Einführung in die Physik IIElektrodynamik, Atomismus, Quantenphysik

Romano A. RuppSommersemester 2014

February 24, 2015

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Contents

IV. Elektromagnetismus 6

23.Grundbegriffe der Elektrizitätslehre 723.1. Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2. Ladungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3. Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4. Thermodynamik elektrischer Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5. Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.6. Elektrische Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.7. Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.8. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.9. Ladungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.10.Elektrische Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.11.Schaltpläne, Schaltsymbole und Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.12.Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.13.Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.14.Rückwirkung des Messinstrumentes auf das Messresultat . . . . . . . . . . 2623.15.Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2823.16.Amperemeter und Messbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.17.Elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

23.17.1.Erzeugung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.17.2.Umwandlung elektrischer Energie in andere Energieformen . . . . . 33

24.Feldtheoretische Grundlagen 3524.1. Fernwirkungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.2. Nahwirkungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3624.3. Das dielektrische Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.4. Graphische Darstellung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4024.5. Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4124.6. Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4224.7. Das magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.8. Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4624.9. Die Zylindersymmetrie eines geraden Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . 4724.10.Die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4924.11.Faradayscher Käfig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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25.Grundlagen des Magnetismus 5025.1. Definition der Einheit Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5025.2. Das magnetische Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5125.3. Das Biot-Savartsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5325.4. Berechnung magnetischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

26.Elektrische Materie 6026.1. Freie und gebundene Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6026.2. Die Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

26.2.1. Das Dipolfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6326.2.2. Kraftwirkung auf einen Dipol in einem elektrischen Feld . . . . . . 6426.2.3. Drehmoment und Energie eines Dipols in einem homogenen elek-

trischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6526.3. Potential und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6626.4. Die Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6726.5. Elektrete, Pyroelektrizität und Ferroelektrizität . . . . . . . . . . . . . . . 6826.6. Die Polarisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

27.Magnetische Materie 6927.1. Kraft und Drehmoment auf eine Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . 6927.2. Kraft, Drehmoment und Energie eines Elementarmagneten im Magnetfeld 7027.3. Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127.4. Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus . . . . . . . . . 7227.5. Elektromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7327.6. Elektromotor und Drehspul-Amperemeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

28.Induktion 7528.1. Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7528.2. Induktions- und Selbstinduktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 7728.3. Ein- und Ausschaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8028.4. Spule und Kondensator als Energiespeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

29.Wechselstrom 8229.1. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8329.2. Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8429.3. Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8529.4. Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8629.5. Wechselstrom-Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8729.6. Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8729.7. Elektrotechnik: Wendepunkt in der Geschichte der Menschheit . . . . . . . 89

30.Elektromagnetische Schwingungen 9030.1. Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9030.2. Die Lenz-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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31.Elektromagnetische Wellen 92

V. Atomismus 95

32.Von der Alchemie zur Chemie 9532.1. Die Grundgesetze der Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9532.2. Valenz, Mol und Molmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9632.3. Atome und Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9732.4. Die Avogadrozahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

33.Kinetische Gastheorie 9933.1. Molwärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9933.2. Masse und Volumen der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10033.3. Die Boltzmannkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10033.4. Molwärme und Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10133.5. Der Boltzmannfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10233.6. Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10433.7. Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10533.8. Die atomistische Deutung der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10633.9. Die Boltzmannsche Formel für die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . 10833.10.Die Energieverteilung eines idealen Gases im thermodynamischen Gleich-

gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

34.Die Brownsche Bewegung 11234.1. Der Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11234.2. Die Einstein-Smoluchowski-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

35.Elektrolyte 11435.1. Metallischer und elektrolytischer Ladungstransport . . . . . . . . . . . . . 11535.2. Elektrochemische Energieumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11535.3. Die Quantisierung der Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11635.4. Dichte und Stromdichte in der atomistischen Vorstellung . . . . . . . . . . 117

36.Elektrische Phänomene in Gasen 11836.1. Der glühelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11836.2. Leuchterscheinungen beim Stromtransport in Gasen . . . . . . . . . . . . . 11936.3. Massenspektrometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12036.4. Die Richardson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

37.Licht als quantisierte Strahlung 12237.1. Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12237.2. Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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Vorwort

Liebe Studenten,im Sommersemester 2014 möchte ich mich folgenden Themen widmen: Elektromag-

netismus, Atomismus und Quantenphysik. Die Quantenphysik werden wir anhand desLichtes erörtern. Es ist ein Thema, das üblicherweise im Rahmen der Wellenoptik desLichtes abgehandelt wird.

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Teil IV.ElektromagnetismusElektrische und magnetische Phänomene wurden ursprünglich als voneinander getrenntePhänomene wahrgenommen.1 Erst mit zunehmender experimenteller Erfahrung gelanges, die Verbindung beider Gebiete zu entdecken und zu einer Vereinigung ihrer Theo-rien zu kommen. Dies gelang James Clerk Maxwell. Die axiomatische Grundlageder Maxwellschen Theorie des Elektromagnetismus sind die vier Maxwellschen Glei-chungen, die wir heute in der Form aufschreiben, wie sie von Heinrich Hertz formu-liert wurden.Wenn Sie wie ich 40 Jahre Physik gemacht haben, dann würden Sie vermutlich auch

am liebsten zuerst diese Gleichungen hinschreiben und dann davon ausgehend den Elek-tromagnetismus studieren. Aber ich weiß wohl, dass ich das – so rational das auch wäre– in einer einführenden Vorlesung so nicht machen kann, weil in den Maxwellschen Glei-chungen neue Begriffe auftreten: Ladung, elektrisches Feld und magnetisches Feld. Diesemuss man erst einmal – zumindest auf einer gewissen phänomenologischen Ebene – pro-visorisch klären, bevor man zu den Maxwellschen Gleichungen fortschreiten kann. Es istdaher unvermeidbar, zu Anfang ein wenig der historischen Entwicklung der Ideen überden Elektromagnetismus zu folgen.Nun lassen Sie mich kurz auf die Frage zu sprechen kommen, warum die Maxwell-

schen Gleichungen für das Physikstudium so wichtig sind. Sie sind deshalb so wichtig,weil sie das Paradebeispiel für eine klassische Feldtheorie sind. Wenn wir hier voneiner klassischen Theorie sprechen, dann ist damit zugleich gesagt, dass diese Theorievom modernen Standpunkt der Quantentheorie aus gesehen als überholt anzusehen ist.Ich verstehe, wenn einige von Ihnen sich da fragen, warum sie sich mit einer überholtenTheorie überhaupt auseinander setzen müssen. Erfahrungsgemäß ist es aber so, dass manQuantenfeldtheorie nicht verstehen kann, ohne dass man sich erst einmal mit der klas-sischen Feldtheorie gründlich vertraut gemacht hat. Sie ist der Schlüssel zu der Physik,die Sie in den folgenden Semestern lernen werden.Fragen wir nun nach dem Rahmen, in den die Maxwellsche Theorie des Elektromagne-

tismus in der Darstellung, die ich in diesem Kapitel geben werde, einzuordnen ist. In derMaxwellschen Theorie sind die Begriffe Zeit und Raum grundlegend und müssen schonklar sein, bevor man die Theorie überhaupt aufstellen kann. Die Grundlage der Maxwell-schen Theorie des Elektromagnetismus ist daher die spezielle Relativitätstheorie, wie wirsie im ersten Semester bereits behandelt haben. Den zweiten Rahmen setzen wir durchdie Kontinuumstheorie der Materie. Das ist nicht zwingend, aber wir wollen zunächsteinmal konsistent zur Thermodynamik und zur Physik der Materie des ersten Semesterskonsequent im Rahmen der Kontinuumstheorie verbleiben. Die Änderungen, die durchden atomistischen Charakter der Materie hereinkommen, werden wir im nächsten Teil

1Die erste Kunde davon haben wir aus der griechischen Antike: Magnete sind nach der griechischenInsel Magnesia benannt und der Begriff „Elektron“ geht auf die den Griechen bekannte elektrischeAufladung des Bernsteins zurück.

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(Atomismus) besprechen.

23. Grundbegriffe der Elektrizitätslehre

23.1. Elektrizität

Phänomene, bei denen die Grenzflächen von Stoffen eng miteinander in Kontakt gebrachtwerden, gehören thematisch zur Reibung. Wir haben einige dieser Phänomene bereits inKapitel 22 besprochen. Die Wirkungen der Haft- und Gleitreibung treten nur dann auf,wenn die Grenzflächen in engem Kontakt zueinander verbleiben. Hier wollen wir unsanderen Reibungsphänomenen zuwenden, bei denen es anschließend an einen Grenzflä-chenkontakt zu einer Wirkung über große Distanzen hinweg kommt. Dieses Phänomennennen wir Reibungselektrizität. Es ist nur eines von vielen elektrischen Phänome-nen, die wir noch kennenlernen werden, und wurde hier ausgewählt, um uns als Einstiegin das Thema Elektrizität zu dienen.

Wir bringen Stäbe aus gleichen Materialien durch Reiben in engen Kontakt mit anderenMaterialien und trennen sie anschließend. Da kann man beispielsweise mit einem Stab ausMetall, Glas und Kunststoff tun, die man durch Anpressen und noch besser durch Reibenmit einem Fell in engen Kontakt bringt. Jeden Stab haltern wir anschließend so, dasser sich frei bewegen kann und untersuchen, ob zwischen den Stäben eine Wirkung übermakroskopische Entfernung auftritt (Abb. 1). Wie man es für Haft- und Gleitreibungnach der Trennung der Grenzflächen ja auch erwartet, passiert in der Regel nichts. Wennman keine besonderen Maßnahmen ergreift, ist das beispielsweise bei dem Metallstabso. Manchmal beobachtet man jedoch, dass die Stäbe sich auch über makroskopischeEntfernungen hinweg gegenseitig abstoßen, ja dass sie diese Wirkung nicht nur durch dieLuft, sondern sogar durch Vakuum aufeinander ausüben. Dann bezeichnen wir die Stäbeals elektrisiert. Sie sind in einen elektrischen Zustand versetzt. Das hier für unszutage tretende neue Phänomen bezeichnen wir als elektrisches Phänomen bzw. alsElektrizität. Wenn wir betonen wollen, dass ein elektrischer Zustand durch Reibunghervorgerufen wurde, sprechen wir von Reibungselektrizität.Da man gewöhnlich die Entstehung von Reibungselektrizität demonstriert, indem man

zwei Materialien gegeneinander reibt, könnte man den falschen Eindruck gewinnen, dassdas Phänomen Ähnlichkeiten zur Gleitreibung aufweist, bei der z.B. Wärme erzeugt wird,indem man Stoffe gegeneinander reibt, d.h. wo die Relativbewegung eine Rolle spielt. Dasist nicht der Fall. Vielmehr hat das Phänomen eher etwas mit der Haftreibung gemein,denn es genügt bereits der bloße Kontakt zweier Materialien, also wenn man zwei Stoffegegeneinander presst und dann trennt, oder es genügt auch, dass man Paraffin oderTeflon bloß in Wasser taucht. Reibungselektrizität als Reibungsphänomen (tribologischesPhänomen) setzt also keineswegs voraus, dass man Materialien aneinander reibt.2

2Ich möchte hier nochmals daran erinnern, dass der physikalische Terminus technicus „Reibung“ ersteinmal nichts mit dem Begriff „reiben“ zu tun hat, auch wenn beide Worte verführerisch ähnlichklingen und der technische Begriff der Reibung vermutlich etymologisch aus dem Begriff des Reibenshervorgegangen ist. Als Fachbegriff der Tribologie bezieht er sich auf jede Art undWeise, wie man zweiStoffe in engen Kontakt bringen kann. Dieser enge Kontakt kann zwar auch durch Reiben zustande

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Abbildung 1: Elektrische Wirkung zwischen zwei elektrisierten Stäben. Einer der bei-den Stäbe ist so gelagert, dass er gut drehbar ist. In den ersten beidenBildern ist der drehbar gelagerte Stab ein Kunststoffstab, der vorher miteinem Katzenfell gerieben wurde. Nähert man ihm einen genauso behandel-ten Kunststoffstab, so stoßen sich beide voneinander ab. Nähert man ihmhingegen einen geriebenen Glasstab, so beobachtet man Anziehung. Sindbeide Stäbe aus Metall, so ist keine Wirkung zu beobachten. (Zeichnung:Christoffer Müller)

23.2. Ladungszustände

Wechselwirkung zwischen zwei Körpern, die über große Entfernung hinweg wirkt, hattenwir bereits bei der Gravitation kennengelernt. Die Gravitationswechselwirkung ist stetsanziehend. In diesem Punkt weist das Phänomen Elektrizität einen bemerkenswertenUnterschied gegenüber der Gravitation auf: sie kann anziehend oder abstoßend sein.Wir untersuchen dazu Objekte A, B und C bestehen. Wenn sich die elektrisierten

Stoffe A und B abstoßen und sich auch B und C abstoßen, dann stoßen sich A undC ab. Die elektrisierten Stoffe erfüllen also eine Äquivalenzrelation, die man symbolischfolgendermaßen beschreiben kann: Aus A ∼ B und B ∼ C folgt A ∼ C. Zwischen zwei Das Symbol

„∼“ bedeu-tet „ist äqui-valent zu“

Objekten A1 und A2 bzw. B1 und B2, die gleich sind oder auch nur aus dem gleichenStoff A bzw. B bestehen, beobachtet man stets Abstoßung. Zwischen zwei Objekten ausunterschiedlichen Stoffen A und B kann aber auch eine Anziehung auftreten. Man kannnun den StoffA festhalten und alle anderen StoffeB daraufhin untersuchen, ob Anziehungauftritt oder Abstoßung. Dann zerfallen alle Stoffe in genau zwei Äquivalenzklassen,nämlich jene Klasse, wo relativ zum festgehaltenen A eine Abstoßung auftritt, die alsozur gleichen Äquivalenzklasse wie A gehören oder die Klasse von Stoffen, wo Abstoßungauftritt. Die Interaktionsmöglichkeiten zwischen zwei Stoffen A und B lassen sich alsoeiner beiden in Tab. 1 gezeigten Tabellen zuordnen.

kommen, muss aber nicht. Reibung (im Sinne des hier verwendeten physikalischen Fachbegriffs) kannauch durch gegenseitiges Anpressen zweier Stoffe realisiert werden.

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A1 B1

A2 p pB2 p p

oderA1 B1

A2 p nB2 n p

Tabelle 1: Bei der Interaktion von vier Objekten, die paarweise aus gleichem Materialbestehen und auf gleiche Weise elektrisiert wurden, beobachtet man ein Ver-halten gemäß einer der beiden Tabellen. In den Tabellen bedeutet der Eintrag„p“ eine gegenseitige Abstoßung und „n“ eine gegenseitige Anziehung.

Man kann feststellen, ob ein Stoff B zur gleichen Äquivalenzklasse wie A gehört (dannverhält er sich nach der ersten Tabelle) oder einer anderen Äquivalenzklasse (dann verhälter sich nach der zweiten Tabelle). Da die beiden Tabellen 1 genügen, um die Interaktionaller elektrisierten Objekte dieser Welt zu beschreiben, gibt es nur genau zwei solcherKlassen unterschiedlicher Elektrizität.Man kann den beiden Klassen eine Eigenschaft Q zuschreiben, den Ladungszustand,

welcher für die eine Klasse den Wert +1 annimmt und für die andere Klasse den Wert −1.Wenn man nun einer anziehenden elektrischen Wechselwirkung n die Zahl −1 zuordnet,d.h. n = -1 setzt und eine abstoßende Wechselwirkung durch p = +1 repräsentiert, dannwird die Wechselwirkung WW gerade durch das Produkt der beiden Ladungszuständeangezeigt:

WW = Q1Q2

Der einen Klasse von Objekten wird also formal ein positiver Ladungszustand Q =+1 zugeordnet und der anderen ein negativer Ladungszustand Q = −1. Mit diesenZuordnungen wird aus Tab. 1 ein mathematisches Modell, das alle empirischen Befundeprägnant zusammenfasst. Mit diesem mathematischen Modell haben wir einen erstenwichtigen Schritt hin zu einer Theorie der Elektrizität vollzogen.Schauen wir nochmals auf unsere Vorgangsweise zurück: Ausgehend von neuen Beob-

achtungen in der Natur bilden wir einen neuen Begriff, hier den Begriff des elektri-schen Zustands bzw. Ladungszustands. Wir gelangen zu einem mathematischenModell, indem wir diesen fundamentalen Elektrizitätszuständen die Zahlen +1 und −1zuordnen und beschreiben die beobachtete Wirkung (Abstoßung (-1) oder Anziehung(+1)) durch das Produkt der Zahlen. Welche der beiden elementaren elektrischen Zu-stände man nun als positiv oder negativ deklariert, ist reine Konventionssache. Es trifftsich einfach eine Physikerkommission, die entscheidet, dass, wenn man ein Material Xgegen ein Material Y reibt und Anziehung beobachtet wird, der elektrische Zustand vonX der positive sein soll. Mit dieser Konvention sind dann die sich durch Reibung ergeben-den Ladungszustände für alle anderen Materialien des Universums festgelegt. Die derzeitgültige Konvention folgt dem Vorschlag von Benjamin Franklin, der den Ladungszustandeines mit Fell geriebenen Glasstabs als positiv definiert hat.3

3Charles du Fay war der Erste, der zwei Ladungsarten unterschied (1733). Die Elektrizität eines ge-riebenen Glasstabs nannte er électricité vitreuse (Glaselektrizität). Benjamin Franklin führte hierfürdie Bezeichnung positive Elektrizität ein. Alle Stoffe, welche einen Ladungszustand haben, der einen

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Abbildung 2: Der auf der 100-Dollar-Note abgebildete Physiker Benjamin Franklin (1706-1790) führte die Bezeichnungen positive und negative Ladung für die beidenZustände der elektrischen Ladung ein. Durch die Erfindung des Blitzablei-ters und die Gründung der ersten freiwilligen Feuerwehren verbannte er dieBrandgefahr aus den Städten. Er war einer der frühen Aktivisten gegen dieSklaverei, setzte sich für Demokratie, Bürgerfreiheiten und die amerikani-sche Unabhängigkeitsbewegung ein. Als Freigeist und Freimaurer wurde erzu einem Vorkämpfer gegen religiöse Intoleranz.

23.3. Leiter und Isolatoren

Ich möchte Ihnen einige Aspekte der Elektrizität anhand von Beobachtungen an einemElektroskop erläutern. Ein typisches Beispiel ist in Abb. 3 gezeigt. Seine wesentlichenElemente sind ein unbewegliche Metallstab, der durch eine nichtmetallische Durchführung(rot in Abb. 3) gehaltert ist, einen kleineren, mit dem Metallstab drehbar verbundeneMetallzeiger und eine Skala, an der die Größe des Zeigerausschlags abgelesen werden kann.In seinem natürlichen Gleichgewichtszustand hängt der Zeiger aufgrund der Schwerkraftnach unten und zeigt null an.

Abbildung 3: Elektroskop (Quelle:©Welsch & Partner,Tübingen).

Wenn man ein elektrisiertes Objekt,z.B. einen elektrisierten Stab, einem Elek-troskop annähert, dann schlägt der Zei-ger aus und wenn man es wieder entfernt,dann geht der Zeigerausschlag wieder aufnull zurück. Dieses Phänomen wollen wirerst einmal außer Acht lassen und uns spä-ter damit auseinandersetzen.Wenn das elektrisierte Objekt das Elek-

troskop jedoch am Metallstab berührt,bleibt ein permanenter Zeigerausschlag zu-rück. Im Beobachtungszeitraum von eini-gen Stunden bleibt er scheinbar unverän-

geriebenen Glasstab abstößt, sind positiv geladen und negativ. wenn Anziehung auftritt.

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dert. Dass das Elektroskop durch die Be-rührung elektrisiert worden ist, kann mandurch ein zweites Elektroskop nachweisen:bei Annäherung bzw. Berührung treten anihm die gleichen Phänomene auf.Wir können nun gemetrisch gleiche Stäbe aus verschiedenen Materialien in die Hand

nehmen und an den nach außen geführten Metallstab bzw. den in Abb. 3 ersichtlichenMetallteller halten. Dann beobachtet man, dass der Zeigerausschlag für manche Materia-lien in weniger als einer Sekunde zurückgeht, manchmal nur sehr langsam und manchmalstellt man im Beobachtungszeitraum von mehreren Minuten keine Änderung fest.Die Analogie zu den Phänomenen der Wärme und der Wärmeleitung sind offensicht-

lich: Durch ein Thermometer als Anzeigegerät kann man erkennen, dass ein Objekt durchBerührung mit einem warmen Körper erwärmt wird. So lange wie man das erwärmte Ob-jekt thermisch von Umgebung isolieren kann, die auf anderer Temperatur ist, bleibt derZustand erhalten. Die Temperatur nimmt ab, wenn man z.B. durch Stäbe einen Kontaktzu einem kälteren Körper herstellt. Die Abnahme der Temperatur erfolgt um so schneller,je höher die Wärmeleitung des Stabes ist und fast gar nicht, wenn der Stab aus einemMaterial besteht, das ein guter Wärmeisolator ist.Erfolgt die Änderung des elektrischen Zustands sehr rasch, dann ist der Stab bzw. das

Material aus dem er besteht ein elektrischer Leiter, im anderen Fall ein elektri-scher Isolator. Die überwiegende Zahl der Materialien sind zugleich gute Wärme-leiter und gute elektrische Leiter, wie z.B. die Metalle. Gute elektrische Isolatoren, wiez.B. Styrophor und andere Kunststoffe, Gläser und viele Nichtmetalle, sind zugleich auchmeistens gute Wärmeisolatoren.4 Zu den wichtigen Isolatoren gehört die Luft. Ohne ihreisolierenden Eigenschaften würden viele elektrostatischen Experimente nicht funktionie-ren. Enn die Luftfeuchtigkeit zu hoch wird und die Luft dadurch besser leitet, schlagenauch tatsächlich manche Demonstrationsexperimente fehl. Wenn man theoretische Über-legungen anstellt, geht man meist statt von Luft vom Vakuum aus, das ebenfalls einIsolator ist.Diese erste Einteilung der Stoffe in Leiter und Isolatoren mag als grundsätzliche Orien-

tierung erst einmal genügen. Damit kann man im Rückblick verstehen, warum das Elek-troskop so wie oben geschildert aufgebaut ist: Teller, Stab und Zeiger sind aus Metall,damit der elektrische Zustand rasch auf diese Elemente übertragen wird, die Halterungbzw. die Füße des Gehäuses aus isolierenden Materialien und sorgen mit der isolierendenLuft dafür, dass der elektrische Zustand nicht rasch wieder verlorengeht.

23.4. Thermodynamik elektrischer Phänomene

Wenn man ein Elektroskop elektrisiert, dann nimmt seine innere Energie E0 zu.5 Das istaugenscheinlich an der Zunahme der potentiellen Energie mgh des Zeigers im Vergleich

4Es gibt durchaus einige Ausnahmen, also Stoffe, die exzellente elektrische Leiter, aber sehr schlechteWärmeleiter sind und umgekehrt.

5Die innere Energie wird hier mit E0 und nicht mit U wie in der Thermodynamik bezeichnet, weil inder Elektrodynamik das Symbol U traditionell für die elektrische Spannung steht.

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zum ursprünglichen Gleichgewichtszustand erkennbar.Die Zunahme der Schwereenergie des Zeigers ist jedoch nur in Indikator für die im

Elektroskop gespeicherte Erhöhung der Energie. Man kann das daraus ersehen, dass mandie Zeigerstellung arretiert und das Elektroskop mit einem anderen in Berührung bringt.Dann zeigt zweite wieder einen Zeigerausschlag an, wenn auch einen geringeren. Wennman den Zeiger des ersten Geräts loslässt, wird der auf die Höhe des zweiten Gerätsherunterfallen und ein Teil der Schwereenergie wird in kinetische Energie umgewandeltund anschließend dissipiert. Die Verhältnisse sind analog zur Wärmezufuhr bei konstan-tem Druck, wo der Löwenanteil als thermische Energie aufgenommen wird, während einBruchteil davon die Ausdehnungsarbeit leistet.In Erweiterung unserer thermodynamischen Betrachtungen wollen wir nun die inne-

re Energie des Elektroskops um einen weiteren Beitrag ergänzen, den elektrischenEnergiebeitrag. Für die Änderung der inneren Energie E0 = E0(S, V, q, . . .) gilt also:

dE0 = T dS − p dV + U dq + . . . (1)

Die extensive, mengenartige Variable q nennt man die elektrische Ladung, dieintensive Variable

U =∂E0

∂q(2)

heißt elektrische Spannung. Für den Fall, dass wir alle anderen Energiebeiträgevernachlässigen können und uns allein auf den elektrischen Beitrag beschränken können,gilt:

U = U(q) =dE0

dq(3)

bzw.

dE0 = U dq (4)

Ich möchte Sie an folgende Betrachtung für rein thermische Systeme erinnern: Wennman mehrere absolut gleiche Systeme hat, welche die gleiche Entropie S und gleiche Tem-peratur T haben, dann haben sie auch die gleiche gleiche innere Energie. Die Summe derinneren Energien dieser Systeme ist gleich der inneren Energie des aus ihnen bestehendenGesamtsystems. Diese Additivität haben wir der Entropie zugeordnet.Für die elektrische Energie ist die Sachlage analog: Wenn wir mehrere Elektrometer

haben, welche alle gleich elektrisiert wurden (erkennbar an der gleichen Zeigerstellung),dann ist deren innere Energie für alle gleich und die Gesamtenergie eines aus ihnen gebil-deten Gesamtsystems ist gleich der Summe der Teilenergien. Diese Additivität schreibenwir der extensiven Größe zu, die elektrische Ladung genannt wird. Wenn einem zuvorungeladenen Objekt Ladung zugeführt wird, dann sagen wir, dass es anschließendgeladen bzw. elektrisiert ist.

Die elektrische Ladung ist eine additive (mengenartige) Größe.

12

23.5. Ladungserhaltung

Ein zentrales Axiom, das der Theorie der Elektrodynamik zugrunde liegt, ist die La-dungserhaltung. Sie hat den gleichen bedeutenden Rang wie z.B. die Impulserhal-tung.

Axiom der Ladungserhaltung In einem abgeschlossenen System laufen alle physikali-schen Vorgänge so ab, dass die Ladung q erhalten bleibt. Die Ladung ist eine additiveErhaltungsgröße.

Ich möchte Sie an eine Analogie aus der Mechanik erinnern: Wenn zwei Teilchen einabgeschlossenes System bilden und ihre Impulskomponenten in einer gewählten Richtungam Anfang (Index i für „initial“) eines Wechselwirkungsprozesses pi1 und pi2 waren, danngilt für die Impulskomponenten pf1 und pf2 am Ende (Index f für „final“) des Prozesses:

pi1 + pi2 = p = pf1 + pf2 (5)

Wenn die Summe der Impulse der beiden Teilchen am Anfang null war, dann sind dieImpulse am Ende betragsmäßig gleich, haben aber unterschiedliches Vorzeichen.Genauso verhält es sich mit der Ladung: Ein abgeschlossenes System setze sich z.B.

aus zwei anfänglichen Ladungen qi1 und qi2 zusammen. Wegen der Additivität besitztes die Gesamtladung q = qi1 + qi2. Wenn man nun irgendeinen physikalischen Prozessausführt, bei dem das System anschließend aus zwei Ladungen qf1 und qf2 besteht , sogilt:

qi1 + qi2 = q = qf1 + qf2 (6)

Wenn jeder Teil eines aus zwei Teilen bestehendes System am Anfang die Ladung null hatund eines davon am Ende die Ladung q = +q0, dann muss das andere die Ladung q = −q0haben. Bei der Erzeugung von Ladung durch Reibung sind die beide beteiligten Objekte(z.B. Fell und Glasstab) zu Anfang in der Regel ungeladen. Nach dem Reibungsprozess istdas eine Objekt negativ (Fell) und das andere positiv (Glasstab) geladen. Einen solchenVorgang nennt man Ladungstrennung.Bei der Elektrisierung eines Elektrometers durch ein anderes Elektrometer werden

Ladungen auf ihn übertragen, die dem ersten verlorengehen. Wenn man ein geladenesElektrometer durch ein leitendes Material mit einem zweiten ungeladenen Elektrometerverbindet, fließt genausoviel Ladung vom ersten ab wie dem zweiten zufließt.Das Axiom der Ladungserhaltung ist ein ziemlich weitreichendes Axiom: Egal aus

wieviel Einzelteilen ein abgeschlossenes System vor und nach dem Prozess besteht undvöllig egal, ob im Prozess neue Teile generiert oder vernichtet werden: Wenn wir dieSumme der Ladungen aller vor dem Prozess vorhandenen Teile bilden und jene allerTeile nach dem Prozess, dann ist die Summe gleich.Man kann die Gültigkeit der Ladungserhaltung mit folgendem Experiment qualita-

tiv überprüfen: Auf ein Elektrometer steckt man einen Metallbecher auf. Dann reibt

13

man einen Plastikstab mit einem Fell und steckt beides anschließend in den Becher. DerAusschlag bleibt null.6 Wenn man nun den Plastikstab herauszieht, schlägt das Elektro-meter aus und wenn man den Stab wieder zurücksteckt, geht der Ausschlag wieder aufnull zurück. Wenn man das Fell herauszieht und nur der Stab alleine im Becher bleibt,liegt wieder ein gleich großer Ausschlag vor. Alle diese Beobachtungen sind genau so zuerwarten, wenn die Ladung eine Erhaltungsgröße ist.

23.6. Elektrische Kontakte

Unter einem idealen Isolator versteht man ein Medium, bei dem Ladungen vollkom-men unbeweglich sind und unter einem idealen Leiter ein Medium, bei dem Ladungenvollkommen frei beweglich sind. Reale Medien liegen irgendwo zwischen diesen beidenidealisierten Grenzfällen, manchmal näher an ersteren, dann sprechen wir von einemIsolator, manchmal näher an letzterem, dann sprechen wir von einem Leiter. Unserevorläufige Vorstellung ist, dass in den Leitern elektrische Fluide existieren und in denIsolatoren nicht. Die Fluide können elektrisch positiv oder negativ sein. Die Eigenschaf-ten der Fluide, welche den jeweiligen Ladungstransportmechanismus bestimmen, könnenrecht unterschiedlich ausfallen. In Leitern muss aber mindestens eines dieser Fluide exis-tieren, sonst gäbe in Ihnen kein Ladungstransport, d.h. es könnte in ihnen keineLadung fließen bzw. transportiert werden.

Wenn man das elektrische Verhalten eines Materials bzw. Objekts untersuchen möch-te und dabei Ladungen zu- bzw. abfließen sollen, muss man es kontaktieren, d.h.mit elektrisch leitenden Kontakten versehen. An Kontakten können die Ober-flächen unterschiedlicher Materialen aufeinandertreffen. Daher muss man, wie man dasschon aus der Kontinuumsmechanik kennt, prinzipiell mit dem möglichen Auftreten vonGrenzflächenphänomenen rechnen.Für den Kontakt zwischen zwei Metallen bzw. zwei metallischen Grenzflächen kann

man erst einmal davon absehen. Für den typischen Kontakt zwischen zwei Drähten oderzwischen einem Kabel und dem Anschluss eines Geräts machen sich solche Phänomeneunter den üblichen Rahmenbedingungen nicht bemerkbar, weil Metalle sich beim La-dungstransport sehr ähnlich verhalten.Etwas spezieller sind Kontaktstellen, an denen sich ein Übergang zwischen einem Leiter

und einem Nichtleiter vollzieht oder aber dort, wo ein Übergang zwischen Materialien mitunterschiedlichen Mechanismen des Ladungstransports bzw. zwischen elektrischen Flui-den unterschiedlicher Natur stattfindet. In diesem Fall bezeichnet man die metallischeAnschlussseite (bzw. diejenige Anschlussseite, die den gleichen Ladungstransportmecha-nismus wie ein Metall hat) als Elektrode (Abb. 4).

6Dabei ist vorausgesetzt, dass Fell und Stab vorher ungeladen waren und von einem nicht mehr Ladungabgeflossen ist als vom anderen.

14

Abbildung 4: Beim Elektrokardiogramm (EKG) werden elektrische Signale des mensch-lichen Körpers über Elektroden abgegriffen.

23.7. Elektrischer Strom

Analog zur Hydrodynamik gehören zu den wichtigen Charakteristika eines elektrischenFluids seine Ladungsdichte7

ρ =dq

dV(7)

und seine Stromdichte ~j, welche die pro Flächeneinheit und pro Zeiteinheit durch-tretende Ladung darstellt.8 Wegen der Ladungserhaltung gilt dann die Kontinuitätsglei-chung

∂ρ

∂t+∇ ·~j = 0 (8)

Durch einen leitenden Draht fließt ein Strom I, der sich aus der Stromdichte ergibt,indem man über die Querschnittfläche A des Drahtes integriert:

I =

ˆ

A

~j · d ~A (9)

Die Stromstärke I ist positiv, wenn der Vektor ~j der Stromdichte in die gleiche Rich-tung zeigt wie der Vektor d ~A des Flächenelements, andernfalls negativ. Wir betrachten

7D.i. seine Ladungsmenge dq pro Volumeneinheit dV . Während die Massendichte immer positiv ist,kann die Ladungsdichte auch negativ werden.

8Wegen der Ladungserhaltung ergeben sich die beiden Größen % und ~j als Summe aus den positivenund negativen Ladungs- bzw. Stromdichtebeiträgen.

15

nun, wie in Abb. ### gezeigt, ein Volumen V , das mit Drähten für den Zu- bzw. Abflussvon Ladung verbunden ist, und bilden das Integral

´∇ ·~j dV über das Volumen. Nach

dem Gaußschen Satz gilt:

dq

dt=

ˆ

V

∂ρ

∂tdV = −

ˆ

V

∇ ·~j dV = −˛~j · d ~A = −

N∑n=1

In = −I (10)

Hier bezeichnet In den Strom des n-ten mit dem Volumen verbundenen Drahtes undI =

∑Nn=1 In den Gesamtstrom. Wegen der Konvention, dass bei einer geschlossenen

Oberfläche der Flächenvektor immer nach außen zeigt, ist ein Strombeitrag In positiv,wenn Ladung abfließt und negativ, wenn sie in das Volumen hineinfließt. Die Gleichungdqdt +

∑In = 0 besagt schlicht, dass sich die Ladung im Volumen nur dann ändert,

wenn sich die zu- und abfließenden Ströme nicht ausgleichen. Wenn in einer elektrischenSchaltung mehrere Drähte in einem „Knoten“ zusammenkommen, also eine gemeinsameelektrische Kontaktstelle haben, gilt Kirchhoffsche Knotenregel:

N∑n=1

In = 0 (11)

Sie besagt, dass an jedem Verzweigungspunkt9 einer elektrischen Schaltung genauso vielStrom zu- wie abfließen muss, weil man voraussetzt, dass sich die Ladung im Volumendes Knotens nicht ändert, d.h. dass dq

dt = 0 ist.

23.8. Elektrische Spannung

Wir wollen bei den folgenden Überlegungen davon ausgehen, dass uns mehrere exaktgleich gebaute Elektroskope zur Verfügung stehen, mit denen wir Experimente durchfüh-ren können.Seien nun A und B zwei solche gleichen Elektrometer, die zusammen ein abgeschlosse-

nes System bilden. Auf A bringen wir die Ladung q0 auf, während B entladen sei. Dabeiwird auf A ein gewissen Zeigerausschlag hervorgerufen. Die Summe der beiden innerenEnergien sei die Energie des Gesamtsystems. Dies ist der thermodynamische Anfangszu-stand.Nun verbinden wir beide Elektrometer mit einem Draht. Man erkennt an der Abnah-

me des Zeigerausschlags von A und der Zunahme des Zeigerausschlags von B, dass einthermodynamischer Prozess abläuft. Wir analysieren den Vorgang so:

1. Wenn eine infinitesimal kleine Ladungsmenge dq mit dq = dqA bei der SpannungUA entnommen wurde und eine Ladungsmenge dqB dabei an B bei der Spannung

9Ein Verzweigungpunkt ist eine Stelle, wo mehrere Drähte miteinander verbunden sind. Das kann z.B.eine Stelle sein, wo Drähte miteinander zusammengelötet oder einfach verknotet wurden (deshalb„Knoten“) und so miteinander in elektrischen Kontakt gebracht wurden.

16

UB abgegeben wurde, so muss wegen der Ladungserhaltung im abgeschlossenenSystem gelten: dqA = −dqB.10

2. Aus dem elektrischen Energiehaushalt von A wird dabei die Energie dEA = −UAdqabgegeben (negativ) und dEB = UBdq aufgenommen (positiv). Für beide Systemezusammen betrachtet, wurde also die Energie dE = dEA + dEB = −(UA − UB)dqaus der elektrischen Energieform in eine anderen Energieformen (z.B. kinetischeEnergie, elastische Energie, Wärme usw.) umgewandelt. Diese Abgabe elektrischerEnergie kann nur so lange stattfinden, wie die Spannungsdifferenz ∆U = UA −UBpositiv ist. Für die Abgabe elektrischer Energie sind nicht die Absolutwerte derSpannungen von Bedeutung, sondern nur Spannungsdifferenzen.

In einem abgeschlossenen System kann die elektrische Form der Energie nur insofernin andere interne Energieformen (Wärme, kinetische Energie, elastische Energie usw.)überführt werden, dass dabei die Entropie gleich bleibt oder anwächst. Wenn die Energienur in Wärme dissipiert wird, erreicht die elektrische Energie ein Minimum, für welchesdie Gleichgewichtsbedingung

UAdqA + UBdqB = 0

gilt. Mit der Ladungserhaltung dqA = −dqB als zusätzlicher Bedingung folgt daraus fürdas resultierende thermodynamische Gleichgewicht:

UA = UB (12)

Der Ladungstransport läuft so lange ab, bis ein Spannungsausgleich erreicht ist. Inder Tat beobachtet man experimentell, dass am Ende die Zeigerausschläge beider Elek-trometer gleich groß werden. Da die Spannung eine Funktion der Ladung ist, folgt darausferner, dass im Gleichgewicht auch die Ladungen gleich groß sein müssen, d.h. auf jedemElektrometer wird sich anschließend die Ladung q0/2 befinden. Folglich ist auch auf bei-den Elektrometern gespeicherte elektrische Energie gleich groß. Man darf jedoch nichtdavon ausgehen, dass die elektrische Energie am Ende des Prozesses gleich der Hälfte derelektrischen Energie am Anfang ist, denn ein Teil der elektrischen Energie kann in andereEnergieformen (z.B. Wärme) überführt worden sein (was hier auch tatsächlich der Fallist).Betrachten wir irgendeinen Körper, auf dem eine gewisse Ladungsmenge versammelt

ist. Nun bringen wir diesen Körper mit einem Leiter in Kontakt zu einem Elektrometer,wodurch ein Spannungsausgleich eintritt, d.h. es fließt – analog zum Temperaturaus-gleich – so lange Ladung vom Körper mit höherer Spannung zum Körper mit niedrigererSpannung, bis die Spannungen gleich groß geworden sind. Dann ist der resultierendeZeigerausschlag des Elektroskops ein Maß für die elektrische Spannung auf dem Kör-per. Wenn man also den Zeigerausschlag entsprechend kalibriert, kann man mit einem

10Wir argumentieren deshalb mit infinitesimal kleinen Ladungen, weil man dann die Spannungen indiesem Limes als konstant betrachten kann.

17

Elektrometer in analoger Weise Spannungen messen wie man die Temperatur des Kör-pers mit einem Thermometer mißt, d.h. das Elektrometer wird zu einem qualitativenSpannungsmessgerät.Wenn man eine Ladungstrennung durchführt, die positive Ladungsmenge ∆q = q0

an ein Elektrometer A abgibt und die negative Ladung ∆q = −q0an ein gleiches Elek-trometer B, dann kann zwischen beiden Elektrometern keinen Unterschied ausmachen.Sie haben z.B. die gleichen Zeigerausschläge. Daraus kann man schließen, dass beidenElekrometern die gleiche Energie zugeführt wurde. Wenn die Ladungsmengen sehr kleinsind, gilt näherungsweise ∆E0 ≈ U∆q. Daraus lässt sich schließen, dass die SpannungU(q) eine ungerade Funktion der der Ladung sein muss, d.h.

U(q) = −U(−q) (13)

Lädt man also A negativ und B positiv auf und verbindet die Elektrometer leitendmiteinander, dann gehen beide Zeigerausschläge zurück. Sie stellen sich dabei ebenfallsam Ende auf denselben Wert ein. Dieser ist null, wenn beide Zeigerausschläge vorhergleich groß waren. Folglich ist die Spannung U des positiv geladenen Elektrometers positiv(U = +U0) und die des negativ geladenen negativ (U = −U0).Wenn man eine positive infinitesimale Ladungsmenge dq von einem positiv geladenen

System A mit der Spannung UA auf ein positiv geladenes System B mit der SpannungUB bringt, dann ändert sich die elektrische Energie also um dEAB = −dEA + dEB =(UB − UA)dq = ∆UABdq. Wenn die Ladungsmenge dq von B an ein System C bei derSpannung UC abgegeben wird, dann ändert sich die Energie entsprechend um dEBC =(UB − UC)dq = ∆UBCdq. Wird also die Ladungsmenge dq also insgesamt von A nach Bund dann von B nach C abgegeben, dann sind die Energiemengen additiv und folglichauch die Spannungdifferenzen additiv, d.h. die Spannungsdifferenz ∆UAC zwischen Aund C ist also gleich der Summe der Spannungsdifferenzen zwischen A und B sowie Bund C:

∆UAC = ∆UAB + ∆UBC (14)

Spannungdifferenzen addieren sich

Addiert man also die Spannungsdifferenzen aller Zwischenstationen entlang eines belie-bigen Pfades, der von einer Ladung durchlaufen wird, so erhält man Spannungsdifferenzzwischen Anfangs- und Endpunkt des Pfades. Das Resultat ist offensichtlich unabhängigdavon, welcher Weg von der Ladung gewählt wurde. Wenn statt einer positiven Ladungeine negative gewählt wurde, gilt das Gesagte für die umgekehrte durchlaufene Richtung.Bezüglich der Energie ist es für das Endresultat egal, ob eine positive Ladung von ei-nem Elektrometer zur Erde entladen wird und sich mit einer dort befindlichen negativenLadung vereint oder auf der Erde zwei entgegengesetzte Ladungen voneinander getrenntwerden und die negative zum Elektrometer gelangt.

18

23.9. Ladungsquellen

Alles was Ladung an andere Objekte abgeben kann, bezeichnet man als eine Ladungs-quelle. Beispielsweise ist ein geladenes Elektrometer eine Ladungsquelle.Wenn man mehrere gleiche Elektrometer X hat, alle positiv auflädt und in elektrischen

Kontakt bringt, indem man sie leitend miteinander verbindet, dann zeigen alle nach demSpannungsausgleich die gleiche Zeigerstellung an und auf jedem einzelnen davon sitzt diegleiche positive Ladungsmenge.Bringt man ein geladenes Elektrometer X mit einem ungeladenen in Kontakt, dann

können wir davon ausgehen, dass nach dem Spannungsausgleich auf beiden die halbeLadung sitzt und dass die resultierende Zeigerstellung eben diese halbe Ladung anzeigt.Das kann man nun mit zwei, drei usw. ungeladenen Elektrometern X wiederholen undso die Zeigerstellungen für ein Drittel, ein Viertel usw. der darauf sitzenden Ladungermitteln. Es ist klar, dass man nach diesem Verfahren eine relative Ladungsanzeige ge-winnen kann, d.h. eine Anzeige, die uns über die relativen Verhältnisse der gespeichertenLadungsmengen informiert.Wir können nun ein solches kalibriertes Elektrometer X aufladen und mit einem Elek-

trometer Y anderer Bauart verbinden. Wenn Y vorher ungeladen war und das Elektro-meter X auf 1/3 der ursprünglichen Ladung fällt, dann hat Y eine eine Ladungsmengevon 2/3 der Ladung von X - bei gleicher Spannung! Wir sagen, dass Y eine höhere Ka-pazität hat als X. Jedes Elektrometer anderer Kapazität kann auf diese Weise relativzu X bezüglich der Ladungsanzeige kalibriert werden.Nun kann man auch andere Objekte, die Ladungen speichern können, auf die glei-

che Weise charakterisieren. Beispielsweise kann man isolierte Metallkugeln, Metallplat-ten und vieles andere mit dem Elektrometer X in elektrischen Kontakt bringen und dieKapazität relativ zu X ermitteln. Wenn es uns speziell auf die durch die Kapazität spezi-fizierte Fähigkeit der Ladungsspeicherung ankommt, bezeichnen wir solche elektrischenKomponenten als Kondensatoren. 11

Auf Kondensatoren ist neben der Ladung in gleicher Weise wie das für Elektrometerbesprochen wurde, ebenfalls Energie in elektrischer Form gespeichert. Wenn man alsoeinen geladenen Kondensator X mit einem ungeladenen System Y in Kontakt bringt,kann er ihm Ladung abgeben, d.h. er stellt eine Ladungsquelle dar. Zugleich wird damitaber immer ein Teil der gespeicherten elektrische Energie abgibt, d.h. Kondensatorensind zugleich Energiequellen. Die Energie wird von Y in irgendeiner der Energieformenaufgenommen (nicht notwendigerweise als elektrische Energie), denn die Energie ist einepositive Erhaltungsgröße.Wenn man einen geladenen Kondensator X mit einem ungeladenen Y in Kontakt

bringt, so sinkt die elektrische Spannung von X, während diejenige von Y ansteigt. Dasgeschieht so lange, bis, wie in Kap. 23.8 besprochen, durch den Spannungsausgleich einGleichgewicht erreicht ist, ab dem kein Ladungszufluss oder -abfluss mehr stattfindet.Hat Y eine extrem große Kapazität, sinkt die Spannung dabei in guter Näherung aufnull. Unsere Erdkugel stellt einen solchen Kondensator mit extrem großer Kapazität dar

11Elektrometer haben wir gewissermaßen also Kondensatoren verwendet, auf denen man die gespeicherteLadungsmenge auf einer Relativskala ablesen kann.

19

und wir ordenen ihr die Referenzspannung U = 0 zu. Wenn man eine Ladungsquelleleitend mit der Erde verbindet, also erdet, so fließt so lange ein Strom bis die Spannungauf null gefallen ist.Obwohl es möglich wäre, nur Kondensatoren als Ladungsquellen für Experimente her-

anzuziehen, 12wäre das für die experimentelle Praxis recht aufwändig und mühsam, denndie Ladungs- und Energieabgabe von Kondensatoren ist i.A. eher bescheiden.Daher werden wir von in der Vorlesung häufig mit Ladungsquellen experimentieren, bei

denen sich die Spannung auch dann nicht merklich ändert, wenn man ihnen eine größereLadungs- bzw. Energiemenge entzieht. Man bezeichnet sie als Spannungsquellen. Siesind Ihnen aus dem Alltag vertraut. Beispiele hierfür sind Batterien, Akkumulatoren,Brennstoffzellen, Solarzellen, Thermoelemene, Netzgeräte usw. Wir werden erst späterbesprechen, wie diese im einzelnen funktionieren. Hier soll uns genügen zu wissen, dasses sie gibt.Ob eine Ladungsquelle die Bezeichnung Spannungsquelle verdient, kann man dadurch

feststellen, dass man ein Elektrometer auflädt, indem man einen elektrischen Kontaktzur Quelle herstellt, den Kontakt trennt und das Elektrometer wieder entlädt. Wennman diese Prozedur zufriedenstellend oft durchführen kann und die jeweils resultierendeZeigerstellung im Rahmen unserer Beobachtungsgenauigkeit die gleiche ist, dann habenwir mit einer Spannungsquelle zu tun.

23.10. Elektrische Maßeinheiten

Wenn man Metallstäbe in in eine Salzschmelze oder eine wässrige Salzlösung eintauchtund an eine Spannungsquelle anschließt, beobachtet man an der Kontaktfläche zwischenden Medien eine chemische Wirkung, die bei Metall-Metall-Kontakten so nicht auftritt.Diesen Vorgang, bei dem an den Elektroden Redox-Reaktionen ablaufen, nennt manElektrolyse. Diejenige Elektrode, an der eine Reduktion stattfindet, heißt Kathode.Die Gegenelektrode, an der eine Oxidation stattfindet, heißt Anode. Leitet man bei-spielsweise durch eine Silbernitratlösung einen Strom, dann wird an der Kathode Silberabgeschieden. Hierbei ist die Kathode die negativ angeschlossene Elektrode, während dieAnode an den positiven Pol einer Ladungsquelle angeschlossen wird.Diese Bezeichnungen für die Elektroden wurden von Michael Faraday eingeführt, der

als einer der ersten diesen unerwarteten Zusammenhang zwischen Chemie und Elektri-zität untersuchte. Er fand heraus, dass, wenn an den Elektroden ein Stoff abgeschiedenwurde, seine Masse proportional zur transportierten Ladungsmenge zunimmt. Im Prinzipkann man es sich so vorstellen, wie man zu dieser Einsicht kommt: Wenn man eine gewis-se Zahl von genau gleich geladenen Kondensatoren über die Silbernitratlösung entlädt,dann ist die abgeschiedene Silbermenge proportional zur Anzahl der entladenen Konden-satoren. Durch diesen Zusammenhang kann man die Einheit der Ladung definieren, dieman als Coulomb (Einheitensymbol: C) bezeichnet:

Ein Coulomb ist diejenige Ladungsmenge, bei der eine Menge von1.118 mg Silber aus einer Silbernitratlösung abgeschieden wird.

12Historisch hat man das ursprünglich auch so gemacht. Der „Leidener Flasche“ genannte Kondensatorwar einer der ersten Ladungsquellen für größere elektrische Demonstrationsexperimente.

20

Das Messverfahren einer Ladungsmenge durch Wägung der an der Kathode abge-schiedenen Silbermenge stellt zugleich ein Coulombmeter dar, also ein Messgerät fürLadungsmengen. Mit diesem kann man auf anderen Prinzipien beruhende Coulombme-ter kalibireren. Beispielsweise kann man die Anzeige eines Elektrometers entsprechendkalibrieren und es so zu einem Coulobmeter machen. Dazu lässt man das auf einen be-stimmten Wert geladene Elektrometer jeweils über eine Silbernitratlösung entladen undmisst die abgeschiedene Silbermenge.13

Die hier angegebene Definition der Einheit Coulomb war bis 1948 in Gebrauch. Wirwollen sie vorläufig im Rahmen einer konsistenten Einführung in die Elektrizitätsleh-re akzeptieren. Die grundlegende SI-Einheit ist jedoch das Ampere. Da sie durch einemagnetische Wirkung definiert ist, können wir diese Definition erst später erörtern.Wir können nun nach folgender Methode die Ladung auf irgendeinem Körper prinzi-

piell bestimmen: Man nimmt z.B. eine kleine, durch einen Stiel aus Kunststoff isolierteMetallkugel als „Ladungslöffel“, zieht damit etwas Ladung vom Körper ab und überträgtsie durch Kontakt auf das Elektroskop, wo die Ladungsmenge am Zeigerausschlag abge-lesen werden kann. Der Wert wird notiert und das Elektroskop entladen. Diesen Zykluswiederholt man so lange, bis keine weitere Ladung mehr auf das Elektroskop übertragenwird, d.h. bis die Ladung des Körpers „ausgelöffelt“ ist. Die Ladung, die auf dem Körperwar, ist gleich der Summe aller notierten Ladungswerte..Gemäß Gl. 10 definiert man die Einheit Ampere (Einheitensymbol: A) für die Strom-

stärke I durch[I] = 1A = 1C/s

Wenn man zu einem Coulombmeter, beispielsweise einem entsprechend geeichten Elek-trometer, eine Zeitmessung hinzufügt, wird daraus ein Amperemeter. Sobald man einprimäres kalibriertes Amperemeter einmal hat, kann man jedes auf anderen Prinzipienberuhende Amperemeter kalibrieren, indem man den Strom beide hintereinander geschal-teten Amperemeter durchlaufen lässt.Die Einheit Volt (Einheitensymbol: V) für die Spannung U folgt aus Gl. 2:

[U ] = 1 V = 1 J/C

In Abschnitt 23.8 wurde bereits dargestellt, dass ein Elektrometer als Spannungsmess-gerät verwendet werden kann. Wenn es nun auch noch gelingt, es auf die Einheit Volt zueichen, wir es zu einem Voltmeter.14

Gehen wir einmal davon aus, dass die Zeigerskala eines Elektrometers wie gerade be-schrieben auf Ladung in Coulomb geeicht ist. Eine bestimmte Zeigerstellung zeigt unsalso an, wieviel Coulomb auf dem Elektrometer sind. Zugleich ist die Zeigerstellung eine

13Das ist hier eher ein Gedankenexperiment als ein praktischen Verfahren.14Genauer gesagt, wird das Elektrometer so zu einem elektrostatischen Voltmeter. Meist wünscht

man sich eines, das den Zustand des geladenen Körpers möglichst wenig beeinflusst, bei dem alsodie für den Spannungsausgleich mit einem Elektroskop abfließende Ladungsmenge vernachlässigbarklein gegenüber der Ladungsmenge des Körpers ist. Daher strebt man den Bau eines elektrostatischenVoltmeters mit möglichst kleiner Kapazität an.

21

noch unkalibrierte Anzeige für die Spannung U . Die Eichung auf die Einheit Volt kannim Prinzip folgendermaßen durchgeführt werden:Man entlädt das Elektrometer um eine sehr kleine Ladungsmenge ∆q. Dabei wird eine

elektrische Energiemenge U ∆q abgegeben. Man lädt das Elektrometer wieder auf, so dassdie Ausgangsspannung wieder erreicht wird und wiederholt diesen Zyklus ausreichend oft,wobei jedes Mal elektrische Energie in eine Energieform umgewandelt wird, für welchewir Messverfahren kennen. Wegen der Energieerhaltung ist die Summe der abgegebenenelektrischen Energiebeiträge gleich der in anderer Form aufgenommenen Energie. Wennman die elektrische Energie ausschließlich in Wärme umwandelt, die z.B. an Wasserabgegeben wird, dessen spezifische Wärmekapazität uns bekannt ist, braucht man nurdie Temperaturerhöhung des Wassers zu messen und damit ist beim Entladungprozessabgegebene elektrische Energie bestimmt. Da man die abgegebene Ladungsmenge amauf Ladung kalibrierten Elektrometer ablesen kann, ergibt sich die Spannung in Volt, diedieser Zeigerstellung entspricht.Das ist eher ein Gedankenexperiment, mit dem ich den prinzipiellen Gedankengang

darlegen wollte. Man kann aber ein ähnliches Experiment mit folgendem Demonstrati-onsversuch tatsächlich durchführen: Man befüllt einen thermisch gut isolierenden Dewarmit einer Wassermenge der Masse m der spezifischen Wärmekapazität c und taucht einenTauchsieder hinein. Diesen schließt man für für eine Zeitspanne ∆t an eine Steckdose anund misst die während dieser Zeit i.A. sehr konstante Stromstärke I sowie die Tempe-raturerhöhung ∆T des mit dem Tauchsieder erwärmten Wassers. Da außer der Wärme∆Q = mc∆T weiter keine Energieform eine nennenswerte Rolle spielt, ergibt sich dieSpannung gemäß

U =mc

I

∆T

∆t

Eicht man ein Elektrometer in dieser Weise, dann wird aus ihm ein Voltmeter. Ge-nauer gesagt, wird das Elektrometer so zu einem elektrostatischen Voltmeter.Meist hat man den Wunsch, dass die Spannungsmessung den zu messenden Zustand desgeladenen Körpers möglichst wenig beeinflusst, d.h. die beim Spannungsausgleich aufdas Elektroskop abfließende Ladungsmenge soll vernachlässigbar klein sein gegenüberder Ladungsmenge des Körpers. Dazu muss beim Bau eines elektrostatischen Voltmetersanstreben, dass seine Kapazität23.12.Sobald man ein primäres kalibriertes Voltmeter einmal zur Verfügung hat, kann man

auch Spannungsmessgeräte kalibrieren, die auf anderen Messprinzipien beruhen. Dazubraucht man nur beide Voltmeter mit derselben Spannungsquelle parallel zu verbindenund die am primären Voltmeter abgelesene Spannung auf die Anzeige des sekundärenVoltmeters zu übertragen.Sobald man erst einmal ein primäres kalibriertes Messverfahren zur Verfügung hat,

ist die prinzipielle Methode der Kalibrierung anderer elektrischer Messgeräte sehr ähn-lich. Die Messverfahren, die ich hier exemplarisch diskutiert habe, sind jedoch weit vonder messtechnischen Eleganz käuflicher Coulomb-, Ampere- und Voltmeter entfernt. Siewurden hier nur geschildert, um das prinzipielle Vorgehen zu illustrieren. Für welche tech-nische Lösung, d.h. für welches Messgerät, man sich bei einem konkreten Messproblemdann tatsächlich entscheidet, kann von vielen Faktoren abhängen, z.B. von Zweckmä-

22

Abbildung 5: Voltmeter. (a) Symbol des Voltmeters in Schaltplänen. (b) TypischesVoltmeter für Demonstrationsexperimente. (c) Symbol der Erdung inSchaltplänen.

ßigkeit, der Bequemlichkeit, der erforderlichen Genauigkeit oder den Kosten. Wir wollenab hier einfach davon ausgehen, dass uns geeignete Messgeräte für die grundlegendenMessungen von Ladung, Strom und Spannung im Labor zur Verfügung stehen.

23.11. Schaltpläne, Schaltsymbole und Messgeräte

Ein Schaltplan ist eine abstrakte Darstellung der Verknüpfung bzw. Verschaltung elek-trischer Komponenten, die durch abstrakte Schaltsymbole repräsentiert werden. Ka-bel werden beispielsweise durch einfache Linien dargestellt, elektrische Messgeräte durcheinen Kreis, in dessen Mitte die Symbole C, A oder V eingetragen werden (Abb. 5a), jenachdem, ob es sich um ein Coulomb-, Ampere- oder Voltmeter handelt. Abb. 5 zeigtSchaltsymbole und typische Bauformen der bis hierhin besprochenen elektrischen Kom-ponenten.

23.12. Kapazität

Gemäß Gl. 3 ist die Spannung U = U(q) eines thermodynamischen Systems eine Funktionder auf ihm vorhandenen Ladung q. Wir entwickeln die Umkehrfunktion q = q(U) in eineTaylorreihe und beachten Gl. 13:

q(U) = CU +DU3 + . . .

mit Koeffizienten C,D, . . .. Empirisch zeigt sich, dass meistens nur der erste Koeffizientrelevant ist.15 Die Ladung ist also in den meisten Fällen der Spannung proportional:

q = CU (15)

Die Proportionalitätskonstante C = dqdU heißt elektrische Kapazität.16

15Von Spezialfällen bei denen nichtlineare Materialeigenschaften eine Rolle spielen und somit D 6= 0 ist,wollen wir zunächst absehen.

16Analog zur Bezeichnung Wärmekapazität C in der thermodynamischen Beziehung ∆Q = C∆T zwi-schen einer Wärmemenge 4Q und einer Temperaturänderung ∆T .

23

Die Einheit der Kapazität nennt man Farad, abgekürzt F, und definiert sie folgen-dermaßen:

1 F = 1 C/1 V (16)

Die einfachsten Untersuchungsobjekte für die Bestimmung der Kapazität sind Metall-kugeln im Vakuum. Wegen der Kugelsymmetrie kann hier keine Richtungsabhängigkeitauftreten, d.h. das Resultat kann nur vom Kugelradius r abhängen. Man bringt eineLadung Q auf, misst die Spannung U gegen Erde und berechnet die Kapazität C = q/U .

Dabei stellt sich verblüffenderweise erst einmal heraus, dass es bei gegebenem Radiusr völlig egal ist, ob es sich um eine Vollkugel handelt oder um eine beliebig dünne Ku-gelschale. Daraus ist zu schließen, dass sich die Ladung nur auf der Kugeloberfläche 4πr2

befindet. Die Kapazität eines metallischen Objekts wächst also erst einmal proportionalzu seiner Oberfläche an. Andererseits findet man, dass die Kapazität proportional zumRadius ist. Das legt nahe, dass die Kapazität proportional zum Verhältnis von Kugelo-berfläche und Kugelradius ist:

C = ε04πr2

r= 4πε0r

Da Vakuum als umgebendes Medium vorausgesetzt wurde, heißt die Proportionalitäts-konstante ε0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Ihr Zahlenwert ist

ε0 = 8.9 · 10−12F/m (17)

Daraus folgt, dass die Spannung für eine gegebene Ladung eine Funktion des Radius ist:

U =1

4πε0

q

r

Wenn man den Radius größer und größer macht, geht die Spannung gegen Null. Machtman den Radius hingegen immer kleiner, so wird die Spannung schießlich unendlich groß.Die Referenzspannung null ist hier also die Spannung eines sehr großen (genau genommenunendlich großen) Kugelkondensators.

23.13. Kondensator

Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Flächen, die sich in einem gewissen Ab-stand voneinander gegenüberstehen. Wie im vorhergehenden Abschnitt, sei hier wiedervorausgesetzt, dass das die Flächen umgebende isolierende Medium das Vakuum sei. Inelektrischen Schaltkreisen wird ein Kondensator symbolisch durch das in Abb. ###gezeigte Symbol zweier Platten mit Anschlüssen dargestellt.Uns interessiert der meist vorkommende Fall, wo auf der einen Leiterfläche die Ladung

q = +q0 deponiert ist und auf der anderen Leiterfläche die betragsmäßig gleich großeLadung q = −q0. Die Kapazität eines Kondensators ist grundsätzlich eine positive Größe.Sie ist definiert durch das Verhältnis des Betrags der Ladung auf einer der beiden Plattenzum Betrag der Spannungsdifferenz.

24

Wiederum wählen wir den einfachen Fall zweier kugelförmiger leitender Flächen mitden Radien r1 bzw. r2, von denen die eine, wie in Abb. ### dargestellt, sich innerhalbdes anderen befindet. Dies stellt einen Kugelkondensator dar. Auf den ersten mitRadius r1 bringen wir die positive Ladung q = +q0 und auf den anderen mit dem Radiusr2 die Ladung q = −q0.Ich möchte nun den Fall des aus zwei Kugelflächen bestehenden Kugelkondensators

auf den im letzten Abschnitt diskutierten Fall einer einzelnen Kugelfläche zurückführen.Läge die positiv geladene Kugel alleine vor, dann wäre die Spannung auf diesem erstenLeiter

U1 = +q0/C1 = q0/4πε0r1

und im umgekehrten Fall gilt

U2 = −q0/C2 = −q0/4πε0r2Die Spannungsdifferenz ∆U12 zwischen den beiden Flächen des Kugelkondensatorsa

ist so definiert, dass die Energieänderung gerade dE = ∆U12dq beträgt, wenn man eineinfinitesimale Ladungsmenge von der einen zur anderen Fläche überführt. Wenn maneinen der beiden Radien gegen unendlich gehen lässt, wird dessen Beitrag Null und dieSpannungsdifferenz wird U2 bzw. U1. Man hat noch einen weiteren Grenzfall: Wennr1 = r1, d.h. wenn die beiden geladenen Schichten aufeinanderfallen und sich die La-dungen kompensieren, ist ∆U12null. Diese Grenzfälle sind konsistent erfasst, wenn dieSpannungsdifferenz gleich der Summe der Spannungen des Falles einer einzigen Kugelist, also

∆U12 = U1 + U2

Damit erhält man die Kapazität gemäß

1

C=|U1 + U2|

q0=

∣∣∣∣ 1

C1− 1

C2

∣∣∣∣ =1

4πε0

∣∣∣∣ 1

r1− 1

r2

∣∣∣∣ =1

4πε0

|r2 − r1|r1r2

=1

ε0

d

4πr2

Hier ist d = |r2 − r1| der Abstand der Kondensatorplatten und r =√r1r2 ist das geome-

trische Mittel der beiden Kugelradien. Die Kapazität eines Kugelkondensators mit derKugeloberfläche A = 4πr2 ist also

C = ε0A/d (18)

Wenn wir uns daher die Fläche in kleinere Flächenelemente zerlegt denken, also denGesamtkondensator als ein System von parallel zusammengeschalteten Teilkondensato-ren, so gilt die Formel wegen Gl. ?? für jeden Teilkondensator.Wenn man r sehr groß macht, so geht der Kugelkondensator in einen Flächenkon-

densator über. Für jedes Teilelement gilt weiterhin Gl. 18, und unter diesen Bedingun-gen ist es also auch die Formel eines Flächenkondensators. Wirkliche Flächenkondensato-ren sind endlich und haben einen Rand. Am Rand entsprechen sie nicht mehr demModell,

25

aus dem wir Gl. 18 hergeleitet haben. Daher gilt Gl. 18 nur, wenn das Randgebiet gegen-über dem Flächenbereich vernachlässigt werden kann. Eine interessante Konsequenz vonGl. 18 und der Beziehung U = Q/C ist, dass man für eine fixe Ladung des Kondensatorsdie Spannung dadurch vergrößern kann, indem man den Plattenabstand erhöht.Wenn wir aus einem Flächenkondensator einen Zylinderkondensator machen, dann

gilt Gl. 18 für jedes Teilstück, das klein genug ist, um es als Flächenkondensator anzu-sehen, und somit auch für den Zylinderkondensator. Kurzum: Gl. 18 gilt für Kugelkon-densatoren exakt und für Flächen- und Zylinderkondensatoren in guter Näherung, wenndie Bedingung d

√A erfüllt ist.17

23.14. Rückwirkung des Messinstrumentes auf das Messresultat

Bei Messungen ist manchmal die Rückwirkung des Messinstruments auf das Messresul-tat nicht vernachlässigbar. Daher ist dies durch eine Korrektur zu berücksichtigen. Ichmöchte das Problem und den sachgerechten Umgang damit an Messungen an einemPlattenkondensator exemplarisch erläutern.Wenn man eine Ladung q auf einen Plattenkondensator aufgebracht hat und den Plat-

tenabstand d verändert, sollte sich wegen

C =q

U= ε0

A

d(19)

die Spannung U proportional zu d verändern. Wenn man U misst und gegen d aufträgt,dann sollte das eine Gerade ergeben und man sollte durch Vergrößerung des Plattenab-stands beliebig große Spannungen erzeugen können. Aus der Proportionalitätskonstantenlässt sich bei bekannter Plattenfläche A dann auch die Ladung q ermitteln.Wir wollen diese Gesetzmäßigkeit nun experimentell überprüfen und verwenden den in

Abb. 6a gezeigten experimentellen Aufbau. Qualitativ sieht man, dass die Spannung inder Tat proportional zu d ansteigt, aber nicht proportional dazu, sondern sublinear (7a).Aus Abschnitt 23.12 ist uns jedoch bekannt, dass ein elektrostatisches Voltmeter eine

Eigenkapazität hat. Wie in Abb. 7a gezeigt, kann man diese in einer Schaltskizzeexplizit berücksichtigen. Das reale Voltmeter wird dabei durch ein idealisiertes Voltmetermit Kapazität null und eine dazu parallelgeschaltete Kapazität CM des Messgerätesdargestellt. Für die Spannung am Messgerät gilt daher:

q

U= CM + C = CM + ε0

A

d(20)

So lange die Kapazität CM des Messgerätes vernachlässigbar klein bleibt, gilt in der TatU ∝ d. Mit d→∞ wird hingegen C vernachlässigbar klein und man erhält U = q/CM =const. Der prinzipielle Verlauf von U als Funktion von d ist in Abb. 6b skizziert undzeigt, wie das Messgerät die Messung am Plattenkondensator um so mehr beeinflusst, jekleiner dessen Kapazität mit zunehmendem Plattenabstand wird.

17Die exakte Formel für den Zylinderkondensator lautet C = 2πε0l ln(r2/r1), wobei l die Länge desKondensators ist. Für kleines d = r2 − r1 r ≈ r1 ≈ r2 ergibt sich Gl. 18.

26

Abbildung 6: Experimentelle Prüfung von Gl. 19. a) Experimenteller Aufbau. (Foto: Pe-ter Dangl) b) Ersatzschaltbild unter Berücksichtigung der Eigenkapazitätdes statischen Voltmeters.

Abbildung 7: a) Auftragung der Spannung U als Funktion des Plattenabstands d. b)Auftragung des Kehrwerts 1/U der Spannung als Funktion des Kehrwerts1/d des Plattenabstands.

Daher empfiehlt es sich, 1/U als Funktion von 1/d aufzutragen. Dabei erhält man, wie inAbb. ### mit den Originalmessdaten gezeigt, eine Gerade. Aus dem Achsenabschnittergibt sich CM/q und aus der Steigung ε0A/q. Damit kann man sowohl CM als auch qermitteln, wenn die Plattenfläche A bekannt ist.Bei der Auswertung, die wir bis hierhin betrachtet haben, haben wir angenommen,

dass der Rand des Kondensators keine wesentliche Rolle spielt. Mit zunehmendem dwird diese Annahme immer problematischer. Aber der Effekt der Eigenkapazität desstatischen Voltmeters ist – zumindest für das in der Vorlesung gezeigte Experiment – dergrößere.Korrekturen, welche wegen des Einflusses des Messgeräts auf die Messung zu berück-

sichtigen sind, werden Ihnen auch bei anderen Messungen begegnen.18

18Bei Volt- und Amperemeter sind z.B. oft die Innenwiderstände der Messinstrumente zu berücksich-tigen.

27

23.15. Widerstand

Sobald auf zwei Leitern die Spannung U gleich ist, fließt kein Strom von einem zumanderen. Ansonsten fließt ein Strom immer vom Leiter mit der höheren Spannung zu demmit der niedrigeren Spannung. Die Stromstärke wird daher eine Funktion der Spannungsein: I = f(U).

Wir lassen uns für eine erste Analyse von einer Analogie zur Wärme leiten: Im Fallder Wärmediffusion hatte sich der Zusammenhang ~j = −λ∇T zwischen Wärmestromj und Temperaturgradienten ∇T bewährt. Die materialspezifische Konstante λ ist dieWärmeleitfähigkeit. Die Wärme fließt so lange vom Ort der höheren Temperatur zueinem niedrigerer Temperatur, wie ein Temperaturgradient vorhanden ist. Für den Zu-sammenhang zwischen der elektrischen Stromdichte und der Spannung formulieren wiralso analog:

~j = −σ∇U (21)

Dabei ist σ eine materialspezifische Konstante, die man elektrische Leitfähigkeitnennt. Die Stromdichte ist lokal durch den jeweiligen Spannungsgradienten bestimmt.Unter der Voraussetzung, dass ein homogener Draht der Länge l als Leiter vorliegt, ist

bei eindimensionaler Betrachtung ∇U = −∆U = −(U2 − U1)/l, wobei ∆U der Span-nungsabfall von einem Drahtende zum anderen ist. Wenn man ferner voraussetzendarf, dass die Stromdichte über den Leiterquerschnitt A konstant ist, gilt für die Strom-stärke I = jA und man erhält:

∆U = (ρl/A)I = RI (22)

Der Kehrwert der Leitfähigkeit, d.h. die Größe ρ = 1/σ, heißt spezifischer Wider-stand und die Größe R = ρl/A nennt man den elektrischen Widerstand. SeineMaßeinheit heißt Ohm und hat die Abkürzung Ω. Es gilt:

[R] = 1 Ω = 1 V/A (23)

Der spezifische Widerstand hat die Einheit [ρ] = Ωm. Typische Werte für elektrischeLeiter, Halbleiter und Nichtleiter19 sind in Tab. 2 aufgeführt. Wie man sieht, variiertder spezifische Widerstand über viele Größenordnungen. Materialien bzw. elektrischeBauteile, die das ohmsche Gesetz gemäß Gl. 22 befolgen, werden ohmsche Materialienbzw. ohmsche Widerstände genannt. Viele wichtige Materialien und elektrische Bauteilebefolgen weder Gl. 21 noch Gl. 22.Das Schaltkreissymbol für einen elektrischen Widerstand als elektrisches (bzw. elek-

tronisches) Bauelement ist in Abb. 8a gezeigt. Wenn man mehrere Widerstände hinter-einander schaltet, wie in Abb. 8b für drei gezeigt, summieren sich die Spannungsabfälle,weil alle Widerstände vom gleichen Strom durchflossen werden. Es gilt also für den Ge-samtwiderstand R, der sich durch Serienschaltung von N Widerständen Rn ergibt:

19Die Bezeichnung ist ein wenig irreführend: Ein Nichtleiter wird nicht so genannt, weil er gar nichtleitet, sondern deshalb, weil er fast nichts leitet.

28

Material Spezifischer Widerstand in ρ/Ωm

Leiter 10−7

Halbleiter 1

Nichtleiter 1016

Tabelle 2: Größenordnungsmäßige Werte des spezifischen Widerstands ρ für Leiter, Halb-leiter und Nichtleiter

Abbildung 8: (a) Schaltsymbol für einen elektrischen Widerstand (b) Hintereinander-schaltung von drei Widerständen (c) Ein aus einem Widerstand und einemKondensator bestehender Schaltkreis. Neben den Symbolen für Widerstandund Kondensator tritt hier ein Symbol für einen elektrischen Schalter auf.(Zeichnung: Christoffer Müller)

R =∑

Rn

Das ist für einen homogenen Widerstandsdraht unmittelbar einsichtig: Es ist schlicht aufdie Addition der Drahtlängen zurückzuführen.Abb. 8c zeigt für eine aus einem Kondensator und einem Widerstand bestehende Schal-

tung. Der Spannungsabfall ∆UR am Widerstand ist betragsmäßig gleich der Spannung∆UC am Kondensator. Es gilt also:

∆UC −∆UR = q/C +RI = q/C +Rq = 0

Dies stellt eine Differentialgleichung erster Ordnung dar, deren Lösung uns bereits be-kannt ist:

q(t) = q0 exp(−t/τ) (24)

29

Abbildung 9: Messung des Widerstandes von Tafelkreide

Die Zeitkonstante der Entladungτ = RC (25)

kann in elektronischen Schaltkreisen zur Steuerung zeitlicher Abläufe bzw. für die Zeit-messung herangezogen werden.Wir werden diese Formel nun zur Messung des elektrischen Widerstands von Tafel-

kreide heranziehen (Abb. 9). Dazu laden wir ein Elektrometer bekannter Kapazität20 aufund lassen die Ladung über die Kreide auf ein anderes Elektrometer fließen. Man sieht,dass es etliche Sekunden dauert, bis sich das Spannungsgleichgewicht aufbaut. Indemman die Ladung als Funktion der Zeit verfolgt, kann man mit Hilfe von Gl. 25 dann derWiderstand R ermitteln

23.16. Amperemeter und Messbereichserweiterung

Bislang haben wir noch kein Messgerät für Ströme. Mit einem Voltmeter (s. Abschnitt###) und einem Widerstand kann man jedoch leicht ein solches Amperemeter kon-struieren. Das Prinzip ist in der in Abb. 10a gezeigten Schaltskizze dargestellt. Man misstmit dem Voltmeter den Spannungsabfall über dem Widerstand und wegen ∆U = RI er-hält man bei bekanntem R den durch die Leitung geflossenen Strom.

20Grundidee wie man vorgeht, wenn man die Kapazität des Elektrometers nicht kennt: Man lädt einElektrometer auf. Die Anzeige markiere die Ladung q. Man verbindet es mit einem identischen zweitenElektrometer und erhält die Anzeige für q/2, weil die Kapazitäten identischer Elektrometer gleichsind. Dann wiederholt man das Experiment und ersetzt dabei das zweite Elektrometer durch eineMetallkugel. Für Metallkugeln ist die Berechnung der Kapazität bekannt. Wenn sich dabei die Anzeigewieder auch q/2 einstellt, sind die Kapazitäten von Metallkugel und Elektrometer gleich groß.

30

Abbildung 10: Amperemeter und Messbereichserweiterung (Zeichnung: ChristofferMüller)

Der Messbereich eines Voltmeters ist beschränkt auf einen bestimmten Maximalaus-schlag. Was tun, wenn eine größere Spannung gemessen werden soll, als der Messbereichzulässt? Hier kann man die in Abb. 10b gezeigte Schaltskizze verwenden. Man schließtzwei in Reihe geschaltete Widerstände R1 und R2 an und misst die Spannung (den Span-nungsabfall) am Messwiderstand R1.In ähnlicher Weise lässt sich der Messbereich eines Amperemeters erweitern (Abb.

10c). Durch einen zum Amperemeter parallel geschalteten Widerstand R2 lässt maneinen Teil des Stroms am Amperemeter sozusagen vorbeifließen und misst nur den durchR1 fließenden Teilstrom. Aus den bekannten Werten der beiden Widerstände ergibt sichder Gesamtstrom.

23.17. Elektrische Energie

Wenn man ein Elektroskop bzw. Elektrometer elektrisiert, wird am sich abspreizendenZeiger ganz augenscheinlich erfahrbar, dass sich dabei die Energie dieses Systems erhöhthat.21Wo diese Energie herkommt, ist an und für sich klar: Beim Erzeugen von Ladung,oder genauer gesagt, beim Trennen von negativer und positiver Ladung, musste Arbeitaufgewandt werden (Abschnitt 23.2). Wenn wir also ein System vorliegen haben, bei-spielsweise einen Plattenkondensator oder ein Elektrometer, und ihm Ladung zuführen,dann hat sich die innere Energie des Systems also erhöht. Die Aussage der Relativitäts-theorie ist, dass diese Systeme anschließend eine größere Masse haben müssen. DieseMassenzunahme ist jedoch im Rahmen unserer experimentellen Möglichkeiten genausowenig nachweisbar wie sie es in der Mechanik war, und wir müssen uns wieder auf ei-ne phänomenologische Beschreibung zurückziehen: Jeder geladene Kondensator enthältelektrische Energie. Das sieht man ihm äußerlich nicht an und man kann es auch durchWägung nicht feststellen. Aber sobald man ihn mit einem Elektroskop verbindet, kann

21Das ist leicht einzusehen: Nehmen Sie an, der gegen die Schwerkraft angehobene Zeiger werde in seinermaximalen Auslenkung arretiert. Nach dem Entladen des Elektroskops können wir die Arretierunglösen und die gravitativ gespeicherte Energie entnehmen, z.B. um eine Arbeit leisten zu lassen.

31

man am Zeigerausschlag sehen, dass der Kondensator Energie abgegeben hat. Konden-satoren sind also Speicher für elektrische Energie.

23.17.1. Erzeugung elektrischer Energie

Wir wenden uns nun der Frage zu, wie man elektrische Energie erzeugen kann.

Elektrische Energie aus mechanischer Energie Über Triboelektrizität haben wirbereits gesprochen (Abschnitt 23.2). Daneben gibt es bestimmte Materialien, bei de-nen durch bloßes Zusammendrücken elektrische Ladung getrennt wird. Dies nennt manPiezoelektrizität. Man kann in einem Plattenkondensator zwei sich gegenseitig be-rührende Metallplatten22 einbringen und diese trennen. Für die Trennung muss man einespürbare Kraft aufwenden. Dann kann man die Metallplatten nach außen führen unddie Ladung darauf – sie ist entgegengesetzt und gleich groß – mit einem Elektroskopnachweisen.

Elektrische Energie aus chemischer Energie In all diesen Fällen ist offensichtlich, dasselektrische Energie durch mechanische Arbeit erzeugt wird, und es stellt sich nur nochdie Frage, ob man die elektrische Energie wieder vollständig in mechanische Energie23

zurückgewinnen kann, d.h. es stellt sich die essentielle Frage, ob diese Energieumwandlungreversibel ist. Das müssen wir später noch klären.Genauso wie man Wärme durch chemische Umwandlung (Verbrennung) gewinnen

kann, kann man Elektrizität und damit elektrische Energie auch chemisch gewinnen.Die Umwandlung von chemischer Energie in elektrische Energie geschieht in einem gal-vanischen Element. Das kann eine Batterie (die Entladung ist irreversibel) sein, einAkkumulator (die Entladung ist reversibel) oder eine Brennstoffzelle24

Elektrische Energie aus Wärme Nicht zuletzt kann man elektrische Energie aus Wär-meenergie gewinnen. Dies geschieht in thermoelektrischen Generatoren. Ein ein-faches Beispiel dafür ist das Thermoelement. Es besteht aus zwei Materialien, diemiteinander in Kontakt sind (Abb. 11). Hält man eine Kontaktstelle auf der TemperaturT1 und die andere auf der Temperatur T2, so tritt zwischen den Enden eine elektrischeSpannung auf und man kann elektrische Energie entnehmen. Da sich die konkurrierendauftretende Wärmeleitung nicht vermeiden lässt, ist der Wirkungsgrad von thermoelek-trischen Generatoren deutlich kleiner als der Carnot’sche Wirkungsgrad.Ähnlich wie eine Erwärmung eine Volumenausdehnung bewirkt, mit welcher Arbeit ge-

wonnen werden kann, bewirkt eine Erwärmung in bestimmten Materialien eine Ladungs-

22an isolierenden Griffen gehalten23sei es als potentielle Energie oder kinetische Energie oder von beidem etwas24Funktioniert analog zum Gasherd: Man lässt Brennstoff in den Herd fließen und bekommt die ge-

wünschte Energieform raus, d.h. der Wandlungsvorgang kann kontinuierlich betrieben werden, wennBrennstoff kontinuierlich zugeführt wird. Der „abgebrannte“ Stoff geht auch bei der Brennstoffzellegewissermaßen über den „Schornstein“ raus.

32

Abbildung 11: Thermoelement

trennung. Dieses Phänomen heißt Pyroelektrizität und kann ebenfalls zur Erzeugungelektrischer Energie aus Wärme herangezogen werden.

23.17.2. Umwandlung elektrischer Energie in andere Energieformen

Wir wenden uns nun der Frage zu, ob die gerade genannten Möglichkeiten, elektrischeEnergie zu gewinnen, prinzipiell umgekehrt werden können.

Wärme aus elektrischer Energie Wenn man einen Draht mit einer Batterie verbindet,erwärmt er sich. Dies liefert uns die prinzipielle Möglichkeit, die elektrische Energie zuquantifizieren: Wir stecken einen Tauchsieder in ein thermisch isoliertes Gefäß, das mitWasser gefüllt ist, schließen ihn an eine Quelle elektrischer Energie an und messen denStrom, die Spannung und die Temperatur. Mit der uns bekannten spezifischen Wärmeka-pazität findet man experimentell, dass die elektrisch abgegebene Leistung dem Produktaus Spannung und Stromstärke proportional ist. Indem man die Proportionalitätskon-stante gleich 1 setzt, hat man sich für das internationale Einheitensystem entschieden,in dem für die Leistung gilt:

P = IU (26)

Wenn man eine Spannungsquelle verwendet25, gilt wegen q =´Idt und dem entspre-

chenden Zusammenhang zwischen Leistung und Energie für die abgegebene elektrischeEnergie:

∆Eel = qU (27)

Die in einem Kondensator gespeicherte Energie erhält man, indem man die Energie-beträge dEel = Udq = Qdq/C aufintegriert, die mit einer Ladungsmenge dq zugeführtwerden:

Eel =1

2q2/C =

1

2qU =

1

2CU2 (28)

25Für Spannungsquellen ist U = const.

33

Abbildung 12: Gewinnung mechanischer Energie aus elektrischer Energie (Zeichnung:Christoffer Müller)

Mechanische Energie aus elektrischer Energie Ein sehr einfaches Demonstrationsex-periment ist in Abb. 12 gezeigt. Zwischen zwei elektrisch geladenen Platten bringt maneine metallisierte Kugel, die an einem Faden aufgehängt ist. Wenn der Faden lang genugist, kann man die gravitativen Energiebeiträge, wie man aus dem Experiment rasch er-kennt, gegen die elektrischen vernachlässigen. Sobald die Kugel eine Platte berührt hatund damit elektrisch aufgeladen wurde, beginnt sie sich beschleunigt zu bewegen, bis sieauf die gegenüberliegende Platte prallt. Dort wird ein Teil der gewonnenen kinetischenEnergie in Form von Wärme und Schall dissipiert. Ein anderer Teil wird als elastischeEnergie zwischengespeichert und am Ende wieder an die Kugel zurückgegeben. Da dieKugel nun umgeladen wird, beginnt der Vorgang von neuem. Bei konstant gehaltenerSpannung stellt sich ein stationärer Vorgang ein, bei dem die elektrisch zugeführte Ener-gie gleich der dissipierten Energie ist. Aus einer Analyse der Geschwindigkeiten und derzur Konstanthaltung der Spannung zugeführten Ladung pro Zyklus findet man wieder

∆Eel = qU (29)

Genauso kann man, wenn man die Ladungszufuhr unterbindet, für den sich entleerendenKondensator herausfinden, dass dessen Energieinhalt gerade

Eel =1

2CU2 (30)

betrug.

34

24. Feldtheoretische Grundlagen

In diesem Kapitel werde ich die grundlegenden Konzepte, die zur Einführung von Feldernfür die Beschreibung von Wechselwirkungen führen, zunächst anhand des Gravitations-feldes erläutern und anschließend das Feldkonzept für die elektrische Wechselwirkungeinführen. Das Kapitel stellt zugleich eine Einführung in einige grundlegende mathema-tische Konzepte dar.

24.1. Fernwirkungstheorie

Im letzten Semester haben wir für Massen folgende Gesetzmäßigkeiten gefunden:

1. Das Newtonsche Gravitationsgesetz

In Kap. 14 hatten wir festgestellt: Wenn zwei Massen m und M gravitativ mit-einander wechselwirken, dann hat das System eine potentielle Energie

Epot = −GmMr

(31)

Man kann es auch so sehen, dass zwischen den beiden Massen eine Kraft

~F = −GmMr2

~er (32)

wirkt. Hier ist r der Abstand der beiden Massen.Die beiden Gleichungen scheinen zu suggerieren, dass hier eine Wirkung über eineEntfernung r besteht ohne dass der Zwischenraum in irgendeiner Weise beteiligtist. Besonders drastisch formulierte Immanuel Kant diese Fernwirkungstheorieder Gravitation: „Die aller Materie wesentliche Anziehung ist eine unmittelbareWirkung derselben auf andere durch den leeren Raum.“26

2. Die Massenerhaltung

In Kap. 17 haben wir Materie als Kontinuum betrachtet und durch die Begriffeder Massendichte ρ bzw. Stromdichte ~j beschrieben. Die Aussage der Massenerhal-tung27 schlug sich in der Kontinuitätsgleichung

ρ+ div ~j = 0 (33)

nieder.

Zunächst einmal ist klar, dass Gl. 31 und Gl. 32 so streng genommen nur für zwei wechsel-wirkende Punktmassen gelten können. Diese Gleichungen können aber auch dann nähe-rungsweise gelten, wenn die Entfernung zwischen den Massenelementen der i.A. räumlich

26I. Kant, Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (1786)27Im Rahmen der nichtrelativistischen Physik ist die Masse in guter Näherung erhalten.

35

ausgedehnten Massenverteilungen relativ zur Entfernung zwischen den beiden interagie-renden Massenverteilungen vernachlässigbar ist. Da sowohl für die Energien als auch fürdie Kräfte gilt, dass die Energiebeiträge der Teilsysteme sich addieren, können wir dieGesetzmäßigkeiten der Fernwirkungstheorie im Rahmen der Kontinuumsphysik durchIntegrale formulieren. Die totale potentielle Energie einer Ladungsdichteverteilung istdann

Epot = −G˚

d3r

˚d3r′

ρ(~r)ρ( ~r)′

|~r − ~r′|(34)

und die Kraft auf eine Masse m am Ort ~r

~F (~r) = −Gm(~r)

˚d3r′

ρ(~r)ρ( ~r)′

|~r − ~r′|3(~r − ~r′) (35)

Das sieht vielleicht nicht schön aus,28 aber auf diese Weise kann man nun im Rahmender Kontinuumsphysik jedes Gravitationsproblem berechnen. Wenn man alles, was eineninteressieren könnte, also prinzipiell berechnen kann, dann könnte man sich zurücklehnenund zufrieden sein. Als Gravitationsingenieur bzw. Astronom vielleicht, aber Physikersind keine Ingenieure, sondern Naturphilosophen.

24.2. Nahwirkungstheorie

Obwohl sich die Newtonsche Fernwirkungstheorie mit Gl. 34 in eine Kontinuumstheorieder Materie einbetten lässt, hat sie für philosophische Feingeister einen schwerwiegendenMakel: Sie ist absurd.Das war auch schon dem Erfinder dieser Fernwirkungstheorie klar. Isaak Newton stellte

dazu hellsichtig fest: „It is unconceivable that inanimate brute matter should (without themediation of something else which is not material) operate upon and affect other matterwithout mutual contact; as it must if gravitation in the sense of Epicurus be essentialand inherent in it. And this is one reason why I desired you would not ascribe innategravity to me. That gravity should be innate inherent and essential to matter so thatone body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediationof any thing else by and through which their action or force may be conveyed from oneto another is to me so great an absurdity that I believe no man who has in philosophicalmatters any competent faculty of thinking can ever fall into it. Gravity must be caused byan agent acting constantly according to certain laws, but whether this agent be materialor immaterial is a question I have left to the consideration of my readers.“29

Trotz dieses offensichtlichen Makels hielt man an der Fernwirkungstheorie noch fastzwei Jahrhunderte fest, denn sie war einfach alternativlos erfolgreich. Schlimmer noch:Man übertrug sie auf die Theorie der Elektrizität.Wir wollen nun nach einem Ausweg aus dem philosophischen Problem der spukhaften

Fernwirkung suchen. Auf ersten Blick scheinen die beiden Problemkreise, nämlich die28Nicht nur wegen der vielen Integrale, sondern auch weil der Nenner null werden kann29I. Newton: Brief an Richard Bentley von 1692/1693

36

spukhafte Fernwirkung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und die im Rahmen derKontinuumsphysik über die Kontinuitätsgleichung formulierte Massenerhaltung, nichtsmiteinander zu tun zu haben. Wir wollen diesen Zusammenhang nun erst einmal für dieGravitation herstellen und einen ersten Ansatz für eine Nahwirkungstheorie der Gra-vitation formulieren. Was immer wir nun als Nahwirkungstheorie ausarbeiten werden,muss die Bedingung erfüllen, dass es die Resultate der erfolgreichen Fernwirkungstheoriekorrekt reproduzieren kann.Newton nimmt in seinem Brief an Bentley also an, dass der Raum zwischen den wech-

selwirkenden Massen mit irgendetwas erfüllt ist, das die Wechselwirkung vermittelt bzw.überträgt. Er lässt die Frage offen, ob das ein materieller Äther ist oder irgendetwasImmaterielles. Jedenfalls ist es etwas, das zu jedem Zeitpunkt in irgendeiner Verteilungim Raum als Kontinuum vorhanden ist. Mathematisch muss also eine Beschreibung alsFeld g(t, ~r) möglich sein. Da wir noch nicht wissen, was es ist, habe ich hier das Symbol ggewählt, also g für Geisterfeld. Wo entsteht nun dieses Feld, d.h. was sind seine Quellen?Das sind die Massen bzw. ist die Massendichte, denn ohne Masse keine Gravitation. Umdiesen Zusammenhang zu formulieren, machen wir eine Anleihe bei der Hydrodynamik.Von der Massendichte als Quelle fließt gewissermaßen die durch g symbolisierte Wirkungweg:

∇~g = ρ (36)div~g = ρ (37)

Um dieser Vorstellung Rechnung zu tragen, muss das Geisterfeld ~g ein Vektorfeld sein.Wenn wir die zeitliche Ableitung dieser Gleichung bilden und mit der Kontinuitätsglei-chung vergleichen, dann muss gelten:

−~g = ~j (38)

−∂~g∂t

= ~j (39)

Aus den beiden Feldgleichungen, Gl. 36 und Gl. 38, folgt die Kontinuitätsgleichung bzw.Massenerhaltung, denn so haben wir das ja konstruiert. Lassen Sie uns nun analysieren,was sich aus Gl. 36 gemäß dem Gaußschen Integralsatz ergibt:

ˆ~g · d ~A =

ˆ∇~gdV =

ˆρdV = M

Wir betrachten hier erst einmal den statischen Fall30 und eine kugelsymmetrische Mas-senverteilung und integrieren über das Volumen einer Kugel vom Radius r. An der rechtenSeite des Integrals ändert sich nichts: Das Integral der Massendichte über das Volumenist die darin enthaltene Masse M . Auf der linken Seite kann ~g wegen der Kugelsymme-trie nur radial gerichtet sein, und jedes Flächenelement wird wegen der Kugelsymmetrieden gleichen Beitrag zum Oberflächenintegral leisten. Der ist entweder positiv, null oder

30~g(t, ~r) = ~g(~r) hängt im statischen Fall nicht von der Zeit ab.

37

negativ. Ist er null, dann folgt zwingend, dass die Masse im Volumen null war. Den ne-gativen Fall müssen wir ausschließen, weil es keine negative Masse gibt. Folglich zeigtder Vektor ~g grundsätzlich vom die Masse enthaltenden Volumen nach außen und es gilt:~g · d ~A = g(r)dA. Damit gilt:

g(r) =1

4π

M

r2

Diese Gleichung gilt insbesondere für eine Punktmasse, denn diese hat per se Kugelsym-metrie. Wenn man mit Gl. 32 vergleicht, dann kann man aus dem Geisterfeld ein Feldmit physikalischer Bedeutung machen, indem man zuordnet:

~F = 4πGm~g (40)

mit

~g =M

4πr2~er (41)

und einem Einheitsvektor ~er in radialer Richtung. Dieses Feld nennen wir das Gravi-tationsfeld. Mit Gl. 40 mutiert ~g von einem Gespensterfeld zu einer physikalischenRealität, also einer messbaren Größe, die mit dem Kraftfeld ~F (~r) über die gravitativeKopplungskonstante 4πG verknüpft ist.31 Jedem Raumpunkt kann man eine Kraft zu-schreiben, die eine Masse m dort aufgrund der gravitativen Anziehung der Masse Mhätte. Wenn man also dieses Kraftfeld mit einer Probemasse m ausmisst, dann hat mandas Gravitationsfeld bestimmt, das von der Masse M erzeugt wird.

Mit diesem begrifflichen Konzept hat man nun eine Nahwirkungstheorie: Eine imUrsprung des Koordinatensystems befindliche Masse M erzeugt ein Wirkungsfeld ~g(~r)im ganzen Raum, d.h. an jedem Raumpunkt ~r. Bringt man nun eine Masse m an den Ort~r0, so wechselwirkt diese Masse mit dem lokal am Ort ~r0 vorliegenden Wirkungsfeld ~g(~r0)mit der lokalen Anziehungskraft ~F (~r0) = 4πG m~g(~r0). Die gravitative Wechselwirkunggeschieht nach dieser Vorstellung nicht von der MasseM über eine Distanz zum, sondernkommt durch zwei Schritte zustande: 1) Die Masse M wird zur Quelle eines überallvorhandenen Feldes. 2) Das Feld wirkt als lokale Kontaktwechselwirkung mit der Massem. Mit dieser Nahfeldtheorie ist das philosophische Problem, das Fernwechselwirkungenaufwerfen, vom Tisch. Jetzt erst lehnt sich der Physiker zurück und ist zufrieden.Lassen Sie mich zum Schluss noch eine wichtige Konsequenz unserer vorhergehenden

Betrachtung kugelsymmetrischer Massenverteilungen erwähnen: Aus der Ableitung kannman schließen, dass eine ausgedehnte kugelsymmetrische Massenverteilung außerhalb die-ser Verteilung das gleiche Gravitationsfeld hat, als ob die gesamte Masse im Ursprungals Punktmasse konzentriert wäre. Betrachten wir nun eine Kugel mit dem Radius R mitkonstanter Massendichte ρ. Für r > R ist das Gravitationsfeld das gleiche wie das einerim Ursprung konzentrierten Punktmasse. Für r ≤ R nimmt die Masse proportional zu r3

zu und das Feld andererseits mit 1/r2 ab, so dass insgesamt das Gravitationsfeld linearmit r anwächst. Entsprechend verhält sich das Kraftfeld (s. Abb. ###).31Im Prinzip hätte man den Faktor 4π in die Gravitationskonstante G inkludieren können. Historisch

hat man sich aber anders entschieden.

38

24.3. Das dielektrische Verschiebungsfeld

Auch für elektrische Phänomene gilt ein Erhaltungssatz. Die Ladungserhaltung wirddurch die Kontinuitätsgleichung

%+∇~j = 0 (42)

beschrieben, die formal mit der Kontinuitätsgleichung für die Masse übereinstimmt. Hierbedeutet allerdings % die elektrische Ladungsdichte und ~j die elektrische Stromdichte.Anders als die Massendichte kann die Ladungsdichte sowohl positiv als auch negativsein. Das ist dann aber auch alles, was die Kontinuitätsgleichung für Massen von jenerfür Ladungen unterscheidet. Für eine Feldtheorie der Elektrizität ist es daher naheliegend,genauso vorzugehen wie bei der Gravitation: Wir postulieren die Existenz eines Feldes ~Dim Raum, welches durch die Ladungsdichte als Quelle generiert wird, also eine Gleichungder Form

∇ ~D = % (43)

und eine weitere Gleichung der Form

− ~D = ~j (44)

Aus diesen beiden Gleichungen folgt wieder die Kontinuitätsgleichung. Das ist bislangnur eine recht sterile mathematische Fingerübung und ~D ein Gespensterfeld, so langeman kein Element der physikalischen Realität damit verbinden kann. Nun führen wirauch hier eine zum Fall der Gravitation analoge Forderung ein, welche das elektrischeGespensterfeld zu einer physikalischen Realität werden lässt. Wir setzen es in Beziehungzu einem erfahrbaren Kraftfeld, indem wir einen zu Gl. 40 analogen Ansatz machen:

~F = (1/ε0) q ~D (45)

Der Faktor 1/ε0 spielt hier die Rolle der Kopplungskonstanten für Vakuum. Dieses Feld~D nennt man das dielektrische Verschiebungsfeld.Wenn dieser theoretische Zusammenhang gilt, dann ergibt sich für die Kraft zwischen

zwei Punktladungen q1 und q2 zwangsläufig das Gesetz

~F =1

4πε0

q1q2r2

~er (46)

Das kann man experimentell prüfen, und es hält in der Tat einer Überprüfung stand.Man nennt dies das Coulombsche Gesetz. In dieser Formulierung erscheint es unswieder wie ein Fernwirkungsgesetz, aber es ist keines, denn wir haben es aus einer feld-theoretischen Theorie abgeleitet.Auch für das Coulombgesetz gilt, dass eine ausgedehnte kugelsymmetrische Ladungs-

verteilung außerhalb dieser Verteilung das gleiche dielektrische Verschiebungsfeld hat,als ob die gesamte Ladung im Ursprung als Punktladung konzentriert wäre. Wir haben

39

Abbildung 13: Betrag der elektrischen Feldstärke einer homogen geladenen Kugel.

bereits besprochen, dass wegen des freien Ladungsflusses in Metall eine elektrisch gelade-ne Metallkugel eine homogene Ladungsverteilung aufweist, also eine kugelsymmetrische.Infolgedessen ist das ~D-Feld außerhalb solcher Metallkugeln gerade so wie das von einerPunktladung. Um das Coulombgesetz experimentell zu testen, braucht man also nichtunbedingt Punktladungen, sondern es geht mit geladenen Metallkugeln genauso gut.Abb. ### zeigt eine solche Anordnung von zwei geladenen Metallkugeln. Die Kraft,

welche die beiden Ladungen als Funktion des Abstands gegeneinander ausüben, kann überdas Torsionsdrehmoment eines Quarzfadens hochgenau bestimmt werden. Experimentellwird dabei Gl. 46 bestätigt.Betrachten wir zuletzt noch eine Kugel mit dem Radius R, in deren Inneren eine

konstante Ladungsdichte % vorliegt. Für r > R ist das Gravitationsfeld wiederum dasgleiche, als ob die Gesamtladung im Ursprung als Punktladung konzentriert wäre. Fürr ≤ R nimmt die Ladung proportional zu r3 zu und das Feld andererseits mit 1/r2 ab,so dass insgesamt das elektrische Feld linear mit r anwächst. Der Verlauf des Betrags derelektrischen Feldstärke als Funktion von r ist in Abb. 13 gezeigt.Wenn wir eine homogen geladene Kugelschale vorliegen haben, dann ist das elektri-

sche Feld im Inneren null. Man sollte sich aber klarmachen, dass hier die Symmetrieentscheidend eingeht. Wenn auf der Kugelschale keine kugelsymmetrische Ladungsver-teilung vorliegt, dann ist das Feld im Inneren klarerweise nicht mehr null.

24.4. Graphische Darstellung von Vektorfeldern

Wir haben bereits sehr viele unterschiedliche Vektorfelder kennengelernt. In diesem Ab-schnitt möchte ich auf die graphische Darstellung von Vektorfeldern zu sprechen kommen.Ein Vektorfeld ordnet jedem Ortspunkt einen Vektor zu, also beispielsweise besteht dasStromdichtefeld ~j(~r) aus einer Zuordnung ~r 7−→ ~j(~r). In zwei Dimensionen können wir

40

das so veranschaulichen, dass wir einige Ortspunkte auswählen und an jeden Ortspunkteinen Vektor zeichnen, dessen Länge dem Betrag der Stromdichte entspricht. Eine solcheDarstellung zeigt z.B. Abb. ###a. Dort sieht man die von einer Quelle ausgehendenStromdichtevektoren, deren Längen mit zunehmender Entfernung ~r proportional zu 1/r2

kleiner werden. Die Divergenz dieses Vektorfeldes ist in jedem Punkt des Raumes null– außer im Quellpunkt, wo sie wegen der Kontinuitätsgleichung % + ∇~j = 0 gleich derAbnahme der Ladungsdichte ist. Der abfließende Strom ist gleich der zeitlichen Abnahmeder Ladung und damit bleibt die Ladung insgesamt erhalten.Das gleiche Bild, also Abb. ###a, könnte auch das Vektorfeld ~D darstellen. Auch hier

nimmt ~D mit zunehmender Entfernung proportional zu 1/r2 ab. Ist dieses der Stromdich-te analoge elektrische Verschiebungsfeld erst einmal generiert, dann befolgt es im leerenRaum die „Kontinuitätsgleichung“ ∇ ~D = 0. Generiert wird es am Ort der Quelle aberdurch die Ladungsdichte selbst und nicht durch ihre zeitliche Ableitung. Infolgedessenwird es quasi ständig generiert, denn die Ladungsdichte nimmt ja dadurch, dass es einelektrisches Verschiebungsfeld generiert, nicht ab. Die Ladungsdichte ist sozusagen dieQuelle eines nie versiegenden „Stroms“ von ~D.32

Eine andere anschauliche Darstellung von Vektorfeldern liefern Flusslinienbilder bzw.Feldlinienbilder. Hier zeichnet man an jeden Raumpunkt eine Tangente, die entlangdes dort vorliegenden Vektors gerichtet ist, konstruiert also erst einmal ein Tangentenfeld.Anschließend verbindet man die Tangenten zu Kurven (man konstruiert also die zuge-hörigen Raumkurven durch Integration). Diese Kurven sind die Feldlinien. Abb. 14bzeigt das zu Abb. 14a gehörige Feldlinienbild, das gewissermaßen die „Strömungslinien“der Felder repräsentiert. So lange im quellfreien Gebiet die Divergenz des Vektorfeldesverschwindet, repräsentiert dort die Dichte der Feldlinien die Stärke der Felder (d.h.deren Betrag): In Abb. 14b nimmt die Flächendichte der Feldlinien offensichtlich propor-tional zu 1/r ab und entsprechend das ~j- bzw. ~D-Feld. Dies liegt daran, dass wir hier einzweidimensionales Problem betrachten, welches in drei Dimensionen Zylindersymmetriehätte und nicht Kugelsymmetrie. Wenn wir im Dreidimensionalen die Feldliniendichtepro Volumen heranzögen, ergäbe sich eine Abnahme proportional zu 1/r2.Abb. 15 zeigt das Feldlinienbild einer Zirkularströmung bzw. eines Wirbels. Das ge-

zeigte Wirbelfeld hat nur azimutal gerichtete Vektoren. Die Divergenz eines solchen „rein-rassigen“ Wirbelfelds ist null, denn in jedes Volumenelement „strömt“ genauso viel hineinwie wieder hinaus.

24.5. Zirkulation

Die Strömung von Fluiden kann man durch ihr Geschwindigkeitsfeld ~v(~r) beschreiben,indem man jedem Punkt ~r im Raum die lokal vorliegende Geschwindigkeit der Strömungzuordnet. Dieses Vektorfeld möchte ich seiner Anschaulichkeit wegen heranziehen, umden Begriff der Zirkulation zu erläutern.Wenn Sie Ihren Kaffee rühren, können Sie in der Kaffeetasse eine Zirkularströmung

erzeugen. Wenn man das Vektorfeld ~v(~r) durch seine Feldlinien darstellt, werden dies32Deshalb habe ich die „Kontinuitätsgleichung“ für ~D im leeren Raum auch in Anführungszeichen ge-

schrieben, denn ~D hat keine Kontinuitätsgleichung und auch keine zugeordnete Erhaltungsgröße.

41

Abbildung 14: Vektorfelder und Feldlinien, Quelle: Wikipedia

geschlossene Linien sein. Wir sprechen von einem Wirbelfeld. Wirbelfelder spielen auchin der Natur eine wichtige Rolle, beispielsweise bei einem Tornado. Für die Tornado-vorhersage ist es wichtig, eine auftretende verdächtige Rotation in einer Luftströmungmöglichst frühzeitig zu erkennen. Sagen wir einmal, dass man das Geschwindigkeitsfeldausgemessen hätte. Dann kann man für einen geschlossenen Weg C im Raum das Linien-integral

ς =

ˆ

C

~v(~r′) · d~r′ (47)

auswerten. Die Größe ς heißt Zirkulation.33 Sie ist null, wenn keine Zirkulationsströ-mung vorliegt. Das Vorzeichen hängt vom Umlaufsinn der Strömung ab und ist positiv,wenn die Strömung im mathematisch positiven Sinn relativ zum festgelegten Koordina-tensystem erfolgt. Je größer |ς|, um so stärker ist die Zirkulation auf dem betrachtetenWeg. Daher ist die Zirkulation in der Meteorologie eine wichtige makroskopische Kenn-größe zur Charakterisierung der Wirbelstärke.

24.6. Rotation

Die Begriff der Zirkulation hat seinen Sinn, wenn großräumige Bewegungen wie z.B.Luftbewegungen in der Meteorologie betrachtet werden. Der Nachteil des Begriffs ist,dass der Wert der Zirkulation vom gewählten Weg abhängt. Daher führt man eine lo-kale Kenngröße ein, die sozusagen den lokalen Beitrag zur Zirkulation misst. Sie heißtRotation und ist, genauso wie die Begriffe des Gradienten eines Skalarfeldes und derDivergenz eines Vektorfeldes ein weiterer wichtiger Begriff aus der Vektoranalysis. Dasmathematische Symbol für die Rotation eines Vektorfelds ~v(~r) ist rot~v oder ∇× ~v. Umdie Rotation im Punkt ~r zu definieren, betrachtet man eine Fläche A~r, die diesen Punktenthält, und berechnet die Zirkulation ς für den Rand dieser Fläche. Wenn diese Flächeimmer kleiner wird und auf den Punkt ~r hin zuschrumpft, dann wird auch die Zirkulationimmer kleiner. Daher definiert man die Rotation über folgenden Grenzwert:

33Der griechische Buchstabe ς ist der Buchstabe „Zeta“.

42

rot~v(~r) · ~en(~r) = limA~r→0

1

A~r

ˆ

C

~v(~r′) · d~r′ (48)

Hierbei ist ~en(~r) der Flächennormalenvektor im Punkt ~r. Für einen polaren Vektor, wiez.B. den Vektor ~v des Geschwindigkeitsfeldes, ist rot~v ein axialer Vektor. Wäre ~v einaxialer Vektor, so ergäbe sich rot~v als ein polarer Vektor. Das ist analog zur Beziehung,die wir bereits beim Vektorkreuzprodukt kennengelernt hatten, und daher schreibt manauch ∇× ~v für rot~v.Für die Rotation gilt der Stokessche Integralsatz

ˆ(∇× ~v) · d ~A =

‰

C

~v(~r′) · d~r′ (49)

Das Integral der Rotation eines Vektorfeldes ~v über eine beliebige Fläche ist gleich demgeschlossenen Linienintegral über den Rand C dieser Fläche. Der Stokessche Integralsatzhat gewisse Ähnlichkeiten zum Gaußschen Integralsatz.Wenn man Gl. 48 in kartesischen Koordinaten für eine Fläche in x-, y- und z-Orientierung

berechnet, erhält man für die drei Komponenten den Ausdruck:

rot~v = ∇× ~v =

∂vz∂y −

∂vy∂z

∂vx∂z −

∂vz∂x

∂vy∂x −

∂vx∂y

Die Rotation hat zwei wichtige Eigenschaften:

1. Die Divergenz der Rotation jedes beliebigen Vektorfeldes ~v verschwindet.Das kann man in kartesischen Koordinaten leicht nachrechnen:

div rot~v =∂

∂x

(∂vz∂y− ∂vy

∂z

)+

∂

∂y

(∂vx∂z− ∂vz∂x

)+

∂

∂z

(∂vy∂x− ∂vx

∂y

)= 0

bzw.∇ · (∇× ~v) = 0 (50)

2. Die Rotation des Gradienten jedes beliebigen Skalarfeldes ϕ verschwindet.Auch das kann man leicht nachrechnen:

rot gradϕ =

∂∂y

∂ϕ∂z −

∂∂z

∂ϕ∂y

∂∂z

∂ϕ∂x −

∂∂x

∂ϕ∂z

∂∂x

∂ϕ∂y −

∂∂y

∂ϕ∂x

= 0

bzw.

∇×∇ϕ = 0 (51)

Bei den Ableitungen haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass die Reihenfolge derpartiellen Differentiationen vertauscht werden können.

43

24.7. Das magnetische Feld

Bei der Aufstellung von Gl. 43 und Gl. 44 für das dielektrische Verschiebungsfeld habenwir nicht bedacht, dass dies nicht die einzige Möglichkeit ist, daraus die Kontinuitäts-gleichung für Ströme und Ladungen zu gewinnen. Wir können wegen Gl. 48 die Rotationeines beliebigen Vektorfeldes ~H dazu addieren:

∇× ~H − ~D = ~j (52)

Aus Konsistenzgründen – ~j ist ein polares Vektorfeld – müssen wir ~H allerdings auf einaxiales Vektorfeld einschränken. Das hier auftretende neue „Gespensterfeld“ nennen wirmagnetisches Feld. Mit der Vorgabe eines Magnetfeldes wird Gl. 52 eindeutig. Dasist wiederum nur eine mathematische Spielerei, solange man dem magnetischen Feld keinElement in der physikalischen Realität zuordnen kann. Immerhin wissen wir, wie es, wennes denn als physikalische Realität existierte, hervorgerufen werden kann. Der Einfachheithalber betrachten wir Gl. 52 im stationären Fall, d.h. für ~D = 0. Wir betrachten eineFläche senkrecht zu einem Draht, durch den ein Strom fließt (Abb. 15). Dann gilt nachdem Stokesschen Satz für das Flächenintegral:

ˆ (∇× ~H

)· d ~A =

‰~H · d~r =

ˆ~j · d ~A = I

Durch einen elektrischen Strom wird also eine Zirkulation des Vektorfeldes ~H angewor-fen. Wenn man eine kreisförmige Fläche mit dem Radius R betrachtet, in deren Zentrumder stromführende Draht ist, so gilt wegen der vorliegenden Zylindersymmetrie, dass dasMagnetfeld im Abstand R konstant ist, und man erhält dann für die Tangentialkompo-nente

Hϕ =I

2πR(53)

Das magnetische Feld nimmt reziprok zum Abstand vom Draht ab.Das sind alles logische Deduktionen zu einem denkmöglichen Feld. Es ist erstaunlich,

wieviel man über ein bis hierhin rein hypothetisches Feld bereits aussagen kann. Nun kannman diese Überlegungen anstellen oder auch nicht, denn so lange man dem magnetischenFeld nicht irgendeine physikalische Realität zuordnen kann, bleibt es Mathematik, einreines Gedankenspiel, und wäre für einen Physiker höchstens dann interessant, wenn esihm Rechenvorteile bringen würde.Man kann nun aber untersuchen, ob ein stromdurchflossener Draht über dieses Feld

eine Wirkung auf eine Ladung im Abstand R ausübt oder auf einen anderen stromdurch-flossenen Draht im Abstand R. Es stellt sich experimentell heraus, dass keine Wirkungauf elektrische Ladungen auftritt. Das ist nicht überraschend, denn die Kraft ist ein po-larer Vektor, das magnetische Feld ein axialer Vektor und die Ladung ein Skalar, wasschon aus formal-logischen Gründen nicht unter einen Hut zu bringen ist. Aber es gibt

44

Abbildung 15: Magnetisches Feld um einen geraden Draht (©frei, bearbeitet v. T.Hofstätter)

Abbildung 16: Experimentelle Demonstration der Kraftwirkung zwischen stromdurch-flossenen Drähten.

eine Wirkung auf einen Strom. Das kann man leicht demonstrieren, indem man zweiDrähte, wie in Abb. 16 gezeigt, von einem Strom durchfließen lässt. Wenn beide Drähteparallel zueinander sind, beobachtet man eine Anziehung für parallele Ströme und eineAbstoßung für antiparallele Ströme.Betrachten wir einen stromdurchflossenen Draht 1 als Erzeuger des Magnetfeldes, des-

sen Strom I1 ein Magnetfeld H(~r) ∝ I1 im Raum hervorruft. Es zeigt sich empirisch,dass auf jedes Längenelement dl des zweiten Drahts eine Kraft d~F wirkt, die dem darinfließenden Strom I proportional ist. Die Kraftwirkung hängt von der Orientierung desLängenelements ab. Wir stellen daher Länge und Orientierung des Elements durch einenpolaren Vektor d~l dar. Dann kann man mit diesem und dem axialen Vektor ~H einenpolaren Vektor über das Kreuzprodukt konstruieren. Auf d~l wirkt ein Kraftbeitrag

d~F = µ0I d~l × ~H (54)

Hier wurde mit µ0 wieder eine Kopplungskonstante eingeführt, die magnetische Feld-konstante, welche Strom und Feld in dieser magnetischen Wechselwirkung zur Kraftkoppelt. Die magnetische Wechselwirkung ist zunächst einmal wesentlich verschieden vonder elektrischen Wechselwirkung, die immer an eine Ladung ankoppelt und nicht an einen

45

ladungsneutralen Strom, bei dem eine Ladungsart relativ zur anderen fließt, ohne dassdabei eine Nettoladung entsteht.Lassen Sie uns zusammenfassen: Die mögliche Existenz eines weiteren Feldes, das wir

hier magnetisches Feld genannt haben, ist zunächst bloß eine mathematisch zulässigeDenkmöglichkeit. So ein Feld anzunehmen wäre fruchtlos, wenn wir nicht irgendetwasphysikalisch Reales damit verbinden können.34 Aber im Falle des magnetischen Feldeskann man ihm tatsächlich eine experimentell beobachtbare Wirkung zuordnen.

24.8. Potential

Beginnen wir mit einer Rückbetrachtung zur Rolle der potentiellen Energie in der Me-chanik. Wenn wir eine Kraft ~F an einem System angreifen lassen und das System aufirgendeinem Weg von A nach B verschieben, wird eine ArbeitW =

´ BA~F ·d~s geleistet. Im

Falle konservativer Kraftfelder ist diese wegunabhängig, d.h. das Ergebnis hängtnicht vom gewählten Weg ab. Deshalb ist die insgesamt auf einem geschlossenen Wegvon A nach B und zurück nach A geleistete Arbeit null:

‰~F · d~s = 0 (55)

Da dies für beliebige Wege richtig ist, folgt aus dem Stokesschen Integralsatz, Gl. 49,dass für konservative Kraftfelder gilt:

∇× ~F = 0 (56)

Genau dann kann man anstatt der Beschreibung durch ein Kraftfeld eine Beschreibungdurch ein Potential ϕ angeben.

Für die in Gl. 32 angegebene gravitative Kraft

~F = −GmMr3

~r = −GmM(x2 + y2 + z2

)−3/2xyz

kann man beispielsweise für die x-Komponente der Rotation ausrechnen:

(∇× ~F )x =∂Fy∂z− ∂Fz

∂y= GmMr−5(zy − yz) = 0

und das kommt dann auch für die anderen drei Komponenten heraus. Daher gibt es aucheine potentielle Energie

Epot(r) = −GmMr

Trivialerweise verschwindet auch die Rotation des Gravitationsfeldes ~g(~r) = ~F (~r)/m:

∇× ~g = 0

34Z.B. für die Gravitation bleibt es bei einer mathematischen Spielerei.

46

Für das Gravitationsfeld ist das Pendant zur potentiellen Energie das gravitations-potential

ϕ(r) = −GMr

(57)

(Konservative) Kraft und Gravitationsfeld auf der einen und potentielle Energie undPotential auf der anderen Seite haben also die in der nachfolgenden Tabelle zusammen-gestellte Entsprechung:

Vektorfelder SkalarfelderKraft Potentielle Energie

~F = −GmMr2~er = m~g Epot = −GmM

r = mϕ

Feld Potential~g = −GM

r2~er = −∇ϕ ϕ(r) = −GM

r

Das Potential gehört also wie das Feld zu den Begriffen der Feldtheorie bzw. Fern-wirkungstheorie. Wegen der Analogie zwischen elektrischen und gravitativen Wechsel-wirkungen finden wir die entsprechenden Begriffe auch auf dem Gebiet der Elektrizitätwieder:

Vektorfelder SkalarfelderKraft Potentielle Energie

~F = 14πε0

q1q2r2~er = q1 ~E Epot = 1

4πε0q1q2r = q1ϕ

Feld Potential~E = 1

4πε0q2r2~er = −∇ϕ ϕ(r) = 1

4πε0q2r

Als neuen Begriff haben wir hier das elektrische Feld ~E = ~D/ε0 eingeführt. Jenachdem was gemeint ist, spricht man der Deutlichkeit halber von Gravitationspotentialoder vom elektrischen Potential. Hinsichtlich der Energie kann man die elektrische Wech-selwirkung also auf ein Skalarfeld ϕ(~r) zurückführen, das überall im Raum wirksam istund von der Ladung q als Ursache hervorgerufen wird. Halten wir zum Schluss noch fürdie Elektrostatik explizit fest, dass die Rotation des elektrischen Feldes verschwindet:

∇× ~E = 0 (58)

24.9. Die Zylindersymmetrie eines geraden Drahtes

Wir betrachten einen ins Unendliche reichenden unendlich dünnen geraden Draht auseinem leitenden Material. Damit liegt eine makellose Zylindersymmetrie vor. Zwei Ex-tremfälle können in Betracht kommen:

1. Der Draht ist elektrisch neutral (ungeladen), aber es fließt ein Strom in ihm.

47

2. Der Draht ist elektrisch geladen, aber es fließt kein Strom in ihm.

Die erste Situation haben wir oben besprochen und mit ∇× ~H = ~j aus der Zylindersym-metrie den Betrag des Magnetfeldes gefolgert. Das Resultat war Gl. 53:

Hϕ =I

2πR

Im zweiten Fall kann kein Magnetfeld auftreten, aber eine dielektrische Verschiebung.Um einen Abschnitt der Länge l des Leiters legen wir eine fiktive Dose mit dem RadiusR und berechnen hierfür

˛~D · d ~A =

ˆ∇ ~DdV =

ˆρdV

Die Beiträge der Dosendeckel kann man vernachlässigen. Es ergibt sich für die Radi-alkomponente

Dr =Q/l

2πR(59)

Die Ableitung macht keine Aussage über die Richtung der Felder, denn im ersten Fallfehlt die Radialkomponente und im zweiten Fall die Tangentialkomponente. Wenn manim elektrischen Fall jedoch Gl. 58 berücksichtigt, folgt

Dϕ = 0 (60)

Es tritt kein Tangentialfeld Dϕ auf. Für Magnetfelder kann man durch experimentelleUntersuchung der Kraftwirkungen zwischen stromdurchflossenen Leitern zu dem Resultatgelangen, dass kein Radialfeld auftritt. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung35

∇ · ~B = 0 (61)

Hier wurde ein neues Feld ~B eingeführt, das magnetische Flussdichte heißt undin etwa die gleiche Rolle spielt wie das Feld ~D in der Elektrostatik. Im Vakuum ist esproportional zu ~H und es gilt (vorläufig):

~B = µ0 ~H (62)

Das Verschwinden der Divergenz des Magnetfeldes, d.h. Gl. 61, ist äquivalent zur Aussage,dass magnetische Feldlinien immer geschlossen sind, denn es gibt keine Quellen, vondenen sie ausgehen könnten und keine Senken wo sie enden könnten. Magnetfelder sindreine Zirkulationsfelder. Die magnetischen und elektrischen Felder haben, wie unsereBetrachtungen am Beispiel des geraden Drahtes zeigen, komplementäre Eigenschaften.

35Der Faktor µ0 wäre hier nicht wichtig. Er wurde aus Gründen eingeführt, die später klar werden.

48

24.10. Die Poissongleichung

Wegen ∇× ~E = 0 kann das elektrische Feld durch

~E = −∇ϕ (63)

und damit durch ein Skalarfeld ϕ dargestellt werden, dem elektrischen Potential.Wegen ∇ · ~D = % und ~D = ε0 ~E folgt dann die Poissongleichung

4ϕ = ∇2ϕ = ∇ · ∇ϕ = div gradϕ =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2= −%/ε0 (64)

Es ist die Grundgleichung der Elektrostatik. Indem man Gl. 64 für vorgegebene Rand-bedingungen löst, können elektrostatische Felder für beliebige Ladungsverteilungen be-rechnet werden.Die Symbole 4 (Laplace, Laplace-Operator, nicht verwechseln mit ∆) und ∇2 (Nabla-

Quadrat) bezeichnen hier die Operation div grad, d.h. die Gradientenbildung und an-schließende Divergenzbildung. In kartesischen Koordinaten ist der Laplace-Operator ge-rade so wie das Quadrat des Nablaoperators.36

Für eine Punktladung q1 am Ort ~R1 hat die Poissongleichung

4ϕ = −%/ε0 (65)

die Lösung

ϕ(~r) =1

4πε0

q1∣∣∣~r − ~R1

∣∣∣Wegen der Linearität der Poissongleichung ergibt sich für n = 1, . . . , N Ladungen darausdie Lösung durch einfache Summation der Beiträge:

ϕ(~r) =1

4πε0

N∑n=1

qn∣∣∣~r − ~Rn

∣∣∣ (66)

Entsprechend folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung

ϕ(~r) =1

4πε0

˚%(~r′)d3r′

|~r − ~r′|(67)

Daraus ergibt sich dann das elektrische Feld zu

~E(~r) = −∇ϕ(~r) = − 1

4πε0

˚∇(

1

|~r − ~r′|

)%(~r′)d3r′

~E(~r) =1

4πε0

˚~r − ~r′

|~r − ~r′|3%(~r′)d3r′ (68)

36Für andere Koordinatensysteme, z.B. für Kugelkoordinaten, ist das nicht so.

49

Abbildung 17: Faradaykäfig (©Copyleft)

24.11. Faradayscher Käfig

Im Spezialfall des ladungsfreien Raums wird die Poissongleichung auch als Laplace-gleichung bezeichnet. Sie lautet:

4ϕ = 0 (69)

Die Laplacegleichung hat die interessante Eigenschaft, dass ihre Lösung in einem Gebietbzw. Volumen V eindeutig ist, sobald die Funktion ϕ(~r) am Rand des Gebietes vorge-schrieben ist.37 Das ist z.B. der Fall, wenn der Rand eines Gebietes von einem leitendenMaterial gebildet ist, denn dann ist der Rand im statischen Fall eine Äquipotentialfläche,d.h. das Potential ist auf dem Rand überall gleich und konstant mit ϕ(~r) = ϕ0. Da dieLaplacegleichung auch im Inneren des Gebietes die Lösung ϕ(~r) = ϕ0 haben kann, welchedie Randbedingung erfüllt, und weil dies dann bereits die eindeutige Lösung ist, ist imInneren eines von metallischen Oberflächen umgebenen Gebiets das Potential konstantund somit das elektrische Feld null - und zwar egal, welches Feld außen herrscht. Sobaldder Rand eines ladungsfreien Gebietes eine Äquipotentialfläche ist, ist das Innere des Ge-bietes feldfrei. Einen solchen von Metalloberflächen vollständig umgebenen Körper nenntman einen Faradayschen Käfig. In der Praxis muss das Gebiet nicht wirklich dichtvon Metall umgeben sein. Es genügt oft z.B. ein Drahtnetz, das feinmaschig genug ist,um das elektrische Feld im Inneren auf nahezu null abzuschirmen (Abb. 17).

25. Grundlagen des Magnetismus

25.1. Definition der Einheit Ampere

Die Definition der SI-Einheit Ampere beruht auf Gl. 54. Ein Ampere (Symbol:A) istdie Stärke des zeitlich konstanten elektrischen Stromes, der im Vakuum zwischen zwei

37Das werde ich hier nicht beweisen. Sie können den Beweis in Lehrbüchern der Mathematik nachlesen.

50

parallelen, unendlich langen, geraden Leitern mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmi-gem Querschnitt und dem Abstand von 1 m zwischen diesen Leitern eine Kraft von2 · 10−7 Newton pro Meter Leiterlänge hervorruft. Mit dieser Definition muss das Ma-gnetfeld exakt senkrecht zum Leiter sein, d.h. man kann in skalarer Form für die Beträgehinschreiben:

dF

dl= µ0

I2

2πR

Wir setzen hier dF/dl = 2 · 10−7N/m, I = 1A und R = 1m ein und erhalten dannfür die magnetische Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 N/A2. Deren Zahlenwert ist mit derAmpere-Definition also exakt festgelegt.Mit der Einheit Ampere sind nun auch alle anderen Einheiten elektrischer und magne-

tischer Phänomene definiert. Einige davon sind in der nachfolgenden Tabelle zusammen-gefasst.

Größe Symbol Einheit KurzbezeichnungEl. Strom I Ampere AEl. Ladung q Coulomb C=As

El. Spannung U Volt V=J/CKapazität C Farad F=C/V

El. Widerstand R Ohm Ω = V/A

El. Feld ~E Volt/Meter V/mMgt. Feld ~H Ampere/Meter A/m

El. Potential ϕ Volt V

25.2. Das magnetische Vektorpotential

Die Gleichung∇ · ~B = 0 (70)

kann durch

~B = ∇× ~A (71)

mit einem beliebigen Vektorfeld ~A formal gelöst werden.38 Das liegt daran, dass die Di-vergenz einer Rotation verschwindet. Diese Tatsache hatten wir oben bereits verwendet.Wenn man ~A über die Gleichung

∇× ~H =1

µ0∇× (∇× ~A) = ~j + ~D (72)

38Im Rahmen der Maxwellschen Theorie ist das magnetische Vektorpotential ein „Gespensterfeld“ undbleibt auch eines. Ihm entspricht keine physikalische Realität. Es ist zunächst nichts weiter als einmathematisches Hilfsmittel, das uns Rechnungen erleichtert. Erst mit der Quantenphysik (Aharonov-Bohm-Effekt) wird sich das ändern.

51

bestimmt hat, dann sind sowohl Gl. 70 als auch Gl. 72 erfüllt. Von der Funktion hererfüllt also das Feld ~A für den Magnetismus eine analoge Rolle wie das elektrische Po-tential für die Elektrizität. Daher nennt man es das magnetische Potential bzw.das magnetische Vektorpotential. Da wir bereits wissen, dass die Rotation einesGradienten verschwindet, ist ~A nur bis auf den Gradienten eines beliebigen Skalarfeldesf(~r) festgelegt. Ist ~A eine Lösung von Gl. 72, dann ist auch

~A′ = ~A+∇f (73)

eine Lösung. Diese Freiheit bei der Wahl von ~A nennt man Eichfreiheit. Man kannsie nutzen, um sich die Lösung von Gl. 72 besonders einfach zu machen.Man kann nachrechnen, dass39

∇× (∇× ~A) = ∇(∇ · ~A)−4 ~A (74)

ist. Die Eichfreiheit kann man ausnutzen, um das Feld ~A dazu zu bringen, dass es dieGleichung

∇ · ~A = 0 (75)

erfüllt.40 Wenn man in Gl. 74 die Coulomb-Eichung berücksichtigt, dann folgt aus Gl. 72für die Magnetostatik41:

4 ~A = −µ0~j

In kartesischen Koordinaten ist diese Poissongleichung für jede Vektorkomponente for-mal identisch mit der Poissongleichung 65. Daher können wir die aus der Elektrostatikbekannte Lösung, Gl. 67, sofort übernehmen:42

~A(~r) =µ04π

˚ ~j(~r′)d3r′

|~r − ~r′|(76)

Meist wird beim Volumenintegral Gl. 76 über null integriert, weil fast überall im Raumkein Strom fließt, nämlich überall, wo nicht gerade ein Stromleiter ist. Für Systeme ausdünnen Leitern kann man daher eine gute Näherung angeben. Wir betrachten eine Röhre,die den Leiter umhüllt. Alle Volumenelemente außerhalb dieser Röhre tragen dann nicht39Hier wird die bac-cab-Regel verwendet.40Nehmen Sie an, dass Sie ein ~A′ gefunden haben, das Gl. 72 erfüllt, aber Sie wollen ein ~A haben, das

sowohl Gl. 72 erfüllt als auch ∇ · ~A = 0. Dann setzen wir an: ~A = ~A′−∇f . Das löst ebenfalls Gl. 72.Die Forderung, dass die Divergenz verschwindet, läuft damit auf die Lösung der Gleichung4f = ∇A′hinaus. Es genügt zu wissen, dass sie prinzipiell eine Lösung besitzt - das tut sie. Folglich kann manein ~A mit den gewünschten Eigenschaften finden und die Coulomb-Eichung im Prinzip immer alsForderung an ~A erheben.

41Im Rahmen der Magnetostatik ist ~D = 0. Das impliziert allerdings wegen ∇~j = 0 divergenzfreie,d.h. geschlossene, Strompfade. In der Praxis verwendet man Stromquellen und da stimmt das strenggenommen nicht. Aber man das kann oft trotzdem näherungsweise akzeptieren, und im Rahmender Rechnungen in Abschnitt 25.4 setzen wir stillschweigend voraus, dass für die betrachteten Fällenäherungsweise ∇~j = 0 gilt.

42In Gl. 76 sind sowohl ~A als auch ~j in kartesischen Koordinaten einzusetzen.

52

zum Integral bei. Das Volumenelement d3r′ = dA′dr′ zerlegen wir in FlächenelementedA′ senkrecht zum Strompfad und in ein Element in Richtung des Strompfads. Wennder Leiter so dünn ist, dass sich ~r′ bei der Integration senkrecht zur Röhre kaum ändert,dann kann man schreiben:

˚ ~j(~r′)

|~r − ~r′|d3r′ ≈

ˆC

dr′

|~r − ~r′|

¨~j(~r′)dA′ = I

ˆC

dr′

|~r − ~r′|~e(~r′)I = I

ˆC

d~r′

|~r − ~r′|

Hier ist ~e(~r′) ein Einheitsvektor im Punkt ~r′ entlang des Strompfads. Das dreidimensio-nale Integral reduziert sich damit zu einem eindimensionalen Integral entlang der denStrompfad beschreibenden Kurve C:

~A(~r) =µ0I

4π

ˆC

d~r′

|~r − ~r′|(77)

25.3. Das Biot-Savartsche Gesetz

Das Magnetfeld kann mit Hilfe von Gl. 76 gemäß

~H(~r) = ~B/µ0 = ∇× ~A/µ0

=1

4π

˚∇×

(~j(~r′)

|~r − ~r′|

)d3r′ =

1

4π

˚ (~j(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

)d3r′

berechnet werden. Den letzten Schritt möchte ich hier noch explizit für die x-Komponentevorrechnen:

(∇×

(~j(~r′)

|~r − ~r′|

))x

=∂

∂y

jz(~r′)

|~r − ~r′|− ∂

∂z

jy(~r′)

|~r − ~r′|

= jz(~r′)

[−1

2

(~r − ~r′

)−3/2(2y − 2y′)

]− jy(~r′)

[−1

2

(~r − ~r′

)−3/2(2z − 2z′)

]Die Gleichung

~H(~r) =1

4π

˚ (~j(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

)d3r′ (78)

ist das Biot-Savartsche Gesetz in seiner allgemeinsten Form.Meist wird beim Volumenintegral Gl. 78 über null integriert, weil fast überall im Raum

kein Strom fließt, nämlich überall, wo nicht gerade ein Stromleiter ist. Für Systeme ausdünnen Leitern kann man daher eine gute Näherung angeben. Wir betrachten eine Röhre,die den Leiter umhüllt. Alle Volumenelemente außerhalb dieser Röhre tragen dann nichtzum Integral bei. Das Volumenelement d3r′ = dA′dr′ zerlegen wir in Flächenelemente

53

dA′ senkrecht zum Strompfad und in ein Element in Richtung des Strompfads. Wennder Leiter so dünn ist, dass sich ~r′ bei der Integration senkrecht zur Röhre kaum ändert,dann kann man schreiben:

˚ (~j(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

)d3r′ ≈ -

ˆCdr′

(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

ר

~j(~r′)dA

= −ˆCdr′

(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

× ~e(~r′)I = I

ˆC

(~r′ − ~r)|~r − ~r′|3

× d~r′

Hier ist ~e(~r′) ein Einheitsvektor im Punkt ~r′ entlang des Strompfads. Das dreidimensio-nale Integral reduziert sich damit zu einem eindimensionalen Integral entlang der denStrompfad beschreibenden Kurve C:

~H(~r) ≈ − I

4π

ˆC

((~r − ~r′)× d~r′

|~r − ~r′|3

)(79)

Gl. 79 ist häufig eine völlig ausreichende Näherung des Biot-Savart-Gesetzes fürdie praktische Berechnung von Magnetfeldern bei gegebenen stromführenden Leiteran-ordnungen. Man sieht, dass das Magnetfeld immer proportional zur Stromstärke I istund proportional zu einem Ausdruck, der nur von der Geometrie der Drahtanordnungabhängt.

25.4. Berechnung magnetischer Felder

Die Berechnung von Kräften erfolgt für elektrische und magnetische Wechselwirkungenimmer in zwei Schritten: Erst berechnet man das elektrische Feld ~E bzw. magnetischeFeld ~H für eine gegebene Ladungs- bzw. Stromverteilung und anschließend verwendetman die Gleichung ~F = q ~E bzw. Gl. 54, um die Kräfte aus den Feldern zu berechnen.Hier möchte ich für einige wichtige Leiterkonfigurationen die magnetischen Felder be-

rechnen, indem ich die Biot-Savart-Näherung gemäß Gl. 79 verwende. Neben dem geradenDraht, dessen Magnetfeld mit Gl. 53 bereits berechnet wurde, sind das die Leiterschleifeund die Spule.

Gerader Draht Das Magnetfeld für einen geraden Draht wurde bereits in Abschnitt 24.9berechnet. Diesmal wollen wir es mit Gl. 79 tun, um den Umgang mit diesem Gesetz zuüben. Wir legen die z-Achse entlang der Drahtachse und ~r = r~er ist ein Punkt, der einenAbstand r von der z-Achse hat. Die Konfiguration ist in Abb. ### skizziert. Es istalso ~r′ = z′~ez, d~r′ = dz′~ez und ~r = r~er mit den Einheitsvektoren ~ez und ~er entlang derz-Achse und der radialen Richtung. Wegen (~r − ~r′) × d~r′ = ~r × d~r′ = rdz′~er × ~ez stehtdas Magnetfeld stets senkrecht zur z-Achse und zur radialen Richtung. Daher sind dieFeldlinien Kreise. Das Resultat ist

54

Abbildung 18: Kreisförmige Leiterschleife, Quelle: Wikipedia

~H(~r) = ~H(R) = − I

4π

ˆC

(~r × d~r′

|~r − ~r′|3

)= − I

4π(~er × ~ez)

∞

−∞

rdz′

(r2 + z′2)3/2=

I

2πr~eϕ

mit ~eϕ = ~er × ~ez und stimmt mit Gl. 53 überein.

Kreisförmige Leiterschleife Die Leiterschleife habe den Radius R. Wir legen den Ur-sprung des Zylinderkoordinatensystems ins Zentrum der Leiterschleife.Zuerst berechnen wir das Magnetfeld entlang der z-Achse. Es ist also ~r = z~ez, d~r′ =

Rdϕ′ ~eϕ′ , ~r′ = R~eρ′ und |~r − ~r′| = (R2 + z2)1/2 eine Konstante. Dies wird in Gl. 79eingesetzt:

~H(~r) = − I

4π

ˆC

(~r − ~r′)× d~r′

|~r − ~r′|3= − I

4π

1

(R2 + z2)3/2

2πˆ

0

(~r − ~r′)× ~eϕRdϕ′

Da der Einheitsvektor ~eϕ′ sich auf dem Integrationspfad um 2π dreht, während ~r feststeht, ist der Beitrag

´ 2π0 ~r× ~eϕdϕ′ = 0, während

´ 2π0 ~r′ × ~eϕdϕ′ = 2πR2~ez konstant und

entlang der z-Achse gerichtet ist. Damit ergibt sich:

~H(z) =I

2

R2

(R2 + z2)3/2(80)

Elementarmagnet Nun berechnen wir das Magnetfeld der Leiterschleife allgemein, aberfür R r = ‖~r‖. Diese im Grenzfall relativ zur Entfernung r quasi „punktförmige“Leiterschleife nennen wir einen Elementarmagneten. Wir nähern im Biot-Savart-Gesetz erst einmal den Nenner:∣∣~r − ~r′∣∣−3 ≈ r−3(1 + 3~r · ~r′/r2)

Wir müssen nunˆC

(~r − ~r′)× d~r′

|~r − ~r′|3= r−3~r×

ˆ

C

d~r′−r−3ˆ

C

~r′×d~r′+ 3

r5

ˆ

C

(~r ·~r′)~r×d~r′− 3

r5

ˆ

C

(~r ·~r′)~r′×d~r′

55

berechnen. Das erste der vier Integrale auf der rechten Seite ist offensichtlich null. Imzweiten und vierten Integral ist ~r′×d~r′ = ~emr

′dr′ = R~emdr′ mit einem Einheitsvektor, der

auf der Ebene der Leiterschleife senkrecht steht. Damit ergibt das zweite Integral geradeπR2~em. Die Berechnung der beiden verbleibenden Integrale führen wir in kartesischenKoordinaten aus und legen die Leiterschleife in die x-y-Ebene. Die Vektoren lauten dann:

~r =

xyz

, ~r′ = R

cosϕ′

sinϕ′

0

und dr′ = R

− sinϕ′

cosϕ′

0

dϕ′

~r × d~r′ =

−z cosϕ′

−z sinϕ′

x cosϕ′ + y sinϕ′

Rdϕ′ ~r′ × d~r′ =

00

R2dϕ′

Mit (~r · ~r′) = R(x cosϕ′ + y sinϕ′) erhält man für das dritte Integral

2πˆ

0

(~r · ~r′)~r × d~r′ =

−zx−zy

x2 + y2

πR2

und für das vierte Integral

2πˆ

0

(~r · ~r′)~r′ × d~r′ = 0

Wenn wir dies zusammenfassen, ergibt sich

~H(~r) = − I

4πr3

00

πR2

+3I

4πr5

−zx−zy

x2 + y2

πR2 =πR2I

4π

− 0

0r3

+ 31

r5

−zx−zyr2 − z2

Indem man eine vektorielle Größe ~m = πR2I~ez = I ~A mit dem Flächenvektor ~A einführt,kann man dies folgendermaßen schreiben:

~H(~r) =1

4π

[1

r5r2 ~m− 3

r5r2 ~m+

3

r5~r(~m · ~r)

]Die neu eingeführte Größe

~m = I ~A (81)

nennt man das magnetische Moment des Elementarmagneten. Damit lässt sichdas magnetische Feld eines Elementarmagneten folgendermaßen beschreiben:

H(~r) =1

4π

~mr2 − 3~r(~m · ~r)r5

(82)

Das elementarmagnetische Feld fällt für eine fixe Richtung umgekehrt proportional zurdritten Potenz des Abstands r ab und hat für ausreichend große Entfernungen die inAbb. ### gezeigte Charakteristik.

56

Dem Modell des Elementarmagneten kommt aus folgenden Gründen eine große Be-deutung in der Physik zu: Da es bei der Näherung auf die geometrischen Details desStrompfades nicht ankommt – diese können alle ins magnetische Moment ~m „versteckt“werden – beschreibt Gl. 82 das magnetische Feld für egal welche Elementarmagnete ineiner Entfernung, die groß gegen die räumlichen Abmessungen des Elementarmagnetensind. Man könnte sich z.B. jedwede rotierende Stromverteilung durch weitere Leiterschlei-fen als Superposition realisiert denken. Beispielsweise ist auch eine rotierende geladeneKugel in dieser Weise durch ein magnetisches Moment darstellbar. Bei der Berechnungwürde dann zwar der Wert von ~m jeweils ein wenig anders ausfallen, aber am durchGl. 82 gegebenen Feld in großer Entfernung ändert sich nicht. Wir nehmen also für ir-gendwelche Elementarmagnete ~m einfach als gegeben hin und verwenden dann Gl. 82 alsBeschreibung des resultierenden Feldes des Elementarmagneten. Da Magnetfelder wie-derum durch Superposition berechnet werden können, ergibt sich das Magnetfeld einerbeliebigen Anordnung von n = 1, . . . N Elementarmagneten mit dem jeweiligen Beiträgen~Hn als

~H(~r) =

N∑n=1

~Hn =1

4π

N∑n=1

~mn(~r − ~rn)2 − 3(~r − ~rn) [~mn · (~r − ~rn)]

|~r − ~rn| 5(83)

Extrem lange Spule Eine Spule besteht aus hintereinander angeordneten und mitein-ander verbundenen Leiterschleifen. In Abb. ### sind eine zylinderförmige Anordnung(Solenoid) und eine toroidförmige Anordnung gezeigt.Bereits für eine einzelne Leiterschleife lässt sich leicht einsehen, dass das Magnetfeld

im Inneren der Leiterschleife sehr viel größer ist als im Außenraum: Da die Feldliniengeschlossene Kurven sind und alle in den ganzen Raum hinausgreifenden Feldlinien sichnach einem Rundumlauf wieder durch die kleine Fläche der Leiterschleife „quetschen“müssen, ist die Feldliniendichte dort wesentlich größer als die Feldliniendichte im Raum,also ist dort auch die Feldstärke wesentlich höher. Wir untersuchen eine Spule, deren Län-ge L sehr groß gegen ihren Durchmesser ist und betrachten den in Abb. ### skizziertenIntegrationsweg zur Berechnung von

‰~H · d~s =

ˆ(∇× ~H) · d ~A =

ˆ~j · d ~A

Die z-Achse liege entlang der Spulenachse und der Integrationsweg besteht aus vier ge-raden Wegabschnitten C1, C2, C3, und C4. Wenn Sie sich mal eine 1 km lange Spulevorstellen, deren Durchmesser 1 cm ist, dann ist klar, dass man, wenn man die Gebieteum die Spulenenden einmal ausklammert, die entlang der z-Achse liegenden Wegab-schnitte C1 und C3 beliebig entlang der z-Richtung verschieben kann, ohne dass sich amErgebnis der Integration etwas ändert. Ferner liefern die Integrationen auf den Wegab-schnitten C2 und C4 näherungsweise einen entgegengesetzt gleichen Beitrag, so dass ihrGesamtbeitrag ungefähr null ist. Wie wir oben festgestellt haben, ist das Feld im Au-ßenraum vernachlässigbar klein gegen dasjenige im Innenraum. Im Limes setzen wir esim Außenraum null. Daraus folgt, dass das Magnetfeld im Innenraum konstant und über

57

die gesamte Spulenfläche gleich ist. Im Inneren von extrem langen Spulen liegt also (inguter Näherung) ein homogenes Magnetfeld vor. Damit ergibt sich

‰~H · d~s =

ˆ

C1

~H · d~s = Hl

Wenn die Spule insgesamt N Windungen hat und homogen gewickelt ist, so werdenbei einem Integrationsgebiet der Seitenlänge l gerade Nl/L Windungen umfasst. Daherfolgt

´~j · d ~A = NIl/L, wobei I der Spulenstrom ist. Somit ergibt sich für das entlang

der Spulenachse gerichtete homogene Magnetfeld

H = NI/l (84)

Helmholtzspulen Das Magnetfeld der extra langen Spule ist zwar homogen, jedoch istder Raumbereich, in dem dieses homogene Feld herrscht, für einen Experimentator nurschwer zugänglich. Ein in einem Raumbereich hinreichend homogenes, aber gut zugäng-liches Feld kann durch eine Helmholtzspule realisiert werden. Diese besteht aus einemwie in Abb. ###a gezeigten Spulenpaar, dessen Abstand gleich dem Spulenradius ist.Entlang der Achse eines Helmholtz-Spulenpaars entsteht ein Magnetfeld, das man als

Überlagerung des Magnetfeldes zweier Leiterschleifen auffassen kann. Wenn der Stromin beiden Spulen gleichsinnig umläuft, ist die Superposition additiv und es entsteht, wiein Abb. ###b gezeigt, ein Magnetfeld, welches in einem weiten Bereich homogen ist.Wenn man die Ströme entgegengesetzt umlaufen lässt, ist die Superposition subtraktiv.Dann hat das Magnetfeld einen fast linearen Gradienten in Achsenrichtung, wie in Abb.###c gezeigt.

Magnetfeldberechnung in der Technik Im letzten Beispiel, der extrem langen Spule,haben wir uns die Symmetrie des Problems bei der Berechnung zunutze gemacht. Dashatten wir auch ursprünglich beim Magnetfeld eines geraden Drahtes getan. Aber es gibtnur wenige Fälle, wo das so einfach geht, und es sind in der Regel auch nur idealisierteGrenzfälle, die so gelöst werden können. Die Berechnung von Magnetfeldern für gegebeneLeiteranordnungen erfolgt ansonsten in der Praxis über das Biot-Savart-Gesetz, und daskann sehr schwierig sein. Einen kleinen Eindruck davon, wie schwer es ist, mit demBiot-Savart-Gesetz umzugehen, haben Sie bei der Berechnung des Magnetfeldes einesElementarmagneten bekommen, bei dem wir nur eine Näherung (!) des Biot-Savart-Gesetzes verwendet haben.In der Technik müssen oft Magnetfelder in hoher Präzision berechnet werden oder Ma-

gnetfelder von sehr komplexen Spulenanordnungen. Das kann extrem aufwändig sein undmuss fast immer numerisch erfolgen. Dank immer leistungsfähigerer Computer hat es inden letzten vier Jahrzehnten hier große Fortschritte gegeben. Die Verbesserung der Ma-gnetfeldstruktur von Elektronenlinsen in Elektronenmikroskopen führte beispielsweise zueiner Steigerung der Auflösung dieser Mikroskope in den atomaren Bereich hinein. DieFortschritte in der medizinischen Diagnostik hängen auch davon ab, wie hoch das Auf-lösungsvermögen eines Kernspintomographen ist, und das ist nicht zuletzt ein Problem

58

Abbildung 19: a) Helmholtzspule. b) Additive Superposition der Felder der beidenSpulen. c) Subtraktive Superposition zur Erzeugung eines linearenFeldgradienten.

der Berechnung und Realisierung von Magnetfeldern (Abb. 20). Hochaktuell ist derzeitdie Berechnung der komplexen magnetischen Spulenkonfigurationen von Stellaratoran-ordnungen (Abb. 21). An ihnen hängt eine unserer Hoffnungen, dass es vielleicht bis zumJahr 2100 gelingen könnte, den Energiebedarf der dann voraussichtlich auf 20 Milliar-den Menschen angewachsenen Erdbevölkerung mit Kernfusionsreaktoren zu decken. Esist ein recht dramatischer Wettlauf mit der Zeit. Die Brisanz eines Misserfolges dieseszeitkritischen Forschungs- und Entwicklungsvorhabens liegt darin, dass das alternativeZukunftsszenario auch ein Krieg der Nuklearmächte um die letzten Energiereserven derMenschheit sein könnte.

59

Abbildung 20: Magnetspule eines Kernspintomographen und kernspintomographischeAufnahme (©www.radiologie-oko.de).

26. Elektrische Materie

Wir wollen in diesem Abschnitt die grundlegenden Modelle für elektrische und magne-tische Materie entwickeln. Die Themen sind Influenz und Dielektrizität. Materie kannelektrisch ungeladen sein oder geladen. Aber auch für elektrisch insgesamt ungeladeneMaterie gibt es eine Reihe von Beobachtungen, die darauf hinweisen, dass in ihr Ladungbereits vorhanden ist, und zwar gleich viel positive wie negative Ladung, so dass dieMaterie elektrisch neutral erscheint.

26.1. Freie und gebundene Ladungsdichte

Egal ob Leiter oder Nichtleiter, alle elektrischen Phänomene wie Elektrisierbarkeit oderelektrische Leitung deuten darauf hin, dass Materie im Prinzip positive und negative elek-trische Ladung enthält. Da Materie gewöhnlich jedoch die elektrischen Phänomene nichtso ohne weiteres zeigt und uns Materie in der Regel ungeladen erscheint, müssen sich diedarin befindlichen Ladungen gerade in ihrer äußeren Wirkung kompensieren. Sei die po-sitive Ladungsdichte mit %+(~r) und die negative Ladungsdichte mit %−(~r) bezeichnet unddie totale Ladungsdichte, d.h. die Summe der positiven und negativen Ladungsdichte, mit%tot(~r) = %+(~r) + %−(~r). Die Tatsache, dass wir unter normalen Umständen keine elek-trische Wirkung feststellen, bedeutet, dass sich diese beiden Beiträge zur Ladungsdichteim Gleichgewicht auch lokal kompensieren, d.h. wir können von

%tot(~r) = %+(~r) + %−(~r) = 0 (85)

als Gleichgewichtszustand ausgehen.Sobald eine Störung dieses Gleichgewichts vorliegt, ruft dies gemäß Gl. 68 ein elektri-

sches Feld

~E(~r) =1

4πε0

˚~r − ~r′

|~r − ~r′|3%tot(~r

′)d3r′

60

Abbildung 21: Physiker arbeiten mit Hochdruck an der Entwicklung von hochkomple-xen Spulensystemen für Fusionsreaktoren. Links: Spulenanordnung einesStellerators. Rechts: Blick auf eine Spule im Inneren des Kernfusions-reaktors Wendelstein 7-X am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik inGreifswald. (©stellarator2.jpg - Max-Planck-Institut für Plasmaphysik,Wendelstein.jpg - IPP, Foto: Wolfgang Filser)

hervor. Dies kann man auch durch

∇ · ~E = %tot/ε0 (86)

ausdrücken.Die Ladungsdichte trat uns aber auch in einem anderen Zusammenhang entgegen,

nämlich in den Maxwellschen Gleichungen

∇ · ~D = %

∇× ~H = ~j + ~D

die ja so konstruiert waren, dass sie zur Kontinuitätsgleichung

%+∇~j = 0

führen, die den Strömungsaspekt fließfähiger Ladung beschreibt.Nun gibt es einerseits Stoffe wie Metalle oder Salzlösungen, die elektrische Leiter sind,

und in ihnen selbstverständlich auch eine fließfähige Ladungsdichte % oder man sagtauch, eine freie Ladungsdichte %. Sie ist die Größe, die das ~D-Feld bestimmt. An-dererseits gibt es die Isolatoren, für welche wir die Erfahrung gemacht haben, dass dortzwar Ladung aufgebracht werden kann, diese aber nicht ohne weiteres beweglich ist. Sieist gebunden, d.h. es gibt Kräfte, die sie dort halten wollen, wo sie sich gerade befindet.Diese Ladung, so kann man das sehen, ist ähnlich wie die Masse eines harmonischenOszillators an eine Gleichgewichtsposition gebunden. In Materie müssen wir also damitrechnen, dass es neben der freien Ladungsdichte % auch eine ortsgebundene bzw. gebun-dene Ladungsdichte %B gibt. Diese trägt nicht zum ~D-Feld bei. Aber wenn sie im

61

mikroskopischen Bereich aus ihrer Gleichgewichtsposition verschiebbar ist, führt dies zueinem Beitrag zum ~E-Feld.43 Wenn wir die totale Ladungsdichte %tot = %b+%, die für daselektrische Feld von Belang ist, in einen gebundenen und einen freien Beitrag % aufteilen,so ist nur Letzterer für das ~D-Feld wichtig.

26.2. Die Influenz

In diesem Abschnitt wollen wir den Fall besprechen, dass die gebundene Ladungsdichterelativ zur freien Ladungsdichte vernachlässigt werden kann. Wir untersuchen dazu denGrenzfall %B = 0 des idealen Leiters. Wenn keine gebundene Ladung auftritt, liegtnur freie Ladung vor und es gilt:

% = %tot~D = ε0 ~E

Wir betrachten einen idealen Leiter, bei dem die Leitfähigkeit im Inneren überall einenkonstanten Wert σ = σL hat, der in einem idealen Nichtleiter (Isolator) mit der Leitfä-higkeit σ = 0 eingebettet ist, d.h. an seinem Rand fällt die Leitfähigkeit von σ0 auf 0ab. Im Gleichgewichtszustand außerhalb eines elektrischen Feldes bzw. in einem Gebietmit konstantem Potential liegt, wie oben diskutiert, überall im Leiter die Ladungsdichteρ = 0 vor.Wenn man den Leiter in ein Gebiet bringt, in dem äußere Quellen ein variierendes

Potentialfeld ϕ(~r) generieren, so wird sich diese gemäß

~j = −σ∇ϕ = σ ~E (87)

umverteilen. Die lokale Stromdichte, welche diese Ladungsumverteilung bewerkstelligt,wird vom Potentialgradienten44 angetrieben. Im stationären Fall, d.h. wenn alle zeitlichenÄnderungen und somit alle Umverteilungsprozesse an ein Ende gekommen sind, liegt einneues Gleichgewicht vor. Dabei liegt nur noch am Rand ein Potentialgradient vor, undzwar senkrecht zum Rand, denn dort ist σ = 0 und somit ist auch die Stromdichte immernull, egal wie groß der Potentialgradient ist. Auf dem Rand des Leiters hat sich also eineLadungsverteilung gebildet, die ein Potentialfeld im Inneren hervorruft, welches geradedas Potentialfeld der äußeren Ladungen austariert, so dass der resultierende Potential-gradient im Inneren null ist. Dann ist die Ladungsumverteilung abgeschlossen und esliegt ein stationäres Gleichgewicht vor.Wegen 4ϕ = %/ε0 ist die Ladungsdichte im Inneren dann wieder überall null - aber

nicht am Rand! Dort ist die Ladungsverteilung inhomogen, denn sie muss ja das konstanteGesamtpotential im Inneren realisieren. Der Rand ist zwar eine Äquipotentialfläche, d.h.

43nicht aber zum ~D-Feld, das für die Konstruktion der Kontinuitätsgleichung und der Stromdichterelevant ist

44Man kann auch Spannungsgradient sagen, d.h. hier ist ∇ϕ = ∇U

62

eine Fläche mit konstantem Potential.45 Die auf diese Weise auf der Oberfläche einesLeiters vorliegende Ladung nennt man die Influenzladung bzw. die durch Influenzhervorgerufene Flächenladungsdichte σ(~r).46 Selbstverständlich gilt:

˛σ(~r)dA = 0

Die Ladungserhaltung besagt, dass das Oberflächenintegral über die Flächenladungs-dichte null sein muss (wenn der Leiter, wie angenommen, vorher elektrisch neutral ge-wesen ist). Ein Leiter in einem elektrischen Feld wird, wie in Abb. ### skizziert, somitimmer zu einem „Zweipol“ bzw. zu einem Dipol. Das hat mehrere Konsequenzen: Erstensentsteht außerhalb des Leiters ein elektrisches Feld. Zweitens kann durch ein elektrischesFeld auf einen solchen Dipol ein Drehmoment bzw. eine Kraftwirkung ausgeübt werdenund drittens kann die Influenz zur Ladungstrennung herangezogen werden.

26.2.1. Das Dipolfeld

Wenn man einen positiv geladenen Körper an einen Leiter heranführt, führt die Influenzzu einer solchen Ladungsverschiebung, dass der dem positiven Körper nächste Bereichdes Leiters negativ aufgeladen ist und der ihm fernere positiv. Uns interessiert hier dasresultierende Fernfeld dieser influenzierten Ladungsverteilung. Wenn die Entfernung großgenug ist, spielen die Details der tatsächlichen Ladungsverteilung auf dem Leiter kaumeine Rolle und wir können sie durch das idealisierte Modell zweier Punkte mit den ent-gegengesetzten Ladungen q1 = −q0 und q2 = +q0 ersetzen, die eine kleine Distanz dzueinander haben (Abb. ###). Wir wählen ein Koordinatensystem, bei dem die negati-ve Ladung im Ursprung sitzt (~r1 = 0). Die positive Ladung befinde sich am Ort ~r2 = ~d.In der Näherung d r ist das von beiden Punktladungen hervorgerufene Potential amOrt ~r dann:

ϕ(~r) =q0

4πε0

−1

r+

1∣∣∣~r − ~d∣∣∣ ≈ −q0

4πε0r

[−1+

r√r2 − 2~r · ~d

]

≈ q04πε0r

[−1 +

(1 + ~r · ~d/r2

)]=

1

4πε0

~r · ~pr3

Ein Potential der Form

ϕ(~r) =1

4πε0

~r · ~pr3

(88)

45Wenn auf der Oberfläche irgendwo ein Potentialgradient vorliegen würde, so würde dies gemäß Gl. 21so lange eine Stromdichte auslösen, bis die resultierende Ladungsverteilung auf der Oberfläche denPotentialgradienten auf null gebracht hat.

46Vorsicht! Einmal steht das Symbol σ für Leitfähigkeit und ein anderes Mal für die Flächenladungs-dichte!

63

nennt man Dipolpotential. Die hier neu eingeführte Größe ~p heißt elektrischesDipolmoment. Sie ist hier anschaulich durch ~p = q0~d gegeben.47 Wir verwenden daselektrische Dipolmoment jedoch ansonsten unabhängig von dem speziellen Modell, mitdem wir es in Gl. 88 hergeleitet haben, als eine Größe zur Charakterisierung eines belie-bigen elektrischen Dipols. Durch Bildung des Gradienten erhält man 48

~E = −∇ϕ =1

4πε0

(1

r3∇(~r · ~p) + (~r · ~p)∇r−3

)=

1

4πε0

(~p

r3− 3r−4~er(~r · ~p)

)und damit das elektrische Dipolfeld

~E =1

4πε0

(r2~p− 3(~r · ~p)~r

r5

)(89)

Ein Vergleich mit Gl. 82 zeigt, dass das elektrische Feld eines Dipols und das ma-gnetische Feld eines Elementarmagneten im Außenraum die gleiche räumliche Strukturhaben. Die Stärke wird im elektrischen Fall durch das Dipolmoment ~p bestimmt und immagnetischen Fall durch das magnetische Moment ~m. Deshalb wird von einigen Auto-ren das magnetische Moment ~m auch als „magnetisches Dipolmoment“ bezeichnet, wasjedoch irreführend ist, denn es gibt weder magnetische Monopole noch magnetische Di-pole, ja es gibt überhaupt keine magnetischen Pole, weil magnetische Ladungen nichtexistieren.49 Dass das elektrische Dipolfeld und das magnetische Feld eines Elementar-magneten sich fundamental unterscheiden, wird schlagend klar, wenn man sich das Feldim Inneren ansieht. Abb. ## zeigt eine Skizze, bei welcher der innere Feldverlauf inVergrößerung hinzugefügt wurde. Im magnetischen Fall sind die Feldlinien klarerweisegeschlossene Kurven, während sie im elektrischen Fall immer vom positiven Pol (Quelle)ausgehen und im negativen Pol enden (Senke). Auch wenn die beiden Endresultate, Gl.82 und Gl. 89, sehr ähnlich aussehen, so wurden diese Näherungen doch aus sehr unter-schiedlichen Basisgesetzen gewonnen, und man sollte es daher möglichst vermeiden, von„magnetischen Dipolfeldern“ oder gar von „magnetischen Dipolen“ zu sprechen.

26.2.2. Kraftwirkung auf einen Dipol in einem elektrischen Feld

Ein Dipol besteht aus zwei miteinander fest verbundenen Ladungen von gleichem Betragaber unterschiedlichem Vorzeichen. Damit ist klar, dass auf dieses Gesamtsystem in einem

47Verallgemeinerung: Wenn mehreren Punktladungen qi am jeweiligen Ort ~ri vorliegen, für deren La-dungssumme

∑qi = 0 gilt, dann ist das elektrische Dipolmoment dieser Ladungskonfiguration durch

~p =∑qi~ri gegeben.

48Es erleichtert die Berechnung von Gradienten ungemein, wenn man sich merken kann, dass für einenbeliebigen konstanten Vektor ~a gilt, dass ∇(~a · ~r) = ~a. Wenn beispielsweise ~a = ~er = ~r/r derEinheitsvektor in radialer Richtung ist, dann folgt daraus ∇r = ∇(~er · ~r) = ~er. In der nachfolgendenRechnung werden nur diese beiden Formeln sowie die Produkt- und Kettenregel für die Differentiationeingesetzt.

49Wenn Sie mir das nicht abnehmen, weil Sie gerüchtweise schon einmal von einem magnetischen Nordpoloder Südpol gehört zu haben glauben, dann hätte ich da eine interessante Aufgabe für Sie: BetrachtenSie das Magnetfeld eines stromdurchflossenen geraden Drahtes und versuchen Sie klare Kriterienaufzustellen, die festlegen, wo sich der magnetische Nordpol und wo der magnetische Südpol befindet.

64

Abbildung 22: Das Bild zeigt ein Vorlesungsexperiment, bei dem Aluminiumschnipseldurch das elektrische Feld einer geladenen Spitze zu einem Dipol influ-enziert und wegen der Inhomogenität des Feldes zunächst angezogen wer-den. Bei Berührung der Spitze nehmen sie Ladung auf und werden an-schließend abgestoßen.

homogenen elektrischen Feld keine Kraft ausgeübt wird. Wenn das Feld jedoch inhomogenist, wirkt auf den Dipol eine Kraft

~F (~r) ≈ q[~E(~r)− ~E(~r + ~d)

]≈ −q(~d · ∇) ~E = −(~p · ∇) ~E (90)

Betrachten wir hier beispielsweise ein elektrisches Dipolmoment in x-Richtung und einFeld in x-Richtung, d.h. es liegt ein eindimensionales Problem in x-Richtung vor, und wirlassen den Index x weg. Gl. 90 reduziert sich dann auf

F = −pdEdx

Dies führt dazu, dass kleine Aluminiumschnipsel von einer elektrisch geladenen Spitzeangezogen werden, denn in einem elektrischen Feld werden die Aluminiumschnipsel durchInfluenz zu Dipolen. Da das Feld sich in radialer Richtung ändert, werden sie von derSpitze angezogen. Sobald sie jedoch die Spitze berühren, laden sie sich gleichnamig aufund werden sofort von der Spitze wieder abgestoßen. Das Experiment ist in Abb. 22gezeigt.

26.2.3. Drehmoment und Energie eines Dipols in einem homogenen elektrischenFeld

Auch wenn in einem homogenen elektrischen Feld keine Kraftwirkung auftritt, so trittsehr wohl ein Drehmoment ~T = ~r × ~F auf. Es ist durch

~T = ~p× ~E (91)

gegeben. Dies impliziert, dass der Dipol eine von seiner Orientierung relativ zum Feldabhängige potentielle Energie hat. Diese ist durch

Epot = ~p · ~E (92)

gegeben. Das Maximum der potentiellen Energie hat ein Dipol, wenn er parallel zum elek-trischen Feld steht, und sein Minimum erreicht er, wenn er antiparallel zum elektrischenFeld steht.Dieser Umstand, dass sich elektrische Dipole vorzugsweise antiparallel zum lokalen

elektrischen Feld ausrichten, kann man sich zunutze machen, um in Demonstrationsex-perimenten die Feldlinienverteilung eines elektrischen Feldes erfahrbar zu machen.

65

Beispielsweise hat der Physiker Gilbert so das erste Messinstrument für die Untersu-chung elektrischer Felder geschaffen, das Versorium. Wir hatten es bereits in der Einfüh-rung kennengelernt. Es besteht aus einem drehbar aufgehängten Metallstab. Ein elek-trisches Feld bewirkt in ihm durch Influenz eine Polarisierung, die man in erster groberNäherung durch ein elektrisches Dipolmoment beschreiben kann. Dieses Dipolmomentund damit die Stabachse stellt sich entlang des elektrischen Feldes ein.

26.3. Potential und Spannung

Das Potential ϕ(~r) ist ein Begriff aus der Feldtheorie. Es stellt ein Skalarfeld dar, welchesgenauso wie das elektrische Feld ~E(~r) überall im Raum durch eine es generierende La-dung q1 hervorgerufen wird. Während das elektrische Feld im Rahmen einer Nahwirkungdie Kraft ~F = q2 ~E(~r) beschreibt, die irgendeine andere Ladung q2 auf Grund des Feldesan seiner Position, an der es sich gerade befindet, lokal erfährt, beschreibt das Poten-tial phänomenologisch die lokale potentielle Energie Epot = q2ϕ(~r), welche die Ladungq2 besitzt, wenn sie sich am Ort ~r befindet. Die potentielle Energie ist nur bis auf einewillkürliche Konstante bestimmt, und genauso auch das Potential ϕ. Diese willkürlicheKonstante spielt für das elektrische Feld wegen ~E = −∇ϕ ja dann auch keine Rolle. Ge-nauso darf dieses durch die willkürliche Konstante eingeführte Referenzsystem für ϕ bzw.Epot keine Bedeutung für Messungen haben. Relevant ist daher nur die Potentialdifferenzzwischen zwei Ortspunkten, die wir als elektrische Spannung U bezeichnen. Die Größe

U = ϕ(~r2)− ϕ(~r1) (93)

ist also die elektrische Spannung zwischen den Punkten ~r2 und ~r1. Es ist demnach auch:

U =

~r2ˆ

~r1

~E(~r) · d~s (94)

d.h. die elektrische Spannung ist gleich dem Linienintegral des elektrischen Feldes zwi-schen den beiden Punkten. Wenn man eine Ladung von dem einen zum anderen Punktverschiebt, muss man Arbeit leisten. Die Differenz der potentiellen Energie zwischen denbeiden betrachteten Punkten ist gerade

∆Epot = q2U

Das Integral in Gl. 94 ist in der Elektrostatik wegen∇× ~E = 0 unabhängig vom gewähltenIntegrationsweg.Für einen idealen Plattenkondensator50 ist das elektrische Feld aus Symmetriegründen

senkrecht zu den Platten gerichtet. Dann kann man mit dem Gaußschen Satz zeigen,dass das elektrische Feld in seinem Inneren konstant ist. Daher folgt mit Gl. 94 für dieSpannung eines Plattenkondensators

U = d∣∣∣ ~E∣∣∣ (95)

50Idealer Plattenkondensator=unendlich ausgedehnter Plattenkondensator

66

Hier ist d der Abstand der Platten.

26.4. Die Dielektrizitätskonstante

Wir bringen auf einen Plattenkondensator eine Ladung Q auf und füllen den Raumzwischen seinen Platten mit unterschiedlichen Materialien. Wenn diese elektrisch leitendsind, dann entlädt sich der Kondensator. Diesen Fall wollen wir hier ausschließen. Wennman den Zwischenraum z.B. mit einem Metall ausfüllt, dann kann man die Entladungz.B. durch Auftragung eines dünnen nichtleitenden Lacks verhindern. Man beobachtet,dass die Spannung U am Plattenkondensator dadurch kleiner wird und wegen C = Q/Usich also seine Kapazität vergrößert.Ist das Zwischenmaterial ein Metall mit frei beweglichen Ladungsträgern, dann fällt

die Spannung im Limes sogar gegen null. Das ist leicht zu verstehen, denn wie wir beimFaradayschen Käfig diskutiert haben, ist das elektrische Feld im Inneren eines Leiters null,und aus Gl. 94 ergibt sich also null. Das ist genauso bei elektrolytischen Leitern, die manzwischen die Platten bringt, weil die Ladungsträger eines Elektrolyten in der Regel nichtin die metallischen Kondensatorplatten übergehen und somit einen Ladungsausgleichdurchführen können.51 Bei Nichtleitern bzw. den Dielektrika fällt das Feld im Innerenjedoch nicht auf null ab. Es fällt im Inneren vom Feld E0, das bei Vakuum vorliegt, aufein Restfeld E und daher fällt die Spannung nur auf Ed ≤ E0d ab. Den Koeffizienten

ε =Kapazitat mit Materie

Kapazitat ohne Materie(96)

bezeichnet man als relative Dielektrizitätskonstante. Wenn E0 das Feld im Inne-ren für Vakuum ist, so ist das Feld im Inneren eines mit Materie gefüllten Kondensators

E = E0/ε

Wie man sieht, hat Vakuum also ε = 1 und für einen idealen Leiter (dessen Ladung jedochnicht auf die Kondensatorplatten übergehen kann) gilt ε→∞. Für typische Dielektrikawie Polymere liegt ε zwischen 1 und 3, für Wasser bei ungefähr 80 und für ferroelektrischeMaterialien kann der Wert einige Tausend betragen.Die freie Ladung auf den Kondensatorplatten bestimmt das dielektrische Verschie-

bungsfeld ~D, und dieses bleibt unverändert, denn durch das Einschieben von Materiezwischen die Kondensatorplatten hat sich die darauf befindliche Ladung ja nicht geän-dert. Es gilt also auch weiterhin

~D = ε0 ~E0 (97)

Der Zusammenhang mit dem elektrischen Feld im Inneren des materiegefüllten Platten-kondensators ist folglich

~D = εε0 ~E (98)

51Das ist die technologische Grundlage der Elektrolytkondensatoren.

67

Abbildung 23: Hysteresekurve eines Ferroelektrikums (©public domain)

26.5. Elektrete, Pyroelektrizität und Ferroelektrizität

Elektrete In manchen bei Zimmertemperatur nichtleitenden Materialien, beispielswei-se Wachsen, ist es möglich, die Leitfähigkeit durch Temperaturerhöhung um viele Grö-ßenordnungen zu vergrößern. Bringt man das Material dann in ein elektrisches Feld,verschieben sich die Ladungen. Bringt man das Material anschließend im Feld zurückauf Zimmertemperatur, dann können die Ladungen nicht mehr auf ihren ursprünglichenGleichgewichtszustand zurück. Das Material ist quasi-permanent polarisiert und es liegtein elektrischer Dipol vor. Dies nennt man ein Elektret. Durch Erwärmen geht einElektret wieder in seinen Zustand mit Dipolmoment null zurück. Es ist klar, dass dieseine Idealisierung ist, denn selbst sogenannte Nichtleiter leiten, nur eben mit um vieleZehnerpotenzen niedrigerer Leitfähigkeit. Daher geht die Polarisierung eines Elektretenauch verloren, wenn man lange genug wartet.

Pyroelektrizität Bestimmte Kristalle besitzen ein strukturelles permanentes Dipolmo-ment, welches aber aufgrund der, wenn auch sehr niedrigen, Leitfähigkeit, nach einigerZeit verloren geht. Wenn man die Temperatur solcher Kristalle ändert, ändert sich auchderen innere Struktur und damit das elektrische Dipolmoment. Damit ist es sozusagenwieder zurückgewonnen. Dies ruft die sogenannte Pyroelektrizität hervor.

Ferroelektrizität In gewissen pyroelektrischen Kristallen lässt sich das permanente Di-polmoment in einem äußeren elektrischen Feld umschalten. Wenn der Kristall vorherunpolarisiert war, wird er dadurch polarisiert. Dies ist die Ferroelektrizität.52 Eineschematische Hysteresekurve für ein Ferroelektrikum ist in Abb. 23 gezeigt.

26.6. Die Polarisierung

Elektrete, Pyroelektrika und Ferroelektrika sind elektrisch ungeladen, aber permanent po-larisiert. Ferner gibt es, wie bei der Influenz (Kap. 26.2) und der Dielektrizität (Kap. 26.4)diskutiert, auch eine induzierte Polarisierung. Den Zustand der Polarisierung beschreibtman durch die Polarisierungsdichte, d.h. durch das Dipolmoment pro Volumeneinheit.

52Nicht nur die deutsche Kanzlerin Angela Merkel hat Physik studiert, sondern auch ihr langjährigerGegenspieler, der frühere Kanzlerkandidat Oskar Lafontaine. Er hat Bariumtitanat-Einkristalle ge-züchtet, um deren ferroelektrische Eigenschaften zu erforschen.

68

Diese Größe hießt Polarisierung ~P . Sie hängt mit der dielektrischen Verschiebung ~Dund dem elektrischen Feld ~E folgendermaßen zusammen:

~D = ε0 ~E + ~P (99)

Wenn unpolarisierte Materie vorliegt, so gilt die Beziehung, die wir früher verwendethaben, nämlich ~D = ε0 ~E. Die permanente Polarisierung hängt von verschiedenen Um-ständen ab. Sie ändert sich beispielsweise mit der Temperatur (Pyroelektrizität). DiePolarisierung kann aber auch induziert werden, etwa durch ein elektrisches Feld oderdurch Druck.Wie bereits in Kap. 26.4 dargestellt, findet man für die elektrisch induzierte Pola-

risierung im einfachsten Fall den linearen Zusammenhang ~D = εε0 ~E bzw.

~P = ε0χel ~E (100)

Die hier neu eingeführte Größeχel = ε− 1 (101)

heißt elektrische Suszeptibilität.Die Polarisierung kann in einigen Kristallen aber auch durch Druck induziert werden.

Dies ist die Piezoelektrizität. Im einfachsten Fall gilt für die Piezoelektrizität ein linearerempirischer Zusammenhang: ∣∣∣~P ∣∣∣ = dp (102)

In dieser Gleichung ist d ein materialspezifischer piezoelektrischer Koeffizient und p derDruck.

27. Magnetische Materie

Bevor wir zur eigentlichen Besprechung magnetischer Materie übergehen, möchte ichhier einen weiteren wichtigen Begriff einführen, den des magnetischen Moments, und dieGrundlage der magnetischen Motoren.

27.1. Kraft und Drehmoment auf eine Leiterschleife

Mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes können wir das von jeder Leiterkonfiguration her-vorgerufene Magnetfeld berechnen. Bringen wir einen stromdurchflossenen Leiter in dasMagnetfeld, so wirkt auf jedes Längenelement d~l des Leiters die durch Gl. 54 gegebeneKraft53

d~F = µ0Id~l × ~H

53Diese Formel wird noch zu hinterfragen sein, denn sie legt nahe, dass die Kraft auf den Draht einwirkt.In Wirklichkeit wirkt die Kraft auf die sich darin bewegende Ladung ein, die jedoch nicht auf demLeiter heraustreten kann und somit eine Kraft auf den Leiter bewirkt.

69

Wir betrachten eine stromdurchflossene Leiterschleife in einem homogenen Ma-gnetfeld.54 Der Strompfad der Leiterschleife weise Punktsymmetrie auf. Das ist beispiels-weise bei den Standardbeispielen einer rechteckigen oder kreisförmigen Leiterschleife derFall. Dann existiert zu jedem Längenelement d~l am Ort ~r der Stromschleife ein Längen-element am Ort −~r, an dem der Strom in die entgegengesetzte Richtung fließt, d.h. zujedem Kraftelement d~F gibt es ein Kraftelement in entgegengesetzter Richtung. Folglichist die Gesamtkraft auf eine punktsymmetrische Leiterschleife im homogenen Magnetfeldnull.Aus den Überlegungen ist andererseits klar, dass das Drehmoment

~T =

ˆd~T =

ˆ~r × d~F = µ0I

ˆ~r ×

(d~l × ~H

)für Leiterschleifen nicht verschwindet. Die Integration geht hier jeweils über den Pfadder Leiterschleife, ist also eine spezielle Form des Pfadintegrals.

27.2. Kraft, Drehmoment und Energie eines Elementarmagneten imMagnetfeld

In Kap. 25.4 hatten wir Elementarmagnete als kleine kreisförmige Leiterschleifen disku-tiert. Sie wurden durch ihr magnetisches Moment ~m = I ~A charakterisiert, wobei ~A hierder Flächenvektor ist. Bringt man einen Elementarmagneten in ein magnetisches Feld,so ist die Variation des Feldes über die kleine Ausdehnung eines Elementarmagnetengewöhnlich vernachlässigbar und daher die Kraft auf einen Elementarmagneten null.Uns interessiert daher nur noch die Berechnung des Drehmoments. Wir berechnen es

für eine in der x-y-Ebene liegende kreisförmige Leiterschleife bezüglich des Mittelpunktes,d.h. es ist ~r⊥d~l. Unter Verwendung der bac-cab-Formel55 ergibt sich:

~r × (d~l × ~H) = d~l(~r · ~H)− ~H(~r · d~l) = d~l(~r · ~H)

Wir setzen ein:

~r = R

cosϕsinϕ

0

, d~l = R

− sinϕcosϕ

0

dϕ, ~H =

Hx

Hy

Hz

und erhalten

~T = µ0IR²2πˆ

0

(Hx cosϕ+Hy sinϕ)

− sinϕcosϕ

0

dϕ = µ0IπR²

−Hy

Hx

0

= µ0 ~m× ~H

54Unter einer Leiterschleife versteht man einen durch einen Leiter realisierten Strompfad, der geschlossenist bzw. nahezu geschlossen ist.

55bac-cab-Formel: ~a× (~b× ~c) = ~b(~a · ~c)− ~c(~a ·~b)

70

Ein Elementarmagnet erfährt also im homogenen magnetischen Feld ein Drehmoment

~T = µ0 ~m× ~H (103)

Daraus ergibt sich wieder für die potentielle Energie

Epot = µ0 ~m · ~H (104)

Ein Vergleich mit dem elektrischen Dipol (s. Abschnitt 26.2.1 und 26.2.3) zeigt, dass sichElementarmagnet und elektrischer Dipol in vieler Hinsicht sehr ähnlich sind, nämlichbezüglich des Verhaltens im Feld und bezüglich der Struktur des von ihnen bewirktenFeldes in großer Entfernung.Ist das Magnetfeld inhomogen, dann tritt auf ein magnetisches Moment eine Kraft

auf. Diese soll hier nicht hergeleitet, sondern nur der Vollständigkeit halber angegebenwerden:

~F = (~m · ∇) ~B (105)

27.3. Magnetisierung

Es gibt einige Stoffe, bei denen man in einem Magnetfeld ein Drehmoment beobachtet. ImRahmen der Kontinuumsphysik charakterisieren wir das durch ein in ihnen vorhandenesmagnetisches Moment pro Volumeneinheit, die Magnetisierung ~M.56 Wir schreibeneinem magnetisierbaren Körper ein makroskopisches magnetisches Dipolmoment

~m =

ˆ~MdV (106)

zu, für welches dann im homogenen Magnetfeld das Drehmoment ~T = µ0 ~m × ~H beob-achtet wird. Wie die Magnetisierung mikroskopisch zustande kommt, darüber macht dieKontinuumselektrodynamik keine Aussagen.Für unterschiedliche Materialien wird die Magnetisierung phänomenologisch als Funk-

tion des Magnetfeldes ~H, der Temperatur T und anderer thermodynamischer Variablenbeschrieben, also ~M = ~M( ~H, T, . . .). Die Magnetisierung trägt nicht zur Stromdichte ~jfreier Ladungen bei, d.h. die Maxwellsche Gleichung

∇× ~H − ~D = ~j

bleibt auch für magnetische Materie gleich, aber die Gleichungen für die Kraft und dasDrehmoment ändern sich. Anstelle von Gl. 54 und Gl. 103 treten nun:

d~F = µ0Id~l × ( ~H + ~M) = Id~l × ~B (107)

und

56Leider haben wir hier wieder das Problem, dass das Symbol ~M i.A. sowohl für das Drehmoment alsauch für die Magnetisierung verwendet wird.

71

~T = µ0 ~m× ( ~H + ~M) = ~m× ~B (108)

Diese Gleichung besagt, dass beispielsweise auch dann eine Kraft auf einen Leiter auftrittbzw. ein magnetisches Moment ein Drehmoment erfährt, wenn nirgends ein freier Stromfließt, aber ein magnetisiertes Medium vorliegt.Die Größe

~B = µ0( ~H + ~M) (109)

heißt magnetische Flussdichte.Die Magnetisierung kann man in eine Taylorreihe nach dem Magnetfeld entwickeln. Im

einfachsten Fall lässt sie sich durch eine permanente bzw. spontane Magnetisierung ~Msp

und eine vom äußeren Magnetfeld induzierte Magnetisierung ~Mind zerlegen:

~M = ~Msp + ~Mind( ~H) = ~Msp + µ0χmgt ~H + . . . (110)

Die Größe χmgt heißt magnetische Suszeptibilität und ist für isotrope Medien eineMaterialkonstante.

27.4. Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus

Für die große Mehrheit aller Stoffe ist die Spontanmagnetisierung null ( ~Msp = 0). DieMagnetisierung ist daher erst einmal durch die magnetische Suszeptibilität bestimmt. Istsie negativ, spricht man von Diamagnetismus bzw. einem diamagnetischen Materi-al. Ist sie positiv, handelt es sich um Paramagnetismus bzw. ein paramagnetischesMaterial. Anstatt der magnetischen Suszeptibilität kann man auch die relative magne-tische Permeabilität µ zur Materialcharakterisierung heranziehen. Sie ist in isotropenMedien durch

~B = µ0µ ~H = µ0(1 + χmgt) ~H (111)

gegeben, d.h. es ist µ = 1 + χmgt.Ferromagnete sind kristalline Materialien, die für Temperaturen unterhalb der Tem-

peratur TC , der Curietemperatur, eine spontane Magnetisierung aufweisen. Die Ihnenaus dem Alltag geläufigen Permanentmagnete sind aus ferromagnetischen Materialien.Bei Temperaturen oberhalb von TC werden sie paramagnetisch. In Abb. 24 ist die Ma-gnetisierung eines Ferromagneten als Funktion der magnetischen Feldstärke dargestellt.Man erkennt, dass Ferromagnete auch für die Feldstärke null eine Magnetisierung aufwei-sen, die Remanenz Mr. Um die Magnetisierung auf null zu bringen, muss man ein Feldin die entgegengesetzte Richtung anlegen, die Koerzitivkraft bzw. Koerzitivfeld-stärke HC . Die Magnetisierung eines Ferromagneten ist keine (eindeutige) Funktion derMagnetisierung. Man nennt dieses Phänomen Hysterese. Die nicht eindeutige Abbil-dung nennt man die Hysteresekurve bzw. Hystereseschleife. Der Zusammenhangzwischen Magnetisierung und Feldstärke ist erkennbar nichtlinear, jedoch kann man ihnabschnittsweise als lineare Funktion ansehen, etwa in einem kleinen Bereich um ~H = 0.Die magnetische Suszeptibilität kann hier mehrere Größenordnungen über jener einesParamagneten liegen.

72

Abbildung 24: Hysterese-Kurve bzw. Hystereseschleife eines Ferromagneten. Aufgetragenist die Magnetisierung als Funktion der magnetischen Feldstärke. Die roteKurve ist die Neukurve.

27.5. Elektromagnet

Eine wichtige technische Anwendung weichmagnetischer57 Materialien mit hohemµ > 105 (z.B. sog. Weicheisen) sind Elektromagnete (Abb. ###). Wenn man insInnere einer Spule ein Material (Medium) mit hohem µ einsetzt, ruft das vom Stromerzeugte magnetische Feld ~Hi im Inneren des Mediums eine um den Faktor µ größereFlussdichte bzw. Feldliniendichte ~Bi = µ0µ ~H hervor. An einer Grenzfläche ~A zwischenMedium und Außenraum ist die zu ~Bi · ~A = Bi,⊥A proportionale Anzahl der Feldliniengleich jener im Außenraum, denn wegen ∇ · ~B = 0 sind die Feldlinien des ~B-Feldesgeschlossene Kurven. Daher gilt für die Komponente B⊥senkrecht zur Grenzfläche, dasssie dort stetig ist, d.h. es gilt58

Ba,⊥ = Bi,⊥ (112)

Somit gilt für das Magnetfeld im Außenraum: Ha⊥ = Ba⊥/µ0 = Bi⊥/µ0 = µHi⊥. Fürdie senkrecht zur Grenzfläche in den Außenraum tretende Magnetfeldkomponente Ha⊥tritt – verglichen mit einer Spule ohne Medium – im Außenraum ein um den Faktor µhöheres Magnetfeld auf.

57Weichmagnetische Materialien sind z.B. ferromagnetische Materialien mit sehr kleiner Remanenz.58Dieses Ergebnis kann man auch mit dem Gaußschen Satz direkt aus ∇ · ~B = 0 ableiten.

73

Abbildung 25: Elektromagnet mit weichmagnetischem Kern

27.6. Elektromotor und Drehspul-Amperemeter

Um das Funktionsprinzip eines Elektromotors zu verstehen, betrachten wir eine rechteck-förmig gewickelte, drehbare Spule mitN Windungen, d.h ausN Leiterschleifen bestehend(Drehspule). Dies ist ein näherungsweises Modell der Spulen, die man in Elektromotorenüblicherweise findet. Es seien ~a und ~b Vektoren entlang der beiden Seiten, deren Beträgegleich den entsprechenden Seitenlängen sind. Der Flächenvektor ist dann ~A = ~a×~b. Wiein Abb. ### skizziert, sei die Seite ~a senkrecht zur Zeichenebene und parallel zur Dreh-achse orientiert. Das Magnetfeld ~H (Abb. ###) stehe senkrecht auf ~a. Das Drehmomentbezüglich der Drehachse ergibt sich folgendermaßen:59

~T = µ0NI~b×(~a× ~H −~b× ~H

)Das ist das N -fache des Drehmoments einer einzelnen Leiterschleife. Bei diesem Resultatmuss man den Umlaufsinn des Stromes beachten. Mit Hilfe der bac-cab-Regel erhält man:

~b×(~a× ~H −~b× ~H

)= ~a(~b · ~H)− ~H(~a ·~b)−~b(~a · ~H) + ~H(~a ·~b) = − ~H × (~a×~b) = ~A× ~H

Daraus folgt~T = µ0NI ~A× ~H (113)

Wie in Abb. ### gezeigt, erhält man ein Messinstrument für Ströme, ein Dreh-spulamperemeter, wenn die Spule in einem konstanten Magnetfeld steht und man dasDrehmoment auf eine mit einem Zeiger versehene Spiralfeder wirken lässt.Das Drehmoment auf eine stromdurchflossene Drehspule ist die Grundlage mehrerer

Messinstrumente zur Messung von Gleichstrom, Wechselstrom, Wechselspannung undelektrischer Leistung. Von diesen möchte ich nur das Prinzip des Drehspulamperemetersbesprechen:

Drehspulamperemeter

Ohne das entgegengesetzte Drehmoment würde sich die Spule so lange drehen, bis dieFläche senkrecht zum Feld steht, denn dann ist das Drehmoment null. Diese Lage iststabil.60

Wenn man eine fortlaufende Drehung erzeugen will, also einen Motor, muss das Dreh-moment stets von null verschieden sein und in der gleichen Richtung wirken. Ich möchtehier exemplarisch drei Prinzipien besprechen, wie man das bewerkstelligen kann:

Polwendermotor59Bei der Rechnung wird die bac-cab-Regel verwendet.60Wenn man darüber hinaus drehen würde, würde das Drehmoment in die entgegengesetzte Richtung

wirken, also rücktreibend zur stabilen Lage.

74

Abbildung 26: Drehfeldmotor, Quelle: Wikipedia

Wenn man einen Elektromotor mit einer Gleichstromquelle betreiben möchte, muss man,wie in Abb. ### gezeigt, einen Polwender verwenden, der die Stromrichtung beimNulldurchgang des Drehmoments umkehrt.

Synchronmotor

Hier verwendet man einen Wechselstrom zum Betrieb des Elektromagneten, der dasMagnetfeld ~H erzeugt. Ein Wechselstrom ändert ständig die Stromrichtung, und wenndiese Richtungsänderung periodisch erfolgt und die Frequenz gleich der Umlauffrequenzder Drehspule ist, liegt ein konstantes Drehmoment vor. Man kann genauso gut denStrom der Drehspule mit Wechselstrom betreiben und den Motor in einem konstantenMagnetfeld betreiben. Wichtig ist nur, dass die Drehperiode und die Wechselstromperiodegleich sind, dass also Wechselstrom und Drehung synchron verlaufen.

Drehfeldmotor

Indem man zwei senkrecht zueinander angeordnete Elektromagnete (26) mit Wechsel-strom der Frequenz ω = 2πν betreibt, der um 90° phasenverschoben ist, erzeugt man einMagnetfeld, das mit einer Frequenz ν rotiert, erfährt eine mit der Frequenz ν rotierendeSpule ein permanent antreibendes Drehmoment.

28. Induktion

28.1. Das Induktionsgesetz

Ich möchte Ihnen das Induktionsgesetz gleich ohne Umschweife hinschreiben und an-schließend seine Konsequenzen diskutieren. Es lautet:

∇× ~E + ~B = 0 (114)

Die im Rahmen der Elektrostatik verwendete Gleichung ∇× ~E = 0, Gl. 58, ergibt sichhieraus für ~B = 0. Daher gibt es kein Potential ϕ mehr, wenn zeitlich veränderlichemagnetische Flussdichten auftreten. Die durch das Integral

75

UB − UA =

B

A

~E · d~s (115)

berechnete Spannung UB −UA zwischen zwei Ortspunkten A und B ist nicht mehr iden-tisch mit einer Potentialdifferenz, denn es gibt kein Potential mehr, wenn ∇ × ~E 6= 0.Die Spannungsdifferenz zwischen dem Punkt A und B hängt vom Weg ab. Insbesonderegilt für einen geschlossenen Weg

˛~E · d~s

Das kann man leicht aus Gl. 114 ableiten, indem man das Integral über eine vom ge-schlossenen Weg umrandete Fläche A berechnet und den Stokesschen Satz verwendet:

ˆ(∇× ~E) · d ~A+

ˆ~B · d ~A = 0

˛~E · d~s = −Φ (116)

Hier haben wir als neue Größe den magnetischen Fluss

Φ =

ˆ~B · d ~A (117)

eingeführt. Gl. 116 besagt, dass in einer Leiterschleife eine elektrische Spannung induziertwird, wenn sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife zeitlich ändert. DiesesPhänomen der Induktion wurde von Michael Faraday entdeckt, und ich möchte mitIhnen nun einige experimentelle Demonstrationen zum Induktionsgesetz besprechen:

Stromkreise im Magnetfeld Ein Stromkreis besteht aus elektrischen Baukomponen-ten, die mit Leitern bzw. Kabeln zusammengeschlossen sind. Wie die Bezeichnung „Kreis“nahelegt, bildet das System aller dieser Elemente einen geschlossenen Pfad. Wenn derStromkreis von einem magnetischen Fluss durchflutet wird, genügt bereits eine zeitlicheÄnderung der Leiterkonfiguration, welche die umschlossene Fläche verändert, um darineine Spannung zu induzieren. Wir können z.B. die beiden Eingänge eines Voltmeters miteinem langen Kabel verbinden und den magnetischen Fluss durch Bewegen der Leiter än-dern, indem wir die vom Stromkreis eingeschlossene Fläche ändern oder den Stromkreisin Bereiche mit unterschiedlichem Magnetfeld bringen. Das führt zu einer Spannung, dieam Voltmeter angezeigt wird. Man muss dieses Phänomen wegen des Erdmagnetfelds bei-spielsweise berücksichtigen, wenn man hochempfindliche Präzisionsmessungen im Labordurchführen möchte. Wenn man nämlich die Leiterkonfiguration der Kabel versehentlichverändert, kann man ein störendes Spannungssignal induzieren.

76

Abbildung 27: Induktive Kopplung, Quelle: Wikipedia

Induktive Kopplung Wir betrachten zwei Spulen, die nach Abb. 27 angeordnet sind.Wenn in der ersten Spule (Primärspule) ein zeitlich sich änderndes Magnetfeld erzeugtwird, wird in der zweiten Spule (Sekundärspule) eine Spannung induziert. Die Kopplungzwischen dem primären und sekundären Stromkreis erfolgt über den magnetischen Fluss.Wenn das erwünscht ist, kann man den Effekt optimieren, indem man beide Spulen aufein Material mit hohem µ wickelt, z.B. einen gemeinsamen Ferritkern. Dann läuft durchbeide Spulen der gleiche hohe magnetische Fluss. Manchmal ist die induktive Kopplungjedoch unerwünscht. Wenn in einem von zwei Stromkreisen ein Stromsignal auftritt,61

so kann es geschehen, dass es über die induktive Kopplung den zweiten Stromkreis inunerwünschter Weise beeinflusst.62

Induktiver Generator Wenn man eine Spule in einem Magnetfeld so bewegt, dass sichdarin der magnetische Fluss ändert, wird eine Spannung generiert. Ein einfaches Beispielhierzu sind zwei Drehspulamperemeter, die man miteinander verbindet. Wenn man einesdavon schüttelt, wird im anderen ein Strom angezeigt. Das erste Gerät dient dabei alsGenerator, weil in ihm durch die mechanische Bewegung seiner Spule im Magnetfeld eineSpannung induziert wird, der einen Strom im Kreis antreibt. Dieser wird im zweitenGerät angezeigt. Das kleine Experiment zeigt schlagartig drei Möglichkeiten auf, diestechnisch einzusetzen:

1. als Indikator für mechanische Bewegung (Sensor)

2. für die Übermittlung von Signalen (Signalgeber)

3. zur Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische Energie (Generator)

28.2. Induktions- und Selbstinduktionskoeffizienten

Mit dem magnetischen Fluss Φ haben wir einen neuen Schlüsselbegriff für die Analyseelektrischer Netzwerke kennengelernt. Wir betrachten zwei Strompfade, 1 und 2, wobei61Ein Stromsignal bedeutet, dass sich der Strom zeitlich ändert.62Jeden Stromkreis kann man als eine Spule mit einer einzigen Windung ansehen.

77

Abbildung 28: Generator, Quelle: Wikipedia

der Erstere das Magnetfeld erzeuge63 und im zweiten durch die zeitliche Änderung desMagnetfeldes eine Spannung induziert wird.64

Falls nur para- oder diamagnetische Materialien im Spiel sind, gilt für den Fluss durchdie Fläche des geschlossenen Strompfads 2:65

Φ2 =

ˆ

A2

~B1 · d ~A =

ˆ

A2

(∇× ~A1) · d ~A =

ˆ

C2

~A1 · d~s2 = µµ0I1

ˆ

C2

ˆ

C1

d~s1 · d~s2|~r1 − ~r2|

Bei der letzten Umformung wurde Gl. 77 verwendet. Es gilt also

Φ2 = L21I1 (118)

mit dem Induktionskoeffizienten

L12 = µµ0

ˆ

C2

ˆ

C1

d~s1 · d~s2|~r1 − ~r2|

(119)

der nur von der Anordnung der beiden Strompfade im Raum abhängt. Da man dieRechnung auch ganz genauso für den magnetischen Fluss Φ1durch die Fläche des ersten

63Im Falle einer Spule nennt man dies die Feldspule64Im Falle einer Spule nennt man dies die Induktionsspule65Vorsicht! Das Symbol ~A taucht hier in zwei Bedeutungen auf, nämlich einmal als Flächenvektor und

dann als magnetisches Vektorpotential. Wenn Sie diese Formel verstehen wollen, müssen Sie zuerstanalysieren, wo das eine und wo das andere gemeint ist.

78

Strompfads ausführen kann, der von einem Strom im zweiten Strompfad hervorgerufenwird, gilt auch

Φ1 = L12I2 (120)

mit der Relation für die Induktionskoeffizienten

L12 = L21 (121)

Selbstverständlich geht das von einem Strompfad erzeugte Magnetfeld auch durch dieFläche des eigenen Strompfades. Die Kurven C2 und C1 fallen dann zusammen. Dermagnetische Fluss durch den eigenen Strompfad ist proportional zum Strom durch denStrompfad:

Φ = LI (122)

Man bezeichnet die Größe L als Induktionskoeffizienten des Strompfads bzw. als Selbst-induktionskoeffizienten. Mit Hilfe der Induktionskoeffizienten kann man das Induk-tionsgesetz folgendermaßen schreiben:

U2 = −L21I1 (123)

Die in einem Stromkreis 2 induzierte Spannung ist der zeitlichen Änderung der Stromstär-ke im Stromkreis 1 proportional und die Proportionalitätskonstante ist der gemeinsameInduktionskoeffizient L21. Die durch Selbstinduktion erzeugte Spannung ist

U = −LI (124)

Die physikalische Einheit für die Induktionskoeffizienten heißt Henry und hat die Ab-kürzung „Hy“. Es gilt:

1 Hy = 1 Vs/A (125)

Auch wenn mit Gl. 119 eine gute Näherungsformel zur Verfügung steht, ist die Berech-nung von Induktionskoeffizienten meist aufwändig. Eine exaktere Berechnung ohne dieseNäherungsformel ist nur noch numerisch möglich. Daher werden die Induktionskoeffizi-enten meist experimentell ermittelt.Ein Modellfall, bei dem die Berechnung sehr einfach möglich ist, ist der Fall zweier

langer Spulen, die vom gleichen Fluss durchflossen werden, beispielsweise, weil man sieineinander wickelt oder den magnetischen Fluss wie beim Transformator durch einenWeicheisenkern lenkt, so dass er durch beide Spulen geht. Aus Gl. 84 für das Magnetfeldfolgt für den Fluss, der durch den Strom I in der Spule 1 hervorgerufen wird:

Φ1 = µµ0IN1A/l = IN1A/l

wobei hier l die Länge und A die Querschnittfläche der Spule 1 ist. Da dies zugleich derFluss durch die zweite Spule ist, d.h. Φ2 = Φ1, wird in den N2 Windungen die N2-fache

79

Abbildung 29: Schaltsymbol einer Spule, Quelle: Wikipedia

Induktionsspannung einer einzelnen Windung hervorgerufen, also die Induktionsspan-nung U = −L21I mit

L21 = µµ0N1N2A/l (126)

Entsprechend beträgt der Selbstinduktionskoeffizient für eine Spule mit N Windungenbzw. einer Windungsdichte N/l:

L = µµ0(N/l)2V (127)

28.3. Ein- und Ausschaltvorgänge

Jede elektrotechnische Baukomponente und somit jedes elektrische Bauteil oder Gerätkann man durch ein Ersatzschaltbild karikieren, in dem einige seiner Eigenschaftendurch Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten modellmäßig repräsentiert werden.Für die Induktivität steht das Spulensymbol (Abb. 29).Als Beispiel sei eine Komponente66 betrachtet, die durch einen Widerstand und eine

Induktivität dargestellt werden kann, die in Serie geschaltet sind (Abb. ###b). DasErsatzschaltbild des Stromkreises besteht wie in Abb. ###c gezeigt aus Spannungsquelle(Steckersymbol), Schalter, Spule und Widerstand R1, die in Serie geschaltet sind. Wirlegen eine Umlaufrichtung für den Strom fest und zählen alle Spannungen positiv undden Spannungsabfall negativ. Dies führt auf die Gleichung

U −R1I + Uind = 0

Hier resultiert U aus der durch die konstante, am Stecker anliegende und durch denSchalter zuschaltbare Spannung U0 und Uind = −LI ist die Induktionsspannung an derInduktivität L. Vor dem Einschalten sind U und der Strom I null, nach dem Einschalten

66Das kann beispielsweise eine Bohrmaschine, ein Staubsauger oder irgendein anderes Gerät sein.

80

ist U = U0. Das zeitliche Verhalten des Stromes I(t) nach dem Einschalten ergibt sichaus der Differentialgleichung

LI +R1I = U0

Sie hat die Lösung

I(t) = I0 [1− exp(−t/τ)]

Die stationäre Stromstärke I0 = U0/R1 wird nicht sofort, sondern mit einer durch dieZeitkonstante τ = L/R bestimmten Verzögerung erreicht. Die Verzögerung kann mansehr schön durch den Vergleich zweier parallel geschalteter Glühlampen demonstrieren,wenn man einer davon eine Induktivität vorschaltet.Wenn man den Ausschaltvorgang mit dem bisherigen Stromkreis in Betracht zieht,

würde im Moment des Ausschaltens, wenn also der Strom von einem endlichen Wert aufnull springt, die Induktionsspannung unendlich groß werden. Das ist nicht realistisch.Wir ergänzen daher das Modell des Ersatzschaltbildes durch einen parallel zu L undR1 geschalteten Widerstand R2 (Abb. ###c). Im eingeschalteten stationären Betriebfließt durch Widerstand 1 der Strom I1 = U0/R1 und durch Widerstand 2 der StromI2 = U0/R2. Vom Augenblick des Abschaltens an übernimmt die Spule die Rolle einerSpannungsquelle und treibt einen Strom durch beide Widerstände an:

−(R1 +R2)I + LI = 0

Der Strom nimmt gemäß I(t) = I(0) exp(−t/τ) mit der Zeitkonstanten τ = L/(R1 +R2)ab. Als Anfangsbedingung gilt: I(0) = I1. Dieser Strom muss nach dem Öffnen des Schal-ters nun aber auch durch R2 fließen, d.h. an R2 muss dann eine Spannung U2 = R2I1 =(R2/R1)U0 anliegen, die wesentlich größer werden kann als U0.67Man kann das Phänomendemonstrieren, indem man den Widerstand 2 durch eine Glühbirne realisiert. Bei hoherInduktion blitzt sie beim Ausschalten heller auf als im stationären Betrieb. InduktiveSpannungsspitzen können beim Ausschalten eines Geräts zu Funkenüberschlägen führenoder das Gerät sogar zerstören.

28.4. Spule und Kondensator als Energiespeicher

In Abschnitt 28.3 wurde gezeigt, dass nach Abschaltung einer Spule von einer Spannungs-quelle diese selbst für eine Weile als Spannungsquelle fungiert und einen Strom liefert.Die abgegebene Leistung beträgt:

P = UindI = (R1 +R2)I0 exp(−t/τ) I0 exp(−t/τ) = (L/τ)I20 exp(−2t/τ)

und die magnetisch gespeicherte Energie ergibt sich dann gemäß

67Für R2/R1 → ∞ ergibt sich der anfangs diskutierte Grenzfall unendlich großer Induktionsspannung.Die Induktionsspannung über der Spule ist noch größer, nämlich Uind(0) = (1 +R2/R1)U0.

81

Em =

∞

0

P (t)dt =1

2LI20 (128)

Man spricht deshalb von magnetisch gespeicherter Energie, weil die Spannungsquellebeim Einschalten ein Magnetfeld aufgebaut hatte. Daher auch die Einschaltverzögerung,denn zunächst stand ein Teil der von der Spannungsquelle gelieferten Energie nicht fürden Widerstand als Verbraucher zur Verfügung und wurde von der Spule für die Er-zeugung des Magnetfeldes abgezwackt. Wenn man hier wieder L = µµ0(N/l)²V (Gl.127) einsetzt und für das Magnetfeld der Spule im stationären Betrieb H0 = (N/l)I0berücksichtigt, kann man auch

Em/V =1

2~B · ~H (129)

hierfür schreiben. Die magnetische Energiedichte Em/V , so kann man diese Gleichunginterpretieren, ist durch das magnetische Feld realisiert.Wenn man einen Kondensator mit einer äußeren Spannungsquelle auf eine Spannung

U0 gebracht hat und anschließend über einen Widerstand entlädt, nehmen gemäß Gl. 24Strom und Spannung U(t) = RI(t) ebenfalls exponentiell ab: I(t) = I0 exp(−t/τ). Dieabgegebene Leistung ist

P (t) = RI20 exp(−2t/τ)

woraus sich die elektrisch gespeicherte Energie

Ee =

∞

0

P (t)dt =1

2CU2

0 (130)

ergibt. Wenn man hier wieder C = εε0A/d einsetzt, erhält man für die Energiedichte deselektrischen Feldes

Ee/V =1

2~D · ~E (131)

Einem Gebiet, in dem sich elektrische und magnetische Felder überlagern, lässt sich soeine Energiedichte des elektromagnetischen Feldes zuschreiben, die durch

Eem/V =1

2~B · ~H +

1

2~D · ~E

gegeben ist.

29. Wechselstrom

Unter Wechselstrom versteht man einen Strom wechselnder Polarität. Hier wollen wiruns ausschließlich mit den sich sinusförmig mit der Zeit ändernden Wechselströmen be-schäftigen, weil sie erstens technisch von Bedeutung sind und sie uns zweitens gestatten,eine wichtige Rechenmethode kennenzulernen, die auf komplexen Zahlen beruht.

82

29.1. Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl c = a+ib besteht aus einem Realteil a und einem sich davon durch dieimaginäre Einheit i unterscheidenden Imaginärteil b. Für das Quadrat der imaginärenEinheit gilt

i2 = −1 (132)

Zu jeder komplexen Zahl c gibt es eine komplex konjugierte Zahl c = a − ib. Mit ihrerhält man den Real- und Imaginärteil sowie das Betragsquadrat von c gemäß:

<(c) =1

2[c+ c] =

1

2[(a+ ib) + (a− ib)] = a (133)

=(c) =1

2i[c− c] =

1

2i[(a+ ib)− (a− ib)] = b (134)

|c|2 = cc = (a+ ib)(a− ib) = a2 − iab+ iab− i2b2 = a2 + b2 (135)

Hier steht < bzw. = symbolisch für die Bildung des Real- bzw. Imaginärteils. Diesedrei Gleichungen demonstrieren zugleich die grundlegenden mathematischen Axiome fürdie Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. Damit kann man beispielsweise denKehrwert der komplexen Zahl c folgendermaßen berechnen:

1

c=

c

cc=

c

|c| ²=

a− iba² + b2

(136)

Die besondere Bedeutung der komplexen Zahlen liegt darin, dass man mit ihnen jedealgebraische Gleichung lösen kann, auch solche, die im Reellen keine Lösung haben. Bei-spielsweise hat die Gleichung x2 + 9 = 0 keine reelle Lösung, weil man keine Wurzel auseiner negativen Zahl ziehen kann. Wegen Gl. 132 hat diese Gleichung über dem Körperder komplexen Zahlen jedoch die Lösungen x = ±3i.Mit komplexen Zahlen lassen sich insbesondere Beziehungen zwischen Winkelfunktio-

nen elegant berechnen. Dazu definieren wir die Funktion

eiα = exp(iα) = cosα+ i sinα (137)

Man rechnet leicht nach, dass

eiαeiβ = (cosα+ i sinα) (cosβ + i sinβ)

= cosα cosβ − sinα sinβ + i [cosα sinβ + cosβ sinα]

= cos(α+ β) + i sin(α+ β)

= ei(α+β)

Das erspart einem das umständliche Rechnen mit den Additionstheoremen der Winkel-funktionen.Komplexe Zahlen können in der zweidimensionalen Ebene durch kartesische Koordi-

naten dargestellt werden, wenn man den Realteil als x-Koordinate und den Imaginärteil

83

als y-Koordinate interpretiert. Die x-Achse bezeichnet man dann als reelle Achse und diey-Achse als imaginäre Achse. Man kann aber auch Polarkoordinaten verwenden:

c = reiϕ (138)

In dieser Darstellung bezeichnet man reiϕ als Amplitude, r =√cc als Betrag und

ϕ = arctan(a/b) als Phase.

29.2. Wechselstrom und Wechselspannung

In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir unter einem Wechselstrom einenSpezialfall verstehen, nämlich einen zeitlich periodischen Strom der Form

I(t) = I0 cos(ωt+ ϕ) (139)

Als Ursache wird eine Wechselspannung

U(t) = U0 cos(ωt) (140)

angesehen. Ist die Phasenverschiebung ϕ positiv, so sagt man im Fachjargon: „DerStrom hinkt der Spannung nach“. Im anderen Fall: „Der Strom eilt der Spannung voraus“.Wir können diese Beziehungen auch komplex ausdrücken, indem wir schreiben:

I(t) = I0ei(ωt+ϕ) = I0e

iϕeiωt (141)

und stillschweigend vereinbaren, dass von solchen Ausdrücken immer der Realteil zu neh-men ist, denn physikalische Größen sind grundsätzlich reelle Zahlen. Die Größe I0eiϕ istdie komplexe Amplitude des Stroms. In den nachfolgenden Rechnungen treten Ableitun-gen nach der Zeit auf, die nur den Phasenfaktor exp(iωt) betreffen:

d

dteiωt = iωeiωt

Da der Faktor eiωt in linearen Differentialgleichungen in jedem Term auftritt, kann manihn herauskürzen und sich auf die Berechnung der Amplitude konzentrieren. Diese rechne-rische Vorgehensweise soll in den nachfolgenden drei grundlegenden Beispielen vorgeführtwerden:

Resistivität In einem nur aus ohmschem Widerstand R und einer Spannungsquelle be-stehenden Stromkreis gilt U − RI = 0. Wenn man hier Gl. 140 einsetzt, kann man dieGleichung durch Gl. 139 als Ansatz lösen und erhält I0 = U0/R sowie ϕ = 0. Alternativkann man U = U0 exp(iωt) einsetzen und als Lösung Gl. 141 ansetzen. Dann erhält mandas gleiche Resultat: Strom und Spannung sind in Phase und es gilt

U0 = RI0 = ZRI0 (142)

84

Kapazität In einem nur aus einer Kapazität C und einer Spannungsquelle bestehendenStromkreis kompensiert die Spannung am Kondensator gerade die äußere Spannung:U −Q/C = 0. Somit gilt

U = I/C

Im Gegensatz zum vorhergehenden Beispiel des ohmschen Widerstandes ist die Rechnungim Komplexen nun einfacher. Man erhält:

U0 =1

iωCI0 = ZCI0 (143)

Der Vorfaktor 1/i = e−iπ/2 besagt, dass der Strom in den Zuleitungen der Spannung amKondensator um π/2 vorauseilt.

Induktivität In einem nur aus einer Induktivität L und einer Spannungsquelle beste-henden Stromkreis kompensiert die Induktionsspannung gerade die äußere Spannung:U + Uind = U − LI = 0. Daraus folgt

U0 = iωLI0 = ZLI0 (144)

Der Strom hinkt hier der Spannung hinterher.

Die neuen Größen ZR = R, ZC = 1iωC und ZL = iωL sind Beispiele für komplexe

Widerstände. Mit ihnen kann aus dem Betrag und der Phase für eine gegebene Strom-amplitude I0 die Spannungsamplitude U0 sowie die Phasenverschiebung zwischen Stromund Spannung ermittelt werden.

29.3. Impedanz

Die neuen Größen ZR = R, ZC = 1iωC und ZL = iωL, die im vorhergehenden Abschnitt

eingeführt wurden, sind Beispiele für komplexe Widerstände bzw. Impedanzen. Auseiner Impedanz Z kann man ermitteln, wie groß der Betrag einer Stromamplitude und diePhasenverschiebung des Stromsignals sind, die von einer Wechselspannung hervorgerufenwerden:

U0 = ZI0eiϕ (145)

Analog zum Vorgehen bei Gleichstrom analysiert man das Verhalten von Geräten undelektronischen Komponenten durch Modellnetzwerke, die durch ein Ersatzschaltbild defi-niert sind, in dem Resistivitäten, Kapazitäten und Induktivitäten symbolisch durch Wi-derstände, Kondensatoren und Spulen repräsentiert werden. Wenn man jede in diesemErsatzschaltbild auftretende Komponente durch den ihr zuzuschreibenden Term ersetzt,erhält man eine lineare Differentialgleichung bzw. ein System linearer Differentialglei-chungen, in dem externe Spannungsquellen eine Inhomogenität gemäß Gl. 140 beisteu-ern. Lineare Differentialgleichungen dieser Art können durch den Ansatz Gl. 141 dannberechnet werden. Aus der Differentialgleichung wird dann eine algebraische Gleichung,

85

Abbildung 30: Hoch- und Tiefpassfilter, Quelle: Wikipedia

aus der die Impedanz berechnet werden kann. In Grundzügen haben wir das im vorher-gehenden Abschnitt für die elementaren Elemente Widerstand, Kondensator und Spulebereits getan. Im nächsten Abschnitt werden wir diese Methode auf komplexere Netz-werke anwenden.

29.4. Filter

Für sehr hohe Frequenzen ω geht der komplexe Widerstand einer Kapazität gegen nullund für sehr kleine Frequenzen geht er gegen unendlich. Für eine Induktivität ist es um-gekehrt. Eine Kapazität stellt also einem Wechselstrom einen hohen Widerstand bei nied-rigen Frequenzen entgegen und nur einen niedrigen Widerstand bei hohen Frequenzen.Bei Spulen ist es umgekehrt. Diese beiden Bauelemente dämpfen periodische Signale inunterschiedlicher Weise und dienen somit als Frequenzfilter. Ein Kondensator lässthochfrequente Signale passieren. Man spricht dann von einem Hochpassfilter. EineSpule stellt entsprechend ein Tiefpassfilter dar.68

Wenn man daher eine Kapazität und eine Induktivität in Serie schaltet, wie in Abb.### gezeigt, dann stellt diese Anordnung sowohl für hohe als auch niedrige Frequenzendem Strom einen hohen Widerstand entgegen, während im mittleren Frequenzbereich dieAnordnung durchlässig wird. Die Impedanz dieser Schaltung ist die Summe der Impe-danzen von Spule und Kondensator, d.h.:

Z = iωL+1

iωC=

1

iωC

[1− ω2LC

](146)

Fürω = ω0 =

1√LC

(147)

verschwindet die Impedanz und die Schaltung verhält sich so, als ob sie nicht vorhandenwäre, d.h. man kann sie symbolisch dann durch einen Draht ersetzen. Das nennt manein Bandpassfilter, weil es ein Frequenzband um die Mittenfrequenz ω0 herumpassieren lässt. Das hier diskutierte Beispiel ist das allereinfachste seiner Art, doch können68Auf diese Weise kann man z.B. prinzipiell die elektrischen Signale eines Audioverstärkers nach Fre-

quenzbereichen trennen und die Signale höherer Frequenz einem darauf spezialisierten Lautsprecherzuführen und die anderen dem Basslautsprecher.

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die Berechnungen beliebig komplexer Schaltungen dieser Art nach dem analogen Musterausgeführt werden. Die Bezeichnungen Hochpassfilter, Tiefpassfilter und Bandpassfilterbeziehen sich auf die Funktion dieser Elemente und gelten in einem allgemeinen Sinne.Diese drei Funktionen können nämlich technisch durchaus auf ganz andere Art realisiertwerden als (wie in unserem Beispiel) durch Spule und Kondensator.

29.5. Wechselstrom-Leistung

Die elektrische Leistung, die an ein Gerät abgegeben wird, ist gleich der daran anliegendenSpannung multipliziert mit der Stromstärke. Ist sie negativ, gibt das Gerät Leistung nachaußen ab. Für einen Wechselstrom gilt also:

P (t) = I(t)U(t) = I0 cos(ωt+ ϕ)U0 cos(ωt)

= I0U0 [cosϕ cosωt− sinϕ sinωt] cos(ωt)

= 2PW cos2 ωt+ 2PB cosωt sinωt

Der erste Beitrag mit der Wirkleistung genannten Amplitude

PW =1

2I0U0 cosϕ = IeffUeff cosϕ (148)

stellt eine stets in gleicher Richtung abgegebene Leistung dar. Beim zweite Beitrag mitder Blindleistung genannten Amplitude

PB =1

2I0U0 sinϕ = IeffUeff sinϕ (149)

wird in jeder Periode T genauso viel Leistung zugeführt wie entnommen, also im zeitlichenMittel nichts. Der zeitliche Mittelwert

〈P 〉 =1

T

T

0

P (t)dt = Pw (150)

der von einem Gerät aufgenommenen Leistung ist demnach gerade die Wirkleistung. Mitdem eckigen Klammersymbol 〈〉 wird eine Mittelwertbildung angezeigt, hier eine zeitlicheMittlung über eine Periode. Auf Messgeräten für Wechselstrom bzw. Wechselspannungwerden meist die Effektivwerte Ieff = I0/

√2 und Ueff = U0/

√2 angezeigt.

Im Fall einer reinen Resistivität ist ϕ = 0. Ein Widerstand nimmt nur Wirkleistungauf. Die Blindleistung ist null. Für eine reine Kapazität ist ϕ = +π/2 und für eine reineInduktivität haben wir ϕ = −π/2. Daher tritt hier nur Blindleistung auf.

29.6. Transformator

Die induktive Kopplung wird im Transformator zur verlustarmen Spannungstransfor-mation herangezogen.69 Die Spannungs-Strom-Transformation hat in der Elektrotechnik

87

Abbildung 31: Ausführungsformen von Transformatoren, Quelle: Wikipedia (Kern-und Ringtrafo, kleiner Trafo, UI-Kerntrafo, Spule mit Schalenkern,Streufeldtrafo)

oft eine ähnliche Funktion wie die Kraft-Weg-Transformation durch Hebel oder schiefeEbene o.Ä. in der Mechanik.Eine der vielen Ausführungsformen eines Transformators zeigt Abb. 31. Ein Transfor-

mator besteht im einfachsten Fall aus zwei im gleichen Sinn gewickelten Spulen 1 und 2mit den Windungszahlen N1 bzw. N2, die durch einen geschlossenen magnetischen Fluss-pfad miteinander gekoppelt sind. Diese magnetische Kopplung kann z.B. durch einenweichmagnetischen Kern realisiert werden, der einen geschlossenen Pfad durch beideSpulen bildet. Die durch eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φm hervorge-rufenen Induktionsspannungen sind

Uind,1/N1 = −ΦM = Uind,2/N2

Wenn 1 die Primärspule mit einer anliegenden Spannung U1 = −Uind,1 ist und 2 dieSekundärspule, an der die Spannung U2 = Uind,2 abgenommen werden kann, so gilt:

U1

U2= −N1

N2(151)

Bei einem idealen Transformator soll die eingangsseitig benötigte Leistung gleich derausgangsseitig entnommenen Leistung sein. Da in realen Transformatoren Verluste auf-treten, muss selbstverständlich eingangsseitig eine größere Leistung zur Verfügung gestelltwerden, als ausgangsseitig entnommen werden kann. Die heute technisch realisierbarenTransformatoren kommen einem idealen Transformator jedoch recht nahe.Hochstromtransformatoren werden z.B. für Schmelzöfen oder beim Schweißen einge-

setzt. Hochspannungstransformatoren spielen eine wichtige Rolle bei der Fernübertragungvon elektrischer Leistung.

69In diesem Abschnitt beschränke ich mich darauf, einige prinzipielle Aspekte des Transformators zubehandeln. Eine ausführlichere Beschreibung findet man z.B. in W. Demtröder, Experimentalphysik2. Für das genaue Verhalten von Transformatoren für unterschiedliche Impedanzen im Sekundärkreissowie die vielfältigen Einsatzgebiete von Transformatoren in der Elektrotechnik und Elektronik seiauf die Fachliteratur verwiesen.

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Abbildung 32: Leistungsübertragung von einer zentralen Dampfmaschine über Wel-len und Transmissionsriemen auf die Werkbänke einer Fabrik des 19.Jahrhunderts.

29.7. Elektrotechnik: Wendepunkt in der Geschichte der Menschheit

Zu Letzterem, nämlich zur Fernübertragung elektrischer Energie anknüpfend, möchte icheinen kurzen historischen Rückblick auf die Bedeutung der Elektrotechnik werfen. Eineder wichtigsten Voraussetzungen für die erste industrielle Revolution zu Ende des18. Jahrhunderts war die Erfindung der Dampfmaschine, deren physikalische Grund-lagen wir im Rahmen der Thermodynamik erarbeitet haben. Sie stellte eine gewaltigeLeistung zur Verfügung, die in Fabriken auf die einzelnen Werkbänke aufgeteilt werdenkonnte. Dies geschah im frühen 19. Jahrhundert mechanisch. Wenn man sich Bilder einerFabrik des frühen 19. Jahrhunderts ansieht, so ist sie durchzogen von Wellen und vielenTransmissionsriemen (Abb. ###). Am Ende des 19. Jahrhunderts sind sie praktischverschwunden. Sie wurden durch die „Transmissionsriemen“ des elektrotechnischen Zeit-alters abgelöst, die elektrischen Kabel, mit denen Energie von einem entfernten Generatorüberall dorthin gebracht werden kann, wo sie benötigt wird.Moderne industrielle Fertigung wäre ohne die Errungenschaften der Elektrotechnik

nicht denkbar. Sie leitete die zweite industrielle Revolution ein. Dieser epochaleSchritt in der Menschheitsgeschichte wurde durch drei Erfindungen ausgelöst: den dyna-moelektrischen Wechselstromgenerator (Werner von Siemens), den Wechselstrommotor(Nikola Tesla) und den Transformator (Zipernowsky70, Déri71 und Bláthy72). NikolaTesla, in Österreich-Ungarn geboren, studierte in Graz. Nach ihm ist die Einheit für diemagnetische Flussdichte benannt:

[B] = 1 Tesla = 1 Vs/m2

70Geboren in Wien, Studium in Budapest71Studium in Wien72Studium in Wien

89

Abbildung 33: Schwingkreis, Quelle: Wikipedia

30. Elektromagnetische Schwingungen

30.1. Schwingkreis

Wie gerade diskutiert, tritt bei Kapazitäten und Induktivitäten nur Blindleistung auf.Diese sind jedoch gegenphasig. Wenn man daher eine Spule und einen Kondensator wiein Abb. 33 gezeigt zusammenschaltet und mit einer äußeren Wechselspannung betreibt,gibt das eine elektrische Bauteil gerade Blindleistung ab, während das andere paralleldazu Blindleistung aufnimmt, und in der nächsten Viertelperiode ist es dann geradeumgekehrt, d.h. die beiden Bauteile schieben sich, die Energie periodisch hin- und her,ähnlich wie wir das beim mechanischen harmonischen Oszillator für den Anteil der kine-tischen und potentiellen Energie kennengelernt haben. Durch die Blindleistung entstehtalso eine harmonische Schwingung. Die in Abb. ### gezeigte Schaltung von Kapazitätund Induktivität nennt man daher einen Schwingkreis.

Um die Eigenfrequenz zu bestimmen, betrachtet man die Summe der in Kondensatorund Spule gespeicherten Gesamtenergie E. Aus Gl. 130 und Gl. 128 folgt

Ee + Em =1

2C−1q2 +

1

2Lq2 = E (152)

Wenn man dies mit der Energiebilanz

Epot + Ekin =1

2kx2 +

1

2mx2 = E

90

eines mechanischen harmonischen Oszillators mit der Federkonstante k vergleicht, soerkennt man, dass auch ein Schwingkreis einen harmonischen Oszillator darstellt, beidem die Ladung gemäß

q(t) = q0 cosω0t (153)

mit der Eigenfrequenz

ω0 =1√LC

(154)

eine ungedämpfte Schwingung ausführt. Fügt man zusätzlich einen Widerstand in denSchwingkreis ein, so spielt er die Rolle eines Dämpfungsterms. Legt man an den gedämpf-ten Schwingkreis eine äußere Spannung mit einer von ω0 verschiedenen Kreisfrequenz ωan, so beobachtet man die charakteristischen Phänomene einer erzwungenen Schwingung,insbesondere die Erscheinung der Resonanz.

30.2. Die Lenz-Regel

Der Vergleich des mechanischen mit dem elektromagnetischen harmonischen Oszillatorzeigt auf, dass die Induktivität L für die elektromagnetischen Erscheinungen dieselbeRolle spielt wie die Masse m in der Mechanik: Sie bewirkt eine „Trägheit“ gegenüberStromänderungen (die das Analogon der Beschleunigung sind). Dies ist der Inhalt derLenz-Regel:

Durch Induktion entstehende Ströme, Spannungen oder Kräfte wirken ihrer Ursacheentgegen.

Beginnen wir beispielsweise mit einem auf die Spannung U geladenen Kondensator ineinem Schwingkreis. Die Spannung kann man als Ursache des Stromes sehen, der durchdie Spule getrieben wird und der aufgrund seiner zeitlichen Änderung einen sich zeitlichändernden magnetischen Fluss hervorruft. Daraus resultiert eine InduktionsspannungUind = −Lq, die proportional zur Beschleunigung der Ladungsänderung ist. Die Induk-tionsspannung ist also analog zur Trägheitskraft Finertia = −mx, so dass gilt:

U + Uind = 0

U = Lq

in Analogie zu

F + Finertia = 0

F = mx

Das Vorzeichen der Trägheitskraft Finertia ist gerade so, dass die von der Kraft F geleis-tete Arbeit bzw. die Abnahme einer entsprechenden potentiellen Energie anschließend in

91

der kinetischen Energie steckt. Analog gewährleistet das negative Vorzeichen in FaradaysInduktionsgesetz

Uind = −Φm

dass die elektrisch geleistete Arbeit anschließend in der magnetischen Energie steckt. DasVorzeichen ist also letztendlich im Energieerhaltungssatz begründet.

31. Elektromagnetische Wellen

Die Relativitätstheorie begrenzt die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischerWechselwirkungen durch die c-Geschwindigkeit. Das gibt dem Elektromagnetismus keineSonderstellung, denn das gilt selbstverständlich für jede andere Wechselwirkung genauso.Diese Begrenzung gilt insbesondere für den Energietransport durch Wellen.Für Schallwellen kann die c-Geschwindigkeit also ebenfalls nicht überschritten werden.

Diese prinzipielle Einsicht hilft uns aber bei der Frage, wie groß die Schallgeschwindigkeitin einem konkreten Fall ist, kaum weiter. Man muss das ausgehend von den Materialglei-chungen her ableiten. Für die Schallgeschwindigkeit von Gasen hatten wir beispielsweisev =

√p/ρ0 gefunden. Da das im Prinzip unendlich groß werden kann, lag der Herleitung

offensichtlich eine nichtrelativistische Theorie zugrunde, was für typische Schallgeschwin-digkeiten im Alltag unproblematisch ist.Wir wollen uns nun in diesem Kapitel der Aufgabe zuwenden, die Geschwindigkeit

elektromagnetischer Wellen konkret zu berechnen.Betrachten wir zum Einstieg einen elektrischen Schwingkreis aus einer Spule und ei-

nem davon durch einen Schalter getrennten Kondensator. In dem Moment, wo man denSchalter schließt, wandern Ladungen über den Leiter ab und erzeugen durch den Spulen-strom ein Magnetfeld. Wenn die Kondensatorplatten sehr weit ausgedehnt sind, brauchtes jedenfalls eine bestimmte Zeit, bis die Ladungen alle über den kontaktierenden Drahtabgeflossen sind, und wegen der Endlichkeit von c kann ein Teil der Ladungen um dieKontaktstelle bereits abgeflossen sein, ohne dass sich die Ladungsdichte in großer Entfer-nung davon verändert hat, denn sie „weiß“ ja noch nichts von der geänderten Situation.Bislang haben wir diese Problematik nicht beachtet und so getan, als ob überall auf demKondensator die Entladung „instantan“ und homogen passiert.Wir gehen nun zu einem Extremfall über, bei dem man sich die Spule „abgewickelt“

und die Kondensatorplatten zu einem Draht auszogen denkt. Dann wirkt jede Stelledieses Drahtes sowohl als Induktivität wie Kapazität, ist sozusagen ein Spulen- undKondensatorelement zugleich. In dieser idealisierten Form stellt dies ein Modell für dieLecherleitung dar. Wenn man sich diesen Grenzfall vor Augen hält, dann werdendabei sowohl die Induktivität als auch die Kapazität extrem klein bzw. die Frequenzν = ω/2π = (LC)−1/2 der als Schwingkreis verstandenen Lecherleitung extrem hoch.Der Schwingungsvorgang kann dann nicht mehr über die gesamte Lecherleitung homo-gen ablaufen. Das resultierende Phänomen kann man experimentell untersuchen, indemman mit einer kleinen Spule den durch das Magnetfeld induzierten Strom abgreift undmit Hilfe eines Signalverstärkers misst. Alternativ kann man die elektrische Feldstärke

92

um eine Lecherleitung herum durch eine Glimmlampe sichtbar machen. Man stellt fest,dass in regelmäßigen Abständen Maxima und Minima auftreten. Am offenen Ende derLecherleitung ist ein Spannungsbauch und ein Stromknoten, am geschlossenen Ende istes umgekehrt. Es treten also stehende Wellen in einer ähnlichen Weise auf, wie wir dasvon der Akustik her kennen. Wenn man für eine gegebene Frequenz analog zur Akustikdie Wellenlänge λ bestimmt, so zeigt sich experimentell, dass die Wellengeschwindigkeitv = λν in der Größenordnung von einigen Zehnteln der Lichtgeschwindigkeit liegt.73 DieRelativitätstheorie muss also für solche Wellen auf jeden Fall berücksichtigt werden.Wenn wir einen eindimensionalen Vorgang mit einer Ladungsdichtewelle ρ(t, x) =

ρ0 cos(ωt− kx) und eine entsprechende Stromdichtewelle j(t, x) = j0 cos(ωt− kx) anset-zen, so folgt aus der Kontinuitätsgleichung, dass sie gleichphasig sind und die Amplitudenüber j0 = vρ0 mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v = ω/k der Welle zusammenhängen.Nun sind diese Ladungs- bzw. Stromwellen aber nicht unabhängig, sondern über die Max-wellgleichungen mit den elektromagnetischen Feldern gekoppelt. Diese Kopplung erweistsich, wie wir gleich sehen werden, für die Ausbreitungsgeschwindigkeit als wesentlich.Wir gehen von den folgenden Materialgleichungen eines linearen Mediums aus: ~D =

εε0 ~E, ~B = µµ0 ~H und ~j = σ ~E und erhalten als Wellengleichung dann daraus die Tele-grafengleichung (

∇2 + µσµ0∂

∂t− εε0µµ0

∂2

∂t2

)~B = 0 (155)

Für einen Isolator mit σ = 0 hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v =√

1/εε0µµ0 derdadurch beschriebenen Welle ganz wesentlich von den Relationen zwischen den Feldernab. Diese sind nun so, dass sich aus ε0 und µ0 gerade die relativistische Grenzgeschwin-digkeit c =

√1/ε0µ0 ergibt. Die Relativitätstheorie fordert dann εµ ≥ 1. Da im Vakuum

ε = µ = 1 gilt, wird im Vakuum für die elektromagnetische Wellenausbreitung die c-Geschwindigkeit erreicht. Die elektromagnetische Wellengleichung im Vakuum lautet(

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)~B = 0 (156)

Die Lösung kann beispielsweise eine linear mit dem konstanten Vektor ~B0 polarisierteWelle sein:

~B(t, ~x) = ~B0 cos(~k · ~x− ωt) (157)

wobei hier gilt ω = c∣∣∣~k∣∣∣. Hier ist ω = 2πν die Kreisfrequenz und ~k der Wellenvektor.

Wegen ∇ · ~B = 0 und somit ~B0⊥~k ist die magnetische Wellenkomponente eine Trans-versalwelle und, da im Vakuum keine Ladungen im Spiel sind, gilt dies auch für dieelektrische Wellenkomponente.Diese beiden Eigenschaften, nämlich die Ausbreitung mit c-Geschwindigkeit und die

Transversalität der Welle, führten im Rahmen der Klassischen Physik zur Identifikati-on des Lichtes als eine klassische elektromagnetische Welle. Dieses ab 1864 verwendete73In der Vorlesung ergab sich für 400 MHz ein Wert von v = 0.5c auf der Lecherleitung!

93

höchst erfolgreiche Modell des Lichtes musste jedoch nach 1905 wieder in Frage gestelltwerden.74

741905 zeigte Einstein, dass Licht als Korpuskularstrahlung anzusehen ist.

94

Teil V.AtomismusElemente und Atome sind Begriffe, die sich zunächst einmal in der griechischen Philoso-phie finden. Sie haben nur eine entfernte Ähnlichkeit mit dem, was wir heute darunterverstehen. Unsere heutigen Begriffe entwickelten sich beim Übergang von der Alchemiezur Chemie im 17. und 18. Jahrhundert.

32. Von der Alchemie zur Chemie

32.1. Die Grundgesetze der Chemie

Mit der Zunahme der Kenntnisse der Alchemie kristallisierte sich zunächst einmal der Ge-danke der chemischen Elemente heraus. Das waren Stoffe, die sich mit den damaligenMethoden nicht mehr in noch elementarere Stoffe zerlegen ließen. Schon diese Definiti-on lässt erahnen, wie schwer es war, Elemente als solche zu identifizieren. Alle anderenStoffe ergaben sich als Verbindungen dieser Elemente und wurden deshalb chemischeVerbindungen genannt. Den chemischen Elementen wurden schon bald Symbole zuge-ordnet. Heute ordnet man z.B. dem Wasserstoff das Symbol H (Hydrogenium) und demSauerstoff das Symbol O (Oxygenium) zu.Die Unterscheidung von Elementen und Verbindungen schuf erst einmal eine qualitative

Ordnung für das Verständnis des Naturgeschehens, aber noch keine quantitative. Die kamerst durch die Verwendung der Waage. Grundlage der frühen Chemie sind zwei aus denExperimenten induktiv gezogene Schlüsse:75

1. Gesetz der MassenerhaltungDie Summe der Massen aller Produkte vor und nach einer chemischen Reaktion sind

gleich.

2. Gesetz der multiplen ProportionenBei einer chemischen Reaktion setzen sich die Elemente und Verbindungen nur in

bestimmten Massenverhältnissen um.

Man fand beispielsweise heraus, dass sich Wasserstoff und Sauerstoff stets in einemMassenverhältnis von 1:8 miteinander verbanden. Aus den beiden chemischen Grundge-setzen ergab sich beispielsweise, dass sich eine Stoffmenge von 1 g Wasserstoff und eineStoffmenge 8 g Sauerstoff zu einer Stoffmenge von 9 g Wasser verbanden.

Mit diesen Gesetzen ließen sich Rezepte für Chemiker formulieren, etwa wenn sie ausden Zutaten Wasserstoff und Sauerstoff die Verbindung Wasser „backen“ wollen. Auch

75Das von Lavoisier formulierte Gesetz der Massenerhaltung gilt in ausgezeichneter Näherung: Die fürchemische Reaktionen auftretenden Abweichungen liegen im Bereich von 10−9 und sind, wenn mannicht außergewöhnlich präzise Methoden verwendet, im Rahmen der in der Chemie üblichen Mess-genauigkeit nicht feststellbar. Das Gesetz der multiplen Proportionen geht auf John Dalton zurück.

95

Kuchen backen ist Chemie, und wenn man eine doppelt so schwere Sachertorte backenwill als im Grundrezept angegeben, dann muss man dazu die doppelte Menge aller Zuta-ten des Rezepts einsetzen. Nun nehmen wir es beim Kuchenbacken damit nicht ganz sogenau, und wenn mal eine Messerspitze Butter mehr dazu kommt, dann schmeckt der Ku-chen genauso gut. Das Gesetz der multiplen Proportionen verlangt aber bestimmte festeMassenverhältnisse. Bei präziserer Messung erwiesen sie sich jedoch nur näherungsweiseals ganzzahlig, jedoch nicht als exakt ganzzahlig.

32.2. Valenz, Mol und Molmasse

Durch Vergleich sehr vieler Verbindungen wurde man zum Begriff der Wertigkeit oderValenz geführt und erkannte, dass zwei äqui-valente (daher Valenz!) Stoffmengen Was-serstoff und eine äquivalente Stoffmenge Sauerstoff gerade eine äquivalente StoffmengeWasser ergaben. Damit ließ sich der Begriff der Stoffmenge eines chemischen Ele-ments entwickeln, die je nach Element unterschiedlichen Massen entsprach. Im Rahmender damaligen Messgenauigkeit repräsentierte für Wasserstoff jene Stoffmenge, welchedie Masse 1 g hatte, genau eine Stoffmengeneinheit, der man die Maßeinheit 1 Mol zu-ordnete. Die gleiche Stoffmenge Sauerstoff war dann zwar nicht exakt ein ganzzahligesVielfaches dieser Masse, aber doch ungefähr: 1 Mol Sauerstoff hatte eine Masse von un-gefähr 16 g.Wenn man wusste, dass Sauerstoff 2-wertig war, d.h. die doppelte Wertigkeitvon Wasserstoff besaß, dann galt für den Umsatz in einer chemischen Reaktion mit demneuen Stoffmengenbegriff:

2ν MolH + 1ν MolO = 1ν MolWasser

Hier ist ν die Molzahl, die für eine konkrete Reaktion angibt, wieviel Mol umgesetztwurden. Mit dem Begriff der Stoffmenge lässt sich das Gesetz der multiplen Proportionenjetzt folgendermaßen nachschärfen:

Gesetz der multiplen Proportionen

Bei einer chemischen Reaktion setzen sich die Elemente und Verbindungen nur inganzzahligen Mengenverhältnissen um.

Das Neue an dieser Formulierung ist die Ganzzahligkeit des Verhältnisses. Um dasGesetz in dieser Weise sinnvoll verwenden zu können, musste eine Tabelle der Massenaller Elemente erstellt werden, die einem Mol entsprachen: die Molmassen.Den heutigen Genauigkeiten genügt der Wasserstoff als Mol-Standard nicht mehr. Heu-

te definiert man:

1 Mol ist eine Stoffmenge, der für Kohlenstoff eine Masse von exakt 12 g entspricht.

Mit „exakt“ möchte ich hier ausdrücken, dass alle nachfolgenden Kommastellen nullsind, denn es handelt sich um eine Definition und nicht um einen empirischen Wert.

96

Der in der Luft vorkommende Luftsauerstoff erwies sich nicht als chemisches ElementSauerstoff (O), sondern als Verbindung des chemischen Elementes mit sich selbst, wofürman O2 schreibt. Die chemische Reaktionsgleichung hierfür lautet:

O + O→ O2

Daher hat 1 Mol Luftsauerstoff mit 32 g die doppelte Masse von 1 Mol des chemischenElements Sauerstoff. In dieser Notation entsteht die mit H2O bezeichnete VerbindungWasser gemäß

2H + O→ H2O

oder gemäß

2H2 + O2 → 2H2O (158)

je nachdem, ob man die Reaktion mit elementarem Wasserstoff und Sauerstoff durchführtoder mit den Verbindungen H2 und O2. Diese Verbindungen werde ich im Folgenden alsWasserstoffgas und Sauerstoffgas bezeichnen. Diese ganzzahlige Notation einer chemi-schen Verbindung ist erst durch den Begriff der Stoffmenge möglich. Stoffmenge undMasse sind nicht identisch, sondern einander proportional. Wenn man die chemische Re-aktionsgleichung also mit Massen statt Mengen formuliert, dann würde die Reaktiongenau genommen folgendermaßen lauten:

2, 02g H2 + 32, 00g O2 → 34, 02g H2O (159)

32.3. Atome und Moleküle

Vergleicht man die in Masseneinheiten formulierte Reaktionsgleichung, Gl. 159, mit derdurch die Stoffmengen formulierte Reaktionsgleichung, Gl. 158, dann geht es nicht nurum eine einfachere Formulierung der Naturgesetze. Mit dem Übergang vom Massenbegriffmit seiner Einheit Kilogramm zum Stoffmengenbegriff mit seiner Einheit Mol wurde einepochaler Paradigmenwechsel in der Naturphilosophie vollzogen, nämlich von der Konti-nuumsvorstellung der Materie zur atomistischen Vorstellung der Materie, und zwar durchdie vom Gymnasiallehrer John Dalton im Jahr 1808 formulierte Hypothese, dass Elemen-te und Verbindungen aus kleinsten Urbausteinen bestehen, nämlich Materiequanten,die jeweils eine charakteristische Masse haben. Die Urbausteine der Elemente werdenAtome genannt, die der Verbindungen Moleküle. Die Daltonsche Hypothese stellt ei-ne atomistische Interpretation der in Mol formulierten chemischen Reaktionsgleichungendar.76

Das war ein radikaler Schritt, denn er widersprach der bis hierhin von den Physikern soerfolgreich ausgearbeiteten Kontinuumstheorie der Materie. Um es dramatisch genug aus-zudrücken: Der Atomismus widerspricht jener Modellvorstellung, die wir über die letzten76Im Folgenden werde ich von Atomismus oder Atomhypothese sprechen, ohne zwischen Atomen und

Molekülen weiter zu unterscheiden. Es ist dabei immer beides gemeint, nämlich die Hypothese, dassalle Stoffe aus kleinsten Teilchen bestehen.

97

neun Kapitel dieses Skriptums hindurch so konsistent verwendet haben. Die Kontinui-tätsgleichung setzte beispielsweise diese Kontinuierlichkeit der Materie streng voraus,denn für eine aus Atomen bestehende Materie hat die Divergenz einer Stromdichte keineklare Bedeutung mehr. Es muss uns daher nicht wundern, dass von Daltons Atomhypo-these bis zur allgemeinen Anerkennung des Atomismus der Materie in der Physik zweiJahrhunderte vergehen.77 Einige wichtige Zwischenschritte auf diesem langen Weg möch-te ich in den folgenden Abschnitten nachzeichnen. Doch möchte ich zum Schluss nocheinmal klar herausstellen, dass man der Daltonschen Atomhypothese nicht zwingend fol-gen musste, wenn man chemische Reaktionsgleichungen in der einfachen ganzzahligenForm aufschreiben wollte. Man konnte sich ohne weiteres auf den Standpunkt stellen,dass die Aufstellung der Tabelle der Molmassen der chemischen Elemente nur eine che-mische Rechenmethode begründet, die gestattet, chemische Reaktionsgleichungen nuneinfacher zu formulieren. Und damit konnte man an der Kontinuumsvorstellung ohneweiteres festhalten.

32.4. Die Avogadrozahl

Für Gase kam man experimentell zur verblüffenden Feststellung, dass eine Stoffmengevon einem Mol – egal ob Element oder Verbindung – unter gleichen Bedingungen stetsdas gleiche Volumen einnahm. Unter Normalbedingungen (0°C und Atmosphärendruck)nahm 1 Mol stets ein Volumen von 22.4 Liter ein. Wenn man 22.4 Liter Wasserstoffgasabwog, war die Masse 2g und wenn man 22.4 Liter Sauerstoffgas abwog, war sie 32g. Dasbewog Avogadro dazu vorzuschlagen, dass in diesem Volumen stets die gleiche AnzahlAtome oder Moleküle vorhanden ist, die Avogadrozahl NA. Die Stoffmenge 1 Molwar nach seiner Hypothese dasselbe wie eine Anzahl von NA Teilchen. Mit der Avoga-drozahl erhält der chemische Stoffmengenbegriff eine atomistische Deutung.78Auch dieAvogadrozahl war rein hypothetisch und es gelang erst Josef Loschmidt, Professor ander Universität Wien, auf Basis der Atomhypothese die Größenordnung dieser Zahl zubestimmen. Für die „Religionsgemeinschaft“ der Atomisten, also diejenigen, die unbe-dingt an die Existenz von Atomen glauben wollten, hatte die Avogadrozahl von nun anauch einen konkreten Zahlenwert, nämlich

NA = 6.0 · 1023 (160)

d.h. die Stoffmenge von einem Mol stellt danach eine Stoffmenge von NA atomistischenTeilchen dar.

77In der Chemie fand die Atomhypothese viel früher Akzeptanz, aber die Physiker pflegten als geschultePhilosophen und Mathematiker an eine Theorie eben weit strengere Maßstäbe anzulegen als dieChemiker jener Zeit. Angesichts des Erfolgs der Kontinuumstheorie widersprach das konsistente undstreng logische Gebäude der physikalischen Theorie jedenfalls auf das Schärfste der Atomhypothese.Die Chemiker waren übrigens mit einer atomistischen Deutung der Materie nicht alleine: Die vonMineralogen untersuchten Kristalle weisen charakteristische Winkel zwischen den Flächen auf, dieschon sehr früh als Folge der Stapelung von elementaren Einheitszellen interpretiert wurden undebenfalls einen atomaren Aufbau der Materie nahelegten.

78Zwingend ist das überhaupt nicht. Man kam in der damaligen Chemie auch ganz gut ohne die Avoga-drozahl aus. Die Beschreibung der Stoffmenge durch 1 Mol genügte vollauf.

98

33. Kinetische Gastheorie

Die kinetische Gastheorie untersucht mechanische Modelle von Systemen, die aus vielenTeilchen bestehen. Als Einstieg gehen wir hier zunächst einmal von einem besonderseinfachen Fall aus: Die Teilchen sollen alle die gleiche Masse m0 haben, kugelförmig seinund durch elastische Stöße miteinander wechselwirken. Die Werte der kinetischen Energieund des Impulses eines individuellen Teilchens ändern sich also ständig. Wenn solcheModelle eine realistische Beschreibung eines Gases werden sollen, reden wir hier überTeilchenzahlen N in der Größenordnung der Avogadro-Zahl. Bei dieser großen Zahl ist essinnlos, eine individuelle Beschreibung der Bewegung jedes einzelnen Teilchens ausgehendvon seinen Anfangsbedingungen anstreben zu wollen.79 Es lässt sich aber eine statistischeBeschreibung des Ensembles der Teilchen durch ausgewählte Parameter durchführen, dieman mit Messungen gültig vergleichen kann. Die hier beschriebene Situation begründetden Zweig der Physik der Vielteilchensysteme mit ihren speziellen theoretischenUntersuchungsmethoden. Im vorliegenden Fall ist die kinetische Gastheorie unser Einstiegin ein spezielles Teilgebiet der Physik der Vielteilchensysteme, nämlich die statistischeThermodynamik.

33.1. Molwärme

Für ein ideales Gas hatten wir die Zustandsgleichung

pV = m(cp − cv)T = νNAm0(cp − cv)T

gefunden. Wenn man sich in einer Tabelle die Zahlenwerte für die auf die Masse bezoge-ne spezifische Wärmekapazität bzw. für die Differenz cp − cv ansieht, dann variieren dieWerte ohne erkennbare Regelmäßigkeit. Als man jedoch diese Werte mit den Molmas-sentabellen auf die von den Chemikern favorisierte Stoffmengeneinheit umrechnete unddie Molwärmen CV und Cp bei konstantem Volumen bzw. Druck einführte, kam manzu einer zunächst verstörenden Erkenntnis: Die Differenz Cp − Cv der Molwärmen warfür alle Gase nahezu gleich!Je besser die Gase sich dem Verhalten des idealen Gases annäherten, desto genauer kon-

vergierte diese Differenz gegen den Wert R ≈ 8 J/Mol ·K. Man nennt diesen Grenzwertdie universelle Gaskonstante bzw. ideale Gaskonstante. Die Kontinuumsphy-sik stand diesem Resultat, das nun auf einmal Chemie und Thermodynamik verknüpfte,verständnislos gegenüber. Die Zustandsgleichung eines idealen Gases ließ sich damit durch

pV = νRT (161)

ausdrücken.Die Zustandsgleichung in der Form von Gl. 161 hatte zur Folge, dass man sich nun auch

in der Physik mit Daltons atomistischen Ideen auseinandersetzen musste. Gab es seineAtome wirklich? Dagegen stand erst einmal das Gewicht aller Resultate der Physik, so79Es ist z.B. sinnlos, weil man in der Praxis keinen Vergleich zwischen den theoretischen Resultaten und

den Messungen durchführen könnte.

99

wie sie bis zum Ende des 19. Jahrhunderts vorlag. Die erste Frage, die man an dieser Stelleaufwerfen muss, ist wohl, wie schwer und wie groß diese hypothetischen Objekte sind undob man überhaupt eine Chance hätte, sie jemals direkt experimentell nachzuweisen.

33.2. Masse und Volumen der Atome

Wenn die Atome eines chemischen Elements die Masse m0 haben und in einem Mol NA

Atome sind, dann war die Atommasse gleich NAm0. Aus der Molmasse von 12 g fürKohlenstoff folgt dann zusammen mit der Avogadrozahl, dass die Masse eines Kohlen-stoffatoms m0 = 12 g/6 × 1023 = 2 × 10−26 kg beträgt. Die diskrete Struktur der Massebei diesem kleinen Wert nachweisen zu wollen, erschien damit aussichtslos.Wenn man Materie eine Ausdehnung zuschreibt, das war auch die Ansicht aller Na-

turphilosophen, dann war auch ihrem kleinsten Quantum Ausdehnung zuzuschreiben,also dem Atom. Wenn NA Atome unter Normalbedingungen ungefähr 22 l einnahmen,dann konnte ihr Volumen jedenfalls nicht größer als 22 l/6 · 1023 ≈ 4 · 10−26 m3sein. IhrDurchmesser musste also kleiner sein als einige 4 · 10−9 m. Das ist zwar nur eine grobeAbschätzung, zeigt aber ebenfalls, dass man im 19. Jh. nicht darauf hoffen konnte, sokleine Objekte jemals zu Gesicht zu bekommen.Jedenfalls lieferten diese ersten Zahlenwerte über die hypothetischen Atome eine erste

Basis für weitere Überlegungen. Wie würde das mechanische Verhalten eines Ensemblesvon NA Teilchen aussehen?

33.3. Die Boltzmannkonstante

Ein erster Ansatzpunkt ist die Energieerhaltung eines abgeschlossenen Systems. Wenn ineinem Volumen V eine Anzahl N von gleichen Teilchen der Masse m0 enthalten ist, dannist die Gesamtmasse des Gases m = Nm0 = νNAm0 mit der Molzahl ν. Wenn man nundie Molwärme CV von Gasen experimentell bestimmt, so findet man eine weitere Merk-würdigkeit: Es treten meist Vielfache von R/2 auf. Für Gase, die nach der atomistischenChemie als monoatomare Gase gedeutet werden, ergibt sich beispielsweise CV = 3R/2.Wie wir aus unserer früheren Diskussion der phänomenologischen Thermodynamik

wissen, ist die gesamte innere Energie eines idealen Gases allein eine Funktion der Tem-peratur. Für ein monoatomares ideales Gas ergibt sich somit:

U = CV T =3

2RT

Im Rahmen des atomistischen Modells ist die Gesamtenergie andererseits gleich der Sum-me der kinetischen Energien der Teilchen. Wenn jedes der NA Teilchen eine mittlerekinetische Energie εkin beisteuert, muss also gelten:

U(T ) = NAεkin

Ein Vergleich der beiden Gleichungen ergibt:

εkin =3

2kBT

100

Die neue Größe

kB = R/NA ≈ (8 J/Mol ·K)/(6 · 1023/Mol) ≈ 1.3 · 10−23 J/K

ist die Boltzmannkonstante. Sie wurde nach dem Atomisten Ludwig Boltzmann be-nannt, der an der Universität Wien einen Lehrstuhl für Philosophie innehatte. Die Tem-peratur eines idealen Gases lässt sich im Rahmen des Atomismus als mittlere kinetischeEnergie

εkin =1

2m0

⟨v2⟩

=3

2kBT (162)

der individuellen Teilchen deuten. In Gl. 162 bedeuten die Klammern 〈〉 statistischenMittelwert über die Schar von N Teilchen (Scharmittel). Dies ist symbolisch auf derrechten Gleichungsseite auch durch den Querstrich über εkin vermerkt. Bei konstanterTemperatur sind die Gasteilchen also um so schneller, desto geringer ihre Masse ist.

33.4. Molwärme und Freiheitsgrade

Für die Mittlung des Geschwindigkeitsquadrats in Gl. 162 gilt wegen der Linearität derMittlung: ⟨

v2⟩

=⟨v2x⟩

+⟨v2y⟩

+⟨v2z⟩

Wegen der Isotropie des Raumes kann kein Unterschied zwischen den Mittlungen in dendrei Raumrichtungen sein, d.h. es gilt⟨

v2x⟩

=⟨v2y⟩

=⟨v2z⟩

=1

3

⟨v2⟩

Jeder der drei Freiheitsgrade der Bewegung trägt zur kinetischen Energie also gleichviel bei. Wir führen hier die Bezeichnung f für die Anzahl der Freiheitsgrade ein. Mitdem Begriff der Freiheitsgrade können wir zu einer Verallgemeinerung gelangen, die überdas Modell des idealen Gases hinausreicht. Wir untersuchen die Hypothese, dass jederFreiheitsgrad mit 1

2kBT zur mittleren Energie ε eines Teilchens beiträgt:

ε =f

2kBT (163)

Die Grundlage dieses Gedankengangs ist die Gleichverteilungshypothese:80

Die thermische Energie verteilt sich auf alle Freiheitsgrade gleich.

Somit wächst die molare Wärmekapazität eines Stoffes sprunghaft mit der Anzahlseiner Freiheitsgrade an, d.h. mit der Anzahl seiner Möglichkeiten, Energie aufzunehmen:

80Wird auch manchmal Gleichverteilungssatz bzw. Äquipartitionsprinzip genannt.

101

CV =f

2R (164)

Diese Verallgemeinerung des Resultats für das ideale Gas ist bis hierhin nicht mehr alseine kühne Hypothese, aber die experimentelle Prüfung zeigt, dass es eine erstaunlicherfolgreiche Hypothese ist:

1. Wenn die Dimension eines Gases eingeschränkt wird, so dass praktisch nur nocheine zweidimensionale Bewegung stattfinden kann, dann sinkt die molare Wärme-kapazität tatsächlich auf CV = R.

2. Wenn die Teilchen Moleküle sind, so kommen neben der Translation auch drei Frei-heitsgrade der Rotation hinzu, so dass die Wärmekapazität CV = 3R beträgt. Beistäbchenförmigen Molekülen fällt für Zimmertemperatur einer dieser Freiheitsgra-de aus, d.h. eine Dimension der drei Rotationsmöglichkeiten trägt nichts bei, undman erhält CV = 5

2R.

3. Wenn die Teilchen schließlich in einem Festkörper gebunden sind, können sie sichweder translatorisch noch rotatorisch bewegen, aber sie können gegeneinander schwin-gen. Dabei kann Energie sowohl in Form potentieller als auch kinetischer Schwin-gungsenergien vorliegen, und wenn dann die Schwingung auch in drei unabhängi-ge Beiträge für die Schwingungsrichtung zerlegt werden kann, erhält man wiederCV = 3RT . Dies ist die empirisch gefundene Dulong-Petit-Regel.

Die Atom-Hypothese wird zwar durch die Voraussage der Wärmekapazitäten stark ge-stützt, aber die Existenz von Atomen wird damit keineswegs schlüssig bewiesen. Nebenihrem erstaunlichen Erfolg fallen auch einige kleinere Misserfolge ins Auge: Die spezifi-sche Wärmekapazität bei tiefen Temperaturen ist beispielsweise nicht konstant, sonderntemperaturabhängig. Das kann unser Modellgas vorerst noch nicht erklären.81

33.5. Der Boltzmannfaktor

Bis hierhin haben wir nur die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens betrachtet.Die nächste weiterführende Frage ist, wie die statistische Verteilungsfunktion für dieEnergie eines Teilchens aussieht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit w(ε)dε kann man einTeilchen in einem Intervall der Breite dε bei der kinetischen Energie ε antreffen?82

Sei w(ε1)dε die Wahrscheinlichkeit, dass eine Energie ε1 vorliegt, und w(ε2)dε dieWahrscheinlichkeit, dass eine Energie ε2 vorliegt. Der Übergang von der einen Energiezur anderen vollzieht sich durch zufällige Stöße der Teilchen miteinander. Da bezüglichdieses Stoßmechanismus keine Energie ausgezeichnet ist, kann das Verhältnis der beidenWahrscheinlichkeiten nicht vom Absolutwert der Energien abhängen, sondern nur vomenergetischen Abstand ε2 − ε1, denn bei jeder ins Auge gefassten Energie ist der gleiche81Um dieses Phänomen erklären zu können, braucht man neben der Atom-Hypothese auch noch die

Quantenmechanik.82Das ist hier etwas zu simpel dargestellt, denn eigentlich müsste man die Wahrscheinlichkeitsdichte

betrachten.

102

Mechanismus am Werk, der ein Teilchen von der ersten Energie in die zweite befördert.Daher muss gelten:

w(ε2)

w(ε1)= f(ε2 − ε1)

mit einer noch unbekannten Funktion f . Ferner gilt für eine beliebige dritte Energie ε3 :

f(ε3 − ε1) =w(ε3)

w(ε1)=w(ε2)

w(ε1)

w(ε3)

w(ε2)= f(ε3 − ε2)f(ε2 − ε1)

und da die Argumente der Funktion f beliebig sind, muss sie die Funktionalgleichung83

f(x+ y) = f(x)f(y)

für alle x, y erfüllen.84 Diese wird durch Exponentialfunktionen gelöst. Mit einer noch zuspezifizierenden Konstanten β setzt man sie als Exponentialfunktion

f(x) ∝ eβx

an. Damit gilt auch w(ε) ∝ e−βε.Wir betrachten nun ein Teilchensystem, dessen Bewegung auf eine Dimension einge-

schränkt ist. Das ist der einfachste Fall. Die kinetische Energie ε = mv2/2 kann dann aufzwei Arten realisiert sein, nämlich durch ein Teilchen, das sich mit +v nach rechts bewegtoder mit der Geschwindigkeit −v nach links. Von vornherein sind beide Realisierungs-möglichkeiten gleich wahrscheinlich. Das ist die grundsätzliche Annahme der statistischenPhysik und wird als Gleichverteilungssatz bzw. Gleichverteilungshypothesebezeichnet. Für ein gegebenes Intervall dε ist also die Wahrscheinlichkeit für das Auftre-ten des Energiewertes ε durch

W (ε) = W0e−βεdε (165)

gegeben mit einer noch unbekannten Normierungskonstanten W0. Die Normierungs-konstante erhält man aus der Normierungsbedingung

∞

0

W (ε)dε = 1

die besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Möglichkeiten 100% betragen soll. Wennman die doppelte Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten mit dem Faktor 2 berücksichtigt,ergibt sich:1 =

´∞0 2W (ε)dε = 2W0/β bzw. W0 = β/2.

Für ein ideales Gas ist der Parameter β dadurch festgelegt, dass die mittlere kinetischeEnergie bei nur einem Freiheitsgrad durch:85

83Man versteht unter einer Funktionalgleichung eine Gleichung, welche die Bedingungen spezifiziert, dievon der zu erratenden Funktion zu erfüllen sind.

84für x ≥ y.85Es lohnt, sich die hier gezeigte trickreiche Methode der Berechnung des Integrals zu merken.

103

εkin =

∞

0

εW (ε)dε = (β/2)

∞

0

εe−βεdε = −(β/2)∂

∂β

∞

0

e−βεdε = −β2

∂

∂β

(1

β

)=

1

2β(166)

=1

2kBT (167)

gegeben ist. Daraus folgtβ = 1/kBT

Der Boltzmannfaktorexp(− ε

kBT) (168)

spielt eine wichtige Rolle in der statistischen Physik des idealen Gases.

33.6. Grundlagen der Kombinatorik

Wir betrachten m unterschiedliche Zustände, die mit z1, . . . , zm bezeichnet seien.86 Esgibt mn Möglichkeiten, diesen Zuständen n Teilchen zuzuordnen. Diese können wir durch

(z1 + . . .+ zm)n = z1z1z1 . . . z1 + z2z1z1 . . . z1 + z1z2z1 . . . z1 + . . .+ zmzmzm . . . zm

anschaulich notieren, wobei das hier auf der rechten Seite so gelesen werden soll, dassdas erste Teilchen dem ersten Zustand des jeweiligen Produktes zugeordnet ist usw.87

Ich habe das hier erst einmal so hingeschrieben, ohne dass eine kommutative Multipli-kation vorausgesetzt wird. Wenn die Zustände die Energien der einzelnen Teilchen sind,dann kommt es für die Gesamtenergie nicht auf die Reihenfolge an, d.h. wir können dieMultiplikation kommutativ lesen und erhalten

(z1 + . . .+ zm)n = zn1 + nz2zn−11 + . . .+ znm

Der erste Term auf der rechten Seite sagt aus, dass es nur einen Zustand gibt, in demsich alle n Teilchen im Zustand z1 befinden, n Zustände, bei dem sich ein Teilchen inz2 befindet und n − 1 Teilchen im Zustand z1 usw. Die Häufigkeit h, mit welcher eineSequenz von Zuständen vorkommt, ist von der Zahl der voneinander unterscheidbarenPermutationen abhängig. Bei n Faktoren sind dies n! Möglichkeiten, jedoch muss mansie durch die identischen Permutationen dividieren. Damit ergibt sich für die Häufigkeit,dass z1 gerade mit der Häufigkeit n1 auftritt usw., der Wert

h = n!/m∏i=1

ni!

86„z“ steht hier für „Zustand“87Das Pluszeichen kann man als (exklusives) „oder“ lesen und die Produktbildung als „und“. Die Algebra

ist die gleiche.

104

Die Bildung der Fakultät, n!, kann man mit der Gammafunktion Γ(x) auf nicht-ganzzahlige Werte verallgemeinern. Die Gammafunktion spielt eine wichtige Rolle inder Statistik. Sie ist definiert durch

Γ(x+ 1) = xΓ(x)

und

Γ(1) = 0

Für ganzzahlige Werte gilt also:

n! = Γ(n+ 1)

Für die Gammafunktion gibt es folgende Integraldarstellung:

Γ(x+ 1) =

∞

0

txe−tdt (169)

Für große x lässt sich die Gammafunktion durch die Stirlingformel näherungsweise be-rechnen. Für ganzzahlige Werte ergibt sich aus der Stirlingformel näherungsweise

lnn! ≈ n lnn (170)

33.7. Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

Wir wollen nun noch die Rechnung aus Abschnitt 33.5 im Dreidimensionalen ausführen.Mit Abb. ### betrachten wir den Raum der Geschwindigkeitskoordinaten. Hier kön-nen wir die tatsächlich realisierten Geschwindigkeiten eines Ensembles von N0 Teilcheneintragen. Wenn wir die Teilchen mit einer gegebenen Energie zwischen ε und ε + dεins Auge fassen, dann liegen diese in einer Kugelschale vom Volumen 4πv2dv ∝ ε1/2dε.Für ein gegebenes Intervall dε wächst also die Anzahl der Realisierungsmöglichkeitender Energie ε mit der Wurzel der Energie an. Nach dem Gleichverteilungssatz ist jedeMöglichkeit mit der gleichen Energieverteilung realisiert, d.h. mit dem Boltzmannfaktor.Daraus ergibt sich insgesamt die Wahrscheinlichkeit

W (ε) = W0ε1/2 exp(−βε)dε (171)

für ein Teilchen, die Energie ε zu haben. Aus der Normierungsbedingung´∞0 W (ε)dε = 1

kann man den Proportionalitätsfaktor W0 berechnen.88 Mit der Substitution t = βε undGl. 169 ergibt sich:

1 =

∞

0

W (ε)dε = W0β−3/2

∞

0

t1/2e−tdt = W0β−3/2Γ(3/2)

88Der Faktor W0 heißt Normierungskonstante.

105

Abbildung 34: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung (a) bei gleicher Temperatur fürverschiedene Massen. (b) bei unterschiedlichen Temperaturen aber glei-cher Masse. (Quelle: Wikipedia)

Für die Energie haben wir noch die Bedingungen zu berücksichtigen, dass die mittlereEnergie eines Teilchens durch

ε =

∞

0

εW (ε)dε = W0β−5/2Γ(5/2) =

3

2kBT

gegeben ist. Aus diesen beiden Gleichungen folgt wegen Γ(5/2) = (3/2)Γ(3/2) nun auchfür das Gas im dreidimensionalen Raum:

β = 1/kBT

und somit

W (ε) = (kBT )−3/2ε1/2 exp(−ε/kBT )dε (172)

Wenn man 172 mit ε = m0v2/2 und dε ∝ vdv auf die Geschwindigkeit umrechnet,

erhält man:

W (v) ∝ v2 exp(−m0v2

2kBT)dv (173)

Das ist die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung. Sie ist in Abb. 34 skizziert.Es gibt experimentelle Methoden, diese Verteilung zu überprüfen, und auch hier fin-

det man eine Übereinstimmung mit den theoretischen Resultaten, die aus statistisch-atomistischen Überlegungen abgeleitet wurden.

33.8. Die atomistische Deutung der Entropie

Um für ein System den thermodynamischen Zustand im Rahmen der phänomenologischenThermodynamik festzulegen, genügte beispielsweise die Angabe der inneren Energie U

106

und der Molzahl ν für die Stoffmenge.89

Wir untersuchen ein Modell des idealen Gases mit Atomen gleicher Masse m. Aufatomarer Ebene kann man die Stoffmenge durch die Anzahl N = νNA von Gasatomenbeschreiben und die innere Energie durch die Summe der kinetischen Energien εi, i =1, . . . , N , der Gasatome:

U =

N∑i=1

εi (174)

Wir betrachten hier abgeschlossene Systeme, bei denen sich weder die Teilchenzahlnoch die Gesamtenergie ändert. Letzteres bedeutet, dass sich bei einer Wechselwirkungmit der Wand eventuell zwar der Impuls eines Teilchens ändern kann, dass sich dieEnergie der individuellen Teilchen dabei aber nicht ändert. Der Wechselwirkungsprozessmuss also elastisch seinWenn das System aus nur einem einzigen Teilchen besteht, dann hat es die kinetische

Energie ε = U . Stöße mit der Wand generieren nur andere Impulsrealisierungen zur glei-chen Energie ε. Wegen ε = (p2x + p2y + p2z)/2m können das sehr viele mikrophysikalischeRealisierungen sein, d.h. es kommen sehr viele Möglichkeiten mit unterschiedlichen Im-pulskomponenten in Frage, welche die gleiche Energie ε ergeben. Wenn man sich eineWand auf atomarer Ebene eher als rau denn als glatt vorstellt, dann werden kleinsteAbweichungen im Anfangsimpuls möglicherweise nach nur wenigen Stößen mit der rauenWand zu großen Unterschieden in den Impulsrichtungen führen. 90 Wir wollen hier vonder nicht zwingenden, aber plausiblen Annahme ausgehen, dass nach vielen Stößen miteiner Wand der Impuls in seiner Richtung chaotisch verteilt sein wird und am Ende mitgleicher Wahrscheinlichkeit für jede mögliche Realisierung zu einer gegebenen Energie εvorliegt, d.h. die Wand agiert in unserer idealisierten Annahme als perfekter Zufallsge-nerator.Wenn man von einem Atom mit einem spezifischen Anfangsimpuls ausgeht, ist es ex-

trem unwahrscheinlich, dass es diesen beibehalten kann. Es wird beim ersten Wandstoßeinen Zufallsimpuls annehmen. Dass es bei einem zweiten Wandstoß wieder den An-fangsimpuls exakt wiedergewinnt, ist angesichts der unendlich vielen Realisierungsmög-lichkeiten offensichtlich extrem unwahrscheinlich. Man kann sogar zugespitzt behaupten,dass der Rückweg dem System mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit verbautist. Auf atomarer Ebene führt dieses chaotische Verhalten gewissermaßen eine Irreversi-bilität ein, wenn auch keine perfekte, denn der Rückweg zum Anfangsimpuls hat zwareine extrem kleine Wahrscheinlichkeit, aber null ist sie streng genommen nicht.Nun betrachten wir ein System mit zwei Teilchen. Dann ändert sich für jedes an der

vorhergehenden Betrachtung erst einmal nichts, außer dass nun auch noch Stöße unter-einander hinzukommen können, welche eine noch schnellere Randomisierung begünsti-gen. Selbst wenn wir annähmen, dass die Energie jedes einzelnen Teilchens unverändert

89Selbstverständlich können noch weitere thermodynamische Variable zur Spezifikation des Zustandsvonnöten sein, beispielsweise der Druck usw., aber wir wollen hier erst einmal über so ein einfachesSystem nachdenken, bei dem der Variablensatz (U, ν) ausreicht.

90Mit diesem Problemkreis beschäftigt sich die Chaostheorie.

107

bliebe, so bestünde die Auswirkung darin, dass die chaotische Gleichverteilung der Im-pulse schneller einträte. Zusätzlich muss nun aber auch noch die Möglichkeit bedachtwerden, dass die beiden Teilchen ihre kinetischen Energien verändern können. Der Ener-gieaustausch durch die Wechselwirkung zwischen den Teilchen vergrößert somit auch dieNeigung zur Irreversibilität des atomaren Geschehens, weil er für die Konfigurationsmög-lichkeiten eine weitere Dimension eröffnet. Wenn man das so weit einmal eingesehen hat,ist klar, dass eine Reversibilität der Vorgänge auf atomarer Ebene mit der Anzahl der„Spielpartner“ immer unwahrscheinlicher wird. Hat man es beispielsweise mit N = 1020

statt mit N = 2 Teilchen zu tun, dann ist ein Mikrozustand, bei dem das erste Teil-chen die gesamte Energie ε1 = U besitzt und alle anderen ε2 = . . . = ε1022 = 0 haben,gegenüber der möglichen Änderung durch Stöße extrem volatil. Der Mikrozustand wirdsich im Laufe der Zeit quasi-irreversibel zu einem Mikrozustand hin entwickeln, der auf-grund einer besonders hohen Wahrscheinlichkeit seines Auftretens die Eigenschaft hat,gegenüber Stoßprozessen „unempfindlich“ zu sein. Stoßprozesse realisieren dann gewisser-maßen nur Varianten des gleichen „unempfindlichen“ Typs von Mikrozuständen oder vonMikrozuständen, die vielleicht eine nicht genauso große Wahrscheinlichkeit haben, aberdoch immer noch eine vergleichbar hohe. Uns interessiert hier erst einmal das Grund-sätzliche und daher werden wir von der Boltzmannschen Hypothese ausgehen, dass einSystem von sehr vielen Teilchen sich in einen jener Mikrozustände begibt, die maximaleWahrscheinlichkeit haben. Die Irreversibilität makroskopischer Systeme der phänomeno-logischen Thermodynamik wird mit dieser Hypothese letztendlich auf eine (allerdingsnicht perfekte) Mikro-Irreversibilität zurückgeführt. Damit wäre die Wahrscheinlichkeitw des Auftretens der gegenüber den mikrophysikalischen Stoßprozessen „unempfindli-chen“ Mikrozustände ein Maß für die Makro-Irreversibilität, die wir durch die EntropieS gekennzeichnet haben, d.h. es muss eine Beziehung zwischen dem S der phänomenolo-gischen Thermodynamik und der maximalen Wahrscheinlichkeit w der Atomhypothesegeben. Diesen Zusammenhang wollen wir im nächsten Abschnitt herausfinden.

33.9. Die Boltzmannsche Formel für die Entropie

Wir schauen uns wieder das Joulesche Experiment zur freien adiabatischen Expansionan, und zwar für ein ideales Gas. In der phänomenologischen Thermodynamik wurdedas ideale Gas durch die Gleichung

(∂U∂V

)T

= 0 definiert, d.h. seine innere Energie hängtper definitionem nicht von seinem Volumen ab und seine Temperatur bleibt bei dieserProzessführung unverändert. Wenn man die innere Energie als Funktion der extensivenVariablen S und V betrachtet, gilt für die freie adiabatische Expansion also: dU = 0 =TdS − pdV und nach Integration:

S2ˆ

S1

TdS =

V2ˆ

V1

pdV

Da die Temperatur konstant ist, folgt daraus

∆S = S2 − S1 = NkB ln(V2/V1) = kB ln((V2/V1)

N)

(175)

108

Das ist bis hierhin bloß phänomenologische Thermodynamik.Teilen wir nun die beiden Volumina in Kästchen der Größe ∆V auf, wobei hier ∆V eine

willkürliche Kästchengröße ist.91 Dann gibt es V1/∆V Kästchen für das erste Volumenund V2/∆V Kästchen für das zweite Volumen. Wenn man N Teilchen auf diese Kästchenverteilt, gibt es im ersten Fall w1 = (V1/∆V )N bzw. w2 = (V2/∆V )N unterschiedlicheRealisationsmöglichkeiten, die Kästchen zu besetzen. Das Verhältnis der Realisations-möglichkeiten w2/w1 = (V2/V1)

N hängt nicht mehr von der willkürlichen Kästchengrößeab. Setzt man das in Gl. 175 ein, so ergibt sich für die Entropieänderung:

∆S = kB ln(w2/w1) (176)

In der phänomenologischen Thermodynamik ist die Entropie nur bis auf eine willkür-liche Konstante bestimmt. In einem diskreten System, bei dem tatsächlich ein kleinstes∆V existiert, kann man mit dem Begriff der Anzahl der Realisationsmöglichkeiten fürdie Entropie ein absolutes Maß definieren. Die Anzahl der Realisationsmöglichkeiten istnach unten beschränkt, denn weniger als eine einzige kann ein System nicht haben. Wennman sich daher auf ein Referenzsystem mit w1 = 1 bezieht, ist die Entropie eines Systemsmit w Realisationsmöglichkeiten durch

S = kB lnw (177)

festgelegt, und zwar absolut. Die Entropie eines Systems, das nur eine einzige Realisie-rungsmöglichkeit kennt, ist dann null. Beispielsweise verschwindet das Volumen einesidealen Gases bei T = 0. Folglich liegt nur diese eine Realisierungsmöglichkeit für dasVolumen vor. Dann sagt Gl. 177 aus, dass die Entropie beim absoluten Nullpunkt ver-schwindet.Gl. 177 ist jenes berühmte Resultat der Überlegungen von Ludwig Boltzmann, welches

Max Planck auf den Grabstein einmeißeln ließ, den man auf dem Wiener Zentralfriedhofbesichtigen kann. Die Gleichung unterlegt der makroskopischen Größe S der phänome-nologischen Thermodynamik auf der linken Seite mit w auf der rechten Gleichungsseiteeine Interpretation auf atomistischem Niveau.

33.10. Die Energieverteilung eines idealen Gases im thermodynamischenGleichgewicht

In diesem Abschnitt wird ein ideales Gas in einem fest vorgegebenen Volumen als ab-geschlossenes System vorausgesetzt. Uns interessiert hier die Frage der Verteilung derkinetischen Energie.92

Die Energie ist in der klassischen Physik eine kontinuierliche Variable. Ähnlich wie imvorigen Abschnitt beim Volumen teilen wir den kontinuierlichen Bereich in m Intervallebzw. statistische Klassen ein. Jede Klasse kennzeichnen wir durch einen repräsentativennominalen Energiewert ε aus diesem Intervall. Wenn also eines der vielen Atome des

91Dies fungiert als Einteilung der Gasatome in statistische Klassen.92Das Atom eines idealen Gases soll nur kinetische Energie besitzen. Wir sprechen daher kurz von seiner

Energie.

109

Systems eine Energie hat, die im ersten Intervall liegt, dann ordnen wir ihm formal denWert ε1 aus diesem Intervall zu usw. Mit N1, . . . , Nm bezeichnen wir die Häufigkeit, dassein Atom die nominale Energie ε1, . . . , εm hat. Uns interessiert, wieviele Möglichkeitenes gibt, dass eine solche spezifische Verteilung mit den Besetzungszahlen N1, . . . , Nm

zustandekommen kann, wobei

N = N1 + . . .+Nm (178)

die ebenfalls fest vorgegebene Gesamtzahl der Atome des Systems ist.93Neben der durchGl. 178 gegebenen Bedingung der Erhaltung der Gesamtteilchenzahl muss für ein abge-schlossenes System auch die Gesamtenergie erhalten sein:94

E = N1ε1 + . . .+Nmεm (179)

Es gibt N ! Möglichkeiten, die N Atome in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen.Von diesen N ! Anordnungen sollen die ersten N1 Atome in die Klasse zum Energiewertε1 fallen usw. Nun treten aber jeweils N1! Permutationen auf, welche alle die nominalgleiche Energie ε1 haben und sich nur in der Reihenfolge unterscheiden. Sie sind also alsidentisch zu zählen. Wenn man das durchdenkt, dann kommt man auf insgesamt

M(N1, . . . , Nm) =N !

N1!N2! . . . Nm!

hinsichtlich ihrer Zuordnung zu den einzelnen Klassen ununterscheidbare Möglichkeiten.Diese nennen wir die Mikrozustände des Systems. Die Entropie s(N1, . . . , Nm) einesSystems für eine fest vorgegebene Verteilung ist dann nach der Boltzmannschen Gl. 177:

s(N1, . . . , Nm) = kB lnM = kB ln

(N !

N1!N2! . . . Nm!

)= kB

(lnN !−

m∑i=1

lnNi!

)

Unter Verwendung der Stirlingformel erhält man näherungsweise:

s(N1, . . . , Nm) ≈ kB

(lnN !−

m∑i=1

Ni lnNi

)Aus unseren Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts 33.9 ziehen wir den Schluss,

dass die Entropie S des Systems im thermodynamischen Gleichgewicht jene VerteilungN1, . . . , Nm ist, bei welcher die Entropie unter den gegebenen Nebenbedingungen diemaximale Entropie aufweist:

93Die Energieintervalle dieser Diskretisierung kann man in den relevanten Bereichen sehr klein machen.Dazu braucht man nur m entsprechend groß zu wählen.

94Es ist klar, dass die hier formulierte Energieerhaltung nicht so scharf gelten kann wie die Teilchenzahl-erhaltung. Aber je feiner man die Klasseneinteilung macht, desto besser kann man die Forderungeiner strikten Energieerhaltung fordern. Uns geht es hier um das Verständnis des Prinzips. Dahersetzen wir uns über dieses Problem hier erst einmal ein wenig schnoddrig hinweg.

110

S = max s(N1, . . . , Nm) (180)

Wenn die beiden Nebenbedingungen der Teilchenzahlerhaltung und der Energieerhal-tung nicht wären, bräuchte man jetzt nur noch die partiellen Ableitungen von s nach denNi null zu setzen und hätte die Gleichgewichtsentropie S bestimmt. Das geht aber ebennur, wenn alle Ni unabhängige Variablen wären, was wegen der beiden Nebenbedingun-gen nicht der Fall ist.Man könnte nun so vorgehen, dass man zwei der Teilchenzahlen mit Hilfe der beiden

Nebenbedingungen eliminiert und so N−2 unabhängige Gleichungen erzeugt. Auch wenndas der naheliegendste Weg scheint, ist die rechnerische Durchführung extrem aufwändigund würde uns in eine heillose Rechnerei verstricken. Das hier zielführendere Verfahrenverwendet eine Idee von Lagrange: Die Methode der Lagrangeschen Multiplika-toren.95

Wir multiplizieren dazu die erste Nebenbedingung mit einem Faktor kBα und diezweite Nebenbedingung mit einem Faktor kBβ aus und von der Entropie s ab:96

s− αkBN − βkBE = kB

(lnN !−

∑Ni lnNi

)− αkB

∑Ni − βkB

∑εiNi

Nach partieller Differentiation erhält man die N Gleichungen

∂s

∂Ni= −kB [1 + lnNi]− αkB − βkBεi

Da die beiden Lagrangefaktoren frei wählbar sind, darf man sie so wählen, dass z.B.die ersten beiden Gleichungen null sind. Dann sind die übrigen N −2 Gleichungen unab-hängig voneinander und werden null gesetzt, um das Maximum zu bestimmen. Dadurchkommt es aus diesen eigentlich unterschiedlichen Gründen dazu, dass man für alle NUnbekannten Ni formal dieselbe Gleichung

1 + lnNi + α+ βεi = 0

erhält. Wegen Ni 1 gilt

lnNi ≈ −(α+ βεi)

und man erhält für die Besetzung im thermodynamischen Gleichgewicht:

Ni = e−αe−βεi

bzw.

Nj/Ni = eβ(εj−εi)

95In der Physik ist diese Methode sehr wichtig. Daher lohnt es, sie bei dieser Gelegenheit zu erlernen.Sie ist für alle Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen das Verfahren der ersten Wahl.

96Man könnte sie genauso gut dazuaddieren, aber dann muss man später das Vorzeichen ändern.

111

Ein Vergleich mit unserer früheren Diskussion in Abschnitt 33.5 zeigt, dass es sich hierwieder um den Boltzmannfaktor handelt. Daher identifizieren wir:

β = 1/kBT

und somit

Nj/Ni = e(εj−εi)/kBT (181)

Der Boltzmannfaktor wurde hier aus dem Prinzip hergeleitet, dass der Gleichgewichts-zustand jener ist, der die maximale Entropie besitzt.

34. Die Brownsche Bewegung

Der Botaniker Brown entdeckte im Jahre 1827, dass kleine, aber im Mikroskop geradenoch beobachtbare Teilchen unregelmäßige Zitterbewegungen ausführten. Diese Brown-sche Bewegung wurde von Atomisten schon früh als Resultat der Impulsübertragungdurch die Wärmebewegung atomarer bzw. molekularer Teilchen gedeutet. Aber erst Al-bert Einstein gelang es 1905 und Marian Smoluchovski97 1906, für die Brownsche Mo-lekularbewegung auch quantitativ überprüfbare Aussagen zu machen. Damit konnte dieAtomhypothese erstmals auf einen experimentellen Prüfstand gestellt werden: Sie warfalsifizierbar. Es gelang aber Perrin zu zeigen, dass alle Vorhersagen Albert Einsteinsbis in die feinsten Details mit den Beobachtungen übereinstimmten. Daher führte dieepochale Arbeit von Albert Einstein schließlich zur endgültigen Akzeptanz der Existenzvon Atomen und Molekülen auch unter den Physikern. Wir wollen einige Überlegungenvon Einstein und Smoluchowski hier in vereinfachter Form nachvollziehen.

34.1. Der Random Walk

Wir betrachten ein Teilchen, das zufälligen Stößen ausgesetzt ist. Durch den ersten Stoßwerde es um ~r1 verschoben, durch den zweiten um ~r2 usw. Es soll sich dabei mit einermittleren Geschwindigkeit v bewegen und lege dabei jeweils die mittlere freie Wegstrecke` ≈ |~r1| ≈ |~r2| ≈ . . . ≈ vτ in der mittleren Zeit τ zwischen zwei Stößen zurück. Wirbetrachten das Quadrat der resultierenden Verschiebung

~r =

n∑t=1

~ri = 0

Es ist

~r 2 =n∑t=1

~r 2i +∑i 6=j

~ri · ~rj

97Er wurde in Mödling bei Wien geboren.

112

Wenn es sich um eine reine Zufallsbewegung handelt, einen sogenannten Random Walk,dann mitteln sich die Skalarprodukte zu null und man erhält:⟨

~r 2⟩≈ nl2 = lvt (182)

mit der Gesamtzeit t = nτ für die n Stöße. Das mittlere Verschiebungsquadrat wächstalso linear mit der Zeit an.

34.2. Die Einstein-Smoluchowski-Gleichung

Ein Teilchen der Masse m befinde sich in einem Fluid mit Stokesscher Reibungskraft~FR = −γ~r. Die Nachbarteilchen mögen eine erratisch fluktuierende Kraft ~F (t) ausüben.Dann lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung

md2~x

dt2= −γ d~x

dt+ ~F (t)

Wir multiplizieren diese Gleichung mit dem Ortsvektor ~x aus und verwenden

d

dt(~x · ~x) = ~x · ~x+ ~x 2

Damit erhält man:

md(~x · ~x)

dt−m~x 2 = −1

2γd~x 2

dt+ ~r · ~F (t)

Da die Stöße unkorreliert aus allen Richtungen erfolgen, gilt bezüglich der Richtungs-mittlung (!)

⟨~r · ~F (t)

⟩Richtung

= 0 und⟨~x · ~x

⟩Richtung

= 0. Damit folgt

m~x2 =1

2γd~x 2

dt

Nun bilden wir noch das mit der zeitlichen Ableitung vertauschbare und mit „〈〉“ be-zeichnete Scharmittel und erhalten

1

2γd⟨~x 2⟩

dt= m

⟨~x 2⟩

= 2εkin = 3kBT

Daraus folgt ⟨~x 2⟩

= (6kBT/γ)t (183)

Ein Vergleich mit Gl. 182 zeigt, dass wir es hier mit einem Random Walk zu tun haben.Auf ein kugelförmiges Teilchen mit dem Radius R, das sich in einem viskosen Mediummit der Viskosität η bewegt, wirkt die Stokessche Reibungskraft

~FR = −6πRη~x,

d.h. es ist γ = 6πRη. Daraus folgt die Einstein-Smoluchowski-Gleichung

113

Abbildung 35: Beim Elektrokardiogramm (EKG) werden elektrische Signale des mensch-lichen Körpers über Elektroden abgegriffen.

⟨~x 2⟩

= (kBT/πRη)t

Sie gestattet es, durch eine statistische Untersuchung der Brownschen Bewegung vonmakroskopisch beobachtbaren Teilchen die Boltzmannkonstante kB zu bestimmen. Diesgelang Perrin im Jahr 1911. Die reale Existenz von Atomen und Molekülen wurde seithervon Physikern nicht mehr bezweifelt.Als zentrales Ergebnis der Arbeiten von Einstein, Smoluchowski und Perrin halten wir

fest:

Materie ist quantisiert.

35. Elektrolyte

Wenn man das elektrische Verhalten eines Materials untersuchen möchte, beispielsweiseseinen elektrischen Widerstand oder seine Dielektrizitätskonstante, dann legt man i.A.ein Spannungssignal an und misst das resultierende Stromsignal. Dazu muss man das zuuntersuchende Material kontaktieren, mit Kontakten versehen. Die Kontaktstelle,an welcher Strom- bzw. Spannungssignale angelegt bzw. abgegriffen werden, nennt manElektrode (Abb. 35). An den Elektroden findet ein Übergang zwischen zwei unter-schiedlichen Medien statt, die i.A. auch unterschiedliche Ladungstransportmechanismenhaben können.

114

35.1. Metallischer und elektrolytischer Ladungstransport

Wenn man den Ladungstransport von Quecksilber untersuchen möchte, kann man z.B.einen Kupferstab als Elektrode in Quecksilber eintauchen und an einer anderen Stelleeinen Graphitstab als Gegenelektrode. Schließt man eine Spannungsquelle an, so fließtein Strom.98 Dabei findet an den Elektroden keine Veränderung statt. Man spricht hiervon nicht-elektrolytischem Ladungstransport.Diese Situation ändert sich dramatisch, wenn man Elektroden beispielsweise in eine

Salzschmelze taucht. Mit dem Ladungstransport scheiden sich zugleich chemische Stoffean den Elektroden ab. Materialien, bei denen der Stromtransport mit einer Stoffab-scheidung verbunden ist, nennt man Elektrolyte und den Vorgang Elektrolyse.Neben Salzschmelzen gehören auch Lösungen von Salzen und bestimmte Festkörper zuden Elektrolyten.In einer Flüssigkeit kann sowohl ein metallischer Ladungstransport stattfinden (Queck-

silber) als auch ein elektrolytischer (Salzschmelze). Dass in beiden Fällen ein Ladungs-transport stattfindet, kann man z.B. durch das dabei erzeugte Magnetfeld leicht nach-weisen. Das Besondere des Stromtransports in einem Elektrolyten ist, dass dabei eineStoffumsetzung abläuft, also eine chemische Reaktion. Faradays erste Entdeckung war,dass die an den Elektroden abgeschiedenen Massen proportional zur transportierten La-dungsmenge99 sind. Damit hatte Faraday einen unerwarteten Zusammenhang zwischenChemie und Elektrizität gefunden.Faradays zweite Entdeckung war noch viel aufregender: Er fand, dass für die Abschei-

dung von einem Mol egal welchen Stoffes stets eine Ladungsmenge von rund 1 · 105 Cbenötigt wird oder ein ganzzahliges Vielfaches davon. Das ganzzahlige Vielfache ist dieWertigkeit w eines Stoffes. Man bezeichnet die Konstante

F ≈ 1 · 105 C/Mol (184)

als Faradaykonstante. Mit der Molzahl ν gilt somit:

Q = wνF

Dieser Zusammenhang knüpfte direkt an den in der Chemie bereits akzeptierten Ato-mismus an. Die massebehafteten Ladungsträger werden Ionen genannt, d.h. der elek-trolytische Ladungstransport beruht auf Ionenleitung.Für Ionen, die farbliche Phänomene hervorrufen (beispielsweise KMnO3), kann die

Ionenwanderung im elektrischen Feld sichtbar gemacht werden (Abb. ### ).

35.2. Elektrochemische Energieumwandlungen

Bei der Elektrolyse finden an den Elektroden chemische Redoxreaktionen statt. Eintechnologisch wichtiger Prozess, der auf der Elektrolyse beruht, ist beispielsweise die

98Ganz allgemein bezeichnet man die positive angeschlossene Elektrode als Anode und die negativeGegenelektrode als Kathode.

99und damit zum Produkt aus Stromstärke und Zeit

115

Aluminiumgewinnung. Dabei heizt man zunächst Aluminiumoxid auf, bis es flüssig wird.Dieses flüssige Aluminiumoxid ist der Elektrolyt. Wenn man einen Strom hindurchlei-tet, scheidet sich an der Kathode metallisches Aluminium ab, während an der AnodeSauerstoff entsteht. Im Endeffekt läuft also folgende chemische Umsetzung ab:

2Al2O3 → 4Al + 3O2

Es ist bekannt, dass für diese Reaktion sehr viel Energie benötigt wird, die hier in Formvon elektrischer Energie aufgewendet werden muss. Die elektrische Energie wird dabei inchemische Energie verwandelt. Diese Reaktion ist endotherm. Der umgekehrte Vorgangist die Verbrennung von Aluminium. Sie ist hochgradig exotherm und wird daher z.B.für Feststoffraketen eingesetzt.In bestimmten Fällen kann man den umgekehrten Vorgang so ablaufen lassen, dass die

chemische Energie wieder in elektrische Energie zurückverwandelt wird. Das geschiehtin Batterien bzw. galvanischen Elementen. Ein Beispiel ist die Aluminium-Luft-Batterie,bei der die chemische Reaktion

4Al + 3O2 + 6H2O→ 4Al(OH)3

in einem wässrigen Elektrolyten abläuft. Das ist ein technisch nicht umkehrbarer Vorgang.Solche Zellen nennt man Primärzellen.Eine Zelle, bei der die Umwandlung von elektrischer Energie in chemische Energie

und umgekehrt vonstatten gehen kann, nennt man eine Sekundärzelle bzw. einenAkkumulator. Die Elektrode, bei welcher die Reduktion stattfindet, ist stets die Katho-de. Daher wechseln Kathode und Anode die Seiten, wenn man vom Ladevorgang zumEntladevorgang übergeht.

35.3. Die Quantisierung der Ladung

Die Atommassenm0 sind für viele chemische Elemente ein nahezu ganzzahliges Vielfacheseiner Elementarmasse u = 1.6 · 10−27 kg, d.h. es gilt

mo ≈ Au

mit einem ganzzahligen Wert A, der Atommassenzahl. Da, wo sich eine große Diskrepanzzeigt, stellt sich heraus, dass ein chemisches Element aus einem Gemisch chemisch glei-cher Atome mit unterschiedlichen Atommassen besteht. Solche zum gleichen chemischenElement gehörende Atome unterschiedlicher Massen heißen Isotope. Es stellt sich nundie interessante Frage, ob auch die Ladung ein ganzzahliges Vielfaches einer Elementar-ladung sein könnte. Das scheint die Faradaykonstante nahezulegen. Die Elementarladungergäbe sich dann zu

e = F/NA = 1.6 · 10−19 C

Es ist aber auch denkbar, dass dies nur die mittlere Ladung eines Ions darstellt, d.h.dass es sich so ähnlich verhält wie mit der mittleren kinetischen Energie eines Ions. Um

116

zu entscheiden, ob es ein Elementarquantum der Elektrizität gibt, eine Elementarladung,muss man eine Methode finden, Ladungen unterhalb von 1·10−16 C bestimmen zu können.

Diese Aufgabe wurde von Robert Millikan gelöst. Er beobachtete Öltröpfchen der Dich-te ρ im Mikroskop. Diese unterliegen zunächst einmal der Gravitationskraft

Fg = mg =4

3πR3(ρ− ρL)g

Hier ist m die auftriebskorrigierte Masse und R der Radius des Tröpfchens. Der Auftriebwird durch die Dichte ρL der Luft berücksichtigt. Wenn man die Tröpfchen einige Ionenaufnehmen lässt, so dass die Ladung des Tropfens gleich q ist, dann wirkt auf sie in einemelektrischen Feld, das den Betrag E habe, die Kraft FE = qE. Außerdem wirkt die Sto-kessche Reibungskraft FR = −γv = -6πηRv in einem Medium der Viskosität η. Wirktdas elektrische Feld in die gleiche Richtung wie die Gravitation, erreicht das Tröpfchenim Kräftegleichgewicht eine stationäre Sinkgeschwindigkeit vd. Wirkt es in die entgegen-gesetzte Richtung und überwiegt die Gravitationskraft, erreicht es im stationären Falleine Steiggeschwindigkeit vu. Hierfür gelten die Gleichungen:

qE +mg − γvd = 0qE −mg − γvu = 0

Aus den beiden Gleichungen folgt:100

q = 3πη√

9πη(vd − vu)/4(ρ− ρL)g(vd + vu)/E

Wie man sieht, kann damit die Ladung aus Größen bestimmt werden, die der Messungzugänglich sind. Millikans Experimente ergaben für q nur ganzzahlige Vielfache von

e = 1.6 · 10−19 C

Dies bedeutet, dass die Ladung von Ionen gequantelt ist. Der Prototyp eines Teilchens,das die Ladung von genau einer positiven Einheit der Elementarladung trägt, ist dasWasserstoffion H+. Dieses Wasserstoffion wird Proton genannt und ist das beweglichsteund leichteste aller Ionen.

35.4. Dichte und Stromdichte in der atomistischen Vorstellung

Es ist klar, dass wir mit der Quantisierung der Ladung und der Entdeckung der Ionen alsdiskrete Ladungsträger in einen Konflikt zu den Begriffen der Ladungsdichte ρ(t, ~x) bzw.

100Man erhält aus diesen Gleichungen erst einmal Ausdrücke für den Radius des Tröpfchens und dieLadung:

R =√

9πη(vd − vu)/4ρ− ρL)g

q = 3πηR(vd + vu)/E

Daraus ergibt sich dann das Endresultat.

117

Stromdichte ~j(t, ~x) geraten, wie sie in der Kontinuumsvorstellung der Materie entwickeltwurden.Das Problem liegt auch schon für den Begriff der Massendichte %m vor. Wir führen hier

zunächst einmal den Begriff der Teilchendichte n als Anzahl der Teilchen pro Volumenein. Das ist sicher keine stetige Funktion und erst recht nicht differenzierbar. Wenn manzu Kontinuumsbegriffen übergeht, muss man mit n(t, ~r) eine differenzierbare Funktioneinführen, welche die naturgemäß unstetige Funktion der Teilchenzahl pro Volumen ap-proximiert.101 Besser kann man das nicht definieren, denn auch eine Mittelwertbildungführt nicht von der Atomistik zur Kontinuumsphysik. Der Unterschied lässt sich nuneinmal nicht völlig verwischen, denn Teilchenzahlen sind stets ganzzahlig.Sobald man diesen Schritt einmal vollzogen hat, ist die weitere Ausarbeitung einfach:

Wenn alle Atome gleiche Masse m und Ladung q haben, dann folgt daraus die kontinu-umsphysikalische Massendichte

%m(t, ~r) = mn(t, ~r) (185)

und Ladungsdichte

ρ(t, ~r) = q n(t, ~r) (186)

Wenn die Teilchen alle mit der mittleren Geschwindigkeit 〈~v〉 strömen, ergibt sich imstationären Fall

~j = q 〈~v〉n (187)

Das beschreibt aus atomistischen Vorstellungen heraus die kontinuumsphysikalische elek-trische Stromdichte.

36. Elektrische Phänomene in Gasen

36.1. Der glühelektrische Effekt

Ionen können auch in der Gasphase auftreten. Wenn man beispielsweise eine Kerzenflam-me zwischen zwei Kondensatorplatten bringt, kann man die Flamme mit einem elektri-schen Feld manipulieren, was sich durch in der Kerzenflamme vorhandene Ionen erklärenlässt.Wenn man ein Metall sehr stark erhitzt, dann beobachtet man, dass es glüht, d.h. Licht

abgibt, und dass es Metalldampf abgibt, dass also Metallatome abgedampft werden. HeißeMetalle geben jedoch auch Elektrizität ab. Dieses Phänomen heißt glühelektrischerEffekt. Zwischen einer erhitzten Kathode und einer Anode lässt sich im Vakuum einLadungstransport feststellen, bei dem an den Elektroden keine Veränderung feststellbar

101Man kann die Kontinuumsapproximation folgendermaßen systematisieren: Man schreibt die unstetigewirkliche Funktion als Fourierintegral hin und beschneidet anschließend im Frequenzraum die Fou-rierintegration auf das Auflösungsvermögen der vorhandenen Untersuchungsmethode. Man denkt sichalso die „Glättung“ gewissermaßen als durch die Messmethode verursacht.

118

ist, der also nicht von einer Ionenwanderung herrührt. Es handelt sich also um den glei-chen metallischen Ladungstransport, wie er auch zustande kommt, wenn zwischen denbeiden Elektroden flüssiges Quecksilber ist. Durch den glühelektrischen Effekt war nundie Möglichkeit gegeben, mit dieser Form der Elektrizität zu experimentieren. Analogzum Millikan-Experiment stellte man fest, dass auch diese Elektrizität aus elektrischenQuanten bestand, und zwar mit der Ladung −e, d.h. einer negativen Elementarladung.Dieses Quantum wurde Elektron genannt. Nach damaliger Auffassung galt das Elek-tron als masseloses (!) Quantum der Elektrizität.

36.2. Leuchterscheinungen beim Stromtransport in Gasen

Der Stromtransport in Gasen ist häufig von auffallenden Leuchterscheinungen begleitet.Dazu gehört das Naturphänomen des Blitzes. Er ist eine gewaltige Ausprägung deselektrischen Funkens, bei dem für eine sehr kurze Zeit hohe Entladungsströme fließen.Wenn ein Übergang in eine stationäre Entladung bzw. Leuchterscheinung stattfindet,spricht man von einem Lichtbogen bzw. einer Bogenentladung.Woher kommt das Licht? Zweifellos wird hier elektrische Energie in Lichtenergie umge-

setzt. Für Ionen kann man sich leicht vorstellen, dass sie im elektrischen Feld beschleunigtwerden und so die elektrische Energie zunächst in kinetische Energie der Ionen umge-wandelt wird. Wenn diese mit Gasatomen zusammenstoßen und ihre kinetische Energieinelastisch übertragen, werden die Gasatome angeregt und geben anschließend ihre inne-re Energie durch Aussendung von Licht wieder ab. Experimente zeigen, dass dieselbenLeuchterscheinungen auch bei rein elektronischem Ladungstransport auftreten. Das lässterste Zweifel aufkommen, ob das Elektron wirklich masselos ist.Funken und Bogenentladungen treten i.A. bei Umgebungsdruck oder höheren Gas-

drücken auf. Wenn man den Druck des Gases erniedrigt, tritt die sogenannte Glimm-entladung auf.Bei der Untersuchung zeigt sich, dass die Farbe des Lichtes allein vom Gas abhängt, in

dem die elektrische Entladung stattfindet. Es gibt also eine eindeutige Zuordnung zwi-schen der Lichtzusammensetzung einer Gasentladungsröhre bzw. Metalldampf-lampe und der darin enthaltenen Atomart. Die Lichterscheinung ist für die Atomsortecharakteristisch. Dies wird später zu einem wichtigen Ausgangspunkt für die Atomphy-sik.102 Wenn man ein hochfrequentes elektrisches Wechselfeld zur Verfügung hat, in wel-ches man eine mit Gas gefüllte Glasröhre einbringen kann, kann man die Leuchterschei-nung auch ohne Elektroden auslösen. Hier ist nur das Gas, das elektrische Wechselfeldund sonst nichts mehr im Spiel. Das zeigt, dass das ausgesandte Licht alleine eine Sacheder Gasatome ist. Ladungsträger wie Ionen bzw. Elektronen werden nur als „Mittler“benötigt, um die elektrische Energie durch Stoßanregung auf die Atome zu übertragen.Wichtige technische Anwendungen dieser elektrisch induzierten Lichtphänomene sind

Leuchtstoffröhren, Energiesparlampen, Glimmlampen oder Quecksilberhochdruck-Lam-pen.

102Die Atomphysik beschäftigt sich mit dem inneren Aufbau der Atome.

119

Abbildung 36: Bestimmung von e/m für Elektronen

36.3. Massenspektrometrie

Nach der ursprünglichen Auffassung war das Elektron ein masseloses Ladungsquantum.Nachdem man verstand, dass man die Spur der Elektronenbahn durch Stoßanregungder Gasatome sichtbar machen konnte, konnte man die Ablenkung von Elektronen inelektrischen und magnetischen Feldern untersuchen. Ein solches Experiment zeigt Abb.36.Elektronen werden hier glühelektrisch erzeugt. Durch eine zwischen Kathode und Ano-

de angelegte Spannung erhalten sie eine kinetische Energie Ekin = qU . Die Anode hateine Öffnung, so dass die Elektronen weiterfliegen können. Im Glasbehälter befindlicheGasbehälter lassen die Spur der Elektronen sichtbar werden. Wenn man einen Stromdurch ein Helmholtz-Spulenpaar schickt, wird ein homogenes Magnetfeld erzeugt. Daherwirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft

~F = q~v × ~B

Sie wirkt stets senkrecht zur Bahn, die durch den Geschwindigkeitsvektor ~v repräsentiertist. Daher laufen die Elektronen auf einer Kreisbahn. Die Krümmungsrichtung der Bahnhängt davon ab, welches Vorzeichen die Ladung q des Elektrons hat. Aus der beobachte-ten Krümmung kann man erstens schließen, dass Elektronen negativ geladen sind, undzweitens, dass ihre Masse definitiv nicht null ist. Wenn man den Radius der Kreisbahnmit r bezeichnet, ergibt sich die Masse aus103

m = qBr/v (188)

Für das Elektron erhält man m = 9 · 10−31 kg.Die hier skizzierte Methode kann auf alle geladenen Teilchen angewandt werden und ist

das grundlegende Prinzip der Massenspektroskopie, die von Sir Josef John Thomsonentwickelt wurde. Neben der Masse des Elektrons bestimmte er auch die mit m = 1.6×10−27 kg um fast einen Faktor 2000 schwerere Masse der Protonen und zeigte als Erster,dass die chemischen Elemente aus Gemischen unterschiedlich schwerer Atome bestehen,die jedoch chemisch ununterscheidbar sind. Man bezeichnet sie als Isotope. Mit Hilfeder Massenspektroskopie kann man zeigen, dass die Masse der Isotope bis auf wenigerals ein Prozent Abweichung stets ein ganzzahliges Vielfaches der Masseneinheit u =1.6× 10−27 kg ist, d.h. für die Masse eines Isotops gilt

m ≈ Au (189)

mit ganzzahligen Werten für die Massenzahl A.

103wegen mv2/r = qvB

120

Tabelle 3: Austrittsarbeit ausgewählter MaterialienMaterial Ea/eV

BaO 0. 9Cs 1.9K 2.1Zn 3.6W 4.5

36.4. Die Richardson-Gleichung

Der glühelektrische Effekt wurde von Richardson folgendermaßen erklärt: Metalle ent-halten frei bewegliche Elektronen, die im thermischen Gleichgewicht mit ihrer Umge-bung sind. Die Elektronen werden als ein klassisches Gas aufgefasst, das der Maxwell-Boltzmannschen Geschwindigkeitsverteilung (Gl. 173 ) mit

W (v) ∝∞

0

v2 exp(− mv2

2kBT)dv ∝

˚exp(−

m(v2x + v2y + v2y)

2kBT)dvxdvydvz

unterliegt.Wir betrachten eine Metalloberfläche senkrecht zur z-Richtung. Nur solche Elektro-

nen können den Metallverband verlassen, die eine bestimmte Mindestenergie EA, dieAustrittsarbeit, aufbringen können. Um senkrecht zur Metalloberfläche austreten zukönnen, müssen sie in z-Richtung eine Mindestgeschwindigkeit von vzA =

√2EA/m.

besitzen. Für die mittlere Geschwindigkeit in z-Richtung ergibt sich somit:

〈nvz〉 ∝∞

vA

vSze−mv2z/2kBTdvz = exp(− EA

kBT)

∞

0

u exp(− u2

2kBT)du ∝ T 2 exp(− EA

kBT)

Wegen jz = e 〈nvz〉 mit der Elektronendichte n folgt daraus die Richardson-Gleichungfür die Glühemission von Elektronen:

jz ∝ T 2 exp(− EAkBT

) (190)

Durch Messung der Temperaturabhängigkeit des bei der Glühemission von einem Me-tall austretenden Elektronenstroms kann die Austrittsarbeit für Elektronen ermitteltwerden. Typische Werte sind in Tab. 3 eingetragen. Wie man sieht, ist die Austrittsener-gie, die für Elektronen aufgebracht werden muss, für BaO besonders niedrig, weshalbman die früher in der Elektronik verwendeten Elektronenröhren mit BaO-Oberflächenals Kathoden versehen hat.

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37. Licht als quantisierte Strahlung

In diesem Kapitel wird gezeigt, dass wir auch für Licht den Übergang von der Kontinu-umsphysik zu einem atomistischen Standpunkt vollziehen müssen. Licht ist eine Korpus-kularstrahlung, deren „Atome“ man Photonen nennt.

37.1. Lichtgeschwindigkeit

Da Licht Energie transportiert und mit Licht eine Wirkung erzielt werden kann, ist klar,dass auch Licht der Beschränkung durch die Relativitätstheorie unterliegt. Licht kannalso höchstens mit c-Geschwindigkeit voranschreiten, aber die Frage bleibt, mit welcherGeschwindigkeit v es das wirklich tut.Die erste Abschätzung der Lichtgeschwindigkeit geschah im 17. Jahrhundert durch den

Astronomen Olaf Römer. Er beobachtete die Jupitermonde. Ihre regelmäßige Umrundungdes Jupiters lässt sich analog zum regelmäßigen Umlauf des Zeigers einer Uhr ansehen.Wir betrachten nun der Einfachheit halber die Situation, wo Jupiter, Erde und Sonne aufeiner Linie sind. Davon gibt es zwei Positionen, nämlich eine, bei welcher die Erde demJupiter am nächsten steht und eine, bei der sie ihm am fernsten steht. Die Entfernungzwischen beiden Positionen ist gerade der Durchmesser der Erdbahn, also 3 · 1011 m.Nehmen Sie an, dass wir eine „Uhr“ auf der Erde mit der Umlaufzeit des Jupitermondessynchron laufen lassen. Wenn man sie startet, wenn die Erde dem Jupiter am nächstenist, dann zeigt ein Vergleich der Position, die dem Jupiter am fernsten ist, dass derJupitermond nun in der Zeit ein wenig nachgeht, nämlich um rund 1000 Sekunden. DerGrund ist die zusätzliche Laufzeit, die das Licht zurückzulegen hat. Das ergibt v ≈300 000 m/s, also die c-Geschwindigkeit.104

Römer konnte nur auf sehr ungenaue Uhren zurückgreifen. Der Erfolg seiner Messungberuht daher wesentlich darauf, dass er die Lichtlaufzeit auf der gigantischen Strecke von2 Astronomischen Einheiten vermaß.Wenn man dasselbe auf kleineren Messstrecken erreichen will, muss man eine bessere

Zeitauflösung erreichen. Anfang des 19. Jahrhunderts gelang dies Fizeau mit seiner Zahn-radmethode. Dabei befinden sich zwei identische Zahnräder auf derselben Drehachse.Sie sind parallel, d.h. wenn die Zahnräder in Ruhe sind und das Licht durch die Lücke desersten Zahnrades durchgeht, dann geht sie auch durch eine Lücke des zweiten Zahnrades.Nun dreht man die Achse und erhöht die Umlaufgeschwindigkeit. Die Zahnräder laufensynchron um. Wegen der endlichen Geschwindigkeit des Lichtes wird es auf das zweiteRad etwas später auftreffen und daher unweigerlich bei irgendeiner Geschwindigkeit aufeinen Zahn auftreffen und nicht mehr durchkommen. Man erhöht die Umlaufgeschwin-digkeit weiter, bis es wieder auf eine Lücke trifft. Wenn man weiß, wieviele Zähne dasRad hat und welche Zeit ein Umlauf hat, dann erhält man die Zeitspanne, die das Lichtfür den Weg zwischen beiden Rädern benötigt, und daraus die Lichtgeschwindigkeit.Heute können wir extrem kurze Zeitspannen elektronisch messen. Wir erzeugen einen

Lichtpuls, den wir einmal direkt auf einen Detektor schicken, und einen zweiten, den

104Römer hatte aufgrund seiner damals noch ungenauen Messungen nur einen Zahlenwert von rund200 000 m/s erhalten.

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wir eine Strecke von mehreren Metern zurücklegen und nach einer Reflexion wieder zu-rückkommen lassen. Die Zeitdifferenz zwischen beiden Lichtpulsen lesen wir an einemOszilloskop ab. Man erhält für Licht im Rahmen der Messgenauigkeit wieder eine Ge-schwindigkeit v = c.Auch mit den besten heutigen Messmethoden kommt man zu folgendem Ergebnis:

Photonen bewegen sich mitc-Geschwindigkeit.

37.2. Spektroskopie

Wie wir in Kapitel 36.3 für die Massenspektroskopie gesehen haben, werden gleich ge-ladene Teilchen je nach Betrag p ihres Impulses in einem Magnetfeld unterschiedlichabgelenkt. Dies wird in Gl. 188 beschrieben:

p = mv = qBr

Wenn das Magnetfeld wie in Abb. ### gezeigt ein dreieckiges Sektorfeld darstellt, ergibtsich für die Teilchen ein Ablenkwinkel, der vom Impuls abhängt.Wenn Licht durch ein Prisma geht, kann man etwas Analoges beobachten: Das Licht

wird in Komponenten mit unterschiedlichen Ablenkwinkeln sortiert. Diese erscheinendem Auge als unterschiedliche Farben. Wir sprechen von Spektralfarben. Zu jederSpektralfarbe gehört ein bestimmter Impulsbetrag des Photons. Daher lässt sich Lichteiner bestimmten Spektralfarbe mit einem Prisma nicht mehr weiter zerlegen. SolchesLicht nennen wir monochromatisches Licht. Für die Zerlegung des Lichtes in seinemonochromatischen Komponenten ist die Dispersion verantwortlich.

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IndexAAmperemeter, 21Anode, 20

CCoulombmeter, 21

DDielektrizitätskonstante des Vakuums, 24

Eelektrische Ladung, 12elektrische Spannung, 12elektrischer Isolator, 11elektrischer Kontakt, 14elektrischer Leiter, 11Elektrizität, 7Elektrode, 14Elektrolyse, 20Elektroskop, 10erden, 20

FFeldtheorie, 6

Iidealer Isolator, 14idealer Leiter, 14

KKapazität, 19, 23Kathode, 20

LLadungsdichte, 15Ladungserhaltung, 13Ladungsquelle, 19

MMaxwell, 6

RReibungselektrizität, 7

SSchaltplan, 23Schaltsymbole, 23Stromdichte, 15

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