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  • 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:[email protected]] 545

    5.7. Wheatstonesche Brücke — ["wI:[email protected]]

    Ziel

    Bestimmung unbekannter ohmscher Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten durch Vergleich mit Bauteilen, deren Werte bekannt sind. Verständnis für die Spannungs- und Stromverhältnisse in einfachen Wechselstromkreisen.

    Hinweise zur Vorbereitung

    Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Infor- mationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur.

    • Wie funktioniert die wheatstonesche Brückenschaltung und wozu wird sie verwen- det?

    • Wieso ist die Bestimmung von Widerständen mit der Brückenschaltung genauer als einfach nur mit Multimeter?

    • Wie lauten die kirchhoffschen Gesetze?

    • Wie unterscheiden sich Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand?

    • Wovon hängt der Blindwiderstand eines Kondensator, bzw. einer Spule ab?

    • Erläutern Sie die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung bei sinusförmigem Wechselstrom an Reihenschaltungen aus Wirkwiderstand R, Kondensator C und Spule L.

    • Wie können Wechselstromwiderstände anschaulich dargestellt werden?

    Zubehör

    • Drahtwiderstand der Länge l = 100 cm mit verschiebbarem Schleifkontakt und zwei Skalen zur Ablesung der Position x des Kontaktes relativ zum linken Drahtende sowie des Teilungsverhältnisses r = x

    l−x .

    • Stöpselrheostat als bekannter Widerstand 1Ω− 1111Ω

    • regelbarer Widerstand 0Ω− 200Ω

    • Bauteile mit bekannten Werten:

    – C1 = 4.66μF

    – L3 = 8.6mH

    • Bauteile mit unbekannten Werten:

    © Bernd-Uwe Runge, Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?

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  • 546 5. Versuche zur Elektrizitätslehre

    – R1, . . . , R5

    – C2, . . . , C7

    – L1, L2, L4

    • regelbares Gleichspannungsnetzgerät (Belastbarkeit entweder 15V, 700mA oder 30V, 400mA)

    • Sinusgeneratoren für die Frequenzen f = 100Hz, 1 kHz und 10 kHz mit regelbarer Ausgangsamplitude 0Vpp bis 10Vpp (Das Zeichen Vpp bedeutet ”

    Volt von Spitze zu Spitze“ und ist von 〈engl.〉 peak to peak abgeleitet.)

    • Galvanometer mit Taster zum Umschalten auf eine höhere Empfindlichkeit

    • Kopfhörer als Messinstrument (Nullinstrument) für Wechselspannungen

    Grundlagen

    Der ohmsche Widerstand eines Drahtes

    Der ohmsche Widerstand R eines homogenen Drahtes nimmt mit steigender Länge l linear zu und mit steigender Querschnittsfläche A linear ab. Er lässt sich folgendermaßen berechnen:

    R = � · l

    A (5.7.1)

    mit

    � = spezifischer Widerstand,

    l = Länge des Drahtes,

    A = Querschnittsfläche des Drahtes.

    (5.7.2)

    Wechselstromwiderstände

    Für Gleichströme stellt ein Kondensator eine Unterbrechung mit unendlich hohem Wi- derstand dar, eine ideale Spule bedeutet einen Kurzschluss mit dem Widerstand null. Für sinusförmige1 Wechselströme hingegen hängt das Verhältnis aus Spannungsamplitu- de und Stromamplitude in ähnlicher Weise von der Kapazität C bzw. der Induktivität

    1Ist der zeitliche Verlauf der angelegten Wechselspannung nicht sinusförmig, so kann man sich diese aus sinusförmigen Anteilen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt denken. Die jeweiligen Anteile lassen sich mathematisch durch die sog. Fouriertransformation bestimmen. Die

    ” Antwort“ des Kon-

    densators bzw. der Spule auf einen beliebigen Spannungsverlauf lässt sich dann entsprechend aus den

    ” Antworten“ auf die einzelnen sinusförmigen Komponenten zusammensetzen. Es genügt also, diese sinusförmigen Signale zu betrachten.

    Ist der zeitliche Verlauf der Spannung nicht sinusförmig, so wird allerdings der zeitliche Verlauf des Stroms eine andere Form aufweisen. Eine

    ” dreieckförmige“ Spannung führt z. B. zu einem

    ” recht-

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  • 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:[email protected]] 547

    L ab, wie beim Gleichstrom vom ohmschen Widerstand. Man spricht daher auch von Wechselstromwiderständen. Diese Widerstände werden allerdings nicht warm, wenn sie vom Strom durchflossen werden. Elektrische Energie wird also nicht in Wärme umgewan- delt. Daher kommt die Bezeichnung

    ” Blindwiderstände“ im Gegensatz zum ohmschen

    Wirkwiderstand. In der Literatur sind die folgenden Formelzeichen und Begriffe üblich:

    • R: ohmscher Widerstand, Wirkwiderstand, Gleichstromwiderstand, Resistanz,

    • X: Blindwiderstand, Wechselstromwiderstand, Reaktanz, XL: induktiver Blindwiderstand einer Spule, Induktanz, (positiver Wert), XC : kapazitiver Blindwiderstand eines Kondensators, Kapazitanz, (manchmal als negativer Wert angegeben),

    • Z: Scheinwiderstand, Impedanz.

    Der Scheinwiderstand Z ist dabei der Gesamtwiderstand einer Schaltung aus mehreren – auch unterschiedlichen – Bauteilen. Wechselstromwiderstände hängen von der Kreisfrequenz ω des Wechselstroms ab und zwar gilt:2

    XL = ωL , (5.7.4)

    XC = 1

    ωC , (5.7.5)

    Z =

    √ R2 +

    ( ωL− 1

    ωC

    )2 . (5.7.6)

    Anschauliche Erklärung des Wechselstromwiderstandes eines Kondensators

    Oft kommt es zu Unklarheiten und Missverständnissen über den ” Grund“, warum die

    Stromstärke im Wechselstromkreis von der Größe des Kondensators und der Frequenz abhängt.3 Dabei ist der Vorgang im Grunde einfach zu verstehen. Deshalb hier eine – nicht ganz wörtlich zu nehmende – Analogie. Wir vergleichen den Wechselstrom durch einen Kondensator mit dem Verkehrsaufkommen auf den Zufahrts- straßen zur Fähre zwischen Konstanz und Meersburg. Die Parkplätze an beiden Fährhäfen

    eckförmigen“ Strom durch einen Kondensator, wie man sich leicht überlegen kann, denn für diesen Fall gilt ja:

    I(t) = dQ(t)

    dt =

    d(C ·U(t)) dt

    = C · dU(t)

    dt . (5.7.3)

    2Da außerdem eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt, werden die Widerstände oft als komplexe Größen geschrieben. Eine ausführliche Darstellung hierzu finden Sie bei der Anleitung zum Versuch

    ” Schwingungssiebe“ in Abschnitt 5.9 ab der Seite 576.

    3Eine weit verbreitete obwohl falsche Vorstellung ist z. B., dass der Aufladevorgang des Kondensators irgendwie dafür verantwortlich wäre,

    ” weil der Kondensator immer erst Zeit braucht, um sich auf-

    zuladen“. Auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung wird manchmal irrtümlich genannt.

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  • 548 5. Versuche zur Elektrizitätslehre

    entsprechen den Kondensatorplatten. Sie speichern Fahrzeuge an Stelle der Elektronen (Ladung Q). Die Kapazität C entspricht dann der Größe der Parkplätze. Die Zahl der aufgenommenen Fahrzeuge (Ladung Q) ergibt sich daraus durch Multiplikation mit der Packungsdichte (Spannung U). Zwischen den Kondensatorplatten soll sich ein Isolator be- finden, d. h. wir nehmen an, dass die Fähre ausnahmsweise nicht in Betrieb ist, so dass kein Transport über den Bodensee möglich ist. Wollen nun ausschließlich Fahrzeuge von Meers- burg nach Konstanz (Gleichspannung), so wird sich zunächst der Parkplatz in Meersburg füllen (

    ” aufladen“) und dann wird der Vorgang zum Stillstand kommen. Das Verkehrs-

    aufkommen (Strom I) ist dann Null. Schickt man aber die Fahrzeuge auf dem Weg um den See herum immer abwechselnd nach Konstanz und Meersburg (Wechselspannung), so werden die Anwohner an den Zufahrtsstraßen durchaus ein Verkehrsaufkommen registrie- ren. Die Höhe des mittleren Verkehrsaufkommens (

    ” Fahrzeuge pro Zeit“ entsprechend der

    mittleren Stromstärke I = ” Ladung pro Zeit“) ist dabei einerseits proportional zur Zahl

    der beteiligten Fahrzeuge (und daher zur Größe der Parkplätze und zur Packungsdichte), andererseits auch zur Häufigkeit des Hin- und Herfahrens (Frequenz f). Hier noch einmal tabellarisch zusammengefasst die einander entsprechenden Größen:

    Verkehrsmodell Stromkreis mit Kondensator

    Größe der Parkplätze Kapazität C Zahl der Fahrzeuge Ladung Q Packungsdichte Spannung U Häufigkeit des Hin- und Herfahrens Frequenz f = ω

    Verkehrsaufkommen Strom I

    Mit dieser Erläuterung sollten die Gleichungen

    I ∝ C ·U · f = U1 f ·C

    (5