7 Halbleiter7.1 Phänomenologie

7.1.1 Einführung

Der Ausdruck "Halbleiter" deutet an, dass diese Ma-terialien weniger gut leiten als Metalle, aber bes-ser als Isolatoren. Man kann entsprechend auchHalbleiter als Materialien definieren, deren spezifi-scher Widerstand bei Raumtemperatur im Bereichvon 10�4 � 107 Wm liegt. Ihre Leitfähigkeit ist da-mit deutlich schlechter als die von Metallen. Be-züglich ihrer elektronischen Struktur unterscheidensie sich von Metallen dadurch, dass die Fermikan-te in einer Lücke zwischen zwei Bändern liegt, ge-nau wie bei Isolatoren. Der Unterschied zwischenHalbleitern und Isolatoren liegt in der Breite dieserBandlücke und ist damit nicht eindeutig. So ist Dia-mant bei Raumtemperatur ein ausgezeichneter Iso-lator, bei hohen Temperaturen kann er als Halbleitergenutzt werden. Bei typischen Halbleitern liegt dieBandlücke im Bereich von <2 eV.

Halbleiter sind deswegen sehr interessante Materia-lien, weil es möglich ist, ihre Leitfähigkeit gezielt zubeeinflussen, sowohl über die Materialeigenschaftenwie auch über äußere Felder.

Kolle

ktor

stro

m I c

[mA]

Spannung UCE / V

15

10

5

00 10 20

Abbildung 7.1: Typische Kennlinien eines Transi-stors.

Halbleiter haben deshalb heute eine enorme wirt-

schaftliche Bedeutung erhalten. Die wichtigsten An-wendungen liegen in der Elektronik, welche vor al-lem auf Silizium basiert. 4.12.12 14:06

Page 1 of 1http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Worldwide_Semiconductor_Sales_in_US-Dollar_DE.SVG

Abbildung 7.2: Zeitliche Entwicklung der Umsätzeder Halbleiterindustrie.

Darüber hinaus stellen Halbleiter eine wichtige Rol-le in der Optik, wo z.B. Halbleiterlaser die effiziente-sten und am weitesten verbreiteten Lichtquellen dar-stellen. Immer wichtiger wird auch die Möglichkeit,mit Hilfe von Halbleitern Licht in elektrischen Stromumzuwandeln, sowohl in Solarzellen wie auch inDetektoren wie z.B. Photodioden oder CCD Sen-soren. Weitere Eigenschaften von Halbleitern sindauch die thermoelektrischen Eigenschaften, welcheu.a. die Möglichkeit bieten, mit Hilfe von Halblei-tern zu kühlen oder zu heizen, oder Temperaturen zumessen. In der Teilchenphysik werden Halbleiter alsDetektoren verwendet.

7.1.2 Klassifizierung

Halbleiter sind Kristalle mit einer Bandlücke, d.h.ein Band ist vollständig gefüllt und das nächsthö-here ist leer. Das untere Band wird als Valenzbandbezeichnet, das obere als Leitungsband. Am absolu-ten Nullpunkt sind Halbleiter deshalb Isolatoren, d.h.sie leiten keinen Strom. Wir beschreiben die Halb-

136

7 Halbleiter

Leitungsband

Valenzband

ThermischeAnregung

E

Eg

Abbildung 7.3: Thermische Anregung über dieBandlücke.

leiter im Folgenden mit Hilfe des Modells quasi-freier Elektronen, also Einelektronenzuständen, wel-che in unterschiedliche Bänder aufgespalten sind.Diese sind durch Bandlücken getrennt.

Abbildung 7.4: Struktur von GaAs.

Wie im letzten Kapitel diskutiert, müssen Halbleiter(wie Isolatoren) immer eine gerade Anzahl Elektro-nen pro Elementarzelle besitzen. Diese Bedingungist z.B. bei den Elementen der vierten Gruppe erfüllt,wie z.B. Si oder Ge. Diese sind typische Beispie-le für elementare Halbleiter. Ebenso ist die Bedin-gung erfüllt für Verbindungen der Gruppen III undV des Periodensystems wie GaAs, AlAs, GaN, oderInP, Verbindungen der Gruppen II und VI wie ZnS,CdTe. Die Bindung in diesen Materialien hat einenstark kovalenten Charakter.

Auch organische Materialien können Halbleiterei-genschaften aufweisen. Abb. 7.5 zeigt als ein Bei-spiel Tetrazen. Diese Materialien werden erst seitwenigen Jahren untersucht, haben aber schon eineerhebliche Bedeutung, z.B. in der Form von orga-nischen Leuchtdioden (OLEDs), welche für Bild-schirme oder Beleuchtungen verwendet werden. Ge-genüber den klassischen Flüssigkristallbildschirmen

Tetrazen

Abbildung 7.5: Tetrazen als organischer Halbleiter.

bieten sie höheren Kontrast und geringeren Strom-verbrauch.

7.1.3 Ladungsträgerstatistik

Halbleiter haben die gleiche Bandstruktur wie Iso-latoren. Da die Bandlücke aber nur eine endlicheBreite hat, können bei endlichen Temperaturen ein-zelne Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungs-band angeregt werden. Dabei entstehen beweglicheLadungsträger, und zwar sowohl im Leitungsband,wo die Elektronen sich bewegen können, wie auchim Valenzband, wo Zustände frei werden, so dass be-nachbarte Elektronen unter dem Einfluss eines elek-trischen Feldes ihren Impuls ändern können.

Die Anzahl der Elektronen, welche durch thermischeAnregung ins Leitungsband gelangen, ist gegebendurch die Zustandsdichte D(e) und die Besetzungs-wahrscheinlichkeit f(e):

Nc =Z •

0de D(e) f (e)

=Z •

0de D(e)

1e(e�µ)/kBT +1

.

Ist die thermische Energie klein im Vergleich mit derBandlücke, kBT ⌧ e � µ-, sind praktisch nur Zu-stände im Bereich des Leitungsbandminimums be-setzt und die Gesamtzahl der Ladungsträger wirdproportional zum Boltzmannfaktor e�Eg/2kBT , wobeiEg die Bandlücke darstellt und wir angenommen ha-ben, dass das Fermimniveau in der Mitte der Band-lücke liegt. Eine etwas genauere Rechnung (sieheKap. 7.3.1) ergibt einen zusätzlichen Faktor T 3/2,

Nc µ T 3/2e�Eg/2kBT .

137

7 HalbleiterE

lekt

rone

nkon

zent

ratio

n / c

m-3

Ele

ktro

nenk

onze

ntra

tion

/ cm

-3

Temperatur / K Temperatur / K

Eg = 0.67 eV Eg = 1.14 eV

Ge Si

Abbildung 7.6: Temperaturabhängige Ladungsträ-gerdichte für Si und Ge.

Die Dichte der Ladungsträger nimmt deshalb mit zu-nehmender Temperatur exponentiell zu. Je kleinerdie Bandlücke, desto rascher die Zunahme. Bei Ger-manium ist die Bandlücke kleiner als bei Silizium,deshalb ist die Zunahme rascher und die Leitfähig-keit bei Raumtemperatur um rund drei Größenord-nungen höher als bei Silizium. Beträgt die Band-lücke z.B. 4 eV so ist die Anregungswahrscheinlich-keit 10�35, d.h. praktisch null. Für eine Bandlückevon 0.25 eV hingegen beträgt der Boltzmannfaktorbei Raumtemperatur rund 1%, so dass die Ladungs-trägerdichte schon fast den Wert eines Metalls errei-chen kann.

Abbildung 7.7: Bandlücken der wichtigsten Halblei-termaterialien.

Wie in Abb. 7.7 gezeigt, liegen die Bandlücken derwichtigsten Halbleitermaterialien im Bereich vonrund einem eV. Diamant hat eine wesentlich größereLücke und man findet deshalb erst bei Temperatu-

ren von mehreren hundert Grad eine wesentliche Ei-genleitfähigkeit. Die Bandlücke hängt auch von derTemperatur ab, sie nimmt bei zunehmender Tempe-ratur ab. Dies ist u.a. eine Folge der Ausdehnung desKristalls und der dadurch abnehmenden Bindungs-stärke zwischen den Atomen, wie auch der Kopp-lung der zunehmenden Phononenzahl.

7.1.4 Dotierung

Während bei Metallen die Leitfähigkeit abnimmtwenn das Material verunreinigt wird, ist bei Halb-leitern das Gegenteil der Fall. Auch kleine Verunrei-nigungen können die Leitfähigkeit dramatisch ver-ändern.

HALL COEFFICIENT OF ANTIMONY-DOPED GERMANIUM 73

I/Absolute Temperature ( FICJ. 1. Hall coefficient of antimony-doped germanium

(n-type) as a function of l/T.

slope of the corresponding resistivity curve. Some of the resistivity curves of this concentration range have an intermediate slope which decreases rapidly with increasing impurity concentration.

(iii) High concentration range

Only a few samples could be obtained with

FIG. 2. Resistivity of antimony-doped germanium (n-type) as a function of l/T.

No > 1017/cm3. Up to lOl*jcm5 bothp-type and n- type samples show a small Hall maximum and a rise of the resistivity near SOoK, but otherwise the samples show temperature-independent values of R and p down to 1~3°K.

No change of sign of the Hall coeflicient has ever been observed at the onset or in the tempera- ture range of impurity conduction. There is no reason to believe that such a sign change should occur for a random distribution of impurities.(rs) It should be pointed out, however, that the sudden drop of the Hall curves of the samples -7 to -15 at temperature below the Hall maximum can be ascribed to the conduction band carriers alone.(5) They carry a smaller and smaller fraction of the total current as the temperature is lowered. The Hall coefficient of impurity conduction must be

Spez

. Wid

erst

and

/ Ωcm

100/T [1/K]0 0.2 0.4 0.6 0.8

10-3

100

103

106

109intrinsisch 1

25781012151718202122232425262729

0,530,931,62,33,05,28,51324354555547484120130270950

Konz.[1015cm-3]Pr

obe

Abbildung 7.8: Einfluss von Dotierung und Tem-peratur auf den spezifischen Wider-stand.

Abb. 7.8 zeigt die Ladungsträgerdichte von Germa-nium, das mit Antimon dotiert wurde1. Je höherdie Konzentration der Verunreinigungen, desto hö-her die Ladungsträgerdichte. Bei einer Variation derDichte der Verunreinigungen um 3 Größenordnun-gen variiert der Widerstand um mehr als 10 Größen-ordnungen. Diese großen Unterschiede findet manallerdings nur bei niedrigen Temperaturen. Für höhe-re Temperaturen steigt die Leitfähigkeit in allen Fäl-len auf den gleichen Grenzwert an - man nennt die-

1H. Fritzsche, J. Phys. Chem. Solids, 6, 69 (1958).

138

7 Halbleiter

sen den “intrinsischen” Wert, also die Leitfähigkeit,die das Material ohne Verunreinigungen aufweist.

Ein weiterer interessanter Aspekt von Halbleiternsind die gemessenen Werte für die Hallkonstante,

RH = � 1ne

,

welche indirekt proportional zur Ladungsträgerdich-te sein sollte. Bei Halbleitern findet man nicht nurWerte, die sehr viel größer sind als bei Metallen (wiewir es auf Grund der geringeren Ladungsträgerdich-te erwarten), sie können auch positiv sein, was dar-auf hindeutet, dass der Strom nicht durch Elektro-nen, sondern durch positiv geladene Teilchen gelei-tet wird.

7.1.5 Absorption von Licht

Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass die Leit-fähigkeit durch einfallendes Licht wesentlich ge-steigert werden kann. Diesen Effekt, den man alsPhoto-Leitfähigkeit bezeichnet, deutet darauf hin,dass Ladungsträger nicht nur thermisch erzeugt wer-den, sondern auch durch Energiezufuhr über die Ab-sorption von Photonen. Diese müssen eine Energieaufweisen, die mindestens so groß ist wie die Band-lücke. Für die Bandlücken der Halbleiter benötigtman deshalb Photonen mit einer Wellenlänge imSichtbaren oder nahen Infraroten, also ca. 500 nmbis 2 µm. Bei Silizium z.B. muss die Wellenlänge desLichtes kleiner als 1.1 µm sein. Diese Eigenschaften,die Photovoltaik und die Photoleitfähigkeit, habenheute eine große technische Bedeutung, indem Halb-leiter als Solarzellen und Detektoren für Licht zumEinsatz kommen, z.B. als Photodioden und CCD’s inKameras. Umgekehrt können Halbleiter auch Lichterzeugen; dies wird in LED’s und Laserdioden be-nutzt.

Bei der Anregung vom Valenzband ins Leitungs-band muss der Impuls des Systems erhalten bleiben.Die Wellenlänge von optischem Licht ist sehr vielgrößer als eine typische Gitterkonstante; der Impulsp

n

= hk = h/l eines optischen Photons ist deshalbklein im Vergleich zu einem typischen Impuls ei-nes Elektrons pe = h/a. Die Absorption eines Pho-tons ändert deshalb den Impuls des Elektrons kaum,

direkte Halbleiter indirekte HalbleiterE

k

E

Eg

Leitungsband

Valenzband

0k

E

Eg

0

Abbildung 7.9: Lichtabsorption bei direkten und in-direkten Halbleitern.

er bleibt praktisch konstant. Das Elektron wechseltdeshalb bei der Absorption auf einen Zustand glei-cher Wellenzahl; man nennt diesem einen vertikalenÜbergang.

Bei Energien am Rande der Bandlücke ist dies abernicht immer möglich. So ist es möglich, dass dasMinimum des Leitungsbandes bei einem Wert k 6= 0auftritt, wie in Abb. 7.9 in der rechten Hälfte darge-stellt. Photonen mit dieser Energie können somit nurdann absorbiert werden, wenn die Impulsänderungdes Elektrons durch das System kompensiert wer-den kann. Dies geschieht normalerweise durch dieErzeugung eines Phonons mit dem richtigen Impuls,respektive durch die Vernichtung eines Phonons mitentgegengesetztem Impuls, falls diese Phononen ge-nügend angeregt sind. Da die Energie der Phononensehr viel kleiner ist als die Photonenenergie, brau-chen wir diese bei der Energieerhaltung nicht zu be-rücksichtigen.

indirekter HLdirekter HL

Eghi > Eg hi > Eg

Abbildung 7.10: Lichtabsorption und Relaxation beidirekten und indirekten Halblei-tern.

Natürlich können Absorptionsprozesse nicht nur ander Bandkante stattfinden, sondern auch bei höhe-

139

7 Halbleiter

ren Photonen-Energien. Dabei wird ein Loch im In-nern des Valenzbandes erzeugt, zusammen mit ei-nem Elektron im Innern des Leitungsbandes. Dieauf diese Weise erzeugten Ladungsträger streuen anPhononen und relaxieren auf diese Weise rasch zumEnergieminimum ihrer Bänder (Abb. 7.10).

Energie ℏ! des Photons

Abso

rptio

n

��g

tran

spar

ent

Energie ℏ! des Photons

Abso

rptio

n

indirekter Übergang

direkter Übergang

Abbildung 7.11: Absorptionswahrscheinlichkeit beidirekten und indirekten Halblei-tern.

Aus der Wahrscheinlichkeit für solche Absorptions-prozesse erhält man ein Absorptionsspektrum. Wiein Abb. 7.11 gezeigt, ist die Absorptionskante bei ei-nem direkten Halbleiter schärfer als bei einem indi-rekten.

7.1.6 Lichtemission

Der Umkehrprozess der Absorption ist die Emissi-on von Licht. Dabei geht ein Elektron aus dem Lei-tungsband ins Valenzband über und strahlt die Ener-giedifferenz in der Form eines Photons ab. Auchhier muss die Erhaltung von Energie und Impuls ge-währleistet sein. Bei einem Übergang von Bandkan-te zu Bandkante wird somit ein Photon mit Energiehw = Eg frei. Bei der Emission ist diese Bedingungjedoch schwieriger zu erfüllen als bei der Absorp-tion: Ein Elektron aus dem Leitungsband muss miteinem Loch im Valenzband rekombinieren, welchejeweils den gleichen Impuls besitzen. Dies ist beidirekten Halbleitern unproblematisch, bei indirektenHalbleitern jedoch nicht, da dort die freien Zustän-de (= besetzten Lochzustände) nicht bei der gleichenWellenzahl auftreten. Der Unterschied zwischen di-rekten und indirekten Halbleitern spielt deshalb fürdie optischen Eigenschaften eine zentrale Rolle.

Silizium, z.B. ist ein indirekter Halbleiter. Das ent-artete Valenzband hat sein Maximum im Zentrum

Si

indirekter HLdirekter HL

GaAs

Ener

gie

in e

V

[111] [000] [100]

Ener

gie

(eV)

Abbildung 7.12: Bandstruktur von Si und GaAs.

der Brillouin-Zone, während das Leitungsband-Minimum relativ weit vom Zentrum entfernt ist,nämlich ca. 80 % der Brillouin-Zone in Richtung100. Aus Symmetriegründen existieren 6 äquivalen-te Richtungen entlang der 6 Koordinatenachsen. Un-ter typischen Bedingungen ist die Dichte von Elek-tronen im Leitungsband in der Näher des Leitungs-bandminimums am größten. Bei einem senkrech-ten Übergang ins Valenzband würden diese Elektro-nen aber nur besetzte Zustände antreffen. Dadurchist in Si die Emission von Licht stark erschwert. Siwird deshalb z.B. nicht für den Bau von Leuchtdi-oden oder Halbleiterlasern verwendet. Ein typischerdirekter Halbleiter, welcher hauptsächlich für opto-elektronische Komponenten wie z.B. Halbleiterlaserverwendet wird, ist GaAs.

Erst seit kurzem kann man auch eine Modifikati-on von Si herstellen, welche leuchtet. Während mansich über den Mechanismus noch nicht ganz einigist, scheint es dafür nötig zu sein, dass das Materialauf so kleinen Skalen strukturiert ist, dass die übli-che Beschreibung des Materials als unendlich ausge-dehnter Kristall, die wir hier verwenden, nicht mehrgültig sind.

140

7 Halbleiter

7.2 Dynamik der Ladungsträger

7.2.1 Elektronen und Löcher

Im Grundzustand ist ein Halbleiter ein Isolator: dasValenzband ist vollständig gefüllt, das Leitungsbandleer. Somit existieren keine freien Ladungsträger.Der Impuls eines vollständig gefüllten Bandes istnull und da keine freien Zustände existieren, könnendie Elektronen nicht auf äußere Felder reagieren –das Material ist ein Isolator.

Valenzband

Leitungsband

Eg

Abbildung 7.13: Bandlücke.

Durch die Absorption von Licht oder durch ther-mische Anregung können Elektronen vom Valenz-band ins Leitungsband gebracht werden. Damit ent-steht im Leitungsband ein frei beweglicher Ladungs-träger, welcher auf äußere Felder reagieren kann.Ebenso ist im Valenzband ein leerer Zustand verfüg-bar, welcher durch andere Elektronen besetzt werdenkann, und so ebenfalls zur Leitfähigkeit beiträgt.

Wir betrachten als Ausgangspunkt den Fall, dass ge-nau ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungs-band angeregt wurde. Der Beitrag des einzelnenElektrons im Leitungsband zur elektrischen Leitfä-higkeit kann relativ leicht mit Hilfe einer halbklas-sischen Bewegungsgleichung beschrieben werden,da es sich um ein einzelnes Elektron handelt. Umden Beitrag des Valenzbandes zur Bewegung derLadungsträger zu berechnen, müsste aber eigentlichdie Bewegung sämtlicher Elektronen und die Beset-zungszahl aller Zustände berücksichtigt werden – ei-ne unlösbare Aufgabe.

Man kann jedoch den Impuls des gesamten Valenz-bandes (mit einem leeren Zustand) relativ leicht be-rechnen wenn man vom Impuls des vollständig be-setzten Bandes ausgeht (=0) und davon den Impuls

hk des leeren Zustandes abzieht: offenbar beträgtder Impuls des beinahe gefüllten Bandes somit �hk.Man kann allgemein den Beitrag des Valenzbandesberechnen, indem man den leeren Zustand verfolgt.Man bezeichnet ein solches fehlendes Elektron alsLoch. In einem intrinsischen Halbleiter entstehen beider Erzeugung von Ladungsträgern durch Licht oderWärme immer eine identische Zahl von Elektronenund Löchern.

7.2.2 Eigenschaften der Löcher

Um das Konzept der Löcher als effektive Teilchenkorrekt verwenden zu können, muss man einige Re-geln beachten. Zunächst muss man sich entschei-den, ob man ein Band über Löcher oder Elektro-nen beschreiben will. Dies ist i. A. keine Schwie-rigkeit: Halbleiter zeichnen sich ja dadurch aus, dassalle Bänder entweder (fast) voll oder (fast) leer (vonElektronen) sind. Volle Bänder werden sinnvoller-weise als fast leere Loch-Bänder beschrieben, fastleere Bänder als fast leere Elektronen-Bänder. An-ders ausgedrückt: Zustände oberhalb der Fermiener-gie werden als Zustände von Elektronen beschrie-ben, unterhalb als Loch-Zustände.~kh = �~ke : Die Summe der Wellenvektoren einesvollständig besetzten Bandes verschwindet, Â~k = 0.Fehlt ein Elektron mit Wellenvektor~ke, so muss da-mit die Summe über alle besetzten Zustände gleich�~ke sein. Da wir das ganze Band als leer, abgese-hen von einem einzelnen Loch beschreiben möchten,muss dieses den Wellenvektor~kh = �~ke haben.

Eh = �Ee : Wir setzen den Energienullpunkt an dieOberkante des Bandes. Die Energie des Systems istdann umso höher je niedriger die Energie des ent-fernten Elektrons war.

Dadurch ergibt sich, dass die Dynamik des Lochs ambesten diskutiert werden kann, wenn wir das beina-he gefüllte Valenzband ersetzen durch ein beinaheleeres Lochband, welches am Scheitelpunkt des Va-lenzbandes gespiegelt ist.

mh = �me : Die Masse eines Ladungsträgers istproportional zur Krümmung (zweite Ableitung) desBandes (siehe unten). Diese ist wegen Eh = �Ee fürdas Lochband gerade das Inverse der Krümmung des

141

7 Halbleiter

k

E

Valenzband, in dem ein Elektron fehlt

Lochband mit ~kh = �~ke

Eh = �Ee

Abbildung 7.14: Symmetrie zwischen Elektron undLoch.

Valenzbandes. Die effektive Masse des Elektrons ander Oberkante des Bandes ist negativ, so dass dieMasse mh des Lochs positiv wird.

vh = ve : Da sowohl Impuls wie Masse ihre Vorzei-chen wechseln, bleibt die Geschwindigkeit gleich.

Mit diesen Regeln folgt, dass die Bewegungsglei-chung für das Loch gerade derjenigen für ein positivgeladenes Teilchen entspricht.

7.2.3 Effektive Masse und Bandkrümmung

Die Energie von freien Elektron ist gegeben durchdie kinetische Energie

E =h2k2

2m,

d.h. die Energie ist eine quadratische Funktiondes Wellenvektors, wobei der Proportionalitätsfaktorund damit die Krümmung der Kurve durch die Mas-se des Elektrons bestimmt wird.

E

k

�2

2m

Abbildung 7.15: Bandkrümmung bei freien Elektro-nen.

Die (inverse) Masse eines Elektrons kann somit ausder Dispersionsrelation berechnet werden als

1m

=1h2

d2E

dk2 . (7.1)

Aufgrund der Kopplung der Elektronen an das peri-odische Potenzial des Gitters ändert sich die Krüm-mung des Bandes, insbesondere in der Nähe der Zo-nengrenze. Dies bedeutet, dass obige Beziehung indieser Form nicht allgemein gelten kann. Insbeson-dere am Rand der Brillouinzone, wo durch die Kopp-lung an das periodische Potenzial eine Bandlückeentsteht, ergeben sich Abweichungen. Man korri-giert dies häufig so, dass man die Beziehung (7.1)postuliert und die Masse als eine Variable betrachtet:Das Elektron, resp. Loch erhält eine effektive Masse.Die Änderung widerspiegelt den Einfluss des Gittersauf die Dynamik der Ladungsträger.

E

k

�2

2m

Abbildung 7.16: Bandkrümmung am Zonenrand.

Als Beispiel für die Änderung einer effektiven Mas-se betrachten wir die Krümmung an der Grenze derersten Brillouinzone. Bei der Diskussion des pe-riodischen Potenzials hatten wir gesehen, dass dieAufspaltung zwischen Valenz- und Leitungsband dieEnergie der Einelektronenzustände in der Nähe derZonengrenze verändert und damit die Krümmungbeeinflusst. Wir hatten gefunden, dass die Energieder Elektronen im Leitungsband in der Nähe der Zo-nengrenze

E = E1 +h2

dk2

2m

✓1+

2l

U

◆

beträgt. dk bezeichnet die Differenz der Wellenzahlzur Referenz an der Bandkante, l die kinetischeEnergie der Elektronen an der Bandkante, U dieStärke der Kopplung mit dem periodischen Potenzi-al, und E1 die Unterkante des Leitungsbandes. DieseGleichung kann geschrieben werden als

E = E1 +h2

dk2

2me

142

7 Halbleiter

mit

me =m

1+ 2l

U

.

Üblicherweise gilt l � U , so dass

me ⇡ mU2l

.

Die Krümmung vergrößert sich dabei um einen Fak-tor l/Eg, wobei l die Energie des freien Elektronsund Eg die Aufspaltung, also die Bandlücke darstellt.Typische Werte für Halbleiter sind l = 20eV und Eg= 0.2 - 2 eV. Damit vergrößert sich die Krümmungum einen Faktor 10 bis 100 und die effektive Mas-se wird um diesen Faktor kleiner als für ein freiesElektron.

E

k

Abbildung 7.17: Bandkrümmung im Lochband.

Für die Zustände im Valenzband gilt

E = E0 � h2dk2

2mh

mit

mh =m

2l

U �1.

Das Minuszeichen bei der Energie sorgt dafür, dassdie Masse positiv wird, obwohl die Krümmung derBandkante negativ ist.

7.2.4 3D: HalbklassischeBewegunsgleichung

Eine eigentliche Herleitung benutzt die Bewegungs-gleichung für ein Elektron, resp. Loch. Wir betrach-ten deshalb ein Wellenpaket, dessen mittlerer Impulshk sein soll. Die Gruppengeschwindigkeit beträgt

vG =dw

dk=

1h

dE

dk

oder

~v = ~—~kE (~k).

Die Bewegung eines Elektrons wird sowohl durchäußere Felder wie auch durch den Kristall beein-flusst. Wir berechnen zunächst die Energieänderungbei der Bewegung in einem äußeren Feld ~E für eineZeit d t:

dE = F dx = �eEdx = �eEvGdt = FvGdt,

wobei F die äußere Kraft darstellt, welche hier durchdie Coulomb-Wechselwirkung zustande kommt.Gleichzeitig gilt

dE =dE

dkdk = hvGdk.

Damit erhalten wir eine Bewegungsgleichung fürden Wellenvektor

dk = �eEh

dt ! hdkdt

= �eE = F.

Die äußere Kraft bewirkt also eine Änderung desWellenvektors k: Ein Teilchen, auf das eine konstan-te Kraft wirkt, bewegt sich im k-Raum mit gleichför-miger Geschwindigkeit.

Wir interessieren uns aber primär für die Geschwin-digkeit im direkten Raum, d.h. für die Änderung derGruppengeschwindigkeit des Teilchens. Diese än-dert sich wie folgt:

hddt

vG =ddt

dE

dk=

ddk

dE

dkdkdt

=d2E

dk2Fh

.

Wir vergleichen dies mit dem Newton’schen Gesetz

dvG

dt=

Fm

.

Wenn dieses gültig bleiben soll, müssen wir eine ef-fektive Masse m* definieren als

1m⇤ =

1h2

d2E

dk2 .

Für ein anisotropes System wird die Bewegungsglei-chung zu

dvµ

dt= Â

n

✓1

m⇤

◆

µn

Fn

.

143

7 Halbleiter

Die effektive Masse ist hier ein Tensor✓

1m⇤

◆

µn

=1h2

d2E

dkµ

dkn

mit µ,n = x,y,z .

Dieser Tensor der reziproken effektiven Masse ist inerster Linie ein Maß für die Krümmung der Fermi-Oberfläche an der Bandkante. Diese kann lokal im-mer durch ein Ellipsoid angenähert werden, genauwie in einer Dimension durch eine Parabel.

7.2.5 Effektive Massen in Halbleitern

Man kann den Massentensor auch benutzen, um dieDispersionsrelation in drei Dimensionen darzustel-len:

E = E0 +h2

2 µn

dkµ

dkn

✓1m

◆

µn

.

Diese Gleichung definiert ein Ellipsoid.

Abbildung 7.18: Ellipsoide konstanter Masse für Si.

In Abb. 7.18 sind Ellipsoide konstanter Masse fürdie Elektronen in Si dargestellt. Der Massentensorist durch die zweiten Ableitungen der Energie nachdem Wellenvektor gegeben. Hier sind die Massen-tensoren am Minimum des Leitungsbandes darge-stellt.

Aufgrund der Spin-Bahn Wechselwirkung könnenBänder in Subbänder mit unterschiedlicher effekti-ver Masse aufgespalten werden. Abb. 7.19 zeigt eineBandstruktur, wie sie für viele Halbleiter mit direk-ter Bandlücke, wie z.B. GaAs typisch ist.

Im Valenzband beträgt der Bahndrehimpuls L = 1.Durch die Spin-Bahn Kopplung spaltet das Band auf

Elektronen

schwere Löcherleichte Löcher

abgespaltene Löcher

k

E

hhlh

soh

J=3/2

J=1/2

J=1/2

Abbildung 7.19: Effektive Massen für Bänder inHalbleitern mit direkter Bandlücke.

in zwei Subbänder mit J = 3/2 und J = 1/2, de-ren Energie sich um die Spin-Bahn Kopplung D un-terscheidet. Nimmt man für den Energienullpunktdie Obergrenze des gesamten Bandes, so werden dieEnergien

E (hh) = � h2k2

2mhh

E (lh) = � h2k2

2mlh

E (soh) = �D� h2k2

2msoh

Das energetisch tiefer liegende Band mit J = 1/2wird als abgespaltenes Band (englisch ’split-offband’) bezeichnet. Im energetisch höher liegendenBand mit J = 3/2 sind die Zustände im Zentrumder Brillouin-Zone entartet, aber die Dispersion derZustände mit mJ = ±3/2 ist schwächer als die derZustände mit mJ = ±1/2. Sie werden deshalb alsschwere Löcher bezeichnet, diejenigen mit m j =±1/2 als leichte Löcher. Allerdings sind beide deut-lich ‘leichter’ als isolierte Elektronen, wie in Tabelle7.1 gezeigt.

7.2.6 Dynamik am Zonenrand

Die Änderung der effektiven Masse des Elektronshängt eng zusammen mit der Bragg-Reflexion an ei-nem periodischen Gitter: In der Nähe der Oberkante

144

7 Halbleiter

Material mem

mhhm

mlhm

msohm D/eV

InSb 0,015 0,39 0,021 0,11 0,82InAs 0,026 0,41 0,025 0,08 0,43InP 0,073 0,4 0,078 0,15 0,11

GaSb 0,047 0,3 0,06 0,14 0,80GaAs 0,066 0,5 0,082 0,17 0,34Cu2O 0,99 0,58 0,69 0,13

Tabelle 7.1: Effektive Massen für verschiedeneHalbleiter.

des Bandes bestehen die Zustände nicht nur aus ebe-nen Wellen, sondern zu jedem Zustand mit Wellen-vektor k ist auch ein Komponente mit k � G beige-mischt, welche durch Reflexion am Gitter zustandekommt:

Y(x) = Ckeikx +Ck�Gei(k�G)x.

Diese Zumischung einer gegenläufigen Komponentenimmt in der Nähe der Zonengrenze rasch zu. DerErwartungswert des Impulses ist gegeben durch diegewichtete Mittelung über die beiden Komponenten

hpi = h⇥C2

k k +C2k�G(k �G)

⇤

und verschwindet am Zonenrand, genau wie dieGruppengeschwindigkeit.

KG/2

0

-0.5

-1

1

0.5

C(K-G)C(K)

C(K-G)C(K)

Band 1

Band 2

Abbildung 7.20: Koeffizienten der Zustände am Zo-nenrand.

Wirkt auf ein Elektron in der Nähe der Bandkanteeine äußere Kraft, welche den Wellenvektor vergrö-ßert, so müssen wir für die Änderung des Erwar-tungswertes auch die Abhängigkeit der Koeffizien-ten vom nominellen Wellenvektor berücksichtigen:

ddk

hpi = h(C2k +k

ddk

C2k +C2

k�G +(k�G)ddk

C2k�G).

Berücksichtigen wir die Normierung

C2k +C2

k�G = 1,

vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

ddk

hpi = h(1+ kddk

C2k +(k �G)

ddk

C2k�G

= h(1�Gddk

C2k�G).

Der zweite Term kann größer als 1, die rechte Sei-te damit negativ werden. Dies bedeutet, dass die re-sultierende Bewegungsänderung im Mittel der Kraftentgegenwirkt, d.h. die effektive Masse ist negativ.Der erste Term entspricht dabei der Impulsänderungeines freien Elektrons, während der zweite Term denEinfluss des Gitters reflektiert. Dieser Teil der Im-pulsänderung wird deshalb durch eine inverse Im-pulsänderung der Atomrümpfe kompensiert.

Oberhalb der Bandlücke hingegen nimmt die Am-plitude der gegenläufigen Komponente mit zuneh-mendem Impuls rasch ab. Dies bedeutet, dass dieGeschwindigkeitsänderung größer ist als bei einemfreien Elektron, resp. die effektive Masse positiv undklein.

7.2.7 Leichte und schwere Elektronen

Da die inverse Masse proportional zur Krümmungdes Bandes ist, wird die Masse klein, wenn dieKrümmung groß ist und umgekehrt. Sie ist dem-nach am kleinsten wenn die Kopplung ans periodi-sche Gitter klein ist.

k

E schwache Kopplungstarke Krümmungkleine Masse

�/a

Abbildung 7.21: Geringe Bandlücke, geringe Mas-se.

Abb. 7.21 zeigt einen Fall, bei dem die Bandlückesehr klein ist. Damit weichen die gekoppelten Zu-stände erst in der Nähe der Zonengrenze wesentlichvon den Zuständen der freien Elektronen ab. Die

145

7 Halbleiter

k

E

�/a

1/m* klein

Abbildung 7.22: Geringe Krümmung, große Masse.

Krümmung wird deshalb hier groß und die Masseklein.

Es gibt aber auch Materialien in denen die Energienur schwach von k abhängt. In Abb. 7.22 wird dieKrümmung klein und die effektive Masse sehr groß.

schwach gekoppeltlokalisierte Elektronenschwache Krümmung

hohe Masse

stark gekoppeltdelokalisierte Elektronen

hohe Krümmunggeringe Masse

Kopplungsstärke

Ener

gie

Abbildung 7.23: Variation von Energie, Breite derBänder und effektiven Massen mitder Kopplungsstärke.

Dies entspricht einem starken Potenzial: Die Elek-tronen sind dann beinahe vollständig bei den einzel-nen Atomen lokalisiert und die Breite des Bandes istklein. Es ist dann schwierig, das Elektron in Bewe-gung zu bringen und die effektive Masse ist groß.

Ort

Energie

Abbildung 7.24: Lokalisierung von elektronischenZuständen in Potenzialminima.

Solche Systeme erhält man vor allem, wenn dieValenzelektronen f -Elektronen von seltenen Erdenoder Actiniden sind. Diese Orbitale sind relativ tiefim Atomrumpf versteckt und überlappen deshalb nurschwach. Die effektive Masse kann in solchen Syste-men sehr groß werden. Sie sind als Schwere Fermio-nen Systeme bekannt.

7.2.8 Form der Fermi-Oberfläche /Zyklotronresonanz

Das elektrische Verhalten der Halbleiter wird be-stimmt durch die Dynamik der Ladungsträger, wel-che sich in der Nähe des oberen, resp. unterenEndes des Valenz-, resp. Leitungsbandes befinden.Man kann deshalb Materialien besser charakterisie-ren wenn man ihre Fermi-Oberfläche kennt. Einewichtige Methode dafür ist die Zyklotronresonanz.

Dazu müssen wir in der Bewegungsgleichung (5.9)die Lorentzkraft berücksichtigen. Der zusätzlicheTerm ist

hdkdt

= F = �e~v⇥~B.

Mit der Beziehung für die Gruppengeschwindigkeit

~v =1h~—~kE (~k)

wird daraus

dkdt

= � eh2

⇣~—~kE (~k)

⌘⇥~B.

Hier tritt als einzige Koordinate der Wellenvektorauf, d.h. die Bewegungsgleichung bezieht sich aufden reziproken Raum; ihre Lösung wird durch eineKurve im k-Raum beschrieben. Die Gleichung zeigt,dass das Elektron im Magnetfeld senkrecht zum Gra-dienten der Energie bewegt, und damit auf einer Flä-che konstanter Energie. Gleichzeitig bewegt es sichsenkrecht zum äußeren Magnetfeld. Aus diesen reingeometrischen Überlegungen folgt somit, dass sichdas Elektron auf einer Kurve bewegt, welche durchdie Schnittkurve der Iso-Energie Fläche mit einerEbene senkrecht zum Magnetfeld gegeben ist - beideFlächen sind im k-Raum definiert.

146

7 Halbleiter

Da sich bewegliche Ladungsträger notwendigerwei-se an der Fermi-Oberfläche befinden, kann eine Mes-sung dieser Bewegung Informationen über die Struk-tur der Fermi-Oberfläche liefern. Wie die obige Glei-chung zeigt, bewegen sich die Ladungsträger aufeinem Kegelschnitt, genauer auf einer Ellipse. DieUmlauffrequenz ist

wc =eBm⇤ ,

wobei m* eine effektive Masse ist, welche die dreiHauptwerte enthält.

B1 cos(�t)

? B0

B0

Abbildung 7.25: Prinzip der Zyklotronresonanz.

Weil die effektive Masse gerade die Krümmung desBandes darstellt, kann über ihre Messung die Formdes Bandes bestimmt werden. Diese Zyklotronfre-quenz kann gemessen werden, indem senkrecht zumstatischen Magnetfeld ein magnetisches Wechselfeldder Frequenz wc angelegt wird. Man findet resonanteAbsorption der Mikrowellenstrahlung.

7.2.9 Beispiele

Typische Werte sind m⇤/m = 0.1, fc = 24 GHz und B= 86 mT. Die Temperaturen müssen niedrig sein, da-mit die Stoßzeiten lang und die Auflösung hoch sind.Abb. 7.26 zeigt als Beispiel die Resonanzen von Sili-zium und Germanium. Damit kann man für die ent-sprechende Magnetfeldorientierung die Krümmungder Fermioberfläche bestimmen. Die gesamte Fer-mioberfläche kann durch Drehung des Magnetfeldesoder der Probe gemessen werden.

Abb. 7.27 stellt die effektiven Massen von Germani-um als Funktion der Richtung im k�Raum dar.

Magnetfeld B0 / T

Silizium

Abso

rptio

n

Löch

er

Elek

tron

en

Löch

er

Elek

tron

en

0 0,2 0,4Magnetfeld B0 / T

Löch

er

Löch

er

Elek

tron

enEl

ektr

onen

Elek

tron

en

0 0,2 0,4

Germanium

Abbildung 7.26: Zyklotronresonanz-Spektren vonSilizium und Germanium.

Winkel in Grad von der [001]-Achse in einer 110 Ebene0 30 60 90

e!ek

tive

Mas

se m

c/m

0,1

0,2

0,3

Abbildung 7.27: Anisotrope effektive Masse vonGermanium.

Bei der Diskussion der Bandstrukturen spielen eini-ge Punkte der Brillouin-Zone eine besondere Rolle.Für diese hat sich eine eigene Nomenklatur einge-bürgert. Das Zentrum der Brillouin-Zone wird im-mer als G-Punkt bezeichnet. Weitere Punkte sind fürdas fcc- und bcc Gitter:

~k = 2p

a fcc bcc

(000) G G� 1

212

12�

L P� 1

2 00�

D D

K, resp. N bezeichnen die Zonengrenze in Richtung(110) und L, resp. P in Richtung (111).

147

7 Halbleiter

fcc bcc

Abbildung 7.28: Bezeichnung der wichtigsten Punk-te im k-Raum.

7.3 Elektrische Leitfähigkeit

Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern wirdvor allem durch die Temperatur und die Dotierungmit Fremdatomen beeinflusst. Wir betrachten zu-nächst reine Halbleiter.

7.3.1 Ladungsträgerdichte undZustandsdichte

Am absoluten Nulltpunkt sind Halbleiter Isolatoren,aber bei endlicher Temperatur werden Elektronenaus dem Valenzband ins Leitungsband angeregt. DieAnzahl der Elektronen im Leitungsband ist bestimmtdurch die Fermi-Dirac Verteilung. Die Besetzungs-wahrscheinlichkeit für einen Einelektronenzustandmit Energie E ist allgemein

fe =1

eE �µ

kBT +1,

wobei µ das chemische Potenzial darstellt. Für einenreinen Halbleiter bei niedriger Temperatur liegt die-ses in der Mitte zwischen Valenzband und Leitungs-band. Bei nicht allzu hohen Temperaturen ist E �µ � kBT für Elektronen im Leitungsband. Damitwird die Exponentialfunktion im Nenner groß ge-gen 1 und der Ausdruck kann vereinfacht werden zurBoltzmann-Statistik

fe = eµ�EkBT .

Innerhalb des Leitungsbandes wächst die Energie

des Elektrons quadratisch mit dem Impuls

E = Ec +h2k2

2me. (7.2)

Die Anzahl Zustände mit Wellenvektor < k ist nachGl. (5.3)

n(k) = Vk3

3p

2 . (7.3)

Wir lösen die Dispersionsrelation (7.2) auf nach derWellenzahl

k =

p2me

h

pE �Ec

und setzen dies ein in (7.3):

n(E ) =V

3p

2(2me)

32

h3 (E �Ec)32 .

Die Zustandsdichte De(E ) als Funktion der Energieist deshalb

De(E ) =dn(E )

dE=

V2p

2(2me)

32

h3

pE �Ec.

Damit ergibt sich die Dichte n der Elektronen imLeitungsband als

n =1V

Z •

Ec

De(E ) fe(E )dE

=1

2p

2(2me)

32

h3 eµ

kBT

Z •

Ec

pE �Ece

�EkBT dE

= 2✓

mekBT2p h2

◆ 32

eµ�EckBT .

7.3.2 Zustandsdichte für Löcher

Die Löcherkonzentration fh erhält man, indem manberücksichtigt, dass ein Orbital entweder voll oderleer ist, d.h.

fh = 1� fe = 1� 1

eE �µ

kBT +1

=e

E �µ

kBT

eE �µ

kBT +1=

1

1+ eµ�EkBT

⇡ eE �µ

kBT .

148

7 Halbleiter

EEnergieµ

Valenzband Leitungsband

fe =1

eE�µkBT + 1

fh = 1 � fe

Ladu

ngs-

träg

erdichte

Abbildung 7.29: Besetzungswahrscheinlichkeit fürElektronen und Löcher in einemreinen Halbleiter.

Die Zustandsdichte der Löcher ist

Dh(E ) =V

2p

2(2mh)

32

h3

pE �Ev.

Damit wird die Dichte der Löcher bei der Tempera-tur T

p = 2✓

mhkBT2p h2

◆ 32

eEv�µ

kBT .

Das Produkt der Ladungsträger

n · p = 4✓

kBT2p h2

◆3

(memh)32 e�Eg/kBT

hängt damit nur von der Bandlücke Eg = Ec �Ev undder Temperatur ab. Dies bedeutet, dass eine Erhö-hung der Anzahl Elektronen im Leitungsband zu ei-ner Verringerung der Anzahl Löcher im Valenzbandführt und umgekehrt. Für einen reinen Halbleiter giltn = p und damit

n = p =p

n p

= 2✓

kBT2p h2

◆ 32

(memh)34 e�Eg/2kBT .

Das chemische Potenzial eines reinen Halbleiterskann bestimmt werden, indem wir die Ausdrückefür die Anzahl Elektronen und Löcher gleichsetzen.Dann erhalten wir

m3/2e e

µ

kBT e�EckBT = m3/2

h eEv

kBT e�µ

kBT

und damit

e2µ

kBT =

✓mh

me

◆ 32

eEv+Ec

kBT .

Hier musste das Vorzeichen von Ev gedreht werden,um von der Energie der Löcher zur Energie der Elek-tronen überzugehen. Damit wird das Potenzial

µ =Ev +Ec

2+

34

kBT lnmh

me.

Für identische Massen oder am absoluten Nullpunktliegt das chemische Potenzial somit in der Mitte zwi-schen Valenzband und Leitungsband.

7.3.3 Beweglichkeit

Der Strom in Halbleitern wird durch Elektronen wieauch Löcher geleitet.

E+

-

vj

v j

Abbildung 7.30: Bewegung von Elektronen und Lö-chern in einem E-Feld.

Dabei bewegen sich die Löcher in Richtung des Fel-des, die Elektronen entgegengesetzt. Die Richtungdes Stromes ist in beiden Fällen parallel zum Feld.

Wenn wir uns für die Leitfähigkeit interessieren, be-nötigen wir nicht nur die Ladungsträgerdichte, son-dern auch die Geschwindigkeit der Ladungsträgerfür ein gegebenes Feld. Dies wird üblicherweisedurch die Beweglichkeit

µ =|v||E| [µ] =

m2

Vs

quantifiziert. Wie in Metallen kann sie über die Stoß-zeit t ausgedrückt werden,

µe = ete

meund µh = e

th

mh.

149

7 Halbleiter

Abbildung 7.31: Beweglichkeit von Elektronen undLöchern bei Raumtemperatur incm2/Vs.

Die experimentell gefundenen Beweglichkeiten hän-gen einerseits von der Temperatur, andererseits vonder Art und Qualität der Kristalle ab. Die Beweglich-keit der Elektronen ist größer als die der Löcher, sodass die elektrische Leitfähigkeit in nicht dotiertenHalbleitern durch die Elektronen dominiert wird.

7.3.4 Dotierung

Der Grund, dass Halbleiter in der Industrie so nütz-lich geworden sind, liegt nicht an ihrer intrinsischenLeitfähigkeit, sondern an der Möglichkeit, die Leit-fähigkeit durch die Zugabe von Fremdatomen gezieltzu verändern.

HALL COEFFICIENT OF ANTIMONY-DOPED GERMANIUM 73

I/Absolute Temperature ( FICJ. 1. Hall coefficient of antimony-doped germanium

(n-type) as a function of l/T.

slope of the corresponding resistivity curve. Some of the resistivity curves of this concentration range have an intermediate slope which decreases rapidly with increasing impurity concentration.

(iii) High concentration range

Only a few samples could be obtained with

FIG. 2. Resistivity of antimony-doped germanium (n-type) as a function of l/T.

No > 1017/cm3. Up to lOl*jcm5 bothp-type and n- type samples show a small Hall maximum and a rise of the resistivity near SOoK, but otherwise the samples show temperature-independent values of R and p down to 1~3°K.

No change of sign of the Hall coeflicient has ever been observed at the onset or in the tempera- ture range of impurity conduction. There is no reason to believe that such a sign change should occur for a random distribution of impurities.(rs) It should be pointed out, however, that the sudden drop of the Hall curves of the samples -7 to -15 at temperature below the Hall maximum can be ascribed to the conduction band carriers alone.(5) They carry a smaller and smaller fraction of the total current as the temperature is lowered. The Hall coefficient of impurity conduction must be

Spez

. Wid

erst

and

/ Ωcm

100/T [1/K]0 0.2 0.4 0.6 0.8

10-3

100

103

106

109

intrinsisch 1

25781012151718202122232425262729

0,530,931,62,33,05,28,51324354555547484120130270950

Konz.[1015cm-3]Pr

obe

Abbildung 7.32: Einfluss von Dotierung und Tem-peratur auf den spezifischen Wider-stand.

Man hat zwei Arten von Variationsmöglichkeiten: Inbinären Verbindungen wie GaAs erzeugt eine Ab-

weichung von der exakten Stöchiometrie Mangel-halbleiter; die häufigere Methode ist Dotieren, alsoder Einbau von Fremdatomen. Wie Abb. 7.322 zeigt,kann eine Zugabe von kleinsten Mengen von Anti-mon zu Germanium die elektrische Leitfähigkeit ummehr als 10 Größenordnungen verändern.

N-Dotierung

Si Si Si

Si

Si

-Si P Si

Si

Si

Abbildung 7.33: N-Dotierung.

Am einfachsten lässt sich der Effekt bei den dia-mantartigen Halbleitern wie Silizium diskutieren.Wird ein fünfwertiges Atom wie N, P oder As in Si-lizium eingebaut, so nimmt es einen Gitterplatz vonSi ein. Das Gitter bleibt damit weitgehend unverän-dert, aber die Rumpfladung des eingebauten Atomsist um eins höher als die der übrigen Gitteratome; au-ßerdem ist die Anzahl der Elektronen um eines höherals bei einem reinen Halbleiter. Solche Atome wer-den deshalb als Donatoren bezeichnet.

P As SbSi 45 49 39Ge 12 12.7 9.6

Donator-Ionisierungsenergienin Si und Ge, in meV

E

Valenzband

Leitungsband

Donatorniveau

Abbildung 7.34: Energie der Donatorzustände.

7.3.5 Donatorzustände

Die erhöhte positive Ladung des eingebauten Fremd-atoms erzeugt elektronische Zustände, welche in derNähe dieser Ladung lokalisiert sind. Man kann dasProblem als eine Variation des Wasserstoffatoms be-trachten; dessen Grundzustandsenergie beträgt

E1 = � e4m2(4pe0h)2 ⇡ �13,6eV. (7.4)

2J. Phys. Chem. Solids 6, 69 (1958).

150

7 Halbleiter

Im Falle eines Dotierungsatoms gibt es zwei Unter-schiede: zum einen wird die positive Ladung desAtomrumpfes durch die übrigen Elektronen abge-schirmt. Man nähert diesen Abschirmeffekt übli-cherweise durch die statische Dielektrizitätskonstan-te des Materials.

Abbildung 7.35: Statische Dielektrizitätskonstantevon Halbleitern.

Außerdem wird in der Energie (7.4) die Elektronen-masse durch die effektive Masse ersetzt wird. Dieveränderte Bindungsenergie wird damit zu

Ed =e4me

2(4pee0h)2 ⇡ 13,6e

2me

meV.

Sie hängt somit quadratisch von der Dielektrizitäts-konstante und linear von der effektiven Masse ab.Die Dielektrizitätskonstante eines Halbleiters ist inder Größenordnung von 10 (siehe Abb. 7.35), die ef-fektive Masse bei etwa 0.1 m. Somit erwarten wireine Reduktion der Bindungsenergie um etwa einenFaktor 1000. Experimentell beobachtete Energiensind auch tatsächlich etwa 10 meV für Ge und 40-50 meV für Si.

Durch die Abschirmung und die kleinere effektiveMasse wird nicht nur die Bindungsenergie reduziert,gleichzeitig wird auch das Orbital größer. Im Was-serstoffatom ist die Größe des Orbitals durch denBohrschen Radius

a0 =4pe0h2

me2 ⇡ 0,53 A

gegeben. Im Halbleiter wird dieser zu

a⇤0 =

4pee0h2

mee2 = a0e

mme

⇡ 100a0 ⇡ 50 A.

Diese Erwartung entspricht auch etwa den beobach-teten Werten.

7.3.6 P Dotierung

Si Si Si

Si

Si

+Si Al Si

Si

Si

P-Dotierung

Abbildung 7.36: P-Dotierung.

Anstelle von fünfwertigen Atomen können auchdreiwertige, wie B, Al, In eingebaut werden. In die-sem Fall ist die Rumpfladung geringer, und im Va-lenzband fehlt ein Elektron.

B Al Ga InSi 45 57 65 16Ge 10.4 10.2 10.8 11.2

Akzeptor-Ionisationsenergienin Si und Ge, in meV

E

Valenzband

Leitungsband

Akzeptorniveau

Abbildung 7.37: Energie der Akzeptorzustände.

Wiederum sorgt die veränderte Ladung für lokali-sierte Zustände, welche ebenfalls mit dem modifi-zierten Bohr’schen Modell behandelt werden, wobeidie Vorzeichen der Ladungen invertiert sind. Die Io-nisationsenergien sind ähnlich wie bei den Donator-zuständen.

7.3.7 Thermische Anregung

Die Ionisierung von Donatoren und Akzeptoren istthermisch aktiviert, genau wie die Erzeugung vonintrinsischen Ladungsträgern. Aufgrund der relativniedrigen Ionisierungsenergie ist diese ab einer Tem-peratur von ca. 100 K praktisch vollständig. Sind nurDonatoren vorhanden und ist die Temperatur sehrklein, kBT ⌧ Ed , so wird die Konzentration der Elek-tronen

n =p

n0Nde� Ed2kBT

mit

n0 = 2✓

mekBT2p h2

◆ 32

151

7 Halbleiter

und Nd die Konzentration der Donatoren. In Abb.7.38 sind die Donatoren bei etwa 90 K vollständigionisiert.

Inverse Temperatur 100/T [K-1]

Ladu

ngst

räge

rkon

zent

ratio

n / c

m-3

Temperatur / K

Si unterschiedliche As-Dotierung

1010

1012

1014

1016

0 1 2 3 4

100 50 25

Abbildung 7.38: Ladungsträgerkonzentration alsFunktion der Temperatur.

Ein analoges Resultat gilt für die Akzeptoren. BeiRaumtemperatur (kBTR = 26 meV) sind beide io-nisiert und die Ladungsträgerkonzentration wird zun = Nd �Na falls das Material n-dotiert ist (Nd > Na),oder p = Na �Nd im umgekehrten Fall.

Temperatur T [K]100 500La

dung

strä

gerk

onze

ntra

tion

(Log

)

ni

ND ntot

Ioni

satio

n de

r St

örst

elle

n

Störstellen Erschöpfung

Eigenleitung

Abbildung 7.39: Temperaturabhängigkeit der La-dungsträgerkonzentration.

Bei niedrigen Temperaturen tragen nur die Dotiera-tome zur Leitfähigkeit bei. Sind sie vollständig io-nisiert, so ändert sich die Leitfähigkeit nicht mehrmit der Temperatur. Erhöht man die Temperatur aufmehrere 100 K (je nach Konzentration der Dotiera-tome), wird die Eigenleitung dominant, da die Zahl

der intrinsischen Elektronen sehr viel größer ist, alsdie der Dotieratome.

7.3.8 Ladungsträgergleichgewicht

Da die Leitfähigkeit durch die Summe der Löcherund Elektronen gegeben ist, erhält man sowohl fürhohe Donatoren-Konzentrationen wie auch für ho-he Konzentrationen von Akzeptoren eine hohe Leit-fähigkeit. Je nachdem, welcher Beitrag dominiertspricht man von p-Leitung (Lochleitung), resp. n-Leitung (Elektronenleitung).

Intrinsisches Material enthält Ladungsträger aufGrund der thermisch angeregten Übergänge zwi-schen Valenz- und Leitungsband. Die Zahl der po-sitiven und negativen (beweglichen) Ladungsträgerist gleich - wir schreiben sie als ni. Wird das Ma-terial negativ dotiert, so steigt die Anzahl der freienElektronen, diejenige der Löcher sinkt. Das Produktder beiden bleibt konstant,

n · p = n2i .

Da das Material insgesamt neutral sein muss, ist dieSumme der positiven Ladungsträger gleich der Sum-me der negativen Ladungsträger,

ND + p = NA +n.

Hier stellt ND die Dichte der positiv geladenen Do-natorenrümpfe, NA die Dichte der negativ geladenenAkzeptoren dar. In einem n-dotierten Material istND ⇡ n � p. Zusammen mit dem Massenwirkungs-gesetz folgt daraus

p ⇡ n2i

ND.

Typische Zahlenwerte für n-Si sind ni ⇡ 1010 cm�3,ND ⇡ 1015 cm�3 und damit p ⇡ 105 cm�3.

7.4 Halbleiter-Bauelemente

Die Halbleiterelektronik benutzt gezielt die Effekte,die beim Übergang zwischen Gebieten unterschied-licher Dotierungen auftreten. Eine Diode besteht aus

152

7 Halbleiter

einem p/n Übergang, ein Transistor aus einem p/n/poder n/p/n Übergang. Beim Halbleitermaterial ver-wendet man meist Silizium. Alternativen sind Ger-manium oder binäre Halbleiter aus Elementen derdritten und fünften Gruppe (III/V) Halbleiter, wiez.B. GaAs. Im Rahmen dieser Vorlesung beschrän-ken wir uns auf Silizium, mit Hinweisen auf Germa-nium und GaAs. Die wichtigsten Parameter dieserMaterialien sind in Tabelle 7.2 zusammengestellt.

7.4.1 n-p Übergang

19.12.12 11:41

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Emitter

Basis

Kollektor

n p n++ +

Löcher

Rekombination

Elektronen

Transistor

Diode p n

Abbildung 7.40: Aufbau einer Diode und einesTransistors.

Die wichtigsten Halbleiter-Bauelemente sind Di-oden und Transistoren. Diese, wie auch praktisch al-le anderen enthalten Grenzschichten zwischen einemn-(negativ) dotierten Teil und einem p-(positiv) do-tierten Teil.

Leitungsband

Valenzband

n-dotiertEF

- - - -

+ + EF+ +

p-dotiert

EF- - -

+ + +

Kontakt, Ladungstransfer

Abbildung 7.41: Übergang zwischen n-dotiertemund p-dotiertem Halbleiter ohneund mit elektrischem Kontakt.

Abb. 7.41 zeigt eine solche Grenzschicht. In der lin-ken Hälfte ist das Material n-dotiert, die Fermiener-

gie liegt deshalb in der Nähe der Unterkante des Lei-tungsbandes. In der rechten Hälfte ist das Material p-dotiert und die Fermienergie liegt nahe an der Ober-kante des Valenzbandes.

Bringt man die beiden Materialien in Kontakt, sogleichen sich die Ferminiveaus an. Im Bereich desKontaktes verbiegen sich deshalb die Bänder. Die-se Bandverbiegung kommt durch Diffusion der La-dungsträger zustande. Dadurch treffen Elektronenund Löcher aufeinander und rekombinieren. In derNähe der Grenzschicht wird deshalb die Dichte derLadungsträger reduziert. Man bezeichnet diesen Be-reich als Verarmungszone.

x�(x)

x

|E(x)|

x�(x)

Abbildung 7.42: Ladungsdichte, elektrisches Feldund Potenzial im Bereich desÜbergangs.

Da die ionisierten Atomrümpfe in der Verarmungs-zone zurückbleiben, entsteht im n-dotierten Be-reich eine Zone positiver Raumladungen, auf der p-dotierten Seite ein Bereich negativer Raumladungen.Dies erzeugt ein elektrisches Feld in der Richtungvom n- zum p-dotierten Bereich. Die Stärke des Fel-des ist bestimmt durch die Dichte der Raumladung,

div~E =r

e0e

oder, in einer Dimension,

∂Ex

∂x=

r

e0e

.

Die zugehörige Potenzialdifferenz entspricht demIntegral

F(x) = �Z

Ex(x)dx.

153

7 Halbleiter

Ge Si GaAsBandlücke 0,66 1,12 1,4 eV

Eigenleitungsdichte ni 2,5·1013 1,5·1010 9,2·106 cm�3

Elektronenbeweglichkeit µn 3900 1350 8800 cm2/VsLöcherbeweglichkeit µp 1900 480 450 cm2/Vs

Tabelle 7.2: Parameter für die wichtigsten Halbleitermaterialien

Dieses elektrische Feld, resp. das Potenzial, wirktder Diffusion entgegen, so dass sich ein Gleichge-wicht bildet. Die Breite der Verarmungszone liegt imBereich von µm und ist abhängig vom Dotierungs-profil.

7.4.2 Diode

Ein Übergang zwischen zwei entgegengesetzt do-tierten Bereichen bildet eine Halbleiterdiode. Wirdan einen solchen Übergang eine Spannung angelegt,so hängt der Strom stark von der Richtung und derStärke der Spannung ab. Wir betrachten zunächstden Fall, dass am p-Leiter eine negative Spannungangelegt wird und am n-Leiter eine positive. Da-durch werden die Ladungsträger im Halbleiter inRichtung auf die Elektroden verschoben. Die Sperr-schicht wird dadurch breiter, die Raumladungszonewird größer und damit der Abstand zwischen denEnergien der Bänder auf beiden Seiten.

EF

- - + ++++

---

Abbildung 7.43: Sperrschicht bei Anlegen einerSpannung in Rückwärtsrichtung.

Da sich in der Sperrschicht keine Ladungsträger be-finden, fließt praktisch kein Strom durch die Sperr-schicht. Da die Leitfähigkeit im Bereich der Sperr-schicht weitaus niedriger ist, fällt hier der größte Teilder Spannung ab. Der Unterschied im Ferminiveauzwischen den beiden Bereichen entspricht praktischder angelegten Spannung.

EF

- -

+ +

+++

--- + +

- -

Abbildung 7.44: Sperrschicht bei Anlegen einerSpannung in Vorwärtsrichtung.

Wechselt man das Vorzeichen der Spannung, so wer-den auf der p-dotierten Seite zusätzliche Löcher,auf der n-dotierten Seite zusätzliche Elektronen ein-gebracht. Diese wandern in Richtung Sperrschicht,diese wird schmaler, die Raumladungszone wirdreduziert und die Diffusionsspannung weitgehendkompensiert. Die Ladungsträger können die Sperr-schicht durchqueren und rekombinieren, so dass hierein Strom fließt. Man spricht deshalb vom “Durch-lassbereich”.

7.4.3 Diodenkennlinie

Spannung

Strom

Sperrbereich

Durch

bruchspa

nnun

g

p n

+- + -

p n

rückwärts vorwärts

Abbildung 7.45: Strom-Spannungskennlinie einertypischen Diode.

154

7 Halbleiter

Die Beziehung zwischen Strom und Spannung ei-ner Diode ist stark asymmetrisch. Im Sperrbereichfließt nur ein geringer Strom, der Sperrstrom IS, dervon den Minoritätsladungsträgern gebildet wird, d.h.den Elektronen im p-Bereich und den Löchern im p-dotierten Bereich. Für Ge-Dioden ist er in der Grö-ßenordnung von µA, für Si-Dioden in der Größen-ordnung von nA. Da mit zunehmender Temperaturdie Zahl der Minoritätsladungsträger zunimmt, steigtdie Leitfähigkeit mit der Temperatur. Eine Tempera-turerhöhung um 10 �C verdoppelt etwa den Sperr-strom IS.

Wenn die Spannung (in Sperrrichtung) die Durch-bruchspannung UBr übersteigt, so steigt der Stromsehr schnell an. In diesem Bereich reicht die kineti-sche Energie der Ladungsträger, um über Stoßioni-sation weitere Ladungsträger zu erzeugen. Wird derStrom in diesem Bereich nicht beschränkt, kann dieszur Zerstörung der Diode führen.

Im Durchlassbereich, d.h. in Vorwärtsrichtung, wer-den Ladungsträger in die Verarmungszone einge-bracht, diese wird dünner. In diesem Bereich kannder Strom beschrieben werden durch die Funktion

I = Is(eU/UT �1),

wobei UT die Temperaturspannung kBT/e ⇡ 26 mVdarstellt. Bei großen Spannungen, U � UT weichtdie Kennlinie von der Exponentialfunktion ab undnähert sich einer Geraden, da hier der endliche Bahn-widerstand der Diode wichtig wird.

7.4.4 Thermoelektrische Effekte

Elektronen und Löcher, die in Halbleitern Ladungtransportieren, besitzen eine Energie, die wesentlichüber der Fermienergie liegt. Sie transportieren des-halb immer auch thermische Energie, wie bereits inKap. 5.5.4 diskutiert. Der Energiefluss beträgt fürElektronen in einem elektrischen Feld E

jU = n(Ec � µ +32

kBT )(�µe)E,

wobei µe die Beweglichkeit der Elektronen darstellt.Der Energietransport ist verbunden mit dem La-dungstransport über den Peltier-Koeffizienten

Pe = �Ec � µ + 3

2 kBTe

.

Dieser ist für Elektronen negativ, da die thermischeEnergie in die umgekehrte Richtung transportiertwird wie die elektrische Ladung. Für Löcher gilt ei-ne analoge Beziehung, doch ist dort der Koeffizientpositiv.

Si

Temperatur [K]

QT

[eV]

Abbildung 7.46: Peltier-Koeffizient von Si als Funk-tion der Temperatur.

Der Transport von thermischer Energie in einemelektrischen Feld führt zum Aufbau einer Tempera-turdifferenz, weshalb Peltier-Elemente zum Heizenoder Kühlen verwendet werden. Umgekehrt erzeugteine Temperaturdifferenz eine Spannung E = Q—T ,wobei die thermoelektrische Kraft Q direkt mit demPeltier-Koeffizienten gekoppelt ist: P = QT .

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