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3. Vorlesung Fuzzy Systeme Fuzzy Mengen Soft Control (AT 3, RMA)

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3. Vorlesung

Fuzzy Systeme

Fuzzy Mengen

Soft Control

(AT 3, RMA)

SC

50 WS 17/18 Georg Frey

3. Vorlesung im Aufbau der Vorlesung

1. Einführung Soft Control: Definition und Abgrenzung, Grundlagen

"intelligenter" Systeme

2. Wissensrepräsentation und Wissensverarbeitung (Symbolische KI)

Anwendung: Expertensysteme

3. Fuzzy-Systeme: Umgang mit unscharfem Wissen

Anwendung: Fuzzy-Control

1. Fuzzy-Mengen

4. Konnektionistische Systeme: Neuronale Netze

Anwendung: Identifikation und neuronale Regler

5. Genetische Algorithmen, Simulated Annealing, Differential Evolution

Anwendung: Optimierung

6. Zusammenfassung & Literaturhinweise

SC

51 WS 17/18 Georg Frey

Fuzzy Systeme

• Kernidee (natürliches Vorbild)

Umgang mit unscharfem Wissen

• Historie

Mitte der 1960er Zadeh Fuzzy Logik

Mitte der 1970er Mandani Fuzzy Control

• Anwendung in der Automatisierungstechnik

Anfang der 1980er erste industrielle Applikationen

Fuzzy-Regler

• Beispiele

Trocknungsprozesse

Gastherme

Fuzzy Regelung eines invertierten Pendels

Waschmaschine (AEG)

Fuzzy Regelung eines Bohrhammers

SC

52 WS 17/18 Georg Frey

Inhalt der 3. Vorlesung

1. Klassische Mengen

1. Definition und wesentliche Begriffe

2. Probleme

2. Fuzzy-Mengen

1. Definition und Begriffe

2. Operationen auf klassischen Mengen und Zusammenhang mit der Logik

3. Erweiterung der Operationen auf Fuzzy-Mengen

3. Zusammenfassung

SC

53 WS 17/18 Georg Frey

Der klassische Mengenbegriff

• Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und

wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres

Denkens zu einem Ganzen.

• Diese Objekte werden Elemente von M genannnt.

• Wenn ein Objekt x zu einer Menge M gehört, schreibt man dafür

x M, wenn nicht, dann x M

• Gleiche Mengen: M1 =M2 (x M1 x M2)

• Ungleiche Mengen: M1 M2

• M1 ist Teilmenge einer Menge M2: M1 M2 (x M1 x M2)

• M1 ist echte Teilmenge einer Menge M2: M1 M2, wenn M1 M2

und M1 M2

• Leere Menge:

SC

54 WS 17/18 Georg Frey

Beschreibung klassischer Mengen

SC

55 WS 17/18 Georg Frey

Probleme im Umgang mit klassischen Mengen

• Hauptproblem ist die binäre Entscheidung über die Zugehörigkeit zu einer Menge (Elemente sind nicht immer wohlunterschieden)

• Besonders kritisch bei kontinuierlichen Größen (in der Regelungstechnik gewöhnlich gegeben)

• Beispiel: Menge der Temperaturwerte aus dem Intervall von 0°C bis 100°C für die gilt: „Temperatur ist hoch“

• für T = 60,00°C erhält man „die Temperatur ist hoch“ gilt

• für T = 59,99°C erhält man „die Temperatur ist hoch“ gilt nicht

Bei Anwendung in regelbasierten Systemen ergeben sich Sprünge

Bsp: R1: Wenn Temperatur hoch, dann Heizdampf aus

R2: Wenn NICHT Temperatur hoch, dann Heizdampf an

1

0

μ

T/°C 60 100

μT=hoch

0

Lösung: Unscharfe Mengen

SC

56 WS 17/18 Georg Frey

Unscharfe Mengen

SC

57 WS 17/18 Georg Frey

Zugehörigkeitsfunktion (ZGF)

• Der Zugehörigkeitsgrad liegt zwischen 0 und 1

• μ(x) = 1 bedeutet, dass x vollständig zur Fuzzy-Menge gehört

• μ(x) = 0 bedeutet, dass x überhaupt nicht zur Fuzzy-Menge gehört

• Werte zwischen 0 und 1 bedeuten, dass x teilweise zur Fuzzy-

Menge gehört

• Besitzt G endlich viele Elemente diskrete Darstellung von ZGF

Angabe der Wertepaare {x, μ(x)}

• Besitzt G sehr viele Elemente oder ist G ein Kontinuum, z.B. kont.

Messgrößen parametrische Darstellung von ZGF

Funktionen bestimmt durch wenige Parameter

Vorteil: geringer Speicherverbrauch, feine Auflösung

Nachteil: unter Umständen komplizierte Berechnung

Funktion, die jedem Element x aus dem im Allgemeinen numerischen

Grundbereich G einen Zugehörigkeitsgrad zu einer Fuzzy-Menge μ(x)

zuordnet.

(VDI/VDE 3550)

SC

58 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (1): stückweise linear

• Angabe der Stützpunke der Funktion

Spezialfall: trapezoide

Funktionen

SC

59 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (2): trapezoid bzw dreieckförmig

Spezialfall: für b = c

erhält man

dreieckförmige ZGF

SC

60 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (3): normierte Gaußfunktion

SC

61 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (4): Differenz sigmoider Funktionen

SC

62 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (5): verallgemeinerte Glockenfunktion

SC

63 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (6): LR-Fuzzy-Menge

• Gegeben durch die parametrische Darstellung ihrer Flanken

(getrennt für rechte und linke Flanke)

• Zwischen den Flanken (m1 < x < m2) gilt μ(x) = 1

µ µL R

SC

64 WS 17/18 Georg Frey

Parametrische Darstellung (7): Singleton (auch diskret)

SC

65 WS 17/18 Georg Frey

Begriffe zur Beschreibung von Fuzzy-Mengen

Anpassung allgemeiner Mengenbegriffe

(für zwei Mengen A und B über einer Grundmenge G)

• Gleichheit von Fuzzy-Mengen: A = B μA(x) = μB(x) x G

• Leere Menge : μ(x) = 0 x G

• Universalmenge: μU(x) = 1 x G

Weitere Begriffe

• Höhe Normalität

• Support

• Kern

• -Schnitt

• Fuzzy-Teilmenge

• Fuzzy-Ähnlichkeit

SC

66 WS 17/18 Georg Frey

Höhe Normalität

• Eine Fuzzy-Menge M heißt normal, wenn H(M) = 1 gilt,

• sonst subnormal

Die Höhe einer Fuzzy-Menge ist durch den Maximalwert ihrer

Zugehörigkeitsfunktion gegeben H(M) = max{μM(x) | x G}

Im Folgenden und in der Praxis werden nur normale Fuzzy-Mengen betrachtet

SC

67 WS 17/18 Georg Frey

Support

• Synonyme: Träger (VDI/VDE 3550), Einflussbreite

• Englisch: support

• Berechnung:

Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge

dann ist der Support von M durch

supp(M) = {x G | μM(x) > 0}

gegeben

Der Support einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem die

Zügehörigkeitsfunktion Werte größer 0 annimmt

(VDI/VDE 3550)

1

0

μ

x a b c d

supp(M) = {x G | a < x < d} μM

supp(M)

SC

68 WS 17/18 Georg Frey

Kern

• Synonyme: Toleranz (VDI/VDE 3550)

• Englisch: core, tolerance

• Berechnung:

Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge

dann ist der Kern von M durch

core(M) = {x G | μM(x) = 1}

gegeben

Der Kern einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem die

Zügehörigkeitsfunktion den Wert 1 annimmt

(VDI/VDE 3550)

1

0

μ

x a b c d

core(M) = {x G | b < x < c} μM

core(M)

SC

69 WS 17/18 Georg Frey

-Schnitt

• Synonyme: -Cut (VDI/VDE 3550), -Level

• Englisch: cut

• Berechnung:

Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge

dann ist der -Schnitt von M durch

-Schnitt(M) = {x G | μM(x) > }

gegeben

Der -Schnitt einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem

die Zügehörigkeitsfunktion Werte größer annimmt

(VDI/VDE 3550)

1

0

μ

x a b c d

½-Schnitt(M) = {x G | e < x < f} = {x G | (a+b)/2 < x < (d+c)/2 }

μM

½-Schnitt(M)

½

e f

SC

70 WS 17/18 Georg Frey

Grundmenge

Support

Zusammenhang: Support, -Schnitt, Kern, Grundmenge

• HINWEIS: Grundmenge, Support, Kern und -Schnitt einer Fuzzy-Menge sind klassische Mengen

• Venn-Diagramm

-Schnitt Kern

SC

71 WS 17/18 Georg Frey

Fuzzy-Teilmenge

Eine Fuzzy-Menge μ1 heißt Fuzzy-Teilmenge einer Fuzzy-Menge μ2 auf der

Grundmenge G (Schreibweise: μ1 μ2 ), wenn gilt:

μ1(x) μ2(x) x G

1

0

μ

x

μ1

μ2

μ1 μ2

SC

72 WS 17/18 Georg Frey

Fuzzy-Ähnlichkeit

Zwei Fuzzy-Mengen A und B sind fuzzy-ähnlich, wenn

core(A) = core (B) und supp(A) = supp(B)

1

0

μ

x

a b c d

• zwei Fuzzy-Mengen sind genau dann fuzzy-ähnlich wenn sie sich

nur in der Form der linken und rechten Flanke unterscheiden

• Folgerung 1: Wesentliche Änderungen bei der Beschreibung einer

Fuzzy-Menge werden durch Änderung von Support und Kern erzielt

• Folgerung 2: Es ist im Allgemeinen ausreichend trapezoide oder

dreieckige Zugehörigkeitsfunktionen zu benutzen

SC

73 WS 17/18 Georg Frey

Operationen der klassischen Mengenlehre und Beziehung zur Logik

• Durchschnitt von Mengen (UND):

x ist Element der Schnittmenge von M1 und M2

x ist Element von M1 UND x ist Element von M2

• Vereinigung von Mengen (ODER):

x ist Element der Vereinigungsmenge von M1 und M2

x ist Element von M1 ODER x ist Element von M2

• Komplement von Mengen (NICHT):

x ist Element der Komplementärmenge von M1

x ist NICHT Element von M1

SC

74 WS 17/18 Georg Frey

Erweiterung auf Fuzzy-Mengen durch Zadeh

SC

75 WS 17/18 Georg Frey

Durchschnitt von Fuzzy-Mengen

SC

76 WS 17/18 Georg Frey

Vereinigung von Fuzzy-Mengen

SC

77 WS 17/18 Georg Frey

Komplement von Fuzzy-Mengen

SC

78 WS 17/18 Georg Frey

Probleme mit dem NICHT-Operator

• Klassisch:

A UND NICHT A = 0

A ODER NICHT A = 1

SC

79 WS 17/18 Georg Frey

Gültigkeit von Äquivalenzen

SC

80 WS 17/18 Georg Frey

t-Norm und s-Norm

• t-Norm

Verallgemeinerung der logischen UND-Verknüpfung die

Zugehörigkeitsgrade der Eingangsgrößen aus dem Intervall [0, 1] in

einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 der Ausgangsgröße

abbildet, wobei die Abbildung monoton, kommutativ und assoziativ ist.

• s-Norm (Synonym: t-Conorm)

Verallgemeinerung der logischen ODER-Verknüpfung die

Zugehörigkeitsgrade der Eingangsgrößen aus dem Intervall [0, 1] in

einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 der Ausgangsgröße

abbildet, wobei die Abbildung monoton, kommutativ und assoziativ ist.

• Operatorenpaar

Wenn eine t-Norm zusammen mit einer s-Norm die Verallgemeinerung

der De-Morgan‘schen Gesetze erfüllt, dann bilden beide ein

zusammengehöriges Operatorenpaar

SC

81 WS 17/18 Georg Frey

Weitere Operatoren VDI/VDE 3550

SC

82 WS 17/18 Georg Frey

Zusammenfassung und Lernkontrolle zur 3. Vorlesung

Elementare Begriffe klassischer Mengen kennen

Wissen warum klassische Mengen zur Beschreibung von

kontinuierlichen Sachverhalten teilweise problematisch sind

Begriffe der Fuzzy-Mengen und Möglichkeiten zu deren Darstellung

kennen

Charakteristische Werte von Fuzzy-Mengen berechnen können

(Support, Kern, Höhe, Schnitt)

Zusammenhang zwischen Mengen und Logik kennen

Elementare Operatoren der Fuzzy-Mengen bzw. der Fuzzy-Logik

kennen und anwenden können