(v20) 17.01.056. Störungstheorie (Griffiths, Kap. 6, Sakurai, Kap. 5)

6.1 Zeitunabhängige Störungstheorie

6.1.1 Grundidee: Effekt eines kleinen "Störterms" im Hamilton wird berechnet durch systematische Entwicklung der Eigenenergien und Eigenzuständen des vollen Hamiltons in Potenzen von

Ungestörter Hamilton:

Ungestörte Eigenkets als Orthonormalbasis:

ungestörte Eigenenergien

Ziel: finde Eigenkets-und -Energien desvollen Hamiltons,

als Entwicklung in Potenzen des kleinen "Störterms"

zum Schluss

Ansatz: Reienentwick-lungen für

(St1.4,5,6) in (St1.3):

Gruppiert nach Potenzen von

Vergleich der Koeffizenten von liefert: (=ungestörte Gl.)

Ab jetzt:

6.1.2 Störungstheorie 1.ster Ordnung:

Verschiebung der Eigenenergien in 1.ster Ordnung = Erwartungswert der Störung

(a) Mit konstanter Störung

Ungestörte WF:

Energieverschiebung: (logisch!)

(b) Mit Störung:

Beispiel: unendlich

Eigenkets (WF) in 1.ster Ordnung:

Ansatz für

[denn liefert 0 auf linker Seite von

(St4.2) in (St4.1),mit

(St5.2) in (St4.2):

Nenner ist unbedenklich, falls Spektrum nicht entartet ist(Falls Entartungen vorliegen: "Entartete Störungstheorie" nötig)

reproduziert (St3.2):

Korrekturket ist orthogonal zu

6.1.3 Energien in 2.ter Ordnung:

Zur Kenntnisnahme:Energieverschiebungbis zur 3.ter

6.1.4 Renormierung der Wellenfunktion: (Sakurai, S.293)

ist nichtauf 1 normiert:

(ist auf 1 normiert)

Definiere normiertes Ket:

mit

reell, per Konvention

Übrigens gilt in allenOrdnungen der St.Th.: [vergleiche mit (St6.1) ]

= Wahrscheinlichkeit,gestörten Zustand im ungestörten Zustandzu finden.

2.ter Term: Übergangswschkt.

6.2 Entartete Störungstheorie (allgemeine Formulierung, siehe G. Aufgabe 6.10)

Falls Entartungen vorliegen, bricht "nicht-Entartete Störungstheorie zusammen:

Nenner divergiertfalls

Idee zur Vermeidung des Problems: Wähle Basis so, dass ("Präpariere Basis für die Anwendung der Störung!", nämlich so, dass Störung in der "präparierten Basis" diagonal ist)

Ansatz für Basis-transformation im entarteten Unterraum:

sei N-fach entarteter Satz v. ungestörten Zuständen:

Strategie: Wiederhole Herleitung in Abschnitt 6.1.2, nun für statt aber nutze zusätzliche Freiheit in Wahl v. um "Teilen durch 0" zu vermeiden.

Störungsansatz wie (St1.5,6):

Man erhält, analogzu (St2.4):

(gleich für alle n)

Setze (St8.9) ein

(St9.5) entspricht Eigenwertgl. für Spaltenvektor:

Schlussfolgerung: In einem entarteten Unterraum sind die Verschiebungen der Eigenenerien durch die Eigenwerte des Stör-Hamiltons

in diesem Unterraum gegeben.

Die Lösung des "durch-0-Teilen-Problems" ist also: Löse ein Eigenwertproblem!

Im allgemeinen sind die Eigenwerte dieses neuen Eigenwertproblems nicht entartet. Die Störung "hebt also die Entartung auf".

6.2.1 Beispiel:Zweifache Entartung:

mit

Diagonalisiere : Löse charakteristische Gl.:

Theorem:

ein Satz von entarteten Eigenzuständen von H, mit nicht-entarteten Eigenwerten für A; dann gilt

(also ist diese Basis bereits"gut präpariert).

Beweis:

per Annahme

Fazit bei Entartungen: Suche nach weiterem Operator A, der mit vertauscht:dessen Eigenzustände, falls nicht "A-entartet", bilden eine gut-präparierte Basisfür entartete Störungstheorie.

Schönes Beispiel zum Selber-Lesen: Griffiths, Example