115

5. Die Maxwell'schen Gleichungen5.1. Der Verschiebungsstrom

bisher:rotE = 0 divD =

rotH = j divB = 0

Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert:

divj = 0

Wenn aber rotH = j dann muss gelten = 0 ,

da div rot0

H = divj .

Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert.

116

Postulat: rotH = j D

div rotH = divj div D = 0

divj = 0

Bedeutung:

D = 0EP erzeugt ein Magnetfeld

D = VerschiebungsstromdichterotH = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte

d Pd t

: wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht,

d Ed t

: ist ein neuer Effekt (wesentlich für Wechselstrom).

117

Magnet wird an Spule heran bewegt-> Induktion einer Spannung

= ∫Fläche derRingspule

B⋅d f

d

d t=∮E⋅d r

Änderung des Flusses erzeugt elektrisches Feld

Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben.j = σ E da eine Spannung in einem Leiter einen Strom verursacht

j erzeugt Magnetfeld Hs

Hs und HM sind entgegengesetzt gerichtet―> Abstoßung

5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz

118

Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden.

∮E⋅d r ist positiv (festgelegt durch Skizze)ddt =

ddt∫B⋅d f negativ

∮E⋅d r =d

d t= −

ddt∫B⋅d f

U r 1 − U r 2 =−∫r1

r2

E⋅d r

Induzierter Strom verursacht Spannungfrüher: Spannung verursacht Strom

Faraday`sches Induktionsgesetz

induzierte Spannung hat anderes Vorzeichen als früher

U i =∮E⋅d r =

Grund:

22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court

119

Anwendung des Stokes'schen Satzes

∮E⋅d r =∫ rotE ⋅d f =−ddt∫

B⋅d f

Die differenzielle Form besitzt nicht die vollständige Information.Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche kann zeitlich veränderlich sein.

ddt∫

B⋅d f

Stromerzeugung (Dynamo, Generator)1866/7 technische Realisierung durch Siemens

rotE =−B

rotE =−B

Experimenteller Befund:

ist richtig (Generator)

wäre nicht ausreichend, aus∫ B df ist dies nicht zu sehen.

Ernst Werner von Siemens 13. Dezember 1816 in Lenthe bei Hannover; † 6. Dezember 1892 in Berlin

120

5.3. Das System der Maxwell'schen Gleichungen

rotH = j D divD=

Statik: alle Zeitableitungen Null, j = 0Stationäre Ströme: alle Zeitableitungen Null, j ≠ 0

D = 0E P E D = E

B = µ0H M H Näherungen B = µH

j = j E j =E

Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleihungen:

rotH = j D div j = 0

Kraft: Lorentz-Kraft

F = qE qv×B

Materialgleichungen:

rotE =−B divB = 0

Achtung:Den Inhalt dieser Seite sollten Sie zur Prüfung wissen. Er ist absolut notwendig (aber nicht hinreichend).

121

●Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. ●

●Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie deren Wechselwirkung und bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik. ●Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten:● das Ampère'sche Gesetz,● das Faraday'sche Gesetz● das Gauß'sche Gesetz

Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine der herausragendsten Leistungen dar.1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das die Physik seit Newton entdeckt hat“.

James Clerk Maxwell13. Juni 1831 in Edinburgh † 5. November 1879 in Cambridge

122

5.4. Energie(erhaltungs)satz

Subtraktion der Gleichungen

Maxwell'sche Gleichungen

E⋅rotH −H⋅rotE = j⋅E E⋅D H⋅B

Es gilt:

−div E×H = E⋅rotH −H⋅rotE

−div E×H = j⋅EJoule'sche Wärme

E⋅D H⋅B

Falls D = ε E und B = µ H(falls nicht: siehe Landau/Lifschitz: Elektrodynamik der Kontinua VIII)

rotH = j D ∣ ⋅E SkalarproduktrotE =−B ∣ ⋅H

123

−div E×H = E⋅E µH⋅H

elektromagnetische Energiedichte:

w = wel wmag =12E⋅D

12H⋅B

w div E×H =− Energiesatz der Elektrodynamik

−div E×H =

2ddt

E⋅E µ2

ddt

H⋅H

= 12

ddt

E⋅D 12

ddt

H⋅B

da ddt

H⋅H = H⋅H H⋅H = 2H⋅H

124

Definition: Poynting-Vektor

S = E×H

Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0

w divS = 0

Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fliesst.—> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses

ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in Wärme umgewandelt werden Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie.

Energieerhaltungssatz

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im allgemeinen nicht.

(Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.)

John Henry Poynting9. September 1852 in Monton † 30. März 1914 in Birmingham

125

5.5. Die Wellengleichung

●Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen●

●Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung:● µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten● ρ = 0 keine freien Ladungen● σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig)

aus Maxwell: D = E , B = µH

rotH = E divE = 0

rotE =−µ H divH = 0

E = µ∂

2 E

∂ t 2=

1

c2

∂2E

∂ t2

1

c2= µ

- eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden

rot rotE =−µ rot H =−µE

E = grad divE0

− rot rotE

Lichtgeschwindigkeit in Medien mit ε, µ}

Vakuum c1c2= 0 µ0

Wellengleichung

126

Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung;allgemeine Lösung ist eine ebene Welle

E r ,t = E0 ei k⋅r− t ReE : physikalisch sinnvoll

E0 selbst kann komplex sein: E0x =∣E 0

x∣⋅ei x , E0y =∣E 0

y∣⋅ei y , E0z =∣E0

z∣⋅ei z

∣E 0x∣= Re E 0

x2 Im E0x2

Damit gilt ausführlich Re E

E z r , t =∣E 0z∣cosk⋅r− t z

E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx

E y r ,t =∣E0y∣cosk⋅r− t y

E = µ∂

2 E∂ t 2

=1c2

∂2E∂ t2

127

Überprüfen unseres Lösungsansatzes: E = E0 ei k⋅r− t

E = ∇2E =−k 2E

Damit folgt für unsere Wellengleichung

E =1

c2E

∂∂ tE =−iE ∂

∂ xE =i k x

E

∇⋅E = i k⋅E

k 2−2

c2 E = 0

−k 2E =1c2-2E

Wir suchen eine nichttriviale Lösung mit E ≠ 0

k 2=

2

c2 = c∣k∣ für beliebige Vektoren k ,E0

128

Bedeutung von ω:

Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ:

= 2 f =1

Frequenz

Kreisfrequenz ω: =2

= 2 f

Re E xz. B. x-Komponente

E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx

Bedeutung von k:

Wir wählen ein

cosk x x− tx

Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π

k x=2

falls k in x-Richtung

k = k x ,0 ,0

129

Allgemein gilt:∣k∣= k =

2

= c k ⇒ 2 f = c2

Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt?

f = c

Für konstante Zeit t: k gegeben

k⋅r = const.

Ebenengleichung

ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.

e =kk

1 lineare Gleichung für x, y, z

E = E0 ei k⋅r− t

Ebene Wellen

130

t = beliebig: E ist konstant auf einer Ebene, die sich mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt.

k⋅r = k⋅r 0= t

unendlich ausgedehnterLichtstrahl

k r0= t r 0=

kt = c t

da r0∥ k

Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten.

131

Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist.

E r ,t =∫E0 k ei k⋅r− t d3k

E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann.

Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen?Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0.

Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

divE =∇⋅E = i k⋅E = 0

Allgemeine Lösung:

k⋅E = 0 E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung

132

● Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht.● Falls ε ein Tensor anisotropes Medium (nicht kubischer Einkristall) Wellen haben longitudinale Anteile —> Doppelbrechung● ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre)

--> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“

k E = 0 i. Allg. k nicht senkrecht zu E

div E = i k⋅E =

Wellen werden charakterisiert durch:● Amplituden: |E0

x|, |E0y|, |E0

z|

Nur zwei sind unabhängig, da , in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null.● Wellenlänge λ und Frequenz f● 2 Phasen● Polarisation (linear, zirkular, elliptisch)

Bemerkungen

E⋅k = 0

Wilhelm Conrad Röntgen 27. März 1845 in Lennep (heute Stadtteil von Remscheid) † 10. Februar 1923 in MünchenNobelpreis Physik 1901

133

E = E0xe x E0

ye y

feste Richtung von E (Polarisations-Richtung)

tan =∣E 0

y∣

∣E 0x∣

E y=∣E0y∣cosk⋅r− t

E x=∣E 0x∣cosk⋅r−t

xE0

x

Phasen αx = αy

Polarisation elektromagnetischer Wellen

a) linear polarisiert mit k || z

E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx

E y r , t =∣E0y∣cosk⋅r− t y

yE0y

E = ∣E0x∣ex∣E0

y∣ e y orts- und zeitunabhängig

cos k⋅r− t

134

b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2)

E = E cosk x− t e x∓sin k z−t

E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz,

∣E 0x∣ ≠ ∣E 0

x∣

∣E 0x∣=∣E 0

y∣= E

für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung

=−

2Kreis =

2x

Blickrichtungim pos. z

k ausEheu

zk

135

Wie sieht das H-Feld aus?

rot E=−µ H

rot H=E

rot rot H= rot E=−µH

rot rot H=grad div H0

− H

H=µ∂2 H

∂ t2=

1

c2

∂2 H

∂ t 2

mit der ebenen Welle als Lösung

H r ,t = H 0 ei k⋅r− t mit =c∣k∣

wegen div H=0 k⋅H=0 H⊥k Ausbreitungsrichtung

Zusammenhang zwischen E und H:

rot E=−µH i k×E=i µ H

H=1µ

k×E ⇒ H⊥k und H ⊥ E

136

Für den Betrag von |H| gilt damit:

∣H∣=∣k∣∣E∣µ

=∣E∣µc=∣E∣µ

µ= µ∣E∣

Für die Energiestromdichte erhalten wir:

S=E× H=E× k×Eµ = 1µ

E×k×E

Es gilt: A×B×C =B A⋅C −C A⋅B

S=1µ

[k E 2 −E k⋅E 0

]=kµ

E2=

kµ

e E 2=

1c µE 2e

E 2 heißt hier Re E ⋅Re E

E⋅D=E D= µ H µ H=µH 2=H B=H⋅B

⇒wel=wmag=12

w w=12 E⋅D H⋅B

S=e1

µ cE⋅D=e c E⋅D = e cw

Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungs-richtung der Welle.

137

Definition: Brechungsindex n

c=1

=

1

rr

1

00

=cvakn

n=rr

Meta-materialien = Material mit negativem Brechungindex1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.

Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt.

Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf.

Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium.

138

Ein halb in Wasser getauchter Bleistift erscheint geknickt, weil der Brechungsindex von Wasser höher ist als der von Luft.

In einem negativ brechenden Medium wird der Bleistift scheinbar komplett aus dem Medium heraus geknickt.

Wenn Licht von einem Medium mit niedrigem Brechungsindex n in eines mit höherem Index übergeht, wird es zur Normalen hin gebrochen.

Wenn Licht von einem Medium mit positivem Brechungsindex in eines mit negativem Index übergeht, wird es komplett zurück zu derselben Seite der Normalen gebrochen.

Ein Objekt, das sich in einem Medium mit positivem Index vom Beobachter entfernt, erscheint infolge des Doppler-Effektes röter.

In einem Medium mit negativem Index erscheint ein sich entfernendes Objekt blauer.

Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien

139

Ein geladenes Objekt, das sich in einem positiv brechenden Medium schneller als die darin geltende Lichtgeschwindigkeit bewegt, erzeugt einen Kegel aus Cerenkov-Strahlung in Vorwärtsrichtung.

In einem negativ brechenden Medium weist der Kegel rückwärts.

In einem Medium mit positivem Index wandern die Berge und Täler eines elektromag-netischen Pulses in dieselbe Richtung wie der gesamte Puls und die Energie.

In einem negativ brechenden Medium wandern die Einzel-schwingungen entgegengesetzt zum Gesamtpuls und zur Energie.

140

Ein elektrisches Feld (grün) erzeugt eine geradlinige Bewegung der Elektronen (rot).

Ein Magnetfeld (violette Pfeile) induziert eine kreisförmige Bewegung der Elektronen.

normales Material

Geradlinige Ströme (rote Pfeile) fließen in parallel angeordneten Drähten

Kreisförmige Ströme fließen in Spaltringresonatoren; diese können auch quadratisch sein.

Metamaterial Realisierung eines Metamaterial

Die Drähte und Resonatoren müssen kleiner als die Wellenlänge der elektro-magnetischen Strahlung sein.

141

Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt (links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild (rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge.

Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex

Superlinse Tarnkappe (für Mikrowellen)

Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D) Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches wurde auch schon für rotes Licht durch ein gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit Löchern von 100 nm einen Brechungsindex von -0,6 bei 780 nm Wellenlänge besitzt.

„Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies“, D. Schurig et al., Science (2006): 314, 977 - 980

142

Ändert sich beim Durchgang zu einem anderen Medium die Wellenlänge λ oder die Frequenz f?

Die Frequenz bleibt konstant, da E ~ eiωt. Um die Randbedingungen für alle Zeiten t zu erfüllen, muss deswegen gelten ωinnen = ωaußen.--> λ ändert sich, da w=ck gilt erhalten wir

cvak k vak=c k (im Stoff z.B. Glas)k =nk vak

=vakn

Wellenlänge wird kürzer, n > 1

143

●Widerstandstypen:● Ohmscher Widerstand● Wechselstromwiderstände (Kapazitäten, Induktivitäten, Impedanz)● Wellenwiderstand bei Hohlleitern (wichtig für Anpassung damit es nicht zu Reflexionen kommt, z.B. Netzwerke 50 Ω)

Der Wellenwiderstand charakterisiert, wie sich eine Welle in einem Medium fortpflanzt. Bildlich entspricht dies der Härte oder Weichheit, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt.

k×E=µ Hk E=µH

EH=µ

k=µc=

µ

µ= µ

Def. Wellenwiderstand: Z=EH= µ

Vakuum: Z 0= µ0

0

=377

Aus dem Zusammenhang zwischen E und H erhalten wir:

144

5.6. Wellen in Materie (mit Absorption): Telegrafengleichung

E= E0ei k⋅r− t

E x=E0xcosk⋅r− tx

●Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt. ●Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie?● µ, ε konstante Skalare● ρ = 0 auch erfüllt● σ = 0 ist nicht erfüllt. Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ωLicht) ≠ 0.

rot E=−B

rot H= EE

rot rot E=−µ rot H=−µ EE da rot rot=grad div−

E=1

c2

∂2 E

∂ t 2µ

∂ E∂ t

Telegrafen-Gleichung

Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung.

145

Analogie aus der Mechanik:Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung

∂E∂ t

Absorption

Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die Symmetrie (t -> – t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess.

E r , t = E 0ei k⋅r− t

∂ E∂ t

~ −i E∂ E∂ x

~ i k xE E−k 2 E

Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist:

−k 2 E=−2

c2E−iµ E

E=1

c2

∂2 E

∂ t 2µ

∂ E∂ t

Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen Ansatz gesucht.

146

Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein.

k = k vak n

n=ni

E = E0ei e⋅r k vak n− t

= E0e−e⋅r k vak

Amplitude

e i e⋅r k vak n− t

Nur die nichttriviale Lösung mit E ≠ 0 ist von Interesse:

k 2=

2

c2 i µ

k =2

c2 i µ=i

Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e in Ausbreitungsrichtung ein.

Die Amplitude nimmt mit exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r) ab.Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung.

147

≠0 j= E v=j⋅E.

Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (kvakκ) und kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden.(Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 kvakκ, da die Intensität proportional zum Betrag des Poyntingvektors |S| ist.)

Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit.

Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden.Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung.

Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen.

z.B. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesemFrequenzbereich auch leitfähig.

148

n =1

2 r µrr2µr22 µr

2

202

für0 nr µr

=1

2 −r µrr2µr22 µr

2

20

2

für0 =0

● Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die ● σ = 0 für ω -> 0 ist.● n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µr(ω).

Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung gesetzt.

149

Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung?

Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden. Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und 1844 verbesserten Schreibtelegrafen.Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet.

Wilhelm Weber24. Oktober 1804 in Wittenberg† 23. Juni 1891 in Göttingen

Johann Carl Friedrich Gauß30. April 1777 in Braunschweig† 23. Februar 1855 in Göttingen

Samuel Finley Breese Morse27. April 1791 in Charlestown† 2. April 1872 in New York

150

5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles

Ebene Wellen kommen aus ∞ und gehen nach ∞. Was ist ihre Ursache? Wie enstehen elektromagnetische Wellen?Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle

Für Quellen gilt: ≠0 wegen divj=0 j≠0

Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden.Außerdem soll wie bisher gelten:

rot H= E

div H=0

rot E=−µHdiv E=0

Damit gilt die Wellengleichung ohne Absorption.

Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für findet, um dann auf im Ursprung zurück zuschließen(Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von der Antenne kommen.)

E und H

und j

151

Hertzscher HilfsvektorZ : H=rot Z

r≠0 : rot rot Z=E

E=1

rot rot Zzeitlich konstantes Feld

Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich konstantes Feld ≡ 0

E=1

rot rot Z=1[grad div Z−Z ]

Aus den Maxwellschen Gleichungen und dem Hertzschen Hilfsvektor erhalten wir

rot E =− H =− rot Z = rot −µ Zgrad

E=−µ Zgrad

mit beliebigem φ, da rot grad φ ≡ 0.

1

grad div Z−1 Z=−Zgrad

Heinrich Rudolf Hertz 22. Februar 1857 in Hamburg† 1. Januar 1894 in Bonn

152

nun wird φ so gewählt, dass gilt 1

grad div Z=grad

Z= µ Z=1

c2Z

Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus

H=rot Z E=−µ Z1

grad div Z

Eine Lösung wäre natürlich: Z= Z 0ei k⋅r− t ,

aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle.

Kugelwellen als Ansatz von Hertz: Z r , t = Z 0ei t−k r

r

Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist konstant, falls

t=k r rt=

k= c

Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst.

153

Beweis: In Kugelkoordinaten gilt:

=∂

2

∂ r2

2r∂∂ rWinkelableitungen

Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln abhängt.

∂∂ rZ=−

1rZ

1r−ik Z 0 e

i t−kr =−1rik Z∂

2

∂ r 2Z=

1

r2Z

1r

1rik Zik 1rik Z = 1

r 2Z1rik

2

Z

⇒Z=1

r2Z1rik

2

Z−2r 1rik Z=[ 1rik−

2r ]1rik Z= 1

r2Zik 2 Z−

1

r2Z=−k 2 Z

Damit erhalten wir:Z=−k2 Z

1

c2Z=−2

c2Z

Z=1

c2Z ist erfüllt, falls =ck

Z r , t = Z 0ei t−k r

r

154

Berechnung von H: H=rot Z=i rot Z

Es gilt:

H= −i Z 0×grad1rei t−k r

= −i Z 0×[−rr3 ei t−kr

1r

grad ei t−kr ]Für den Term mit grad ei(ω t - k r) gilt:

∂∂ x

ei t−k r =ei t−k r

−ik ∂ x2 y2z2

∂ x=−ik ei t−k r 1

22x

x2 y2z 2=−ikr

ei t−k r x

grad ei t−k r ~r

Z r , t = Z 0ei t−k r

rrot V= rot V−V×grad

r= x2 y2z2

H=i0Z 0×[ rr3

i k r

r 2 ]ei t−k r =i0Z0×[ rr 3

i r

r3

r 2 ]e i t−k r

Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, NahzoneZweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone

Damit erhalten wir für das Magnetfeld:

155

1. Nahzone: Um auf j in der Antenne zu schließen: r0 e−ikr=e

−i2

r

≈e0≈1

und nur erstes Glied für H: H=i Z 0 ×r

r3e i t

wenn wir ein harmonisch veränderliches Z0 einführen Z 0t = Z0e

i t

H=i Z 0t ×r

r3= Z 0t ×

r

r3

Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da , d.h. wir suchen eine Lösung für niederfrequente Wechselströme, die obiges H liefern.

=2 c /

Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld bei r.

d H r =I

4d r ' ×

r

r3 (sieht überraschend ähnlich aus!)

156

Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol:

Q−Q

d r ' p=Qd r 'mit Q t =Q0e

i t

p t =Qd r '=Q0ei t d r '

Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt Id r '=Q d r '=p t

Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls

Z 0t =p t 4

bzw. Z 0=p

4Insgesamt gilt für das H-Feld:

H=ip0

4× [ rr3

ik

r2 r ]ei t−kr=i4

p0 ei t−kr × [ rr3

ik

r2 r ]pt = p0 e

i tp0e

i t−kr = p0e

it− kr =p t−

kr=p t−

rc

H=i

4p t− r

c × [ rr3ik

r2 r ]= 14p t− r

c × [ rr3ik

r2 r ]

157

2. Fernzone: ik=i1c~ ∂∂ t

1c nur zweites Glied

H r ,t =ik4p t−

rc ×

r

r2=

14 c

p t−rc ×

r

r2

H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt Die Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c.

t−rc

Berechnung von E:E=−µ Z

1

grad div Z

Z=p0

41re i t−kr

Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-)

158

Als Lösung erhält man:

E=µ2 Z−1

4p0 [ 1

r3ik

r2 ]ei t−kr

−1

4 p0⋅r [−3

r

r3−2 ik

r

r 4 ]ei t−kr

−1

4 p0⋅r [ 1

r 3ik

r 2 ]− ik rr ei t−kr

Verschiedene Zonen:

Fernzone:

Mittelzone:

Nahzone:

k2

r~ 2

21r~

1r

k

r 2~

2

r 2~

1

r 2

~1

r3

d= Größe der Quelle

d≪≪r

d≪r~

d≪r≪

(für H war die Nahzone und Fernzone )~1

r 2~

1r

159

Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie)

mit

Es gilt:

E r , t =µ2 Z−1

4

p0⋅r rr 3

k 2ei t−kr

k 2=

2

c2 =2 µ Z=

p0

4ei t−kr

r

E r ,t =

2 µ4

ei t−kr [ p0r⋅r

r 3 − p0⋅r r

r3 ]

r× p0×r = p0r⋅r −r r⋅p0

E r , t =µ2

4ei t−kr 1

r 3 [r× p0×r ]

160

Wie früher gilt: p t = p0 ei t p t−

rc= p0e

it−rc

= p0 ei t−kr

p t−rc=−2

p t−rc

Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir:

H r ,t =1

4 c p t− rc ×

r

r 2 E r , t =

41

r 3 r × r × p t−rc

Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E und H hergeleitet.

E r ,t =µcH×rr=µc H×e

161

Nachfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen.

p t = p0 ei t

162

Das Fernfeld wird nur durch die gegenseitige Induktion bestimmt.

163

164

r⋅E=0r⋅H=0E⋅H=0} stehen senkrecht aufeinander

Winkelbeziehungen:

Für den Poynting-Vektor folgt:

S=E× H = c H×rr × H = c H⋅H rrA×B×C =B A⋅C −C A⋅B

∣S∣~

4

r2 sin2

S=

c1

162

r

r5 [ p t− rc×r ]

2

Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

p

165

Zusammenfassung● Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne (schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden.● Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab. ● Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit.● Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist senkrecht zum Dipolmoment.

● H-Feld: Dipolmoment entlang der z-Achse, θ sei Winkel zur z-Achse - konzentrische Kreise um den Dipol - |H| wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π)● E-Feld: tangential zu den Längenkreisen - Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien.

Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft.

http://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html

166

Zusammenfassung● Eine Dipolantenne empfängt das elektrische Feld, Sender und Empfänger sollten parallel zueinander stehen,Das Magnetfeld kann über das Faraday'sche Induktionsgesetz genutzt werden (Ferritantenne, durch viele Wicklungen um einen Ferritkern kann die induzierte Spannung vergrößert werden.)Da die elektrische und magnetische Energiedichte gleich ist, sind diese Antennen gleichwertig.● Der Poyntingvektor gibt die Energieabstrahlcharakteristik. Die Energie verteil sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit c ausbreiten.

∣s∣~4

r 2sin2

Die Frequenzabhängigkeit in der 4. Potenz ist Ursache für die historische Entwicklung Langwelle -> Mittelwelle -> Kurzwelle -> UKW.

167

●Anwendungen/Bedeutung:●

● Atommodell● Röntgenbremsstrahlung● Synchrotronstrahlung = sehr breites,

kontinuierliches Spektrum vom infraroten über den sichtbaren Spektralbereich, ins ultraviolett bis tief in den Bereich der Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität

Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab.

Id r '=Q d r '=p t

Für eine Punktladung ρ=qδ(r-r0) ergibt sich:

I d r=∫j⋅d f d r=∫v⋅d V=∫qr−r0v⋅d V=qv=p t

pt = q v

168

● Freier-Elektronen-Laser (einer von 21 weltweit in 2006 ist in Rossendorf bei Dresden)

● Rayleigh-Streuung ist die Streuung elektromagnetischer Wellen an Teilchen, die klein im Vergleich zur Wellenlänge λ der Wellen sind. Der Streuquerschnitt ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz.Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes. Dieser Effekt ist für die blaue Farbe des Himmels bei hohem Sonnenstand, sowie für die rote Farbe bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verantwortlich.