Werkzeugkompetenzen MNU | 1

Arbeitsgruppe Werkzeugkompetenzen: Gaby Heintz, Hans-Jürgen Elschenbroich,Heinz Laakmann, Hubert Langlotz, Michael Rüsing,Florian Schacht, Reinhard Schmidt, Carsten Tietz

Kopiervorlage – Schülerarbeitsblatt Rotationskörper

5.17 Rotationskörper

Jahrgangsstufe 11 –12

Es ist nicht einfach, im Mathematikunterricht deutlich zu machen, dass Mathematik helfen kann, die „normalen“ Dinge, die nicht-mathe-matische Wirklichkeit um uns herum besser zu verstehen.

Einen motivierenden Ansatz hierfür bietet die Untersuchung vom Volumen von Gläsern unterschiedlicher Form. Dabei werden z. B. Biergläser als Rotationskörper modelliert und dann das Volumen dieser Rotations-körper mit den Mitteln der Integralrechnung bestimmt.

Wenn den Lernenden bekannt ist, wie man das Volumen von Rotationskörpern be-stimmt, dann erlauben digitale Werkzeuge eine Untersuchung von sehr vielfältigen Pro-blemstellungen aus dem Alltag.

In der Jahrgangsstufe 12 mehren sich bei den Lernenden die Besuche in Discos und Knei-pen, so dass die Frage, ob die Eichmarken an den Getränkegläsern korrekt sind, unmittel-bar praktisch relevant ist.

Für das nebenstehende Bierglas soll ermit­telt werden, auf welcher Höhe die Eichmarke (die im Bild nicht zu erkennen ist) angebracht werden muss. Bei einem derartigen Weizen­bierglas zeigt die Eichmarke ein Volumen von einem halben Liter an.

1. Überlege dir zunächst allein eine Strategie, wie man die Randkurve des Bierglases durch eine Funktionsvorschrift beschreiben könnte.

Überlegt dann in eurer Gruppe, wie viele Messungen ihr durchführen wollt und wo ihr messen wollt. Diskutiert auch die Vor­ und Nachteile von sehr vielen oder sehr wenigen Messungen.

2. Ermittelt eine Funktionsgleichung, durch die das Bierglas gut modelliert wird. Beschreibe hierzu dein Vorgehen mit dem digitalen Werkzeug. Verwende hierzu die Datei entweder „bierglas1“ oder auch nur das Bild „5­17_bierglas.jpg“ und ein digita­les Werkzeug deiner Wahl.

3. In der Datei „bierglas2“ (Abbildung 5.17a) findet man zunächst das Bild eines liegen­den Bierglases. Fünf bewegliche Punkte A, B, C, D und E sollen auf dem Rand des Gla­ses liegen.

Vergleicht den Lösungsweg in der Datei „bierglas2“ mit eurem Vorgehen. Beant­wortet folgende Fragen:

a) Wie genau ist die Eichmarke?

b) In welcher Höhe müsste die Eichmarke sein, damit wirklich genau 500 cm³ in das Bierglas passen?

c) Wie hoch ist das Glas gefüllt, nachdem man es zur Hälfte geleert hat?

d) Wie viel passt maximal in so ein Weizen­bierglas?

e) Formuliert eine Beschreibung, wie sich das dreidimensionale Volumen eines Gefäßes, von dem nur das (zweidimen­sionale) Bild vorliegt, mit Hilfe des digi­talen Werkzeugs möglichst einfach be­stimmen lässt.

Aufgabe: Das Weizenbierglas

VORLIEGENDE DATEIEN

5­17_bierglas.jpg www.mnu.de/weko/5-17_bierglas1.jpg

5­17_bierglas1.ggb www.geogebra.org/m/sHEjvCY9

5­17_bierglas1.tns www.mnu.de/weko/5-17_bierglas1.tns

5­17_bierglas2.ggb www.geogebra.org/m/CHjvN89z

5­17_bierglas2.tns www.mnu.de/weko/5-17_bierglas2.tns

Abbildung 5.17a

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Arbeitsgruppe Werkzeugkompetenzen: Gaby Heintz, Hans-Jürgen Elschenbroich,Heinz Laakmann, Hubert Langlotz, Michael Rüsing,Florian Schacht, Reinhard Schmidt, Carsten Tietz

Kopiervorlage – Hinweise für Lehrer Rotationskörper

Hinweise zur Lösung

Wesentliche Erkenntnisse bei der Lösung der Aufgabe sind:

y Verschiedene Lösungsansätze können zu ähnlich guten Lösungen führen.

y Modellieren und Validieren stellen einen Kreislauf dar.

y Berechnung von Volumina von Rotations­körpern, nachdem die Randkurve durch Re­konstruktion unter Verwendung von 4 – 5 Messwerten am Objekt (Steckbriefaufgabe) modelliert wurde.

y Berechnung von einem Integral mit vorge­gebenem Wert und variabler oberer Grenze.

Mögliche Alternativen zur Aufgabenstellung:

Fassaufgaben, Bierschaumzerfall.

Mehrwert:

Das digitale Werkzeug erweitert die Modellie­rungskompetenz durch

y einfache Möglichkeiten zur Variation der Randpunkte,

y Vergleich verschiedener Modellierungs­ansätze,

y das digitale Werkzeug erweitert die Model­lierungskompetenz durch schnelle Visuali­sierungsmöglichkeiten.

WERKZEUGKOMPETENZEN

Bedienkompetenz:

Der Schülerinnen und Schüler muss die erfor­derlichen Rechenbefehle zum Lösen von line­aren Gleichungssystemen anwenden können, ggf. kann auch das Regressionstool des Werk­zeuges genutzt werden.

Wird zur Lösung die vorgegebene Datei genutzt, muss der Lernende in der Lage sein, je nach verwendetem Werkzeug Verknüpfungen zwischen den einzelnen Repräsentationsebe­nen (Algebra­ und Geometriemodus) herstel­len zu können.

Dokumentationskompetenz:

Insbesondere bei der Nutzung des Regres­sionstools ist es wichtig, auf eine genaue Dokumentation zu achten. Unterscheiden sollte man dabei im Unterricht zwischen der Beschreibung der Bedienung (etwa: Wie gelange ich zur Regressionsfunktion?) und der Beschreibung der mathematischen Argu­mente (etwa: Was sagt der Regressionskoef­fizient aus?). Im Schülerheft lässt sich eine solche Trennung der beiden Ebenen auch vornehmen.

Auswahlkompetenz:

Je nach Vorkenntnissen könnte die Lösungs­findung auch mit dem Regressionswerkzeug des CAS erfolgen.

Reflexionskompetenz:

Hier sollten die Schülerinnen und Schüler ins­besondere die Potentiale mathematischer Modellbildungssituationen reflektieren, die Möglichkeiten und Grenzen der Unterstützung durch digitale Werkzeuge sowie – mit Blick auf die zugrundeliegenden mathematischen Konzepte – die entsprechenden Begriffe im Umfeld der Durchführung einer Regression.

VORKENNTNISSE

Die Schülerinnen und Schüler sollten über folgende Kenntnisse verfügen:

• Aufstellen von Funktionsgleichungen, wenn bestimmte Punkte (Merkmale) des Graphen bekannt sind (= „Steckbriefauf-gaben“).

• Berechnen des Volumens von Körpern, die bei der Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen.

LITERATUR

Weller, H. (1996): Das Weizenbierglas. In: mathematik lehren 77. Friedrich Verlag: Seelze, S. 67. Braunschweig.

Abbildung 5.17b: Woher weiß der Wirt, dass in dieses Glas 0,5 l Bier passen?

Foto: Reinhard Schmidt