Martin Mayr

Technische Mechanik

www.hanser-fachbuch.de

€ 29,99 [D] | € 30,90 [A]

ISBN 978-3-446-44570-3

Das erfolgreiche Lehrbuch ermöglicht Studenten des Maschinenbaus, derElektro technik und der Mechatronik einen leichten Einstieg in die TechnischeMechanik. Absolventen höherer technischer Lehranstalten und Techniker -schulen hilft es bei der Vertiefung ihrer Kenntnisse.

Das Buch besticht durch seine didaktische Aufbereitung: 474 Bilder, 275 Ver ständnisfragen, 104 Beispiellösungen, 116 Übungsaufgaben und 43 Prüfungs aufgaben.

Es besteht aus den drei Themenschwerpunkten:• Statik• Kinematik, Kinetik, Schwingungen• Festigkeitslehre

Jedes Thema ist in sich abgeschlossen und kann unabhängig von den anderen erarbeitet werden.Ein umfangreicher Anhang mit Formeln, Tabellen und Diagrammen ist zum bequemen Nachschlagen in einem separaten Beiheft untergebracht.

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Martin Mayr

Technische MechanikStatikKinematik – Kinetik – SchwingungenFestigkeitslehre

8. Auflage

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Martin Mayr

Technische Mechanik

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Technische Mechanik

Martin Mayr

StatikKinematik – Kinetik – SchwingungenFestigkeitslehre

8. Auflage,mit 474 Abbildungen

© 2015 Carl Hanser Verlag München Wienwww.hanser-fachbuch.deLektorat: Dipl.-Ing.Volker HerzbergHerstellung: Der Buchmacher, Arthur Lenner, MünchenCoverconcept: Marc Müller-Bremer, Rebranding, München, GermanyTitelillustration: Atelier Frank Wohlgemuth, HamburgCoverrealisierung: Stephan RönigkDruck und Bindung: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad LangensalzaPrinted in Germany

Der Autor:Professor Dr. Martin Mayr, Hochschule Augsburg, Fakultät Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek:Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

ISBN 978-3-446-44570-3E-Book-ISBN 978-3-446-44618-2

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werkberechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinneder Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jeder-mann benutzt werden dürften.

Alle in diesem Buch enthaltenen Verfahren bzw. Daten wurden nach bestem Wissen dargestellt. Den-noch sind Fehler nicht ganz auszuschließen.

Aus diesem Grund sind die in diesem Buch enthaltenen Darstellungen und Daten mit keiner Verpflich-tung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keineVerantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgend-eine Art aus der Benutzung dieser Darstellungen oder Daten oder Teilen davon entsteht.

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.

Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oderTeilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Einwilligung des Verlages inirgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderen Verfahren), auch nicht für Zwecke derUnterrichtsgestaltung – mit Ausnahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle –, reproduziertoder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

Meiner Tochter Andrea gewidmet

Ein aufrichtiges Dankeschön meinen Mechaniklehrern

Prof. Dr. Hans Georg HahnProf. Dr. Dr. h. c. Horst Lippmann

Prof. Dr. Dr. h. c. Kurt MagnusProf. Dr. Dr. h. c. Heinz Neuber

VII

Allgemeines Vorwort

Dieses Lehrbuch beinhaltet den Stoff der Vorlesung„Technische Mechanik“ im Studium des Maschinenbaus anFachhochschulen. Es besteht aus drei selbständigen Teilen:Statik – Kinematik, Kinetik, Schwingungen – Festig-keitslehre. Jeder Teil kann unabhängig vom anderen be-nutzt werden. Einheitlicher Aufbau, Querverweise undein gemeinsamer Anhang fügen die drei Teile jedoch zueinem Ganzen zusammen. Der umfangreiche Anhang istzum bequemen Nachschlagen in einem Beiheft unterge-bracht.

Bei der Darstellung ließ ich mich vor allem von didak-tischen Gesichtspunkten leiten: optische Hervorhebung derEndformeln und Merksätze, 474 Bilder, 275 Fragen zumVerständnis, 104 vollständig gelöste Beispiele, 116 themen-bezogene Übungsaufgaben, 43 „Prüfungsaufgaben“ (nachvier Schwierigkeitsgraden geordnet).

Die Antworten zu den Fragen sowie die Ergebnisse derÜbungs- und Prüfungsaufgaben (meist mit Lösungshinwei-sen und Zwischenwerten) befinden sich am Schluss desjeweiligen Buchteils. Aus Platzgründen konnten nicht dievollständigen Lösungen wiedergegeben werden. Lehrendeerhalten sie auf Anfrage.

Weitere themenbezogene Beispiele und Prüfungsaufgabensind in meinem Übungsbuch „Mechanik-Training“ zu-sammengestellt (mit ausführlichen Lösungen).

Der Gepflogenheit im Maschinenbau folgend sind dieBilder, falls nichts anderes vereinbart ist, in der Einheitmm bemaßt. In den Zahlenwertgleichungen wird fast aus-schließlich mit kohärenten Einheiten gearbeitet, um lang-wierige Umrechnungen zu vermeiden. Die Berechnungenwerden mit dem Taschenrechner ohne ein Zwischenrundenausgeführt, das Endergebnis wird meist auf eine praktischsinnvolle Stellenzahl gerundet wiedergegeben. GraphischeLösungen werden mit CAD erstellt und sind deshalb sogenau wie analytische Lösungen.

Ich möchte allen, die mich bei der Arbeit zu diesem Buchunterstützt haben, ganz herzlich danken.

Hier sind in erster Linie Prof. Ulrich Thalhofer (Nume-rische Verfahren) und Prof. Ernst Schatz (Maschinenele-mente, Thermische Strömungsmaschinen) zu nennen.

Wertvolle Unterstützung erhielt ich auch von Prof. HelmutHiekel (Mechanik), Prof. Dr. Wolfgang Käser und Prof.Wilhelm Ruckdeschel (beide Fördertechnik, Maschinen-elemente) sowie Prof. Dr. Peter Tautzenberger (Werkstoff-technik).

Korrektur lasen Prof. Dr. Werner Drexler (Mechanik, FHKempten), Prof. Dr. Johann Fuchs (Mechanik), Prof. Dr.Frank Gießner (Feinwerktechnik, Mechanik), Dipl.-Ing.Hubert Keim (Konstruktion, Pfister GmbH Augsburg) undwiederum Prof. Ernst Schatz.

Übungsaufgaben und fachlichen Rat steuerten bei Prof. Dr.Ingo Bolling (Hydraulik-Pneumatik), Dipl.-Ing. HubertBreyer (Unfallverhütung, GUV), Prof. Rudolf Bretzel(Mechanik, Luft- und Raumfahrt), Prof. Dr. Dieter Jan-nasch (Maschinenelemente), Prof. Dr. Winfried Kochem(Konstruktion, FH Köln), Prof. Klaus Martin (Verbren-nungsmotoren, Maschinendynamik), StD Georg Mühlbauer(Mathematik, Physik, Max-Reger-Gymnasium Amberg),Prof. Dr. Franz Obinger (Getriebetechnik, CAD), Prof.Hans Rebinger (Verbrennungsmotoren, Maschinendyna-mik), Prof. Dr. Willi Rößner (Werkzeugmaschinen), Prof.Dr. Joachim Voßiek (Maschinenelemente, Mechanik), Prof.Dr. Rainer Wieler (Verbrennungsmotoren, Fahrzeugtech-nik) und Prof. Dr. Rolf Ziegler (Regelungstechnik).

Dipl.-Ing. Daniel Dierig, Dipl.-Ing. Oliver Herrmann,Dipl.-Ing. Jürgen Möller, Dipl.-Ing. Marco Vasciarelli,Dipl.-Ing. Eugen Weber und Dipl.-Ing. Stefan Wolf zeich-neten mit großer Sorgfalt die Bilder. Herr Otto Reiserbaute die Modelle, Herr Erber machte die Fotos. Dieschlimmsten sprachlichen Ausrutscher verhinderten meineFrau Lydia und meine Tochter Andrea.

Mit Informationen unterstützten mich die Firmen KUKA,LIEBHERR, MAN und VON ROLL.

Allen Genannten nochmals herzlichen Dank.

VIII Vorwort

Vorwort zur 8. Auflage

Der Inhalt der 7. Auflage wurde sorgfältig geprüft. Eskonnten keine Unstimmigkeiten festgestellt werden; des-halb wurden für die 8. Auflage auch keine Änderungenvorgenommen. Es wurden lediglich ein paar Druckfehlerkorrigiert.Ich danke allen Lesern für die aufmunternden Zuschriftenund wertvollen Anregungen, die in kommenden AuflagenBerücksichtigung finden werden. Dem Carl Hanser Verlagdanke ich für die stets gute Zusammenarbeit.

Augsburg, Mai 2015 Martin Mayr

IX

Inhaltsverzeichnis

TEIL 1: Statik

1 Begriffe, Grundgesetze, Grundaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0011.1 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0011.2 Masse und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0021.3 Das Gleichgewichtsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0031.4 Das Wechselwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0041.5 Die Verschiebbarkeit der Kraft längs ihrer Wirkungslinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0051.6 Kräfteparallelogramm und Krafteck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0051.7 Die Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallelen Wirkungslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . 0051.8 Das Hebelgesetz von ARISTOTELES und ARCHIMEDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 006

2 Die resultierende Kraft eines zentralen ebenen Kräftesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0082.1 Graphische Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0082.2 Analytische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 008

3 Kräftepaar und Moment einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0103.1 Das Kräftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0103.2 Das Gleichgewicht zweier Kräftepaare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0113.3 Parallelverschiebung einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0113.4 Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0113.5 Darstellung und Eigenschaften des Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0123.6 Das Moment einer Kraft in Bezug auf den Koordinatenursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 013

4 Die resultierende Kraft eines nicht zentralen ebenen Kräftesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0144.1 Parallele Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0144.2 Beliebige Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 015

5 Lagerung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0165.1 Freimachen eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0165.2 Lagerungsarten ebener Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016

6 Ebene Kräftesysteme im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0196.1 Drei nichtparallele Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0196.2 Zerlegung einer Kraft nach drei Wirkungslinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0226.3 Beliebiges ebenes Kräftesystem (einschließlich Einzelmomente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 024

7 Lagerreaktionen von typischen ebenen Tragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0297.1 Balken auf zwei Stützen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0297.2 Der eingespannte Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0297.3 GERBER-Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0307.4 Dreigelenkbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 032

8 Das räumliche Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0338.1 Komponenten einer Kraft im kartesischen Koordinatensystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0338.2 Das Moment einer Kraft und seine kartesischen Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0348.3 Resultierende Kraft und resultierendes Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0368.4 Lagerung räumlicher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0378.5 Räumliche Kräftesysteme im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 037

X Inhaltsverzeichnis

9 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0469.1 Körperschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0469.2 Flächenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0499.3 Die GULDINschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 051

10 Innere Kräfte und Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05410.1 Gerader Balken auf zwei Stützen mit Belastung quer zur Balkenachse . . . . . . . . . . . . . . . . 05410.2 Der eingespannte Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06210.3 GERBER-Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06310.4 Bogenträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06410.5 Ebene Rahmen ohne Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06510.6 Ebene Rahmen mit Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06710.7 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06910.8 Beliebige räumliche Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 071

11 Ebene, statisch bestimmte Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 074

12 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07712.1 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07712.2 Seil- und Riemenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08012.3 Rollreibung (Rollwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 083

Prüfungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 085

Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 090

Ergebnisse der Übungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 092

Ergebnisse der Prüfungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 099

TEIL 2: Kinematik, Kinetik, Schwingungen

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2 Ebene Punktbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.1 Bahn, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2 Weg-Zeit-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3 Grundaufgaben der Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4 Tangential- und Normalbeschleunigung (bzw. Bahn- und Zentripetalbeschleunigung) . . . . . . . . . . 1102.5 Drehbewegung – lineare Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5.1 Kreisbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.5.2 Umwandlung einer Drehbewegung in eine lineare Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.6 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Räumliche Punktbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Inhaltsverzeichnis XI

4 Ebene Bewegung des starren Körpers (mit Hinweisen auf die räumliche Bewegung) . . . . . . . . . . . . 1234.1 Translation (Parallelverschiebung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2 Rotation (Drehung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3 Beliebige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3.1 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3.2 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4 Drehpol (Momentan-, Geschwindigkeitspol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.1 Translatorisch bewegtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2 Geschwindigkeit bei translatorisch und rotatorisch bewegtem Bezugssystem. . . . . . . . . . . . . . 1325.3 Beschleunigung bei translatorisch und rotatorisch bewegtem Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Überlagerte Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 Arbeit, potentielle Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.1 Arbeit und potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.3 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8 Die NEWTONschen Grundgesetze, D’ALEMBERTsche Trägheitskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9 Impulssatz und Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11 Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12 Kinetik der ebenen Bewegung des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.1 Translation mit der Schwerpunktgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.2 Rotation um eine Trägheitshauptachse durch den Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.2.1 Drehimpulssatz (Drallsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.2.2 Kinetische Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.3 Analogie zwischen Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.4 Drehung um eine feste Achse oder um eine Achse durch den Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . 17012.5 Reduziertes Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.6 Allgemeine ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.7 Gekoppelte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14 Stoßvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.1 Gerader zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.2 Schiefer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18914.3 Gerader exzentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19014.4 Drehstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19215.1 Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19315.2 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

XII Inhaltsverzeichnis

15.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20515.4 Maßnahmen gegen Resonanzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

15.4.1 Verlagerung der Eigenfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.4.2 Dämpfung und Schwingungsstörung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.4.3 Schwingungsisolierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210. 15.4. 15.4.3.1 Aktive Isolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.4.3 15.4.3.2 Passive Isolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21315.4.4 Schwingungstilgung mittels Hilfsmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Prüfungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Ergebnisse der Übungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Ergebnisse der Prüfungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

TEIL 3: Festigkeitslehre

1 Aufgaben der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2 Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.1 Normalspannung und Schubspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.2 Zugstab – einachsiger Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.3 Räumlicher (dreiachsiger) Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.4 Ebener (zweiachsiger) Spannungszustand (ESZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.4.1 Spannungen für gedrehte Schnittflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.4.2 Größte und kleinste Normalspannung sowie größte Schubspannung. . . . . . . . . . . . . . . 2473.4.3 MOHRscher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.5 Spannungsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4 Verformungen und Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.1 Dehnung und Querdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.2 Schubverzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2634.3 Allgemeiner Verzerrungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5 Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.1 Zugversuch, Spannungs-Dehnungs-Diagramm, HOOKEsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.2 Schubspannung und Schubwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.3 Elastizitätsgesetz für den ebenen Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.4 Wärmedehnungen und Wärmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.5 Anwendung der einachsigen Stoffgesetze auf statisch bestimmte und statisch unbestimmte Stabwerke . . . 271

5.5.1 Spannungen und Verformungen in einem statisch bestimmten Stabwerk . . . . . . . . . . . . . 2715.5.2 Spannungen und Verformungen in einem statisch unbestimmten Stabwerk . . . . . . . . . . . . 273

6 Arbeit und elastische Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Inhaltsverzeichnis XIII

7 Einfache Beanspruchungsfälle und Festigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.1 Zug und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.2 Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.3 Schub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8 Dünnwandige Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.1 Spannung unter Innen- oder Außendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.2 Radiusänderung und Dehnung infolge Spannung und Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . 2868.3 Rotierender Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9 Dünnwandige Behälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.1 Kreiszylindrischer Behälter unter Innen- oder Außendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.2 Kugelbehälter unter Innen- oder Außendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

10 Flächenmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.1 Flächenmoment 1. Grades (statisches Moment der Fläche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.2 Flächenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.2.2 Parallelverschiebung der Bezugsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2.3 Drehung der Bezugsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2.4 Flächenmomente zusammengesetzter Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11 Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30811.1 Reine Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11.1.1 Gerade Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30811.1.2 Schiefe Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

11.2 Biegung mit Querkraft und weitere Näherungen (Technische Biegelehre) . . . . . . . . . . . . . . . 31511.3 Durchbiegung und Biegewinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.4 Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

12 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33112.1 Kreiszylindrische Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33112.2 Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33612.3 Dünnwandige einfach geschlossene Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.3.1 Schubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33712.3.2 Torsionswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

12.4 Dünnwandige offene Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34212.5 Sonstige Querschnittsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

13 Schub bei Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

14 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35314.1 Elastische Knickung nach EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35314.2 Spannungsabsicherung bei Druckstäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

15 Dauer-, Zeit- und Betriebsfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

16 Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36416.1 Die drei wichtigsten Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36516.2 Anstrengungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

17 Zusammengesetzte Beanspruchung von Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

XIV Inhaltsverzeichnis

17.1 Biegung mit Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36917.2 Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37217.3 Beliebige Lastkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

18 Bauteilfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38018.1 Plastische Stützwirkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38018.2 Kerbwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38118.3 Oberflächeneinfluss, Randschichtverfestigung, Umgebungseinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . 38418.4 Größeneinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

19 Dehnungsmessstreifen-Methode (DMS-Methode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

20 Satz von CASTIGLIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39820.1 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40020.2 Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Prüfungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Ergebnisse der Übungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Ergebnisse der Prüfungsaufgaben(meist mit Lösungshinweisen und Zwischenwerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Literaturverzeichnis(im Text zitierte und ergänzende Literatur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Verwendete Symbole(mit den vorzugsweise verwendeten Einheiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

1

TEIL 1: Statik

1 Begriffe, Grundgesetze,Grundaufgaben

Kraft, Masse, Gewichtskraft, Gleichgewichtsaxiom, Wechselwirkungs-gesetz, Verschiebbarkeit der Kraft längs ihrer Wirkungslinie, Kräfte-parallelogramm, Krafteck, Hebelgesetz

In Teil 1 beschäftigen wir uns mit den Kräften, die auf einen starren(d. h. nicht verformbaren) ruhenden oder mit konstanter Geschwin-digkeit translatorisch bewegten Körper einwirken, den sog. äußerenKräften (z. B. Windkräfte, Auftriebskräfte). Von Interesse sind auchKräfte, die zwischen starren Körpern (Kontaktkräfte) oder zwischenstarren Körpern und deren Lagerungen (Lagerkräfte) wirken. DesWeiteren werden wir die Kräfte und Momente im Innern eines Kör-pers bestimmen.

1.1 Die Kraft

Die Kraft ist eine Größe, die den Bewegungszustand und/oder dieForm eines Körpers ändern kann, s. Teil 2 und 3.Die Kraft ist allgemein ein sog. gebundener Vektor.Dieser ist festgelegt durch:1. Betrag (Zahlenwert einschließlich Einheit)2. Wirkungslinie3. Richtungssinn4. Angriffspunkt

Im Gegensatz zur Kraft ist z. B. die Temperatur ein Skalar. Bei die-sem genügt die Angabe des Betrags.Für den Kraftvektor schreiben wir F (in der Literatur ist auch F üb-lich) und für den Betrag beispielsweise F = 100 N. N (wie Newton)ist die Krafteinheit, benannt nach dem berühmten englischen PhysikerISAAC NEWTON1.Anschaulich wird die Kraft in einer Skizze, Bild 1.1. Zur maßstäb-lichen Darstellung benötigen wir den Kräftemaßstab mF, z. B.

mFN

cm

200.

1 ISAAC NEWTON 1643 – 1727

2 1 Begriffe, Grundgesetze, Grundaufgaben

Bild 1.1 Die 4 Merkmale des gebundenen Kraft-vektors

Bild 1.2 Die Kraft im kartesischenKoordinatensystem

Der 2 cm lange Pfeil bedeutet damit eine Kraft

F m2 2200

400cm cmN

cmNF .

Oft wird die Pfeillänge nicht maßstäblich gezeichnet, stattdessen derBetrag neben die Pfeilspitze geschrieben:

Zur analytischen Beschreibung bezieht man die Kraft auf ein kartesi-sches x,y-Koordinatensystem, Bild 1.2.

Die Kraft F ist analytisch festgelegtentweder durch die Komponenten

F F

F Fx

y

cos

sin(1.1)

oder durch den Betrag F und den Winkel zwischen F und derx-Achse.

1.2 Masse und Gewichtskraft

Die Masse m ist die Materiemenge, die von der Körperoberflächeeingeschlossen wird. Sie beschreibt die Eigenschaft eines Körpers, diesich sowohl in Trägheitswirkungen gegenüber einer Änderung seinesBewegungszustandes als auch in der Anziehung auf andere Körperäußert.

Masse m V in kg (1.2)

mitV: Volumen in m3 u. ä.: Dichte in kg/m3, kg/dm3 u. ä.

Zwei Werte für :

Stahl 7,85 kg/dm3

Aluminiumlegierung 2,70 kg/dm3

F = 100 N 100 N

oder einfach

1.3 Das Gleichgewichtsaxiom 3

Weitere Werte in A9.3.

Jede Masse wird von der Erde angezogen, und zwar mit der

Gewichtskraft G .F m g (1.3a)

g ist die Fallbeschleunigung; sie zeigt zum Erdmittelpunkt hin,d. h. vertikal oder lotrecht nach unten.

g 9,81 m/s2 in der Nähe der Erdoberfläche

Betrag der Gewichtskraft:

FG = m · g = · g · V in N (1.3b)

Die Gewichtskraft ist eine sog. eingeprägte Kraft. Sie spielt eine gro-ße Rolle in Statik und Dynamik.

Beispiel 1.1

Welche Masse m und welche Gewichtskraft FG hat eine Stahl-kugel vom Radius R = 10 mm und der Dichte = 7,85 kg/dm3?

Lösung:A5.1 entnehmen wir:

6 33 3 34 4

3 33 3

kg 10 dm7,85 10 mm

dm mmm R

m 0,0329 kg

Mit (1.3b) folgt:

G 2 2

m kgm0,0329 kg 9,81 0,323 0,323 N

s sF m g

mit der Umrechnung gemäß A1.1:

kg m

sN

2

*Die Masse wird vereinfachend meist mit dem Wägewert, d. h. demErgebnis einer Wägung in Luft (auch Gewicht genannt) gleichgesetzt.Als Einheiten werden außer dem Kilogramm auch Gramm und Tonneverwendet.

1.3 Das Gleichgewichtsaxiom

Bleibt ein Körper unter der Einwirkung beliebiger Kräfte in Ruhe, sobefindet er sich im Gleichgewicht.

Das ist ein Axiom, d. h. eine Grunderkenntnis, die nicht mehr bewiesenwerden kann, aber durch jahrhundertelange Erfahrung bestätigt wird.

4 1 Begriffe, Grundgesetze, Grundaufgaben

Bild 1.3 Zwei Kräfte im Gleichgewicht

Bild 1.4 Kontaktkräftea) zwei Körper in Kontaktb) Sichtbarmachen der Kontaktkräfte

Bild 1.5 Kontaktkräfte bei Zahnräderna) Zahnpaar momentan in Kontaktb) Kontaktkräfte (Zahnkräfte)

Ein Sonderfall ist das Gleichgewicht von zwei Kräften, Bild 1.3.Hierfür gilt:

Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie

1. die gleiche Wirkungslinie haben,2. entgegengesetzt gerichtet und3. gleich groß sind.

Alle 3 Bedingungen lassen sich in einer einzigen Vektorgleichungzusammenfassen:

F F1 2 = 0 bzw. F F1 2 (1.4)

Achtung: Die Vektoren sind entgegengesetzt gleich (Minus!); dieBeträge sind direkt gleich (F1 = F2).

1.4 Das Wechselwirkungsgesetz

An der Berührstelle zweier Körper treten Kontaktkräfte (Berührkräf-te) auf. Das sind im Gegensatz zu den äußeren Kräften F1 und F2innere Kräfte für das Gesamtsystem und sie erscheinen somit inBild 1.4a nicht. Rückt man die beiden Körper gedanklich auseinan-der, lassen sich die Kontaktkräfte einzeichnen, Bild 1.4b. Sie werdenzu äußeren Kräften für die Einzelkörper oder Teilsysteme. F3 ist dieKraft vom Körper 2 auf den Körper 1, F4 vom Körper 1 auf den Kör-per 2.

Das Gleichgewichtsaxiom liefert:

Körper 1: F3 = F1

Körper 2: F4 = F2

Gesamtanordnung, Bild 1.4a: F1 = F2

Der Vergleich der drei Zeilen führt auf: F3 = F4 .

Die Kräfte zweier Körper aufeinander sind stets gleich groß undentgegengesetzt gerichtet, kurz: actio = reactio.

Das ist das Dritte Grundgesetz von NEWTON, das sog. Wechselwir-kungsgesetz.

Beispiele dafür gibt es beliebig viele: Sie drücken mit Ihrem Gewichtauf den Stuhl, der Stuhl drückt mit gleicher Kraft dagegen. ZweiZahnräder kämmen miteinander, Bild 1.5a, die beiden Zahnflankendrücken mit gleicher Kraft aufeinander, Bild 1.5b, etc. pp.

1.7 Die Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallelen Wirkungslinien 5

Bild 1.6 Verschiebung der Kraft längs ihrerWirkungslinie

Bild 1.7 Die Resultierende von zwei Kräftena) Kräfteparallelogrammb) Krafteck

Bild 1.8 Zerlegung einer Krafta) Gewicht an zwei Seilenb) Zerlegung von FR mit Hilfe desb) Kräfteparallelogrammsc) Zerlegung mit Hilfe des Kraftecks

1.5 Die Verschiebbarkeit der Kraftlängs ihrer Wirkungslinie

Die 3 Situationen in Bild 1.6 sind in ihrer äußeren Wirkung gleich-wertig, d. h. die Wirkung der Gewichtskraft F m gG auf die Lagerist in allen drei Fällen gleich. Das bedeutet:

Eine Kraft kann längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohnedass sich die äußere Wirkung ändert.

Achtung! In der Festigkeitslehre ist der Kraftangriffspunkt im Allge-meinen zu beachten. Das gilt auch für Kap. 10 und 11 von Teil 1 zurBestimmung der inneren Kräfte.

1.6 Kräfteparallelogramm und Krafteck

Die beiden Schlepper in Bild 1.7a ziehen am Ozeanriesen mitden Kräften F1 und F2 . Die resultierende Kraft FR (kurz Resultie-rende) entspricht der Diagonalen des Kräfteparallelogramms. Es giltsomit der Satz (Axiom vom Kräfteparallelogramm):

Zwei Kräften F1 und F2 mit gemeinsamem Angriffspunkt ist

eine einzige Kraft FR statisch gleichwertig, die am selben Punkt

angreift und der Diagonale des von F1 und F2 gebildeten Parallelo-

gramms entspricht.

Zur Konstruktion von FR genügt auch die Hälfte des Parallelo-

gramms, das sog. Krafteck, Bild 1.7b.

1.7 Die Zerlegung einer Kraft nach zweinichtparallelen Wirkungslinien

Das ist die Umkehrung des vorangegangenen Problems.

Hierzu die Situation in ild 1.8a. Die Gewichtskraft F m gG wird

durch die beiden Seilkräfte F1 und F2 gehalten. Wie lassen sich die

Seilkräfte zeichnerisch bestimmen?

Die Resultierende FR der Seilkräfte muss der Gewichtskraft dasGleichgewicht halten. Diese Resultierende ist die Diagonale des Paral-

lelogramms, das von F1 und F2 gebildet wird, Bild 1.8b. Wir müssen

also Parallelen zu den Seilen an FR zeichnen und erhalten damit

6 1 Begriffe, Grundgesetze, Grundaufgaben

Bild 1.9 Kräftezerlegung beim Klettern, Übung 1.1

Bild 1.10 Die Resultierende FR der parallelen

Kräfte F1 und F2

F1 und F2. Das Gleiche bekommen wir schneller über das Krafteck,

Bild 1.8c.

Eine weitere häufige Anwendung der Kräftezerlegung ist der Keil.

Übung 1.1

Ein Kletterer hat gemäß Bild 1.9 in den gezeichneten Abständen zweiHaken geschlagen und sich daran mit Hilfe zweier Schlingen von50 cm bzw. 60 cm Länge gesichert.

Bestimmen Sie graphisch die Kräfte F1 und F2 der Haken 1 bzw. 2auf die Schlingen, wenn der Kletterer mit seinem gesamten Gewicht(Gewichtskraft FG = 750 N) in der Sicherung hängt. Durch welcheMaßnahme werden die Kräfte gleichmäßiger?

1.8 Das Hebelgesetz von ARISTOTELES2

und ARCHIMEDES3

Gegeben sind 2 parallele Kräfte F1 und F2 im Abstand a1 + a2,,

Bild 1.10. Wo liegt die Wirkungslinie der Resultierenden FR ? Die

Lösung liefert das Hebelgesetz.

Hebelgesetz: Die Hebelarme sind den Kräften umgekehrt proportional.

a

a

F

F1

2

2

1

(1.5)

Für die Größe von FR gilt:

FR = F1 + F2

Ihre Wirkungslinie ist zu F1 bzw. F2 parallel.

Auch die umgekehrte Fragestellung lässt sich über das Hebelgesetzlösen: Die Zerlegung einer Kraft nach zwei Wirkungslinien, die zurursprünglichen Kraft parallel sind. Hierzu folgendes Beispiel.

Beispiel 1.2

Der Radlader in Bild 1.11 hat mit Schaufelfüllung eine GewichtskraftFG = 120 kN. Sie wirkt a = 0,5 m hinter dem Vorderrad. Der Rad-stand beträgt l = 3 m.

Mit welchen Kräften Fv und Fh drücken die Vorder- bzw. Hinterräderauf den Grund?

2 ARISTOTELES 384 – 322 v. Chr.3 ARCHIMEDES von SYRAKUS 287 – 212 v. Chr.

1.8 Das Hebelgesetz von ARISTOTELES und ARCHIMEDES 7

Bild 1.11 Die Zerlegung der Kraft FG in dazu

parallele Kräfte Fv und Fh

Lösung:Nach dem Hebelgesetz gilt:

v

h

2,5 m5

0,5 m

F l a

F aFv = 5 Fh (*)

Fv und Fh sind zusammen so groß wie FG:

Fv + Fh = FG (**)

(*) in (**) liefert:

5 Fh + Fh = FG

FF

hG kN

6kN

6

12020

Fv = 5 Fh = 100 kN

1. Nennen Sie zwei äußere Kräfte.2. Durch welche Merkmale ist der gebundene Kraftvektor festgelegt?3. Wie hängt die Krafteinheit N mit den Basiseinheiten zusammen?4. Unter welchen Bedingungen sind 2 Kräfte im Gleichgewicht?5. Was besagt das Wechselwirkungsgesetz?6. Kann bezüglich der äußeren Wirkung eine Kraft längs ihrer Wir-

kungslinie verschoben werden?7. Welche Bedeutung hat die Diagonale im Kräfteparallelogramm?8. Wie lautet das Hebelgesetz?

8

Bild 2.1 Konstruktion der Resultierendena) Lageplanb) Kräfteplan mit der Zwischen-

resultierenden F1 2,c) Kraftecke mit unterschiedlicherc) Kräftefolge

2 Die resultierende Kraft eineszentralen ebenen Kräftesystems

Vektoraddition der Kräfte, algebraische Addition der kartesischenKraftkomponenten

Zentrales Kräftesystem heißt: Die Wirkungslinien aller Kräfte schnei-den sich in einem gemeinsamen Punkt.

Außerdem sollen vorläufig alle Kräfte in der Zeichenebene liegen.

2.1 Graphische Lösung

Wieder nehmen wir das Beispiel Schiff, das diesmal von drei Schlep-pern gezogen wird, Bild 2.1a. Näherungsweise wollen wir annehmen,dass die Taue am selben Schiffspunkt befestigt und horizontal sind.

Gemäß Kap. 1.6 zeichnen wir zunächst im Kräfteplan (KP) die Resul-tierende F1 2, aus den Kräften F1 und F2 , Bild 2.1b. Die Richtungen

von F1 und F2 ergeben sich aus dem Lageplan (LP) durch Parallel-

verschieben. Anschließend fassen wir F1 2, mit F3 zur Gesamtresultie-

renden FR zusammen. Wenn noch mehr Kräfte wirken, setzen wir den

Prozess fort, bis alle Kräfte im KP aufgetragen sind.

Es geht auch ohne Zwischenresultierende, Bild 2.1c. Wir hängeneinfach alle Kraftpfeile aneinander. Die Resultierende liegt zwischendem Anfangspunkt der ersten Kraft und der Pfeilspitze der letztenKraft. Die Reihenfolge der Kräfte spielt hierbei keine Rolle.

Das Aneinandersetzen der Kraftpfeile entspricht einer Vektoraddi-tion:

R 1 2 3 i=1

n

i

F F F F F

Aus Bild 2.1 ergibt sich:

F FR Rcm kN,25 52 (nach rechts gerichtet)

2.2 Analytische Lösung

Jetzt denken wir uns die Kräfte in einem kartesischen Koordinaten-system, Bild 2.2a. Die Kraftpfeile können unmaßstäblich sein. Winkelzählen positiv im Gegenuhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn.

2.2 Analytische Lösung 9

Bild 2.2 Analytische Bestimmung derResultierendena) Kräfte im kartesischen Koordinaten-a) systemb) Bestimmung von FR und a aus FRxb) und FRy

Bild 2.3 Zu Übung 2.1

1

Gemäß Kap. 1.1 zerlegen wir alle Kräfte in ihre Komponenten Fxi undFyi .

F Fxi i icos= ⋅ α

F Fyi i isin= ⋅ α

Fx1, Fx2 ... zeigen alle in x-Richtung und dürfen deshalb algebra-isch addiert werden.Das ergibt FRx. Analog dazu erhalten wir FRy.Anschließend lassen sich FR (mit Hilfe des Satzes von PYTHAGO-RAS1) und α bestimmen, Bild 2.2b.

Größe und Richtung der resultierenden Kraft:

F F F Fi

n

Rx x1 x2 xi

=1

= + + =∑… (2.1a)

F F F Fi

n

Ry y1 y2 yi

=1

= + + =∑… (2.1b)

F F FR Rx Ry= +2 2 (2.1c)

a = arctanF

F

Ry

Rx

(2.1d)

α legt nur die Richtung der Wirkungslinie fest. Der Richtungssinnist anhand der Kraftkomponente FRx oder FRy zu klären.

Zahlenrechnung:

FRx = [20 ⋅ cos 42° + 15 ⋅ cos 8° + 27 ⋅ cos (–34°)] kN ≈ 52,1 kN

FRy = [20 ⋅ sin 42° + 15 ⋅ sin 8° + 27 ⋅ sin (–34°)] kN ≈ 0,4 kN

FR kN kN= + ≈52 0 4 522 2,1 , ,1

0,4 kNarctan 0,4

52,1 kNα = ≈ °

Übung 2.1

Ein Tanker wird von drei Schleppern in den Hafen bugsiert, Bild 2.3.Von allen Schleppern sind die Zugrichtungen bekannt, die Zugkräftedagegen nur von Schlepper 1 und 2.

Bestimmen Sie F3 so, dass die resultierende Kraft�FR auf den Tanker

in die gewünschte Fahrtrichtung zeigt. Wie groß ist FR? Graphischeund analytische Lösung.

1. Was heißt zentrales Kräftesystem?2. Welche Vorzeichenregelung gilt für den Winkel zwischen x-Achse

und Kraftpfeil?

1 PYTHAGORAS 6. Jahrh. v. Chr.

10

Bild 3.1 Kräftepaara) Kräftepaar F ⋅ ab) statisch gleichwertiges, gedrehtes

Kräftepaar F* ⋅ b

Bild 3.2 Beispiele für Kräftepaarea) beidhändiges Lenkenb) Anziehen einer Schraube mit demb) Kreuzschlüssel

(links kommt die Kraft aus derZeichenebene heraus, rechts geht sie

b) hinein)

3 Kräftepaar und Momenteiner Kraft

Moment des Kräftepaares, Gleichgewicht zweier Kräftepaare, Parallel-verschiebung einer Kraft, Versetzungsmoment, Moment einer Einzel-kraft, Momentenvektor, Parallelverschiebbarkeit des Momentenvek-tors, Moment einer Einzelkraft in Bezug auf den Koordinatenursprung

3.1 Das Kräftepaar

Gegeben sind gemäß Bild 3.1a zwei gleich große, entgegengesetztgerichtete parallele Kräfte im Abstand a.

Wir berechnen das Produkt aus Kraft und Abstand:

F ⋅ a = 2 kN ⋅ 4 m = 8 kNm

Jetzt nehmen wir zwei gleich große Hilfskräfte�FH hinzu, Bild 3.1b.

Sie verändern nichts, da sie sich insgesamt aufheben. Jedoch lassen

sich�F und

�FH zur Kraft

�F* zusammenfassen.

Wieder berechnen wir das Produkt aus Kraft und Abstand:

F* ⋅ b = 2,5 kN ⋅ 3,2 m = 8 kNm

Die beiden Kräfte�F lassen sich nicht zu einer Resultierenden zu-

sammenfassen, sondern nur umwandeln in wiederum gleich gro-

ße, entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte�F*.

Das Produkt aus Größe und dem Abstand der Wirkungslinien istkonstant.

Zwei Kräfte dieser Eigenschaft heißen Kräftepaar.

F ⋅ a = F* ⋅ b = M* heißt Moment des Kräftepaars (Einzelmoment).

Bild 3.2 zeigt zwei alltägliche Beispiele eines Kräftepaars: beidhändi-ges Drehen am Lenkrad und Anziehen einer Schraube mit demKreuzschlüssel.

Wir machen ein Experiment gemäß Bild 3.3. Eine Platte mit zweiSechskantschrauben ist über zwei Kraftmessdosen aufgehängt. Miteinem Steckschlüssel üben wir zunächst auf die Schraube A ein Kräfte-paar mit dem Moment M* = F ⋅ a = 50 Nm aus. Die rechte Kraftdosezeigt eine positive Kraft (Zugkraft) und die linke eine negative Kraft(Druckkraft) von F* = 50 N an.

3.4 Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes 11

Bild 3.3 Drehung und Parallelverschiebung desKräftepaares

Bild 3.4 Zwei Kräftepaare im Gleichgewicht

Bild 3.5 Parallelverschiebung einer Krafta) Kraft alleinb) verschobene Kraft + Kräftepaar

1

Jetzt wiederholen wir das Experiment mit der Schraube B. Die Kraft-dosen zeigen wieder 50 N an.

Auch wenn wir zwischen Schraubenkopf und Schlüssel ein Verlänge-rungsstück stecken, d. h. die Wirkungsebene des Kräftepaars parallelverschieben, werden wieder 50 N angezeigt.

Ein Kräftepaar kann beliebig in seiner Ebene gedreht und verscho-ben werden. Ebenso darf die Wirkungsebene parallel verschobenwerden. Die Wirkung auf den starren Körper ändert sich dadurchnicht.

3.2 Das Gleichgewicht zweier KräftepaareWir lassen an unserer Vorrichtung in Bild 3.3 bei A und B zwei Kräf-tepaare gemäß Bild 3.4 wirken.

Die beiden Kräftepaare sind im Gleichgewicht, wenn die Kraftmess-dosen null anzeigen. Dafür gilt:

Zwei Kräftepaare gleicher Größe, die in parallelen Ebenen ent-gegengesetzt zueinander drehen, sind im Gleichgewicht.

F a F a1 1 2 2⋅ = ⋅

3.3 Parallelverschiebung einer KraftWieder drehen wir an der Lenksäule, jetzt einhändig, Bild 3.5a. Wieist diese Drehwirkung bei nur einer Kraft zu erklären?

Gemäß Bild 3.5b bringen wir im Drehpunkt A zwei gleich große,entgegengesetzte Kräfte

�F an, die zur ursprünglichen Kraft parallel

sind. Zwei Kräfte lassen sich, wie schraffiert, zu einem Kräftepaarzusammenfassen. Dieses erzeugt die Drehwirkung. Die übrigbleiben-de Einzelkraft beansprucht die Lenksäule als Querkraft.

Verschiebt man eine Kraft in eine parallele Wirkungslinie im Ab-stand a, so tritt zusätzlich ein Kräftepaar vom Moment F ⋅a (Ver-setzungsmoment) auf.

3.4 Das Moment einer Kraftbezüglich eines Punktes

Vorher haben wir gesehen, dass eine Einzelkraft ebenfalls eine Dreh-wirkung hat. Im Gegensatz zum Kräftepaar müssen wir dabei einenBezugspunkt angeben (Punkt A in Bild 3.5b).

12 3 Kräftepaar und Moment einer Kraft

Bild 3.6 Beispiele für das Moment einer Krafta) Moment der Pleuelstangenkraft aufb) die Kurbelwelleb) Moment der verschieden großenb) Riemenkräfte auf die Riemenscheibec) Moment der Gewichtskraft

�FG

b) bezüglich des Radpunktes Ab) (Kippmoment)d) Moment einer Kraft auf die Einspan-b) nung (Einspannmoment)

Bild 3.7 Darstellung des Momentsa) Vektoreigenschaftenb) Verdeutlichung mit Hilfe der rechtenb) Hand

Moment einer Kraft in Bezug auf den Punkt A:

M F aA = ⋅ in N ⋅ m = Nm

Moment gleich Kraft mal Hebelarm

Der Hebelarm ist der lotrechte und somit der kürzeste Abstand zur

Kraft�F.

Beispiele für das Moment einer Kraft s. Bild 3.6.

3.5 Darstellung und Eigenschaftendes Moments

Das Moment eines Kräftepaares oder einer Kraft in Bezug auf einenPunkt ist vollständig bestimmt durch:

1. Betrag (Zahlenwert einschließlich Einheit)2. Wirkungsebene3. Drehsinn

Bild 3.7a verdeutlicht diese drei Eigenschaften für das KräftepaarF ⋅ a. Zur Unterscheidung von der Kraft hat der Momentenpfeil eineDoppelspitze. Wirkungsebene (Pfeilrichtung) und Drehsinn kann mansich leicht mit der rechten Hand klarmachen, Bild 3.7b: Krümmen Siedie Finger in der Drehrichtung der Kräfte; der Daumen zeigt dabei inRichtung des Momentenpfeils.

Wegen der genannten drei Eigenschaften ist das Moment ein Vektor.

Wir schreiben es�

M und den Betrag M, z. B. M = 100 Nm.

Momente können vektoriell addiert werden:� � � �

�M M M MR = + + +1 2 3Die graphische Addition erfolgt gemäß Bild 3.8 analog zum Krafteck.

Das Moment ist ein sog. freier Vektor, d. h. der Momentenpfeil darfim Raum parallel verschoben werden, ohne dass sich die Wirkungauf den starren Körper ändert, s. Bild 3.3.

In der ebenen Statik, mit der wir uns vorläufig beschäftigen, tretennur Momente auf, bei denen die Wirkungsebene in der x,y-Ebene oderparallel dazu liegt. Der Momentenpfeil ist parallel zur z-Achse (⊥Zeichenebene). Zur eindeutigen Kennzeichnung des Moments genügtsomit der Betrag und der Drehsinn (Vorzeichen). Da die z-Achse ausder Zeichenebene herauskommt, gilt für das Vorzeichen:

Die Momente ein und derselben Ebene, also momentan der x,y-Ebene, können algebraisch addiert werden.

3.6 Das Moment einer Kraft in Bezug auf den Koordinatenursprung 13

Bild 3.8 Vektorielle Addition der Momentea) allgemeinb) Beispiel Kegelradgetriebe:b) Antriebsmoment

�Ma, Abtriebs-

b) moment�

Mbc) resultierendes Moment

�MR (wird vom

c) Fundament aufgenommen)

Bild 3.9 Moment der Kraft�F, berechnet über die

Momente der Komponenten Fx und Fy

1

3.6 Das Moment einer Kraft in Bezugauf den Koordinatenursprung

Die Kraft�F in Bild 3.9 zerlegen wir in ihre Komponenten Fx und Fy.

Jede Komponente ergibt ein Moment um die z-Achse, insgesamt:

Moment einer Kraft�F in Bezug auf den Koordinatenursprung:

M M F x F y= = ⋅ − ⋅z y P x P (3.1)

Das Moment einer Kraft ist gleich der Summe der Momente ihrerKomponenten.

Übung 3.1

Auf dem schmalen Holzbalkon gemäß Bild 3.10 stehen 2 Personender Gewichtskräfte FG1 bzw. FG2. Die Gewichtskraft der horizontalenTragkonstruktion ist FG3 und die der Brüstung FG4. Der Blumentrogstützt sich mit der Gewichtskraft FG5 auf die Brüstung ab, zusätzlichentsteht durch die exzentrische Befestigung ein Kräftepaar (Einzel-moment) M*. Wie groß ist das resultierende Moment MA an der Ein-spannstelle A der Tragkonstruktion im Mauerwerk (analytische Lö-sung)?

Zahlenwerte: FG1 = 750 N; FG2 = 400 N; FG3 = 1500 N; FG4 = 400 N;FG5 = 500 N; M* = 10

4 Ncm

1. Was ist ein Kräftepaar?2. Wann sind zwei Kräftepaare im Gleichgewicht?3. Was ist bei der Parallelverschiebung einer Kraft

�F um den lotrech-

ten Abstand a zu beachten?4. Welche Merkmale kennzeichnen den Momentenvektor?5. Welchen Einfluss auf den starren Körper hat eine Parallelverschie-

bung des Momentenvektors?

Bild 3.10 ResultierendesMoment auf dasMauerwerk,Übung 3.1

14

Bild 4.1 Gewichtskräfte auf eine Geschossdecke,Beispiel 4.1

4 Die resultierende Krafteines nicht zentralenebenen Kräftesystems

Analytische Lösung für parallele Kräfte, Seileckverfahren

Bei der Belastung von Gebäuden, Maschinen usw. ist es zuweilen vonVorteil, statt vieler Einzelkräfte die resultierende Kraft zu kennen.

4.1 Parallele Kräfte

Das ist ein sehr häufiger Fall. Denken Sie nur an die Deckenbelastun-gen durch die Gewichte von Maschinen und Einrichtungen. Bei paral-lelen Kräften kann man die resultierende Kraft sehr einfach analytischbestimmen.

Die Resultierende�FR von n parallelen Kräften

�Fi muß die beiden

Bedingungen erfüllen:

1. F Fi

n

R i

=1

=∑ (Größe) (4.1a)

2. A R i i=1

n

iM F a F a= ⋅ = ⋅∑ (→ Lage) (4.1b)

A ist ein beliebiger Bezugspunkt;a ist der lotrechte Abstand der Wirkungslinie von FR zu A.

Beispiel 4.1

Die Geschossdecke einer Fertigungshalle wird zwischen zwei Stütz-mauern gemäß Bild 4.1 belastet (F1 = 10 kN; F2 = 15 kN; F3 = 20 kN;F4 = 12 kN; a1 = 5 m; a2 = 11 m; a3 = 21 m; a4 = 27 m).

Wie groß ist die resultierende Kraft�FR? Welchen Abstand a hat ihre

Wirkungslinie vom Punkt A?

Lösung:

Mit (4.1a) und (4.1b) folgt:

FR = F1 + F2 + F3 + F4 = 57 kN

( )R

, ma F a F a F a F aF

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≈1 1 2 2 3 3 4 41

16 8

4.2 Beliebige Kräfte 15

Bild 4.2 Bestimmung der Resultierenden mit demSeileckverfahrena) Anordnungb) Lageplan (Seilfigur)c) Kräfteplan (Polfigur)

1

4.2 Beliebige Kräfte

In diesem Fall eignet sich die graphische Methode besser, und zwarwenden wir das sog. Seileckverfahren an.

Beispiel 4.2

Auf den Brückenträger in Bild 4.2a üben drei Lastwagen folgendeKräfte aus: F1 = 200 kN, F2 = 280 kN (Gewichtskraft und Brems-kraft), F3 = 180 kN. Wie groß ist die resultierende Kraft

�FR (Größe

und Wirkungslinie)?

Graphische Lösung mit dem Seileckverfahren:Das Seileckverfahren läuft wie folgt ab:

1. Einen maßstäblichen Lageplan zeichnen, Bild 4.2b. Man hätte indiesem Fall auch die Angabenskizze nehmen können.

2. Äußere Kräfte im Kräfteplan maßstäblich antragen, Bild 4.2c.Die vektorielle Addition ergibt

�FR (hier FR ≈ 640 kN).

3. Einen Pol P wählen, Bild 4.2c. Die Verbindungslinien (Pol-strahlen) von P zu den Anfangs- bzw. Endpunkten der Kräfte zie-hen. Im vorliegenden Fall die Polstrahlen 0 bis 3. Der Pol P istzwar beliebig, er sollte jedoch eine günstige Polfigur ergeben,d. h. es sind Winkel zwischen den Kräften und den Polstrahlenvon nahe 0° oder 180° zu vermeiden.

4. Im Lageplan Parallelen zu den Polstrahlen ziehen, das ergibt dieSeilstrahlen. Die Wirkungslinie der Resultierenden

�FR geht durch

den Schnittpunkt der Seilstrahlen 0 und 3.

Das Seileckverfahren heißt deshalb so, weil ein Seil unter den Kräf-ten�F1 bis

�Fn eine Form annimmt wie der Linienzug der Seilstrahlen 0

bis n. Die Polfigur ist die Aneinanderreihung von Kraftecken. Zujedem Schnittpunkt dreier Wirkungslinien in der Seilfigur gehört einKrafteck in der Polfigur.

Übung 4.1

Bestimmen Sie für das Kräftesystem von Beispiel 4.1 die resultieren-de Kraft

�FR (Größe und Wirkungslinie) mit dem Seileckverfahren.

1. Welche Bedingungen muss die resultierende Kraft eines ebenenparallelen Kräftesystems erfüllen?

2. Durch welchen Schnittpunkt geht die Resultierende beim Seileck-verfahren?