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4 Neu und doch schonbekannt ndash Dierationalen Zahlen

41 Tom hat sich etwas ausgedacht

Im Physikunterricht geht es um Geschwindigkeitsre-korde der schnellste Mensch das schnellste Tier imWasser und zu Lande Tom interessiert sich sehr fuumlrRekorde und so hat er im Internet ein wenig nachgele-sen Dabei ist es gar nicht so einfach festzustellen werin welchem Bereich wirklich den Rekord aufstellt Beiden Schwimmeuropameisterschaften 2008 in Eindho-

ven z B gewann der Franzose Alain Bernard die 50 Meter Freistil in 2150 SekundenEr hat damit einen neuen Weltrekord aufgestellt Nur fuumlnf Tage spaumlter unterbot derAustralier Eamon Sullivan in Sydney den Weltrekord in 50 Meter Freistil um 022 Se-kundenTom will Sara wieder einmal aumlrgern und kommt mit folgendem Problem zu ihr

rdquoLiebe

Sara du musst mir beim Rechnen helfen Wenn der Schwimmrekord alle 5 Tage um022 Sekunden unterboten wird ndash und das kann gut moumlglich sein denn die Schwim-merinnen schwimmen jetzt mit Haifischanzuumlgen ndash nach wie vielen Tagen brauchendie Schwimmerinnen dann weniger als null Sekunden um 50 Meter zu schwimmenldquoSara hat Tom nicht so recht zugehoumlrt und antwortet ihm dass er nur immer 022Sekunden abziehen muss und dazu die entsprechende Anzahl der Tage zaumlhlen mussum zum richtigen Ergebnis zu kommen

In diesem Kapitel erfaumlhrst du1 dass es auch negative Bruch- und Dezimalzahlen gibt2 was die Menge der rationalen Zahlen ist3 warum man von rationalen Zahlen weder Vorgaumlnger noch Nach-

folger angeben kann4 und wie man mit rationalen Zahlen rechnet

297 a) ja b) DerSchwimmrekordkann aufgrundtechnischer undkoumlrperlicherGrenzen derSchwimmerinnennicht alle 5 Tageunterboten werdenauf keinen Fallkann man wenigerals 0 s fuumlr 50 mbrauchen

297 Lies dir die Anfangsgeschichte noch einmal ganz genau durch Versuche dannfolgende Fragen zu beantwortena) Hat Sara mit ihrem Vorschlag Recht dass man so lange 022 Sekunden abziehenmuss bis man auf eine Zahl kleiner als null kommtb) Welcher inhaltliche Denkfehler steckt in diesem Beispiel Begruumlnde warum dieseAufgabe eigentlich unsinnig ist

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42 Mit dem Taschenrechner geht es oft schneller 59

42 Mit dem Taschenrechner geht es oft schneller

Nun aumlrgert sich Tom ein wenig denn eigentlich wollte er Saraaumlrgern aber sie hat den Witz seiner Aufgabe so gar nicht ver-standen weil sie ihm nicht gut zugehoumlrt hat Ganz im Gegenteilmacht sich nun Tom sogar Gedanken ob man das eigentlichunsinnige Beispiel denn wirklich berechnen kann Er nimmtdazu gleich den Taschenrechner zur Hand den sie gerade fuumlrdie Schule eingekauft haben und versucht das Problem zu loumlsenDabei kommt er auf einiges drauf

298 nicht ganz100-mal

298 Wie oft muss man 022 von 2150 abziehen um auf eine Zahl kleiner als null zukommen Schaumltze das Ergebnis

299 a) ZahlenGrundrechenopera-toren Klammernhellipb) times enter-Tastec) Tastenkombina-tion 3 Punkt 4d) Tastenkombina-tion 5 minus 3 enter dasErgebnis (2) stehtrechts in derselbenZeile

299 Arbeite gemeinsam mit deinem Nachbarndei-ner NachbarinNehmt eure Taschenrechner zur Hand schaltet sieeina) Welche Tasten kennt ihr schonb) Welche Taste koumlnnte das Multiplikationszeichendarstellen Welche Taste koumlnnte dem

rdquo=ldquo-Zeichen

entsprechenc) Versucht herauszufinden wie man eine Dezimal-zahl eingibtd) Berechnet nun 5 minus 3 mit Hilfe des Taschenrechners Wo am Display steht dasErgebnis

Tipp 41Einige Tastensymbole und deren Funktionsweise auf dem Taschenrechner

Komma

rdquo=ldquo-Taste

maldividiertDiese Taste loumlscht die vorherige Eingabe oder wird zum Beginneiner neuen Rechnung gedruumlckt wenn diese nicht mit der vorhe-rigen zusammenhaumlngtMit dieser Taste kommst du in den zweiten Funktionsteil Dieserist (meist) in einer anderen Farbe oberhalb der normalen TastenangeschriebenMit den Cursor-Tasten kannst du in der Anzeige herumwandern

Diese Tastensymbole sind nicht auf allen Taschenrechnern gleich Uumlberpruumlfe welcheTastensymbole auf deinem Taschenrechner den obigen entsprechenWenn du irgendwo nicht weiter weiszligt schau in der Betriebsanleitung deines Taschen-rechners nach

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60 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

Bei schwierigen Rechnungen kann man auch den Taschenrechner verwendenTaschenrechner funktionieren meist ganz einfach Die Rechnungen werden fast ge-nauso eingegeben wie du sie bis jetzt angeschrieben hast Nur das Rechnen selbstuumlbernimmt dann ein kleiner Computer

300 Partnerinnenarbeita) Einer uumlberlegt sich mindestens fuumlnf verschiedene Additionen und berechnet dieErgebnisse mit dem Taschenrechner derdie andere rechnet im Kopf Vergleicht eureErgebnisse und schreibt die Rechnungen ins Heftb) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch diesmal Subtraktionenc) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Multiplikationend) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Divisionen

301 Taste nd 2nd

nd 3 cursor 7cursor 8

301 Finde heraus wie man auf deinem Taschenrechner die Bruchzahl25eingibt Wie

gibt man die gemischte Zahl 3 78ein

Tipp 42Vor jeder neuen Rechnung mit dem Taschenrechner musst du auf die -Tastedruumlcken sonst rechnest du mit den Zahlen der vorhergehenden Rechnung weiterEine Bruchzahl gibst du mit der n

d-Taste ein eine gemischte Zahl mit der n

d-Taste

im zweiten Funktionsteil (U nd) Mit dem Cursor gelangst du zu den verschiedenen

Stellen

302 7 302 Untersuche ob dein Taschenrechner Punktrechnung vor Strichrechnung rechnetindem du 1 + 2 sdot 3 = rechnest

303 a) 02 b) 2879c) 26 d) 189 e) 8f) 55 g) 66 h) 0

303I1)H2K1 Stoppe die Zeit Wie bist du schneller mit dem Ta-

schenrechner oder mit dem Kopf

a) 37 minus 35 = b) 2882 minus 03 =c) 2 + 5 + 19 = d) 3 + 11 + 49 =e) 37 + 43 = f ) 87 minus 32 =g) 11 + 22 + 33 = h) 33 minus 22 minus 11 =

304 Richtigist (4)

304I1)H2K1 diams Uumlberlege zuerst mit einer Uumlberschlagsrechnung welche Zahl die Loumlsung von

52 sdot 105 minus 398 ist Uumlberpruumlfe anschlieszligend mit dem Taschenrechner(1) 142 (2) 144 (3) 146 (4)times 148

305 a) 98 Mal b) mdashc) 490 Tage durchMultiplikation mit5

305 Tom ist ehrgeizig geworden Das Rechnen mit dem Taschenrechner macht ihmSpaszlig Er versucht nun gleich das Eingangsbeispiel zu berechnena) Wie oft muss er 022 von 2150 abziehen damit das Ergebnis eine Zahl kleiner nullergibt Hilf ihm und berechne mit deinem Taschenrechner Du musst dazu von 2150fortlaufend immer 022 abziehenb) Wie koumlnntest du das Ergebnis schneller berechnenc) Nach wie vielen Tagen waumlre der Schwimmrekord auf einer Zahl kleiner null wenner alle 5 Tage unterboten wird Berechne und beschreibe wie du vorgegangen bist

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43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr negative Zahlen 61

Tipp 43Vergiss nicht dass das Komma bei Dezimalzahlen am Taschenrechner mit einemPunkt geschrieben wird du aber einen Beistrich anschreiben musst

306 a) 6232b) 185366c) 1604008d) 12902e) 321204f) 1102405697g) 1116666667h) 59

36i) 13

6

306I1)H2K1 Berechne folgende Rechnungenmit deinemTaschenrechner Schreibe die Loumlsungen

in dein Hefta) 654 minus 308 = b) 1932 minus 7834 = c) 4652 11 + 11387 97 =d) 12763 + 139 = e) 13845 sdot 232 = f ) 1869121 sdot 5897 99 =g) 134 ∶ 12 = h)⋆ 3

4+ 8

9= i )⋆ 2

3+ 3

2=

307 Erfinde selbst Aufgaben wie 305 und gib sie einer Kollegineinem Kollegen zumRechnen Kontrolliere ihreseine Ergebnisse

Tipp 44Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist es wichtig dass man vorher eine Uumlber-schlagsrechnung macht um zu uumlberpruumlfen ob das Ergebnis stimmen kann und mansich nicht vertippt hat

308 a) 442 b) 5782c) 27974d) 5294117647

308 Schaumltze das Ergebnis durch eine Uumlberschlagsrechnung ab und berechne es an-schlieszligend mit dem Taschenrechnera) 366 + 76 = b) 5920 minus 138 = c) 142 sdot 197 = d) 72 ∶ 136 =

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr nega-tive Zahlen

In Aufgabe 305 hat Tom 98-mal 022 von 2150 abgezogen obwohl das mathematischund rechentechnisch sehr ungeschickt ist Das Ergebnis auf dem Taschenrechner lauteteminus006 Bisher habt ihr aber erst negative ganze Zahlen ndash also solche ohne Kommastellenndash kennen gelernt Das wird sich jetzt aumlndern

Herr Klein hat ein Guthaben von +23346 euro auf seinem Konto Zu Beginn des Monatswird die monatliche Miete von 41394 euro abgebucht Wie lautet der neue KontostandBerechne das Ergebnis mit dem TaschenrechnerBeispiel

Der neue Kontostand lautet minus18048 euro

309 NegativerKontostandbedeutet Schuldenbei der Bank

309I1)H3K1 Wie kannst du das Ergebnis der obigen Aufgabe interpretieren Was bedeutet ein

negativer Kontostand

310 minus31020 euro310I1)H2K1 Auf dem Haushaltskonto der Familie Eisenstaumltter wird zu Beginn des Monats die

Wohnungsmiete abgebucht Davor hatten sie ein Guthaben von 57980 euro Die monatlicheMiete betraumlgt 890 euro Berechne den neuen Kontostand

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62 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

311 320 euro 10 eurominus1320 euro = minus320 euro

311 Marie hat fuumlr einen Schulausflug 10 euro von ihrer Mutter bekommen Fuumlr EssenEis und Eintritt hat sie insgesamt 1320 euro verbraucht Wie viel Geld musste sie sichausborgen Erklaumlre wie du gerechnet hast

312 990 euro 20 euro ndash2990 euro = ndash990 euro

312 Nikolas hat 20 euro in seiner Spardose Wie viel Geld muss ersich von seinem Bruder ausborgen damit er die neuen Tormann-handschuhe um 2990 euro kaufen kann Erklaumlre wie du gerechnethast

313 47 ndash 6 =ndash13

313I1)H1K1 Ein Thermometer zeigt eine Temperatur von 47 an Im

Laufe der naumlchsten beiden Stunden faumlllt die Temperatur um 6 Wie viel Grad Celsiushat es dann Veranschauliche den Sachverhalt auf einer Zahlengeraden

314I1)H1K3 Lass dir zusammen mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn je zwei Beispiele mit

konkreten Zahlen einfallen deren Ergebnis jeweils eine negative Dezimalzahl ist

Bei den vorangegangenen Beispielen sind die Loumlsungen Zahlen die du bis jetzt imMathematikunterricht noch nicht kennen gelernt hast Es handelt sich dabei um negativeBruchzahlen (da ja Bruchzahlen auch als Dezimalzahlen dargestellt werden koumlnnen)Und schon ist eine neue Zahlenmenge entstanden

Menge der rationalen ZahlenErweitert man die ganzen Zahlen um die positiven und negativen Bruchzahlen soerhaumllt man die Menge der rationalen Zahlen Das Symbol dafuumlr ist ℚ

Anders gesagtEine Zahl die als Bruch (Quotient) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kannheiszligt rationale Zahl minusa

b=

aminusb

= minusab

mit b ne 0

Tom und Sara sind irgendwie fasziniert schon wieder gibt es eine neue Zahlenmengeund die ist eigentlich ganz einfach denn das Rechnen funktioniert so wie bei den ganzenZahlenSie versuchen gleich Beispiele fuumlr rationale Zahlen zu finden

minus14 = minus 141= 14

minus1 oder minus 25= minus2

5= 2

minus5 = minus04 oder 17 = 1710

usw

315 Finde fuumlnf Beispiele fuumlr rationale Zahlen und schreib sie auf316 Division durchnull ist nichtdefiniert 316I1)H4

K1 Uumlberlege und begruumlnde warum beiabder Nenner b nicht null sein darf

317 a) minus34= minus075

b) minus119=

minus005263157hellipc) minus5

23=

minus02173913hellip

317diams Berechne und schreibe das Ergebnis sowohl in Bruch- als auch in Dezimaldarstel-lung an Du kannst den TR zu Hilfe nehmena) (minus33) ∶ 44 = b) (minus2) ∶ 38 c) 10 ∶ (minus46)

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44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

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64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

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45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

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ii

ii

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66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

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46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

42 Mit dem Taschenrechner geht es oft schneller 59

42 Mit dem Taschenrechner geht es oft schneller

Nun aumlrgert sich Tom ein wenig denn eigentlich wollte er Saraaumlrgern aber sie hat den Witz seiner Aufgabe so gar nicht ver-standen weil sie ihm nicht gut zugehoumlrt hat Ganz im Gegenteilmacht sich nun Tom sogar Gedanken ob man das eigentlichunsinnige Beispiel denn wirklich berechnen kann Er nimmtdazu gleich den Taschenrechner zur Hand den sie gerade fuumlrdie Schule eingekauft haben und versucht das Problem zu loumlsenDabei kommt er auf einiges drauf

298 nicht ganz100-mal

298 Wie oft muss man 022 von 2150 abziehen um auf eine Zahl kleiner als null zukommen Schaumltze das Ergebnis

299 a) ZahlenGrundrechenopera-toren Klammernhellipb) times enter-Tastec) Tastenkombina-tion 3 Punkt 4d) Tastenkombina-tion 5 minus 3 enter dasErgebnis (2) stehtrechts in derselbenZeile

299 Arbeite gemeinsam mit deinem Nachbarndei-ner NachbarinNehmt eure Taschenrechner zur Hand schaltet sieeina) Welche Tasten kennt ihr schonb) Welche Taste koumlnnte das Multiplikationszeichendarstellen Welche Taste koumlnnte dem

rdquo=ldquo-Zeichen

entsprechenc) Versucht herauszufinden wie man eine Dezimal-zahl eingibtd) Berechnet nun 5 minus 3 mit Hilfe des Taschenrechners Wo am Display steht dasErgebnis

Tipp 41Einige Tastensymbole und deren Funktionsweise auf dem Taschenrechner

Komma

rdquo=ldquo-Taste

maldividiertDiese Taste loumlscht die vorherige Eingabe oder wird zum Beginneiner neuen Rechnung gedruumlckt wenn diese nicht mit der vorhe-rigen zusammenhaumlngtMit dieser Taste kommst du in den zweiten Funktionsteil Dieserist (meist) in einer anderen Farbe oberhalb der normalen TastenangeschriebenMit den Cursor-Tasten kannst du in der Anzeige herumwandern

Diese Tastensymbole sind nicht auf allen Taschenrechnern gleich Uumlberpruumlfe welcheTastensymbole auf deinem Taschenrechner den obigen entsprechenWenn du irgendwo nicht weiter weiszligt schau in der Betriebsanleitung deines Taschen-rechners nach

ii

ii

ii

ii

60 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

Bei schwierigen Rechnungen kann man auch den Taschenrechner verwendenTaschenrechner funktionieren meist ganz einfach Die Rechnungen werden fast ge-nauso eingegeben wie du sie bis jetzt angeschrieben hast Nur das Rechnen selbstuumlbernimmt dann ein kleiner Computer

300 Partnerinnenarbeita) Einer uumlberlegt sich mindestens fuumlnf verschiedene Additionen und berechnet dieErgebnisse mit dem Taschenrechner derdie andere rechnet im Kopf Vergleicht eureErgebnisse und schreibt die Rechnungen ins Heftb) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch diesmal Subtraktionenc) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Multiplikationend) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Divisionen

301 Taste nd 2nd

nd 3 cursor 7cursor 8

301 Finde heraus wie man auf deinem Taschenrechner die Bruchzahl25eingibt Wie

gibt man die gemischte Zahl 3 78ein

Tipp 42Vor jeder neuen Rechnung mit dem Taschenrechner musst du auf die -Tastedruumlcken sonst rechnest du mit den Zahlen der vorhergehenden Rechnung weiterEine Bruchzahl gibst du mit der n

d-Taste ein eine gemischte Zahl mit der n

d-Taste

im zweiten Funktionsteil (U nd) Mit dem Cursor gelangst du zu den verschiedenen

Stellen

302 7 302 Untersuche ob dein Taschenrechner Punktrechnung vor Strichrechnung rechnetindem du 1 + 2 sdot 3 = rechnest

303 a) 02 b) 2879c) 26 d) 189 e) 8f) 55 g) 66 h) 0

303I1)H2K1 Stoppe die Zeit Wie bist du schneller mit dem Ta-

schenrechner oder mit dem Kopf

a) 37 minus 35 = b) 2882 minus 03 =c) 2 + 5 + 19 = d) 3 + 11 + 49 =e) 37 + 43 = f ) 87 minus 32 =g) 11 + 22 + 33 = h) 33 minus 22 minus 11 =

304 Richtigist (4)

304I1)H2K1 diams Uumlberlege zuerst mit einer Uumlberschlagsrechnung welche Zahl die Loumlsung von

52 sdot 105 minus 398 ist Uumlberpruumlfe anschlieszligend mit dem Taschenrechner(1) 142 (2) 144 (3) 146 (4)times 148

305 a) 98 Mal b) mdashc) 490 Tage durchMultiplikation mit5

305 Tom ist ehrgeizig geworden Das Rechnen mit dem Taschenrechner macht ihmSpaszlig Er versucht nun gleich das Eingangsbeispiel zu berechnena) Wie oft muss er 022 von 2150 abziehen damit das Ergebnis eine Zahl kleiner nullergibt Hilf ihm und berechne mit deinem Taschenrechner Du musst dazu von 2150fortlaufend immer 022 abziehenb) Wie koumlnntest du das Ergebnis schneller berechnenc) Nach wie vielen Tagen waumlre der Schwimmrekord auf einer Zahl kleiner null wenner alle 5 Tage unterboten wird Berechne und beschreibe wie du vorgegangen bist

ii

ii

ii

ii

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr negative Zahlen 61

Tipp 43Vergiss nicht dass das Komma bei Dezimalzahlen am Taschenrechner mit einemPunkt geschrieben wird du aber einen Beistrich anschreiben musst

306 a) 6232b) 185366c) 1604008d) 12902e) 321204f) 1102405697g) 1116666667h) 59

36i) 13

6

306I1)H2K1 Berechne folgende Rechnungenmit deinemTaschenrechner Schreibe die Loumlsungen

in dein Hefta) 654 minus 308 = b) 1932 minus 7834 = c) 4652 11 + 11387 97 =d) 12763 + 139 = e) 13845 sdot 232 = f ) 1869121 sdot 5897 99 =g) 134 ∶ 12 = h)⋆ 3

4+ 8

9= i )⋆ 2

3+ 3

2=

307 Erfinde selbst Aufgaben wie 305 und gib sie einer Kollegineinem Kollegen zumRechnen Kontrolliere ihreseine Ergebnisse

Tipp 44Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist es wichtig dass man vorher eine Uumlber-schlagsrechnung macht um zu uumlberpruumlfen ob das Ergebnis stimmen kann und mansich nicht vertippt hat

308 a) 442 b) 5782c) 27974d) 5294117647

308 Schaumltze das Ergebnis durch eine Uumlberschlagsrechnung ab und berechne es an-schlieszligend mit dem Taschenrechnera) 366 + 76 = b) 5920 minus 138 = c) 142 sdot 197 = d) 72 ∶ 136 =

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr nega-tive Zahlen

In Aufgabe 305 hat Tom 98-mal 022 von 2150 abgezogen obwohl das mathematischund rechentechnisch sehr ungeschickt ist Das Ergebnis auf dem Taschenrechner lauteteminus006 Bisher habt ihr aber erst negative ganze Zahlen ndash also solche ohne Kommastellenndash kennen gelernt Das wird sich jetzt aumlndern

Herr Klein hat ein Guthaben von +23346 euro auf seinem Konto Zu Beginn des Monatswird die monatliche Miete von 41394 euro abgebucht Wie lautet der neue KontostandBerechne das Ergebnis mit dem TaschenrechnerBeispiel

Der neue Kontostand lautet minus18048 euro

309 NegativerKontostandbedeutet Schuldenbei der Bank

309I1)H3K1 Wie kannst du das Ergebnis der obigen Aufgabe interpretieren Was bedeutet ein

negativer Kontostand

310 minus31020 euro310I1)H2K1 Auf dem Haushaltskonto der Familie Eisenstaumltter wird zu Beginn des Monats die

Wohnungsmiete abgebucht Davor hatten sie ein Guthaben von 57980 euro Die monatlicheMiete betraumlgt 890 euro Berechne den neuen Kontostand

ii

ii

ii

ii

62 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

311 320 euro 10 eurominus1320 euro = minus320 euro

311 Marie hat fuumlr einen Schulausflug 10 euro von ihrer Mutter bekommen Fuumlr EssenEis und Eintritt hat sie insgesamt 1320 euro verbraucht Wie viel Geld musste sie sichausborgen Erklaumlre wie du gerechnet hast

312 990 euro 20 euro ndash2990 euro = ndash990 euro

312 Nikolas hat 20 euro in seiner Spardose Wie viel Geld muss ersich von seinem Bruder ausborgen damit er die neuen Tormann-handschuhe um 2990 euro kaufen kann Erklaumlre wie du gerechnethast

313 47 ndash 6 =ndash13

313I1)H1K1 Ein Thermometer zeigt eine Temperatur von 47 an Im

Laufe der naumlchsten beiden Stunden faumlllt die Temperatur um 6 Wie viel Grad Celsiushat es dann Veranschauliche den Sachverhalt auf einer Zahlengeraden

314I1)H1K3 Lass dir zusammen mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn je zwei Beispiele mit

konkreten Zahlen einfallen deren Ergebnis jeweils eine negative Dezimalzahl ist

Bei den vorangegangenen Beispielen sind die Loumlsungen Zahlen die du bis jetzt imMathematikunterricht noch nicht kennen gelernt hast Es handelt sich dabei um negativeBruchzahlen (da ja Bruchzahlen auch als Dezimalzahlen dargestellt werden koumlnnen)Und schon ist eine neue Zahlenmenge entstanden

Menge der rationalen ZahlenErweitert man die ganzen Zahlen um die positiven und negativen Bruchzahlen soerhaumllt man die Menge der rationalen Zahlen Das Symbol dafuumlr ist ℚ

Anders gesagtEine Zahl die als Bruch (Quotient) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kannheiszligt rationale Zahl minusa

b=

aminusb

= minusab

mit b ne 0

Tom und Sara sind irgendwie fasziniert schon wieder gibt es eine neue Zahlenmengeund die ist eigentlich ganz einfach denn das Rechnen funktioniert so wie bei den ganzenZahlenSie versuchen gleich Beispiele fuumlr rationale Zahlen zu finden

minus14 = minus 141= 14

minus1 oder minus 25= minus2

5= 2

minus5 = minus04 oder 17 = 1710

usw

315 Finde fuumlnf Beispiele fuumlr rationale Zahlen und schreib sie auf316 Division durchnull ist nichtdefiniert 316I1)H4

K1 Uumlberlege und begruumlnde warum beiabder Nenner b nicht null sein darf

317 a) minus34= minus075

b) minus119=

minus005263157hellipc) minus5

23=

minus02173913hellip

317diams Berechne und schreibe das Ergebnis sowohl in Bruch- als auch in Dezimaldarstel-lung an Du kannst den TR zu Hilfe nehmena) (minus33) ∶ 44 = b) (minus2) ∶ 38 c) 10 ∶ (minus46)

ii

ii

ii

ii

44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

ii

ii

ii

ii

64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

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49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

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76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

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60 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

Bei schwierigen Rechnungen kann man auch den Taschenrechner verwendenTaschenrechner funktionieren meist ganz einfach Die Rechnungen werden fast ge-nauso eingegeben wie du sie bis jetzt angeschrieben hast Nur das Rechnen selbstuumlbernimmt dann ein kleiner Computer

300 Partnerinnenarbeita) Einer uumlberlegt sich mindestens fuumlnf verschiedene Additionen und berechnet dieErgebnisse mit dem Taschenrechner derdie andere rechnet im Kopf Vergleicht eureErgebnisse und schreibt die Rechnungen ins Heftb) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch diesmal Subtraktionenc) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Multiplikationend) Geht wie in a) vor und uumlberlegt euch Divisionen

301 Taste nd 2nd

nd 3 cursor 7cursor 8

301 Finde heraus wie man auf deinem Taschenrechner die Bruchzahl25eingibt Wie

gibt man die gemischte Zahl 3 78ein

Tipp 42Vor jeder neuen Rechnung mit dem Taschenrechner musst du auf die -Tastedruumlcken sonst rechnest du mit den Zahlen der vorhergehenden Rechnung weiterEine Bruchzahl gibst du mit der n

d-Taste ein eine gemischte Zahl mit der n

d-Taste

im zweiten Funktionsteil (U nd) Mit dem Cursor gelangst du zu den verschiedenen

Stellen

302 7 302 Untersuche ob dein Taschenrechner Punktrechnung vor Strichrechnung rechnetindem du 1 + 2 sdot 3 = rechnest

303 a) 02 b) 2879c) 26 d) 189 e) 8f) 55 g) 66 h) 0

303I1)H2K1 Stoppe die Zeit Wie bist du schneller mit dem Ta-

schenrechner oder mit dem Kopf

a) 37 minus 35 = b) 2882 minus 03 =c) 2 + 5 + 19 = d) 3 + 11 + 49 =e) 37 + 43 = f ) 87 minus 32 =g) 11 + 22 + 33 = h) 33 minus 22 minus 11 =

304 Richtigist (4)

304I1)H2K1 diams Uumlberlege zuerst mit einer Uumlberschlagsrechnung welche Zahl die Loumlsung von

52 sdot 105 minus 398 ist Uumlberpruumlfe anschlieszligend mit dem Taschenrechner(1) 142 (2) 144 (3) 146 (4)times 148

305 a) 98 Mal b) mdashc) 490 Tage durchMultiplikation mit5

305 Tom ist ehrgeizig geworden Das Rechnen mit dem Taschenrechner macht ihmSpaszlig Er versucht nun gleich das Eingangsbeispiel zu berechnena) Wie oft muss er 022 von 2150 abziehen damit das Ergebnis eine Zahl kleiner nullergibt Hilf ihm und berechne mit deinem Taschenrechner Du musst dazu von 2150fortlaufend immer 022 abziehenb) Wie koumlnntest du das Ergebnis schneller berechnenc) Nach wie vielen Tagen waumlre der Schwimmrekord auf einer Zahl kleiner null wenner alle 5 Tage unterboten wird Berechne und beschreibe wie du vorgegangen bist

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43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr negative Zahlen 61

Tipp 43Vergiss nicht dass das Komma bei Dezimalzahlen am Taschenrechner mit einemPunkt geschrieben wird du aber einen Beistrich anschreiben musst

306 a) 6232b) 185366c) 1604008d) 12902e) 321204f) 1102405697g) 1116666667h) 59

36i) 13

6

306I1)H2K1 Berechne folgende Rechnungenmit deinemTaschenrechner Schreibe die Loumlsungen

in dein Hefta) 654 minus 308 = b) 1932 minus 7834 = c) 4652 11 + 11387 97 =d) 12763 + 139 = e) 13845 sdot 232 = f ) 1869121 sdot 5897 99 =g) 134 ∶ 12 = h)⋆ 3

4+ 8

9= i )⋆ 2

3+ 3

2=

307 Erfinde selbst Aufgaben wie 305 und gib sie einer Kollegineinem Kollegen zumRechnen Kontrolliere ihreseine Ergebnisse

Tipp 44Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist es wichtig dass man vorher eine Uumlber-schlagsrechnung macht um zu uumlberpruumlfen ob das Ergebnis stimmen kann und mansich nicht vertippt hat

308 a) 442 b) 5782c) 27974d) 5294117647

308 Schaumltze das Ergebnis durch eine Uumlberschlagsrechnung ab und berechne es an-schlieszligend mit dem Taschenrechnera) 366 + 76 = b) 5920 minus 138 = c) 142 sdot 197 = d) 72 ∶ 136 =

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr nega-tive Zahlen

In Aufgabe 305 hat Tom 98-mal 022 von 2150 abgezogen obwohl das mathematischund rechentechnisch sehr ungeschickt ist Das Ergebnis auf dem Taschenrechner lauteteminus006 Bisher habt ihr aber erst negative ganze Zahlen ndash also solche ohne Kommastellenndash kennen gelernt Das wird sich jetzt aumlndern

Herr Klein hat ein Guthaben von +23346 euro auf seinem Konto Zu Beginn des Monatswird die monatliche Miete von 41394 euro abgebucht Wie lautet der neue KontostandBerechne das Ergebnis mit dem TaschenrechnerBeispiel

Der neue Kontostand lautet minus18048 euro

309 NegativerKontostandbedeutet Schuldenbei der Bank

309I1)H3K1 Wie kannst du das Ergebnis der obigen Aufgabe interpretieren Was bedeutet ein

negativer Kontostand

310 minus31020 euro310I1)H2K1 Auf dem Haushaltskonto der Familie Eisenstaumltter wird zu Beginn des Monats die

Wohnungsmiete abgebucht Davor hatten sie ein Guthaben von 57980 euro Die monatlicheMiete betraumlgt 890 euro Berechne den neuen Kontostand

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62 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

311 320 euro 10 eurominus1320 euro = minus320 euro

311 Marie hat fuumlr einen Schulausflug 10 euro von ihrer Mutter bekommen Fuumlr EssenEis und Eintritt hat sie insgesamt 1320 euro verbraucht Wie viel Geld musste sie sichausborgen Erklaumlre wie du gerechnet hast

312 990 euro 20 euro ndash2990 euro = ndash990 euro

312 Nikolas hat 20 euro in seiner Spardose Wie viel Geld muss ersich von seinem Bruder ausborgen damit er die neuen Tormann-handschuhe um 2990 euro kaufen kann Erklaumlre wie du gerechnethast

313 47 ndash 6 =ndash13

313I1)H1K1 Ein Thermometer zeigt eine Temperatur von 47 an Im

Laufe der naumlchsten beiden Stunden faumlllt die Temperatur um 6 Wie viel Grad Celsiushat es dann Veranschauliche den Sachverhalt auf einer Zahlengeraden

314I1)H1K3 Lass dir zusammen mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn je zwei Beispiele mit

konkreten Zahlen einfallen deren Ergebnis jeweils eine negative Dezimalzahl ist

Bei den vorangegangenen Beispielen sind die Loumlsungen Zahlen die du bis jetzt imMathematikunterricht noch nicht kennen gelernt hast Es handelt sich dabei um negativeBruchzahlen (da ja Bruchzahlen auch als Dezimalzahlen dargestellt werden koumlnnen)Und schon ist eine neue Zahlenmenge entstanden

Menge der rationalen ZahlenErweitert man die ganzen Zahlen um die positiven und negativen Bruchzahlen soerhaumllt man die Menge der rationalen Zahlen Das Symbol dafuumlr ist ℚ

Anders gesagtEine Zahl die als Bruch (Quotient) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kannheiszligt rationale Zahl minusa

b=

aminusb

= minusab

mit b ne 0

Tom und Sara sind irgendwie fasziniert schon wieder gibt es eine neue Zahlenmengeund die ist eigentlich ganz einfach denn das Rechnen funktioniert so wie bei den ganzenZahlenSie versuchen gleich Beispiele fuumlr rationale Zahlen zu finden

minus14 = minus 141= 14

minus1 oder minus 25= minus2

5= 2

minus5 = minus04 oder 17 = 1710

usw

315 Finde fuumlnf Beispiele fuumlr rationale Zahlen und schreib sie auf316 Division durchnull ist nichtdefiniert 316I1)H4

K1 Uumlberlege und begruumlnde warum beiabder Nenner b nicht null sein darf

317 a) minus34= minus075

b) minus119=

minus005263157hellipc) minus5

23=

minus02173913hellip

317diams Berechne und schreibe das Ergebnis sowohl in Bruch- als auch in Dezimaldarstel-lung an Du kannst den TR zu Hilfe nehmena) (minus33) ∶ 44 = b) (minus2) ∶ 38 c) 10 ∶ (minus46)

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44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

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ii

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64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

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45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr negative Zahlen 61

Tipp 43Vergiss nicht dass das Komma bei Dezimalzahlen am Taschenrechner mit einemPunkt geschrieben wird du aber einen Beistrich anschreiben musst

306 a) 6232b) 185366c) 1604008d) 12902e) 321204f) 1102405697g) 1116666667h) 59

36i) 13

6

306I1)H2K1 Berechne folgende Rechnungenmit deinemTaschenrechner Schreibe die Loumlsungen

in dein Hefta) 654 minus 308 = b) 1932 minus 7834 = c) 4652 11 + 11387 97 =d) 12763 + 139 = e) 13845 sdot 232 = f ) 1869121 sdot 5897 99 =g) 134 ∶ 12 = h)⋆ 3

4+ 8

9= i )⋆ 2

3+ 3

2=

307 Erfinde selbst Aufgaben wie 305 und gib sie einer Kollegineinem Kollegen zumRechnen Kontrolliere ihreseine Ergebnisse

Tipp 44Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist es wichtig dass man vorher eine Uumlber-schlagsrechnung macht um zu uumlberpruumlfen ob das Ergebnis stimmen kann und mansich nicht vertippt hat

308 a) 442 b) 5782c) 27974d) 5294117647

308 Schaumltze das Ergebnis durch eine Uumlberschlagsrechnung ab und berechne es an-schlieszligend mit dem Taschenrechnera) 366 + 76 = b) 5920 minus 138 = c) 142 sdot 197 = d) 72 ∶ 136 =

43 Toms Problem ist noch nicht geloumlst ndash noch mehr nega-tive Zahlen

In Aufgabe 305 hat Tom 98-mal 022 von 2150 abgezogen obwohl das mathematischund rechentechnisch sehr ungeschickt ist Das Ergebnis auf dem Taschenrechner lauteteminus006 Bisher habt ihr aber erst negative ganze Zahlen ndash also solche ohne Kommastellenndash kennen gelernt Das wird sich jetzt aumlndern

Herr Klein hat ein Guthaben von +23346 euro auf seinem Konto Zu Beginn des Monatswird die monatliche Miete von 41394 euro abgebucht Wie lautet der neue KontostandBerechne das Ergebnis mit dem TaschenrechnerBeispiel

Der neue Kontostand lautet minus18048 euro

309 NegativerKontostandbedeutet Schuldenbei der Bank

309I1)H3K1 Wie kannst du das Ergebnis der obigen Aufgabe interpretieren Was bedeutet ein

negativer Kontostand

310 minus31020 euro310I1)H2K1 Auf dem Haushaltskonto der Familie Eisenstaumltter wird zu Beginn des Monats die

Wohnungsmiete abgebucht Davor hatten sie ein Guthaben von 57980 euro Die monatlicheMiete betraumlgt 890 euro Berechne den neuen Kontostand

ii

ii

ii

ii

62 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

311 320 euro 10 eurominus1320 euro = minus320 euro

311 Marie hat fuumlr einen Schulausflug 10 euro von ihrer Mutter bekommen Fuumlr EssenEis und Eintritt hat sie insgesamt 1320 euro verbraucht Wie viel Geld musste sie sichausborgen Erklaumlre wie du gerechnet hast

312 990 euro 20 euro ndash2990 euro = ndash990 euro

312 Nikolas hat 20 euro in seiner Spardose Wie viel Geld muss ersich von seinem Bruder ausborgen damit er die neuen Tormann-handschuhe um 2990 euro kaufen kann Erklaumlre wie du gerechnethast

313 47 ndash 6 =ndash13

313I1)H1K1 Ein Thermometer zeigt eine Temperatur von 47 an Im

Laufe der naumlchsten beiden Stunden faumlllt die Temperatur um 6 Wie viel Grad Celsiushat es dann Veranschauliche den Sachverhalt auf einer Zahlengeraden

314I1)H1K3 Lass dir zusammen mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn je zwei Beispiele mit

konkreten Zahlen einfallen deren Ergebnis jeweils eine negative Dezimalzahl ist

Bei den vorangegangenen Beispielen sind die Loumlsungen Zahlen die du bis jetzt imMathematikunterricht noch nicht kennen gelernt hast Es handelt sich dabei um negativeBruchzahlen (da ja Bruchzahlen auch als Dezimalzahlen dargestellt werden koumlnnen)Und schon ist eine neue Zahlenmenge entstanden

Menge der rationalen ZahlenErweitert man die ganzen Zahlen um die positiven und negativen Bruchzahlen soerhaumllt man die Menge der rationalen Zahlen Das Symbol dafuumlr ist ℚ

Anders gesagtEine Zahl die als Bruch (Quotient) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kannheiszligt rationale Zahl minusa

b=

aminusb

= minusab

mit b ne 0

Tom und Sara sind irgendwie fasziniert schon wieder gibt es eine neue Zahlenmengeund die ist eigentlich ganz einfach denn das Rechnen funktioniert so wie bei den ganzenZahlenSie versuchen gleich Beispiele fuumlr rationale Zahlen zu finden

minus14 = minus 141= 14

minus1 oder minus 25= minus2

5= 2

minus5 = minus04 oder 17 = 1710

usw

315 Finde fuumlnf Beispiele fuumlr rationale Zahlen und schreib sie auf316 Division durchnull ist nichtdefiniert 316I1)H4

K1 Uumlberlege und begruumlnde warum beiabder Nenner b nicht null sein darf

317 a) minus34= minus075

b) minus119=

minus005263157hellipc) minus5

23=

minus02173913hellip

317diams Berechne und schreibe das Ergebnis sowohl in Bruch- als auch in Dezimaldarstel-lung an Du kannst den TR zu Hilfe nehmena) (minus33) ∶ 44 = b) (minus2) ∶ 38 c) 10 ∶ (minus46)

ii

ii

ii

ii

44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

ii

ii

ii

ii

64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

62 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

311 320 euro 10 eurominus1320 euro = minus320 euro

311 Marie hat fuumlr einen Schulausflug 10 euro von ihrer Mutter bekommen Fuumlr EssenEis und Eintritt hat sie insgesamt 1320 euro verbraucht Wie viel Geld musste sie sichausborgen Erklaumlre wie du gerechnet hast

312 990 euro 20 euro ndash2990 euro = ndash990 euro

312 Nikolas hat 20 euro in seiner Spardose Wie viel Geld muss ersich von seinem Bruder ausborgen damit er die neuen Tormann-handschuhe um 2990 euro kaufen kann Erklaumlre wie du gerechnethast

313 47 ndash 6 =ndash13

313I1)H1K1 Ein Thermometer zeigt eine Temperatur von 47 an Im

Laufe der naumlchsten beiden Stunden faumlllt die Temperatur um 6 Wie viel Grad Celsiushat es dann Veranschauliche den Sachverhalt auf einer Zahlengeraden

314I1)H1K3 Lass dir zusammen mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn je zwei Beispiele mit

konkreten Zahlen einfallen deren Ergebnis jeweils eine negative Dezimalzahl ist

Bei den vorangegangenen Beispielen sind die Loumlsungen Zahlen die du bis jetzt imMathematikunterricht noch nicht kennen gelernt hast Es handelt sich dabei um negativeBruchzahlen (da ja Bruchzahlen auch als Dezimalzahlen dargestellt werden koumlnnen)Und schon ist eine neue Zahlenmenge entstanden

Menge der rationalen ZahlenErweitert man die ganzen Zahlen um die positiven und negativen Bruchzahlen soerhaumllt man die Menge der rationalen Zahlen Das Symbol dafuumlr ist ℚ

Anders gesagtEine Zahl die als Bruch (Quotient) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kannheiszligt rationale Zahl minusa

b=

aminusb

= minusab

mit b ne 0

Tom und Sara sind irgendwie fasziniert schon wieder gibt es eine neue Zahlenmengeund die ist eigentlich ganz einfach denn das Rechnen funktioniert so wie bei den ganzenZahlenSie versuchen gleich Beispiele fuumlr rationale Zahlen zu finden

minus14 = minus 141= 14

minus1 oder minus 25= minus2

5= 2

minus5 = minus04 oder 17 = 1710

usw

315 Finde fuumlnf Beispiele fuumlr rationale Zahlen und schreib sie auf316 Division durchnull ist nichtdefiniert 316I1)H4

K1 Uumlberlege und begruumlnde warum beiabder Nenner b nicht null sein darf

317 a) minus34= minus075

b) minus119=

minus005263157hellipc) minus5

23=

minus02173913hellip

317diams Berechne und schreibe das Ergebnis sowohl in Bruch- als auch in Dezimaldarstel-lung an Du kannst den TR zu Hilfe nehmena) (minus33) ∶ 44 = b) (minus2) ∶ 38 c) 10 ∶ (minus46)

ii

ii

ii

ii

44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

ii

ii

ii

ii

64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

44 Darstellung und Ordnung rationaler Zahlen 63

Runden beim TaschenrechnerDer Taschenrechner zeigt dir z B bei Aufg 317 b) vieleKommastellen an Hier ist es sinnvoll zu runden Meistwird das Ergebnis auf zwei oder drei Nachkommastellengerundet Auf jeden Fall kann das Ergebnis nicht genau-er als die Angabe sein Das ist dann wichtig wenn dieAngabezahlen z B durch Messen gewonnen wurden

318 a) minus4556b) 76006 c) minus1210

318I1)H2K2 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf 3 Nachkommastellen Vergiss

nicht vorher eine Uumlberschlagsrechnung zu machena) 123 ∶ (minus27) = b) 1926 ∶ 2534 = c) (minus749287) ∶ 619 =

319 Richtigist (2)

319I1)H4K3 Welche Zahl wuumlrdest du als Ergebnis der Rechnung (minus37) ∶ (+33) angeben

Begruumlnde

(1) ndash110 (2)times ndash112 (3) ndash1121 (4) ndash11212

320 a) EineAngabe ist imAllgemeinengenau wenn siedurch Zaumlhlenentstanden ist undeine Naumlherungwenn gemessenwurdeb) Bei einerMessung entstehtein Messfehler undder wird beimRechnen i A nichtkleiner

320I1)H4K3 ⋆ a) Uumlberlege wann eine Angabe genau ist und wann nur eine Naumlherung

b) Warum kann ein Ergebnis im Allgemeinen nicht genauer als die Angabe sein

44 Darstellung und Ordnung rationaler ZahlenSo wie die ganzen Zahlen (vgl Kap 21 S 26) koumlnnen auch die rationalen Zahlen aufeiner Zahlengeraden dargestellt werden

Die Menge der rationalen Zahlen auf der ZahlengeradenDie Menge aller positiven und negativen Zahlen die als Bruumlche dargestellt werdenkoumlnnen heiszligt Menge der rationalen Zahlen Jeder Zahl wird eindeutig ein Punktauf der Zahlengeraden zugeordnet Die Zahlen links von null haben ein negativesVorzeichen und heiszligen negative rationale Zahlen die Zahlen rechts von null heiszligenpositive rationale Zahlen und haben ein Plus als Vorzeichen Die Zahl Null hat keinVorzeichen

minus4 1 2ndash575 ndash25 minus 12

32

154

550

negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen

Tipp 45Wie bei den ganzen Zahlen muss das

rdquo+ldquo wenn es ein Vorzeichen ist nicht ange-

schrieben werden Dasrdquominusldquo hingegen immer

ii

ii

ii

ii

64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

64 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

321I1)H1K1 Trage auf der Zahlengeraden die Zahlen minus15 minus4 2

3 minus 1

2 3 und 05 durch Kreuze

ein

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 50

322 minus28 minus2 15

-15 minus 23 12 21 34

322I1)H3K1 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze auf der Zahlengeraden markiert

minus3 minus2 minus1 1 2 30

323I1)H1K2 Zeichne eine Zahlengerade und trage folgende rationale Zahlen ein Waumlhle dazu

jeweils eine geeignete Einheitsstreckea) minus24 minus15 minus 1

2 2 47 5 2

3b) minus58 minus4 1

2 minus3 1

4 minus14 2

532 27 3 3

45610

Tipp 46Wie bei den ganzen Zahlen liegt auch bei den rationalen Zahlen die kleinere Zahl aufder Zahlengeraden links von der groumlszligeren Zahl

rdquokleiner alsldquo =

rdquolinks vonldquo

rdquogroumlszliger alsldquo =

rdquorechts vonldquo

324I1)H4K1 Setze das

rdquogtldquo- oder das

rdquoltldquo-Zeichen so ein dass die folgenden Aussagen wahr

werden Erklaumlre wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist

a) minus02 lt 03132lt 5

3

minus 116lt minus 1

616lt 3

2

b) minus 23gt minus 5

6

minus04 gt minus042minus 7

3lt minus 1

234gt 5

7

c) 87lt 2

minus 49gt minus32

minus68 lt minus 60100

0 lt 0 6

325 minus 73 minus 11

6 minus 3

2

minus 56minus 2

3 minus 1

6 0 1

6 13

12 76 32 53

325 Ordne die folgenden Zahlen so dass die kleinste Zahl ganz links steht16 minus 7

376 minus 3

23212 0

53 minus 5

6 minus 2

313 minus 1

6 minus 11

6

326 a) 4010 40011040 41 minus41 minus140minus1004 minus4100b) 5423 34523254 minus2543minus3254 minus4352minus4523 minus5243c) 25609 2509620596 20569minus265 minus2659minus28901 minus29056minus2965 d) 1982519582 1952819258 19002minus19528 minus19582minus19852 326 Sortiere die Zahlen der Groumlszlige nach Beginne jeweils mit der groumlszligten Zahl

a) minus1004 minus4100 04010 4001 1040 0041 minus0041 minus0140Welche Nullen braucht man hier eigentlich nichtb) minus3254 minus2543 3452 minus4523 minus4352 minus5243 5423 3254c) 25609 minus2650 minus26590 minus29056 20569 20596 minus29650 25096 minus28901d) 19582 19825 19258 minus19825 19528 minus19528 minus19582 19002

327 a) Z B minus 58

durch Markiereneines Punktes aufder Zahlengeradenbzw durchErweitern desBruchesb) Prinzipiellkoumlnnen unendlichviele Bruchzahlengefunden werdenc) Antwort wie inb)

327⋆ Wie viele Zahlen liegen dazwischena) Kennzeichne und benenne auf einer Zahlengeraden eine Bruchzahl die zwischenminus 1

2und minus 3

4liegt Erklaumlre wie du diese Bruchzahl ermittelt hast

b) Verdopple nun auf deiner in a) gezeichneten Zahlengeraden die Einheitsstrecke undmarkiere wieder die Zahlen minus 1

2und minus 3

4 Wie viele Bruchzahlen kannst du nun finden

die zwischen den beiden gegebenen Zahlen liegenc) Was waumlre wenn du nun deine Einheitsstrecke noch einmal verdoppeln wuumlrdest

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndash Der Betrag rationaler Zahlen 65

Die Menge der rationalen Zahlen ist wie ℤ eine Menge mit unendlich vielenElementen Zwischen zwei ganzen Zahlen koumlnnen immer unendlich viele rationaleZahlen gefunden werden Doch auch zwischen zwei rationalen Zahlen koumlnnen immerunendlich viele weitere Bruumlche gefunden werden (es kann immer halbiert werden)Nur weil

rdquozeichnerischldquo zu wenig Platz ist sind nicht weniger Zahlen dazwischen

Das bedeutet aber dass es nicht moumlglich ist einen eindeutigen Vorgaumlnger oderNachfolger einer rationalen Zahl zu finden Bei den ganzen Zahlen ist das moumlglich esmuss immer nur 1 abgezogen oder dazugezaumlhlt werden Wie bei den ganzen Zahlengibt es auch bei den rationalen Zahlen keine kleinste und keine groumlszligte Zahl denn einbisschen etwas kann man immer abziehen oder dazuzaumlhlen

minus12

minus13

minus14minus15

12

13

14

15

16

0

328 Stimmt nichtda dazwischenunendlich vieleBruchzahlen liegenz B 1

3

328I1)H4K1 Paul Kuddelmuddel meint

rdquo24ist die naumlchstgroumlszligere Zahl nach

14ldquo Was meinst du

dazu

45 Entgegengesetzte rationale Zahlen ndashDer Betrag rationaler Zahlen

Sehr schoumln Tom freut sich Die rationalen Zahlen hat er schon fast verstanden denneigentlich ist alles so wie bei den ganzen Zahlen Sie werden gleich dargestellt undhaben auch eine Ordnung Genauso verhaumllt es sich mit dem Betrag

Entgegengesetzte rationale Zahlen und ihr BetragDie rationalen Zahlen minus36 und 36 haben vom Nullpunkt den gleichen AbstandDaher haben sie auch den gleichen Betrag naumlmlich 36 Nur die Vorzeichen sindverschieden Sie heiszligen entgegengesetzte rationale Zahlen

0 36ndash36

-36 36

3636

Der Betrag wird genauso wie bei den ganzen Zahlen geschrieben

1114073+561114073 = 1114073minus

561114073 =

56

329I1)H1K1 Entgegengesetzte Zahlen liegen symmetrisch zum Nullpunkt Kennzeichne drei

weitere Paare von entgegengesetzten rationalen Zahlen und beschrifte sie

0ndash5 5ndash25 25minus 103

103

330 a) 8 ndash8 12 1272 ndash72 91 91 5959 228 228 b) 15

4

minus 154 17

2 17

2 3 9

10

3 910 12 1

4 minus12 1

4 8 4

5

8 45 4 3

4 4 3

4330I1)H2K1 Gib jeweils den Betrag und die entgegengesetzte Zahl an

a) +8 minus12 72 minus91 minus59 minus228 b) 154 minus 17

2 minus3 9

10 12 1

4 minus8 4

5 minus4 3

4

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

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ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

66 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

331 minus 7510 minus125

1571 7 04 minus12 1

4

494 10

8 21

3 75 minus 60

2

minus15 30 0

331I1)H2K3 Gib jeweils eine Zahl mit dem gleichen Betrag an

7510 125 minus1571 minus7 0

4 12 1

4 minus 49

4 minus 10

8 minus 21

3 minus75 60

2 15 minus30 0

332 a) 0 b) minus5 minus4minus3 minus2 minus1 0 1 2 34 5 c) minus1 0 1d) minus1 0 1

332 Gib an welche ganzen Zahlen zwischen den entgegengesetzten rationalen Zahlenliegena) minus 3

4 34

b) minus523 52 c) minus2 2 d) minus 118 11

8

333 Setze jeweils eines der Zeichen (ltgt=) so ein dass die Aussage stimmt

a) ndash3 lt 5

|ndash3| gt |2|

17 gt ndash18

|675| lt |ndash142|

|ndash675| lt |142|

ndash675 lt 142

b) 165 lt 2445

2625 lt 342

|ndash3| = |+3|

ndash10425 gt ndash1122

|ndash3| lt |34|

75 lt 8295

334 a hat dengroumlszligeren Betrag0 lt |b| lt |a| a undb sind beidenegativeZahlenrArr Betraumlgeder Zahlen sindgleich denentgegengesetztenZahlenrArr JeneZahl die amweitesten imnegativen Bereichvon null entferntist ist auch impositiven Bereicham weitesten vonnull entfernt

334I1)H4K3 ⋆ Es gilt a lt b lt 0 Welche der beiden Zahlen hat den groumlszligeren Betrag Begruumlnde

deine Antwort

335x gt 0 rArr minusx lt 0z B2 gt 0 rArr minus2 lt 0x lt 0 rArr minusx gt 0z Bminus2 lt 0 rArr 2 gt 0BegruumlndungSpiegelung amZahlenstrahl

335 In welchen Faumlllen ist eine rationale Zahl groumlszliger als ihre entgegengesetzte ZahlWann ist sie kleiner als ihre entgegengesetzte Zahl Erklaumlre deine Antwort anhand vonBeispielen

336 Ergaumlnze die folgenden Aussagen so dass eine wahre Aussage entsteht

a) ndash344 lt ndash244

|ndash1705| = 1705

18 lt372

| 154| lt

152

b) |05| gt 03

|ndash54| = 54

121 lt |-122|185

= | minus 185|

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtra-hierenhellip

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen ist nicht schwierig Es gelten dabei diegleichen Vorzeichenregeln wie beim Rechnen mit den ganzen Zahlen Zusaumltzlich musstdu noch die Rechenregeln des Bruchrechnens anwenden Zur Erleichterung kannst duz B an Guthaben (+) und Schulden (minus) denken

337 Du kannst diese Aufgabe alleine machen oder zusammen mit einer KollegineinemKollegenNimm zusaumltzlich dein Mathebuch aus der zweiten Klasse zu Hilfe und schreib dir nocheinmal die Rechenregeln fuumlr das Rechnen mit Bruumlchen auf (MatheFit2 ab S 76) undwiederhole die Vorzeichen- bzw Klammerregeln fuumlr das Rechnen mit ganzen Zahlen(MatheFit3 ab S 42)

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 67

Am Ende sollst du eine fuumlr dich uumlbersichtliche Darstellung in deinem Heft haben wodu immer nachschlagen kannst wenn du mal nicht weiter weiszligt

338 a) 167minus8215 minus14b) minus5197 10045299c) 17

15 minus 127

30 11

8d) 702

259 minus 27

38 1750

338I1)H2K1 Zum Aufwaumlrmen Fuumlhre folgende Additionen aus rechne wie mit Guthaben und

Schulden Loumlse zuerst die Klammern aufa) (+38) + (+129) =

minus13945 + 573 =(minus83) + (+69) =

b) (minus1967) + (minus323) =20005 + (minus996) =10006 + (minus9707) =

c) 45+ 3

9=

1114100minus 1161114103 + 1114100minus 12

51114103 =

minus 78+ 9

4=

d) 1114100minus 16371114103 + 1114100+ 22

71114103 =

1114100minus 15191114103 + 1114100+ 3

381114103 =

1114100minus 17251114103 + 1114100minus 17

501114103 =

339 a) 35 b) minus 34

c) 005

339I1)H2K2 Berechne und stelle die Rechnung und das Ergebnis grafisch (mit Pfeilen) dar

a) minus17 + 52 = b) (+ 34) + (minus 3

2) = c) minus12 + 5

4=

340I1)H2K1 Ergaumlnze die Tabelle

Alter Kontostand Gutschrift oder Lastschrift Neuer Kontostand+ 25050 euro ndash186 euro 6450 eurondash320 euro 77225 euro +45225 euro31010 euro +36180 euro ndash5170 euro

Tipp 47Wenn es zum Rechnen vorteilhaft ist wandle Bruumlche in Dezimalzahlen um

341 a) minus19999b) minus33929c) 270835 d) mdash

341I1)H2K1 ⋆ a) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus70001 zur ganzen Zahl minus9

b) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus116071 zur ganzen Zahl minus15c) Welche rationale Zahl ergaumlnzt minus120835 zur ganzen Zahl 15d) Beschreibe wie du in Aufgabe a) bis c) vorgegangen bist

342 a) minus8947b) minus2745

342I1)H2K1 Additionsstern Addiere jeweils die vier Zahlen

a) b)

5409 minus176

minus13894

1298

minus 25

minus 69

minus 37

minus 54

Subtrahieren rationaler ZahlenWie beim Subtrahieren ganzer Zahlen entspricht das Subtrahieren rationaler Zahleneigentlich dem Addieren der entgegengesetzten Zahl

Z B (+72) minus (minus68) = 72 + 68 = 14(minus1243) minus (+9) = minus1243 + (minus9) = minus1243 minus 9 = minus2143

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

68 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

343 a) 428minus2123 10776b) minus 65

42 139

12 minus5

343I1)H2K1 Fuumlhre folgende Subtraktionen aus Schreibe die Rechnung zuerst ohne Klam-

mern an

a) 668 minus (+24) =minus1235 minus (+888) =(+29476) minus (+187) =

b) 1114100minus 561114103 minus 1114100+ 5

71114103 =

223minus 1114100minus 17

41114103 =

minus 302minus 1114100minus 30

31114103 =

344I1)H2K1 Fuumllle die leeren Felder aus Rechne jeweils 1 Spalte minus 1 Zeile

a) b)minus minus3 minus7 10

minus6 minus3 1 minus16

3 6 10 minus7

minus7 minus4 0 minus17

minus 43 minus19 56

minus74 minus117 minus55 minus13

28 minus15 47 minus28

minus31 minus74 minus12 minus87

c) d)minus 05 minus37 minus24

minus23 minus28 14 01

minus42 minus47 minus05 minus18

55 5 92 79

minus 12

minus 94

56

minus 37

minus 1314

5128

minus 5342

53

76

4712

56

minus 85

minus 2110

1320

minus 7330

345 a) minus 56

b) minus27c) 0 d) 0

345I1)H2K1 diams Berechne die Loumlsung Beachte dabei die Klammerregel

a) 23minus 1114100 1

2minus 1

31114103 minus 1114100 3

2minus 1

61114103 = b) minus 3

5minus 1

4minus 1114100 3

2minus 2

51114103 minus 3

4=

c) minus 45minus 1114100minus 3

4+ 1

51114103 minus 1114100minus 1

41114103 = d) 4

5minus 1114100 3

4minus 1

51114103 + 1114100minus 1

41114103 =

Tipp 48Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit dem TaschenrechnerWenn du Rechnungen mit dem Taschenrechner loumlsen moumlchtest musst du dazu Fol-gendes beachten

Eingabe von negativen ZahlenEine negative Zahl wird (meist) entweder so eingegeben

oder soDie Vorzeichentaste gehoumlrt direkt zur nachkommenden Zahl du brauchst daher auchkeine Klammer eingeben

Eingabe von BruchzahlenMit der Taste kannst du Bruchzahlen eingeben die Tasten lassen dichwie mit einem Cursor weiterspringen

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

46 Auch rationale Zahlen kann man addieren und subtrahierenhellip 69

346 a) 3082minus194196 172539minus660461b) 409045 minus8717minus851478 242361

346 Berechne mit dem Taschenrechner und beachte dabei dass du die Klammernschon im Kopf aufloumlsen kannst bevor du die Rechnung eingibsta) 488 + (minus1798) =

(minus198767) + 4571 =73549 minus (minus9899) =minus38691 minus 62177 =

b) 390452 minus (minus18593) =4178 + (minus12895) =minus531598 + (minus31988) =(minus76639) minus (minus319) =

Tipp 49Beachte dass der Bruchstrich eine Klammer ersetzt Beim Eintippen in denTaschenrechner musst du daher Klammern verwenden

1 +2 + 34 + 5

= 1 + (2 + 3)(4 + 5)

347 a) 287456

1110

0151b) minus036 minus0013minus01

347 Nimm deinen Taschenrechner zu Hilfe um die Loumlsungen zu berechnen

a)819minus

38+

712=

45+

910minus

35=

715minus 0316 =

b)minus32

81 + 079=

281027 minus 312

=

17 minus 39218 + 01

=

348 Sie darf nochum 56278 eurouumlberziehen

348 Frau Herbstberger hat bei der Bank einen Uumlberziehungsrahmen von 6000 euro Siekann deshalb ihr Konto bis zu diesem Betrag uumlberziehen Der letzte Kontostand war248747 euro im Soll Danach wurden Rechnungen von 1830 euro und 111975 euro bezahlt Wieviel darf sie noch uumlberziehen Warum sind Kontouumlberziehungen nicht ratsam

349 252942 euro349 Aus einem Kontoauszug Die roten Zahlen geben die Abzuumlge an die schwarzendie Gutschriften Leider wurde der aktuelle Kontostand geloumlscht Kannst du ihn wiederberechnen

alter Kontostand 134461 euroKontoauszug vom 158 bis 2082016 Eingaumlnge AusgaumlngeDatum AuszNr Buchungstext EinAusg euro1582016 999999999 Raxseilbahn um 926 ndash16401582016 999999999 Moumlbelhaus um 1858 ndash102801682016 999999999 Bankomat um 1000 ndash60001682016 999999999 Gutschrift Lohn 1856171682016 999999999 Tankstelle um 1038 ndash61631782016 999999999 Spielzeugabteilung um 1157 ndash22471782016 999999999 Lastschrift StromGas ndash92401782016 999999999 Ihr Supermarkt um 1359 ndash60661782016 999999999 Bankomat um 1417 ndash90002082016 999999999 Jugendgaumlstehaus um 937 ndash16500

350 Erfinde selbst ein Beispiel in dem Kontobewegungen (Abzuumlge Gutschriften) ange-geben werden Verwende dazu moumlglichst realistische Angaben

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

70 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

351 18 n Chr 351⋆ Der Dichter Ovid wurde im Jahr 43 v Chr geboren und starb mit 60 Jahren Inwelchem Jahr ist Ovid gestorben

ZeitrechnungUnsere Zeitrechnung stammt vomMoumlnchDionysius Exiguus (dagger um 545) Er berechneteaus dem Neuen Testament den Zeitpunkt der Geburt Jesu Christi fuumlr das Jahr 754 aburbe condita (seit der Gruumlndung Roms) Da er die Null noch nicht kannte bezeichneteer das erste Jahr mit einer Eins Daher muss man beim Wechsel der Zeit

rdquovorldquo in die

Zeitrdquonachldquo ein Jahr einfuumlgen Uumlbrigens machte er einen Fehler Christi Geburt war

etwa 5 nach Christi Geburt

352 Richtigist (3)

352I1)H1K2 Kaiser Augustus wurde 63 v Chr geboren und 76 Jahre alt In welchem Jahr starb

er (Beruumlcksichtige die Information im obigen Kaumlstchen)(1) 12 n Chr (2) 33 n Chr (3)times 14 n Chr (4) 15 n Chr

353I1)H1K2 a) Versuche den Term (+29) minus (minus12) minus (+13) minus (minus18) durch das Setzen von zu-

saumltzlichen Klammern so zu veraumlndern dass moumlglichst viele verschiedene Ergebnisseherauskommenb) Denk dir selbst eigene Terme aus die durch das Setzen von zusaumltzlichen Klammernzu verschiedenen Ergebnissen fuumlhren

47 hellipmultiplizieren und dividieren ndashMultiplikation und Division rationaler Zahlen

Multiplikation und Division rationaler ZahlenDas Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen funktioniert genausowie das Rechnen mit Bruumlchen und Dezimalzahlen (vgl dazu MatheFit2 Kapitel 5)zusaumltzlich muumlssen noch die Vorzeichenregeln beachtet werden

Multiplikationz1n1sdotz2n2=

z1 sdot z2n1 sdot n2

wobei n1 n2 ne 0

Bruumlche werden miteinander multipli-ziert indem man die Zaumlhler und Nen-ner miteinander multipliziert

Divisionz1n1∶z2n2=

z1n1sdotn2z2=

z1 sdot n2z2 sdot n1

wobei n1 n2 z2 ne 0

Bruumlche werden dividiert indem manmit dem Kehrwert des zweiten Bruchsmultipliziert

Bei Division und Multiplikation mit Dezimalzahlen kannst du wie bei den ganzenZahlen zuerst das Vorzeichen anschreiben und dann die Rechnung ohne Vorzeichenausfuumlhren

Z B (minus195) ∶ (26) = minus75

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

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48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

47 multiplizieren und dividieren ndash Multiplikation und Division rationaler Zahlen 71

354 a) 16 minus27 minus14b) minus072 27 36

354I1)H2K1 Berechne die Produkte Bestimme zuerst das Vorzeichen

a) 05 sdot (minus4) sdot (minus8) =(minus5) sdot (minus6) sdot (minus09) =5 sdot (minus07) sdot 4 =

b) (minus06) sdot (minus3) sdot (minus04) =18 sdot (minus5) sdot (minus03) =(minus09) sdot 10 sdot (minus04) =

355 UmVorzeichen undRechenzeichen klarzu trennen

355 Paula Kuddelmuddel fragt sich warum in der vorigen Aufgabe (354) manche Zahlenmit Klammern angeschrieben werden und manche nicht Kannst du ihr das erklaumlren

356 a) Z B(minus3) sdot (minus4) sdot (minus1)oder 2 sdot (minus6) sdot 1b) Z B(minus12) sdot (minus2) sdot 2(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus6) sdot (minus2) sdot 4(minus3) sdot (minus4) sdot 43 sdot 4 sdot 4(minus12) sdot (minus1) sdot 4 uswc) 1 sdot 2 sdot 3 =1 sdot (minus2) sdot (minus3) =(minus1) sdot 2 sdot (minus3) =(minus1) sdot (minus2) sdot 3

356 Zum Knobelna) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man minus12 Es gibt mehrereLoumlsungen Finde sieb) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 48 Gib mindestens6 verschiedene Loumlsungen anc) Multipliziert man drei ganze Zahlen miteinander so erhaumllt man 6 Gib alle 4 Loumlsun-gen an

Tipp 410Beachte Punktrechnung vor Strichrechnung ndash PUSTRI

357 a) minus12 b) 296c) 04 d) minus062

357I1)H2K1 Berechne

a) (minus06) sdot 8 + (minus4) sdot (minus09) = b) (minus5) sdot (minus7) + (minus9) sdot 06 =c) (minus05) sdot (minus12) + 08 sdot (minus7) = d) 09 sdot 07 + (minus25) sdot 05 =

358 a) 55 b) 20c) 20 d) 20700e) 004 f) 4

358I1)H2K1 Schaumltze das Ergebnis jeweils mit einer Uumlberschlagsrechnung ab Uumlberlege vorher

welches Ergebnis am kleinsten ista) 4857 sdot 115 = b) 892 sdot 024 = c) 009 sdot 2237 =d) 23568 sdot 88 = e) 37 ∶ 1032 = f ) 045 ∶ 012 =

359 a) minus 56

815minus 6

7b) minus2 8

3minus 16

27c) 20minus 5

18minus 1

16d) 6minus 1

9minus10

359I1)H2K1 Berechne indem du zuerst das Vorzeichen bestimmst und dann mit dem Kehrwert

multipliziersta) 2

3∶ 1114100minus 4

51114103 =

1114100minus 251114103 ∶ 1114100minus 3

41114103 =

1114100minus 271114103 ∶ 1

3=

b) 1114100minus 341114103 ∶ 3

8=

1114100minus 451114103 ∶ 1114100minus 3

101114103 =

89∶ 1114100minus 3

21114103 =

c) 1114100minus 411114103 ∶ 1114100minus 1

51114103 =

56∶ 1114100minus 3

11114103 =

1114100minus 581114103 ∶ 10

1=

d) (minus3) ∶ 1114100minus 121114103 =

23∶ (minus6) =

8 ∶ 1114100minus 451114103 =

360 a) 1 b) minus12c) minus35 d) 24e) minus4 f) minus23

360I1)H2K1 Berechne die folgenden Divisionen

a) (minus06) ∶ (minus06) = b) (minus36) ∶ 3 = c) 175 ∶ (minus5) =d) (minus12) ∶ (minus5) = e) 48 ∶ (minus12) = f ) (minus943) ∶ 41 =

361I1)H3K2 Vier Freundinnen gehen in die Pizzeria Die Rechnung betraumlgt 5440 Euro Hannah

bezahlt 16 + 3840 ∶ 4 = 2560 Der Rest teilen sich die anderen drei Freundinnengleichmaumlszligig untereinander Erfinde eine Geschichte die zu dieser Aufteilung passt 362

rdquoVervielfachenldquostimmt nur fuumlrZahlen gt 1 Kleinerwird die Zahl auchwenn du hellip

362I1)H4K2 Paul Kuddelmuddel stellt fest

rdquoWenn ich eine Zahl mit einer anderen multipliziere

wird die Zahl immer groumlszliger denn multiplizieren heiszligt vervielfachenldquo Was sagst dudazu (Tipp Mache eine Tabelle mit deren Hilfe du die verschiedenen Faumllle studierst)

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

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48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

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74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

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49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

72 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

363 a) 01 b) ndash5c) ndash56 d) 0

363 Berechne das Ergebnis und beachte dabei die Klapustri-Regela) 12 ∶ (minus4) + (minus2) ∶ (minus5) = b) (minus33) ∶ 11 + 34 ∶ (minus17) =c) (minus126) ∶ (42) minus (minus247) ∶ (minus95) = d) (minus114) ∶ (minus38) minus (minus255) ∶ (minus85) =

364 Richtigsind (1) und (4)

364I1)H3K3 Sind die rechte und die linke Seite wirklich gleich

gleich nicht gleich(1) (+2) sdot [(minus3)ndash(minus8)] = (+2) sdot (minus3)ndash(+2) sdot (minus8) times (2) [(minus5) sdot (+4)] + (+7) = (minus5) sdot (+7) + (+4) sdot (+7) times(3) (+9) + (minus3) sdot (minus7)ndash(+5) = [(+9) + (minus3)] sdot [(minus7)ndash(+5)] times(4) (minus36) ∶ [(minus4] + (+6)] = (minus36) ∶ (minus4) + (minus36) ∶ (+6) times

Sara ist heute ein wenig faul und will die Rechenaufgabengar nicht mehr loumlsen sie will auch nicht mehr nachdenkenund uumlberhaupt und sowieso

rdquoTommileinldquo schmeichelt

sie ihrem BruderrdquoMoumlchtest du nicht ein paar Aufgaben

fuumlr mich rechnen Du bist doch so gut in Matheldquo Tomantwortet

rdquoWenn du Tommilein zu mir sagst dann mach

ich gar nix ich bin doch kein kleines Kind mehr Und wieso rechnest du nicht mit demTaschenrechner das geht doch viel schneller und ist noch dazu lustigldquo Und damit sienicht noch einmal Tommilein sagt erklaumlrt Tom seiner Schwester schnell wie manMultiplikationen und Divisionen mit dem Taschenrechner durchfuumlhrt

Berechnungen mit dem TaschenrechnerDein Taschenrechner kennt Klammern und auch Vorzeichenregeln Beim Eingebenvon laumlngeren Rechnungen musst du darauf achten dass du genau bist

Berechne z B folgende Rechnung mit dem Taschenrechner(minus62) sdot (2357 minus 85) =

Das Ergebnis lautet -93434

Bruchrechnungen gibst du folgendermaszligen ein2

4 sdot 3 + 5

Das Ergebnis lautet 217

Natuumlrlich kannst du Teile der Rechnung auch ohneTaschenrechner im Kopf berechnen Das erspartZeit und Arbeit Du musst nur Vorzeichen- und Klammerregeln beachten

365 a) 244b) minus332 c) minus6939d) minus156Uumlberpruumlfung durch

rdquohaumlndischesldquoNachrechnen 365I1)H2

K1 Berechne mit dem Taschenrechner Wie koumlnntest du uumlberpruumlfen ob dein Taschen-rechner tatsaumlchlich alle Rechenregeln genau einhaumllta) 864 minus 246 ∶ 3 + 25 sdot 8 = b) (864 minus 246) ∶ 3 + 25 sdot 8 =c) (864 minus 246) ∶ (3 + 25 sdot 8) = d) 864 minus (246 ∶ 3 + 25 sdot 8) =

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

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76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

48 Exercises und Ausblick 73

366 a) 77 b) 50c) 73 d) minus9716e) minus0477 f) 1694

366I1)H2K1 ⋆ Taschenrechnermarathon

a)467812 + 45 sdot 788

19 sdot 344= b)

16758 + 77618 minus 115266 sdot 318 minus 251

=

c)5339585

829 sdot 95 minus 85 sdot 66= d)

1758 sdot 1789 minus 227 sdot 1847257 sdot 102 + 137

=

e)781 sdot 611 minus 431306

805= f )

451 sdot 399 + 24819816 + 799 minus 112 + 1025

=

367 C)367 Theodoras Taschenrechner ist kaputt Die 1 laumlsst sich nicht eintippen Wenn sieauf die 1 tippt um sie einzugeben erscheint nicht einmal eine Leerstelle Ohne das zubemerken hatte ihr Banknachbar eine 6-stellige Zahl eingetippt und auf dem Displayerschien 8773 Wie viele verschiedene 6-stellige Zahlen koumlnnte er eingegeben habenA) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

368 a) 3625b) 648986c) 10475

368 Berechne mit dem Taschenrechner)a) (37 + 79) ∶ (72 minus 40) = b) (793 + 624) sdot (467 minus 09) =c)⋆ (74 minus 21 + 308) ∶ (102 minus 22) =

369 Aussage istfalsch da beiMultiplikation mit+1minus1 = minus1 der Wertdes Quotientenveraumlndert wird

369I1)H4K3 Ist die Aussage richtig oder falsch Finde geeignete Beispiele die deine Entschei-

dung begruumlndenbdquoWenn bei einem Quotienten der Zaumlhler mit +1 und der Nenner mit minus1 multipliziertwird so aumlndert sich der Wert des Quotienten nichtldquo

48 Exercises und Ausblick481 Exercises

vocabularyrational number rationale Zahlsign of a number Vorzeichen einer Zahlscientific calculator Taschenrechnerbank account Bankkontofraction Bruchzahlinteger ganze Zahlabsolute value Betrag einer Zahlopposite number Gegenzahl

370 (1) 310

(2) 71000

(3) minus 5910

370 Write each number as a fraction(1) 03 (2) 0007 (3) ndash59

371 a) 23b) minus 7

3

371 Which of the given numbers is larger Try to explain how you came to your answera) 2

314

b) minus 73minus 11

3

372 800 dollars372 Sally has 200 dollars left in her bank account She needs to spend 800 dollars forthe rent and 200 dollars for food and gas How much money does she owe the bank

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

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ii

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49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

ii

ii

ii

74 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

373 a) 4) b) 1) c) 7)d) 2) e) 5) f) 6)g) 3)

373 Use your scientific calculator to compute the following calculations Match theresult to an answer on the right side You can use the key marked +minus or (minus) to changethe sign of a numbera) minus3 + 16 minus (minus5) = 1) minus16b) (3 minus 5)(6 + 2) = 2) 327c) 17(minus23) + 2 = 3) 05d) 5 minus (3 minus 17)(minus2 + 25) = 4) 18e) (minus4)(minus225)(minus10) = 5) minus90f ) minus15 minus 225 minus (minus459) = 6) 084g) 4minus5

minus2 = 7) minus389

374 a) minus45 b) 2c) minus 1

4d) 10

e) minus264 f) minus2

374 Compute without a calculatora) minus14 + (minus31) = b) minus16minus8 = c) 1

2minus 3

4=

d) minus(minus8) minus (minus2) = e) minus11 sdot 24 = f ) 46 ∶ (minus23) =

375 Z B(+5) sdot (minus4) = minus20(+5) sdot | minus 4| = +20opposite numberndash20

375 Tom saysrdquoIf you multiply any integer with a negative rational number the follo-

wing will also lead to the same result(1) First you multiply the integer by the absolute value of the rational number(2) Second you choose the opposite number of the resultldquoJustify if Tom is right by finding 3 examples for the way given above

376 (1) ndash (2) +(3) ndash

376 Which sign has the product of 3 rational numbers(1) from which two are positive and one is negative(2) from which two are negative and one is positive(3) from which all three are negative

377 (1) richtig (2)falsch1114071+ 12

51114071 = 1114071minus 12

51114071 (3)

richtig (4) richtig

377 Which of the following is right What would be the right answer if they are wrong(1) | minus 07| = 7

10(2) 1114071+ 12

51114071 gt 1114071minus 12

51114071 (3) minus 1114071minus 1

21114071 = minus 1

2(4) minus| + 04| lt 04

482 Ausblick

In diesem Kapitel hast du wieder eine neue Zahlenmenge kennen gelernt die rationalenZahlen Das ist aber noch nicht alles was die Mathematik zu bieten hat Im Laufe dernaumlchsten Schuljahre wirst du noch weitere Zahlenmengen kennen lernen Die Zahl Pi(π ) ndash eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl ndash kommt zum Beispiel noch inkeiner Zahlenmenge bis jetzt vor da sie nicht als Bruch darstellbar ist und daher alsirrationale Zahl bezeichnet wird Doch dazu ein anderes Mal mehr

N Q RZ

Natuumlrliche Zahlen 0 1 2 3 hellip 198hellipGanze Zahlen ndash58 hellip ndash1 0 +1 hellipRationale Zahlen ndash35 hellip ndash3 hellip ndash24 hellip 0 hellip 05 hellip+1 hellipReelle Zahlen ndash4131131113hellip hellip ndash43 hellip 0 hellip 05hellip +1 hellip π hellip

ii

ii

ii

ii

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

4e) 24f) minus 1

4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

2 Begruumlnde in Worten und

anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

ii

ii

ii

76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

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49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck 75

49 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck378 A and= ndash06 B and=minus2 1

3 C and= ndash4 D and=

ndash48 E and= ndash66

378I1)H3K1 Zu welchen Buchstaben gehoumlren die Zahlen minus2 1

3 ndash48 ndash4 ndash66 ndash06

ABCDE

minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

379 A 65und 12 B

minus 31und minus30 C minus 9

2und minus45

379I1)H3K2 Ordne den Buchstaben A B und C jeweils eine Bruchzahl und eine Dezimalzahl

zuABC

minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 10

380 Richtigist (3)

380I1)H3K2 Welche Aussage stimmt bei Aufg 379 Kreuze an

(1) Zwischen A und C liegen genau fuumlnf ganze Zahlen(2) Zwischen A und B liegen genau zehn Dezimalzahlen(3)times Zwischen B und C liegen unendlich viele Bruchzahlen(4) Zwischen A und B liegen nur negative Zahlen

381I1)H1K1 Kennzeichne folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden

(1) -frac34 (2) -125 (3) +25 (4) +3frac12

382 a) minus1b) 63c) minus9d) minus 5

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4

382I1)H2K1 Berechne im Kopf

a) 17 ∶ (minus17) = b) 48 minus (minus15) = c) minus3 sdot (minus5) + 6 sdot (minus4) =d) minus 3

4minus 05 = e) minus096 ∶ (minus04) = f ) minus 3

10∶ 6

5=

383 a) z B-11-12 -13 b) z B 0102 03

383I1)H1K1 Schreibe drei Zahlen zwischen a) (-1) und (-2) b) 0 und (+1) auf

384 Falsch ist (1)Richtig ist Alleganzen Zahlen sindrationale Zahlen

384I1)H3K3 Paula Kuddelmuddel hat diese Zahlenmengengeschichte noch immer nicht so ganz

verstanden Welche Aussagen sind richtig welche falsch Stelle die falschen Aussagenrichtig

stimmt stimmt nicht(1) Alle rationalen Zahlen sind auch ganze Zahlen times(2) Die Menge der natuumlrlichen Zahlen ist eine Teilmenge

der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eineTeilmenge der rationalen Zahlen

times

(3) Alle rationalen Zahlen koumlnnen als Bruumlche dargestelltwerden

times

(4) Alle negativen Zahlen gehoumlren zu den ganzen Zahlen times

385 ndash25 Wennman 325 durchndash13 dividierterhaumllt man dasrichtige Ergebnisweil Multiplikationund DivisionumgekehrteRechenoperationensind

385I1)H4K1 Welche Zahl ergibt mit -13 multipliziert 325 Begruumlnde welche Rechenoperation

du angewendet hast um zum richtigen Ergebnis zu kommen

386 minus 54ist groumlszliger

als minus 32 da minus 5

4auf

der Zahlengeradenrechts von minus 3

2liegt

386I1)H4K2

Groumlszligenvergleich Gegeben sind die Zahlen minus 5

4und minus 3

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anhand einer Darstellung der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden warum minus 54groumlszliger

ist als minus 32

original BIST-Aufgabe von Peschek

ii

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76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2

ii

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76 4 Neu und doch schon bekannt ndash Die rationalen Zahlen

387 (4) DieDurchschnittstem-peraturen beiderLaumlnder sind zwarnahezu gleich dieTemperaturunter-schiede sind aberin Oumlsterreich vielgroumlszliger(5) DerDurchschnittswerthat erst dann eineAussagekraftwenn dieSpannweite(Minimum undMaximum)bekannt ist

387I1)H3K1

DurchschnittstemperaturenTageshoumlchsttemperaturen in ndash April 2003

Oumlsterreich Irland1 124 1322 141 1353 79 1414 86 1775 91 1196 13 917 -02 898 22 959 72 101

10 91 8611 55 10612 88 11113 142 10914 159 16615 177 17316 132 18917 140 19018 164 15219 153 11720 174 11921 189 10222 201 14823 157 13724 160 11925 201 15326 220 15127 152 16728 210 15329 273 14430 226 137

(1) Welchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten

Tag in Oumlsterreich ndash02 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Oumlsterreich 273 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am kaumlltesten Tag

in Irland 86 deg CWelchen Wert hat die Temperatur am waumlrmsten Tag

in Irland 190 deg C(2) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Oumls-

terreich 136 deg C(3) Berechne die Durchschnittstemperatur fuumlr Ir-

land 134 deg C(4) Vergleiche die Durchschnittstemperaturen derbeiden Laumlnder Was faumlllt dir auf(5) Welche Aussagekraft hat in diesem Beispiel derDurchschnittswert

BST-Aufgabe Quel-lenangabe fehlt

388 minus28

388I1)H2K1 Das Thermometer zeigt minus56 an Im Laufe des Tages nimmt die Temperatur um

28 zu Welche Temperatur zeigt das Thermometer nun an

389 D) 389 diamsWelche der fuumlnf Zahlen ist die groumlszligteA)

12minus 1

3B)

12+ 1

3C)

12sdot 13

D)12∶ 1

3E)

13∶ 1

2