232 Michelson BSc - physi.uni-heidelberg.de · Physikalisches Anf¨angerpraktikum der Universit...

Physikalisches Anfangerpraktikum der Universitat Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

Versuch 232

Michelson-Interferometer

Abbildung 1: Versuchsaufbau.

I Messaufbau

• Michelson Interferometer

• Verschiedene Lichtquellen: Quecksilberdampflampe, Halogenlampe,Gluhlampe

• Thermometer

• Vakuumpumpe

• CCD-Kamera mit Monitor

• Antriebsmotor

II Literatur

• Bergmann- Schafer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III, de Gruy-ter Berlin.

• R. P. Pohl, Optik und Atomphysik, Springer Verlag.

• W. Demtroder, Experimentalphysik 2, Springer Verlag.

• Homepage des Praktikums (http://www.physikpraktika.uni-hd.de).

III Vorbereitung

Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor:Grundlagen der Wellenoptik (Hyugens’sches Prinzip, Interferenz, Superpo-sitionsprinzip, Koharenz). Interferenz gleicher Neigung, Interferenz gleicherDicke. Aufbau eines Michelson-Interferometers.

Verstandnisfragen:

1. Was ist Interferenz? Was besagt das Superpositionsprinzip?

2. Was sind Interferenzmuster und wie kommen sie zustande? Nennen Sie dieBedingungen fur die Phasenverschiebung bzw. fur den Gangunterschiedzweier Wellen, damit die uberlagerte Welle eine maximale bzw. eine ver-schwindene Intensitat besitzt. Was ist zu beachten, wenn eine Teilwelleein Medium mit einem anderem Brechungsindex durchlauft als die andereTeilwelle?

3. Warum kann man bei naturlichem Licht in der Regel keine Inter-ferenzerscheinugen beobachten? Erlautern Sie die Begriffe Koharenz,Koharenzzeit und Koharenzlange. Wie groß sind die Großenordnungen derKoharenzlangen einer Gluhlampe bzw. eines Lasers?

4. Wie groß ist gemaß Gleichung (8) die Intensitat der uberlagerten Welle,wenn die interferierenden Wellen inkoharent sind?

5. Was versteht man unter Interferenz gleicher Neigung und Interferenz glei-cher Dicke?

6. Beschreiben Sie den Aufbau eines Michelson-Interferometers. Welche Auf-gabe hat die Kompensationsplatte? Erklaren Sie das Zustandekommen derverschiedenen Interferenzmuster (Kreissystem, Streifensystem).

c© Dr. J.Wagner - Physikalisches Anfangerpraktikum - V. 0.9 B.Sc. Stand 03/2009

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7. Wie lasst sich mit einem Michelson-Interferometer die Wellenlange derLichtquelle bzw. der Brechungsindex eines Mediums bestimmen?

8. Wie muss der bewegliche Spiegel des Interferometers justiert sein, umInterferenzen mit Licht einer sehr kleinen Koharenzlange beobachten zukonnen (Weißlichtinterferenz)?

9. Warum erscheint das an einer rauhen Oberflache reflektierte Licht einesLasers granuliert (Stichwort: Speckle-Muster)?

IV Aufgaben

1. Messen Sie die Wellenlange der grunen Linie einer Quecksilberdampflampe.

2. Bestimmen Sie den Brechungsindex von Luft.

3. Messen Sie die Koharenzlange einer Halogenlampe als Funktion der spek-tralen Bandbreite.

4. Bestimmen Sie die Koharenzlange einer Gluhbirne.

V Grundlagen

Interferenz bezeichnet allgemein die Uberlagerung von Wellen. Sie haben diesesPhanomen sicherlich schon anhand von Wasserwellen an einem See oder bei Ex-perimenten mit der Wellenwanne in der Vorlesung kennengelernt. Treffen z.B.zwei Wasserwellen aufeinander, so uberlagern sich diese zu einer neuen Wel-le. Die Amplitude der resultierenden Welle hangt von der Phasenverschiebungder beiden Teilwellen ab. Trifft in einem bestimmten Punkt (Abbildung 2) ein

”Wellenberg“ der einen Welle auf einen

”Wellenberg“ der anderen Welle, so

vergroßert sich die Amplitude der resultierenden Welle (konstruktive Interfe-renz). Trifft dagegen ein

”Wellenberg“ auf ein

”Wellental“, so verringert sich

die Amplitude. Sind die Amplituden gar gleich groß, so loscht sich im letztenFall die Amplitude der resultierenden Welle aus.Auch Licht lasst sich durch eine Welle beschreiben. Betrachten wir zwei ebenemonochromatische Lichtwellen ~E1, ~E2:

~E1(~r, t) = ~E01 ei(ωt− ~k1~r+φ1) (1)

~E2(~r, t) = ~E02 ei(ωt− ~k2~r+φ2)

Abbildung 2: Interferenz zweier Wasserwellen.

Dabei bezeichnen ~E0i die Amplituden, ~ki die Wellenvektoren, ω die Frequenzund φi die Phasen der jeweiligen Wellen. Treffen diese aufeinander, so uberla-gern sie sich gemaß des Superpositionsprinzips, d.h. die Wellen addieren sichvektoriell zu einer resultierenden Welle ~ES(~r, t):

~ES(~r, t) = ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t). (2)

Bei Licht ist aufgrund der hohen Frequenz nicht die Amplitude der Welle beob-achtbar, sondern nur die Intensitat I, d.h. der zeitliche Energiemittelwert, derauf eine bestimmte Flache trifft. Dieser ist proportional zum Betragsquadratder Amplitude:

IS(~r, t) ∝ | ~ES(~r, t)|2. (3)

In der hier verwendeten komplexen Notation lasst sich das Betragsquadrat sehreinfach berechnen. Wir mussen lediglich ~ES mit dem komplex konjugierten ~E∗

S

multiplizieren:

IS ∝ | ~ES |2 = ~ES

~E∗

S = ( ~E1 + ~E2)( ~E∗

1 + ~E∗

2 ) (4)

= ~E1~E∗

1 + ~E2~E∗

2 + ~E1~E∗

2 + ~E2~E∗

1

= | ~E1|2 + | ~E2|

2 + ~E1~E∗

2 + ~E2~E∗

1 .

Die ersten beiden Summanden sind die Betragsquadrate der Einzelwellen. Fur


2


die beiden anderen Summanden berechnen wir durch Einsetzen von Glei-chung (1)

~E1~E∗

2 + ~E2~E∗

1 = ~E01~E02 (eiϕ + e−iϕ), (5)

wobei wir hier die Phasenverschiebung

ϕ = (~k1 − ~k2)~r + φ1 − φ2 (6)

definiert haben. Mit Hilfe der Euler’schen Gleichung

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (7)

erhalten wir schließlich fur die Intensitat der uberlagerten Welle:

IS ∝ | ~E1|2 + | ~E2|

2 + 2 ~E01~E02 cosϕ

︸︷︷︸

Interferenzterm

. (8)

Die Intensitat der uberlagerten Welle entspricht demnach nicht der Summeder Intensitaten der Einzelwellen. Es tritt zusatzlich ein Interferenzterm auf,der dazu fuhrt, dass die Intensitat der uberlagerten Wellen großer (konstruk-tive Interferenz) oder kleiner (destruktive Interferenz) ist als die Summe derEinzelintensitaten.Beispiel: Interferenz zweier linear polarisierten, ebener Wellen gleicher Fre-quenz und Amplitude, die sich in z-Richtung ausbreiten und gleiche Polari-sationsrichtungen (z.B. in x-Richtung) besitzen. Fur die x-Komponente derelektrischen Feldstarke gilt:

E1(z, t) = E0 ei(ωt−kz+φ1) (9)

E2(z, t) = E0 ei(ωt−kz+φ2),

und fur die Intensitat IS der uberlagerten Welle ES = E1 + E2:

IS ∝ E2S ∝ 2I0 (1 + cosϕ), (10)

wobei I0 proportional zur Intensitat der Einzelwelle ist und ϕ = φ1 − φ2 diePhasenverschiebung der beiden Wellen darstellt. In Abbildung 3 ist die Inten-sitat als Funktion der Phasenverschiebung ϕ aufgetragen. Maximale Intensitatergibt sich, wenn die Phasenverschiebung ein Vielfaches von 2π betragt. Furein ungerades Vielfaches von π verschwindet dagegen die Intensitat der uber-lagerten Welle:

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

Inte

nsität [I ] 0

Phasenverschiebung [ ]p

konstruktiveInterferenz

destruktiveInterferenz

Abbildung 3: Intensitat der uberlagerten Welle nach Gleichung (10) in Einhei-ten von I0 als Funktion der Phasenverschiebung in Einheiten von π.

Maximale Intensitat fur ϕ = 2mπ , (m ∈ Z) (11)

Minimale Intensitat fur ϕ = (2m+ 1)π , (m ∈ Z) (12)

Bei vielen Interferenzversuchen kommt die Phasenverschiebung dadurch zu-stande, dass die sich uberlagernden Wellen zuvor unterschiedliche Weglangendurchlaufen haben. Ein Beispiel ist in Abbildung 4a) dargestellt. Nehmen wiran, dass die beiden Lichtquellen punktformig sind und Licht mit gleicher Fre-quenz, Amplitude, Polarisationsrichtung und konstanter Phase aussenden. DieIntensitat der uberlagerten Welle im Punkt P hangt dann von der Phasenver-schiebung ab, die durch den Gangunterschied ∆ = s1 − s2 der beiden Wellenhervorgerufen wird. Dabei bezeichnen s1 und s2 die Weglangen der jeweiligenTeilwellen. Da eine Phasenverschiebung von 2π einem Wegunterschied von λentspricht, besteht zwischen der Phasenverschiebung ϕ und dem Gangunter-schied ∆ die Beziehung:

ϕ =2π

λ∆, (13)


3


wobei λ die Wellenlange der Teilwellen beschreibt.Breitet sich ein Wellenzug nicht im Vakuum aus, sondern durchlauft ein Medi-um mit dem Brechungsindex n (Abbildung 4b), so tritt eine zusatzliche Pha-senverschiebung auf. Da die Wellenlange im Medium um das n-fache der Va-kuumlichtgeschwindigkeit kleiner ist, darf man bei der Berechnung des Gang-unterschieds nicht die geometrischen Weglangen s verwenden, sondern mussdie optischen Weglangen Λ berucksichtigen. Diese entspricht dem Produkt desBrechungsindex des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet und der geome-trischen Weglange s, die die Welle in dem Medium zurucklegt:

Λ = n s. (14)

Mit Hilfe des Gangunterschieds lassen sich die Gleichungen (11) und (12) auchwie folgt formulieren:

Maximale Intensitat fur ∆ = mλ , (m ∈ Z) (15)

Minimale Intensitat fur ∆ = (2m+ 1)λ

2, (m ∈ Z) (16)

Koharenz

Voraussetzung fur die Beobachtung von Interferenzerscheinungen ist dieKoharenz der Lichtquellen. Damit ist gemeint, dass die interferierenden Welleneine konstante Phasenbeziehung aufweisen mussen. Bei inkoharentem Lichtist die Phasenverschiebung ϕ in Gleichung (8) statistisch verteilt, so dass derInterferenzterm verschwindet und man daher keine Interfenzen beobachtetkann.Die meisten Lichtquellen, wie z.B. das Licht der Sonne oder einer Gluhbirne,erzeugen inkoharentes Licht. Die Atome dieser Lichtquellen senden innerhalbeines sehr kurzen Zeitraums τ unabhangig voneinander Wellenzuge aus, dereneinzelnen Phasen statistisch verteilt sind. Das in Abbildung 4a) dargestellteExperiment wurde daher bei Verwendung von naturlichem Licht nicht funk-tionieren. Um dennoch mit naturlichen Lichtquellen Interferenzen beobachtenzu konnen, muss man das Licht einer einzigen Lichtquelle verwenden und die-ses in Teilwellen aufspalten. Abbildung 4c) zeigt ein Beispiel, welches auch beider Verwendung von naturlichem Licht, die Beobachtung von Interferenzer-scheinungen ermoglicht. Anstatt zwei Lichtquellen, die statistisch unabhangig

Abbildung 4: a) Gangunterschied ∆ zweier Teilwellen nach dem Durchlaufenunterschiedlicher Weglangen. b) Breitet sich eine Teilwelle in einem Mediummit dem Brechungsindex n aus, tritt eine zusatzliche Phasenverschiebung auf.c) Erzeugung von koharentem Licht durch Teilung der Wellenfront mit einerDoppellochblende.


4


voneinader emittieren, verwenden wir hier eine Lichquelle, deren Wellenfrontmit Hilfe einer Doppellochblende in zwei Teilwellen aufgespalten wird. Da bei-de Offnungen von der gleichen Primarwelle angeregt werden, emittieren diesenach dem Hyugens’schen Prinzip Sekundarwellen, die die gleiche Phase aufwei-sen und daher

”interferenzfahig“ sind.

Es gibt noch weitere Eigenschaften, die bei der Beobachtung von Interferenz-erscheinungen erfullt sein mussen. So darf der Gangunterschied der Wellennicht beliebig groß sein. Wie bereits erwahnt wurde, erfolgt die atomare Emis-sion eines Wellenzugs bei naturlichem Licht in einem sehr kurzem Zeitraum τ(Koharenzzeit). Diese kurze Emissionszeit bedingt schließlich, dass die ausge-sendeten Wellenzuge auch nur eine kleine Lange1 besitzen. Ist c die Lichtge-schwindigkeit, so ergibt sich fur die Lange L des emittierten Wellenzugs

L = cτ. (17)

Die Lange L wird als Koharenzlange bezeichnet. Bei Interferenzversuchen istdarauf zu achten, dass der Gangunterschied nicht großer als die Koharenzlangewird. Andernfalls stammen die interferierenden Teilwellen nicht aus dem selben

”Emisionsakt“ und besitzen daher keine konstante Phasenbeziehung.

Die Koharenzlangen von Temperaturstrahlern wie z.B. einer Gluhlampe oderder Sonne sind sehr klein (einige Wellenlangen ≈ 10 µm). Bei Gasentladungs-lampen liegt die Koharenzlange bei einigen Millimetern bis Metern und kannsich bei Lasern gar im Bereich von vielen Kilometern bewegen.

Koharenzlange und spektrale Bandbreite

Bei unseren bisherigen Betrachtungen sind wir immer davon ausgegan-gen, dass die Lichtquelle monochromatisch ist. Die Koharenzbedingung besagt,dass nur dann Interferenzen beobachtbar sind, wenn die sich uberlagerndenWellen eine konstante Phasenbeziehung aufweisen. Dies ist aber nur dannmoglich, wenn die Lichtquelle monochromatisches Licht aussendet. Solcheine Lichtquelle gibt es aber nicht! Auch eine reale, extrem schmalbandigeLichtquelle wie z.B. ein Laser, emittiert nur Licht einer bestimmten Frequenzω0 mit einer endlichen spektralen Bandbreite2 ∆ω. Damit ist gemeint, dassdas Licht Frequenzanteile im Bereich von ω0 ± ∆ω/2 enthalt.

1Achtung: Hier ist die geometrische Lange des Wellenzugs gemeint und nicht die Wel-

lenlange!2Dies folgt z.B. aus der Heisenberg’schen Energie-Zeit Unscharfe.

w

Dw

w0

z

Spektrum

FT

g( )w

4 cp

Dw

g0

BlendesE

z 0

Abbildung 5: Links: Polychromatisches Licht mit rechteckformigen Speektrumder spektralen Breite ∆ω. Rechts: Resultierende Wellenform. Der Pfeil mit derAbkurzung FT steht fur Fouriertransformation.

Betrachten wir eine Lichtquelle mit einem rechteckigen Frequenzspektrum, wiees links in Abbildung 5 dargestellt ist. Solch ein Spektrum kann z.B. durch Aus-blenden eines bestimmten Spektralbereichs eines kontinuierlichen Spektrumserzeugt werden. Die Amplitude g(ω) bei der Frequenz ω sei gegeben durch:

g(ω) =

{

g0, |ω − ω0| ≤ ∆ω/2

0, |ω − ω0| > ∆ω/2.(18)

Das von solch einer Lichtquelle ausgesandte Licht entspricht einer Uberlagerungvon Wellen mit Frequenzen im Bereich von ω0 − ∆ω/2 bis ω0 + ∆ω/2:

ES =

∫∞

−∞

g(ω) ei(ωt−kz)dω =

∫ ∆ω/2

−∆ω/2

g0 eiω(t−z/c)dω, (19)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Fur die Phase nehmen wir an,dass diese am Ort z = ct fur alle Frequenzen Null ist. Verwenden wir derUbersichtlichkeit wegen die Abkurzungen σ = ω−ω0, dσ = dω und ρ = t−z/c,so folgt:


5


ES =

∫ ∆ω/2

−∆ω/2

g0 eiρ(ω0+σ)dσ (20)

= g0 eiρω0

∫ ∆ω/2

−∆ω/2

eiρσdσ. (21)

=g0iρeiρω0

(

eiρ∆ω/2 − e−iρ∆ω/2

)

(22)

=2g0ρeiρω0 sin ρ∆ω/2. (23)

Ersetzen wir nun wieder σ und ρ durch die ursprunglichen Großen, so erhaltenwir schließlich:

ES = E0

sin(∆ω/2(t− z/c)

)

∆ω/2(t− z/c)eiω0(t−z/c), (24)

wobei hier E0 = g0 ∆ω definiert wurde. Die Form dieser Welle ist in Abbil-dung 5 rechts dargestellt. Die von einer Lichtquelle mit einem rechteckigenFrequenzspektrum ausgehende Welle ist amplitudenmoduliert. Die Amplitudeist an der Stelle z0 maximal. Zudem besitzt der Wellenzug noch weitere Neben-maxima, deren Amplituden aber schnell abfallen. Man bezeichnet solch einenWellenzug auch als Wellenpaket.Die Intensitat des Wellenpakets berechnet sich aus dem Quadrat der Amplitu-de. Eine Rechnung zeigt, dass die Intensitat des ersten Nebenmaximums nur4,7 % der Intensitat des Hauptmaximums betragt. Die Intensitaten der wei-teren Nebenmaxima betragen gar nur 1,7 %, 0,8 %, 0,5 % u.s.w. Nahezu diegesamte Intensitat des Wellenpakets steckt im Hauptmaximum. Wir konnendaher annehmen, dass das Wellenpaket eine endliche Breite besitzt, welchesder Breite des Hauptmaximums von 4πc/∆ω entspricht.Uberlagern sich zwei solcher Wellenpakete mit einer relativen Verschiebung von∆z = 2πc/∆ω, so fallt die Maximalamplitude des einen auf die erste Nullstel-le des anderen Wellenpakets. Man kann also fur Wellenpakete dieser Art dieKoharenzlange L definieren durch:

Koharenzlange: L =2πc

∆ω. (25)

Je schmalbandiger die Lichtquelle, desto großer ist die Koharenzlange. Damitwird nun auch verstandlich, warum die Koharenzlangen von Temperaturstrah-

lern so klein sind. Nur streng monochromatisches Licht (d.h. ∆ω → 0) hatunendlich lange Wellenzuge und damit eine unendliche Koharenzlange.Anstatt die Koharenzlange durch die Frequenz auszudrucken, konnen wir die-se auch durch die Angabe der Wellenlange beschreiben. Mit ∆ω = 2π∆ν =2πc∆λ/λ2 schreibt sich die Koharenzlange

Koharenzlange: L =λ2

∆λ. (26)

Es soll noch angemerkt werden, dass zwischen der Amplitude ES und dem Fre-quenzspektrum g(ω) in Gleichung (19) ein wichtiger Zusammenhang besteht:g(ω) ist die Fouriertransformierte von ES . Im nachsten Praktikumsversuch Fou-rieroptik werden Sie sich mit dieser Thematik noch genauer beschaftigen.Im Versuchsteil 3 werden wir den Zusammenhang der spektralen Bandbreiteund der Koharenzlange genauer untersuchen. Hierbei zerlegen wir das Lichteiner Halogenlampe (kontinuierliches Spektrum) mit Hilfe eines Prismas undblenden mit einem Spalt einen bestimmten Spektralbereich aus. Je großer dieSpaltbreite, desto großer ist die spektrale Bandbreite des Lichts und damitumso kleiner die Koharenzlange.

Interferenzen an dunnen Schichten

In den beiden folgenden Abschnitten, werden zwei Spezialfalle, die In-terferenzen gleicher Neigung und die Interferenzen gleicher Dicke behandelt,die fur das Verstandnis des Michelson-Interferometers sehr wichtig sind.

Interferenzen gleicher Neigung

Interferenzen gleicher Neigung treten dann auf, wenn ein Lichtbundelauf eine transparente, planparallele Platte trifft. Abbildung 6a) verdeutlichtdas Prinzip. Das von einer Lichtquelle ausgehende Lichtbundel fallt unterdem Winkel α auf eine Platte der Dicke d und mit dem Brechungsindex n.Ein Teil der Intensitat wird an der Oberflache reflektiert, der andere Teilwird im Medium nach dem Snellius’schen Brechungsgesetz gebrochen. BeimAustritt des Lichtbundels aus dem Medium tritt erneut eine Reflexion bzw.Transmission auf.Durch die Platte wird das einfallende Lichtbundel in mehrere reflektierte undtransmittierte Lichtbundel aufgespaltet, wobei benachbarte Teilbundel einenGangunterschied entsprechend des optischen Wegunterschieds besitzen. In Ab-


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Abbildung 6: a) Interferenz gleicher Neigung. b) Berechnung des Gangunter-schieds benachbarter Teilbundel. c) Strahlengang fur zwei Lichtbundel mit un-terschiedlichem Einfallswinkel. d) Interferenzmuster: Haidinger’sche Ringe.

bildung 6b) ist dies fur zwei benachbarte reflektierte Teilbundel dargestellt. Furden Gangunterschied ∆ berechnen wir:

∆ =n(AB +BC) −AD (27)

=2nd

cosβ− 2d tanβ sinα.

Mit Hilfe des Snellius’schen Brechungsgesetzes ergibt sich:

∆ =2nd

cosβ−

2nd sin2 β

cosβ(28)

=2nd cosβ (29)

=2d√

n2 − sin2 α.

Berucksichtigen wir noch zusatzlich, dass bei Reflexion am optisch dichterenMedium ein Phasensprung von π (bzw. ein Gangunterschied von λ/2) auftritt,so erhalten wir schließlich fur den Gangunterschied:

∆ = 2d√

n2 − sin2 α−λ

2. (30)

Bringt man in den Strahlengang eine Sammellinse, so interferieren dieTeilbundel im Punkt P in der Brennebene der Linse. Dabei tritt maximaleIntensitat auf, wenn der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlange be-tragt. Fur den Fall, dass der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfachesder halben Wellenlange betragt, loschen sich die Teilwellen aus.Der Gangunterschied benachbarter Teilbundel hangt vom Einfallswinkel α(Neigungswinkel) des einfallenden Lichts ab. Ist das einfallende Licht nichtparallel, so dass mehrere Lichtbundel mit unterschiedlichen Einfallswinkel aufdie Platte treffen (Abbildung 6c), so interferieren alle Teilbundel, die unterdem gleichen Neigungswinkel einfallen im selben Punkt. Daher spricht manvon Interferenz gleicher Neigung.Abbildung 6c) zeigt nur einen zweidimensionlen Spezialfall, bei dem dieWellenbundel in der gleichen Einfallsebene auf die Platte treffen. Im Dreidi-mensionalen, bei dem die Wellenbundel auch unter unterschiedlichen Winkelψ zum Einfallslot einfallen, interferieren alle Teilwellen, die den gleichenNeigungswinkel α besitzen, nicht in einem Punkt, sondern innerhalb einesKreisrings in der Brennebene der Linse. Als Interferenzmuster beobachtet mandaher ein konzentrisches Ringsystem, die als Haidinger’sche Ringe bezeichnet


7


e

x

d(x)

a

Interferenzmuster

11b1a

Abbildung 7: Interferenz gleicher Dicke.

werden (Abbildung 6d).

Interferenzen gleicher Dicke

Fallt paralleles Licht auf eine keilformige Platte, so verlaufen die reflektiertenLichtbundel nicht mehr parallel zueinander (Abbildung 7). Falls der Keilwinkelǫ sehr klein ist, gilt fur den Gangunterschied der Teilbundel 1a und 1b

∆ ≈ 2d(x)√

n2 − sin2 α−λ

2. (31)

Fallt das Licht zudem fast senkrecht auf den Keil, so gilt sinα ≈ 0 und somit

∆ ≈ 2d(x)n−λ

2. (32)

Der Gangunterschied andert sich mit der Keildicke d(x). Nur in einem Streifenparallel zur Keilkante, d.h. fur d(x) = konstant, ist der Gangunterschiedgleich groß. Blickt man von oben auf den Keil, so beobachtet man daher einStreifenmuster (Fizeau- Streifen).

Das Michelson-Interferometer

Der Aufbau eines Michelson-Interferometers ist in Abbildung 8a) skiz-ziert. Die von einer Lichtquelle ausgehenden Wellenzuge treffen auf einenStrahlteiler, der das einfallende Licht in zwei Teilwellen gleicher Intensitat auf-teilt. Der eine Teil wird senkrecht zur Einfallsrichtung

”nach oben“ abgelenkt,

der andere Teil wird nicht abgelenkt und lauft weiter in den”linken“ Schenkel.

Nach dem Durchlaufen einer Wegstrecke s treffen die Teilwellen jeweils aufeinen weiteren Endspiegel, der das Licht zuruckreflektiert. Der Endspiegel imlinken Schenkel des Interferometers (beweglicher Spiegel) ist zudem um einekleine Distanz ∆x verschiebbar. Der kippbare Spiegel im oberen Schenkellasst sich um einen kleinen Winkel ǫ verkippen. Die reflektierten Wellenbundeltreffen wieder auf den Strahlteiler und verlassen diesen in gleicher Richtung.Schließlich treffen beide Wellenbundel auf einem Schirm oder Detektor (Auge),an dem sich die entstehenden Interferenzmuster beobachten lassen.

Abbildung 8: a) Aufbau eines Michelson-Interferometers. b) Strahlengang mitzusatzlicher Kompensationsplatte. c) Die beiden Endspiegel bilden eine

”Luft-

platte“, so dass je nach Spiegelstellung entweder Interferenz gleicher Neigungoder Interferenz gleicher Dicke auftritt.

Wenn Sie Abbildung 8a) genau angeschaut haben, ist Ihnen sicherlich aufge-fallen, dass das Lichtbundel im linken Schenkel, auch bei gleichen geometri-


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schen Weglangen s, eine großere optische Weglange durchlaufen hat als dasLichtbundel im oberen Schenkel. Der Grund dafur liegt im Aufbau des Strahl-teilers. Dieser besteht aus einer planparallelen Glasplatte, bei der eine Stirn-flache mit einer dunnen,

”halbreflektierenden“ Schicht bedampft wurde. Die

optische Weglange des nach links abgelenkten Lichts ist dadurch innerhalb desStrahlteilers doppelt so groß, wie die optische Weglange des nach oben laufen-den Lichts. Um diesen zusatzlichen Gangunterschied auszugleichen, wird gemaßAbbildung 8b) in den oberen Schenkel eine zusatzliche Glasplatte (Kompensa-tionsplatte) eingebaut, die die gleiche Dicke, die gleiche Orientierung und ausdem gleichen Material besteht, wie der Strahlteiler. Dadurch wird sichergestellt,dass die optischen Lichtwege bei gleichen geometrischen Lichtwegen gleich großsind. Dies ist besonders dann wichtig, wenn das Michelson-Interferometer von

”weißem“ bzw. breitbandigem Licht beleuchtet wird. Ohne Kompensationsplat-

te wurde die Dispersion des Glasmaterials dazu fuhren, dass der Gangunter-schied, abhangig von der Wellenlange, in den beiden Schenkeln unterschiedlichgroß ware.

Abbildung 9: Interenzmuster bei unterschiedlichen Spiegelabstanden.

Die optischen Lichtwege in den jeweiligen Schenkeln sind je nach Position desbeweglichen Spiegels unterschiedlich groß. Zum besseren Verstandnis konnenwir uns die jeweiligen Lichtwege in der gleichen Richtung vorstellen, indem wiruns z.B. den linken Schenkel um 90◦ auf den oberen Schenkel geklappt denken.Dadurch andern sich nicht die tatsachlich durchlaufenen Lichtwege. Es wirdaber ersichtlich, dass die beiden Spiegel eine Luftplatte der Dicke ∆x bildenund je nach Orientierung des kippbaren Spiegels, entweder Interferenz gleicherNeigung oder Interfernz gleicher Dicke auftritt (Abbildung 8c).Bei parallelen Spiegeln (Interferenz gleicher Neigung) betragt der Gangunter-schied in Richtung des Winkels α gemaß Gleichung (30):

∆ = 2∆x cosα−λ

2, (33)

wobei wir hier fur den Brechungsindex n = 1 angenommen haben. Als In-terferenzmuster beobachtet man ein Ringsystem wie es in Abbildung 9 furunterschiedliche Spiegelabstande ∆x dargestellt ist. Die Interpretation diesesMusters ist besonders einfach, wenn wir uns nur auf das Zentrum, d.h. α = 0,beschranken. Hierfur folgt aus (33):

∆|α=0 = 2∆x−λ

2. (34)

Fur ∆x = λ/2 betragt der Gangunterschied λ/2, so dass im Zentrum das Mini-mum 0-ter Ordnung liegt. Sind die Spiegel um ∆x = 3λ/4 verschoben, betragtder Gangunterschied λ. Im Zentrum liegt dann das Maximum 1-ter Ordnung.Verandert man den Spiegelabstand kontinuierlich, so quillt bei jeder Wegande-rung um λ/2 eine neue Interferenzordnung aus dem Zentrum hervor und dieniedrigeren Ordnungen bewegen sich radial nach außen.Wird der kippbare Spiegel um einen kleinen Winkel geneigt, so geht daskreisformige Interferenzmuster in ein Streifenmuster uber (Interferenz gleicherDicke). Auch in diesem Fall fuhrt eine Vergroßerung von ∆x um λ/2 dazu,dass eine neue Interferenzordnung entsteht. Wird der bewegliche Spiegel kon-tinuierlich verschoben, so wandern die Interferenzstreifen gleichmaßig in einebestimmte Richtung.Dieses Prinzip lasst sich zur Bestimmung der Wellenlange der Lichtquelleverwenden. Der bewegliche Spiegel kann mit Hilfe einer Mikrometerschraubemessbar verschoben werden. Wird der Spiegel um die Strecke ∆x verschoben,so wandern ∆m Interferenzstreifen an einer Markierung im Gesichtsfeld vorbei(Abbildung 10a). Durch Messung von ∆x und Zahlung der dabei vorbeige-laufenen Interferenzstreifen ∆m kann die Wellenlange berechnet werden. Da


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Abbildung 10: a) Gesichtsfeld des Michelson-Interferometers bei der Wel-lenlangenmessung. b) Aufbau der evakuierbaren Kuvette zur Messung des Bre-chungsindex von Luft.

jeder gezahlte Streifen einer Anderung von ∆x um λ/2 entspricht, folgt fur dieWellenlange:

λ = 2∆x

∆m. (35)

Des Weiteren sollen Sie im Praktikum interferometrisch den Brechungsindexvon Luft bestimmen. Dazu befindet sich in einem Interferometerschenkel eineGlaskuvette. Der Luftdruck in der Kuvette kann mit Hilfe einer Pumpe undeinem Nadelvenil variiert werden (Abbildung 10b). Andert sich der Druck inder Kuvette, so andert sich der Brechungsindex ∆n und damit die optischeWeglange. Im Gesichtsfeld sieht man dann wieder ∆m Interferenzstreifen ander Markierung vorbeilaufen. Ist a die Lange der Kuvette, so folgt fur dieAnderung des Gangunterschieds

∆ = 2a∆n. (36)

Die Zwei berucksichtigt, dass die Kuvette von dem Lichtbundel zweimal durch-laufen wird. Mit ∆ = λ∆m folgt:

∆m =∆

λ= 2a

∆n

λ→ ∆n =

λ

2a∆m. (37)

Der Brechungsindex wird uber den ganzen verfugbaren Bereich ∆n = n(Luft)−n(Vakuum) = n−1 variiert, indem der Druck in der Kuvette von p = 0 bis p = b(b: Luftdruck) verandert wird und man dabei die am Marker vorbeilaufendenInterferenzstreifen ∆m zahlt. Dann ist

n(λ, T, b) − 1 =λ

2a∆m(b). (38)

Mit dem Michelson-Interferometer lassen sich auch Interferenzen mit Licht-quellen beobachten, die eine sehr kleine Koharenzlange besitzen (z.B.

”Weiß-

licht“ einer Gluhlampe). Voraussetzung dafur ist, dass der Gangunterschiedin den beiden Interferometern nicht großer ist als die Koharenzlange. Dahermussen zur Beobachtung dieser sogenannten

”Weißlichtinterferenzen“die Licht-

wege in den beiden Schenkeln nahezu gleich groß sein. Diese Einstellung, beider der bewegliche Spiegel so justiert ist, dass ∆x ≈ 0 gilt, bezeichnet man alsWeißlichtposition (Abbildung 8c).

VI Durchfuhrung des Versuchs

VI.1 Justierung des Interferometers

Der Aufbau des im Praktikum verwendeten Michelson-Interferometers ist inAbbildung 11 dargestellt. Der Aufbau entspricht im wesentlichen der Skizze inAbbildung 8b). Im linken Schenkel befindet sich zur Messung des Brechungs-index von Luft, noch eine evakuierbare Glaskuvette. Da das Glasmaterial derKuvette einen zusatzlichen wellenlangenabhangigen Gangunterschied hervor-ruft, wird dieser durch zusatzliche Kompensationsplatten im oberen Schenkelausgeglichen. Die Position des beweglichen Endspiegels im linken Interferome-terschenkel kann mit Hilfe einer Mikrometerschraube eingestellt werden. ZurErhohung der Auflosung wird der bewegliche Spiegel uber eine Hebelunter-setzung von 1:5 angesteuert. Eine Drehung der Mikrometerschraube um dieStrecke ∆s verschiebt den Spiegel daher nur um 1/5 ∆s.Zur Justierung des Interferometers konnen zwei Zeiger in den Strahlengangeingeschwenkt werden.Es stehen drei verschiedene Lichtquellen zur Verfugung. Eine Quecksil-berdampflampe und eine Gluhlampe befinden sich in einem gemeinsamenGehause (Doppellichtquelle), das auf einer optischen Schiene direkt vor derMattscheibe des Interferometers platziert werden kann. An der Austrittsoff-nung der Doppellichtquelle lasst sich ein Grunfilter anbringen. Dadurch wirdbei Betrieb mit der Quecksilberdampflampe das Interferometer nur mit dergrunen Quecksilberlinie (λ = 546, 07 nm) beleuchtet. Des Weiteren kann dasInterferometer noch von einer Halogenlampe mit einem nachgeschaltetetenPrismen-Monochromator beleuchtet werden. Zur Variierung der spektralenBandbreite stehen vier Austrittsspalte unterschiedlicher Spaltbreite zurVerfugung. Die Spaltbreiten sind auf den jeweiligen Tragern angegeben.


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Lichtquelle

kippbarerSpiegel

beweglicherSpiegel

Strahlteiler

Detektor (Auge)

Kompensationsplatten

evakuierbareKüvette

Mikrometerschraube

Halogenlampe

Prisma

Austrittsspalt

Linse

Linse

Zeiger 1

auswechselbare Spalte unterschiedlicher Breite

Zeiger 2

MattscheibeHebel

Abbildung 11: Oben: Aufbau des im Praktikum verwendeten Michelson-Interferometers. Unten: Aufbau des Monochromators.

Abbildung 12: Justage: Parallelstellen der Spiegel.

Parallelstellen der Spiegel:

Beleuchten Sie die Mattscheibe mit der Quecksilberdampflampe aus derDoppellichtquelle und schwenken Sie den Zeiger 1 auf die Mattscheibe. DerZeiger 2 vor dem kippbaren Spiegel ist vorher aus dem Strahlengang herauszu-drehen. Wenn Sie in den Strahlengang blicken, sehen Sie drei Spiegelbilder desZeigers 1 (Abbildung 12 a). Der kippbare Spiegel hat eine Dreipunktlagerungmit zwei Justierschrauben, die sich so einstellen lassen, dass zwei der Bilderdes Zeigers 1 zusammenfallen (Abbildung 12 b). Es wird dann ein Ausschnittaus dem Ringsystem mit im allgemeinen sehr vielen eng beisammen liegendenRingsegmenten sichtbar. Durch vorsichtiges Nachjustieren lasst sich unterallmahlicher Vergroßerung der Ringabstande das Zentrum des Ringsystemsins Gesichtsfeld bringen (Abbildung 12 c). Damit ist die Parallelstellung derSpiegel erreicht. Der Zeiger 1 wird wieder beiseite geschoben.

Einstellen gleicher optischer Weglangen (Weißlichtinterferenz):

Achtung: Bei diesem Einstellvorgang muss das Nadelventil an der eva-kuierbaren Kuvette geoffnet sein, d.h. in der Zelle muss Barometerdruckherrschen, sonst ist die Einstellung nicht reproduzierbar!

Uberzeugen Sie sich, dass der Elektromotor nicht an der Mikrometerschraubeanliegt. Falls dies doch der Fall ist, hangen Sie die Feder aus der Halterungaus und schwenken die Motoreinheit zur Seite Abbildung 13. Zusatzlich mussauch die CCD-Kamera nach rechts weggeschwenkt werden, so dass Sie dasInterferenzmuster mit dem Auge erkennen konnen.


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Der bewegliche Spiegel wird mittels der Mikrometerschraube so verschoben,dass die Lichtwege in beiden Schenkeln gleich groß sind. Eine Vergoßerung desLichtwegs ist daran zu erkennen, dass aus dem Zentrum des Interferenzmustersneue Ordnungen herausquellen und sich radial nach außen bewegen. Beieiner Verkleinerung des Lichweges laufen die Interferenzringe nach innenund verschwinden im Zentrum. Dabei verandert sich das Bild allmahlich inder Weise, dass der jeweils innerste Ring einen immer großeren Raum desGesichtsfeldes einnimmt (Abbildung 9). Wenn praktisch nur noch ein bis zweiRinge sichtbar sind, wird der kippbare Spiegel mittels der Justierschraubenum einen kleinen Winkel verkippt, so dass anstelle der Ringe gleicher NeigungStreifen gleicher Dicke erscheinen. Stellen Sie den Keilwinkel und damit denStreifenabstand so ein, dass etwa 8 bis 10 Streifen sichtbar sind, die am bestenschrag stehen sollten. Schwenken Sie den Zeiger 2 vor dem kippbaren Spiegelin den Strahlengang. Wenn Sie jetzt von Hg-Licht auf Gluhlicht umschalten,verschwindet das Interferenzbild, bis nach langsamem Weiterdrehen an derMikrometerschraube im vorherigen Drehsinn die bunte Streifenschar der Weiß-lichtinterferenzen sichtbar wird. Bringen Sie den mittleren dunklen Streifenmit dem Zeiger zur Deckung und notieren Sie fur diese Spiegelstellung den ander Mikrometerschraube eingestellten Wert s0. Sollte Ihnen die Einstellungder Weißlichtinterferenz nicht gelingen, gehen Sie wie folgt vor:

Hilfe zum Auffinden der Weißlichtinterferenz:

Entfernen Sie die Doppellichtquelle und beleuchten Sie die Mattscheibemit der Lampe des Monochromators. Wahlen Sie fur den Austrittsspalt dieBlende mit der Spaltbreite 0,2 mm. Dadurch hat man noch einigermaßenmonochromatisches Licht. Drehen Sie nun die Mikrometerschraube in dieRichtung, in der die Interferenzringe im Zentrum verschwinden. Lesen Sie amMikrometer den Wert ab, bei dem die Interferenzstreifen erscheinen und beidem Sie verschwinden. Der Mittelwert wird eingestellt, dann der 1,5 mm Spaltim Monochromator eingesetzt und erneut die Mitte des interferenzfahigenBereichs eingestellt. Wenn Sie nun die Mattscheibe des Interferometers mitder Gluhlampe der Doppellichtquelle beleuchten, sollten Sie die Weißlichtin-terferenz erkennen konnen. Notieren Sie den an der Mikrometerschraubeeingestellten Wert s0.

Federhalterung

Abbildung 13: Motorantrieb der Mikrometerschraube.

VI.2 Messung der Wellenlange

Benutzen Sie zur Beleuchtung die Hg-Lampe mit dem Grunfilter. SchwenkenSie Zeiger 2 so in den Strahlengang, dass dieser am Spiegel aufliegt. Drehen Sieden Elektromotor in Richtung Mikrometerschraube und hangen Sie die Feder indie Halterung ein (Abbildung 13). Das Interferenzmuster konnen Sie mit einerCCD-Kamera filmen und auf dem Monitor beobachten. Erhohen Sie langsamdie Motordrehzahl bis der Zeiger auf irgendeinen Streifen zeigt. Schalten Sieden Motor aus und notieren Sie die Einstellung der Mikrometerschraube (s0).Drehen Sie nun mit Hilfe des Motors die Mikrometerschraube langsam weiterund zahlen Sie mindestens 200 vorbeilaufende Streifen ab. Diese Messung istinsgesamt dreimal mit jeweils anderen Werten fur s0 durchzufuhren. Bei derBerechnung der Wellenlange gemaß Gleichung (35) ist zu berucksichtigen, dassdie Mikrometerverschiebung ∆s = s200 − s0 durch einen Hebel im Verhaltnis5:1 untersetzt wird. Die Spiegelverschiebung ist daher ∆x = ∆s/5. Somit folgtfur die Wellenlange

λ =2

5

∆s

∆m. (39)

Hinweis zur Messgenauigkeit: Die Skala der Mikrometerschraube besitzt einTeilstrichabstand von 10 µm. Bei der Ablesung lasst sich der Wert noch auf


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etwa 1/5 eines Teilstrichabstands schatzen, so dass die Messgenauigkeit etwa2 µm betragt. Fur den Fehler des Spiegelabstands ∆x bedeutet dies wegen der1:5 Untersetzung eine Ablesegenauigkeit von 2 µm und eine Schatzmoglichkeitvon 400 nm ≈ 0, 8 λ. Da der Gangunterschied 2∆x betragt, ergibt sich hierfurein Fehler von 1,6 λ. Der Fehler des Gangunterschieds entspricht demnach das1,6-fache der Wellenlange. Um λ auf 1% genau zu bestimmen, muss der Gang-unterschied mindestens 160 λ betragen. Durch das Abzahlen von 200 Streifensollte die Genauigkeit besser als 1% sein.

VI.3 Messung des Brechungsindex von Luft

Als Lichtquelle ist wieder die Quecksilberdampflampe mit vorgesetztemGrunfilter zu benutzen. Schließen Sie das Nadelventil indem Sie den Einstell-knopf ganz nach rechts drehen. Schalten Sie die Vakuumpumpe ein und offnenSie den Absperrhebel solange, bis sich der Druck in der Kuvette nicht mehrandert.Mittels des Nadelventils lasst man in die evakuierte Gaszelle langsam Lufteinstromen und liest nach je 5 oder 10 Streifenverschiebungen das Manometerab (p0, p5, p10,...). Falls Sie allein arbeiten, mussen Sie bei der Ablesung desManometerwertes das Nadelventil schließen und anschließend wieder offnen.Fuhren Sie die Messung dreimal durch und notieren Sie die Zimmertemperatur.

VI.4 Messung der Koharenzlangen verschieden breiter

Rechteckspektren

Offnen Sie das Nadelventil, so dass in der Kuvette wieder Atmospharendruckherrscht. Verfahren Sie den beweglichen Spiegel auf die Weißlichtposition s0 undschalten Sie von Quecksilberlicht auf die Gluhlampe der Doppellichtquelle um.Im Gesichtsfeld sollte die Weißlichtinterferenz zu beobachten sein. Falls nicht,mussen Sie die Spiegelposition s0 vorsichtig nachjustieren. Entfernen Sie nundie Doppellichtquelle aus dem Strahlengang und schalten Sie die Halogenlampedes Monochromators ein. Vorsicht, die Lampe wird sehr heiß. Lampengehausenicht beruhren!Der Monochromator ist fest auf λ=546 nm eingestellt. Nur bei dieser Wel-lenlange gelten die auf den vier austauschbaren Austrittsspalten angegebe-nen Bandbreiten. Die Spaltbreiten sind in Klammern angegeben. ZwecksGewahrleistung gleicher Beobachtungsbedingungen, sind die vier Austrittsspal-te flachengleich.

Abbildung 14: Messprinzip zur Bestimmung der Koharenzlange.

Um die Koharenzlange zu bestimmen, wird gemaß Abbildung 14 der beweglicheSpiegel ausgehend von s0 solange verschoben, bis die Interferenzen gerade ver-schwinden (Position s′0 bzw. s′′0). In diesem Fall entspricht der Gangunterschiedder beiden Teilwellen gerade der Koharenzlange. Zur Erhohung der Messgenau-igkeit wird 2L statt L bestimmt. Man misst nicht gegen s0, sondern bestimmtden Abstand der symmetrisch zum Optimum bei s0 liegenden ersten Sichtbar-keitsminima gegeneinander. Bestimmen Sie die Positionen s′0 und s′′0 fur dievier Austrittsspalte. Achtung: beim schmalsten Spalt ist das erste Minimumsehr breit, beim breitesten Spalt liegen die Minima dagegen so dicht, dass daserste ubersehen werden kann.

VII Auswertung

zu 2.Berechnen Sie die Wellenlange der grunen Qeucksilberlinie.

zu 3.Berechnen Sie den Brechungsindex von Luft fur Normalbedingungen. Ist n0

der Brechungsindex bei Normalbedingungen, dann gilt:

n0 − 1

n(p) − 1=p0T

pT0. (40)


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Mit Hilfe von Gleichung (38) folgt dann:

(n0 − 1) = (n− 1)p0

p

T

T0=

λ

2a

∆m

p

p0T

T0, (41)

wobei T die Temperatur wahrend der Messung ist und die mit 0 indizierteGroßen sich auf Normalbedingungen beziehen (T0=273,15 K, p0=101325 Pa).Tragen Sie in einem Diagramm ∆m uber den Druck p auf und bestimmen SieSteigung ∆m/p. Damit konnen Sie aus Gleichung (41) n0 bestimmen. Fur dieWellenlange setzen Sie entweder den Literaturwert ein oder den von Ihnen zuvorbestimmten Wert. Das Innenmaß der Kuvette betragt a = (50 ± 0, 05) mm.Das Manometer besitzt eine Guteklasse von 0,6. Eine beliebige Ablesung kannum maximal 0,6% vom Skalenendwert (800 Torr) falsch sein, also um knapp5 Torr. Dieser systematische Fehler der Absolutanzeige sollte sich bei Diffe-renzmessungen zwar weitgehend herausheben, es muss jedoch damit gerechnetwerden, dass auch die relative Teilungsgenauigkeit der Skala nicht viel besserals 0,6% ist (d.h. 1 Teilstrich 5 Torr ±0,6%).Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert (n0=1,00028).

zu 4.Unter Berucksichtigung von ∆s = ∆x/5 folgt L = 1/5 (s′′0 − s′0). Tragen SieL gegen λ2/∆λ auf. Theoretisch sollte sich eine Gerade mit der Steigung 1ergeben. Wie groß ist die Diskrepanz?


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232 Michelson BSc - physi.uni-heidelberg.de · Physikalisches Anf¨angerpraktikum der Universit...

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