6. SINUS und COSINUS

(Die trigonometrischen Funktionen)

1

Der Einheitskreis in der (x, y)-Ebene:auf dem

(1,0)(−1,0)

(0,1)

(0,−1)

ausgehend vom Punkt (1;0)

2

Jedem Winkel α auf dem Einheitskreis entspricht ein Punkt (x, y)auf dem Einheitskreis.

(x, y)

α

ausgehend vom Punkt (1;0)

3

Jedem Winkel � auf dem Einheitskreis entspricht ein Punkt (x; y)

auf dem Einheitskreis.

(x, y)

α

ausgehend vom Punkt (1;0)

4

Das Bogenmaß wird gemessen als Lange am Einheitskreis:auf dem

(1,0)

ausgehend vom Punkt (1,0)

5

positiv gegen die Uhrzeigerrichtungauf dem

90◦

π/2

1

ausgehend vom Punkt (1;0)

6

negativ im Uhrzeigersinnauf dem

−90◦

−π/2

ausgehend vom Punkt (1;0)

7

Bogenmaß ↔ Winkelmaß

2π ↔ 360◦

π ↔ 180◦

π/2 ↔ 90◦

π/3 ↔ 60◦

π/4 ↔ 45◦

π/6 ↔ 30◦

8

Das Bogenmaß t und das Bogenmaß t+ 2π fuhren auf denselbenWinkel α

tα

wie auch die Bogenmaße t± 2kπ, k = 0,1,2, . . .

9

Fur den Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis zum Bogenmaß t

schreiben wir

cos t

sin tt

(x, y) (x, y) = (cos t, sin t)

10

F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t

schreiben wir

cos t

sin tt1

sin(t)2 + cos(t)2 = 1

nach dem Pythagoras

11

F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t

schreiben wir

π/4

sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√

2

12

F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t

schreiben wir

π/3

cos(π/3) = 1/2

sin(π/3) =√

3/2

13

F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t

schreiben wir

π/6

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) =√

3/2

14

cos und sin graphisch:

cos t

sin t

2πππ2

3π2

15

cos t und sin t sind periodisch mit Periode 2π:

cos(t+ 2π) = cos t und sin(t+ 2π) = sin t

cos t

sin t

16

Wenn man den Einheitskreis einmal durchlauft, gibt es eine Schwin-gung auf [0,2π]:

2π

sin(t) sin(2t) sin(3t)

Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2�=n.

17

Wenn man den Einheitskreis zweimal in doppelter Geschwindig-keit durchlauft, gibt es zwei Schwingungen auf [0,2π]:

2π

sin(t) sin(2t) sin(3t)

Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2�=n.

18

Wachsende Frequenz: Einheitskreis zweimal in doppelter Ge-

schwindigkeit durchl�auft, gibt es zwei Schwingungen auf [0;2�]:

2π

sin(t) sin(2t) sin(3t)

Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2π/n.

19

Schwebungen:

Zwei Cosinusschwingungen benachbarter Frequenz:

20π

cos(1,05t) cos(0,95t)

20

Die Summe:

cos(1,05t) + cos(0,95t)

21

Eine eindruckliche Formel:

cos(1,05t) + cos(0,95t) = 2 · cos(0,05t) · cos(t)

Amplitude · Schwingung

22

DIE ABLEITUNGEN VON SIN UND COS

23

∆ sin t

t t+ ∆t

∆t

∆ sin t = sin(t+ ∆t)− sin t

sin′(t) = ∆ sin t∆t + o(1)

24

−∆ cos t

∆ sin t

t

∆t

∆ sin t = sin(t+ ∆t)− sin t , ∆ cos t = cos(t+ ∆t)− cos t

25

cos t

−∆ cos t

∆ sin t

sin tt

1

∆t

∆ sin t

∆t=

cos t

1+ o(1)

∆ cos t

∆t=− sin t

1+ o(1)

fur ∆t→ 0

26

Fur ∆t→ 0 folgt

d sin

dt(t) =

∆ sin t

∆t+ o(1) =

cos t

1+ o(1)

undd cos

dt(t) =

∆ cos t

∆t+ o(1) =

− sin t

1+ o(1)

insgesamt ∣∣∣∣∣ sin′ = cos , cos′ = − sin

27

Dies fuhrt uns zu einer Formel zum Berechnen von Sinus und

Cosinus.

Wir erinnern uns: Fur die Exponentialfunktion gilt

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!

denn die unendliche Reihe f(x) =∑∞n=0

xn

n! erfullt die charakteri-

stischen Gleichungen

f ′(x) = f(x) und f(0) = 1

der Exponentialfunktion.

28

Jetzt betrachten wir die unendlichen Reihen

g(t) = t−t3

3!+t5

5!∓ · · · und h(t) = 1−

t2

2!+t4

4!∓ · · ·

Differenzieren wir wieder gliedweise, so folgt

g′(t) = h(t) und h′(t) = −g(t)

Außerdem gilt g(0) = 0 und h(0) = 1. Diese Eigenschaften cha-

rakterisieren den Sinus und Cosinus!

29

Wir halten fest:

sin t = t−t3

3!+t5

5!∓ · · · =

∞∑n=0

(−1)nt2n+1

(2n+ 1)!

cos t = 1−t2

2!+t4

4!∓ · · · =

∞∑n=0

(−1)nt2n

(2n)!

30

Wir erhalten daraus ein par Approximationen fur t→ 0

sin t = o(1) , sin t = t+ o(t) , sin t = t+O(t3)

und

cos t = 1 + o(1) , cos t = 1−t2

2+ o(t2) , cos t = 1−

t2

2+O(t4)

31