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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 106 – 109 126 5 Lineare und quadratische Funktionen Auftaktseite Seiten 106, 107 Seite 106 1 Individuelle Lösungen Zum Beispiel hängt die Flugkurve vom Abwurf- winkel, der Höhe oder der Kraft der Person, die den Ball geworfen hat, ab. 2 Individuelle Lösungen Die x-Achse kann zum Beispiel auf die Ebene, auf der der Ball aufschlägt, gelegt werden. Sie kann aber auch so gelegt werden, dass der höchste Punkt der Kurve auf der x-Achse liegt. Die y-Achse kann so gelegt werden, dass sie durch den höchsten Punkt der Kurve oder durch den Abwurfpunkt geht. Seite 107 3 Individuelle Lösungen Wenn man die einzelnen Positionen des Körper- schwerpunkts miteinander verbindet, so erhält man annähernd eine Parabel. Abweichungen können z. B. durch Luftwiderstand entstehen. 1 Lineare Funktionen Seiten 108, 109 Seite 108 Einstieg Æ 65 – 25 = 40; 40÷5 = 8 Das Wasser steht nach 8 Minuten 65 cm hoch. Æ Zeit in min 0 1 2 3 4 Wasserhöhe in cm 25 30 35 40 45 Zeit in min 5 6 7 8 9 Wasserhöhe in cm 50 55 60 65 70 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Zeit in min O 20 30 40 50 60 70 80 Füllhöhe in cm Æ Der Tank ist 80 cm hoch. Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass nach 11 Minuten die Wasserhöhe 80 cm beträgt. Es dauert also 11 Mi- nuten, bis der Tank voll ist. Æ Nach 11 Minuten ist der Tank voll. Wenn das Wasser weiterläuft, steigt es nicht mehr höher, sondern läuft über. Im Schaubild knickt der Graph dann also ab und verläuft parallel zur x-Achse. Seite 109 1 a) c = − 1, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | − 1). Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, deren Koordinaten gut abzulesen sind, z. B. P 1 (1 | 1) und P 2 (1,5 | 2). m = y 2 y 1 _ x 2 x 1 = 2 – 1 _ 1,5 – 1 = 1 _ 0,5 = 2 b) c = 2,5, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | 2,5). Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, z. B. P 1 (0 | 2,5) und P 2 (1 | 1). m = y 2 y 1 _ x 2 x 1 = 1 – 2,5 _ 1 – 0 = − 1,5 _ 1 = – 1,5 c) c = 1,5, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | 1,5). Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, z. B. P 1 (0 | 1,5) und P 2 (2 | 1) m = y 2 y 1 _ x 2 x 1 = 1 – 1,5 _ 2 – 0 = − 0,5 _ 2 = − 1 _ 4 2 Die Steigung m kann jeweils direkt an dem Vor- faktor von x abgelesen werden. a) g: m 1 = 2; h: m 2 = 2 Es gilt m 1 = m 2 , also sind die Geraden parallel zueinander. b) g: m 1 = – 2; h: m 2 = 1 _ 2 m 1 ≠ m 2 m 1 ⋅ m 2 = (– 2) ⋅ 1 _ 2 = – 1 Es gilt m 1 ⋅ m 2 = – 1, also sind die Geraden senkrecht zueinander. ((Doppelte Klammer löschen?)) AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler. Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 106 – 109

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5 Lineare und quadratische Funktionen

Auftaktseite Seiten 106, 107

Seite 106

1 Individuelle LösungenZum Beispiel hängt die Flugkurve vom Abwurf-winkel, der Höhe oder der Kraft der Person, die den Ball geworfen hat, ab.

2 Individuelle LösungenDie x-Achse kann zum Beispiel auf die Ebene, auf der der Ball aufschlägt, gelegt werden. Sie kann aber auch so gelegt werden, dass der höchste Punkt der Kurve auf der x-Achse liegt.Die y-Achse kann so gelegt werden, dass sie durch den höchsten Punkt der Kurve oder durch den Abwurfpunkt geht.

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3 Individuelle LösungenWenn man die einzelnen Positionen des Körper-schwerpunkts miteinander verbindet, so erhält man annähernd eine Parabel. Abweichungen können z. B. durch Luftwiderstand entstehen.

1 Lineare Funktionen Seiten 108, 109

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Einstieg

Æ 65 – 25 = 40; 40÷5 = 8Das Wasser steht nach 8 Minuten 65 cm hoch.

Æ Zeit in min 0 1 2 3 4

Wasserhöhe in cm 25 30 35 40 45

Zeit in min 5 6 7 8 9

Wasserhöhe in cm 50 55 60 65 70

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zeit in minO

20

30

40

50

60

70

80Füllhöhe in cm

Æ Der Tank ist 80 cm hoch. Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass nach 11 Minuten die Wasserhöhe 80 cm beträgt. Es dauert also 11 Mi-nuten, bis der Tank voll ist.

Æ Nach 11 Minuten ist der Tank voll. Wenn das Wasser weiterläuft, steigt es nicht mehr höher, sondern läuft über. Im Schaubild knickt der Graph dann also ab und verläuft parallel zur x-Achse.

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1 a) c = − 1, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | − 1).Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, deren Koordinaten gut abzulesen sind, z. B. P1 (1 | 1) und P2 (1,5 | 2).

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 2 – 1 _ 1,5 – 1 = 1 _ 0,5 = 2

b) c = 2,5, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | 2,5).Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, z. B. P1 (0 | 2,5) und P2 (1 | 1).

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 =

1 – 2,5 _ 1 – 0 =

− 1,5 _ 1 = – 1,5

c) c = 1,5, denn die Gerade schneidet die y-Achse in ((0 | 1,5).Um m zu berechnen, wählt man zwei Punkte der Gerade, z. B. P1 (0 | 1,5) und P2 (2 | 1)

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 =

1 – 1,5 _ 2 – 0 =

− 0,5 _ 2 = − 1 _ 4

2 Die Steigung m kann jeweils direkt an dem Vor-faktor von x abgelesen werden.a) g: m1 = 2; h: m2 = 2Es gilt m1 = m2, also sind die Geraden parallel zueinander.b) g: m1 = – 2; h: m2 = 1 _ 2 m1 ≠ m2m1 ⋅ m2 = (– 2) ⋅ 1 _ 2 = – 1

Es gilt m1 ⋅ m2 = – 1, also sind die Geraden senkrecht zueinander.

((Doppelte Klammer löschen?))

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 109

c) g: m1 = – 3; h: m2 = 3 m1 ≠ m2m1 ⋅ m2 = (– 3) ⋅ 3 = – 9 ≠ – 1Die Geraden sind weder parallel noch senkrecht zueinander. d) g: m1 = − 1 _ 4 ; h: m2 = 4 m1 ≠ m2

m1 ⋅ m2 = (− 1 _ 4 ) ⋅ 4 = – 1

Es gilt m1 ⋅ m2 = – 1, also sind die Geraden senkrecht zueinander.

3 a) P1 (6 | 5); P2 (2 | 1) (1) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 1 – 5 _ 2 – 6 = − 4 _ – 4 = 1

(2) y-Achsenabschnitt berechnen:Man setzt m = 1 und die Koordinaten von einem der Punkte, z. B. P1 , in die allgemeine Geradengleichung y = m x + c ein:5 = 1 ⋅ 6 + c5 = 6 + c | – 6c = – 1(3) Funktionsgleichung angeben: y = x – 1 (4) Probe: 5 = 1 ⋅ 6 – 1 und 1 = 1 ⋅ 2 – 1P1 und P2 liegen auf der Geraden.b) P1 (4 | 4); P2 (6 | 5) (1) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 5 – 4 _ 6 – 4 = 1 _ 2

(2) y-Achsenabschnitt berechnen:

Man setzt m = 1 _ 2 und die Koordinaten von

einem der Punkte, z. B. P1 , in die allgemeine Geraden gleichung y = m x + c ein:

4 = 1 _ 2 ⋅ 4 + c

4 = 2 + c | – 2c = 2

(3) Funktionsgleichung angeben: y = 1 _ 2 x + 2

(4) Probe: 4 = 1 _ 2 ⋅ 4 + 2 und 5 = 1 _ 2 ⋅ 6 + 2

P1 und P2 liegen auf der Geraden.

c) P1 (– 5 | 6); P2 (2 | – 8)(1) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = – 8 – 6 _ 2 – (– 5) = – 14 _ 7 = – 2

(2) y-Achsenabschnitt berechnen:Man setzt m = – 2 und die Koordinaten von einem der Punkte, z. B. P1 , in die allgemeine Geradengleichung y = m x + c ein:6 = – 2 ⋅ (– 5) + c6 = 10 + c | – 10c = – 4(3) Funktionsgleichung angeben: y = – 2 x – 4(4) Probe: 6 = – 2 ⋅ (– 5) – 4 und – 8 = – 2 ⋅ 2 – 4P1 und P2 liegen auf der Geraden.

d) P1 (– 4 | 1); P2 (2 | – 2) (1) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = – 2 – 1 _ 2 – (– 4) = – 3 _ 6 = − 1 _ 2

(2) y-Achsenabschnitt berechnen:

Man setzt m = – 1 _ 2 und die Koordinaten von

einem der Punkte, z. B. P2, in die allgemeine Geradengleichung y = m x + c ein:

– 2 = – 1 _ 2 ⋅ 2 + c

– 2 = – 1 + c | + 1 c = – 1

(3) Funktionsgleichung angeben: y = – 1 _ 2 x – 1

(4) Probe: 1 = – 1 _ 2 ⋅ (– 4) – 1 und – 2 = – 1 _ 2 ⋅ 2 – 1

P1 und P2 liegen auf der Geraden.

A Schaubild Funktionsgleichung

a) y = 1 _ 2 x + 1

b) y = − 2 x + 1

c) y = 1 _ 2 x − 1

d) y = − 2 x − 1

B a) g und h verlaufen zueinander parallel, da die Steigungen m g und m h gleich sind.b) g und h verlaufen zueinander senkrecht, da

gilt: m g ⋅ m h = − 1 _ 2 ⋅ 2 = − 1

c) g und h verlaufen zueinander senkrecht, da

gilt: m g ⋅ m h = 4 _ 3 ⋅ (− 3 _ 4 ) = − 1

d) g und h verlaufen zueinander parallel, da die

Steigungen m g = 3 _ 5 und m h = 6 _ 10 gleich sind.

Seite 109, links

4 m = – 2 gehört zu g3. m = 2 gehört zu g2.

m = 1 _ 2 gehört zu g1. m = – 1 gehört zu g4.

m = – 1 _ 2 gehört zu g5.

Die Steigungen der Geraden bestimmt man jeweils mithilfe eines passenden Steigungs-dreiecks (vgl. Skizze unten)

x

y

O

1

– 1

– 1– 2– 3

2

3

1

2

21 3

g5 g1

g4 g3 g2

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Seite 109, rechts

4 Um die Funktionsgleichungen der Geraden zu bestimmen, muss man jeweils den y-Achsen-abschnitt c und die Steigung m bestimmen. Um c zu bestimmen, sucht man jeweils den Punkt (0 | c), an dem der Graph die y-Achse schneidet (bei g5 z. B., lautet der Schnittunkt mit der y-Achse (0 | – 2), also ist c = – 2).Die Steigung m bestimmt man jeweils durch Zeichnen eines passenden Steigungsdreiecks; hier ist es wichtig, darauf zu achten, dass man Punkte wählt, die genau auf das Gitter liegen (besonders bei den Graphen von g3 und g5 ist Vorsicht geboten). Außerdem kann die Steigung positiv oder negativ sein.

g1: y = 3 _ 2 x – 2; g2: y = 3 _ 5 x + 1,5;

g3: y = – 1 _ 2 x + 2,5; g4: y = – 5 _ 3 x + 1;

g5: y = – 3 _ 2 x – 2

1 Lineare Funktionen Seite 110

Seite 110, links

5 a) y = 2 x – 1

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

b) y = – 2 x + 3

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

c) y = – 1 _ 2 x + 1

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

d) y = 1 _ 2 x – 2

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

e) y = 3 _ 2 x – 2,5

1

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–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

f) y = – 5 _ 2 x + 1,5

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

6 a) P1 (6 | 8); P2 (3 | 2) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 2 – 8 _ 3 – 6 = − 6 _ – 3 = 2

y-Achsenabschnitt berechnen:Koordinaten von P1 in y = 2 x + c einsetzen8 = 2 ⋅ 6 + c8 = 12 + c | – 12c = – 4Die Funktionsgleichung lautet: y = 2 x – 4.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 110

b) P1 (2 | 3); P2 (– 4 | 4) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 4 – 3 _ – 4 – 2 = 1 _ – 6 = − 1 _ 6

y-Achsenabschnitt berechnen:

Koordinaten von P1 in y = − 1 _ 6 x + c einsetzen

3 = − 1 _ 6 ⋅ 2 + c

3 = − 1 _ 3 + c | + 1 _ 3

c = 10 _ 3

Die Funktionsgleichung lautet: y = − 1 _ 6 x + 10 _ 3 .c) P1 (0 | 4); P2 (4 | 6) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 6 – 4 _ 4 – 0 = 2 _ 4 = 1 _ 2

y-Achsenabschnitt berechnen:

Koordinaten von P1 in y = 1 _ 2 x + c einsetzen

4 = 1 _ 2 ⋅ 0 + c

c = 4Die Funktionsgleichung lautet: y = 1 _ 2 x + 4.

Anmerkung: Da der Punkt P1 (0 | 4) auf der y-Achse liegt, ist nicht notwendig c zu berechnen. Man erkennt sofort: c = 4d) P1 (– 5 | 6); P2 (0 | 5) Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 = 5 – 6 _ 0 – (– 5) = – 1 _ 5 = − 1 _ 5

y-Achsenabschnitt berechnen:Aus P2 (0 | 5) folgt: c = 5.Die Funktionsgleichung lautet:

y = – 1 _ 5 x + 5.

e) P1 (0 | 1,5); P2 (– 0,5 | 0)Steigung m berechnen:

m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 =

0 – 1,5 _ – 0,5 – 0 =

− 1,5 _ − 0,5 = 3

y-Achsenabschnitt berechnen:Aus P1 (0 | 1,5) folgt: c = 1,5.Die Funktionsgleichung lautet: y = 3 x + 1,5.f) P1 (– 2,5 | 0); P2 (0 | 2,5)

Steigung m berechnen: m = y 2 – y 1

_ x 2 – x 1 =

2,5 _ 0 – (– 2,5) = 1

y-Achsenabschnitt berechnen:Aus P2 (0 | 2,5) folgt: c = 2,5.Die Funktionsgleichung lautet: y = x + 2,5.

7 Zu (1) gehört: y = 1 _ 2 x – 3

x – 1 0 1 2 3

y – 3,5 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5

Zu (2) gehört: y = – 3 x – 5

x – 5 – 4 – 3 – 2 – 1

y 10 7 4 1 – 2

Übrig bleibt die Gleichung: y = – 2 x + 1

Wertetabelle, z. B.:

x – 2 – 1 0 1 2

y 5 3 1 – 1 – 3

8 • Parallel zueinander verlaufen die Geraden: – g2 und g5 , da für ihre Steigungen gilt:

m2 = m5 = 3 _ 4 ;

– g1 und g6 , da für ihre Steigungen gilt:

m1 = m6 = – 3 _ 4 .

• Senkrecht zueinander stehen die Geraden: – g1 und g4, da für ihre Steigungen gilt:

m1 ⋅ m4 = − 3 _ 4 ⋅ 4 _ 3 = – 1;

– g6 und g4 , da für ihre Steigungen gilt:

m6 ⋅ m4 = − 3 _ 4 ⋅ 4 _ 3 = – 1;

– g2 und g3 , da für ihre Steigungen gilt:

m2 ⋅ m3 = 3 _ 4 · (− 4 _ 3 ) = – 1;

– g5 und g3, da für ihre Steigungen gilt:

m5 ⋅ m3 = 3 _ 4 · (− 4 _ 3 ) = – 1.

9 Man stellt je eine Funktionsgleichung für die Kosten auf.x: Anzahl gefahrener Kilometer;y: Kosten in €Kosten bei City-Roller: y = 0,10 ⋅ x + 25 (1)Kosten bei Roller-Rent: y = 159 (2)Berechnung der Kilometer, die Ronja in vier Wochen fährt: 4 ⋅ 7 ⋅ 50 = 1400.Einsetzen in (1): y = 0,1 ⋅ 1400 + 25 = 165Die Kosten bei City-Roller betragen 165 €, bei Roller-Rent 159 €. Wenn Ronja in den vier Wo-chen 1400 km fährt, dann sollte sie sich für Roller-Rent entscheiden.

Seite 110, rechts

5

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

a)

b)

c)

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 110 – 111

1

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1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2y

d) e)

f )

6 a) g1: y = 1 _ 2 x + 5 g2: y = – 1 _ 4 x + 2

b) Damit g3 parallel zu g1 verläuft, muss sie die gleiche Steigung haben. c kann alle möglichen Werte annehmen (sollte aber c ≠ 5 sein).

Zum Beispiel: g3: y = 1 _ 2 x + 3

c) Damit g4 senkrecht zu g2 verläuft, muss sie ihre Steigung m gelten:

m ⋅ (− 1 _ 4 ) = – 1 | ⋅ (– 4)

m = 4Zum Beispiel: g4: y = 4 x – 1

7 Funktionsgleichung von g bestimmenP (– 3 | 4); Q (5 | 0) Steigung m berechnen:

m = y Q – y P

_ x Q – x P = 0 – 4 _ 5 – (– 3) = − 4 _ 8 = − 1 _ 2

y-Achsenabschnitt berechnen:

Koordinaten von Q in y = – 1 _ 2 x + c einsetzen

0 = – 1 _ 2 ⋅ 5 + c

0 = – 2,5 + c | + 2,5c = 2,5Die Funktionsgleichung lautet: g: y = − 1 _ 2 x + 2,5.

Funktionsgleichung von h bestimmenDa h senkrecht auf g steht, gilt für ihre Stei-gung m:

m ⋅ (− 1 _ 2 ) = – 1 | ⋅ (– 2)

m = 2y-Achsenabschnitt berechnen:Koordinaten von R (4 | 3) in y = 2 x + c einsetzen:3 = 2 ⋅ 4 + c3 = 8 + c | – 8c = – 5Die Funktionsgleichung von h lautet:h: y = 2 x – 5.Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

2 x – 5 = − 1 _ 2 x + 2,5 | + 5

2 x = − 1 _ 2 x + 7,5 | + 1 _ 2 x

2,5 x = 7,5 |÷2,5 x = 3 y = 2 ⋅ 3 – 5 = 1Der Schnittpunkt lautet: T (3 | 1).

8 Man stellt je eine Funktionsgleichung für die Kosten auf.x: Anzahl der Monatey: Kosten in €Kosten bei Casual: y = 29,99 x (1)Kosten bei 2&2: y = 24,99 x + 69,99 (2)Man kann die Frage mithilfe einer Wertetabelle beantworten oder indem man den Schnittpunkt der Geraden bestimmt (grafisch oder rechne-risch).

Anzahl Monate Kosten Casual (in €)

Kosten 2&2 (in €)

1 29,99 94,98

2 59,98 119,97

3 89,97 144,96

4 119,96 169,95

5 149,95 194,94

6 179,94 219,93

7 209,93 244,92

8 239,92 269,91

9 269,91 294,90

10 299,90 319,89

11 329,89 344,88

12 359,88 369,87

13 389,87 394,86

14 419,86 419,85

15 449,85 444,84

16 479,84 469,83

Nach 14 Monaten sind die Kosten annähernd gleich. Will Sophia einen Vertrag mit einer Dauer kleiner als 14 Monate, dann sollte sie Casual wählen. 2&2 ist dagegen günstiger bei einer Vertragsdauer, die länger als 14 Monate ist.

2 Die quadratische Funktion y = a x 2 + c Seite 111

Seite 111

Einstieg

Æ p1 → (C) y = 1 _ 2 x2 + 2

Begründung: Der Scheitelpunkt liegt bei (0 | 2), der Graph ist nach oben geöffnet und breiter als die Normal-parabel.

p2 → (D) y = – 1 _ 2 x2 – 1

Begründung: Der Scheitelpunkt liegt bei (0 | – 1), der Graph ist nach unten geöffnet und breiter als die Normal-parabel.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 111 – 112

p3 → (A) y = 2 x2 – 2Begründung:Der Scheitelpunkt liegt bei (0 | – 2), der Graph ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normal parabel.

p4 → (E) y = 1 _ 4 x2 + 1

Begründung: Der Scheitelpunkt liegt bei (0 | 1), der Graph ist nach oben geöffnet und breiter als die Normal-parabel. Der Graph ist auch breiter als die Pa-rabel p1, deshalb ist die Funktionsgleichung (F) nicht passend.

Æ Übrig bleiben die Graphen zu (B) y = – 2 x2 + 2 und (F) y = 1 _ 2 x2 + 1

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

p5

p6 3y

Æ Der Parameter a beeinflusst die Breite der Para-bel und ihre Ausrichtung nach oben bzw. unten. Ist a > 0, dann ist die Parabel nach oben geöff-net, ist a < 0, ist sie nach unten geöffnet.Ist |a| > 1, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, ist |a| < 1, dann ist sie breiter als die Normalparabel.

2 Die quadratische Funktion y = a x 2 + c Seiten 112, 113

Seite 112

1 a) Es gilt a = 2. Also ist die Parabel nach oben geöffnet (a > 0) und schmaler als die Normal-parabel (a > 1).b) Es ist a = – 1. Also ist die Parabel nach unten geöffnet (a < 0) und genauso breit als die Nor-malparabel.

c) Es ist a = – 1 _ 2 . Also ist die Parabel nach unten

geöffnet (a < 0) und breiter als die Normalpara-bel (– 1 < a < 0).

d) Es ist a = 1 _ 4 . Also ist die Parabel nach oben

geöffnet (a > 0) und breiter als die Normalpara-bel (0 < a < 1).

e) Es ist a = − 2 _ 3 . Also ist die Parabel nach unten

geöffnet (a < 0) und breiter als die Normalpara-bel (– 1 < a < 0).

f) Es ist a = 6 _ 5 . Also ist die Parabel nach oben

geöffnet (a > 0) und schmaler als die Normal-parabel (a > 1).

g) Es ist a = − 7 _ 4 . Also ist die Parabel nach unten

geöffnet (a < 0) und schmaler als die Normal-parabel (a < – 1).h) Es ist a = 0,02. Also ist die Parabel nach oben geöffnet (a > 0) und breiter als die Normal parabel (0 < a < 1).

2 a)

1

2

–1

–2

–3

–4

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

y

b)

1

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

c)

x – 2 – 1 0 1 2

y = 2 x2 – 3 5 – 1 – 3 – 1 5

1

–1

–2

–3

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

y

d)

x – 2 – 1 0 1 2

y = – 1 _ 2 x2 + 5 3 4,5 5 4,5 3

1

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4

5y

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

132

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 112

A Schaubild Funktionsgleichung

a) y = x 2 − 1

b) y = 1 _ 2 x 2 − 1

c) y = − 1 _ 2 x 2 + 1

x

y

O

y = –x2 + 1

–1

–1

1

–2

–3

1 2 3 4–2–3–4

B a) x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

y 13 3 − 3 − 5 − 3 3 13

b) x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

y 1,5 − 1 − 2,5 − 3 − 2,5 − 1 1,5

c) x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

y − 14 − 4 2 4 2 − 4 − 14

d) x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

y − 0,25 1 1,75 2 1,75 1 − 0,25

–1

–1 1 2 3 4

x

–2–3–4

1

2

3

4y

–2

–3

–4

–5

a)c)

b)

d)

Seite 112, links

3 a) y = 3 x2 – 1Die zugehörige Parabel ist schmaler als die Normalparabel und nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt unterhalb der x-Achse.

b) y = – 2 x2 + 1Die zugehörige Parabel ist schmaler als die Normalparabel und nach unten geöffnet. Der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse.

c) y = 1 _ 3 x2 + 3

Die zugehörige Parabel ist breiter als die Normalparabel und nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse.d) y = – 1,8 x2 + 2,5Die zugehörige Parabel ist schmaler als die Normalparabel und nach unten geöffnet. Der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse.e) y = – 0,2 x2 – 0,5Die zugehörige Parabel ist breiter als die Normalparabel und nach unten geöffnet. Der Scheitel liegt unterhalb der x-Achse.

f) y = 4 _ 3 x2 – 1,5Die zugehörige Parabel ist schmaler als die Normalparabel und nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt unterhalb der x-Achse.

4 a) y = 1 _ 2 x2 – 1

x – 1 0 1 2 3

y – 0,5 – 1 – 0,5 1 3,5

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

b) y = – 1 _ 2 x2 + 4

x – 1 0 1 2 3

y 3,5 4 3,5 2 – 0,5

1

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

c) y = – 2 x2 + 3

x – 1 0 1 2 3

y 1 3 1 – 5 – 15

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 112 – 113

133

d) y = 1 _ 4 x2 + 1,5

x – 1 0 1 2 3

y 1,75 1,5 1,75 2,5 3,75

1

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

5 a) y = – 1 _ 2 x2 + cEinsetzen der Koordinaten von P (2 | – 4) in die Funktionsgleichung ergibt:

– 4 = – 1 _ 2 ⋅ 22 + c

– 4 = – 2 + c | + 2 c = – 2b) y = a x2 + 3,5Einsetzen der Koordinaten von P (1 | 4) in die Funktionsgleichung ergibt:4 = a ⋅ 12 + 3,54 = a + 3,5 | – 3,5a = 0,5c) y = a x2 – 5Einsetzen der Koordinaten von P (– 3 | – 2) in die Funktionsgleichung ergibt:– 2 = a ⋅ (– 3)2 – 5– 2 = 9 a – 5 | + 5 3 = 9 a |÷9

a = 1 _ 3

Seite 112, rechts

3 • rote Parabel S1 (0 | 0); P1 (3 | 3) Aus S1 (0 | 0) folgt: c = 0 Koordinaten von P1 in y = a x2 einsetzen: 3 = a ⋅ 32

a = 1 _ 3

Funktionsgleichung: y = 1 _ 3 x2

• blaue Parabel S2 (0 | 1); P2 (– 2 | 3) Aus S2 (0 | 1) folgt: c = 1 Koordinaten von P2 in y = a x2 + 1 einsetzen: 3 = a ⋅ (– 2)2 + 1 3 = 4 a + 1

a = 1 _ 2

Funktionsgleichung: y = 1 _ 2 x2 + 1

• lila Parabel S3 (0 | – 0,5); P3 (– 2 | – 1,5) Aus S3 (0 | – 0,5) folgt: c = – 0,5 Koordinaten von P3 in y = a x2 – 0,5 einsetzen: – 1,5 = a ⋅ (– 2)2 – 0,5 – 1,5 = 4 a – 0,5 – 1 = 4 a

a = – 1 _ 4

Funktionsgleichung: y = – 1 _ 4 x2 – 0,5• grüne Parabel

S4 (0 | 2,5); P4 (3 | – 2) Aus S4 (0 | 2,5) folgt: c = 2,5 Koordinaten von P4 in y = a x2 + 2,5 einsetzen: – 2 = a ⋅ 32 + 2,5 – 2 = 9 a + 2,5 – 4,5 = 9 a

a = – 1 _ 2 Funktionsgleichung: y = – 1 _ 2 x2 + 2,5

Seite 113, links

6 Parabel p1: a = – 1 _ 2 ; c = – 1

y = – 1 _ 2 x2 – 1

Parabel p2: a = 2; c = 0y = 2 x2

Parabel p3: a = 1 _ 2 ; c = 1

y = 1 _ 2 x2 + 1

7 a) x-Koordinate von P in y = 2 x2 – 5 einsetzen:y = 2 ⋅ 22 – 5 y = 3Also ist P (2 | 3)x-Koordinate von Q in y = 2 x2 – 5 einsetzen:y = 2 ⋅ (– 1)2 – 5 y = – 3Also ist Q (– 1 | – 3)b) x-Koordinate von P in y = – 1 _ 2 x2 – 1 einsetzen:

y = – 1 _ 2 ⋅ (– 1)2 – 1

y = – 1,5Also ist P (– 1 | – 1,5)

y-Koordinate von Q in y = – 1 _ 2 x2 – 1 einsetzen:

– 9 = – 1 _ 2 x2 – 1 | + 1

– 8 = – 1 _ 2 x2 | ⋅ (– 2)

16 = x2 | ± √ _

x1 = 4 und x2 = – 4Als Lösungen erhält man die Punkte: Q1 (4 | – 9) und Q2 (– 4 | – 9).

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134

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 113

8 Um eine passende Funktionsgleichung zu be-stimmen, muss man zuerst ein Koordinatensys-tem festlegen. Zum Beispiel: Die x-Achse liegt auf der Fahrbahn, die y-Achse geht durch den Scheitelpunkt der Parabel (vgl. Skizze).

200 m

100 m

60m5 m

P

S

Mögliche Punkte: S (0 | 5); P (100 | 60)Funktionsgleichung: y = a x2 + c Aus S (0 | 5) erhält man: c = 5Einsetzen der Koordinaten von P: 60 = a ⋅ 1002 + 555 = a ⋅ 1002 |÷1002 ((2 hochgestellt, ok?))

a = 0,0055Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also:y = 0,0055 x2 + 5

9 Es ist c = 0, daher geht das zugehörige Koordi-natensystem durch den Scheitelpunkt (0 | 0). Da die Spannweite 494 m beträgt, haben die Punk-te, die rechts und links ganz oben am Bogen liegen, die x-Koordinaten 247 bzw. – 247. Damit erhält man:

y = 1 _ 4000 ⋅ 2472

y ≈ 15,25Die Brücke hängt also in der Mitte etwa 15,3 m durch.

Seite 113, rechts

4 a) Funktionsgleichung bestimmenAus S (0 | 2) erhält man c = 2.Einsetzen von P in y = a x2 + 2 3 = a ⋅ 22 + 2

a = 1 _ 4

Funktionsgleichung: y = 1 _ 4 x2 + 2

x-Koordinate von Q einsetzen:

y = 1 _ 4 ⋅ 42 + 2

y = 6Man erhält also: Q (4 | 6).b) Funktionsgleichung bestimmenAus S (0 | – 3) erhält man c = – 3.Einsetzen von P in y = a x2 – 3 – 9 = a ⋅ 32 – 3– 6 = 9 a

a = – 2 _ 3

Funktionsgleichung: y = – 2 _ 3 x2 – 3

((Malzeichen ergänzt. Ok?))

y-Koordinate von Q einsetzen:

– 27 = – 2 _ 3 x2 – 3

– 24 = – 2 _ 3 x2

36 = x2 | ± √ _

x1 = 6 und x2 = – 6Man erhält also die Punkte: Q1 (6 | – 27) und Q2 (– 6 | – 27).

5 Funktionsgleichung anhand der Punkte (0 | 4) und (5 | – 6) bestimmen.Aus (0 | 4) erhält man c = 4.Einsetzen der Koordinaten von (5 | – 6). – 6 = a ⋅ 52 + 4 – 10 = 25 a a = – 0,4Funktionsgleichung: y = – 0,4 x2 + 4Durch Einsetzen der jeweiligen x-Koordinate erhält man die zugehörige y-Koordinate.

x 0 1 2 3 4 5

y 4 3,6 2,4 0,4 – 2,4 – 6

6 a)

x – 2 – 1 0 1 2

y 1 1,75 2 1,75 1

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3y

b) Die verschobene Normalparabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2 (3 | 2) ist nach oben geöffnet und hat dadurch keine gemeinsamen Punkte mit der Parabel p1 aus Teilaufgabe a). Denn p1 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt S1 (0 | 2).

7 Einsetzen der Koordinaten von P (2 | 3) um c zu bestimmen

3 = – 3 _ 8 ⋅ 22 + c

3 = – 1,5 + cc = 4,5Scheitelpunkt S (0 | 4,5)Berechnung der Entfernung d des Punktes P (2 | 3) vom Punkt S (0 | 4,5) mithilfe des Satzes des Pythagoras

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135

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 113 – 115

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4

5y

2P

S

d 1,5

d = √ _

1, 5 2 + 2 2 d = 2,5Die Entfernung der zwei Punkte beträgt 2,5 LE.

8 a) Mögliches Koordinatensystem:Die x-Achse wird entlang der Straße gelegt, die y-Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel.Damit erhält man: S (0 | 36), also c = 36Der Punkt P am rechten Rand der Parabel auf Höhe der Straße lautet: P (36 | 0) (denn es

ist: 1 _ 2 ⋅ 72 = 36) .

Einsetzen der Koordinaten von P in die Funktions gleichung y = a x2 + 36:0 = a ⋅ 362 + 36

a = – 1 _ 36

Mögliche Funktionsgleichung:

y = – 1 _ 36 x2 + 36

b) Es werden die x-Koordinaten der Punkte mit y = 12,7 gesucht.

12,7 = – 1 _ 36 x2 + 36

– 23,3 = – 1 _ 36 x2

838,8 = x2 | ± √ _

x1 ≈ 28,96 und x2 ≈ – 28,96Am 3. Stockwerk betragen also die x-Koordina-ten der Punkte, die auf der Parabel liegen 28,96 bzw. – 28,96. Die Breite der Parabel auf dieser Höhe beträgt somit 2 ⋅ 28,96 = 57,92.Das 3. Stockwerk ist etwa 57,9 m breit.c) Der Bogen auf der Bild ist 6 cm breit. Diese Breite entspricht 72 m; also entspricht 1 cm in der Zeichnung etwa 12 m in der Wirklichkeit. Damit schätzt man die Höhe des inneren Bo-gens auf etwa 31,2 m.Mögliche Parabelgleichung (Koordinatensystem wie in Teilaufgabe a)) y = a x2 + 31,2Einsetzen von P (36 | 0) ergibt:0 = a ⋅ 362 + 31,2a ≈ – 0,024Funktionsgleichung: y = – 0,024 x2 + 31,2

3 Scheitelform. Normalform Seiten 114, 115

Seite 114

Einstieg

Æ – 2 – 1 0 1

y = (x – 2)2 16 9 4 1

y = (x + 1)2 1 0 1 4

y = (x – 2)2 + 1 17 10 5 2

y = (x + 1)2 – 2 – 1 – 2 – 1 2

2 3 4

y = (x – 2)2 0 1 4

y = (x + 1)2 9 16 25

y = (x – 2)2 + 1 1 2 5

y = (x + 1)2 – 2 7 14 23

Æ

1

–1

–2

1–1–2–3–4–5

y = (x – 2)2

y = (x – 2)2 + 1

y = (x + 1)2 – 2

y = (x + 1)2

–6 2 3 4 5

xO

2

3y

Æ Man beobachtet, dass die Parabeln zu den Funk-tionsgleichungen y = (x – 2)2 und y = (x + 1)2 ihre Scheitelpunkte auf der x-Achse haben. Die Parabel zu y = (x – 2)2 ist eine um 2 Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel; die Parabel zu y = (x + 1)2 ist eine um eine Einheit nach links verschobene Normalparabel.Die Parabel zu y = (x – 2)2 + 1 ist um 1 Einheit nach oben verschoben verglichen mit der Para-bel zu y = (x – 2)2.Die Parabel zu y = (x + 1)2 – 2 ist um 2 Einhei-ten nach unten verschoben verglichen mit der Parabel zu y = (x + 1)2.

Æ Der Scheitelpunkt ist im Vergleich zur Lage der Normalparabel y = x2 um 2 Einheiten nach links und 1 Einheit nach unten verschoben.

Seite 115

1 • Zu Schaubild a) gehört die Funktionsgleichung y = (x – 2)2 – 1.

• Zu Schaubild b) gehört die Funktionsgleichung y = (x + 2)2 + 1.

• Zu Schaubild c) gehört die Funktionsgleichung y = (x – 2)2 + 1.

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136

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 115

Schaubild von y = (x + 2)2 – 1:

1

–11–1–2–3–4–5–6–7 2 3 4

xO

2

3y

2 a) Scheitelform: y = (x – 3)2 + 1Umformung zur Normalform:y = x2 – 6 x + 9 + 1y = x2 – 6 x + 10b) Scheitelform: y = (x + 4)2 + 3Umformung zur Normalform:y = x2 + 8 x + 16 + 3y = x2 + 8 x + 19c) Scheitelform: y = (x + 2)2 – 1Umformung zur Normalform:y = x2 + 4 x + 4 – 1y = x2 + 4 x + 3d) Scheitelform: y = (x + 1,5)2 + 0,5Umformung zur Normalform:y = x2 + 3 x + 1,52 + 1y = x2 + 3 x + 3,25e) Scheitelform: y = (x + 0,5)2 – 2,5Umformung zur Normalform:y = x2 + x + 0,52 – 2,5y = x2 + x – 2,25f) Scheitelform: y = (x – 0,5)2 – 0,5Umformung zur Normalform:y = x2 – x + 0,52 – 0,5y = x2 – x – 0,25

3 a) y = x2 + 4 x + 7

y = x2 + 4 x + ( 4 _ 2 ) 2 + 7 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x + ( 4 _ 2 ) ) 2 + 7 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x + 2)2 + 3Man erhält also den Scheitelpunkt: S (– 2 | 3)b) y = x2 – 10 x + 23

y = x2 – 10 x + ( 10 _ 2 ) 2 + 23 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x − ( 10 _ 2 ) ) 2 + 23 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x – 5)2 + (– 2) y = (x – 5)2 – 2Man erhält also den Scheitelpunkt: S (5 | – 2)c) y = x2 + 6 x + 14

y = x2 + 6 x + ( 6 _ 2 ) 2 + 14 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x + ( 6 _ 2 ) ) 2 + 7 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x + 3)2 + 5Man erhält also den Scheitelpunkt: S (– 3 | 5)

d) y = x2 + 5 x + 5,25

y = x2 + 5 x + ( 5 _ 2 ) 2 + 5,25 – ( 5 _ 2 )

2

y = (x + ( 5 _ 2 ) ) 2 + 2,25 – ( 5 _ 2 )

2

y = (x + 2,5)2 + (– 1) y = (x + 2,5)2 – 1Man erhält also den Scheitelpunkt: S (– 2,5 | – 1).

A a) S (4 | 1) b) S (3 | − 2) y = (x − 4) 2 + 1 y = (x − 3) 2 − 2 y = x 2 − 8 x + 17 y = x 2 − 6 x + 7 c) S (− 2 | 5) d) S (− 3 | − 4) y = (x + 2) 2 + 5 y = (x + 3) 2 − 4 y = x 2 + 4 x + 9 y = x 2 + 6 x + 5

B a) y = x 2 − 2 x + 3

y = x 2 − 2 x + ( 2 _ 2 ) 2 + 3 – ( 2 _ 2 )

2

y = (x – 2 _ 2 ) 2 + 3 – 1 2

y = (x − 1) 2 + 2 ⇒ S (1 | 2)

b) y = x 2 + 10 x + 26

y = x 2 + 10 x + ( 10 _ 2 ) 2 + 26 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x + 10 _ 2 ) 2 + 26 – 5 2

y = (x + 5) 2 + 1 ⇒ S (− 5 | 1)c) y = x 2 − 4 x + 3

y = x 2 − 4 x + ( 4 _ 2 ) 2 + 3 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x – 4 _ 2 ) 2 + 3 – 2 2

y = (x − 2) 2 − 1 ⇒ S (2 | − 1)d) y = x 2 − 8 x + 15

y = x 2 − 8 x + ( 8 _ 2 ) 2 + 15 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x – 8 _ 2 ) 2 + 15 – 4 2

y = (x − 4) 2 − 1 ⇒ S (4 | − 1)

Seite 115, links

4 p1 gehört zu Term (B) (x + 4)2 + 1.p2 gehört zu Term (F) (x + 2)2 – 3.p3 gehört zu Term (C) (x + 1)2 + 4.p4 gehört zu Term (A) (x – 1)2 – 4.p5 gehört zu Term (E) (x – 2)2 + 3.p6 gehört zu Term (D) (x – 4)2 + 1.

Seite 115, rechts

4 Damit man die zugehörigen Scheitelpunkte fin-den kann, muss man die Funktionsgleichungen in die Scheitelform umformen.(1) y = x2 + 8 x + 19

y = x2 + 8 x + ( 8 _ 2 ) 2 + 19 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x + ( 8 _ 2 ) ) 2 + 19 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x + 4)2 + 3

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137

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 115 – 116

Zugehöriger Scheitelpunkt: S1 (– 4 | 3)(2) y = x2 – 6 x + 5

y = x2 – 6 x + ( 6 _ 2 ) 2 + 5 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x – ( 6 _ 2 ) ) 2 + 5 – 3 2

y = (x – 3)2 – 4Zugehöriger Scheitelpunkt: S (3 | – 4)Zur Gleichung (2) gehört keiner der Scheitel-punkte.(3) y = x2 + 6 x + 13

y = x2 + 6 x + ( 6 _ 2 ) 2 + 13 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x + ( 6 _ 2 ) ) 2 + 13 – 3 2

y = (x + 3)2 + 4Zugehöriger Scheitelpunkt: S3 (– 3 | 4)(4) y = x2 – 8 x + 13

y = x2 – 8 x + ( 8 _ 2 ) 2 + 13 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x – ( 8 _ 2 ) ) 2 + 13 – 4 2

y = (x – 4)2 – 3Zugehöriger Scheitelpunkt: S4 (4 | – 3)

5 • Parabel p1 Scheitelform: y = (x – 3)2 – 1 Normalform: y = x2 – 6 x + 8

• Parabel p2 Scheitelform: y = (x – 2)2 + 2,5 Normalform: y = x2 – 4 x + 6,5

• Parabel p3 Scheitelform: y = (x + 3)2 + 2 Normalform: y = x2 + 6 x + 11

• Parabel p4 Scheitelform: y = (x + 2)2 – 3 Normalform: y = x2 + 4 x + 1

• Parabel p5 Scheitelform: y = x2 – 3 Normalform: y = x2 – 3

3 Scheitelform. Normalform Seite 116

Seite 116, links

5 a) y = x2 – 2 x – 1

y = x2 – 2 x + ( 2 _ 2 ) 2 – 1 – ( 2 _ 2 )

2

y = (x – 1)2 – 2Scheitelpunkt: S (1 | – 2)

1

–1

–2

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

xO

2y

b) y = x2 – 6 x + 4

y = x2 – 6 x + ( 6 _ 2 ) 2 + 4 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x – 3)2 – 5Scheitelpunkt: S (3 | – 5)

–1

–2

–3

–4

–5

1–1–2–3 2 3 4 5 6 7 8

xO

y

c) y = x2 + 4 x – 3

y = x2 + 4 x + ( 4 _ 2 ) 2 – 3 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x + 2)2 – 7Scheitelpunkt: S (– 2 | – 7)

2

–2

–4

–6

2–2–4–6–8–10–12–14 4 6 8

xO

4

6

8

10y

d) y = x2 – 10 x + 19

y = x2 – 10 x + ( 10 _ 2 ) 2 + 19 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x – 5)2 – 6Scheitelpunkt: S (5 | – 6)

–1

–2

–3

–4

–5

–6

1–1–2 2 3 4 5 6 7 8 9

xO

y

e) y = x2 + 3 x + 3,25

y = x2 + 3 x + ( 3 _ 2 ) 2 + 3,25 – ( 3 _ 2 )

2

y = (x + 1,5)2 + 1Scheitelpunkt: S (– 1,5 | 1)

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

138

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 116

1

1–1–2–3–4–5–6–7 2 3 4

xO

2

3

4

5y

f) y = x2 – 5 x + 4,75

y = x2 – 5 x + ( 5 _ 2 ) 2 + 4,75 – ( 5 _ 2 )

2

y = (x – 2,5)2 – 1,5Scheitelpunkt: S (2,5 | – 1,5)

–1

–1

–2

–3

–4

1–1–2–3 2 3 4 5 6 7 8

xO

y

6 Olivia hat bei beiden Gleichungen den Fehler gemacht, dass sie nicht zuerst in die Scheitel-form umgewandelt hat, sondern versucht hat, aus der Normalform abzulesen. Richtig ist:p1: y = x2 + 2 x + 5

y = x2 + 2 x + ( 2 _ 2 ) 2 + 5 – ( 2 _ 2 )

2

y = (x + 1)2 + 4Scheitelpunkt: S1 (– 1 | 4)p2: y = x2 – 3 x – 6

y = x2 – 3 x + ( 3 _ 2 ) 2 – 6 – ( 3 _ 2 )

2

y = (x – 1,5)2 – 8,25Scheitelpunkt: S2 (1,5 | – 8,25)

7 Scheitelform von p1: y = (x – 3)2 + 2a) Scheitelform von p2:y = (x – 3 – 4)2 + 2 + 2y = (x – 7)2 + 4Normalform von p2: y = x2 – 14 x + 53b) Scheitelform von p2:y = (x – 3 + 5)2 + 2 – 3y = (x + 2)2 – 1Normalform von p2: y = x2 + 2 x + 3

8 a) y = x2 + 4 x + 7y-Koordinate von P berechneny = 22 + 4 ⋅ 2 + 7y = 19Man erhält also: P (2 | 19)

y-Koordinate von Q berechnen y = (– 1)2 + 4 ⋅ (– 1) + 7y = 4Man erhält also: Q (– 1 | 4)b) y = x2 – 3 x + 1y-Koordinate von P berechneny = 32 – 3 ⋅ 3 + 1y = 1Man erhält also: P (3 | 1)x-Koordinaten von Q berechnen5 = x2 – 3 x + 1 0 = x2 – 3 x – 4

x1,2 = 3 _ 2 ± √ ________

( 3 _ 2 ) 2 − (− 4)

x1,2 = 1,5 ± √ _

6,25 x1 = 4 und x2 = – 1Man erhält also die Punkte: Q1 (4 | 5) und Q1 (– 1 | 5)c) y = (x – 3,5)2 + 2y-Koordinate von P berechneny = (– 1,5 – 3,5)2 + 2y = 27Man erhält also: P (– 1,5 | 27)x-Koordinaten von Q berechnen 11 = (x – 3,5)2 + 2 9 = (x – 3,5)2 | ± √

_

± 3 = x – 3,5x1 = 0,5 und x2 = 6,5Man erhält also die Punkte: Q1 (0,5 | 11) und Q1 (6,5 | 11) ((zweimal Q_1?))

9 Man geht jeweils von der üblichen Einteilung der Achsen aus (also 2 Kästchen entsprechen 1 LE).a)

p

A

1

2

3

–1 1 2 3 4 5 6

x

y

Aus S (2 | 1) erhält man die Funktionsgleichung:y = (x – 2)2 + 1Normalform: y = x2 – 4 x + 5b)

p

–2

–3

–1

–4–5–6 –3 –2 –1 1B

yx

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 116

Aus S (– 3 | – 2) erhält man die Funktions-gleichung: y = (x + 3)2 – 2Normalform: y = x2 + 6 x + 7

10 Scheitelpunkt der Parabel p2 berechnen y = x2 + 2 x + 3y = x2 + 2 x + 12 + 3 – 12

y = (x + 1)2 + 2Man erhält den Scheitelpunkt: S2 (– 1 | 2)Die Parabel p1 geht durch S2 (– 1 | 2)→ Einsetzen der Koordinaten von S2 in die Funktions gleichung von p1: y = x2 – 4 x + c.2 = (– 1)2 – 4 ⋅ (– 1) + c2 = 5 + cc = – 3Funktionsgleichung von p1: y = x2 – 4 x – 3Scheitelform von p1:y = x2 – 4 x + 22 – 3 – 22

y = (x + 1)2 + 2Man erhält den Scheitelpunkt: S1 (– 1 | 2)

Seite 116, rechts

6 a) y = x2 + 7 x + 14,25Scheitelform: y = (x + 3,5)2 + 2

1

1–1–2–3–4–5–6–7–8–9 2

xO

2

3

4

5y

b) y = x2 – 3 x + 6,25Scheitelform: y = (x – 1,5)2 + 4

1

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

xO

2

3

4

5

6y

c) y = x2 – x + 5,25Scheitelform: y = (x – 0,5)2 + 5

1

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

xO

2

3

4

5

6y

d) y = x2 + x – 0,25Scheitelform: y = (x + 0,5)2 – 0,5

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

7 Silas hat die Koordinaten des Scheitelpunkts miteinander vertauscht und zusätzlich eins der Vorzeichen verwechselt.Der Scheitelpunkt der Parabel der allgemei-nen Funktionsgleichung y = (x – d)2 + e lautet S (d | e) (Vgl. Seite 114 im Schulbuch). Bei der Funktionsgleichung y = (x – 4)2 + 1 ist daher d = 4 und e = 1. Dementsprechend lautet der Scheitelpunkt: S (4 | 1).

8 Aus S1 (– 2 | 5) erhält man: p1: y = (x + 2)2 + 5Aus S2 (– 4 | – 7) erhält man: p2: y = (x – 4)2 – 7Überprüfen für den x-Wert 1 (für x = 0 sind die y-Werte gleich)p1: y = (1 + 2)2 + 5

y = 14p2: y = (1 + 4)2 – 7

y = 18Tabelle A gehört zu Parabel p2, Tabelle B zu Parabel p1.

9 Die Punkte P (1 | 3) und Q (7 | 3) liegen auf der gleichen Höhe, daher sind es Symmetriepunkte bzgl. Der Symmetrieachse der Parabel. Da sie einen horizontalen Abstand von 6 Längenein-heiten haben, ist die Symmetrieachse je 3 LE von jedem der Punkte entfernt; sie geht also durch (4 | 0).

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 116 – 118

Der vertikale Abstand von P bzw. Q bis zum Scheitelpunkt beträgt 32 = 9 LE. Es gilt: 3 – 9 = – 6Der Scheitelpunkt lautet daher: S (4 | – 6)Funktionsgleichung: y = (x – 4)2 – 6Tipp: Durch Einsetzen der Koordinaten von P bzw. Q in die gefundene Funktionsgleichung kann man die Berechnungen überprüfen.

10 a) Scheitelpunkt S von p berechnen:y = x2 – 6 x + 12y = x2 – 6 x + 32 + 12 – 32

y = (x – 3)2 + 3Man erhält also: S (3 | 3).Da m = – 2 hat die Gerade g hat die Funktions-gleichung y = – 2 x + c.Einsetzen von S (3 | 3) ergibt:3 = – 2 ⋅ 3 + cc = 9Also lautet die Funktionsgleichung von g:y = – 2 x + 9b) Den Schnittpunkt Q1 von g mit der x-Achse erhält man, wenn man y = 0 in die Funktions-gleichung von g einsetzt.0 = – 2 x + 9x = – 4,5Man erhält: Q1 (– 4,5 | 0)Den Schnittpunkt Q2 von g mit der y-Achse erhält man, wenn man x = 0 in die Funktions-gleichung von g einsetzt.x = 0 → y = 9Man erhält: Q2 (0 | 9)c)

2

–22–2–4–6–8–10 4 6 8 10 12

xO

4

6

8

10

Q1 (–4,5|0)

Q2 (0|9)

y

Flächeninhalt des Dreiecks OQ1Q2:

A = 1 _ 2 ⋅ 4,5 ⋅ 9

A = 20,25Der Flächeninhalt des Dreiecks OQ1Q2 beträgt 20,25 FE.

4 Lineare Gleichungssysteme Seite 117

Seite 117

Einstieg

Æ Anzahl Monate

Kosten (in €)

Sport-Quadrat Fitness-Cube

0 30 € 70 €

1 65 € 95 €

2 100 € 120 €

3 135 € 145 €

4 170 € 170 €

5 205 € 195 €

6 240 € 220 €

7 275 € 245 €

8 310 € 270 €

Æ

50

1–1 2 3 4 5 6 7 8 9 10O

100

150

200

250

(4|170)

Fitness-Cube

Sport-Quadrat

Anzahl Monate

300Kosten (in €)

Æ Will man nur 1 bis 3 Monate trainieren, dann ist Sport-Quadrat günstiger. Bei 4 Monaten sind beide Anbieter gleich teuer. Ab 5 Monaten ist Fitness-Cube günstiger.

4 Lineare Gleichungssysteme Seite 118

Seite 118

1 a) (1) y = 5 x – 3 (2) y = 3 x + 1Gleichsetzen von (1) und (2):5 x – 3 = 3 x + 1 | – 3 x2 x – 3 = 1 | + 3 2 x = 4 |÷2 x = 2Einsetzen in (2):y = 3 ⋅ 2 + 1y = 7 Lösung: x = 2; y = 7Probe:(1) 7 = 5 ⋅ 2 – 3 (2) 7 = 3 ⋅ 2 + 1

7 = 7 7 = 7

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 118

b) (1) y = 3 x – 4 (2) y = 2 x + 1Gleichsetzen von (1) und (2):3 x – 4 = 2 x + 1 | – 2 x x – 4 = 1 | + 4 x = 5Einsetzen in (2): y = 2 ⋅ 5 + 1 y = 11 Lösung: x = 5; y = 11Probe:(1) 11 = 3 ⋅ 5 – 4 (2) 11 = 2 ⋅ 5 + 1

11 = 11 11 = 11c) (1) x = 3 y + 7 (2) x = – 3 – 2 yGleichsetzen von (1) und (2):3 y + 7 = – 3 – 2 y | + 2 y5 y + 7 = – 3 | – 7 5 y = – 10 |÷5 y = – 2Einsetzen in (1):x = 3 ⋅ (– 2) + 7x = 1 Lösung: x = 1; y = – 2Probe:(1) 1 = 3 ⋅ (– 2) + 7

1 = 1(2) 1 = – 3 – 2 ⋅ (– 2)

1 = 1d) (1) 2 y = 5 x + 3 (2) 2 y = 7 x – 3Gleichsetzen von (1) und (2):7 x – 3 = 5 x + 3 | – 5 x2 x – 3 = 3 | + 3 2 x = 6 |÷2 x = 3Einsetzen in (1): 2 y = 5 ⋅ 3 + 32 y = 18 |÷2 y = 9Lösung: x = 3; y = 9Probe:(1) 2 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 + 3

18 = 18(2) 2 ⋅ 9 = 7 ⋅ 3 – 3

18 = 18

2 a) (1) 5 x + y = 8 (2) y = 3 x Einsetzen von (2) in (1):5 x + 3 x = 8 8 x = 8 |÷8 x = 1

Einsetzen in (2):y = 3 ⋅ 1y = 3Lösung: x = 1; y = 3Probe:(1) 5 ⋅ 1 + 3 = 8 (2) 3 = 3 ⋅ 1 8 = 8 3 = 3b) (1) x + 2y = 49 (2) x = 3y + 14 Einsetzen von (2) in (1):(3 y + 14) + 2 y = 49 5 y + 14 = 49 | – 14 5 y = 35 |÷5 y = 7Einsetzen in (2):x = 3 ⋅ 7 + 14x = 35Lösung: x = 35; y = 7Probe:(1) 35 + 2 ⋅ 7 = 49 (2) 35 = 3 ⋅ 7 + 14 49 = 49 35 = 35c) (1) 3 y + x = 9 (2) x = y – 5 Einsetzen von (2) in (1):3 y + (y – 5) = 9 4 y – 5 = 9 | + 5 4 y = 14 |÷4 y = 3,5Einsetzen in (2):x = 3,5 – 5x = – 1,5Lösung: x = – 1,5; y = 3,5Probe:(1) 3 ⋅ 3,5 – 1,5 = 9 (2) – 1,5 = 3,5 – 5 9 = 9 – 1,5 = – 1,5d) (1) 3 x + 2 y = 4 (2) 2 y = 8 – x Einsetzen von (2) in (1): 3 x + (8 – x) = 4 2 x + 8 = 4 | – 8 2 x = – 4 |÷2 x = – 2Einsetzen in (2):2 y = 8 – (– 2)2 y = 10 |÷2 y = 5Lösung: x = – 2; y = 5Probe:(1) 3 ⋅ (– 2) + 2 ⋅ 5 = 4 4 = 4(2) 2 ⋅ 5 = 8 – (– 2) 10 = 10

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 118

3 a) (1) 4 x + 3 y = 13 (2) 5 x – 3 y = 23 Addieren von (1) und (2):4 x + 5 x = 13 + 23 9 x = 36 |÷9 x = 4Einsetzen in (1): 4 ⋅ 4 + 3 y = 13 | – 16 3 y = – 3 |÷3 y = – 1Lösung: x = 4; y = – 1Probe:(1) 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ (– 1) = 13 13 = 13(2) 5 ⋅ 4 – 3 ⋅ (– 1) = 23 23 = 23b) (1) 5 x + 6 y = 50 (2) 4 x – 3 y = 1 | ⋅ 2

(1) 5 x + 6 y = 50 (2ʹ ) 8 x – 6 y = 2Addieren von (1) und (2ʹ ):5 x + 8 x = 50 + 2 13 x = 52 |÷13 x = 4Einsetzen in (1):5 ⋅ 4 + 6 y = 50 | – 20 6 y = 30 |÷6 y = 5Lösung: x = 4; y = 5Probe:(1) 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 = 50 50 = 50(2) 4 ⋅ 4 – 3 ⋅ 5 = 1 1 = 1c) (1) 5 x + 2 y = 16 | ⋅ 3 (2) 8 x – 3 y = 7 | ⋅ 2

(1ʹ ) 15 x + 6 y = 48 (2ʹ ) 16 x – 6 y = 14Addieren von (1ʹ ) und (2ʹ ):15 x + 16 x = 48 + 14 31 x = 62 |÷31 x = 2Einsetzen in (1):5 ⋅ 2 + 2y = 16 | – 10 2 y = 6 |÷2 y = 3Lösung: x = 2; y = 3Probe:(1) 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 16 16 = 16(2) 8 ⋅ 2 – 3 ⋅ 3 = 7 7 = 7

d) (1) 5 x – 3 y = 14 | ⋅ 5 (2) 4 x – 5 y = 19 | ⋅ (– 3)

(1ʹ ). 25 x – 15 y = 70 ((Punkt löschen?)) (2ʹ ) – 12 x + 15 y = – 57Addieren von (1ʹ ) und (2ʹ ): 25 x – 12 x = 70 – 57 13 x = 13 |÷13 x = 1Einsetzen in (1):5 ⋅ 1 – 3 y = 14 | – 5 – 3 y = 9 |÷(– 3) y = – 3Lösung: x = 1; y = – 3Probe:(1) 5 ⋅ 1 – 3 ⋅ (– 3) = 14 14 = 14(2) 4 ⋅ 1 – 5 ⋅ (– 3) = 19 19 = 19

A a) (1) y = 3 x + 1 (2) y = 5 x – 3Lösung über Gleichsetzungsverfahren 3 x + 1 = 5 x − 3 | − 5 x − 1 − 2 x = − 4 |÷(− 2) x = 2 |÷(− 2)x = 2 in (1) einsetzen:y = 3 ⋅ 2 + 1y = 7Lösung: x = 2; y = 7b) (1) 2 x = 3 y –4 (2) y + 1 = xLösung über Einsetzungsverfahren(2) in (1) einsetzen: 2 (y + 1) = 3 y − 4 | Klammer auflösen 2 y + 2 = 3 y − 4 | − 2 y + 4 6 = y y = 6y = 6 in (2) einsetzen: 6 + 1 = x x = 7Lösung: x = 7; y = 6c) Lösung über Additionsverfahren(1) 6 x + 5 y = 29(2) 4 x − 5 y = 11(1) + (2) 10 x = 40 |÷10 x = 4x = 4 in (1) einsetzen: 6 ⋅ 4 + 5 y = 29 24 + 5 y = 29 | − 24 5 y = 5 |÷5 y = 1Lösung: x = 4; y = 1

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143

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 118

Seite 118, links

4 a) Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren(1) y = 3 x – 7(2) y = 7 x + 1Gleichsetzen von (1) und (2): 7 x + 1 = 3 x – 7 | – 3 x4 x + 1 = – 7 | – 1 4 x = – 8 |÷4 x = – 2Einsetzen in (2):y = 7 ⋅ (– 2) + 1y = – 13 Lösung: x = – 2; y = – 13b) Lösen mit dem Einsetzungsverfahren(1) 2 x – 3 y = 8(2) 2 x = 4 + yEinsetzen von (2) in (1):(4 + y) – 3 y = 8 | – 4 – 2 y = 4 |÷(– 2) y = – 2Einsetzen in (2):2 x = 4 + (– 2)2 x = 2 |÷2 x = 1Lösung: x = 1; y = – 2c) Lösen mit dem Additionsverfahren(1) 5 x + 7 y = – 9 | ⋅ 4(2) 3 x – 4 y = 11 | ⋅ 7

(1ʹ ) 20 x + 28 y = – 36(2ʹ ) 21 x – 28 y = 77Addieren von (1ʹ ) und (2ʹ ):20 x + 21 x = – 36 + 77 41 x = 41 |÷41 x = 1Einsetzen in (1):5 ⋅ 1 + 7 y = – 9 | – 5 7 y = – 14 |÷7 y = – 2Lösung: x = 1; y = – 2d) Lösen mit dem Additionsverfahren(1) 4 a + 3 b = 29 | ⋅ 4(2) 3 a – 4 b = 3 | ⋅ 3

(1ʹ ) 16 a + 12 b = 116(2ʹ ) 9 a – 12 b = 9Addieren von (1ʹ ) und (2ʹ ):16 a + 9 a = 116 + 9 25 a = 125 |÷25 a = 5Einsetzen in (1):4 ⋅ 5 + 3 b = 29 | – 20 3 b = 9 |÷3 b = 3Lösung: a = 5; b = 3

5 a) (1) 5 (x – 2 y) – (x + 3) = 23 (2) x – (y – 5) = 10

(1ʹ ) 5 x – 10y – x – 3 = 23(2ʹ ) x – y + 5 = 10

(1ʺ ) 4 x – 10 y = 26(2ʺ ) x = y + 5Einsetzen von (2ʺ ) in (1ʺ ):4 (y + 5) – 10 y = 264 y + 20 – 10 y = 26 | – 20 – 6 y = 6 |÷(– 6) y = – 1Einsetzen in (2ʺ ):x = – 1 + 5x = 4Lösung: x = 4; y = – 1

b) (1) 1 _ 3 a – 2 b = – 1 | ⋅ 3

(2) 2 a – b = 4 a – 7 | – 4 a

(1ʹ ) a – 6 b = – 3(2ʹ ) – 2 a – b = – 7 | ⋅ (– 6)

(1ʹ ) a – 6 b = – 3(2ʺ ) 12 a + 6 b = 42Addieren von (1ʹ ) und (2ʺ ):a + 12 a = – 3 + 42 13 a = 39 |÷13 a = 3Einsetzen in (1):

1 _ 3 ⋅ 3 – 2 b = – 1

1 – 2 b = – 1 | – 1 – 2 b = – 2 |÷(– 2) b = 1Lösung: a = 3; b = 1

6 a) x: Preis für einen Erwachsenen (in €)y: Preis für ein Kind (in €)Man erhält die Gleichungen:(1) 2 x + 3 y = 36(2) 3 x + 2 y = 39Lösen des Gleichungssystems mit dem Additions verfahren(1) 2 x + 3 y = 36 | ⋅ (– 2)(2) 3 x + 2 y = 39 | ⋅ 3

(1ʹ ) – 4 x – 6 y = – 72(2ʹ ) 9 x + 6 y = 117Addieren von (1ʹ ) und (2ʹ ):– 4 x + 9 x = – 72 + 117 5 x = 45 |÷5 x = 9Einsetzen in (2):3 ⋅ 9 + 2 y = 39 | – 27 2 y = 12 |÷2 y = 6Lösung: x = 9; y = 6

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

144

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 118

Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen kostet 9,00 €, der Eintrittspreis für ein Kind 6,00 €.

Seite 118, rechts

4 a) Schnittpunkt T (4 | 3,5) Lösung des Gleichungssystems:x = 4; y = 3,5

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

xO

2

3

T(4|3,5)4

5

6y

Rechnerische Überprüfung

(1) y = – 1 _ 2 x + 5,5

(2) y = 1 _ 2 x + 1,5

Addieren von (1) und (2):2 y = 5,5 + 1,52 y = 7 |÷2 y = 3,5Einsetzen in (2):

3,5 = 1 _ 2 x + 1,5 | – 1,5

2 = 1 _ 2 x | ⋅ 2

4 = xLösungen: x = 4; y = 3,5Also ist der Schnittpunkt der Geraden:S (4 | 3,5).b) Schnittpunkt T (– 6 | – 1)Lösung des Gleichungssystems:x = – 6; y = – 1

2

–2

–4

2–2

T(–6|–1)

–4–6–8–10–12–14 4 6 8

xO

4

6

8

10y

Rechnerische Überprüfung(1) y = 1,5 x + 8

(2) y = − 1 _ 3 x – 3

Gleichsetzen von (1) und (2)

1,5 x + 8 = − 1 _ 3 x – 3 | – 8

1,5 x = − 1 _ 3 x – 11 | ⋅ 3

4,5 x = – x – 33 | + x 5,5 x = – 33 |÷5,5 x = – 6Einsetzen in (1):y = 1,5 ⋅ (– 6) + 8y = – 1Lösung: x = – 6; y = – 1

5 a) Umformen der Gleichungen(1) 2 x + 3y = 9 | – 2 x(2) x – 2 = y

(1ʹ ) 3 y = – 2 x + 9 |÷3(2ʹ ) y = x – 2

(1ʺ ) y = − 2 _ 3 x + 3

(2ʹ ) y = x – 2 Die zugehörigen Geraden haben unterschiedli-che Steigungen daher gibt es einen gemeinsa-men Schnittpunkt.Das Gleichungssystem hat damit eine Lösung (die Lösung lautet: x = 3; y = 1).b) Vereinfachen der Gleichungen(1) 2 x – 8 y = 10 |÷2(2ʹ ) 2 y + 10 = 2 x – 6 y |÷2

(1ʹ ) x – 4 y = 5(2ʹ ) y + 5 = x – 3 y | – y

(1ʹ ) x – 4 y = 5(2ʺ ) 5 = x – 4 y | – yMan stellt fest, dass beide Gleichungen auf die gleiche Gleichung x – 4 y = 5 umgeformt werden können. Das heißt die Geraden fallen zusammen; das Gleichungssystem hat damit unendlich viele Lösungen.c) (1) x + y = 1(2) 2 y + 2 x = 4 |÷2

(1) x + y = 1 | – x(2ʹ ) x + y = 2 | – x

(1ʹ ) y = – x + 1(2ʺ ) y = – x + 2Die Geraden verlaufen parallel zu einander, ha-ben daher keinen Schnittpunkt. Das Gleichungs-system hat somit keine Lösung.d) (1) t = 5 s – 12(2) 10 s – 2 t = 24 |÷2

(1) t = 5 s – 12(2ʹ ) 5 s – t = 12 | + t – 12

(1) t = 5 s – 12(2ʺ ) 5 s – 12 = t

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

145

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 118 – 119

Beide Gleichungen können auf die Gleichung t = 5 s – 12 umgeformt werden. Das Gleichungs-system hat damit unendlich viele Lösungen.

6 x: Preis pro Kilogramm Lachs (in €);y: Preis pro Kilogramm Kabeljau (in €) Man erhält die Gleichungen:(1) 50 x + 60 y = 1900(2) 30 x + 40 y = 1200Lösen mit dem AdditionsverfahrenDivision durch 10 jeweils ergibt:(1ʹ ) 5 x + 6 y = 190 | ⋅ 2 (2ʹ ) 3 x + 4 y = 120 | ⋅ (– 3)

(1ʺ ) 10 x + 12 y = 380(2ʺ ) – 9 x – 12 y = – 360Addieren von (1ʺ ) und (2ʺ ):10 x – 9 x = 380 – 360 x = 20Einsetzen in (2ʹ ):3 ⋅ 20 + 4 y = 120 | – 60 4 y = 60 |÷4 y = 15Lösung: x = 20; y = 15Ein Kilogramm Lachs 20 €, ein Kilogramm Kabel-jau kostet 15 €.

7 a) Vereinfachen der Gleichungen

(1) 3 y − 7

_ 2 − 5 = x

(2) y − 6 = x + 3 _ 5 | ⋅ 5

(1ʹ ) 1,5 y – 3,5 – 5 = x(2ʹ ) 5 y – 30 = x + 3 | – 3

(1ʺ) 1,5 y – 8,5 = x(2ʺ) 5 y – 33 = xGleichsetzen von (1ʺ ) und (2ʺ ): 5 y – 33 = 1,5 y – 8,5 | – 1,5 y + 33 3,5 y = 24,5 |÷3,5 y = 7Einsetzen in (2ʺ )5 ⋅ 7 – 33 = x 2 = xLösung: x = 2; y = 7b) Vereinfachen der Gleichungen

(1) 1 _ 2 (x – 3) – 1 = y | ⋅ 2

(2) 2 x − 5 _ 3 − 10 y = 6 | ⋅ 3

(1ʹ ) x – 3 – 2 = 2 y | + 5(2ʹ ) 2 x – 5 – 30 y = 18 | + 5

(1ʺ ) x = 2 y + 5(2ʺ ) 2 x – 30 y = 23

Einsetzen von (1ʺ ) in (2ʺ ):2 (2 y + 5) – 30 y = 23 4 y + 10 – 30 y = 23 | – 10 – 26 y = 13 |÷(– 26)

y = – 1 _ 2

Einsetzen in (1ʺ ):

x = 2 ⋅ (– 1 _ 2 ) + 5

x = 4Lösung: x = 4; y = – 1 _ 2

c) Vereinfachen der Gleichungen

(1) u − 4 v _ 3 = 4 | ⋅ 3

(2) 3 (2 u + v) – 17 = u − 2 _ 2

(1ʹ ) u – 4 v = 12 | + 4v(2ʹ ) 6 u + 3 v – 17 = 0,5 u – 1 | + 17 – 0,5 u

(1ʺ ) u = 4 v + 12(2ʺ ) 5,5 u + 3 v = 16Einsetzen von (1ʺ ) in (2ʺ ):5,5 (4 v + 12) + 3 v = 16 22 v + 66 + 3 v = 16 | – 66 25 v = – 50 |÷25

v = – 1 _ 2

Einsetzen in (1ʺ ):

u = 4 ⋅ (– 1 _ 2 ) + 12

u = 10Lösung: u = 10; v = – 1 _ 2

5 Schnittpunkte. Nullstellen Seite 119

Seite 119

EinstiegIm ersten Druck des Schülerbuchs befindet sich ein Fehler: Die Gleichungen der beiden Parabeln sind vertauscht; richtig ist:

p1: y = − 1 _ 2 x2 + 8 und p2: y = x2 + 2.

Æ Die nach unten geöffnete Parabel p1 hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, (– 4 | 0) und (4 | 0). Die nach oben geöffnete Parabel p2 mit der Glei-chung y = x2 + 2 hat keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

Æ Die zwei Parabeln haben zwei gemeinsame Punkte miteinander; das sind die Punkte (2 | 6) und (– 2 | 6).

Æ • Ein gemeinsamer Schnittpunkt: p 2 ʹ : y = x2 + 8 (Der gemeinsame Schnittpunkt ist dann der Scheitelpunkt (0 | 8) beider Parabeln.)

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146

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 119 – 120

• Kein gemeinsamer Schnittpunkt: Damit dies erfüllt ist, muss die Parabel p2 noch weiter (als bei einem gemeinsamen Schnitt-punkt) nach oben geschoben werden. Mögli-che Lösungen:

p 2 ʺ : y = x2 + 9 oder p 2 ʺʹ : y = x2 + 10 Æ

2

–22–2–4–6–8–10–12 4 6 8 10

xO

4

6

8

10

12

y

Die Parabel p3 mit der Gleichung y = (x – 3)2 + 5 hat am Punkt (2 | 6) einen gemeinsamen Punkt sowohl mit der Parabel p1 als auch mit der Pa-rabel p2. Der gemeinsame Punkt mit p2 ist ein Berührpunkt.

5 Schnittpunkte. Nullstellen Seiten 120, 121

Seite 120

1 a) Schnittpunkt S (1 | 4)

1

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

xO

2

3

4

5y

b) Schnittpunkt S (3 | 5)

2

–2

–4

2–2–4–6–8–10–12 4 6 8 10

xO

4

6

8

10

12

y

2 a) p1: y = x2 + 2p2: y = x2 + 6 x + 8Gleichsetzen:x2 + 2 = x2 + 6 x + 8 | – x2

2 = 6 x + 8 | – 8 – 6 = 6 x |÷6 x = – 1Durch Einsetzen in p1 erhält man:y = (– 1)2 + 2y = 3Schnittpunkt: (– 1 | 3)b) p1: y = x2 – 10 x + 17p2: y = 2 x – 10Gleichsetzen: x2 – 10 x + 17 = 2 x – 10 | – 2 x + 10x2 – 12 x + 27 = 0

x1,2 = − (− 12 _ 2 ) ± √ _________

(− 12 _ 2 ) 2 − 27

x1,2 = 6 ± √ _

6 2 − 27 x1 = 6 + 3 = 9 und x2 = 6 – 3 = 3Durch Einsetzen in p2 erhält man:y1 = 2 ⋅ 9 – 10 = 8 y2 = 2 ⋅ 6 – 10 = – 4Schnittpunkte: P (9 | 8) und Q (3 | – 4)c) p1: y = (x + 3)2 – 5p2: y = (x – 1)2 + 3Gleichsetzen:(x + 3)2 – 5 = (x – 1)2 + 3x2 + 6 x + 4 = x2 – 2 x + 4 | – x2 – 4 6 x = – 2 x | + 2 x 8 x = 0 x = 0Durch Einsetzen in p1 erhält man:y = 32 – 5 = 4Schnittpunkt: P (0 | 4)d) p1: y = (x – 4)2 + 1p2: y = x – 1Gleichsetzen: (x – 4)2 + 1 = x – 1 x2 – 8 x + 17 = x – 1 | – x + 1 x2 – 9 x + 18 = 0

x1,2 = − (− 9 _ 2 ) ± √ ________

(− 9 _ 2 ) 2 − 18

x1,2 = 4,5 ± √ _

4, 5 2 − 18

x1 = 4,5 + 1,5 = 6 und x2 = 4,5 – 1,5 = 3Durch Einsetzen in p2 erhält man:y1 = 6 – 1 = 5 y2 = 3 – 1 = 2Schnittpunkte: P (6 | 5) und Q (3 | 2)

3 Zu Parabel p1: y = x2 + 2 x – 3 gehören die Null-stellen x5 = – 3 und x6 = 1.Zu Parabel p2: y = (x + 3)2 – 4 gehören die Null-stellen x7 = – 1 und x8 = – 5.

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 120

Zu Parabel p3: y = (x – 1)2 – 4 gehören die Null-stellen x1 = 3 und x2 = – 1.Zu Parabel p4: y = x2 + 4 x + 3 gehören die Null-stellen x3 = – 3 und x4 = – 1.

A a) Gleichsetzen: x 2 − 6 x + 8 = (x + 1) 2 − 1 x 2 − 6 x + 8 = x 2 + 2 x | − x 2 − 2 x − 8 − 8 x = − 8 |÷(− 8) x = 1Einsetzen in y = (x + 1) 2 − 1 ergibt:y = (1 + 1) 2 − 1y = 3Die Parabeln schneiden sich im Punkt P (1 |3).b) Gleichsetzen: x 2 − 4 x + 1 = 2 x − 4 | − 2 x + 4 x 2 − 6 x + 5 = 0

x 1,2 = − − 6 _ 2 ± √ _______

( − 6 _ 2 ) 2 − 5

x 1,2 = 3 ± √ _

4

x 1 = 3 + 2 = 5

x 2 = 3 − 2 = 1

Einsetzen in y = 2 x − 4 ergibt: y 1 = 2 ⋅ 5 − 4 = 6 y 2 = 2 ⋅ 1 − 4 = − 2

Die Graphen schneiden sich in den Punkten P (5 | 6) und Q (1 | − 2).

B a) x 2 − 1 = 0 | + 1 x 2 = 1 | √

_

x 1 = 1; x 2 = − 1

b) 1 _ 4 x 2 − 4 = 0 | ⋅ 4 x 2 − 16 = 0 | + 16 x 2 = 16 | √

_

x 1 = 4; x 2 = − 4c) x 2 + 10 x + 21 = 0

x 1, 2 = − 10 _ 2 ± √ _______

( 10 _ 2 ) 2 − 21

x 1 = − 5 + 2 = − 3 x 2 = − 5 − 2 = − 7Die Nullstellen sind: x 1 = – 3 und x 2 = – 7d) (x + 1) 2 − 9 = 0 | + 9 (x + 1) 2 = 9 | √

_

x + 1 = ± 3 | – 1 x 1 = 3 − 1 = 2 x 2 = − 3 − 1 = − 4Die Nullstellen sind: x 1 = 2 und x 2 = – 4

Seite 120, links

4 a) p1: y = x2 – x + 8p2: y = (x – 2)2 + 1Gleichsetzen:x2 – x + 8 = (x – 2)2 + 1 x2 – x + 8 = x2 – 4 x + 5 | – x2 – x + 8 = – 4 x + 5 | + 4 x – 8 3 x = – 3 |÷3 x = – 1Durch Einsetzen in p2 erhält man:y = (– 1 – 2)2 + 1 = 10Schnittpunkt: P (– 1 | 10)b) p1: y = (x – 5)2

p2: y = (x + 3)2 Gleichsetzen: (x – 5)2 = (x + 3)2

x2 – 10 x + 25 = x2 + 6 x + 9 | – x2 – 10 x + 25 = 6 x + 9 | + 10 x – 9 16 = 16 x |÷16 x = 1Durch Einsetzen in p1 erhält man:y = (1 – 5)2 = 16Schnittpunkt: P (1 | 16)c) p1: y = (x – 5)2 – 1p2: y = x2 + 4 x + 3Gleichsetzen: (x – 5)2 – 1 = x2 + 4 x + 3x2 – 10 x + 24 = x2 + 4 x + 3 | – x2 – 10 x + 24 = 4 x + 3 | + 10 x – 3 21 = 14 x |÷14 x = 1,5Durch Einsetzen in p1 erhält man:y = (1,5 – 5)2 – 1 = 11,25Schnittpunkt: P (1,5 | 11,25)d) p1: y = x2 – 4 x – 4p2: y = x2 – x + 8Gleichsetzen: x2 – x + 8 = x2 – 4 x – 4 | – x2 – x + 8 = – 4 x – 4 | + 4 x – 8 3 x = – 12 |÷3 x = – 4Durch Einsetzen in p2 erhält man:y = (– 4)2 – (– 4) + 8 = 28Schnittpunkt: P (– 4 | 28)

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 120 – 121

148

Seite 120, rechts

4 a) Die Graphen schneiden sich.

–2

–4

–6

–8

–2–4–6–8

2

4

6

8

10

12

2 4 6 8 10 12 14

xO

y

p: y = (x − 5)2 − 4

g: y = 2x − 6

b) Die Graphen schneiden sich nicht.

–2

–4

–2–4–6–8

2

4

6

8

10

12

14

16

2 4 6 8 10 12 14

xO

y

p1

p2

c) Die Graphen schneiden sich nicht.

2

–2

–4

2–2–4–6–8–10–12 4 6 8 10

xO

4

6

8

10

12y

p1

p2

Seite 121, links

5 a) Nullstellen: x1 = 1; x2 = 5

–1

1

–2

–3

–4

1–1–2–3 2 3 4 5 6 7 8

xO

y

Rechnung:0 = x2 – 6 x + 5

x1, 2 = − (− 6 _ 2 ) ± √ _______

(− 6 _ 2 ) 2 − 5

x1, 2 = 3 ± √ _

3 2 − 5 x1 = 1 und x2 = 5b) Nullstellen: x1 = – 2; x2 = – 4

1

–11–1–2–3–4–5–6–7–8–9 2

xO

2

3y

Rechnung:0 = x2 + 6 x + 8

x1, 2 = − 6 _ 2 ± √ ______

( 6 _ 2 ) 2 − 8

x1, 2 = – 3 ± √ _

3 2 − 8 x1 = – 2 und x2 = – 4c) Nullstellen: x1 = 2; x2 = – 4

4

6

8

2

10

–2

–4

–6

–8

–10

4 6 82 10–2–4–6–8–10–12

xO

y

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149

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 121

Rechnung:0 = x2 + 2 x – 8

x1, 2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (− 8)

x1, 2 = – 1 ± √ _

9 x1 = 2 und x2 = – 4d) Nullstellen: x1 = 6; x2 = 8

1

–11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

xO

2

3y

Rechnung:0 = x2 – 14 x + 48

x1, 2 = − (− 14 _ 2 ) ± √ _________

(− 14 _ 2 ) 2 − 48

x1, 2 = 7 ± √ _

7 2 − 48 x1 = 6 und x2 = 8

6 a) p1: y = 1 _ 2 x2 + 5

p2: y = x2 – x + 1Gleichsetzen:

x2 – x + 1 = 1 _ 2 x2 + 5 | – 1 _ 2 x2 – 5

1 _ 2 x2 – x – 4 = 0 | ⋅ 2

x2 – 2 x – 8 = 0

x1, 2 = − (− 2 _ 2 ) ± √ _________

(− 2 _ 2 ) 2 − (− 8)

x1, 2 = 1 ± √ _

9 x1 = 4 und x2 = – 2Durch Einsetzen in p1 erhält man:

y1 = 1 _ 2 ⋅ 42 + 5 y2 = 1 _ 2 ⋅ (– 2)2 + 5

y1 = 13 y2 = 7

Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (4 | 13) und Q (– 2 | 7)b) p1: y = 2 x2 – 7p2: y = x2 – 4 x + 5Gleichsetzen: 2 x2 – 7 = x2 – 4 x + 5 | – x2 + 4 x – 5x2 + 4 x – 12 = 0

x1, 2 = − 4 _ 2 ± √ _________

( 4 _ 2 ) 2 − (− 12)

x1,2 = – 2 ± √ _

2 2 + 12 x1 = 2 und x2 = – 6Durch Einsetzen in p1 erhält man:y1 = 2 ⋅ 22 – 7 y2 = 2 ⋅ (– 6)2 – 7y1 = 1 y2 = 65Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (2 | 1) und Q (– 6 | 65)

c) p1: y = 1 _ 2 x2 – 1

p2: y = – 1 _ 4 x2 + 2

Gleichsetzen:

1 _ 2 x2 – 1 = – 1 _ 4 x2 + 2 | + 1 _ 4 x2 + 1

3 _ 4 x2 = 3 |÷3 | ⋅ 4

x2 = 4 | ± √ _

x1 = 2 und x2 = – 2Durch Einsetzen in p1 erhält man:

y1 = 1 _ 2 ⋅ 22 – 1 y2 = 1 _ 2 ⋅ (– 2)2 – 1

y1 = 1 y2 = 1Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (2 | 1) und Q (– 2 | 1).d) p1: y = – 2 x2 + 4p2: y = x2 + 6 x – 5Gleichsetzen: x2 + 6 x – 5 = – 2 x2 + 4 | + 2 x2 – 43 x2 + 6 x – 9 = 0 |÷3 x2 + 2 x – 3 = 0

x1,2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (− 3)

x1,2 = – 1 ± √ _

4 x1 = 1 und x2 = – 3Durch Einsetzen in p1 erhält man:y1 = – 2 ⋅ 12 + 4 y2 = – 2 ⋅ (– 3)2 + 4y1 = 2 y2 = – 14Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (1 | 2) und Q (– 3 | – 14).

7 Funktionsgleichung von g: y = 2 x + 4Funktionsgleichung von p bestimmenS (0 | – 2) also y = a x2 – 2Einsetzen von (2 | 0) in die Funktionsgleichung:0 = a ⋅ 22 – 2 | + 22 = 4 a |÷4

a = 1 _ 2

Funktionsgleichung von p: y = 1 _ 2 x2 – 2Schnittpunkte berechnen 1 _ 2 x2 – 2 = 2 x + 4 | – 2 x – 4

1 _ 2 x2 – 2 x – 6 = 0 | ⋅ 2

x2 – 4 x – 12 = 0

x1, 2 = − (− 4 _ 2 ) ± √ __________

(− 4 _ 2 ) 2 − (− 12)

x1, 2 = 2 ± √ _

16 x1 = 6 und x2 = – 2Durch Einsetzen in g erhält man:y1 = 2 ⋅ 6 + 4 y2 = 2 ⋅ (– 2) + 4y1 = 16 y2 = 0Die Schnittpunkte lauten also:(6 | 16) und (– 2 | 0).Der nicht gezeichnete Schnittpunkt ist somit (6 | 16).

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

150

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 121

8 a) Die Parabeln haben keine gemeinsamen Punkte. Denn p1 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | – 5) und p2 ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | 5).b) Die Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt, ihren Scheitelpunkt (0 | 1). Denn p1 ist nach oben geöffnet mit Scheitelpunkt (0 | 1) und p2 ist nach unten geöffnet mit Scheitelpunkt (0 | 1).c) Die Parabeln haben keine gemeinsamen Punkte. Denn p1 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | 4) und p2 ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | 5).d) Die Parabeln haben zwei gemeinsame Punk-te. Denn beide Parabeln sind nach oben geöff-net und liegen symmetrisch zur y-Achse. Die schmalere Parabel p1 liegt tiefer (Scheitelpunkt (0 | – 3)) , die breitere Parabel p2 hat den Scheitel-punkt höher, bei (0 | 3). So schneiden sie sich an zwei (symmetrisch zu y-Achse liegenden) Punk-ten.

9 a) Die Parabel p1 ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Scheitelpunkt berechneny = x2 + 8 x + 18

y = x2 + 8 x + ( 8 _ 2 ) 2 + 18 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x + 4)2 + 2Scheitelpunkt: S (– 4 | 2)Jede nach unten geöffnete Normalparabel, deren Scheitelpunkt „tiefer“ liegt, hat keine gemeinsamen Punkte mit p1.Mögliche Lösung: p2: y = – x2 p3: y = – x2 + 1p4: y = – (x + 4)2 + 1 …b) Mögliche Lösung:g1: y = x g2: y = 2 x + 1

Seite 121, rechts

5 p1: y = (x – 4)2 – 1Die zugehörige Funktion hat zwei Nullstellen. Denn p1 hat den Scheitelpunkt (4 | – 1), der un-terhalb der x-Achse liegt, und ist nach oben ge-öffnet. Damit schneidet sie die x-Achse an zwei Stellen.p2: y = (x + 1)2 + 1Die zugehörige Funktion hat keine Nullstellen. Denn p2 ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt (– 1 | 1), der oberhalb der x-Achse liegt. Damit liegt sie komplett oberhalb der x-Achse, kann diese also nicht schneiden.

p3: y = 1 _ 2 x2 – 4,5

Die zugehörige Funktion hat zwei Nullstel-len. Denn p3 ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | – 4,5), der unterhalb der x-Achse liegt. Damit schneidet sie die x-Achse an zwei Stellen.

p4: y = – 1 _ 4 x2 – 4

Die zugehörige Funktion hat keine Nullstellen. Denn p4 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt (0 | – 4), der unterhalb der x-Achse liegt. Damit liegt sie komplett unterhalb der x-Achse, kann diese also nicht schneiden.

6 a) p1: y = 1,01 x2 p2: y = x2 + 100Gleichsetzen: 1,01 x2 = x2 + 100 | – x2 0,01 x2 = 100 |÷0,01 x2 = 10 000 | ± √

_

x1 = 100 und x2 = – 100Durch Einsetzen in p1 erhält man:y1 = 1,01 ⋅ 1002 y2 = 1,01 ⋅ (– 100)2

y1 = 10 100 y2 = 10 100Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (100 | 10 100) und Q (– 100 | 10 100).b) p1: y = 0,99 x2

p2: y = 1,01 x2 – 2Gleichsetzen: 1,01 x2 – 2 = 0,99 x2 | – 0,99 x2 + 2 0,02 x2 = 2 |÷0,02 x2 = 100 | ± √

_

x1 = 10 und x2 = – 10Durch Einsetzen in p1 erhält man:y1 = 0,99 ⋅ 102 y2 = 0,99 ⋅ (– 10)2

y1 = 99 y2 = 99Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (10 | 99) und Q (– 10 | 99).

c) p1: y = 1 _ 100 x2 + 100

p2: y = 1 _ 50 x2

Gleichsetzen:

1 _ 50 x2 = 1 _ 100 x2 + 100 | – 1 _ 100 x2

1 _ 100 x2 = 100 | ⋅ 100

x2 = 10 000 | ± √ _

x1 = 100 und x2 = – 100Durch Einsetzen in p2 erhält man:

y1 = 1 _ 50 ⋅ 1002 y2 = 1 _ 50 ⋅ (– 100)2

y1 = 200 y2 = 200Die Schnittpunkte der Parabeln sind: P (100 | 200) und Q (– 100 | 200).

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

151

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 121 – 122

7 a) 0 = x2 – 4 x – 1

x1, 2 = − (− 4 _ 2 ) ± √ _________

(− 4 _ 2 ) 2 − (− 1)

x1, 2 = 2 ± √ _

5 x1 ≈ 4,24 und x2 ≈ – 0,24b) 0 = x2 + 2 x – 5

x1, 2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (− 5)

x1, 2 = – 1 ± √ _

6 x1 ≈ 1,45 und x2 ≈ – 3,45c) y = (x – 3)2 – 6Normalform: y = x2 – 6 x + 3Nullstellen berechnen0 = x2 – 6 x + 3

x1, 2 = − (− 6 _ 2 ) ± √ _______

(− 6 _ 2 ) 2 − 3

x1, 2 = 3 ± √ _

6 x1 ≈ 5,45 und x2 ≈ 0,55d) y = – 1 _ 2 x2 + 1

0 = – 1 _ 2 x2 + 1 | + 1 _ 2 x2

1 _ 2 x2 = 1 | ⋅ 2

x2 = 2 | ± √ _

x1 = √

_ 2 ≈ 1,41

x2 = – √ _

2 ≈ – 1,41

8 a) Die zweite Nullstelle x2 liegt im Bereich 2 < x2 < 3.b) 1. Nullstelle: – 1 < x1 < 0 – 0,8 < x1 < – 0,4 – 0,42 < x1 < – 0,41– 0,415 < x1 < – 0,414…2. Nullstelle: 2 < x2 < 3 2,4 < x2 < 2,5 2,41 < x2 < 2,422,414 < x2 < 2,415…

9 Funktionsgleichung von p bestimmenS (– 4 | 0) also y = a (x + 4)2

Koordinaten von P (– 3 | 1) in die Funktions-gleichung einsetzen:1 = a ⋅ (– 3 + 4)2

1 = aFunktionsgleichung von p: y = (x + 4)2

Funktionsgleichung von g: y = – 0,5 x + 3

Schnittpunkte von p und g bestimmen (x + 4)2 = – 0,5 x + 3 x2 + 8 x + 16 = – 0,5 x + 3 | + 0,5 x – 3x2 + 8,5 x + 13 = 0

x1, 2 = − 8,5

_ 2 ± √ ________

( 8,5

_ 2 ) 2 − 13

x1, 2 = − 4,25 ± √ _

5,0625 x1, 2 = – 4,25 ± 2,25Man erhält:x1 = – 2; x2 = – 6,5Einsetzen der x-Werte in g:y1 = – 0,5 ⋅ (– 2) + 3 y2 = – 0,5 ⋅ (– 6,5) + 3y1 = 4 y2 = 6,25Die Schnittpunkte von g und p lauten demnach:A (– 2 | 4) und B (– 6,5 | 6,25)Berechnung der Entfernung d von A und B mit dem Satz des Pythagoras:

d = √ _____________________

(6,25 − 4) 2 + (– 6,5 – (– 2) ) 2

d = √ ___________

2, 25 2 + 4, 5 2 d ≈ 5,03Die Entfernung beträgt etwa 5,03 LE.Anmerkung: Skizzieren der Graphen kann hilfreich sein.

EXTRA: Quadratische Gleichungen grafisch lösen Seite 122

Seite 122

1 a) (1) zugehörige Funktionsgleichung: y = x2 – 4(2) Die Funktion ist in Scheitelform (S (0 | – 4)) (3) Parabel zeichnen

1

2

–1

–2

–3

–4

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

y

(4) x-Werte der Schnittpunkte mit der x-Achse ablesen: x1 = – 2; x2 = 2b) (1) zugehörige Funktionsgleichung: y = (x – 3)2 – 4(2) Die Funktion ist in Scheitelform (S (3 | – 4)) (3) Parabel zeichnen

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 122

1

2

–1–1–2–3–4

–2

–3

–4

1 2 3 4 5 6 7

xO

y

(4) x1 = 1; x2 = 5c) (1) zugehörige Funktionsgleichung: y = – x2 + 1(2) Die Funktion ist in Scheitelform (S (1 | 1))(3) Parabel zeichnen

2

1

–2 –1–4 –3–5–6–1

1 2 3 54

xO

y

(4) x1 = – 1; x2 = 1d) (1) zugehörige Funktionsgleichung: y = (x – 2,5)2 – 9(2) Die Funktion ist in Scheitelform (S (2,5 | – 9)) (3) Parabel zeichnen

2

4

6

–2–4–6–8–10–12

–4

–6

–8

–22 4 6 8 10

xO

y

(4) x1 = – 0,5; x2 = 5,5

2 a) (1) zugehörige Funktionsgleichung: y = x2 + 2 x – 8(2) Umformen in Scheitelform y = (x + 1)2 – 9(3) Parabel zeichnen

2

–2

–4

–6

–8

4

6

–2–4–6–8–10–12 2 4 6 8 10

xO

y

(4) x1 = – 4; x2 = 2b) Umformen der Gleichung: 3 x2 + 18 x = – 15 | + 153x2 + 18 x + 15 = 0 |÷3 x2 + 6 x + 5 = 0(1) zugehörige Funktionsgleichung: y = x2 + 6 x + 5(2) Umformen in Scheitelform y = (x + 3)2 – 4(3) Parabel zeichnen

–1–1–2–3

1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5 6 7 8

xO

y

(4) x1 = 1; x2 = 5c) Umformen der Gleichung:6 x – 1 = 4 + x2 | – 6 x + 1 0 = x2 – 6 x + 5(1) zugehörige Funktionsgleichung: y = x2 – 6 x + 5(2) Umformen in Scheitelform y = (x – 3)2 – 4(3) Parabel zeichnen

–1–1–2–3–4–5–6–7–8

1

–2

–3

–4

1 2 3

xO

y

(4) x1 = – 1; x2 = – 5d) Umformen der Gleichung: 2 x (x – 1) = 6 (1 – x) 2 x2 – 2 x = 6 – 6 x | + 6 x – 62 x2 + 4 x – 6 = 0 |÷2 x2 + 2 x – 3 = 0

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 122

(1) zugehörige Funktionsgleichung: y = x2 + 2 x – 3(2) Umformen in Scheitelform y = (x + 1)2 – 4(3) Parabel zeichnen

–1–1–2–3–4–5–6–7

1

–2

–3

–4

1 2 3 4

xO

y

(4) x1 = 1; x2 = – 3

3 a) (1) Umgeformt in die quadratische Gleichung x2 = – 2 x + 3(2) Aufstellen der zugehörigenFunktionsgleichungen y = x2 und y = – 2 x + 3 (3) Normalparabel und Gerade zeichnen

–2–1–2–3–4–5–6

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

xO

y

(4) x-Werte der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x1 = 1; x2 = – 3b) x2 + 1,5 x – 1 = 0(1) Umformen in die quadratische Gleichung x2 = – 1,5 x + 1(2) Aufstellen der zugehörigen Funktions-gleichungen y = x2 und y = – 1,5 x + 1 (3) Normalparabel und Gerade zeichnen

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

(4) x-Werte der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x1 = 0,5; x2 = – 2

c) x2 – 1 _ 2 x – 3 = 0

(1) Umformen in die quadratische Gleichung

x2 = 1 _ 2 x + 3

(2) Aufstellen der zugehörigen Funktions-

gleichungen y = x2 und y = 1 _ 2 x + 3

(3) Normalparabel und Gerade zeichnen

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

(4) x-Werte der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x1 = 2; x2 = – 1,5

d) – 1 _ 4 x = 3 _ 4 – x2

(1) Umformen in die quadratische Gleichung

x2 = 1 _ 4 x + 3 _ 4

(2) Aufstellen der zugehörigen Funktions-

gleichungen y = x2 und y = 1 _ 4 x + 3 _ 4

(3) Normalparabel und Gerade zeichnen

1

–11–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

(4) x-Werte der Schnittpunkte von Parabel und

Gerade ablesen: x1 = 1; x2 = – 3 _ 4

4 a) x2 = 2 x + 15Hier ist das grafische Verfahren (Normalparabel und Gerade zeichnen) nicht vorteilhaft, weil der konstante Faktor bei der Geraden ziemlich groß ist. Das macht eine große Zeichnung erforderlich (bzw. eine Zeichnung in kleinerem Maßstab, wo die x-Werte nicht mehr genau abgelesen werden können).b) x2 – 4 x + 5 = 0Umformen in x2 = 4 x – 5Die Zeichnung sollte mithilfe der Normalpara-bel y = x2 und der Geraden y = 4 x – 5. Diese schneiden sich allerdings nicht. (D. h. die Glei-chung hat keine Lösungen.) Je nach Maßstab der Zeichnung ist aber der Sachverhalt nicht gut zu erkennen.

c) x2 = – 1 _ 2 x – 3

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 122 – 123

Die Normalparabel und die Gerade y = – 1 _ 2 x – 3

haben hier auch keine gemeinsamen Punkte. (Das bedeutet, dass die Gleichung keine Lösun-gen hat; dies ist aber über die Diskriminante schneller zu erkennen.)d) – x2 + 5 = – 2 x + 6Umformen der Gleichung: – x2 + 5 = – 2 x + 6 | + 2 x – 6– x2 + 2 x – 1 = 0 | + x2

2 x – 1 = x2

Die Gerade y = 2 x – 1 und die Normalparabel y = x2 berühren sich am Punkt (1 | 1); dieser ist ihr gemeinsamer Schnittpunkt. Der x-Wert des Schnittpunkts lautet also x = 1. Hier ist es allerdings viel einfacher, nach dem Vereinfachen die Gleichung – x2 + 2 x – 1 = 0 bzw. x2 – 2 x + 1 = 0 zu betrachten. Nach der 2. binomischen Formel kann diese in folgende Form gebracht werden: (x – 1)2 = 0 Nun kann man sofort erkennen, dass die Gleichung die (einzige) Lösung x = 1 hat.

5 a) Die Funktionsgleichungen lauten:p1: y = x2 – 1

p2: y = 1 _ 2 x2 – 1 _ 2

p3: y = 2 x2 – 2p4: y = – x2 + 1p5: y = – 2 x2 + 2Die allgemeine Form der Funktionsgleichungen ist: y = a x2 – a bzw. y = a (x2 – 1)(a ist dabei eine beliebige Zahl.)b) Mögliche Lösungen:p6: y = – 3 x2 + 3p7: y = 0,2 x2 – 0,2 p8: y = 110 x2 – 110

EXTRA: Quadratische Ungleichungen Seite 123

Seite 123

Einstieg Æ (2 | 0) und (– 2 | 0) Æ Die Punkte auf dem Graphen, deren y-Wert ne-

gativ ist, liegen unterhalb der x-Achse. Deren x-Werte liegen zwischen den beiden Nullstellen – 2 und 2; für die x-Werte der Punkte gilt also: – 2 < x < 2.

Æ Parabelpunkte, die einen positiven y-Wert ha-ben, liegen oberhalb der x-Achse. Deren x-Werte sind kleiner als – 2 oder größer als 2; sie liegen also außerhalb des Intervalls [– 2; 2].

1 Die Lösungen liegen jeweils innerhalb des mar-kierten Bereichs.a)

–1–1–2–3–4–5–6

1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5

xO

y

Individuelle Überprüfung, z. B. für x = 1; 1,5; – 1; …b)

–1–1–2–3–4–5–6

1

2

3

4

1 2 3 4 5

xO

y

Individuelle Überprüfung, z. B. für x = 0; 0,5; – 0,5c)

–2–1–2–3–4–5–6

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

xO

y

Individuelle Überprüfung, z. B. für x = 1; 2; 3; – 2; …d)

–2

–4

–6

–8

–2–4–6–8–10–12

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

xO

y

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 123

Individuelle Überprüfung, z. B. für x = 1; 2; 3; – 2; …

2 a) x2 – 2 x – 3 < 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung x2 – 2 x – 3 = 0:

x1, 2 = − (− 2 _ 2 ) ± √ _________

(− 2 _ 2 ) 2 − (− 3)

x1, 2 = 1 ± √ _

4 x1 = 3; x2 = – 1Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = x2 – 2 x – 3.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = x2 – 2 x – 3(3) Man stellt fest, dass im Bereich zwischen – 1 und 3 (also für alle x mit – 1 < x < 3) die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen im Bereich – 1 < x < 3.b) x2 + 4 x + 3 > 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung x2 + 4 x + 3 = 0

x1, 2 = − 4 _ 2 ± √ ______

( 4 _ 2 ) 2 − 3

x1, 2 = – 2 ± 1x1 = – 1; x2 = – 3Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = x2 + 4 x + 3.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = x2 + 4 x + 3.(3) Man stellt fest, dass für alle Zahlen x, die größer als – 1 bzw. kleiner als – 3 sind, die Para-bel oberhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit x > – 1 und x < – 3. c) x2 – 8 x + 12 < 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung x2 – 8 x + 12 < 0

x1, 2 = − (− 8 _ 2 ) ± √ ________

(− 8 _ 2 ) 2 − 12

x1, 2 = 4 ± √ _

4 x1 = 2; x2 = 6Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = x2 – 8 x + 12.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = x2 – 8 x + 12(3) Man stellt fest, dass für Zahlen, die im Be-reich 2 < x < 6 liegen, die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit 2 < x < 6.

d) x2 + 6 x + 8 > 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung x2 + 6 x + 8 = 0

x1, 2 = − 6 _ 2 ± √ ______

( 6 _ 2 ) 2 − 8

x1, 2 = – 3 ± 1x1 = – 4; x2 = – 2Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = x2 + 6 x + 8.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = x2 + 6 x + 8.(3) Man stellt fest, dass für alle Zahlen x, die größer als – 2 bzw. kleiner als – 4 sind, die Para-bel oberhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit x > – 2 und x < – 4.

3 a) 2 x2 – 4 x – 16 < 0 (1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung 2 x2 – 4 x – 16 = 0

x1, 2 = − (− 4) ± √ _______________

(– 4) 2 − 4 · 2 · (– 16) _____ 2 · 2

x1, 2 = 4 ± √ _

16 + 128 ___ 4

x1, 2 = 4 ± 12 _ 4

x1 = 4; x2 = – 2

Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = 2 x2 – 4 x – 16.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = 2 x2 – 4 x – 16.(3) Man stellt fest, dass für Zahlen, die im Be-reich – 2 < x < 4 liegen, die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit – 2 < x < 4.

b) 1 _ 2 x2 + 2 x + 3 _ 2 < 0

(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung

1 _ 2 x2 + 2 x + 3 _ 2 = 0

x1, 2 = − 2 ± √ _

2 2 − 4 · 1 _ 2 ⋅ 3 _ 2 ____

2 · 1 _ 2

x1, 2 = − 2 ± √ _

2 2 − 3 x1, 2 = – 2 ± 1x1 = – 1; x2 = – 3Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-

tischen Funktion y = 1 _ 2 x2 + 2 x + 3 _ 2 .

(2) Skizzieren des Graphen der Funktion

y = 1 _ 2 x2 + 2 x + 3 _ 2

(3) Man stellt fest, dass im Bereich zwischen – 3 und – 1 (also für alle x mit – 3 < x < – 1) die Pa-rabel unterhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen im Bereich – 3 < x < – 1.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 123 – 124

c) 3 x2 + 3 x – 18 > 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung 3 x2 + 3 x – 18 = 0

x1, 2 = – 3 ± √ _____________

3 2 − 4 · 3 · (– 18) ____ 2 · 3

x1, 2 = – 3 ± √ _

9 + 216 ___ 6

x1, 2 = – 3 ± 15 _ 6

x1 = 2; x2 = – 3Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = 3 x2 + 3 x – 18.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = 3 x2 + 3 x – 18 (3) Man stellt fest, dass für Zahlen größer als 2 und kleiner als – 3 die Parabel oberhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit x > 2 und x < – 3.d) 4 x2 + 4 x – 3 < 0(1) Bestimmen der Lösungen der Gleichung 4 x2 + 4 x – 3 = 0

x1, 2 = – 4 ± √ ____________

4 2 − 4 · 4 · (– 3) ____ 2 · 4

x1, 2 = – 4 ± √ _

16 + 48 ___ 8

x1, 2 = – 4 ± 8 _ 8

x1 = 0,5; x2 = – 1,5Das sind die Nullstellen der zugehörigen quadra-tischen Funktion y = 4 x2 + 4 x – 3.(2) Skizzieren des Graphen der Funktiony = 4 x2 + 4 x – 3.(3) Man stellt fest, dass für Zahlen aus dem Be-reich – 1,5 < x < 0,5 die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft.(4) Lösungen der Ungleichung sind alle Zahlen x mit – 1,5 < x < 0,5.

4

–1–2–3–4–5–6–7–8

1

2

3

4

5

1 2 3

xO

y

Pia hat recht. Wie man aus dem Schaubild er-kennt der zugehörigen Funktion y = x2 + 4 x + 5 erkennt, liegt der gesamte Graph oberhalb der x-Achse. Das bedeutet, dass für alle Zahlen x, die man in die Funktion einsetzt, man nur positive Ergebnisse erhalten kann. Damit hat die Ungleichung x2 + 4 x + 5 < 0 keine Lö-sungen.

Paul hat ebenfalls recht. Wenn man das Größer-Zeichen verwendet, so erhält man die Unglei-chung x2 + 4 x + 5 > 0.Für diese Ungleichung sind alle Zahlen Lösun-gen, da der Graph der zugehörigen Funktion oberhalb der x-Achse liegt.

5 • Oberes Schaubild: Funktionsgleichung bestimmen Scheitelpunkt: S (2 | – 1) Es handelt sich um eine Normalparabel (Über-prüfen durch Kästchenzählen oder durch Ein-setzen der Koordinaten der Nullstellen). Funktionsgleichung: y = (x – 2)2 – 1 y = x2 – 4 x + 3 Zugehörige Gleichung: x2 – 4 x + 3 = 0 Da der Bereich zwischen der Nullstellen mar-kiert ist (der unterhalb der x-Achse liegt) lautet die Ungleichung: x2 – 4 x + 3 < 0

• Unteres Schaubild Funktionsgleichung bestimmen Scheitelpunkt: S (– 4 | – 2) ⇒ y = a (x + 4)2 – 2 Einsetzen der Koordinaten von (– 2 | 0) in die Funktionsgleichung: 0 = a (– 2 + 4)2 – 2 0 = 4 a – 2

a = 1 _ 2

Funktionsgleichung:

y = 1 _ 2 (x + 4)2 – 2

y = 1 _ 2 x2 + 4 x + 6

Zugehörige Gleichung:

1 _ 2 x2 + 4 x + 6 = 0

Da der Bereich der Zahlen markiert ist, die größer bzw. kleiner als beide Nullstellen sind (und der oberhalb der x-Achse liegt) lautet die

Ungleichung: 1 _ 2 x2 + 4 x + 6 > 0.

6 Funktionsgleichungen aufstellen Seiten 124, 125

Seite 124

Einstieg Æ Der Scheitel der blauen Schablone bleibt beim

Punkt (– 6 | – 1) liegen.Die Funktionsgleichung lautet:y = (x + 6)2 – 1

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 124 – 125

Æ Mögliches Vorgehen:Es handelt sich um eine Normalparabel, daher lautet die allgemeine Funktionsgleichung:y = x2 + p x + qp und q werden durch Einsetzen der Koordina-ten der Punkte (5 | 4) und (2 | 1) bestimmt.Durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte Q1 (2 | 1) und Q2 (5 | 4) erhält man:(1) 1 = 22 + 2 p + q (2) 4 = 52 + 5 p + qLösen der Gleichungssystems(1ʹ ) 2 p + q = – 3(2ʹ ) 5 p + q = – 21

(2ʹ ) – (1ʹ ) 3 p = – 18 |÷3 p = – 6Einsetzen in (1ʹ ):2 ⋅ (– 6) + q = – 3 | + 12 q = 9Funktionsgleichung: y = x2 – 6 x + 9Scheitelform: y = (x – 3)2

Der Scheitelpunkt lautet: S (3 | 0) Æ Individuelle Lösungen

Eine mögliche Schwierigkeit ist, die Parabel wirklich gerade anzulegen, sodass die Spiegel-achse parallel zur y-Achse liegt. Das ist insbe-sondere dann schwierig, wenn die beiden Punk-te nicht dieselbe y-Koordinate haben.

1 a) y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (5 | 8): (1) 8 = 52 + 5 b + cQ (2 | 5): (2) 5 = 22 + 2 b + c | ⋅ (– 1)

(1ʹ ) 8 = 25 + 5 b + c(2ʹ ) – 5 = – 4 – 2 b – c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 3 = 21 + 3 b | – 21 – 18 = 3 b |÷3(3) – 6 = bEinsetzen von (3) in (1ʹ ):8 = 25 + 5 ⋅ (– 6) + c8 = – 5 + c | + 5c = 13Die Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 – 6 x + 13.b) y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (1 | 15): (1) 15 = 12 + b + c | ⋅ (– 1)Q (7 | 3): (2) 3 = 72 + 7 b + c

(1ʹ ) – 15 = – 1 – b – c(2ʹ ) 3 = 49 + 7 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) – 12 = 48 + 6 b | – 48 – 60 = 6 b |÷6(3) – 10 = b

Einsetzen von (3) in (1):15 = 1 + (– 10) + c15 = – 9 + c | + 924 = cDie Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 – 10 x + 24.c) y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (1 | 6): (1) 6 = 12 + b + c | ⋅ (–1)Q (– 3 | – 2): (2) – 2 = (– 3)2 – 3 b + c

(1ʹ ) – 6 = – 1 – b – c(2ʹ ) – 2 = 9 – 3 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) – 8 = 8 – 4 b | – 8 – 16 = – 4 b |÷(– 4)(3) 4 = bEinsetzen von (3) in (1):6 = 1 + 4 + c1 = cDie Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 + 4 x + 1.d) y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (– 2 | 6): (1) 6 = (– 2)2 – 2 b + c | ⋅ (– 1)Q (– 5 | 3): (2) 3 = (– 5)2 – 5 b + c

(1ʹ ) – 6 = – 4 + 2 b – c(2ʹ ) 3 = 25 – 5 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) – 3 = 21 – 3 b | – 21 – 24 = – 3 b |÷(– 3)(3) 8 = bEinsetzen von (3) in (2ʹ ): 3 = 25 – 5 ⋅ 8 + c 3 = – 15 + c | + 1518 = cDie Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 + 8 x + 18.

Seite 125

2 a) Die Symmetrieachse geht durch x = 2.Die Punkte (1 | 0) und (3 | 0) haben jeweils einen horizontalen Abstand von 1 LE von der Symmet-rieachse. Damit sind sie je 12 = 1 LE vom Schei-telpunkt entfernt (vertikal).y-Koordinate des Scheitelpunkts: 0 – 1 = 1Aus S (2 | – 1) folgt: y = (x – 2)2 – 1b) Die Punkte (0 | 1) und (– 4 | 1) haben einen Abstand von 4 LE voneinander. Die Symmetrie-achse geht daher durch x = – 2 und die beiden Punkte haben je einen horizontalen Abstand von 2 LE von der Symmetrieachse. Damit sind sie je 22 = 4 LE (vertikal) vom Scheitelpunkt entfernt.y-Koordinate des Scheitelpunkts: 1 – 4 = – 3Aus S (– 2 | – 3) folgt: y = (x + 2)2 – 3

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 125

c) Die Punkte (5 | 3) und (– 1 | 3) sind auf der glei-chen Höhe und haben einen Abstand von 6 LE voneinander. Die Symmetrieachse geht daher durch x = 2 und die beiden Punkte haben je einen horizontalen Abstand von 3 LE von der Symmetrieachse. Damit sind sie je 32 = 9 LE (vertikal) vom Scheitelpunkt entfernt.y-Koordinate des Scheitelpunkts: 3 – 9 = – 6 Aus S (2 | – 6) folgt: y = (x – 2)2 – 6

A a) Einsetzen der Koordinaten von P und Q in y = x 2 + b x + c ergibt:P (4 | 13): (1) 13 = 4 2 + b ⋅ 4 + cQ (2 | 5): (2) 5 = 2 2 + b ⋅ 2 + c | ⋅ (− 1)(1ʹ ) 13 = 16 + 4 b + c(2ʹ ) − 5 = − 4 − 2 b − c(1ʹ ) + (2ʹ ) 8 = 12 + 2 b | − 12 − 4 = 2 b |÷2 b = − 2Einsetzen von b = − 2 in (2) ergibt: 5 = 4 + 2 ⋅ (− 2) + c 5 = cc = 5Die Funktionsgleichung lautet somit y = x 2 − 2 x + 5.b) Einsetzen der Koordinaten von P und Q in y = x 2 + b x + c ergibt:P (3 | 4): (1) 4 = 3 2 + b ⋅ 3 + cQ (7 | – 4): (2) − 4 = 7 2 + b ⋅ 7 + c | ⋅ (− 1)(1ʹ ) 4 = 9 + 3 b + c(2ʹ ) 4 = − 49 − 7 b − c(1ʹ ) + (2ʹ ) 8 = − 40 − 4 b | + 4 b − 8 4 b = − 48 |÷4 b = − 12Einsetzen von b = − 12 in (1) ergibt:4 = 9 + 3 ⋅ (− 12) + c4 = − 27 + c | + 27c = 31Die Funktionsgleichung lautet somit y = x 2 − 12 x + 31.c) Einsetzen der Koordinaten von P und Q in y = x 2 + b x + c ergibt:P (– 6 | 11): (1) 11 = (− 6) 2 + b ⋅ (− 6) + cQ (1 | 4): (2) 4 = 1 2 + b ⋅ 1 + c | ⋅ (− 1)(1ʹ ) 11 = 36 − 6 b + c(2ʹ ) − 4 = − 1 − b − c(1ʹ ) + (2ʹ ) 7 = 35 − 7 b | + 7 b − 7 7 b = 28 |÷7 b = 4Einsetzen von b = 4 in (2) ergibt:4 = 1 + 1 ⋅ 4 + c4 = 5 + c | − 5c = − 1Die Funktionsgleichung lautet somit y = x 2 + 4 x − 1.

((Anm. Linien wie bei den anderen Aufgaben auch ergänzen?))

d) Einsetzen der Koordinaten von P und Q in y = x 2 + b x + c ergibt:P (– 6 | – 6): (1) − 6 = (− 6) 2 + b ⋅ (− 6) + cQ (– 2 | 2): (2) 2 = (− 2) 2 + b ⋅ (− 2) + c | ⋅ (− 1)(1ʹ ) − 6 = 36 − 6 b + c(2ʹ ) − 2 = − 4 + 2 b − c(1ʹ ) + (2ʹ ) − 8 = 32 − 4 b | + 4 b + 8 4 b = 40 |÷10 b = 10Einsetzen von b = 10 in (2) ergibt:2 = 4 + 10 ⋅ (− 2) + c2 = − 16 + c | + 16c = 18Die Funktionsgleichung lautet somit y = x 2 + 10 x + 18.

Seite 125, links

3 Zu Parabel p1: y = x2 – 4 x + 1 gehört das Punkte paar: C (0 | 1); D (5 | 6)Zu Parabel p2: y = x2 – 10 x + 27 gehört das Punktepaar: A (4 | 3); B (7 | 6)Zu Parabel p1: y = x2 + 6 x + 7 gehört das Punkte paar: E (– 1 | 2); F (– 6 | 7)

4 a) Einsetzen von P (2 | 13) in y = x2 + 4 x + c13 = 22 + 4 ⋅ 2 + c 13 = 12 + c | – 12 1 = cDie vollständige Funktionsgleichung lautet:y = x2 + 4 x + cb) Einsetzen von P (– 1 | 18) in y = x2 – 6 x + c18 = (– 1)2 – 6 ⋅ (– 1) + c 18 = 7 + c | – 711 = cDie vollständige Funktionsgleichung lautet:y = x2 – 6 x + 11c) Einsetzen von P (3 | – 1) in y = x2 – b x – 4 – 1 = 32 – b ⋅ 3 – 4 – 1 = 5 – 3 b | + 3 b + 13 b = 6 |÷3 b = 2Die vollständige Funktionsgleichung lautet:y = x2 – 2 x – 4

5 a) Ansatz: y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (3 | 1): (1) 1 = 32 + 3 b + c | ⋅ (– 1)Q (– 2 | 6): (2) 6 = (– 2)2 – 2 b + c

(1ʹ ) – 1 = – 9 – 3 b – c(2ʹ ) 6 = 4 – 2 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 5 = – 5 – 5 b | + 5 10 = – 5 b |÷(– 5)(3) – 2 = b

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 125

Einsetzen von (3) in (1):1 = 9 + 3 ⋅ (– 2) + c1 = 3 + c | – 3c = – 2Die Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 – 2 x – 2.b) Ansatz: y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (– 1 | 6): (1) 6 = (– 1)2 – b + c | ⋅ (– 1)Q (– 6 | 1): (2) 1 = (– 6)2 – 6 b + c

(1ʹ ) – 6 = – 1 + b – c(2ʹ ) 1 = 36 – 6b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) – 5 = 35 – 5b | – 35 – 40 = – 5b |÷(– 5)(3) 8 = bEinsetzen von (3) in (1):6 = 1 – 8 + cc = 13Die Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 + 8 x + 13.c) Ansatz: y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (– 5 | 4): (1) 4 = (– 5)2 – 5b + cQ (0 | – 1): (2) – 1 = c

(1ʹ ) 4 = 25 – 5 b + c(2) c = – 1Einsetzen von (2) in (1ʹ ): 4 = 25 – 5 b – 1 | – 24 – 20 = – 5 b |÷(– 5) b = 4Die Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 + 4 x – 1d) Ansatz: y = x2 + b x + cb und c bestimmenP (– 8 | 6): (1) 6 = (– 8)2 – 8 b + c | ⋅ (– 1)Q (– 3 | 11): (2) 11 = (– 3)2 – 3 b + c

(1ʹ ) – 6 = – 64 + 8 b – c(2ʹ ) 11 = 9 – 3 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 5 = – 55 + 5 b | + 55 60 = 5 b |÷5(3) 12 = bEinsetzen von (3) in (2ʹ ):11 = 9 – 3 ⋅ 12 + c11 = – 27 + c | + 27 c = 38Die Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 + 12 x + 38.

6 Die Punkte (– 1,5 | 1) und (– 5,5 | 1) sind auf der gleichen Höhe und haben einen Abstand von 4 LE voneinander. Die Symmetrieachse geht da-her durch x = – 3,5 und die beiden Punkte ha-ben je einen horizontalen Abstand von 2 LE von der Symmetrieachse. Damit sind sie je 22 = 4 LE (vertikal) vom Scheitelpunkt entfernt.y-Koordinate des Scheitelpunkts: 1 – 4 = – 3Aus S (– 3,5 | – 3) folgt: y = (x + 3,5)2 – 3

Seite 125, rechts

3 a) Ansatz: y = x2 + b x + cP (1 | 6): (1) 6 = 12 + b + c | ⋅ (– 1)Q (4 | 3): (2) 3 = 42 + 4 b + c

(1ʹ ) – 6 = – 1 – b – c(2ʹ ) 3 = 16 + 4 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) – 3 = 15 + 3 b | – 15 – 18 = 3 b |÷3(3) – 6 = bEinsetzen von (3) in (1): 6 = 1 + (– 6) + c | + 511 = cDie Parabel hat somit die Funktionsgleichung: y = x2 – 6 x + 11.b) Ansatz: y = x2 + b x + cP (2 | 3): (1) 3 = 22 + 2 b + cQ (7 | 8): (2) 8 = 72 + 7 b + cLösen des Gleichungssystems liefert die Lösung: b = – 8; c = 15Funktionsgleichung: y = x2 – 8 x + 15c) Ansatz: y = x2 + b x + cP (– 6 | 4): (1) 4 = (– 6)2 – 6 b + cQ (– 1 | 19): (2) 19 = (– 1)2 – b + cLösen des Gleichungssystems liefert die Lösung: b = 10; c = 28 Funktionsgleichung: y = x2 + 10 x + 28d) Ansatz: y = x2 + b x + cP (– 2,5 | 1,25): (1) 1,25 = (– 2,5)2 – 2,5 b + cQ (1 | 3): (2) 3 = 12 + b + cLösen des Gleichungssystems liefert die Lösung: b = 2; c = 0 Funktionsgleichung: y = x2 + 2 xe) Ansatz: y = x2 + b x + cP (1,5 | 2,5): (1) 2,5 = 1,52 + 1,5 b + cQ (4,5 | 5,5): (2) 5,5 = 4,52 + 4,5 b + cLösen des Gleichungssystems liefert die Lösung: b = – 5; c = 7,75 Funktionsgleichung: y = x2 – 5 x + 7,75

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

160

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 125 – 126

f) Ansatz: y = x2 + b x + cP (– 4,5 | 15,5): (1) 15,5 = (– 4,5)2 – 4,5 b + cQ (0,5 | 0,5): (2) 0,5 = 0,52 + 0,5 b + cLösen des Gleichungssystems liefert die Lösung: b = 1; c = – 0,25 Funktionsgleichung: y = x2 + x – 0,25

4 a) Man wählt z. B. die Punkte (– 1 | 0) und (– 3 | 0).Abstand der Punkte voneinander: 2 LE ⇒ Symmetrieachse geht durch x = – 2 und der Abstand je eines der Punkte von der Symmetrie-achse beträgt 1 LEVertikaler Abstand der Punkte vom Scheitel-punkt: 12 = 1 LE 0 – 1 = – 1Aus S (– 2 | – 1) folgt y = (x + 2)2 – 1b) Man wählt z. B. die Punkte (3 | 2) und (– 1 | 2).Abstand der Punkte voneinander: 4 LE ⇒ Symmetrieachse geht durch x = 1 und der Abstand je eines der Punkte von der Symmetrie-achse beträgt 2 LEVertikaler Abstand der Punkte vom Scheitel-punkt: 22 = 4 LE2 – 4 = – 2Aus S (1 | – 2) folgt y = (x – 1)2 – 2c) Man wählt z. B. die Punkte (1 | 0) und (3 | 0).Abstand der Punkte voneinander: 2 LE, also je 1 LE von der Symmetrieachse Vertikaler Abstand vom Scheitelpunkt: 12 = 1 LE0 – 1 = – 1Aus S (2 | – 1) folgt y = (x – 2)2 – 1d) Es ist nur die Hälfte der Parabel zu sehen, daher muss man zwei Punkte wählen, die nicht symmetrisch liegen. Man wählt z. B. die Punkte (1 | 1) und (0 | – 2).Ansatz: y = x2 + b x + c(1 | 1): (1) 1 = 12 + b + c(0 | – 2): (2) – 2 = cEinsetzen von (2) in (1):1 = 1 + b – 2 | + 22 = bFunktionsgleichung: y = x2 + 2 x – 2Scheitelform: y = (x + 1)2 – 3

6 Funktionsgleichungen aufstellen Seite 126

Seite 126, links

7 a) Man wählt z. B. die Punkte:(0 | – 3) und (– 2,5 | 0)Einsetzen in die Form y = a x2 + cAus (0 | – 3) erhält man: c = – 3(– 2,5 | 0) in y = a x2 – 3 eingesetzt:0 = a (– 2,5)2 – 30 = 6,25 a – 3 | + 33 = 6,25 a |÷6,25a = 0,48Die Funktionsgleichung lautet also:y = 0,48 x2 – 3

8 Simone erhält nicht die vorgegebene Gleichung, weil sie Punkte gewählt hat, die nicht genau abzulesen sind bzw. Punkte, die sich so wie angegeben nicht auf der Parabel (befinden. Ein-setzen der Koordinaten der Punkte P und Q in die vorgegebene Funktionsgleichung macht dies deutlich.Zum Beispiel für P (– 2,5 | 1,5) erhält man:

y = – 1 _ 4 (– 2,5)2 + 3

y = 1,4375 ≠ 1,5Parabelpunkte, die genau abgelesen werden können, und daher zur Bestimmung der Funkti-onsgleichung genutzt werden können, sind die Punkte:(2 | 2); (– 2 | 2); (– 4 | – 1).

9 • Funktionsgleichung von p berechnen y = x2 + b x + c Einsetzen der Koordinaten von A und B: A (– 2 | 6): (1) 6 = (– 2)2 – 2 b + c B (3 | 1): (2) 1 = 32 + 3 b + c Lösen des linearen Gleichungssystems liefert die Lösung: b = – 2; c = – 2 Funktionsgleichung von p: y = x2 – 2 x – 2

• Funktionsgleichung von g berechnen

Steigung m: m = y B − y A

_ x B − x A = 1 − 6 _ 3 − (– 2) = − 5 _ 5 = – 1

Also ist: y = – x + c Einsetzen der Koordinaten von B (3 | 1): 1 = – 3 + c c = 4 Funktionsgleichung von g: y = – x + 4

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 126

–1

–2

–3

–1–2–3–4–5–6

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

xO

y

10 Gesucht ist der Scheitelpunkt der Parabel.Bestimmen der Funktionsgleichung mithilfe der Punkte (1 | 1,5) und (– 2,5 | 0)Ansatz: y = a x2 + cDurch Einsetzen der Koordinaten der beiden Punkte erhält man die Gleichungen: (1) 1,5 = a ⋅ 12 + c(2) 0 = a ⋅ (– 2,5)2 + c

(1) – (2) 1,5 = – 5,25 a |÷(– 5,25) a ≈ – 0,2857Durch Einsetzen in (1) erhält man: c = 1,7857.Die maximale Höhe der Flugkurve beträgt etwa 1,79 m.

Seite 126, rechts

5 a) p1: y = x2 + b x + 11Erst bestimmt man die Normalform und an-schließend die Scheitelform der Funktions-gleichung.Einsetzen der Koordinaten von A (2 | 3): 3 = 22 + 2 b + 11 3 = 15 + 2 b | – 15– 12 = 2 b |÷2 – 6 = bFunktionsgleichung:y = x2 – 6 x + 11y = x2 – 6 x + 32 + 11 – 32

y = (x – 3)2 + 2Scheitelpunkt: S1 (3 | 2)b) p2: y = – x2 + cMan bestimmt die Funktionsgleichung von p2 und anschließend die Schnittpunkte von p1 und p2.Einsetzen der Koordinaten von A (2 | 3):3 = – 22 + c | + 47 = cFunktionsgleichung: y = – x2 + 7

Schnittpunkte berechnen x2 – 6 x + 11 = – x2 + 7 | + x2 – 72 x2 – 6 x + 4 = 0 |÷2 x2 – 3 x + 2 = 0

x1, 2 = − (− 3 _ 2 ) ± √ _______

(− 3 _ 2 ) 2 − 2

x1, 2 = 1,5 ± √ _

0,25

x1 = 2; x2 = 1x1 gehört zum gegebenen Schnittpunkt A.x2 = 1 in y = – x2 + 7 einsetzen:y2 = – 12 + 7y2 = 6

Zweiter Schnittpunkt der Parabeln: B (1 | 6)

6 p1: y = x2 + b x + cAuf der Parabel p1 liegen die Punkte (0 | 3) und (1 | 0). Aus (0 | 3) erhält man c = 3.Einsetzen von (1 | 0) in die Funktionsgleichung y = x2 + b x + 3: 0 = 12 + b + 3 – 4 = bMan erhält also für p1: y = x2 – 4 x + 3.Scheitelform:y = x2 – 4 x + 22 + 3 – 22

y = (x – 2)2 – 1Scheitelpunkt: S (2 | – 1)p2: y = a x2 – 3Funktionsgleichung bestimmenKoordinaten von S (2 | – 1) in p2 eingesetzt:– 1 = a ⋅ 22 – 3 | + 3 2 = 4 a |÷2

a = 1 _ 2

Man erhält also für p2: y = 1 _ 2 x2 – 3.Schnittpunkte von p1 und p2

x2 – 4 x + 3 = 1 _ 2 x2 – 3 | – 1 _ 2 x2 + 3

1 _ 2 x2 – 4 x + 6 = 0 | ⋅ 2

x2 – 8 x + 12 = 0

x1, 2 = − ( − 8 _ 2 ) ± √ ________

( − 8 _ 2 ) 2 − 12

x1,2 = 4 ± 2

x1 = 2; x2 = 6

Die Stelle x1 = 2 führt zum bekannten Schnitt-punkt S (2 | – 1). Berechnen von y2:

y2 = 1 _ 2 ⋅ 6 2 − 3

y2 = 15

Zweiter Schnittpunkt von p1 und p2: B ( 6 | 15 )

7 a) p1: y = – 1 _ 2 x2

p2: y = x2 + b x + cBestimmen der Funktionsgleichung von p2 mit-hilfe der Punkte A (0 | 6) und B (5 | 1).Aus A (0 | 6) erhält man c = 6.

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

162

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 126 – 128

Einsetzen der Koordinaten von B (5 | 1) 1 = 52 + b ⋅ 5 + 6 | – 31– 30 = 5 b |÷5 b = – 6Man erhält die Funktionsgleichung:p2: y = x2 – 6 x + 6Schnittpunkt T von p1 und p2 berechnen

x2 – 6 x + 6 = – 1 _ 2 x2 | + ½ x2

3 _ 2 x2 – 6 x + 6 = 0 |÷ 3 _ 2

x2 – 4 x + 4 = 0 | binom. Formel (x – 2)2 = 0x = 2Einsetzen von x = 2 in p1 liefert y = – 2.Schnittpunkt T (2 | – 2)b)

–1–1–2–3–4

1

–2

–3

1 2 3 4 5 6

y = x2 − 6x + 6

y = − x2

7

xO

y

1_2

c) Scheitelpunkt von p1: S1 (0 | 0)Scheitelpunkt von p2 bestimmeny = x2 – 6 x + 6y = x2 – 6 x + 32 + 6 – 32

y = (x – 3)2 – 3Also ist S2 (3 | – 3)Die Gerade durch S1 (0 | 0) und S2 (3 | – 3) ist eine

Ursprungsgerade mit m = − 3 − 0 _ 3 − 0 = – 1.Also gilt g: y = – xDer Schnittpunkt T (2 | – 2) liegt ebenfalls auf g. Also liegen S1, S2 und T auf einer Geraden.

8 a)

5,00m 4,00mO 9,00m A

3,50m

y

x

SB

Ansatz: y = a x2 + cBestimmen der Funktionsgleichung anhand der Punkte S (0 | 3,5) und A (13 | 0)Aus S (0 | 3,5) folgt c = 3,5A (13 | 0) in y = a x2 + 3 eingesetzt: 0 = a ⋅ 132 + 3,5 | – 3,5– 3,5 = a ⋅ 132 |÷132

a ≈ – 0,0207Funktionsgleichung:y = – 0,0207 x2 + 3,5

b) Das Netz steht an der Stelle x = 4.Berechnen der zugehörigen y-Koordinatey = – 0,0207 ⋅ 42 + 3,5y ≈ 3,17Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von 3,17 m.c) Der Spieler steht an der Stelle x = – 5.Gesucht ist die y-Koordinate des Punktes B.y = – 0,0207 ⋅ (– 5)2 + 3,5y ≈ 2,89Die Abschlagshöhe beträgt etwa 2,90 m.

Basistraining Seiten 128, 129

Seite 128

1 g1: y = 1 _ 2 x + 2 g2: y = 3 _ 2 x + 1 g3: y = – 2 x – 2

2 a) x – 5 – 2 – 1 3 10

y = – 3 x + 5 20 11 8 – 4 – 25

b) x – 2 – 1 0 3 4

y = 1 _ 2 x – 2 – 3 – 2,5 – 2 – 0,5 0

3 Zur Tabelle a) gehört die Funktionsgleichung

y = 1 _ 2 x2 + 2.

Zur Tabelle b) gehört die Funktionsgleichung

y = (x – 2)2 + 1 _ 2 .

Zur Tabelle b) gehört die Funktionsgleichung y = 1 _ 2 x + 2.

4 p1: y = – 2 x2 + 2 p2: y = 1 _ 4 x2 + 1

p3: y = – x2 p4: y = 1 _ 2 x2 – 2

5 • Parabel p1 Scheitelpunkt S1 (2 | – 2) Funktionsgleichung: y = (x – 2)2 – 2

• Parabel p2 Scheitelpunkt S2 (2,5 | 1,5) Funktionsgleichung: y = (x – 2,5)2 + 1,5

• Parabel p3 Scheitelpunkt S3 (– 2 | 2) Funktionsgleichung: y = (x + 2)2 + 2

• Parabel p4 Scheitelpunkt S4 (– 1,5 | – 1,5) Funktionsgleichung: y = (x + 1,5)2 – 1,5

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 128 – 129

6 a) und b)• Parabel p1

Die Konstante 2 wurde fälschlicherweise auch in die Klammer gesetzt. Der Faktor ½ sollte sich nur auf x2 beziehen. Richtig ist: p1: y = – 1 _ 2 x2 + 2

• Parabel p2 Die Parabel ist nach unten geöffnet. Das nega-tive Vorzeichen vor 2 x2 wurde vergessen. Richtig ist: p2: y = – 2 x2 + 1

• Parabel p3 Hier ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts falsch eingesetzt worden. Da diese x = – 4 lautet, müsste in der Klammer „+“ stehen. Richtig ist: p3: y = (x + 4)2 + 1

• Parabel p4 Hier ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts falsch abgelesen worden. Da diese ein nega-tives Vorzeichen hat, müsste das Vorzeichen außerhalb der Klammer negativ sein. Richtig ist: p3: y = (x – 3)2 – 2

7 a) Zusammen gehören:• die Funktionsgleichung (1) y = (x – 2)2 + 1; der

Scheitelpunkt S2 (2 | 1); und die Tabelle C.• die Funktionsgleichung (2) y = (x – 1)2 + 2; der

Scheitelpunkt S3 (1 | 2); und die Tabelle A.• die Funktionsgleichung (3) y = (x + 1)2 – 2; der

Scheitelpunkt S1 (– 1 | – 2); und die Tabelle B.b)

1

–1

–2

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

xO

2

3

4y

Seite 129

8 Parallel zueinander verlaufen die Geraden

B: y = − 1 _ 3 x – 1 und C: y = − 1 _ 3 x + 3, denn sie

haben die gleiche Steigung (m = − 1 _ 3 ) .

Senkrecht aufeinander stehen die Geraden

A: y = 3 x – 1 und B: y = − 1 _ 3 x – 1

wie auch die GeradenA: y = 3 x – 1 und C: y = − 1 _ 3 x + 3.

Denn für die zugehörigen Steigungen gilt:

m1 ⋅ m2 = 3 · (− 1 _ 3 ) = – 1.

9 a) Scheitelform: Normalform:y = (x – 3)2 + 5 y = x2 – 6 x + 14b) Scheitelform: Normalform:y = (x + 2)2 + 4 y = x2 + 4 x + 8c) Scheitelform: Normalform:y = (x – 3)2 – 1 y = x2 – 6 x + 8d) Scheitelform: Normalform:y = (x + 10)2 + 5 y = x2 + 20 x + 105e) Scheitelform: Normalform:y = (x – 1,5)2 – 2,5 y = x2 – 3 x – 0,25f) Scheitelform: Normalform:y = (x + 0,5)2 – 2 y = x2 + x – 1,75

10 a) y = x2 – 4 x – 1

y = x2 – 4 x + ( 4 _ 2 ) 2 – 1 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x − ( 4 _ 2 ) ) 2 – 1 – ( 4 _ 2 )

2

y = (x – 2)2 – 5

–1

1

–2

–3

–4

–5

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

xO

y

b) y = x2 + 6 x + 8

y = x2 + 6 x + ( 6 _ 2 ) 2 + 8 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x + ( 6 _ 2 ) ) 2 + 8 – ( 6 _ 2 )

2

y = (x + 3)2 – 1

1

–11–1–2–3–4–5–6–7–8–9 2

xO

2

3y

c) y = x2 + 10 x + 27

y = x2 + 10 x + ( 10 _ 2 ) 2 + 27 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x + ( 10 _ 2 ) ) 2 + 27 – ( 10 _ 2 )

2

y = (x + 5)2 + 2

1

1–1–2–3–4–5–6–7–8–9 2

xO

2

3

4

5y

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 129

d) y = x2 – 8 x + 13

y = x2 – 8 x + ( 8 _ 2 ) 2 + 13 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x − ( 8 _ 2 ) ) 2 + 13 – ( 8 _ 2 )

2

y = (x – 4)2 – 3

1

1 2 3 4 5 6 7 8

xO

2y

–1–1

–2

–3

–2–3

e) y = x2 – 3 x + 4,25

y = x2 – 3 x + ( 3 _ 2 ) 2 + 4,25 – ( 3 _ 2 )

2

y = (x − ( 3 _ 2 ) ) 2 + 4,25 – ( 3 _ 2 )

2

y = (x – 1,5)2 + 2

1

1 2 3 4 5 6

xO

2

3

4

y

–1–2–3–4–5

f) y = x2 + 5 x + 3,25

y = x2 + 5 x + ( 5 _ 2 ) 2 + 3,25 – ( 5 _ 2 )

2

y = (x + ( 5 _ 2 ) ) 2 + 3,25 – ( 5 _ 2 )

2

y = (x + 2,5)2 – 3

1

2

–1–1–2–3–4–5

–2

–3

1 2 3 4 5 6

xO

y

11 a) Lösen mit dem Einsetzungsverfahren(1) x + y = 7(2) x = 3y – 9Einsetzen von (2) in (1):(3 y – 9) + y = 7 4 y – 9 = 7 | + 9 4 y = 16 |÷4 y = 4Einsetzen in (2):x = 3 ⋅ 4 – 9x = 3Lösung: x = 3; y = 4

b) Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren(1) 4 x = 3 y – 2(2) 4 x = y + 2Gleichsetzen von (1) und (2): 3 y – 2 = y + 2 | – y + 2 2y = 4 |÷2 y = 2Einsetzen in (2) liefert x = 1. Lösung: x = 1; y = 2c) Lösen mit dem Einsetzungsverfahren(1) 3 x + 4 y = 6(2) 2 x – y = – 7 | + y + 7Gleichung (2) nach y auflösen:(2ʹ ) 2 x + 7 = yEinsetzen von (2ʹ ) in (1):3 x + 4 (2 x + 7) = 6 3 x + 8 x + 28 = 6 | – 28 11 x = – 22 |÷11 x = – 2Einsetzen in (2ʹ ):2 ⋅ (– 2) + 7 = y 3 = yLösung: x = – 2; y = 3d) Lösen mit dem Additionsverfahren(1) 3 x + 5y = 11 | ⋅ 4(2) 4 x + 6y = 14 | ⋅ (– 3)

(1ʹ ) 12 x + 20 y = 44(2ʹ ) – 12 x – 18 y = – 42

(1ʹ ) + (2ʹ ) 2 y = 2 |÷2 y = 1Einsetzen in (1):3 x + 5 = 11 | – 5 3 x = 6 |÷3 x = 2Lösung: x = 2; y = 1e) Lösen mit dem Additionsverfahren(1) 2 x + 5y = 5 (2) 6 x – 10y = 40 |÷2

(1) 2 x + 5y = 5(2ʹ ) 3 x – 5y = 20

(1ʹ ) + (2ʹ ) 5 x = 25 |÷5 x = 5Einsetzen in (1):2 ⋅ 5 + 5 y = 5 | – 10 5 y = – 5 |÷5 y = – 1Lösung: x = 5; y = – 1f) Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren(1) 2 x = y + 3(2) y + 3 = 7 x – 5

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Gleichsetzen von (1) und (2):7 x – 5 = 2 x | – 2 x + 5 5 x = 5 |÷5 x = 1Einsetzen in (2) liefert y = – 1.Lösung: x = 1; y = – 1

12 rote ParabelDer Scheitelpunkt ist (2,5 | 1,5), also muss die Funktionsgleichung lauten:y = (x – 2,5)2 + 1,5grüne ParabelDas Vorzeichen vor „3 x“ ist falsch. Der Scheitel-punkt ist (– 1,5 | 1,5), daher erhält man die Funktions gleichung:y = (x + 1,5)2 + 1,5y = x2 + 3 x + 1,52 + 1,5y = x2 + 3 x + 3,75Schnittpunkt berechnenx2 + 3 x + 3,75 = (x – 2,5)2 + 1,5x2 + 3 x + 3,75 = x2 – 5 x + 7,75 | – x2

3 x + 3,75 = – 5 x + 7,75 | + 5 x – 3,75 8 x = 4 |÷8 x = 0,5Einsetzen in y = x2 + 3 x + 3,75:y = 0,52 + 3 ⋅ 0,5 + 3,75y = 5,5Der Schnittpunkt ist: P (0,5 | 5,5)

13 a) y = x2 – 4 x + 3Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)0 = x2 – 4 x + 3

x1, 2 = − (− 4 _ 2 ) ± √ _______

(− 4 _ 2 ) 2 − 3

x1, 2 = 2 ± 1x1 = 1; x2 = 3→ N1 (1 | 0) und N2 (3 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)y = 02 – 4 ⋅ 0 + 3y = 3→ P (0 | 3)

b) y = 1 _ 2 x2 – 8

Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)

0 = 1 _ 2 x2 – 8 | + 8

8 = 1 _ 2 x2 | ⋅ 2

16 = x2 | ± √ _

x1 = 4; x2 = – 4→ N1 (4 | 0) und N2 (– 4 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)y = – 8→ P (0 | – 8)

c) y = (x – 4)2 – 9Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)(x – 4)2 – 9 = 0 | + 9 (x – 4)2 = 9 | ± √

_

x – 4 = ± 3x1 = 3 + 4 = 7; x2 = – 3 + 4 = 1→ N1 (7 | 0) und N2 (1 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0) y = (0 – 4)2 – 9y = 16 – 9 = 7→ P (0 | 7)d) y = 2 x + 3Schnittpunkt mit der x-Achse (y = 0)2 x + 3 = 0 | – 3 2 x = – 3 |÷2 x = – 1,5→ N (1,5 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)y = 3→ P (0 | 3)e) y = x2 + 9 x + 19,25Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)

x1, 2 = − 9 _ 2 ± √ _________

( 9 _ 2 ) 2 − 19,25

x1, 2 = – 4,5 ± 1

x1 = – 3,5; x2 = – 5,5→ N1 (– 3,5 | 0) und N2 (– 5,5 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)y = 19,25→ P (0 | 19,25)

f) y = − 3 _ 2 x2 + 6

Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)

0 = − 3 _ 2 x2 + 6 | + 3 _ 2 x2

3 _ 2 x2 = 6 |÷ 3 _ 2

x2 = 4 | ± √ _

x1 = 2; x2 = – 2→ N1 (2 | 0) und N2 (– 2 | 0)Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0) y = 6→ P (0 | 6)

14 a) y = (x – 3)2 – 2Da der Scheitelpunkt S (3 | – 2) ist, liegt er un-terhalb der x-Achse. Die zugehörige Parabel ist außerdem nach oben geöffnet, daher schneidet sie die x-Achse an zwei Stellen. Die quadratische Funktion hat somit zwei Nullstellen.b) y = (x + 2)2 + 1Der Scheitelpunkt lautet (– 2 | 1), liegt also ober-halb der x-Achse. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt sie komplett oberhalb der x-Achse. Die quadratische Funktion hat somit keine Nullstellen.

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c) y = – 1 _ 2 x2 + 4

Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse – bei (0 | 4). Sie schneidet damit die x-Achse an zwei Stellen; die quadratische Funktion hat daher zwei Null-stellen.d) y = 2 x2 + 5 Die Parabel ist nach oben geöffnet und liegt komplett oberhalb der x-Achse, da ihr Scheitel-punkt bei (0 | 5) liegt. Die quadratische Funktion hat daher keine Nullstellen.e) y = (x + 5)2

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der x-Achse, bei x = – 5. Das ist auch der einzige ge-meinsame Punkt mit der x-Achse. Daher hat die quadratische Funktion genau eine Nullstelle.

f) y = 3 _ 5 x2

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei (0 | 0). Dieser ist auch der einzige gemeinsame Punkt mit der x-Achse. Daher hat die quadratische Funktion genau eine Nullstelle.

15 a) p1: y = x2 – 6 x + 7p2: y = x2 + 4 x – 3Funktionsterme gleichsetzenx2 – 6 x + 7 = x2 + 4 x – 3 | – x2

– 6 x + 7 = 4 x – 3 | – 4 x – 7 – 10 x = – 10 |÷(– 10) x = 1Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen liefert: y = 2Schnittpunkt R (1 | 2)b) p1: y = x2 + 10 x + 19p2: y = x2 + 4 x + 1Funktionsterme gleichsetzenx2 + 10 x + 19 = x2 + 4 x + 1 | – x2

10 x + 19 = 4 x + 1 | – 4 x – 19 6 x = – 18 |÷6 x = – 3Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen liefert: y = – 2Schnittpunkt R (– 3 | – 2)

16 a) p: y = x2 + 6 x + 6 g: y = – xFunktionsterme gleichsetzenx2 + 6 x + 6 = – x | + xx2 + 7 x + 6 = 0

x1, 2 = − 7 _ 2 ± √ ______

( 7 _ 2 ) 2 − 6

x1, 2 = – 3,5 ± 2,5x1 = – 1; x2 = – 6Einsetzen in y = – x liefert:y1 = 1; y2 = 6Schnittpunkte: P (– 1 | 1) und Q (– 6 | 6)

b) p: y = x2 – 8 x + 18 g: y = 2 x – 3Funktionsterme gleichsetzen x2 – 8 x + 18 = 2 x – 3 | – 2 x + 3 x2 – 10 x + 21 = 0

x1, 2 = − (− 10 _ 2 ) ± √ ________

(− 10 _ 2 ) 2 − 21

x1, 2 = 5 ± 2x1 = 3; x2 = 7

Einsetzen in y = 2 x – 3 liefert:y1 = 3; y2 = 11Schnittpunkte: P (3 | 3) und Q (7 | 11)

17 a) Ansatz: y = x2 + bx + cA (2 | 13): (1) 13 = 22 + 2 b + cB (8 | 1): (2) 1 = 82 + 8 b + c

(1) – (2) 12 = – 60 – 6 b | + 60 72 = – 6 b |÷(– 6) – 12 = bEinsetzen in (2): 1 = 64 + 8 ⋅ (– 12) + c 1 = – 32 + c | + 32 33 = cFunktionsgleichung: y = x2 – 12 x + 33b) Ansatz: y = x2 + b x + cA (– 5 | – 3): (1) – 3 = (– 5)2 – 5 b + cB (– 1 | – 3): (2) – 3 = (– 1)2 – b + cGleichsetzen von (1) und (2): 25 – 5 b + c = 1 – b + c | – c 25 – 5 b = 1 – b | + 5 b – 1 24 = 4 b |÷4 b = 6Einsetzen in (2): – 3 = 1 – 6 + c | + 5 c = 2Funktionsgleichung: y = x2 + 6 b + 2

18 Ansatz: y = x2 + b x + cBestimmen der Funktionsgleichung mithilfe der Punktepaare (– 2 | 13) und (1 | – 2)(– 2 | 13): (1) 13 = (– 2)2 – 2 b + c(1 | – 2): (2) – 2 = 12 + b + c | ⋅ (–1)

(1ʹ ) 13 = 4 – 2 b + c (2ʹ ) 2 = – 1 – b – c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 15 = 3 – 3 b | – 3 12 = – 3 b |÷(–3) b = – 4Einsetzen in (2ʹ ) liefert: c = 1Funktionsgleichung: y = x2 – 4 x + 1

x – 3 – 2 – 1 0 1 2

y 22 13 6 1 – 2 – 3

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 129 – 130

19 a) y = x2 + 4 x + cKoordinaten von Q (– 1 | 6) eingesetzt6 = (– 1)2 + 4 ⋅ (– 1) + c6 = – 3 + c | + 39 = cFunktionsgleichung: y = x2 + 4 x + 9Scheitelform:y = x2 + 4 x + 22 + 9 – 22

y = (x + 2)2 + 5Scheitelpunkt: S (– 2 | 5)b) y = x2 – b x + 24Koordinaten von Q (2 | 8) eingesetzt 8 = 22 + – b ⋅ 2 + 24 8 = 28 – 2 b | + 2 b – 8 2 b = 20 |÷2 b = 10Funktionsgleichung: y = x2 – 10 x + 24Scheitelform:y = x2 – 10 x + 52 + 24 – 52

y = (x – 5)2 – 1Scheitelpunkt: S (5 | – 1)

c) y = 1 _ 2 x2 – c

Koordinaten von Q (2 | – 2) eingesetzt

– 2 = 1 _ 2 ⋅ 22 – c

– 2 = 2 – c | + c + 2 c = 4

Funktionsgleichung: y = 1 _ 2 x2 – 4

Scheitelpunkt: S (0 | – 4)

20 Beide Parabeln sind Normalparabeln. Denn für die Punkte, deren x-Koordinaten jeweils 1 LE links bzw. rechts vom Scheitelpunt liegen, gilt, dass sie mit der y-Koordinate um 12 = 1 LE hö-her als der Scheitelpunkt liegen. Scheitelpunkte: p1: S1 (– 2 | – 1); p2: S2 (3 | 4)Die Funktionsgleichungen lauten:p1: y = (x + 2)2 – 1; p2: y = (x – 3)2 + 4Schnittpunkt berechnen: (x + 2)2 – 1 = (x – 3)2 + 4 x2 + 4 x + 3 = x2 – 6 x + 13 | – x2 4 x + 3 = – 6 x + 13 | + 6 x – 3 10 x = 10 |÷10 x = 1Einsetzen in die Funktionsgleichung von p1:y = (1 + 2)2 – 1y = 8Schnittpunkt von p1 und p2: P (1 | 8)

Anwenden. Nachdenken Seiten 130 131

Seite 130

21 a)

x

y

O

1

21 3 4 5 6

3

4

5

P

xQ – xP

yQ – yP

Q

S

Paola hat recht. Der Tangens des Winkels α wird im rechtwinkligen Dreieck SQP definiert. Es gilt:

tan α = Gegenkathete

_ Ankathete

tan α = ‾ QS

_ ‾ PS

tan α = y Q − y P

_ x Q − x P

Damit erhält man: tan α = mBerechnung von tan α bzw. m:

tan α = m = 4 − 2 _ 4,5 − 1,5 = 2 _ 3

22 Individuelle Lösungen, zum Beispiel:a) (1) 3 x + 4 y = 22 (2) x – y = – 2b) (1) x + 3 y = – 5 (2) y = x – 3

c) (1) 1 _ 2 x – y = 2

(2) 3 x = 2 y

23 Diese Geraden können kein Dreieck einschlie-ßen. Denn die Geraden g1 und g3 haben die gleiche Steigung, sie verlaufen daher parallel zueinander. Außerdem steht die Gerade g2 senkrecht zu den beiden anderen (da für die Steigungen gilt:

1 _ 3 ⋅ (− 3) = 1)

Insgesamt entsteht eine Figur, die den drei Seiten eines Rechtecks ähnelt.

24 Man bestimmt die Steigungen der Geraden, auf die die Strecken ‾ AB , ‾ AC und ‾ BC liegen, und überprüft, ob für zwei Steigungen m1 ⋅ m2 = – 1 gilt.Steigung von ‾ AB berechnen

m ‾ AB = y B − y A

_ x B − x A = 3 − 1 _ 8 − 2 = 2 _ 6 ⇒ m ‾ AB = 1 _ 3

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 130

Steigung von ‾ AC berechnen

m ‾ AC = y C − y A

_ x C − x A = 5 − 1 _ 4 − 2 = 4 _ 2 ⇒ m ‾ AC = 2

Steigung von ‾ BC berechnen

m ‾ BC = y C − y B

_ x C − x B = 5 − 3 _ 4 − 8 = 2 _ – 4 ⇒ m ‾ AC = – 1 _ 2

Für die Steigungen der Strecken ‾ AC und ‾ BC gilt also: m ‾ AC · m ‾ BC = 2 ⋅ (− 1 _ 2 ) = – 1

Die Dreiecksseiten ‾ AC und ‾ BC stehen senkrecht aufeinander, das Dreieck ist also rechtwinklig.

25 p2: y = x2 + 8 x + 20Scheitelform bestimmeny = x2 + 8 x + 42 + 20 – 42

y = (x + 4)2 + 4Scheitelpunkt von p2: S2 (– 4 | 4)Funktionsgleichung von p1 bestimmenAnsatz: y = x2 + b x + cEinsetzen der Koordinaten von P1 und P2.P1 (4 | 5): (1) 5 = 42 + 4 b + c | ⋅ (– 1)P2 (– 1 | 10): (2) 10 = (– 1)2 – b + c

(1ʹ ) – 5 = – 16 – 4 b – c(2ʹ ) 10 = 1 – b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 5 = – 15 – 5 b |÷5 1 = – 3 – b b = – 4Einsetzen in (2ʹ ) liefert c = 5Man erhält: p1: y = x2 – 4 x + 5 Scheitelform bestimmeny = x2 – 4 x + 22 + 5 – 22

y = (x – 2)2 + 1Scheitelpunkt von p1: S1 (2 | 1)Funktionsgleichung der Gerade g bestimmen, die durch S1 und S2 gehtSteigung m

m = y S 2 − y S 1

__ x S 2 − x S 1 = 4 – 1 _ – 4 – 2 = 3 _ − 6 = − 1 _ 2

S1 (2 | 1) in y = − 1 _ 2 x + c eingesetzt:

1 = − 1 _ 2 ⋅ 2 + c

c = 2Funktionsgleichung von g: y = − 1 _ 2 x + 2

26 a) Aus S1 (0 | 3) erhält man die Funktions-

gleichung von p1: y = − 1 _ 2 x2 + 3

Einsetzen von x = 4 ergibt:

y = − 1 _ 2 ⋅ 42 + 3

y = – 5Also ist P (4 | – 5)Funktionsgleichung von p2 mithilfe der Punkte S1 und P bestimmenAnsatz: y = x2 + b x + c

Aus S1 (0 | 3) folgt: c = 3P (4 | – 5) in y = x2 + b x + 3 eingesetzt: – 5 = 42 + 4 b + 3 | – 19 – 24 = 4 b |÷4 b = – 6Funktionsgleichung von p2: y = x2 – 6 x + 3b) Scheitelpunkt von p2 bestimmeny = x2 – 6 x + 3y = x2 – 6 x + 32 + 3 – 32

y = (x – 3)2 – 6Scheitelpunkt von p2: S2 (3 | – 6)Funktionsgleichung der Gerade g bestimmen, die durch S1 und S2 geht

m = y S 2 − y S 1

__ x S 2 − x S 1 = – 6 – 3 _ 3 – 0 = – 9 _ 3 = – 3

S1 (0 | 3) in y = – 3 x + c eingesetzt liefert: c = 3Funktionsgleichung von g: y = – 3 x + 3

27 Damit die gesuchte nach oben geöffnete Nor-malparabel keine gemeinsamen Punkte mit der Parabel p1 hat, muss sie – anschaulich betrach-tet – ihren Scheitelpunkt höher als p1 haben und dann komplett innerhalb von p1 liegen.Mögliche Lösung, z. B.p2: y = x2 – 6 x + 20 oder y = x2 – 6 x + 100Rechnerische Überprüfung (durch Gleichsetzen der Terme) x2 – 6 x + 10 = x2 – 6 x + 20 | – x2

– 6 x + 10 = – 6 x + 20 | + 6 x 10 = 20Die letzte Gleichung ist für alle x falsch, daher gibt es keine gemeinsamen Punkte von p1 und p2.

28 a) Scheitelpunkt von p1 bestimmeny = x2 – 2 x + 2y = x2 – 2 x + 12 + 2 – 12

y = (x – 1)2 + 1Man erhält: S1 (1 | 1)Scheitelpunkt von p2 bestimmeny = x2 – 4 x + 8y = x2 – 4 x + 22 + 8 – 22

y = (x – 2)2 + 4Man erhält: S2 (2 | 4)Scheitelpunkt von p3 bestimmeny = x2 – 6 x + 18y = x2 – 6 x + 32 + 18 – 32

y = (x – 3)2 + 9Man erhält: S3 (3 | 9)Alle Scheitelpunkte liegen auf dem Graphen der Funktion y = x2.

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 130 – 131

y

x

1–1–2–3–4–5 2 3 4 5 6

8

6

4

2

10

12

14

16

O

b) Die Scheitelpunkte der Parabeln müssen auf dem Graphen von y = x2 liegen, also die allge-meine Form (a | a2) haben. Zum Beispiel:• Scheitelpunkt S4 (4 | 16); also

p4: y = (x – 4)2 + 16 y = = x2 – 8 x + 32 ((ein = zu viel?))

• Scheitelpunkt S5 (5 | 25); also p4: y = (x – 5)2 + 25 y = x2 – 10 x + 50

c) Tess hat recht, der Scheitelpunkt der Parabel p: y = x2 – 3 x + 4,5 liegt auf der gleichen Kurve.Scheitelpunkt bestimmen:y = x2 – 3 x + 4,5y = x2 – 3 x + 1,52 + 4,5 – 1,52

y = (x – 1,5)2 + 2,25Also ist S (1,5 | 2,25)Da 2,25 = 1,52 gilt, liegt der Scheitelpunkt von p auf der Parabel y = x2.

29 Individuelle Lösungen, zum Beispiela) (1) y = 3 x + 5 (2) y = 3 x + 3b) (1) x + y = 2 (2) 3 x + 3y = 6

30 a) • blaue Parabel Ansatz: y = a x2 + c Punkte: S (0 | 3,5) und P (1 | 4) Aus S (0 | 3,5) folgt c = 3,5 P (1 | 4) in y = a x2 + 3,5 eingesetzt: 4 = a ⋅ 12 + 3,5 | – 3,5 0,5 = a Funktionsgleichung: y = 0,5 x2 + 3,5

• rote Parabel Ansatz: y = a x2 + c Punkte: N (3 | 0) und Q (3,5 | 3,25) N (3 | 0): (1) 0 = a ⋅ 32 + c N (3,5 | 3,25): (2) 3,25 = a ⋅ 3,52 + c

(1ʹ ) 0 = 9 a + c (2ʹ ) 3,25 = 12,25 a + c

(2ʹ ) – (1ʹ ) 3,25 = 3,25 a a = 1 Eingesetzt in (1) liefert c = – 9 Funktionsgleichung: y = x2 – 9 Schnittpunkte der Parabeln berechnen x2 – 9 = 0,5 x2 + 3,5 | – 0,5 x2 + 9 0,5 x2 = 12,5 | ⋅ 2 x2 = 25 | ± √

_

x1 = 5; x2 = – 5 Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen

liefert: y1 = 16; y2 = 16 Die Schnittpunkte lauten: (5 | 16) und (– 5 | 16).

Seite 131

31 p: y = x2 – 6 x + 14Scheitelpunkt von p berechneny = x2 – 6 x + 32 + 14 – 32

y = (x – 3)2 + 5Scheitelpunkt S (3 | 5)a) Man muss darauf achten, dass die Gerade ausreichend steil ist und hoch genug die y-Achse schneidet. Es ist leichter, eine Gerade mit positi-ver Steigung zu wählen.Zum Beispiel: g: y = x + 7Überprüfen anhand einer Skizze:

y

x

2–2–4–6–8–10–12 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

O

y = x + 7

y = (x – 3)2 + 5

b) Man sucht eine Gerade, die unterhalb von p verläuft. Zum Beispiel:g: y = – x + 2 oder auch h: y = x.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 131

Überprüfen anhand einer Skizze:y

x

2–2–4–6–8–10–12 4 6 8 10

2

–2

4

6

8

10

12

14

O

y = (x – 3)2 + 5

y = – x + 2

y = x

32 Funktionsgleichungenp1: y = – x2 + 2p2: y = (x – 3)2 + 2Die Parabel p2 soll verschoben werden, so dass sie genau einen gemeinsamen Punkt mit p1 hat.Für die gesuchte Funktion mit y = x2 + b x + c muss also gelten: x2 + b x + c = – x2 + 2 Und diese Gleichung soll genau eine Lösung ha-ben; d. h. sie muss zu einem Binom umgeformt werden können. x2 + b x + c = – x2 + 2 | + x2 – 2 2 x2 + b x + c – 2 = 0 |÷2

x2 + b _ 2 x + c _ 2 – 1 = 0

Man kann nun Werte für b _ 2 wählen und c _ 2 – 1 so

bestimmen, dass diese Gleichung genau eine Lö-sung hat (also in der Form (x – a)2 geschrieben werden kann).Zum Beispiel:

b _ 2 = – 2 (also b = – 4)

Dann muss c _ 2 – 1 = 1 gelten, damit die

Gleichung die Form (x – 1)2 annehmen kann.

c _ 2 – 1 = 1

c _ 2 = 2

c = 4Mögliche Funktionsgleichung für die gesuchte Parabel: y = x2 – 4 x + 4 bzw. y = (x – 2)2

Die Parabel p2 kann zum Beispiel vom Scheitel-punkt (3 | 2) auf den Scheitelpunkt (2 | 0) verscho-ben werden; dann hat sie genau einen Schnitt-punkt mit p1 (vgl. Skizze).Weitere Positionen sind je nach Wahl von b möglich.

y

x

1–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7

1

–1

–2

2

3

p2

p1

4

O

33 Geradengleichung bestimmenAnsatz: y = m x + cAus R (0 | 5) erhält man c = 5. Zusammen mit m = 2 erhält man: g: y = 2 x + 5Funktionsgleichung der Parabel bestimmenAnsatz: y = x2 + b x + cDa die Gerade die Parabel in R (0 | 5) schneidet, liegt R auf p; damit ist c = 5.Einsetzen von (1 | 0) in y = x2 + b x + 5:0 = 12 + b + 5b = – 6Funktionsgleichung von p: y = x2 – 6 x + 5Schnittpunkte von g und p bestimmen x2 – 6 x + 5 = 2 x + 5 | – 2 x – 5 x2 – 8 x = 0 x (x – 8) = 0x1 = 0 und x2 = 8x1 = 0 gehört zum Schnittpunkt R.Einsetzen von x2 = 8 in g liefert: y2 = 21Zweiter Schnittpunkt: Q (8 | 21)

34 a) p: y = x2 + 4 x + 5g: y = 2 x + 4Terme gleichsetzen x2 + 4 x + 5 = 2 x + 4 | – 2 x – 4 x2 + 2 x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x = – 1In g eingesetzt erhält man: y = 2Berührpunkt: B (– 1 | 2)b) p1: y = (x – 3)2 – 3

p2: y = – 1 _ 2 x2

Terme gleichsetzen

(x – 3)2 – 3 = – 1 _ 2 x2 | + 1 _ 2 x2

3 _ 2 x2 – 6 x + 6 = 0 |÷ 3 _ 2

x2 – 4 x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0 x = 2In p2 einsetzen: y = – 2Berührpunkt: B (2 | – 2)

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c) p1: y = – x2 + 4 p2: y = x2 – 4 x + 6Terme gleichsetzen x2 – 4 x + 6 = – x2 + 4 | + x2 – 4 2 x2 – 4 x + 2 = 0 |÷2 x2 – 2 x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1In p1 einsetzen: y = 3Berührpunkt: B (1 | 3)d) p1: y = x2 + 4 x + 7

p2: y = 1 _ 2 x2 – 1

Terme gleichsetzen

x2 + 4 x + 7 = 1 _ 2 x2 – 1 | – 1 _ 2 x2 + 1

1 _ 2 x2 + 4 x + 8 = 0 | ⋅ 2

x2 + 8 x + 16 = 0 (x + 4)2 = 0 x = – 4In p2 einsetzen: y = 7Berührpunkt: B (– 4 | 7)

35 a) p: y = – 1 _ 2 x2 + 5

Geradengleichung von g bestimmeny = m x + cAus R (0 | 7) erhält man c = 7. Zusammen mit m = – 2 erhält man: g: y = – 2 x + 7Schnittpunkte von p und g berechnen

– 1 _ 2 x2 + 5 = – 2 x + 7 | + 2 x – 7

– 1 _ 2 x2 + 2 x – 2 = 0 | ⋅ (– 2)

x2 – 4 x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0 x = 2Da es nur eine Lösung gibt, gibt es nur einen gemeinsamen Schnittpunkt von g und p. Dieser kann nur Berührpunkt sein (denn wäre er ein normaler Schnittpunkt, dann würde es einen zweiten Schnittpunkt geben).b) y-Koordinate von B bestimmenEinsetzen von x = 2 in g liefert y = 3 B (2 | 3)Geradengleichung von h bestimmenDa h senkrecht auf g steht, gilt: mh ⋅ mg = – 1

mh ⋅ (– 2) = – 1 |÷(– 2)

mh = 1 _ 2

Einsetzen von B (2 | 3) in y = 1 _ 2 x + c:

3 = 1 _ 2 ⋅ 2 + c

2 = c

Funktionsgleichung von h: y = 1 _ 2 x + 2

Schnittpunkte von p und h berechnen

– 1 _ 2 x2 + 5 = 1 _ 2 x + 2 | – 1 _ 2 x – 2

– 1 _ 2 x2 – 1 _ 2 x + 3 = 0 | ⋅ (– 2)

x2 + x – 6 = 0

x1, 2 = − 1 _ 2 ± √ ________

( 1 _ 2 ) 2 − (− 6)

x1, 2 = – 0,5 ± 2,5

x1 = 2; x2 = – 3

Die Lösung x1 = 2 führt zum bekannten Schnitt-punkt B (2 | 3). Durch Einsetzen von x2 = – 3 in

y = 1 _ 2 x + 2 erhält man y2 = 0,5.

Zweiter Schnittpunkt von p und h: (– 3 | 0,5)

36 a) Funktionsgleichung von p1 berechnenAus S (0 | 4,5) erhält man c = 4,5. Einsetzen von P (4 | – 3,5) in y = a x2 + 4,5: – 3,5 = a ⋅ 42 + 4,5 | – 4,5 – 8 = 16 a |÷16

a = – 1 _ 2

Funktionsgleichung von p1: y = – 1 _ 2 x2 + 4,5

Funktionsgleichung der Geraden gg: y = x + 0,5Schnittpunkte berechnen

– 1 _ 2 x2 + 4,5 = x + 0,5 | – x – 0,5

– 1 _ 2 x2 – x + 4 = 0 | ± (– 2)

x2 + 2 x – 8 = 0

x1, 2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (– 8)

x1 = 2; x2 = – 4

Durch Einsetzen in y = x + 0,5 erhält man:y1 = 2,5; y2 = – 3,5

Die Schnittpunkte von p1 und g lauten:R (2 | 2,5) und T (– 4 | – 3,5)b) Funktionsgleichung von p2 berechnenAnsatz: y = x2 + b x + c R (2 | 2,5): (1) 2,5 = 22 + 2 b + cT (– 4 | – 3,5): (2) – 3,5 = (– 4)2 – 4 b + c

(1) – (2) 6 = – 12 + 6 b |÷6 1 = – 2 + b | + 2 3 = bEinsetzen in (1) ergibt: 2,5 = 4 + 2 ⋅ 3 = c c = – 7,5Funktionsgleichung von p2: y = x2 + 3 x – 7,5

37 a) Das Schaubild gehört zur Funktionsgleichung

von p2: y = 1 _ 4 x2. Denn diese Parabel ist die einzi-

ge, die durch (0 | 0) geht (Einsetzen von x = 0 in die Gleichungen)

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 131 – 132

b) Die Wertetabelle gehört zur Funktionsglei-chung von p1: y = x2 – 8 x + 13. Durch Einsetzen von x = 0 in die Gleichung findet man den Punkt (0 | 13) aus der Tabelle.c)

y

x

1–1–2–3–4

p2

p3 p1

2 3 4 5 6 7

1

–1

–2

–3

2

3

O

Es fällt auf, dann die Parabel p1 durch Verschie-ben von p3 um 4 Einheiten nach rechts entlang der x-Achse entsteht.Rechnerische Überprüfung ergibt die Scheitel-form von p1: y = (x – 4)2 – 3.

38 p1: y = x2 – 6 x + 10Scheitelpunkt von p1 berechneny = x2 – 6 x + 32 + 10 – 32

y = (x – 3)2 + 1Scheitelpunkt S1 (3 | 1)Man sucht eine Parabel p2, die ebenfalls nach oben geöffnet ist und einen Scheitelpunkt S2 hat, der dieselbe x-Koordinate hat wie S1. Denn für eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S2 (3 | 1 + c) sind alle Punkte in der y-Koordinate um c gegenüber p1 verschoben.Zum Beispiel:p2: y = (x – 3)2 + 2Normalform: y = x2 – 6 x + 11Überprüfen anhand einer Skizze:

y

p1 p2

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4

3

2

1

5

6

O

Tipp: Gib die zweite Parabel in Scheitelform an und achte dabei nur auf die y-Koordinate des Scheitelpunkts – die x-Koordinate bleibt bei die-ser Vorgehensweise immer gleich.

Anwenden. Nachdenken Seiten 132, 133

Seite 132

39 3,5 cm in der Zeichnung entsprechen 192 m in der Wirklichkeit; also 1 cm in der Zeichnung ent-spricht etwa 55 m. Der braune Wolkenkratzer rechts ist daher 55 m hoch.Gesucht ist nun die Breite der Parabel, die die Innenseite des Gebäudes darstellt, auf einer Höhe von 55 m, also für y = 55. Um diese Frage zu beantworten, muss man eine mögliche Para-belgleichung angeben und die x-Koordinaten zu y = 55 berechnen.Funktionsgleichung der Parabel bestimmen:Das Koordinatensystem kann durch den Schei-telpunkt (y-Achse) und auf der Höhe der Straße (x-Achse) gelegt werden.Die Innenseiten des Arch sind im Bild am Boden nur 3 cm auseinander, also ca. 165 m.Die Höhe der Innenparabel beträgt im Bild 3,4 cm, also in Wirklichkeit ca. 187 m.Man erhält die Punkte: (0 | 187) und (82,5 | 0).Ansatz: y = a x2 + cAus (0 | 187) erhält man: c = 187Einsetzen von (82,5 | 0) in y = a x2 + 187:0 = a ⋅ 82,52 + 187a = − 0,027 Funktionsgleichung: y = − 0,027 x2 + 187Einsetzen von y = 55 in die Funktionsgleichung: 55 = − 0,027 x2 + 187 | + 0,027 x2 – 55 0,027 x2 = 132 |÷0,027

x2 = 4804 | ± √ _

x1, 2 ≈ ± 69,3

Breite der Parabel auf der Höhe von y = 55:2 ⋅ 69,3 = 138,6 Das Gebäude dürfte maximal 138,6 m breit sein, damit es komplett in den Bogen passt.

40 Mögliche Schätzungen:• Abstand der Palmen: 4,00 m• Höhe der Befestigung an den Palmen: 1,30 m • geringster Abstand zum Boden:

40 cm = 0,40 my

x

0,5–0,5–1–1,5–2–2,5–3 1 1,5 2 2,5

0,5

1

A B

SS 0,4m

1,3m

4m

1,5

O

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173

5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 132

Bestimmen einer Funktionsgleichung Ansatz: y = a x2 + cPunkte: S (0 | 0,4); B (2 | 1,3)Aus S (0 | 0,4) erhält man c = 0,4Einsetzen von B (2 | 1,3) in y = ax2 + 0,4: 1,3 = a ⋅ 22 + 0,4 1,3 = 4 a + 0,4 | – 0,4 |÷4 a = 0,225Mögliche Funktionsgleichung:y = 0,225 x2 + 0,4

41 a) y = – 0,02 x2 + 10y

x

5–5–10–15–20–25–30 10 15 20 30

5

10

A

42,40m

O

b) Nullstellen berechnen 0 = – 0,02 x2 + 10 | + 0,02 x2

0,02 x2 = 10 |÷0,02 x2 = 500 | ± √

_

x1, 2 ≈ ± 22,36

x-Koordinate der Abwurfposition A bestimmen:42,40 – 22,36 = 20,04Man erhält daher: xA = – 20,04Einsetzen in die Funktionsgleichung:yA = – 0,02 ⋅ (– 20,04)2 + 10yA ≈ 1,97Der Speer verlässt Christins Hand auf einer Höhe von 1,97 m.

42 Funktionsgleichung bestimmenAnsatz: y = ax2 + cPunkte: S (0 | 3,6) und A (12 | 0)Aus S (0 | 3,6) erhält man c = 3,6Einsetzen von A (12 | 0) in y = a x2 + 3,6:0 = a ⋅ 122 + 3,6

a = − 3,6

_ 12 2

a = – 0,025Funktionsgleichung:y = – 0,025 x2 + 3,6Die obere Kante des Tors hat die x-Koordinate – 8 (da 20 m – 12 m = 8 m). Wenn sich der Ball genau über die vordere Kante des Tors befindet, hat er also xB = – 8.Einsetzen in die Funktionsgleichung:yB = – 0,025 (– 8)2 + 3,6yB = 2Damit erhält man die Position des Balls: B (– 8 | 2)

Der Ball hat also eine Höhe von 2 m, wenn er ge-nau über der Vorderkante des Tors ist. Der Fuß-ballspieler trifft daher ins Tor, da das Tor 2,44 m hoch ist.

43 Mögliches Koordinatensystem:x-Achse auf der Fahrbahn, y-Achse durch den Scheitelpunkt (damit liegt der Scheitelpunkt bei (0 | 0); vgl. Skizze)

y

x200–200–600–1000 600

200

100A B

67 m

127m

1280 m

O

y-Koordinate von B:227 m – 67 m = 160 m; also yB = 160x-Koordinate von B:1280 m÷2 = 640 m; also xB = 640Man erhält: B (640 | 160)Einsetzen der Koordinaten von B in y = a x2: 160 = a ⋅ 6402

a = 1 _ 2560

Mögliche Funktionsgleichung: y = 1 _ 2560 x2

44 y

x

25–25–50–75–100–125–150 50 75 100 125

20

40 A

B38m

52m

247 m123,5m

60

80

100

O

y-Koordinate des Punktes A: yA = 38Gesucht ist die Fahrbahnlänge, dafür braucht man die x-Koordinate von A.Eine mögliche Funktionsgleichung bestimmen:y = a x2 + cPunkte S (0 | 90) und A (123,5 | 0)Aus S (0 | 90) folgt c = 90.Koordinaten von A in y = a x2 + 90 einsetzen:0 = a ⋅ 123,52 + 90

a = − 90 _ 123, 5 2

≈ – 0,0059

Funktionsgleichung: y = – 0,0059 x2 + 90 (1)yA in (1) einsetzen um xA zu bestimmen

38 = – 0,0059 ⋅ x2 + 90 0,0059 ⋅ x2 = 90 – 38

x2 = 52 _ 0,0059 | ± √ _

x1,2 ≈ ± 93,88

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 132 – 133

Breite der Parabel auf Höhe von A: 2 ⋅ 93,88 = 187,76Die Fahrbahnlänge innerhalb des Bogens be-trägt etwa 187,8 m.

45 p: y = – 0,24 x2 + 4 Abwurfposition des Balls: A (xA | 2,4)x-Koordinate von A bestimmen 2,4 = – 0,24 x2 + 4 | + 0,24 x2 – 2,4 0,24 x2 = 1,6 |÷0,24

x2 = 1,6

_ 0,24 | ± √ _

x1,2 ≈ ± 2,58

Abwurfposition: A (– 2,58 | 2,4)x-Koordinate des Korbs K4,20 m – 2,58 m = 1,62 m; also ist xK = 1,62Bestimmen der y-Koordinate, des Punktes der Parabel (B) mit xK = 1,62:y = – 0,24 ⋅ 1,622 + 4y ≈ 3,37Der Ball fliegt also auf einer Höhe von 3,37 m und damit ca. 32 cm über dem Korb. Er geht daher nicht in den Korb hinein.

y

x

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

1

2A

xA

4,20m

xK

BK

3,05m2,40m

3

4

O

Ändern der Standposition des Spielers, damit der Ball mit der gleichen Flugkurve in den Korb trifft:Der Korb mit (xB | 3,05) muss sich auf der Flug-kurve befinden, die der Ball durchläuft.y = 3,05 einsetzen um xB zu bestimmen: 3,05 = – 0,24 ⋅ x2 + 4 | – 4 – 0,95 = – 0,24 ⋅ x2 |÷(– 0,24)

x2 = 0,95

_ 0,24 | ± √ _

x1,2 ≈ ± 1,99

Also muss der Korb einen horizontalen Ab-stand von 1,99 m von der y-Achse haben, statt ursprünglich 1,62 m. Dies entspricht einer Ver-schiebung der Parabel um 1,99 – 1,62 = 0,37 Richtung negativer x-Achse. Der Spieler muss daher um 0,37 m nach hinten (vom Korb weg) rücken.4,20 m + 0,37 m = 4,57 m

y

x

1–1–2

0,37w 0,37m

3,05m

–3–4–5–6 2 3 4 5

1

Aneu Aalt

Balt

K = Bneu2

3

4

O

Der Spieler muss einen Abstand von ca. 4,57 m zum Korb haben, damit er mit der gleichen Flug-kurve treffen kann.

Seite 133

46 Höhe der Brückendurchfahrt: 3,30 m (vgl. oberes Verbotsschild)

y

x

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

1

2

A

2,90m

5,60 m

2,80m

F

S (0|3,3)3

4

O

Der Punkt F markiert die oberste Spitze des Fahrzeugs mit yF = 2,9. Gesucht ist x-Koordinate des Punktes F.Funktionsgleichung bestimmenAus S (0 | 3,3) erhält man y = a x2 + 3,3.Einsetzen von A (2,8 | 0):0 = a ⋅ 2,82 + 3,3

a = − 3,3

_ 2, 8 2

≈ – 0,4209

Mögliche Funktionsgleichung:y = – 0,4209 x2 + 3,3Einsetzen von yF = 2,9 in die Funktions-gleichung: 2,9 = – 0,4209 x2 + 3,3 | – 3,3 – 0,4 = – 0,4209 x2 |÷(– 0,4209)

x2 = 0,4 _ 0,4209 | ± √

_

x1,2 ≈ ± 0,975

Breite des Fahrzeugs: 2 ⋅ 0,975 = 1,95Ein Fahrzeug, das eine Höhe von 2,90 m auf-weist, darf eine maximale Breite von 1,95 m haben.

47 a) s: Bremsweg in m; v: Geschwindigkeit in km/hFaustformel

s = ( v _ 10 ) 2 bzw. s = 1 _ 100 v 2

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2020 unter der ISBN 978-3-12-744303-5.

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5 Lineare und quadratische Funktionen Schülerbuchseite 133

b) v = 100 km/h

s = 1 _ 100 ⋅ 100 2

s = 100 Es ergibt sich ein Bremsweg von 100 m.c) s = 150 m

150 = 1 _ 100 v 2 | ⋅ 100

15 000 = v2 | ± √ _

v1,2 = ± 122,5

Die Geschwindigkeit betrug etwa 122,5 km/h (die negative Lösung wird nicht berücksichtigt).d) v = 2 vFür den gesuchten Bremsweg sʹ gilt:

sʹ = 1 _ 100 (2 v) 2

sʹ = 4 ⋅ 1 _ 100 v 2

sʹ = 4 ⋅ sBei doppelter Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg.

48 a) • Funktionsgleichung von p bestimmen

p: y = a x2 + c A (– 4 | 2): (1) 2 = a ⋅ (– 4)2 + c B (2 | – 1): (2) – 1 = a ⋅ 22 + c | ⋅ (– 1)

(1ʹ ) 2 = 16 a + c (2ʹ ) 1 = – 4 a – c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 3 = 12 a

a = 1 _ 4

Einsetzen in (1ʹ ) ergibt: c = – 2

Funktionsgleichung p: y = 1 _ 4 x2 – 2

• Funktionsgleichung von g bestimmen g: y = m x + c

m = y B − y A

_ x B − x A = – 1 − 2 _ 2 − (– 4) = – 3 _ 6 = − 1 _ 2

Einsetzen von (2 | – 1) in y = − 1 _ 2 x + c:

– 1 = − 1 _ 2 ⋅ 2 + c c = 0 Funktionsgleichung g: y = − 1 _ 2 x

y

x

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

1

–1

–2

2

3 f

g

O

b) h: y = m h   x + cDa h senkrecht auf g steht gilt: m h ⋅ m g = – 1

m h ⋅ (− 1 _ 2 ) = – 1 | ⋅ (– 2)

m h = 2

h geht durch den Scheitelpunkt von p, also durch S (0 | – 2). Daraus erhält man c = – 2.h: y = 2 x – 2Schnittpunkt von g und h berechnen

2 x – 2 = – 1 _ 2 x | + 1 _ 2 x + 2

5 _ 2 x = 2 |÷ 5 _ 2

x = 0,8Einsetzen in g ergibt: y = – 0,4Schnittpunkt T (0,8 | – 0,4)

49 a) y

x

1–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5

1

–1

2

3

O

Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 | 1) und haben diesen als Scheitelpunkt.b) Nur die Funktion y = – x2 + 1 besitzt Nullstel-len. Die Parabeln, die nach oben geöffnet sind, liegen oberhalb der x-Achse))

50 Im ersten Druck des Schülerbuchs befindet sich ein Fehler: Die Terme auf der rechten Seite des Kärtchens müssen lauteny = x2 – 2 x + 2y = x2 – 1 x + 1y = x2 + 1 x – 1y = x2 + 2 x – 2

y

x

1–1–2–3–4–5

S1

S2

S3

S4S8

S7

S6

S5

f1

f2f3f4 f8

f7f5

f6

2 3 4 5 6

1

–1

–2

–3

2

3

O

a) Alle Kurven liegen auf der Parabel p mit der Gleichung p: y = – x2 + 2 x bzw. y = – (x – 1)2 + 1.b) Mögliche Lösung:Weitere Parabeln, deren Scheitelpunkt auf der Parabel p liegt, lauteny = x2 (– 0 x + 0)y = x2 + 3 x – 3c) Eine allgemeine Formel für Parabeln mit die-ser Eigenschaft lautet y = x2 – a x + a, wobei a eine ganze Zahl ist.

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51 p1: y = x2 – 8 x + 15 Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)0 = x2 – 8 x + 15

x1, 2 = − (− 8 _ 2 ) ± √ ________

(− 8 _ 2 ) 2 − 15

x1, 2 = 4 ± 1x1 = 3; x2 = 5Schnittpunkte mit der x-Achse:N1 (3 | 0) und N2 (5 | 0)Schnittpunkt mit y-Achse (x = 0)T1 (0 | 15)

y

x

1–1–2 N2

T1

N12 3 4 5 6 7 8 9

8

6

4

2

–2

10

12

14

16

O

Flächeninhalt des Dreiecks N1N2T1

A N 1 N 2 T 1   = 1 _ 2 · ‾ N 1 N 2 · h

A N 1 N 2 T 1   = 1 _ 2 · 2 · 15

A N 1 N 2 T 1   = 15

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 15 Flä-cheneinheiten.

52 a) Ansatz: y = x2 + b x + cKoordinaten der Punkte Q und R einsetzenQ (2 | 5): (1) 5 = 22 + 2 b + c | ⋅ (– 1)R (– 5 | 12) (2) 12 = (– 5)2 – 5 b + c

(1ʹ ) – 5 = – 4 – 2 b – c(2ʹ ) 12 = 25 – 5 b + c

(1ʹ ) + (2ʹ ) 7 = 21 – 7 b |÷7 1 = 3 – b | + b – 1(3) b = 2Einsetzen von (3) in (1): 5 = 22 + 2 ⋅ 2 + c | – 8 – 3 = cFunktionsgleichung von p: y = x2 + 2 x – 3Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)0 = x2 + 2 x + – 3

x1, 2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (− 3)

x1, 2 = – 1 ± 2

x1 = – 3; x2 = 1

Schnittpunkte mit der x-Achse:N1 (– 3 | 0) und N2 (1 | 0)

Schnittpunkt mit y-Achse (x = 0)T1 (0 | – 3)

y

x

1–1–2–3–4

N2

T1

N1

–5–6–7 2 3 4

1

–1

–2

–3

–4

2

O

Flächeninhalt des Dreiecks N1T1N2

A N 1 T 1 N 2   = 1 _ 2 · ‾ N 1 N 2 · h

A N 1 T 1 N 2   = 1 _ 2 · 4 · 3

A N 1 T 1 N 2   = 6

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 6 Flächen einheiten.b) Es muss gelten: A N 1 T 2 N 2   = 10

1 _ 2 · ‾ N 1 N 2 ·hʹ = 10

1 _ 2 ·4 · h‘ = 10

hʹ = 5 LEDamit das Dreieck einen Flächeninhalt von 10 FE hat, muss es eine Höhe von 5 LE haben. Die y-Koordinate des Punktes T2 muss also 5 betragen.Einsetzen in die Funktionsgleichung:5 = x2 + 2 x – 3 | – 50 = x2 + 2 x – 8

x1, 2 = − 2 _ 2 ± √ ________

( 2 _ 2 ) 2 − (− 8)

x1, 2 = – 1 ± 3

x1 = – 4; x2 = 2

Es gibt also zwei mögliche Lagen für T2 damit der Flächeninhalt des Dreiecks N1T2N2 10 Flä-cheneinheiten groß ist: T2 (2 | 5) bzw. T 2 ʹ (– 4 | 5)

y

x

1–1–2–3–4

N2

T2

T1

N1

T2

–5–6–7 2 3 4

1

–1

–2

–3

–4

2

3

4

5

O

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