3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

• 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen

• 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1

• 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

• 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren

3.2 Behandlung von Grundaufgaben

• 3.2.1 Behandlung der Grundaufgaben der Addition und Subtraktion

• 3.2.2 Behandlung der Grundaufgaben der Multiplikation und Division

3.2.1 Grundaufgaben der Addition und Subtraktion

• Grundaufgaben der Addition (Einspluseins)• Grundaufgaben der Addition sind alle Aufgaben der Form a + b = c

mit natürlichen Zahlen a 10 und b 10• Damit gibt es 121 Grundaufgaben der Addition

• Grundaufgaben der Subtraktion (Einsminuseins)• Grundaufgaben der Subtraktion sind alle Umkehraufgaben der

Grundaufgaben der Addition

Bedeutung der Grundaufgaben

• Ziel: • Gedächtnismäßiges Beherrschen der Grundaufgaben

• Bedeutung:• Jede Aufgabe, die wir mündlich bzw. im Kopf rechnen, besteht

aus ein bzw. mehreren Grundaufgaben als Teilrechnungen• Aufgaben des schriftlichen Rechnens sind aus Grundaufgaben

zusammengesetzt.

Lösen von Grundaufgaben

• Fragen:• Welche Strategien können zum Lösen angewendet werden?• Welches Material kann dabei benutzt werden?• Wie wird erreicht, dass alle Grundaufgaben behandelt werden?• Welche typischen Fehler treten beim Lösen von Grundaufgaben

auf?

Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Addition und Subtraktion

• Zählstrategien

• Heuristische Strategien

• Eingeprägte Gleichungen

Zählstrategien

• 1. Vollständiges Auszählen

• 2. Weiterzählen vom ersten Summanden aus

• 3. Weiterzählen vom ersten Summanden aus

• 4. Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten

Zählstrategien

• Vollständiges Auszählen• einfachste Strategie• meist mit Materialeinsatz verbunden: Steckwürfel, Plättchen• Vorgehen bei 3 + 4: Es werden zunächst 3 Plättchen und

danach 4 Plättchen hingelegt. Die Summe wird durch vollständiges Auszählen der Gesamtmenge bestimmt.

• Problem: Bei „größeren“ Anzahlen verlieren die Schüler den Überblick und lassen ein Plättchen aus oder zählen es doppelt

• Fehler: Eins-Abweichung nach unten oder oben• Das Verfahren ist sehr aufwendig.

Zählstrategien

• Weiterzählen vom ersten Summanden aus• Weiterentwicklung des vollständigen Auszählens• Beim Beispiel 3 + 4 wird nicht mehr von 1 bis 7, sondern nur

noch 4, 5, 6, 7 gezählt• Schüler müssen die Zählbedeutung des ersten Summanden für

die Summenbildung zumindest implizit verstanden haben• typischer Fehler: Eins-Abweichung nach unten• Bei 3 + 4 wird gezählt: 3, 4, 5, 6 also: 3+ 4 = 6

Zählstrategien

• Weiterzählen vom größeren Summanden aus• Ist der zweite Summand größer als der erste ist es eine

Vereinfachung, vom zweiten Summand aus weiterzuzählen• Weiterentwicklung des Weiterzählens vom ersten Summanden

aus• Beim Beispiel 2 + 7 wird nicht mehr von 2 aus weitergezählt,

sondern von 7 aus• Grundlage für den Einsatz dieser Zählstrategie ist das

Kommutativgesetz der Addition• typischer Fehler: Eins-Abweichung nach unten

Zählstrategien

• Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten

• Statt einer Aufgabe wie 9 + 8 durch achtmaliges Weiterzählen um jeweils 1 zu lösen, kann man sie auch mittels Zählen in Zweier- oder Viererschritten lösen

• in Zweierschritten: 11, 13, 15, 17• Diese Strategie ist von den Zählstrategien die effektivste

Zählstrategien

• Erste „natürliche“ Strategien• Die Anwendung von Zählstrategien ist nicht als lineares

Voranschreiten von (1) bis (4) zu verstehen• Auch bei Kenntnis effektiverer Zählstrategien greifen die

Schüler in bestimmten Situationen auf einfachere Zählstrategien zurück

• Die Lösung von Grundaufgaben bleibt nicht bei Zählstrategien stehen.

Heuristische Strategien

• Tauschaufgaben

• Verdopplungsaufgaben - Halbierungsaufgaben

• Nachbaraufgaben

• Gleichsinniges oder gegensinniges Verändern

• Schrittweises Rechnen (Zerlegen einer Zahl)

• Umkehraufgaben


• Tauschaufgaben

• Zum Lösen der Aufgabe wird das Kommutativgesetz der Addition angewendet

• Statt 2 + 9 wird die Aufgabe 9 + 2 gelöst

• Vorteil der Nutzung der Tauschaufgaben: Die Zahl der zu lernenden Aufgaben wird halbiert

Heuristische Strategien• Verdoppeln - Halbieren• Verdopplungs- und Halbierungsaufgaben prägen sich leicht ein


• Nachbaraufgaben• Man kann zu jeder beliebigen Aufgabe durch Vergrößerung

bzw. Verkleinerung eines Summanden um 1 Nachbaraufgaben bilden.

• Beispiel: • Beherrschen Schüler die Verdopplungsaufgaben, so können sie

durch Rückgriff auf diese Aufgaben 4 + 3 oder 4 + 5 leicht lösen

• Fastverdopplungsaufgaben sind spezielle Nachbaraufgaben


• Gleichsinniges oder gegensinniges Verändern• Gegensinniges Verändern: • Durch Verkleinerung des ersten Summanden und gleichzeitige

Vergrößerung des zweiten Summanden um dieselbe Zahl bleibt eine Summe unverändert

• 5 + 3 wird über 4 + 4 gelöst

• Gleichsinniges Verändern: • Eine Differenz bleibt unverändert, wenn wir Minuend und

Subtrahend um denselben Betrag vergrößern oder verkleinern• 12 - 9 wird über 13 - 10 gelöst


• Schrittweises Rechnen (Zerlegen einer Zahl)

• Diese Strategie wird besonders beim so genannten Zehnerübergang genutzt.

• Die Aufgabe 7 + 9 wird in die beiden leichteren Teilaufgaben 7 + 3 = 10 (ergänzen zum vollen Zehner) und 10 + 6 = 16 gelöst.

• Dabei wird die Gültigkeit des Assoziativgesetzes implizit vorausgesetzt:

• 7 + 9 = 7 + ( 3 + 6) = (7 + 3) + 6 = 10 + 6


• Umkehraufgaben• Hier wird der Zusammenhang von Addition und Subtraktion

genutzt.• Die Lösung der Subtraktionsaufgabe 17 - 9 wird durch Rückgriff

auf die Additionsaufgabe 8 + 9 = 17 gefunden.• Die Anwendung von Umkehraufgaben erspart, dass neben dem

Kleinen 1 + 1 auch das Kleine 1 - 1 komplett auswendig beherrscht werden muss.

Behandlung der Grundaufgaben im Unterricht

• Rahmenplan (S. 153):• Ziel: Im 1./2. Schuljahr lernen die Kinder das „1 + 1“ zunächst

handelnd, dann gedächtnismäßig im Zahlenraum bis 100.• S. 152:• Dabei ist darauf zu achten, daß die Kinder vom (ab)zählenden

Rechnen hingeführt werden zum denkenden und anwendungsorientierten Rechnen mit Hilfe von strukturierten Mengenbildern, Nachbar-, Tausch- und Umkehraufgaben, durch Zerlegen in Teilschritte, Erkennen und Anwenden von Analogien. Dies gilt besonders für das Überschreiten der Zehnerzahlen. Dabei sind unterschiedliche Vorgehensweisen möglich und erwünscht.


• Ziel bis Ende des 1. Schuljahres:• Die Kinder sollen das kleine Einspluseins und Einsminuseins im

Zahlenraum bis 20 auswendig wissen.

• Prinzipien für die Unterrichtsgestaltung:• Aufgaben sowohl operativ als auch systematisch üben• Aufgaben allmählich und bewusst einprägen• Aufgaben nicht nur in Rechenkästchen, sondern auch in

Einkleidungen und Anwendungssituationen anbieten• den Kindern nicht zu früh die Möglichkeiten nehmen, die

Aufgaben handelnd mit Material oder mit zeichnerischer Unterstützung zu lösen


• Materialien:

Unstrukturierte MaterialienWendeplättchen, Muggelsteine, Holzwürfelchen, Steckwürfel

Strukturierte und teilstrukturierte MaterialienSpielmünzen, Cuisenairestäbe, Rechenrahmen, Rechenketten


• Es gibt zwei grundsätzliche Vorgehensweisen:

• gestuftes Vorgehen

• ganzheitliches Vorgehen


• Gestuftes Vorgehen• Summe max. 5 (oder 6)• meist nur Addition und Zerlegen von Zahlen• Tauschaufgaben• Summe max. 10 • Summe max. 20• a) Summanden beide einstellig (Zehnerübergang)• b) ein Summand größer als 10 (diese Aufgaben bezeichnen

wir nicht als Grundaufgaben)


• Zehnerübergang:

• Werden Aufgaben, bei denen die 10 überschritten wird, besonders thematisiert?

• Welche Strategien werden behandelt?


• ganzheitliches Vorgehen

• Überblick über alle Aufgaben: Einspluseins-Tafel

• Operatives Vorgehen beim Lösen: Nutzen von Rechenstrategien


• Lösungsstrategien für 8 + 7 (Zahlenbuch 1, S. 36):

Grundaufgaben der Multiplikation und Division

• Grundaufgaben der Multiplikation (Einmaleins)• Grundaufgaben der Multiplikation sind alle Aufgaben der Form

a · b = c mit natürlichen Zahlen a 10 und b 10• Damit gibt es 121 Grundaufgaben der Multiplikation

• Grundaufgaben der Division• Grundaufgaben der Division sind alle Umkehraufgaben der

Grundaufgaben der Multiplikation• Achtung: Division durch 0 ist nicht möglich

Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Multiplikation und Division

• Zählstrategien

• Additions- und Subtraktionsstrategien

• Heuristische Strategien

• Eingeprägte Gleichungen

Zählstrategien

• Zählstrategien (mit Material)• Vollständiges Auszählen:• Jedes Element wird gezählt

• Rhythmisches Zählen• Beim Zählen werden bestimmte Zahlen besonders betont:• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

• Weiterzählen in größeren Schritten


• Tauschaufgaben• Vergrößern oder Verkleinern eines Faktors /

Zerlegen• a) Nachbaraufgaben• b) andere bekannte Aufgaben• Verdoppeln oder Halbieren • Gleichsinniges und gegensinniges Verändern• Umkehraufgaben (bei Division)


Tauschaufgaben

• Zu jeder Grundaufgabe des Einmaleins gibt es eine Tauschaufgabe.

• Durch Tauschaufgaben kann die Anzahl der einzuprägenden Grundaufgaben fast halbiert werden.

• Statt 3·9 wird 9·3 gerechnet.


• Vergrößern oder Verkleinern eines Faktors / Zerlegen

a) Nachbaraufgaben• Der erste oder der zweite Faktor wird um 1 verändert, damit hat

jede Multiplikationsaufgabe vier Nachbaraufgaben.• Diese Strategie basiert auf dem Distributivgesetz, wobei ein

Summand bzw. Subtrahend 1 ist.• Beispiele: 9 · 7 rechne ich (10-1) ·7 = 10 · 7 - 1 · 7

6 · 8 rechne ich (5+1) · 8 = 5 ·8 + 8b) Zerlegen eines Faktors• Nachbaraufgaben sind ein Spezialfall davon.• Es kann wiederum der erste oder zweite Faktor zerlegt werden.• Beispiele: 7 · 3 rechne ich (5+2) · 3 = 5 · 3 + 2 · 3

48:8 könnte ich rechnen 40:8=5, dann ist 48:8=6


• Verdoppeln oder Halbieren

• Im Unterschied zur vorherigen Strategie wird hier ein Faktor in ein Produkt „zerlegt“.

• Diese Strategie beruht auf dem Assoziativgesetz .• Beispiele: Bei 4·7 zerlege ich 4 und rechne statt

(2·2)·7 nun 2·(2·7) = 2 · 14• Bei 48 : 8 könnte ich rechnen 24:8=3; dann ist 48:8=6


• Gleichsinniges und gegensinniges Verändern

• Das Produkt bleibt gleich, wenn ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert wird.

• Bei der Division werden beide Zahlen auf die gleiche Weise verändert.

• Beispiel: 4·5 rechne ich 2·10=20 ( Ich habe 4 halbiert und 5 verdoppelt.)

• 24:4 könnte ich rechnen 12:2 • (Ich habe beide Zahlen durch zwei geteilt.)


• Umkehraufgaben

• Divisionsaufgaben werden (häufig) durch Rückgriff auf eine Multiplikationsaufgabe gelöst.

• Beispiel: 32:8 rechne ich 8·4=32


• Rahmenplan:

• Im zweiten Schuljahr wird das Multiplizieren und das Dividieren mit den beiden sachbezogenen Formen des Aufteilens und des Verteilens aus konkreten Handlungen heraus entwickelt, in Beziehung gesetzt und abstrahiert und in den Einmaleinsreihen systematisiert. Diese sollen einschließlich der Umkehraufgaben bis zur Mitte des dritten Schuljahres gedächtnismäßig beherrscht werden.


• Zwei Vorgehensweisen:

• Gestuftes Vorgehen: Behandlung der Einmaleinsreihen

• Ganzheitliches Vorgehen


• Gestuftes Vorgehen: • Reihenfolge in der die Einmaleinsreihen behandelt werden• (Denken und Rechnen 2):

• Einmaleins mit 10 und 5• Einmaleins mit 1, 0• Einmaleins mit 2, 4, 8• Einmaleins mit 3, 6, 9• Einmaleins mit 7

•Gestuftes Vorgehen:

•Behandlung der Aufgaben innerhalb einer Reihe:

•Denken und Rechnen 2, S. 80:

Ganzheitliche Behandlung der 1 x 1-Aufgaben im Unterricht

• Literatur:• Wittmann / Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen• Das Zahlenbuch

• Zugang zum 1 x 1, der von Anfang an auf eine ganzheitliche Sicht aller 1 x 1- Aufgaben gerichtet ist

• konsequente Hinarbeitung auf Zusammenhänge

• drei methodische Mittel:• Hunderterfeld (mit Fünferteilung) und 1x1- Winkel• Einmaleins-Plan• Einmaleins-Tafel

Systematisches Üben von Grundaufgaben

• Abwechslungsreiche Übungen einbeziehen; wenn Wettspiele, dann möglichst mit Zufallsgenerator

• Beziehungen zwischen den Ergebnissen und Gesetzmäßigkeiten in der Plus(Mal)-Tafel bewusst machen. Dort sind auch die Minus(Divisions)aufgaben zu finden.

• Analyse: Nicht nur quantitativ ( wie viel Fehler), sondern auch qualitativ (wer kann welche Aufgabe nicht); Fehler sind kein Zufall!

• -Schüler soll immer die Chance haben, die Aufgabe zu rechnen, wenn er das Ergebnis (noch) nicht auswendig weiß: Material bereitstellen; auf Strategien verweisen.

3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

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