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6. Dynamische Spiele mit unvollständigerInformation

Klaus M. Schmidt

LMU München

Spieltheorie, Wintersemester 2014/15

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Literaturhinweise zu Kapitel 6:

Osborne (2004), Kapitel 10

Gibbons (1992), Kapitel 4

MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 9C+D

Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 8, 9 und 11.2

c© 2014 Klaus M. Schmidt

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6.1 Einleitung

In dynamischen Spielen mit unvollständiger Information stellt sich wie indynamischen Spielen mit vollständiger Information das Problem,Gleichgewichte, die auf unglaubwürdigen Drohungen beruhen,auszuschließen.

Beachten Sie, dass Teilspielperfektheit bei unvollständiger Information nichtweiterhilft. Da die Spieler die Typen ihrer Gegenspieler nicht kennen, gibt eskeine einelementigen Informationsmengen mehr, nachdem die Natur dieTypen gezogen hat. Das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel.

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Verallgemeinerung der Idee der Teilspielperfektheit für “Fortsetzungsspiele”(continuation games):

Ein Fortsetzungsspiel kann auch in einer mehrelementigenInformationsmenge beginnen. Aber der Spieler, der in einermehrelementigen Informationsmenge am Zug ist, muss einen “Belief”,d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber haben, in welchemEntscheidungsknoten der Menge er sich befindet.So können wir erneut “sequentiell rationales Verhalten” analysieren, d.h.,Verhalten, das in allen Fortsetzungsspielen des ursprünglichen Spielsoptimal ist, sowohl auf als auch außerhalb des Gleichgewichtspfades.Das wird uns zu einem neuen Gleichgewichtskonzept führen: PerfektesBayesianisches Gleichgewicht.In dem Maße, in dem die Spiele, die wir betrachten, komplizierterwerden, müssen wir zusätzliche Anforderungen stellen, umnicht-überzeugende Gleichgewichte auszuschließen.

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Beachten Sie jedoch, dass die Gleichgewichtsbegriffe nicht willkürlich sind,sondern systematisch aufeinander aufbauen. Wir werden sehen, dassperfekte Bayesianische Gleichgewichte übereinstimmen mit

teilspielperfekten Gleichgewichten, wenn es sich um ein dynamischesSpiel mit vollständiger Information handelt;

Bayesianischen Nash-Gleichgewichten, wenn es um ein statisches Spielmit unvollständiger Information geht;

Nash-Gleichgewichten, wenn es sich um ein statisches Spiel mitvollständiger Information handelt.

Zunächst wenden wir die Idee sequentieller Rationalität auf Spiele mitvollständiger, aber unvollkommener Information an. Der Schritt zu Spielen mitunvollständiger Information ist dann nicht mehr groß.

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6.2 Sequentielle Rationalität

Betrachten Sie zunächst das Spiel in Abb. 6.1, das auf Selten (1975)zurückgeht.

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1

2L M

R

` r` r

(13

)

(21

) (00

) (02

) (01

)Abb. 6.1: Seltens Pferd

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Wenn Spieler 2 am Zug ist, hat er eine dominante Strategie: `. Gegeben,dass 2 ` spielen wird, ist es für Spieler 1 optimal, ebenfalls L zu spielen.

Gibt es noch andere Gleichgewichte in diesem Spiel?

@@

@

1

2

L

M

R

` r

2, 1 0, 0

0, 2 0, 1

1, 3 1, 3

Abb. 6.2: Normalform von Seltens Pferd

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Analyse der Normalform des Spiels zeigt, dass es noch ein zweitesNash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt: (R, r).

Ist dieses Gleichgewicht (R, r) teilspielperfekt?

Ja! In diesem Spiel ist das einzige Teilspiel das gesamte Spiel. Da (R, r) imgesamten Spiel ein Nash-Gleichgewicht ist, ist es auch teilspielperfekt. Aberes ist ganz sicher nicht sequentiell rational.

Wie können wir dieses unglaubwürdige Gleichgewicht ausschließen?Betrachten Sie das Fortsetzungsspiel, das beginnt, wenn Spieler 2 am Zugist. Dieses Fortsetzungsspiel beginnt in einer mehrelementigenInformationsmenge und ist darum kein Teilspiel. Trotzdem wollen wirverlangen, dass die Strategien auch in solchen Fortsetzungsspielen optimalesVerhalten vorschreiben.

Welches Verhalten in einem Fortsetzungsspiel optimal ist, hängt imallgemeinen von den Wahrscheinlichkeiten ab, die ein Spieler denverschiedenen Knoten in seiner Informationsmenge zuordnet.

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Zusätzliche Anforderungen an sequentielle Rationalität:

Bedingung 6.1In jeder Informationsmenge muss der Spieler, der am Zug ist, einen Beliefdarüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Ein Belief ist eineWahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Knoten. Ein System vonBeliefs für alle Informationsmengen bezeichnen wir mit µ.

Bedingung 6.2Gegeben seine Beliefs muss das Verhalten eines jeden Spielers sequentiellrational sein, d.h., gegeben seine Beliefs muss seine Strategie in jedemFortsetzungsspiel eine beste Antwort gegen die Strategien seinerGegenspieler sein.

Diese Bedingungen schließen das Gleichgewicht (R, r) aus. Ganz gleich,welche Beliefs Spieler 2 in seiner Informationsmenge hat, es ist immerbesser, ` zu spielen, als r .

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In diesem Beispiel spielt es keine Rolle, welche Beliefs Spieler 2 hat. ImAllgemeinen wird die optimale Aktion eines Spielers jedoch von seinen Beliefsabhängen. Darum können wir nicht beliebige Beliefs zulassen, sondernmüssen verlangen, dass diese Beliefs konsistent mit den Strategien derSpieler und der bisherigen Geschichte des Spiels sind.

Bedingung 6.3Die Beliefs eines Spielers in jeder Informationsmenge (entlang und abseitsdes Gleichgewichtspfades) ergeben sich aus den Gleichgewichtsstrategiender Spieler und aus Bayes’ Regel, wann immer diese Regel angewandtwerden kann.

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Beispiel:

Betrachten Sie erneut Abb. 6.1 und das Gleichgewicht (L, `). Wenn dieInformationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, muss Spieler 2 glauben,dass er sich mit Wahrscheinlichkeit 1 im linken Knoten befindet.

Angenommen, es gäbe in diesem Spiel ein Gleichgewicht in gemischtenStrategien, in dem Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit p, q und 1− p − qnach L bzw. M bzw. R geht. Wenn jetzt die Informationsmenge vonSpieler 2 mit den Knoten L und M erreicht wird, muss Spieler 2 glauben,dass er sich mit Wahrscheinlichkeit p

p+q in Knoten L und mitWahrscheinlichkeit q

p+q in Knoten M befindet.

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6.3 Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht

Definition 6.1 (Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht)Ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht (PBGG) ist ein Profil vonStrategien und ein System von Beliefs (σ, µ), so dass

die Strategien aller Spieler sequentiell rationalsind gegeben das System von Beliefs µ;die Beliefs (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) aus denGleichgewichtsstrategien der Spieler mit Hilfe von Bayes’ Regelabgeleitet werden, wann immer diese Regel anwendbar ist.

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Bemerkungen:

1) Wenn die Spieler vollständig gemischte Strategien verwenden, werdenalle Knoten mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht. Dann können wirBayes’ Regel immer anwenden, um die Beliefs der Spieler zuaktualisieren (“upzudaten”).

2) Wenn die Strategien nicht vollständig gemischt sind, werden bestimmteInformationsmengen mit Wahrscheinlichkeit 0 erreicht. In solchenInformationsmengen kann es sein, dass Bayes’ Regel nicht anwendbarist. Dann lässt das Konzept des PBGG beliebige Beliefs zu, so dass oftsehr viele Ergebnisse als PBGG gestützt werden können.

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6.4 Signalisierungsspiele

Wir betrachten jetzt Spiele mit unvollständiger Information. Eine wichtigeKlasse solcher Spiele sind sogenannte Signalisierungsspiele, die diefolgende Struktur haben:

Es gibt zwei Spieler, einen Sender und einen Empfänger.1) Die Natur wählt den Typ t des Senders aus einer Menge T = {t1, . . . , tI}

entsprechend der W-Verteilung µ(t).

2) Der Sender erfährt seinen Typ und wählt eine Botschaft m ausM = {m1, . . . ,mJ}.

3) Der Empfänger beobachtet die Botschaft (aber nicht ti ) und wählt danneine Aktion a aus der Menge der möglichen Aktionen A ∈ {a1, . . . ,aK}.

4) Die Auszahlungen sind US(t ,m,a) und UE(t ,m,a).

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Solche Signalisierungsspiele sind in vielen Bereichen derWirtschaftswissenschaften angewendet worden.

Beispiele:Job market signaling: Der Sender ist ein Arbeiter, dessen Fähigkeitenprivate Information sind. Er wählt ein Ausbildungsniveau. DerUnternehmer beobachtet die Ausbildung, aber nicht die Fähigkeit, undentscheidet über ein Lohnangebot.Initial public offering: Der Sender ist ein Unternehmer, der den Wertseines Unternehmens kennt. Er wählt einen Anteil seiner Firma, den erauf dem Aktienmarkt verkaufen will. Der Markt beobachtet diesen Anteil,nicht aber den Wert des Unternehmens, und entscheidet über dieBewertung der Aktien.Limit pricing: Der Sender ist ein Monopolist, der seine Grenzkostenkennt. Er wählt seine Produktionsmenge in der ersten Periode. DerEmpfänger ist ein potentieller Marktzutreter. Er beobachtet die gewählteMenge, nicht aber die Grenzkosten des Monopolisten, und entscheidetdann über Marktzutritt.

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Wir betrachten zunächst ein abstraktes Signalisierungsspiel mit zwei Typen,zwei Botschaften des Senders und zwei Aktionen des Empfängers:

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Natur

Sender

Sender

Empfänger Empfänger

µ0

1− µ0

t2

t1

m1 m2

m1 m2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

Abb. 6.3: Struktur eines Signalisierungsspiels

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In diesem Spiel hat jeder Spieler vier mögliche Strategien. Beachten Sie,dass eine Strategie für jede Informationsmenge, in der Spieler i am Zug ist,angeben muss, wie sich Spieler i dort verhalten soll.

Eine mögliche Strategie des Senders ist (m2,m1): “Spiele m2, wenn DuTyp t1 bist, und m1, wenn Du Typ t2 bist.”

Eine mögliche Strategie des Empfängers ist (a2,a1): “Spiele a2, wennder Sender m1 gesendet hat, und a1, wenn der Sender m2 gesendet hat.”

Außerdem muss der Empfänger nach beiden Botschaften einen Beliefdarüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Da es für denEmpfänger zwei mögliche Informationsmengen gibt, gibt es auch zwei Beliefs(µ1, µ2).

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Es gibt zwei mögliche Arten von Gleichgewichten in reinen Strategien:

Separierende Gleichgewichte: Unterschiedliche Typen des Senderswählen unterschiedliche Botschaften.

Pooling-Gleichgewichte: Beide Typen des Senders wählen dieselbeBotschaft.

Anmerkung: Bei mehr als zwei Typen kann es auch halb-separierendeGleichgewichte geben: Einige Botschaften werden nur von einigen Typenund nicht von anderen gewählt, aber die Separierung ist nicht perfekt.Bei gemischten Strategien sind auch hybride Gleichgewichte möglich: EinTyp sendet eine Botschaft mit Wahrscheinlichkeit 1, der andere Typrandomisiert zwischen beiden Botschaften.Diese Gleichgewiche werden wir jedoch im Folgenden ignorieren.

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6.5 Werbung als Qualitätssignal

Unternehmen investieren oft viel Geld in “uninformative Werbung”, die nichtsüber das Produkt aussagt:

Uninformative Fernsehspots

Hochglanzbroschüren und -anzeigen

Sponsoring von Sport- und Kulturveranstaltungen

Warum sollten sich Konsumenten von dieser Werbung in ihrerKaufentscheidung beeinflussen lassen?

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Ein Signalisierungsspiel mit Werbung:Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt auf den Markt.Die Konsumenten kennen die Qualität des Produkts nicht, bevor sie eszum ersten Mal konsumieren. Sie glauben, dass das Produkt mitWahrscheinlichkeit p > 0 eine hohe Qualität hat und mitWahrscheinlichkeit 1− p > 0 eine niedrige Qualität hat. Die Qualität istexogen gegeben.Auszahlungen der Konsumenten:

I Wenn die Konsumenten das Gut nicht kaufen, ist ihre Auszahlung 0.I Wenn die Konsumenten das Gut kaufen und feststellen, dass es schlecht ist,

ist ihre Auszahlung -1 und sie kaufen das Gut nie wieder.I Wenn die Konsumenten das Gut kaufen und feststellen, dass es gut ist,

kaufen sie es wiederholt und ihre Auszahlung ist +1.Auszahlungen des Unternehmens

I Wenn das Unternehmen das Gut nicht verkauft, macht es einenBruttogewinn von 0.

I Wenn das Unternehmen das Gut nur einmal an die Konsumenten verkauft,macht es einen Bruttogewinn von 1.

I Wenn das Unternehmen das Gut mehrfach an die Konsumenten verkauft,macht es einen Bruttogewinn von 5.

Werbung kostet das Unternehmen 3.Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 20 / 23

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Natur

Unternehmen mithoher Qualität

Unternehmen mitniedriger Qualität

Konsumenten Konsumenten

p

1− p

kW W

kW W

k

nk

k

nk

k

nk

k

nk

[µkW ] [µW ]

[1− µkW ] [1− µW ]

(51

)(

00

)

(1−1

)(

00

)

(21

)(

−30

)

(−2−1

)(

−30

)Abb. 6.4: Werbung als Signal

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Beachten Sie: Für das Unternehmen mit der schlechten Qualität ist es einedominante Strategie, keine Werbung zu betreiben.

Gleichgewichte:

1) Unternehmen mit hoher Qualität betreibt Werbung:⇒ Separierendes Gleichgewicht, µW = 1, µnW = 0⇒ Konsumenten interpretieren Werbung als Signal für hohe Qualität und

kaufen dann und nur dann, wenn das Unternehmen Werbung betreibt.⇒ Für das Unternehmen mit hoher Qualität ist es tatsächlich optimal, zu

werben.

2) Unternehmen mit hoher Qualität betreibt keine Werbung:⇒ Pooling Gleichgewicht µnW = p⇒ µW ist unbestimmt, weil Werbung im Gleichgewicht nicht vorkommt.

Nehmen wir an, dass µW = p⇒ Konsumenten konsumieren, falls p · 1 + (1− p) · (−1) ≥ 0 ⇔ p ≥ 1

2 .⇒ Für das Unternehmen mit hoher Qualität gibt es keinen Anreiz, zu werben,

weil Werbung den Belief der Konsumenten nicht verändert.

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Bemerkungen:1. Es gibt mehrere Gleichgewichte, die davon abhängen, wie die

Konsumenten Werbung interpretieren.2. Im separierenden Gleichgewicht kann das gute Unternehmen durch

Werbung glaubwürdig signalisieren, dass es ein Produkt mit hoherQualität anbietet.

3. Selbst wenn p sehr nahe bei 1 liegt, kann das gute Unternehmengezwungen sein, viel Geld für Werbung auszugeben, um sich von demschlechten Unternehmen zu separieren.

4. Signalisierung ist ineffizient! Bei hohem p könnte der Staat die Wohlfahrterhöhen, wenn er Signalisierung verbietet.

Andere Beispiele für Signalisierungsspiele:Latein in der SchulePromotionDuelleBiologie: Springböcke, Pfauenschwanz

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