4. Σεισμική Απόκριση του Εδάφους

ήεδαφική «ενίσχυση» του σεισμικού

κραδασμού

4. Σεισμική Απόκριση του Εδάφους

ήεδαφική «ενίσχυση» του σεισμικού

κραδασμού

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

4.1 Παραδείγματα από πραγματικούς σεισμούς

4.2 Γενικά-ορισμοί

4.3 Αναλυτικές μέθοδοι

4.4 Εμπειρικές μέθοδοι

4.5 Αριθμητικές μέθοδοι

Πρόσθετο ∆ιάβασμαΠρόσθετο ∆ιάβασμα

• Steven Kramer: Chapter 7 (7.1 & 7.2) και Chapter 8

• Γιώργος Γκαζέτας: Κεφάλαιο 4 (4.2)

• SHAKE – Users’ Manual

Στα παραδείγματα από πραγματικούς σεισμούς που θα ακολουθήσουν

ας προσπαθήσουμε να ποσοτικοποιήσουμε την επίδραση του

εδάφους. Κρατήστε λοιπόν στοιχεία σχετικά με:

Α. Τον συντελεστή εδαφικής ενίσχυσηςΒ. Τους παράγοντες που τον διαμορφώνουνΓ. Αφορά μόνον την μέγιστη επιτάχυνση

ή και το ελαστικό φάσμα απόκρισης;

4.1. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΣΕΙΣΜΟΥΣ

Παράδειγμα: Σεισμός San Francisco 1957

Μεταβολή της σεισμικής επιτάχυνσης ανάλογα με τις εδαφικέςσυνθήκες στις θέσεις καταγραφής

Παράδειγμα: Σεισμός San Francisco 1989

Καταγραφή σεαναδυόμενο ΒΡΑΧΟ

Καταγραφή στην επιφάνειατεχνητών επιχώσεων επίαργιλικού πυθμένα (Bay mud)

75 cm/sec2

170 cm/sec2

Ιδιότητα του εδάφους (πάχος, σύσταση, κλπ.) ή και του σεισμού;

Παράδειγμα: Σεισμός Kobe 1995

Παράδειγμα: Σεισμός της Αθήνας 1999

Moderate damage

Slight or no damage

Severe damageor collapse

N

S

N

S

STIFF SOIL AMPLIFICATION at Ano Liosia municipality

Παράδειγμα:Σεισμός της Αθήνας 1999

0

25

50

75

100

(%)

of

bu

ildin

gs

BoreholeCHT2

DH5

80

60

40

20

0

DE

PT

H (

m)

Vs (m/sec)

_ Vs,30 =697 m/sec

360 7600 1300

_ Vs,30 =613

_ Vs,30 =545 _

Vs,30 =500

_ Vs,30 =496

N S

0 1300 0 1300 0 1300 0 1300

Cross-section N-S

Conglomerates Clayey Marl

Παράδειγμα: Σεισμός Mexico 1985

γεωλογία πάχος εδάφους Τυπικές καταγραφές σεΕ∆ΑΦΟΣ & ΒΡΑΧΟ

Μηχανισμός επίδρασης του Ε∆ΑΦΟΥΣ

ΑνάλυσηFourier

ΣύνθεσηFourier

Μερικά (πρώτα) συμπεράσματα . . .

Α. Ο συντελεστής εδαφικής ενίσχυσηςΒ. Παράγοντες που τον διαμορφώνουνΓ. Αφορά μόνον την μέγιστη επιτάχυνση

ή και το ελαστικό φάσμα απόκρισης;(απαντήστε με βάση τα παραδείγματα που προηγήθηκαν)

Συχνά,

η επίδραση ολίγων μέτρων μαλακού εδάφουςείναι μεγαλύτερη απότην επίδραση αρκετών χιλιομέτρων του στερεού φλοιού….

Συχνά,

η επίδραση ολίγων μέτρων μαλακού εδάφουςείναι μεγαλύτερη απότην επίδραση αρκετών χιλιομέτρων του στερεού φλοιού….

επίδραση εδάφους και ο ΕΑΚ-2000 ………

π.χ.Κατηγορία Β: Εντόνως αποσαθρωμένα βραχώδη ή εδάφη που απόμηχανική άποψη μπορούν να εξομοιωθούν με κοκκώδη. Στρώσειςκοκκώδους υλικού μέσης πυκνότητας (και) πάχους μεγαλύτερουτων 5μ, ή μεγάλης πυκνότητας (και) πάχους μεγαλύτερου των 70μ.

π.χ.Κατηγορία Β: Εντόνως αποσαθρωμένα βραχώδη ή εδάφη που απόμηχανική άποψη μπορούν να εξομοιωθούν με κοκκώδη. Στρώσειςκοκκώδους υλικού μέσης πυκνότητας (και) πάχους μεγαλύτερουτων 5μ, ή μεγάλης πυκνότητας (και) πάχους μεγαλύτερου των 70μ.

Vs,30=180-360m/s

NSPT=15-50

Cu=70-250KPa

ParametersParameters

EE

DD

Deep deposits of dense or medium-dense sand, gravel or stiff clay with thickness from several tens to many hundreds of m

CC

BB

AA

DescriptionDescription

0.05

0.10

0.10

0.05

0.05

M<5,5M<5,5

0.15

0.20

0.20

0.15

0.15

M>5,5M>5,5

TTBB

1.6

1.8

1.5

1.35

1.0

M<5,5M<5,5

1.4

1.35

1.15

1.2

1.0

M>5,5M>5,5

SS TTCC

0.25

0.30

0.25

0.25

0.25

M<5,5M<5,5

0.5EE

0.8DD

0.6CC

0.5BB

0.4AA

M>5,5M>5,5

0 0.5 1 1.5T (s)

0

1

2

3

Se

/ (S

*ag)

A

B,EC

D

M>5.5

επίδραση εδάφους και ο EC-8 ………

0 0.5 1 1.5T (s)

0

1

2

3

Se /

(S*a

g)

A,B,C,E

D

Vs,30=180-360m/s

NSPT=15-50

Cu=70-250KPa

ParametersParameters

EE

DD

Deep deposits of dense or medium-dense sand, gravel or stiff clay with thickness from several tens to many hundreds of m

CC

BB

AA

DescriptionDescription

0.05

0.10

0.10

0.05

0.05

M<5,5M<5,5

0.15

0.20

0.20

0.15

0.15

M>5,5M>5,5

TTBB

1.6

1.8

1.5

1.35

1.0

M<5,5M<5,5

1.4

1.35

1.15

1.2

1.0

M>5,5M>5,5

SS TTCC

0.25

0.30

0.25

0.25

0.25

M<5,5M<5,5

0.5EE

0.8DD

0.6CC

0.5BB

0.4AA

M>5,5M>5,5

M<5.5

επίδραση εδάφους και ο ΕC - 8 ………

4.2 ΓΕΝΙΚΑ - ΟΡΙΣΜΟΙ

Η επίδραση του εδάφους εκφράζεται ως ο λόγος (ή το φάσμα)μεταφοράς της σεισμικής κίνησης, από το σεισμικό υπόβαθρο στηνελεύθερη επιφάνεια του εδάφους.

∆ηλαδή: κίνηση στο σημείο Γ

κίνηση στο σημείο Β

ή (συνηθέστερα) κίνηση στο σημείο Γ

κίνηση στο σημείο Α

Παρένθεση: Τι είναι το «σεισμικό υπόβαθρο»;

Οι γνώμες στο θέμα αυτό γενικά διίστανται. Συμβατικά, ωςσεισμικό υπόβαθρο χαρακτηρίζονται γεωλογικοί σχηματισμοί μεταχύτητα μετάδοσης διατμητικών κυμάτων Vs≥750m/s. Έναςτέτοιος μονοσήμαντος ορισμός δεν είναι όμως πάντοτε σωστός. Στην πραγματικότητα, σεισμικό υπόβαθρο είναι ο σχηματισμόςστην ελεύθερη επιφάνεια του οποίου αναφέρεται η σεισμικήδιέγερση.

Για τα ελληνικά δεδομένα, όπου τα σεισμολογικά δεδομένα για«βράχο» έχουν προέλθει από καταγραφές στην ελεύθερηεπιφάνεια στιφρών και συνεκτικών εδαφών και βράχων (βλ. κατηγορία εδάφους Α στον ΝΕΑΚ) τον ρόλο του σεισμικούυποβάθρου παίζουν συνήθως οι Νεογενείς ή παλαιότεροιγεωλογικοί σχηματισμοί ή ακόμη και τα μέτρια έως καλάσυγκολλημένα κροκαλοπαγή όταν δεν εναλλάσσονται με πρόσφατεςεδαφικές αποθέσεις.

I. Αναλυτικές (αρμονική κίνηση, ομοιόμορφο & ελαστικό έδαφος, ...)

II. Εμπειρικές (με βάση γεωλογικά & σεισμολογικά δεδομένα)

III. Αριθμητικές (SHAKE, DESRA, …)

Για την ανάλυση-πρόβλεψη της εδαφικήςεπίδρασης είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούντρεις (3) κατηγορίες μεθόδων

κόστος

,αξιοπιστία

ευκολία

Ομοιόμορφο ελαστικό έδαφος επί ακάμπτουυποβάθρου

Ομοιόμορφο ιξώδο-ελαστικό έδαφος επίακάμπτου υποβάθρου

Ομοιόμορφο ιξώδο-ελαστικό έδαφος επίευκάμπτου υποβάθρου

Ανομοιόμορφο ιξώδο-ελαστικό έδαφος επίευκάμπτου υποβάθρου

4.3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ

Ορισμοί για ελαστικό έδαφος (ξ=0) :

( )ςαριθμςκυματικω

ρ

όόV

k

V

HTήT

V

HT

GV

brb

ss

=

==

=

4,

4

Vs, ρs, ξs HVb, ρb, ξb(ή Vr, ρr, ξr)

Ελαστικό έδαφος επί ΑΚΑΜΠΤΟΥυποβάθρου

( ) ( )kztikzti BeAeu −+ += ωω

τελικώς: στάσιμο κύμα εύρους

kH

kzukzAu oo cos

coscos2 ==

tioeuu ω=

( )

( )kzti

kzti

Be

Ae−

+

ω

ω

z H( ) ( )[ ]

( )

kzcosAe22

eeAe2u:ά

BA0eBAGik:0z

0BeAeGik0z

uG

0:ήή

tiikzikz

ti

ti

kztikzti

0z

0z

ωω

ω

ωω

ρα

γιακαι

τκησυνθυνοριακΣ

=+

=

=⇒=−=

=+⇒=∂∂

=

−

−+

=

=

kHcos2

uAήkHcosA2uά

euu:συνθήκηΣυνοριακή

oo

ti

oHz

==

==

ρα

ω

kHcos2

uAήkHcotA2uά

euu:συνθήκηΣυνοριακή

oo

ti

oHz

==

==

ρα

ω

Συντελεστήςενίσχυσης: ( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ΒΓ

=

3,2

5cos

2,2

3cos

1,2

cos

2

122

cos2

,2,1,12

2cos

1

cos

1

.

1

nH

z

nH

z

nH

z

A

uή

H

zn

A

u

nnTT

TTkHί

ίF

exc

soil

exc

soil

π

π

π

π

πνησηκνησηκω

K

L

συντονισμός:

ιδιομορφές:

|F1|

0 1 3 5 7 Ts/Texc

n=1

n=3

n=2

1

00 1-1

z/H

u/2A

Ορισμοί για ελαστικόέδαφος (ξ=0)

Ορισμοί για ιξώδο-ελαστικόέδαφος (ξ≠0)

( )ςαριθμςκυματικω

ρ

όόV

k

V

HTήT

V

HT

GV

brb

ss

=

==

=

4,

4

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )ξξωω

ξξ

ξγιαξρ

ξ

iKiVV

K

iTiV

H

V

HT

iVG

V

iGG

−=−≈=

−=−≈=

≤+≈=

+=

11

1144

30,01

21

**

**

**

*

Vs, ρs, ξs HVb, ρb, ξb(ή Vr, ρr, ξr)

Ιξωδο-ελαστικό έδαφος επί ΑΚΑΜΠΤΟΥ υποβάθρου

( ) ( )[ ] ( )kHikHikHHkF

ξξω

−=

−≅=

cos

1

1cos

1

cos

1*2

( ) ( )0cossinhcoscos 2222 →+≈+=± yyxyxiyx

( )( ) sVόkHkH

F /cos

122

2 ωκπουξ

ω =+

≈

Ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις αρκεί οι πραγματικέςπαράμετροι του εδάφους να αντικατασταθούν με τιςαντίστοιχες μιγαδικές.

συντελεστήςενίσχυσης

δεδομένου ότι

( ) ( ) ( )

12

212

1

12

2max 2

−=

−≈−

=

nT

Tή

nkHόn

F

exc

soil

πτανξπ

ω

ελαστικόέδαφος επίΑΚΑΜΠΤΟΥβράχου

ιξωδο-ελαστικόέδαφος επίΑΚΑΜΠΤΟΥβράχου

Ομοιόμορφο ιξωδο-ελαστικό έδαφος επί

ΕΥΚΑΜΠΤΟΥ υποβάθρου

( )

( ) ( )b

bb

s

ssbssb

tissss

s

sss

z

uG

z

uGuHuHzz

ezkAuz

uGz

∂∂

=∂∂

===

=→=∂∂

==

&0:,0

cos20:0 * ωτ L

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

++−=

−++=⇒

−

−

HikHiksb

HikHiksb

ss

ss

eaeaAB

eaeaAA

**

**

**

**

112

1

112

1

b

s

b

s

bb

ss

bb

ss

i

ia

i

i

V

V

V

Va

ξξ

ξξ

ρρ

ρρ

++

=++

==1

1

1

1*

**

Συνοριακές συνθήκες:

ρs,Vs

ρb,Vb

zs

zb

[ ] tisss ezkAu

s

ω*cos2=

H

( )bb zktibeA

*+ω

( )bb zktibeB

*−ω

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ])(F

HkHkcos

1

Hkcos

1F

BA

A2

0u

0u

u

uF

22

12

sss

2*

s

3

bb

s

b

s

B

A3

ωξ

ω

ω

=+

≈=

⇒+

=== L

για άκαμπτο βράχο, Vb ∞, as 0, ξs ξs, έτσι:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21

2

sss

2*

s

*

s

*

s

4

b

sA4

HkHkcos

1

HksiniaHkcos

1F

A2

A2

u

uF

ξω

ωΓ

+≈

+=

⇒== L

( )( ) ( )[ ]

( )ωξ

ω 32

12

sss

24 F

HkHkcos

1F =

+=

bb

sss

s

.excsss

V

Va

T

Ta

2

ό

ρρπ

ξξ

που

=

+=

Στην πράξη,όμως,

ενδιαφέρει κυρίως ο λόγος

UA/UΓ:

1

exc

ssss

exc

s

s

s

T

Ta

2

T

T

2V

HHk

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

==

πξξ

πω

Σημαντικές παράμετροι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21

2

sss

2*

s

*

s

*

s

4

HkHkcos

1

HksiniaHkcos

1F

ξω

+≈

+=

bb

sss

s

.excsss V

Va,

T

Ta

2:ό

ρρ

πξξπου =+=

)T

Tή(

T

T

V

Va

TT

exc

b

S

b

bb

sss

s

excs

≈=ρρ

ξ

4.4 ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ

Ανάλυση βλαβών από παλαιούς σεισμούς

Συσχετισμοί με την (επιφανειακή) Γεωλογία

Σχέσεις εξασθένισης αmax, Vmax, ….

Συσχέτιση με την ταχύτητα CS

Αντισεισμικοί Κανονισμοί

Εμπειρικές σχέσεις (βλ. Παράρτημα Α)

Ανάλυση βλαβών από παλαιούς σεισμούς:Χάρτης ισόσειστων του San Francisco από τον σεισμό του 1906

Συσχετισμοί με την (επιφανειακή) Γεωλογία:Συντελεστές μέσης φασματικής ενίσχυσης

Σχέσειςεξασθένισης

α max, V m

ax, ….

Ανάλυση βλαβών από παλαιούς σεισμούς

Συσχετισμοί με την (επιφανειακή) Γεωλογία

Σχέσεις εξασθένισης αmax, Vmax, ….

Συσχέτιση με την τάχυτης CS

Αντισεισμικοί Κανονισμοί

Εμπειρικές σχέσεις (βλ. Παράρτημα Α)

Παρατήρηση: Οι εμπειρικές σχέσεις εκτίμησης της εδαφικήςενίσχυσης του σεισμικού κραδασμού είναι εν γένει μειωμένηςακρίβειας, και δεν θα πρέπει να χρησιμοποιούνται σε εφαρμογέςΜηχανικού. Εξαίρεση αποτελούν οι Αντισεισμικοί Κανονισμοί καιοι εμπειρικές σχέσεις του Παραρτήματος Α που μπορούν ναχρησιμοποιούνται για συνήθη έργα ή για προκαταρκτικούςυπολογισμούς.

∆ηλαδή….

ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ

(ή FREQUENCY DOMAIN ANALYSΕS)

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ

(ή TIME DOMAIN ANALYSΕS)

4.5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ

Είναι οι πλέον αξιόπιστες, και για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνταιπολύ συχνά (πλέον) στην πράξη. Λαμβάνουν συστηματικά υπόψη τηνανομοιομορφία του εδάφους, την μη-αρμονική μορφή της σεισμικήςδιέγερσης, καθώς και την μη γραμμική συμπεριφορά του εδάφους υπόδυναμική φόρτιση.

∆ιακρίνονται σε δύο κατηγορίες:

(Α) ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ(ή ανάλυση κατά συχνότητα, ή ανάλυση τύπου SHAKE, ή complex

response method in the frequency domain)

(1)

(i) hiρi, Goi, ξoi

Απόκριση

στηνελεύθερη επιφάνειαή στηνδι-επιφάνεια τωνστρώσεων

ρb, Gb (ξb=0)∆ιέγερσηστο «αναδυόμενο»ή στο «θαμμένο»ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Τα βασικά δεδομένα περιλαμβάνουν:

Την χρονοϊστορία της (επιτάχυνσης) διέγερσης.

Το ελαστικό μέτρο διάτμησης Go,b και την πυκνότηταμάζας ρb του σεισμικού υποβάθρου

Το βάθος (από την ελεύθερη επιφάνεια) και το πάχοςκάθε εδαφικής στρώσης i

Το αντίστοιχο ελαστικό μέτρο διάτμησης Go,i και ηπυκνότητα μάζας ρi

Τις καμπύλες μεταβολής του μέτρου διάτμησης και τουλόγου υστερικής απόσβεσης με το εύρος της επιβαλλόμενηςδιατμητικής παραμόρφωσης (G/Go-γ και ξ-γ)

±τ

±γc

ανακυκλικήφόρτιση

•απομείωση διατμητικήςδυστμησίας

•απώλεια ενέργειαςΣΕΙΣΜΟΣ

1

Go1

G < Go (απομείωση)

γc

-γc

γ

τ

ΔΕ

Εελ.

.4

1

ελΕΔΕ

πξ =

Προσομοίωση της μη-γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους με βάσηπειραματικές μετρήσεις

(Vucetic & Dobry, 1991)

OCR = 1-8

PI = 0

15

30

50

100

200

25

20

15

10

5

0

10-4 10-3 10-2 10-1 100 10

γc%

ξ%

OCR = 1-15 015

3050

100PI=200

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

10-4 10-3 10-2 10-1 100 10

GGmax

γc%

Άμμοι (I

p =0) Άμμοι

(I p=0

)

γ (%) γ (%)

ξ(%

)

G/G m

ax

Επίδραση τύπου εδάφους (μέσω του IP ή PI)

(Ishibashi 1992)( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

γγ σ

γγ

για

γιαγ

γ

−

−

=

+= +

=

× < ≤− = − − =

×

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

0 492

6 1 4040 41 3

0 0001020 5 1

0 0 0

3 37 10 0 150 0005560 272 1 0 0145

7 0 10

m ,PI mo'm

max

.

...

o

GK , PI

G

. n PIK , PI . tanh ln

. PI

. PI PI.m , PI m . tanh ln exp . PI n PI

. για

για

−

−

< ≤

× >

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

7 1 976

5 1 115

15 70

2 7 10 70

.

.

PI PI

. PI PI

επιπλέον, επίδραση τάσης στερεοποίησης (κυρίως για άμμους)

Η μέθοδος της ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣΑΝΑΛΥΣΗΣ στηρίζεται στην αναλυτική λύση για…

ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ βίσκο-ελαστικό έδαφος επίευκάμπτου βράχου

κίνηση στο στρώμα m

( )( )

( )( )

( )( ) tihik

mhik

mmmhm

tihikm

hikmhm

timmmmom

timmom

tizikm

zikmmm

m

mmm

tizikm

zikmm

eeBeAkiG

eeBeAu

eBAkiG

eBAu

eeBeAkiGz

uG

eeBeAu

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

ω

ω

ω

ω

ω

ω

τ

τ

τ

**

**

**

**

**,

,

**,

,

***

−

−

−

−

−=

+=

−=

+=

−=∂∂

=

+=

για zm=0:

για zm=hm:

u1

z1

um

zm

1

m

m+1

ρ1, V1, ξ1

ρm, Vm, ξmum+1

zm+1ρm+1, Vm+1, ξm+1

Συνοριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια

( ) ti

ti

ezkkiGA

ezkAu

BA

ω

ω

τ

τ

1*1

*1

*111

1*111

110,1

sin2

cos2

0

=

=

=⇒=

Συνοριακές συνθήκες μεταξύ στρωμάτων

( )mmmm

m

mmmm

m

hikm

hikm

mm

mmmmhmm

hikm

hikmmmhmm

eBeAGk

GkBA

eBeABAuu

**

**

*1

*1

**

11,0,1

11,0,1

−

+++++

−+++

−=−⇒=

+=+⇒=

ττ

τελικώς δε

( ) ( )( ) ( ) *

11

**

**`1

**`1

**

**

12

11

2

1

12

11

2

1

++−+

−+

=++−=

−++=

mm

mmm

hikmm

hikmmm

hikmm

hikmmm

V

Vaό

eaBeaAB

eaBeaAA

mmmm

mmmm

ρρπου

Σταδιακή εφαρμογή από την ελεύθερη επιφάνεια (i=1) προς τα κάτω (i=m)

i=1 ( ) ( )( )( ) ( )

( )1*1

*11

*11

*11

*112

1*1

*11

*11

*11

*112

sincos

12

11

2

1

sincos

12

11

2

1

1*11

*1

1*11

*1

hkiahkA

eaAeaAB

hkiahkA

eaAeaAA

hikhik

hikhik

+=

++−=

+=

−++=

−

−

( )( ) 11

*112

11*112

AhkB

AhkaA

β=

=

ήσυνοπτικά

i=2 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++=

−++=

−

−

−

2*22

*2

2*22

*2

2*22

*2

*21

*2113

*21

*211

*22

*223

12

11

2

1

12

11

2

1

12

11

2

1

hikhik

hikhik

hikhik

eaeaaAB

eaeaaA

eaBeaAA

β

β

( )( ) 12

*21

*123

12*21

*123

,

,

AhkhkB

AhkhkaA

β=

=

ήσυνοπτικά

i=mAm=Α1am-1(k1

*h1, k2*h2,…, km

*hm)

Bm=A1βm-1(k1*h1, k2

*h2,…, km*hm)

Στην περίπτωση αυτή, και λαμβάνοντας υπόψη ότι Α1=Β1:

Γ Α

Β’ Β

(uB = uB’)

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Γ

Γ

ωβ

ω

ω ω ξ

− −

+= = =

+ +

= = ⇒

= +

1 13

1 1

4

224 3

2A

B m m m m

A A

B B'

b b b

u A BF

u A B a

u u uF

u u u

F F cos k H k H

Μεθοδολογία επίλυσης

Βήμα 1ο: Ανάλυση της διέγερσης σε άθροισμα αρμονικώνσυνιστωσών κατά Fourier

Βήμα 2ο: Gl=Go,l και ξl=ξο

Βήμα 3ο: Εκτίμηση των συναρτήσεων μεταφοράς Fi,j για όλα ταστρώματα εδάφους και όλες τις αρμονικές συνιστώσεςτης διέγερσης

Βήμα 4ο: Εκτίμηση της αρμονικής απόκρισης του εδάφους για κάθεαρμονική συνιστώσα της διέγερσης

Βήμα 5ο: Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier των αρμονικώνσυνιστωσών της απόκρισης του εδάφους για τονυπολογισμό της συνισταμένης απόκρισης του εδάφους

Βήμα 6ο: Εκτίμηση του μέγιστου εύρους διατμητικής παραμόρφωσηςγmax στο μέσον κάθε στρώσης εδάφους

Βήμα 7ο: Προσδιορισμός των συμβατών προς τα 2/3 γmax τιμώντου μέτρου διάτμησης G και του λόγου υστερητικής από-σβεσης ξ

(Β) ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

(ή ανάλυση με χρονική ολοκλήρωση, ή time domain analysis)

1

ihi ρi, Goi, ξoi

διέγερση

απόκριση

Τα βασικά δεδομένα περιλαμβάνουν:

•Το βάθος και το πάχος κάθε εδαφικής στρώσης i

•Το αντίστοιχο ελαστικό μέτρο διάτμησης Go,l και την πυκνότηταμάζας ρi

•Τις σχέσεις διατμητικής τάσης – διατμητικής παραμόρφωσης (τ-γ) για μονοτονική και ανακυκλική φόρτιση (φόρτιση, αποφόρτιση καιεπαναφόρτιση)

•Την χρονο-ιστορία της (επιτάχυνσης) διέγερσης

•Το ελαστικό μέτρο διάτμησης Go,b και την πυκνότητα μάζας ρb τουσεισμικού υποβάθρου

Προσομοίωση μίας εδαφικής απόθεσης με σύστημασυγκεντρωμένων μαζών και ιξωδο-ελαστικών ελατηρίων

Προσομοίωση μίας εδαφικής απόθεσης με σύστημασυγκεντρωμένων μαζών και ιξωδο-ελαστικών ελατηρίων

bUMKUUM &&&& −=+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nM

M

M

MO

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−

=

O3

3322

2211

11

00

0

0

00

K

KKKK

KKKK

KK

Kόπου και

Ανεξαρτήτως αλγορίθμου επίλυσης, θα πρέπει απαραίτητα ναορισθεί η σχέση διατμητικών τάσεων–παραμορφώσεων (τ-γ)

που διέπει την δυναμική απόκριση (φόρτιση-αποφόρτιση-επαναφόρτιση) των διάφορων εδαφικών στρώσεων.

∆εδομένου ότι η G=f (τ ή γ) τότε και Κ=f(U). ∆ηλαδήπρόκειται για μία μη γραμμική διαφορική εξίσωση, η επίλυση

της οποίας θα πρέπει να γίνει σε μικρά χρονικά βήματα(αρκετά μικρά ώστε να εξασφαλίζεται η σύγκλιση).

Η επίλυση της ανωτέρω διαφορικής εξίσωσηςγίνεται με «εν-χρόνω» ολοκλήρωση, για δεδομένεςαρχικές συνθήκες και δεδομένη χρονική μεταβολήτης διέγερσης (μετατόπιση) στην βάση Ub.

Στην πραγματικότητα η ακρίβεια των αριθμητικών προβλέψεωνεξαρτάται κατά κύριο λόγο από την σχέση τ-γ που έχειυιοθετηθεί, κάτι που οι περισσότεροι χρήστες αγνοούν ήπαραβλέπουν.

((ΓΓ)) ΠΟΛΥΠΟΛΥ ΑΠΛΑΑΠΛΑΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ

G1

τm

τ*

γ*

τ

γφόρτιση: -τm ≤ τ = γ G ≤ τm

αποφόρτιση από (τc,γc): -τ*m ≤ τ* = γ* G ≤ τ*m

όπου τ*=τ-τc, γ*=γ-γc και τm*=τm+|τc|

-τm

γc

τc

(α) Ελαστικό – απολύτως πλαστικό

Βρόχος για τ≥τm

τ

γ

Gο1

γ

1G

γο

Βρόχος για τ≤τmτu

τ

γ

G/Go=1.0ξ=0

τ

γ

Gο1

γ

1G

γο

( )

65.0~0oG

G1

2

12

21

4

4

1

4

1,

G

G

G

Go

m

omo

o

o

mo

m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−===

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

πξ

γγ

πγτγγτ

πΕΔΕ

πξ

γγ

γτγτ

ελ

OCR = 1-15 0

3050

100PI=200

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

10-4 10-3 10-2 10-1 100 10

GGmax

γc%

15

OCR = 1-8

PI = 0

15

30

50

100

200

25

20

15

10

5

0

10-4 10-3 10-2 10-1 100 10

γc%

ξ%

!

Σύγκριση ελαστοπλαστικούπροσομοιώματος με

πειραματικά αποτελέσματα

Ραγδαία απομείωση τουμέτρου διάτμησης G

Και ακόμη χειρότερα,ραγδαία και υπερβολική

αύξηση του λόγου κρίσιμηςαπόσβεσης ξ

Τι σημαίνουν όλα αυτά για τηνπρόβλεψη της σεισμικής απόκρισηςτου εδάφους;

γ (%)

ξ(%

)

γ (%)

(a) |τ| ≤ |το|

1Go

1G

τo

τ

τc

γoγc γ

G/Go=1ξ=0

(β) Ελαστοπλαστικό – διγραμμικό

ρτισηεπαναφρτισηαποφττγγ

ρτισηφτγ

ο

ο

ό

ό

G

όG

cc

c

−−=−

=

τ

γc γ

(β) |τ| ≥ |το|

11

:GG

ό oo

οο

ττγγττγγρτισηφ −+=⇒

−=−

1*

*

*

2

:,

G

GG

G

GG

όό

o

oc

c

cc

οο

οοοο

γγγγγτγτ

γτ

ττ

γγγ

τττ

τγαπρτισηαποφ

−+=

⎭⎬⎫

==

⇒=⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

−=

−=

γγγγγγ

γγ οο

ο

οooo

o

o

GG

GG

GG

GG

GG

11

1

=+−⇒−

+=

oo

o

o GG

GG

GG 111 +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

γγ

τc

τ

τ

γ γ

β

α

γο

2(γ-γο)

2το

ελπξ

ΕΔΕ

=4

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=ΔΕ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==−=

=−−=

−−

=+−

=ΔΕ

o

o

G

G

G

G 11 141

'cot'90tantan

tan

tantan14

sinsincoscoscoscos

22cos

cos

2

cos

2

οο

οο

οοοο

τγγβββ

αβατγγ

βαβαβατγγβα

βτ

αγγ

ΔΕ

Εελ

( )

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

=

o

o

o

G

G

G

G

GG

E

1

1

112

21

14

4

1

2

1

γγ

γγ

π

τγ

τγγ

πξ

τγ

οο

οο

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=ΔΕ

oG

G114 οο τγγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

o

o

o

o

o

GG

GG

GG

11

1

1

112

γγγγ

γγ

πξ

ο

G1/G0= 0.25

0.1 1 10 100

γ/γο

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ξ (%

)

γ/γο

ξ(%

)

Σύγκριση δι-γραμμικούελαστοπλαστικού

προσομοιώματος μεπειραματικά

αποτελέσματα

γ (%)

Ποιες είναι οι συνέπειες στηνπρόβλεψη της σεισμικής απόκρισηςτου εδάφους;

(∆) ΑΠΛΑΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ

((∆∆)) ΑΠΛΑΑΠΛΑΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑΥΣΤΕΡΗΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ

(α) το «Υπερβολικό» προσομοίωμα

τm

τm

γ

τ Go1

m

oG

ττ

τγ−

=1

1

Μονοτονικήφόρτιση - αποφόρτιση

⇒+

=γτ

γτ

m

o

o

GG

ή1

( )[ ] 11

−+= γτmoo

GGG

G1

Η σχέση αυτή για το G/Go ισχύει ανεξαρτήτως τουτρόπου με τον οποίο θα ορισθεί η ανακυκλικήφόρτιση-αποφόρτιση-επαναφόρτιση (βλέπεπαρακάτω)

γ*=γ-γc τ*=τ-τc

Go*=Go τm*=2τm

( )

cm

o

coc

m

co

cc

G

Gή

Gά

γγτ

γγττ

τττ

ττγγρα

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−

−−

−=−

21

21

1

Ανακυκλικήφόρτιση – αποφόρτιση κατά MASING (1926)

(οδηγεί πάντοτε σε συμμετρικούς βρόγχους υστέρησης)

τc

γ

ττ*

γ*

γc

-τm

τm

τ1*-γ1*

τ*

γ*

( )( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

cmm

mcmm

o

m

m

m

m

o

m

c

m

o

m

o

m

co

m

co

m

G

G

Gd

dE

G

GGG

τττττττττττ

τττ

ττττ

ττ

ττ

τγγτ

ττ

τγ

ττ

τ

ττ

ττγ

*

*22*

**

*

*

**1

*2*

*

**1

****1

2

222

22

2

2

2

1

1

21

1

21

1

122

1

τ2*-γ2*

τ

γ

dE

( )( )

( )( )

( ) ( )

a11

1

G

G1

Ga

G

Gln21

2

G

Gln

421

2

Ε4

1

1G2

1G2

1

2

1

d2

2

G

2

2

2

Gd

d

oo

m

o

o

2

m

co

2

c2

ccc

2

0

*

*

m

c

**

cmo

m

*

m

c

*

cmo

m

*

*

c

+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=+++==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

===

−−

−=

⇒−

−−

=

∫

καιγ

τμε

απ

ξ

ααπ

απ

ΔΕπ

ξ

ττ

ττγτΕ

ττττττ

τττΔΕ

ττττ

ττττ

τΕ

τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

=

−=

−=

m

c

mcm

*

m

o

*

o

c

*

c

*

1

GG

ττ

ττττ

τττγγγ

Ανακυκλικήφόρτιση – αποφόρτιση κατά PYKE (1979)

(οδηγεί σε μη συμμετρικούς βρόγχους υστέρησης)

τc

γ

ττ*

γ*

γc

-τm

τm

Τυπικοί βρόγχοι υστερήσεως για το υπερβολικό προσομοίωμα μεαποφόρτιση – επαναφόρτιση κατά Masing και κατά Pyke

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

=

−=

−=

m

cmcmm

oo

c

c

GG

ττ

ττττ

τττ

γγγ

1*

*

*

*

( )

ccm

o

coc

m

cm

co

cc

G

Gή

Gά

γγττ

γγττ

ττ

τ

ττττγγρα

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

−=−

1

1

1

1

Ανακυκλικήφόρτιση – αποφόρτιση κατά PYKE (1979)

(οδηγεί σε μη συμμετρικούς βρόγχους υστέρησης)

τc

γ

ττ*

γ*

γc

-τm

τm

Ομοίως...

( )

24

42

1

11

1

11

1

21ln

21ln22

2

4

2

1

24

2

22

1

2

22

1

2121

1

1

2

2

+++

++

−=

++=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++

+−

+=

+++

=

aa

a

aC

aC

Ga

aCaC

aCaCCC

aC

C

aa

aa

G

G

o

m

o

γτ

παξ

Σύγκριση με πειραματικές καμπύλες …………

Ποιες είναι οισυνέπειες στηνπρόβλεψη τηςσεισμικήςαπόκρισηςτου εδάφους;

Μονοτονική φόρτιση

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎭⎬⎫

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

1max

1

1max

5625.012

64.0

11

1

τττγ

αγια

τττγ

Gw

aG

y

w

y

τc

γ

ττ*

γ*

Αποφόρτιση-επαναφόρτιση

1*1

*

*

2ττ

τττ

γγγ

=

−=

−=

c

c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

= −

max

1

1max

11

12

11

1

1

G

G

w

w

a

G

Gw

c

y

πξ

ττ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

+=

⎭⎬⎫

=

=

max

1

max

13

2

56).1

1

2

64.0

GG

G

G

w

a

c

y

πξ

ττ

(β) Το υστερητικό προσομοίωμα Ramberg-Osgood (1943)

Τυπικός βρόγχος υστερήσεως για το υπερβολικό προσομοίωμαRamberg-Osgood

Σύγκριση με πειραματικές καμπύλες …………

Με σωστή επιλογή των παραμέτρων του προσομοιώματος αυτού μπορούμε ναπετύχουμε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα. Η δυνατότητααυτή δεν μας δίνεται με τα υπόλοιπα προσομοιώματα που παρουσιάσαμεπροηγουμένως.

1η Άσκηση για το σπίτι . . .

Να προσαρμόσετε το ελαστο-πλαστικό προσομοίωμα στιςκαμπύλες G/Gmax των Vuccetic & Dobry για G/Gmax=0.50, γιαδιάφορες τιμές του δείκτη πλαστιμότητας ΡΙ. Κατόπιν νασχεδιάσετε τις θεωρητικές και τις πειραματικές σχέσεις G/Gmax – γκαι ξ-γ

Υπάρχει και πόση είναι η μέγιστη τιμή του ξ που προκύπτει από ταδιάφορα θεωρητικά προσομοιώματα;

(Ε) Σχολιασμός αριθμητικών μεθόδων υπολογισμούτης εδαφικής απόκρισης

Το βασικό πλεονέκτημα της ισοδύναμης-γραμμικής ολοκλήρωσης (ή frequency domain analysis) έγκειται στην απλότητα των υπολογισμών, οι οποίοι δεν απαιτούνπολύπλοκο λογισμικό και ιδιαίτερη εξοικείωση του χρήστη με υπολογιστικούς κώδικεςγια μη-γραμμική ανάλυση. Από την άλλη πλευρά όμως παραβιάζει ένα θεμελιώδηΝόμο της Μηχανικής: εφαρμόζει επαλληλία των δυναμικών φορτίσεων παρά τογεγονός ότι η μηχανική συμπεριφορά του εδάφους σε ανακυκλική φόρτιση είναι μη-γραμμική. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να υπο-εκτιμάται η συμβολή των υψηλόσυχνωνσυνιστωσών της δόνησης και να υπερ-εκτιμάται η συμβολή των χαμηλόσυχνωνσυνιστωσών.

Η μη γραμμική ανάλυση (με εν χρόνω ολοκλήρωση) είναι απαλλαγμένη από τηναδυναμία αυτή και παρέχει θεωρητικά μεγαλύτερη ακρίβεια. Στην πράξη όμως έχει καιαυτή αρκετούς περιορισμούς που δυσχεραίνουν την εφαρμογή της. Πρώτα –πρώτα, θαπρέπει να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει το κατάλληλο υστερητικό προσομοίωμα. Επιπλέον, προσοχή χρειάζεται στην προσομοίωση της απόσβεσης ενέργειας σε πολύμικρές παραμορφώσεις, μια και η απόσβεση αυτή είναι συχνοτικά εξαρτημένη (τύπουRayleigh) και μπορεί να πάρει παράλογα υψηλές τιμές εάν δεν είμαστε προσεκτικοί(βλέπε σχήμα επόμενης σελίδας). Πάντως, θα πρέπει να ομολογήσουμε ότι αυτή ημεθοδολογία είναι η μόνη δόκιμη για πολύ ισχυρές δονήσεις ή / και πολύ μαλακά εδάφηόπου αναμένεται έντονα μη γραμμική συμπεριφορά και πιθανή αστοχία του εδάφους(π.χ. ρευστοποίηση).

C = α Μ + β Κ

Παράδειγμα μεταβολής του λόγου υστερητικής απόσβεσης Rayleighμε την κυκλική συχνότητα

2η Άσκηση για το σπίτι: επίδραση του εδάφους στον σεισμό της Λευκάδας (2003)Στα σχήματα που ακολουθούν σας δίνονται τα παρακάτω στοιχεία σχετικά με τηνκαταγραφή της πρόσφατης (2003) ισχυρής δόνησης στην πόλη της Λευκάδας:

-επιταχυνσιογραφήματα και ελαστικά φάσματα απόκρισης (5% απόσβεση) των δύοοριζόντιων καταγραφών στην επιφάνεια του εδάφους (κόκκινη γραμμή).

-επιταχυνσιογραφήματα και ελαστικά φάσματα απόκρισης (5% απόσβεση) των δύοοριζόντιων καταγραφών στην επιφάνεια του σεισμικού υποβάθρου (πράσινη γραμμή), όπως υπολογίσθηκαν με μη γραμμική αριθμητική ανάλυση

-Η εδαφική τομή στις θέσεις καταγραφής.

ΖΗΤΕΙΤΑΙ: Με την ισοδύναμη γραμμική μέθοδο, να υπολογίσετε την μέγιστηεπιτάχυνση και το ελαστικό φάσμα επιταχύνσεων στην επιφάνεια του εδάφους, έχοντας σαν δεδομένη την διέγερση στην ελεύθερη επιφάνεια του σεισμικούυποβάθρου.

Πως συγκρίνονται τα αποτελέσματα σας με τις καταγραφές; Μπορείτε ναεπαναλάβετε τους υπολογισμούς θεωρώντας ελαστο-πλαστική σχέση τάσεωνπαραμορφώσεων για τις στρώσεις του εδάφους; Μπορείτε να σχολιάσετε κάποιεςτουλάχιστον από τις διαφορές;

(Oι υπολογισμοί δεν είναι απαραίτητο να γίνουν και για τις δύο συνιστώσες. Θαπρότεινα την LONG)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

a(g

)

0 5 10 15 20 25

Time (s)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

a(g

)

0,34

0 5 10 15 20 25

Time (s)

0,42 Surface

Out.Bedrock

0,200,35

Surface

Out.Bedrock

LONG TRANS

0

0.6

1.2

1.8

Sa(

g)

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

Tstr (s)

0.5

1

1.5

2

2.5

AS

a

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

Tstr (s)

TRANSLONG

ΕδαφικήΕδαφική ΤομήΤομή στηνστην ΘέσηΘέση καταγραφήςκαταγραφής

0 100 200 300 400 500

VS (m/sec)

30.0

CL

MARL(CL)

ML

4.0

12.0

Vb = 450m/s

SC 8.0

6.0

0 10 20 30 40 50

NSPT

30

25

20

15

10

5

0

De

pth

(m)

>50

>50

>50

>50

>50

>50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G/G

max

γ (%)

0

10

20

30

ξ (%

)

H = 24m

Seismicbedrock

12

3

12

3

CH

10-4 10-3 10-2 10-1 1 10

6.0

2.0