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geometricdesign Die Platonischen Körper und ihre Sternformen im Kemperschen Würfel © Ueli Wittorf 1 Die Platonischen Körper und ihre Sternformen im Kemperschen Würfel Der Kempersche Würfel – Umklappen, Umstülpen Für die Abwicklung der sechs Flächen eines Würfels gibt es 11 verschiedene Möglichkeiten. Wir wählen hier die kreuzförmige. Am Würfel nach Carl Kemper hat jede Innenseite des Würfels eine walmdachförmige Aufwölbung, gebildet aus trapezförmigen und dreieckigen Flächen. Abb. 1: Der Kempersche Würfel geschlossen und ausgelegt mit den Aufwölbungen nach innen. In umgestülpter Form wieder zusammengeklappt, wird der Würfel mit gleicher Kantenlänge als Luftraum eingeschlossen und die Oberfläche des neuen Körpers ist ein Pentagondodekaeder. Deutlich sichtbar bleiben an ihm die Kanten des inliegenden Würfels. Abb. 2: Der Kempersche Würfel offen und geschlossen mit den Aufwölbungen nach aussen. Die Trapez- und Dreiecksflächen ergänzen sich zu einem regelmässigen Fünfeck (Pentagon). Uns interessiert nun aber der Hohlraum im geschlossenen Würfel. Das durch-sichtige Modell zeigt einen eigenartigen Stern, dessen dreieckige Spitzen in die Würfelecken ragen. Abb. 3: Der Achtzack-Stern erscheint im transparenten… Abb. 4: …und im halbgeöffneten Würfel. Wenn man ihm seine Zacken abschneidet, bleibt ein eingekerbter Körper übrig, den man zu einem regelmässigen Ikosaeder ergänzen kann. Das hexaedrisch eingestülpte Dodekaeder umschliesst offensichtlich ein Rudiment des Grossen Ikosaeder- oder Keplersterns.
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Die Platonischen Körper und ihre Sternformen im Kemperschen Würfel Der Kempersche Würfel – Umklappen, Umstülpen
Für die Abwicklung der sechs Flächen eines Würfels gibt es 11 verschiedene Möglichkeiten. Wir wählen hier die kreuzförmige. Am Würfel nach Carl Kemper hat jede Innenseite des Würfels eine walmdachförmige Aufwölbung, gebildet aus trapezförmigen und dreieckigen Flächen.
Abb. 1: Der Kempersche Würfel geschlossen und ausgelegt mit den Aufwölbungen nach innen.
In umgestülpter Form wieder zusammengeklappt, wird der Würfel mit gleicher Kantenlänge als Luftraum eingeschlossen und die Oberfläche des neuen Körpers ist ein Pentagondodekaeder. Deutlich sichtbar bleiben an ihm die Kanten des inliegenden Würfels.
Abb. 2: Der Kempersche Würfel offen und geschlossen mit den Aufwölbungen nach aussen.
Die Trapez- und Dreiecksflächen ergänzen sich zu einem regelmässigen Fünfeck (Pentagon). Uns interessiert nun aber der Hohlraum im geschlossenen Würfel. Das durch-sichtige Modell zeigt einen eigenartigen Stern, dessen dreieckige Spitzen in die Würfelecken ragen.
Abb. 3: Der Achtzack-Stern erscheint im transparenten…
Abb. 4: …und im halbgeöffneten Würfel.
Wenn man ihm seine Zacken abschneidet, bleibt ein eingekerbter Körper übrig, den man zu einem regelmässigen Ikosaeder ergänzen kann. Das hexaedrisch eingestülpte Dodekaeder umschliesst offensichtlich ein Rudiment des Grossen Ikosaeder- oder Keplersterns.
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Woher hat dieser eigenartige Stern seine Form?
Abb. 5: Achtzackstern und eingekerbtes Ikosaeder
Dem Achtzackstern fehlen 12 (blaue) Spitzen, welche auf die aufgefüllten Kerben passen und die Würfelflächen paarweise durchstossen. Die 8 grünen Zacken des ersten Sternes sind hier weggelassen.
Abb. 6: Zwölfzackstern des Ikosaeders.
Mit allen 20 Spitzen spannt der Ikosaederstern, auch Grosser Keplerstern genannt, ein Pentagondodekaeder auf.
Abb. 7: Grosser Keplerstern den Würfel durch-dringend und im Pentagondodekaeder
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Die fünf Hexaeder (Würfel) im Pentagondodekaeder
Jede Kante des inliegenden Würfels ist auch Diagonale eines aufgespannten Fünfecks des Dodekaeders, und da jede Fünfecksfläche fünf Diagonalen aufweist, kann der Würfel in ihm fünf verschiedene Stellungen einnehmen. Jede Farbe gehört zu einem anderen Würfel.
Abb. 8: Pentagondodekaedergerüst mit eingezeichneten Hexaedern
Alle fünf sich gegenseitig durchdringenden Hexaeder bilden einen Hexaederfünfling.
Abb. 9: Der Hexaederfünfling spannt mit seinen Ecken ein Pentagondodekaeder auf.
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Der Kleine Keplerstern im ikosaedrischen Kern Der Kleine Keplerstern, d. h. der Stern des Pentagondodekaeders passt ebenfalls ohne Spielraum in das Hexaeder. Nebeneinander gelegt findet man an ihm die gleichen Einkerbungen.
Abb. 10: Kleiner Keplerstern und ikosaedrischer Kernkörper.
Abb. 11: …passen inden eingeklappten Kemperschen Würfel.
Abb. 12: Die Sternzacke des Achtzacksterns passt auf den Kleinen Keplerstern
Mit angepassten (grünen) Zacken ist der Dodekaederstern der Stern im Achtzackstern und Kern im eingestülpten Würfel.
Abb. 13: Die Ergänzung zum Achtzack-Stern.
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Von seinen 60 gleichschenkligen Dreiecksflächen bleiben vom gelben Stern 12 sichtbar. Ist somit der Kleine Keplerstern das „Herz“ des Kemperschen Würfels?
Abb. 14: Der Kleine Keplerstern im Achtzack-stern.
Dem das Hexaeder einschliessende Pentagondodekaeder sind wir ganz zu Beginn in der Abbildung 6 begegnet. Der Kern des Dodekaedersterns ist ebenfalls ein Pentagondodekaeder, und so könnten wir in Gedanken das Spiel, einfach kleiner, von neuem beginnen und beliebig fortsetzen.
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Ikosaedrischer Kern und Oktaeder Die acht grünen Dreiecke des eingekerbten Ikosaeders (10) sind Teilflächen eines Oktaeders, dessen Ecken die Mitten der umhüllenden Hexaeder-flächen berühren.
Abb. 15: Oktaeder mit ikosaedrischem Kern im Hexaeder.
Abb. 16: Die losgelösten Oktaederecken drücken Kerben in das ausgelegte Dodekaeder
Die Oktaederecken dringen dabei in die eingestülpten Dodekaederkanten (des Kemperschen Würfels) ein und sind mit sechs orangefarbenen „Schiffchen“ gefüllt.
Im transparenten Hexaeder-Modell ist sichtbar, wie sich Achtzack-Stern und Oktaeder durchdringen.
Abb. 17: Durchdringung von Oktaeder mit dem Achtzackstern im Hexaeder
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Das Oktaeder als Kern des Doppeltetraeders Die Erweiterung der acht grünen Ikosaeder-Flächen (10) zu Oktaeder-Seiten (20) kann fortgesetzt werden und erzeugt die acht Seiten zweier sich durchdringender Tetraeder, deren gemeinsam eingeschlossener Raum (Kern) das Oktaeder ist.
Grün: Ikosaeder Fläche Orange: Oktaeder Fläche Rote: Tetraeder Fläche
Abb. 18: in einer Ebene liegend: Ikosaeder-, Oktaeder-, Tetraederseiten und die Kanten der Sternzacken.
Das Bild zeigt eines der beiden Tetraeder transparent. Die Oktaeder-spitzen berühren die Mitten der Kanten und vier der acht Sternspitzen spannen das Tetraeder auf. Die anderen vier Spitzen durchdringen die Tetraederseiten.
Abb. 19: Ein Tetraeder umschliesst die Durchdringung Achtzackstern-Oktaeder.
Die Tetraederkanten sind die Flächen-diagonalen des Hexaeders.
Abb. 20: Die Kanten des Doppeltetraeders als Flächendiagonalen des Hexaeders.
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Alle Platonischen Körper ineinander geschachtelt
Ineinander liegend haben wir nun von innen nach aussen: Ikosaeder (mit dem Dodekaederstern als Herz) – Oktaeder – Doppeltetraeder – Hexaeder, und wenn wir das Dodekaeder nach aussen stülpen – Dodekaeder. Über die Flächen der drei ersteren gesehen zeigt sich in der Sicht der dreizähligen Symmetrieachse das nebenstehende Bild.
Abb. 21: Die fünf Platonischen Körper ineinander liegend, in der dreizähligen Symmetrieachse gesehen.
Ikosaeder, Oktaeder und Doppeltetraeder berühren sich mit ihren Flächen; das Oktaeder berührt die Seitenmitten des Hexaeders und die beiden Tetraeder berühren mit ihren Kanten die Hexaederflächen, während die Kanten des Hexaeders Diagonalen der Pentagondodekaederseiten sind.
Abb. 22: Die fünf Platonischen Körper ineinander liegend, farbig.
Diese, auf anderem Wege gefundene Reihenfolge der Ineinanderschachtelung schlägt Walter Kraul vor, um die Platonischen Körper aus starkem Papier zu bauen. Einerseits sind die fünf regelmässigen geometrischen Körper praktisch aufzubewahren, andererseits ist die Überraschung gross, wenn sie der Reihe nach ausgepackt werden können
Abb. 23: Die fünf Platonischen Körper ineinander liegend. Modell aus transparentem Hart-PVC.
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Die „Kraulfolge“ Die Platonischen Körper ineinander geschachtelt aus Karton (160-200g) gebaut.
Zum Bau der ganzen Serie beginnt man (nach Walter Kraul) am besten mit dem Hexaeder (grün), dem man im hier vorgeschlagenen Fall die Kantenlänge 10 cm gibt. Damit ist die Kantenlänge des inliegenden Tetraeders (rot) festgelegt: wegen der Materialstärke etwas weniger als √2 x 10 = 14.14 cm, also 13.9 cm. Das Oktaeder (orange) muss dann die Kantenlänge 13.9:2=6.95 cm, also 6.8 cm annehmen. Zur Bestimmung der Grösse des Ikosaeders (blau) muss der Goldene Schnitt angewendet werden. Seine Kantenlänge wird 3.55 cm sein. Die Kantenlänge des Pentagondodekaeders (goldgelb) berechnet sich im Goldenen Schnitt als Major der Hexaederkante: 10 x 0.618 = 6.18 cm, jetzt aber etwas grösser, somit 6.25 cm.
Abb. 24: Ineinanderschachtelung der Platonischen Körper nach Walter Kraul. Es erscheinen der Reihe nach von aussen nach innen: Dodekaeder – Hexaeder – Tetraeder –Oktaeder – Ikosaeder.
Zürich, im Jahre 2008 Ueli Wittorf
