2.4 Dynamik (Dynamics) -...

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Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik Blankenbach / HS Pf / Physik: Dynamik / WS 2015 1 2.4 Dynamik (Dynamics) Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, hier wird die Statik (§2.2) mit der Kinematik (§2.3) zusammengeführt. Inhalt: Bewegungsgleichungen, Energiesatz, Arbeit, Leistung, Impuls, .... Translation Rotation Modellkörper Massepunkt Starrer Körper Grundgesetz F = m a M = J Vorlesungsbeispiel Wagen mit Gewicht Motor Ziel: Bewegungsgleichung aus Aufgabenstellung erstellen und Bewegung beschreiben (Kinematik)! 2.4.1 Translation 2.4.1.1 Newtonsche Gesetze (Newton's Three Laws of Motion) (1) Trägheitsgesetz Ein Körper bleibt in Ruhe (Statik) oder er bewegt sich gleichförmig (Kinematik, v = const.), wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder diese in Summe Null sind. Beispiele: - Gegenstand liegt auf Tisch - aber: Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne - Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen fliegen unbeschleunigt weiter, das Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte auf das Auto (Deformation). Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand: Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik im 2. Grundgesetz der Mechanik zusammengeführt.

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Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik

Blankenbach / HS Pf / Physik: Dynamik / WS 2015 1

2.4 Dynamik (Dynamics)

Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,

hier wird die Statik (§2.2) mit der Kinematik (§2.3) zusammengeführt.

Inhalt: Bewegungsgleichungen, Energiesatz, Arbeit, Leistung, Impuls, ....

Translation Rotation

Modellkörper Massepunkt Starrer Körper

Grundgesetz F = m a M = J

Vorlesungsbeispiel Wagen mit Gewicht Motor

Ziel: Bewegungsgleichung aus Aufgabenstellung erstellen und Bewegung beschreiben (Kinematik)!

2.4.1 Translation

2.4.1.1 Newtonsche Gesetze

(Newton's Three Laws of Motion)

(1) Trägheitsgesetz

Ein Körper bleibt in Ruhe (Statik) oder er bewegt

sich gleichförmig (Kinematik, v = const.), wenn keine

äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder

diese in Summe Null sind.

Beispiele:

- Gegenstand liegt auf Tisch - aber: Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne

- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt weiter,

das Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte auf das Auto (Deformation).

Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:

Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik im

2. Grundgesetz der Mechanik zusammengeführt.

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(2) Grundgesetz der Mechanik

Vereinfachte Formulierung:

Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die

gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist

Speziell

allgemein

m = const. (Newton)

m const., p: Impuls

siehe unten § 2.4.1.5

amF

p

dt

vmdF

(MD - 1)

In den meisten praktisch auftretenden Fällen wird „m = const.“ angenommen.

Auch bei einem fahrenden Auto mit Verbrennungsmotor rechnet man in der Praxis mit m = const.,

da der verbrauchte Treibstoff pro Stunde mit ca. 5 kg prozentual gegenüber der Gesamtmasse von

ca. 1.500 kg vernachlässigt werden kann. Jedoch macht es beim dynamischen Fahrverhalten einen

Unterschied, ob man einen vollen oder leeren Tank hat.

Sonderfälle: - m = m(t) : Rakete, Flugzeug

- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)

Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen

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(3) Kraft erzeugt Gegenkraft

aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Fi = 0 ; Beispiel: Gewicht auf Unterlage

„Erweiterung“ der Kinematik zur Dynamik:

Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit

bei Fahrt in Kurve bemerkt man Kräfte.

Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen sind sogenannte Trägheitskräfte

- Ruckartiges Anfahren oder Bremsen im Auto: „Stehende“ Flasche fällt um.

- Aufzug beim Losfahren: Aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter,

aber eine Person im Aufzug „sieht“ die „eigene“ Bewegung nicht!

Def.: Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null

Dynamisches Gleichgewicht

auch d’Alembertsches Prinzip

(D'Alembert's Principle)

Fi = 0

(MD - 2)

Versuche: - Ball auf Wagen legen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit

- Ball mit Hand unterstützen: Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.

Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?

- Gewicht an Federwage

- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,

nimmt das angezeigte Gewicht zu

- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,

nimmt das angezeigte Gewicht ab

Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !

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Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertschen Prinzips

aus 0Fi

(d´Alembert)

Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B. Gewichtskraft

Ft : Trägheitskraft

0FF tb

Ft = m a

(MD - 3)

mit: m : Gesamtmasse des Systems

a : Beschleunigung des Systems

Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)

- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen

Aufgabe der Dynamik:

Bewegungsgleichung aus Kraftansatz bzw. Energiesatz aufstellen und lösen.

Mit Dynamik kann die Beschleunigung a unter Einfluss von äußeren Kräften auf einen Körper

berechnet werden. Dies ist in der Kinematik nicht möglich! Aber ausgehend von der mit Hilfe der

Dynamik errechneten Beschleunigung wird dann mit kinematischen Methoden durch Integration die

Geschwindigkeit und der Weg ausgerechnet.

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Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)

Freier Fall

Kraftansatz

1) d’Alembert: F = 0

Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = m g = Fg

Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)

3) Einsetzen

m g - m a = 0

a = g = x (Koordinate x), 1D

Das ist eine gleichmäßig

beschleunigte Bewegung (a=const).

4) Bewegungsgleichungen

Durch Integration folgt (v = adt)

x = v = g t,

x = ½ g t² (aus x = vdt)

xg2vx

Energieansatz (Vorgriff)

Eges = const

Epot = Ekin

m g x = ½ m v²

xg2vx

x(t) und v(t) sind hier

schwierig zu berechnen

Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems!

Energieansatz erscheint „leichter“, ist aber deutlich aufwendiger aufwändiger,

wenn s(t) und v(t) gesucht sind!

Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-

Zusammenhang.

Wenn Kraft- oder Energieansatz nicht „funktioniert“, den anderen Ansatz verwenden!

Typisch für Kraftansatz: Zeit t gesucht oder zeitabhängige Größen s(t), v(t), a(t).

Typisch für Energieansatz: Höhe h und Geschwindigkeit v(h) gegeben bzw. gesucht.

m (Massepunkt)

0

x

Start

F = m at

FG

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Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)

„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach

d’Alembert: F = 0

1) d’Alembert: F = 0

Fb - Ft = 01) Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = mG g

Ft = (mw + mG) a

mw + mG = Gesamtmasse des Systems

3) Einsetzen

mG g - (mw + mG)a = 0

.constgmm

ma

GW

G

Das ist eine gleichmäßig

beschleunigte Bewegung (a=const).

4) Bewegungsgleichungen

Weitere Berechnungen dann wie Kinematik

gleichmäßig beschleunigte Translation

(a = const.):

Durch Integration folgt (v = adt)

x = v = a t,

x = ½ a t² (aus x = vdt)

JAVA Applet: 2. Gesetz von Newton

(Fahrbahnversuch)

t = 0 0x

Ft

mW

FG

Fb

mG

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Stimmt das Rechenergebnis für die Beschleunigung a?

Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:

a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses?

b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?

angewandt auf obiges Beispiel:

a) Einheit : [a]= m/s²

b) Extremfälle - mw 0 : a g

- mw >> mG : a 0

- mG = 0 : a = 0

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2.4.1.2 Arbeit (Work)

Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar,

die Wirkung wird mit dem Begriff Arbeit erfasst:

'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft x Weg

Bsp: - Gewicht in Hand und laufen – es wird keine Arbeit verrichtet, da Gewicht nur gehalten wird

(Kraft Weg)

- Maßkrug-Haltewettbewerb: hier ist der Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.

Kraft F Arbeit [W] = Nm = J

- konstant sFW

- wegabhängig

1

o

s

s

sd)s(FW

(MD - 4)

Die Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden:

Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand

Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt

Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:

F = const. : sFsdF1

o

s

s

SI-fremd : „kWh“ = 3,6 MJ (Energiewirtschaft) ; „eV“ = 1,6 10-19 J (Atomphysik)

Arten Beispiele (Vereinfachung: 1D)

Hubarbeit Gewichtheben,

Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.

Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto

Reibungsarbeit

(kein Vorlesungsstoff)

Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene

Verformungsarbeit Feder spannen (Hookesches Gesetz)

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Hubarbeit im Schwerefeld der Erde

Annahme: g = const

F = const, Weg klein

Whub = F ds

mit F = m g und s = h erhält man

Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)

Versuche:

- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle

- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft x Weg = Arbeit

- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger Arbeit = const.

- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg

dafür entsprechend länger Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.

Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodass auch schwere Gegenstände

hochgehoben werden können

JAVA Applet: Flaschenzug

h

W hub

W ~ hhub

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Beschleunigungsarbeit

Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0

Fall: a = const Fall: a const

Fbeschl = m a = const

Wbeschl = m a s

gleichmäßig beschleunigte Translation:

sa2v

nach a auflösen und einsetzen

Wbeschl = m s v²/2s

Wbeschl = F ds = m ads

2

1

V

V

dvvmdt

dsdvm

dsdt

dvm

Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = 2

1

2

2 vvm2

1

(MD - 6)

Achtung: gilt nur, wenn

Anfangsgeschwindigkeit = 0

Immer verwenden, wenn

Anfangsgeschwindigkeit 0

Bsp: m = 2 kg

sm6v

sm5v

2

1

sm1v

J112536m2

1Wbeschl

so nicht: v = 1m/s J11m2

1 2 !

Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden, nicht die

beiden Zahlen (hier Geschwindigkeiten) subtrahieren (hier v) und dann potenzieren !

Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die „Differenz“ gebildet werden.

v

Wbeschl

W ~ v2

beschl

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Spannarbeit (Verformungsarbeit)

z.B. bei Feder (Bsp. Federwaage, Kugelschreiberfeder, …)

Aus 1

o

s

s

sd)s(FW

mit s = x

F = F(x) = FF = - D x (Hookes Gesetz)

D : Federkonstante, [D] = N/m

→ 2

1

2

2

x

x

x

x

s xx²xD2

1dxxDW 1

2

2

1

Spannarbeit 2

1

2

2

x

x

Fs xxD2

1dxFW

2

1

(MD - 7)

wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflusster Länge

x = x2 - x1: aktuell gedehnter Weg

+ aus Sicht von außen

- aus Sicht der Feder

- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit

Beispiel : Kraft ist wegabhängig x; Spannarbeit

1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D

2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen

Ws =

2

1

2

1D

2

3)14(D

2

1²xD

2

1dxxD

nicht additiv wie bei Hubarbeit ! ACHTUNG analog zu MD – 6: Differenz der Quadrate !

Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen.

Ws

W ~ x2

s

x

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2.4.1.3 Energie (Energy)

Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit

umgewandelt werden kann.

Energiesatz

[E] = J

Eges = const.

Eges (To) = Eges (T1)

(MD - 11)

Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt sich von

alleine ab und springt hoch!

Einheit wie Arbeit

Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt werden!

kein Perpetuum mobile

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Zusammenfassung und Übersicht zur Energie

Energie -

Arten

Formel Beispiele

Energie

Energie-

Speicher

Energie-

Transport

Kinetisch

(Translation) Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall

Rotation

(§ 2.4.2) Erot = ½ J ²

Motor beim

Auslaufen Schwungrad

Potentiell

(Erde) Epot = m g h Freier Fall

Speicher-

kraftwerk Pumpstation

Reibung (nicht behandelt) Luftwiderstand

Wärme Ew = c m T Kochen Wasser-

speicher Fernwärme

Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport

von Energie !! Akku

Hochspannungs-

leitung

Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank

Strahlung E

Photosynthese,

Solarenergie,

IR-Thermometer

em. Wellen

Beispiel Kinetische Energie

Setzt man die Kinetische Energie Ekin = ½ mv² eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt

sich diese bei 140 km/h (1,4² 2) !!

Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert ebenfalls

quadratisch verlaufen könnte.

Daraus folgt dann ein vierfach größeres Risiko, wenn die Geschwindigkeit von

100 auf 140 km/h gesteigert wird.

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Translativer Energiesatz

ohne Reibung

mit Reibung

Ekin(To) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1) = Eges

Ekin(To) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1) = Eges

(MD - 12)

To : Zeit bei „Versuchsbeginn“, T1: „Versuchsende“ bzw. Zustand zum Zeitpunkt T1.

Zeitpunkte „fortsetzbar“ z.B. T2, …: Eges(To) = Eges (T1) = Eges (T2) …

Bemerkungen zum Energiesatz:

- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen

- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit!

- gilt z. B. nicht in Wasserströmung:

Aufzuwendende Energie für Weg von A nach B kann wegabhängig sein.

Bsp.: Energieumwandlung Epot1 Ekin Epot2

Versuch :

a) Würfel im Freien Fall

b) Würfel über schiefe Ebene

Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des Gegenstandes G

geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird. Weitere Verluste durch Aufprall.

Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !

EW

h

a)b)

G

pot1

Epot2

Ekin

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Pinewood Challenge – Fundamentals

http://www.dispatch.com/content/graphics/archive/science/2012/pinewood/pinewood-derby-physics.jpg

Der „Schlüssel“ zum Erfolg:

Ist der nebenstehende Wagen „vorwärts“ wie

„rückwärts“ gleich schnell am Ende der schiefen

Rampe?

Tipp: Skizze anfertigen mit den relevanten

Parametern. Reibung hier vernachlässigen.

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Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung, Reibung zur Information)

a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)

mit Er = F s Kraft F ~ v; Weg h; k : Reibungskoeffizient Reibungsenergie Er = kv² h

Einsetzen: m g h = ½ m v² + k v² h

m g h = v² (½ m + k h)

hk2

m

hgmv

Extremfälle:

- keine Reibung (k = 0) : hg2v

- große Reibung ( k ) : v 0 aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ???

Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier

als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige

Beschleunigung.

b) Kraftansatz F = 0

Fb - Fr - Ft = 0

mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v = 0 (d.h. konstante Fallgeschwindigkeit wenn beschleunigende Kraft = Reibungskraft) mg - k v² = 0

k

gmvend

Extremfälle: k 0 : vend

k : vend 0

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Die Fallgeschwindigkeit v durch den Luftwiderstand „mit der Zeit“ konstant

Beschleunigung a = 0 im „Endzustand“.

weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):

Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)

Epot = Ekin

mG g h = ½ (mw + mG) v²

(h entspricht hier x wg. Seil)

Gw

G

mm

hgm2v

v = v(h) !

Grenzfälle analog Kraftansatz

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150

v /

m/s

Fallweg / m

Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall

mit Luftwiderstand

t = 0 0x

Ft

mW

FG

Fb

mG

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2.4.1.4 Leistung (Power)

Leistung ist ein weiterer Begriff aus dem täglichem Leben.

„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt

WP

aus vFdt

dsF

t

sF

t

WP

[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)

„früher“: Autoleistung als „PS“; 1 PS = 0,73 kW

Leistung („Arbeit pro Zeit“)

'genaue' Formulierung

tanMomen

0t

ttDurchschni

td

Wd

t

WP

(MD - 13)

Durchschnittsleistung t

WPm

aktuelle Momentanleistung Wtd

WdPa

(Definitionen analog Kinematik für v und a)

erweiterte Betrachtung vFsFtd

)sF(d

td

WdP

constFfür0

kinetische und potentielle Leistung (zur Übung und Herleitung)

vFxF

dt

dxgm

td

)t(xgmd

td

WdP

vFvamvvmdt

²dvm

2

1

td

)²t(vmd

td

WdP

constm

pot

pot

constm

21

kinkin

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„Leistung“ in der BWL

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Wirkungsgrad

(Efficiency) 1

P

P

gesamt

nutz

Pnutz = Pgesamt - Pverlust

(MD - 14)

Pnutz : nutzbare, benutzte Leistung

z.B. Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit

Pgesamt : Summe aller Einzelleistungen

z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...

d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert !

Beispiel (Übung):

Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,5 t mit Fahrer) von 0 auf 100 in 8,6 s zu beschleunigen

Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 8,6 s = 67 kW 91 PS

Prospekt VW GOLF 110 kW (150 PS) : t = 8,6s Wirkungsgrad 0,6

Wirkungsgradverminderung durch:

- Reibung

- Schaltzeiten

- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab

- ...

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2.4.1.5 Impuls (Momentum)

Beispiele:

- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung

- Zusammenstoß Autos: Auto mit Auto, Auto fährt gegen Mauer, Baum,…

Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …

Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel

Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander

Impuls [p] = kg m/s = Ns

Fallemeinerlgal.constmNäherung

Fpdt

)vm(d,vmp

(MD - 15)

allgemein: Vektor p

Allgemeine Formulierung

amvmvmvmdt

vmd

mit m = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)

analog zu Ladungsänderung pro Zeiteinheit = Strom I

JAVA Applet: Elastischer und unelastischer Stoß

Impulssatz (vereinfacht, 2 Körper, 1D): p1(To) + p2(To) = p1(T1) + p2(T1)

mit To vor Zusammenstoß, T1 danach; p = mv

Impuls hier nur zur Information, da in der Praxis wg. deformierbaren Medien (z.B. Knautschzone von

Autos) der Impulssatz nicht angewendet werden sollte.

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2.4.2 Rotation (Rotation)

Anwendungen:

Motor, Fahrdynamik,

Fliehkraftregler (z.B. Dampfmaschine, rechts)

Innenstück „öffnet“ z.B. Ventil

Modellkörper: Starrer Körper

Versuch zur Fliehkraft

Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich

schwere Kugeln bei gleicher Umdrehungs-

Geschwindigkeit dieselbe Höhe?

2.4.2.1. Zentripetalkraft

Bsp: Den Anpressdruck beim Karusell bemerkt

Außenstehender nicht, da vom Typ „Trägheitskraft“

bzw. „Scheinkraft“

Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp

Praxis: meist nur Betrag interessant

Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender

Beobachter spürt (Fliehkraft)

Zentripetalkraft Fzp

Zentrifugalkraft Fzf

Zfrv

2

zpr Fr²mr

vmamFF

(MD - 17)

Bem.: Fzp ~ ²

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

r

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2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz

Modellkörper: Starrer Körper

Translation Kraft F M Drehmoment Rotation :

Drehmoment

iiig FrMM

Herleitung eindimensional (zum Üben)

1D : F = m a | r

r F = r m a | a = r (Winkelbeschleunigung)

M = (mr²) = J

J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)

aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung

bei zusammengesetzten Körpern :

iiges JMM

Dynamisches Grundgesetz

[J] = kgm²

JM (MD - 18)

Vergleich Translation: amF

d’Alembertes Prinzip der Rotation M = 0 (MD - 19)

Vergleich Translation: F = 0

D

r1

m1

r2

m2

Dr m

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Tabelle Massenträgheitsmoment (Formel wird in Klausur angegeben)

hier: Schwerpunkt auf Drehachse, falls nicht : Satz von Steiner (zur Info)

Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen Kapitel Schwingungen

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen i Vol

22

ii dVrrmJ

(Anwendungsbeispiel Volumenintegral)

Kugel

massiv 2

zyx rm5

2JJJ

dünne Schale 2

zyx rm3

2JJJ

Vollzylinder

2

x rm2

1J 22

zy lm12

1rm

4

1JJ

dünner Stab (l >> r)

2

x rm2

1J 2

zy lm12

1JJ

dünner Scheibe (l << r)

2

x rm2

1J 2

zy rm4

1JJ

Hohlzylinder

2

i

2

ax rrm2

1J

22

i

2

azy l3

1rrm

4

1JJ

dünnwandiger Hohlzylinder mit ra ri

dünner Ring(ra ri, l << r)

2

x rm2

1J 2

zy rm2

1JJ

Quader

22

x hbm12

1J

22

y hlm12

1J

22

z lbm12

1J

x

y

z

r

x

y

z

l

r

r

a

i

y

z

x b

lh

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2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation

Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad

- fallen lassen mit abgewickelter Schnur :

Fall schnell, JoJo bleibt „unten“ – „einmalige“ Bewegung

- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur :

Fall langsamer, JoJo kommt „wieder hoch“, bewegt sich wieder abwärts, …

„zyklische (d.h. sich wiederholende) Bewegung (mit Reibungsverlusten)

Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer)

Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation !

Epot Ekin + Erot Energiespeicher Rotation

Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen

Frage zur Systemauslegung (Warum gibt es das nicht mehr?)

Arbeit

Energieerhaltung

Rotationsenergie

Leistung

(vgl. Translation)

Wrot = Md

Ekin + Epot + Erot = const.

Erot = 1/2 J ²

MP

(MD - 21)

Impuls bei Rotation „hier nicht behandelt“.

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2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung

In der nachfolgenden Tabelle erhält man die Formeln der Rotation aus denjenigen der Translation

durch „Buchstabentauschen“:

s v a m J F M p L

(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)

Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel

Weg s Winkel = s / r

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung

Masse m Massenträgheitsmoment J = mr²

Kraft F = ma Drehmoment M = J

Kraftansatz F = 0 Drehmomentansatz M = 0

Impuls p = mv ; Fp Drehimpuls L = J ; ML

Impulserhaltung p = const. Drehimpulserhaltung L = const.

Arbeit W = Fds Arbeit W = Md

Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1

/2 J²

Leistung P = F v Leistung P = M

entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.

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Übungsblatt Dynamik

1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im Elektrischen

und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz.

Formeln: BveF;UeE;EeF magpotel

a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV

(Elektron ruht zu Beginn). v = 105 km/s

b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld

der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform. Parabel

c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es

mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?

Kreis, Arbeit = 0

2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2 befestigt.

Berechnen Sie die Beschleunigung

a) bei masseloser Rolle g

mm

mma

21

21

b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r g

r

Jmm

mma

221

21

3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei innerhalb

von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal)

216 kJ

4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des

Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ mit

0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?

61,2 m

5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und fahren

1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie den

zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder? 8 s

Ferner: Aufgaben aus Altklausuren