5 B Betonstahl und Spannstahl 5 C Stahlbeton- und ......5.22@- Betonstahl und Spannstahl 1.3...

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3.7 Zeitabhängiges Betonverhalten . . 5.644 Bemessung . . . . . . . . . . . . . . 5.664.1 Grenzzustände der Tragfähigkeit . . 5.664.1.1 Biegung und Längskraft . . . . . . . 5.664.1.2 Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.714.1.3 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.774.1.4 Durchstanzen . . . . . . . . . . . . . . 5.794.1.5 Grenzzustand der Tragfähigkeit inf.

Tragwerksverformungen (Knicken) 5.844.1.6 Nachweis gegen Ermüdung . . . . 5.914.1.7 Stabwerkmodelle . . . . . . . . . . . 5.924.2 Grenzzustände der Gebrauchs-

tauglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 5.934.2.1 Begrenzung der Spannungen . . . . 5.934.2.2 Begrenzung der Rissbreiten . . . . . 5.954.2.3 Begrenzung der Verformungen . . . 5.1005 Konstruktionsgrundlagen . . . . 5.1025.1 Expositionsklassen und Mindest-

betonfestigkeit; Betondeckungund Stababstände . . . . . . . . . . . 5.102

5.2 Betonstahl . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1055.3 Spannstahl, Spannglieder . . . . . . 5.1105.4 Konstruktive Durchbildung ein-

zelner Bauteile . . . . . . . . . . . . . 5.1125.4.1 Überwiegend biegebeanspruchte

Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1125.4.2 Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1135.4.3 Vollplatten . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1175.4.4 Stützen, Wände . . . . . . . . . . . . 5.1205.4.5 Wandartige Träger . . . . . . . . . . 5.1215.4.6 Fundamente . . . . . . . . . . . . . . . 5.1225.4.7 Konsolen, ausgeklinkte Trägerenden 5.1245.4.8 Andere Bauteile und besondere

Bestimmungen . . . . . . . . . . . . . 5.1255.4.9 Schadensbegrenzung bei außerge-

wöhnlichen Einwirkungen . . . . . . 5.1275.5 Verbindungen und Lagerungs-

bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.128

B BETONSTAHL UNDSPANNSTAHL . . . . . . . . . . . . 5.20

1 Betonstahl . . . . . . . . . . . . . . . . 5.202 Spannstähle, Spannglieder . . . . . . 5.23

C STAHLBETON- UND SPANN-BETONBAU NACH DIN 1045-1 5.25

1 Formelzeichen, Begriffe,Geltungsbereich . . . . . . . . . . . 5.25

1.1 Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . 5.251.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . 5.261.3 Geltungsbereich . . . . . . . . . . . . 5.262 Bemessungsgrundlagen . . . . . . . 5.272.1 Nachweisform u. Sicherheitsbeiwerte 5.272.1.1 Bemessungskonzept und

Bemessungssituation . . . . . . . 5.272.1.2 Grenzzustände der Tragfähigkeit . . 5.272.1.3 Grenzzust. der Gebrauchstauglichkeit 5.302.1.4 Dauerhaftigkeit . . . . . . . . . . . . 5.302.2 Ausgangswerte für die Bemessung 5.312.2.1 Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.312.2.2 Betonstahl . . . . . . . . . . . . . . . 5.342.2.3 Spannstahl . . . . . . . . . . . . . . . 5.353 Schnittgrößenermittlung . . . . . . 5.363.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . 5.363.2 Imperfektionen . . . . . . . . . . . . . 5.373.3 Räumliche Steifigkeit u. Stabilität 5.383.4 Tragwerksidealisierung . . . . . . . 5.443.5 Berechnungsverfahren . . . . . . . . 5.453.5.1 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung 5.453.5.2 Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . 5.453.5.3 Lineare Berechnung . . . . . . . . . 5.463.5.4 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.483.5.5 Scheiben, wandartige Träger . . . 5.603.6 Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . 5.61

5 B Betonstahl und Spannstahl5 C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1

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5 B Betonstahl und Spannstahl

Prof. Dr.-Ing. Alfons Goris

1 Betonstahl Betonstahl kann unterschieden werden nach – Verarbeitungsform: Betonstabstahl (S), Betonstahlmatten (M), Bewehrungsdraht – Duktilität: normalduktil (Kennbuchstabe A) oder hochduktil (Kennbuchstabe B) – Oberflächengestaltung: Betonstabstahl und Betonstahlmatte: gerippt Bewehrungsdraht: glatt oder profiliert (nicht allgemein für eine An- wendung nach DIN 1045-1, nur für Sonderzwecke) – Herstellverfahren: warmgewalzt (ohne oder mit Nachbehandlung), kaltverformt.

1.1 Betonstabstahl Betonstabstahl wird entweder als gerader Stab oder als Betonstahl vom Ring zum Richten geliefert. Für gerade Einzelstäbe können folgende Anwendungen genannt werden – Durchmesser: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 25, 28 mm für BSt 500 S nach DIN 488 32, 40 mm für BSt 500 S nach Zulassung – Lieferlängen: 12 m bis 15 m. Betonstahl vom Ring wird bis zu einem Stabdurchmesser ds ≤ 14 mm geliefert. Der Betonstahl wird vor dem Einbau gerichtet (Richtanlage). Der Biegebetrieb muss die Eignung für das Weiterverarbei-ten (Richten) nachweisen. 1.2 Geschweißte Betonstahlmatten Geschweißte Betonstahlmatten sind werkmäßig vorgefertigte Bewehrungen aus sich kreuzenden Stäben, die an den Kreuzungsstellen durch Widerstandspunktschweißung scherfest miteinander verbunden sind. Betonstahlmatten werden als Lagermatten und Nichtlagermatten angeboten. Lagermatten werden nach einem festen Programm hergestellt; die Matten sind 2,30 m bzw. 2,35 m breit, haben eine Länge von 6,0 m und Bewehrungsquerschnitte zwischen 1,88 cm2/m und 5,24 cm2/m (R-Matten) bzw. 6,36 cm2/m (Q-Matten). Die Matten werden durch Kurzzeichen charakterisiert. Die Kennzeichnung gibt an – Art der Lagermatte: R-Matte, die bei einachsiger Lastabtragung eingesetzt werden. Die Haupttragrichtung verläuft in

Richtung der längeren Richtung, in Querrichtung sind ≥ 20 % der Längsrichtung vorhanden; Q-Matte, die in Längs- und Querrichtung näherungsweise den gleichen Querschnitt aufweisen und

eingesetzt werden, wenn die Beanspruchung in beiden Richtungen etwa gleich groß ist; – Stahlquerschnitt in mm2/m: Nach dem Kurzzeichen „R“ bzw. „Q“ erfolgt die Angabe des Be-

wehrungsquerschnitts der Längsrichtung in mm2/m; – Duktilitätsklasse: Die Duktilität wird durch einen nachgestellten Buchstaben gekennzeichnet. Beispiel: „Q524A“ bezeichnet eine Matte, die in Längs- und Querrichtung einen Stahlquerschnitt von 5,24 cm2/m aufweist und normalduktil ist. Das vollständige Lagermattenprogramm ist auf S. 5.173 wiedergegeben. Bei Nichtlagermatten kann der Mattenaufbau weitgehend frei gewählt und die Bewehrung der jeweiligen Aufgabe angepasst werden. Listenmatten sind Matten, deren Stababstände, Stabdurch-messer und Mattenabmessungen vom Besteller festgelegt werden. Für den Mattenaufbau sind je-doch bestimmte Vorgaben zu beachten – Abmessungen: Mattenlänge von 3,00 m bis 12,00 m; Mattenbreite von 1,85 m bis 3,00 m – Längsstäbe: Einzel- oder Doppelstäbe, max. zwei unterschiedliche Durchmesser, Längsstäbe sind staffelbar (Feldspareffekt) – Querstäbe: Einzelstäbe (keine Doppelstäbe möglich), keine unterschiedlichen Durchmes-

ser Querstäbe, nicht staffelbar – Überstände: minimale Mattenüberstände 25 mm, maximale Mattenüberstände 100 ds. Die Beschreibung von Matten erfolgt in einer nach Längs- und Querrichtung achsengetrennten Schreib-weise. Die wählbaren Längs- und Querstabdurchmesser sowie Abstände sind in Tafel 5.21 angegeben. Weitere Hinweise s. z. B. [5.7], [5.8]. Sc

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Betonstahl @-5.21

Beispiel 150 · 10,0 / 7,0 – 4 / 4 | 6,00 | 75 / 75 Mattenbeschreibung: ———————————————— 150 · 10,0 | 2,30 | 25 / 25

(Mattenbeschreibung der Q524; s. S. 5.173) Tafel 5.21 Durchmesserkombinationen und Querschnitte von Listenmatten

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@-5.22 Betonstahl und Spannstahl

1.3 Eigenschaften und zulässige Schweißverfahren Die Festlegungen und konstruktiven Regelungen von DIN 1045-1 beziehen sich auf schweißge-eignete, gerippte Betonstähle mit einer charakteristische Streckgrenze von fyk = 500 N/mm2 und den weiteren in den Tafeln 5.22a und 5.22b angegebenen Eigenschaften.

Tafel 5.22a Eigenschaften von Betonstählen (DIN 1045-1, Tab. 11)

Benennung BSt 500 S(A)

BSt 500 M(A)

BSt 500 S(B)

BSt 500 M(B)

Art der Anfor-derung / Quan-tilwert p in %

Erzeugnisform Beton-stabstahl

Beton-stahlmatte

Beton-stabstahl

Beton-stahlmatte

Duktilität normal hoch Streckgrenze fyk in N/mm2 500 5 Verhältnis (ft / fy) k ≥ 1,05 ≥ 1,08 min. 10 Verhältnis (fy / fyk)0,90 – ≤ 1,3 max. 10 Stahldehnung unter Höchstlast εuk in ‰ 25 50 10

ds ≤ 28 175 85 175 85 Kennwert a) für die Ermüdungs-festigkeit N = 1 · 106 in N/mm2

(mit einer oberen Spannung von nicht mehr als 0,6 fy)

b) ds > 28 – – 145 – 5

Bezogene Rippenfläche fR für Nenndurchmesser ds (in mm)

5,0–6,0 6,5–8,5 9,0–10,5 11– 40

0,039 0,045 0,052 0,056

10

Unterschreitung des Nennquerschnitts 4 max. 5

Biegerollendurchmesser beim Rückbiegeversuch für Nenn-durchmesser ds (mm)

6 bis 12 14 bis 16 20 bis 25 28 bis 40

5 ds 6 ds 8 ds

10 ds

min. 1

a) Gemäß [5.60] (unter Berücksichtigung der Druckfehlerberichtigung vom 14.02.08). b) Falls im Versuch höhere Werte nachgewiesen werden, dürfen die Bemessungswerte aus DIN 1045-1, Tab. 16

(Parameter der Wöhlerlinie), abgeleitet werden Tafel 5.22b Zulässige Schweißverfahren bei Betonstählen

Belastungs-art

Schweißverfahren mit Kurzzeichen und Ordnungsnummer nach DIN EN ISO 4063 Zugstäbe

a) Druckstäbe a)

Abbrennstumpfschweißen (RA) 24 Stumpfstoß

Lichtbogenhandschweißen Metall-Lichtbogenschweißen

(E) (MF)

111 114

Stumpfstoß mit ds ≥ 20 mm, Laschenstoß, Überlappungsstoß, Kreuzungsstoß

c), Verbindungen mit anderen Stahlteilen

135 Laschenstoß, Überlappungsstoß, Kreuzungs-stoß

c), Verbindung mit anderen Stahlteilen Metall-Aktivgasschweißen b) (MAG)

136 – Stumpfstoß mit ds ≥ 20 mm

Reinschweißen (FR) 42 Stumpfstoß, Verbindung mit anderen Stahlteilen

Vorwiegend ruhend

Widerstandspunktschweißen (mit Einpunktschweißmaschine) (RP) 21 Überlappungsstoß

d) Kreuzungsstoß

b) d)

Abbrennstumpfschweißen (RA) 24 Stumpfstoß Lichtbogenhandschweißen (E) 111 – Stumpfstoß mit ds ≥ 16 mm Nicht

vorwiegend ruhend Metall-Aktivgasschweißen (MAG) 135

136 – Stumpfstoß mit ds ≥ 20 mm a) Es dürfen gleiche Durchmesser sowie benachbarte Stabdurchmesser verbunden werden. b) Zulässiges Verhältnis der Stabnenndurchmesser sich kreuzender Stäbe ≥ 0,57. c) Für tragende Verbindungen ds ≤ 16 mm.

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Spannstähle, Spannglieder @-5.23

2 Spannstähle, Spannglieder Zu unterscheiden ist nach Spannstahl und Spannglied bzw. Spannverfahren. Spannstahl und Spann-verfahren müssen eine bauaufsichtliche Zulassung haben.

Spannstähle

Spannstähle haben eine deutlich höhere Festigkeit als Betonstähle. Sie werden nach der charakteristischen Streckgrenze bei 0,2 % bleibender Dehnung fp0,2k und der Zugfestigkeit fpk bezeichnet. Für die Berechnung nach DIN 1045-1 ist jedoch die charakteristische Streckgrenze fp0,1k bei 0,1 % bleibender Dehnung maß-gebend. In Tafel 5.23 sind die in Deutschland zugelassenen Spannstähle zusammengestellt (vgl. [5.9]). Lieferformen:

• Stäbe Durchmesser: 15 mm bis 36 mm; Oberfläche: glatt, gerippt oder mit Gewinderippen

• Drähte Durchmesser: 5 mm bis 16 mm (auch: flache oder flachovale Querschnitte) Oberfläche: glatt, profiliert oder gerippt

• Litzen, Dreidrahtlitzen aus drei Einzeldrähten; Nenndurchmesser 5,2 mm bis 7,5 mm Siebendrahtlitzen aus sieben Einzeldrähten; Nenndurchmesser 7,0 mm bis 18,0 mm

Festigkeiten und Sorten: • Streckgrenze gestaffelt von 835 N/mm2 bis 1570 N/mm2 • Zugfestigkeit gestaffelt von 1030 N/mm2 bis 1770 N/mm2 • Sorten (bisherige)1: St 835/1030 – St 885/1080 – St 1080/1230 – St 1375/1570 – St 1420/1570 – St 1470/1670 – St 1570/1770

Tafel 5.23 Spannstähle der zugelassenen Spannverfahren (Auswahl)

Stahlsorte (Kurzname)

fp0,2k /fpk

fp0,1ka) fp0,01k

b) Elasti-zitäts-modul

Herstellung Zulassungs-nummer

Hersteller

Form

[N/mm2] [N/mm2] [N/mm2] [N/mm2] glatt 205 000 Z-12.4-20 gerippt St 835/1030 835 735 205 000c) Z-12.4-19 glatt Z-12.4-46 gerippt St 1080/1230 1080 950

warmgewalzt, gereckt und angelassen

Z-12.4-40 glatt Z-12.4-26 gerippt St 900/1030 900 800 Z-12.4-70

Stabstahl, rund

gerippt St 950/1050 950 850

205 000 warmgewalzt, wärmebehandelt, gereckt, angelassen Z-12.4-71

Stahl-werke Annahüttewww. stahlwerke-annahuette.de

glatt Z-12.2-9 gerippt St 1420/1570 1400 1220 Z-12.2-67 glatt Z-12.2-74 gerippt St 1470/1620 1450 1260

205 000 warmgewalzt, vergütet

Z-12.2-75

Sigma-Stahl www.sigma-stahl.de

glatt St 1470/1670 1420 1300 205 000c) Z-12.2-17 St 1470/1670 1420 1300 Z-12.2-27 profiliert St 1570/1770 1500 1350 Z-12.2-28

Draht, rund

glatt St 1570/1770 1500 1350 200 000 kaltgezogen

Z-12.2-18 Litze

(7-drähtig) glatt St 1570/1770 1500 1350 195 000 kaltgezogen Z-12.3-29

DWK Draht-werke www.dwk-koeln.de

a) Charakteristischer Wert bei 0,1 % bleibender Dehnung. b) Charakteristischer Wert bei 0,01 % bleibender Dehnung. c) Je nach verwendeter Bemessungsnorm ggf. auch 200 000 N/mm2 .

1 Europäische Sortenbezeichnung: z. B. Y1770 (Y = Spannstahl, 1770 = Zugfestigkeit); vergütete Spannstähle

erhalten das Zusatzsymbol Q, kaltgezogene das Zusatzsymbol C (z. B. Y1570C).

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@-5.24 Betonstahl und Spannstahl

Spannglieder Spannglieder bestehen aus dem Spannstahl, einem Hüllrohr, Anker und ggf. Koppelstellen. Spannglieder bzw. die Spannverfahren müssen bauaufsichtlich zugelassen sein. Gegenwärtig sind in Deutschland u. a. die in Tafel 5.24 angegebenen Spannverfahren zugelassen. Tafel 5.24 Allg. bauaufsichtlich zugelassene Spannverfahren (auf der Basis von DIN 1045-1) (Auswahl) Verbundart Stahlsorte

fp0,1k / fpk

[N/mm2]

Litzenzahl und Durchmesser

[mm]

P0,max je nach Litzenanzahla)

[kN]

Firma Zulassungs-nummer

Geltungs-dauer

nachträglich 1500/1770 1600/1860

4 – 31 / ∅15,7 4 – 31 / ∅15,7

810 – 6278 864 – 6696

BBR-Systems www.bbrsystems.ch

Z-13.1-108 28.02.2009

nachträglich 1500/1770 1600/1860

3 – 31 / ∅15,3 3 – 31 / ∅15,7

567 – 5859 648 – 6696 Z-13.1-114 28.02.2010

ohne 1500/1770 1 – 5 / ∅15,3 1 – 5 / ∅15,7

173 – 867 186 – 929 Z-13.2-70 31.12.2009

ohne, extern 1500/1770 9 – 19 / ∅15,3 1561 – 3296

BBV-Vorspanntechnik www.bbv-vorspanntechnik.de

Z-13.3-99 31.12.2009 nachträglich 1500/1770 1 – 19 / ∅15,7 203 – 3213 Z-13.1-82 31.01.2007 nachträglich 1500/1770 1 – 22 / ∅15,3 189 – 4158 Z-13.1-116 28.02.2010 nachträglich 1500/1770 3 – 22 / ∅15,7 608 – 4455 Z-13.1-118 31.07.2010

ohne 1500/1770 1 / ∅15,3 1 / ∅15,7

186 199 Z-13.2-95 28.02.2010

ohne 1500/1770 2 – 5 / ∅15,7 405 – 1012

Suspa-DSI www.suspa.de

Z-13.2-113 28.02.2010

ohne 1500/1770 1600/1860

1 – 5 / ∅15,7 1 – 5 / ∅15,7

205 – 1025 216 – 1080

ETA-03/0036 31.03.2009

nachträglich, ohne, extern 950/1050 ∅ 26,5 – 40 499 – 1131

Suspa-DSI www.suspa-dsi.de ETA-

05/0123 18.09.2010

nachträglich 1520/1770

1600/1860

3 – 27 / ∅15,3 3 – 27 / ∅15,7 3 – 27 / ∅15,3 3 – 27 / ∅15,7

575 – 5171 616 – 5540 605 – 5443 648 – 5832

BBV-Vorspanntechnik www.bbv-vorspanntechnik.de

ETA- 05/0202 03.11.2011


1600/1860

3 – 37 / ∅15,3 3 – 37 / ∅15,7 3 – 37 / ∅15,3 3 – 37 / ∅15,7

575 – 7086 616 – 7592 605 – 7459 648 – 7992

Suspa-DSI www.suspa-dsi.de

ETA- 06/0022 12.01.2011


1600/1860

4 – 19 / ∅15,3 4 – 19 / ∅15,7 4 – 19 / ∅15,3 4 – 19 / ∅15,7

766 – 3639 821 – 3899 806 – 3830 864 – 4104

Vorspann-Brückentechnologie www.vbt-systems.eu

ETA- 08/0002 22.01.2013

a) P0,max Maximal zulässige Vorspannkraft während des Vorspannens (vgl. a. Kap. 5 C, 2.2.3)

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5 C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1:2008Prof. Dr.-Ing. Alfons Goris

1 Formelzeichen, Begriffe, Geltungsbereich1.1 Formelzeichen (Auswahl)

Lateinische GroßbuchstabenA Fläche (area)E Elastizitätsmodul (modulus of elasticity)E Einwirkung, (internal forces and

Schnittgröße moments)G ständige Einwirkung (permanent action)I Flächenmoment (second moment of

2. Grades area)Lateinische Kleinbuchstabenb Breite (width)c Betondeckung (concrete cover)d Nutzhöhe (effective depth)f Festigkeit eines (strength of a material)

Materialsg verteilte ständige (distributed

Last permanent load)h Querschnittshöhe (overall depth)Griechische Kleinbuchstabenγ Teilsicherheitsbeiwert (partial safety factor)ε Dehnung (strain)λ Schlankheitsgrad (slenderness ratio)μ bezogenes (reduced bending

Biegemoment moment)ν bezogene Längskraft (reduced axial force)

Fußzeigerc Beton (concrete)c Druck (compression)d Bemessungswert (design value)dir unmittelbar (direct)eff wirksam (effective)g, G ständig (permanent)ind mittelbar (indirect)inf unterer, niedriger (inferior)

Zusammengesetzte FormelzeichenGk charakteristischer Wert einer ständigen LastQk charakteristischer Wert einer VerkehrslastMEd einwirkendes BemessungsmomentMEds einwirkendes, auf die Zugbewehrung „versetz-

tes“ BemessungsmomentNEd einwirkende BemessungslängskraftVEd einwirkende BemessungsquerkraftVRd aufnehmbare Querkraft

M Biegemoment (bending moment)N Längskraft (axial force)P Vorspannkraft (prestressing force)Q Verkehrslast (variable action)R Widerstand, (resistance)

TragfähigkeitT Torsionsmoment (torsional moment)V Querkraft (shear force)

i Trägheitsradius (radius of gyration)l Stützweite (span)q verteilte (distributed

veränderliche Last variable load)t Dicke (thickness)w Rissbreite (crack width)x Druckzonenhöhe (neutral axis depth)z Hebelarm der (lever arm of

inneren Kräfte internal force)

ν Querdehnzahl (Poisson’s ratio)ρ geometrischer (geometrical

Bewehrungsgrad reinforcement ratio)ρ Trockenrohdichte (oven-dry density)σ Längsspannung (axial stress)τ Schubspannung (shear stress)ω mechanischer (mechanical

Bewehrungsgrad reinforcement ratio)

k charakt. Wert (charact. value)p Vorspannung (prestressing force,

Spannstahl prestressing steel)q, Q Verkehrslast (variable action)s Betonstahl (reinforcing steel)sup oberer, höherer (superior)t Zug (tension)v Querkraft (shear)y Streckgrenze (yield)

fck charakt. Wert der Betondruckfestigkeitfcd Bemessungswert der Betondruckfestigkeitfct Zugfestigkeit des Betonsfyk charakt. Wert der Stahlstreckgrenzefyd Bemessungswert der StahlstreckgrenzeμEd bezogenes BemessungsmomentμEds auf die Biegezugbewehrung „versetztes“,

bezogenes BemessungsmomentνEd bezogene Bemessungslängskraft

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1.2 BegriffePrinzip Eine Angabe und Festlegung, von der keine Abweichung zulässig ist. (Prinzipien

sind in DIN 1045-1 durch gerade Schreibweise gekennzeichnet.)Anwendungsregel Allgemein anerkannte Regel, die dem Prinzip folgt und dessen Anforderungen er-

füllt. Alternativen sind auf der Basis der Prinzipien zulässig (in DIN 1045-1 durchkursive Schreibweise gekennzeichnet).

Grenzzustand Ein Zustand, bei dem ein Tragwerk die Entwurfsanforderungen gerade noch erfüllt;es werden Grenzzustände der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit sowie An-forderungen an die Dauerhaftigkeit unterschieden.

Einwirkung E Auf ein Tragwerk einwirkende Kräfte, Lasten etc. als direkte Einwirkung, eingeprägteVerformungen (Temperatur, Setzung) als indirekte Einwirkung. Einteilung in– ständige Einwirkung (G): z. B. Eigenlast der Konstruktion– veränderliche Einwirkung (Q): z. B. Nutzlast, Wind, Schnee, Temperatur– außergewöhnliche Einwirkungen (A): z. B. Explosion, Anprall von Fahrzeugen– vorübergehende Einwirkungen: z. B. Bauzustände, Montagelasten

Charakteristische Werte der Einwirkungen (Fk ) werden i. Allg. in Lastnormen festgelegt:– ständige Einwirkung i.d.R. als ein einzelner Wert (Gk ), ggf. jedoch auch als oberer (Gk,sup)

und unterer (Gk,inf ) Grenzwert– veränderliche Einwirkung (Qk ) als oberer / unterer Wert oder als festgelegter Sollwert– außergewöhnliche Einwirkung (Ak ) i. Allg. als festgelegter (deterministischer) Wert

Kombinationen von veränderlichen Einwirkungen ergeben sich unter Berücksichtigung vonKombinationsbeiwerten ψi (s. Abschn. 2.1.2 und 2.1.3)

Bemessungswerte der Einwirkung (Fd) ergeben sich aus Fd = γF · Fk mit γF als Teilsicher-heitsbeiwert für die betrachtete Einwirkung; der Beiwert γF kann mit einem oberen(γF,sup) und einem unteren Wert (γF,inf) angegeben werden (s. Abschn. 2.1.2).

Widerstand R Durch Materialeigenschaften (Beton, Betonstahl, Spannstahl) und geometrische Grö-ßen sich ergebende aufnehmbare Beanspruchungen.

Charakteristische Werte der Baustoffe (Xk ) werden in Baustoff- und Bemessungsnormen alsQuantile einer statistischen Verteilung festgelegt, ggf. mit oberen und unteren Werten.

Bemessungswert einer Baustoffeigenschaft ergibt sich aus Xd = Xk/γM mit γM als Teil-sicherheitsbeiwert für die Baustoffeigenschaften (Beiwerte γM s. Abschn. 2.1.2).

Üblicher Hochbau Hochbau, der für vorwiegend ruhende, gleichmäßig verteilte Nutzlasten bis 5,0 kN/m2,ggf. für Einzellasten bis 7,0 kN und für Personenkraftwagen bemessen ist.

1.3 GeltungsbereichDIN 1045-1 gilt für die Bemessung und Konstruktion von Tragwerken des Hoch- und Ingenieurbaus ausunbewehrtem Beton, Stahlbeton und Spannbeton mit Normal- und Leichtzuschlägen: – C12/15 bis C100/1151) (Normalbeton) – LC12/13 bis LC60/66 (Leichtbeton).In diesem Beitrag wird überwiegend die Bemessung und Konstruktion mit Normalbeton C12/15 bisC50/60 behandelt. In einigen Abschnitten wird zusätzlich auf die besonderen Anforderungen fürHochfesten Normalbeton C55/67 bis C100/115 und für Leichtbeton LC12/13 bis LC60/66 eingegangen.

DIN 1045-1 behandelt ausschließlich Anforderungen an die Tragfähigheit, die Gebrauchstauglichkeitund die Dauerhaftigkeit von Tragwerken. Gebrauchstauglichkeitsnachweise sichern zum einen die Nut-zung, zum anderen die Dauerhaftigkeit der Konstruktion. Grenzwerte zur Sicherung der Dauerhaftigkeitsind verbindlich formuliert, Grenzwerte zur Sicherung der Nutzung sind als Richtwerte angegeben.Die Norm behandelt nicht – bauphysikalische Anforderungen (Wärme- und Schallschutz) – Bemessung im Brandfall – Bauteile aus Beton mit haufwerksporigem Gefüge und Porenbeton sowie Bauteile aus Schwerzu-

schlägen oder mit mittragendem Baustahl – besondere Bauformen (z. B. Schächte im Bergbau).Für die Bemessung von bestimmten Bauteilen (z. B. Brücken, Dämme, Druckbehälter, Flüssigkeitsbe-hälter, Offshore-Plattformen) sind i.d.R. zusätzliche Anforderungen zu berücksichtigen.____________1) Normalbeton der Festigkeitsklassen C55/67 bis C100/115 wird als Hochfester Normalbeton bezeichnet. Die

Anwendung von C90/105 und C100/115 bedarf weiterer, auf den Verwendungszweck abgestimmter Nachweise.

Stahlbeton- und Spannbetonbau

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@-5.27Bemessungsgrundlagen

2 Bemessungsgrundlagen

2.1 Nachweisform und Sicherheitsbeiwerte 1)

2.1.1 Bemessungskonzept und BemessungssituationDas Bemessungskonzept beruht auf dem Nachweis, dass bestimmte Zustände, sog. Grenzzustände, nichtüberschritten werden. Man unterscheidet – Grenzzustände der Tragfähigkeit (Bruch, Verlust des Gleichgewichts, Ermüdung) – Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit (unzulässigeVerformungen, Schwingungen, Rissbreiten) – Anforderungen an die Dauerhaftigkeit.Bei den Nachweisen in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit werdendrei Bemessungssituationen unterschieden: – ständige Bemessungssituation (normale Nutzungsbedingungen des Tragwerks) ⎫ Grund- – vorübergehende Bemessungssituation (z. B. Bauzustand, Instandsetzungsarbeiten) ⎭ kombination – außergewöhnliche Bemessungssituation (z. B. Anprall, Erschütterungen).

2.1.2 Grenzzustände der Tragfähigkeit

____________1) Für die Anwendung von DIN 1045-1 gilt das in DIN 1055-100 festgelegte Sicherheitskonzept; in DIN 1045-1

sind nur einige zusätzliche bauartspezifische Festlegungen getroffen.

Versagen ohne Vorankündigung / Sicherstellung eines duktilen BauteilverhaltensEin Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung muss vermieden werden. Dies kann unterfolgenden Voraussetzungen als erfüllt angesehen werden (DIN 1045-1, 5.3.2): Unbew. Beton Für stabförmige Bauteile mit Rechteckquerschnitt ist die Ausmitte der Längskraft

unter der maßgebenden Einwirkungskombination des Grenzzustandes der Trag-fähigkeit zu begrenzen auf ed / h < 0,4 (s. a. Abschn. 4.1.1.5).

Stahlbeton Es ist eine Mindestbewehrung anzuordnen, die entsprechend DIN 1045-1, 13.1.1für das Rissmoment mit dem Mittelwert der Zugfestigkeit fctm und mit der Stahl-spannung σs = fyk berechnet wird (vgl. Abschn. 5.4.1.1).

Spannbeton Für Spannbetonbauteile gilt alternativ:– Anordnung einer Mindestbewehrung (wie für Stahlbetonbauteile und ohne

Anrechnung der Vorspannkraft)– geregelte Überwachung, wenn die Zugänglichkeit der Spannglieder gewährleis-

tet ist, sodass deren Unversehrtheit mit geeigneten, zerstörungsfreien Prüfver-fahren oder durch laufende Überwachung (Monitoring) überprüft werden kann.

Nachweis der LagesicherheitDer Nachweis der Lagesicherheit wird in DIN 1055-100, 9.2 behandelt. Es ist nachzuweisen, dass dieBemessungswerte der destabilisierenden Einwirkungen Ed,dst die Bemessungswerte der stabilisierendenEinwirkungen Ed,stb nicht überschreiten.

Ed,dst ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Ed,stb (27.1)

Wird die Lagesicherheit durch Verankerungen bewirkt, wird Gl. (27.1) wie folgt modifiziert

Ed,dst – Ed,stb ≤ Rd

mit Rd als Bemessungswert des Tragwiderstandes der Verankerung (hierfür ist dann zusätzlich Gl. (28.1)nachzuweisen).

ErmüdungDie Schädigungssumme DEd darf den Wert 1 nicht überschreiten (DIN 1045-1, 10.8):

DEd ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 (27.2)

Vereinfachend kann der Nachweis auch nach DIN 1045-1, 10.8.4 mit den Einwirkungskombinationennach Abschn. 2.1.3 – d. h. mit γF = 1 – geführt werden (vgl. Abschn. 4.1.6).

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@-5.28 Stahlbeton- und Spannbetonbau

Bemessungswerte des Widerstands (der Tragfähigkeit) RdSie werden bei linear-elastischen Schnittgrößenermittlungen oder bei plastischen Berechnungen gebildetaus (für eine nichtlineare Schnittgrößenermittlung s. DIN 1045-1, 5.3.3 und 8.5):

Rd = R (ααααα · fck /γγγγγc; fyk /γγγγγs; ftk,cal /γγγγγs; fp0,1k /γγγγγs; fpk /γγγγγs ) (28.5)

α Abminderungsbeiwert zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkungen u. a. (s. S. 5.31)fck charakteristischer Wert der Betonfestigkeit (s. S. 5.31f.)fyk charakteristischer Wert der Streckgrenze des Betonstahls (s. S. 5.34)ftk,cal charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Betonstahls (s. S. 5.34)fp0,1k charakteristischer Wert der 0,1%-Dehngrenze des Spannstahls (s. S. 5.35)fpk charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Spannstahls(s. S. 5.35)γc, γs Teilsicherheitsbeiwert für den Beton bzw. den Betonstahl oder Spannstahl nach Tafel 5.29c

Für den Nachweis bestehender Tragwerke darf nach DIN 1045-1, 5.2 (4) der Bemessungswert desTragwiderstands auch aus Versuchen abgeleitet werden (z. B. nach DAfStb-Richtlinie für Belastungs-versuche an Massivbauwerken).

Vereinfachte Kombinationsregeln für HochbautenNach DIN 1055-100 (vgl. [5.10]) dürfen Gln. (28.2a) und (28.2b) bei einer linear-elastischen Schnitt-größenermittlung ersetzt werden durch:

Grundkombination Ed = γγγγγG · EGk + 1,50 · EQ,unf + EPk (28.3a)Außergewöhnliche Situation EdA = EAd + Ed,frequ (28.3b)

EQ,unf Kombination der ungünstigen veränderlichen charakteristischen Werte; sie wird ermittelt ausEQ,unf = EQk,1 + ψ0,Q · Σ EQk,i

i > 1mit EQk,1 als vorherrschender veränderlicher Einwirkung

Ed,frequ Häufige Kombination, die sich ergibt zuEd,frequ = EGk + EPk + ψ1,Q · EQ,unfmit ψ1,Q als bauwerksbezogenem Größtwert

Für die Weiterleitung der vertikalen Lasten im Tragwerk darf für den häufigen Fall, dass die ständigenEinwirkungen insgesamt ungünstig sind, die Grundkombination nach Gl. (28.3a) wie folgt vereinfachtwerden (DIN 1055-100, Gl. (A.8) und Gl. (A.9); vgl. a. Kap. 3, Abschn. I):

max Ed = 1,35 · EGk + 1,50 · EQ,unf (28.4a)min Ed = 1,00 · EGk (28.4b)

Grenzzustand der Tragfähigkeit infolge von Bruch oder übermäßiger VerformungWenn das Versagen des Tragwerks durch Bruch oder übermäßige Verformungen betrachtet wird, mussnachgewiesen werden, dass

Ed ≤≤≤≤≤ Rd (28.1)

mit Ed als Bemessungswert der Beanspruchung (Schnittgröße ...) und Rd als Bemessungswert desTragwiderstands (Materialfestigkeiten ...).

Bemessungswert der Beanspruchungen EdDer Bemessungswert der Beanspruchung wird nach DIN 1055-100, Abschn. 9.4 bestimmt (s. a. [5.10])

Grundkombination Ed = E [[[[[ ΣΣΣΣΣ γγγγγG,j · Gk,j ⊕⊕⊕⊕⊕ γγγγγP · Pk ⊕⊕⊕⊕⊕ γγγγγQ,1 · Qk,1 ⊕⊕⊕⊕⊕ ΣΣΣΣΣ γγγγγQ,i · ψψψψψ0,i · Qk,i ] (28.2a) j ≥≥≥≥≥ 1 i > 1

Außergew. Situation: EdA = E [ Σ γGA,j · Gk,j ⊕ γPA · Pk ⊕ Ad ⊕ ψ1,1 · Qk,1 ⊕ Σ ψ2,i · Qk,i ] (28.2b) j ≥ 1 i > 1

γG,j Teilsicherheitsbeiwert für ständige Einwirkungen (s. Tafel 5.29a)γP Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen infolge Vorspannung (s. Tafel 5.29a)γQ Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkungen (s. Tafel 5.29a)γGA,j Beiwerte der ständigen Einwirkung in der außergewöhnlichen Kombination (i. Allg.: 1,0)γPA Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen infolge Vorspannung in der außergew. KombinationGk,j charakteristische Werte der ständigen EinwirkungenPk charakteristischer Wert der Vorspannung als unabhängige EinwirkungQk,1; Qk,i charakteristische Werte der ersten veränderlichen Einwirkung bzw. weiterer veränderlicher E.Ad Bemessungswert einer außergewöhnlichen Einwirkung (z. B. Anpralllast)ψ0, ψ1, ψ2 Kombinationsbeiwerte für seltene, häufige und quasi-ständige Einwirkungen (s. Tafel 5.29b)⊕ „in Kombination mit“

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Tafel 5.29a Teilsicherheitsbeiwerte γγγγγF für Einwirkungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit(DIN 1055-100, Tab. A.3 und DIN 1045-1, Tab. 1)

ständige Einwirkung (Gk) veränderliche Einwirkung (Qk) Vorspannung (Pk)γG 1) 4) γQ 2) 4) γP 3)

günstige Auswirkung 1,00 0 1,0ungünstige Auswirkung 1,35 1,50 1,01) Sind günstige und ungünstige Anteile einer ständigen Einwirkung als eigenständige Anteile zu betrachten (z. B. beim

Nachweis der Lagesicherheit), gilt γG,sup = 1,1 (ungünstig) und γG,inf = 0,9 (günstig); s. Kap. 3, Abschn. I.2) Für Zwang darf bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung mit der Steifigkeit nach Zustand I und mit dem

mittleren E-Modul Ecm γQ = 1,0 gesetzt werden.3) Sofern Vorspannung als einwirkende Schnittgröße berücksichtigt wird.4) Bei Fertigteilen dürfen in den Bauzuständen für Biegung und Längskraft die Teilsicherheitsbeiwerte der

ständigen Einwirkung auf γG = 1,15 und der veränderlichen Einwirkung auf γQ = 1,15 herabgesetzt werden.

Tafel 5.29b Kombinationsbeiwerte ψψψψψ für Hochbauten (DIN 1055-100, Tab. A.2; weitere Werte vgl.Kap. 3, Abschn. I)

Einwirkung Kombinationsbeiwerteψ0 ψ1 ψ2

Nutzlast: Kategorie A, B: Wohn-, Aufenthalts-, Büroräume 0,7 0,5 0,3Kategorie C, D: Versammlungsräume; Verkaufsräume 0,7 0,7 0,6Kategorie E: Lagerräume 1,0 0,9 0,8

Windlasten 0,6 0,5 0Schneelasten Orte bis zu NN +1000 0,5 0,2 0

Orte über NN +1000 0,7 0,5 0,2Temperatureinwirkungen (nicht für Brand!) 0,6 0,5 0Baugrundsetzungen 1,0 1,0 1,0Sonstige veränderliche Einwirkungen 0,8 0,7 0,5

Tafel 5.29c Teilsicherheitsbeiwert γγγγγM für Baustoffeigenschaften (DIN 1045-1, Tab. 2)Kombination Beton ( γc ) Betonstahl, (γs )unbewehrtes Bauteil Stahlbeton-/Spannbetonbauteil Spannstahl

Grundkombination 1,80 1,50 1) 1,15Außergewöhnliche Kombination 1,55 1,30 1) 1,001) Bei Fertigteilen (werksmäßige Herstellung und ständige Überwachung) darf γc = 1,35 gesetzt werden.

Bei Festigkeitsklassen ≥ C55/67 bzw. ≥ LC55/60 ist γc mit dem Faktor γc’ = 1/(1,1 – 0,002 · fck) ≥ 1 zu vergrößern.

Beispiel (wird unter Abschn. 2.1.3 „Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit“ fortgesetzt)gegeben: Stütze mit Eigenlast (Gk), Schnee (Sk; Ortslage bis zu NN + 1000) und Wind (Wk)gesucht: Bemessungswert der Schnittgrößen an der Einspannstelle für den Grenzzustand der Tragfä-

higkeit (ohne Einflüsse aus ungewollter Ausmitte und Theorie II. Ordnung)Mit der Kombinationsregel in Gl. (28.3a) und den Kombinationsfaktoren ψ0,W = 0,6 und ψ0,S = 0,5 er-geben sich für NEd und MEd im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Längsdruckkräfte absolut):

Komb. 1 Ed = E (γG · Gk ⊕ γQ · Sk ⊕ γQ · ψ0 · Wk )NEd = 1,35 · 200 + 1,50 · 100 + 1,50 · 0,6 · 0 = 420,0 kNMEd = 1,35 · 200 · 0,10 + 1,50 · 100 · 0,10 + 1,50 · 0,6 · 5 · 5,0 = 64,5 kNm

Komb. 2 Ed = E (γG · Gk ⊕ γQ · Wk ⊕ γQ · ψ0 · Sk )NEd = 1,35 · 200 + 1,50 · 0 + 1,50 · 0,5 · 100 = 345,0 kNMEd = 1,35 · 200 · 0,10 + 1,5 · 5 · 5,00 + 1,5 · 0,5 · 100 · 0,10 = 72,0 kNm

Bei günstiger Wirkung von geringfügig exzentrischen Druckkräften (hier ggf. fürGk und Sk) ist zusätzlich zu untersuchen:Komb. 3 Ed = E (γG,inf · Gk ⊕ γQ · Wk ⊕ γQ,inf · ψ0 · Sk )

NEd = 1,00 · 200 + 1,50 · 0 + 0 · 0,5 · 100 = 200,0 kNMEd = 1,00 · 200 · 0,10 + 1,5 · 5 · 5,00 + 0 · 0,5 · 100 · 0,10 = 57,5 kNm

Sk

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2.1.3 Grenzzustände der GebrauchstauglichkeitDer Bemessungswert der Beanspruchung Ed (s. nachfolgende Gleichungen (30.2a) bis (30.2c)) darf denNennwert des Gebrauchstauglichkeitskriteriums Cd nicht überschreiten (DIN 1055-100, 10.2 und 10.4):

Ed ≤≤≤≤≤ Cd (30.1)

Kombinationsregeln für Einwirkungen Ed (in symbolischer Form):seltene Kombination Ed,rare = E [ Σ Gk,j ⊕ Pk ⊕ Qk,1 ⊕ Σ ψ0,i · Qk,i ] (30.2a)

j ≥ 1 i > 1

häufige Kombination Ed,frequ = E [ Σ Gk,j ⊕ Pk ⊕ ψ1,1 · Qk,1 ⊕ Σ ψ2,i · Qk,i ] (30.2b) j ≥ 1 i > 1

quasi-ständige Kombination Ed,perm = E [ Σ Gk,j ⊕ Pk ⊕ Σ ψ2,i · Qk,i ] (30.2c) j ≥ 1 i ≥ 1

(Erläuterungen der Formelzeichen s. Hinweise zu Gl. (28.2))

Bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung darf vereinfachend Gl. (30.2a) bis (30.2c) ersetzt werden:seltene Kombination Ed,rare = EGk + EPk + EQ,unf (30.3a)häufige Kombination Ed,frequ = EGk + EPk + ψ1,Q · EQ,unf (30.3b)quasi-ständige Kombination Ed,perm = EGk + EPk + Σ ψ2,i · EQk,i (30.3c)

i ≥ 1

(Erläuterungen der Formelzeichen s. Hinweise zu Gl. (28.3))

Bemessungswert des Gebrauchstauglichkeitskriteriums CdAls Gebrauchstauglichkeitskriterien sind in DIN 1045-1 beispielsweise zulässige Spannungen, Rissbrei-ten und Verformungen definiert (s. hierzu Abschn. 4.2).

BeispielStütze mit Belastungen aus Eigenlast (Gk), Schnee (Sk) und Wind (Wk), wie im Beispiel S. 5.29 darge-stellt. Gesucht sind die Schnittgrößen M und N im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit für die sel-tene, häufige und quasi-ständige Kombination an der Einspannstelle (die Längsdruckkräfte werden nach-folgend mit absoluten Werten dargestellt).Mit den Gln. (30.2a) bis (30.2c) und den Kombinationsbeiwerten nach Tafel 5.29b erhält manseltene Kombination (Index rare)

Lf. 1: Ed,rare = E (Gk ⊕ Sk ⊕ ψ0 · Wk ); mit ψ0,W = 0,6 →Nrare = 200 + 100 + 0,6 · 0 = 300 kN Mrare = 200 · 0,10 + 100 · 0,10 + 0,6 · 5 · 5,0 = 45 kNm

Lf. 2: Ed,rare = E (Gk ⊕ Wk ⊕ ψ0 · Sk ); mit ψ0,S = 0,5 →Nrare = 200 + 0 + 0,5 · 100 = 250 kN Mrare = 200 · 0,10 + 5 · 5,0 + 0,5 · 100 · 0,10 = 50 kNm

Lf. 3: Ed,rare = E (Gk ⊕ Wk )Nrare = 200 + 0 = 200 kN Mrare = 200 · 0,10 + 5 · 5,0 = 45 kNm

häufige Kombination (Index frequ)Lf. 1: Efrequ = E (Gk ⊕ ψ1 · Sk ⊕ ψ2 · Wk ); mit ψ1,S = 0,2 und ψ2,W = 0 →

Nfrequ = 200 + 0,2 · 100 + 0 = 220 kN Mfrequ = 200 · 0,10 + 0,2 · 100 · 0,10 + 0 = 22 kNmLf. 2: Efrequ = E (Gk ⊕ ψ1 · Wk ⊕ ψ2 · Qk ); mit ψ1,W = 0,5 und ψ2,S = 0 →

Nfrequ = 200 + 0 + 0 · 100 = 200 kN Mfrequ = 200 · 0,10 + 0,5 · 5,0 · 5,0 + 0 ≈ 33 kNmquasi-ständige Kombination (Index perm)

Lf. 1: Eperm =E (Gk ⊕ ψ2 · Sk ⊕ ψ2 · Wk ); mit ψ2,S = 0 und ψ2,W = 0 →Nperm = 200 kN Mperm = 200 · 0,10 = 20 kNm

2.1.4 DauerhaftigkeitDie Forderung einer angemessenen Dauerhaftigkeit eines Tragwerks gilt als sichergestellt, wenn folgen-de Regeln nach DIN 1045-1 eingehalten werden: – eine Mindestbetonfestigkeit je nach Expositionsklasse (s. Abschn. 5.1) – eine Mindestbetondeckung cmin und ein Vorhaltemaß Δc (s. Abschn. 5.1) – die konstruktiven Regeln (s. Abschn. 5.2 bis 5.5) – die Grenzzustände der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit (s. Abschn. 4.1 und 4.2) – Zusammensetzung und Eigenschaften des Betons nach DIN EN 206-1 und DIN 1045-2 – Bauausführung nach DIN 1045-3.

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2.2 Ausgangswerte für die Bemessung 2.2.1 Beton DIN 1045-1 gilt für Beton (Normal- und Leichtbeton) nach DIN EN 206-1 und DIN 1045-2. Die Fes-tigkeitsklassen für Normalbeton werden durch das vorangestellte Symbol C, für Leichtbeton durch LC gekennzeichnet. Der erste Zahlenwert bezeichnet die Zylinder-, der zweite die Würfeldruckfestigkeit (z. B. C30/37). Als charakteristischer Wert fck von DIN 1045-1 gilt die Zylinderdruckfestigkeit. Die Betonkennwerte sind für Normalbeton und für Leichtbeton in Tafel 5.32 zusammengestellt.

2.2.1.1 Spannungs-Dehnungs-Linien1) Für nichtlineare Schnittgrößenermittlung und Verformungsberechnungen Gleichung der Parabel für kurzzeitig wirkende Beanspruchungen und einaxiale Spannungszustände k · η − η 2 σc = –fc ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (31.1) 1 + (k − 2) · η k = –Ec0m · (εc1 / fc) η = εc /εc1 εc, εc1, σc mit Vorzeichen (negativ); εc1 nach Tafel 5.32 Für den Höchstwert fc gilt bei der Schnittgrößenermittlung

der Rechenwert fcR, bei Verformungsberechungen fcm. Ec0m s. Tafel 5.32; zum Ansatz des E-Moduls wird auf die

Erläuterungen im DAfStb-H. 525 verwiesen. Für die Querschnittsbemessung

Spannungs-Dehnungs-Linie bis C50/60 Gleichung der Parabel für die Bemessungsdruckspannungen

σc = +1000 · ( εc + 250 · εc2) · fcd (31.2)

fcd = α · fck /γc mit α als Faktor zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkungen u. a.; hierfür gilt bei Normalbeton: α = 0,85

Spannungs-Dehnungs-Linie ab C55/67 und für Leichtbeton Gleichung der Parabel für die Bemessungsdruckspannungen

σc = –[1 – (1 – εc /εc2)n] · fcd (31.3) εc2 Dehnung bei Erreichen der Festigkeitsgrenze (Tafel 5.32) εc2u maximale Dehnung (s. Tafel 5.32) n Exponent nach Tafel 5.32

fcd wie oben, jedoch ist für hochfesten Beton der erhöhte Sicherheitsfaktor γc’ · γc = 1,5 / (1,1 – 0,002 · fck) ≥ 1,5 (vgl. Tafel 5.29c) und für Leichtbeton α = 0,752) zu beachten.

Für Beton sind andere idealisierte Spannungs-Dehnungs-Linien zulässig, wenn sie dem Parabel-Rechteck-Diagramm gleichwertig sind, wie z. B. die bilineare Spannungs-Dehnungs-Linie. Wenn die Dehnungsnulllinie im Querschnitt liegt, darf außerdem der rechteckige Spannungsblock angesetzt werden; falls die Querschnittsbreite zum gedrückten Rand hin abnimmt, ist fcd jedoch zusätzlich mit dem Faktor 0,9 abzumindern.

bilineare σ -ε -Linie rechteckiger Spannungsblock fck ≤ 50 N/mm2 → χ = 0,95, k = 0,8 fck fck > 50 N/mm2 → χ = 1,05 – ––– , 500 fck k = 1,0 – ––– 250

________ 1) Formelzeichen gelten für Normalbeton; bei Leichtbeton ist der Index jeweils um ein vorangestelltes „l“ zu ergänzen. 2) Für die bilineare σ-ε-Linie gilt α = 0,80.

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5.33

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Tafel 5.32 Mechanische Eigenschaften von Normalbeton und Leichtbeton(nach DIN 1045-1, Abschn. 9.1.7; Spannungen und E-Moduln in N/mm2)

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2.2.1.2 Elastische VerformungseigenschaftenDie elastischen Verformungen des Betons hängen im hohen Maße von seiner Zusammensetzung (insbesonde-re den Betonzuschlagstoffen) ab. Die Angaben nach DIN 1045-1, 9.1.3 gelten daher nur als Richtwerte.– Elastizitätsmodul: Der mittlere E-Modul Ec0m gemäß Tafel 5.32 gilt für Beton im Alter von 28 Tagen

mit quarzitischen Gesteinskörnungen (je nach Gesteinskörnung liegt der tatsächli-che E-Modul um bis zu 20 % höher oder bis zu 30 % niedriger).Zusammenhang zwischen dem Sekantenmodul Ecm und Tangentenmodul Ec0m:Ecm = αi · Ec0m mit αi = 0,8 + 0,2 · (fcm/88) ≤ 1,0 (fcm in N/mm2)

– Querdehnzahl: Die Querdehnzahl darf i. Allg. zu 0 angenommen werden.– Wärmedehnung: Die Wärmedehnzahl beträgt für Normalbeton αT = 10 · 10–6 · K–1

für Leichtbeton αT = 8 · 10–6 · K–1

Die genannten Werte sind genauer zu ermitteln, wenn ein Tragwerk empfindlich auf Abweichungen rea-giert. Weitere Erläuterungen und Berechnungsangaben s. DAfStb-H. 525.

Eine genauere Ermittlung der Kriechzahlen und Schwindmaße zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist mitHilfe der Gleichungen im Abschn. 3.7 möglich, ebenso sind dort Modifikationsfaktoren für Leichtbetonangegeben. Weitere Erläuterungen s. dort.

2.2.1.3 Kriechen und SchwindenMit Kriechen wird die zeitabhängige Zunahme der Verformungen unter andauernden Spannungen be-zeichnet (Relaxation ist dagegen die zeitabhängige Abnahme der Spannungen unter einer aufgezwunge-nen Verformung konstanter Größe). Unter Schwinden wird die Verkürzung des unbelasteten Betons wäh-rend der Austrocknung verstanden.Einflüsse aus Kriechen und Schwinden können nach DIN 1045-1, Abschn. 9.1.4 bzw. DIN 1045-1, Bild18 bis 21 für den Zeitpunkt t = ∞ – Endkriechzahlen ϕ (∞, t0) und die Endschwindmaße εcs,∞ – ermitteltwerden. Für die Anwendung dieser Werte gelten folgende Voraussetzungen: – Die kriecherzeugenden Betondruckspannungen überschreiten den Wert σc = 0,45 · fck nicht. – Die mittlere Bauwerkstemperatur liegt zwischen 10 °C und 30 °C. – Die relative Luftfeuchte entspricht den angegebenen Mittelwerten, wobei zwischen den Werten für

RH = 50 % und RH = 80 % interpoliert werden darf.Zur groben Abschätzung sind in Tafel 5.33a und b Endkriechzahlen und Endschwindmaße in Abhängig-keit von der wirksamen Bauteildicke 2 · Ac / u (Ac Querschnittsfläche; u der Luft ausgesetzter Quer-schnittsumfang) wiedergegeben. Die genannten Werte gelten für Normalbeton C20/25 (und C30/37, An-gaben in Klammern), die weiteren genannten Parameter und Voraussetzungen sind zu beachten.

_______________1) Die angegebenen Betonfestigkeitsklassen sind zu beachten; die Werte gelten für Zement 32,5R bzw. 42,5N und

Beton, der nicht länger als 14 Tage feucht nachbehandelt wird.2) Die angegebenen Endschwindmaße gelten für einen Zeitpunkt von t = 70 Jahren.

Tafel 5.33a Endkriechzahlen ϕϕϕϕϕ (∞∞∞∞∞, t0) 1 )

Wirksame Bauteildicke 2 · Ac / u in cm (!) 15 50 100 15 50 100Trockene Umgebungsbedingung Feuchte Umgebungsbedingung

(innen; rel. Luftfeuchte = 50 %) (außen; rel. Luftfeuchte = 80 %)7 4,4 (3,2) 3,6 (2,7) 3,3 (2,5) 3,0 (2,3) 2,7 (2,1) 2,5 (2,0)

28 3,4 (2,5) 2,8 (2,1) 2,5 (1,9) 2,3 (1,8) 2,1 (1,6) 2,0 (1,5) Die Werte gelten für Beton C20/25 und für – Angaben in Klammern – Beton C30/37.

Tafel 5.33b Endschwindmaße εεεεεcs, ∞∞∞∞∞ in ‰ 1) 2)

Wirksame Bauteildicke 2 · Ac / u in cm (!) 15 50 100 15 50 100

Trockene Umgebungsbedingung (RH = 50 %) Feuchte Umgebungsbedingung (RH = 80 %)–0,67 (–0,62) –0,59 (–0,56) –0,46 (–0,43) –0,39 (–0,38) –0,35 (–0,34) –0,27 (–0,27)

Die Werte gelten für Beton C20/25 und für – Angaben in Klammern – Beton C30/37.

Alter beiBelastungt0 (Tage)

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Spannungs-Dehnungs-Linie für die Querschnittsbemessung

2.2.2 Betonstahl

AllgemeinesDie nachfolgenden Festlegungen gelten für Betonstabstahl, für Betonstahl vom Ring (nach dem Richten)und für Betonstahlmatten (im Bereich von – 40 °C bis +100 °C). Betonstahl ist nach Stahlsorte,Duktilitätsklasse, Maßen, Oberflächeneigenschaften und Schweißbarkeit eingeteilt. Betonstahlsorten undihre Eigenschaften werden in der Reihe DIN 488 oder in bauaufsichtlichen Zulassungsbescheiden be-schrieben. Betonstahl nach Zulassung dürfen für Beton ab C70/85 nur verwendet werden, wenn dies inder Zulassung geregelt ist.

Schweißgeeignete Betonstähle und Einordnung in DuktilitätsklassenDie Oberflächengestaltung, Nennstreckgrenze fyk und die Duktilitätsklassen können nachfolgender Tafelentnommen werden. Bezüglich weiterer Eigenschaften (Schweißverfahren etc.) wird auf DIN 1045-1,Abschn. 9.2.2 bzw. Kap. 5 B, Abschn. 1 verwiesen.

Kurz- Liefer- Ober- Nennstreck- Duktilität 1)

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DuktilitätsklassenBetonstähle müssen eine angemessene Dehnfähigkeit (Duktilität) aufweisen. Das darf angenommen wer-den, wenn folgende Duktilitätsanforderungen erfüllt sind: – normale Duktilität (Kurzzeichen A): εuk ≥ 25 ‰; ( ft / fy)k ≥ 1,05 – hohe Duktilität (Kurzzeichen B): εuk ≥ 50 ‰; ( ft / fy)k ≥ 1,08; fy / fyk ≤ 1,30Hierin ist εuk der charakteristische Wert der Dehnung bei Höchstlast, ft bezeichnet die Zugfestigkeit undfy die tatsächliche Streckgrenze.

Spannungs-Dehnungs-LinieFür nichtlineare Verfahren der Schnittgrößenermittlung ist eine wirklichkeitsnahe Spannungs-Dehnungs-Linie anzusetzen; es wird auf DIN 1045-1, 9.2.3 verwiesen.Für die Bemessung im Querschnitt sind zwei unterschiedliche Annahmen zugelassen: – Linie I: Begrenzung der Stahlspannung auf fyk bzw. fyd = fyk / γs und der Dehnung εs auf εsu ≤ 25 ‰. – Linie II: Der Anstieg der Stahlspannung zur Zugfestigkeit ftk bzw. ftk / γs hin wird berücksichtigt; die

Dehnung darf dann maximal εsu = 25 ‰ betragen, der Rechenwert der Zugfestigkeit ist mitftk,cal = 525 N/mm2 (bzw. ftk,cal /γs ) festgelegt.

Physikalische EigenschaftenEs dürfen folgende physikalischen Werte angenommen werden: – Elastizitätsmodul: Es = 200 000 N/mm2

– Wärmedehnzahl: αT = 10 · 10–6 K–1

___________2) Für die Querschnittsbemessung gilt:

ftk = ftk,cal = 525 N/mm2

εuk = εsu = 25 ‰

_______1) Für Betonstähle nach bauauf-

sichtlichen Zulassungsbeschei-den sind die Duktilitätsmerkmalein der Zulassung geregelt (andern-falls gelten sie als normalduktil).

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2)

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2.2.3 SpannstahlDie Anforderungen für Spannstähle im Lieferzustand sind in DIN 1045-1, 9.3 festgelegt. Sie gelten fürDrähte, Litzen und Stäbe. Für Spannstähle und ihre Eigenschaften sind bauaufsichtliche Zulassungsbe-scheide zu beachten. Das Verhalten von Spannstählen ist durch die Streckgrenze (0,1%-Dehngrenzefp0,1k), Duktilität, Gesamtdehnung unter Höchstlast, Dauerschwingfestigkeit, Querschnitte und Toleran-zen, Oberflächenstruktur, E-Modul und Relaxation bestimmt. Charakteristische Werte sind die 0,1%-Dehn-grenze fp0,1k und die Zugfestigkkeit fpk (vgl. a. Kap. 5 B, Abschn. 2).

Eingangsvorspannung (zul. Spannstahlspannung)während des Vorspannens: σp0 ≤ 0,80 · fpk nach Absetzen der Presse: σpm0 ≤ 0,75 · fpk(auch im Spannbett) σp0 ≤ 0,90 · fp0,1k (der Vorspannkraft) σpm0 ≤ 0,85 · fp0,1k

Spannungs-Dehnungs-LinieFür nichtlineare Verfahren der Schnittgrößen-ermittlung wird auf DIN 1045-1, 9.3.2 verwiesen.Für die Querschnittstragfähigkeit darf die darge-stellte σ-ε-Linie verwendet werden; die Stahldeh-nung ist auf εp ≤ εp

(0) + 0,025 zu begrenzen mitεp

(0) als Vordehnung. – Linie I: Stahlspannungsbegrenzung auf fp0,1k /γs

– Linie II: Anstieg der Stahlspannung oberhalbvon fp0,1k / γs wird berücksichtigt.

Physikalische EigenschaftenSoweit nicht anderweitig anders festgelegt, dürfen für die Bemessung folgende physikalische Eigen-schaften angenommen werden (im Temperaturbereich von –40 °C bis +100 °C): – Elastizitätsmodul, bei Litzen Ep = 195 000 N/mm2

bei Drähten, Stäben Ep = 205 000 N/mm2

– Wärmedehnzahl: αT = 10 · 10–6 K–1

DuktilitätSpannglieder mit nachträglichem Verbund und ohne Verbund → hohe DuktilitätSpannglieder mit sofortigem Verbund → normale DuktilitätRelaxationRelaxation bezeichnet die zeitabhängige Abnahme der Spannungen unter einer aufgezwungenen Verfor-mung (Dehnung) von konstanter Größe. Die Relaxationskennwerte sind der Zulassung zu entnehmen.

MindestbetonfestigkeitDie für das Spannverfahren erforderliche Mindestbetonfestigkeitsklasse, die Mindestdruckfestigkeit fürTeilvorspannen und endgültiges Vorspannen sind den allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen zu ent-nehmen. Anhaltswerte sind in nachfolgender Tabelle wiedergegeben (aus DIN 1045-1, Ausg. 07.2001;diese Tabelle ist in der Neuausgabe von DIN 1045-1:2008 nicht mehr enthalten [5.73]).

Festigkeiten fcm 2)

Festigkeits- beim Teil- beim endgültigenklasse1) vorspannen Vorspannen

N/mm2 N/mm2

1 2 3C25/30 13 26C30/37 15 30C35/45 17 34C40/50 19 38C45/55 21 42C50/60 23 46C55/67 25 50C60/75 27 54C70/85 31 62C80/95 35 70

C90/105 39 78C100/115 43 86

Beim Teilvorspannen sind die Werte der Spalte 2 ein-zuhalten, wobei die Spannkraft des einzelnen Spann-gliedes nur 30 % des zulässigen Wertes betragendarf. Liegt die nachgewiesene Betondruckfestigkeitzwischen den Werten der Spalten 2 und 3, darf dieSpannkraft linear zwischen 30 % und 100 % – jenach erreichter Betonfestigkeit – interpoliert werden.______________________

1) Gilt sinngemäß auch für Leichtbeton der Fes-tigkeitsklassen LC25/28 bis LC60/66.

2) Es gilt der Mittelwert der Zylinderdruckfestigkeit(bei Verwendung von Würfeln ist entsprechendumzurechnen).Sc

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BeispielFür den dargestellten Zweifeldträger ist die maßgebende Belastungsanordnung für das maximale Bemes-sungsfeldmoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit gesucht. Als Belastung seien eine ständige Einwir-kung gk = 20 kN/m und eine veränderliche Einwirkung qk = 10 kN/m vorhanden.Es ergibt sich die dargestellte Belastungsan-ordnung. Eine feldweise ungünstige Anordnungder Eigenlast als eigenständige Einwirkung istnicht erforderlich.

3.1.3 Längs- und Querkraftverformung; Auswirkung nach Theorie II. OrdnungBei der Schnittgrößenermittlung von Stabtragwerken und Platten dürfen die Längskraft- und Querkraft-verformungen vernachlässigt werden, sofern der Einfluss geringer als 10 % ist. (DIN 1045-1, 7.1 (5)).Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung dürfen unberücksichtigt bleiben, wenn sie die Gesamtstabilitätoder die Tragfähigkeit in kritischen Querschnitten nicht nennenswert beeinflussen. Hiervon ist auszugehen,wenn diese Auswirkungen die Tragfähigkeit um weniger als 10 % verringern (DIN 1045-1, 7.1 (5)).

Einwirkungen sind „ungünstigst“ anzuordnen. Ggf. muss eine solche Anordnung mit Hilfe von Einfluss-linien ermittelt werden. Jedoch dürfen auch vereinfachende Belastungsanordnungen verwendet werden,sofern sie das Tragverhalten sinnvoll wiedergeben. Die Stützkräfte von einachsig gespannten Platten,Rippendecken, Balken und Plattenbalken dürfen unter Vernachlässigung der Durchlaufwirkung ermitteltwerden; an der ersten Innenstütze und an Auflagern, bei denen das Stützweitenverhältnis benachbarterFelder außerhalb des Bereichs 0,5 < l1 / l2 < 2,0 liegt, sollte die Durchlaufwirkung jedoch stets berück-sichtigt werden (DIN 1045-1, 7.3.2 (4)). Die maßgebenden Querkräfte dürfen bei Tragwerken des übli-chen Hochbaus für Vollbelastung aller Felder ermittelt werden, wenn das Stützweitenverhältnis benach-barter Felder im Bereich 0,5 < l1 / l2 < 2,0 liegt (DIN 1045-1, 7.3.2 (5)).Die maßgebende Belastungsanordnung für Durchlaufträger kann S. 4.21 entnommen werden.

3 Schnittgrößenermittlung3.1 Allgemeine Grundlagen3.1.1 GrundsätzlichesTragwerke oder Tragwerksteile müssen für die ungünstigsten Beanspruchungen im Grenzzustand derTragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit bemessen werden. Bei Ermittlung der Beanspruchungenwerden Idealisierungen vorgenommen, und zwar bei der Geometrie und beim Tragverhalten.

Idealisierung der Geometrie Idealisierung des Trag- und Materialverhaltensstabförmige Bauteile elastisches Verhaltenebene Flächentragwerke elastisches Verhalten mit begrenzter UmlagerungSchalen plastisches Verhalten und Anwendung von Stabwerkmodellen(seltener) dreidimensionale Tragwerke nichtlineares Verhalten

Zusätzliche Untersuchungen können in Bereichen nichtlinearer Verzerrungen erforderlich sein, z. B. anAuflagern, Lasteinleitungsbereichen, bei sprunghaften Querschnittsänderungen.

3.1.2 Einwirkungsgrößen (Lastgrößen) und BelastungsanordungDie Größen der Einwirkungen werden i. Allg. durch ihre Bemessungswerte dargestellt. Im Grenzzustand derTragfähigkeit gelten die Kombinationsregeln nach Abschn. 2.1.2, Gl. (28.2), im Grenzzustand der Ge-brauchstauglichkeit nach Abschn. 2.1.3, Gl. (30.2). Die für eine Bemessung „ungünstigen“ Einwirkungensind mit ihrem oberen, die „günstig wirkenden“ mit ihrem unteren Bemessungswert zu berücksichtigen.Für die ständige Einwirkung muss im Regelfall der obere oder untere Grenzwert im gesamten Tragwerkberücksichtigt werden. Bei einer linear-elastischen Berechnung nicht vorgespannter Durchlaufträger und-platten braucht der untere Grenzwert der ständigen Einwirkung („Bemessungssituationen mit günstigenständigen Einwirkungen“) nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Konstruktionsregeln für die Min-destbewehrung eingehalten sind (DIN 1045-1, 8.2). Sind jedoch die Ergebnisse eines Nachweises im hohenMaß anfällig gegen Schwankungen in der Größe einer ständigen Einwirkung, müssen die günstigen und un-günstigen Anteile der Einwirkung als eigenständige Einwirkung betrachtet werden (z. B. beim Nachweis derLagesicherheit nach DIN 1055-100; s. Kap. 3, Abschn. I).Veränderliche Einwirkungen (Verkehrslasten) werden mit dem oberen Bemessungswert berücksichtigt,wenn sie ungünstig wirken; bei günstiger Wirkung bleiben sie unberücksichtigt, da der untereBemessungswert mit dem Teilsicherheitsbeiwert γQ = 0 zu ermitteln ist.

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@-5.37Schnittgrößenermittlung

3.2 ImperfektionenImperfektionen sind im Grenzzustand der Tragfähigkeit (außer in der außergewöhnlichen Bemessungs-situtation) zu berücksichtigen. Bei der Schnittgrößenermittlung am Tragwerk als Ganzes dürfen die Aus-wirkungen der Imperfektionen über eine Schiefstellung des Tragwerks um den Winkel αa1 erfasst werden:

αa1 = 1/(100 · )l ≤ 1/200 (im Bogenmaß) (37.1)

mit l als Gesamthöhe hges des Tragwerks in Metern.Beim Zusammenwirken von n lotrechten Baugliedern darf αa1 mit dem Faktor αn 1) abgemindert werden:

αn = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

n115,0

Alternativ zu der Schiefstellung nach Gl. (37.1) dürfen die Abweichungen von der Vertikalen durch dieWirkung äquivalenter Horizontalkräfte ersetzt werden (s. Abb.; es sind die beiden Alternativen – Schief-stellung oder Ersatzhorizontalkräfte – gleichzeitig dargestellt):

nΔHj = Σ Vji · αa1 (37.2)

i=1

αn -Werte n 1 2 3 4 5 10 → ∞αn 1 0,87 0,82 0,79 0,77 0,74 0,71

BeispielTragwerk nach Abb. mit Bemessungslasten bzw. -kräftenLotrecht aussteifendes Bauteil

Schiefstellung: αa1 = 1 / (100 · 10 ) = 1/ 316Abminderung: an = )3/11(5,0 +⋅ = 0,82 2)

Ersatzhorizontalkräfte:ΔHc = ( 800+1500+1000) · 0,82 / 316 = 8,6 kNΔHb = (1600+3000+2000) · 0,82 / 316 = 17,1 kNΔHa = (1600+3000+2000) · 0,82 / 316 = 17,1 kN

Waagerecht aussteifendes Bauteil (z. B. Decke a):Schiefstellung: αa2,k=1 = 0,008 / 12 ⋅ = 0,0056

αa2,k=2 = 0,008 / 22 ⋅ = 0,0040Ersatzhorizontalkräfte:

Ha2 = (2400+4000) · 0,0056 = 36,2 kNHa1 = (2400+4000+4500+7500) · 0,0040 = 73,6 kN

Waagerecht aussteifende BauteileWaagerechte Bauteile, die Stabilisierungskräfte von den auszusteifenden Bauteilen zu den aussteifendenBauteilen übertragen, sind für die Aufnahme einer zusätzlichen Horizontalkraft zu bemessen:

Hfd = (Nbc + Nba) · αa2 (37.3)mit αa2 = 0,008 / k2 und k als Anzahl der auszusteifenden Tragwerksteile imbetrachteten Geschoss (αa2 im Bogenmaß); s. a. [5.37]. Die ErsatzhorizontalkräfteHfd sind als eigenständige Einwirkungen zu betrachten und dürfen nicht zusätzlichdurch Kombinationsfaktoren abgemindert werden, da diese bereits in denvertikalen Längskräften enthalten sind. (Hfd braucht nicht für die Bemessung dervertikalen aussteifenden Bauteile berücksichtigt zu werden.)

________1) Für den Abminderungswert αn dürfen nur die lotrechten Bauteile n berücksichtigt werden, die mindestens 70 %

einer mittleren Längskraft NEd,m = FEd / n aufnehmen (FEd Summe der Längskräfte im betrachteten Geschoss).2) Es dürfen alle 3 „Stützen“reihen berücksichtigt werden, da die in Fußnote 1) genannte Bedingung erfüllt ist.

Beispielsweise gilt für Ebene a: 0,7 · NEd,m = 0,7 · (2000 + 3000 + 1600) / 3 = 1540 kN < NEd,min = 1600 kN.Schn

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3.3 Räumliche Steifigkeit und Stabilität

3.3.1 GrundsätzlichesBauwerke müssen in der Lage sein, außer den vertikalen auch alle horizontalen oder geneigten Einwir-kungen aufzunehmen. Ist ein Bauwerk durch Raumfugen in Bauwerksabschnitte unterteilt, dann gilt die-ses für jeden Abschnitt. Hochbauten werden häufig durch eine genügende Anzahl von vertikalen Aus-steifungselementen – Wände, Treppenhauskerne u. Ä. – und durch Decken mit Scheibenwirkung – hori-zontale Aussteifungselemente – ausgesteift.Entsprechend den Bewegungsmöglichkeiten eines Bauwerks wird zwischen Verschiebungen in Richtungder Gebäudehauptachsen y und z (Translation) und Verdrehungen (Rotation) unterschieden. Um die Ver-drehungen klein zu halten, sollten die vertikal aussteifenden Bauteile über dem Grundriss annäherndsymmetrisch verteilt sein.Offensichtlich ausreichend ausgesteifte Tragwerke dürfen als unverschieblich gehalten angesehen wer-den. In Zweifelsfällen dient der Aussteifungsbeurteilung von Bauwerken mit aussteifenden Bauteilen diein DIN 1045-1, 8.6.2 angegebene Labilitätszahl. Aussteifende Bauteile müssen alle Horizontallasten auf-nehmen und in die Fundamente weiterleiten können.Vertikale Aussteifungselemente sollten einen möglichst großen Abstand zum Gesamtschubmittelpunkthaben, um die Verdrehung des Bauwerks klein zu halten. Im Zweifelsfalle kann die Verdrehungs-steifigkeit mit Hilfe von DIN 1045-1, Abschn. 8.6.2 (s. a. Brandt [5.14]) beurteilt werden.

3.3.2 Unverschieblichkeit von TragwerkenDie Beurteilung, ob ein Tragwerk oder ein Tragwerksteil als unverschieblich anzusehen ist, kann mitDIN 1045-1 erfolgen. Im Einzelnen müssen ggf. folgende Kriterien überprüft werden: ••••• Translationssteifigkeit von Tragwerken mit aussteifenden Bauteilen ••••• Rotationssteifigkeit von Tragwerken (mit aussteifenden Bauteilen).

Translationssteifigkeit von Tragwerken mit aussteifenden Bauteilen

Tragwerke dürfen als unverschieblich betrachtet werden, wenn die aussteifenden Bauteile die nachfolgendenBedingungen erfüllen (die sog. Labilitätszahl muss für jede der beiden Gebäudehauptachsen y und z er-füllt sein).

(38)

Es sind (s. a. nebenstehende Abb.):hges Gesamthöhe des Tragwerkes über OK Funda-

ment bzw. Einspannebenem Anzahl der GeschosseFEd Summe aller Vertikallasten FEd,nj im Gebrauchs-

zustand (d. h. γF = 1), die auf die aussteifendenund auf die nicht aussteifenden Bauteile wirken

Ecm·Ic Summe der Nennbiegesteifigkeiten (Zustand I)aller vertikalen aussteifenden Bauteile, die in derbetrachteten Richtung wirken. In den aussteifen-den Bauteilen sollte die Betonzugspannung unterder maßgebenden Lastkombination des Ge-brauchszustandes den Wert fctm nicht überschrei-ten (Ecm und fctm s. S. 5.32).Wenn die Steifigkeit der aussteifenden Bauteilesich über die Höhe ändert, sollte eine Ersatz-steifigkeit eingeführt werden; sie kann aus derBedingung ermittelt werden, dass sie die gleichemaximale Horizontalverschiebung ergibt wie dergenaue Steifigkeitsverlauf (s. S. 5.39).

Bei aussteifenden Wänden aus Mauerwerk sind die maßgebenden E-Moduln von Mauerwerk nachDIN 1053, bei Wänden nach DIN 1045 (alt) die E-Moduln für Beton nach DIN 1045 anzusetzen.

4für 601

3für )1020(1

1

Ed

ccm

ges ≥≥

≤+≥⋅⋅

m,

mm,,F

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, 20

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l.


Mittlere Biegesteifigkeit (Ecm· Ic )m von Wandscheiben mit veränderlichem (Ecm· Ic )

1 ⌠ Ec · Ic —f = ——— · ⎮——— · M M dh

Ec · Ic ⌡ E · I

w · H 4f* = ————— 8 · (E · I)m

aus f = f* folgt

w · H 4(E · I)m = ———

8 · f

Beispiel

Für das dargestellte System mit abschnitts-weise konstantem (E I )i ist die mittlere Bie-gesteifigkeit (E I )m zu ermitteln.

I1 = 0,54 m4; I2 = 0,82 m4; I3 = 0,45 m4

h1 = 8,25 m; h2 = 2,75 m; h3 = 5,50 m

w = 1 kN/m; H = 16,5 m; E = const

gewählt: Ic = I1 = 0,54 m4

E · Ic · f = 8,252 · 34,0 / 4 + (0,54 / 0,82) · (2,75 / 6) · [34,0 · 8,25 + 2 · 46,32 · (8,25 + 11,0) + 60,5 · 11,0] +(0,54 / 0,45) · (5,50 / 6) · [60,5 · 11,0 + 2 · 94,5 · (11,0 + 16,5) + 136,1 · 16,5] = 10 322 kNm3

→ f = 10 322 / (0,54 · E) = 19 115 / EE · Im = 1 · 16,54 / (8 · 19115 / E) = 0,4847 · E → Im ≈ 0,48 m4

Unverschieblichkeit von nicht ausgesteiften Tragwerken oder Bauteilen

Es ist zu unterscheiden nach ausgesteiften oder nicht ausgesteiften Tragwerken (je nach Vorhandenseinvon aussteifenden Bauteilen; s. vorher) und nach unverschieblichen oder verschieblichen Tragwerken (jenachdem, ob die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden müssen).Nicht ausgesteifte Bauteile gelten alsunverschieblich, wenn die Auswirkungenvon Bauteilverformungen die Tragfähig-keit um weniger als 10 % verringern. EineAbschätzung dieses Sachverhalts kannmit DIN 1045-1, 8.6.3 erfolgen, wonachEinzelbauteile als unverschieb-lich gelten,wenn die Grenzschlankheit λmax nichtüberschritten wird:

⎧ 16 / Edν für |νEd| < 0,41λmax = ⎨

⎩ 25 für |νEd| ≥ 0,41 NEdmit νEd = ––––– Ac · fcd

Die Grenzschlankheiten λmax sind in ne-benstehender Grafik dargestellt.

(In EC 2 ist diese Bedingung ebenfalls enthalten. Außerdem sieht EC 2 die Regelungen zur Grenz-schlankheit λmax für nicht ausgesteifte Rahmentragwerke vor, wenn die genannte Grenzschlankheit füralle Einzelstützen des Rahmens erfüllt sind, die von einer mittleren Längskraft NEd,m = FEd / n mindes-tens 70 % aufnehmen.)

f-Werte für einfeldri-ge, regelmäßig geglie-derte Scheiben s. z. B.[ 5.13]

(Materialbezogene In-dizes nicht mitge-schrieben; Ec · Ic stehtfür Vergleichssteifig-keit.)

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Auf

l.


Rotationssteifigkeit von Tragwerken mit aussteifenden Bauteilen

Die Beurteilung der Rotationssteifigkeit erfolgt mit DIN 1045-1, Abschn. 8.6.2*)

(40)

Es sind:m Anzahl der GeschosseFEd,j Vertikallast aller stützenden

Bauteile j [5.26] im Ge-brauchszustand (d. h. γF = 1)

rj Abstand der Stütze j vomSchubmittelpunkt M desGesamtsystems

hges Gesamthöhe des Tragwerksüber Einspannebene derlotrechten aussteifen-denBauteile in m

Ecm· Iω Summe der Nennwölb-steifigkeiten aller gegenVerdrehung aussteifendenBauteileEcm· Iω = Σ (Ei · Iy,i · y2

Mmi + Ei · Iz,i · z2Mmi + Ei · Iωi − 2 · Ei · Iyz,i · yMmi · zMmi)**)

Iy,i ; Iz,i Flächenmoment 2. Grades des aussteifenden Bauteils iIyz,i Flächenzentrifugalmoment des aussteifenden Bauteils iIω,i Wölbflächenmoment 2. Grades des aussteifenden Bauteils iyMmi; zMmi Abstände zwischen M und mi

M Schubmittelpunkt (y0; z0) der zu einem Gesamtstab zusammengefassten lotrech-ten aussteifenden Bauteile i im Zustand I nach der Elastizitätstheorie (s. unten)

mi Schubmittelpunkt des aussteifenden Bauteils iGcm Schubmodul in MN/m2; Gcm = Ecm / [2 · (1+μ)]

μ = 0 → Ecm /Gcm = 2; μ = 0,2 → Ecm /Gcm = 2,4IT St. Venant’sches Torsionsflächenmoment; s. Kapitel 4, Statik

Koordinaten des Schubmittelpunktes M bei gleich hohen Aussteifungselementen**)

(ΣEIy,i · yi − ΣEIyz,i · zi ) · ΣEIz,i − (ΣEIyz,i · yi − ΣEIz,i · zi ) · ΣEIyz,iy0 = ———————————————————————————ΣEIy,i · ΣEIz,i − (ΣEIyz,i )2

allgemein (ΣEIy,i · yi − ΣEIyz,i · zi ) · ΣEIyz,i − (ΣEIyz,i · yi − ΣEIz,i · zi ) · ΣEIy,iz0 = ———————————————————————————

ΣEIy,i · ΣEIz,i − (ΣEIyz,i )2

y0 = (ΣIy,i · yi ) / (ΣIy,i )z0 = (ΣIz,i · zi ) / (ΣIz,i )

|| für E = const|

4für 601

3für )1020(1

2,28

1 + 12

jjEd,

Tcm2

jjEd,

cm

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≥≥

≤+≥

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

∑∑ω

m,

mm,,rF

IG

rF

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________*) Wenn eine große Anzahl von Vertikallasten FEd,j der Stützen nach Lage und Größe gleichmäßig über den Grundriss

verteilt sind, erhält man für Gebäude mit rechteckigem Grundriss (s. hierzu auch Brandt [5.14]):

mit FEd Summe aller Vertikallasten FEd,jd Grundrissdiagonale in m (d2 = L2 + B2; s. Skizze oben)c Abstand zwischen Schubmittelpunkt M und Grundrissmittelpunkt GrMp (s. Abb. oben)

4für 601

3für )1020(1

)12(2,28

1 + )12(

122

Ed

Tcm22

Ed

cm

ges ≥≥

≤+≥

+⋅

⋅⋅

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⋅⋅ ω

m,

mm,,c/dF

IG

c/dF

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ΣEIyz,i = 0 undΣ (EIyz,i · zi ) = 0,Σ (EIyz,i · yi ) = 0

**) Gleichungen vereinfachend ohne materialbezogene Indizes „c“ bzw. „cm“. Schn

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BeispielFür das dargestellte Aussteifungssystem (s. a. S. 5.40) ist der Nachweis der Unverschieblichkeit zu erbringen.(Die Aussteifungselemente sind so angeordnet, dass der Rechengang umfassend gezeigt werden kann. Die Lage stellt keine„optimierte“ Lösung dar ; so wird z. B. ein empfohlener Dehnfugenabstand von 30 m überschritten, so dass Zwängungenggf. nicht mehr vernachlässigt werden können. Zur Lage von aussteifenden Wände s. z. B. [5.13], [5.43].)

a) Labilitätszahlen für Translation**)

Translation in z-Richtung (Biegung um y) ———————√ (E · Iy) / FEd / htot

FEd = 8 · 11,4 · 10–3 · 40,0 · 10,0 = 36,48 MNIy = 54,18 m4 (s. Tabelle unten) ——————————————

√ (29 000 · 54,18) / 36,48 / 24,0 = 8,6 > 1 / 0,6⇒ Unverschieblichkeit in z-Richtung gegeben.

b) Labilitätszahl αT für Torsion um die xM-Achse**)

Berechnung des Schubmittelpunkts M ( M*) des GesamtstabesBauteil Iy,i Iz,i Iyz,i yi

1) zi1) Iy,i · yi Iz,i · zi Iyz,i · yi Iyz,i · zi

i m4 m4 m4 m m m5 m5 m5 m5

1 49,00 1,03 0 −0,34 5,00 −16,66 5,15 0 02 3,58 3,58 −2,13 7,85 9,85 28,10 35,26 −16,72 −20,983 1,60 ≈ 0 0 39,85 8,00 63,76 0 0 04 ≈ 0 1,60 0 38,00 0,15 0 0,24 0 0Σ 54,18 6,21 −2,13 75,20 40,65 −16,72 −20,98

1) Koordinaten des Schubmittelpunktes des Einzelbauteils i.

Schubmittelpunktkoordinaten für My0 = {(75,20 + 20,98) · 6,21 − [(−16,72) − 40,65] · (−2,13)} / [54,18 · 6,21 − (−2,13)2] = 1,43 mz0 = {(75,20 + 20,98) · (−2,13) − [(−16,72) − 40,65] · 54,18} / [54,18 · 6,21 − (−2,13)2] = 8,75 m

Schubmittelpunktkoordinaten für M* bei Vernachlässigung von Iyz,iy0

* = 75,20/54,18 = 1,39 m; z0* = 40,65/6,21 = 6,55 m

Berechnung der Labilitätszahl für Torsion um die xM -Achse 2)

Bauteil Iy,i Iz,i yMmi zMmi Iy,i · yMmi Iz,i · zMmi Iy,i · y2Mmi Iz,i · z2

Mmi IT,i

i m4 m4 m m m5 m5 m6 m6 m4

1 49,00 1,03 −1,77 −3,75 −86,73 −3,86 153,51 14,48 0,122 3,58 3,58 6,42 1,10 22,98 3,94 147,55 4,33 0,073 1,60 ≈ 0 38,42 −0,75 61,47 0 2361,75 0 0,034 ≈ 0 1,60 36,57 −8,60 0 −13,76 0 118,34 0,03Σ 54,18 6,21 – – – – 2662,81 137,15 0,25

2) Bei Vernachlässigung von Iyz,i und von Iω,i . Iω ≈ 2800 m6

Bei gleichmäßiger Verteilung von FEd,j erhält man mit d = 41,23 m und c = 18,94 m (s. Anm. S. 5.40)

⇒ Ausreichende Verdrehungssteifigkeit um die x-Achse gegeben.

Translation in y-Richtung (Biegung um z) ——————— √ (E · Iz ) / FEd / htot

FEd = 8 · 11,4 · 10–3 · 40,0 · 10,0 = 36,48 MNIz = 6,21 m4 (s. Tabelle unten) —————————————

√ (29 000 · 6,21) / 36,48 / 24,0 = 2,9 > 1 / 0,6 = 1,7⇒ Unverschieblichkeit in y-Richtung gegeben.

Gesamthöhe und An-zahl Geschossehges = 24 m, n = 8Beton

C30/37;Ecm ≈ 29 000 MN/m2

Deckenlasten(einschl. Unterzüge,Wände etc.)(gk+qk) = 11,4 kN/m2

71962180782)941812(41,234836

250)4229000(2,28

1 + )941812(41,234836

280029000024

12222 ,,,,

,/,,,/

,/,,>=+=

+⋅

⋅⋅

+⋅

⋅⋅

___________**) Gleichungen vereinfachend ohne materialbezogene Indizes „c“ bzw. „cm“.Sc

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0. A

ufl.


3.3.3 Lastaufteilung horizontaler Lasten auf gleich hohe aussteifende Bauteile

Statisch bestimmte Aussteifungssysteme

Die infolge von Horizontallasten z. B. aus Wind W auf die Scheiben entfallenden Kräfte werden alleinaus den Gleichgewichtsbedingungen (rechnerisch oder graphisch) bestimmt. Voraussetzungen [5.13]: – Drillsteifigkeiten der Einzelscheiben werden vernachlässigt. – Berücksichtigung der Biegesteifigkeiten der Einzelscheiben nur in der Hauptrichtung – Betrachtung der Decken als starre Scheiben.

Beispielea) Rechnerische Lastaufteilung

Die infolge W auf die Scheiben entfal-lenden Kräfte werden rechnerisch ausGleichgewichtsbedingungen bestimmt:

Lastfall Wz : H1,z = Wz · y2 / lH2,z = Wz · y1 / l

Lastfall Wy : H1,z = −Wy · z3 / lH2,z = −H1,z = Wy · z3 / lH3,y = Wy

b) Graphische Lastaufteilung

Die infolge W auf die Scheiben ent-fallenden Kräfte S werden graphisch(z. B. nach Culmann) ermittelt.

Statisch unbestimmte Aussteifungssysteme

Die nachfolgenden Gleichungen gelten ohne Berücksichtigung des Flächenzentrifugalmoments Iyz , derWölbsteifigkeiten Iω,i und der St. Venant´schen Torsionssteifigkeit der Einzelelemente sowie der Torsions-steifigkeit Gcm · IT des Gesamtstabes (nach [5.13] etwa bei hges · [IT /((Ecm/Gcm) · Iω)]0,5 ≤ 0,5 zulässig).

Lastanteile aus Translation (i = 1, 2 . . . n)**)

← nHy,i = (Hy,M · E · Iz,i ) / ( Σ E · Iz,i ) 1 ← nHz,i = (Hz,M · E · Iy,i ) / ( Σ E · Iy,i ) 1

Resultierende Lastanteile für Scheibe i (i = 1, 2 . . . n) ← ←

Hy,i = Hy,i + Hy,i ; Hz,i = Hz,i + Hz,i

Hierin sind (s. a. Bezeichnungen S. 5.40):Hy,M; Hz,M resultierende, auf den Schubmittelpunkt bezogene HorizontallastMx,M resultierendes, auf den Schubmittelpunkt bezogenes Torsionsmoment(Weitere Erläuterungen zur Lastaufteilung horizontaler Lasten bei statisch unbestimmten Systemens. nachfolgendes Beispiel.)

________1) Bei der Ermittlung von Hmax bzw. Hmin

einer jeden Scheibe ist eine mögliche Ex-zentrizität des Windangriffs von ±10 %der entsprechenden Gebäudeseitenlängezu berücksichtigen. Das erfordert eine Be-rechnung mehrerer Lastfälle. In den Bei-spielen wurde jeweils nur eine Last-stellung von W behandelt.

Lastanteil aus Rotation (i = 1, 2 . . . n)**)

nHy,i = −(Mx,M · E · Iz,i · zMmi ) / ( Σ E · Iω ) 1

nHz,i = +(Mx,M · E · Iy,i · yMmi ) / ( Σ E · Iω )

1

___________**) Gleichungen vereinfachend ohne materialbezogene Indizes „c“ bzw. „cm“.

1) 1)

1)

1)

1)

1)

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(Vorzeichen-regelung s.Skizze oben)

Beispiel **)

Für das dargestellte Aussteifungssystem (s. a. S. 5.41) sind die auf die Scheiben 1 bis 4 entfallendenLastanteile infolge Hy,M und Mx,M bzw. Hz,M und Mx,M gesucht.

Berechnung der Kennwerte für die Lastaufteilung 2)

Bauteil Iy,i Iz,i y*Mmi z*

Mmi Iy,i · y*

Mmi Iz,i · z*Mmi Iy,i · y*2

Mmi Iz,i · z*2Mmi

i m4 m4 m m m5 m5 m6 m6

1 49,00 1,03 −1,73 −1,55 −84,77 −1,60 146,65 2,472 3,58 3,58 6,46 3,30 23,13 11,81 149,40 38,993 1,60 ≈ 0 38,46 1,45 61,54 0 2366,67 04 ≈0 1,60 36,61 −6,40 0 −10,24 0 65,54Σ 54,18 6,21 ≈ 0 ≈ 0 Iω* ≈ 2770

2) Bei Vernachlässigung von Iyz,i und Iω,i; die Abstände y*Mmi und z*

Mmi sind auf M* bezogen.

a) Lastfall Hy = HyM* = 100 kN → Mx,M* = 100 · 1,55 = 155 kNm; Mx,M* / Iω* = 155 / 2770 = 0,056

Lastanteile y-Richtung z-Richtung infolge i = 1 2 3 4 infolge i = 1 2 3 4

Hy,i = 100 · Iz,i / 6,21 16,59 57,65 0 25,76 - - - - Hy,i = −0,056 · Iz,i · z*

Mmi 0,09 −0,66 0 0,57 Hz,i = +0,056 · Iy,i · y*Mmi −4,74 1,29 3,44 0

ΣHy,i 16,68 56,99 0 26,33 ΣHz,i −4,74 1,29 3,44 0

Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen:

ΣHy,i = 16,68 + 56,99 + 0 + 26,33 = 100 kN ≡ 100 kNΣHz,i = −4,74 + 1,29 + 3,44 + 0 = −0,01 kN ≈ 0 kNΣMx,M* = (−4,74) · (−1,73) + 1,29 · 6,46 + 3,44 · 38,46

−[16,68 · (−1,55)+56,99 · 3,30+26,33 · (−6,40)] = 155,1 kNm ≈ 155 kNm

b) Lastfall Hz = HzM* = 100 kN → Mx,M* = 100 · 18,61 = 1861 kNm; Mx,M* / Iω* = 1861 / 2770 = 0,672

Lastanteile y-Richtung z-Richtung infolge i = 1 2 3 4 infolge i = 1 2 3 4

- - - - Hz,i = 100 · Iy,i / 54,18 90,44 6,61 2,95 0 Hy,i = −0,672 · Iz,i · z*

Mmi 1,07 −7,95 0 6,88 Hz,i = 0,672 · Iy,i · y*Mmi −56,9015,54 41,36 0

ΣHy,i 1,07 −7,95 0 6,88 ΣHz,i 33,54 22,15 44,31 0

Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen:ΣHy,i = 1,07 − 7,95 + 0 + 6,88 = 0 kN ≡ 0 kNΣHz,i = 33,54 + 22,15 + 44,31 + 0 = 100 kN ≡ 100 kNΣMx,M*= 33,54 · (−1,73) + 22,15 · 6,46 + 44,31 · 38,46

−[1,07 · (−1,55)+(−7,95) · 3,30+6,88 · (−6,40)] = 1861,2 kNm ≈ 1861 kNm___________**) Gleichungen vereinfachend ohne materialbezogene Indizes „c“ bzw. „cm“.

______________

1) Siehe Anmerkung S. 5.42

1)

1)

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3.4 Tragwerksidealisierung3.4.1 Definition, Vereinfachungen

Tragelemente und Bauteile werden nach ihrer Eigenschaft und Funktion unterteilt und gelten als– Balken, Platte bei l / h ≥ 2 l, lmin Stützweite, kürzere Stützweite– Scheibe, wandartiger Träger bei l / h < 2 h Bauhöhe– Platte bei b / h ≥ 4 b Querschnittsbreite– Balken bei b / h < 4 h Bauhöhe– Stützen b / h ≤ 4 b, h Querschnittsseiten (b ≥ h)– Wände b / h > 4– Einachsig gespannte Platten dürfen bei gleichmäßig verteilten Lasten unterstellt werden

• bei zwei freien ungelagerten, gegenüber liegenden und parallelen Rändern oder• bei einem Verhältnis der größeren Stützweite zur kleineren lmax / lmin ≥ 2.

– Rippen- und Kassettendecken dürfenbei einer linear-elastischen Schnitt-größenermittlung als Vollplatten be-trachtet werden, falls die nebenste-henden Bedingungen erfüllt sind.

3.4.2 Mitwirkende PlattenbreiteDie mitwirkende Breite beff darf für Biegebeanspruchunginfolge annähernd gleichmäßig verteilter Einwirkungen fürdie Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit undder Gebrauchstauglichkeit nach DIN 1045-1, 7.3.1 (s. jedochauch [5.22], [5.31]) angenommen werden zu:

beff = bw + Σ beff,i mit beff,i = 0,2 · bi + 0,1 · l0 ≤ 0,2 · l0

≤ bi

Der Abstand der Momentennullpunkte l0 darf beietwa gleichen Steifigkeitsverhältnissen wie ne-benstehend dargestellt abgeschätzt werden.Bei durchlaufenden Plattenbalken unter überwiegender Gleichlast ist es für die Schnittgrößenermittlungim Allg. ausreichend, die mitwirkende Breite konstant über die Feldlänge anzusetzen [5.26].

s ≤ 150 cm⎧≥ sn /10

hf ⎨⎩≥ 5 cm

hw ≤ 4 bmsq ≤ 10 h0

d) freie Kragträger e) Kragarm eines Durchlaufträgers f) Anordnung eines Lagers

3.4.3 StützweiteDie Stützweite wird wie folgt berechnet (DIN 1045-1, 7.3.1):

leff = ln + a1 + a2

(DIN 1045-1 enthält nur die nachfolgenden Fälle a) und b); die weiteren Angaben stammen aus EC 2.)

a) nicht durchlaufende Bauteile b) durchlaufende Bauteile c) Auflager mit voller Einspannung

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3.5 Berechnungsverfahren

3.5.1 Verfahren zur SchnittgrößenermittlungFür die Schnittgrößenermittlung sind folgende Verfahren zulässig im Grenzzustand derGebrauchstauglichkeit – linear-elastische Verfahren

(Eine Rissbildung muss berücksichtigt werden bei deutlich ungünstigem Ein-fluss, sie darf berücksichtigt werden bei günstigem Einfluss unter Berück-sichtigung der Verträglichkeit.)

Tragfähigkeit – linear-elastische Schnittgrößenermittlung ohne Umlagerung– linear-elastische Schnittgrößenermittlung mit begrenzter Umlagerung– plastische Schnittgrößenermittlung– nichtlineare Schnittgrößenermittlung.

3.5.2 Vereinfachungen

Bei nicht vorgespannten Durchlaufträgern und -platten des üblichen Hochbaus brauchen Bemessungs-situationen mit günstigen ständigen Einwirkungen (γG = 1,0) nicht berücksichtigt zu werden, wenn diekonstruktiven Regeln für die Mindestbewehrung eingehalten werden. (Für den Nachweis der Lage-sicherheit gilt jedoch S. 5.27 bzw. Tafel 5.29a.)Durchlaufende Platten und Balken werden i. Allg. unter der Annahme frei drehbarer Lagerung berechnet.Stützkräfte von einachsig gespannten Platten, Rippendecken und (Platten-)Balken dürfen ohne Berück-sichtigung einer Durchlaufwirkung ermittelt werden; sie muss jedoch bei der ersten Innenstütze stets,bei den übrigen Innenstützen dann berücksichtigt werden, wenn die Spannweiten der angrenzenden Fel-der außerhalb des Bereichs 0,5 < l1 / l2 < 2,0 liegen.Querkräfte dürfen bei Tragwerken des üblichen Hochbaus für eine Vollbelastung aller Felder ermitteltwerden, wenn das Stützweitenverhältnis benachbarter Felder bei annähernd gleicher Steifigkeit zwischen0,5 < l1 / l2 < 2,0 liegt.Die Querdehnzahl ν darf gleich 0 gesetzt werden.

Bei frei drehbarer Lagerung darf das Stützmoment über dieBreite der Unterstützung ausgerundet werden; das Bemessungs-moment ergibt sich zu

| M 'Ed | = | MEd | − | CEd | · a / 8

CEd Bemessungswert der Auflagerreaktiona Auflagerbreite

Bei monolithischem Anschluss einer Platte oder eines Balkensdarf nach DIN 1045-1, 7.3.2 als Bemessungsmoment das am Randder Unterstützung zugrunde gelegt werden1); dabei muss dasstützende Bauteil eine Vergrößerung der statischen Nutzhöhevon mind. 1:3 zulassen. Mindestmomente sind zu beachten (s. u.).Als Bemessungsmoment erhält man

| MI | = | MEd | − | VEd,li | · a/2| MII | = | MEd | − | VEd,re | · a/2

VEd,li Bemessungsquerkraft links von der UnterstützungVEd,re Bemessungsquerkraft rechts von der Unterstützung

Zur Berücksichtigung von Idealisierungen und unbeabsichtigten Abweichungen ist als Mindestbemes-sungsmoment min | MEd | am Auflagerrand mindestens 65 % des Moments bei Annahme einer vollenRandeinspannung zu berücksichtigen. Für eine gleichmäßig verteilte, konstante Streckenlast erhält man

min | MEd | ≈ (1/12) · Fd · ln2an der ersten Innenstütze im Randfeld (einseitige Einspannung)min | MEd | ≈ (1/18) · Fd · ln2an den übrigen Innenstützen in Innenfeldern (beidseitige Einspannung)

mit Fd als gleichmäßig verteilter Bemessungslast und ln als lichter Weite zwischen den Auflagern.___________1) In [5.36] wird ausgeführt, dass eine Bemessung für das Mittenmoment unter Berücksichtigung einer Momenten-

ausrundung und Nutzhöhenvergrößerung unter 1:3 im Bereich der Unterstützung in vielen Fällen als nicht aus-reichend anzusehen ist. Lediglich bei sehr kleinen Schlankheiten (etwa ab l / d ≤ 10) kann das Mittenmomentmaßgebend werden. Weitere Hinweise s. a. [5.85].Sc

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3.5.3 Lineare Berechnung ohne oder mit begrenzter UmlagerungDie linear-elastisch ermittelten Momente dürfen unter Einhaltung der Gleichgewichtsbedingungen (Min-destmomente nach Abschn. 3.5.2 sind zu beachten!) umgelagert werden. Eine Umlagerung darf jedochnicht vorgenommen werden, falls das Rotationsvermögen nicht mit Sicherheit vorausgesetzt werden kann(z. B. bei verschieblichen Rahmen, in den Ecken vorgespannter Rahmen, bei großer Zwangbeanspruchung).Für Durchlaufträger (in Querrichtung kontinuierlich gestützte Platten, Balken, Riegel in unverschieblichenRahmen und andere überwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile) mit einem Stützweitenverhältnis derbenachbarten Felder 0,5 < l1 / l2 < 2,0 darf der Umlagerungsfaktor δ (= Mmit Uml. / Mohne Uml.) betragen:– Betonfestigkeitsklassen C ≤ C50/601): δ ≥ 0,64 + 0,80 · xd /d (46.1)– Duktilität des Stahls hochduktil : δ ≥ 0,70 (46.2a)

normalduktil : δ ≥ 0,85 (46.2b)mit xd / d als Verhältnis der Druckzonenhöhe x zur Nutzhöhe d nach Umlagerung. Für die Eckknotenunverschieblicher Rahmen ist die Umlagerung auf δ = 0,9 zu begrenzen.Eine Umlagerung ist damit für Beton bis C50/601) nicht zulässig (d. h. δ = 1), wenn das Verhältnis xd/dden Wert 0,45 erreicht. Dieser Wert ist generell einzuhalten, wenn keine geeigneten konstruktivenMaßnahmen (z. B. enge Verbügelung, sieheDIN 1045-1, 13.1.1(5)) getroffen werden.Die Einhaltung der Bedingungen nach Gln.(46.1) und (46.2) erfordert im Regelfall eineIteration, da der Faktor δ mit der bezogenenDruckzonenhöhe xd/d nach Umlagerung zuermitteln ist. In nebenstehendem Diagrammist diese Iteration bereits durchgeführt, sodassmit dem auf die Bewehrung bezogenen Mo-ment MEds vor Umlagerung der zulässigeAnwendungsbereich von δ direkt abgelesenwerden kann. Für den Beton wurde das Para-bel-Rechteck-Diagramm der Querschnitts-bemessung (s. Abschn. 2.2.1) berücksichtigt.

BeispielFür einen Zweifeldträger mit den Querschnittsabmessungen b/h/d = 30/70/65 cm soll das Stützmomentunter Ausnutzung der maximal zulässigen Umlagerung bestimmt werden.Bemessungslasten: gd = γG · gk = 1,35 · 20 = 27 kN/m

qd = γQ · qk = 1,50 · 36 = 54 kN/mBaustoffe: Beton C30/37; Stahl BSt 500 S(B) (hochduktil)

lineare BerechnungMEd,b= −0,125 · (27 + 54) · 7,502

= −570 kNm (qd im Feld 1 u. 2)max MEd,1 ≈ (0,070 · 27 + 0,096 · 54) · 7,502

= 398 kNm (qd im Feld 1)zug MEd,b = −(0,125 · 27 + 0,063 · 54) · 7,502

= −381 kNm (qd im Feld 1)

lineare Berechnung mit begrenzter UmlagerungμEds = 0,570 / [0,30 · 0,652 · (0,85 · 30/1,5)] = 0,265⇒ zul δ = 0,92 („Beton“ wird maßgebend)MEd,b; δ = 0,92 = 0,92 · (−570) = −−−−−524 kNm < −381 kNm

Das Stützmoment | MEd| = 524 kNm nach Umlagerung in der Lastfallkombination „Volllast“ (gd und qdin beiden Feldern) ist noch größer als das zugehörige Stützmoment | MEd| = 381 kNm in der Lastfall-kombination „einseitige Verkehrslast“ (gd in beiden Feldern, qd nur im Feld 1). Für die Bemessung ander Stütze bleibt daher der Lastfall „Volllast“ maßgebend, ebenso gilt für das maximale Feldmoment un-verändert max MEd = 398 kNm.Kontrollen: Faktor δ mit Gl. (46.1): μEds = 0,524 / (0,3 · 0,652 · (0,85 · 30 / 1,5)) = 0,243

⇒ x / d = 0,35 (Tafel 2a, S. 5.134); zul δ = 0,64 + 0,80 · 0,35 = 0,92_________1) Für Hochfesten Beton (ab C55/67) und für Leichtbeton gelten verschärfte Bedingungen; s. DIN 1045-1, 8.3(3).

Stahlbeton-Rechteckquerschnitt ohneDruckbewehrungNormalbeton bis C50/60

0,08·M

0,92·M

570524

398

337

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Biegemomente in rahmenartigen Tragwerken

In ausreichend ausgesteiften Hochbauten können bei Innenstützen die Biegemomente aus Rahmen-wirkung infolge von lotrechter Belastung vernachlässigt werden. Randstützen müssen für Eckmomentebemessen werden. Diese können näherungsweise nach DAfStb-H. 240, Abschn. 1.6 [5.15] bestimmtwerden. In einer DIN 1045-1 angepassten Schreibweise erhält man im Grenzzustand der Tragfähigkeitfür eine Belastung aus Eigenlast gk und veränderlicher Last qk nachstehend angegebene Randmomente.

Näherungsweise Ermittlung der Momente in rahmenartigen Tragwerken

co + cu ⎛ γQ · qk ⎞Mb = ———————— · 3 + ——————— · M b(0)

3 · (co + cu) + 2,5 ⎝ γG · gk + γQ · qk ⎠

− co ⎛ γQ · qk ⎞Mcol,o = ———————— · 3 + ——————— · M b(0)

3 · (co + cu) + 2,5 ⎝ γG · gk + γQ · qk ⎠

cu ⎛ γQ · qk ⎞Mcol,u = ———————— · 3 + ——————— · M b(0)

3 · (co + cu) + 2,5 ⎝ γG · gk + γQ · qk ⎠

Es sind:Mb

(0) Stützmoment des Endfeldes für einebeidseitige Volleinspannung unterVolllast (γG · gk + γQ · qk)

Mb Stützmoment des Riegels am Endauf-lager

Mcol,o/u Einspannmoment des oberen (o) / un-teren (u) Rahmenstiels am Riegelan-schnitt

Ib Flächenmoment 2. Grades des Rah-menriegels 1 )

co/u Steifigkeitsbeiwert der oberen (o) /unteren (u) Stütze

Icol,o/u Flächenmoment 2. Grades der oberen(o) / unteren (u) Randstütze

1 ) Bei Rahmenriegeln als Plattenbalken ist dasFlächenmoment unter Berücksichtigung dermitwirkenden Plattenbreite zu bestimmen.

Die Genauigkeit des co-cu-Verfahrens nimmt ab, sofern sich die Riegelstützweiten sehr stark unterscheiden. Umdie Ungenauigkeit des Verfahrens zu kompensieren, kann auf eine Verringerung des Feldmomentes verzichtetwerden (Randmoment Mb in Kombination mit Linie 2 in der Darstellung oben); s. a. [5.16], [5.54].Das Näherungsverfahren darf auch auf die Verbindung von Stahlbetonwänden mit Stahlbetonplatten angewandtwerden. Die Verwendung der Formeln ist außerdem – bei entsprechender Angleichung des Momentenverlaufs inden Stielen – auch bei gelenkiger Lagerung der abliegenden Stützenenden erlaubt. Auf eine Verminderung derStielsteifigkeit, z. B. auf 0,75 · Icol , darf in diesem Falle verzichtet werden.

BeispielEckmomente eines unverschieblichen Rahmentragwerks mit gegebenen Querschnittswerten und BelastungSteifigkeiten: Ib = 128 dm4 ; Icol,o = 6,8 dm4 ; Icol,u = 12,5 dm4 ⎫ co = (6,8/35)/ (128/60) = 0,091

⎬ leff = 6 m = 60 dm; lcol,o = lcol,u = 3,5 m = 35 dm ⎭ cu = (12,5/35)/(128/60) = 0,167

Belastung: (γG · gk + γQ · qk) = 30 kN/m; γQ · qk = 12 kN/mVolleinspannung : Mb

(0) = − 30 · 6,02 / 12 = −90 kNmHilfswerte: 3 (co + cu ) + 2,5 = 3,274; [3 + γQ · qk / (γG · gk + γQ · qk)] · M b

(0) = − 306 kNmEckmomente: Mb = (0,091+0,167) · (−306) / 3,274 = − 24,11 kNm

Mcol,o = − 0,091 · (−306) / 3,274 = +8,51 kNmMcol,o = 0,167 · (−306) / 3,274 = − 15,61 kNm

Icol,o leffco = —— · —— Ib lcol,o

Icol,u leffcu = —— · —— Ib lcol,u

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3.5.4 Schnittgrößenermittlung bei Platten3.5.4.1 Einachsig gespannte PlattenFür einachsig gespannte Platten unter Gleichflächenlast gilt Abschn. 3.5.3. Die Tragwirkung einachsiggespannter Platten unter Punkt-, Linien- und Rechtecklasten kann näherungsweise durch einen gedachtenPlattenstreifen mit in Querrichtung konstanter Beanspruchung, d. h. mit Hilfe der mitwirkenden Breitebeff als Stabwerk, erfasst werden. Die Breite beff kann mit nachstehender Tafel (s. DAfStb-H. 240 [5.15])ermittelt werden, wobei größere Breiten als die vorhandenen nicht berücksichtigt werden dürfen (s. u.).

Lastverteilungsbreite bei einachsig gespannten Platten unter Punkt-, Linien- und Rechtecklasten

1 2 3 4 Mitwirkende Breite Breite beff für

Stat. System (rechn. Lastverteilungs- Gültigkeitsgrenzen durchgehendeSchnittgröße breite) Linienlast (tx = l)

beff ty = 0,05·l ty = 0,10·l

⎛ x ⎞1 beff = ty + 2,5 · x · 1− − 0 < x < l ty ≤ 0,8 l tx ≤ l beff = 1,36 l⎝ l ⎠

2 beff = ty + 0,5 · x 0 < x < l ty ≤ 0,8 l tx ≤ l beff = 0,25l beff = 0,30l



5 beff = ty + 0,3 · x 0,2l < x < l ty ≤ 0,4 l tx ≤ 0,2l beff = 0,25l beff = 0,30l

6 beff = ty + 0,4 · (l−x) 0 < x < 0,8l ty ≤ 0,4 l tx ≤ 0,2l beff = 0,17l beff = 0,21l

⎛ x ⎞7 beff = ty + x · 1 − − 0 < x < l ty ≤ 0,8 l tx ≤ l beff = 0,86 l⎝ l ⎠

⎛ x ⎞8 beff = ty + 0,5 · x · 2 − − 0 < x < l ty ≤ 0,4 l tx ≤ l beff = 0,52 l⎝ l ⎠

9 beff = ty + 0,3 · x 0,2l < x < l ty ≤ 0,4 l tx ≤ 0,2l beff = 0,21l beff = 0,25l

10 beff = 0,2 lk + 1,5 · x 0 < x < lk ty < 0,2 lk tx ≤ lk beff = 1,35 lkbeff = ty + 1,5 · x 0 < x < lk 0,2lk ≤ ty ≤ 0,8 lk tx ≤ lk

11 beff = 0,2 lk + 0,3 · x 0,2lk < x < lk ty < 0,2 lk tx ≤ 0,2lk beff = 0,36lk beff = 0,43lkbeff = ty + 0,3 · x 0,2lk < x < lk 0,2lk ≤ ty ≤ 0,4 lk tx ≤ 0,2lk

Lasteintragungsbreite t :t = b0 + 2 · h1 + h

b0 Lastaufstandsbreiteh1 lastverteilende Deck-

schichth Plattendicke

Die Biegemomente m und die Querkräfte v je Meter Plattenbreite ergeben sich dann aus den „Balken“-schnittgrößen M und V (die Schnittgrößen aus den Gleichflächenlasten sind zusätzlich zu beachten):

m = M / beff ; v = V / beff

Konstruktiver Hinweis: Unter Einzellasten und Streckenlasten muss nach DIN 1045 (07.88) eine untereQuerbewehrung eingelegt werden, deren Querschnitt je Meter mindestens 60 % der durch diesen Lastan-teil bedingten Hauptbewehrung sein muss (Anordnung und Verteilung s. DIN 1045, Bild 47).

Beispiele für die rechnerische Verteilungsbreite beffa) Feldmoment b) Kragmoment c) Last in Randnähe

*) Die Breite beff darf nichtgrößer als die vorhan-dene angesetzt werden!

*)

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3.5.4.2 Schnittgrößenermittlung bei zweiachsig gespannten PlattenBei der Berechnung von zweiachsig gespannten Platten gelten die Grundsätze wie für Balken. Berechnungs-ansätze mit gleicher Steifigkeit in beiden Richtungen gelten nur, wenn die Längsbewehrung und die Quer-bewehrung in der Höhe max. 50 mm bzw. d /10 (größerer Wert maßgebend) auseinander liegen.Ein auf der linear-elastischen Theorie beruhendes Verfahren ist die Berechung nach Pieper/Martens [5.18].Vierseitig gestützte Platten – Berechnung nach Pieper/MartensBedingungen für die Anwendung: q ≤ 2 · (g + q) / 3 ; q ≤ 2 · g

Feldmomente (Sonderfälle s. S. 5.50)Fall 1: Platten mit voller Drilltragfähigkeit Fall 2: Platten ohne volle Drilltragfähigkeit mfx = (g+q) · lx2 / fx mfy = (g+q) · lx2 / fy mfx = (g+q) · lx2 / fx0 mfy = (g+q) · lx2 / fy0

Stützmomente ms0,x = − (g+q) · lx2 / sx ms0,y = − (g+q) · lx2 / sy

Bei unterschiedlichen Einspannmomenten von zusammenstoßenden Plattenrändern werden die Momentems0 wie folgt gemittelt (Kragmomente und Einspannmomente in sehr steife Bauteile sind nicht zu mitteln):

⎧ | 0,5 · (ms0,1 + ms0,2 ) |Stützweitenverhältnis l1 : l2 < 5 : 1 → ms ≥ ⎨⎩ 0,75 · max ( | ms0,1| ; | ms0,2| )Stützweitenverhältnis l1 : l2 > 5 : 1 → ms ≥ max ( | ms0,1| ; | ms0,2| )

Die so gemittelten Stützmomente gelten unmittelbar als Bemessungswerte (s. a. DAfStb-H.240, [5.15]).Stützungs- Bei- Stützweitenverhältnis ly / lx bzw. ly' / lx' ( lx bzw. lx' = lmin)

art wert 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 → ∞fx 27,2 22,4 19,1 16,8 15,0 13,7 12,7 11,9 11,3 10,8 10,4 8,0fy 27,2 27,9 29,1 30,9 32,8 34,7 36,1 37,3 38,5 39,4 40,3 *fx0 20,0 16,6 14,5 13,0 11,9 11,1 10,6 10,2 9,8 9,5 9,3 8,0fy0 20,0 20,7 22,1 24,0 26,2 28,3 30,2 31,9 33,4 34,7 35,9 *fx 32,8 26,3 22,0 18,9 16,7 15,0 13,7 12,8 12,0 11,4 10,9 8,0fy 29,1 29,2 29,8 30,6 31,8 33,5 34,8 36,1 37,3 38,4 39,5 *sy 11,9 10,9 10,1 9,6 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4 8,3 8,2 8,0fx0 26,4 21,4 18,2 15,9 14,3 13,0 12,1 11,5 10,9 10,4 10,1 8,0fy0 22,4 22,8 23,9 25,1 26,7 28,6 30,4 32,0 33,4 34,8 36,2 *fx 29,1 24,6 21,5 19,2 17,5 16,2 15,2 14,4 13,8 13,3 12,9 10,2fy 32,8 34,5 36,8 38,8 40,9 42,7 44,1 45,3 46,5 47,2 47,9 *sx 11,9 10,9 10,2 9,7 9,3 9,0 8,8 8,6 8,4 8,3 8,3 8,0fx0 22,4 19,2 17,2 15,7 14,7 13,9 13,2 12,7 12,3 12,0 11,8 10,2fy0 26,4 28,1 30,3 32,7 35,1 37,3 39,1 40,7 42,2 43,3 44,8 *fx 38,0 30,2 24,8 21,1 18,4 16,4 14,8 13,6 12,7 12,0 11,4 8,0fy 30,6 30,2 30,3 31,0 32,2 33,8 35,9 38,3 41,1 44,9 46,3 *sy 14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 9,5 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4 8,0fx 30,6 26,3 23,2 20,9 19,2 17,9 16,9 16,1 15,4 14,9 14,5 12,0fy 38,0 39,5 41,4 43,5 45,6 47,6 49,1 50,3 51,3 52,1 52,9 *sx 14,3 13,5 13,0 12,6 12,3 12,2 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0fx 33,2 27,3 23,3 20,6 18,5 16,9 15,8 14,9 14,2 13,6 13,1 10,2fy 33,2 34,1 35,5 37,7 39,9 41,9 43,5 44,9 46,2 47,2 48,3 *sx 14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 9,6 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4 8,0sy 14,3 13,6 13,1 12,8 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,2 12,2 11,2fx0 26,7 22,1 19,2 17,2 15,7 14,6 13,8 13,2 12,7 12,3 12,0 10,2fy0 26,7 27,6 29,2 31,4 33,8 36,2 38,1 39,8 41,4 42,8 44,2 *fx 33,6 28,2 24,4 21,8 19,8 18,3 17,2 16,3 15,6 15,0 14,6 12,0fy 37,3 38,7 40,4 42,7 45,1 47,5 49,5 51,4 53,3 55,1 58,9 *sx 16,2 14,8 13,9 13,2 12,7 12,5 12,3 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0sy 18,3 17,7 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5fx 37,3 30,3 25,3 22,0 19,5 17,7 16,4 15,4 14,6 13,9 13,4 10,2fy 33,6 34,1 35,1 37,3 39,8 43,1 46,6 52,3 55,5 60,5 66,1 *sx 18,3 15,4 13,5 12,2 11,2 10,6 10,1 9,7 9,4 9,0 8,9 8,0sy 16,2 14,8 13,9 13,3 13,0 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3 11,2fx 36,8 30,2 25,7 22,7 20,4 18,7 17,5 16,5 15,7 15,1 14,7 12,0fy 36,8 38,1 40,4 43,5 47,1 50,6 52,8 54,5 56,1 57,3 58,3 *sx 19,4 17,1 15,5 14,5 13,7 13,2 12,8 12,5 12,3 12,1 12,0 12,0sy 19,4 18,4 17,9 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

Den Tafelwerten liegt für die Feldmomente eine 50%ige, für die Stützmomente eine volle Einspannung zugrunde.Schn

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10 l x

1 / l x

3

5

4

3

2

1 10 lx2 / lx3

0 1 2 3 4 5 6 7

Momentenzahlen fx1für ly3 / lx3 = 0,5

ly3

10 l x

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1 10 lx2 / lx3

0 1 2 3 4 5 6 7



10 lx2 / lx3

0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

10 l x

1 / l x

3 Momentenzahlen fx1für ly3 / lx3 = ∞

10 lx2 / lx3

0 1 2 3 4 5 6 7

10 l x

1 / l x

3

Sonderfall: Kragarme oder angrenzende, einspannende SystemeKragarme können hinsichtlich der Stützungsart des angrenzenden Feldes dann als einspannend an-gesetzt werden, wenn das Kragmoment aus Eigenlast größer ist als das halbe Volleinspannmomentdes Feldes bei Belastung durch (g+q). Bei angrenzenden anderen einspannenden Systemen, z. B.dreiseitig gelagerten Platten, ist sinngemäß ebenso zu verfahren.

Sonderfall: Auf zwei kleine Felder folgt ein großes Feld.

Feldmomente

Feld 1 : Feld 2:Wenn fx1 < 10,2 , dann Bemessung für mfx2 = (g+q) · l 2x2 / 12 und/oder das positive Stützmoment zwischen und (s. unten)

Wenn fx1 > 10,2 bzw. ly3 / lx1 ≤ 2,0, kann die Tafel auf S. 5.49 verwendet werden.

Hinweise für die Anwendung der folgenden Tafeln:Eine Interpolation innerhalb einer Tafel und zwischen den Tafeln ist möglich. Im Allgemeinen genügt esjedoch, die Tafel zu verwenden, deren Seitenverhältnis im Feld dem vorhandenen am nächsten liegt,und, wenn die Tafel mit dem niedrigeren ly3 / lx3 gewählt wurde, etwas reichlicher zu bewehren.

Tafel 5.50a Tafel 5.50b

Tafel 5.50c Tafel 5.50d

Stützmoment zwischen und Aus dem ermittelten Feldmoment mfx1 lässt sich aus der Endauflagerkraft A der Platte das Stützmomentmb zwischen Platte und ermitteln. Das Moment mb ist meistens positiv und ist bei der Bemessungdes Feldes entsprechend zu berücksichtigen.

lx1 lx2 lx3

8

7

6

5

4

3

2

1

(g+q) · l 2x1mfx1 = ————— fx1

—————— (g+q) · l 2x1Mit A = √ 2 · (g+q) · mfx1 → mb = A · lx1 − ————— 2 Sc

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Beispiel – Momentenberechnung nach Pieper/MartensEs empfiehlt sich eine Rechnung mit– globalen Koordinaten (x / y ) für das gesamte Plattensystem– lokalen Koordinaten (x ' / y ' ) für das einzelne Plattenfeld.

Baustoffe: Beton C25/30; Betonstahl BSt 500 MBelastung: gk = 6,00 kN/m2 1)

qk = 1,50+1,25 = 2,75 kN/m2 (inkl. Trennwandzuschlag)qk = 3,50 kN/m2 (im Treppenhaus)

→ (gd+qd ) = 1,35 · 6,00 + 1,5 · 2,75 = 12,23 kN/m2

→ (gd+qd ) = 1,35 · 6,00 + 1,5 · 3,50 = 13,35 kN/m2

Momente in kNm/m

Platten- Stüt- lx ly ε = ly / lx fx fy sx sy Feldmomente StützmomenteNr. zung l 'y l 'x ε ' = l 'y / l 'x mfx mfy ms0x ms0y

2.1 3,60 6,00 1,67 13,1 35,7 - 8,6 12,10 4,44 - −18,431 - -2 b) 1,70 6,00 0,28 nach Hahn [5.19] −6,13c) 2,49c) −30,50 −39,11d)

4 4,80 6,00 1,25 21,95 36,6 11,1 12,95 12,83 7,70 −25,38 −21,753 - -4 1,60 4,80 3,00 7,9a) * 8,0 11,2 3,96 * −3,91 −2,804 - -

5.1 2,00 4,80 2,40 12a) * 12,0 17,5 4,09 * −4,09 −2,805 - -- -6 5.2 5,40 4,80 1,13 34,4 28,8 14,5 14,8 8,19 9,78 −19,44 −19,04

4 3,00 4,80 1,60 15,8 43,5 9,2 12,3 6,97 2,53 −11,97 −8,957 - - a) Gemäß Sonderfall S. 5.50: nach Tafel 5.50c für ly3 / lx3 = 4,80 / 5,40 = 0,9 → ≈ 1,0; für 10 · 1,60 / 5,40 = 2,96 und

10 · 2,0 / 5,40 = 3,70: Ablesung fx1 ≈ 7,9 ; wegen fx1 < 10,2 gilt fx2 = 12. b) Dreiseitig gelagerte Platte nach [5.19] – zwei anliegende Ränder eingespannt, ein Rand frei aufliegend; Lastfälle:

Gleichlast 13,35 kN/m2 und Randlast 13,35 · 1,90 / 2 = 12,68 kN/m. Das restliche Plattenfeld ist konstruktiv wiePos. 2 zu bewehren. Wird auch dieses Plattenfeld als dreiseitig gelagerte Platte mit zwei gegenüber liegendeneingespannten und einem frei aufliegenden Rand berechnet, kann der Lastfall „Randlast“ entfallen.

c) Der Bewehrung für positive Biegemomente in x-Richtung kann mfy als Mindestwert zugrunde gelegt werden. Iny-Richtung beträgt das Moment am freien Rand mry = 7,91 kNm/m.

d) Stützmoment am freien Rand. In Randmitte beträgt das Stützmoment msym = −11,20 kNm/m.

In obiger Tabelle sind mit der Plattennummer, der Stützungsart nach S. 5.49 und den beiden Spannweitendie Felder eindeutig beschrieben. Ob für das einzelne Feld das Verhältnis ε = ly / lx oder ε ' = l 'y / l 'x zu bildenist, hängt von der Lage der eingespannten Ränder im Achsenkreuz ab und wird bei der Plattennummerdurch Schreiben am oberen bzw. unteren Zeilenrand kenntlich gemacht. Die Beiwerte f und s werden inder Berechnungstabelle durch entsprechendes Vertauschen unmittelbar auf globale Koordinaten bezogen.

1) Zur Bestimmung der Eigenlast ist die Plattendicke festzulegen, die zunächst aus dem Nachweis zur Begrenzung derBiegeschlankheit bestimmt wird. Näherungsweise erhält man (s. Abschn. 4.2.3)erf d ≥ li / 35 bzw. erf d ≥ li2 / 150

li = 0,9 · 4,80 m = 4,32 m (Endfeld; wegen der ungleichen Stützweiten jedoch näherungsweise α = 0,9 gewählt)erf d ≥ 4,322 / 150 = 0,124 m (> 4,32 / 35 = 0,123 m)→ h ≥ 16 cm; gew.: h ≈ 18 cmDafür ergibt sich, mit einer angenommen Ausbaulast von 1,5 kN/m2, die oben genannte Eigenlast.

Die gewählte Bauhöhe erfüllt den Nachweis zur Begrenzung der Biegeschlankheit großzügig. Auf eine Reduzierungder Plattendicke wurde jedoch bewusst verzichtet; die hier gewählte Bauhöhe erfüllt nämlich auch näherungsweisedie Anforderungen nach EC 2 (DIN EN 1992-1-1:2005), die gegenüber DIN 1045-1 erheblich verschärft sind.Es wird darauf hingewiesen, dass nach Auffassung verschiedener Autoren (s. z. B. [5.44], [5.48] u. a.) mit denAnforderungen nach DIN 1045-1 Ergebnisse erzielt werden, die auf der unsicheren Seite liegen können. Es wirddaher empfohlen, die nach dem Biegeschlankheitskriterium ermittelten Deckenstärken großzügig zu wählen, es seidenn, dass größere Durchbiegungen unbedenklich sind oder dass andere nicht berücksichtigte günstige Einflüssevorhanden sind (s. hierzu Abschn. 4.2.3).

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Stützmomente in kNm/m

Rand i - k x-Richtung y-Richtungm 2 - 3 4 - 5 5 - 6 6 - 7 1 - 4 1 - 5 2(3) - 6 3 - 7ms01) = mik −30,50 −3,91 −4,09 –19,44 −18,43 −18,43 −39,11 −21,75ms01) = mki −25,38 −4,09 −19,44 −11,97 −2,80 −2,80 −19,04 −8,950,5 · (mik + mki) −27,94 −4,00 −11,77 −15,71 Bemessung für Volleinspannmomente0,75 · min ms0 −22,88 −3,07 −14,58 −14,58 wegen durchgehender Mittellängswand

min msik −27,94 −4,00 −14,58 −15,71 −18,43 −18,43 −39,11 −21,75 1) Aus vorstehender Berechnungstabelle „Momente“.

Die Ränder werden durch die Nummern der beiden benachbarten Felder bezeichnet. Das maßgebendeStützmoment min msik wird aus dem Mittelwert 0,5 · (mik + mki) bzw. 0,75 · min ms0 gebildet, soweitnicht ingenieurmäßige Überlegungen für die Bemessung nach dem Volleinspannmoment sprechen. Überder ganzen Mittellängswand werden die Volleinspannmomente der Bemessung zugrunde gelegt. Im Feld 6ist die Bewehrung reichlich zu wählen, da eine Einspannung nur auf etwa 2/3 der Länge vorhanden ist.Das Feld 2 ist auch mit einer Bewehrung in x-Richtung an Plattenunterseite zu versehen. Der Bewehrungin y-Richtung sollte das Moment am freien Rand mry = 7,91 kNm/m zugrunde gelegt werden. Der freieRand sollte mit Steckbügeln und Stabstahlzulagen eingefasst werden. Die Drillmomente beim „Zusam-menstoß“ eines freien Randes mit dem frei drehbar gelagerten und das rechnerisch nicht erfasste Stütz-moment zwischen Pos. 1 und Pos. 2 sind durch ausreichend zu wählende Bewehrung abzudecken.

Bemessung:Baustoffe, Umwelt: C25/30; BSt 500 M; Umweltklasse XC 1

⎫Nutzhöhen: untere Bewehrung: dx = 15,0 cm; dy = 14,5 cm ⎬ (Werte sind nach der Beweh-obere Bewehrung: d = 15,0 cm ⎭ rungswahl zu überprüfen.)

Die Bemessung erfolgt mit Tafel 3a (S. 5.138); auf eine Bewehrungswahl wird im Beispiel verzichtet.Außerdem ist das Mindestmoment nach Abschn. 5.4.1.1 zu überprüfen, das sich als Rissmoment zu

Mcr = (b · h2 / 6) · fctm = (1,0 · 0,182 / 6) · 2,6 = 0,0140 MNm/m = 14,0 kNm/mergibt (entspricht min as ≈ 2,1 cm2/m); es wird im Feld generell maßgebend, an der Stütze nur am Ort 1-4.

Bewehrung an Plattenunterseite – „Feldbewehrung“ (as in cm2/m)

Ort Bemessung für die Pos. x-Richtung (dx = 15 cm) y-Richtung (dy = 14,5 cm)

mx kd ks erf asx my kd ks erf asy

1 12,10 4,31 2,36 1,90 4,44 6,88 2,34 0,722 2,49 1) 9,51 2,34 0,39 7,91 1) 5,16 2,36 1,29 3)

3 12,83 4,19 2,38 2,04 7,70 5,23 2,36 1,254 3,96 7,54 2,34 0,62 - - - - 2)

5 4,09 7,42 2,34 0,64 - - - - 2 )

6 8,19 5,24 2,36 1,29 9,78 4,64 2,36 1,597 6,97 5,68 2,36 1,10 2,53 9,12 2,34 0,41

Bewehrung an Plattenoberseite – „Stützbewehrung“ (as in cm2/m)

Ort Bew.- ms 1) kd ks erf as

Pos. rich-tung

1-2 −15,78 2) 3,78 2,38 2,502-3 −27,94 2,84 2,42 4,514-5 x −4,00 7,50 2,34 0,625-6 −14,58 3,93 2,38 2,316-7 −15,71 3,78 2,38 2,491-4 −18,43 3,49 2,40 2,951-5 y −18,43 3,49 2,40 2,952(3)-6 −39,11 3) 2,40 2,48 6,47 3)

3-7 −21,75 3,22 2,40 3,48

Bemerkungen1) Vgl. Fußnote c in Berechnungs-

tabelle „Momente“, S. 5.51.2) Konstruktiv „sinnvolle“ Beweh-

rungswahl durchgehend überbeide Felder, z. B. im An-schluss an Pos. 6.

3) Freien Rand „reichlich“ beweh-ren und „einfassen“. Momen-tenvergrößerung, da Stützmo-ment nicht volle Einspannungerreicht.

Bemerkungen1) Entnommen aus Berechnungstabelle „Stützmomen-

te“, s. oben. Eine Abminderung dieser Werte ist beimVerfahren nach Pieper/Martens nicht vorzunehmen,die Stützmomente sind bereits Bemessungswerte.

2) Nach Mittelbildung aus Überschlagsrechnung für Pos.1 als Stützungsart 4 und dreiseitig gelagerter Plattemit zwei gegenüber liegenden eingespannten Rändernfür Pos. 2 nach [5.19]. Randbewehrung gegen un-beabsichtigte Einspannung ist konstruktiv zu wählen.

3) Im Bereich der Einbindung des freien Randes vonPos. 2 in Pos. 6 für einen Plattenstreifen von etwa0,80 m Breite maßgebend, dann Bewehrungsabstu-fung auf as = 3,48 cm2/m.

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Vereinfachte Momentengrenzlinien für Einfeldplatten nach Czerny [5.20] (für ly / lx = 1,5)(asx wird aus mx und asy aus my berechnet.)

ly ≥ lx a = 0,2 · lx

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Auflager- und Eckkräfte vierseitig gelagerter Platten

Ersatzlastbilder zur Berechnung der Randunterzüge bei Gleichflächenlast FdFür Balken (Unterzüge) als Auflager von zweiachsig gespannten, gleichmäßig belasteten Platten werden dieLastbilder näherungsweise berechnet aus der Zerlegung der Grundrissfläche der Platte in Trapeze und Drei-ecke [5.15]. Für den Zerlegungswinkel gilt in Ecken mit zwei Rändern gleichartiger Stützung 45°, in Eckenmit einem eingespannten und einem frei drehbar gelagerten Rand 60° zum eingespannten Rand hin. Bei Plat-ten mit teilweiser Einspannung darf der Zerlegungswinkel zwischen 45° und 60° angenommen werden.Aus der Zerlegung der Last Fd unter 45° und 60° ergeben sich die dargestellten Ersatzlastbilder. Werden dieEckabhebekräfte R (Berechnung s. unten) in den Plattenecken nicht gesondert erfasst, wird empfohlen, einerechteckförmige Ersatzlast mit dem angegebenen Maximalwert als Lastordinate anzusetzen [5.15].

κκκκκ -Werte zur Berechnung der Eckabhebekräfte vierseitig gelagerter Platten bei Gleichflächenlast FdR = Fd · lx2 / κκκκκ

ε = ly / lx 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 Stützung

1 10,8 9,85 9,20 8,75 8,40 8,15 7,95 7,80 7,70 7,65 7,552.1 13,1 11,6 10,5 9,70 9,10 8,70 8,40 8,10 7,90 7,80 7,702.2 13,1 12,4 12,0 11,7 11,5 11,4 11,3 11,2 11,2 11,2 11,24 13,9 13,0 12,4 12,0 11,7 11,5 11,4 11,3 11,2 11,2 11,2

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Streifenkreuzverfahren – Lastaufteilung bei Platten mit Hauptbewehrung in zwei RichtungenFür Überschläge und für Betrachtungen über das Tragverhalten von zweiachsig gespannten Platten eignetsich das sog. Streifenkreuzverfahren. Zwei sich kreuzende Streifen tragen gemeinsam die Last ab. Die Last-aufteilung auf die beiden Streifen wird aus der Bedingung gewonnen, dass die Durchbiegungen an einerStelle gleich sind; Drillmomente bzw. eine Drillsteifigkeit werden vernachlässigt. Es gilt:

Fd = Fdx + Fdy mit Fdx = kx · Fd bzw. Fdy = ky · FdEs ist Fd die Gesamtlast und Fdx bzw. Fdy der Lastanteil für die x- bzw. y-Richtung; die Faktoren kx und kykönnen in Abhängigkeit von der Stützungsart der folgenden Tafel entnommen werden.

Stützungs- analytische Stützweitenverhältnis ε = ly / lx (lx = lmin)art Beziehung 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

1

4x11

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε

k 0,500 0,594 0,675 0,741 0,794 0,835 0,867 0,893 0,912 0,929 0,942

( ) 14y 1

−+= εk 0,500 0,406 0,325 0,259 0,206 0,165 0,133 0,107 0,088 0,071 0,058

1

4x4011

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,286 0,369 0,453 0,533 0,606 0,669 0,724 0,770 0,808 0,839 0,865

( ) 14y 401

−+= ε,k 0,714 0,631 0,547 0,467 0,394 0,331 0,276 0,230 0,192 0,161 0,135

1

4x5211

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,714 0,785 0,838 0,877 0,906 0,927 0,942 0,954 0,963 0,970 0,976

( ) 14y 521

−+= ε,k 0,286 0,215 0,162 0,123 0,094 0,073 0,058 0,046 0,037 0,030 0,024

1

4x2011

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,167 0,226 0,293 0,364 0,434 0,503 0,567 0,626 0,677 0,723 0,762

( ) 14y 201

−+= ε,k 0,833 0,774 0,707 0,636 0,566 0,497 0,433 0,374 0,323 0,277 0,238

1

4x0511

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,833 0,880 0,912 0,935 0,951 0,962 0,970 0,977 0,981 0,985 0,988

( ) 14y 051

−+= ε,k 0,167 0,120 0,088 0,065 0,049 0,038 0,030 0,023 0,019 0,015 0,012

1

4x11

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε

k 0,500 0,594 0,675 0,741 0,794 0,835 0,867 0,893 0,912 0,929 0,942

( ) 14y 1

−+= εk 0,500 0,406 0,325 0,259 0,206 0,165 0,133 0,107 0,088 0,071 0,058

1

4x0211

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,667 0,745 0,806 0,851 0,885 0,910 0,929 0,944 0,955 0,963 0,970

( ) 14y 021

−+= ε,k 0,333 0,255 0,194 0,149 0,115 0,090 0,071 0,056 0,045 0,037 0,030

1

4x5011

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ε,k 0,333 0,423 0,509 0,588 0,658 0,717 0,766 0,807 0,840 0,867 0,889

( ) 14y 501

−+= ε,k 0,667 0,577 0,491 0,412 0,342 0,283 0,234 0,193 0,160 0,133 0,111

1

4x11

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε

k 0,500 0,594 0,675 0,741 0,794 0,835 0,867 0,893 0,912 0,929 0,942

( ) 14y 1

−+= εk 0,500 0,406 0,325 0,259 0,206 0,165 0,133 0,107 0,088 0,071 0,058

BeispielErmittlung der Bemessungsmomente für eine zweifeldrige Platte (vgl. a. S. 5.59) nach dem Streifenkreuzverfahren.

Belastung: gk = 5,60 kN/m2 → gd = 7,56 kN/m2

qk = 3,25 kN/m2 → qd = 4,88 kN/m2

System: ε = ly / lx = 5,86 / 4,70 = 1,25Stützungsart 2.2

Momente: mFeld,x ≈ 0,070 · (0,858 · 7,56) · 4,702

+ 0,096 · (0,858 · 4,88) · 4,702 = 18,91 kNm/mmFeld,y = 0,125 · (0,142 · 12,44) · 5,862 = 7,58 kNm/mmStütze,x = −0,125 · (0,858 · 12,44) · 4,702 =−29,47 kNm/m

Nach Pieper/Martens ergibt sich bei Annahme einer verminderten Drillsteifigkeit (vgl. S. 5.49):mFeld,x = (7,56 + 4,88) · 4,702 / 16,5 = 16,65 kNm/mmFeld,y = (7,56 + 4,88) · 4,702 / 31,5 = 8,72 kNm/mmStütze,x = −(7,56 + 4,88) · 4,702/10 = −27,48 kNm/mSc

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Bau

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Inge

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0. A

ufl.


Punktförmig gestützte Platten

Bei punktförmig gestützten Platten ist das Plattentragwerk direkt auf Stützen aufgelagert. Wenn dieStützenköpfe ohne Verstärkung ausgeführt werden, spricht man von einer Flachdecke, andernfalls voneiner Pilzdecke. Bei punktförmig gestützten Platten treten hohe Beanspruchungen im Bereich der Last-eintragung auf. Ein ähnliches Tragverhalten weisen auch Einzelfundamente und Fundamentplatten auf,die durch Einzelstützen belastet sind (vgl. Abschn. 5.4.6).Im Gegensatz zu den umfanggelagerten Platten treten bei punktförmig gelagerten Platten die größtenBiegemomente in Richtung der längeren Stützweite auf. Für einfache Fälle und zur Kontrolle elektroni-scher Berechnungen bietet sich zur Schnittgrößenermittlung das in [5.15] angegebene Näherungsver-fah-ren an. Danach kann die Berechnung mit Hilfe von Ersatzrahmen, wenn Stütze und Platte biegesteifmiteinander verbunden sind, oder von Ersatzdurchlaufträgern bei gelenkiger Verbindung von Stütze undPlatte erfolgen. Das Verfahren gilt bei vorwiegend lotrechter Belastung in ausgesteiften (unver-schieblichen) Systemen und bei einem Stützweitenverhältnis von 0,75 ≤ lx /ly ≤ 1,33.Die beiden sich kreuzenden Richtungen x und y werden als durchlaufende kontinuierlich gestützte Balkenbzw. Rahmenriegel betrachtet. Für jede Richtung ist dabei die volle Belastungsbreite zu berücksichtigen.

l

Flachdeckenausschnitt

l

q·l yg·ly

x

xl

x

g·l

q·l xx

yl

yl y

l

Ersatzdurchlaufträger bei gelenkigemAnschluss zwischen Platte und Stütze

Die Feld- und Stützmomente werden dann mit den üblichen Methoden der Stabstatik bestimmt. Die so er-mittelten (Gesamt-)Biegemomente werden in Querrichtung mittels Verteilungszahlen auf Gurt- und Feld-streifen aufgeteilt (s. Darstellung unten). Ein ausführliches Berechnungs- und Bemessungsbeispiel findetsich in [5.85].

Querverteilung desFeldmomentes M

nach [Herzog - 95]

xF

xFM

l x

25 %

50 %

25 %

0,6·

l0,

2·l y

y0,

2·l

y

1/2 Gurtstreifen

1/2 Gurtstreifen

Feldstreifen

nach [DAFStb-H240 - 91]

Momentenverlauf desErsatzdurchlaufträgers

xSM Querverteilung desStützmomentes M xS

30 %

21 %14 %

l y

21 %14 %

35 %

35 %

0,6·

l0,

1·l y

0,1·

l yy

0,1·

l y0,

1·l y

30 %

nach [5.15] nach [5.74]

xSxF

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l.


Dreiseitig gestützte Platten – Berechnung nach Hahn [5.19]

Dreiseitig frei gestützte Platte – Lastfall 1: Gleichlast Fd _

Hilfswerte: K = Fd · lx · ly ; D = ω r · E · d 3Momente: mi = K / fiAuflagerkräfte: Kx = vx · K; Ky = vy · K (s. Abb.)Eckkräfte: R1 = 2 mxy1; R2 = 2 mxy2 (Zug)Durchbiegung: ω r = K · lx2 / D

– Lastfall 2: Randlast Fdx _Hilfswerte: S = Fdx · lx ; D = ω r · E · d 3Momente: mi = S / fiDurchbiegung: ωr = S · lx2 / D

– Lastfall 3: Randmoment μ _Hilfswerte: D = ωr · E · d 3Momente: mi = μ / fiAuflagerkräfte: Kx = vx · μ ; Ky = vy · μ (s. Abb.)Eckkräfte: R1 = ρ1 · μ ; R2 = ρ2 · μDurchbiegung: ωr = μ · lx2 / D

Fall ε = ly / lx 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25

fxr 12,6 11,9 11,3 10,7 10,2 9,8 9,4 9,1 9,1 9,2 9,8 11,0 13,7 16,2fxm 15,3 14,9 14,5 14,1 13,8 13,7 13,6 13,8 14,2 15,2 17,0 20,2 26,3 31,5fym 62,4 58,4 54,2 50,0 45,9 41,7 37,1 33,2 29,9 27,4 25,9 26,3 29,7 33,7

1 ± fxy2 22,3 20,6 19,3 17,9 16,7 15,4 14,1 12,9 11,8 10,8 10,1 9,4 8,8 8,6 ± fxy1 412 300 220 161 118 86,5 63,6 47,0 35,0 26,3 20,2 15,8 12,8 11,6

⎯ωr 9,10 8,70 8,35 8,05 7,80 7,60 7,45 7,35 7,35 7,40 7,65 8,25 9,90 11,60vx 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,41 0,39 0,37 0,34 0,31 0,28 0,22 0,16 0,13vy 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,40 0,44 0,49 0,54 0,59 0,64 0,72 0,80 0,84fxr 4,1 4,1 4,1 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,5 4,9 5,6 6,9 8,1fxm 18,0 16,1 14,3 13,1 11,9 10,9 10,2 9,6 9,4 9,3 9,7 10,8 13,1 16,1

2 − fym 36,2 33,0 30,8 29,2 27,9 27,2 27,2 29,3 32,8 39,4 52,5 91,0 200 500 ± fxy2 65,0 51,5 40,5 32,4 25,6 20,4 16,0 12,6 10,2 8,3 6,9 5,8 5,2 4,9

⎯ωr 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,05 3,05 3,10 3,35 3,70 4,45 5,75 7,00fxr 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,90 2,85 2,80 2,74 2,65 2,50 2,35 2,20 2,08fxm -18,2 -18,4 -18,8 -20,5 -23,2 -31,0 -69 105 30,0 12,5 7,9 5,7 4,6 4,2

− fym 32,1 22,4 16,5 12,8 9,8 7,6 6,1 4,8 3,4 3,1 2,5 2,2 2,1 2,0⎯ωr 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,95 1,90 1,85 1,78 1,71 1,63 1,54 1,49

3 − vx 1,19 1,39 1,52 1,55 1,52 1,49 1,46 1,36 1,20 − vy 0,62 0,64 0,70 0,78 0,80 0,80 0,70 0,50 0,28

ρ1 1,25 1,55 1,78 1,94 2,03 2,15 2,35 2,65 2,96 − ρ2 -0,25 -0,16 -0,09 -0,01 0,11 0,26 0,54 1,04 1,52

BeispielDreiseitig frei drehbar gestützte Platte mit ly = 1,50 m und lx = 2,50 m → ε = 1,50 / 2,50 = 0,60Belastung: Fd = 9,50 kN/m2 (Lastfall 1)Schnittgrößen: Hilfswert: K = 9,50 · 1,50 · 2,50 = 35,63 kN

mxr = 35,63/9,2 = 3,87 kNm/m mxm = 35,63/15,2 = 2,34 kNm/mmym = 35,63/27,4 = 1,30 kNm/m

mxy2 = ± 35,63/10,8 = ± 3,30 kNm/m mxy1 = ± 35,63/26,3 = ± 1,35 kNm/mKx = 35,63 · 0,31 = 11,05 kN Ky = 35,63 · 0,59 = 21,02 kNR1 = 2 · 1,35 = 2,70 kN R2 = 2 · 3,30 = 6,60 kN (Zug)

Kontrolle: ΣFv = 0 = 2 · 11,05 + 21,02 + 2 · 2,70 – 2 · 6,60 – 35,63 ≈ 0

Hinweis: Die Momente sind als Vektoren dargestellt;aus mx wird asx , aus my wird asy ermittelt.

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Dreiseitig gestützte Platte mit Einspannung der drei Ränder

– Lastfall 1: Gleichlast FdHilfswert: K = Fd · lx · lyMomente: mi = K / fiAuflagerkräfte: Kx = vx · K; Ky = vy · K

(Verteilung s. Abb.)

– Lastfall 2: Randlast FdxHilfswert: S = Fdx · lxMomente: mi = S / fi

– Lastfall 3: Dreieckslast Fd (max Fd am Rand 2-2)Hilfswerte: K = 0,5 · max Fd · lx · lyMomente: mi = K / fi

Fall ε = ly / lx 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,25

fxr 35,8 33,4 31,0 28,6 26,4 24,3 22,4 20,9 19,9 19,8 21,3 26,8 46,4 77,0fxm 39,8 38,3 37,0 35,8 34,9 34,3 34,0 34,3 35,6 38,6 45,6 63,6 126 228fym 163 152 141 130 119 109 99,5 91,0 83,4 80,0 83,4 108 208 417

1 − fx1 17,8 16,6 15,3 14,1 12,8 11,6 10,4 9,3 8,2 7,4 6,8 6,8 7,6 8,6 − fxe 18,7 17,8 17,0 16,2 15,6 15,0 14,5 14,3 14,2 14,7 15,8 18,1 23,0 27,2 − fye 26,4 24,6 22,8 21,1 19,3 17,6 15,8 14,2 12,6 11,1 9,8 9,0 9,0 9,6

vx 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,35 0,34 0,32 0,30 0,27 0,23 0,19 0,17vy 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,30 0,32 0,36 0,40 0,46 0,54 0,62 0,66

fxr 7,0 7,0 7,1 7,1 7,2 7,2 7,3 7,3 7,4 7,9 9,2 13,0 21,2 33,5fxm 143 112 85 63 47,5 35,5 28,2 24,0 22,1 23,3 27,1 34,3 54 84

2 − fym 22 22 22 22 22 22 22 21 21 19 17 15 13 12 − fx1 2,3 2,3 2,3 2,2 2,2 2,2 2,1 2,1 2,1 2,2 2,2 2,6 3,3 4,1 − fxe 262 165 102 68 47,1 35,8 27,0 20,5 15,8 13,2 12,1 12,5 13,9 15,6 − fye ≈ ∞ - - - 250 120 59 35 20 12,4 8,6 5,9 5,3 5,2

fxr 115 100 86,3 73,7 63,0 54,1 46,8 41,4 37,9 36,6 38,9 48,7 85,5 143fxm 42,4 41,5 41,1 41,0 41,3 42,2 44,0 46,8 51,4 59,2 74,2 110 230 430

3 − fym 80,6 76,2 71,3 66,7 62,5 58,8 56,9 54,0 56,5 59,1 69,0 91,0 172 313 − fx1 85,8 74,8 64,0 54,1 45,1 37,1 30,0 24,6 20,2 17,0 15,0 14,3 15,7 17,7 − fxe 19,1 18,4 17,8 17,3 16,9 16,6 16,5 16,7 17,2 18,3 20,3 23,9 30,7 36,5 − fye 17,8 17,0 16,3 15,6 14,9 14,2 13,5 13,0 12,5 12,0 11,7 11,7 12,6 13,8

BeispielDreiseitig gestützte Platte mit Einspannung der drei Ränder

Abmessungen: ly = 1,50 m und lx = 2,50 m → ε = 1,50 / 2,50 = 0,60Belastung: Gleichlast Fd = 7,5 kN/m2 (Lastfall 1) und Randlast Fdx = 9,5 kN/m (Lastfall 2)Schnittgrößen: Hilfswerte: K = 7,5 · 1,50 · 2,50 = 28,13 kN; S = 9,5 · 2,50 = 23,75 kN

mxr = 28,13 / 19,8 + 23,75 / 7,9 = 4,43 kNm/mmxm = 28,13 / 38,6 + 23,75 / 23,3 = 1,75 kNm/mmym = 28,13 / 80,0 − 23,75 / 19 = − 0,90 kNm/mmx1 = − 28,13 / 7,4 − 23,75 / 2,2 = −14,60 kNm/mmxe = − 28,13 / 14,7 − 23,75 / 13,2 = − 3,71 kNm/mmye = − 28,13 / 11,1 − 23,75 / 12,4 = − 4,45 kNm/m

Hinweis: Die Momente sind als Vektoren dargestellt;aus mx wird asx , aus my wird asy ermittelt.

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l.


Nichtlineare und plastische Verfahren

Bei Anwendung von nichtlinearen Verfahren muss im Grenzzustand der Tragfähigkeit in kritischenSchnitten eine ausreichende Rotationsfähigkeit nachgewiesen werden. Es wird auf DIN 1045-1, 8.4 und8.5 und auf entsprechende Literatur (z. B. [5.11], [5.23], [5.27]) verwiesen.Plastische Verfahren haben bei zweiachsig gespannten Platten eine besondere Bedeutung. In DIN 1045-1,8.4.1 sind vereinfachende Regelungen genannt, bei deren Erfüllung auf einen Nachweis der Rotations-fähigkeit der plastischen Gelenke verzichtet werden kann. Hierzu gehören: – Die bezogene Druckzonenhöhe ξ darf für Beton ≤ C50/60 den Wert ξ = x/d = 0,25 (für Beton

ab C55/67 den Wert ξ = 0,15) nicht überschreiten. – Es ist Betonstahl mit hoher Duktilität zu verwenden (BSt 500 S(B) bzw. BSt 500 M(B)). – Das Verhältnis von Stütz- zu Feldmomenten muss zwischen 0,5 und 2,0 liegen.Plastische Verfahren mit ihrem hohen Vereinfachungsgrad sind nur für vorwiegend biegebeanspruchteBauteile im Grenzzustand der Tragfähigkeit zulässig; die Gebrauchstauglichkeit (Spannungsbegrenzun-gen – Rissbreitenbegrenzung – Verformungsnachweise; s. Abschn. 4.2) ist mit den Schnittgrößen nachder Elastizitätstheorie ggf. unter Berücksichtigung der Rissbildung nachzuweisen.

Plastische Berechnung umfanggelagerter Platten unter Gleichlast – Berechnung nach Herzog [5.27]Voraussetzungen: | MStütze | = 2 · | MFeld | (für die jeweilige Tragrichtung)

MFeld,x = ε · MFeld,y (ε = ly / lx ; lx = lmin ) Stützweiten: – bei Auflagerung auf Mauerwerk l = leff

– bei monolithischer Stützung l = ln(Die oben genannten Bedingungen nach DIN 1045-1 sind zu beachten; es wird darauf hingewiesen, dassden Nachweisen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit eine besondere Bedeutung zukommt.)Plastische Bemessungsmomente – Grenzzustand der Tragfähigkeit (mit den Bemessungslasten Fd)

mFeld,x = (Tafelwert) · Fd · lx2 mFeld,y = mFeld,x / ε

mStütze,x = − 2 · mFeld,x mStütze,y = − 2 · mFeld,x / ε

Tafelwerte (Momentenbeiwerte) zur Berechnung von mFeld,x für Gleichlast nach Herzog [5.27]

ε =ly / lx

1,0 0,0417 0,0294 0,0294 0,0214 0,0214 0,0223 0,0172 0,0172 0,01391,1 0,0477 0,0348 0,0327 0,0261 0,0236 0,0256 0,0193 0,0202 0,01591,2 0,0533 0,0401 0,0356 0,0307 0,0252 0,0286 0,0211 0,0231 0,01781,3 0,0584 0,0451 0,0381 0,0353 0,0266 0,0313 0,0227 0,0259 0,01951,4 0,0630 0,0499 0,0404 0,0398 0,0279 0,0338 0,0242 0,0284 0,02101,5 0,0673 0,0542 0,0425 0,0441 0,0290 0,0361 0,0255 0,0308 0,02241,6 0,0712 0,0584 0,0442 0,0482 0,0300 0,0381 0,0266 0,0330 0,02371,7 0,0747 0,0622 0,0458 0,0522 0,0308 0,0400 0,0277 0,0350 0,02491,8 0,0779 0,0657 0,0473 0,0559 0,0316 0,0417 0,0286 0,0369 0,02601,9 0,0807 0,0690 0,0486 0,0593 0,0323 0,0433 0,0295 0,0385 0,02692,0 0,0833 0,0721 0,0497 0,0625 0,0329 0,0446 0,0302 0,0401 0,0278Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden.

BeispielFür die zuvor nach dem Streifenkreuzverfahren berechnete Platte (vgl. S. 5.55) sind die Momente imGrenzzustand der Tragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie zu ermitteln (für eine Berechnung nach derElastizitätstheorie und bzgl. weiterer Nachweise wird auf [5.79] verwiesen).Belastung: gk = 5,60 kN/m2

→ Fd = 12,44 kN/m2qk = 3,25 kN/m2

System: ε = ly / lx = 5,86 / 4,70 = 1,25Stützungsart 2.2

Momente: mFeld,x = 0,0369 · 12,44 · 4,702 = 10,14 kNm/mmFeld,y = 10,14 / 1,25 = 8,11 kNm/mmStütze,x = − 2 · 10,14 = − 20,28 kNm/m

(Auf eine Bemessung mit Überprüfung der Druckzonenhöhe x/d ≤ 0,25 wird verzichtet. Für die Bewehrungist Betonstahl mit hoher Duktilität zu verwenden, also BSt 500 S(B) oder BSt 500 M(B).)Sc

hnei

der,

Bau

tabe

llen

für

Inge

nieu

re, 2

0. A

ufl.


3.5.5 Scheiben, wandartige Träger Wandartige Träger und Scheiben können mit Stabwerkmodellen bemessen werden. In den fiktiven Druck-streben müssen die Betondruckspannungen σc nachgewiesen und in den Zugstreben die Zugkräfte durch Bewehrung abgedeckt werden. Ausbildung von Stabwerkmodellen s. z. B. [5.11], [5.28] u. a. Mit praxisüblichen Rechenprogrammen auf der Basis isotroper Materialeigenschaften können die Zug- und Druckkräfte im Zustand II ggf. näherungsweise durch Berechnung mit oberen und unteren Grenzen des E-Moduls abgeschätzt werden. Die Bewehrung muss für die Resultierende der Zugspannungen ausgelegt sein, sodass zumindest Gleichgewicht erfüllt ist (s. neben-stehende Abb.). Näherungsverfahren zur Ermittlung der Längszugkräfte Für Standardfälle sind in [5.15] (s. z. B. auch [5.21]) die Resultierenden der sich aus der Elastizitäts-theorie ergebenden Zugkräfte Ft angegeben. Näherungsweise können diese Längszugkräfte auch aus den für Balken bestimmten Schnittmomenten MEd im Feld oder an der Stütze ermittelt werden, wenn der Hebelarm der inneren Kräfte z entsprechend angepasst wird. Nach [5.15] gilt: Resultierende Zugkraft im Feld: Ftd,F = MEd,F / zF Resultierende Zugkraft an der Stütze: Ftd,S = MEd,S / zS

Hierin sind MEd,F und MEd,S das Bemessungsfeldmoment und Bemessungsstützmoment bzw. -krag-moment eines entsprechend schlanken Trägers und zF und zS der rechnerische Hebelarm der inneren Kräfte im Feld und an der Stütze. Der Hebelarm z wird abgeschätzt zu: Einfeldträger mit 0,5 < h / l < 1,0 zF = 0,3 h (3−h / l ) h / l ≥ 1,0 zF = 0,6 l Endfelder von Durchlaufträgern mit 0,4 < h / l < 1,0 zF = zS = 0,5 h (1,9−h / l ) h / l ≥ 1,0 zF = zS = 0,45 l Innenfelder von Durchlaufträgern mit 0,3 < h / l < 1,0 zF = zS = 0,5 h (1,8−h / l ) h / l ≥ 1,0 zF = zS = 0,4 l Kragträger mit 1,0 < h / lk < 2,0 zS = 0,65 lk + 0,10 h h / lk ≥ 2,0 zS = 0,85 lk Begrenzung der Druckspannungen im Beton Die maßgebenden auflagernahen Hauptdruckspannungen im Zustand II sind auf die zulässigen Werte (s. vorher) zu begrenzen. Besonderheiten der Bewehrungsführung Die Bewehrung von wandartigen Trägern muss je Außenfläche und je Richtungen mindestens as = 1,5 cm2/m und 0,075 % der Betonfläche betragen (DIN 1045-1, 13.6). Für die Hauptbewehrung 1) gilt nach [5.15]: – Feldbewehrung vollständig über die Auflager führen und für eine Zugkraft 0,8·Ftd,F verankern (ste-

hende Haken sind zu vermeiden) – Anordnung der Feldbewehrung über eine Höhe von 0,1 h bzw. 0,1 l (kleinerer Wert ist maßgebend) – Anordnung der Stütz- und Krag- bewehrung nach nebenstehender Abb. Verteilung der Hauptbewehrung 1)

für die Zugkraft Ft über den Stützen mehrfeldriger wandartiger Träger

Verteilung der Hauptbewehrung 1) für die Zugkraft Ft über dem Auf-lager einer Kragscheibe

________ 1) Spalt- und Randzugkräfte unter Einzel-

lasten und eine Aufhängebewehrung bei unten angreifenden Lasten sind zusätz-lich zu beachten; s. [5.15].

h Bauhöhe l Stützweite lk Kraglänge

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3.6 Vorspannung

3.6.1 Wirkung der Vorspannung und SpanngliedführungDie Vorspannung kann als Einwirkung aus Anker- und Umlenkkräften (bzw. als einwirkende Schnitt-größe) oder alternativ als Dehnungszustand mit entsprechender Vorkrümmung betrachtet werden.An den Ankern und bei jedem Richtungswechselwirken Kräfte auf den Beton. Die „Umlenkkräfte“sind in Richtung der Winkelhalbierenden gerichtet;hierfür gilt

Ui = 2 · Fcp· sin (ϕi /2)Bei gekrümmtem Spanngliedverlauf wirken dieUmlenkkräfte radial zur Spanngliedachse

ui(x) = Pmt(x) / R (x)

mit ( )( )

( )( )[ ] ( )xzxz

xz

xR / p23 2p

p

1

1 ′′≈′+

′′=

Für die Funktion z´p gilt bei Spanngliedführungnach einer quadratischer Parabel

2p 8 lfz ⋅=′′

Für übliche Spanngliedverläufe in schlanken Trag-werken (f /l ≤ 1/12) kann der Term z p(x)2 vernach-lässigt werden und die Umlenkkräfte können genü-gend genau vertikal angesetzt werden (siehe neben-stehende Skizze).

Fcp FU2U1 cpϕ1 ϕ2

x

z

f

l

F cpFcpup

cpF

dϕ

R(x)

cpFd /2ϕpu (x)

Für die Ermittlung der kennzeichnenden Größen der quadratischen Parabel können die in nachfolgenderTafel angegebenen Gleichungen verwendet werden. Für den Bogenstich f1 der Hauptparabel sind dabei dieWerte zcp;0,5L (Ordinate der Hauptparabel bei x = 0,5 L) und zcp;1,0L (Ordinate der Ausrundungsparabel beix = 1,0 L) mit Vorzeichen einzusetzen.

Bezeichnungenam einseitigbzw. beidseitigeingespanntenTragwerk

Bogenstich undUmlenkung

Spannglied-abrückung

Bogenstich undUmlenkung

Neigung desSpannglieds imWendepunkt„WP“

Ausrundungs-radius

κ

κ

⋅−

−−⋅=

32

)(2 cp;1,0Lcp;0,5L1

zzf

κ⋅−

−=

21

cp;1,0Lcp;0,5L1

zzf

κ⋅−⋅= )3( cp;0,5L1 zfa

2l2 4 κ⋅⋅−= faf

L

fzfLf

)]21(4)(2[

2tan

1cp;0,5L1

2

κκ

γ

⋅−⋅⋅+−⋅=

⋅⋅

=

2

22

250

fL,R ⋅⋅

=κ

12 fa ⋅⋅= κ

)21(2 l2 κκ −⋅⋅⋅= ff

2

1

2tan

4 (1 2 )

fLf

L

γκ

κ

⋅=

⋅⋅ ⋅ − ⋅

=

2

22

250

fL,R ⋅⋅

=κ

cpz

L0,5·L κ·L

f1

f2a

WP

cpz

Lκ·L

f1

f2a

WP

κ·L

WP

(1-2κ)·L

3.6.2 Schnittgrößen aus Vorspannung

a) Statisch bestimmte TragwerkeDie Schnittgrößen Ncp, Vcp und Mcp können direkt mit den Gleichgewichtsbedingungen bestimmtwerden. Für eine über die Breite bzw. in Querrichtung symmetrische Spanngliedanordnung gilt:

(Darstellungen jeweils ohne Reibungskräfte)

21

18L

fu

⋅= 2

11

8L

fu

⋅=

22

2 )2(8

Lf

u⋅⋅

⋅=

κ 22

2 )2(8

Lf

u⋅⋅

⋅=

κ(Ausrundungsparabel)

Schn

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Auf

l.


b) Statisch unbestimmte TragwerkeDie Ermittlung der Schnittgrößen Ncp, Vcp und Mcp kann mit den üblichen baustatischen Verfah-ren (z. B. Kraftgrößenverfahren) erfolgen.Darstellung des Rechengangs am Beispiel eines Zweifeldträgers– Statisch bestimmtes Grundsystem– Statisch bestimmtes Moment:

Mcp,dir = –Pmt(x) · zp

– Statisch unbestimmtes Moment:Mcp,ind = – δ10/δ11 mit

δ10 = ∫ (Mcp,dir · M1 / EI) dsδ11 = ∫ (M1 · M1 / EI) ds

– GesamtmomentMcp = Mcp,dir + Mcp,ind

Für die Anwendung von Tabellen (z. B. für eingespannte Einfeldträger, Durchlaufträger, Rahmen)und von EDV-Programmen kann man die Vorspannung als Einwirkung aus Anker- und Umlenk-kräften (unter Berücksichtigung des Spannkraftverlaufs über die Trägerlänge) betrachten.

Zweifeldträger mit Vorspannung

Ankerkräfte und Umlenkpressungen(Umlenkkräfte hier näherungsweisekonstant angesetzt)

Momentenverlauf infolge Vorspannung

Ncp = –Pmt(x) · cos ϕ≈ –Pmt(x) (für kleine Winkel ϕ)

Vcp = –Pmt(x) · sin ϕMcp = –Pmt(x) · cos ϕ · zp

≈ –Pmt(x) · zp (für kleine Winkel ϕ)

3.6.3 VorspannkraftDie am Spannende während des Spannvorgangs aufgebrachte Höchstkraft P0 darf höchstens betragen:

P0 = Ap · σ0,max (62.1a)mit Ap Querschnittsfläche des Spanngliedes

σ0,max ≤ 0,80 · fpk bzw. σ0,max ≤ 0,90 · fp0,1k (der kleinere Wert ist maßgebend)Bei Vorspannung mit nachträglichem Verbund ist σ0,max mit dem Faktor k1 abzumindern:k1 = e− μ ( θ + k · x ) · (κ – 1) mit κ = 1,5 bei bis zu 3 Wochen ungeschützter Lage des Spannstahls im

Hüllrohr und κ = 2,0 bei mehr als 3 Wochen (vgl. Erl. zu Gl. (63.2))Der Mittelwert der Vorspannung Pm0 nach Absetzen der Pressenkraft oder nach Lösen der Verankerungdarf folgenden Wert an keiner Stelle überschreiten:

Pm0 = Ap · σpm0 (62.1b)mit σpm0 ≤ 0,75 · fpk bzw. σpm0 ≤ 0,85 · fp0,1k (der kleinere Wert ist maßgebend)Bei Pm0 zum Zeitpunkt t0 sind – soweit relevant – die elastischen Verformungen des Bauteils bei derSpannkraftübertragung, die Kurzzeitrelaxation des Spannstahls, die Reibungsverluste und der Ver-ankerungsschlupf zu berücksichtigen, für t > t0 zusätzlich das Kriechen und Schwinden des Betons und dieLangzeitrelaxation des Spannstahls. Der Mittelwert der Vorspannung zum Zeitpunkt t ergibt sich

Pmt = P0 – ΔPc – ΔPt (t) – ΔPμ (x)– ΔPsl (62.2)P0 Kraft am Spannende während des SpannvorgangsΔPc Spannkraftverlust infolge elastischer Verformung des Bauteils beim Vorspannen (soweit relevant)ΔPt(t) Spannkraftverlust infolge Kriechen, Schwinden und RelaxationΔPμ(x) Spannkraftverlust infolge ReibungΔPsl Spannkraftverlust infolge Schlupf in der Verankerung (nicht bei sofortigem Verbund)

M

M

M

cp,dir

1

cpMcp,ind

Mcp,dir

1

Mcp

Fcp

FA,h

Fcp

FA,vFA,v

FA,h

WP WP

u1u1u2

xz zp

x x

Vcp

McpNcp

ϕ Pmt (x)

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3.6.4 Bemessungswerte der Vorspannung

Grenzzustand der TragfähigkeitDer Bemessungwert der Vorspannkraft darf ermittelt werden aus

Pd = γp · Pm,t (63.4)mit γp = 1. Wird bei Spanngliedern ohne Verbund der Spannungszuwachs im Spannstahl berücksichtigt,ist der charakteristische Wert des Spannungszuwachses im Spannstahl Δσpk mit den Mittelwerten derBaustoffeigenschaften zu bestimmen. Der Bemessungswert wird bestimmt aus Δσpd = γp · Δσpk mit γp = 1bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung. (Bei nichtlinearen Verfahren s. DIN 1045-1, 8.7.5.)

Grenzzustand der GebrauchstauglichkeitFür die Nachweise werden zwei charakteristische Werte der Vorspannkraft festgelegt, um möglicheStreuungen der Vorspannkraft zu berücksichtigen:

Pk,sup = rsup · Pm,t (oberer charakteristischer Wert) (63.5a)Pk,inf = rinf · Pm,t (unterer charakteristischer Wert) (63.5b)

mit rsup = 1,05 und rinf = 0,95 bei Vorspannung mit sofortigem Verbund oder ohne Verbundrsup = 1,10 und rinf = 0,90 bei Vorspannung mit nachträglichem Verbund

Spannkraftverluste infolge von ReibungDie Spannkraftverluste ΔPμ infolge Reibung können wie folgt berechnet werden (DIN 1045-1, 8.7.3):

ΔPμ (x) = P0 · [ 1 − e− μ ( θ + k · x ) ] (63.2)

μ Reibungsbeiwert zwischen Spannglied und Hüllrohr (nach Zulassung)θ Summe der planmäßigen, horizontalen und vertikalen Umlenkwinkel über die Länge xk ungewollter Umlenkwinkel (nach Zulassung)

Spannkraftänderung infolge von Kriechen, Schwinden und RelaxationDie Spannungsänderung Δσp,c+s+r (t) bzw. Spannkraftänderung ΔPc+s+r (t) beträgt bei einsträngiger Vor-spannung mit Verbund (DIN 1045-1, 8.7.3):

εcs(t, t0) · Ep + Δσpr + αp · ϕ (t, t0) · (σcg + σcp0)ΔPc+s+r = Δσp,c+s+r · Ap = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ · Ap (63.1)Ap Ac1 + αp · ⎯ · (1 + ⎯ · zcp2 ) · [1 + 0,8 · ϕ (t, t0)]Ac Ic

εcs(t, t0) Schwindmaß zum Zeitpunkt t, bezogen auf das maßgebende Betonalter t0 (s. Abschn. 3.7)ϕ (t, t0) Kriechzahl zum Zeitpunkt t, bezogen auf das Alter t0 bei Belastungsbeginn (s. Abschn. 3.7)αp αp = Ep / Ecm (Verhältnis der E-Moduln von Spannstahl und Beton; s. Abschn. 2)Δσpr Spannungsänderung im Spannstahl infolge Relaxation in Abhängigkeit von der Ausgangsspan-

nung zur charakteristischen Zugfestigkeit (σp0 /fpk ) mit σp0 = σpg0 – 0,3Δσp,c+s+r (σpg0 ist die an-fängliche Spannstahlspannung aus Vorspannung und ständigen Einwirkungen). Für den übli-chen Hochbau darf σp0 zu 0,95·σpg0 angenommen werden; vgl. a. DIN 1045-1 Gl. (51).

σcg Betonspannungen in Höhe der Spannstahlachse infolge quasi-ständiger Einwirkungenσcp0 Anfangsbetonspannungen in Höhe der Spannstahlachse infolge von VorspannungAp; Ac; Ic Fläche des Spannstahls; Fläche bzw. Flächenmoment 2. Grades des Betonquerschnittszcp Abstand zwischen Schwerpunkt des Betonquerschnitts und der Spanngliedachse

Spannkraftverluste infolge von elastischer BauteilverkürzungBei Vorspannung mit nachträglichem Verbund und ohne Verbund treten Spannkraftverluste dann auf,wenn nicht alle Spannglieder gleichzeitig vorgespannt werden (Regelfall). Durch die Bauteilverkürzungbeim Vorspannen verlieren die bereits gespannten Spannglieder einen Teil der Vorspannung.Die Gesamtverkürzung des Spanngliedes k durch das Spannen von (i – k) weiteren Spanngliedern mit derKraft Pj beträgt

∑+ ⋅

⋅=

i

1k cncm

jΔAE

LPL

(63.3a)

Daraus ergibt sich der Spannkraftverlust im Spannglied k

∑+ ⋅

⋅⋅=

i

1k cncm

jp,pjkc,Δ

AE

AEPP (63.3b)

Acn NettoquerschnittsflächeL Länge zwischen den Spann- bzw. Festankern

Ap,j Spannstahlquerschnitt der Spanngliedes jL Länge zwischen den Spann- bzw. Festankern

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3.7 Zeitabhängiges BetonverhaltenKriechen und Schwinden müssen dann berücksichtigt werden, wenn ihr Einfluss merklich ist, wie z. B. beiVerformungen, Spannungsermittlungen, bei Einflüssen nach Theorie II. Ordnung und bei vorgespanntenTragwerken. Unter der Voraussetzung, dass die kriecherzeugenden Betondruckspannungen ≤ 0,45·fckj, diemittlere Temperatur zwischen 10 °C und 30 °C und die relative Feuchte der Umgebung RH-Werte zwi-schen 40 % und 100 % aufweist, darf angenommen werden (s. [5.17], [5.22]): – Kriechen und Schwinden sind voneinander unabhängig. – Es gilt ein linearer Zusammenhang zwischen Kriechverformungen und kriecherzeugenden Spannungen. – Das Superpositionsprinzip gilt auch für zu verschiedenen Altersstufen gehörenden Einflüssen. – Einflüsse aus ungleichmäßigen Temperatur- und Feuchtigkeitsverläufen werden vernachlässigt.Den Dehnungen von Beton liegen somit die Aufspaltung der Verformungskomponenten zugrunde; fürkonstante Umgebungsbedingungen gilt:

εc (t) = εcc (t, t0 ) + εcs (t, ts ) + εci (t0 ) (64.1)mit εcc (t, t0 ) als Kriechdehnung, εcs (t, ts ) als Schwinddehnung und εci (t0 ) als elastischer Dehnung. Fürdie Kriechdehnung des Betons εcc (t, t0 ) gilt folgende Beziehung:

εcc (t, t0 ) = ϕ (t, t0) · σc ( t0) / Ec0 (64.2)Es sind Ec0 E-Modul des Betons (Tangentenmodul) nach 28 Tagen; s. hierzu Abschnitt 2.2.1 bzw.

Tafel 5.32.σc ( t0) die zeitlich konstante kriecherzeugende Betonspannung, die bei t0 aufgebracht wirdϕ (t, t0) Kriechzahl (s. nachfolgend)

Wenn die Betonspannungen sich nur wenig ändern, können Verformungen unter Verwendung eineswirksamen Elastizitätsmoduls berechnet werden:

Ec,eff = Ecm / (1 + ϕ (t,t0)) (64.3)Für typische Verhältnisse sind die Endkriechzahlen ϕ (∞ , t0 ) und Endschwindmaße εcs,∞ in DIN 1045-1,Abschn. 9.1.4 (s. S. 5.65) wiedergegeben. Eine Ermittlung der Kriechzahlen ϕt und Schwindmaße εcs füreinen beliebigen Zeitpunkt t ist mit Hilfe der nachfolgenden Angaben möglich (nach [5.22]); detaillier-tere Angaben sind außerdem im DAfStb-H. 525 enthalten.

ϕRH = [1 + (1 – RH / RH0) · α1 / (0,10 · h0 /h1)1/3] · α2β(fcm) = 5,3 /β (t0) = 1/[0,1+(t0,eff / t1)0,20]β H = 150 · [1+(1,2 · RH / RH0)18] · h0 / h1 + 250 · α3

≤ 1500· α3t0,eff = t0 · [9 / (2 + (t0 / t1)1,2) + 1]α ≥ 0,5 Tage

Schwindmaß εcs (t, ts)εcs (t, ts) = εcas (t) + εcds (t, ts)

Hierin sindϕ0 = ϕRH · β (fcm) · β (t0)βc (t , t0) = [((t–t0)/t1) / (β H + (t – t0)/t1)] 0,3

Kriechzahl ϕ (t, t0)ϕ (t, t0) = ϕ0 · βc (t, t0) (64.4a)

RH rel. Feuchte der Umgebung in %RH0 = 100 % (Bezugsgröße)h0 = 2·Ac /u wirksame Bauteildicke in mm (S. 5.33)h1 = 100 mm (Bezugsgröße)fcm mittlere Betondruckfestigkeit in N/mm2

fcm0 = 10 N/mm2 (Bezugsgröße)t Betonalter in Tagen zum betrachteten Zeitpunktt0,eff wirksames Betonalter (in Tagen) bei Belas-

tungsbeginn .t0 tatsächliches Betonalter (in Tagen) bei Belas-

tungsbeginn *)

t1, t1,T 1 Tagα1 = (3,5fcm0 / fcm)0,7

α2 = (3,5fcm0 / fcm)0,2

α3 = (3,5fcm0 / fcm)0,5

α = –1 für Zement 32,5N (Zementtyp SL)0 für Zement 32,5R, 42,5N (Zementtyp N, R)1 für Zement 42,5R, 52,5 (Zementtyp RS)

ts Betonalter in Tagen zu Beginn des Schwindensβs1= (3,5fcm0/fcm)0,1 ≤ 1Beiwerte αas, αds1, αds1

Für Leichtbeton sind die Endkriechzahlen mitηE nach Tafel 5.32(für LC12/13 bis LC16/18 zusätzlich mit η2 = 1,3)

die Endschwindmaße mitη3 = 1,5 für Beton LC12/13 bis LC16/18η3 = 1,2 für Beton ab LC20/25

zu multiplizieren, wenn keine Versuchsergebnisse vor-liegen.

Zement 32,5N 32,5R, 42,5N 42,5R, 52,5 αas 800 700 600 αds1 3 4 6 αds2 0,13 0,12 0,12

(64.4b)

cm0cm / ff

*) t0 muss korrigiert werden, wenn die Lagerungstemperatur vor Belastungbeginn deutlich von 20 °C abweicht;s. hierzu z. B. [5.22].

Hierin sindεcas (t) = εcas0 (fcm) · βas(t)εcds (t, ts) = εcds0 (fcm) · βRH(RH) · βds (t – ts)

εcas0 (fcm) = –αas · [( fcm /fcm0)/(6 + fcm /fcm0)]2,5 · 10–6

εcds0 (fcm) = (220 + 110 ·αds1) · e–αds2 · fcm / fcm0 · 10–6

βas(t) = 1 – e–0,2 ·

βds (t – ts) = [((t–ts) / t1)/(350 · (h0 / h1)2 + (t–ts) / t1)] 0,5

β RH = –1,55 · (1– (RH/RH0)3) für 40 % ≤ RH < 99 % · βs1β RH = +0,25 für RH ≥ 99 % · βs1

1tt

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Tafel 5.65a Endkriechzahlen ϕϕϕϕϕ (∞∞∞∞∞, t0)

ϕ (∞, t0) für Normalbeton undtrockene Umgebungsbedin-gungen (RH = 50 %)

ϕ (∞, t0) für Normalbeton undfeuchte Umgebungsbedin-gungen (RH = 80 %)

Tafel 5.65b Endschwinddehnung εεεεεcs∞∞∞∞∞

Schrumpfdehnung εcas∞

Trocknungs-schwinddehnung εcds∞

Erläuterung zu Tafel 5.65a und 5.65b AblesevorschriftLegende: 1 Festigkeitsklasse des Zements 32,5 N

2 Festigkeitsklassen des Zements 32,5 R; 42,5 N3 Festigkeitsklassen des Zements 42,5 R; 52,5 N; 52,5 R

εcs∞ = εcas∞ + εcds∞

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@- 5.66 Stahlbeton- und Spannbetonbau

4 Bemessung

4.1 Grenzzustände der Tragfähigkeit

4.1.1 Biegung und Längskraft

4.1.1.1 Voraussetzungen und Annahmen

Für die Bestimmung der Grenztragfähigkeit von Querschnitten gelten folgende Annahmen:Ebenbleiben der Querschnitte Dehnungen der Fasern eines Querschnitts verhalten sich wie ihre

Abstände von der Dehnungsnulllinie.Vollkommener Verbund Dehnungen der im Verbund liegenden Bewehrung und des Betons,

die sich in einer Faser befinden, sind gleich.Zugfestigkeit des Betons Sie wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht berücksichtigt.(Druck-)Spannungen im Beton Es gilt die σ-ε-Linie der Querschnittsbemessung nach Abschn. 2.2.1.Spannungen im Beton-, Spannstahl Sie werden aus den σ-ε-Linien nach Abschn. 2.2.2 u. 2.2.3 hergeleitet.Dehnungsverteilung im Beton Die Dehnungen im Beton sind am Druckrand auf εc2u bzw. εlc2u

nach Tafel 5.32 zu begrenzen. Bei vollständig überdrückten Quer-schnitten darf die Dehnung im Punkt C (s. Abb.) εc2 bzw. εlc2 (s. S.5.32) betragen1) (bei geringer Ausmitte mit ed /h ≤ 0,1 darf fürNormalbeton auch εc2 = –2,2 ‰ zugelassen werden).

Dehnungsverteilung im Stahl Für Betonstahl gilt εs ≤ 25 ‰, für Spannstahl gilt die Grenze für dieZusatzdehnung Δεp (zusätzlich ist die Vordehnung εp(0) im Spann-stahl zu beachten).

_________1) In vollständig überdrückten Platten von gegliederten Querschnitten ist die Dehnung in Plattenmitte auf εc2 bzw.

εlc2 zu begrenzen; die Tragfähigkeit braucht jedoch nicht kleiner angesetzt zu werden als die desStegquerschnitts mit der Höhe h und mit der o. g. Dehnungsverteilung.

Versagen ohne VorankündigungEin Querschnittsversagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung muss vermieden werden. Hierfürreicht bei Stahlbetonbauteilen i. Allg. die Mindestbewehrung nach Abschn. 5.4.1 aus. Bei Spannbeton-bauteilen wird die Forderung alternativ erfüllt – durch eine Mindestbewehrung nach Abschn. 5.4.1 oder – durch Kontrollmöglichkeiten (Monitoring oder andere zerstörungsfreie Prüfverfahren), wodurch die

Unversehrtheit der Spannglieder überprüft werden kann.(Für unbewehrte Bauteile s. Abschn. 4.1.1.5.)

Schnittgrößen in der Schwerachse und „versetzte“ SchnittgrößenFür verschiedene Bemessungsaufgaben müssen die auf die Schwerachse bezogenen Schnittgrößen inausgewählte, „versetzte“ Schnittgrößen umgewandelt werden. Die dargestellten Schnittgrößen sind je-weils identisch mit dem auf die Schwerachse bezogenen Moment MEd und der entsprechenden Längs-kraft NEd.

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@-5.67Bemessung – Grenzzustände der Tragfähigkeit

4.1.1.2 Mittiger Zug oder Zugkraft mit kleiner Ausmitte

Die Kraft greift innerhalb der Bewehrungslagen an, d. h., dass der gesamte Querschnitt gezogen ist unddie einwirkende Kraft ausschließlich durch Bewehrung aufgenommen werden muss. Die Zugkraft wirdnach dem Hebelgesetz aufgeteilt, wobei vereinfachend angenommen wird, dass in beiden Bewehrungs-lagen die Streckgrenze erreicht wird.

NEd zs2 + edAs1 = —— · ———— (67.1a) fyd zs1 + zs2NEd zs1 − edAs2 = —— · ———— (67.1b) fyd zs1 + zs2

Beispiel

Zugstab mit Bemessungsschnittgrößen infolge von Biegung und Längskraft nach Abbildung. Es ist derGrenzzustand der Tragfähigkeit nachzuweisen. Bei Verwendung von Betonstahl BSt 500 erhält man:

fyd = fyk /γs = 500/1,15 = 435 MN/m2

ed = MEd / NEd = 40 / 800 = 0,05 m < 0,20 m

0,800 0,20 + 0,05As1 = ——— · —————— · 104 = 11,5 cm2

435 0,20 + 0,200,800 0,20 − 0,05

As2 = ——— · ——— —— · 104 = 6,9 cm2 435 0,20 + 0,20

(Hinweis: Bei Zuggliedern ist stets ein Nachweis zur Begrenzung der Rissbreite zu führen; hierfür ist eshäufig erforderlich, σs ≤ fyd zu wählen.)

4.1.1.3 Biegung (mit Längskraft)

Der Nachweis der Tragfähigkeit erfolgt in der Regel in Form einer Bemessung. Für Querschnitte mitrechteckiger Druckzone und für Plattenbalken sind Bemessungshilfen in Form von Diagrammen undNomogrammen vorhanden (s. Abschn. 6, Tafeln 1 bis 4; es gelten die dort angegebenen Annahmen undVoraussetzungen).

Beispiel 1(Beispiel wird in Abschn. 4.1.2.2 „Bauteile ohne Querkraftbewehrung“ fortgesetzt.)Für die dargestellte einfeldrige, einachsig gespannte Platte mit gk= 6,5 kN/m2 und qk= 5,0 kN/m2 ist dieBiegebemessung (= Nachweis der Grenztragfähigkeit für Biegung) in Feldmitte durchzuführen.

Baustoffe:C20/25: fck = 20 MN/m2

fcd = α fck /γc = 0,85 · 20/1,5 = 11,3 MN/m2

BSt 500: fyk = 500 MN/m2

fyd = fyk /γs = 500 / 1,15 = 435 MN/m2

Bemessungsmoment:MEd = 0,125 · (γG · gk + γQ · qk ) · l2

= 0,125 · (1,35 · 6,50 + 1,50 · 5,00) · 4,52

= 41,2 kNm/m

Bemessung:

MEds = MEd = 41,2 kNm/m (wegen NEd = 0)μEds = MEds / (b · d 2 · fcd) = 41,2 · 10–3 / (1,0 · 0,182 · 11,3) = 0,113

⇒ ω = 0,120; σsd = fyd = 435 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)ζ = 0,94; z = ζ · d = 0,94 · 0,18 = 0,169 m

1 1As = — · (ω · b · d · fcd + NEd ) = —— · (0,120 · 1,0 · 0,18 · 11,3 + 0 )σsd 435

= 5,61 · 10−4 m2 /m = 5,61 cm2/ m

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Ein einfeldriger Plattenbalken ist für die größte Biegebeanspruchung in Feldmitte zu bemessen. Es seiendie angegebenen charakteristischen Lasten vorhanden.

Baustoffe:C 30/37: fcd = α ·fck /γc

= 0,85 · 30/1,5 = 17 MN/m2

BSt 500: fyd = fyk /γs = 500/1,15 = 435 MN/m2

Bemessungsmoment:max MEd = 0,125 · (1,35 · 50+1,50 · 30) · 7,52

= 791 kNmmitwirkende Plattenbreite:(s. Abschn. 3.4.2)beff = bw + 2 · (0,2 · bi + l0 /10)

= 0,30 + 2 · (0,2 · 2,0 + 7,50 /10) = 2,60 mBemessung:MEds = MEd = 791 kNmμEds = MEds / (beff · d2 · fcd)

= 0,791 / (2,60 · 0,532 · 17,0) = 0,064→ ξ = 0,09 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)

x = ξ · d = 0,09 · 53 ≈ 5 cm < 15 cmd. h., Druckzone innerhalb der rechteckigenPlatte, Bemessung als Rechteckquerschnitt

⇒ ω = 0,0664 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)As = ω · beff · d / (fyd /fcd)

= 0,0664 · 260 · 53 / (435 / 17,0) = 35,8 cm2

Alternativ ist auch eine Bemessung mit Tafel 4 möglich; hierbei wird mit beff / b = 2,60/0,30 = 8,7 undhf /d = 15/53 = 0,28 für μEds = 0,064 (s. o.) ebenfalls ω = 0,0664 (nach Interpolation) abgelesen.

Beispiel 3Für den dargestellten Trapezquerschnitt ist im Grenzzustand der Tragfähigkeit die erforderliche Beweh-rung zu bestimmen. In der Betondruckzone wird näherungsweise eine rechteckförmige Spannungsver-teilung entsprechend Abschn. 2.2.1 (S. 5.31) angenommen.

Beanspruchung:MEd = 70 kNm

Baustoffe:C 20/25: χ · fcd = 0,95 · (0,85 · 20 / 1,5)

= 10,8 MN/m2

(Eine weitere Abminderung mit dem Fak-tor 0,9 entfällt, da die Querschnitt zumDruckrand hin breiter wird.)

BSt 500: fyd = 435 MN/m2

Bemessung:Dehnungsverteilung εc /εs = −3,5/5,7 in ‰ (Annahme; s. unten)

⇒ x = d · |εc| / (|εc| + εs ) = 0,30 · 3,5 / (3,5+5,7) = 0,114 mBetondruckkraft Fcd = Acc,red · ( χ · fcd)

Acc,red = 0,5 · (bo+bk · x) · (k · x) = 0,5 · (0,30+0,253) · 0,8 · 0,114 = 0,0252 m2 ↑ k = 0,8 (s. S. 5.31)

Fcd = 0,0252 · 10,8 = 0,272 MNHebelarm z z = d − a = 0,30 − 0,044 = 0,256 m (a Schwerpunktabstand der trapezförmigen

reduzierten Druckzone vom oberen Rand)Identitätsbedingung MEd ≡ Fcd · z

0,070 ≡ 0,272 · 0,256 = 0,070 MNm ⇒ Dehnungsverteilung richtig geschätztStahlzugkraft Fsd = Fcd = 0,272 MN (Gleichgewicht im Querschnitt bei reiner Biegung)Bewehrung εs = 5,7 ‰ ⇒ σsd = fyd = 435 MN/m2

As = Fsd / fyd = 0,272/435 = 6,3 · 10−4 m2 = 6,3 cm2

Beispiel 2 (wird unter Abschn. 4.1.2 (S. 5.74) „Querkraft“ fortgesetzt)

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4.1.1.4 Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte

Die Gesamttragfähigkeit ergibt sich aus der Addition der Traganteile des Betons und Betonstahls. Beizentrisch oder annähernd zentrisch belasteteten Querschnitten (ed /h ≤ 0,1) gilt |εc2| = 2,2 ‰ (sieheDIN 1045-1, 10.2) und damit für die Stahlspannung σsd = fyd.

Beispiel 1Der dargestellte Querschnitt wird zentrisch auf Druck beansprucht; es ist die im Grenzzustand der Trag-fähigkeit aufnehmbare Bemessungskraft NRd gesucht.

Baustoffe: C20/25; BSt 500 | NRd | = |Fcd | + |Fsd | = b · h · (α · fck/γc ) + (As1 + As2) · σsd

= 0,30 · 0,40 · (0,85 · 20 /1,5) + 2 · 6,3 · 10−4 · 435= 1,360 + 0,548 = 1,908 MN (Bemessungsdruckkraft!)

Exzentrisch belastete StahlbetonstützenDie Bemessung für Längsdruck mit kleiner Ausmitte erfolgt häufig – insbesondere im Zusammenhangmit Stabilitätsnachweisen – mit Interaktionsdiagrammen für symmetrische Bewehrung. Der Anwen-dungsbereich dieser Diagramme geht allerdings über den Bereich „Längsdruckkraft mit kleiner Aus-mitte“ hinaus und erstreckt sich vom zentrischen Zug bis zum zentrischen Druck (s. Abschn. 6, Tafeln 5bis 8 sowie Tafel 9 für zweiachsige Ausmitte).

Beispiel 2Die dargestellte Stütze wird durch eine zentrische Druckkraft aus Eigenlasten und durch eine horizontalgerichtete veränderliche Einwirkung beansprucht. Gesucht ist die Bemessung am Stützenfuß, wobei dieStütze nur in der dargestellten Ebene ausweichen kann.Baustoffe C20/25; BSt 500Belastungen Gk,v = 900 kN; Qk,h = 100 kNBemessungsschnittgrößenWegen λ = 2 · 1,75 / (0,289 · 0,50) = 24 < 25kann auf eine Untersuchung am verformtenSystem verzichtet werden; d. h., es gelten die„Regel“bemessungsschnittgrößen (s. hierzu Ab-schn. 4.1.5).NEd = γG · Gk,v = 1,35*) · (−900) = −1215 kNMEd = γQ · Qk,h · l = 1,50 · 100 · 1,75 ≈ 263 kNm

Bemessungd1 /h = d2 /h = 5/50 = 0,10; BSt 500 ⇒ Tafel 5b ⎫νEd = NEd / (b · h · fcd) = −1,215 / (0,30 · 0,50 · 11,3) = −0,714 ⎬ ⇒ ωtot = 0,65μEd = MEd / (b · h2 · fcd) = 0,263 / (0,30 · 0,502 · 11,3) = 0,310 ⎭As,tot = ωtot · b · h / (fyd / fcd) = 0,65 · 0,30 · 0,50 /(435/11,3) = 25,3 · 10−4 m2 = 25,3 cm2

As1 = As2 = 12,7 cm2

Beipiel 3Die im Beispiel 2 berechnete Stütze wird für eine geänderte Belastung aus Eigenlast bemessen. Im Übri-gen gelten die zuvor gemachten Angaben.Belastung Gk,v = 400 kN; Qk,h = 100 kNBemessungsschnittgrößen NEd = γG · Gk,v = 1,00*) · (− 400) = − 400 kN

MEd = γQ · Qk,h · l = 1,50 · 100 · 1,75 ≈ 263 kNmBemessung νEd = NEd / (b · h · fcd) = −0,400 / (0,30 · 0,50 · 11,3) = − 0,235 ⎫⎬ ⇒ ωtot = 0,55μEd = MEd / (b · h2 · fcd) = 0,263 / (0,30 · 0,502 · 11,3) = 0,310 ⎭

As,tot = ωtot · b · h / (fyd / fcd) = 0,55 · 0,30 · 0,50 /(435/11,3) · 104 = 21,4 cm2

As1 = As2 = 10,7 cm2

___________*) Im Beispiel 3 wirkt im Gegensatz zum Beispiel 2 die Eigenlast günstig und darf daher nur mit γG,inf = 1,0

multipliziert werden (vgl. Abschn. 2.1.2, S. 5.27 ff.).

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4.1.1.5 Biegung und Längskraft bei unbewehrten Betonquerschnitten

Voraussetzungen und Annahmen (vgl. Abschn. 4.1.1.1):Ebenbleiben der Querschnitte Dehnungen der Fasern eines Querschnitts verhalten sich wie ihre Ab-

stände von der Dehnungsnulllinie.Zugfestigkeit des Betons Sie darf im Allgemeinen nicht berücksichtigt werden.Spannungsverteilung im Beton Es gelten die σ-ε-Linien der Querschnittsbemessung nach Abschn. 2.2.1.Duktiles Bauteilverhalten Ein Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung muss vermieden

werden. Für stabförmige Bauteile mit Rechteckquerschnitt gilt dies als er-füllt, wenn die Ausmitte der Längskraft in der maßg. Einwirkungskombi-nation des Grenzzustandes der Tragfähigkeit auf ed / h < 0,4 beschränktwird; nach [5.26] gilt ed = etot, d. h. eine ungewollte Ausmitte, Kriechaus-mitte usw. ist ggf. zusätzlich zu berücksichtigen (s. Abschn. 4.1.5.7).

Sicherheitsbeiwert Wegen der geringen Verformungsfähigkeit gilt als Teilsicherheitsbeiwert– γc = 1,80 in der Grundkombination– γc = 1,55 in der außergewöhnlichen Kombination.

Betonfestigkeitsklassen Rechnerisch darf keine höhere Festigkeitsklasse als C35/45 oder LC20/22ausgenutzt werden (DIN 1045-1, 10.2).

NachweisprinzipDie äußeren Lasten und / oder Zwängungen müssen vom Querschnitt aufgenommen werden können.Dabei müssen mögliche Unsicherheiten bezüglich der Lage der Spannungsresultierenden, Öffnungen,Schlitze oder Aussparungen berücksichtigt werden.Allgemeine Nachweisbedingung:

NEd ≤≤≤≤≤ NRd

Bemessungswert der aufnehmbaren Längsdruckkraft für RechteckquerschnitteFür Rechteckquerschnitte und Normalbeton erhält man unter Annahme des Parabel-Rechteck-Diagrammsbei einachsiger Lastausmitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit als aufnehmbare Längskraft NRd

NRd = − fcd · k · Acfcd Bemessungswert der Betondruckfestigkeit (s. o.; vgl.

auch Abschn. 2.2.1)Ac Fläche des Betonquerschnittsk Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung eines Klaf-

fens der Fuge und der parabelförmigen Spannungs-verteilung in der Druckzone (s. nebenstehende Tafel).

Bei der Ermittlung der Ausmitte ed von NEd sind erforderlichenfalls auch Einflüsse nach Theorie II. Ord-nung und von geometrischen Imperfektionen zu erfassen (s. Abschn. 4.1.5.7).

Beispiel (vgl. auch Abschn. 4.1.5.7)Rechteckquerschnitt mit Schnittgrößen NGk = −300 kN sowie NQk = −150 kN und MQk = 30 kNm. Essoll überprüft werden, ob der Querschnitt unbewehrt ausgeführt werden kann. Einflüsse aus Theorie II.Ordnung und Imperfektionen seien vernachlässigbar klein.Baustoffe: Beton C20/25Einwirkende Schnittgrößen NEd und Exzentrizität ed

*)

NEd = γG · NGk + γQ · NQk = −1,00 · 0,300 − 1,50 · 0,150 = −0,525 MNMEd = γG · MGk + γQ · MQk = 0 + 1,50 · 0,030 = 0,045 MNm| ed | = MEd / NEd = 0,045 / 0,525 = 0,086 m (s. nebenstehende Abb.)

Nachweis eines duktilen Bauteilverhaltensed = 0,086 m < 0,4 h = 0,4 · 0,40 = 0,16 m (erfüllt)

Aufnehmbare Längsdruckkraft NRdNRd = − fcd · b · h · k

ed / h = 8,6 / 40,0 = 0,215 → k = 0,556NRd = −0,85 · (20/1,8) · 0,30 · 0,40 · 0,556 = −0,630 MN

Nachweis|NEd| = 525 kN < |NRd| = 630 kN → Die Tragfähigkeit ist ohne Bewehrung gegeben.

_____*) Der Nachweis erfolgt im Rahmen des Beipiels nur mit γG,inf = 1,0 (maßgebend für die ungünstigste Ausmitte ed /h der Längskraft);

zusätzlich ist ein Nachweis für γG,sup = 1,35 zu führen (ggf. für den Nachweis der Tragfähigkeit ungünstiger).

ed /h 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4k 1,0 0,778 0,584 0,389 0,195

ed Lastexzentrizität; h Bauhöhe

h=40

b=30

MQk

Ac,eff

N , NGk Qk

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4.1.2 Querkraft

4.1.2.1 Nachweisform

Es ist nachzuweisen, dass der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft VEd den Bemessungswert desWiderstandes VRd nicht überschreitet.

VEd ≤ VRd (71.1)

Die Tragfähigkeit für Querkraft wird durch verschiedene Versagensmechanismen begrenzt; es gelten fol-gende Bemessungswerte der aufnehmbaren Querkraft:– VRd,ct aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bau-

teils ohne Schubbewehrung (Abschn. 4.1.2.2)– VRd,max Bemessungswert der Querkraft, die ohne Ver-

sagen des Balkenstegs („Betondruckstrebe“)aufnehmbar ist (Abschn. 4.1.2.3)

– VRd,sy Bemessungswert der aufnehmbaren Querkrafteines Bauteils mit Schubbewehrung (ohne Versa-gen der „Zugstrebe“ aufnehmbare Querkraft;Abschn. 4.1.2.3)

Das dargestellte, stark vereinfachte Fachwerkmodell erläutert das Tragverhalten eines Stahlbetonträgers.Druck- und Zuggurt sind durch Fachwerkstäbe verbunden, wobei die Druckstrebenkraft VRd,max durchdie Betontragfähigkeit und die Zugstrebentragfähigkeit VRd,sy durch die Schubbewehrung begrenzt ist.Bei VEd ≤ VRd,ct ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich (Balken und Platten mit b / h < 5sind jedoch stets mit einer Mindestquerkaftbewehrung zu versehen). In Querschnitten mit VEd > VRd,ct istdie Querkraftbewehrung zu bemessen, sodass VEd ≤ VRd,sy ist (die erforderliche Mindestquerkraftbe-wehrung ist zusätzlich zu beachten).Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft VEd darf in keinem Querschnitt des Bauteils den WertVRd,max überschreiten.

Bemessungswert VEd der einwirkenden Querkraft

Maßgebende Querkraft im Auflagerbereich (bei Balken und Platten mit gleichmäßig verteilter Belastung) – unmittelbare (direkte) Stützung ⇒ VEd im Abstand 1,0 · d vom Auflagerrand – mittelbare (indirekte) Stützung ⇒ VEd am Auflagerrand

Bauteile mit veränderlicher Höhe:Berücksichtigung der Querkraftkomponente der ge-neigten Gurtkräfte Fcd und Fsd (nachfolgend ist der Fallder Querkraftverminderung bei positiven Schnittgrößendargestellt):

VEd = VEd,0 − Vccd − Vtd (71.2a)VEd,0 Grundwert der BemessungsquerkraftVccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft Fcd 1)

parallel zu VEd,0Vccd = (MEds / z) · tan ϕo ≈ (MEds / d) · tan ψo

MEds = MEd − NEd · zsVtd Querkraftkomponente von Fsd parallel zu VEd,0

Vtd = (MEds / z + NEd ) · tan ϕu ≈ (MEds / d + NEd) · tan ϕu

(MEds wie vorher)Vccd und Vtd sind positiv, wenn sie – bezogen auf dasselbe Schnittufer – in Richtung von VEd,0 weisen.

Bauteile mit geneigten Spanngliedern:Die Bemessungsquerkraft ergibt sich aus (s. oben)

VEd = VEd,0 − Vpd (71.2b)Vpd Querkraftkomponente parallel zu VEd,0 infolge Spanngliedneigung im Grenzzustand der Tragfähigkeit;

Vpd ist positiv, wenn es – bezogen auf dasselbe Schnittufer – in Richtung von VEd,0 weist. Die mitt-lere Vorspannkraft muss dabei die Bedingung Pmt ≤ Ap · fp0,1k / γs erfüllen.

1) Erläuterung und Darstellung ohne Anordnung von Druckbewehrung.

1)

θ

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Falls die Betonzugspannung kleiner als fctk;0,05 / γc ist (γc für unbew. Beton), darf die Querkrafttragfähigkeitim Stahl- und Spannbeton in auflagernahen Bereichen bei vorwiegend ruhender Belastung bestimmt werden:

(72.2)

I Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts (Trägheitsmoment)S Flächenmoment 1. Grades des Querschnitts (Statisches Moment)fctk;0,05 Betonzugfestigkeit nach Tafel 5.32, jedoch mit fctk;0,05 ≤ 2,7 N/mm2

α1 = lx / lbpd ≤ 1 bei Vorspannung mit sofortigem Verbund und α1 = 1 in den übrigen Fällenlx Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn der Verankerungslänge (s. 5.3.2.1)lbpd oberer Bemessungswert der Übertragungslänge (s. Abschn. 5.3.2.1)

c

ctk;0.05cd1

2

c

ctk;0.05wctRd, γ

σαγ

ffSbI

V ⋅⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅=

Beispiel (wird unter Abschn. 4.2.3 „Begrenzung der Verformungen“ fortgesetzt)Platte wie dargestellt bewehrt (s. Abschn. 4.1.1.3); gesucht ist der Tragfähigkeitsnachweis für Querkraft.

Bemessungsquerkraft:Vd,li = (1,35 · 6,5 + 1,5 · 5,0) · 4,5 / 2 = 36,6 kN/mVEd = 36,6 − (0,08 + 0,18) · 16,3 = 32,4 kN/m *)

↑ BemessungslastBemessung:VRd,ct = (0,15/1,5) · κ · (100 · ρl · fck)1/3 · bw · d

κ = 2; ρl = 2,85 / (100 · 18) = 0,0016VRd,ct = 0,10 · 2 · (0,16 · 20)1/3 · 1,0 · 0,18

= 0,0531 MN/m = 53,1 kN/m > VEd (s.o.)

4.1.2.2 Bauteile ohne Querkraftbewehrung (DIN 1045-1, 10.3.3)Auf Schubbewehrung darf i. Allg. nur bei Platten verzichtet werden. Dabei darf die Querkraft VEd die Trag-fähigkeit VRd,ct nicht überschreiten. Außerdem muss an jeder Stelle VRd,max (s. Abschn. 4.1.2.3) eingehaltenwerden (der Nachweis von VRd,max erübrigt sich bei Platten ohne nennenswerte Längskräfte i. d. R.).Bemessungswiderstand VRd,ctDer Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit VRd,ct ergibt sich aus:

VRd,ct = [(0,15/γc) · η1 · κ · (100 · ρl · fck)1/3 – 0,12 · σcd ] · bw · d ≥ VRd,ct,min (72.1)

γc Sicherheitsbeiwert für Beton (i. Allg. γc = 1,5)η1 Tragfähigkeitsbeiwert; η1 = 1,0 für Normalbeton

η1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m3)κ = 1 + (200 / d)0,5 ≤ 2, Beiwert für den Einfluss der Nutzhöhe d (mit d in mm)bw kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone in mm (s. a. Abschn. 4.1.2.3)σcd σcd = NEd /Ac (in N/mm2) mit NEd als Längskraft infolge von Last oder Vorspannung (Druck negativ!)fck charakteristische Betondruckspannung (in N/mm2)ρl = Asl / (bw · d) ≤ 0,02; Längsbewehrungsgrad

Baustoffe: C20/25; BSt 500

VRd,ct,min = [η1 · (κ1/γc) · (κ3 · fck)0,5 – 0,12 σcd] · bw · d; Mindestquerkrafttragfähigkeitmit κ1 = 0,0525 für d ≤ 60 cm und κ1 = 0,0375 für d ≥ 80 cm (Zwischenwerte interpolieren)

Asl ist die Fläche der Längsbewehrung, die mindestens mit d über den betrachteten Querschnitt hinausgeführt und veran-kert wird (s. Skizze); Spannstahl im sofortigem Verbund darf angerechent werden.

direkteLagerung

Unbewehrte BauteileVEd ist im ungerissenen (Rest-)Querschnitt zu berechnen; ungerissen heißt, dass der Querschnitt im Grenz-zustand der Tragfähigkeit vollständig überdrückt ist oder die Hauptzugspannung ≤ 1,0 N/mm2 ist. Bei einerkombinierten Beanspruchung aus Querkraft, Längskraft und Biegung gilt Gl. (72.2) mit α1 = 1.

alternativ (hier günstiger):VRd,ct,min = (κ1/γc) · (κ3 · fck)0,5 · bw · d

= (0,0525/1,5) · (2,03 · 20)0,5 · 0,18= 0,0797 MN/m = 79,7 kN/m > VEd___________

*) Abstand d vom Auflagerrand; s. DIN 1045-1, 10.3.2 (1) Schn

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4.1.2.3 Bauteile mit QuerkraftbewehrungIn Balken, Plattenbalken sowie bei Platten mit b / h < 5 ist stets eine Querkraftbewehrung anzuordnen, auchwenn rechnerisch keine Schubbewehrung erforderlich ist (Mindestbewehrung). Wenn die Querkraft VEd denWiderstand VRd,ct überschreitet, ist die Querkraftbewehrung zu bemessen und nachzuweisen:

VEd ≤ VRd,max (Nachweis der „Druckstrebe”) und VEd ≤ VRd,sy (Nachweis der „Zugstrebe”)

Bauteile aus Normalbeton mit lotrechter Schubbewehrung (ααααα = 90°) und ohne Längskraft (σσσσσcd = 0)Bemessungswiderstand VRd,max .

VRd,max = αc · fcd · bw · z / (tan θ + cot θ) (73.3)Querkraftbewehrung asw

asw = VEd / ( fyd · z · cot θ) (73.4)Neigungswinkel θ 0,58*) ≤ cot θ ≤ 1,2 / (1 – 0,24 · fck

1/3 · bw · z / VEd) ≤ 3,0 (Normalbeton, σcd = 0)Werte αc · fcd und 0,24 · fck

1/3 für Normalbeton bis C50/60Betonfestigkeitsklasse C 12/15 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60αc · fcd in MN/m2 5,10 6,80 8,50 10,6 12,8 14,9 17,0 19,1 21,2

0,24 · fck1/3 in MN/m2 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,79 0,82 0,85 0,88

Bemessungswiderstand VRd,max . (cot θ + cot α)VRd,max = αc · fcd · bw · z · —————— (73.1) (1 + cot2 θ)

mit fcd = α · fck / γc (Bemessungswert der Betondruckfestigkeit)αc = 0,75 · η1 mit η1 = 1,0 für Normalbeton

η1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m3)bw kleinste Stegbreite innerhalb der Zugzonenhöhe (für Kreisquerschnitte s. [5.26], [5.33])

Bei verpressten Spanngliedern mit einer Durchmessersumme Σdh > bw / 8 im Steg ist bw zu ersetzen durchbw,nom = bw – 0,5 Σdh für Beton ≤ C50/60 bzw. LC50/55bw,nom = bw – 1,0 Σdh für Beton ≥ C55/67 bzw. LC55/60 (dh äußerer Hüllrohrdurchmesser)Wenn der Steg nicht verpresste Spannglieder oder Spannglieder ohne Verbund enthält, ist bw zu ersetzen durchbw,nom = bw – 1,3 Σdh

z Hebelarm der inneren Kräfte, i. Allg. z ≈ 0,9 · d, ein ggf. ungünstigerer Wert ist zu berücksichtigen;zudem gilt z ≤ d – 2 · cv,l bzw. z ≤ d – cv,l – 3,0 cm (größerer Wert maßgebend) mit cv,l als Verlege-maß der Längsbewehrung in der Druckzone. Bei vollständig unter Zug stehenden Querschnittendarf für z der Abstand der Zugbewehrung angesetzt werden, wenn Bügel sie umfassen.Bei geneigten Spanngliedern muss in der vorgedrückten Zugzone Betonstahl zur Aufnahme derLängszugkräfte infolge Querkraft vorhanden sein.

θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. u.)α Winkel zwischen Schubbewehrung und Bauteilachse

Bemessungswiderstand VRd,sy

VRd,sy = asw · fyd · z · (cot θ + cot α) · sin α (73.2)mit asw = Asw /sw (Querschnitt der Querkraftbewehrung je Längeneinheit)

θ Neigungswinkel der Druckstrebe; hierfür gilt (1,2 − 1,4 · σcd / fcd) ⎧ ≤ 2,0 (für Leichtbeton)0,58*) ≤ cot θ ≤ –––––––––––––––– ⎨ (1 − VRd,c / VEd) ⎩ ≤ 3,0 (für Normalbeton)

mit σcd = NEd /Ac (σcd als Druck negativ)VRd,c = [η1 · cj · 0,48 · fck

1/3 · (1 + 1,2 · (σcd / fcd))] · bw · z (mit cj = 0,5)Näherungsweise gilt: cot θ = 1,2 bei „reiner“ Biegung sowie Biegung und Längsdruck

cot θ = 1,0 bei Biegung und Längszug

4.1.2.4 Auflagernahe EinzellastenDer Querkraftanteil zur Ermittlung der Querkraftbewehrung für eine Einzellast im Abstand x ≤ 2,5 · dvom Auflagerrand darf bei direkter Lagerung mit dem Beiwert β abgemindert werden:

β = x / (2,5 · d )Beim Nachweis von VRd,max darf die Abminderung jedoch nicht vorgenommen werden. Eine Bemessungsollte mit Stabwerkmodellen erfolgen (eine „direkte“ Anwendung der Gleichungen nach Abschnitt4.1.2.3 ist problematisch). Weitere Hinweise und Beispiel s. z. B. [5.85], Bd. 2.____________*) cot θ < 1 sollte nur in Ausnahmefällen (z. B. bei geneigter Querkraftbewehrung) verwendet werden; bei Längs-

zug sollte cot θ = 1 eingehalten werden; vgl. a. [5.24].Schn

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Querkraftbewehrung aswasw = VEd / (fyd · z · cot θ)

z ≈ 0,9 · d = 0,9 · 0,53 = 0,48 m (< d – 2cv,l ; Annahme)cot θ ≤ 1,2 / (1 – 0,24 · fck

1/3 · bw · z / VEd) = 1,2 / (1 – 0,75 · 0,30 · 0,48 / 0,351) = 1,733asw = 0,351 / (435 · 0,48 · 1,733) = 9,70 · 10–4 m2/m = 9,70 cm2/m

Bemessungswiderstand VRd,maxVRd,max = αc · fcd · bw · z / (tan θ + cot θ)

αc · fcd = 12,8 MN/m2; cot θ = 1,733 (Winkel θ aus der Bemessung der Querkaftbewehrung [5.26])VRd,max = 12,8 · 0,30 · 0,48 / (0,577 + 1,733) = 0,798 MN > VEd = 0,422 MN

Beispiel zu Abschn. 4.1.2.3 und 4.1.2.5 (Fortsetzung von S. 5.68)Nachweis der Querkrafttragfähigkeit für lotrechte Querkraftbewehrung und des Druckgurtanschlusses

Bemessungsquerkraft:VEd,A = (1,35 · 50 + 1,50 · 30) · 7,50/2 = 422 kNVEd = 422 − (0,10 + 0,53) · 112,5 = 351 kN

↑ Bemessungslast

4.1.2.5 Anschluss von Druck- und ZuggurtenDie Schubkraft VEd darf die Tragfähigkeiten VRd,max und VRd,sy nicht überschreiten.

VEd ≤ VRd,max und VEd ≤ VRd,sy (74.1)

Einwirkende Schubkraft VEdVEd = ΔFd (74.2)

ΔFd Längskraftdifferenz in einem einseitigen Gurtabschnittauf der Länge av

av Länge, in der die Längsschubkraft konstant angenommenwerden darf, höchstens jedoch halber Abstand zwischenMomentennullpunkt und -höchstwert (bei Einzellastennicht über die Querkraftsprünge hinausgehend)

Tragfähigkeit VRd,max und VRd,syNachweis nach Abschn. 4.1.2.3 mit bw = hf und z = av . Für eine lotrecht zur Fuge angeordnete Anschluss-bewehrung und mit – näherungsweise – cot θ = 1 (Zuggurt) bzw. cot θ = 1,2 (Druckgurt) ergibt sich

VRd,max = αc · fcd · hf · av / (tan θ + cot θ) (74.3)asw = VEd / ( fyd · av· cot θ ) (74.4)

Kombinierte BeanspruchungenBei „Längs“schub und Querbiegung ist der größere erforderliche Stahlquerschnitt aus den beidenBeanspruchungsarten anzuordnen (DIN 1045-1, 10.3.5(4)). Die Biegedruck- und -zugzone sind dabei mit jeder Hälfte der erforderlichen Anschlussbewehrung getrennt zu betrachten (s. jedoch [5.22]).Wenn Querkraftbewehrung in der Gurtplatte erforderlich wird, sollte der Druckstrebennachweis für beideBeanspruchungsrichtungen in einer linearen Interaktion geführt werden:

(VEd,Platte/VRd,max,Platte) + (VEd,Scheibe/VRd,max,Scheibe) ≤ 1,0 (74.5)

Nachweis für den Anschluss des DruckgurtsVEd = ΔFd ΔFd ≈ Fcd · Aca / Acc ≈ Fcd · ba / bf = 1,235 · 1,15 / 2,60 = 0,546 MN

Fcd = MEd / z = 0,593/ 0,48 = 1,235 MN (MEd bei x = 1,88 m)ba = (2,60 − 0,30) / 2 = 1,15 m

av = 1,88 m halber Abstand zwischen M = 0 und M = MmaxVRd,max = αc · fcd · hf · av / (tan θ + cot θ) = 12,8 · 0,15 · 1,88 / (0,83 + 1,2) = 1,775 MN > ΔFdasw = VEd / ( fyd · av · cot θ) = 0,546 / (435 · 1,88 · 1,2) = 5,56 · 10–4 m2/m = 5,56 cm2/m

Die Bewehrung ist je zur Hälfte auf der Plattenober- und -unterseite anzuordnen, eine vorhandene Be-wehrung (aus Querbiegung) darf angerechnet werden (s. o.); die Mindestschubbewehrung ist zu beachten.


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4.1.2.6 SchubfugenSchubfugen übertragen Schubkräfte zwischen nebeneinander liegenden Fertigteilen oder zwischen Ort-beton und einem vorgefertigten Bauteil. Bezüglich der Rauigkeit der Fuge wird unterschieden: – sehr glatte Fuge: Oberfläche gegen Stahl-, Kunststoff- oder glatte Holzschalungen betoniert;

unbehandelte Fugenoberflächen, die mit fließfähigem bzw. sehr fließfähigem Beton(≥ F5) hergestellt wurden.

– glatte Fuge: Eine Fuge gilt als glatt, wenn sie abgezogen oder im Extruderverfahren hergestellt istoder die Betonoberfläche nach dem Verdichten ohne weitere Behandlung bleibt.

– raue Fuge: Oberfläche mit mind. 3 mm durch Rechen erzeugte Rauigkeit mit 40 mm Abstandoder mind. 3 mm Freilegen des Korngerüst oder definierte Rauigkeit (mittlere Rau-tiefe Rt ≥ 1,5 mm oder maximale Profilkuppenhöhe Rp ≥ 1,1 mm; s. DAfStb-H. 525).

– verzahnte Fuge: Bei einer verzahnten Fuge sollte die Verzahnung wie nebenstehend ausgeführt (mit0,8 ≤ h1/h2 ≤ 1,25) sein oder bei Verwendung von Gesteinskörnung dg ≥ 16 mm dasKorngerüst mind. 6 mm freigelegtwerden oder eine definierteRauigkeit vorliegen (mittlere Rau-tiefe Rt ≥ 3,0 mm oder maximaleProfilkuppenhöhe Rp ≥ 2,2 mm).

zV

FF

v Ed

cd

cdjEd ⋅=

NachweisDie aufzunehmende Schubkraft je Längeneinheit vEd darf die aufnehmbare vRdj nicht überschreiten:

vEd ≤ vRdj (75.1)

Bemessungswert der aufzunehmenden Schubkraft (von nachträglich ergänzten Querschnitten)

(75.2)

mit Fcd = MEd / z (Gurtlängskraft aus Biegung), Fcdj als Längskraftanteil, der über die Fuge übertragenwird, VEd als Bemessungswert der Querkraft und z als Hebelarm der inneren Kräfte.

Bemessungwert der aufnehmbare BemessungsschubkraftvRdj = vRdj,c + vRdj,sy ≤ vRdj,max (75.3)

Traglastanteil der unbewehrten Fuge vRdj,c = [η1 · cj · fctd – μ · σNd] · bj (75.3a)Traglastanteil der Fugenbewehrung vRdj,sy = as · fyd · (1,2μ · sin α + cos α) (75.3b)Maximale Tragfähigkeit vRdj,max = 0,5 · η1 · ν · fcd · bj (75.3c)

(cot +cot )a f ϑ αyds

vEd,j

α

bNd jμ σ

sin

Die notwendige Bewehrung darf abgestuft verteilt werden (vgl.Skizze), bei Scheibenbeanspruchung kann sie auch konzentriertausgeführt werden. Die Schubbewehrung muss auf beiden Seitender Kontaktfläche verankert sein.Bei Scheiben mit Ringanker- und Pfostenbewehrung sollte diemittlere Scheibenkraft vRd zwischen Platten ohne Verzahnung aufbj · 0,15 (N/mm2) für raue und glatte Fugen und bj · 0,10 (N/mm2)für sehr gatte Fugen begrenzt werden._________*) Bzgl. der Besonderheit bei Überzügen wird auf [5.73] verwiesen.

cj Beiwert nach Tafel; bei dynamischer oder Ermüdungsbean-spruchung gilt cj = 0

μ Beiwert der Schubreibung nach TafelσNd Spannungen infolge der äußeren Längskraft senkr. zur Fugen-

fläche (Druck negativ) mit σNd = nEd / b ≥ – 0,6 · fcd (in N/mm2);nEd unterer Bemessungswert der Normalkraft senkrecht zur Fugefctd Bemessungswert der Betonzugfestigkeit des 1. oder 2. Betonier-

abschnitts (kleinerer Wert maßgebend) mit fctd = fctk;0,05 / γc inN/mm2 (γc für unbewehrten Beton)

bj Breite der Fuge zwischen Ortbeton und Fertigteil (s. Abb.)ν Abminderungsfaktor gemäß Tafelη1 Beiwert; η1 = 1,0 für Normalbeton

η1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) für Leichtbetonα Winkel zwischen Fuge und kreuzender

Bewehrung, jedoch mit 45° ≤ α ≤ 90°as Querschnitt der die Fuge kreuzenden

Bewehrung je Längeneinheit

Oberfläche cj μ νverzahnt 0,50 0,9 0,70rau 0,40 1) 0,7 0,50glatt 0,20 1) 0,6 0,20sehr glatt 0 0,5 0 2)

1) Bei Zug senkr. zur Fuge gilt cj = 0*),ebenso bei Fugen von nebeneinanderliegenden Fertigteilen ohne Verbin-dung duch Mörtel oder Kunstharz.

2) μ · σNd in Gl. (75.3a) darf ausgenutztwerden, jedoch nur mit vRdj ≤ vRdj,maxder glatten Fuge.

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BeispieleFür den dargestellten Plattenbalken soll die Querkraft an der maßgebenden Stelle am Auflagerrand nach-gewiesen werden. Der Nachweis wird im Rahmen des Beispiels nur für den Endzustand geführt.

Baustoffe:Beton: C20/25 (Ortbeton)

C30/37 (Fertigteile)Betonstahl: BSt 500 S

Querkraft VEdVEd,0 = 172 kN (Auflagerlinie)VEd ≈ 150 kN (Abstand dj vom Rand)

Die Schubbemessung bzw. der Nachweis der Verbundfuge soll für folgende Fälle durchgeführt werden:a) für den monolithisch b) für ein TT-Fertigteil mit c) für eine Fertigteillösung

hergestellten Träger einer Ortbetonergänzung mit schmaler Verbundfuge

Fall a) Die Bemessung erfolgt wie im Abschn. 4.1.2.3 dargestellt.Zugstrebe VRd,sy bzw. Querkraftbewehrung asw

asw = VEd / ( fyd · z · cot θ )z = 0,9 · 0,40 = 0,36 m > 0,40 – 2 · 0,03 = 0,34 m (für cv,l = 3,0 cm)cot θ = 1,2 / (1 – 0,24 · fck

1/3 · bw · z / VEd) = 1,2 / (1 – 0,65 · 0,38 · 0,34 / 0,150) = 2,73 (< 3)asw ≥ 0,150 / (435 · 0,34 · 2,73) = 3,72 · 10–4 m2/m = 3,72 cm2/m

Druckstrebe VRd,maxVRd,max = αc · fcd · bw · z / (tan θ + cot θ) = 8,50 · 0,38 · 0,34 /(2,73 + 0,37) = 0,354 MN > VEd,0

Fall b) Abmessungen der Platte und Breite der beiden Stege entsprechen in etwa dem Fall a). Es ist zu-sätzlich die Verbundfuge nachzuweisen, wobei unterstellt wird, dass sie rau ausgeführt wird.

vEd = VEd / z (wegen Fcdj = Fcd, d. h., die Gesamtlängskraft aus Biegung ist im Aufbeton) = 0,150 / 0,34 = 0,441 MN/m

Aufnehmbare Schubkraft bei Verzicht auf VerbundbewehrungvRdj = vRdj,c = [η1 · cj · fctd – μ · σNd] · bj

bj = 2,20 m (Ohne Nachweis wird unterstellt, dass die ganze Breite mitträgt.)η1 = 1,0; cj = 0,40;fctd = fctk;0,05 / γc = 1,5 / 1,8 = 0,83 MN/m2; σNd = 0

vRdj,c = (1,0 · 0,40 · 0,83) · 2,20 = 0,733 MN/m > 0,441 MN/m→ Ausführung rechnerisch ohne zusätzliche Verbundbewehrung zulässig (s. jedoch [5.69]), es

genügt die unter a) ermittelte Querkraftbewehrung.Druckstrebentragfähigkeit: hier ohne Nachweis; s. Fall c)

Fall c) Die Platte ist über eine „schmale” Fuge mit dem Fertigbalken verbunden. Die Abmessungen ent-sprechen Fall a), es wird die Verbundfuge nachgewiesen, die rau ausgeführt wird.

vEd = 0,150 / 0,34 = 0,441 MN/mAufnehmbare Schubkraft bei Anordnung von Verbundbewehrung

vRdj = vRdj,c + vRd,sy ≥ vEdvRdj,c = (1,0 · 0,40 · 0,83) · 0,38 = 0,126 MN/mvRdj,sy = as · fyd · (1,2μ · sin α + cos α)

as ≥ (vEd – vRdj,c) / (fyd · (1,2μ · sin α + cos α)) = (0,441 – 0,126) / (435 · 1,2 · 0,7 · 1,00)= 8,62 · 10−4 m2/m = 8,62 cm2/m

Maximale TragfähigkeitvRdj,max = 0,5 · ν · fcd · bj = 0,5 · 0,50 · 11,33 · 0,38 = 1,077 MN/m > vEd,0 = 0,172/0,34 = 0,506

Fugen senkrecht zur SystemachseDie Fugen sind mindestens rau auszuführen, Nachweis nach Abschn. 4.1.2.2 und 4.1.2.3. Es ist jedoch VRd,ctnach Gl. (72.1), VRd,c in Gl. (73.2) und VRd,max nach Gl. (73.1) bzw. Gl. (73.3) im Verhältnis cj /0,50 abzu-mindern (s. [5.60], [5.73], vgl. auch [5.85]). Die Abminderung gilt mind. (0,5 · cot θ · d) beiderseits der Fuge. Sc

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4.1.3 Torsion

Grundsätzliches

Ein rechnerischer Nachweis der Torsionsbeanspruchung ist im Allgemeinen nur erforderlich, wenn dasstatische Gleichgewicht von der Torsionstragfähigkeit abhängt („Gleichgewichtstorsion“). Wenn Torsi-on aus Verträglichkeitsbedingungen auftritt („Verträglichkeitstorsion“), ist ein rechnerischer Nachweisim Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht erforderlich; es ist jedoch eine konstruktive Torsions-bewehrung (Mindestbewehrung) anzuordnen, gegebenenfalls sind rechnerische Nachweise im Grenzzu-stand der Gebrauchstauglichkeit (Beschränkung der Rissbreite usw.) notwendig.Als Torsionsbewehrung sind geschlossene Bügel und über den Querschnittsumfang verteilte Längsstäbeanzuordnen. Bei polygonal begrenzten Querschnitten müssen sich Längsstäbe in den Ecken befinden.

Nachweis bei reiner Torsion

Der Torsionswiderstand wird unter Annahme eines dünnwandigen, geschlossenen Querschnitts bestimmt.Vollquerschnitte werden durch gleichwertige dünnwandige Querschnitte ersetzt. Die Wanddicke bzw. dieErsatzwanddicke des Hohlkastens ergibt sich aus

teff zweifacher Schwerpunktabstand derLängsbewehrung vom Rand, jedochnicht größer als die vorhandene Wand-dicke

Hohlkastenquerschnitt zur Bestimmung derTorsionstragfähigkeit

Nachweis im Grenzzustand der TragfähigkeitTEd ≤ TRd,max (77.1a)TEd ≤ TRd,sy (77.1b)

TEd Bemessungswert des einwirkenden TorsionsmomentsTRd,max Bemessungswert des durch die Betondruckstrebe aufnehmbaren TorsionsmomentsTRd.sy Bemessungswert des durch die Bewehrung aufnehmbaren Torsionsmoments

Druckstrebennachw.: TRd,max = αc,red · fcd · 2 Ak · teff / (cot θ + tan θ) (77.2)

αc,red = 0,7 · αc (mit αc nach Abschn. 4.1.2.3)Bei geschlossenen Bügeln an beiden Seiten der Begrenzungswände eines Kastenquerschnittsdarf αc,red = αc angenommen werden.fcd Bemessungswert der BetonfestigkeitAk Fläche, die durch die Mittellinie uk eingeschlossen istteff Wandstärke des (Ersatz-)Hohlquerschnittsθ Druckstrebenneigung; für Torsion allein vereinfachend θ = 45° (s. u.)

Zugstrebennachweis: TRd,syw = 2 · Ak · (Asw /sw) · fyd · cot θ (Bügelbewehrung) (77.3a)TRd,syl = 2 · Ak · (Asl / uk) · fyd · tan θ (Längsbewehrung) (77.3b)

Asw, Asl Querschnittsfläche der Bügelbewehrung, der Torsionslängsbewehrungsw Abstand der Bügel in Trägerlängsrichtunguk Umfang der Fläche Akfyd Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung

Kombinierte BeanspruchungBei Beanspruchung aus Querkraft und Torsion wird die Neigung θ der Druckstrebe nach Abschn. 4.1.2.3bestimmt; für VEd ist jedoch der Schubfluss VEd,T+V jedes Teilquerschnitts und für bw die effektive Wand-dicke teff einzusetzen. Die Schubkraft der Wand unter kombinierter Beanspruchung erhält man aus:

VEd,T+V = VEd,T + VEd · teff / bw (77.4)mit VEd,T = TEd · z / (2 Ak)

Mit dem gewählten Neigungswinkel ist dann der Nachweis sowohl für Querkraft als auch für Torsion zuführen. Vereinfachend darf jedoch auch die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ = 45°ermittelt werden und zu der nach Abschn. 4.1.2.3 ermittelten Querkraftbewehrung addiert werden.Sc

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BeispielKragbalken mit (Bemessungs-)Last FdBaustoffe C20/25; BSt 500Bemessungsschnitt- MEd= 175 · 2,0 = 350 kNmgrößen VEd = 175 kN

TEd = 175 · 0,20 = 35 kNmBiegebemessung b/h/d = 30/70/65 cm

μEds= MEds / (b · d2 · fcd)= 0,35/(0,3 · 0,652 · 11,3) = 0,244

⇒ ω = 0,286; σsd = fyd = 435 MN/m2 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)As = ω · b · d / (fyd /fcd) = 0,286 · 30 · 65 / (435/11,3) = 14,5 cm2

Bemessung für Querkraft und Torsion; Nachweis der Druckstrebe:(Nachfolgend wird der Neigungswinkel θ für die Querkraftbemessung nach Abschn. 4.1.2.3 ermittelt, für Torison jedochmit θ = 45 ° angenommen.)

Querkraft (VEd) VRd,max = αc · fcd · bw · z /(cot θ + tan θ )αc · fcd = 0,75 · (0,85 · 20 / 1,5) = 8,50 MN/m2

z = 0,85 · 0,65 = 0,55 m (z aus Biegebemessung)cot θ ≤ 1,2 / (1 − VRd,c / VEd) ≤ 3,0 (für σcd = 0)

VEd = 0,175 MNVRd,c = 0,24 · fck1/3 · bw · z = 0,24 · 2,71 · 0,30 · 0,55 = 0,108 MN

cot θ ≤ 1,2 / (1 − 0,108 / 0,175) = 3,13 > 3,0VRd,max = 8,50 · 0,30 · 0,55/ (3,0 + 0,33 ) = 0,421 MN > VEd = 0,175 MN

Torsion (TEd) TRd,max = 2 · αc,red · fcd · Ak · t / (cot θ + tan θ)αc,red · fcd = 0,7 · 0,75 · (0,85 · 20 / 1,5) = 5,95 MN/m2

teff = 2 · 0,05 = 0,10 m (Schwerpunktabstand der Längsbewehrung = 5 cm)Ak = (0,70 − 0,10) · (0,30 − 0,10)= 0,12 m2

cot θ = 1,0 (Näherung; ohne genauere Berechnung)TRd,max = 2 · 5,95 · 0,12 · 0,10 / (1,0 + 1,0) = 0,071 MNm > TEd = 0,035 MNm

VEd + TEd : (VEd /VRd,max)2 + (TEd /TRd,max)2 = (175 /421)2 + (35 / 71) 2 = 0,42 < 1

Bemessung für Querkraft und Torsion, Nachweis der Bewehrung:Querkraft asw ≥ (VEd / z) / (cot θ · fyd) = (0,175 / 0,55) · 104 / (3,0 · 435) = 2,44 cm2/mTorsion asw ≥ [TEd /(2 · Ak)] /(cot θ · fyd) = [0,035/(2 · 0,12)] · 104 / (1,0 · 435) = 3,35 cm2/m

Asl ≥ [TEd · uk / (2 · Ak)] / (tan θ · fyd); uk = 2 · (0,60 + 0,20) = 1,60 m

Asl ≥ 0,035 · 1,60 / (2 · 0,12 · 1,0 · 435) = 5,36 · 10−4 m2 = 5,36 cm2

VEd + TEd asw = 2,44 + 2 · 3,35 = 9,14 cm2/m bzw. 9,14/2 = 4,57 cm2/m je Seite (2-schn. Bügel)Asl = 5,36 cm2 (umlaufend; Biegezugbewehrung anteilmäßig verstärken)

Nachweise unter kombinierter Beanspruchung– Biegung und/oder Längskraft mit Torsion

Betondruckspannungen Bei großen Biegemomenten – insbesondere bei Hohlkästen – sind die Haupt-druckspannungen nachzuweisen und zu begrenzen.

Längsbewehrung getrennte Ermittlung der Bewehrung aus Biegung und / oder Längskraft undTorsion und Addition der Anteile (im Druckgurt darf die Torsionslängsbe-wehrung entsprechend der vorhandenen Druckkraft abgemindert werden)

– Querkraft und TorsionDruckstrebentragfähigkeit (TEd / TRd,max)2 + (VEd / VRd,max)2 ≤ 1 (für Kompaktquerschnitte) (78.1)

(TEd / TRd,max) + (VEd / VRd,max) ≤ 1 (für Kastenquerschnitte) (78.2)mit TRd,max nach Gl. (77.2), VRd,max s. Abschn. 4.1.2.3

Bügelbewehrung Bewehrung wird getrennt für Querkraft und Torsion ermittelt; die Anteilesind zu addieren.

Bei rechteckförmigen Vollquerschnitten und bei kleiner Schubbeanspruchung kann auf einen rechneri-schen Nachweis der Bewehrung verzichtet werden, falls

TEd ≤ VEd · bw / 4,5 und VEd + (4,5 · TEd / bw) ≤ VRd,cteingehalten sind. Es ist jedoch immer die Mindestbewehrung anzuordnen.

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4.1.4 Durchstanzen4.1.4.1 NachweisformDie Einwirkung vEd darf den Widerstand vRd nichtüberschreiten:

vEd ≤ vRd (79.1)Nachfolgend werden Platten mit konstanter Dickeerläutert (Platten mit Stützenkopfverstärkungen s.DIN 1045-1).Für gedrungene Fundamente mit Auskragungen< 1,5 df (d. h. Stanzkegel außerhalb des Fundamen-tes) ist ein modifizierter Nachweis im Abstand1,0 df zu führen (s. DAfStb-H. 525; vgl. a. [5.85]).

Bemessungswert vEd der einwirkenden QuerkraftDie auf einen kritischen Schnitt bezogene Bemessungsquerkraft erhält man aus

vEd = VEd · β / u (79.2)VEd Bemessungswert der gesamten aufzunehmenden Querkraft

Eine Reduzierung von VEd infolge auflagernaher Einzellasten ist nicht zulässig. Bei Fundamentplattendarf die Querkraft VEd um die günstige Wirkung der Bodenpressung innerhalb der kritischen Flächeabgemindert werden; dabei darf für die Ermittlung der resultierenden Bodenpressungen jedoch höchstens50 % der kritischen Fläche in Ansatz gebracht werden.

β Faktor zur Berücksichtigung von Lastausmitten; für horiz. unverschiebliche Systeme mit Stütz-weitenunterschieden von max. 25 % unter Gleichlast gilt näherungsweise:β = 1,00: rotationssymmetrische Beanspruchung β = 1,05: bei Innenstützenβ = 1,40: bei Randstützen β = 1,50: bei Eckstützenβ = 1,35: bei Wandenden β = 1,20: bei Wandecken

u Umfang des kritischen Schnitts im Abstand 1,5 · d von der Lastaufstandsfläche (s. nachfolgend)Lasteinleitungsfläche und kritischer RundschnittDie Festlegungen für das Durchstanzen mit den dargestellten kritischen Rundschnitten (s. auch oben) gel-ten für folgende Formen von Lasteinleitungsflächen: – kreisförmige mit einem Durchmesser ≤ 3,5 · d – rechteckige mit einem Umfang ≤ 11· d und mit

einem Verhältnis von Länge zu Breite ≤ 2 – beliebig mit den oben genannten Grenzen(d mittlere Nutzhöhe der Platte)Die Lasteinleitungsfläche darf sich nicht im Bereich anderweitig verursachter Querkräfte und nicht in derNähe von anderen konzentrierten Lasten befinden, sodass sich die kritischen Rundschnitte überschneiden.Wenn die oben genannten Bedingungen bzgl. der Formbei Auflagerungen auf Wänden oder Stützen mitRechteckquerschnitt nicht erfüllt sind, dürfen nur dienebenstehend dargestellten Rundschnitte für denDurchstanznachweis in Ansatz gebracht werden.Für Lasteinleitungsflächen in der Nähe von Öffnun-gen (Abstand ≤ 6 · d) oder von freien Rändern (Ab-stand ≤ 3 · d) gilt ein reduzierter Rundschnitt, sofern dieser einen kleineren Umfang ergibt (s. u.).

Bemessungswert des Widerstands vRdDer Bemessungswiderstand vRd wird durch die nachfolgenden Werte bestimmt: – vRd,ct Querkrafttragfähigkeit längs des kritischen Schnitts einer Platte ohne Schubbewehrung – vRd,max größte zulässige Tragfähigkeit längs des kritischen Schnitts einer Platte mit Schubbewehrung – vRd,sy Querkrafttragfähigkeit längs innerer Nachweisschnitte einer Platte mit Schubbewehrung – vRd,cta Querkrafttragfähigkeit im äußeren Rundschnitt außerhalb des durchstanzbewehrten BereichsSc

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4.1.4.2 Punktförmig gestützte Platten oder Fundamente ohne Durchstanzbewehrung

Die einwirkende Querkraft vEd längs des kritischen Rundschnitts darf die Tragfähigkeit vRd,ct nach Gl.(80) nicht überschreiten:

vEd ≤≤≤≤≤ vRd,ct

Bemessungswiderstand vRd,ct

vRd,ct = [(0,21/γc ) · η1 · κ · (100 · ρl · fck)1/3 – 0,12 · σcd ] · d (80)

η1 Tragfähigkeitsbeiwert; hierfür giltη1 = 1,0 für Normalbetonη1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ : Trockenrohdichte in kg/m3)

κ = 1 + √ 200 / d ≤ 2 Beiwert für den Einfluss der Bauteilhöhe d (mit d in mm)σcd = 0,5 · (σcd,x + σcd,y) Betonlängsspannung (in N/mm2) innerhalb des krit. Rundschnitts

σcd,x = NEd,x /Ac und σcd,y = NEd,y /Ac mit NEd,x bzw. NEd,y als mittlere Längskraft infolge von Lastoder Vorspannung (Druck negativ!)

ρl = √ ρlx · ρly≤ 0,02≤ 0,50 · fcd / fyd

ρlx , ρly Bewehrungsgrad der Zugbewehrung in x-, y-Richtung, die innerhalb des betrachtetenRundschnitts im Verbund liegt und außerhalb des betrachteten Rundschnitts verankert ist.

d mittlere Nutzhöhe; es giltd = 0,5 · (dx + dy) mit dx und dy als Nutzhöhen in x- und y-Richtung

___________1) Für den Nachweis der Bodenpressungen ist ggf. der Übergang auf ein anderes Sicherheitskonzept zu beachten.2) Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt hier zunächst näherungsweise für eine über die Fundamentbreite gleichmäßig

verteilte Momentenbeanspruchung. Die Konzentration der Momente zur Plattenmitte hin wird jedoch konstruktivdurch die Verteilung der Längsbewehrung berücksichtigt.

3) Die Mindestbewehrung wird hier vereinfachend für eine mitwirkende Breite nachgewiesen, die der gesamten Fun-damentbreite entspricht.

BeispielFür das dargestellte Einzelfundament soll der Grenzzustand der Tragfähigkeit1) für Biegung und Durch-stanzen nachgewiesen werden.Baustoffe C30/37; BSt 500Biegebemessung

MEd = NEd · (b/ 8) · (1 − c / b)= 1000 · (2,30/8) · (1 − 0,30/2,30) = 250 kNm

(Unter Berücksichtigung einer Momentenausrun-dung an der Stütze; nach [5.39] und [5.40] könnteggf. auch das Anschnittmoment für eine Bemes-sung gewählt werden, s. a. Abschn. 5.4.6.)

μEds = 0,250/ [2,30 · 0,432 · (0,85 · 30/1,5)] = 0,0346 2)

⇒ ω = 0,0354 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)As = 0,0354 · 230 · 43 · (17/435) = 13,7 cm2

Die Bewehrung wird zur Plattenmitte hin konzen-triert2) ; sie wird wie folgt angeordnet:in Fundamentmitte: 7 ∅ 14 - 15 cmaußen: 2 × 3 ∅ 14 - 22 cm

Mindestmomente (s. Abschn. 4.1.4.4)mEd = η · VEd = 0,125 · 1000 = 125 kNm/mμEds = 0,125/ (1,00 · 0,432 · 17) = 0,040⇒ ω = 0,041 (s. Abschn. 6, Tafel 2a)as = 0,041 · 100 · 43 · (17/435) = 6,9 cm2 / mbeff = b = 2,30 m 3)

As = as · beff = 6,9 · 2,30 = 15,9 cm2

Auf der Fundamentbreite sind 13 ∅ 14 = 20,0 cm2 vorhanden (s. vorher), die Mindestmomente sinddaher eingehalten.

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Nachweis der Tragfähigkeit für DurchstanzenBemessungsquerkraft:

vEd = VEd · β / u (s. Gl. (79.2))VEd = NEd − σ0 · Acrit · 0,50 (Abminderung um die Bodenpressungen innerhalb der kri-

tischen Fläche; sie darf nur zu 50 % angesetzt werden.)σ0 = NEd / A = 1,000/(2,30 · 2,30) = 0,189 MN/m2

Acrit = 0,30 · 0,30 + 4 · 0,30 · 0,66 + π · 0,662 = 2,25 m2

VEd = 1,000 − 0,189 · 2,25 · 0,50 = 1,000 − 0,213 = 0,787 MNβ = 1,05 (gewählt wegen des monolithischen Anschlusses)u = 4 · 0,30 + 2 · π · 0,66 = 5,35 m (Umfang des kritischen Schnitts)

vEd = 0,787 · 1,05 / 5,35 = 0,154 MN/mBemessungswiderstand:

vRd,ct = [(0,21/γc ) · η1 · κ · (100 · ρl · fck)1/3 – 0,12 · σcd ] · d ———— —————κ = 1 + √ 200 / d = 1 + √ 200 / 440 = 1,67 (mit d = 0,44 m als mittlere Nutzhöhe)

————ρl = √ ρlx · ρly (Innerhalb der kritischen Fläche sind jeweils 9 ∅ 14 bzw.ρlx = 13,9/(162 · 43) = 0,0020 13,9 cm2 Längsbewehrung vorhanden; es wird eine aus-ρly = 13,9/(162 · 45) = 0,0019 reichende Verankerung entspr. Abschn. 4.1.2.2 unterstellt.)

< 0,02ρl = 0,0020 < 0,50 · fcd/ fyd = 0,50 · 17 / 435 = 0,019vRd,ct = (0,21/1,5) · 1,67 · (100 · 0,0020 · 30)1/3 · 0,44 = 0,187 MN/m

Nachweis: vEd = 0,154 MN/m < vRd,ct = 0,187 MN/m ⇒ keine Durchstanzbewehrung erforderlich.

4.1.4.3 Platten mit Durchstanzbewehrung

Wenn die einwirkende Querkraft vEd den Widerstand vRd,ct überschreitet, ist eine Schubbewehrung anzu-ordnen. Es sind dann folgende Nachweise zu führen:

≤ vRd,max (im kritischen Schnitt)vEd ≤ vRd,sy (in jeder Bewehrungsreihe)

≤ vRd,cta (im äußeren Rundschnitt)

Querkrafttragfähigkeit vRd,max

Die maximale Querkrafttragfähigkeit vRd,max im kritischen Schnitt ergibt sich zuvRd,max = 1,5 · vRd,ct (81.1)

Querkrafttragfähigkeit vRd,sy bei Durchstanzbewehrung rechtwinklig zur PlattenebeneDie erforderliche Durchstanzbewehrung ist für die jeweilige Bewehrungsreihe zu ermitteln und gleichmä-ßig auf den Umfang anzuordnen. Für die erste Bewehrungsreihe im Abstand 0,5 · d vom Stützenrand gilt:

vRd,sy = vRd,ct + κs · Asw · fyd / u (81.2)

Für die weiteren Reihen im Abstand sw ≤ 0,75 · d untereinander giltvRd,sy = vRd,ct + κs · Asw · fyd · d / (u · sw) (81.3)

vRd,ct Betontraganteil (s. Abschn. 4.1.4.2)κs · Asw · fyd Bemessungskraft der Durchstanzbewehrung in Richtung von vEd für jede Bewehrungsreihe

0,7 ≤ κs = 0,7 + 0,3 · (d / 400 – 1) ≤ 1,0 (Beiwert für die Bauteilhöhe (d in mm))u Umfang des jeweiligen Nachweisschnittssw wirksame Breite einer Bewehrungsreihe (s. Abb. oben) mit sw ≤ 0,75 · dSc

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4.1.4.4 Mindestmomente für Platten-Stützen-Verbindungen bei ausmittiger Belastung

Zur Sicherstellung einer ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist die Platte in x- und y-Richtung für fol-gende Mindestmomente je Längeneinheit zu bemessen:

mEdx ≥ η · VEd bzw. mEdy ≥ η · VEd (VEd aufzunehmende Querkraft; η Beiwert nach Tabelle)

Lage der Stütze η für mEdx η für mEdy Zug an Platten- anzusetzende Zug an Platten- anzusetzende

oberseite1) unterseite1) Breite oberseite1) unterseite1) BreiteInnenstütze 0,125 0 0,30 · ly 0,125 0 0,3 · lxRandstütze, Platten- 0,25 0 0,15 · ly 0,125 +0,125 (je m Breite)rand parallel zu xRandstütze, Platten- 0,125 +0,125 (je m Breite) 0,25 0 0,15 · lxrand parallel zu yEckstütze 0,50 +0,50 (je m Breite) 0,50 +0,50 (je m Breite)1) Oberseite bezeichnet die der Lasteinleitungsfläche entgegen liegende Seite, Unterseite die andere Seite.

Biegemomente mEdx und mEdy in Platten-Stützen-Verbindungen bei ausmittiger Be-lastung und mitwirkender Plattenbreite zurErmittlung der aufnehmbaren Biegemo-menteFür den Nachweis der Mindestmomentedürfen nur die Bewehrungsstäbe berück-sichtigt werden, die außerhalb der kriti-schen Querschnittsfläche verankert sind.

Beispiel (zu Abschn. 4.1.4.3 und 4.1.4.4)Innenfeld einer Flachdecke mit VEd = 450 kN und vorgegebener Biegezugbewehrung (vgl. [5.80], [5.85]).

Querkrafttragfähigkeit vRd,cta

Längs des äußeren Rundschnitts – Abstand 1,5 · d von der letzten Bewehrungsreihe – ist nachzuweisen:vEd ≤ vRd,cta = κa · vRd,ct (82.2)κa = 1 – 0,29 · lw / 3,5 d ≥ 0,71 (Beiwert für den Übergang zum Plattenbereich (vgl. Abschn. 4.1.2.2))lw Breite des Bereichs mit Durchstanzbewehrung außerhalb der Lasteinleitungsfläche

Querkrafttragfähigkeit vRd,sy bei Schrägstäben als DurchstanzbewehrungSchrägstäbe müssen eine Neigung von 45° ≤ α ≤ 60° gegen die Plattenebene aufweisen. Werden aus-schließlich Schrägstäbe angeordnet, dürfen sie nur im Bereich 1,5 · d um die Stütze angeordnet werden(s. DIN 1045-1, Bild 45). Die Bewehrung ist im Abstand 0,5 · d vom Stützenrand nachzuweisen:

vRd,sy = vRd,ct + 1,3 As · sin α · fyd / u (82.1)mit (1,3 · As · sin α · fyd) als Querkraft der Durchstanzbewehrung in Richtung der aufzunehmenden Querkraft.

Baustoffe:C 20/25; BSt 500

(untere Bewehrung – s. hierzuauch DIN 1045-1, 13.3.2 (12) –und Durchstanzbewehrung nichtdargestellt)

MindestschubbewehrungDie Durchstanzbewehrung der inneren Rundschnitte darf bei lotrechter Schubbewehrung den Wert

ρw = Asw / (sw · u) ≥ min ρw

und bei geneigter Schubbewehurngρw = Asw · sin α / (sw · u) ≥ min ρw

mit sw = d und min ρw nach Absch. 5.4.2.2 nicht unterschreiten; weitere Hinweise s. a. Abschn. 5.4.3.

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Mindestbewehrung und MindestmomenteBewehrung:Biegebewehrungsgrad der zwei Richtungen x und y

x-Richtung: ρcrit = asx / dx = 15,39/21 = 0,73 % ( asx = 15,39 cm2/m bei ∅ 14-10)y-Richtung: ρcrit = asy / dy = 11,31/20 = 0,57 % ( asy = 11,31 cm2/m bei ∅ 12-10)

Mindestmomente: (Nachweis nur für die – hier ungünstigere – y-Richtung)mEdy ≥ η · VEd = − 0,125 · 450 = − 56,3 kNm/m

η = 0,125 für InnenstützeμEds = mEds / (b · d2 · fcd) = 0,0563 / (1,00 · 0,202 · 11,33) = 0,1242

⇒ ω = 0,1334min asy = ω · b · d · ( fcd /σsd) = 0,1334 · 100 · 20 · (11,33/435) = 6,95 cm2/m

Die Mindestbewehrung ist auf einer Breite bx = 0,3 · lx zu überprüfen.

Nachweis der Tragfähigkeit für Durchstanzen

Bemessungsquerkraft vEd:vEd = VEd · β / u

u = 4 · 0,30 + 2 · 1,5 · 0,205 · π = 3,13 mvEd = 0,450 · 1,05 / 3,13 = 0,151 MN/m

Bemessungswiderstand:vRd,ct = [(0,21/γc ) · η1 · κ · (100 · ρl · fck)1/3] · d (σcd = 0)

η1 = 1; κ = 1,99 (dm = 20,5 cm) ———— ————————ρl = √ ρlx · ρly = √ 0,0073 · 0,0057 = 0,0065 < ρl,zulvRd,ct = (0,21/1,5) · 1 · 1,99 · (100 · 0,0065 · 20)1/3 · 0,205 = 0,134 MN/m < vEd = 0,151 MN/m⇒ Durchstanzbewehrung erforderlich.

Größter Durchstanzwiderstand bei Anordnung von Schubbewehrung:vRd,max = 1,5 · vRd,ct = 1,5 · 0,134 = 0,201 MN/m > vEd = 0,151 MN/m⇒ Ausführung mit Durchstanzbewehrung zulässig.

Ermittlung der Durchstanzbewehrung:Es ist zunächst die Breite lw festzulegen, auf der Durchstanzbewehrung benötigt wird. In einer Berech-nung „von Hand“ geschieht dies zweckmäßiger Weise iterativ (s. nachfolgende Tabelle).

lw ua = 4 hc + (3 d + 2 lw) π vEd = β · VEd / ua κa = 1 – (0,29 lw / 3,5d) vRd,cta = vRd,ct · κa

0,10 3,76 0,126 0,959 0,128

Im Abstand (lw + 1,5 · d) = 0,10 + 0,31 = 0,41 m vom Stützenrand ist der Nachweis vEd ≤ vRd,cta erfüllt, sodass dort keine Durchstanz- bzw. Schubbewehrung mehr erforderlich ist. Auf der Breite lw ist Durch-stanzbewehrung anzuordnen (damit ist theoretisch eine Reihe ausreichend).Für lotrechte Bügel ergibt sich:

Erste BügelreiheAsw ≥ (vEd − vRd,ct) · u / (κs · fyd)

u = 4 · 0,30 + 2 π · (0,5 · 0,205) = 1,84 m (erste Nachweisstelle 0,5 · d vom Stützenrand)vEd = 1,05 · 0,450 / 1,84 = 0,257 MN/m (Bemessungsschubkraft an der Nachweisstelle)κs = 0,7 (κs = 0,7 für d ≤ 400 mm)

Asw = (0,257 − 0,134) · 1,84 / (0,7 · 435) = 7,43 · 10−4 m2 = 7,43 cm2

Zweite BügelreiheEs ist rechnerisch keine Bewehrung erforderlich. Es ist daher eine zweite Reihe mit Mindestbewehrungvorzusehen; mit min ρw = 0,7 ‰, sw = 0,75 · d und einem Abstand (0,5 · d + 0,75 · d) = 0,256 m derzweiten Bügelreihe vom Stützenrand erhält manAsw ≥ ρw · sw · u = 0,00070 · (0,75 · 0,205) · (4 · 0,30 + 2 · π · 0,256) · 104 = 3,02 cm2

Für die bauliche Durchbildung ist Abschn. 5.4.3 zu beachten.

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4.1.5 Grenzzustand der Tragfähigkeit infolge von Tragwerksverformungen (Knicksicherheitsnachweis)

4.1.5.1 Unterscheidung zwischen unverschieblichen und verschieblichen TragwerkenRahmenartige Tragwerke gelten als unverschieblich, wenn ihre Nachgiebigkeit gering ist. Dieses gilt– für hinreichend ausgesteifte Tragsysteme– für nicht ausgesteifte Tragsysteme, wenn der Einfluss der Knotenverschiebungen vernachlässigbar ist

(Auswirkungen ≤ 10 %).Definition und rechnerischer Nachweis der Unverschieblichkeit ausgesteifter Tragsysteme s. Abschn. 3.3.4.1.5.2 Ersatzlänge l0 und Schlankheit λλλλλDie Schlankheit eines Druckglieds ergibt sich zu ——

λ = l0 /i i = √ Ι /Α Flächenträgheitsradiusl0 = β · ls Ersatzlänge (auch „Knick“-Länge)

mit β als Verhältnis der Ersatzlänge zur Stützenlänge lcol. In einfachen Fällen gelten für β folgende Werte:

Die „realistischen“ Beiwerte β berücksichtigen eine begrenzte Nachgiebigkeit der Einspannung (k1 = k2 = 0,1, s. u.)

Eine genauere Ermittlung der Ersatzlänge von Druckgliedern in regelmäßigen Rahmentragwerken kann mitnachfolgenden Nomogrammen erfolgen; s. [5.47]. Die Beiwerte k1 und k2 ergeben sich als Summe der Stab-steifigkeiten Σ(EIcol/lcol) aller an einem Knoten elastisch eingespannter Druckglieder im Verhältnis zur Sum-me der Drehwiderstandsmomente ΣMR,i infolge einer Knotendrehung ϕ (Einheitsdrehung ϕ = 1).

ki = Σ(EIcol/lcol) / ΣMR,iZur Berechnung der Ersatzlänge l0 sollte für die Druckglieder die Steifigkeit des ungerissenen Betonquer-schnitts, für die einspannenenden Riegel jedoch nur die halbe Steifigkeit berücksichtigt werden. Für die Bei-werte ki sollten nach DAfStb-H. 525 keine kleineren Werte als 0,1 verwendet werden (vgl. a. [5.85]).Für verschiebliche Rahmen sollte die vereinfachten Verfahren nur bei regelmäßigen Systemen mit geringenSchlankheiten angewendet werden.

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1,0 0,76 0,59 0,59 bis 1,0 2,2 1,2 1,2 bis ∞

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4.1.5.3 Vereinfachtes Bemessungsverfahren für EinzeldruckgliederEinzeldruckglieder können sein (s. DIN 1045-1, 8.6.2 und Bild 8.3) – einzelstehende Stützen (z. B. Kragstützen) – schlanke, aussteifende Bauteile, die als Einzeldruckglieder betrachtet werden – gelenkig oder biegesteif angeschlossene Stützen in einem unverschieblichen Tragwerk.

Abgrenzung zwischen schlanken und gedrungenen DruckgliedernVerzicht auf eine Untersuchung am verformten System (kein Nachweis der Knicksicherheit), falls gerin-ger Einfluss der Zusatzmomente nach Theorie II. Ordnung. Hiervon kann ausgegangen werden, wenneine der nachfolgenden Bedingungen erfüllt ist:

λcrit ≤ 25 (85.1a) 16 NEdλcrit ≤ —— (85.1b) mit νEd = ——— (s. auch Darstellung S. 5.39) —— √ |νEd| Ac

. fcd

Für Stützen in unverschieblichen Tragwerken, die zwischen den Stützenenden nicht durch Querlastenbeansprucht werden, gilt außerdem

λcrit ≤ 25 · (2 − e01/e02) (85.1c) mit |e01| ≤ |e02|

Die Stützenenden sind jedoch mindestens zu bemessen für NRd = NEd und MRd ≥ NEd · h/20.

statisches Gesamtsystem idealisierte Stütze Grenzschlankheit λcrit (s. Gl. (85.1c))Für den Sonderfall der beiseitig gelenkig gelagerten Stütze gilt λcrit = 25, auch wenn dies nur zur Re-chenvereinfachung angenommen wird (z. B. Innenstützen durchlaufender Rahmen).

ModellstützenverfahrenFür schlanke Druckglieder dürfen die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung nach dem Modellstützen-verfahren ermittelt werden. Es darf angewendet werden bei– rechteck- oder kreisförmigen konstanten

Querschnitten (Beton und Bewehrung)– planmäßigen Lastausmitten e0 ≥ 0,1 · h

(für e0 < 0,1 · h liegt das Verfahren auf dersicheren Seite).

Die Modellstütze ist eine Kragstütze unter derWirkung von Längskräften und Momenten, wo-bei am Stützenfuß das maximale Moment auf-tritt. Der Stabilitätsnachweis wird im kritischenQuerschnitt am Fuß der Modellstütze mit derKrümmung (1/r) des Querschnitts erbracht.Die zu berücksichtigende Gesamtbemessungs-ausmitte im Schnitt A beträgt etot = e0 + ea + e2 (85.2)

e0 Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung; e0 = MEd / NEd (s. a. Gl. (86.1a) bis (86.1c))ea ungewollte zusätzliche Ausmitte nach Gl. (86.2)e2 Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung; näherungsweise nach Gl. (86.3)

Eine Kriechausmitte darf i. d. R. vernachlässigt werden, wenn die Stützen an beiden Enden monolithischmit lastabtragenden Bauteilen verbunden sind oder bei verschieblichen Tragwerken die Schlankheit desDruckgliedes λ < 50 und gleichzeitig die bezogene Lastausmitte e0 / h > 2 ist. Falls Kriechen berücksich-tigt werden muss, darf dies vereinfacht durch Vergrößerung der Krümmung nach Gl. (86.4) erfolgen.

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Lastausmitte e0 allgemein: ⇒ e0 = MEd,0 / NEd (86.1a)für unverschieblich gehaltene Stützen ohne Querlasten (s. nachf. Skizze):bei e01 = e02 (Fall a nach Abb.) ⇒ e0 = e01 = e02 (86.1b)

0,6 · e02 + 0,4 · e01bei | e01| ≤ |e02 | (Fall b u. c nach Abb.) ⇒ e0 ≥ 0,4 · e02 (86.1c)(e01, e02 mit Vorzeichen)

Imperfektionen ea zusätzliche Lastausmitte ⇒ ea = αa1 · l0 /2 (86.2)mit αa1 = 1 / (100 · l ) ≤ 1/200 mit l = lcol (lcol in m).

Lastausmitte e2 Ausmitte nach Theorie II. Ordnung ⇒ e2 = K1 · 0,1 · l02 · (1/r) (86.3)K1 = (λ /10) − 2,5 für 25 ≤ λ ≤ 35K1 = 1 für λ > 351/r Stabkrümmung im maßgebenden Schnitt; näherungsweise gilt:(1/r) = 2 · K2 · εyd / (0,9 · d) (86.4)

K2 Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme beimAnstieg der Längsdruckkräfte

K2 = (Nud − NEd )/(Nud − Nbal) ≤ 1 (86.5)NEd Bemessungswert der aufzunehmenden LängskraftNud Längskrafttragfähigkeit für MEd = 0Nud = fcd · Ac + fyd · AsNbal Längskrafttragfähigkeit für MEd = MmaxNbal ≈ –0,40 · fcd · Ac (für sym. bewehrte Rechtecke)

εyd Bemessungswert der Stahldehnung an der Streckgrenze: εyd = fyd /EsKriechausmitte eϕ Vergrößerung von (1/r) mit Kϕ ⇒ eϕ = (Kj – 1) · e2 (86.6)

Kϕ = 1 + β · ϕeff ≥ 1β = 0,35 + fck / 200 – λ / 150 ≥ 0ϕeff = ϕ (∞, t0) · M1,perm /M1,Ed

M1,perm Moment unter quasi-ständiger Gebrauchslast (incl. Imperfektionen)M1,Ed Moment unter Bemessungslast im GZT (incl. Imperfektionen)

Beispiel Unverschieblich gehaltene Stütze (ohne Knickgefahr senkrecht zur dargestellten Ebene) mitBemessungsschnittgrößen

Schlankheit l0 = β · lcol = 0,68 · 7,0 = 4,76 mλeff = l0 / i = 476 / (0,289 · 24) = 69λlim = 25 · (2 − 20/(−40)) = 63 < 69⇒ KSNW erforderlich

Gesamtausmitteetot = e0 + ea + e2

e0 = 0,60 · e02 + 0,4 · e01 ≥ 0,4 · e02= (−0,60 · 40 + 0,40 · 20) / (−550) = 0,029 m≥ (−0,4 · 40) / (−550) = 0,029 m

ea = αa1 · l0 / 2 = 1/(100 · 007, ) · (4,76/2) = 0,009 me2 = K1 · 0,1 · l02 · (2 · K2 · εyd / 0,9 · d)

K2 = 1 (sichere Seite)e2 = 1 · 0,1 · 4,762 · 2 · 1 · 0,0022 / (0,9 · 0,215)

= 0,052 metot = 0,029 + 0,009 + 0,052 = 0,090 m

Bemessungsschnittgrößen:im kritischen Schnitt: NEd = −550 kN; MEd = 0,090 · 550 = 50 kNm

Zusätzl. ist eine Bemessung am Stützenkopf /-fuß nach Th. I. Ord. zu überprüfen (hier nicht maßgebend).

Einspanngradk1 = 0,10 → β = 0,68 (s. Abschn. 4.1.5.2)k2 = 0,55


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4.1.5.4 Stützen, die nach zwei Richtungen ausweichen könnenFür Stützen, die nach zwei Richtungen ausweichen können, ist i. Allg. ein Nachweis für schiefe Biegungmit Längsdruck zu führen.Getrennte NachweiseFür Druckglieder mit Rechteckquerschnitt sind ge-trennte Nachweise in Richtung der beiden Haupt-achsen y und z zulässig, wenn das Verhältnis der be-zogenen Lastausmitten ey /b und ez /h eine der nach-folgenden Bedingungen erfüllt:

(e0z /h) / (e0y /b) ≤ 0,2 oder (87.1a)(e0y /b) / (e0z /h) ≤ 0,2 (87.1b)

e0y, e0z Lastausmitten nach Theorie I. Ordnung iny- bzw. z-Richtung

(Der Lastangriff der resultierenden Längskraft NEdliegt dann innerhalb des schraffierten Bereichs inAbb.5.87a)Getrennte Nachweise mit reduzierter BreiteGetrennte Nachweise sind bei e0z > 0,2 h nur dannzulässig, wenn der Nachweis in Richtung derschwächeren Achse y mit einer reduzierten Breitehred geführt wird. Der Wert hred darf für eine linearenSpannungsverteilung nach Zustand I bestimmt wer-den:

NEd NEd · e––– – –––––– · (hred – 0,5 · h) = 0 Ac Icy

mit Icy als Flächenmoment 2. Grades von Ac. FürRechteckquerschnitte ergibt sich hieraus unmittelbar

hred = 0,5 · h + h2 / (12 · e) ≤ h (87.2)e Ausmitte: e = e0z + eaz

e0z planmäßige Lastausmitte in z-Richtungeaz ungewollte Lastausmitte in z-Richtung

Gl. (87.2) gilt für Biegung mit Längsdruck, wenn e bzw. e0z und eaz als Absolutwert eingesetzt werden.Die Bedingungen für getrennte Nachweise mit reduzierter Breite hred sind in Abb. 5.87b dargestellt.

BeispielFertigteilstütze mit Belastung aus Wind Wk und in z-Richtung ex-zentrischen Längskräften infolge Eigenlasten Ngk und Schnee-lasten Nqk (Lage des Bauwerks über NN + 1000 m); s. Abb. DieStütze kann in Richtung beider Hauptachsen ausweichen.Gesucht ist der Tragfähigkeitsnachweis unter Berücksichtigungvon Zusatzverformungen nach Theorie II. Ordnung.

BaustoffeBeton C35/45 ⇒ fck = 35,0 MN/m2

fcd = 19,8 MN/m2

Betonstahl BSt 500 ⇒ fyk = 500 MN/m2

fyd = 435 MN/m2

Schnittgrößen nach Theorie I. OrdnungEs müssen mindestens die nachfolgenden zwei Kombinationen untersucht werden (Biegemomente je-weils um y-Achse; Längskräfte absolut dargestellt). Mit ψ0 = 0,6 für Wind und ψ0 = 0,7 für Schnee:Komb. 1: NEd = 1,35 · 250 + 1,50 · 100 + 1,50 · 0,6 · 0 = 487,5 kN

MEd = 1,35 · 250 · 0,075 + 1,50 · 100 · 0,075 + 1,50 · 0,6 · 10 · 4,20 = 74,4 kNmKomb. 2: NEd = 1,35 · 250 + 1,50 · 0 + 1,50 · 0,7 · 100 = 442,5 kN

MEd = 1,35 · 250 · 0,075 + 1,50 · 10 · 4,20 + 1,50 · 0,7 · 100 · 0,075 = 96,2 kNmFalls Eigenlasten und Schnee günstig wirken, ist außerdem eine Kombination mit γG = 1,0 zu untersuchen(die Schneelast bleibt dann unberücksichtigt). Der Berechnungsablauf wird nur für die Komb. 2 gezeigt.

Abb. 5.87a

Abb. 5.87b

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Da (e0y / b) / (e0z / h) = 0 < 0,2 ist, dürfen die Nachweise getrennt für beide Richtungen geführt werden.

Knicken in z-RichtungNachweisverfahren

λ = l0 /i = 2,2 · 4,20/(0,289 · 0,40) = 80 < 140 ↑ l0 = β · lcol = 2,2 · 4,20 m (s. S. 5.84)


e0 = 96,2 / 442,5 = 0,217 mea = 1/(100 · 4 2, ) · (2,2 · 4,20/2) = 0,022 m

(ls = 4,20 m; s. S. 5.87)e2 =1 · 0,1 · 9,242 · (2 · 1 · 0,0022) / (0,9 · 0,36)

= 0,116 metot = 0,217 + 0,022 + 0,116 = 0,355 m

KriechausmitteKϕ = 1 + β · ϕeff ≥ 1

β = 0,35 + 35/ 200 – 80 / 150 < 0Kϕ = 1 → Keine Erhöhung von e2 erfor-

derlich.Maßgebende Ausmitte

e = etot + eϕ = 0,355 + 0 = 0,355 mWirksame Breite b

Eine Reduzierung der Breite b ist nur für denNachweis um die schwächere Hauptachse(s. rechts) erforderlich.

b = 0,30 mBemessung

NEd = −442,5 kNMEd = 0,355 · 442,5 = 157 kNmνEd = −0,4425/(0,30 · 0,40 · 19,8) = −0,186μEd = 0,157 / (0,30 · 0,402 · 19,8) = 0,165⇒ ωtot = 0,22 (s. Abschn. 6, Tafel 5b)As,tot = 0,22 · 40 · 30 / (435/19,8) = 12,0 cm2

gew.: 2 ∅ 20 je Seite

Knicken in y-RichtungNachweisverfahren

λ = l0 /i = 2,2 · 4,20/(0,289 · 0,30) = 107 < 140 ↑ l0 = β · lcol = 2,2 · 4,20 m (s. S. 5.84)


e0 = 0ea = 0,022 m (wie links)

e2 = 1 · 0,1 · 9,242 · (2 · 1 · 0,0022) / (0,9 · 0,26)= 0,161 m

etot = 0 + 0,022 + 0,161 = 0,183 mKriechausmitte

Kϕ = 1 + β · ϕeff ≥ 1β = 0,35 + 35/ 200 – 107 / 150 < 0

Kϕ = 1 → Keine Erhöhung von e2 erfor-derlich.

Maßgebende Ausmittee = etot + eϕ = 0,183 + 0 = 0,183 m

Wirksame Breite hrede0z = 96,2/442,5 = 0,217 m > 0,2 · 0,40 = 0,08 m⇒ Reduzierung der Breite h auf hredhred = 0,5 · h + h2/(12 · e)

e = e0z+eaz = 0,217 + 0,022 = 0,239 mhred = 0,5 · 0,40 + 0,402/(12 · 0,239) = 0,26 m

BemessungNEd = −442,5 kNMEd = 0,183 · 442,5 = 81 kNmνEd = −0,4425/(0,26 · 0,30 · 19,8) = −0,29μEd = 0,081/(0,26 · 0,302 · 19,8) = 0,175⇒ ωtot = 0,21 (s. Abschn. 6, Tafel 5c)As,tot = 0,21 · 26 · 30 / (435/19,8) = 7,5 cm2

gew.: 2 ∅ 20 je Seite

Hinweis: Zusätzlich ist ggf. eine Regelbemessung für schiefe Biegung mit Achsdruck erforderlich.

Bewehrung: Nach [5.26] dürfen die Bewehrungsstäbe in beiden Richtungen mit ihren jeweiligen Hebel-armen berücksichtigt werden. Unter dieser Voraussetzung genügt damit 1 ∅ 20 je Ecke.

4.1.5.5 Direkte Bemessung von Stützen mit BemessungshilfenAuf der Grundlage des Modellstützenverfahrens sind Bemessungshilfen entwickelt worden, die die Berech-nung der Krümmung nach Abschn. 4.1.5.3, Gl. (86.3) bis (86.5) exakt berücksichtigen (s. Abschn. 6, Tafeln10 bis 12). Bezüglich der Ausgangsdaten, der Anwendungsgrenzen und weiterer Erläuterungen wird auf[5.83] verwiesen, Hintergründe sind ausführlich in [5.61], [5.85] u. a. erläutert.BeispielStütze nach Abschn. 4.1.5.4, Komb. 2. Es wird nur das maßgebende Knicken in z-Richtung betrachtet.Maßgebende Tafel: d1 / h = 0,10 ⎫ → Tafel 10aλ = 80 ⎭Tafeleingangswerte: Es werden die Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung benötigt; eine ungewollte

Ausmitte und eine Kriechausmitte müssen jedoch zusätzlich erfasst werden.NEd = –442,5 kNMEd = 96,2 + (0,022 + 0) · 442,5 = 105,9 kNmνEd = −0,4425 / (0,30 · 0,40 · 19,8) = −0,19μEd = 0,1059 / (0,30 · 0,402 · 19,8) = 0,11

Ablesung (für λ = 80) ωtot = 0,22 → As,tot = ωtot · Ac / ( fyd / fcd) = 0,22 · 40 · 30 / 22,0 = 12,0 cm2

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4.1.5.7 Unbewehrte Stützen und Wände

Schlankheit von Einzeldruckgliedern und WändenDie Schlankheit eines Einzeldruckglieds oder einer Wand ergibt sich aus λ = l0 / i mit i als Trägheits-radius und l0 als Ersatzlänge (Knicklänge); es ist

l0 = β · l mit l Höhe (Länge) des DruckgliedsDer Beiwert β kann wie folgt angenommen werden: − (Pendel)-Stütze β = 1 − Kragstützen und -wände β = 2 − zwei-, drei- und vierseitig gehaltene Wände: β gem. Tabelle mit l = lw (nach ENV 1992-1-6)1)

Beiwert β 1)

*) Der Beiwert darf bei zweiseitig gehaltenen Wänden auf β = 0,85 vermindert werden, die am Kopf- und Fußende durchOrtbeton und Bewehrung biegesteif angeschlossen sind, sodass die Randmomente vollständig aufgenommen werden können.

Voraussetzungen für die Anwendung der Tafel 1)

Die Wand darf keine Öffnungen aufweisen, deren Höhe 1/3 der lichten Wandhöhe oder deren Flä-che 1/10 der Wandfläche überschreitet. Andernfalls sollten bei drei- und vierseitig gehaltenenWänden die zwischen den Öffnungen liegenden Teile als zweiseitig gehalten angesehen und ent-sprechend bemessen werden.Die Quertragfähigkeit darf durch Schlitze oder Aussparungen nicht beeinträchtigt werden (andern-falls sind die β-Werte angemessen zu vergrößern).Die Querwände dürfen nur dann als aussteifend angesehen werden, wenn− die Gesamtdicke ≤ 0,5 hw ist (mit hw als Gesamtdicke der ausgesteiften Wand),− sie die gleiche Höhe lw wie die ausgesteifte Wand besitzen,− ihre Länge lht mindestens lw /5 der lichten Höhe lw der ausgesteiften Wand beträgt,– innerhalb der Länge lht der Querwand keine Öffnungen vorhanden sind.

Klaffende FugeFür stabförmige unbewehrte Bauteile mit Rechteckquerschnitt ist die Ausmitte der Längskraft in der maßge-benden Einwirkungskombination des Grenzzustandes der Tragfähigkeit auf ed/h < 0,4 zu begrenzen.________1) Angaben aus ENV 1992-1-6; s. a. DAfStb-Heft 525.

4.1.5.6 Kippen schlanker TrägerDie Sicherheit von schlanken Trägern gegen seitliches Ausweichen ist nachzuweisen. Sie darf als ausrei-chend angenommen werden, wenn nachfolgende Bedingung erfüllt ist:

(89.1)

mit l0t als Länge des Druckgurts zwischen den seitlichen Abstützungen, h als Gesamthöhe des Trägers undmit b als Breite des Druckgurts. Schlanke Fertigteilträger müssen während des Anhebens, Transports undder Montage gegen seitliches Ausweichen ausreichend gesichert sein.Falls die Bedingungen der Gl. (89.1) nicht eingehalten sind, muss ein genauerer Nachweis geführt wer-den. Die Nachweisführung muss eine unbeabsichtigte ausmittige Auflagerung berücksichtigen.Die Auflagerung ist so zu bemessen, dass sie mindestens ein Moment

TEd = VEd · leff / 300 (89.2)aufnehmen kann, mit leff als wirksame Stützweite des Trägers und VEd als Bemessungswert der senkrech-ten Auflagerkraft (DIN 1045-1, Abschn. 8.6.8).

b l h 500t≥ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅

34

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Grenzschlankheiten λλλλλNach DIN 1045-1, 8.6.7 sind Druckglieder aus unbewehrtem Beton stets als schlanke Bauteile zu be-trachten. Ein Verzicht auf eine Untersuchung am verformten System (d. h. Vernachlässigung des Einflus-ses der Zusatzausmitte nach Theorie II. Ordnung) ist jedoch gestattet bei Schlankheiten

λ ≤ 8,5 bzw. l0 /h ≤ 2,5 (90.1)Die größte zulässige Schlankheit für unbewehrte Ortbetonwände und -einzeldruckglieder beträgt:

λ ≤ 85 bzw. l0 /h ≤ 25 (90.2)

Beispiel (vgl. a. S. 5.70)Zweiseitig gehaltene Stütze mit b/h = 30/40 cm und exzentrischer Belastung aus Eigenlast NGk = −300 kNund Verkehrslast NQk = −150 kN. Die Stütze soll nur in der dargestellten Ebene ausweichen können.Baustoffe: Beton C20/25Einwirkende Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

NEd = – 1,35 · 0,300 – 1,50 · 0,150 = – 0,630 MNMEd = 0,630 · 0,067 = 0,042 MNm

Schlankheitλeff = l0 / i = β · lw / i = 1,0 · 3,00 / (0,289 · 0,40) = 26 < λlim = 85Wegen λeff > 8,5 sind Ausmitten nach Th. II. O. zu berücksichtigen.

Aufnehmbare Längsdruckkraft NRd,λNRd,λ = −b · h · fcd · Φ

Φ ≈ 0,56 (s. Abb. oben für λ = 26 bzw. l0/h = 7,5 und e0 / h = 0,167)NRd,λ = −0,30 · 0,40 · (0,85 · 20/1,8) · 0,56 = – 0,634 MN

Nachweis der Tragfähigkeit|NEd| = 630 kN < |NRd,λ| = 634kN → Tragfähigkeit ist gegeben.

Die ungewollte Ausmitte ea istvon λ = 0 bis λ = 85 berücksich-tigt (mit ea = l0 / 400).

Vereinfachtes Bemessungsverfahren für unbewehrte Wände und EinzeldruckgliederDie aufnehmbare Längskraft NRd,λ von schlanken Stützen oder Wänden in unverschieblichen Tragwer-ken kann ermittelt werden aus

NRd,λ = −b · h · fcd · ΦΦ = 1,14 · (1 − 2 · etot / h) − 0,020 · l0 / h mit 0 ≤ Φ ≤ 1 − 2 · etot / hetot = e0 + ea + eϕ

Φ Funktion zur Berücksichtigung der Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung auf die Tragfähigkeit (s.nachfolgendes Diagramm)

e0 Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung unter Berücksichtigung von Momenten infolge einer Einspannungin anschließende Decken, infolge von Wind etc.

ea ungewollte Lastausmitte; näherungsweise darf hierfür angenommen werden ea = l0 / 400eϕ Ausmitte infolge Kriechens; sie darf in der Regel vernachlässigt werden.

Traglastfunktion ΦΦΦΦΦ(für Rechteckquerschnitte)

ey = 6,7

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4.1.6 Nachweis gegen Ermüdung

GrundsätzlichesTragende Bauteile, die beträchtlichen Spannungsänderungen unter nicht vorwiegend ruhenden Einwir-kungen unterworfen sind, müssen gegen Ermüdung bemessen werden. Der Nachweis ist getrennt fürBeton und Stahl zu führen. Für Tragwerke des üblichen Hochbaus braucht im Allgemeinen kein Nach-weis gegen Ermüdung geführt zu werden. Für Leichtbeton sind gesonderte Betrachtungen erforderlich.Die Ermittlung der Spannungen muss unter Vernachlässigung der Zugfestigkeit des Betons auf der Grund-lage gerissener Querschnitte erfolgen. Das Verhältnis der E-Moduln darf vereinfachend zu αe = 10 ange-nommen werden. Bei vorgespannten Tragwerken darf das unterschiedliche Verbundverhalten von Beton-und Spannstahl berücksichtigt werden durch Erhöhung der Betonstahlspannung mit dem Faktor

1ps

ps

ξη

⋅+

+=

AAAA

(weitere Erläuterungen und Ermittlung von ξ1 s. Abschn. 4.2.2.2)

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung sind die Kräfte in der Bewehrung und im Beton auf der Grund-lage eines Fachwerkmodells zu ermitteln. Die Spannungsschwingbreite für die Querkraftbewehrung darfmit einer Druckstrebenneigung tan θfat = tanθ mit θ nach Abschn. 4.1.2 ermittelt werden.Nachfolgend wird nur der vereinfachte Nachweis nach DIN 1045-1, 10.8.4 dargestellt.

Vereinfachtes NachweisverfahrenDer Nachweis wird mit den Einwirkungskombinationen des Grenzzustandes der Gebrauchstauglichkeitentsprechend Abschnitt 2.1.3 geführt (obwohl der Nachweis den Grenzzuständen der Tragfähigkeit zuzu-ordnen ist). Der Nachweis gilt als erfüllt, wenn in der häufigen Einwirkungskombination die Spannungs-schwankungen bzw. die Ober- und Untergrenze der Spannungen folgende Grenzwerte nicht überschreiten: Ungeschweißte Bewehrungsstäbe unter Zugbeanspruchung:

Δσs ≤ 70 N/mm2 (bzgl. differenzierterer Werte wird auf [5.24] verwiesen) Geschweißte Betonstähle oder Spanngliedkopplungen:

σc,frequ ≤ 0 (in diesen Bereichen muss unter der häufigen Einwirkungskombination derQuerschnitt vollständig unter Druckbeanspruchung stehen)

Eine Vorspannkraft darf bei diesem Nachweis nur mit 75 % des Mittelwertes der VorspannkraftPm,t berücksichtigt werden.

Beton unter Druckbeanspruchung:

⎩⎨⎧≤≤

⋅+≤LC55/60oder C55/67 ab 80LC50/55oder C50/60 bis 90

45050fatcd,

mincd,

fatcd,

maxcd,

,,

f||

,,f

|| σσ

Dabei istσcd,max Bemessungswert der max. Betondruckspannung (unter häufiger Einwirkungskombination)σcd,min Bemessungswert der min. Betondruckspannung (am Ort von σcd,max); bei Zugspannungen

ist σcd,min = 0 zu setzen.fcd,fat = βcc(t0) · fcd · (1 – 0,004 · fck) (modifizierte Betondruckfestigkeit)

( ) )/281(

2,00cc

0tet −⋅=β (Beiwert für die Nacherhärtung)t0 Zeitpunkt der Erstbelastung des Betons in Tagen

Beton unter Querkraftbeanspruchung bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung:Der Nachweis für Beton unter Druckbeanspruchung gilt auch für die Druckstrebe von querkraft-beanspruchten Bauteilen mit Querkraftbewehrung; die Betondruckfestigkeit fcd,fat ist dann jedochzusätzlich mit αc nach Abschnitt 4.1.2 abzumindern.

Beton unter Querkraftbeanspruchung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung:

– ⎩⎨⎧≤≤

⋅+≤≥LC55/60oder C55/67 ab 0,8LC50/55oder C50/60 bis 0,9

4500,5 |

0für ctRd,

minEd,

ctRd,

maxEd,

maxEd,

minEd,

|V||V|

,|V||V

:VV

– ||||

0,5 ||||

:0für ctRd,

minEd,

ctRd,

maxEd,

maxEd,

minEd,

VV

VV

VV

−≤<

mit VEd,max Bemessungswert der maximalen Querkraft unter häufiger EinwirkungskombinationVEd,min Bemessungswert der minimalen Querkraft (am Ort von VEd,max)VRd,ct Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft nach Abschnitt 4.1.2

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4.1.7 Stabwerkmodelle

Das in DIN 1045-1, 10.6 angegebene Berechungsverfahren mit Stabwerkmodellen eignet sich insbeson-dere für Scheibenbemessungen mit Diskontinuitäten von Geometrie und/oder Belastung (sog. „D-Berei-che“; vgl. [5.28]). Es wird auch auf Konsolen (siehe Abschn. 5.4.7) und auf D-Bereiche von Balken(Ausklinkungen u. Ä.) angewendet. Hierbei werden die Tragwerke bzw. Tragwerksteile durchStabwerkmodelle dargestellt bzw. beschrieben, die aus – Betondruckstreben und Zugstreben sowie – verbindenden Knotenbestehen. Stabwerkmodelle sollten sich in etwa an der Spannungsverteilung nach der linearenElastizitätstheorie orientieren. Die Zugstreben müssen nach Lage und Richtung mit der zugehörigenBewehrung übereinstimmen.

Bemessung der Betondruckstreben und ZugstrebenDie Druckstreben des Stabwerksmodells sind für Druck und Querzugzu bemessen. Die Querzugkraft Ftd entsteht dabei aus der Einschnürungeines Druckfeldes an einem Knoten. Ftd kann mit Hilfe eines örtlichenStabwerkmodells bestimmt werden; sie ergibt sich im ungünstigstenFall nach [5.28] bei freier Ausbreitung des Druckfeldes zu (s. a. S. 5.126)

Ftd = 0,25 · Fd · (1 – 0,7 a / h)Der Bemessungswert der Druckstrebenfestigkeit ist wie folgt zu be-grenzen:

σRd,max = 1,00 · η1 · fcd für ungerissene BetondruckzonenσRd,max = 0,75 · η1 · fcd bei Druckstreben parallel zu Rissen

mit η1 = 1 für Normalbeton (η1 für Leichtbeton nach Tafel 5.32).Bei Druckstreben mit kreuzenden Rissen können kleinere Werte erfor-derlich sein.*)

Bei Druckstreben, deren Druckfelder sich zu konzentrierenden Knoten hin stark einschnüren, erübrigensich die Nachweise der Druckspannungen, wenn die angrenzenden Knoten nachgewiesen werden (s.nachfolgend „Bemessung der Knoten“).

Für die Bewehrung der Zugstreben und zur Aufnahme der Querzugspannungen in Druckstreben ist derBemessunsgwert der Stahlspannung bei Betonstahl auf σs = fyk /γs und bei Spannstahl auf σp = fp0,1k /γs zubegrenzen. Die Bewehrung ist bis zu den Knoten ungeschwächt durchzuführen. Die Verankerungslängeder Bewehrung beginnt im Druck-Zug-Knoten am Knotenanfang. Weitere Hinweise s. DIN 1045-1, 10.6.2.

Bemessung der KnotenIn konzentrierten Knoten sind die Druck-spannungen wie folgt zu begrenzen: σRd,max = 1,10 · η1 · fcd

in Druckknoten ohne Verankerung vonZugstreben

σRd,max = 0,75 · η1 · fcdin Druck-Zug-Knoten mit Verankerun-gen von Zugstreben, wenn alle Winkelzwischen Druck- und Zugstreben min-destens 45° betragen (s. nebenstehendeAbbildung; entnommen aus [5.81])

Bei Knoten mit Abbiegungen von Bewehrung (Rahmenecken o. Ä., sieheAbb. unten) ist der zulässige Biegerollendurchmesser nachzuweisen.*)

Diese Regelungen gelten auch für Bereiche konzentrierter Krafteinleitungin Tragwerken, die in den übrigen Bereichen nicht mit Stabwerkmodellenberechnet werden.Weitere Erläuterungen mit Beispielen vgl. [5.85], Band 2.Nachweise für eine Teilflächenbelastung werden auf S. 5.126 behandelt.___________*) Bei einlagige Bewehrung Einhaltung des Biegerollenradius für abgebogene Stäbe

nach Abschn. 5.2.1, bei mehrlagige Bewehrung rechnerischer Nachweis. WeitereHinweise s.a. DAfStb-H. 525.

= 2/3 lb,netdir

beff

beff = 0,50h+0,65a

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@-5.93Bemessung – Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit

4.2 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit

4.2.1 Begrenzung der Spannungen

4.2.1.1 Grundlagen

Durch große Betondruckspannungen im Gebrauchszustand entstehen Querzugspannungen in der Beton-druckzone, die zu Rissen parallel zu der vorhandenen Längsbewehrung führen können. Durch dieseRissbildung wird die Dauerhaftigkeit von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen beeinträchtigt. Außer-dem führen Betondruckspannungen unter den quasi-ständigen Einwirkungen, die etwa 45 % der charak-teristischen Betonfestigkeit überschreiten, zu einer erhöhten Kriechverformung, bei der nicht mehr voneinem proportionalen Zusammenhang zwischen den elastischen und den kriechbedingten Verformungenausgegangen werden kann.

Stahlspannungen unter Gebrauchslasten oberhalb der Streckgrenze führen im Allgemeinen zu großenund ständig offenen Rissen im Beton. Die Dauerhaftigkeit wird dadurch nachteilig beeinflusst.

4.2.1.2 Nachweisform

Einhaltung von Bemessungs- und Konstruktionsregeln

Die nachfolgend dargestellten Spannungsnachweise dürfen für nicht vorgespannte Tragwerke des übli-chen Hochbaus entfallen, falls folgende Bedingungen eingehalten sind (DIN 1045-1, 11.1.1):– Die Bemessung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit erfolgt nach DIN 1045-1, 10 (s. Abschn. 4.1

dieses Beitrags).– Die Mindestbewehrung nach DIN 1045-1, 13.1.1 ist eingehalten (s. Abschn. 5.4.1).– Die bauliche Durchbildung ist nach DIN 1045-1, 13 erfolgt (s. Abschn. 5).– Die Schnittgrößen werden nach der Elastizitätstheorie ermittelt und im Grenzzustand der Tragfähig-

keit um nicht mehr als 15 % umgelagert (s. Abschn. 3.5).

Rechnerischer Nachweis der SpannungenWenn mind. eine der genannten Regeln nicht eingehalten wird, sind nach DIN 1045-1, 11.1.2 bis 11.1.4die Betondruck- und Stahlzugspannungen zu begrenzen.

Betondruckspannungen:unter der seltenen Einwirkungskombination in den Expositionsklassen

XD 1 bis XD 3, XF 1 bis XF 4 und XS 1 bis XS 3: σc ≤ 0,60 · fck (93.1a)in der quasi-ständigen Kombination, falls Kriechen von Bedeutung: σc ≤ 0,45 · fck (93.1b)

Im Bereich von Verankerungen oder Auflagern dürfen die Nachweise entfallen, wenn die Festlegungen nachAbschn. 5 eingehalten werden und eine ggf. erforderliche Spaltzug- und Zusatzbewehrung vorhanden ist.

Betonstahlspannungen:unter seltener Kombination bei Lasteinwirkungen σs ≤ 0,80 · fyk (93.2a)

bei reinen Zwangseinwirkungen σs ≤ 1,00 · fyk (93.2b)

Spannstahlspannungen:unter quasi-ständiger Kombination nach Abzug der Spannkraftverluste σs ≤ 0,65 · fpk (93.3a)unter seltener Kombination nach Absetzen der Spannkraft σs ≤ 0,80 · fpk (93.3b)

und σs ≤ 0,90 · fp0,1k (93.3c)(berechnet jeweils mit dem Mittelwert der Vorspannung)

Die Schnittgrößenermittlung erfolgt in der Regel linear-elastisch; eine Rissbildung muss berücksich-tigt werden bei deutlich ungünstigem Einfluss (ggf. unter Berücksichtigung von Zwangseinwirkungen),andernfalls darf sie berücksichtigt werden (s. a. Abschn. 3.5.1).

Zur Spannungsermittlung selbst enthält DIN 1045-1 keine konkreteren Angaben; die folgenden Hin-weise sind EC 2 entnommen. Es sollte der gerissene Zustand (s. Abschn. 4.2.1.3) zugrunde gelegt wer-den, wenn die im ungerissenen Zustand berechneten Zugspannungen unter den seltenen Einwirkungen(ggf. unter Berücksichtigung von Zwangseinwirkungen aus Kriechen, Schwinden, Temperatur etc.) dieBetonzugspannungen überschreiten. Langzeiteinflüsse sind bei ungünstiger Wirkung zu berücksichtigen(z. B. Kriechen durch den effektiven E-Modul Ec,eff = Ecm /(1+ϕ) ).Hilfsmittel zur Spannungsermittlung bewehrter Querschnitte im Gebrauchszustand s. nachfolgend.

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4.2.1.3 Spannungsermittlung bewehrter Stahlbetonquerschnitte im GebrauchszustandFür die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit werden häufig die Stahlspannungen derBiegezugbewehrung benötigt. In den Fällen, wo keine allzu große Genauigkeit gefordert ist, können dieStahlspannungen im gerissenen Zustand genügend genau mit dem Hebelarm z der inneren Kräfte ausdem Tragfähigkeitsnachweis ermittelt werden. Es gilt:

σs1s

s1≈ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

Mz

NA1

wobei Ms und N die auf die Biegezugbewehrung As1 bezogenen Schnittgrößen in der maßgebendenBelastungskombination sind.Für eine genauere Berechnung der Längsspannungen im Zustand II von Stahlbetonbauteilen mitRechteckquerschnitt können die nachfolgenden Gleichungen verwendet werden (s. z. B. [5.12]). Platten-balken ohne oder mit Druckbewehrung s. [5.12] u. a.

Spannungsnachweis bei reiner BiegungRechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung

Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung

Spannungsnachweis bei Biegung mit LängskraftEin geschlossener Ansatz führt zu einer kubischen Gleichung, eine direkte Lösung ist z. B. mit Hilfe vonDiagrammen möglich; s. S. 5.169 f. Alternativ wird folgende Iteration empfohlen:In obigen Gleichungen wird As1 durch den vom Biegemoment Ms allein verursachten BewehrungsanteilAsM (s. u.) und M durch das auf die Zugbewehrung bezogene Moment Ms ersetzt.

AsM = As1 – (N /σs1)Die noch unbekannte Stahlspannung σs1 muss zunächst geschätzt werden und wird so lange iterativ ver-bessert, bis eine ausreichende Übereinstimmung erreicht ist.

BeispielGegeben ist ein Rahmenriegel mit Rechteckquerschnitt (b / h / d = 30 / 60 / 55 cm) und mit einer Biegezug-bewehrung von As1 = 22,0 cm2. Für die Schnittgrößen M = 300 kNm und N = −100 kN (Druck) desGebrauchszustandes und einem Verhältnis der E-Moduln von Stahl zu Beton αe = 15 sollen die Beton-druck- und Stahlzugspannungen ermittelt werden.Iterative Lösung:Stahlspannung σs1 σs1 = 275 MN/m2 = 27,5 kN/cm2 (geschätzt, ist noch zu überprüfen.)Bewehrungsanteil AsM AsM = As1 – (N /σs1) = 22,0 – (–100/27,5) = 25,6 cm2

Moment Ms Ms = M − N · zs = 300 − (−100) · 0,25 = 325 kNmDruckzonenhöhe x x = 15 · (25,6/30) · [−1 + √ 1 + 2 · 30 · 55 / (15 · 25,6)] = 26,8 cmHebelarm z z = d − (x/3) = 55 − 26,8/3 = 46,1 cmStahlspannung σs1 σs1 = Ms /(AsM · z) = 325/ (25,6 · 0,461) = 27,5 kN/cm2 ≡ 27,5 kN/cm2

[bzw. σs1 = Ms /(As1 · z) + N / As1 = 325/(22,0 · 0,461) – 100/22,0 = 27,5 kN/cm2]→ die Stahlspannung σs1 wurde also richtig geschätzt (s. o.)

Betonspannung σc σc = 2 · Ms /(b · x · z) = 2 · 325 / (0,30 · 26,8 · 46,1) = 1,75 kN/cm2 = 17,5 MN/m2

Lösung mit Diagrammen (Tafel 16, S. 5.169):Tafeleingangswerte N · d / Ms = –100 · 0,55 / 325 = –0,169 (Ms s. vorher)

αe · ρ = 15 · (22,0 / (30 · 55)) = 0,20Ablesung ξ = 0,48; x = 0,48 · 55 = 26,4 cm (weiterer Rechengang wie vorher)

( )σ σ

αs1 c

e= ⋅⋅ −d x

x

( )σ σ

αs1

s1c

e=⋅

= ⋅⋅ −M

z Ad xx

zxbM⋅⋅

⋅=

2cσ

( ) ( )xdx

ddAxdxbM

s2

22e

c3

6−

⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅

=α

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

=s1e

s1e 211A

dbb

Ax

αα

z d x= − 3

( ) ( ) ( )2s2s1e

2s2s1es2s1e 2

dAdAbb

AAb

AAx ⋅+⋅

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+

+⋅−=

ααα

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4.2.2 Begrenzung der Rissbreiten4.2.2.1 GrundsätzlichesRissbildung ist in der Betonzugzone nahezu unvermeidbar. Die Rissbreite ist jedoch so zu beschränken,dass die ordnungsgemäße Nutzung des Tragwerkes, das Erscheinungsbild und die Dauerhaftigkeit alsFolge von Rissen nicht beeinträchtigt werden.Die Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und das Erscheinungsbild eines Bauteils gelten im Sinne die-ses Abschnitts als erfüllt, wenn die Anforderungen nachfolgender Tafeln 5.95a und 5.95b eingehaltensind. In besonderen Anwendungsfällen kann eine weitergehende Beschränkung der Rissbreiten erforder-lich sein (z. B. bei Wasserbehältern).

Tafel 5.95a Anforderungen an die Begrenzung der Rissbreite und die DekompressionAnforderungsklasse Einwirkungskombination für den Nachweis der Rechenwert der

Dekompression*) Rissbreitenbegrenzung Rissbreite wk (in mm)A selten –B häufig selten 0,2C quasi-ständig häufigD – häufigE – quasi-ständig 0,3F – quasi-ständig 0,4

Die Begrenzung der Rissbreite auf zulässige Werte wird erreicht durch – Anordnung einer Mindestbewehrung nach Abschn. 4.2.2.2 – einen Nachweis unter der maßgebenden Einwirkungskombination nach Abschn. 4.2.2.3.Bei Platten mit einer Gesamtdicke h ≤ 20 cm in der Expositionsklasse XC 1, die durch Biegung ohnewesentlichen zentrischen Zug beansprucht werden, sind keine Nachweise zur Begrenzung der Rissbreitenotwendig, wenn die Festlegungen nach Abschn. 5.4 eingehalten werden und keine strengere Begren-zung der Rissbreite erforderlich ist.

*) Dekompression bedeutet, dass unter der maßg. Einwirkungskombination im Bauzustand die vorgedrückte Zugzoneam Rand, im Endzustand der Betonquerschnitt vollständig unter Druckspannungen steht; Ausnahmen s. [5.24].

Tafel 5.95b Mindestanforderungen in Abhängigkeit von den UmweltbedingungenUmgebungsklasse für Vorspannung Stahlbeton-Bewehrungskorrosion nachträglicher sofortiger ohne bauteile

Verbund Verbund VerbundXC 1 D D F FXC 2 bis XC 4 C1) C E EXD 1, XD 2, XD 32), XS 1 bis XS 3 C1) B E E

1) Wird der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt, gilt Anforderungsklasse D (s. Zulassung). 2) Im Einzelfall können zusätzlich besondere Maßnahmen für den Korrosionschutz notwendig sein.

4.2.2.2 Mindestbewehrung

Zur Aufnahme von Zwangseinwirkungen und Eigenspannungen ist eine Mindestbewehrung anzuordnen,die für die Rissschnittgrößen zu bemessen ist.Bei Stahlbetonbauteilen und bei Bauteilen mit Vorspannung ohne Verbund darf die Mindestbewehrungvermindert werden, wenn die Zwangsschnittgröße die Rissschnittgröße nicht erreicht. Die Mindest-bewehrung ist dann durch eine Bemessung für die nachgewiesenen Zwangsschnittgrößen zu ermittelnunter Berücksichtigung der Anforderungen an die Rissbreitenbegrenzung.In Bauteilen mit Vorspannung im Verbund ist die Mindestbewehrung in den Bereichen nicht erforder-lich, in denen im Beton unter der seltenen Einwirkungskombination und unter den maßgebenden charak-teristischen Werten der Vorspannung Betondruckspannungen am Querschnittsrand auftreten, die demBetrag nach größer als 1 N/mm2 sind.

Bauteile mit einer Kombination von Spanngliedern im Verbund und ohne Verbund sind bezüglich derAnforderungen an die Rissbreitenbegrenzung und Dekompression wie Bauteile mit Vorspannung imVerbund zu behandeln.Beim Stoß von Betonstahlmatten in zwei Ebenen mit as ≥ 6 cm2/m ist der Nachweis der Rissbreitenbe-grenzung im Stoßbereich mit einer um 25 % erhöhten Stahlspannung zu führen.

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Der erforderliche Mindestquerschnitt kann mit Gl. (96.1) bestimmt werden:As = kc · k · fct,eff · Act / σs (96.1)

As Betonstahlbewehrung in der Zugzone; sie ist überwiegend am gezogenen Rand anzuordnen, aberauch angemessen über die Zugzonenhöhe zu verteilen, so dass Sammelrisse vermieden werden.

Act Betonquerschnitt oder -teilquerschnitt in der Zugzone unmittelbar vor der Rissbildungσs zulässige Spannung in der Bewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in Abhängigkeit vom

Grenzdurchmesser ds* nach Tafel 5.97afct,eff Zugfestigkeit des Betons beim Auftreten der Risse; für fct,eff gilt der Mittelwert fctm der Zugfestig-

keit. Maßgebend ist die Festigkeit, die beim Auftreten der Risse zu erwarten ist. Wenn Zwangz. B. infolge der Hydratationswärme entsteht, kann Rissbildung nach den ersten 3 bis 5 Tagen auf-treten; es darf dann fct,eff zu 50 % der mittleren 28-Tage-Zugfestigkeit gesetzt werden. Diese An-nahme ist dem Bauausführenden rechtzeitig mitzuteilen (Baubeschreibung, Ausführungspläne)1),damit für den Beton eine entsprechende Anforderung aufgenommen werden kann. Wenn Riss-bildung jedoch nicht mit Sicherheit in den ersten 28 Tagen festgelegt werden kann, solltemindestens fct,eff = 3 N/mm2 für Normalbeton und fct,eff = 2,5 N/mm2 für Leichtbeton angenom-men werden (ggf. die höhere Zugfestigkeit der entspr. Betonfestigkeitsklasse).

k c Faktor zur Berücksichtigung der Spannungsverteilung in der Zugzone Act vor Rissbildung sowieder Änderung des inneren Hebelarms beim Übergang in den Zustand II:– rechteckige Querschnitte und Stege von Plattenbalken und Hohlkästen

kc = 0,4 · (1 + σc / (k1 · fct,eff)) ≤ 1σc Betonspannung in der Schwerlinie des Querschnitts/Teilquerschnitts im Zustand I unter

der Einwirkung, die am Gesamtquerschnitt zur Erstrissbildung führt (negativ bei Druck)k1 = 1,5 für Längsdruckkraft bei h < 1 m

= 1,5 h für Längsdruckkraft bei h ≥ 1 m= 2/3 für Zuglängskraft

(Hieraus folgt kc = 1,0 bei reinem Zug und kc = 0,4 bei reiner Biegung.)– Zuggurte von Plattenbalken und Hohlkästen

kc = 0,9 · Fcr,Gurt / (Act · fct,eff ) ≥ 0,5 mit Fcr,Gurt als Zugkraft im Gurt vor Rissbildung bei fct,eff;bei unsymmetrischer Spannungsverteilung sollte die Zugkraft anteilig auf die Beweh-rungslagen im Zuggurt verteilt werden.

k Faktor zur Berücksichtigung einer nichtlinearen Spannungsverteilung– k = 1,0 bei Zugspannungen infolge äußerer Zwangsverformung (z. B. Setzung)– k = 0,8 bei Zugspannungen infolge inneren Zwangs für h ≤ 30 cm– k = 0,5 bei Zugspannungen infolge inneren Zwangs für h ≥ 80 cm

(Für h gilt der kleinere Wert von Höhe oder Breite des Querschnitts/Teilquerschnitts.)

| Zwischenwerte| interpolieren

_______________1) Textvorschlag nach [5.26]: „Bei der Begrenzung der Rissbreite für dieses Bauteil wurde ein Beton angenommen, dessen

Betonzugfestigkeit fct,eff nach 5 Tagen höchstens 50 % der max. Zugfestigkeit fctm erreicht (max fct,eff,5d = 0,5 · fctm,28d).Dies ist bei der Festlegung des Betons und der Bauausführung zu berücksichtigen.“

Der Nachweis der Rissbreite erfolgt durch eine Begrenzung des Stabdurchmessers kc · k · ht fct,eff fct,effds = ds* · ––––––––– · ––––– ≥ ds* · –––– (96.2) 4 · (h – d ) fct0 fct0

ds* Grenzdurchmesser nach Tafel 5.97ah Bauteilhöheh t Höhe der Zugzone im Querschnitt bzw. Teilquerschnitt vor Rissbildung (bei zentr. Zug: ht = 0,5h)d Nutzhöhefct0 = 3,0 N/mm2 (Bezugswert der Betonzugfestigkeit in Tafel 5.97a)fct,eff Zugfestigkeit des Betons beim Auftreten der Risse (s. o.)Dem Grenzdurchmesser ds* nach Tafel 5.97a liegt eine Betonzugfestigkeit fct0 = 3,0 N/mm2 zugrunde,die Tabellenwerte müssen daher für fct,eff < 3,0 N/mm2 im Verhältnis fct,eff /fct0 herabgesetzt werden (s.Gl. (96.2)); nach DAfStb-H. 425 (Erläuterungen für eine Bemessung nach EC 2) sollte eine Erhöhungvon lim ds für fct,eff > fct0 jedoch nur bei einem genaueren Nachweis über die Rissgleichung erfolgen.Spannglieder dürfen unter Berücksichtigung des unterschiedlichen Verbundverhaltens innerhalb einessie umgebenden Quadrats von 30 cm Seitenlänge auf die Mindestbewehrung angerechnet werden mit

ξ1 · ApAp die Querschnittsfläche des Spannstahls undξ1 = √ ξ · ds /dp mit ds als größter vorhandener Stabdurchmesser der Betonstahlbewehrung, dp als

äquivalenter Durchmesser der Spannstahlbewehrung (Werte für dp s. S. 5.98) und ξ als Verhältnisder Verbundfestigkeit von Spannstahl zu Betonstahl (Zahlenangaben für ξ s. S. 5.98).

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Bei dickeren Bauteilen darf die Mindestbewehrung je Querschnittsseite unter Berücksichtigung einer ef-fektiven Randzone Ac,eff berechnet werden

As = fct,eff · Ac,eff / σs (97.1)wobei für As jedoch mindestens gilt:

As ≥ k · fct,eff · Act / fyk (97.2)In Gln. (97.1) und (97.2) sindAc,eff = heff · b; Wirkungsbereich der Bewehrung (s. Abschn. 4.2.2.3)Act Betonquerschnitt oder -teilquerschnitt der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung; Act bezieht sich

auf eine Bauteilseite (i. d. R. 0,5 h)Es muss jedoch nicht mehr Mindestbewehrung eingelegt werden, als sich nach Gl. (96.1) in Verbindungmit Gl. (96.2) ergibt.Der Nachweis der Rissbreite erfolgt durch eine Begrenzung des Stabdurchmessers; dabei muss derGrenzdurchmesser wie folgt modifiziert werden

ds = ds* · fct,eff / fct0 (97.3)Dabei ergibt sich ds* in Abhängigkeit der gewählten Stahlspannung σs in Gl. (97.1). Alternativ kannauch σs in Abhängigkeit von der Rissbreite wk (mm) bzw. ds* (mm) bestimmt werden (vgl. [5.60]):

σs = (wk · 3,6 · 106/ds*)0,5

Bei dicken Bauteilen können betontechnologische Maßnahmen sinnvoll sein, um Zwangsspannungeninfolge Abfließen der Hydratationswärme gering zu halten. Hierzu gehört die Verwendung von langsamerhärtenden Betonen (r ≤ 0,3) mit geringer Hydratationswärmeentwicklung. In diesen Fällen darf die er-mittelte Mindestbewehrung mit dem Faktor 0,85 abgemindert werden. Die erforderlichen Maßnahmensind in den Ausführungsplänen anzugeben. Bezüglich Hintergünde und weiterer Erläuterungen wird aufdie ausführlichen Darstellungen in [5.60] und [5.73] verwiesen.

4.2.2.3 Rissbreitenbegrenzung durch Einhaltung von KonstruktionsregelnDie Rissbreiten werden auf zulässige Werte begrenzt, wenn bei Zwangbeanspruchung die Grenzdurch-messer nach Gl. (96.2) bzw. (97.3) und bei Lastbeanspruchung entweder die Grenzdurchmesser nach Gl.(97.4) oder die Stababstände nach Gl. (97.5) eingehalten sind:

σs · As fct,effds = ds* · –––––––––––––– ≥ ds* · –––– (97.4) 4 · (h – d) · b · fct0 fct0oder

sl = lim sl (97.5)mit dem Grenzdurchmesser ds* nach Tafel 5.97a, der Bauteildicke h, der Nutzhöhe d, der Zugzonen-höhe ht vor Rissbildung und fct0 = 3 N/mm2 (s. a. Erläuterungen zu Gl. (96.2)).Die Stahlspannungen σs in Tafel 5.97a und 5.97b sind für den gerissenen Querschnitt und die maßge-bende Einwirkungskombination nach Tafel 5.95a, bei vorgespannten Bauteilen mit den maßgebendencharakteristischen Werten der Vorspannung zu ermitteln.Tafel 5.97a Grenzdurchmesser ds* in mm für Betonrippenstähle

Stahlspannung σs in N/mm2 160 200 240 280 320 360 400 450

wk = 0,2 mm ds* in mm 28 18 13 9 7 6 5 4wk = 0,3 mm ds* in mm 42 27 19 14 11 8 7 5wk = 0,4 mm ds* in mm 56 36 25 18 14 11 9 7

Tafel 5.97b Höchstwerte der Stababstände lim sl in mm für Betonrippenstähle

Stahlspannung σs in N/mm2 160 200 240 280 320 360

wk = 0,2 mm lim sl in mm 200 150 100 50 - -wk = 0,3 mm lim sl in mm 300 250 200 150 100 50wk = 0,4 mm lim sl in mm 300 300 250 200 150 100

Bei unterschiedlichen Durchmessern darf ein mittlerer Durchmesser dsm = (Σds,i2)/(Σds,i) angesetzt wer-

den. Bei Stabbündeln muss der Vergleichsdurchmesser dsV = ds · √⎯n (n Anzahl der Einzelstäbe), bei Be-tonstahlmatten mit Doppelstäben darf jedoch der Durchmesser des Einzelstabes nachgewiesen werden.

Zentrischer Zwang bei „dicken“ Bauteilen

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heff heff ≤ (h–x) / 2

Bei Bauteilen mit im Verbund liegenden Spanngliedern ist die Stahlspannung unter Berücksichtigungdes unterschiedlichen Verbundverhaltens von Bewehrungsstahl und Spannstahl wie folgt zu berechnen:

σs = σs2 + 0,4 · fct,eff · (1/ρeff – 1/ ρtot) (98.1)σs2 Spannung im Betonstahl bzw. Spannungszuwachs im Spannstahl im Zustand II unter Annahme

eines starren Verbundes für die maßgebende Einwirkungskombinationρeff = (As + ξ1

2 · Ap ) / Ac,eff (effektiver Bewehrungsgrad)ρtot = (As + Ap ) / Ac,eff (geometrischer Bewehrungsgrad)

mit Ac,eff als Wirkungsbereich der Bewehrung nach Abb. und ξ1 = √ ξ · ds /dp als Verhältnis derVerbundsteifigkeiten (ξ-Werte nach Tafel)

4.2.2.4 Berechnung der Rissbreiten

Verhältnis der Verbundfestigkeiten ξξξξξsofortiger nachträglicher VerbundVerbund bis C50 / LC50 ab C55 / LC55

glatte Stäbe – 0,3 0,15Litzen 0,6 0,5 0,25profilierte Drähte 0,7 0,6 0,30gerippte Stäbe 0,8 0,7 0,35

Äquivalenter Durchmesser dp vonSpannstahlBündelspannglieder 1,60 · √Ap3-drähtige Einzellitzen 1,20 · dDraht7-drähtige Einzellitzen 1,75 · dDraht

Eine rechnerische Rissbreite wk ergibt sich allgemein zu:wk = sr,max · (εsm – εcm) (98.2)

Bei der Ermittlung des Rissabstandes sr,max und der Dehnungsdifferenz zwischen Bewehrung und Beton(εsm – εcm) ist zu unterscheiden zwischen Erstrissbildung und abgeschlossenem Rissbild. In DIN 1045-1werden beide Zustände durch untere bzw. obere Grenzen zusammengeführt (linke und rechte Seite derGleichungen (98.2a) und (98.2b)).Mit DIN 1045-1 Gl. (136) und (137) ergibt sich

ds σs · dssr,max = ––––––– ≤ ––––––– (98.2a) 3,6 · ρeff 3,6 · fct,eff σs – 0,4 · (fct,eff /ρeff) · (1 + αe · ρeff) 0,6 σsεsm – εcm= –––––––––––––––––––––––––– ≥ ––––– (98.2b)

Es EsEs sindρeff = (As + ξ1

2 · Ap ) / Ac,eff (s. oben)σs Betonstahlspannung für die maßgebende Einwirkungskombination; bei Bauteilen, die nur durch

„inneren“ Zwang beansprucht sind (z. B. Abfließen der Hydratationswärme), darf die Dehnungs-differenz (εsm – εcm ) mit der Stahlspannung σs = σsr ermittelt werden (mit σsr als Spannung derZugbewehrung im Zustand II unter der Einwirkungskombination, die zu einer Erstrissbildung führt)

αe = Es /Ecm Verhältnis der E-Moduln von Betonstahl und Betonfct,eff wirksame Zugfestigkeit (hier ohne Ansatz einer Mindestbetonzugfestigkeit)Bei Betonstahlmatten muss der Rissabstand nicht größer angenommen werden als die doppelte Maschen-weite (DIN 1045-1, 11.2.4 (4)).Bzgl. weiterer Regelungen wird auf DIN 1045-1, 11.2.4 sowie ergänzende Literatur verwiesen ([5.85] u. a.).

Höhe der effektiven Wirkungszone heff:Biegung Zentrischer Zug0 ≤ h/d1 < 10: heff = 0,25 h 0 ≤ h/d1 < 5,0: heff = 0,50 h10 ≤ h/d1 < 60: heff = 0,05 h + 2,0d1 5,0 ≤ h/d1 < 30: heff = 0,10 h + 2,0d1

h/d1 ≥ 60: heff = 5,0 d1 h/d1 ≥ 30: heff = 5,0 d1

heff ≤ h / 2heff ≤ h / 2

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Beispiel 1Stützwand nach Abb., im jungen Betonalter infolge abfließender Hydratationswärme durch das verfor-mungsbehindernde Fundament auf zentrischen Zwang beansprucht. Horizontale Mindestbewehrung:min As = kc · k · fct,eff · Act / σs

kc = 1,0 (zentrischer Zwang); k = 0,8 (Zwang wird durch das Bauteil selbst hervorgerufen.)fct,eff Rissbildung im jungen Betonalter ⇒ fct,eff = 0,5 · 2,9 = 1,5 MN/m2 (50 % von fctm )Act = 0,25 · 1,00 = 0,25 m2 /m; σs = 240 MN/m2 (gewählt)

min As = 1,0 · 0,8 · 1,5 · 0,25 / 240 = 12,5 · 10−4 m2 /m = 12,5 cm2/mgew.: 2 ∅ 10/12,5 (= 12,6 cm2/m)Nachweis des gewählten Durchmessers (für wk = 0,3 mm):

ds = ds* · (fct,eff /fct0) (vereinfachend; vgl. Gl. (96.2))= 19 · (1,5/3,0) ≈ 10 mm = vorh ds (ds* für σs = 240 MN/m2; s. Tafel 5.97a)

Beispiel 2Für die erdseitige, lotrechte Biegezugbe-wehrung der skizzierten Stützwand ist dieRissbreitenbeschränkung nachzuweisen.Quasi-ständiger Lastanteil (ψ2 = 0,5) Mperm = 1,0 · Mg,k + 0,5 · Mq,k

= 1,0 · 40 + 0,5 · 16 = 48 kNm/m(Längskraft aus Eigenlast der Wandsei vernachlässigbar.)

Stahlspannung σs = Mperm / (z · as)

(Die Stahlspannung wird näherungs-weise mit dem Hebelarm z aus demTragfähigkeitsnachweis ermittelt; es istz ≈ 0,19 m.)

σs = 48 · 10−3 / (0,19 · 10,1 · 10−4) = 250 MN/m2 → ds* = 18 mmNachweis entweder a) ds = ds* · σs · As / [4 · (h − d) · b · fct0 ] ≥ ds* · fct,eff /fct0

σs = 250 MN/m2 ⇒ ds* = 18 mmds = 18 · 250 · 0,00101 / [4 · (0,25−0,205) · 3,0] = 18 · 0,47 = 8,5 < 18 · 2,9/3,0 = 17,5ds = 17,5 mm > vorh ds = 16 mm (erfüllt)

oder b) σs = 250 MN/m2 ⇒ lim sl ≈ 19 cm < vorh sl = 20 cm (nicht erfüllt)⇒ Nachweis ist durch Einhaltung der Bedingung a) erbracht, weitere Nachweise erübrigen sich.

Beispiel 3Für den dargestellten Plattenbalken (vgl. S. 5.68) soll der Nachweis zur Rissbreitenbegrenzung geführtwerden. Annahme: Bauteil im Freien (Umweltklasse XC 4), Verkehrslast als „Sonstige Einwirkung“.Quasi-ständiger Lastanteil (ψ2 = 0,5)

Mperm = 1,0 · Mg,k + 0,5 · Mq,k= (1,0 · 50 + 0,5 · 30) · 7,502/ 8 = 457 kNm

Stahlspannungσs = Mperm / (z · As)

z ≈ 0,9 · d = 0,9 · 0,53 = 0,48 mAs = 35,8 cm2 (vgl. S. 5.68)

σs = 0,457 / (0,48 · 0,00358) = 266 MN/m2

Nachweisds = ds* · σs · As / [4 · (h − d) · b · fct0] ≥ ds* · fct,eff / fct0

σs = 266 MN/m2 ⇒ ds* = 16 mmσs · As / [4 · (h − d) · b · fct0 ] = 266 · 0,00358 / [4 · (0,60 − 0,53) · 0,30 · 3,0] = 3,8

ds = 16 · 3,8 = 61 mm ⇒ keine Stabdurchmesserbegrenzung im Bereich der Zugbewehrung

BaustoffeC30/37; BSt 500

SchnittgrößenMgk = 40 kNm/mMqk = 16 kNm/m

Biegebemessungas,erf = 9,30 cm2/mas,vorh = 10,1 cm2/m

Allgemeiner Hinweis:Falls die vertikale Bewehrunggestoßen wird, muss wegends = 16 mm die Querbeweh-rung außen angeordnet wer-den (s. Abschn. 5.2.4).

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4.2.3 Begrenzung der VerformungenDie Verformungen eines Tragwerkes müssen so begrenzt werden, dass sie das Erscheinungsbild und dieordnungsgemäße Funktion nicht beeinträchtigen. In Abhängigkeit von der Stützweite l (bei Kragarmenmit l = 2,5 · lk) gilt für den Durchhang f bzw. für die Durchbiegung w unter der quasi-ständigen Last:

allgemein f ≤ l / 250 (100.1a)in Hinblick auf Ausbauten (z. B. Trennwände) w ≤ l / 500 (100.1b)

mit f als vertikale Bauteilverformung, bezogen auf die Verbindungslinie der Unterstützungspunkte, undw als vertikale Bauteilverformung, bezogen auf die Systemlinie des Bauteils, bei Schalungsüberhöhungbezogen auf die überhöhte Lage (es gilt die nach dem Einbau der Ausbauten auftretende Verformung).Ein Nachweis kann für Deckenplatten des üblichen Hochbaus aus Normalbeton über die Begrenzung derBiegeschlankheit erfolgen (für Leichtbeton sind die Werte mit ηE

0,15 – ηE s. Tafel 5.32 – abzumindern):⎧ 35 allgemeinli /d ≤ ⎨ (100.2)⎩ 150 / li für Bauteile mit erhöhten Anforderungen (li in m) zur Vermeidung von

Schäden an angrenzenden BauteilenHierin ist li = α · l die Ersatzstützweite.Der Beiwert α kann für häufig vorkommende Fälle dernebenstehenden Tafel entnommen werden. Bei vierseitiggestützten Platten ist die kleinere Stützweite maßgebend,bei dreiseitig gestützten Platten die Stützweite parallelzum freien Rand (ggf. auch die Kraglänge → Nachweisals Kragarm); für Flachdecken gelten die Werte auf derBasis der größeren Stützweite. Für durchlaufendeTragwerke dürfen die Beiwerte nur verwendet werden,wenn min l ≥ 0,8 · max l ist, für Kragarme, fallsannähernd eine starre Einspannung gegeben ist.

BeispielEinfeldplatte mit leichten Trennwänden (erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung) bei einer Stütz-weite l = 4,50 m und einer Nutzhöhe d = 18 cm (Fortsetzung des Beispiels 1 von Abschn. 4.1.1.3 u. 4.1.2.2)

⎧ 35li /d = 4,50 / 0,18 = 25 < ⎨ → Nachweis erfüllt⎩ 150 / li = 150 / 4,50 = 33

Für andere Fälle kann der Beiwert α mit Hilfe der An-gaben in [5.15] ermittelt werden:

Durchlaufträger mit beliebigen Stützweiten 1 + 4,8 · (m1 + m2)α = ————————— (100.3) 1 + 4 · (m1 + m2)

Grenze: m1 ≥ – (m2 + 5/24)Kragbalken an Durchlaufträgern

⎡ l ⎛ lk⎞ q ⎛ l ⎞ 3 ⎤α = 0,8· ⎢– ·⎜4 + 3 · –⎟ – – ·⎜ – ⎟ · (4 · m+1)⎥ (100.4)⎣ lk ⎝ l ⎠ qk ⎝ lk ⎠ ⎦

qk ⎛lk⎞ 2 ⎛ 3 lk⎞ 1Grenze: m ≤ – · ⎜ – ⎟ · ⎜1+ – · –⎟ – – q ⎝ l ⎠ ⎝ 4 l ⎠ 4Es sind (s. hierzu auch Abb.):m = M / (q · l 2) bezogene Momente über den Stützen des betrachteten Innenfeldes (m1, m2 bzw. M1, M2)

bzw. über der vom Kragarm abliegenden Stütze des anschließenden Innenfeldes (m, M); mit VZ!q Gleichlast des untersuchten Feldes bzw. bei Kragträgern des an den Kragarm anschließenden Feldesqk maßgebliche Gleichlast des Kragarmsl Stützweite des untersuchten Feldes bzw. bei Kragträgern des an den Kragarm anschließenden Feldeslk Kragarmlänge

Ergibt sich in Gl. (100.4) der Wert α erheblich größer als 2,4, ist von der Anwendung des vereinfachtenVerfahrens abzuraten, es wird ein rechnerischer Nachweis der Verformungen empfohlen.

Bei Deckenplatten sollte eine angemessene Überhöhung der Schalung (Überhöhung ≤ li /250) vorgesehenwerden. Wegen Unsicherheiten des Nachweises wird empfohlen, die nach Gl. (100.2) ermittelten Decken-stärken großzügig zu wählen oder aber einen genaueren Nachweis zu führen. Für Vordimensionierungeneignet sich auch das nachfolgend (S. 5.101) dargestellte Verfahren.

1) Für punktförmig gestütze Platten – Flachdecken –bis C25/30 gilt 0,9 (Endfeld) bzw. 0,7 (Innenfeld).

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zul. Durchbiegung li λi

≤ 4,0 m 296,0 m 26

l /250 8,0 m 2310,0 m 2112,0 m 19

≤ 4,0 m 236,0 m 19

l /500 8,0 m 1610,0 m 1412,0 m 13

Nachweis für FlachdeckenFür Flachdecken erfolgt der Nachweis wie bei Platten, jedoch mit li = α1 · leff ; dabei ist α1 = 0,85 undleff = Lmax, d. h., der Nachweis erfolgt auf der Basis der größeren Stützweite.

Tafel 5.101a ηηηηη1-Beiwerte Tafel 5.101b λλλλλ i-Werte bei Platten

Statisches System α1frei drehbar gelagerter Endfeldträger 1,00Endfeld eines Durchlaufträgers 0,80Mittelfeld eines Balkens 0,70Kragträger 2,50

Nachweis für BalkenVoraussetzung: Kriechzahl ϕ ≤ 2,50, „übliche“ Bewehrungsgrade (weitere Hinweise s. [5.48])

ci

i kl

d ⋅≥λ

mit li = α1 · leff (α1 gemäß Tafel 5.101c)λi nach Tafel 5.101dkc = (fck0 /fck)1/6 mit fck0 = 20 N/mm2

zul. Durchbiegung li λi

≤ 4,0 m 286,0 m 26

l /250 8,0 m 2310,0 m 2112,0 m 19

≤ 4,0 m 166,0 m 15

l /500 8,0 m 1410,0 m 1312,0 m 13

Tafel 5.101c ααααα1-Beiwerte

Tafel 5.101d λλλλλ i-Werte bei Balken

BeispielEinfeldplatte mit leichten Trennwänden (erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung) bei einer Stütz-weite l = 4,50 m und einer Nutzhöhe d = 18 cm (s. S. 5.100); Beton C20/25

li = l = 4,50 mli / d = 4,50 / 0,18 = 25 > λi / kc = 22 / 1 = 22 →

Nachweis nicht erfüllt, Überschreitung jedoch unbedenklich, falls Trennwände erst nach dem Ausschalender Decke eingebaut werden (Verformungen inf. Eigenlast zum Zeitpunkt t0 sind dann bereits vorhanden).

Erweiterte Nachweise der BiegeschlankheitMit dem vereinfachten Nachweis nach Gl. (100.2) können die in Gl. (100.1a/b) genannten Grenzen rech-nerisch häufig nicht nachgewiesen werden. Gemäß DAfStb-H. 525 werden damit dennoch weitgehendschadensfreie Ergebnisse wegen günstiger Einflussparameter wie Überfestigkeiten, konstruktive Rand-einspannungen, zweiachsige Lastabtragungen, geringe Belastung usw. erzielt. Insbesondere wenn dieseEinflüsse nicht vorliegen (s. DAfStb-H. 525), sind zusätzliche Überlegungen erforderlich.In [5.48] wurden erweiterte Tafeln für den Nachweis der Biegeschlankheit rechnerisch bestimmt, dienachfolgend wiedergegeben sind und ggf. zusätzlich beachtet werden sollten. Sie gelten für Platten, aberauch für Balken und erweitern damit den Gültigkeitsbereich von DIN 1045-1, 11.3.2.Bei hohen Anforderungen an die Verformungsbegrenzung sollte jedoch in jedem Falle eine rechneri-sche Kontrolle der Verformungen erfolgen.Nachweis für Platten (nicht für Flachdecken)Voraussetzung: q ≤ 5,0 kN/m2; Kriechzahl ϕ ≤ 2,50 (weitere Hinweise s. [5.48])

d ≥ kc · li / λ i mit li = η1 · leff und leff = lmin = Ly und η1 gemäß Tafel 5.101aλi nach Tafel 5.101bkc = (fck0 /fck)1/6 und fck0 = 20 N/mm2

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5 Konstruktionsgrundlagen5.1 Expositionsklassen und Mindestbetonfestigkeit; Betondeckung und

Stababstände

Mindestbetondeckung cmin in mm1) 2) 3)

karbonatisierungsinduzierte chloridinduzierte chloridinduzierte Kor-Korrosion Korrosion rosion aus Meerwasser

Expositionsklasse XC 1 XC 2 XC 3 XC 4 XD 1 XD 2 XD 35) XS 1 XS 2 XS 3Betonstahl 10 20 25 40 40Spannglieder 4) 20 30 35 50 50

1) Die Mindestbetondeckung darf bei Bauteilen, deren Festigkeitsklasse um 2 Klassen höher liegt als nach Tafel 5.103erforderlich, um 5 mm vermindert werden (gilt nicht für Umweltklasse XC 1).

2) Zusätzlich sind 5 mm für die Umweltklasse XM 1, 10 mm für XM 2 und 15 mm für XM 3 vorzusehen, sofern nichtzusätzliche Anforderungen an die Betonzuschläge nach DIN 1045-2 berücksichtigt werden.

3) Wird Ortbeton kraftschlüssig mit einem Fertigteil verbunden, darf die Mindestbetondeckung an den der Fuge zuge-wandten Rändern auf 5 mm im Fertigteil und 10 mm (bzw. 5 mm bei rauen Fugen) im Ortbeton verringert werden;die Bedingungen zur Sicherstellung des Verbundes müssen jedoch eingehalten werden, wenn die Bewehrung imBauzustand berücksichtigt wird. Bei mind. rauen Fugen darf die Bewehrung auch direkt auf die Fugenoberflächeverlegt werden, für diese Stäbe sind dann mäßige Verbundbedignungen anzusetzen. Am Spalt zwischen den FT-Elementplatten muss jedoch cnom eingehalten werden (s. a. S. 5.104); vgl. [5.60], [5.73].

4) Die Mindestbetondeckung bezieht sich bei Spanngliedern im nachträglichen Verbund auf Oberfläche Hüllrohr.5) Im Einzelfall können besondere Maßnahmen zum Korrosionsschutz der Bewehrung nötig werden.

Tafel 5.102b Mindestmaß der Betondeckung cmin zur Sicherung des Verbundes (DIN 1045-1, 6.3)

Stahlbeton cmin ≥ ds bzw. dsV ds StabdurchmesserdsV Vergleichsdurchmesser

Spannbeton sofortiger Litze cmin ≥ 2,5 dpVerbund gerippte Drähte cmin ≥ 3,0 dp

dp Nenndurchmesser

nachträglicher Verbund cmin ≥ dduct dduct Hüllrohraußendurchmesser

Für Leichtbeton gelten die in Tafel 5.102a und 5.102b genannten Mindestwerte; zusätzlich muss dieMindestbetondeckung cmin (außer für XC 1) mindestens 5 mm größer sein als der Durchmesser desGrößtkorns des porigen Leichtzuschlags.

Tafel 5.102a Mindestmaß cmin der Betondeckung (Korrosionschutz) (DIN 1045-1, 6.3)

5.1.2 Mindestmaß cmin und Nennmaß cnom der BetondeckungMindestmaß cmin Betondeckung, die an keiner Stelle unterschritten werden darf; sie wird bestimmt aus

– Korrosionsschutz der Bewehrung– Sicherung des Verbundes– Brandschutz (s. gesonderte Festlegungen in den Brandschutzbestimmungen).

Nennmaß cnom Nennmaß unter Berücksichtigung von Maßabweichungen, das in den Berechnungenzu berücksichtigen ist; es ergibt sich aus:– Mindestmaß zzgl.– Vorhaltemaß.

Auch rechnerisch nicht berücksichtigte Bewehrung muss den Anforderungen an die Betondeckung genügen.

5.1.1 Exposititonsklassen und MindestbetonfestigkeitDie Umgebungsbedingungen eines Bauteils sind durch chemische und physikalische Einflüsse gekenn-zeichnet, denen ein Tragwerk als Ganzes, einzelne Bauteile, der Spann- und der Betonstahl und der Be-ton selbst ausgesetzt sind. Bei den Umgebungsbedingungen wird unterschieden nach – Bewehrungskorrosion – Betonangriff.Für beide Angriffsarten sind die Expositionsklassen zu bestimmen. Jeder Expositionsklasse ist eineMindestbetonfestigkeitsklasse zugeordnet, die jeweils höhere Festigkeit ist maßgebend.Für vorgespannte Bauteile gelten zusätzlich als Mindestbetonfestigkeiten – Vorspannen mit nachträglichem Verbund oder ohne Verbund: C25/30 bzw. LC25/28 – Vorspannen mit sofortigem Verbund: C30/37 bzw. LC30/33

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@-5.103Konstruktion – Expositionsklassen, Betondeckung

Tafel 5.103 Expositionsklassen (s. a. nächste Seite)

Beschreibung Beispiele für Umgebungsbedingungen Mindest- Klasse der (weitere Beispiele und Erläuterungen festigkeits-

Umgebung s. DIN 1045-1, 6.2) klasse

Kein Korro- Beton o. Bewehrung: Bauteil ohne Bewehrung in nicht beton- C12/15 1 sions- oder X 0 alle Umgebungsbed. angreifender Umgebung, z. B. unbewehrteAngriffsrisiko außer XF, XA, XM Fundamente ohne Frost, unbewehrte Innenbauteile

XC 1 Trocken oder Bauteile in Innenräumen mit normaler Luftfeuchte; C16/20ständig nass Bauteile, die sich ständig unter Wasser befinden

Bewehrungs- XC 2 Nass, selten trocken Teile von Wasserbehältern; C16/20korrosion, Gründungsbauteile

2 ausgelöst Bauteil, zu dem die Außenluft häufig oder ständigdurch XC 3 Mäßige Feuchte Zugang hat, z. B. offene Hallen, Innenräume mit C20/25Karbonati- hoher Luftfeuchte, Viehställesierung1)

XC 4 Wechselnd nass Außenbauteile mit direkter Beregnung; C25/30und trocken Bauteile in Wasserwechselzonen

XD 1 Mäßige Feuchte Bauteile im Sprühnebelbereich von C30/373)

Bewehrungs- Verkehrsflächen; Einzelgaragenkorrosion,

XD 2 Nass, selten trocken Solebecken; Bauteile, die chloridhaltigen C35/453) 8)

3 ausgelöst Industriewässern ausgesetzt sinddurch

XD 3 Wechselnd nass und Bauteile mit häufiger Spritzwasserbeanspruchung; C35/453)

Chloride trocken Fahrbahndecken; direkt befahrene Parkdecks2)

Bewehrungs- XS 1 Salzhaltige Luft (ohne Außenbauteile in Küstennähe C30/373)

korrosion, Meerwasserkontakt) 4

ausgelöst XS 2 Unter Wasser Bauteile in Hafenanlagen, die ständig unter C35/453) 8)

durch Chlo- Wasser liegenride aus Tidebereiche,Meerwasser XS 3 Spritzwasser- und Kaimauern in Hafenanlagen C35/453)

Sprühnebelbereiche

XF 1 Mäßige Wassersätti- Außenbauteile C25/30gung ohne TaumittelMäßige Wassersätti- Bauteile im Sprühnebel- oder Spritzwasserbereich C35/455) 8)

XF 2 gung mit Taumittel tausalzbehandelter Verkehrsflächen (s. a. XF 4),Beton- oder Meerwasser Bauteile im Sprühnebelbereich von Meerwasser

5 angriffXF 3 Hohe Wassersätti- offene Wasserbehälter; Bauteile in der Wasser- C35/455) 8)

durch Frost gung ohne Taumittel wechselzone von Süßwassermit und tausalzbehandelte Bauteile; überwiegend horiz.ohne Hohe Wassersätti- Bauteile im Spritzwasserbereich von tausalzbehan- C40/506)Taumittel XF 4 gung mit Taumittel delten Verkehrsflächen, direkt befahrene Park-

oder Meerwasser decks2); Bauteile in der Wechselwasserzone vonMeerwasser; Räumerlaufbahnen von Kläranlagen

Betonangriff XA 1 Chemisch schwach Behälter von Kläranlagen; C25/30

durch angreifende Umgeb. Güllebehälter

chemischen XA 2 Chemisch mäßig an- Bauteile, die mit Meerwasser in Berührung C35/453) 8)

6 Angriff der greifende Umgebung kommen oder in betonangreifenden BödenUmgebung4)

XA 3 Chemisch stark an- Industrieabwasseranlagen mit chemisch angreifen- C35/453)

greifende Umgebung den Abwässern, Gärfuttersilos, ggf. Kühltürme u. a.

XM 1 Mäßige Verschleiß- Bauteile mit Beanspruchung durch luftbereifte C30/373)

Betonangriff beanspruchung FahrzeugedurchVerschleiß- XM 2 Schwere Verschleiß- Bauteile mit Beanspruchung durch luft- oder voll- C35/453) 7)

7beanspru-

beanspruchung gummibereiften Gabelstaplerverkehr

chung XM 3 Extreme Verschleiß- Beanspruchung durch elastomer- od. stahlrollenbe- C35/453)

beanspruchung reifte Gabelstapler u. Kettenfahrzeuge; Tosbecken1) Feuchteangabe für den Zustand innerhalb der Betondeckung der Bewehrung, die i. Allg. gleich den Umgebungsbedingungen

ist; dies braucht jedoch nicht der Fall zu sein, wenn sich zwischen dem Beton und seiner Umgebung eine Sperrschicht befindet.2) Ausführung nur mit zusätzlichen Maßnahmen (z. B. rissüberbrückende Beschichtung).3) Bei Verwendung von Luftporenbeton , z.B. wegen gleichzeitiger Anforderungen aus XF, eine Betonfestigkeitsklasse niedriger.4) Grenzwerte für die Expositionsklassen bei chemischem Angriff siehe DIN EN 206-1 und DIN 1045-2.5) Bei Verwendung von Luftporenbeton (mit Mindestluftgehalt unmittelbar vor dem Betoneinbau nach DIN 1045-2) gilt C25/30.6) Bei Räumerlaufbahnen ohne Luftporen. Bei Verwendung von Luftporenbeton oder erdfeuchtem Beton (w/z ≤ 0,40) gilt C30/37.7) Bei C30/37 Oberflächenbehandlung des Betons nach DIN 1045-2 erforderlich, z.B. Vakuumieren und Flügelglätten.8) Bei langsam und sehr langsam erhärtenden Betonen eine Festigkeitsklasse im Alter von 28 Tagen niedriger (s. DIN 1045-1).Sc

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Nennmaß der Betondeckung cnomDas Nennmaß cnom ist der statischen Berechnung zugrunde zu legen. Es ergibt sich durch Vergrößerungder Mindestbetondeckung cmin um ein Vorhaltemaß Δc:

cnom = cmin + ΔcVorhaltemaß Δc falls Korrosionsschutz maßg. Δc = 15 mm (Ausnahme für XC 1: Δc = 10 mm)

falls Verbundbedingung maßg. Δc = 10 mm (vgl. [5.26])Eine Vergrößerung des Vorhaltemaßes Δc ist erforderlich, wenn der Beton gegen unebene Oberflächengeschüttet wird. Die Erhöhung erfolgt um das Differenzmaß der Unebenheit, mindestens jedoch um 20mm, bei Schüttung gegen Erdreich um 50 mm. Bei Oberflächen mit architektonischer Gestaltung (struk-turierte Oberflächen, Waschbeton u. a.) ist ebenso eine angemessene erhöhte Betondeckung erforderlich.Eine Verminderung des Vorhaltemaßes Δc um 5 mm ist nur in Ausnahmefällen und bei entspr. Qualitäts-kontrolle zulässig; Angaben hierzu s. DBV-Merkblätter „Betondeckung und Bewehrung“ und „Abstand-halter“. Im Bereich von Verbundfugen (mit Ortbeton ergänzte Fertigplatten) darf an der Fuge zwischenFertigteil und Ortbeton das Vorhaltemaß Δc entfallen; Voraussetzung: ausreichend dichte Verfüllung desSpaltes zwischen den Fertigteilen (vgl. [5.24],[5.26]) bzw. Einhaltung von cnom am Spalt.Auf der Konstruktionszeichnung ist das für die Ab-standhalter maßgebende Verlegemaß cv und dasVorhaltemaß Δc anzugeben, und zwar für die Stäbe,die unterstützt werden sollen (im Allgemeinen dieder Betonoberfläche am nächsten liegenden Stäbe).Nach Abb. gilt: cv ≥ cnom,bü und cv ≥ cnom,l − dsbü

5.1.3 StababständeDer Stababstand muss so groß sein, dass der Beton eingebracht und ausreichend verdichtet werden kann,sowie ausreichend Verbund sichergestellt ist. Der Mindestwert des gegenseitigen lichten Stababstands snparalleler Einzelstäbe bestimmt sich nach folgender Tafel (DIN 1045-1, 12.2 und 12.10).

Betonstahl allgemein sn ≥ ds und sn ≥ 20 mmGrößtkorndurchmesser dg > 16 mm sn ≥ dg + 5 mm

Spannstahl1) sofortiger Verbund horizontal snh ≥ dp und snh ≥ 20 mm und snh ≥ dg + 5 mmvertikal snv ≥ dp und snv ≥ 10 mm und snv ≥ dg

nachträglicher Verbund horizontal snh ≥ 0,8 dduct und snh ≥ 50 mmvertikal snv ≥ 0,8 dduct und snv ≥ 40 mm

1) Zwischen den im Verbund liegenden Spanngliedern und verzinkten Einbauteilen oder verzinkter Bewehrung mussmindestens 2 cm Beton vorhanden sein; es darf keine metallische Verbindung bestehen.

Erläuterung: dg Größtkorndurchmesser; dduct Hüllrohraußendurchmesser

Beschreibung Beispiele für die Zuordung der Bauteile Klasse der Umgebung (weitere Beispiele und Erläuterungen s. DIN 1045-1, Tab. 3)

Beton, der nach Nach- a)Innenbauteile des Hochbausbehandlung u. Austrock- b)Außenlufteinwirkung, nicht jedoch z. B. Niederschläge, Ober-W0 nung während der Nutzung flächenwasser, Bodenfeuchte und/oder ständige Einwirkungweitgehend trocken bleibt einer rel. Luftfeuchte > 80 %

a)Ungeschützte Außenbauteile, die z. B. Niederschlägen,Oberflächenwasser oder Bodenfeuchte ausgesetzt sind

Beton, der während der b)Feuchträume, wie z. B. Hallenbäder, Wäschereien u.WF Nutzung häufig oder län- andere gewerbliche Feuchträume mit rel. Luftfeuchte > 80 %

8 gere Zeit feucht ist c)Häufige Taupunktunterschreitung, wie z. B. bei SchornsteinenWärmeübertragungsstationen, Filterkammern, Viehställen

d)Bauteile gem. DAfStb-Richtlinie „Massige Bauteile aus B.“,mit Abmessungen > 0,80 m (unabhängig vom Feuchtezutritt).

Beton, der zusätzlich a)Meerwassereinwirkungzur Klasse WF häufiger b)Tausalzeinwirkung ohne hohe dynam. Beanspruchung

WA oder langzeitiger Alkali- (z. B. Spritzwasserbereiche, Fahr- u. Stellflächen in Parkh.zufuhr von außen ausge- c)Industriebauten u. landwirtschaftliche Bauwerke (z. B.setzt ist Güllebehälter) mit AlkalizufuhrBeton unter hoher dyna- Bauteile unter Tausalzeinwirklung mit zusätzlicher hoherWS mischer Beanspruchung dynamischer Beanspruchung (z. B. Betonfahrbahnen)u. direktem Alkalieintrag

Tafel 5.103 (Fortsetzung)

Beton-korrosioninf. Alkali-Kieselsäure-reaktion(Zuordnungdes Betonanhand derzu erwarten-den Umge-bungsbe-dingungen)

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@-5.105Konstruktion – Betonstahl

5.2 Betonstahl

5.2.1 KrümmungenMindestwerte der Biegerollendurchmesser dbr ; allgemein

Haken, Winkelhaken, Schlaufen, Schrägstäbe und andere gebogene StäbeBügel

Betonstahl Stabdurchmesser Mindestmaße der Betondeckung min c ds < 20 mm ds ≥ 20 mm rechtwinklig zur Krümmungsebene

> 100 mm > 50 mm ≤ 50 mm> 7 ds > 3 ds oder ≤ 3 ds

Rippenstäbe BSt 500 4,0 ds 7,0 ds 10 ds 15 ds 20 ds

Mindestwerte der Biegerollendurchmesser dbr ; geschweißte Bewehrung und Betonstahlmatten – Abstand zwischen Krümmungsbeginn und Schweißstelle ≥ 4 ds ⇒ dbr nach Tabelle oben – Abstand zwischen Krümmungsbeginn und Schweißstelle < 4 ds ⎫ ⇒ dbr ≥ 20 dsoder Schweißung innerhalb des Biegebereichs ⎭Bei nicht vorwiegend ruhender Belastung ist zusätzlich DIN 1045-1, 12.3.1 zu beachten.Das Hin- und Zurückbiegen von Betonstählen stellt für den Betonstahl und den umgebenden Beton einezusätzliche Beanspruchung dar; hierfür gelten die besonderen Bedingungen (s. DIN 1045-1, 12.3.2).

5.2.2 Verbund und Bemessungswert der VerbundspannungenVerbundbedingungenGute Verbundbedingungen gelten für alleStäbe– mit Neigungen 45° ≤ α ≤ 90°– mit Neigungen 0° ≤ α ≤ 45°, die

in Bauteilen mit h ≤ 300 mmin Bauteilen mit h > 300 mm entweder≤ 300 mm von Unterkante oder≥ 300 mm von Oberkante

eingebaut sind,– in liegend gefertigten stabförmigen Bau-

teilen mit h ≤ 500 mm, die mit Außen-rüttlern verdichtet werden.

Für alle übrigen Stäbe gelten mäßige Ver-bundbedingungen. Ebenso gelten sie i. d. R.für alle Stäbe von Bauteilen, die im Gleitbauverfahren hergestellt werden; für lotrechte Stäbe innerhalbder horizontalen Bewehrung dürfen jedoch 90 % der Werte des guten Verbundes angesetzt werden.

charakteristische Werte der Betonfestigkeit fck12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

guter Verbund 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3 4,4 4,5 4,7 4,8 4,9 4,9mäßiger Verbund 70 % der Werte des guten Verbunds

Für Leichtbeton sind die Verbundspannungen fbd mit η1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) zu multiplizieren (ρ Tro-ckenrohdichte in kg/m3). Für Stabdurchmesser ds > 32 mm s. Abschn. 5.2.7.

Die Werte dürfen erhöht werden (es ist nur eine der beiden genannten Möglichkeiten zulässig): – bei einem Querdruck p senkrecht zur Bewehrungsebene mit dem Faktor 1/(1 – 0,04 · p) ≤ 1,5

(jedoch nicht für die Verankerungslänge am Endauflager bei direkter Lagerung) – bei allseitig durch Bewehrung gesicherter Betondeckung von mindestens 10 ds um 50 %

(gilt nicht für Übergreifungsstöße mit einem Achsabstand der gestoßenen Stäbe ≤ 10 ds ).Die Werte müssen bei Querzug senkrecht zur Bewehrungsebene um 33 % herabgesetzt werden.

Bemessungswert der Verbundspannung fbd1) in N/mm2 für Rippenstähle bei ds ≤ 32 mm und Normalbeton

___________1) Die Verbundspannung fbd ergibt sich mit γc = 1,5 (bzw. γc' · γc; s. Tafel 5.29c) aus fbd = (2,25 · fctk;0.05) / γc .Sc

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5.2.3 VerankerungenVerankerungsarten:

Grundmaß der Verankerungslänge lblb = (ds / 4) · (fyd / fbd) (106.1)

fbd Bemessungswert der Verbundspannung (s. Tafel S. 5.105)fyd Bemessungswert der Stahlspannung; falls erhöhte Betonstahlspannungen σsd = σsu /γs > fyd ausge-

nutzt werden (s. Linie II der σ-ε-Linie auf S. 5.34), ist fyd durch σsd zu ersetzends Stabdurchmesser (bei Doppelstäben dsV = ds · 2 )Verankerungslänge:Die erforderliche Verankerungslänge lb,net wird aus dem Grundmaß lb hergeleitet:

lb,net = αa · (As,erf / As,vorh) · lb ≥ lb,min (106.2)αa Beiwert zur Berücksichtigung der Wirksamkeit der Verankerung; s. Tafel obenAs,erf ; As,vorh erforderliche bzw. vorhandene Querschnittsfläche der Bewehrunglb Grundmaß der Verankerungslänge nach Gl. (106.1)lb,min Mindestmaß der Verankerungslänge; es gilt:

– für Verankerungen von Zugstäben lb,min = 0,3 · αa · lb ≥ 10 · ds– für Verankerungen von Druckstäben lb,min = 0,6 · lb ≥ 10 · ds

Querbewehrung im Verankerungsbereich:Im Verankerungsbereich ist eine Querbewehrung an-zuordnen. Die Forderung gilt als erfüllt, wenn– konstr. Maßnahmen oder günstige Einflüsse (z. B.

Querdruck) ein Spalten des Betons verhindern,– die erforderliche Bügelbewehrung (Balken, Stüt-

zen) oder Querbewehrung (Platte, Wand) gemäßAbschn. 5.4 eingelegt wird.

(Für Stabdurchmesser ds > 32 mm s. Abschn. 5.2.7.)

3)

3) Für angeschweißte Querstäbe gilt ds,q /ds,l ≥ 0,7, die Verbindungen sind als tragend auszuführen.

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5.2.4 Übergreifungsstöße von Stäben oder DrähtenAnordnung der Übergreifungsstöße – Stöße sollten versetzt und im Bereich mit geringer Beanspruchung angeordnet werden. – Stöße sollten parallel zur Bauteilaußenfläche und im Querschnitt symmetrisch ausgebildet werden. – Für die Ausbildung der Stöße gelten die Ausführungen über die Verankerungsarten (s. vorher). – Für die lichten Stababstände und den Längsversatz sind die Werte gemäß Abb. 5.107 einzuhalten.

ÜbergreifungslängeDie erforderliche Übergreifungslänge ls ergibt sich aus: ls = α1 · lb,net ≥ ls,min (107)lb,net Verankerungslänge nach Gl. (106.2); s. vorherls,min Mindestmaß der Übergreifungslänge; es ist

⎧ 15 . dsls,min ≥ 0,3 · αa · α1 · lb ≥ ⎨⎩ 200 mm

α1 Beiwert für die Wirksamkeit von Bewehrungsstößen nach Tafel:Stoßanteil ≤ 30 % > 30 %

ds < 16 mm s ≥ 10 ds ; s0 ≥ 5 ds 1,0 1,0Zugstöße s < 10 ds ; s0 < 5 ds 1,2 1,4

ds ≥ 16 mm s ≥ 10 ds ; s0 ≥ 5 ds 1,0 1,4 s < 10 ds ; s0 < 5 ds 1,4 2,0

Druckstöße 1,0

————————1) Für einen lichten Abstand größer

als 4 ds muss die Übergreifungs-länge um den Betrag erhöhtwerden, um den der Abstand von4 ds überschritten wird.

QuerbewehrungIm Bereich von Übergreifungsstößen ist eine Querbewehrung vorzusehen. Für Stäbe mit ds < 16 mm beiBeton ≤ C55/67 bzw. ≤ LC45/50 und mit ds < 12 mm bei Beton ab C60/75 bzw. LC50/55 oder für einenStoßanteil ≤ 20 % genügt eine konstruktive Querbewehrung. In diesen Fällen darf bei Platten und Wändendie Querbewehrung innen angeordnet werden (DAfSb-H. 525).Für andere Fälle gilt bei vorwiegend biegebeanspruchten Bauteilen (s. a. Abb. 5.107) : – lichter Abstand ≤ 4 ds: Querbewehrung Ast, die der Fläche eines gestoßenen Stabes entspricht – lichter Abstand > 4 ds: Querbewehrung Ast, die der Fläche jeden gestoßenen Stabes entsprichtDie Querbewehrung ist zwischen Längsbewehrung und Betonoberfläche („außen”) anzuordnen und bei einemAchsabstand s ≤ 10 ds bügelartig*) auszubilden. Werden bei mehrlagiger Bewehrung mehr als 50 % des Quer-schnitts der einzelnen Lage in einem Schnitt gestoßen, sind die Übergreifungsstöße generell durch Bügel zuumschließen, die für die Kraft aller gestoßenen Stäbe zu bemessen sind. Ebenso ist in vorwiegend biege-beanspruchten Bauteilen ab C70/85 die Querbewehrung grundsätzlich bügelartig auszubilden, die Quer-schnittsfläche der vertikalen Bügelschenkel ist für die Kraft aller gestoßenen Stäbe zu bestimmen.

Abstände s und s0

αa nach Abschn. 5.2.3, jedoch ohne Berück-sichtigung von angeschweißten Querstäben

1)

_______________*) Auf eine bügelartige Ausbildung darf verzichtet werden, falls

– der Abstand der Stoßmitten benachbarter Stöße mit geraden Stabenden in Längsrichtung ca. 0,5 ls beträgt;– bei flächenartigen Bauteilen die Übergreifungslänge um 30 % erhöht wird (andernfalls ist eine bügelartige

Ausbildung für s ≤ 7 ds erforderlich).

Verteilung derQuerbewehrung

Abb. 5.107

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5.2.5 Übergreifungsstöße von Betonstahlmatten aus RippenstäbenHauptbewehrungAusbildung und Anordnung – DIN 1045-1 bezieht sich nur auf den häufigen Fall des „Zwei-Ebenen-Stoßes”.

Zwei-Ebenen-Stoß (Stäbe liegen übereinander) Ein-Ebenen-Stoß (Stäbe liegen nebeneinander) – Die Stöße sollten nicht in hoch beanspruchten Bereichen liegen, anderfalls ist bei Betonstahlmatten

mit as ≥ 6 cm2/m die Rissbreitenbegrenzung mit einer um 25 % erhöhten Stahlspannung zu führen. – Der zulässige Stoßanteil in einem Schnitt beträgt

100 % bei Matten mit einem Bewehrungsquerschnitt as ≤ 12 cm2/m 60 % bei Matten mit as > 12 cm2 /m; Stoß nur in innerer Lage mehrlagiger Bewehrung zulässig.Stöße von mehreren Bewehrungslagen sind um 1,3 · ls (s. u.) in Längsrichtung zu versetzen.

– Eine zusätzliche Querbewehrung ist im Übergreifungsbereich nicht erforderlich.

Stabdurchmesser der > 6,0 > 8,5 > 12,0Querbewehrung ds in mm ≤ 6,0 ≤ 8,5 ≤ 12Übergreifungslänge ls ≥ sl ≥ sl ≥ sl ≥ sl(sl Abstand der Längsstäbe) ≥ 150 mm ≥ 250 mm ≥ 350 mm ≥ 500 mm

QuerbewehrungDie gesamte Querbewehrung darf in einem Schnitt gestoßen werden.Übergreifungslänge:Erforderliche Übergreifungslängen der Querbewehrung nachfolgender Tafel (DIN 1045-1, 12.8.4). Mindestens zweiQuerstäbe (eine Masche bzw. zwei sich abstützende Querstä-be der Längsbewehrung mit einem Abstand ≥ 5ds bzw. 5 cm)müssen innerhalb der Übergreifungslänge vorhanden sein.

Übergreifungslänge:Die erforderliche Übergreifungslänge von Betonstahlmatten wird ermittelt aus

ls = α2 · (as,erf / as,vorh) · lb ≥ ls,min (108)

α2 Beiwert für die Übergreifungslänge von Betonstahlmatten⎧ ≥ 1,0α2 = 0,4 + (as,vorh / 8) ⎨⎩ ≤ 2,0

as,erf erforderliche Querschnittsfläche der Bewehrung im betrachteten Schnitt (in cm2/m)as,vorh vorhandene Querschnittsfläche der Bewehrung im betrachteten Schnitt (in cm2/m)lb Grundmaß der Verankerungslänge nach Gl. (106.1)ls,min Mindestmaß der Übergreifungslänge; es ist

⎧ 200 mmls,min = 0,3 · α2 · lb ≥ ⎨⎩ sq (sq Abstand der angeschweißten Querstäbe)

5.2.6 Verankerungen von Bügeln und Querkraftbewehrung (DIN 1045-1, 12.7)

Bügel und Schubbewehrung werden mit Haken, Winkelhaken oder angeschweißten Querstäben veran-kert. Die Verankerung muss in der Druckzone zwischen dem Schwerpunkt der Druckzonenfläche unddem Druckrand erfolgen; Bügel müssen die Zugbewehrung umfassen. Mögliche Verankerungselementebzw. -arten sind in nachfolgenden Abb. dargestellt. Eine Verankerung mit angeschweißten Querstäben istnur zulässig, wenn eine seitliche Betondeckung cmin ≥ 3ds und mindestens 5 cm vorhanden ist.

a) b) c) d)

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5.2.7 Zusätzliche Regeln für Rippenstäbe mit ds > 32 mmBauliche DurchbildungBauteile mit Stabdurchmessern ds > 32 mm sollten eine Mindestdicke von h ≥ 15 ds aufweisen, Beton-deckung und gegenseitigen Stababstand nach Abschn. 5.1. Die Rissbreitenbegrenzung sollte durch Anord-nung einer Hautbewehrung oder/und durch entsprechende Nachweise erfolgen.HautbewehrungDer Querschnitt sollte nicht kleiner als As,surf = 0,02 · Act,ext sein (weitere Hinweise s. Abschn. 5.4.2.4).Verbund und Grundmaß der VerankerungslängeBei Stabdurchmessern ds > 32 mm sind die Verbundbeiwerte fbd für ds ≤ 32 mm (s. vorher) mit demFaktor (132 − ds )/100 zu multiplizieren (ds in mm). Für Leichtbeton gilt als Faktor η1 · (132 − ds )/100mit η1 = 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200), s. vorher; die Verwendung von Stäben mit ds > 32 mm muss bei Leicht-beton jedoch aufgrund von Erfahrungen oder Versuchsergebnissen gerechtfertigt sein.Verankerungen und Stöße: – Verankerungen

als gerade Stäbe oder mit Ankerkörpern – Übergreifungsstöße

sind nur in Bauteilen zulässig, die überwiegend auf Biegung beansprucht werden (d. h. in Zug-und Druckgliedern nicht zulässig)

– QuerbewehrungErgänzend zu den Festlegungen für Verankerungen (s. Abschn. 5.2.3) gilt:

Im Verankerungsbereich ohne Querdruck ist eine zusätzliche Querbewehrung erforderlich.Größe der Zusatzbewehrung bei geraden Stabenden:parallel zur Bauteiloberfläche (Unterseite) Ast = n1 · 0,25 · Assenkrecht zur Bauteiloberfläche Asv = n2 · 0,25 · As

n1 Anzahl der im gleichen Schnitt verankerten Bewehrungslagenn2 Anzahl der in jeder Lage verankerten BewehrungsstäbeAs Querschnittsfläche eines verankerten Stabes

Anordnung der Zusatzbewehrung:gleichmäßig über den Verankerungsbereich, Stababstände etwa 5 ds(ds Stabdurchmesser der Längsbewehrung).

(Weitere konstruktive Hinweise s. a. DAfStb-H. 525.)

5.2.8 Zusätzliche Regeln für Stabbündel aus RippenstäbenStabbündel bestehen aus zwei oder drei Einzelstäben mit ds ≤ 28 mm. Es gelten die Regeln für Einzel-stäbe, soweit nachfolgend nicht anders festgelegt. Für die Bemessung wird das Stabbündel in einen Er-satzstab mit gleicher Fläche und Schwerpunktlage umgewandelt; der Vergleichsdurchmesser beträgt

—dsV = ds · √ n

mit n als Anzahl der Bewehrungsstäbe des Stabbündels; dsV darf folgende Grenzen nicht überschreiten: – in Bauteilen mit überwiegendem Zug dsV ≤ 36 mm – für Betonfestigkeitsklassen ab C70/85 dsV ≤ 28 mm

Bauliche Durchbildung: Es wird auf DIN 1045-1, 12.9 verwiesen.

Die Verankerung muss betragen – bei Haken und Winkelhaken mit einer Mindest-Hakenlänge ab Krümmungsende von

5 ds wenn der Krümmungswinkel ≥ 135° (Fall a in der Abb. oben)10 ds wenn der Krümmungswinkel 90° beträgt (Fall b in der Abb.)

– bei angeschweißten Querstäbenmit zwei angeschweißten Querstäben nach Fall c in der Abb.mit einem angeschweißten Querstab dsq ≤ 1,4 ds,bü (Fall d in der Abb.).

Bei Balken sind Bügel in der Druckzone mit Haken oder Winkelhaken (in Verbindung mit Kappenbügeln)zu schließen, in der Zugzone ist jedoch eine Übergreifung mit der Länge ls erforderlich. Bei Plattenbalkendürfen die erforderlichen Bügel im Bereich der Platte mit durchgehenden Querstäben geschlossen werden,wenn der Bemessungswert der Querkraft VEd ≤ 0,67 · VRd,max ist (s. Abschn. 4.1.2 und 5.4.2.2).Für die zulässigen Mindestwerte der Biegerollendurchmesser von Haken und Winkelhaken gelten diezuvor angegebenen Werte (Abschn. 5.2.1). Wegen weiterer Hinweise für die Ausbildung von Bügeln inPlatten, Balken und Stützen usw. wird auf Abschn. 5.4 verwiesen.

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5.3 Spannstahl, Spannglieder

5.3.1 Betondeckung, Anordnung der SpanngliederFür die Betondeckung gilt Abschnitt 5.1.2. Der gegenseitige waagerechte und lotrechte Abstand vonSpannstählen bzw. Spanngliedern ist in Abschnitt 5.1.3 angegeben; außerdem gilt:– Vorspannen mit sofortigem Verbund: Eine Bündelung ist nur außerhalb der Verankerung zulässig.– Vorspannen ohne Verbund: Eine Bündelung interner Spannglieder ist außerhalb der

Verankerung zulässig.

5.3.2 VerankerungsbereicheIm Bereich der konzentrierten Krafteinleitung sind Querzugeinflüsse zu berücksichtigen und durch engeQuerbewehrung aufzunehmen. Bei Vorspannung mit sofortigem Verbund darf hierauf in einfachen Fäl-len (z. B. Spannbetonhohlplatten) verzichtet werden, wenn die Spaltzugspannung den Wert fctk;0,05 / γc(mit γc für unbewehrten Beton) nicht überschreitet.

5.3.2.1 Verankerungsbereiche von Spanngliedern mit sofortigem Verbund (DIN 1045-1, 8.7.6)Eine Verwendung von glatten Drähten ist bei Vorspannung mit sofortigem Verbund nicht zulässig. Eswird unterschieden zwischen (s. nachfolgende Abb.):– Übertragungslänge lbp , über die die Spannkraft P0 eines Spannglieds mit sofortigem Verbund voll

auf den Beton übertragen wird;– Eintragungslänge lp,eff , innerhalb der die Betonspannung aus Vorspannung in eine lineare Verteilung

über den Querschnitt übergeht;– Verankerungslänge lba , innerhalb der der Höchstwert der Vorspannung vollständig in den Beton ein-

geleitet ist.

Übertragungslänge lbp

Die Übertragungslänge lbp wird unter der Voraussetzung einer konstanten Verbundspannung fbp inAbhängigkeit von der Betonfestigkeit bestimmt aus:

σpm0 Aplbp = αl · –––––– · ––––– (110.1) fbp · η1 π · dp

mit αl = 1,00 bei stufenweisem Eintragen der Vorspannung= 1,25 bei schlagartigem Eintragen der Vorspannung

Ap Nennquerschnitt der Litze oder des Drahtsdp Nenndurchmesser der Litze oder des Drahtsσpm0 Spannung im Spannstahl nach der Spannkraftübertragung auf den Betonη1 = 1,0 für Normalbeton

= 0,40 + 0,60 · (ρ / 2200) für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m3)

Verbundspannung fbp in der Übertragungslänge von Litzen und Drähte im sofortigen Verbund

Betondruckfestigkeit fcm1) in N/mm2

bei der Spannkraftübertragung 25 30 35 40 45 50 60 70 80 ≥ 90

Litzen mit Ap ≤ 100 mm22,9 3,3 3,7 4,0 4,3 4,6 5,0 5,3 5,5 5,7fbp3) Profilierte Drähte mit ds ≤ 8 mm

(N/mm2) Gerippte Drähte mit ds ≤ 12 mm2) 3,8 4,3 4,8 5,2 5,6 6,0 6,5 6,9 7,2 7,41) Es gilt die mittlere Zylinderdruckfestigkeit, Zwischenwerte sind linear zu interpolieren.2) Näherungswerte; fbp-Werte sollten auf Versuchsergebnissen beruhen.3) Bei mäßigen Verbundbedingungen sind die Werte mit dem Faktor 0,7 abzumindern.

Weitere Hinweise und Erläuterungen s. DIN 1045-1, 8.7.6.Bemessungswert lbpd der Übertragungslänge

⎧0,8 · lbplbpd = ⎨ (Der ungünstigere Wert ist maßgebend.) (110.2)⎩1,2 · lbp

Eintragungslänge lp,effFür Rechteckquerschnitte mit geraden, unten liegenden Spanngliedern gilt

—————lp,eff = √ l 2bpd + d 2 (110.3) Sc

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@-5.111Konstruktion – Spannstahl

Verankerungslänge lbaDie Verankerung der Vorspannung wird entscheidend durch Rissbildung beeinflusst. DerVerankerungsbereich gilt als ungerissen, wenn die Betonzugspannungen im Grenzzustand der Tragfä-higkeit unter Berücksichtigung der maßgebenden Vor-spannkraft den Wert fctk;0,05 nicht überschreiten. Für dieVerankerungslänge gilt:Ungerissener Verankerungsbereich

lba innerhalb der Länge lbpd gegeben (ohne Nachweis)Rissbildung außerhalb der Übertragungslänge lbpd

Ap σpd – σp mtlba = lbpd + –––––– · –––––––––– (111.1a)π · dp η1 · ηp · fbp

Rissbildung innerhalb der Übertragungslänge lbpd Ap σpd – σpt (x = lr)lba = lr + –––––– · ––––––––––– (111.1b)

π · dp η1 · ηp · fbp

Es sind σpd = fp0,1k / γpηp = 0,5 für Litzen und profilierte Drähte

= 0,7 für gerippte Drähte(Weitere Formelzeichen s. nebenstehende Abb.).

Die Zugkraft Fsd(x) im Abstand x vom Bauteilende kann ermittelt werden ausFsd(x) = MEd(x) / z + 0,5 · VEd(x) · (cot ϑ – cot α )

mit MEd(x) als aufzunehmendes Biegemoment an der Stelle x (gemessen vom Auflagerschwerpunkt),dem inneren Hebelarm z, der aufzunehmenden Querkraft VEd(x) an der Stelle x sowie ϑ als Winkel zwi-schen den Betondruckstreben und der Bauteillängsachse und α als Neigungswinkel derQuerkraftbewehrung (für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt cot ϑ = 3,0 und cot α = 0).

5.3.2.2 Verankerungsbereich von Spanngliedernmit nachträglichem Verbund und ohneVerbund

Im Bereich der konzentrierten Krafteinleitung derVorspannkraft sind Querzugeinflüsse zu berück-sichtigen und durch Querbewehrung aufzunehmen.Die erforderliche Spaltzug- und Zusatzbewehrungist der allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung zuentnehmen. Der Nachweis der Kraftaufnahme und-weiterleitung im Tragwerk ist mit einem geeigne-ten Verfahren (z. B. Stabwerkmodell) zu führen.Die Einleitung der Vorspannkraft darf unter An-nahme eines Ausbreitungswinkels im Verhältnis 2zu 3 (β ≈ 35°) nach nebenstehender Abbildungangenommen werden (vgl. DIN 1045-1, 7.3.1).

5.3.2.3 Spannglieder ohne VerbundBesonderheiten von Spanngliedern ohne Verbund betreffen insbesondere – Mindestkrümmungsradien – Umlenkungen und Fixierungen.Es wird auf DIN 1045-1, 12.10.4 verwiesen.

5.3.2.4 KopplungenKopplungen sollten im Bereich geringer Beanspruchung und nicht an Zwischenauflagern liegen; dieKopplung von mehr als 70 % der Spannglieder in einem Querschnitt sollte bei nicht vorwiegend ruhen-der Belastung vermieden werden.Sc

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5.4 Konstruktive Durchbildung einzelner Bauteile5.4.1 Überwiegend biegebeanspruchte Bauteile5.4.1.1 Mindestbewehrung und HöchstbewehrungMindestbewehrungDie Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens ist für das Rissmoment Mcrmit dem Mittelwert der Zugfestigkeit des Betons fctm und einer Stahlspannung σs = fyk zu berechnen.

As,min = Mcr / (zII · fyk) mit Mcr = fctm · II / zI,c1zII Hebelarm der inneren Kräfte nach Rissbildung (Zustand II)II Flächenmoment 2. Grades vor Rissbildung (Zustand I)zI,c1 Schwerachsenabstand bis zum Zugrand im Zustand I

Eine ggf. vorhandene Längskraft ist zusätzlich zu berücksichtigen.Bei Spannbetonbauteilen ist die Mindestbewehrung ohne Anrechnung der Vorspannkraft zu bestimmen. Esdarf jedoch ein Drittel der Spannglieder im Verbund angerechnet werden, wenn mindestens zwei Spannglie-der vorhanden sind und diese nicht mehr als 0,2 · h bzw. 25 cm (kleinerer Wert maßgebend) von der Beton-stahlbewehrung entfernt liegen. Die anrechenbare Stahlspannung ist auf fyk des Betonstahls zu begrenzen.Anordnung der MindestbewehrungDie Mindestbewehrung ist gleichmäßig über die Zugzonenbreite sowie anteilmäßig über die Höhe derZugzone zu verteilen. Stöße sind für die volle Zugkraft auszubilden. Für die Bewehrungsführung gilt:– Feldbewehrung: Die untere Mindestbewehrung muss zwischen den Auflagern durchlaufen (hochge-

führte Spannglieder und Bewehrung dürfen nicht berücksichtigt werden). Sie ist mitder Mindestverankerungslänge nach Abschn. 5.4.2.1 an den Auflagern zu verankern.

– Stützbewehrung: Über den Innenauflagern ist die obere Mindestbewehrung in beiden anschließendenFeldern über eine Länge von mindestens einem Viertel der Stützweite einzulegen.

– Kragarme: Bei Kragarmen muss die Mindestbewehrung über die gesamte Kraglänge durchlaufen.

Höchstbewehrung / Umschnürung der BiegedruckzoneDie Höchstbewehrung eines Querschnitts darf maximal betragen (auch im Bereich von Übergeifungsstößen)

As,max = 0,08 · AcBei hochbewehrten Balken – als Maß gilt die bezogene Druckzonenhöhe x/d – ist als Mindestbügelbe-wehrung zur Umschnürung der Biegedruckzone einzulegen:

Normalbeton bis C50/60 bei x/d > 0,45: ds ≥ 10 mm; Abstand längs sl ≤ 0,25h bzw. 20 cmAbstand quer sq ≤ h bzw. 60 cm

Normalbeton ab C55/67 bei x/d > 0,35: ds ≥ 10 mm; Abstand längs sl ≤ 0,25h bzw. 20 cmund Leichtbeton Abstand quer sq ≤ h bzw. 40 cm

5.4.1.2 Oberflächenbewehrung bei Bauteilen mit VorspannungBei vorgespannten Bauteilen ist stets eine Oberflächenbewehrung gem. Tafel 5.113b mit den Grundwertender Bewehrungsgrade ρ nach Tafel 5.113a anzuordnen. Die Oberflächenbewehrung ist in der Zug- undDruckzone von Platten in Form von Bewehrungsnetzen anzuordnen, die aus zwei sich annäherndrechtwinklig kreuzenden Bewehrungslagen bestehen, der Stababstand darf 20 cm nicht überschreiten.

Beispiel: Für eine einfeldrige Platte (d/h = 18/21 cm; C20/25, BSt 500) wird die Mindestbewehrung gesucht.As,min = Mcr / (zII · fyk)

Mcr = fctm · II / zI,c1fctm = 2,2 MN/m2; II = 1,0 · 0,213/12 = 0,000772 m4; zI,c1 = 0,21 / 2 = 0,105 m

Mcr = 2,2 · 0,000772 / 0,105 = 0,0162 MNmzII ≈ 0,9 · d = 0,9 · 0,18 = 0,162 m

As,min = 0,0162 / (0,162 · 500) = 2,0 · 10–4 m2/m = 2,0 cm2/m

Verzicht auf die MindestbewehrungIn folgenden Fällen darf auf eine Mindestbewehrung verzichtet werden:– Gründungsbauteile und durch Erddruck belastete Wände, wenn das duktile Verhalten durch Umlagerung

des Sohl- bzw. Erddrucks sichergestellt werden kann. Dies ist i. d. R. zu erwarten, wenn die Schnitt-größenermittlung für die äußeren Lasten linear-elastisch erfolgt und alle Nachweise der Grenzzuständeerfüllt sind. Bei schwierigen Baugrundbedingungen oder komplizierten Gründungen ist dann nachzu-weisen, dass ein duktiles Bauteilverhalten durch Boden-Bauwerk-Interaktion sichergestellt ist.

– Platten für die Tragwirkung der Nebenspannrichtung.

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@-5.113Konstruktion – Bauteile

5.4.2 Balken5.4.2.1 Längsbewehrung

Tafel 5.113b Oberflächenbewehrung für die verschiedenen Bereiche eines Spannbetonbauteils

Platten bzw. Gurtplatten und Balken mit bw ≤ h und Stege vonbreite Balken (bw > h) je m Plattenbalken und Kastenträgern

Bauteile in Bauteile in Bauteile in Bauteile inUmgebungs- Umgebungs- Umgebungs- Umgebungs-bedingungen bedingungen bedingungen bedingungen

der Expositions- sonstiger der Expositions- sonstigerklassen Expositions- klassen Expositions-

XC 1 bis XC 4 klassen XC 1 bis XC 4 klassen

bei Balken an jederSeitenfläche 0,5 ρ h 1,0 ρ hbei Platten mit h ≥ 1,0 m bzw. bzw. 0,5 ρ bw 1,0 ρ bwan jedem gestützten oder 0,5 ρ hf 1,0 ρ hf

(je m) (je m)nichtgestützten Rand1)

in der Druckzone von Balken 0,5 ρ h 1,0 ρ hu. Platten am äußeren Rand 2) 3)bzw. bzw. – 1,0 ρ h bwin der vorgedrückten Zugzone 0,5 ρ hf 1,0 ρ hfvon Platten1) 2) 3)

in Druckgurten mit h > 12 cm(obere und untere Lage je – 1,0 ρ hf – –für sich)1)

1) Eine Oberflächenbewehrung größer als 3,4 cm2/m je Richtung ist nicht erforderlich.2) Bei Platten aus Fertigteilen mit einer Breite < 1,20 m darf die Oberflächenbewehrung in Querrichtung entfallen.3) In Bauteilen mit Umgebungsbedingungen der Klasse XC 1 darf die Oberflächenbewehrung am äußeren Rand

der Druckzone entfallen.

Konstruktive EinspannbewehrungZur Aufnahme einer rechnerisch nicht berücksichtigten Ein-spannung ist eine geeignete Bewehrung anzuordnen. DieQuerschnitte der Endauflager sind dann für ein Stützmomentzu bemessen, das mindestens 25 % des benachbarten Feld-moments entspricht. Die Bewehrung muss, vom Auflageran-schnitt gemessen, mindestens über 0,25 · l des Endfeldes ein-gelegt werden.

Ausgelagerte BewehrungDie Zugbewehrung darf bei Plattenbalken- und bei Hohl-kastenquerschnitten in der Platte neben den Stegen höchs-tens auf einer Breite entsprechend der halben rechnerischenBreite beff,i* = 0,2bi + 0,1l0 ≤ 0,2 l0 des jeweils anschließendenGurtes (s. Abschn. 3.4.2) angeordnet werden; s. Abb. Dietatsächlich vorh. Gurtbreite bi darf dafür ausgenutzt werden.

Auf die Oberflächenbewehrung darf angerechnet werden,– die im Grenzzustand der Tragfähigkeit oder Gebrauchstauglichkeit erforderliche Betonstahlbewehrung,– die im Bereich der zweifachen Betondeckung im sofortigen Verbund liegenden Spannstähle.

Tafel 5.113a Grundwerte der Oberflächenbewehrung

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

ρ (‰)1) 0,51 0,61 0,70 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,60 1,66

1) Die Werte ergeben sich aus ρ = 0,16 · fctm / fyk . Bei Leichtbeton sind die ρ-Werte mit η1 = 0,40 + 0,60ρ / 2200 ≥ 0,85(mit ρ als Trockenrohdichte in kg/m3) zu multiplizieren.

beff,1––– 2bw

beff,2––– 2

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ZugkraftdeckungDie Zugkraftlinie der Längsbewehrung erhält man durch Verschiebung der Fsd-Linie um das Versatzmaßal in Richtung der Bauteilachse; Fsd ist die Zugkraft in der Längsbewehrung, die sich aus

Fsd = MEds / z + NEdergibt. Beispiele zur Zugkraftdeckung sind in [5.84], [5.85] enthalten.Bei einer Schnittgrößenermittlung nach dem linear-elastischen Verfahren ohne oder mit Umlagerung ge-nügt der Nachweis der Zugkraftdeckung für den Grenzzustand derTragfähigkeit; andernfalls muss zusätzlich auch der Grenzzustandder Gebrauchstauglichkeit nachgewiesen werden.

Versatzmaß:al = z · (cot θ − cot α) / 2 ≥ 0 1)

θ Neigung der Betondruckstrebez Hebelarm der inneren Kräfte

(i.Allg. z ≈ 0,9 · d, s. a. Abschn.4.1.2.3)

α Neigung der Schubbewehrung(bezogen auf die Längsachse)

————————1) Wird bei Plattenbalken ein Teil der

Biegezugbewehrung außerhalb desSteges angeordnet (s. vorher), mussdas Versatzmaß al um den Abstand xder Stäbe vom Stegrand vergrößertwerden.

Verankerung am Endauflager – Am frei drehbaren oder schwach eingespannten Endauflager muss eine Bewehrung zur Aufnahme

der RandzugkraftFsd,R = VEd · (al / z ) + NEd ≥ VEd / 2

ausreichend verankert sein. – Bis zum Endauflager sind mindestens 25 % der Feldbe-

wehrung zu führen und dort zu verankern. – Erforderliche Verankerungslängen (s. Abb.):

direkte Auflagerung lb,dir = 2/3 · lb,net ≥ 6,7 dsindirekte Auflagerung lb,ind = 1,0 · lb,net ≥ 10 ds

Die Verankerung beginnt an der Innenkante des Aufla-gers. Die Bewehrung ist jedoch in allen Fällen mindes-tens über die rechnerische Auflagerlinie zu führen.

Verankerung am Zwischenauflager – Es sind mindestens 25 % der Feldbewehrung über das Auflager zu führen (s. o.). – Die erforderliche Bewehrung ist mindestens mit 6 · ds bis hinter den Auflagerrand zu führen. – Zur Aufnahme positiver Momente infolge außergewöhnlicher Beanspruchungen (Auflagersetzungen,

Explosion u. a.) sollte die Bewehrung durchlaufend ausgeführt werden (ggf. kraftschlüssig gestoßen).Verankerungen außerhalb von Auflagern – Verankerungslänge der Biegezugbewehrung

ab dem rechnerischen Endpunkt E: l ≥ lb,net 2)

– Verankerungslängen von Schrägstäben zur Aufnahme von Schubkräften (nach EC 2; in DIN 1045-1fehlen entsprechende Angaben)

im Zugbereich: l ≥ 1,3 · lb,net; im Druckbereich: l ≥ 0,7 · lb,net___________________2) In DAfStb-H. 525 wird auf die erforderliche Verlängerung der gestaffelten Bewehrung bei Ausnutzung von Stahl-

spannungen σsu > fyd und bei Umlagerungen hingewiesen (vgl. a. DAfStb-H. 484).

Zugkraftdeckungslinie s. a. Fußnote 2)

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5.4.2.2 Schubbewehrung

Ausbildung der SchubbewehrungDie Neigung der Schubbewehrung zur Bauteilachse sollte zwischen 45° und 90° liegen. Die Schub-bewehrung kann aus einer Kombination folgender Bewehrungen bestehen (s. a. Abb. unten): – Bügel, die die Längszugbewehrung und die Druckzone umfassen – Schrägstäbe – Schubzulagen als Körbe, Leitern usw., die die Längsbewehrung nicht umfassen, aber ausreichend

im Zug- und Druckbereich verankert sind.Mindestens 50 % der aufzunehmenden Querkraft müssen durch Bügel abgedeckt sein.

Bei feingliedrigen Bauteilen (z. B. I-, T- oder Hohlquerschnitten mit Stegbreiten bw ≤ 80 mm) dürfeneinschnittige Querkraftzulagen auch allein als Querkraftbewehrung verwendet werden, wenn die Druck-zone und die Biegezugbewehrung gesondert durch Bügel umschlossen sind.Die Querkaftbewehrung ist längs der Bauteilachse so zu verteilen, dass an jeder Stelle die Bemessungs-querkraft abgedeckt ist (Schubkraftdeckung).

MindestschubbewehrungFür balkenartige Tragwerke ist eine Mindestschubbewehrung vorgeschrieben; es gilt:

Asw /s Querschnitt der Schubbewehrung je LängeneinheitAsw /s ≥≥≥≥≥ min ρw · (bw · sin α) min ρw Mindestbewehrungsgrad nach Tafel 5.115a

bw maßgebende Stegbreiteα Neigungswinkel der Schubbewehrung

Tafel 5.115b Höchstabstände der Schubbewehrung

Schubbeanspruchung1) Bügelabstände smax Schrägstäbe Längsabstand Querabstand Längsabstand ≤ C50/60 > C50/60 ≤ C50/60 > C50/60 (Querabstand ≤ LC50/55 > LC50/55 ≤ LC50/55 > LC50/55 s. Bügel)

0 ≤ VEd / VRd,max ≤ 0,30 0,7 h ≤ 30 cm 0,7 h ≤ 20 cm 1,0 h ≤ 80 cm 1,0 h ≤ 60 cm

0,30 < VEd / VRd,max ≤ 0,60 0,5 h ≤ 30 cm 0,5 h ≤ 20 cm 1,0 h ≤ 60 cm 1,0 h ≤ 40 cm

0,60 < VEd / VRd,max ≤ 1,00 0,25 h ≤ 20 cm 0,25 h ≤ 20 cm 1,0 h ≤ 60 cm 1,0 h ≤ 40 cm

Tafel 5.115a Mindestschubbewehrungsgrad min ρρρρρw

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

allgemein1) 0,51 0,61 0,70 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,60 1,66 ρw (‰)

Sonderfall 1) 2) 0,82 0,98 1,12 1,33 1,49 1,63 1,79 1,94 2,10 2,14 2,26 2,35 2,46 2,56 2,66

1) Bei Leichtbeton sind die Werte mit η1 = 0,40+0,60 · ρ / 2200 ≥ 0,85 (ρ Trockenrohdichte in kg/m3) zu multiplizieren. 2) Die Werte gelten bei gegliederten Querschnitten mit vorgespannten Zuggurten.

smax ≤0,5 h (1+cot α)

Bei Plattenbalken dürfen die für die Querkrafttragfähigkeit erforderlichen Bügel im Bereich der Plattemit durchgehenden Querstäben geschlossen werden, wenn der Bemessungswert der Querkraft VEdhöchstens 2/3 der maximalen Querkrafttragfähigkeit VRd,max beträgt.

1) VRd,max darf hierfür näherungsweise mit θ = 40 ° bestimmt werden.Schn

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QuerkraftdeckungEntlang der Bauteilachse ist die Querkraftbewehrung so anzuordnen, dass sie an jeder Stelle dieBemessungsquerkraft abdeckt.Bei Bauteilen des üblichen Hochbaus darf bei derVerteilung der Querkraftbewehrung die Linie derdurch die Bewehrung aufzunehmenden QuerkraftVEd eingeschnitten werden. Es muss jedoch ge-währleistet sein, dass die Auftragsfläche mindes-tens gleich der Einschnittsfläche ist; im Abstand dvom Auflager ist mit einer Auftragsfläche zu be-ginnen [5.26]. Als größte Einschnitts- bzw. Auf-tragslänge ist dabei der Wert d/2 einzuhalten (s.nebenstehende Abbildung).

5.4.2.4 Hautbewehrung

Zur Vermeidung von Betonabplatzungen und zur Begrenzung der Rissbreite ist unter bestimmten Vor-aussetzungen die Anordnung einer Hautbewehrung erforderlich (DIN 1045-1, 13.2.5): – Bei Anordnung von Stabbündeln oder Stäben mit ds bzw. dsV > 32 mm (und ggf. aus Brandschutz-

gründen) sollte eine Hautbewehrung angeordnet werden. – Die Hautbewehrung sollte aus Betonstahlmatten oder Rippenstäben mit Durchmesser ds ≤ 10 mm be-

stehen und außerhalb der Bügel angeordnet werden; der Stababstand in Längs- (sl ) und Querrichtung(st ) sollte 15 cm nicht überschreiten (s. Abb.).

– Es gilt die Betondeckung nach Abschnitt 5.1.2. – Die Querschnittsfläche der Hautbewehrung As,surf sollte betragen (s. Abb.):

As,surf ≥ 0,02 · Act,extmit Act,ext als Querschnittsfläche der Zugzone außerhalb der Bügel.

– Die Längsstäbe der Hautbewehrung dürfen als Biegezugbewehrung und die Querstäbe als Schub-bewehrung angerechnet werden (entsprechende bauliche Durchbildung vorausgesetzt).

5.4.2.3 Torsionsbewehrung

Für die Ausbildung der Torsionsbewehrung sind die nachfolgenden Ausführungen zu beachten (vgl.DIN 1045-1, 13.2.4):Ausbildung Für die Torsionsbewehrung ist ein rechtwinkliges Bewehrungsnetz aus Bügeln

und Längsstäben zu verwenden. Die Torsionsbügel sind zu schließen und durchÜbergreifen zu verankern.

Mindestbügelbew. Es gelten die im Abschnitt 5.4.2.2 angegebenen Mindestbewehrungsgrade.Bügelabstände Sie sollten das Maß uk /8 nicht überschreiten (uk Umfang des Kernquerschnitts);

die Abstände nach Abschn. 5.4.2.2 sind zusätzlich zu beachten.Abstände der Sie sollten keinen größeren Abstand als 35 cm haben, wobei in jeder Quer-Längsbewehrung schnittsecke mindestens ein Stab angeordnet werden sollte.

Begrenzung der SchubrissbreiteDie Begrenzung der Schubrissbreite gilt als sichergestellt, wenn die Mindestschubbewehrung und dergrößte zulässige Längs- und Querabstand von Bügeln und Schrägstäben eingehalten sind.

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5.4.3 VollplattenGeltungsbereichDie nachfolgenden Festlegungen beziehen sich auf ein- und zweiachsig gespannte Ortbeton-Vollplattenmit einer Breite b ≥ 4 h (s. Abschn. 3.4.1).MindestabmessungDie Mindestdicke von Vollplatten beträgt i. Allg. 70 mm, für Platten mit aufgebogener Querkraftbeweh-rung 160 mm, bei Platten mit Bügeln 200 mm.BiegezugbewehrungHauptbewehrung Für die Ausbildung der Hauptbewehrung (Mindest- und Höchstbewehrungsgrade;

Verankerungslängen usw.) gilt Abschnitt 5.4.2, soweit nachfolgend nichts anderesfestgelegt ist; als Versatzmaß al gilt für Platten ohne Schubbewehrung: al = d .

Querbewehrung Bei Platten ist eine Querbewehrung mit einem Querschnitt von mindestens 20 %der Hauptbewehrung vorzusehen; bei Betonstahlmatten muss ds ≥ 5mm sein.

sl = 150 mm für h ≤ 150 mm | ZwischenwerteStababstände Für die Hauptbewehrung sl = 250 mm für h ≥ 250 mm | interpolierenFür die Querbewehrung sq ≤ 250 mm

Auflagerbewehrung Es sind mindestens 50 % der maximalen Feldbewehrung über das Auflager zuführen und zu verankern.

Konstruktive Eine teilweise, rechnerisch nicht berücksichtigte Endeinspannung sollte mindestensEinspannbewehrung für 25 % des max. Feldmoments bemessen werden; Bewehrung auf der 0,25fachen

Feldlänge (vom Auflageranschnitt) anordnen.Randbewehrung Am freien ungestützten Rand ist eine Beweh-

rung anzuordnen (s. Abb.). Bei Fundamentenund innen liegenden Bauteilen des üblichenHochbaus darf hierauf verzichtet werden.

Drillbewehrung (DIN 1045-1, 13.3.2)Bei drillsteifen Platten ist für die Bemes-sung der Eckbewehrung das Drillmoment zuberücksichtigen, in anderen Fällen sollte siekonstruktiv angeordnet werden.Als Drillbewehrung sollte bei vierseitig gela-gerten Platten unter Berücksichtigung dervorhandenen Bewehrung angeordnet werden– Ecken mit zwei frei aufliegenden Rändern:

asx in beiden Richtungen oben und unten– Ecken mit einem frei aufliegenden und ei-

nem eingespannten Rand:0,5 · asx rechtwinklig zum freien Randmit asx = max as,Feld.

Bei anderen Platten, z. B. bei dreiseitig ge-lagerten Platten, ist ein rechnerischer Nach-weis der Drillbewehrung erforderlich.

QuerkraftbewehrungFür die bauliche Durchbildung schubbewehrter Platten gilt Abschn. 5.4.2 mit nachfolgenden Ergänzungen. – Bei Platten mit b / h > 5 darf auf Querkraftbewehrung verzichtet werden, falls sie rechnerisch nicht

erforderlich ist. Falls Querkraftbewehrung erforderlich ist, ist mind. der 0,6fache Wert nach Abschn.5.4.2.2 einzuhalten.

– Bauteile mit b / h < 4 sind als Balken nach Abschn. 5.4.2 zu betrachten. – Bei Platten mit 5 ≥ b / h ≥ 4 und ohne rechnerisch erforderliche Schubbewehrung gilt als Mindestschub-

bewehrungsgrad der 0,0fache bis 1,0fache Wert nach Tafel 5.115a (Zwischenwerte interpolieren). – Bei Platten mit 5 ≥ b / h ≥ 4 und mit rechnerisch erforderlicher Schubbewehrung ist der 0,6fache bis

1,0fache Wert nach Tafel 5.115a maßgebend. – Schubbewehrung darf bei VEd ≤ (1/3) · VRd,max vollständig aus Schrägstäben oder Schubzulagen beste-

hen, anderfalls gilt Abschn. 5.4.2. – Für den größten Längs- und Querabstand der Bügel gilt Tafel 5.115b (ohne Berücksichtigung der

Absolutwerte in mm). – Der größte Längsabstand von Aufbiegungen beträgt smax ≤ h.

(Darstellung für eine parallel zu den Seitenverlaufende Netzbewehrung)

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Besonderheiten bei vorgefertigten DeckensystemenFür die Bemessung vorgefertigter Deckensysteme sind – soweit relevant – Zulassungen zu beachten.Außerdem gilt (weitere Hinweise s. DIN 1045-1, 13.4):a) Die Querverteilung von Lasten zwischen nebeneinander liegenden Deckenteilen muss durch geeigne-

te Verbindungen zur Querkraftübertragung gesichert werden, wie z. B. durch ausbetonierte bzw. aus-gegossene Fugen, Schweiß- oder Bolzenverbindung, bewehrten Aufbeton. Die Querverteilung vonPunkt- bzw. Linienlasten darf rechnerisch oder durch Versuche nachgewiesen werden.Für Platten aus Fertigteilen mit einer Breite ≤ 1,20 m darf die Querbewehrung (s. S. 5.117) entfallen.

b) Die Scheibenwirkung vorgefertigter Decken zur Übertragung von horizontalen Kräften ist durch einwirklichkeitsnahes Tragwerksmodell zu erfassen, das auch die Verträglichkeit berücksichtigt. DieAuswirkungen der horizontalen Verschiebungen auf alle Tragwerksteile sind zu berücksichtigen. Diein dem Tragmodell auftretenden Zugkräfte sind durch Bewehrung abzudecken. Bereiche mitSpannungskonzentrationen (z. B. Öffnungen, Verbindungen zu aussteifenden Bauteilen) sollten in ge-eigneter Weise baulich durchgebildet werden.Bei Berücksichtigung der Scheibenwirkung ist eine Querbewehrung anzuordnen; sie darf konzentriertwerden, wenn die Fertigteile so miteinander verbunden sind, dass eine Übertragung der Horizontalkräftedurch Bogen- oder Fachwerkwirkung möglich ist. Die Bewehrung darf im Aufbeton liegen, sofern vor-handen. Fugen, die von Druckstreben gekreuzt werden, müssen nachgewiesen werden.

c) Fertigteile mit einer mindestens 50 mm dicken und statisch mitwirkenden Ortbetonergänzung dürfen alsVerbundbauteile bemessen werden, wenn die Aufnahme des Schubes zwischen Ortbeton und Fertigteilgewährleistet ist. Die Querbewehrung darf vollständig im Fertigteil oder im Ortbeton liegen.Bei zweiachsig gespannten Platten wird nur die Querbewehrung angerechnet, die durchläuft oder kraft-schlüssig gestoßen ist. Voraussetzung für die gestoßene Bewehrung ist außerdem, dass der Durchmesserder Bewehrungsstäbe ds ≤ 14 mm, der Bewehrungsquerschnitt as ≤ 10 cm2/m und die QuerkraftVEd ≤ 0,3 · VRd,max ist. Der Stoß ist durch Bewehrung (z. B. Bügel gem. Abschn. 5.2.4, die für die Kraftaller gestoßenen Längsstäbe zu bemessen sind) im Abstand s ≤ 2 · h zu sichern.Die Drillsteifigkeit darf bei der Schnittgrößenermittlung berücksichtigt werden, falls innerhalb des Be-reichs von 0,3 · l ab der Ecke keine Stoßfuge vorhanden ist oder die Fuge durch Verbundbewehrung imAbstand s ≤ 10 cm gesichert wird. Die Aufnahme der Drillmomente ist nachzuweisen.Bei Endauflagern ohne Wandauflasten ist eine Verbundsicherung von mindestens 6 cm2/m entlangder Auflagerlinie auf einer Breite von 0,75 m anzuordnen.

Bewehrung bei punktförmig gestützten PlattenZur Vermeidung eines fortschreitenden Versagens ist stets ein Teil (≥ 50 %) der Feldbewehrung über dieStützstreifen hinwegzuführen bzw. dort zu verankern. Im Bereich der Lasteinleitungsfläche ist eineBewehrung anzuordnen (bei Stützenkopfverstärkungen in der Platte) von:

As ≥ VEd / fyk (VEd Bemessungwert der in die Platte eingeleiteten Querkraft, ermittelt mit γF = 1,0)Abminderungen von VEd sind nicht zulässig. Bei elastisch gebetteten Bodenplatten darf auf diese Abreiß-bewehrung verzichtet werden.DurchstanzbewehrungEs gelten die Regelungen für Schubbewehrung bei Platten mit nachfolgenden Ergänzungen:– Die Mindestdicke von Platten mit Durchstanzbewehrung beträgt 20 cm.– Die Anordnung der Durchstanzbewehrung richtet sich nach Skizze (im Bereich der Ausrundungen

sind begrenzte Lagetoleranzen der Bügel zulässig; s. [5.24]).– Für die Stabdurchmesser der Durchstanzbewehrung gilt

ds ≤ 0,05 d für Bügelds ≤ 0,08 d für Schrägstäbe

– Falls bei Bügeln nur eine Reihe als Durchstanzbewehrungrechnerisch erforderlich ist, so ist aus konstruktiven Grün-den eine zweite Reihe mit einer Mindestbewehrung vonρw = Asw / (sw · u) ≥ min ρw vorzusehen; dabei ist sw = 0,75danzusetzen.

GrundrissGrundriss

| d Nutzhöhe der| Platte in mm

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Unterbrochene Stützung (Deckengleiche Unterzüge)

Wenn linienförmige Unterstützungen von Platten in begrenzten Bereichen – nicht auf einer ganzen Plattenseite –unterbrochen sind, darf die gegenüber der durchgehenden Stützung geänderte Tragwirkung bei üblichen Abmes-sungen und Belastungen wie folgt erfasst werden (DAfStb-H. 240 [5.15]; weitere Hinweise s. dort):– l/h ≤ 7: Konstruktive Bewehrung ohne rechnerischen Nachweis– 7 < l/h ≤ 15: In Richtung der unterbrochenen Unterstützung wird die Bemessung am Ersatzbalken mit

einer Breite bM,F für die Momentenbeanspruchung im Feld und bM,S für das Moment ander Stütze durchgeführt; für die Schubbemessung ist die Breite bV anzusetzen; als Last-einzugsbereich gilt die unten dargestellte Fläche.Rechtwinklig zur unterbrochenen Unterstützung ist an Innenauflagern die Stützbewehrungund Feldbewehrung wie bei Platten mit durchgehender Stützung anzuordnen; zusätzlichist eine Verstärkung der Stützbewehrung ab l = 10 d linear bis um 40 %, bei l = 15 d ineinem Bereich von 0,4 · l erforderlich; an Endauflagern sind Steckbügel mit Ausbildungund Bewehrungsquerschnitt wie dargestellt erforderlich.

– l/h > 15: Das wirkliche Tragverhalten ist durch eine genauere Berechnung nach der Plattentheoriezu erfassen (z. B. nach [5.49]).

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5.4.4 Stützen, Wände5.4.4.1 Stützen, DruckgliederGeltungsbereich Verhältnis der größeren zur kleineren Querschnittsseite b/h < 4Mindestabmessung stehend hergestellte Ortbetonstützen hmin = 20 cm

liegend hergestellte Fertigteilstützen hmin = 12 cmLängsbewehrung Mindestdurchmesser ds,l ≥ 12 mm

Mindestbewehrung As,min ≥ 0,15 · |NEd| / fydHöchstbewehrung As,max ≤ 0,09 · Ac (auch im Bereich von Stößen)

(Ac Fläche des Betonquerschnitts; NEd Bemessungslängsdruckkraft)Mindestanzahl polygonaler Querschnitt: 1 Stab je Ecke

Kreisquerschnitt: 6 StäbeHöchstabstand sl ≤ 30 cm

(bei b ≤ 40 cm – mit h ≤ b – genügt 1 Stab je Ecke)Bügelbewehrung Bügel sind durch Haken2) zu schließen. Durch Bügel können max. 5 Stäbe in oder in

der Nähe der Ecke (s. Skizze) gegen Ausknicken gesichert werden; für weitere Stäbesind Zusatzbügel – mit höchstens doppeltem Abstand – erforderlich.

⎧ 6 mm (Stabstahl)Durchmesser dsbü ≥ ⎨ 5 mm (Matte)

⎩ dsl / 4⎧ 12 dsl

Bügelabstand1) sbü ≤ ⎨ min h⎩ 30 cm

Für dsV > 28 mm s. DIN 1045-1, 13.5.3.———————1) Der Bügelabstand ist mit 0,6 zu multiplizieren:

– im Bereich unmittelbar unter und über Platten oder Balken aufeiner Höhe gleich der größeren Stützenabmessung;

– bei Übergreifungsstößen der Längsbewehrung mit dsl > 14 mm(s. außerdem Abschn. 5.2.4).

Bei Richtungsänderung der Längsbewehrung (z. B. Änderungder Stützenabmessung) sollte der Abstand der Querbewehrungunter Berücksichtigung der Umlenkkräfte ermittelt werden.Wenn im Bereich eines Übergreifungsstoßes im GZT über-wiegend Biegebeanspruchung vorliegt, ist die Querbewehrunggem Abschn. 5.2.4 anzuordnen.

2) Statt zwei 150°-Haken sind nach [5.26] zwei 135°-Haken akzeptabel. Bei 90°-Winkelhaken ist mind. eine dernachfolgenden Maßnahmen zusätzlich zu ergreifen (Bügelschlösser sind längs der Stütze zu versetzen):– dsbü um eine Durchmessergröße vergrößern– sbü halbieren– Anordnung von angeschw. Querstäben (Bügelmatten)– Winkelhakenlänge ≥ 15 ds

5.4.4.2 Wände

StahlbetonwändeNachfolgende Angaben gelten für Stahlbetonwände; für Wände aus Halbfertigteilen sind zusätzlich diejeweiligen Zulassungen zu beachten. Bei Wänden ist die waagerechte Länge größer als die 4fache Dicke,andernfalls s. Stützen.Für die Mindestwanddicken gelten die Angaben in nachfolgender Tafel 5.120.

Tafel 5.120 Mindestwanddicke für tragende Wände Mindestwanddicke (in cm) für Wände aus

Betonfestigkeits- Herstellung unbewehrtem Beton Stahlbetonklasse Decken über Wände Decken über Wände

nicht durchlaufend nicht durchlaufenddurchlaufend durchlaufend

< C12/15< LC12/13 Ortbeton 20 14 - -

≥ C16/20 Ortbeton 14 12 12 10≥ LC16/18 Fertigteil 12 10 10 8 Sc

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Besonderheiten bei vorgefertigten Wänden und SandwichtafelnWand-Decken- Steht eine Wand auf einer Fuge zwischen zwei Deckenplatten oder auf einer inVerbindungen: einen Außenwandknoten einbindenden Deckenplatte, dürfen nur 50 % des lastab-

tragenden Querschnitts der Wand als mittragend angesetztwerden. Der wirksame Querschnitt darf auf 60 % erhöhtwerden, wenn im Wandfuß angeordnet werden (vgl. Abb.)− Bügel mit asbü ≥ bw /8 (asbü in cm2/m, bw in cm)

und s ≤ bw ≤ 20 cm− Längsbewehrung mit ds ≥ 6 mm

Sandwichplatten Einflüsse aus Temperatur, Schwinden, Ermüdung usw. sind zu berücksichtigen.Für die Verbindung der einzelnen Schichten dürfen nur bauaufsichtlich zugelasse-ne, korrosionsbeständige Werkstoffe verwendet werden.Die Bewehrung der tragenden Schicht sollte an beiden Seiten und in beiden Rich-tungen mindestens 1,3 cm2/m betragen, eine Randbewehrung (s. S. 5.117) ist i. Allg.nicht erforderlich. In der nichttragenden Schicht (Vorsatzschale) darf die Beweh-rung einlagig angeordnet werden.Die Mindestdicke für Trag- und Vorsatzschicht beträgt 7 cm.Bei Fugenabdichtungen soll die Innenseite der Vorsatzschale und die gegen-überliegende Seite der Tragschale im Bereich einer anliegenden geschlos-senporigen Kerndämmung der Expositionsklasse XC3 zugeordnet werden.

5.4.4.3 Unbewehrte WändeFür die Mindestdicke von unbewehrten Wänden gilt Tafel 5.120.Aussparungen, Schlitze, Durchbrüche und Hohlräume sind i. Allg. zu berücksichtigen. Ausgenommenhiervon sind lediglich lotrechte Schlitze mit einer Tiefe bis zu 30 mm, wenn die Tiefe höchstens 1/6 derWanddicke, die Breite höchstens gleich der Wanddicke und der gegenseitige Abstand mindestens 2 mbeträgt; die Wand muss dann außerdem mindestens 12 cm dick sein.

Lotr. Bewehrung Mindestbewehrung i. Allg: As,min ≥ 0,0015 · Acbei |NEd| ≥ 0,3 fcd · Ac u. As,min ≥ 0,0030 · Acbei schlanken Wänden:

Die Hälfte dieser Bewehrung sollte an jeder Außenseite liegen.Höchstbewehrung As,max ≤ 0,04 · Ac(im Bereich von Übergreifungsstößen darf der Wert verdoppelt werden)Stababstand s ≤ 300 mm und ≤ 2 h mit h als WanddickeDer Bewehrungsgehalt sollte an beiden Wandseiten i. Allg. gleich groß sein.

Waagerechte Beweh. Mindestbewehrungi. Allg.: 20 % der lotr. Bewehrungbei | NEd| ≥ 0,3 ·fcd ·Ac u. bei schlanken Wänden: 50 % der lotr. BewehrungStababstand s ≤ 350 mmStabdurchmesser ≥ 1/4 des Durchmessers der LängsbewehrungAnordnung außen (zwischen der lotr. Bewehrung und der Wandoberfläche)

S-Haken, Wenn die Querschnittsfläche der lastabtragenden lotrechten Bewehrung 0,02 · Ac über-Steckbügel, steigt, sollte sie nach Abschn. 5.4.4.1 verbügelt werden. Andernfalls gilt:Bügelbewehrung – Außenliegende Bewehrung ist durch 4 S-Haken je m2 zu sichern (alternativ bei

dicken Wänden durch Steckbügel, die mindestens mit 0,5 lb im Inneren derWand zu verankern sind).

– Bei Tragstäben ds ≤ 16 mm und bei einer Betondeckung ≥ 2 ds sind keine Maß-nahmen erforderlich (in diesem Fall und stets bei Betonstahlmatten dürfen diedruckbeanspruchten Stäbe außen liegen). An freien Rändern von Wänden mitAs ≥ 0,003 · Ac sind die Eckstäbe durch Steckbügel zu sichern.

Bewehrung

5.4.5 Wandartige TrägerDie Berechnung erfolgt bevorzugt mit Stabwerkmodellen. Die Bewehrung ist sorgfältig außerhalb derKnotenpunkte zu verankern (durch Aufbiegungen, durch U-Bügel oder durch Ankerkörper, wenn eineausreichende Verankerungslänge lb,net für gerade Stabenden nicht vorhanden ist).Für die Mindestdicken gelten die Regelungen für Wände (s. Tafel 5.120). Als Mindestbewehrung ist anbeiden Außenflächen ein rechtwinkliges Bewehrungsnetz vorzusehen, das je Außenfläche und Richtungden Wert as = 1,5 cm2/m bzw. 0,075 % des Betonquerschnitts Ac nicht unterschreiten darf. Die Maschen-weite des Bewehrungsnetzes darf maximal gleich der doppelten Wanddicke und höchstens 30 cm sein.Sc

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5.4.6 FundamenteBewehrte Einzelfundamente

In Fundamentplatten verlaufen die Hauptmomente in Stützennähe radial und tangential. Anstelle dieserHauptmomente darf man jedoch näherungsweise die Momente Mx und My parallel zu den Kanten derFundamentplatte berücksichtigen [5.15]. Das größte Gesamtbiegemoment je Richtung einer Fundament-platte mit rechteckigem Grundriss, die durch eine mittig und lotrecht angreifende Stützenlast bean-sprucht wird, beträgt unter der Annahme gleichmäßig verteilter Bodenpressungen (die nachfolgendenGleichungen sind für die x-Richtung aufgestellt, für die y-Richtung gelten sie analog):

bxΣ Mx = N · — 8

Unter Berücksichtigung einer ggf.zulässigen Momentenausrundung(s. Abschn. 3.5.2; vgl. auch Abschn.4.1.4.2, Beispiel) erhält man alsAusgerundetes Moment

bx ⎛ cx ⎞Σ Mx' = N · — · 1 − — 8 ⎝ bx

⎠

Anschnittmoment bx ⎛ cx ⎞ 2

Σ Mx,I = N · — · 1 − — 8 ⎝ bx

⎠

Die Verteilung der Plattenmomenterechtwinklig zur betrachteten Rich-tung darf näherungsweise nach ne-benstehender Tabelle erfolgen. Beigedrungenen Fundamenten (etwabei cy / by > 0,3, h / a > 1,0) darf dasGesamtmoment gleichmäßig überdie Breite verteilt werden.

Wird durch die Stütze gleichzeitig ein Biegemoment eingeleitet bzw. die Stütze exzentrisch angeordnet,ist das Plattenmoment aus der trapez- oder dreieckförmig verteilten Bodenpressung zu berechnen.Die Biegebewehrung sollte wegen der hohen Verbundspannungen ohne Abstufung bis zum Rand ge-führt und dort sorgfältig verankert werden (z. B. mit Haken), die Betondeckung sollte reichlich gewähltwerden; ggf. ist ein Nachweis der Verbundspannungen erforderlich.Wegen des Durchstanznachweises wird auf Abschn. 4.1.4 verwiesen (s. auch ausführliches Beispiel zurFundamentbemessung in Abschn. 4.1.4.2).

Köcherfundamente (vgl. EC 2 Teil 1-3)

Betonköcher müssen in der Lage sein, vertikale Lasten, Biegemomente und Horizontalkräfte aus denStützen in den Baugrund zu übertragen. Der Köcher muss groß genug sein, um ein einwandfreies Ver-füllen unter und seitlich der Stütze zu ermöglichen.Köcher mit profilierter OberflächeKöcher mit Profilierung oder Verzahnung dürfen als monolithische Fundamente betrachtet werden. Fürdie Übergreifung von auf Zug beanspruchter Bewehrung ist der horizontale Abstand s zwischen demStab in der Stütze und dem senkrechten übergreifendenStab im Köcher zu beachten. Die Übergreifungslänge istangemessen zu vergrößern (s. Abb.), außerdem ist eineHorizontalbewehrung anzuordnen.Der Nachweis auf Durchstanzen sollte wie für eine mo-nolithische Verbindung von Stütze und Fundament erfol-gen (s. Abschn. 4.1.4), wenn die Querkraftübertragungzwischen Stütze und Fundament gesichert ist. Andern-falls sollte die Bemessung auf Durchstanzen wie für Kö-cher mit glatter Oberfläche erfolgen.

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Unbewehrte Fundamente(nach DIN EN 1992, Ausg. 10.05; DIN 1045-1 enthält keine konkreten Angaben über unbew. Fundamente)Annähernd zentrisch belastete streifenförmige und flache Einzelfundamente dürfen dann unbewehrt aus-geführt werden, wenn das Verhältnis hF/a folgende Bedingung erfüllt (s. hierzu Diagramm unten):

Ohne weiteren Nachweis dürfen Streifenfundamente mit hF/a ≥ 2 stets unbewehrt ausgeführt werden.

BeispielStreifenfundament mit Belastung aus Eigenlasten NGk und Verkehrslasten NQk. ZurErfüllung der bodenmechanischen Nachweise wurde eine Fundamentbreite bF = 0,90m festgelegt. Gesucht ist die Fundamenthöhe hF .Baustoffe: Beton C12/15Bodenpressungen: σgd = NEd/bF = (1,35 · 150 + 1,50 · 100) / 0,90 = 392 kN/m2

→ (hF/a)erf ≥ 1,63 (aus Diagramm für σgd = 392 kN/m2 und C12/15) hF,req ≥ 1,63 · a = 1,63 · (0,90 − 0,24) / 2 = 0,54 m

gew.: hF,prov = 0,55 m (Für eine frostfreie Gründung sind ggf. größere Fundament-dicken erforderlich.)

mit σgd Bemessungswert der Bodenpressungenfctd Bemessungswert der Betonzugfestigkeit ( fctd = fctk;0,05 / γc ; s. Abschn. 2)

Es wird eine Begrenzung auf hF /a ≥ 1 empfohlen.

Zulässige Fundament-schlankheit hF/////a(unter Berücksichtigungvon hF/a ≥ 1)

Köcher mit glatter OberflächeDie Kräfte und das Moment werden durch Druckkräfte F1und F2 und entsprechende Reibungskräfte übertragen (s.Abb.); der Reibungsbeiwert sollte nicht größer als μ = 0,3gewählt werden. Das dargestellte Modell setzt voraus, dassl ≥ 1,2 h ist. Besonders zu beachten ist − die Bewehrungsanordnung für F1 an der Oberseite und

die Kraftübertragung über die Seitenflächen, − die Verankerung der Hauptbewehrung in Stütze und

Köcher, − die Querkrafttragfähigkeit der Stützenfüße, − die Durchstanztragfähigkeit der Bodenplatte unter Be-

rücksichtigung des Füllbetons unter dem Fertigteil.

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In [5.24] wurde der Nachweis aus [5.11] übernommen und wie folgt geführt:– Betondruckkraft VEd = FEd ≤ VRd,max = 0,5 · (0,7 – fck/200) · b · z · fck/γc– Zuggurtkraft ZEd = FEd · (ac/z0) + HEd · (ah+z0)/z0

mit ac/z0 ≥ 0,4 und z0 = d · (1 – 0,4 · VEd /VRd,max)Die Verankerung des Zuggurtes er-folgt i. d. R. durch Schlaufen undist ab Innenkante Lagerplatte nach-zuweisen. Zusätzlich sollten ge-schlossene Bügel gewählt werden.Für Konsolen mit ac ≤ 0,5 hc sinddie Bügel horizontal oder geneigtauszuführen (Abb. links) mit einemGesamtquerschnitt von mindestens50 % der Gurtbewehrung; für Kon-solen mit ac > 0,5 hc sind die Bügelvertikal anzuordnen, der Querschnittsollte für 70 % der Vertikallast FEdausgelegt sein, falls VEd ≥ VRd,ct.

5.4.7 Konsolen, ausgeklinkte TrägerendenBauteile wie Scheiben, Konsolen mit einer nicht-linearen Dehnungsverteilung werden mit Stabwerkmo-dellen berechnet (vgl. Abschn. 4.1.7). Die Kräfte im Stabwerkmodell ergeben sich aus Gleichgewichts-bedingungen, für die Verträglichkeit sollten sich Lage und Richtung der Druck- und Zugstreben an derSchnittgrößenverteilung der Elastizitätstheorie orientieren. Die Zugkräfte Ft sind durch Bewehrung abzu-decken; die Betondruckspannung σcd der Stabdruckkräfte dürfen folgende Werte nicht überschreiten:

σRd,max = 1,00 · η1 · fcd für ungerissene BetondruckzonenσRd,max = 0,75 · η1 · fcd für Druckstreben parallel zu Rissen und in Druck-Zug-Knoten mit

Verankerungen von Zugstreben und mind. 45° Druckstrebenneigungmit η1 = 1,0 für Normalbeton und η1 = 0,40+0,60 · ρ / 2200 für Leichtbeton (ρ Trockenrohdichte in kg/m3).

KonsolenKonsolen sind Bauteile mit einem Verhältnis ac ≤ hc (ac > hc → Kragträger). Sie sind für die Vertikal-lasten FEd und Horizontallast HEd zu bemessen (nach EC 2 sind mindestens HEd = 0,2 · FEd – falls plan-mäßig nicht größere vorhanden – anzusetzen).

Sehr kurze Konsolen Kurze Konsolen Einfaches Streben-Zugband-Modell für (ac ≤ 0,2 hc ; nach [5.28]) (ac ≤ 0,5 hc ; s. [5.11], [5.24]) Konsolen mit 0,4 hc ≤ ac ≤ hc ([5.11], [5.24])

Konsolen mit ac ≤ 0,5 hc Konsolen mit ac > 0,5 hc

Ausgeklinkte TrägerendenAusgeklinkte Trägerenden können mit Stabwerkmodellen nach Abb. a) und b) oder einer Kombination derbeiden Modelle bemessen werden. Die gesamte Bewehrung ist kraftschlüssig zu verankern (s. nachf.).

a) b)

HinweisDie skizzierten Modelle sindunvollständig und zeigennicht das vollständigeGleichgewichtssystem.

In [5.51] wird auf Ungereimtheiten bei den genannten Bemessungsansätzen hingewiesen. Es wird daherinsbesondere für genauere Untersuchungen die konsequente Anwendung von Stabwerkmodellen angera-ten. Weitere Hinweise und ausführliches Bemessungsbeispiel s. [5.85]).

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Eine Bewehrungsführung nach dem zuvor gezeigten Modell b) ist wegen frühzeitiger und starker Riss-bildung in der einspringenden Ecke nicht zulässig. Die Bewehrungsführung orientiert sich daher an demModell a) oder an einer Kombination der Modelle a) und b). Weitere Hinweise s. [5.63].Im Modell a) wird das ausgeklinkte Ende wie bei Konsolen mit horizontalem Zugband und schräg gerichteterDruckstrebe bemessen. Das Zugband wird aus liegenden Schlaufen ausgeführt und ist wirksam im Auf-lagerbereich zu verankern. Zur anderen Seite hin sollte es weit in den Trä-ger geführt werden. Im ungeschwächten Balkensteg ist eine vertikaleRückhängebewehrung mindestens für die Größe der Auflagerkraft zu be-messen, die vorzugsweise aus geschlossenen Bügeln (ggf. mit einer leichtenSchrägstellung zur Ausklinkung hin) besteht. Die unten endende Biege-zugbewehrung muss mit lb,net (indirekte Auflagerung) verankert werden,was häufig nur durch Zulage von liegenden Schlaufen möglich ist (s. Abb.rechts).Die Bewehrungsführung für eine Kombination aus den Stabwerkmodellena) und b) (s. S. 5.124) ist nebenstehend dargestellt. Hierbei wird die Auf-lagerkraft Fv innerhalb gewisser Grenzen frei auf die Teilmodelle a) undb) aufgeteilt, wobei der dem Modell b) zugewiesene Anteil der Auflager-kraft durch die schräge Bewehrung aufgenommen wird. Hierfür werdenin der Regel liegende Schlaufen als Zulagen verwendet.

5.4.8 Andere Bauteile und besondere Bestimmungen

Bei Rahmenecken mit positivem Biegemoment und einer Bauteil-dicke bis zu h = 1,0 m wird als Standardlösung eine schlaufenartigeBewehrungsführung empfohlen (s. a. DIN 1045, Ausg. 88); je nachBeanspruchungs- bzw. Bewehrungsgrad ist dabei zusätzlich eineSchrägbewehrung erforderlich (Zahlenanagaben aus DIN 1045,Ausg. 88). In [5.25] sind die erforderlichen Nachweise und die voll-ständige Bewehrungsführung mit Alternativen ausführlich darge-stellt. Weitere Einzelheiten s. a. [5.36], [5.41], [5.46] und [5.85].

Rahmenecken

In Rahmenecken bzw. Bauteilen mit stark geknickter Leibung sollte der Beton sorgfältig verdichtet wer-den; die Festigkeitsklasse des Betons sollte mindestens C25/30 betragen (vgl. DAfStb-H. 525), die Be-wehrung sollte aus Rippenstählen bestehen. Bei Rahmenecken sollte zur Begrenzung der Rissbreite eineZusatzbewehrung an den Seitenflächen angeordnet werden. Für die Bewehrungsführung ist zu unter-scheiden, ob die Ecke durch ein positives oder durch ein negatives Moment beansprucht wird. Nachfol-gend sind beispielhaft für zwei Standardfälle Konstruktionsregeln angegeben; detaillierte Angaben ent-hält z. B. [5.24], [5.25]; vgl. a. [5.85].

Bei Rahmenecken mit negativemBiegemoment und Stoßausbil-dung im Bereich der Ecke ist dieBewehrung mit Übergreifung lsauszubilden (s. untenstehende Ab-bildung). Auf eine erforderlicheQuerbewehrung im Bereich derÜbergreifung wird hingewiesen.

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TeilflächenbelastungBei einer örtlichen Krafteinleitung (nicht für die Verankerung von Spanngliedern) darf die aufnehmbareTeilflächenbelastung ermittelt werden aus

————FRdu = Ac0 · fcd · √Ac1 / Ac0 ≤ 3,0 · fcd · Ac0 für Normalbeton (126a)FRdu = Ac0 · flcd · (Ac1 / Ac0 ) ρ/4800

≤ ρ / 800 · flcd · Ac0 für Leichtbeton (126b)mit ρ (in kg/m3) als Trockenrohdichte des Leichtbetons, der Belastungsfläche Ac0 und der Verteilungs-fläche Ac1 . Die im Lasteinleitungsbereich vorhandenen Querzugkräfte sind durch Bewehrung aufzunehmen.Die für die Aufnahme der Kraft FRdu rechnerische Verteilungsfläche Ac1 muss folgende Bedingungen erfüllen:– Die Fläche Ac1 muss der Fläche Ac0 geometrisch ähnlich sein.– Der Schwerpunkt der Verteilungsfläche Ac1 muss in Belastungs-

richtung mit dem der Belastungsfläche Ac0 übereinstimmen.– Für die zur Lastverteilung in Belastungsrichtung zur Verfügung

stehende Höhe h muss gelten: h ≥ b2 – b1 und h ≥ d2 – d1.Die Maße der rechnerischen Verteilungsfläche Ac1 müssen den Be-dingungen nach nebenstehender Abb. entsprechen.

– Bei mehreren Druckkräften dürfen sich die rechnerischen Ver-teilungsflächen innerhalb der Höhe h nicht überschneiden.

– Bei ungleichmäßiger Belastung über die Teilfläche Ac0 oder beigrößeren Querkräften ist der Wert von FRdu zu verringern.

Die Spalt- und Randzugkräfte bei Teilflächenbelastung können nach DAfStb-H. 240 [5.15] ermittelt wer-den. Bei Angriff einer Längsdruckkraft NEd erhält man (bei mehreren s. DAfStb-H. 240): mittig angreifende Druckkraft exzentrisch angreifende Druckkraft

Anschluss von NebenträgernIm Kreuzungsbereich von Haupt- und Nebenträgernmuss eine Aufhängebewehrung für die volle aufzuneh-mende Auflagerkraft des Nebenträgers vorgesehen wer-den. Die Aufhängebewehrung sollte vorzugsweise ausBügeln bestehen, die die Hauptbewehrung des unterstüt-zenden Bauteils (Hauptträger) umfassen.Größtmöglicher Kreuzungsbereich für die Anordnungder Aufhängebewehrung s. Abb.h1 Höhe des Hauptträgers (stützendes Bauteil)h2 Konstruktionshöhe des Nebenträgers (h2 ≤ h1)

UmlenkkräfteIn Bereichen mit großen Richtungsänderungen der inneren Kräfte müssen die zugehörigen Umlenkkräftei. Allg. durch eine Zusatzbewehrung aufgenommen werden. Bei geringer Beanspruchung (ρ ≤ 0,4 %)und Richtungsänderung α < 45° (z. B. bei Treppen) wird eine Bewehrungsführung mit sich kreuzenderBiegezugbewehrung gewählt; die Biegezugbewehrung wird mit lb in der Druckzone verankert.Größere Umlenkkräfte sind durch eine Zusatzbewehrungaufzunehmen. Im dargestellten Beispiel eines Satteldach-binders sind Zusatzbügel für die Umlenkung der Beton-druckkraft Fcd erforderlich (s. Abb.), die für die Umlenk-kraft U = 2 · Fcd · sin (α / 2) zu bemessen sind.

NEd ⎛ h1 ⎞ Fsd = —— · 1− −− 4 ⎝ hs

⎠

Fsd,R : konstruktiv

NEd ⎛ h1 ⎞Fsd = —— · 1− −− 4 ⎝ hs

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⎛ e 1 ⎞Fsd,R = NEd · − − −⎝ h 6 ⎠

Fsd,2 ≈ 0,3 Fsd,R

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5.4.9 Schadensbegrenzung bei außergewöhnlichen Einwirkungen (DIN 1045-1, 13.12)

Nach DIN 1045-1 sind Zuganker vorzusehen, um einen örtlichen Schaden infolge außergewöhnlicher Ein-wirkungen (Anprall, Explosion) zu begrenzen und im Falle eines solchen Schadens alternative Lastpfadezu ermöglichen. Zuganker müssen wirksam durchlaufend sein und entsprechend verankert werden.Als Zugankersystem sind in einem Bauwerk bzw. – bei einem durch Dehnfugen in unabhängige Ab-schnitte geteilten Bauwerk – in einem Bauwerksabschnitt vorzusehen (s. Darstellung): – Ringanker – innen liegende Zuganker – horizontale Stützen- oder Wandzuganker.Für die Bemessung von Zugankern darf die charakteristische Festigkeit fyk der Bewehrung ausgenutzt wer-den, eine aus anderen Gründen vorhandene Bewehrung darf ganz oder teilweise angerechnet werden.Zugankersystem zur Aufnahmeaußergewöhnlicher Einwirkungen

RingankerIn jeder Decken- und Dachebene muss ein wirksamer durchlaufender Ringanker innerhalb eines Rand-abstandes angeordnet werden, wenn eine Scheibenwirkung zur Sicherung der Gesamtstabilität erforder-lich ist (der Ringanker kann Bewehrung einschließen, die Teil der inneren Zuganker ist). Der Ringankersollte eine Zugkraft von

FEd = li · 10 (kN) ≤ 70 kN *)

aufnehmen können (li Spannweite des Endfeldes senkrecht zum Ringanker in m). Einspringende Ecken(z. B. Atrium) müssen Ringanker wie bei Außenecken aufweisen, die sorgfältig zu verankern sind.Ringanker sind über den Umfang des Tragwerks durchlaufend auszubilden. Die Durchlaufwirkung wirddurch Übergreifungslängen ls = 2 · lb sichergestellt, die von Bügeln oder Spiralen mit s ≤ 100 mm um-geben sind (alternativ ist auch Verschweißen oder Verwendung mechanischer Verbindungsmittel mög-lich). Die Ringanker am Umfang des Tragwerks sollten im Randbereich des Tragwerks mit mechani-schen Verankerungen versehen werden.

____________*) In [5.63] wird ausgeführt, dass die genannten Höchstwerte besser als Mindestwerte aufgefasst werden sollten.

Innen liegende ZugankerSie müssen in jeder Decken- und Dachebene in zwei zueinander rechtwinkligen Richtungen liegen und anihren Enden in den außen liegenden Ringankern verankert sein. Die innen liegenden Zuganker dürfen sichgleichmäßig in den Platten, an oder in Balken und/oder in Wänden (0,5 m über bzw. unter den Decken-platten) befinden. In jeder Richtung sollten sie eine Zugkraft aufnehmen können (je Meter Breite) von

FEd = 20 kNIn Decken ohne Aufbeton, in denen die Zuganker in den Fugen zwischen den Fertigteilen liegen, ist ineiner Fuge eine Mindestkraft anzusetzen von

FEd = 0,5 · (l1 + l2) · 20 (kN) ≤ 70 kN *)

mit l1 und l2 als Spannweiten (in m) der Deckenplatten auf beiden Seiten der Fuge senkrecht zur Fuge.

Horizontale Stützen- und WandzugankerRandstützen und Außenwände müssen in jeder Decken- und Dachebene horizontal im Tragwerk veran-kert sein. Die Zuganker sollten eine Zugkraft je Fassadenmeter von

FEd = 10 kNaufnehmen können. Für Stützen beträgt jedoch der Höchstwert je Stütze

FEd = 150 kN *)

Bei Eckstützen sollte in zwei Richtungen verankert werden, wobei die vorhandene Ringankerbewehrungangerechnet werden kann.Am oberen Rand von tragenden Innenwandtafeln sollte mindestens eine Bewehung von 0,7 cm2/m inden Zwischenraum zwischen den Deckentafeln eingreifen. Weitere Hinweise s. DIN 1045-1, 13.12.

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5.5 Verbindungen und Lagerungsbereiche5.5.1 AllgemeinesVerbindungen müssen so bemessen werden, dass sie allen Einwirkungen widerstehen und alle Verformun-gen aufnehmen können; der Einfluss von Imperfektionen ist zu beachten. Verbindungen müssen unter Be-achtung von Toleranzen, Anforderungen der Montage, einfacher Ausführbarkeit und einfacher Überprüfbar-keit geplant werden. Die Widerstandsfähigkeit und die Festigkeit der Verbindungen sind nachzuweisen.

5.5.2 DruckfugenDruckfugen sind mittigem Druck oder Druck mit kleiner Ausmitte ausgesetzt. Bei Lagerfugen mit Mör-tel, Beton oder härtenden Polymeren als Füllmaterial dürfen während der Erhärtung des Füllmaterialskeine relativen Bewegungen zwischen den verbundenen Flächen auftreten. Trockene Fugen sollten nurverwendet werden, wenn sie mit der erforderlichen Qualität ausgeführt werden und die mittlere Beton-druckspannung auf 0,4 · fcd begrenzt wird. Druckfugen können zu beträchtlichen Querzugspannungenführen. Zu unterscheiden ist: hartes Fugenmaterial: Eine harte Lagerung liegt dann vor, wenn der Elastizitätsmodul des Fugen-

materials mehr als 70 % des E-Moduls der angrenzenden Bauteile beträgt. Eineharte Lagerung bildet auch eine vollflächig mit Zementmörtel gefüllte Fuge.Bei harter Lagerung treten Querzugspannungen als Spaltzugkräfte in den be-nachbarten Bauteilen auf (s. Abb.), die durch eine entsprechende Bewehrungaufzunehmen sind.

weiches Fugenmaterial: Bei einer weichen Lagerung ist der Elastizitätsmodul deutlich geringer alsder der angrenzenden Bauteile.Querzugspannungen treten als Stirnzugkräfte auf (s. Abb.) und müssen durcheine entsprechende Bewehrung in den benachbarten Bauteilen und ggf. in derFuge – sofern ihre Querdehnung nicht behindert ist – aufgenommen werden.

Die Tragfähigkeit von zentrisch belasteten Stützenstöße ist nachzuweisen mitNRd = – κ · (Ac · fcd + As · fyd) (128)

Der Abminderungbeiwert κ berücksichtigt dabei nach DIN 1045-1, 13.8.2 (7) den Bewehrungsgrad derStütze und die Fugendicke. Nach DAfStb-Heft 525 darf für einen Fertigteilstützenstoß mit Stahlplattenκ = 1,0 gewählt, für einen Stoß mit Stirnflächenbewehrung κ = 0,9 angenommen werden.Auf die in den angrenzenden Bauteilen erforderliche Querzugbewehrung wird hingewiesen (weitere Hin-weise s. a. [5.63], [5.65], [5.67], [5.68]). Neuere Untersuchungsergebnisse sind in [5.53] zusammenfas-send dargestellt. Bei gleichzeitiger Wirkung von Längs- und Querkraft in der Fuge darf die Querkraftvernachlässigt werden, wenn VEd < 0,1 · NEd ist.

5.5.3 Lager, LagerungsbereicheDie Funktionstüchtigkeit von Lagern für Fertigteile muss durch eine Begrenzung der Lagerpressungen undLagerverformungen und durch ausreichend Bewehrung in den anschließenden Bauteilen sichergestellt sein.Horizontalkräfte am Lager, die durch Kriechen, Schwinden, Temperatureinflüsse etc. der Bauteile verursachtsein können, sowie Herstellungs- und Montagetoleranzen sind in geeigneter Weise zu berücksichtigen.Für die Durchbildung der Lagerungsbereiche ist zu unterscheiden zwischen „Bauteilen mit Umlagerungs-möglichkeiten” und „Einzelbauteilen”. Erstere weisen bei einem Lagerausfall zusätzliche Tragreserven auf(z. B. bei Fertigplatten mit Fugenverguss wegen einer möglichen Querabtragung der Lasten). Einzelbauteile,wie z. B. Unterzüge, Dachbinder, weisen dagegen keine Umlagerungsmöglichkeiten auf [5.63]. Sc

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@-5.129Konstruktion – Verbindungen und Lagerungsbereiche

Bei Bauteilen mit Umlagerungsmöglichkeiten ergibt sich der Nennwert der Auflagertiefe a eines Auflagers zu23

22321 aaaaaa ΔΔ ++++=

mit a1 Grundwert der Auflagertiefe; a1 = FEd,sup / (b1 · fRd) ≥ a1,min (s. Tafel 5.129a)FEd,sup Bemessungswert der Auflagerkraftb1 Auflagerbreite; bei annähernd gleichmäßiger Verteilung der Lagerpressungen in Quer-

richtung darf die tatsächliche Breite angesetzt werden; andernfalls sollte für b1 kein grö-ßerer Wert als 600 mm angesetzt werden (alternativ: genauere Überprüfung).

fRd Bemessungswert der ansetzbaren Festigkeit der Unterstützung; ohne genaueren NachweisfRd ≤ 0,40 fcd bei trockenen FugenfRd ≤ 0,85 fcd ⎫ (bei Teilflächenbelastung s. a. S. 5.126)⎬ in anderen FällenfRd ≤ fbed ⎭ (fbed Festigkeit des Lagermaterials)

a2 erforderlicher Überstand vom äußeren Rand des unterstützenden Bauteils (s. Tafel 5.129b)a3 erforderlicher Überstand vom äußeren Rand des unterstützten Bauteils (s. Tafel 5.129c)Δa2 Vorhaltemaß zur Berücksichtigung von Maßtoleranzen des unterstützenden Bauteils:

10 ≤ l / 1200 ≤ 30 mm für Auflagerung auf Stahl oder Fertigteilen15 ≤ l / 1200 + 5 ≤ 40 mm für Auflagerung auf Ortbeton oder Mauerwerk

Δa3 Vorhaltemaß zur Berücksichtigung von Maßtoleranzen des unterstützten BauteilsΔa3 ≥ ln / 2500 mit ln als lichter Abstand zwischen den Auflagern in mm

Bei Einzelbauteilen sollte der Nennwert der Auflagertiefe a eines Auflagers um 20 mm größer sein als beiBauteilen mit Umlagerungsmöglichkeiten. Ebenso muss bei verschieblichen Lagern und bei horizontalerHalterung eines Trägers außerhalb der Lagerebene die Auflagertiefe angemessen vergrößert werden.

Tafel 5.129b Mindestabstand a2 (in mm)(Lagersockel aus Beton sollten berücksichtigt werden.)Material und Art des Lagers Lagerpressung σEd / fcd

≤ 0,15 0,15 - 0,40 > 0,40

Stahl Linienlager 0 0 10Einzellager 5 10 15

Stahlbeton ≥ C30/37 Linienlager 5 10 15Einzellager 10 15 25

Stahlbeton ≤ C30/37 Linienlager 10 15 25Unbewehrter Beton Einzellager 20 25 35

Mauerwerk Linienlager 10 15 –Einzellager 20 25 –

Tafel 5.129c Mindestabstand a3 (in mm)Bauliche Durchbildung Unterstützung

Linienlagerung Einzellagerung

durchgehende gerade Stäbeüber das Auflager hinweg 0 0gerade Stäbe oder horizontale Bewehrungs-schlaufen, hinter dem Auflager geschlossen 5 15 ≥ cnom

Spannglieder am Bauteilende verankert 5 15vertikale Bewehrungsschlaufen 15 cnom + dbr /2

Tafel 5.129a Mindestmaß für a1 (in mm)Art des Lagers Lagerpressung σEd / fcd

≤ 0,15 0,15 - 0,40 > 0,40Linienlagerung (Decken) 25 30 40

Einzellager Rippendecken, Pfetten 55 70 80Balken 90 110 140

5.5.4 VerankerungenDie Abmessungen von Montagefugen sind unter Beachtung derBewehrungführung, von Montageungenauigkeiten und derMöglichkeiten für das Einbringen und Verdichten des Betonszu bestimmen. Die Hauptbewehrung in den stützenden und ge-stützten Bauteilen ist wirksam zu verankern.

Ansicht

Draufsicht

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