314 3.3 Das magnetische Feld

Auf einen stromführenden Leiter in einem dazu senkrechten ä ußeren Magnetfeld wirkt eine Kraft senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld. Sie ist der Geschwindigkeit der Ladungsträger im Leiter und der magnetischen Induktion B des äußeren Magnetfeldes proportional. Mit GI. (3.64) und (3.65) erhalten wir den Zusammenhang zw~chen der Lorentzkraft F L und dem Strop I im Leiter mit der vektoriellen Länge I, der man die Richtung der Stromdichte S zuo rdnet :

F L = I(lx B) (3.78)

3.3.3.2 Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger

Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf einen Leiter nur dann aus, wenn in diesem ein Strom fließt, wenn sich also Lad u ngs träger im Leiter bewegen. Dabei ist der Lei ter nich t wesen tlich. Auch auf bewegte Ladungsträger in Gasen oder im Vakuum wirkt die Kraft eines äußeren Magnetfeldes.

o Versuch 32. Fadenstrahlrohr. In einem Glasgefäß (Bild 3.62) befindet sich ein Gas geringer Dichte. Zwei nicht eingezeichnete Spulen erzeugen ein annähernd homogenes magnetisches Feld senkrecht zur Zeichenebene. Die von einer Glühkathode 1 austreten-den Elektronen werden zur Anode 2 hin beschleunigt. Ein Teil von ihnen fliegt durch ein Loch der Anode 2.

3.62 Magnetische Ablenkung eines Elektronenstrahls im Fadenstrahlro hr. Das M agnetfeld ist senkrecht zur Zeichenebene von vorn nach hjnten gerichtet

Ihre Bahn wird durch das Leuchten, zu dem sie die Gasmoleküle durch Stöße anregen, sichtbar. Ohne äußeres Magnetfeld fliegen die Elektronen nach Verlassen der Anode geradlinig (3) weiter. Nach Einschalten des Stromes in den Spulen beobachtet man aber eine deutlich abgelenkte Bahn 4, die mit wachsendem Strom in den Spulen immer stärker gekrümmt ist, bis sie z. B. zu einem geschlossenen Kreis 5 wird. 0

Auf die Elektronen im magnetischen Feld wirkt demnach eine Kraft senkrecht zum Feld und zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Die dadurch hervorgerufene Auslenkung des Elektronenstrahls entspricht der des Stabes im Versuch 29 a), ja, der Stab bewegt sich dort überhaupt nur, weil auf die Elektronen, die sich in ihm bewegen, diese Kraft wirkt. Bezüglich der Richtung der Kraft muß man berücksichtigen, daß die Bewegungsrichtung der Elektronen der konventionellen Stromrichtung entgegengesetzt ist.

Wirkt auf einenKörper eine K r a f t sen k r e c h t zur B ewe gun g s r ich tun g , so ändert sich nur die Richtung, nicht der Betrag seiner Geschwindigkeit ; der Körper

3.3.3 Kraftwirkung magnetischer Felder 315

erfahrt also eine reine Radialbeschleunigung. Ist die Kraft dem Betrag nach konstant, so beschreibt er eine Kr eis ba h n. In Versuch 32 erzeugt das homogene magnetische Feld eine derartige Kraft auf die Elektronen, daher bewegen sie sich auf einer Kreisbahn. Mit wachsendem Spulenstrom, d. h. mit steigender magnetischer Induktion B des Magnet-feldes, wird der Radius der Bahn immer kleiner, weil die Kraft auf die Elektronen wächst. Da ein konstante Magnetfeld also nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindig-keit eines Ladungsträgers ändert, bleibt die kinetische Energie des Ladungsträgers konstant: Das magnetische Feld leistet keine Arbeit. Der Elektronenstrahl entspricht einem Strom I = Q/t. Mit GI. (3.41) schreiben wir

1= g = neoAv t

Dabei ist n = N / Vdie Zahl der Elektronen pro Volumen, v deren Geschwindigkeit, Ader Querschnitt des Elektronenstrahls und eo die Elementarladung des Elektrons. Mit GI. (3.64) und (3.65) erhalten wir für die Kraft auf die Elektronen des Strahls

F = neoAvlB

Im Volumen V = Al sind nAI Elektronen vorhanden. Damit ist wie in GI. (3.66) die Kraft auf ein Elektron F L = eo(V x ih

Wirkt gleichzeitig ein elektrisches und ein magnetisches Feld, so erhält man al vollständigen Ausdruck für die Lorentzkraft

FL = QE + Q(vx B) = Q(E + vX B) I)

Beispiel 19. Die Anordnung von Versuch 32 eignet sich auch zur Bestimung der spezifischen Ladung eo/m. des Elektrons. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft.

FL = mev2 jr = eovB

Die magnetische Induktion B ist aus den Abmessungen der Spulen und des Stromes zu ermitteln, der Radius r der Bahn ist direkt meßbar. D ie Geschwindigkeit erhält man mit GI. (3.62) aus der Beschleunigungsspanung U. Somit wird

(3.79)

bestimmbar. Gemessene Zahlenwerte : U = 200 V; Windungszahl N = 100; I = 1 A; Gesamtlänge der Spule 1= 13,2 cm· r = 5· 10- 2 m. Daraus eo/ Ill. = 1,77 . 1011 Asjkg (Genauer Wert : 1,7589 . 10 11 Asjkg).

Anwendungen. Auf der Kraftwirkung magnetischer Felder auf stromdurchnossene Leiter beruht die Wirkungsweise der in Abschn. 3.3.6.2 beschriebenen Elektromotoren und des in Abschn. 3.2.1 besprochenen D re h s pul ins t ru me n tes. Die Ablenkung von Elektronenstrahlen durch die Magnetfelder von Spulen wird bei Fernsehbildröhren angewandt. Im Hals der Bildröhre sind 3 Elektronenkanonen für die Farben Blau, Grün und Rot untergebracht. Sie bestehen au Heizfaden, Kathode, Wehneltelektrode, Schirmgitter, Fokussierungselektroden und Beschleunigung elektroden (s. Abschn. 3.2.6.1). Die vertikale (Bild) und horizontale (Zeile) Ablenkung der Elektronen trahlen

I) Siehe auch Abschn. 8.2.3

82 1.5 Dynamik der Drehbewegungen

2. Welche Anziehungskraft übt die Erde aufeinen Körper der M a oe I kg auf dem Mond, welche der Mond auf einen gleichen Körper auf der Erde au ? (Durehme er ernaehlä igen.)

3. a) Man zeichne ein Diagramm, in dem die Fallbesch leunigu~g (Ordinale) al Funktion der Höhe über der Erdoberfläche (Abszisse) bi 5000 km aufgetragen wird.

b) In einem entsprechenden Diagramm trage man al Ordinate die potentielle Energie ei ne Körper der Masse 1 kg bezogen auf die Erdoberfläche auf.

4. Ein Raumfahrer hat sich 2 m von einer kugelförmigen Raum tation mit 20 m Durchme ser und der Masse 2· 106 kg entfernt. Wie lange würde es d auern, bi er nur durch die Gravi tatio nskraft wieder auf der Station angelangt wäre? (Es ei eine kon tante mittlere Fallbeschleunigung

angenommen).

5. Welche Anfangsgeschwindigkeit braucht ein G e choß, um von der Erde in den Weltraum (r --+ (0) zu gelangen?

1.5 D ynamik der Drehbewegongen

In diesem Abschnitt gehen wir über die bloße Be s c h re i b u n g von Drehbewegungen (Abschn. 1.2) hinaus und untersuchen ihre Ursachen. Wir tun da in zwei Schritten. Zunächst nehmen wir an, die gesamte Masse eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körpers sei in einem P unkt vereinigt, wir benutzen also da Modell des sog. Massenpunktes. Danach stellen wir auch die Au dehnung eine sich drehenden Körpers in Rechnung. Dazu werden wir das Modell des og. star r en Körpers verwenden.

1.5.1 Massenpunkt

Für die folgenden Betrachtungen denken wir uns die Körper als Massenpunkte. (Vgl. Abschn. 1.3.2.3)

1.5.1.1 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

o Versuch 10 (Bild 1.70). Eine Kugel 1 wird an einem Faden 2 unter Einschaltung eines Kraftmessers 3 mit der Hand 4 gleichförmig im Kreise herumgeschwungen. Der Kraftmesser zeigt eine im Faden wirkende Kraft an, die um so größer ist, je schneller die Kugel bewegt wird. Der Faden und damit die Kraft zeigen nicht genau auf den Kreismittelpunkt. Man muß mit leicht kreisender Handbewegung immer etwas schräg nach vorn ziehen. 0

Zur Erklärung des Versuches 10 zerlegen wir die Kraft F in eine tangentiale und eine radiale Komponente, Ft und Fzpo Die Tangentialkraft Ft dient zur Kompensation der Luftreibungskraft FR, welche die Kugel auf ihrer Bahn erfährt. Wird Ft größer a ls FR, wird die Kugel tangential beschleunigt.

Das Auftreten der viel größeren Radialkraft Fzp verstehen wir, wenn wir uns an das erste Newtonsche Axiom erinnern (vgl. Abschn. 1.3.1). Danach wirkt nur solange keine äußere Kraft auf einen Körper, wie er in Ruhe oder in ge rad I i n i g gleichförmiger Bewegung ist.

aaa514Bleistift

aaa514Linien

Auf eine Kreisbahn muß er also auch bei konstantem Betrag der Bahngeschwindig-keit ständig durch eine Kraft gezwungen werden. Wie wir aus Abschn. 1.2.1.2 wissen, erfährt der Körper dabei die Radialbe-schleunigung Qr = 0 2 / r = ro2r, die nur die Änderung der R ich tun g , nicht jedoch die Änderung des Betrages der Bahngeschwin-digkeit v hervorruft.

Die Ursache für die Radialbeschleu-nigung är ist die Zentripetalkraft') Fzp = mär mit dem Betrag Fzp = m02/r = mro2r. Sie greift an dem Körper an, der auf die Kreisbahn gezwungen wird.

1.5.1 Massenpunkt 83

_--_ 1;

1. 70 Kräfte bei der Kreisbewegung

Lassen wir in Versuch 10 den Körper los, so fliegt er in Richtung einer momentanen Bahngeschwindigkeit in tangentialer Richtung weg (vgl. z. B. auch Funken am Schleifstein.) Zu jeder Kraft gehört nach dem dritten Newtonschen Axiom eine Gegenkraft. Man spürt sie in unserem Versuch an der im Zentrum befindlichen Hand. Sie ent teht durch die Trägheit der Kugel, ist also eine Träghei tskraft (vgl. Abschn.1.3.3.3). Ihre Radialkomponente muß der an der Kugel angreifenden Zentripetalkraft entgegengesetzt gleich sein. Da man durch sie an der Hand den Eindruck hat, der Körper zöge nach außen, würde also das Zentrum fliehen, bekommt sie den Namen Fliehkraft oder Zentrifugalkraft ') F zr.

Die Zentrifugalkraft Fzr ist die Gegenkraft zur Zentripetalkraft Fzp- Daher gilt Fzr = -Fzp.

In Versuch 10 ist die Person, welche die Kugel im Kreis herumschleudert, ein äußerer Be 0 b ach te r. Sie spürt deutlich, daß die Zentrifugalkraft an ihrer Hand und nicht an der Kugel angreift. Darum gilt:

Vom äußeren Beobachter aus betrachtet greift die Zentrifugalkraft Fzr nicht an dem Körper an, der auf die Kreisbahn gezwungen wird.

Versetzen wir uns jedoch in die Lage eines Astronauten, der mit einem Raum chiff die Erde umkreist, so ist eine andere Betrachtungswei e zweckmäßig ; denn der Astronaut i t ein mit seinem Raumschiffradial mi tbeschleunigter Beo bach ter. Für ihn er cheint das Raumschiff in Ruhe. Also muß er, wie in Ab chn. 1.3.3.4 be chrieben, chließen, daß

') LaI. petere = zu erreichen suchen ; lat. fugare = fliehen .

84 1.5 Dynamik der Drehbewegungen

die von der Erde aus wirkende Gravitationskraft durch eine gleich große entgegengesetzt gerichtete Kraft kompensiert wird. Es gilt de halb:

Für den mi t besch le uni gten Beobachter greift auch die Zentrifugalkraft an dem auf der Kreisbahn bewegten Körper an.

Zur Angabe des Angriffspunktes der Zentrifugalkraft gehört daher stets die Angabe des Beo bach ters tandpunk tes. Welcher Standpunkt der zweckmäßi-gere ist, hängt vom jeweiligen Problem ab. (Vgl. auch dje Abschn. 1.3.3.3 und 1.3.3.4).

Beispiele: 18. Die Schaufel einer Dampfturbine bewegt sich auf dem Umfang des Laufrades mit 1 m Halbmesser mit der Drehzahl 3000 min - 1. Wievielmal größer als ihre Gewichtskraft muß die Zentripetalkraft sein, die die Schaufel auf ihre Kreisbahn zwingt?

Fzp mw2r w 2r 4n 2n2r

-=--=-=--= mg g g

4n2 • 2500 . 1 m S2

S2 . 9,81 m = 10000

Alle Befestigungen müssen also die 10000fache Gewichtskraft der Schaufel übertragen können!

19. In einer Trockenschleuder rotiert die Wäsche so schnell, daß die Kräfte, die die Wassertröpfchen im Gewebe festhalten , nicht mehr ausreichen, um für sie die Zentripetalkraft aufzubringen. Die Wassertröpfchen fliegen in tangentialer Richtung aus der Wäsche heraus.

20. Ein Auto kann nur deshalb eine Kurve durchfahren, weil die Haftreibungskraft zwischen Straße und Rädern die erforderliche Zentripetalkraft liefert. Da diese quadratisch mit der Bahngeschwindig-keit v anwächst, Fzp = mv

2 /r, kann es geschehen, daß die Haftreibungskraft bei zu schneller Fahrt nicht mehr ausreicht und das Auto sich geradlinig weiterbewegt. Es wird nicht etwa durch die Fliehkraft aus der Kurve "hinausgetragen", wie oft fälschlich angenommen wird, denn die Fliehkraft greift ja, vom äußeren Beobachter aus gesehen, nicht am Auto, sondern als Reaktionskraft auf die Zentripetalkraft an der Straße an.

21. Wegen der Erddrehung wird ein kleiner Teil der Gravitationskraft dazu benutzt, um die Zentripetalkraft für die rotierende Erdmasse zu liefern (s. Aufgabe 1 zu Abschn. 1.5.1). Nach den Polen zu nimmt dieser Teil wegen des kleineren effektiven Radius ab und verschwindet dort. Das ist die Ursache für die Abplattung der Erde an den Polen.

Anwendungen. Siehe die folgenden Aufgaben.

Aufgaben zu Abschn. 1.5.1 1. a) Wieviel Prozent der Gravitationskraft werden am Äquator der Erde als Zentripetalkraft benötigt?

b) Man berechne die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse 1 kg an den Polen. Dabei werde die Erde als Kugel und die resultierende Gewichtskraft (gleich Gravitationskraft minus senkrechter Komponente der Zentripetalkraft) in 45 ° Breite zu 9,81 N angenommen.

2. Wie schnell muß ein "Steilwandfahrer" an der Innenwand eines senkrecht stehenden Zylinders mit 10 m Durchmesser mindestens fahren, um nicht herabzufallen ? (p' = 0,2).

1.71 Fliehkrartregler

KreisbewegungLorentzkraft 1magnetische Induktionspezifische Ladung des Elektrons