5.1. Allgemeines zum Value at Risk - Universität Hohenheim · Value-at-Risk bei normalverteilten...

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5.1. Allgemeines zum Value at Risk 5. Value at Risk als Instrument zur Risikomessung Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 61 Folien: © Tanja Dresel, Lutz Johanning,. Hans-Peter Burghof

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5.1. Allgemeines zum Value at Risk

5. Value at Risk als Instrument zur Risikomessung

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 61

5.1. Allgemeines zum Value at Risk

Folien: © Tanja Dresel, Lutz Johanning,. Hans-Peter Burghof

Value-at-Risk bei normalverteilten täglichen Marktwertänderungen ∆V Wahrscheinlichkeitsdichte

Der Value-at-Risk einer Einzel- oder Gesamtposition kann aus der durch die Risikoanalyse gewonnenen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktwert-änderungen ermittelt werden.

5.1 Allgemeines zum Value-at-Risk

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VaR(95%)

p=5 %

∆V µ

Grundlagen der VaR-Berechnung:

Berechnung der Erwartungswerte, Standardabweichungen und Korrelationen

Value-at-Risk bei normalverteilten täglichen Marktwertänderungen ∆VWahrscheinlichkeitsdichte

Standardabweichung von ∆Vi,t

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VaR(95%)

p=5 %

∆Vi,tE(∆Vi,t )

– X · S(∆Vi,t)

Erwartungswert von ∆Vi,t

Definition der Gewinne und Verluste (P&L):

� i.d.R. Kursänderungen / Renditen

Formal: ∆Vi,t=Vi,t−Vi,t−1

∆Vi,t = Marktwertänderung des Wertpapiers i im Zeitpunkt tVi,t −Vi,t−1 = Differenz der Marktwerte der Wertpapierei in t bzw. t–1

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In den gängigen Marktrisikomodellen baut die VaR-Berechnung i.d.R. auf der täglichen Rendite(bei eintägiger Haltedauer) der Finanzinstrumente auf

Rendite Ri,t als diskrete Preisänderung:

Rendite ri,t als stetige Preisänderung:

1,

1,,,

−−=

ti

tititi V

VVR

)/ln( 1,,, −= tititi VVr

Diskrete vs. Stetige Renditen:

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Rendite ri,t als stetige Preisänderung: 1,,, −tititi

Für sehr kleine Renditen gilt: titi rR ,, ≈

Nachfolgend wird mit überweigtend der logarithmierten (bzw. stetigen) Rendite gearbeitet.

=> Implikation, dass der Aktienkurs nicht kleiner als Null werden kann

Gegeben sind die Kurse von drei Wertpapieren von 14.05.2001 bis 18.05.2001:

WP A WP B WP C14.5.2001 47,90 33,70 164,9915.5.2001 47,83 34,00 164,8016.5.2001 48,80 33,73 165,4017.5.2001 49,21 33,65 172,0018.5.2001 49,75 32,68 170,01

Aufgabe 1:

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a) Berechnen Sie für die Tage von 15.05.01 bis 18.05.01 sowohl die stetigen als auch die diskreten Renditen der drei Wertpapiere.

stetig WP A WP B WP C15.5.200116.5.200117.5.200118.5.2001

diskret WP A WP B WP C15.5.200116.5.200117.5.200118.5.2001

Berechnung des Erwartungswertes der täglichen Renditen µµµµi,t eines Wertpapiers i für den Zeitpunkt t

• Annahme:

der Schätzwert für den Erwartungswert entspricht dem Durchschnitt derRenditen über einen beobachteten historischen Zeitraum K

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=> Annahme der Stationarität

∑=

+−⋅=K

kktiti r

K 11,,

Erwartungswert der täglichen Renditen

0,0008

0,0012

0,0016

0,002

Beispiel: DAX 2007

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“

0

0,0004

04.1

2.06

04.0

1.07

04.0

2.07

04.0

3.07

04.0

4.07

04.0

5.07

04.0

6.07

04.0

7.07

04.0

8.07

04.0

9.07

04.1

0.07

04.1

1.07

04.1

2.07

68

=> Der Erwartungswert der täglichen Renditen 2007 war immer größer Null.

b) Berechnen Sie nun aus den stetigen Renditen die Erwartungswerte der Renditen der drei Wertpapiere

WP A WP B WP C

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Berechnung der Standardabweichung der Renditen σσσσi,t

Schätzwert für die Standardabweichung:

∑=

+− −⋅−

=K

ktiktiti r

K 1

2,1,, )(

1

1 µσ

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 70

=− kK 11

� Schätzung der Standardabweichung ebenfalls auf Basis historischer Daten(Annahme der Stationarität)

� Standardabweichung beschreibt die mittlere Schwankung um den Erwartungswert(Mittelwert)

Standardabweichung der täglichen Renditen

0,0070,00750,008

0,00850,009

0,00950,01

0,0105

Beispiel: DAX 2007

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“

0,0060,00650,007

04.1

2.06

04.0

1.07

04.0

2.07

04.0

3.07

04.0

4.07

04.0

5.07

04.0

6.07

04.0

7.07

04.0

8.07

04.0

9.07

04.1

0.07

04.1

1.07

04.1

2.07

71

� Standardabweichung ändert sich im Zeitablauf, d.h. keine Stationarität

Bei der Schätzung der Standardabweichung wird häufig die Annahme µi,t=0 getroffen.

=> Annahme ist nicht gerechtfertigt, da selbst der Erwartungswert eintägiger Renditen meistens nicht Null ist (vgl. S. 22)

=> Fehler bei der Schätzung des Erwartungswertes können aber ausgeschlossenwerden

=> die Berechnungen werden zudem vereinfacht=> bei der VaR-Berechnung in der Praxis wird häufig diese Annahme getroffen

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 72

=> bei der VaR-Berechnung in der Praxis wird häufig diese Annahme getroffen

∑=

+−⋅=

K

kti kti

rK 1

2, 1,

1σ=> Schätzwert für die Standardabweichung:

Division durch K, da kein Freiheits-grad für die Schätzung des Erwar-tungswertes verloren geht

Die Standardabweichung kann alternativ exponentiell geschätzt werden. Exponentiell heißt, dass die kürzer zurückliegenden Beobachtungstage stärker gewichtet werden als die länger zurückliegenden Beobachtungstage (bislang geht jeder Beobachtungstag mit der Gewichtung 1/K ein!).

Schätzwert für die Standardabweichung bei µµµµi,t=0 :

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2,

21,, )1( tititi r⋅−+⋅= − λσλσ

λ = Verfallfaktor mit 0≤ λ ≤ 1 � Annahme λ = 0,94 bei RiskMetrics

Exp. Standardabweichung der täglichen Renditen

0,0020,0040,0060,0080,01

0,0120,0140,016

Beispiel: DAX 2007

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“

00,002

01.1

2.06

01.0

1.07

01.0

2.07

01.0

3.07

01.0

4.07

01.0

5.07

01.0

6.07

01.0

7.07

01.0

8.07

01.0

9.07

01.1

0.07

01.1

1.07

01.1

2.07

74

� Exp. Standardabw. schwankt stark => Erfassung der Instationaritäten� einfache Berechnung, da die Standardabweichung rekursiv aus dem

Vortageswert und dem Quadrat der Tagesrenditen berechnet werden kann

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

Gleichgewichtete vs. exponentielle Standardabweichung

exponentielle Standardabweichung

gleichgewichtete Standardabweichung

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“

0

0,002

01.1

2.06

01.0

1.07

01.0

2.07

01.0

3.07

01.0

4.07

01.0

5.07

01.0

6.07

01.0

7.07

01.0

8.07

01.0

9.07

01.1

0.07

01.1

1.07

01.1

2.07

75

� Die exp. Standardabweichung schwankt deutlich stärker und ist damit „näher am Markt“ als der gleichgewichtete Wert.

� Zum Teil sind deutliche Größenunterschiede zu beobachten!

c) Berechnen Sie nun – unter Vernachlässigung des Erwartungswertes – den Schätzer für die Standardabweichungen der (stetigen) Renditen der drei Wertpapiere für den 18.05.2001 sowohl über die Methode der Gleichgewichtung als auch über die exponentielle Gewichtung. Es gelte λ = 0,94.

gleichgew. WP A WP B WP C18.5.2001

exponentiell WP A WP B WP C18.5.2001

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K

rr σµµ −⋅−∑ +−+− )()(

Korrelationskoeffizient -1≤≤≤≤ ρρρρij,t ≤≤≤≤ 1:

Der Korrelationskoeffizient ρij,t gibt an, wie stark die Rendite einer Aktie i steigt (fällt), wenn die Rendite einer anderen Aktie j steigt (fällt)

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ji

ji

K

k

K

ktjktjtikti

ktjktjtikti

tij

rr

rr

σσσ

µµ

µµρ

⋅=

−⋅−

−⋅−=

∑ ∑

= =+−+−

=+−+−

,

1 1

2,1,

2,1,

1,1,,1,

,

)()(

)()(

Korrelation Commerzbank - Deutsche Bank

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“

0,5

0,55

04.1

2.06

04.0

1.07

04.0

2.07

04.0

3.07

04.0

4.07

04.0

5.07

04.0

6.07

04.0

7.07

04.0

8.07

04.0

9.07

04.1

0.07

04.1

1.07

04.1

2.07

78

� Korrelation auf Basis eines 250-tägigen Beobachtungszeitraums.

d) Berechnen Sie nun auf Basis der stetigen Renditen die Korrelationsmatrix der drei Wertpapiere am 18.05.2001

WP A WP B WP CWP AWP BWP C

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Die VaR-Berechnung nach der Varianz-Kovarianz-Methodeund nach der Monte-Carlo-Simulation baut auf den Korrelationen zwischen Risiko-faktoren auf.

J.P. Morgan stellt über das Internet [http://www.riskmetrics.com] täglich die Korrelationsmatrix von folgenden Faktoren zur Verfügung:

• Wechselkurse zum US-$ von 13 Währungen

• Aktienindizes von 22 Ländern

• Futurepreise von 11 Rohstoffen mit bis zu 10 Laufzeiten

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 80

• Futurepreise von 11 Rohstoffen mit bis zu 10 Laufzeiten

• etc...

=> insgesamt werden ca. 400 Volatilitätenund ca. 75.000 Korrelationenangeboten

=> die Korrelationen und Volatilitäten der Renditen (der Risikofaktoren) müssen von den Marktteilnehmern zur VaR-Ermittlung nicht berechnet werden.

Große Handelsportefeuilles bestehen i.d.R. aus mehreren Tausend Positionen.

⇒ Die Korrelationen aller Positionenkönnten statistisch nicht genau geschätzt werden

⇒ Der rechentechnische Aufwand wäre zudem ungerechtfertigt hoch. So müssten schon bei 5.000 Handelspositionen beispielsweise (5.000·5.000–5.000)/2 = 12.497.500Korrelationen berechnet werden!

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 81

Folge:

⇒ Handelspositionen werden zunächst in einige Positionen, sogenannte Risikofaktoren, zerlegt

⇒ Berechnung der Korrelationsmatrix für die Risikofaktoren (mit weit weniger Aufwand)

⇒ Dieses Verfahren wird Cash-Flow-Mappinggenannt.

5.2 Cash-Flow-Mapping

5. Value at Risk als Instrument zur Risikomessung

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 82

5.2 Cash-Flow-Mapping

Folien: © Tanja Dresel, Lutz Johanning,. Hans-Peter Burghof

Alle Aktien eines Landes werden als Betaäquivalent eines Marktindizes (Risikofaktor) dargestellt. Die Volatilität der Aktienrendite in t ergibt sich somit als:

Cash-Flow-Mapping im Aktienbereich

tItiti ,,, σ⋅β=σ

Beta-Faktor:

i Aktie- IIndex Kovarianz

,,, titItIi σ⋅σ⋅ρ=β

4484476

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 83

=> Vernachlässigung des unsystematischen Risikos nur bei guterDiversifikation gerechtfertigt

=> Betafaktoren müssen geschätzt oder extern eingelesen werden, da sie nicht von J.P. Morgan zur Verfügung gestellt werden

Beta-Faktor:2,

,tI

tIi σ=β

Varianz des Indexrendite

Rückzahlung des

Bonds

• ,,plain vanilla" Anleihen/Obligationen werden bei Endfälligkeit zurückgezahlt und besitzen eine feste gleichbleibende Verzinsung

• Zins der Festzins-Anleihen wird in Deutschland i.d.R. jährlich, in anderen Ländern überwiegend halbjährlich (z. B. in den USA), nachträglich gezahlt

• i.d.R. feste Laufzeit der Anleihen, keine vorzeitige Kündigung durch den Emittenten möglich

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 84

0 t 1 2 3 4

Rückzahlung des Nominalbetrages + Zinsen bei Endfälligkeit

Vor Fälligkeit Zahlung der Zinsen zu festen Zeitpunkten

Cash-Flow-Darstellung eines Bonds

RiskMetrics stellt eine Zinsstrukturkurve mit maximal 14 Laufzeitpunkten (Zerobond-Rates) dar.

Cash-Flow-Mapping im Zinsbereich

Zero-Rate

345678

in %

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 85

012

1 M

onat

3 M

onat

e6

Mon

ate

1 Ja

hr2

Jahr

e3

Jahr

e4

Jahr

e 5

Jahr

e7

Jahr

e9

Jahr

e10

Jahr

e15

Jahr

e20

Jahr

e30

Jahr

e

Ein Bond bzw. Cash-Flows aus Zinsprodukten müssen also in Zerobonds (Risikofaktoren) mit von RiskMetrics angebotenen Laufzeiten zerlegt werden.

Generiert eine Anleihe einen Cash Flow (z.B. Zinszahlung) nach 6 Jahren, so muss der Barwert des Cash Flows (CF) auf die Laufzeitbänder für 5 und 7 Jahre zerlegt werden, da von RiskMetrics kein Zins für das 6-jährige Laufzeitband zur Verfügung gestellt wird.

Barwert desCash Flows

α 1–α

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 86

Zeit5 Jahre 6 Jahre 7 Jahre ......

Frage: In welche Anteile (α und 1–α) muss der Barwert des 6-jährigenCash Flows auf die 5- und 7-jährige Laufzeit aufgeteilt werden?

α 1–α

Beispiel:

Ein Investor hält einen Bond, der in genau 10 Jahren fällig ist. Der Investor möchte den VaR seiner Position ermitteln. Im nachfolgenden Beispiel soll die Zinszahlung in 6 Jahren von 100 €in Zerobonds mit 5- und 7-jähriger Laufzeit zerlegt werden. In t werden folgende Marktdaten beobachtet:

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Zerobond-Rate für 5 Jahre r5 = 6,605 %

Zerobond-Rate für 7 Jahre r7 = 6,745 %

Standardabw. der Rendite eines 5-jährigen Zerobonds σ5=0,3497 %

Standardabw. der Rendite eines 7-jährigen Zerobonds σ7=0,4906 %

Korrelation der Renditen der 5- und 7-jährigen Zerobonds ρ57=0,9975

Beim Cash-Flow-Mapping sind drei Bedingungenzu berücksichtigen:

1. Der Barwert der Zinszahlung in 6 Jahren muss mit der Summe der Barwerte der Zerobonds für 5 und 7 Jahre übereinstimmen.

756 VVV +=

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2. Eine Long-Position (Zinszahlung) darf nur in Long-Positionen der Zerobonds zerlegt werden (Gleichheit der Vorzeichen).

3. Das Risiko (VaR) der Zinszahlung muss dem Risiko (VaR) der Zerobonds entsprechen.

1. Schritt: Berechnung der Zerobond-Rate für 6 Jahre durch lineareInterpolation

7)1(56 ⋅λ−+⋅λ= => λ = 0,5

%675,6)1( 756 =⋅−+⋅= rrr λλ

Das Cash-Flow-Mapping erfolgt in 5 Schritten:

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2. Schritt: Berechnung des Barwertes des Cash Flows (CF)

86,67)06675,01(

100

)1( 666

6 =+

=+

=r

CFV

=> 67,86 € müssen auf die Laufzeiten für 5 und 7 Jahre aufgeteilt werden

3. Schritt: Berechnung der Standardabweichung der Preisrendite für die 6-jährige Position durch lineare Interpolation der Standard-abweichungen für 5 und 7 Jahre

%42015,05,05,0

)1(

75

756

=σ⋅+σ⋅=σ⋅λ−+σ⋅λ=σ

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 90

4. Schritt: Berechnung der Aufteilung des 6-jährigen Cash-Flows auf die 5- und 7-jährige Laufzeiten

=> Festlegung der Anteile (α und 1–α)

Die 3. Bedingung erfordert, dass das Risiko der zusammengesetzten Position dem Risiko der Ausgangsposition entspricht. Aus dieser Forderung kann folgende mathematisch Bedingung abgeleitet werden:

2

755727

25

2

27

27557

25

226

22

2mit

0

)1()1(2

σ⋅−σ⋅σ⋅ρ⋅=

σ⋅σ⋅ρ⋅−σ+σ==+α⋅+α⋅=>

σ⋅α−+σ⋅σ⋅ρ⋅α−⋅α⋅+σ⋅α=σ

b

a

cba

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 91

26

27

277557 22

σ−σ=

σ⋅−σ⋅σ⋅ρ⋅=

c

b

a, b und c können durch die beobachteten Marktparameter berechnet werden. Für das Beispiel ergibt sich:

656 1042,61039,11007,2 −−− ⋅=⋅−=⋅= cba

Als Lösungerhält man:

a

cabb

⋅⋅⋅−±−=

2

42

α

Von den zwei möglichen Lösungen wird jene verwendet, die alle drei Bedingungen erfüllt.

Beispiel:α = 0,4982 und 1–α = 0,5018

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5. Schritt: Aufteilung des realen Cash-Flows auf die 5- und 7-jährigenLaufzeiten

=> 0,4982 ·67,86 €= 33,81 €auf die 5-jährige Laufzeit=> 0,5018 ·67,86 €= 34,05 €auf die 7-jährige Laufzeit

6. Verfahren zur Ermittlung des Value at Risk

6.1 VaR-Berechnung mit der Varianz-Kovarianz-Methode

6.2 VaR-Berechnung mit der Historischen Simulation

6.3 VaR-Berechnung mit der Monte-Carlo-Simulation

6.4 Vergleich und Bewertung verschiedener VaR-Berechnungsverfahren

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 93

6 Berechnungsverfahren6.1 VaR-Berechnung mit der Varianz-Kovarianz-Methode• Varianz-Kovarianz-Ansatz unterstellt die Normalverteilung der Renditen

bzw. der Marktwertänderungen ∆Vi,t

Value-at-Risk bei normalverteilten täglichen Marktwertänderungen ∆VWahrscheinlichkeitsdichte

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 94

VaR(95%)

p=5 %

∆Vi,tE(∆Vi,t )

–1,64·S(∆Vi,t)

Standardabweichung von ∆Vi,t

Erwartungswert von ∆Vi,t

VaR entspricht dem Vielfachen der Standardabweichung!

• VaR ist als positiver €-Betrag definiert

⋅+⋅−=

<44 344 21

0

,,,, ))(( titititi pLVVaR σµ

VaR-Berechnung für eine Einzelposition:

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 95

• VaR ist als positiver €-Betrag definiert � da die Klammer i.d.R. negativ ist, muss sie mit –Vi,t multipliziert werden

• L(p) entspricht dem Fraktil der Standardnormalverteilung und wird durch das Konfidenzniveau 1–p festgelegt

95 %iges KN: L(p)= –1,6499 %iges KN: L(p)= –2,33

Bei RiskMetrics wird analog zur üblichen Bankpraxis neben der Normalverteilung auch µi,t=0 unterstellt.

Die VaR-Berechnung vereinfacht sich dann zu:

434210

,,, )()1(

<

σ⋅⋅−=− tititi pLVpVaR

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 96

Positive Renditeerwartung: Die Bank kann Eigenkapital sparen, indem sie den Erwartungswert berücksichtigt.

Negative Erwartung: vice versa

⇒ Einheitliches Verfahren

Berechnen Sie – unter Vernachlässigung des Erwartungswertes – den Value-at-Risk von drei Wertpapieren sowohl für ein Konfindenzniveau von99 % als auch für ein Konfidenzniveau von 95 %. Die Marktwerte und Standardabweichungen der drei Wertpapiere sind in folgender Tabelle gegeben:

WP 1 WP 2 WP 3Marktwert 101.090 97.075 98.836Std.abw. 0,0147 0,0072 0,0239

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 97

WP 1 WP 2 WP 3VaR (99 %)VaR (95 %)

VaR-Berechnung für ein Aktienportefeuille mit der Varianz-Kovarianz-Methode

Bei der VaR-Berechnung für ein Portefeuille müssen die Korrelationen der Positionen berücksichtigt werden. VaR bei µµµµi,t=0:

,)(1 1

,,,,,2,

2,,

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−= ∑ ∑∑

= = ≠

n

i

n

itjtitijtj

ijtitititPF VVVpLVaR σσρσ

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 98

n =Anzahl der Wertpapiere im Portefeuille

abs. Standardabweichung im Portfolio

Alternativ lässt sich der Value-at-Risk eines Portfolios aus den Value-at-Risk-Werten der Einzelpositionen berechnen:

VaRRVaRT ⋅⋅=tPFVaR ,

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 99

VaRT = transponierter Vektor der Value-at-Risk-Werte der Einzelpositionen

R = Korrelationsmatrix

VaR = Vektor der Value-at-Risk-Werte der Einzelpositionen

Berechnen Sie – unter Vernachlässigung der Erwartungswerte - den Value-at-Risk für ein Portfolio, das zu gleichen Teilen aus zwei Wertpapieren besteht über beide möglichen Varianten sowohl für das Konfidenzniveau von 99 %. Die Korrelation zwischen den beiden Wertpapieren beträgt 0,4. Stellen Sie das Ergebnis anschließend der Summe der individuellen Value-at-Risk-Werte gegenüber.

WP 1 WP 2Marktwert 100.000 80.000

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 100

Marktwert 100.000 80.000Std.abw. 0,02 0,06

Marginaler VaR

Die Erhöhung des VaR durch eine Position in der Aktie i kann durch folgende Gleichung geschätzt werden, wenn der Marktwert der zusätzlichen Position klein ist im Vergleich zum Marktwert der Ausgangsposition (z.B. DAX). Im Beispiel beträgt dieses Verhältnis a=0,01.

tDAXtiDAXti VaRapVaR ,,, %)95()1( ⋅β⋅≈−∆ −

i Aktie-DAX Kovarianz 444 8444 76

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 101

Beta-Faktor: 2,

i Aktie-DAX Kovarianz

,,,,

tDAX

titDAXtiDAXtiDAX σ

σ⋅σ⋅ρ=β −

444 8444 76

Statistische (Un-) Genauigkeit der VaR-Schätzung

Beim VaR handelt es sich um einen Schätzwert für den Quantilswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für den VaR-Schätzwert kann ein Konfidenzintervall berechnet werden, in dem dann der tatsächliche VaR mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit von z.B. 90 % liegt.

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 102

VaR(95%)

Konfidenzintervall mit z.B. 90 %

∆Vt

Wird der VaR mit der Kovarianz-Methode ermittelt, so kann gezeigt werden, dass der VaR selbst asymptotisch normalverteilt ist mit VaR als Mittelwert dieser Normalverteilung und der Standardabweichung von:

KVS tVaR /)(1304,2%)95( ∆⋅=σ

KVS tVaR /)(7689,3%)99( ∆⋅=σ

bei VaR für 95 % KN

bei VaR für 99 % KN

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 103

Das Konfidenzintervall mit 90 % Wahrscheinlichkeit für einen VaR mit 95%igen Konfidenzniveau kann dann wie folgt berechnet werden:

%90)64,1%)95(%)95(64,1%)95(( %)95(%)95( =⋅+≤≤⋅− VaRVaR VaRVaRVaRW σσ

• K = historischer Betrachtungszeitraum

• S(∆Vt) = Standardabweichung der Gewinne und Verluste

Quadratwurzel-T-Regel und Test der Annahmen

Soweit ist der VaR stets für eine eintägige Haltedauer berechnet worden (H=1). Der VaR für eine längere Haltedauer (z.B H=10 Börsentage) kann über die Quadratwurzel-T-Regelberechnet werden.

Vereinfachte Regel für µµµµi,t=0:

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 104

THpVaRTHpVaR titi ⋅=−==− ,, )1,1(),1(

• T= Haltedauer, auf die der VaR skaliert werden soll,

• z.B. muss VaR mit eintägiger Haltedauer mit √10=3,16 auf denVaR für eine zehntägige Haltedauer skaliert werden.

Für µµµµi,t≠≠≠≠0: ( )).()1,1(

)(),1(

,,,

,,,,

TTVTHpVaR

TpLTVTHpVaR

tititi

titititi

−⋅µ⋅+⋅=−=

⋅σ⋅+⋅µ⋅−==−

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 105

Bei µµµµi,t≠≠≠≠0 ist die Formel komplizierter

=> Erwartungswert muss ebenfalls auf Haltedauer T skaliert werden

=> da mit zunehmender Haltedauer gilt µi,t>0, ist dieser Ansatz dem vereinfachten vorzuziehen.

=> häufig wird in der Praxis nur die vereinfachte Quadratwurzel-T-Regelangewandt, obwohl dies zu erheblichen Fehlern führen kann

Delta- und Delta-Gamma-Methode für Optionen

Delta- und Delta-Gamma-Methoden approximieren die VaR-Werte für Optionen aus den Optionskennzahlen Beispiel: Bewertung einer Aktienoption (Call) nach dem Modell von Black & Scholes )() 21 dNBrdNVC Lfz−−( = V = Kurs der Aktie (Marktwert)

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 106

V = Kurs der Aktie (Marktwert) B = Basiskurs zum Bezug der Aktie r = Aufzinsungsfaktor; r = (1+i) mit i als Zinssatz für die Options- laufzeit Lfz = Laufzeit der Option N(.) = kumulierte Standardnormalverteilung

LfzddLfz

LfzrB

V

d σ−=σ

σ++

= 12

2

1

2lnln

Zugrundeliegende Annahmen der Black/Scholes-Formel:

• stetige Renditen sind normalverteilt; konstante Varianz

• Kontinuierlicher Handel von Aktien und Optionen

• Keine Steuern, Informations- und Transaktionskosten

• Gleicher Marktzugang für alle Investoren

• Leerverkauf und Handel von Wertpapierteilen möglich

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 107

• Existenz eines bekannten und konstanten risikofreien Zinses

• Europäische Optionen

• Keine Dividendenzahlungen

• Investoren ziehen höheren Reichtum geringerem vor (Nichtsättigung)

Der Wert einer europäischen Put-Option kann aus der Put-Call-Paritätberechnet werden:

LfzrBVCP −⋅+−=

Aus den Bewertungsformeln für den Call und den Put können Options-kennzahlen abgeleitet werden:

• Options-Delta ist ein Maß für die Sensitivität des Optionswertes bezüglich des Aktienkurses des Basispapiers

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 108

Aktienkurses des Basispapiers

• Das Delta eines Long-Calls ∆C bzw. eines Long-Puts ∆P bestimmt sich aus der ersten partiellen Ableitung der Optionspreisformel nach dem Aktienkurs:

0)(,0)( 11 <−−=δδ=∆>=

δδ=∆ dN

V

PdN

V

CPC

• Das Delta eines Long-Calls ist positiv, das eines Long-Puts negativ.

• Die Delta-Werte von Short-Optionen weisen die entgegengesetzten Vorzeichen auf.

• Das Options-Gamma ist die zweite partielle Ableitung der Optionspreisformel nach dem Aktienkurs

• es kennzeichnet die absolute Veränderung des Deltas bei einer kleinen Änderung des Aktienkurses

0)(1

1 >′⋅=∆δ=∆δ=Γ dNPC

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 109

• Gamma von Long-Optionen ist immer positiv

• Gamma von Short-Optionen ist immer negativ

0)( 1 >′⋅⋅σ⋅

=Γ dNLfzVVV

tAktietAktietAktieOption VaRpLVVaR ,,, )( ⋅∆=σ⋅⋅⋅∆−=

VaR-Berechnung nach der Delta-Methode für eine Aktienoption

VaR-Berechnung nach der Delta-Gamma-Methode für eine Aktienoption

( )( )2,,,, )(5,0)( tAktietAktietAktietAktieOption pLVpLVVaR σ⋅⋅⋅Γ⋅+σ⋅⋅∆−≈

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 110

• die Marktwertänderungen sind durch das Gammaelement nicht mehr normal-, sondern schief verteilt

• das p-Quantil für die Marktwertänderungen kann nicht über L(p) σapproximiert werden

Beurteilung der Varianz-Kovarianz-Methode

• Analytische VaR-Berechnung ist einfach und schnell; der ∆VaR einerzusätzlichen Position kann einfach ermittelt werden� Varianz-Kovarianz-Verfahren insbes. zur Risikosteuerung geeignet

• Kein intensives Data-Warehousing erforderlich, da Volatilitäten und Korrela-tionen kostenlos von J.P. Morgan täglich über Internet zur Verfügung gestelltwerden� benötigt werden nur noch die aktuellen Preise und Kurse sowie die

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 111

� benötigt werden nur noch die aktuellen Preise und Kurse sowie diePositionen und individuellen Einflüsse durch Risikofaktoren.

• Varianz-Kovarianz-Verfahren ist das von Banken am häufigsten eingesetzteVerfahren, das i.d.R. alle Softwareprodukte implementiert haben.

• aber: siehe z.B. Kritik an den Annahmen der Varianz-Kovarianz-Methode

Aufgabe 2:

Von zwei Aktien A und B sind die Erwartungswerte, Standardabweichungen und der Korrelationskoeffizient der Renditen für unterschiedliche historische Betrachtungszeiträume K (in Tagen) und Halteperioden H (in Tagen) gegeben:

A B µ [K=250, H=1] 0,001 0,0015 σ [K=250, H=1] 0,015 0,02

ABρ [K=250, H=1] 0,4 µ [K=1000, H=1] 0,008 0,0017 σ [K=1000, H=1] 0,018 0,022

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 112

σ [K=1000, H=1] 0,018 0,022 µ [K=1000, H=10] 0,009 0,016 σ [K=1000, H=10] 0,05 0,065

a) Berechnen Sie jeweils für die Aktien A und B den Value-at-Risk nach der Varianz-Kovarianz-Methode mit K=250 bei H=1, K=1000 bei H=1 und K=1000 bei H=10 für ein 99%iges Konfidenzniveau. Gehen Sie davon aus, dass in jede Aktie 1 Mio. € investiert wurde. Worin begründet sich der Unterschied der VaR-Werte für K=250 bei H=1 und K=1000 bei H=10?

b) Der Value-at-Risk für eine zehntägige Haltedauer kann über die Quadratwurzel-T-Regel bestimmt werden. Berechnen Sie für die Aktie A und B für K=1000 und H=1 den Value-at-Risk für eine zehntägige Haltedauer über die Quadratwurzel-T-Regel. Gehen Sie wiederum davon aus, dass in jede Aktie 1 Mio. € investiert wurde. Wie können die abweichenden Value-at-Risk-Werte im Vergleich zu den in Aufgabe a) berechneten Werten für K=1000 und H=10 erklärt werden?

c) Berechnen Sie den Value-at-Risk eines Portefeuilles für K=250 und H=1 bei

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 113

c) Berechnen Sie den Value-at-Risk eines Portefeuilles für K=250 und H=1 bei einem Konfidenzniveau von 99 %. Gehen Sie davon aus, dass in jede Aktie 1 Mio. € investiert wurden. Interpretieren Sie kurz dieses Ergebnis, indem Sie es der Summe der entsprechenden Value-at-Risk-Werte der beiden Aktien gegenüberstellen.

Historische Simulation Monte-Carlo-Simulation

1. Ermittlung der Risikofaktoren / Cash-Flow-MappingLit. Ridder / Stahl (2000)

2.Simulation der Renditen für t+1 mit Hilfe eines Zufallsgenerators: Für jeden Risikofaktor wird eine i.d.R. standard-

VaR-Berechnung

6.2 VaR-Berechnung mit der Historischen Simulation

2.Historische Simulation der Renditen: Für jeden Risikofaktor wird z.B. die Rendite in t+1 von der Rendite von vor einem Jahr

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 114

Risikofaktor wird eine i.d.R. standard-normalverteilte Zufallszahl gezogen; die Korrelationen werden über die Cholesky-Faktorisierung erfasst

t+1 von der Rendite von vor einem Jahr bestimmt, implizite Erfassung der Korrelationen

3. Neubewertung des Portefeuilles für jeden Renditevektor und Berechnung

der Marktwertänderung; Multiplikation der Marktwerte mit den Renditen für t+1

4. Wiederholung der Schritte 1 bis 3: bei der historischen Simulation z.B. 250 Wiederholungen für alle Renditen des zurückliegenden Jahres; bei der Monte Carlo Simulation z.B. 5.000 Durchläufe

DAX-Renditen für 1987 bis 1995

0,0050,01

0,0150,02

0,0250,03

0,0350,04

0,0450,05

Wah

rsch

einl

.

NV

DAX p=5%

5.Erstellung einer Häufigkeitsverteilung der Marktwertänderungen des Portefeuilles. Der VaRentspricht dem p-Quantil der Häufigkeitsverteilungen der Marktwertänderungen.

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 115

00,005

-6,0

0%

-5,2

0%

-4,4

0%

-3,6

0%

-2,8

0%

-2,0

0%

-1,2

0%

-0,4

0%

0,4

0%

1,2

0%

2,0

0%

2,8

0%

3,6

0%

4,4

0%

5,2

0%

6,0

0%

Rendite

VaR

⇒ VaR-Berechnung nach der Historischen Simulation kommt ohne die Annahme der Normalverteilung aus; Berechnung auf Grundlage der historisch beobachtbaren Häufigkeitsverteilung

⇒ VaR kann voraussichtlich genauer geschätzt werden.

⇒ VaR-Berechnung nach der Monte-Carlo-Simulation (siehe Abschnitt 5.3)

Aufgabe 2:

K=250Rendite A Rendite B

1. -0,1128 -0,12432. -0,0927 -0,09733. -0,0625 -0,08264. -0,0365 -0,05135. -0,0298 -0,04346. -0,0227 -0,03247. -0,0212 -0,02998. -0,0185 -0,0234

K=1000Rendite A Rendite B

1. -0,1348 -0,15432. -0,1128 -0,13923. -0,1020 -0,12434. -0,0927 -0,11215. -0,0911 -0,09736. -0,0887 -0,08997. -0,0821 -0,08268. -0,0750 -0,0746

Gegeben sind die täglichen Renditen der Aktien A und B im historischen Betrachtungszeitraum K. Die kleinsten beobachteten Renditen im Betrachtungszeitraum sind in den folgenden Tabellen geordnet wiedergegeben.

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 116

8. -0,0185 -0,02349. -0,0173 -0,015810. -0,0123 -0,014911. -0,0101 -0,009712. -0,0090 -0,0089... ... ...

8. -0,0750 -0,07469. -0,0623 -0,065210. -0,0501 -0,061311. -0,0435 -0,053812. -0,0365 -0,0513... ... ...

Bestimmen Sie die Value-at-Risk-Werte der Aktien A und B für ein Konfidenzniveau von 99 % nach der historischen Simulation. Gehen Sie davon aus, dass in jede Aktie 1 Mio. € investiert wurde.

VaR nach Kovarianz Methode und Historischer Simulation

32.00034.00036.000

Der Vergleich der VaR-Werte nach der Varianz-Kovarianz-Methode und der Historischen Simulation zeigt für ein 95 %iges Konfidenzniveau, dass kein Verfahren systematisch niedrigere Werte ermittelt. Für ein 99 %iges Konfidenzniveau ermittelt die Historische Simulation i.d.R systematisch höhere VaR-Werte.

Kovarianz-Methode

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 117

20.00022.00024.00026.00028.00030.00032.000

01.0

2.99

01.0

3.99

01.0

4.99

01.0

5.99

01.0

6.99

01.0

7.99

01.0

8.99

01.0

9.99

01.1

0.99

01.1

1.99

01.1

2.99

01.0

1.00

Historische Sim.

VaR-Berechnung für ein Portefeuille

Bei der VaR-Berechnung für ein Portefeuille müssen die Schritte 1-3 für jede Position einzeln durchgeführt werden.

1. Erstellung der Renditeverteilung für jede Positionüber den Betrachtungszeitraum K

2. Multiplikation der Renditen mit den entsprechenden Marktwerten und Aggregation zur Verteilung der Marktwertänderungen des Gesamt-

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 118

Aggregation zur Verteilung der Marktwertänderungen des Gesamt-portefeuilles. Zu beachten ist, dass die Marktwertänderungen der Positioneneines Tageszu addieren sind.

3. Ermittlung des VaR als Quantil der Häufigkeitsverteilung derMarktwertänderungen des Portefeuilles

Statistische (Un-) Genauigkeit der VaR-Schätzung

Wie bei der Kovarianz-Methode so kann auch bei der historischen Simulation ein Konfidenzintervall für die VaR-Schätzung berechnet werden, in dem dann der tatsächliche VaR mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit von z.B. 90 % liegt.

• Die Berechnung erfolgt über die Theorie der geordneten Statistiken und istnur bei großem Beobachtungszeitraum K möglich.

• Bei K=1000 Tagen wird der VaR für ein 95 % KN durch den 51. kleinstenWert der Verteilung der Gewinne und Verluste bestimmt (somit gibt es

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 119

Wert der Verteilung der Gewinne und Verluste bestimmt (somit gibt es 5 % = 50 kleinere Werte).

• Es lässt sich dann zeigen, dass das den VaR(95%) einschließendeKonfidenzintervall mit 90 % Wahrscheinlichkeit durch den 38. und 62.kleinsten Wert (Ordnungsstatistiken) der Verteilung der Gewinne undVerluste bestimmt wird.

• Das Konfidenzintervall mit 90 % Wahrscheinlichkeit wird für einen VaR mit99 % KN und K=1000 Tagen (VaR entspricht dem 11. kleinsten Wert der Verteilung der Gewinne und Verluste) durch die 4. und 16. Ordnungsstatistikbestimmt.

Beurteilung der Historischen Simulation

• VaR-Berechnung mit der Historischen Simulation ist aufwendig, insbesonderemuss bei jeder zusätzlichen Position für die Berechnung des ∆VaR einevollständig neue Simulation durchgeführt werden

• Intensives Data-Warehousing ist erforderlich, da die Kurse, Preise und Zinssätze etc. der Portefeuille-Positionen mindestens für den gesamten historischen Betrachtungszeitraum archiviert werden müssen.

• Der Vorteil der Historischen Simulation ist, dass das Verfahren ohne einespezifische Verteilungsannahme auskommt, solange keine Bewertungsmodelle

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 120

spezifische Verteilungsannahme auskommt, solange keine Bewertungsmodellemit spezifischen Verteilungsannahmen zum Einsatz kommen

=> VaR-Schätzung, insbesondere für ein 99 %iges Konfidenzniveau ist genauer als bei der Varianz-Kovarianz-Methode

• Statistisch ist die historische Simulation ungenauer als die Kovarianz-Methode.

• Die historische Simulation wird in der Praxis der Banken eingesetzt und von fast allen Softwareprodukten angeboten.

6.3 VaR-Berechnung mit der Monte-Carlo-Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation unterscheidet sich von der historischen nur dadurch, dass die alternativen Marktwerte nicht durch historisch beobachtete Rendite, sondern durch einen Zufallsgenerator bestimmt werden.

Die Vorgehensweiseder Monte-Carlo-Simulation vollzieht sich in 5 Schritten:

1. Ermittlung der Korrelationen, der Standardabweichungen und Erwartungswerte der Risikofaktoren über historische Häufigkeits-verteilungen (oder Einlesung der Daten aus RiskMetrics)

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 121

verteilungen (oder Einlesung der Daten aus RiskMetrics)

2. Simulation einer - je nach Anzahl der Risikofaktoren - multivariatenVerteilung:

a. Wahl einer beliebigen Verteilungi.d.R. Normalverteilung, aberauch z.B. t-Verteilung zur besseren Abbildung der Leptokurtosis

b. im Fall der Normalverteilung Simulation eines Vektors multivariatstandardnormalverteilter Zufallsvariablen über einen Zufalls-zahlengenerator

c. Ermittlung des multivariat normalverteilten Renditevektors überdie geometrisch Brownsche Bewegung

d. Einrechnung der historischen Korrelationen über die Cholesky-Faktorisierung

3. Neubewertung des Portefeuillesfür jeden Renditevektor und Berechnung

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 122

3. Neubewertung des Portefeuillesfür jeden Renditevektor und Berechnungder Marktwertänderung

4. Wiederholung der Schritte 1 bis 3.Für eine hinreichende Genauigkeitwerden 5.000 Durchläufe empfohlen

5. Erstellung einer Häufigkeitsverteilung der Marktwertänderungen desPortefeuilles. Der VaR entspricht dem p-Quantil der Häufigkeitsverteilungender Marktwertänderungen.

Generierung von stetigen Renditen mit der geometrisch Brownschen Bewegung

Mit der geo. Brownschen Bewegung können stetige Renditen über die Ziehung standardnormalverteilter Zufallszahlen generiert werden. In zeitdiskreter Form notiert die geom. Brownsche Bewegung als:

tztV

VR t

t

tt ∆⋅⋅+∆⋅=

=

σµ1

ln

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 123

Vt −1

Rt = stetige RenditeVt = Marktwert in tµ = als jährliche Durchschnittsrendite (Drift)σ = Momentanstandardabweichungzt = standardnormalverteilte Zufallsvariable [zt∼NV(0,1)]∆t = kleinste Zeiteinheit von einem Tag bzw. 1/250 Jahr

µµµµ und σσσσ müssen auf Basis historischer Daten geschätzt werden.

250, ⋅µ=µ ti

250, ⋅σ=σ ti

Drift:

Momentanstandardabweichung :

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 124

250, ⋅σ=σ tiMomentanstandardabweichung :

Einrechnung der historisch beobachteten Korrelationen mit der Cholesky-Faktorisierung

Die historisch beobachteten Korrelationen der Renditen der Risikofaktoren können über die Cholesky-Faktorisierung in den Rendite- oder Zufallszahlenvektor eingerechnet werden.

Die Korrelationsmatrix dazu zerlegt werden in eine obere Dreiecksmatrix A und in die transponierte untere Dreiecksmatrix A´, so dass gilt:

AAC ′=

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 125

AAC ′=

=

33

2322

131211

333231

2221

11

00

00

00

a

aa

aaa

aaa

aa

a

C

Die Korrelationsmatrix muss nun zerlegt werden in eine obere Dreiecksmatrix A und in die transponierte untere Dreiecksmatrix A´, so dass gilt:

AAC ′=

=

33

2322

131211

333231

2221

11

00

00

00

a

aa

aaa

aaa

aa

a

C

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 126

33333231 00 aaaa

+++++=

ρρρρρρρρρ

=233

223

213223231213111

22323121222

2212111

31112111211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaa

C

+++++=

ρρρρρρρρρ

=233

223

213223231213111

22323121222

2212111

31112111211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaa

C

Daraus ergibt sich:

Die einzelnen Elemente aij (mit j≤i) können rekursiv durch die Komponenten der Korrelationsmatrix ρij gelöst werden:

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 127

der Korrelationsmatrix ρij gelöst werden:

1111121111 ===>= ρρ aa

11

2121211121 a

aaaρρ ==>=

2212222

222

22122 aaaa −==>+= ρρ

=>= 311131 aaρ

=>+= 2232312132 aaaaρ

=>++= 233

232

23133 aaaρ

Der Vektor multivariat standardnormalverteilter Zufallsvariablen ergibt sich allgemein aus:

∑=

⋅=εi

llili za

1

Für die einzelnen Zufallszahlen ergibt sich:

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 128

11 z=ε

2221212 zaza ⋅+⋅=ε

3332321313 zazaza ⋅+⋅+⋅=ε

Aufgabe 3:

a) Berechnen Sie aus der gegebenen Korrelationsmatrix für drei Aktien bitte die „A-Matrix“ der Cholesky-Faktorisierung.

b) Berechnen Sie an Hand der gegebenen unabhängig standard-normalverteilten Zufallszahlen die multivariat standardnormalverteilten Zufallszahlen.

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 129

Korrelationen A B CA 1 0.5 0.15B 0.5 1 0.3C 0.15 0.3 1

A-Matrix A B CABC

Z1 = 0,2

Z2 = 0,6

Z3 = 0,4

c)Berechnen Sie nun auf Basis dieser Zufallszahlen mit Hilfe der geom. Brownschen Bewegung die täglichen Renditen der Wertpapiere A, B und C. Die Parameter der Wertpapiere auf Jahresbasis sind bekannt:

WP A WP B WP CErwart.wert 0.2 -0.1 0.1Varianz 0.16 0.09 0.01

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 130

Beurteilung der Monte-Carlo-Simulation

• Bei linearen Positionen entspricht der VaR nach der Monte-Carlo-Simulation in etwa dem VaR nach der Varianz-Kovarianz-Methode, wenn bei der Monte-Carlo-Simulation mit der Normalverteilungsannahme gearbeitet wird.

• Die Monte-Carlo-Simulation ermöglicht die bessere Modellierung derLeptokurtosis z.B. über die t-Verteilung, da jede beliebige Verteilung modelliert werden kann.

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 131

modelliert werden kann.

• Die Monte-Carlo-Simulation ist sehr zeit- und kapazitätsaufwendig und von daher eher für nicht-lineare Positionen wie Optionen geeignet.

⇒ jede Portefeuilleänderung erfordert die Durchführung einer neuen Simulation.

⇒ erschwerte Durchführung von Sensitivitätsanalysen

6.4 Vergleich und Bewertung verschiedener VaR-Berechnungsverfahren

VaR-Verfahren bei deutschen Großbanken 1996(Angaben zu Marktrisiken lt. Geschäftsbericht 1996)

DeutscheBank

DresdnerBank

Commerz-bank

DG Bank Vereinsbank Hypo Bank

Verfahren KM, MC KM HS HS KM,MC (geplant)

Krisentests

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 132

Konfidenz-niveau

97,7 % 95 % 97,5 % 99 % 99 % --

Haltedauer 1 Tag 1 Tag 1 Tag 10 Tage 10 Tage 1 TagVaR* 103,89 155 241 75,57 121,7 36,4*Angaben für den Gesamtkonzern und die externe Berichterstattung bei zehntägiger Haltedauer und99 %igem Konfidenzniveau in Mio. DM für den Ultimo 1996. KM = Kovarianz-Methode, MC =Monte-Carlo-Simulation, HS = Historische Simulation

Interne VaR-Verfahren bei deutschen Großbanken - aktueller Stand(Angaben zu Marktrisiken lt. Geschäftsbericht 2006)

Deutsche Bank

Dresdner Bank

Commerz-bank

Hypover-einsbank

DZ-Bank

Verfahren MC (KM) Differenziert nach allge-meinem und spez. Risiko

HS (allg. Marktrisiko)KM (spez. Risiko)

MC (KM) HS

Konfidenz-niveau

99% 95% 99% 99% 99%

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 133

Wie sind die VaR-Verfahren im Vergleich zueinander zu beurteilen?

niveau

Haltedauer 1 Tag 1 Tag 10 Tage 1 Tag 10 Tage

VaR* 92 57 112 100 24

* Angaben für die Handelsaktivitäten des Gesamtkonzerns in Mio. € für den Ultimo 2006, MC = Monte-Carlo-Simulation, KM = Kovarianz-Methode, HS = Historische Simulation

Portefeuillesimulationen im Rahmen einer empirischen Studie:

• Simulation von 1.000 Portefeuilles (Handelsportefeuilles) mit jeweils 28 DAX-Aktien.

• Generierung 28 [-1;+1]-gleichverteilter Zufallszahlen. Jede Zufallszahl steht für den Positionswert einer DAX-Aktie

• Untersuchungszeitraum: 02.01.1974 bis 30.12.1995

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 134

• Untersuchungszeitraum: 02.01.1974 bis 30.12.1995

• Berechnung von Value-at-Risk-Werten mit einer Haltedauer von H=1 und H=10 sowie für ein Konfidenzniveau von 99 %

• Berechnung der Mindesteigenkapitalwerte für 8 alternative Verfahren zur Berechnung der VaR-Werte:

• K = historischer Betrachtungszeitraum

• Die Ziffern 1 ..... 8 kennzeichnen die acht verwendeten VaR-Verfahren.

K o v a r ia n z -M e th o d e H is to r isc h e S im u la t io nK o n f . H a lte d a u e r K = 2 5 0 K = 1 0 0 0 K = 2 5 0 K = 1 0 0 09 9 % H = 1 1 2 3 4

H = 1 0 5 6 7 8

In der Simulation verwendete Risikomodelle

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 135

Die VaR-Verfahren werden anhand folgender Kriterien beurteilt:

• tatsächliches Erfassungsniveau

• relative Höhe der VaR-Werte (des Eigenkapitals) zueinander

• Anzahl der Eigenkapitalüberschreitungen (Eigenkapital berechnet nach den Regeln des Grundsatzes I vom BAKred)

• Durchschnittlicher Zuschlag nach dem Backtesting

Auswertung der Verteilungen über 1.000 Portefeuilles anhand von Boxplottdiagrammen

Graue Box: Bereich der 50 % mittleren Werte derVerteilung über die 1.000 Portefeuilles

Median: schwarzer Strich innerhalb der Box

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 136

Median: schwarzer Strich innerhalb der Box

Horizontale Striche: (über und unter der Box) Wert, der nicht als Ausreißer klassifiziert wird

Kleine Kreise und Sterne:Ausreißer (Werte, deren Abstand von der Box über dem 1,5-fachen der Box-höhe liegen)

Anteil der vom VaR abgedeckten Verluste (PA) / Basler Ansatz [VaR(99%,H=10)]

1.00

.99

.98

.97

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 137

PA_8PA_7PA_6PA_5PA_2PA_1

.96

.95

.94

.93

=> Histor. Sim. (Verf. 7) führt im Mittel nur zu einer 95,5 %igen Abdeckung

Relative EK-Anforderung (MRA) / Basler Ansatz [VaR(99%,H=10)]

1.3

1.2

1.1

1.0

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 138

=> Mit der Histor. Sim. (Verf. 7) kann im Mittel bis zu 24 % an EK gespart werden

MRA_8MRA_7MRA_6MRA_5MRA_2MRA_1

.9

.8

.7

.6

Anzahl der EK-Überschreitungen von ein- und zehntägigen Verlusten (EÜ) / Basler Ansatz [VaR(99%,H=10)]

=> Bei der Histor. Sim. (Verf. 7) werden 5 EK-Aufzehrungen von eintägigen

E Ü 1 _ 1 E Ü 1 _ 2 E Ü 1 _ 5 E Ü 1 _ 6 E Ü 1 _ 7 E Ü 1 _ 80 0 0 0 5 0E Ü 1 0 _ 1 E Ü 1 0 _ 2 E Ü 1 0 _ 5 E Ü 1 0 _ 6 E Ü 1 0 _ 7 E Ü 1 0 _ 84 4 5 1 7 3 2 0

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 139

=> Bei der Histor. Sim. (Verf. 7) werden 5 EK-Aufzehrungen von eintägigenVerlusten und 73 EK-Aufzehrungen von zehntägigen Verlusten beobachtet

Die Historische Simulation (Verfahren 7) ist nach Basler Regelungen zulässig, ...

=> führt aber zu einer sehr ungenügenden Abdeckung tatsächlicher Verluste,

=> führt zudem zu einer hohen EK-Einsparung

=> und gleichzeitig zu einer hohen Anzahl von EK-Aufzehrungen

Durchschnittliche Höhe der Zuschlagsfaktoren (DZ) / Basler Ansatz [VaR(99%,H=10)]

.5

.4

.3

.2

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 140

=> schlechte Messqualität der Histor. Sim. (Verf. 7 bzw. hier Verf. 3) kann vomBacktesting nicht entdeckt werden, weil das Backtesting mit einer HaltedauerH=1 und nicht mit H=10 arbeitet

DZ_4DZ_3DZ_2DZ_1

.2

.1

0.0

Der Basler Ansatz [VaR(99%, H=10)] lässt für die Bankenaufsicht nachteilige VaR-Verfahren wie die Historische Simulation zu

=> Notwendigkeit alternativer Ansätze zur Anerkennung interner Modelle

1. Modifikation der Haltedauer => VaR(99%, H=1)

=> Messungenauigkeit der Verfahren kann weitgehend vermieden werden

2. Modifikation des Konfidenzniveaus=> VaR(95%, H=1)

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 141

2. Modifikation des Konfidenzniveaus=> VaR(95%, H=1)

=> Messgenauigkeit der Verfahren lässt sich weiter verbessern, da das 95%-Quantil im Bereich der größeren Wahrscheinlichkeitsdichte liegt als das 99 %-Quantil

3. Modifikation des Backtesting=> Multiplikatorerhöhung hängt nicht nurvon der Anzahl der VaR-Überschreitungen, sondern auch von derVerlusthöhe ab

Kovarianz-Methode

Exp. Standard-abw.

Hist.Simulation

Monte-Carlo-Sim.

Erfassungsniveau - + bei volatilenMärkten

+ + bei z.B. t-Verteilung

VaR- und EK-Höhe + + - 0Annahmen - 0 + +

Ein abschließender und zusammenfassender Vergleich der VaR-Berechnungsverfahren

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 142

Annahmen - 0 + +Marktanpassung je nach K + je nach K je nach KBerechnung ∆∆∆∆VaR + + - -VaR für Optionen - - + +Schnelligkeit

(Aussagen beziehen sich auf ein 99 %-iges Konfidenzniveau)

LiteraturBühler, W. / Korn, O. / Schmidt, A. (1998): Ermittlung von Eigenkapitalanforderungen mit "Internen Modellen", in: Die Betriebswirtschaft, 58. Jg., Nr. 1, S. 64-85.

Huschens, S. (2000): Verfahren zur Value-at-Risk-Berechnung im Marktrisikobereich, in: Johanning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Handbuch Risikomanagement, Bd. 1, Risikomanagement für Markt-, Kredit- und operative Risken, Uhlenbruch Verlag, Bad Soden/Ts., S. 181-218.

J.P. Morgan/Reuters (1996): RiskMetrics - Technical Document, 4. Auflage, New York.

Johanning, L. (1998): Value-at-Risk zur Marktrisikosteuerung und Eigenkapitalallokation, Bad Soden/Ts.

Ridder, T. / Stahl, G. (2000): Flexibles oder starres Cashflow-Mapping ?, in: Johanning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Handbuch Risikomanagement, Bd. 1, Risikomanagement für Markt-, Kredit- und operative Risken, Bad Soden/Ts.,

Hans-Peter Burghof, Universität Hohenheim, „Theory of Banking“ 143

Handbuch Risikomanagement, Bd. 1, Risikomanagement für Markt-, Kredit- und operative Risken, Bad Soden/Ts., S. 269-288.

Traber, U. (2000): Bankaufsichtliche Prüfung und Zulassung interner Marktrisikomodelle, in: Johanning, L. / Rudolph, B. (Hrsg.), Handbuch Risikomanagement, Bd. 2, Risikomanagement für Banken, Asset-Management-Gesellschaften, Versicherungs- und Industrieunternehmen, Bad Soden/Ts., S. 775-796.