt.
Eine harmonische Welle, welche eine bestimmte Stelle der Basilarmembran anregt, wird alsreiner Ton wahrgenommen. Treten zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz auf, so h�angtihre Wirkung von der relativen Phase ab. Sind die beiden Wellen in Phase, so ist die gesamteAmplitude die Summe der Einzelamplituden. Sind sie um � ausser Phase, so resultiert dieDi�erenz der Amplituden. Diese sogenannten Interferenze�ekte spielen bei der Raumakustikeine grosse Rolle. Wir werden sie am Beispiel der Lichtwellen n�aher behandeln (siehe Abschnitt5.3). Hier wollen wir ein paar einfache F�alle behandeln.�Uberlagerung zweier Schallwellen mit gleicher Frequenz: Wenn wir annehmen, dass bei-de Schallwellen die gleiche Amplitude besitzen, kann die Gesamtintensit�at je nach der Phasenbe-ziehung zwischen den beiden Schallwellen innerhalb des Bereichs zwischen dem sich gegenseitigAusl�oschen und dem Vierfachen der Einzelintensit�at liegen:
u1(x; t) = u0 sin(kx�!t); u2(x; t) = u0 sin(kx�!t+�) ) u� = u1+u2 = 2 sin(kx�!t+ �
2) cos
�
2
J� / 4u20cos2
�
2= 2u2
0(1 + cos �) ) J� = 2(1 + cos �)J1 = 2(1 + cos �)J2
2.210
Maximale Intensit�at erh�alt man, wenn beide Wellen in Phase sind (� = 0; J� = 4J1). DieWellen l�oschen sich gegenseitig aus f�ur � = �.�Uberlagerung von zwei Schallwellen mit verschiedener Frequenz: Wenn wir einfach-heitshalber die Amplituden wieder als gleich und die Phasendi�erenz mit � = 0 annehmen, danntre�en zwei harmonische Wellen auf das Ohr, die zusammen auf das Trommelfell einwirken:
u1(x; t) = u0 sin(k1x� !1t); u2(x; t) = u0 sin(k2x� !2t) (A)
Mit �! =1
2(!1 � !2); �k =
1
2(k1 � k2); ! =
1
2(!1 + !2); k =
1
2(k1 + k2)
) u� = u1 + u2 = 2u0 sin(kx� !t) cos(�kx��!t) (B)
Was wir h�oren, h�angt sehr vom Frequenzunterschied �! ab. Ist er so gross, dass die Re-sonanzbereiche der beiden Frequenzen auf der Basilarmembran �ortlich gut getrennt sind, sonehmen wir reine T�one der Frequenz !1 und !2 wahr (Gleichung (A)). Unterschreitet �! je-doch einen Grenzwert �!G, so dass sich die Resonanzbereiche �uberlappen, dann h�oren wir einenreinen Ton der mittleren Frequenz !, dessen Amplitude jedoch zeitabh�angig ist (Gleichung (B)).Man h�ort eine sogenannte Schwebung.
Die elastischen Eigenschaften der Basilarmembran erlauben es also, solange die T�one nichtallzu nahe beieinander liegen, eine komplizierte Zeitfunktion in ihre harmonische Komponentenzu zerlegen und z. B. in einem Orchesterklang die einzelnen Stimmen herauszuh�oren, oder mitandern Worten eine Fourieranalyse vorzunehmen. Dass zwei T�one unterhalb einer Frequenz-di�erenz �!G miteinander verschmelzen, bedeutet dabei eine gewisse Unsch�arfe, die daraufberuht, dass die Resonanzstellen auf der Basilarmembran nicht scharf lokalisiert sind, sonderneine gewisse Breite haben.
Die Grenze der Frequenztrennung �!G zweier T�one ist frequenzabh�angig. Bei circa 400 Hzhat sie ein Minimum, das etwa einem Halbton entspricht:
A � 435 Hz; Gis � 411 Hz; ��GisA = 24 Hz;A
Gis=
12p2
Drei Oktaven (Faktor 8) h�oher bei etwa 3000 Hz betr�agt sie circa 350 Hz, also etwa einenGanzton.
A � 3480 Hz; Gis � 3285 Hz; G � 3100 Hz; ��GA = 380 Hz;A
G= 12p4
Es ist bemerkenswert, dass die Unterscheidungsgrenze f�ur zwei zeitlich aufeinanderfolgendereine T�one etwa 30-mal kleiner ist als die obige Grenze �!G zwischen gleichzeitigen T�onen.Bei 100 Hz kann man noch 0.1 Hz (0.1 %), bei 600 Hz noch 1.2 Hz (0.2 %) unterscheiden imVergleich zu 6 % bei zeitgleichen T�onen. Die Feinheit der Unterscheidung h�angt aber auch vonder Intensit�at ab, sie wird geringer bei niedrigerer Intensit�at.
Die Superposition von harmonischen Wellen, welche von der Basilarmembran nach Frequen-zen getrennt wahrgenommen werden, ergeben einen Klang (dissonant oder konsonant). EinGer�ausch oder Rauschen enth�alt so viele benachbarte Frequenzen, dass sie nicht trennbar sind.Sind s�amtliche Frequenzen mit gleicher Intensit�at darin enthalten, so spricht man in Analogiezu Lichtwellen von weissem Rauschen. Auch ein Knall enth�alt alle Frequenzen.
Kehren wir zur�uck zur �Uberlagerung zweier T�one, deren Frequenzdi�erenz gr�osser als dieGrenzdi�erenz �!G sei. Das Experiment zeigt, dass neben den beiden Frequenzen !1 und !2
2.211
auch Kombinationst�one !c, z. B. die Di�erenzen !c1 = !1 �!2, !c2 = 2!2� !1, !c3 = 3!2� !1etc. geh�ort werden. Dies ist mit den obigen �Uberlegungen nicht verst�andlich, sondern beruhtdarauf, dass Nichtlinearit�aten auftreten, weil, etwa bei grossen Amplituden, die Auslenkung desTrommelfells nicht mehr exakt proportional zur Wellenerregung u(x; t) ist. Auch die neuronaleVerarbeitung der akustischen Signale f�uhrt zu E�ekten, die h�oherer Ordnung sind.
2.13.8 Ausbreitung von Wellen im Raum
Wie wir gesehen haben wird in vielen F�allen eine Welle zun�achst in einem nahezu eindimensio-nalen Medium erzeugt, z. B. einem d�unnen Stab, einer Saite oder einer Pfeife. Zur m�oglichstvollst�andigen �Ubertragung dieser Wellen an den umgebenden Raum dienten oft zus�atzliche Re-sonatoren, z. B. K�orper von Streichinstrumenten, die Rachen-Mundh�ohle beim Sprechen etc.Die durch diese Resonatoren ausgesendeten Wellen p anzen sich dann dreidimensional fort. Diemathematischen Aspekte dieser Wellenausbreitung im Raum sollen nun kurz gestreift werden.
Die Wellenerregung ist im allgemeinen Fall von allen drei Orts-koordinaten sowie der Zeit abh�angig und eine L�osung der dreidi-mensionalen Wellengleichung, welche in kartesischen Koordinatengegeben ist durch
@2u
@t2= v2
@2u
@x2+@2u
@y2+@2u
@z2
!
Zwei spezielle L�osungstypen dieser Gleichung wollen wir im fol-genden diskutieren, n�amlich ebene Wellen und Kugelwellen. Be-wegt man in einem Wassertrog eine Blechplatte auf und ab, soentstehen l�angs der Kante des Blechs Wellenfronten (Wellenbergeund -t�aler), deren Kamm parallel zur Kante ist und die sich dannin einer Richtung senkrecht zur Kante ausbreiten. Die aufeinan-derfolgenden Wellenfronten sind parallel zueinander und f�ur allePunkte einer zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Ebene ist dieErregung konstant.
Kugelwellen kann man in der gleichen Anordnung erzeugen, indemman einen Stift auf und ab bewegt, d. h. von einem Punkt aus-gehende Wellen erzeugt. Die Orte konstanter Erregung sind nunKreise mit dem Ausgangsort der Wellen als Zentrum, im Raumentsprechend Kugel �achen. Wiederum steht der Vektor der Fort-p anzungsgeschwindigkeit senkrecht zu den Wellenfronten.
Ebene Wellen: W�ahlen wir die x-Richtung in Fortp anzungsrichtung, so hat eine ebeneWelle die Form
u(~r; t) = u(x; y; z; t) = u(x� vt) mit ~v k x; vx = v =!
k
Die Fl�achen konstanter Phase (� x� vt = konstant) sind Ebenen senkrecht zur x-Richtung((y; z)�Ebene), welche sich mit der Geschwindigkeit dx=dt = v fortbewegen ((x = vt+konst.).Handelt es sich speziell um harmonische Wellen, so ist
2.212
u(~r; t) = u0 sin(kx� !t)
Die Wahl der x�Achse ist willk�urlich. Ebene Wellen k�onnensich in irgendeiner beliebigen Richtung ausbreiten. In die-sem Fall de�nieren wir den Wellenvektor ~k so, dass sein Be-trag j~kj wie bisher die Wellenzahl ist, j~kj = 2�=�, und seineRichtung mit der Geschwindigkeitsrichtung zusammenf�allt:~k k ~v. Die Erregung ist dann gegeben durch
u(~r; t) = u0 sin(~k � ~r � !t)
Die Fl�achen konstanter Phase sind durch die Ebenenglei-chung gegeben
~k � ~r� !t = konst:
~k und damit ~v stehen wiederum senkrecht auf den Ebenen.
z
y
x
v
k
Kugelwellen: Sich radial von einer Punktquelle ausbreitende Wellen werden durch die folgendeForm der Erregung beschrieben
u(~r; t) = u0(t) sin(kr � !t)
Die Phase (� kr � !t) ist wie gew�unscht konstant auf Ku-gel �achen mit dem Radius r = 1
k (!t+konst). Diese Kugel- �achen bewegen sich mit der Geschwindigkeit v = !=k radi-al nach aussen. Da sich die Ober �achen dieser Kugeln da-bei proportional zu r2 vergr�ossern, der gesamte Energie ussdurch eine solche Fl�ache aber konstant bleibt (Energieerhal-tung), muss die Amplitude nach aussen mit 1=r abnehmen:u0 ! u0=r. Daher gilt
u(~r; t) =u0rsin(kr� !t)
Bei Kugelwellen, die nicht von einem Punkt ausgehen, sondern z. B. wie Radiowellen von einemoszillierenden Dipol (= Antenne), ist die Amplitude zudem winkelabh�angig: u0 ! u0f(�; �)=rDas Huyghens'sche Prinzip: Die Ausbreitung von Wellen in homogenen Medien, sowiedie uns schon bekannten Ph�anomene wie Re exion und Transmission lassen sich am bestenverstehen, wenn man zu ihrer Diskussion das bereits im 17. Jahrhundert von Christian Huyghens(1629 - 1695) formulierte Prinzip zugrunde legt.
Huyghen'sches Prinzip: Jeder Punkt des Raumes, der von einer Wellenfronterreicht wird, ist Zentrum einer sekund�aren Kugelwelle.Die sekund�aren Wellen �uberlagern sich so, dass ihreEinh�ullende die neue Wellenfront bildet.
2.213
Wir wenden dieses Prinzip auf einige typische Situationenan. P anzt sich eine ebene Welle im homogenen Raum fort,so werden die Punkte einer Ebene gleichzeitig erreicht. DieEinh�ullende der Sekund�arwellen ist wieder eine Ebene. Ha-ben wir es mit einer Kugelwelle zu tun, so �uberlagern sich dieSekund�arwellen, die von einer Wellenfront ausgehen, eben-falls wieder zur n�achsten Wellenfront, also zu einer Kugel.Es ergibt sich in diesen beiden F�allen nichts Neues.
Etwas Neues ergibt sich jedoch, wenn eine ebene Welle auf ein Hindernis tri�t, z. B. aufeine kleine �O�nung in einem undurchl�assigen Schirm. Hinter der �O�nung breitet sich eineKugelwelle aus (Abbildung 2.120). Da die Fortp anzungsrichtung an jeder Stelle senkrecht aufder Wellenfront steht, bewegt sich nur ein Teil der Welle geradeaus weiter, ein Teil wird inverschiedene Richtungen abgelenkt oder gebeugt.
Beugungserscheinungen treten immer auf, wenn aus einerWellen �ache ein Teil durch ein Hindernis abgeschnittenwird, also auch an Kanten. Das vom franz�osischen Phy-siker Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) entdeckte Beu-gungsph�anomen f�uhrt dazu, dass die Wellen in den Schatten-raum hinter dem Hindernis eindringen, dort aber schw�achersind als draussen. Daf�ur erreicht der Hellraum nahe derKante noch nicht die volle Helligkeit.
Ist die Wellengeschwindigkeit vom Ort abh�angig, so f�uhrt dies ebenfalls zu einer �Anderungder Ausbreitungsrichtung. Dies ist deutlich zu sehen, wenn ein Lichtb�undel eine Fl�ussigkeit mitgrossem Dichtegef�alle (z. B. Zuckerl�osung variabler Konzentration) durchdringt. Bekannt sindsolche Erscheinungen in der Atmosph�are, z. B. Luftspiegelungen an heissen Ober �achen (FataMorgana), Re exion von Radiowellen an der oberen Atmosph�are, welche die �Ubertragung �ubergrosse Distanzen erm�oglicht. Dies wir in der Optik noch n�aher behandelt (siehe Abschnitt 5.2).
S0A
Einfallendeebene Welle
AuslaufendeKugelwelle Abbildung 2.120: Die ebenen Wellen, die auf
den Schirm mit einer kleinen �O�nung auftref-fen, erzeugen eine sekund�are Kugelwelle mitdem Loch als Zentrum.
Brechung und Re exion von Wellen: Das Huyghens'sche Prinzip erk�art (a) Re exion und(b) Brechung. Die in Abbildung 2.121 von links oben einfallende ebene Wellenfront l�ost ander Grenz �ache Sekund�arwellen aus, die sich zu re ektierten bzw. gebrochenen Wellenfronten
�uberlagern. Diese Wellenfronten werden konstruiert aus den Tangentialebenen an die sekund�aren
2.214
Kugelwellenberge. F�ur den re ekierten Anteil schliessen die neue Wellenfronten mit der spiegeln-den Fl�ache den gleichen Winkel ein, jedoch nach der anderen Seite. Ist die Grenze zwischen zweiMedien mit verschiedener Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ausgangspunkt f�ur die sekund�arenKugelwellen, so wandern die Wellenberge und damit auch die Tangentialebenen im Medium mitder kleineren Geschwindigkeit weniger weit. Das Verh�altnis der zur�uckgelegten Distanzen istgleich dem Verh�altnis der Geschwindigkeiten, und wie die nebenstehende Abbildung zeigt auchgleich dem Verh�altnis der Sinus der Winkel, die die Wellenfronten mit der Grenz �ache bilden.
(a)
(b)
Abbildung 2.121: Beugung und Re exioneinfallender ebener Wellenfronten an einerGrenz �ache zweier Medien.
B
A Cα β
D
v1t1
v1 v1
v1t1
k1
k2
k1’α β
n1n2
γ
γ
α
αB
AC
v1
v2
v1t1
v2t1
n1n2
E
Abbildung 2.122: Illustration der geometri-schen Situation bei Beugung und Brechnung(siehe Text).
Die Abbildung 2.122 verdeutlicht die geometrische Situation noch etwas genauer. Der PunktA wird von der einfallenden Wellenfront im Medium 1 (~v1;~k1) zur Zeit t = 0 erreicht. W�ahrendder Zeit t1, die verstreicht bis die Phasen �ache AB gerade die Trenn �ache am Punkt C erreicht,erreicht die vom Punkt A ausgehende Kugelwelle im Medium 1 den Punkt D und im Medium2 (~v2;~k2) den Punkt E. Wir bezeichnen mit � den Winkel zwischen dem Wellenvektor ~k1 undder Normalen auf der Trenn �ache ~n, mit � bzw. die Winkel zwischen ~n und ~k01 bzw. ~k2,den Wellenvektoren der re ektierten bzw. gebrochenen Welle. Wegen der unterschiedlichenGeschwindigkeiten gilt
AD = v1t1; BC = v1t1 ) AD = BC sin � =BC
AC= sin � =
AD
AC; ) � = �
AE = v2t1; sin =AE
AC=
v2t1AC
= v2t1sin�
BC= v2t1
sin�
v1t1=
v2v1
sin � ) sin
sin�=
v2v1
2.215
Wir erhalten also
Re exionsgesetz : � = � Einfallswinkel = Ausfallswinkel
und Brechungsgesetz :sin �
sin =
v1v2
Diese beiden Gesetze gelten f�ur alle Wellentypen. In der Optik bezeichnet man mit der Zahln den Brechungsindex eines Mediums, d. h. das Verh�altnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit desLichts im Vakuum c zu der in entsprechenden Medium v: n = c=v. Dies f�uhrt zur alternativenForm des Brechungsgesetzes
sin �
sin =
v1v2
=c
n1
n2c=
n2n1
�Uber die Anteile von re ektierter und transmittierter Intensit�at machen diese Gesetze keineAussage. Nur im Spezialfall der sogenannten Totalre exion folgt aus der Energieerhaltung, dassdie re ektierte gleich der einfallenden Intensit�at ist. Dieser Fall kann auftreten beim �Ubergangvon einem Medium mit kleinerer Ausbreitungsgeschwindigkeit in ein Medium mit gr�osser Aus-breitungsgeschwindigkeit (v1 < v2). In der Optik nennt man diesen �Ubergang einen von einemoptisch dichteren in ein optisch d�unneres Medium (n1 > n2), zum Beispiel von Plastik, Wasseroder Glas (n > 1) in Luft. In der Akustik nennt man diesen �Ubergang einen von einem schall-weicheren in ein schallh�arteres Medium, zum Beispiel von Luft in Wasser, Glas oder Plastik.Aus
sin =n1n2
sin� =v2v1
sin � � 1
l�asst sich ableiten, dass ein maximaler Einfallswinkel �T existiert, bei dem
sin�T =n2n1
=v1v2
) sin = 1
gilt. F�ur gr�ossere Winkel � gibt es keine gebrochene Welle mehr.Re exion und Brechung sind also nicht Ph�anomene, die auf die Lichtwellen und die Optik be-
schr�ankt sind. Sie treten f�ur alle Wellentypen auf. Dass Schallwellen und Lichtwellen in unsererErfahrung sich unterscheiden, z. B. dass Schallwellen um Ecken wandern, Licht aber anschei-nend nicht, hat nur mit der Wellenl�ange zu tun und unterschiedlichen Anteilen an re ektierterund transmittierter (oder absorbierter) Intensit�at.
Wir kennen z. B. Anwendungen des Prinzips der Totalre e-xion in der Optik (Lichtleiter und Glasfaserkabel) und derAkustik (Kopfh�orer). In d�unnen, verformbaren und durch-sichtigen Materialien (n � 1:5) kann man Licht �uber krum-me Wege leiten, solange der Grenzwinkel f�ur Totalre exionnicht unterschritten wird. Im Schallwellenbereich sind totalre ektierende, exible Wellenleiter schlichte Schl�auche wieaus Flugzeugen bekannt.
2.216
Zusammenfassung: Wellen
De�nition: Unter einer eindimensionalen Welle versteht man eine sich zeitlich und r�aumlichausbreitende St�orung (Erregung) u(x; t) = u(x � vt) in einem kontinuierlichem Medium.u(x; t) ist eine L�osung der Wellengleichung
@2u
@t2= v2
@2u
@x2
Harmonische Wellen werden charakterisiert durch die die Wellenzahl k [m�1], die Wellen-l�ange � [m], die Frequenz � [s�1 = Hertz (Hz)], die Kreisfrequenz ! [s�1] und die PeriodeT [s]:
u(x; t) = u0 sin(kx� !t) mit!
k= �� = v; ! = 2��; � =
1
T; k =
2�
�
Superposition: Wenn zwei oder mehr Wellen dasselbe Medium passieren, ist die Verschiebungirgendeines Teilchens die Summe der Verschiebungen, die die einzelnen Wellen ihm erteilenw�urden. Das Superpositionsprinzip gilt f�ur jede Art von Erregung und f�ur jeden Wellentyp.
Huyghen'sches Prinzip: Jeder Punkt des Raumes, der von einer Wellenfront erreicht wird,ist Zentrum einer sekund�aren Kugelwelle. Die sekund�aren Wellen �uberlagern sich so,dass ihre Einh�ullende die neue Wellenfront bildet. Das Huyghen'sche Prinzip ist die
Grundlage der Ph�anomene Beugung, Brechung und Re exion.
Intensit�at F�ur den Energie uss pro Fl�acheneinheit (Intensit�at) einer Welle gilt
I / u20!2v Seilwelle : I =
1
2�u2
0!2v SchallwelleI =
p2S02�v
(pS = Schalldruck)
Einheit der Schallintensit�at: N Dezibel [dB] entsprechen
I = 10N=10I0 mit I0 = 10�12 W=m2 N = 10 log10I
I0
Die Phonskala ber�ucksichtigt zus�atzlich die Frequenzabh�ahigkeit des H�orverm�ogens.
2.217
Zusammenfassung: Wellen
Wellentyp Erregung u Phasengeschwindigkeit v2 Medium
longitudinale longitudinale E=� Festk�orperSchallwelle Deformation E =Elastizit�atsmodul, � =Dichte
transversale transversale G=� Festk�orperSchallwelle Deformation G =Schubmodul, � =Dichte
longitudinale Verschiebung von 1=(��) GasSchallwelle Gasschichten � =adiabatische Kompressibilit�at
Seilwelle Dislokation von Z=� Z =Zugkraft SeilSeilelementen � =Masse pro L�angeneinheit
Wasserwelle Dislokation von g�=(2�) Fl�ussigkeitFl�ussigkeitsmengen Ober �achenwelle in tiefem Wasser
gh g =ErdbeschleunigungGrundwelle in seichtem Wasserh =Wassertiefe
Elektrische Wellen Elektrisches Feld 1=(L0C0) C0 [L0] = Kapazit�at Kabel[Induktivit�at] pro L�angeneinheit
Elektromagnetische Elektrische und 1=(�0��0�) GasWellen (Licht, magnetische Felder � =Dielektrizit�atskonstante Fl�ussigkeitR�ontgenstrahlen, (transversal) � = magnetische Permeabilit�at Festk�orperRadiowellen) c2 = 1=(�0�o) � = � = 1 Vakuum
Re exion, Transmission: Beim �Ubergang von einem Medium in ein anderes wird ein Teilder einfallenden Welle re ektiert. Als Re exionskoe�zient R (Transmissionskoe�zient T )wird das Verh�altnis der re ektierten (transmittierten) Intensit�at zur einfallenden Intensit�atde�niert: R+ T = 1. F�ur eine Schallwelle gilt beim �Ubergang vom Medium 1 (�1; v1; E1)ins Medium 2 (�2; v2; E2)
r � �1v1�2v2
= Verh�altnis der Schallh�arten R =(r � 1)2
(r + 1)2T =
4r
(1 + r)2
Stehende Wellen: In r�aumlich begrenzten, schwingungsf�ahigen Systemen superponieren sichdie auf die Grenz �achen einfallenden und re ektierenden Wellenanteile zu stehenden Wel-len, mit �ortlich �xierten Wellenknoten und -b�auchen. F�ur ein eindimensionales Systemgilt:
u(x; t) =Xn
An cos(!nt+ �n) sin knx
!n = vkn = 2�v=�n sind die Eigenfrequenzen der Normalschwingungen des Systems.Beispiele: Schwingende Saite der L�ange L: �n = 2L=n, n = ganze Zahl, n = 1 Grund-schwingung, n > 1 Oberschwingungen.Beidseitig geschlossene Pfeife der L�ange L: �n = 2L=n; einseitig o�ene Pfeife: �n =4L=(2n� 1)
2.218
Zusammenfassung: Wellen
Interferenz: Zwei oder mehrere Wellen im gleichen Seil, zwei oder mehrere Schallwellen imgleichen Medium (oder Wellen irgendeines anderen Typs) verst�arken sich gegenseitig oderl�oschen sich aus nach dem Superpositionsprinzip.Wenn die beiden Wellen harmonisch sind, sich in der gleichen Richtung ausbreiten, und diegleiche Amplitude u0 und Frequenz ! haben, aber sich in der Phase um � unterscheiden,ist das Resultat der �Uberlagerung eine einzige Welle der gleichen Frequenz:
u(x; t) = 2u0 cos(�
2) sin(kx� !t +
�
2)
F�ur � = 0 sind die Wellen in Phase und die Interferenz ist konstruktiv, f�ur � = � sind dieWellen ausser Phase und l�oschen sich gegenseitig aus (destruktive Interferenz).
Re exion und Brechung: Tri�t eine ebene Welle mit Wellenvektor ~k1 im Medium 1 (Aus-breitungsgeschwindigkeit v1) auf eine ebene Grenz �ache zu einem Medium 2 (v2), so wirdein Teil der Welle re ektiert (~k0
1) und ein Teil gebrochen (~k2). Mit ~n ? Grenz �ache und
j~nj = 1 gilt
Re exionsgesetz � = � ~k1 � ~n = k1 cos� ~k01 � ~n = k01 cos�
Brechungsgesetzsin �
sin =v1v2
=n2n1
~k2 � ~n = k2 cos
Die Brechungsindices n1 und n2 sind de�niert als n1 = c=v1 und n2 = c=v2.
Fourieranalyse: Jede periodische Funktion u(t) mit u(t + T ) = u(t) kann als Summe vonharmonischen Funktionen geschrieben werden
u(t) =1Xn=0
(An cos(!nt) +Bn sin(!nt)) !n =2�n
TA0 =
1
T
Z T
0
u(t)dt
An =2
T
Z T
0
u(t) cos(!nt)dt (n � 1) Bn =2
T
Z T
0
u(t) sin(!nt)dt (n � 1)
Das gleiche gilt auch f�ur jede periodische Funktion des Ortes u(x + �) = u(x) (T $ �,t$ x, !n $ kn = 2�n=�)
Ausbreitung von Wellen im Raum: Eine sich in Richtung des Wellenvektors ~k k ~v ausbrei-tende ebene Welle ist gegeben durch (j~kj = 2�=�)
u(~r; t) = u0 sin(~k � ~r � !t) mit der Wellengleichung@2u
@t2= v2(
@2u
@x2+@2u
@y2+@2u
@z2)
Die Ebenen konstanter Phase (Wellenfronten, ~k � ~r � !t =const.) sind senkrecht zu ~k.
Eine sich von einer Punktquelle radial ausbreitende Kugelwelle ist gegeben durch
u(~r; t) =u0(�; �)
rsin(kr � !t)
2.219
