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Aerodynamik Gasdynamik 1___________________________________________________________________________________________________________________
1. Einleitung
2. Strömungssimulation in Windkanälen
3. Numerische Strömungssimulation
4. Potentialströmungen
5. Tragflügel unendlicher Streckung in inkompressibler Strömung
(Profiltheorie)
6. Tragflügel endlicher Streckung in inkompressibler Strömung
7. Aerodynamik der Klappen und Leitwerke
8. Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)
9. Hochgeschwindigkeits‐Aerodynamik
10. Stabilität und Steuerbarkeit
Aerodynamik Gasdynamik 2___________________________________________________________________________________________________________________
8. Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)
8.1 Historischer Rückblick
8.2 Thermodynamische Grundbegriffe
8.3 Isentrope Strömungen
8.4 Kompressionsströmungen im Überschall
8.5 Expansionsströmungen im Überschall
8.6 Diffusorströmung
8.7 Messung der Strömungsgeschwindigkeit
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Aerodynamik Gasdynamik – Historischer Rückblick 3___________________________________________________________________________________________________________________
8.1 Historischer Rückblick
Fünfte Volta Konferenz, September 1935 in Rom
Wichtigste Themen Auswirkung der Kompressibilität bei höheren Geschwindigkeiten Temperatureffekte infolge der mit der Geschwindigkeit quadratisch
zunehmenden Energie Bedeutung thermodynamischer Prozesse Adolf Busemann stellt das Pfeilflügelkonzept zur Widerstandsreduzierung
bei transsonischen Geschwindigkeiten vor
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 4___________________________________________________________________________________________________________________
8.2 Thermodynamische Grundbegriffe8.2.1 Absolute und spezifische Größen
Größe Bezeichnung Einheit Größe Bezeichnung EinheitVolumen V m³ spezifisches
Volumenv m³/kg
Wärme Q J spezifische Wärme
q J/kg
Arbeit W J spezifische Arbeit
w J/kg
Energie E J spezifische Energie
e J/kg
Innere Energie
U J spezifische innere Energie
u J/kg
Enthalpie H J spezifische Enthalpie
h J/kg
Entropie S J/K spezifische Entropie
s J/kgK
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 5___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ System und Systemgrenze
Thermodynamisches System und Systemgrenze Relevant sind nicht die technischen Abläufe innerhalb der Maschine,
sondern lediglich die Energie‐ und Masseströme, die die Systemgrenze überschreiten
Werden diese erfasst, lässt sich daraus das Leistungsvermögen der Maschine berechnen ohne irgendwelche Details der Maschine zu kennen
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 6___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ System und Systemgrenze
Definition Systemgrenze
Bestimmung Eintretende Masseströme Eintretende Energieströme Austretende Masseströme Austretende Energieströme
Elektrische Leistung
angesaugteLuft Abgasstrahl
ZapfluftKabineninnendruck
ZapfluftEnteisung Kerosin
Systemgrenze
Systemgrenze
,
,
,
,
,
,,
,
,
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 7___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ Energieanteile
TransportenergienEnergieanteile, die über die Systemgrenze transportiert werden spezifische Wärme q12
spezifische technische Arbeit wt,12
spezifische dissipierte, also die Verlustenergie ediss
SystemenergienEnergieanteile, die sich innerhalb der Systemgrenze verändern können spezifische kinetische Energie 1/2(c2
2-c12)
spezifische potentielle Energie g(z2-z1) spezifische innere Energie u2-u1
spezifische Druckenergie p2v2- p1v1
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 8___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ Energieerhaltungssatz
Summe der spezifischen Transportenergien,
Summe der spezifischen Systemenergien12 ∙ ∙ ∙ ∙
Es gilt
also
, ∙ ∙
∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 9___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Energieerhaltungssatz
Energiebilanz erster Hauptsatz der Thermodynamik
Summe der Transportenergien = Summe der Systemenergien
, ∙ ∙∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 10___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Ideales Gas
Zustandsgleichung des idealen Gases korreliert die Zustandsgrößen eines Gases Druck p Temperatur T Dichte
∙ ∙ ∙spezifisches Volumen v
1
∙ ∙
∙ ∙mit
R [J/kgK] spezifische Gaskonstante
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 11___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Ideales Gas
Luft als reales Gas (Schneider, 1996)
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 12___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Ideales Gas
spezifische Wärme bei konstantem Druck
cp 1004,5 J/kgK
spezifische Wärme bei konstantem Volumen
cv 717,5 J/kgK
spezifische Gaskonstante
R = cp - cv 287,05 J/kgK
Isentropenexponent = cp/cv 1,4 ‐
Näherungswerte für Luft, kalorisch perfektes Gas
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 13___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Spezifische inneren Energie uEntspricht dem Energieanteil, der sich infolge der Temperatur ergibt
∙
Spezifische Enthalpie hZusammenfassung der Energieanteile innere Energie und Druckenergie
∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 14___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmekapazitäten cp, cvSpezifische Enthalpie h
∙ ∙
Spezifische isobare Wärmekapazität cp [J/kgK]
∙ ,
Spezifische innere Energie u
∙ ∙
Spezifische isochore Wärmekapazität cv [J/kgK]
∙ ,
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 15___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Enthalpie und innere Energie fester und flüssiger PhasenVernachlässigung der Kompressibilität Spezifische isobare und die spezifische isochore Wärmekapizität fallen
zusammen
Zustandsänderung von einem Ausgangspunkt (1) zu einem Endpunkt (2) Änderung der spezifischen inneren Energie u
∙
Änderung der spezifischen Enthalpie h, , ∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 16___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Enthalpie und innere Energie idealer GaseDruckabhängigkeit der spezifischen Wärmen entfällt
Isochore Wärmekapazität cv
∙
Änderung der spezifischen inneren Energie u
∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 17___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Enthalpie und innere Energie idealer GaseIsobare Wärmekapazität cp
∙
Änderung der spezifischen Enthalpie h
∙
Spezifische Gaskonstante RTemperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmen ist identisch
.
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 18___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.4 Innere Energie und Enthalpie
Enthalpie und innere Energie idealer GaseZustandsänderungen, die über einen großen Temperaturbereich verlaufen Kenntnis der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten
unabdingbar
Kleine Temperaturänderungen cp und cv als konstant angenommen werden Änderung der spezifischen inneren Energie
∙ Änderung der spezifischen Enthalpie
∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 19___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik Beschreibt das Prinzip der Energieerhaltung in einem System Wie lässt sich Energie von einer Form in eine andere Form umwandeln Es wird keine Aussage darüber getroffen, ob dieser Prozess überhaupt
stattfinden kann oder nicht
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 20___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Prozess AEin Flugzeug fliegt in einer Höhe von H = 12.000 m mit einer Geschwindigkeit M = 0,82 (V = 242 m/s).Betrachtet wird ein Flugzeugbauteil, das sich dem Flugzeug löst und auf die Erde fällt und sich beim Aufprall nicht verformt
Annahmen Es tritt keine Verformungsenergie auf Die Gesamtenergie kann sich ausschließlich in Wärme umwandeln Die spezifische Wärmekapazität von Aluminium beträgt c = 945 J/kgK Die Temperatur in 12 km Höhe beträgt 216,65 K (= ‐56,5°C) und am Boden
auf Meeresniveau 288,15 K (= 15°C). Die Luftreibung wird vernachlässigt (ediss = 0)
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 21___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Energiebilanz für Prozess A entsprechend dem ersten Hauptsatz,12 ∙ ∙ ∙ ∙
mit
, 0, ∙ ∙ 0, 0 und 0folgt
012 ∙ ∙
012 ∙ ∙ ∙ ∙
12 ∙ ∙ ∙ 1
2 ∙ 242 9,81 ∙ 12.000 945 ∙ 216,65945
372 K 99°C
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 22___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Prozess BDas inzwischen abgekühlte Bauteil wird am nächsten Tag auf eine Temperatur von T2 = 99°C erwärmt, steigt darauf hin auf eine Höhe von H = 12.000 m und beschleunigt auf eine Geschwindigkeit von M = 0,82 (V = 242 m/s) und kühlt dabei auf die Temperatur von T1 = ‐56,5°C ab
Energiebilanzen für Prozess B und Prozess A sind identisch Trotzdem kann die Eintrittswahrscheinlichkeit von Prozess B als klein
angenommen werden Warum?
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 23___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Prozess der Energieumwandlung unterliegt Einschränkungen Arbeit und mechanische Energie können immer in innere Energie
umgewandelt werden Umkehrung dieses Prozesses ist jedoch nicht möglich Dieses Grundprinzip wird beschrieben durch den zweiten Hauptsatz der
Thermodynamik
Die Wärmeübertragung unter Temperaturgefälle ist ein nicht umkehrbarer Vorgang (Geller, 2000)
Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt, sind nicht umkehrbar (Max Planck)
Alle natürlichen Prozesse sind nicht umkehrbar (Baehr, 1981)
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 24___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Entropie S Relevant ist nicht die absolute Größe der Entropie, sondern ihre
Veränderung bei einer Zustandsänderung von (1) nach (2) Änderung der Entropie dS
Für reale (= reibungsbehaftete) Prozesse gilt immer0
Änderung der Entropie in einem geschlossenen, adiabaten System
0
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 25___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Entropie S Natürliche Prozesse sind immer dadurch gekennzeichnet, dass die
Entropie zunimmt Entropieabnahme ist nur durch Wärmeentzug möglich Berechnung der Entropieänderung ermöglicht eine Aussage, ob ein
Prozess möglich ist oder nicht
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 26___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Entropie und Eintrittswahrscheinlichkeit
Quantitativ lässt sich die Entropie S über die Boltzmann‐Planck‐Beziehung aus der Eintrittswahrscheinlichkeit W bestimmen:
∙mitk = 1,3806621023 J/K (Boltzmann‐Konstante)
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 27___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Entropieänderung bei idealen GasenVollständiges Differential der spezifischen Enthalpie
∙ ∙
Eingesetzt in die differentielle Form des ersten Hauptsatzes
∙ ∙
Integration dieser Gleichung liefert zwei Schreibweisen für die Entropieänderung
∙ ∙
bzw.
∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 28___________________________________________________________________________________________________________________
8.2.6 Zustandsänderungen
Berechnung der Zustandsänderungen: Skript Tab. 8‐4: Isochore, isobare, isotherme und isentrope Zustandsänderungen Tab. 8‐5: Polytrope Zustandsänderung
Bezeichnung Zustandsgrößeisochor dV = 0isobar dp = 0isotherm dT = 0adiabat dq = 0reversibel ds = 0isentrop dq = 0 und ds = 0polytrop allgemeine Form einer Zustandsänderung
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 29___________________________________________________________________________________________________________________
8.3 Isentrope Strömungen
Isentrop0
Zusammenfassung zweier Eigenschaften einer Zustandsänderung Prozess verläuft adiabat, d.h. kein Austausch von Wärme mit der
Umgebung (dq = 0) Prozess verläuft verlustfrei, also reversibel (ediss = 0) Idealisierte Prozessführung Beschreibt keine realen oder natürlichen Prozesse (ediss > 0)
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 30___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.1 Eindimensionale, isentrope Strömung
Annahmen ds = 0 Strömungsgrößen können sich ausschließlich in Richtung der
Hauptströmung verändern Veränderungen der Strömungsgrößen quer zur Hauptströmungsrichtung
werden vernachlässigt Betrachtet werden nur konstante oder kleine Querschnittsänderungen
xz
y
u u
A = const., dA = 0 A const., dA 0
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 31___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.1 Eindimensionale, isentrope Strömung
Geschwindigkeitskomponenten in x, y und z‐Richtung
cx = u 0, cy = v = 0 und cz = w = 0
Änderung der Zustandsgrößen Druck p, Dichte und Temperatur T
dp/dx 0, dp/dy = 0 und dp/dz = 0
d/dx 0, d/dy = 0 und d/dz = 0
dT/dx 0, dT/dy = 0 und dT/dz = 0
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 32___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.2 Statische Größen und Totalgrößen
Statische Größen Größen, z.B. Druck p, Temperatur T, Dichte oder Enthalpie h, die ein
Beobachter spüren würde, sofern er sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Moleküle selbst mit Strömung mitbewegt
Totalgrößen Isentropes Abbremsen der Strömung auf die Geschwindigkeit null (z.B. im
Staupunkt) Statische Größen erhöhen sich entsprechend der Geschwindigkeit, von der
sie abgebremst werden Totalenthalpie H0
Totaltemperatur T0
Totaldruck p0
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 33___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.2 Statische Größen und Totalgrößen
Spezifischen Totalenthalpie h0
Kalorisch perfektes Gas: Enthalpie ist lediglich eine Funktion der Temperatur
Totaltemperatur T0
Totaldruck p0 (inkompressibel, M < 0,3)
2 ∙
.constuhh 2
2
0
2
2
00uTcTch pp
.constT 0
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 34___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.3 Kesselgleichungen
Beschreibung des Zusammenhangs zwischen statischen Größen und Totalgrößen als Funktion der Machzahl entlang einer Stromlinie
Spezifische Totalenthalpie h0 .
2
∙ ∙ 2mit
c∙1
folgt
1 2 ∙ ∙ 1∙ 1
2 ∙ ∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 35___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.3 Kesselgleichungen ‐ Temperatur
1 2 ∙ ∙ 1∙ 1
2 ∙ ∙ ∙
mit∙ ∙
folgt
11 ∙
2 ∙bzw.
11
2 ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 36___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.3 Kesselgleichungen – Druck, Dichte
Einsetzen von
11
2 ∙
in die isentropen Beziehungen für Dichte und Druck
liefert den Zusammenhang zwischen statischen Größen und Totalgrößen für Dichte und Druck
Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 37___________________________________________________________________________________________________________________
8.3.3 Kesselgleichungen – Druck, Dichte und Temperatur
Parameter FunktionDruck
11
2 ∙
Dichte
11
2 ∙
Temperatur1
12 ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 38___________________________________________________________________________________________________________________
8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐Mach‘scher Kegel
Msin 1
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 39___________________________________________________________________________________________________________________
8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐ Doppler‐EffektUnterschiedlichen Abstände der Wellenfronten (= Frequenz) werden in Abhängigkeit davon ob sich die Quelle auf den Beobachter zu bewegt oder entfernt, als unterschiedliche Frequenzen wahrgenommen
Frequenzverschiebung
Geschwindigkeit der Quelle
w Geschwindigkeit der Quellec lokale Schallgeschwindigkeitf von der Quelle ausgesandte Frequenzf' vom Beobachter wahrgenommene, verschobene Frequenz
cw
f'f
1
1
'ffcw
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 40___________________________________________________________________________________________________________________
8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐ Doppler‐Effekt
Frequenzverschiebung tritt nicht nur bei Schallwellen auf, sondern bei allen Formen der Wellenbewegung, z.B. auch bei Licht in seiner Form als elektromagnetische Welle
Bewegt man sich auf eine rote Lichtquelle zu, so wird bei der Lichtquelle eine Verschiebung ins blaue Farbspektrum, also zu einer höheren Frequenz wahrgenommen
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 41___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Schlierenoptik
Dichteabhängigkeit der Lichtbrechung ermöglicht Sichtbarmachung von Verdichtungsstößen
Schlierenoptik: Durchgangs‐ und Koinzidenzverfahren (Dubs, 1975)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 42___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Schlierenoptik
Schlierenaufnahme eines Profils (Truckenbrodt, 1969)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 43___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Interferenzmethode Treffen zwei Wellen gleicher Frequenz, jedoch mit entgegengesetzter
Phase aufeinander, so tritt Auslöschung ein Abbildung dunkler Interferenzstreifen
Doppelspalt‐Interferometer Aufspaltung von kohärentem Licht in zwei Teilstrahlen, ein Teilstrahl wird
durch die ungestörte Luft und der zweite Strahl durch die Messstrecke Cgeschickt
Nach dem Zusammenführen der beiden Strahlen treten auf dem Beobachtungsschirm Interferenzstreifen auf Dichteänderung
Doppelspalt‐Interferometer (Dubs, 1975)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 44___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Interferenzmethode
Interferogramm einer Überschallströmung um ein Profil (Dubs, 1975)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 45___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.3 Schallgeschwindigkeit und Kompressibilität
Zustandsgrößen der Luft vor dem Eintreffen der Welle: p, T und hinter der Welle: p+dp, T+dT und +d
p p+dpT T+dT +d
c
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 46___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.3 Schallgeschwindigkeit und Kompressibilität
Definition der Kompressibilität
mit v = 1/ und v = ‐ /²
Wegen a² = (p/ )s folgt
bzw.
Für ein inkompressibles Fluid (s = 0) geht die Schallgeschwindigkeit agegen unendlich
ss p
vv
1
s
ss pp
112
21as
s
a
1
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 47___________________________________________________________________________________________________________________
Kompressibilität ‐ Geschwindigkeitsberechnung
inkompressibel
2 ∙
2∙
kompressibel
11
2 ∙
11
2 ∙
1 ∙2 ∙
1
inkompressibel
kompressibel
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 48___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.4 Charakteristische Größen
Totalgrößen (gedankliche) isentrope Verzögerung eines Fluidelements auf die
Geschwindigkeit null
Charakteristische Größen (gedankliche) isentrope Beschleunigung eines Teilchens von einer
Unterschallgeschwindigkeit auf die Schallgeschwindigkeit oder Verzögerung eines Teilchens von einer Überschallgeschwindigkeit auf die
Schallgeschwindigkeit Zustandsgrößen werden als sogenannte charakteristische Größen
bezeichnet Charakteristische Temperatur T*
Charakteristische Schallgeschwindigkeit ∗ ∙ ∙ ∗
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 49___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.4 Charakteristische Größen – charakteristische Machzahl M*
Spezifische Totalenthalpie h0 entlang einer Stromlinie
.
mit ∙ folgt
∙ 2 ∙ 2
Spezifische Wärme bei konstantem Druck∙
Einsetzen in die spezifische Totalenthalpie∙ ∙ ∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 50___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.4 Charakteristische Größen – charakteristische Machzahl M*
1 2 1 2
Punkt (1) = Ausgangspunkt Punkt (2) = Punkt, bei dem die Schallgeschwindigkeit erreicht wird D.h. c2 = a*, Beziehung zwischen der Strömungs‐Schallgeschwindigkeit a
und der charakteristischen Schallgeschwindigkeit a*
Indizes (1) und (2) können entfallen.
1 2
∗
1
∗
2bzw.
∗ 2 ∙ ∙ 11
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 51___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.4 Charakteristische Größen – charakteristische Machzahl M*
Charakteristische Mach‐Zahl M* als Funktion der Strömungs‐Mach‐Zahl M
∗∗
1 ∙2 1 ∙
Allgemein giltM < 1 M* < 1M = 1 M* = 1M > 1 M* > 1
M M*
Beziehungen für senkrechten Verdichtungsstoß und für Laval‐Düse
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 52___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß
Bekannte Zustandsgrößen vor dem Stoßp1, 1, T1, M1, u1, p0,1, h0,1, T0,1, s0,1
Zu berechnende Größen hinter dem Stoßp2, 2, T2, M2, u2, p0,2, h0,2, T0,2, s0,2
Stoß selbst liegt innerhalb des Kontrollvolumens
Annahmen Strömung ist stationär, alle zeitabhängigen Derivativa verschwinden Strömung ist adiabat, es findet kein Wärmeaustausch statt Strömung ist reibungsfrei, es treten keine viskosen Effekte auf
(1) (2)p1
1
T1
c1
h1
s1
p0,1
T0,1
M1 M2
p2
2
T2
c2
h2
s2
p0,2
T0,2
Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 53___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß
Annahmen: Adiabate Strömung, konstanter Strömungsquerschnitt System aus fünf Gleichungen Kontinuitätsgleichung
∙ ∙ Impulsgleichung
∙ ∙ Energiegleichung
2 2 Spezifische Enthalpie (kalorisch perfekten Gas)
∙
Zustandsgleichung des idealen Gases ∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 54___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß
Parameter Beziehung Veränderung hinter dem Stoß
Mach‐Zahl1 1
2 ∙
∙ 12
sinkt
Geschwindigkeit
1 ∙2 1 ∙
sinkt
Dichte 1 ∙2 1 ∙
steigt
statische Temperatur 1
2 ∙1 ∙ 1 ∙
2 1 ∙1 ∙
steigt
statischer Druck 1
2 ∙1 ∙ 1
steigt
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 55___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß
Parameter Beziehung Veränderung hinter dem Stoß
spezifische Entropie
∙ 12 ∙
1 ∙ 1
∙2 1 ∙
1 ∙
∙ 12 ∙
1 ∙ 1
steigt
Totaldruck ,
,
sinkt
Total‐temperatur
, , konstant
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 56___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß
Veränderung der Strömungsgrößen bei einem senkrechten Verdichtungsstoß
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 57___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐2 Zur Geschwindigkeitsmessung in einer Überschallströmung verwenden Sie das in der Skizze dargestellte Prandtl‐Rohr. Bei der Berechnung können Sie Luft als ideales Gas betrachten. Mit Ihrem Luftdatensystem erfassen Sie folgende Messgrößen:‐ Statischer Druck p2 = 1,059105 Pa‐ Totaldruck p0,2 = 1,299105 Pa‐ Statische Temperatur T2 = 402,29 K‐ Totaltemperatur T0,2 = 426,38 K
Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit c1 vor dem Stoß (= Flugge‐schwindigkeit. Der Verdichtungsstoß, der sich vor der Sonde bildet, ist zwar abgehoben und gekrümmt, in dem Bereich der Staupunktstromlinie liegt jedoch ein senkrechter Verdichtungsstoß vor.
M2M1
senkrechter Stoß
Staupunkt: c = 0
(2)
2
p0,2
T2
p2
T0,2
c2
1
(1)
p0,1
T1
p1
T0,1
c1
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 58___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß Senkrechter Verdichtungsstoß stellt lediglich einen Sonderfall dar Strömung wird in sich selbst gedreht Stromlinien rücken enger zusammen Strömung wird parallel zur Wandkontur umgelenkt Strömungswinkel entspricht dem Rampenwinkel Winkel des schrägen Stoßes wird auf die Richtung der freien
Anströmung bezogen
(2)
1
(1)
p0,1
M2
M1T1
p1
T0,1
2
p0,2
T2
p2
T0,2
schräger Stoß
Kompressionsrampe
c1
c2
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 59___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
Zerlegung der Geschwindigkeit c und der Mach‐Zahl M vor und hinter dem Stoß in ihre Normalkomponenten u, Mn und Tangentialkomponenten w, Mtzur Stoßfront
Tangentialkomponenten erfahren beim Stoßdurchgang keine Veränderung
, ,
Einzige Änderung ergibt sich bei den Normalkomponenten u, Mn
, ,
Problem des schrägen Stoßes wird auf das Problem des senkrechten Stoßes zurückgeführt
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 60___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß Normalkomponente der Mach‐Zahl auf der Zuströmseite
, ∙ Berechnung der Strömungsgrößen hinter dem schrägen Stoß erfolgt
analog zum senkrechten Stoß Zuström‐Mach‐Zahl M1 ist durch Normalkomponente Mn,1 zu ersetzen
M1, c1
Mn,1, u1Mt,1, w1
M2, c2
Mn,2, u2Mt,2, w2
schräger Stoß
Kompressionsrampe
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 61___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
Dichteverhältnis1 ∙ ,
2 1 ∙ ,
Temperaturverhältnis
12 ∙
1 ∙ , 1 ∙2 1 ∙ ,
1 ∙ ,
Statisches Druckverhältnis
12 ∙
1 ∙ , 1
Spezifische Entropie
∙ 12 ∙
1 ∙ , 1 ∙2 1 ∙ ,
1 ∙ ,
∙ 12 ∙
1 ∙ , 1
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 62___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
Normalkomponente der Abström‐Mach‐Zahl
,1 1
2 ∙ ,
∙ ,1
2 Abström‐Mach‐Zahl
,
mit1
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 63___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
Totaldruckverhältnis,
,
Totaltemperatur, ,
Zusammenhang zwischen Zuström‐Mach‐Zahl M1, Umlenkungswinkel und Stoßwinkel
2 ∙ ∙∙ 1
∙ 2 2
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 64___________________________________________________________________________________________________________________
Stoßwellendiagram, Teil 1(NACA Report 1135, 1953)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 65___________________________________________________________________________________________________________________
Stoßwellendiagram, Teil 2(NACA Report 1135, 1953)
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 66___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
Eigenschaften schräger Verdichtungsstöße Für jede Zuström‐Mach‐Zahl M1 existiert ein maximaler Umlenkungswinkel
max für den ein schräger Stoß entstehen kann Maximaler Umlenkungswinkel wird mit zunehmender Zuström‐Mach‐Zahl
stetig größer, konvergiert jedoch für M1 gegen den Grenzwert max = 47° Übersteigt der Krümmungswinkel der Kontur diesen Grenzwert, so kann sich
kein anliegender Stoß mehr bilden Bildung einer abgelösten Stoßfront Für jede Zuström‐Mach‐Zahl M1 existieren zwei Lösungen, also zwei
Stoßwinkel Stoß mit dem kleineren Winkel = schwacher Stoß Stoß mit dem größeren Winkel = starker Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 67___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
M1
anliegender Stoß
abgelöster Stoß
M1
maxmax
Anliegender und abgelöster Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 68___________________________________________________________________________________________________________________
8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß
M1
schwacher Stoß
Kompressionsrampe
starker Stoß
Starker und schwacher Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 69___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐3Ein Überschalleinlauf soll für eine Fluggeschwindigkeit von M = 3,0 so ausgelegt werden, dass die Mach‐Zahl vor dem Verdichter bei M < 0,6 liegt. Ihre Firma steht dabei in Konkurrenz zu dem Unternehmen „Wir machen’s billiger“. Diese bietet einen sehr einfachen Einlauf an, bei dem die Strömung durch einen einzigen senkrechten Stoß auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst wird (Variante A). Ihr Entwurf ist deutlich komplexer und siehtähnlich dem Triebwerkseinlauf der Lockheed SR71einen axial verschiebbaren Kegel im Einlauf vor, der zunächst eine schräge Stoßfront mit einem Winkel von = 40° erzeugt, gefolgt von einem senkrechten Verdichtungsstoß (Variante B).Mit welchen Argumenten könnten Sie den Kundentrotz der höheren Kosten aufgrund des komplexeren Aufbaus von den Vorteilen Ihres Entwurfs überzeugen? Lockheed SR‐71
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 70___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐3 Fluggeschwindigkeit M = 3,0 Mach‐Zahl vor dem Verdichter M < 0,6 Variante A
Senkrechter Stoß Variante B
Axial verschiebbarer Kegel, schräger Stoß = 40°, senkrechter Stoß
M1
senkrechter Stoß
M1
schräger Stoß
senkrechter Stoß
Variante A Variante B
Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 71___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐ 4 In der Messstrecke Ihres Windkanals untersuchen Sie das Strömungsfeld um einen keilförmigen Körper mit einem Halbwinkel von = 15°. Die Mach‐Zahl in der Düsenaustrittsebene und der Messstrecke beträgt Me = 3,0.
1.Welchen Winkel erwarten Sie für den anliegenden, schrägen Stoß an dem Keil?2. Berechnen Sie den dimensionslosen Druckbeiwert cp an der Oberfläche des Keils.
M1
anliegender Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 72___________________________________________________________________________________________________________________
8.5 Expansionsströmungen im Überschall 8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
Umströmung einer konkaven Ecke Strömung wird in sich hineingedreht und komprimiert Verkleinerung des Strömungsquerschnitts Schräger Verdichtungsstoß Unstetiger Prozess
Umströmung einer konvexen Ecke Strömung aus sich herausgedreht Vergrößerung des Strömungsquerschnitts Expansion in einem Verdünnungsfächer Stetiger Prozess
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 73___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
M1
vordere Mach-Linie
hintere Mach-Linie
Verdünnungsfächer
(1)
(2)p1
1
T1 M2 > M1
p2 < p1
2 <
T2 < T1
Umströmung einer konvexen Ecke
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 74___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
Verdünnungsfächer entspricht einer unendlichen Anzahl von Mach‐Linien Diese bilden mit der lokalen Strömung den Machwinkel Begrenzung durch vordere und hintere Machlinie Winkel 1 wird auf die Anströmrichtung bezogen Winkel 2 wird auf die Abströmrichtung bezogen
Stetige Expansion in dem Verdünnungsfächer Keine Entropiezunahme Kein Totaldruckverlust Isentrope Expansion
11
1M
arcsin2
21
Marcsin
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 75___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
Prandtl‐Meyer‐Funktion Beschreibt den Zusammenhang zwischen den Mach‐Zahlen M1, M2 und
dem Umlenkungswinkel
mit
11 ∙
11 ∙ 1 1
Sind die Zuström‐Mach‐Zahl M1 und der Umlenkungswinkel bekannt, kann die AbströmMach‐Zahl M2 implizit aus der Prandtl‐Meyer‐Funktion bestimmt werden
Keine Zunahme der Entropie Totaltemperatur und Totaldruck bleiben konstant
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 76___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
Berechnung von Druck, Temperatur und Dichte über die Kessel‐Gleichungen für isentrope Zustandsänderungen
, ,
, ,
, ,
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 77___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion
Berechnung von Druck, Temperatur und Dichte über die Kessel‐Gleichungen für isentrope Zustandsänderungen
1 12 ∙
1 12 ∙
1 12 ∙
1 12 ∙
1 12 ∙
1 12 ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 78___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐5Luft strömt um eine Expansionsrampe mit einem Rampenwinkel von = 20°. Vor der Umlenkung betragen der statische Druck p1 = 4,5 bar und die statische Temperatur T1 = 200 K. Nach der Umlenkung messen Sie eine Totaltemperatur von T0,2 = 560 K. Luft kann als ideales Gas angenähert werden. Die Expansion erfolgt isentrop (ds = 0).1.Wie groß ist die Zuström‐Mach‐Zahl M1?2. Berechnen Sie die Winkel 1 und 2 der vorderen und hinteren Mach’schen Linie des Expansionsfächers.3. Bestimmen Sie den statischen Druck p2, die statische Temperatur T2 und die Dichte 2 nach der Expansion.
M1
vordere Mach-Linie
hintere Mach-Linie
Verdünnungsfächer
(1)
(2)p1
1
T1 M2 > M1
p2 < p1
2 <
T2 < T1
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 79___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Zweck Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie
Annahmen Stationäre Strömung, alle zeitlichen Derivativa /t verschwinden Eindimensionale Strömung Spezifische Totalenthalpie h0 bleibt längs der Stromlinie konstant
2 2 .
Isentrope Strömung, reibungsfrei (ediss = 0) und adiabat (q12 = 0)
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 80___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Zusammenhang zwischen Querschnittsänderung, Geschwindigkeitsänderung und Mach‐Zahl
Kontinuitätsgleichung
∙ ∙ ∙ ∙ .
differentielle Form
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0
bzw.
0
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 81___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Impulsgleichung für ein bewegtes Kontrollvolumen in differentieller Form Euler‐Gleichung
∙ ∙ ∙1∙
Annahmen‐ Stationäre Strömung: u/t = 0‐ Eindimensionale Strömung: u/y = 0 und u/z = 0
Vereinfachung der Euler‐Gleichung
∙1∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 82___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Impulsgleichung
∙1∙
Eindimensionale Strömung:
also
∙1∙
bzw.∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 83___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Mach‐Zahl
Schallgeschwindigkeit (Laplace – Form)
Eingesetzt in die Mach‐Zahl
Einsetzen der Euler‐Gleichung
∙ ∙
oder
∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 84___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Einsetzen von
∙
in die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
0
ergibt
∙ 0
bzw.
∙ 1
Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐Beziehung
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 85___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐BeziehungZusammenhang zwischen einer Querschnittsänderung dA und einer Änderung der Geschwindigkeit dc
∙ 1
Unterschallströmung M < 1 Querschnittsverkleinerung: dA/A < 0
∙ Querschnittserweiterung: dA/A > 0
∙Überschallströmung M > 1 Querschnittsverkleinerung: dA/A < 0
∙ Querschnittserweiterung: dA/A > 0
∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 86___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.2 Düsenströmung
M < 1Geschwindigkeitszunahme Geschwindigkeitsabnahme
M > 1Geschwindigkeitszunahme Geschwindigkeitsabnahme
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 87___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
Benannt nach Laval, Carl Gustav Patrik de, Schwedischer Ingenieur Kombination einer konvergenten Unterschalldüse mit einer divergenten
Überschalldüse Erstmalige Anwendung 1888 zur Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit
in Dampfturbinen Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐Beziehung
∙ 1
Beschreibt erforderlichen Querschnittsverlauf zur Beschleunigung einer Strömung auf Überschallgeschwindigkeit
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 88___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
Beispiel Raketentriebwerk Brennkammer Hoher Druck, hohe Temperatur, Geschwindigkeit null (= Kesselbedingungen) Expansion des komprimierten Heißgas im konvergenten Teil der Schubdüse Beschleunigung von der Geschwindigkeit null bis M = 1 im Düsenhals Konvergenter Querschnitt erlaubt keine weitere Beschleunigung Beschleunigung über M = 1 erfordert divergenten Querschnittsverlauf
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 89___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
M < 1 M > 1
p0
T0
0
c = 0
M = 0
AH = A* Aa
Ma
x
M* = 1
(1) (a)(*)
pa
Ta
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 90___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
Auslegung des Düsenquerschnitts erfordert eine Beziehung, die den Zusammenhang zwischen lokalem Querschnitt und lokaler Mach‐Zahl beschreibt
Strömungszustände im Düsenhals entsprechen den kritischen oder auch charakteristischen Größen (*)
Kontinuitätsgleichung für den Düsenhals und einen weiteren Querschnitt∗ ∙ ∗ ∙ ∗ ∙ ∙
bzw.
∗
∗∙
∗ ∗∙ ∙
∗
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 91___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
DüsenhalsM = M* = 1 und c* = a*
Kesselgleichung
∗ 11
2bzw.
∗ 21
Beliebiger Punkt in der Düse
11
2 ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 92___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.3 Laval‐Düse
Kritische Mach‐Zahl M*
∗∗
1 ∙2 1 ∙
Flächenverhältnis A/A*
∗
∗∙ ∙
∗
21 ∙ 1
12 ∙ ∙
2 1 ∙1 ∙
Querschnittsflächen‐Mach‐Zahl Beziehung
∗1∙
21 ∙ 1
12 ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 93___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Gedankenexperiment: Aufbau eines Überschall‐Windkanals Konzept
Vakuum‐PumpeDüse Meßstrecke
p0
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 94___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
11
22
2
211
121
MMA
A
52802
110
120 ,ppM
pp
83302
110
20 ,TTM
TT
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 95___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Schritt 1: Düse auf der Zuströmseite zur Umgebung hin offen Ruhedruck = Umgebungsdruck p0 = 1 bar Ruhetemperatur = Raumtemperatur T0 = 15°C Geschwindigkeit vor dem Eintrittsquerschnitt c = 0 Es liegen Kesselbedingungen vor
Schritt 2: Leichte Absenkung des Druck in der Messtrecke Leichte Durchströmung der Düse, keine Überschallströmung Warum?
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 96___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Schritt 2: Konvergenter Teil der Düse: Verringerung des Strömungsquerschnitts führt
zu einer Beschleunigung der Strömung Im Düsenhals wird jedoch noch nicht M = 1 erreicht Im Düsenhals liegen noch keine charakteristischen Bedingungen vor, es gilt
also noch nicht AH = A*
Strömung tritt mit M < 1 in den divergenten Teil der Düse ein Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 97___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Schritt 3: Weiteres Absenken des Drucks in der Messtrecke erzeugt stärkeres
Druckgefälle in Strömungsrichtung Massestrom steigt mit zunehmendem Druckgefälle an Geschwindigkeit und Mach‐Zahl im konvergenten Teil der Düse nehmen zu Druckverhältnis, ab dem im Düsenhals die Schallgeschwindigkeit erreicht
wird, wird durch die Kesselgleichung bestimmt, wenn dort M = 1 eingesetzt wird
∗ 11
2 ∙ 11
2
Für Luft mit einem Isentropenexponent von = 1,4 ergibt das ein Druckverhältnis von p*/p0 = 0,528 (= kritisches Druckverhältnis)
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 98___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Schritt 3: Zu hoher Gegendruck im Düsenaustrittsquerschnitt
‐ kein kritische Druckverhältnis im Düsenhals‐ keine Schallgeschwindigkeit im Düsenhals
Strömung tritt mit Unterschallgeschwindigkeit in den divergenten Teil der Düse ein
Strömung wird wieder verzögert Abnahme von Geschwindigkeit und Mach‐Zahl Zunahme des statischen Drucks Unterschallströmung in der gesamten Düse
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 99___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Schritt 4: Weitere Absenkung des Gegendrucks im Austrittsquerschnitt Kritisches Druckverhältnis im Düsenhals p*/p0 = 0,528 Im Düsenhals wird Schallgeschwindigkeit erreicht Keine Informationsübertragung stromaufwärts mehr möglich Massestrom durch die Düse ist fixiert und kann nicht weiter gesteigert
werden.
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 100___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Problem bei zu hohem Gegendruck im Austritt Kritisches Druckverhältnis wurde zwar erreicht, Austrittsdruck liegt jedoch
über dem Druck entsprechend isentroper Expansion Senkrechter Verdichtungsstoßes im divergenten Teil der Düse Statischer Druck steigt an, Mach‐Zahl verringert sich zu M < 1 Unterschallströmung stromabwärts des Stoßes bewirkt
Geschwindigkeitsabnahme und weitere Druckerhöhung Druck steigt im divergenten Teil der Düse hinter dem Stoß soweit an, bis er
im Austrittsquerschnitt wieder den Wert des Gegendrucks erreicht Weiteres Absenken des Gegendrucks im Austrittsquerschnitt bewirkt, dass
der Stoß weiter stromabwärts an den Austrittsquerschnitt wandert Bei Erreichen des Gegendrucks pa = pa,isentrop verschwindet der Stoß Angepassten Düse
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 101___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.4 Angepasste‐Düse
Laval‐Düse mit Stoß im divergenten Teil
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 102___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.5 Nicht‐angepasste‐Düse
Überexpansion Strömung expandiert im Austrittsquerschnitt auf einen Druck, der unter
dem Umgebungsdruck liegt, pa < p Strahl versucht den Druck zu erhöhen Schräge Stöße Strahleinschnürung
Unterexpansion Strömung expandiert im Austrittsquerschnitt auf einen Druck, der über
dem Umgebungsdruck liegt, pa > p Strahl versucht den Druck zu verringern Verdünnungslinien (Prandtl‐Meyer‐Expansion)
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 103___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.5 Nicht‐angepasste‐Düse Strahlrand
Stoß
Strahlrand
Strahlrand
Verdünnungslinien
a)
b)
c)c) Unterexpansion
b) IsentropeExpansion
a) Überexpansion
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 104___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.6 Verdichtungs‐ und Verdünnungswellen in Überschallfreistrahlen
Strahlrand
Stoß
a)
b)
VerdichungswellenVerdünnungswellen Verdünnungswellen
VerdichungswellenVerdünnungswellen Verdünnungswellen
Überexpansion
Unterexpansion
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 105___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.6 Verdichtungs‐ und Verdünnungswellen in Überschallfreistrahlen
Raketentriebwerk: T = 1500 K, c = 2200 m/s, M = 3 (Dubs, 1975)
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 106___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.7 Ausströmgeschwindigkeit
Verhältnis der beiden Kessel‐Gleichungen für Druck und Dichte
∙1 1
2 ∙
1 12 ∙
11
2 ∙
bzw.
11
2 ∙ ∙
Zustandsgleichung des idealen Gases p/ = RT
Schallgeschwindigkeita2 = RT
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 107___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.7 Ausströmgeschwindigkeit
Verhältnis der Kesselbedingungen
12 ∙ ∙
Ausströmgeschwindigkeit
2 ∙1 ∙
Formel von Saint–Venant und Wantzel
2 ∙1 ∙ ∙ 1
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 108___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.7 Ausströmgeschwindigkeit
Theoretisch maximale Ausströmgeschwindigkeit cmax ergibt sich beim Ausströmen gegen Vakuum, also p = 0
2 ∙1 ∙
Crocco‐Zahl CrVerhältnis der Ausströmgeschwindigkeit c zur maximalen Ausström‐geschwindigkeit cmax
1
Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 109___________________________________________________________________________________________________________________
8.5.7 Ausströmgeschwindigkeit
Mach‐Zahl Me im Austrittsquerschnitt Ae der Düse wird durch das Flächenverhältnis Ae / A* festgelegt
Querschnittsflächen‐Mach‐Zahl Beziehung
e∗
1e∙
21 ∙ 1
12 ∙ e
Statische Temperatur Te im Abgasstrahl ergibt sich aus der Kesselgleichung über die Brennkammertemperatur T0
11
2 ∙
Ausströmgeschwindigkeit ∙ ∙ ∙
Aerodynamik Gasdynamik – Diffusorströmung 110___________________________________________________________________________________________________________________
8.6 Diffusorströmung
Zweck Umwandlung von kinetischer Energie in Druckenergie Einsatzbereiche: Druckrückgewinnung in einem Windkanal beim
Verzögern der Strömung auf Unterschall vor dem Kompressor Auslegung von Düsen und Diffusoren mittels der Methode der
Charakteristiken
schräge Stöße
M1 > 1
p0,1
M2 < 1
p0,2 < p0,2
schwacher senkrechter Stoß
Überschalldiffusor
Aerodynamik Gasdynamik – Diffusorströmung 111___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐6 Auslegung eines Überschallwindkanals
Auslegungsmachzahl: Me = 2.5Konische Düse, Austrittsdurchmesser: De = 1 mUmgebungsluftdruck: p = 1 bar
1. Berechnen Sie unter der Annahme einer angepassten Düse und für Luft als ideales Gas den Durchmesser D* des Düsenhalses A*2. Berechnen Sie für die folgenden Konstruktionsvarianten den erforderlichen Kesseldruck p0 vor der Expansion in der Düse und den statischen Druck pe in der Meßstreckea) Der Kanal soll über eine offene Meßstrecke verfügen, die Düse expandiert direkt in die freie Umgebungb) An das Düsenende wird ein zylindrisches Segment (Meßstrecke) angefügt. Anschließend strömt die Luft in die freie Umgebung. Am Ende des zylindrischen Segments steht ein senkrechter Stoß
Aerodynamik Gasdynamik – Messung der Strömungsgeschwindigkeit 112___________________________________________________________________________________________________________________
8.7 Messung der Strömungsgeschwindigkeit
Unterschallströmung, inkompressibel (M < 0,3)
p1p0,1
Pitot‐Rohr Messung des Totaldrucks in einer Unterschallströmung
.constpVp , 12
1110 21
1
1101
2
ppV ,
Aerodynamik Gasdynamik – Messung der Strömungsgeschwindigkeit 113___________________________________________________________________________________________________________________
8.7 Messung der Strömungsgeschwindigkeit
Unterschallströmung, kompressibel (M > 0,3) Berücksichtigung des Einflusses der Kompressibilität Kessel‐Gleichungen
121
1
10
211
Mpp ,
11
21
1
102
11
ppaV ,
Aerodynamik Gasdynamik – Messung der Strömungsgeschwindigkeit 114___________________________________________________________________________________________________________________
8.7 Messung der Strömungsgeschwindigkeit
Überschallströmung, kompressibel (M > 1) Berücksichtigung des senkrechten Stoßes vor dem Pitot‐Rohr Rayleigh‐Gleichung: Kombination der Stoßbeziehung mit Kessel‐Gleichung
p1p0,2p0,1
Pitot‐Rohr in einer Überschallströmung
121
1241 2
11
21
21
2
1
20
MM
Mp
p ,
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 115___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Indicated Airspeed (IAS), angezeigte Geschwindigkeit Am Fahrtmesser abgelesene Geschwindigkeit Fahrtmesser sind auf die Bedingungen der Standard‐Atmosphäre (ISA) auf
Meereshöhe kalibriert Fahrtmesser zeigt nur auf der Höhe h = 0 bei ISA‐Bedingungen unter
Vernachlässigung der Systemfehler (Instrumenten‐ und Einbaufehler) die wahre Eigengeschwindigkeit (TAS) an
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 116___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Calibrated Airspeed (CAS), berichtigte Geschwindigkeit Korrektur der angezeigten Geschwindigkeit (IAS) um die Systemfehler
ergibt berichtigte Geschwindigkeit (CAS) Messgenauigkeit der Prandtl‐Sonde nimmt bei hohem Anstellwinkel
infolge der Staupunktverschiebung ab (Landeanflug) Abweichung zwischen IAS und CAS nimmt mit zunehmendem
Anstellwinkel zu Bei höheren Geschwindigkeiten (Klappen eingefahren, kleiner
Anstellwinkel) ist die Abweichung in der Regel vernachlässigbar
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 117___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
True Airspeed (TAS), wahre Eigengeschwindigkeit Druck und Dichte nehmen mit zunehmender Höhe ab Angezeigte Geschwindigkeit (IAS) ist immer kleiner als die wahre
Eigengeschwindigkeit (TAS) Fahrtmesser zeigt näherungsweise pro 1000ft Höhe um 2% zu wenig an In 10.000 ft Höhe liegt die TAS um 20% über der angezeigten
Geschwindigkeit
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 118___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Umrechnung True Airspeed (TAS) zur Calibrated Airspeed (CAS) Statisches Druckverhältnis
Statisches Temperaturverhältnis
Θ
mit,
folgt
Θ ∙1 1
1 1
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 119___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Equivalent Airspeed (EAS), äquivalente Geschwindigkeit Bei niedrigen Geschwindigkeiten (M < 0,3), das heißt bei Vernachlässigung
der Kompressibilität, wird die angezeigte Geschwindigkeit mit der Dichte auf Meereshöhe MSL korrigiert.
Verhältnis von TAS zu EAS
Θ
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 120___________________________________________________________________________________________________________________
8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen
Ground Speed (GS), Geschwindigkeit über Grund Geschwindigkeit, die sich aus der Projektion des Flugwegs auf den Boden
beziehungsweise aus der Messung mittels GPS oder einer Radar‐Erfassung ergibt
Fluggeschwindigkeit, die um den Windeinfluss korrigiert ist Bei einer Windgeschwindigkeit von null gilt GS = TAS
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 121___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐7 Überschall‐Verkehrsflugzeug
Ein Überschallverkehrsflugzeug erhält die Freigabe auf FL360 zu steigen. Zum Zeitpunkt der Freigabe werden von dem Luftdatensystem folgende Größen gemessen:‐ Statischer Umgebungsdruck: p = 160 hPa‐ Statische Umgebungstemperatur: T = ‐53,9 °C‐ Totaltemperatur vor dem Triebwerkseinlauf: T0 = 159 °C
‐ Luft kann als ideales Gas angenommen werden‐ Temperaturgradienten entsprechen ISA
Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 122___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 8‐7 Überschall‐Verkehrsflugzeug
1. Liegen an diesem Punkt ISA‐Bedingungen vor? Kurze Begründung!2. Berechnen Sie mit den Angaben des Luftdatensystems das QNH (Luftdruck, bezogen auf Meeresniveau), wenn die statische Temperatur am Flugplatz beim Start T = ‐34,85 °C betrug und der Platz auf einer Höhe von h = 615 m liegt.3. Berechnen Sie die Flugmachzahl M aus den Werten des Luftdatensystems.4. Berechnen Sie den Totaldruck pt. vor dem Luftdatensystem.5. Berechnen Sie den Druck p0,2, der am Pitot‐Rohr des Luftdatensystems anliegt.6. Im Einlaufkanal steht Ihnen zwischen den Ebenen AE und Ax eine regelbare Rampe zur Verfügung. Welchen Rampenwinkel müssen Sie einstellen, damit in der der Ebene Ax die Normalkomponente der Machzahl vor dem Stoß Mn,1 = 1,414 beträgt?7. Berechnen Sie die Machzahl Mx in der Ebene Ax.8. Wie groß muss das Flächenverhältnis AE/Ax sein?