5.6 Zwei- und mehrdimensionale Zufallsvariablen

Wir betrachten jetzt den Fall dass mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig analysiertWir betrachten jetzt den Fall, dass mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig analysiertwerden. Allgemein ist eine n-dimensionale Zufallsvariable durch das n-Tupel

(X1, X2, …, Xn)gegeben. Wir beschränken uns hier aber auf den Fall der zweidimensionalen Zu-fallsvariablen,

(X, Y)(X, Y)da die Konzepte mehrdimensionaler Verteilung anhand von bivariaten Verteilun-gen anschaulich illustriert werden können.Z i d h di i l V t il kö di k t d t ti Z f llZwei- und mehrdimensionalen Verteilungen können diskrete oder stetige Zufalls-variablen zugrunde liegen. Wir unterscheiden hier zwischen der

• gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung(gemeinsame Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion)

und den • Randverteilungen Randverteilungen

(Randwahrscheinlichkeits- bzw. Randdichtefunktion).Wie bei den eindimensionalen Verteilungen sind der Erwartungswert und die Va-rianz Parameter der Randverteilungen Parameter der gemeinsamen Wahrrianz Parameter der Randverteilungen. Parameter der gemeinsamen Wahr-scheinlichkeitsverteilungen sind die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient.

Beispiel 5.18:

• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Die Zufallsvariable X be-zeichnet die Augenzahl beim ersten Würfel, die Zufallvariable Y die Augenzahl beim zweiten Würfel. Dann ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable,deren Wertebereich aus allen geordneten Paaren (xj, yk) besteht, die sich aus den natürlichen Zahlen 1 bis 6 zusammensetzen.

• Eine Versicherungsgesellschaft will überprüfen ob es einen Zusammenhang Eine Versicherungsgesellschaft will überprüfen, ob es einen Zusammenhangzwischen der Unfallhäufigkeit (X) und dem Geschlecht (Y) gibt. Hierzu wird diezweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) analysiert.

I d V lk i t h ftli h G t h d d K (C) d d• In der Volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung werden der Konsum (C) und dasEinkommen (Y) je Periode erfasst. Die zweidimensionale Zufallsvariable (C, Y)gibt dann die potenziellen Kombinationen aus Konsum und Einkommen je Pe-riode wiederriode wieder.

♦

A. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktionund Randwahrscheinlichkeitsfunktionen

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,y) der zweidimensionalenZufallsvariablen (X,Y) ordnet den geordneten Paaren (xj,yk) Wahrscheinlichkeitenpjk zu:pjk zu:

(5.24) ( )( )

⎩⎨⎧ =====

= sonst0yyxxfürpyYxXP

yxf kjjkjj ,,,

Die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen

( ) ( )∑c

yxfxXPxf ︶︵

und

( ) ( )∑====1k

kX yxfxXPxf ,︶︵

( ) ( )∑r

yxfyYPyf ︶︵(5.25)

(5 26)

geben die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen der beiden Zufalls-

( ) ( )∑====1j

jY yxfyYPyf ,︶︵(5.26)

variablen X und Y an.Die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von X, f1(x), wird durch Summation über allec Spalten ermittelt. Die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y, f2(y), wird durchp , 2(y),Summation über alle r Zeilen bestimmt.

Y ∑c

Tabelle 5.1: Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten und Randwahrscheinlichkeiten

X 1y 2y K cy ∑=1k

1x 11p 12p K c1p ∑• =c

k11 pp =1k

2x 21p 22p K c2p ∑=

• =c

1kk22 pp

M M M M M

rx 1rp 2rp K rcp ∑=

• =c

1krkr pp

1k

∑r

∑• =r

1j1 pp ∑• =r

2j2 pp K ∑• =r

jcc pp

ppr

1jj

r

1j

c

1kjk = ∑∑ ∑

=•

= = ∑

=1j∑=1j

j ∑=1j

j ∑=1j

jcc

1pc

1kk == ∑

=•

Randwahrscheinlichkeiten von X:

Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten: f(xj,yk) = pjk = P(X=xj,Y=yk)

( ) ∑== •c

kjkjjX ppxf

Randwahrscheinlichkeiten von Y:

=1k

( ) ∑===

•r

1jjkkkY ppyf

Beispiel 5.19:

Eine Versicherungsgesellschaft will überprüfen, ob ein Zusammenhang zwischenEine Versicherungsgesellschaft will überprüfen, ob ein Zusammenhang zwischender Unfallhäufigkeit (X) und dem Geschlecht (Y) besteht. Es wurden hierfür fol-gende Wahrscheinlichkeiten ermittelt:

Y (G hl ht)Y (Geschlecht)X (Unfall- häufigkeit)

1y (männlich) 2y (weiblich)

(k i l) 0 20 0 301x (keinmal) 0,20 0,30

2x (ein- oder zweimal) 0,15 0,20

3x (mehr als zweimal) 0,10 0,05

Mit diesen Informationen lässt sich eine Tabelle der zweidimensionalen VerteilungMit diesen Informationen lässt sich eine Tabelle der zweidimensionalen Verteilungvon (X,Y) erstellen. Die Randwahrscheinlichkeiten pj• und p•k ergeben sich darindurch Summation der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk.

Y (Geschlecht) X (Un- f llh fi k i )

1y (männlich) 2y (weiblich) ∑2

fallhäufigkeit) =1k

x (keinmal) 200p11 = 300p12 =pp

2

1kk11 = ∑

=•

1x (keinmal) 20,0p11 30,0p12

50,030,020,0

=+=

2∑

2x (ein- oder zwei-mal)

15,0p21 = 20,0p22 =

35020,015,0

pp1k

k22

=+=

= ∑=

•

35,0=

3x (mehr als zwei- 10,0p31 = 05,0p32 =pp

2

1kk33 = ∑

=•

mal) ,p31 ,p32

15,005,010,0

=+=

203∑ 30

3∑ 3020

3 2+∑ ∑

∑=

3

1j

4501,015,0

2,0pp1j

1j1

=++

== ∑=

•

55005,02,0

3,0pp1j

2j2

=++

== ∑=

•

10501,02,015,0

3,02,0p1j 1k

jk

=++++

+=∑ ∑= =

♦45,0= 55,0= 105,0 =+

♦

Stochastische Unabhängigkeit

Die beiden diskreten Zufallsvariablen X und Y sind voneinander unabhängig, wennsich die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion als Produkt der Randwahrschein-lichkeitsfunktionen darstellen lässt:

( ) ( ) ( )yfxfyxf YX ⋅=, ⇒ stochastische Unabhängigkeit(5.27a)

Bei stochastischer Unabhängigkeit lassen sich alle gemeinsamen Wahrscheinlich-keiten pjk aus dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten pj• und p•k darstellen:

kjjk ppp ⋅= fü ll j 1 2 d k 1 2(5 27b) kjjk ppp •• ⋅= für alle j=1,2,…,r und k=1,2,…,c⇒ stochastische Unabhängigkeit

(5.27b)

Beispiel 5.20:Sind die Zufallsvariablen Unfallhäufigkeit und Geschlecht unabhängig voneinander?Zur Beantwortung dieser Frage berechnen wir die Produkte der Randwahrschein-lichkeiten:

Y (Geschlecht) X (Un-fallhäufigkeit)

1y (männlich) 2y (weiblich) •jp

45050pp 11

=

⋅ ••55050

pp 21=

⋅ •• z.B.

1x (keinmal) 225,0

45,05,0=

⋅=

( )20,0p11 =

275,055,05,0

=⋅=

( )30,0p12 =

50,0p1 =•

pp 12 ⋅ pp 22 ⋅

( )( )200p

2250pp11

11,,

=≠=⋅ ••

2x (ein- oder zwei-mal) 1575,0

45,035,0pp 12

=⋅=

⋅ ••

( )150p21 =1925,0

55,035,0pp 22

=⋅=

⋅ ••

( )200p22 =

35,0p2 =•

( )15,0p21 = ( )20,0p22 =

3x (mehr als zwei-l) 06750

45,015,0pp 13

=⋅=

⋅ ••

0825055,015,0

pp 23

=⋅=

⋅ ••

15,0p3 =•

mal) 0675,0=( )10,0p31 =

0825,0=( )05,0p32 =

kp• 45,0p 1 =• 55,0p 2 =• 1

Beide Merkmale sind abhängig, da die berechneten Produkte der Randwahrschein-lichkeiten pj•·p•k nicht mit den gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk übereinstimmen.

♦

B. Gemeinsame Dichtefunktion und Randdichtefunktionen

Die beiden Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam stetig verteilt, wenn es einegemeinsame Dichtefunktion f(x,y) mit den Eigenschaften

( ) 0yxf ≥( ) 0yxf ≥,

und

( ) 1ddf∫∫∞∞

gibt, so dass die gemeinsame Intervallwahrscheinlichkeit P(a≤X≤b,c≤Y≤d) durch

( ) 1dydxyxf =⋅⋅∫∫∞−∞−

,

( )∫ ⋅⋅∫=≤≤≤≤b

a

d

cdydxyxfdYcbXaP ,︶,︵

gegeben ist

(5.28)

gegeben ist.

Beispiel 5.21:Gegeben ist die gemeinsame Dichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsvaria-Gegeben ist die gemeinsame Dichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X,Y),

⎩⎨⎧ <<<<+= sonst0

1y01x0füryxyxf ,

︶,︵ ,⎩⎨ sonst0y ︶,︵

die sich in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen lässt:

,

)(f

1.1.1.52.

)y,x(fx

00 2 0.4

0.60.8

00.51.

00 20.2

0.40.6

0.81 0

0.2

0.20.4

0.60 8

y1.y

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X in dem Intervall zwi-schen 0,5 und 1 und die Zufallsvariable Y gleichzeitig in dem Intervall zwischen 0,4und 0,6 liegt.

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(0,5≤X≤1;0,4≤Y≤0,6) zu berechnen, ist einDoppelintegral zu lösen:

( )∫ ⋅⋅∫ +=≤≤≤≤60 1

dydxyx60Y401X50P,

︶,,;,︵ .

Hierzu integrieren wir zuerst über x,

40 50, ,

⎞⎛( )

( )[ ]dy50

1xyx21dydxyx60Y401X50P

60 22

60

40

260

40

1

50∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ +=≤≤≤≤

,

,

,

,

, ,,︶,,;,︵

( )[ ]( ) ( )dy3750y50dyy501250y50

dyy505050y1150

6060

60

40

22

∫ +∫ +

∫ ⋅+⋅−⋅+⋅=

,,

,

,,,,,

,( ) ( )dy3750y50dyy501250y504040∫ +=∫ −−+=,,

,,,,,

und anschließend über y:

( ) ( ),,︶,,;,︵

,

,

,

, ,dy3750y50dydxyx60Y401X50P

60

40

60

40

1

50∫ +=∫ ∫ +=≤≤≤≤

( ),,,,,,,,,,,,,

,,,,

40375040250603750602504060y3750y25040

60y3750y505022

22

⋅+⋅−⋅+⋅=

+=⋅+⋅⋅=

( ).,,,, 1250190022500900 =−+=

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also 0,125. Mit einer Wahrscheinlichkeitg g ,von 12,5 % liegt die Zufallsvariable X zwischen 0,5 und 1 und die Zufallsvariable Ygleichzeitig zwischen 0,4 und 0,6. ♦

Aus der gemeinsamen Dichtefunktion f(x,y) lassen sich die Randdichtefunktio-nen durch Integration bestimmen:nen durch Integration bestimmen:

dyyxfxfX ⋅∫=∞

∞−

︶,︵︶︵(5.29a)

und

dxyxfyfY ⋅∫=∞

︶,︵︶︵ .(5.29b)∞−

Bei stochastischer Unabhängigkeit der beiden stetigen Zufallsvariablen X und Y

( )

ist gemeinsame Dichtefunktion f(x,y) durch das Produkt der RanddichtefunktionenfX(x) und fY(y) gegeben:

( ) ( ) ( )fff t h ti h U bhä i k it( ) ( ) ( )yfxfyxf YX ⋅=, ⇒ stochastische Unabhängigkeit.(5.30)

Beispiel 5.22:Wie lauten die Randdichtefunktionen der Zufallsvariablen X und Y deren ge-Wie lauten die Randdichtefunktionen der Zufallsvariablen X und Y, deren gemeinsame Dichtefunktion durch

⎩⎨⎧ <<<<+= sonst0

1y01x0füryxyxf ,

︶,︵ ⎩⎨ sonst0y ︶,︵

gegeben ist?

• Randdichtefunktion von X:

( ) ( )∫ +=−⋅+⋅=+=+=1 22

X 50x01211x0

1y21xydyyxxf ,( ) ( )∫

0X 20y

2yyy ,

• Randdichtefunktion von Y:

( )∫ +=−⋅+=+=+=1

0

22Y y5001y1

21

01xyx

21dxyxyf ,︶︵ ♦

C. Parameter der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilungder zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y)

● Kovarianz

Die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen X und Y ist ein Maß der Verbund-streuung:

.( ) ( )( ) ( )( )[ ]YEYXEXEYXCov xy −⋅−=σ=,(5.31a)

Sie misst die Richtung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufalls-variablen X und Y.

Für diskrete Zufallsvariablen X und Y berechnet sich die Kovarianz aus

( ) ( )[ ] ( )[ ] ︶︵ kjr c

kjxy yxfYEyXExYXCov ⋅∑ ∑ −⋅−=σ=(5.32a)

und bei stetigen Zufallsvariablen aus

( ) ( )[ ] ( )[ ] ︶,︵, kj1j 1k

kjxy yxfYEyXExYXCov ∑ ∑σ= =

( )

.( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) dydxyxfYEyXExYXCov xy ⋅⋅⋅∫ ∫ −−=σ=

∞

∞−

∞

∞−,,(5.32b)

Verschiebungssatz: (5.31b) Cov(X,Y) = E(X·Y) – E(X)·E(Y)

Beispiel 5.23:Für die zukünftigen Konjunkturaussichten wird von einem Wirtschaftsforschungs-Für die zukünftigen Konjunkturaussichten wird von einem Wirtschaftsforschungsinstitut folgendes Szenario entwickelt:

Umweltzustand Beschreibung Eintrittswahr-scheinlichkeit

1 keine wesentliche Änderung des ökonomischenUmfelds

0,5

2 Rezession 0,33 Hochkonjunktur 0,2

Die möglichen Rahmenbedingungen beeinflussen die Ertragssituation von Unter-nehmen und damit die Kursentwicklung ihrer Aktien. Abhängig von der Rahmen-bedingung erwarten die Investoren als Renditen für zwei Aktien X und Y:bedingung erwarten die Investoren als Renditen für zwei Aktien X und Y:

Umweltzustand Rendite X Rendite Y

1 3 5 % 5 0 %1 3,5 % 5,0 %

2 4,0 % -1,0 %

3 2 0 % 7 0 %3 2,0 % 7,0 %

Aus den angegebenen Größen lässt sich folgende zweidimensionale Wahrschein-lichkeitstabelle erstellen:

Y (Rendite Y)X Rendite X)

1y ( %1− ) 2y ( %5 ) 3y ( %7 ) ∑=

• =3

1kjkj pp

Rendite X) 1k

1x ( %2 ) 0p11 = 0p12 = 2,0p13 = 2,0

2,000p1=

++=•

05002x ( %5,3 ) 0p21 = 5,0p22 = 0p23 =

5,005,00p2

=

++=•

( ) 30 0 0003,0p3 ++=•

3x ( %4 ) 3,0p31 = 0p32 = 0p33 = 3,0p3

=•

3 00p 1 +=• 0p 2 +=• 2,0p 3 =• 00p3 3

jk +=∑ ∑∑=

• =3

1jjkk pp

3,03,000p 1

=+

+•

5,005,0

0p 2

=+

+•

2,000

2,0p 3

=++

•

1003005,002,0

p1j 1k

jk

=+++++++

∑ ∑= =

1003,0 =+++

Zunächst bestimmen wir die erwarteten Renditen der beiden Aktien:3

0,03350,30,040,50,0350,20,02pxE(X)3

1jjj =⋅+⋅+⋅=∑ ⋅=

=•

( ) 0 03600 20 070 50 050 3010E(Y)3∑ ( ) .0,03600,20,070,50,050,3010pyE(Y)

1kkk =⋅+⋅+⋅−=∑ ⋅=

=• ,

Die Kovarianz errechnet sich mit der Formel für den diskreten Fall:Die Kovarianz errechnet sich mit der Formel für den diskreten Fall:

( )[ ] ( )[ ] pYEyXExCov(X,Y) jk3 3

kjxy ⋅∑ ∑ −⋅−=σ= ( )[ ] ( )[ ]

0030)0360010()03350040(05,0)036,005,0()0335,0035,0(0

2,0)036,007,0()0335,002,0(00

py( ) jk1j 1k

kjxy

+⋅−⋅−++⋅−⋅−++=

= =

D di K i ti i t b t ht i h d R dit d b id Akti i

.000171,0003,0)036,001,0()0335,004,0(

−=++⋅−−⋅−+

Da die Kovarianz negativ ist, besteht zwischen den Renditen der beiden Aktien einnegativer linearer Zusammenhang. Mit einer höheren Rendite der einen Aktie gehtalso tendenziell eine niedrigere Rendite der anderen Aktie einher. ♦

● Korrelationskoeffizient

Die Kovarianz gibt keine Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y, weil sie unbeschränkt ist. Aus diesem Grund wird der Korrelationskoeffizient zur Messung der Stärke eines bivariaten Zusammen-hangs verwendet:

yx

xyxyYXCorr

σ⋅σ

σ=ρ=︶,︵(5.33)

yx

Das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten wird nur von der Kovarianz bestimmt,da der Nenner stets positiv ist. Der Korrelationskoeffizient gibt zunächst einmal wie

Zusätzlich misst der Korrelationskoeffizient ρxy die Stärke des linearen Zusammen-hangs zwischen den Zufallsvariablen X und Y da er im Unterschied zur Kovarianz

die Kovarianz die Richtung einer linearen Abhängigkeit an.

hangs zwischen den Zufallsvariablen X und Y, da er im Unterschied zur Kovarianzσxy auf das Intervall zwischen -1 und 1 normiert ist. Je näher der Korrelationskoeffi-zient an den Extremwerten -1 oder +1 liegt, desto stärker ist der lineare Zusammen-hang ausgeprägthang ausgeprägt.

Beispiel 5.24:Wir wollen jetzt die Stärke des Zusammenhangs zwischen den Renditen X und Yj gder beiden Aktien messen, die eine Kovarianz von -0,000171 aufweisen.Hierzu sind die Varianzen der beiden Zufallsvariablen X und Y zu berechnen, aus denen sich ihre Standardabweichungen ergeben.denen sich ihre Standardabweichungen ergeben.

( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) 3003350040500335003502003350020

pxXEXE

222

j3

1j

2xj

22x ⋅∑ μ−=−=σ

=Varianz von X:

( ) ( ) ( )000050250

3003350040500335003502003350020 222

,,,,,,,,,,

=⋅−+⋅−+⋅−=

00710000050250x ,, ==σStandardabweichung von X:

Varianz von Y: ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) 200360070500360050300360010

pyYEYE

222

k3

1k

2yk

22y

++

⋅∑ μ−=−=σ=

xg

( ) ( ) ( ).,

,,,,,,,,,0009640

200360070500360050300360010 222

=⋅−+⋅−+⋅−−=

Standardabweichung von Y: 031000009640y ,, ==σg y

776900310000710

000171,0YXCorryx

xyxy ,

,,︶,︵ −=⋅

−=

σ⋅σ

σ=ρ=Korrelationskoeffizient:

Bei einem Korrelationskoeffizient von rd. -0,8 besteht ein enger negativer Zusam-menhang zwischen den Renditen der beiden Aktien. ♦

D. Erwartungswert und Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen

Gegeben: n Zufallsvariablen: X1 X2 XGegeben: n Zufallsvariablen: X1, X2, …, Xn

Linearkombination der Zufallsvariablen X1, X2, …, Xn:

2211n

ii XaXaXaXaZ +++=∑=(5 34)

● Erwartungswert einer Linearkombination von Zufallsvariablen

nn22111i

ii XaXaXaXaZ +++=∑==

K(5.34)

︶ ︶︵︶︵︶︵

︶︵︶︵

nn2211

n

1iii

n

1iii

XEaXEaXEa

XEaXaEZE

⋅++⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

==K

(5.35)

● Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen - bei stochastischer Unabhängigkeit:

︶ ︶︵︶︵︶︵ nn2211 XEaXEaXEa +++ K

g g

︶︵︶︵

222

n

1ii

2i

n

1iii XVaXaVZV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

==(5.36)

︶ ︶︵︶︵︶︵ n2i2

2i1

2i XVaXVaXVa ⋅++⋅+⋅= K

- bei stochastischer Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen X und Y:

Y)Cov(X,ba2V(Y)bV(X)aY)bXV(a 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅(5.37)

Beispiel 5.25:Die Portfoliotheorie zeigt auf, wie optimale Wertpapierportfolios strukturiert sein müssen Alternative Ertrags-Risiko-Kombinationen die durch den Erwartungswertmüssen. Alternative Ertrags Risiko Kombinationen, die durch den Erwartungswert und die Varianz der Renditen gemessen werden, lassen sich unter Berücksichti-gung der Präferenzen eines Anlegers bewerten. Für den Anleger wird es im Allgemeinen vorteilhaft sein gleichzeitig unterschiedFür den Anleger wird es im Allgemeinen vorteilhaft sein, gleichzeitig unterschied-liche risikobehaftete Wertpapiere zu halten. Hierbei kommt es nicht nur auf die erwartete Rendite, sondern auch auf eine günstige Korrelationsstruktur an, die das Risiko der Wertpapieranlage verringertRisiko der Wertpapieranlage verringert.

Wir setzen die Bespiele 5.23 und 5.24 fort, in denen wir die erwarteten Renditenund die Varianzen für zwei Aktien separat betrachtet haben:

und0,0335E(X) x =μ= 0,0360E(Y) y =μ=

0009640YV 2y ,︶︵ =σ=000050250XV 2

x ,︶︵ =σ= und

Fü di K i h b i d W t

.

.000171,0Cov(X,Y) xy −=σ=

Für die Kovarianz haben wir den Wert

erhalten und der Korrelationskoeffizient beträgterhalten und der Korrelationskoeffizient beträgt

.77690YXCorr xy ,︶,︵ −=ρ=

Wir wollen nun die Ertrags-Risiko-Struktur von zwei Aktienportfolios betrachten.Aktienportfolio 1: 100% Aktie X, 0% Aktie Yp ,Aktienportfolio 2: 80% Aktie X, 20% Aktie Y

● Ertrags-Risiko-Struktur des Aktienportfolios 1g p

Erwartete Rendite des Portfolios 1:

︶︵︶︵︶︵ YEbXEZE it 1 d b 0︶︵︶︵︶︵ YEbXEaZE ⋅+⋅= mit a=1 und b=0

03350036000033501YE0XE1ZE ,,,︶︵︶︵︶︵ =⋅+⋅=⋅+⋅=

Risiko des Portfolios 1:

mit a=1 und b=0Y)Cov(X,ba2V(Y)bV(X)a)ZV( 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅=

0000502500000502501Y)Cov(X,012V(Y)0V(X)1)ZV( 22

,, =⋅=⋅⋅⋅+⋅+⋅=

00710000050250XVx ,,︶︵ ===σ→

● Ertrags-Risiko-Struktur des Aktienportfolios 2

Erwartete Rendite des Portfolios 2:

︶︵︶︵︶︵ YEbXEaZE ⋅+⋅= mit a=0,8 und b=0,2︶︵︶︵︶︵034003600200335080YE20XE80ZE ,,,,,︶︵,︶︵,︶︵ =⋅+⋅=⋅+⋅=

Risiko des Portfolios 2:

Y)Cov(X,ba2V(Y)bV(X)a)ZV( 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅= mit a=0,8 und b=0,2)( ,( )( ))( , ,

0001710208020009640040000050250640Y)Cov(X,0,20,82V(Y)20V(X)80)ZV( 22

︶,︵,,,,,,,,

−⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅+⋅=

0000160000054720000038560000032160 ,,,,

︶,︵,,,,,,=−+=

00400000160YVy ,,︶︵ ===σ→

Das Aktienportfolio 2, das aus einer Mischung der beiden Aktien X und Y im Ver-hältnis 4:1 (80%:20%) besteht, hat eine bessere Ertrags-Risiko-Struktur als dasAktienportfolio 1 das allein aus der Aktie X besteht ♦Aktienportfolio 1, das allein aus der Aktie X besteht. ♦