1

5. Wärmeübertrager Wärmeübertrager sind Apparate, in denen ein Fluid erwärmt oder abgekühlt wird. Das Heiz- oder Kühlmedium ist in der Regel ein anderes Fluid. Verdampft oder kon-densiert ein Fluid dabei, ist der Wärmeübergangskoeffizient so hoch, dass die Wand-temperatur als annähernd konstant angesehen werden kann. Dieser Fall wird geson-dert behandelt. Begonnen wir mit dem einfachen Fall, dass das Fluid elektrisch er-wärmt wird. Die Temperaturunterschiede im Querschnitt des Fluids können vernach-lässigt werden. Dessen Temperatur ändert sich somit nur mit der Strömungslänge. 5.1 Konstante Wärmestromdichte Wird ein Fluid elektrische erwärmt, ist die übertragene Wärmestromdichte längs des Strömungsweges aufgeprägt und konstant. Bild 5-1 zeigt schematisch ein elektrisch beheiztes Rohr mit zugehörigem Temperaturverlauf. Ist Q& der zugeführte Wärme-strom, so beträgt die Wärmestromdichte

AQ

LUQ

q&&

& =⋅

= , (5-1)

wobei L die Länge der Wärmeübertragung und U der Umfang des Rohres oder Ka-nals ist.

Bild 5-1: Temperaturverläufe bei einem elektrisch beheizten Rohr Für die Zunahme der Temperatur gilt für ein infinitesimales Längenelement

dTcMdxUq p ⋅⋅=⋅⋅ && . (5-2)

Mit der Eintrittstemperatur Tx=0 als Anfangsbedingung

2

( ) 0xT0xT === . (5-3)

folgt

Lx

cMQ

TTp

0x ⋅⋅

+= = &

&

. (5-4)

Die Fluidtempreatur steigt also linear an. Die Austrittstemperatur Tx=L beträgt

( )0xLp TTcMQ =−⋅⋅= && . (5-5)

Für die Wandtemperatur gilt

( )TTq w −⋅α=& . (5-6) Diese steigt also ebenfalls linear mit der Länge an. Je geringer der Wärmeüber-gangskoeffizient ist, desto größer ist folglich die sich einstellende Temperaturdiffe-renz zwischen Wand und Fluid. Der Wärmeübergangskoeffizient ist entsprechend Abschnitt 3. … auf die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz des Kanals bezo-gen. Diese setzt eine konstante Wandtemperatur voraus. Da die Wandtemperatur bei konstanter Wärmestromdichte jedoch ansteigt, muss eine modifizierte Nusseltfunkti-on verwendet werden:

( ) ( )45,0

ww T

TkonstTNukonstqNu

⋅===& .

(5-7)

5.2 Konstante Wandtemperatur Bei einigen technischen Prozessen ist der Wärmeübergangskoeffizient oder der Wär-mekapazitätsstrom des einen Fluides um ein Vielfaches höher als der des anderen Fluides. Die Wandtemperatur des Rohres oder Kanals kann dann näherungsweise als konstant angesehen werden. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ein Fluid durch kondensierenden Dampf erwärmt wird. Die Wand hat dann näherungsweise die Kondensationstemperatur. In Bild 5-2 ist der prinzipielle Temperaturverlauf des Fluids dargestellt. Für ein infini-tesimales Längenelement dx gilt die Energiebilanz

QdHd && = , (5-8)

Die Enthalpieänderung ist gleich dem zu- oder abgeführten Wärmestrom. Mit der Zu-standsgleichung für die Enthalpie und den Newtonschen Ansatz für die Wärmeüber-tragung folgt

( ) dTcMTTdxU pw ⋅⋅=−⋅⋅⋅α & , (5-9)

3

wobei U wiederum der Umfang des Kanals ist.

Bild 5-2: Erwärmung eines strömenden Fluids in einem Kanal mit konstanter

Wandtemperatur Mit der Eintrittsbedingung

( ) 0xT0xT === (5-10)

liefert die Lösung der obigen Dgl

⋅

⋅

⋅α−=

−

−

= Lx

cMA

expTT

TT

pw0x

w

&.

(5-11)

Die dimensionslose Größe im Exponenten wird als Stantonzahl bezeichnet.

pcM

ASt

⋅

⋅α=

&.

(5-12)

Ihre physikalische Bedeutung ist

FluidsdestromEnthalpiesWärmestromerübertragenkonvektiv

~St .

Der insgesamt übertragene Wärmestrom beträgt

( )0xLxp TTcMQ == −⋅⋅= && . (5-13)

Mit der Gleichung (5-11) für pcM ⋅& folgt

mTAQ ∆⋅⋅α=&

4

mit der logarithmischen Temperaturdifferenz

( ) ( )

kl

gr

klgr

wLx

w0x

wLxw0xm

T

Tln

TT

TTTT

ln

TTTTT

∆

∆

∆−∆=

−

−

−−−=∆

=

=

== , (5-14)

wobei grT∆ die große und klT∆ die kleine Temperaturdifferenz entsprechend Bild 5-2

bedeuten. 5.3 Wärmeübertragung Fluid – Fluid In den meisten Fällen wird ein Fluid mit einem anderen Fluid erwärmt oder gekühlt. Beispielsweise wird ein Prozessgas durch ein heißes Verbrennungsgas erwärmt oder mit Umgebungsluft gekühlt. Die Apparate werden idealisiert als adiabat betrachtet. Auf Grund von guten Isolierungen sind die Wärmeverluste relativ niedrig. 5.3.1 Temperaturverläufe Die beiden Fluide können innerhalb des Apparates auf verschiedenste Weise zuein-ander geführt werden. In Bild 5-3 sind die beiden Grundfälle dargestellt, bei denen beide Fluide entweder parallel oder im gegeneinander durch den Apparat strömen. Die Temperaturverläufe hängen vom Produkt pcM ⋅& ab, was als Kapazitätsstrom be-

zeichnet wird. Für die Temperaturänderung des Fluids zwischen Ein- und Austritt gilt nämlich

( )Lx10x11p1 TTcMQ == −⋅⋅= && (5-15)

( )0x2Lx22p2 TTcMQ == −⋅⋅= && , (5-16)

wobei Q& der übertragene Wärmestrom ist. Je höher der Kapazitätsstrom ist, desto geringer ist die Temperaturdifferenz zwischen Ein- und Austritt. Im Bild 5-2 ist eine Temperatur ∞T eingezeichnet. Dieser Temperatur würden sich beide Fluide bei ei-

nam unendlich lagen Wärmeübertrager annähern (Ausnahme 2p21p1 cMcM ⋅=⋅ && bei

Gegenstrom). Bei Gleichstrom wäre diese Temperatur auch die Mischungstempera-tur beider Fluide.

5

Bild 5-3: Prinzipielle Temperaturverläufe bei Gleich- und Gegenstrom Zur Berechnung der Temperaturverläufe wird wieder von einer infinitesimalen Ener-giebilanz für die Strecke dx ausgegangen. Der übertragene Wärmestrom bewirkt eine Enthalpieabnahme des Fluid 1

1HdQd && −= (5-17)

und eine Enthalpiezunahme des Fluid 2

2HdQd && = . (5-18)

Die Enthalpieströme sind definiert als

11p11 dTcMHd ⋅⋅= && (5-19)

22p22 dTcMHd ⋅⋅= && . (5-20)

Für den Wärmestrom gilt entsprechend dem Wärmedurchgang

( ) dxLA

TTkQd 21 ⋅⋅−⋅=& . (5-21)

6

Je höher die Temperaturdifferenz T1 – T2 an einem Ort x ist, desto höher ist folglich der übertragene Wärmestrom. Je höher dieser wiederum ist, desto stärker muss die Änderung der Fluidtemperatur und damit der Temperaturgradient sein. Aus dieser Überlegung heraus lassen sich die Temperaturverläufe für die verschiedenen Kapa-zitätsstromverhältnisse leicht nachvollziehen. Somit ergeben sich aus den Bilanzen (5-17) und (5-18) die beiden gekoppelten Dgln

( ) 0TTLAk

dxdT

cM 211

1p1 =−⋅⋅

+⋅⋅& (5-22)

( ) 0TTLAk

dxdT

cM 122

2p2 =−⋅⋅

+⋅⋅& . (5-23)

Bei Gleichstrom sind beide Massenströme positiv, bei Gegenstrom ist der x-Achse entgegenströmende Massenstrom negativ. Zur Lösung der beiden Dgln werden jeweils eine Temperatur als Randbedingung be-nötigt. Bei Wärmeübertragern sind vier verschiedene Kombinationen dieser beiden Temperaturen möglich, wie in Bild 5-4 veranschaulicht ist. Die beiden rechten Fälle lassen sich jedoch in die beiden linken Fälle überführen, wenn die Koordinatenrich-tung umgekehrt wird oder x durch xL*x −= ersetzt wird. Die Lösungen für die bei-den linken Fälle werden in dem folgenden Abschnitt vorgestellt.

Bild 5-4: Mögliche als Randbedingung vorgegebene Temperaturen bei Wärmeü-

bertragern Ist der Wärmeübergangskoeffizient ortsabhängig, z. B. falls sich der Wärmeüber-gangskoeffizient mit der Temperatur stark verändert, müssen die beiden Dgln nume-risch gelöst werden. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn sich bei Gasen die Dichte und damit die Geschwindigkeit oder bei Flüssigkeiten die Viskosität erheblich verän-dern und die Verwendung von Mittelwerten zu ungenau wird. Bei konstantem Ak ⋅ lassen sich die beiden Dgln entkoppeln. Hierbei muss zwischen gleichen Kapazitätsströmen bei Gegenstrom und ungleichen Wärmekapazitätsströ-men unterschieden werden.

7

5.3.2 Gleiche Kapazitätsströme (Gegenstrom) Bei Gegenstromwärmeübertragern mit betragsmäßig gleichen Kapazitätsströmen ( 2p21p1 cMcM ⋅−=⋅ && ) geht man von den Dgln (5-22) und (5-23)

( ) 0TTLAk

dxdT

cM 211

1p1 =−⋅⋅

+⋅⋅& , (5-22a)

( ) 0TTLAk

dxdT

cM 122

1p1 =−⋅⋅

+⋅⋅− & , (5-24)

aus, addiert beide Gleichungen und erhält

0dxdT

dxdT 21 =− .

(5-25)

Hieraus folgt

312 CTT += (5-26)

mit einer Konstanten C3. Setzt man diese Gleichung in eine der obigen Dgln ein, so ergibt sich die allgemeine Lösung

41p1

31 CxLcM

AkCT +

⋅⋅

⋅⋅=&

(5-27)

und damit

341p1

32 CCxLcM

AkCT ++

⋅⋅

⋅⋅=&

. (5-28)

Die Temperaturverläufe sind also linear und parallel. Es gibt demnach keine Aus-gleichstemperatur. Die Konstanten C3 und C4 bestimmt man aus den Randbedingun-gen. So erhält man

xStTT

TT

0x10x2

0x11 ⋅=−

−

==

= , 1xStTT

TT

0x10x2

0x12 +⋅=−

−

==

= (5-29)

und

1StxSt

TTTT

0x1Lx2

0x11

+

⋅=

−

−

==

= , 1St1xSt

TTTT

0x1Lx2

0x12

+

+⋅=

−

−

==

= . (5-30)

mit der Stantonzahl

8

1p1 cM

AkSt

⋅

⋅=

&

(5-31)

und der dimensionslosen Koordinate

Lx

X = . (5-32)

5.3.3 Ungleiche Kapazitätsstromverhältnisse Bei ungleichen Kapazitätsstromverhältnissen lassen sich die beiden Dgln unter Zuhil-fenahme der Temperatur ∞T entkoppeln. Sowohl bei Gleich- als auch bei Gegen-strom gilt die Energiebilanz von einer beliebigen Position x bis zur Streck x = L

( )[ ] ( )[ ]xTTcMTxTcM 2p211p1 −⋅⋅=−⋅⋅ ∞∞&& . (5-33)

Ersetzt man in den obigen beiden Dgln die Temperaturen T2 bzw. T1 durch die Glei-chung (5-33), so ergibt sich für die entkoppelten Dgln

( )( ) 0TT

cM

cM1

LcMAk

dxTTd

12p2

1p1

1p1

1 =−⋅

⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅+

−∞

∞

&

&

&

(5-34)

( )( ) 0TT

cM

cM1

LcMAk

dxTTd

21p1

2p2

2p2

2 =−⋅

⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅+

−∞

∞

&

&

&.

(5-35)

Jedes Fluid verhält sich also derart, als stehe es im Wärmeaustausch mit einer Wand der konstanten Temperatur ∞T . Diese Temperatur erhält man aus der Energiebilanz entsprechend Gleichung (5-33) von x = 0 an

2p21p1

0x22p20x11p1

cMcM

TcMTcMT

⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

==

∞ &&

&&

. (5-36)

Die Gleichungen zur Berechnung der Temperaturverläufe für die beiden Arten von Randbedingungen sind in der Tabelle 5-1 zusammengefasst. Das Kapazitätsstrom-verhältnis wird, wie in der Praxis üblich, stets positiv angesetzt. Die Gleichungen für Gegen- und Gleichstrom unterscheiden sich folglich nur durch das positive bzw. ne-gative Vorzeichen vor dem Kapazitätsstromverhältnis Ω .

9

1p1 cM

AkSt

⋅

⋅=

&,

Lx

X = , |cM|

|cM|

2p2

1p1

⋅

⋅=Ω

&

&

(5-37)

Gegenstrom (T1x=0, T2x=0)

( )[ ]XSt1expTT

TT

0x1

1 ⋅⋅Ω−−=−

−

∞=

∞ , ( )[ ]XSt1expTT

TT

0x2

2 ⋅⋅Ω−−=−

−

∞=

∞

(5-38)

Ω−

⋅Ω−= ==

∞ 1TT

T 0x10x2 (5-39)

Gegenstrom (T1x=0, T2x=L)

( )[ ]XSt1expTT

TT

0x1

1 ⋅⋅Ω−−=−

−

∞=

∞ , ( ) ( )[ ]X1St1expTT

TT

Lx2

2 −⋅Ω−+=−

−

∞=

∞

(5-40)

( )[ ]( )[ ] Ω−Ω−⋅

⋅Ω−Ω−⋅⋅= ==

∞ 1StexpT1StexpT

T 0x1Lx2 (5-41)

Gleichstrom (T1x=0, T2x=0)

( )[ ]XSt1expTT

TT

0x1

1 ⋅⋅Ω+−=−

−

∞=

∞ , ( )[ ]XSt1expTT

TT

0x2

2 ⋅⋅Ω+−=−

−

∞=

∞

(5-42)

Ω+

⋅Ω+= ==

∞ 1TT

T 0x10x2

(5-43)

Gleichstrom (T1x=0, T2x=L)

( )[ ]XSt1expTT

TT

0x1

1 ⋅⋅Ω+−=−

−

∞=

∞ , ( ) ( )[ ]X1St1expTT

TT

Lx2

2 −⋅⋅Ω++=−

−

∞=

∞

(5-44)

( )[ ]( )[ ] Ω+Ω+⋅

⋅Ω+Ω+⋅⋅= ==

∞ 1StexpT1StexpT

T 0x1Lx2 (5-45)

Tabelle 5-1: Zusammenfassung der Gleichungen für die Temperaturverläufe bei

Wärmeübertragern 5.4 Auslegung von Wärmeübertragern Bei der Auslegung von Wärmeübertragern ist in der Regel die zur Wärmeübertra-gung notwendige Fläche A und damit die Größe Ak ⋅ gesucht. Gegeben sind in der Regel einerseits der Massenstrom sowie die Ein- und Austrittstemperaturen des ei-nen Fluids und andererseits der Massenstrom und die Eintrittstemperatur des ande-ren Fluids. Gesucht sind davon die Austrittstemperatur dieses Fluids, die Fläche und der übertragene Wärmestrom. Für diesen gilt

10

( )∫ ⋅−⋅=

L

0

21 dxTTLA

kQ& . (5-46)

Mit den zuvor angegebenen Temperaturverläufen erhält man

mTAkQ ∆⋅⋅=& (5-47)

mit der in Bild 5-5 zusammengefassten mittleren Temperaturdifferenz für die ver-schiedenen Fälle. Für den Wärmestrom gelten weiterhin die beiden Gleichungen

( )Lx10x11p1 TTcMQ == −⋅⋅= && (5-15)

und

( )0x2Lx22p2 TTcMQ == −⋅⋅= && . (5-16)

Bild 5-5: Mittlere Temperaturdifferenzen Damit stehen drei Gleichungen zur Berechnung von drei Unbekannten zur Verfü-gung. Dies können, wie eingangs erläutert, die Fläche, der Wärmestrom und eine Austrittstemperatur sein. Es sind jedoch auch viele andere Auslegungsfälle denkbar. Ist beispielsweise der Wärmestrom gegeben, so können die Fläche und zwei Tempe-

11

raturen berechnet werden. Sind beispielsweise alle Temperaturen gegeben, so erhält man aus den Gleichungen den Wärmestrom, die Fläche und einen Massenstrom. Um die Unterschiede der beiden Strömungsführungen von Gleich- und Gegenstrom beurteilen zu können, werden die übertragenen Wärmeströme miteinander vergli-chen. Dazu werden die Eintrittstemperaturen der beiden Fluide, ihrer Kapazitätsströ-me und die Stantonzahlen jeweils als gleich angenommen. Für beide Strömungsfüh-rungen wird der übertragene Wärmestrom jeweils aus der Tabelle 5-1 berechnet, wobei die für die logarithmische Temperaturdifferenz benötigten Austrittstemperatu-ren aus den Gleichungen (5-16) und (5-17) mit dem Bild (5-5) ermittelt werden. Man erhält dann für das Verhältnis der bei Gegenstrom und bei Gleichstrom übertragenen Wärmeströme

( )

( ) St||1||1

e||1e1

Q

QSt||1

St||1

Gleich

Gegen

⋅Ω−

Ω+⋅

⋅Ω−

−=

⋅Ω−−

⋅Ω−−

&

&

. (5-48)

Bild 5-6: Vergleich der bei Gegen- und bei Gleichstrom übertragenen Wärmeströ-

me Diese Gleichung ist im Bild 5-6 grafisch dargestellt. Man erkennt, dass bei Gegen-stromführung stets ein höherer Wärmestrom übertragen wird als bei Gleichstromfüh-rung. Bei sehr großen und bei sehr kleinen Kapazitätsstromverhältnissen werden die Unterschiede jedoch gering, da dann die Temperaturänderung jeweils eines Fluids gegen null geht und sich somit die Verhältnisse bei konstanter Umgebungstempera-tur nach Abschnitt 5.2 ergeben. Vom energetischen Standpunkt aus ist also eine Ge-genstromführung der Gleichstromführung immer vorzuziehen. An die Bauarten von Wärmeübertragern können verschiedenste Anforderungen ge-stellt sein. Stets sollen die Investitionskosten und die Betriebskosten gering sein. Zur Minimierung der Investitionskosten müssen die Fläche und damit die Größe gering sein. Dies erfordert hohe Wärmeübergangskoeffizienten. Zur Minimierung der Be-triebskosten muss der Druckverlust und damit die Gebläse- oder Pumpenleistung gering sein. Dies erfordert niedrige Strömungsgeschwindigkeiten, was hohen Wär-

12

meübergangskoeffizienten entgegensteht. Somit muss stets ein wirtschaftliches Kos-tenoptimum gefunden werden. Folglich gibt es je nach Anwendungsfall Bauarten mit verschiedensten Strömungsführungen, um hohe Wärmeüberganskoeffizienten und geringe Druckverluste zu erhalten. Darüber hinaus können bestimmte geometrische Besonderheiten vorgegeben sein, wie beispielsweise Zulauf und Ablauf nur an einer Seite möglich, begrenzter Platzbedarf (Längen- oder Höhenbegrenzung). In Bild 5-7 sind beispielhaft einige typische Bauformen dargestellt. Zur Erhöhung der Fläche und des Wärmeüberganskoeffizienten wird ein Fluid oft auf mehrere kleine Rohre aufgeteilt. Je kleiner der Durchmesser ist, desto höher ist entsprechend der Nusseltfunktion der Durchmesser. Das andere Fluid muss dann die Rohre überströ-men. Für einen hohen Wärmeübergangskoeffizienten ist folglich wiederum eine klei-ne Überströmlänge notwendig. Dazu müssen die Rohre quer und nicht längs über-strömt werden. Das äußere Fluid wird daher bei der Durchströmung des Apparates mehrfach umgelenkt. Jede Umlenkung erhöht jedoch den Druckverlust. Bild 5-7: Beispiele von typischen Wärmeübertrager-Bauarten Oftmals werden Rohre nur quer angeströmt. Dies ist z. B. im Heizthermen der Fall, in den Wasser in Rohren von außen durch Verbrennungsgase erhitzt wird. Hier strö-men die beiden Fluide im Kreuzstrom. Für die Berechnungsgleichungen (speziell mittlere Temperaturdifferenz) wird auf den VDI-Wärmeatlas verwiesen.