8 ()( ) · PDF fileGM_AU008 **** Lösungen 3 Seiten (GM_LU008) 1 (3) © Gymnasium...

GM_AU007 **** Lösungen 2 Seiten (GM_LU007) 1 (2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium

Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Vereinfache und fasse zusammen: 1. ( ) ( )5 83 : 3− −− − =

2. 7k 2k 181 2:

36 3

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. ( ) ( )m 1 m0 mx x x

−⋅ ⋅ =

4. ( )23

3 3

aba b

−−

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

5. ( )( )

254 4m 3 4

2 2m 3

a b c 2 a:b cabc

−− − − −

− − −

− ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

6. k 2 k 1

k 1 k 2

3b b 2 bb b

+ −

+ −

− −− =

7. ( )( )

25 2m 1 m

2m 4n 2 2n m1

a c c:a ba b

− − − −

− −−

− ⎛ ⎞=⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

8. ( )

3 kk 1 k 3

2k 5 32k 1

y 4 y:64a ba b

−− −

−− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

9. ( )3k 13 6a 1 b− −

−⎡ ⎤− − =⎣ ⎦

10.

( )

1 2

1

11

1 x x1 x1

1 1 x

− −

−

−−

− +=

−−

− −


Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten Lösungen ohne Lösungsweg

1. 27

2. 12k 12k 12 31,5

3 2

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.

21 mx − 4. ( )23 3b a−

5. 5 13

8

b c2⋅

−

6. ( )2 k3 2b b−− ⋅ 7. 1 8n 4mc b− −− ⋅ 8. k 3 3k 3a b y− + −⋅ ⋅ 9. ( ) 3(3k 1) 6(3k 1)a 1 b− + +− − ⋅ 10. x -1


Gymnasium

Potenzen Potenzen mit rationalen Exponenten

Vereinfache und fasse zusammen:

1. ( )1

6 612a 3 b−

⎡ ⎤− =⎣ ⎦

2. 1 2 1 22 2+ −⋅ =

3. ( ) 3 13 1x

+− =

4. ( )1

6 62x 3⎡ ⎤− =⎣ ⎦

5. ( )( )

32

12

2x 1

8x 4

+=

+

6. ( )

52 43

1,4 412

w : v wv

−

−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

7. ( ) ( ) ( )32 1

1 1,5 23 2x x xy− −− − −⎡ ⎤

⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦

8. 2

1 3 1 43 38x x y 12y x y xy−− −

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎝ ⎠

9.

1 14 4

11 1 124 2 4

x b x a

bx 4abx x a

− −

− − −

−=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠


10.

6 65 5

3 35 5

a b

b a

− −

− −

−=

−

11.

13 3 3

28 5

215 3 3

116 10

64x y z

125x y z

−

−− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12.

2 1 13 3 2

23

x x y

y x

−=

−

13.

29 3

34

32 4

23

8x y

1 x y16

−−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

14.

1 1 11 1 13 3 32 2 2

2 1 213 3 32

y y x x x y

x y y 2y x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠− =− + +

15. 53 154

xaax :x a

⋅ =


Potenzen mit rationalen Exponenten Lösungen ohne Lösungsweg

1. ( ) 1 2a 3 b− −− 2. 4 3. x2 4. 2x - 3 5. x + 0,5

6. 35 46 3w v

−⋅

7. 4 3x y− ⋅

8. 2

1,5 34x y−

9. ( )20,5 0,5

b a

a b

−

+

10. 3 35 5a b

− −− −

11. 0,5100x−

12. 13

1 13 2

x

x y−

+

13. 0,52xy− 14. -1

15. 1162a x

−⋅


Gymnasium

Potenzen - Gemischte Aufgaben Vereinfachen Sie unter der Voraussetzung, dass alle Variablen aus R+ sind:

1. 32 3 2a b a b− − − =

2. ( )2 3 33 23 1

m 1 m m m 3

12 a 4a a 40: :15x 5x 20x x a

− −−

+ − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3. 33 2

4 32 6 5

bc a a ac. :a bb c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

4. 22 3

433 6 5

y yz y:xy x z xz

⋅ =

5. 1

2n 1 2n 4n n 2n 1

3 n 1 n 5 3n 1

2 3 2 3:3 2 3 2

+ − +

− + + +

⎛ ⎞⋅=⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

6.

311 2

23233

5 16 3

a b a3b a abb

4b a

−−

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

7. 3 4 2n 1 m n 1 0 2 4 2n 5n 2

2n 4 1 m 2 1 n 2 3n 4m 12

ab x y a c x a y: :y c x a a c b x

− −− − +

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. ( )( )1 p m p 2

m 3 p 1 m 1 p 1 3 3 2 2m 1

d a da d a d 2a d a da 2

− −+ − + − − + − −

+

⎛ ⎞+ + − − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

9. 3n 1 3n 3n 1

2n 1 2n 1

y 2y yy y

+ −

+ −

− +=

−

10. 2 5

2n 1 2n 1 2n 4

x 4 x 1 2xx x x+ − +

− −− − =

11. ( ) ( )2 2m 3 2 32 23 5 0

1 m 2 3

b c ca : c bb b a

−−− −−− + − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅− ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Potenzen - Gemischte Aufgaben Lösungen ohne Lösungsweg

1. 54a

− 2. - 0,16a6 x2

3. ( ) 4

14 c

bcb =

4. ( ) 4

14 x

zxz =

5. 18

6. 1 34 45a b⋅

7. 3 4n 6n 3 11m 24 7n 6a b x y− − − − − −⋅ ⋅ ⋅ 8. (a - d)2

9. n y 1y y 1−⋅+

10. 3

2n 1

4 xx +

− −

11. 2c10


Gymnasium

Potenzgleichungen

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

1. 132 x 1,25− =

2. 10532x 8=

3. ( )1,5 3 1,51x 10 10 3x8

− = +

4.

15 22x 7 0,2

−−⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎝ ⎠

5. ( ) ( )4 23 33x 33 8 3x− = −

6. ( ) ( )1 13 6x 2 x 2 6− − − =

7.

13 2

3281x 729 0,5 3−

− −⎛ ⎞+ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

8. ( )132 17 3 5x 1= − −

9. ( )3

1,52 1x 25 8x 10011

− = +

10. ( ) ( )5 56 330 x 3 x 3 64⋅ − = − −

11.

3 44 2 33 14x 17 9

27

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

12. ( ) ( )10 53 332 3 x 127 3 x 4− −

− + − =

13.

3 44 2 33 14x 16 4 0

8

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


Potenzgleichungen Lösungen ohne Lösungsweg

1. 2764

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

2. { }16 3. { }36

4. 14

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

5. { }3 6. { }731 7. { }23− 8. { }2 9. { }25 10. { }67 11. { }8 12. { }5− 13. { }0

Gymnasium / Realschule

Exponenzialgleichungen - Teil 1 Klasse 10


Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G = R 1. 5x x 12 8 4 −= ⋅ 2. x 1 x3 7 81+ ⋅ = 3. 2x 1 x9 9 5 −= ⋅ 4. x 1 x 2x5 2 7+ = ⋅ 5. ( )4x 10

2x 3 x 23 9 3 63+

+ +− + = 6. 6x 5 3x 2 2x 12 3 4 8 384− − −+ ⋅ − = 7. 2x3x 1 x 2x 8 4+ +=

8. x 1 x 1 x 24 5 6

5 6 7

+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. x 2x6 6 56+ = 10. ( )3x 42x 39 81

−− =

11. x 3 3 x1 1

2 3

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12. 1 3x

x 5 15 03

−+ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

13. 4x 2 2x 3 2 x2 4 5− − −+ = 14. 4x 3 2x 1 x3 2 20 4 3 5+ − −⋅ − ⋅ = ⋅ 15. 2x 7 x 1 x11 2 3− −⋅ = 16. 2x 5 x 22 3 2 1+ +− ⋅ = − 17. 2x 1 x 2 2x 1 x 13 5 4 8 2 18 9+ + − ++ ⋅ = ⋅ + ⋅ 18. x 0,5 x 1 1,52 5 4 5 0,25− + −⋅ − ⋅ =




19. x 3 x x 4 5 x 120 3 3 129 3 3 3− − −⋅ + + ⋅ − =

20. ( ) ( )2 17xx 17x 1,7x34 2 2 0,5 324

−= − − ⋅

21. ( )1,5

x x 312 5 2 29

−− +⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

22. ( ) ( )2 10x 2 x 1010 2+ += 23. 2x 2x8 4 2 8 14+ + ⋅ =

24. 11x 9 3

x x5 17 3

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

25. ( )

2x x 3x 3

2 x 12x 1

2 10 1 2,544 5

+−

−+

⋅= ⋅

⋅

26. x 1 2x 2 3x 3 4x 42 3 5 : 7− + − −⋅ = 27. ( ) ( )x xx 2 x 1010 2+ += 28. x 1x x5 4 1000−⋅ = 29. x x x1000 4 100 10 25⋅ + ⋅ =

30. 2x 5

x 3 x8 9 3 6+

−⋅ = ⋅

31. ( )2lg x 2 lg x 1 lg x13 6 12 418

+ ++ ⋅ = ⋅

32. ( ) ( )x x3 42 3=




Ergebnisse (ausführliche Lösungen in GM_LU011)

1. 13

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

2. { }1,0825...

3. { }0,63403... 4. { }0,5409...

5. { }0,5− 6. { }2

7. 18

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

8. { }1,06432...

9. { }1,086... 10. 52;6

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

11. { }3 12. { }5,42327...

13. { }1,03709... 14. { }0,42123...−

15. { }2,7148... 16. { }2; 3− −

17. { }0,91027...− 18. { }1

19. { }4 20. { }0,25; 4

21. { }1; 3− 22. { }25,83688...−

23. 56

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

24. { }0,072297...

25. { }4 26. { }0,24826...

27. { }0; 1,44541... 28. { }3; 1,4307...

29. { }5,1215... 30. { }5; 0,8155...−

31. { }26243,55... 32. { }1,6009...−

GM_AU012 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU012) 1(2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium

Exponentialgleichungen - Ungleichungen Ermittle jeweils die Lösungsmenge: G = R

1. n

65 106

−⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

2. 5 3log x log x3 5> 3. x 12 5x5 2 −<

4. x 1

2x 32 23

−+⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

5. 2x x 15 5 6 0+− + < 6. ( )x x2 2 1 2−≥ + 7. 1 x 2x1 3 2 3 0− −+ + ⋅ >

GM_AU012 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU012) 2(2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Exponentialgleichungen - Ungleichungen Lösungen ohne Lösungsweg

1. ] [75,7755...; ∞ 2. ] [0; 1 3. ] [; 1,63891...− ∞ 4. ] [0,93426...;− ∞ 5. ] [0,43068...; 0,68261... 6. ] [1,44998...; ∞ 7. R


Gymnasium

Logarithmusgleichungen - mit 1 Unbekannten Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G = R Gib gegebenenfalls die Definitionsmenge an ! ( Beachte: log (T(x)) nicht def. für T(x) ≤ 0 ) 1. 3log x 3= − 2. ( )64lg x 2= − 3. lg 6x 4 1,5+ = 4. ( )lg 3x 2 1− = −

5. 1lgx 3 lg x2

= −

6. ( )2 lg x lg 4x 4 0− − =

7. 1 10,5 lg xlg x 2

+ =

8. ( )5 5 5log 2 log x 9 1 log x+ − + =

9. 10

10 10

10lg x10 10

=⋅

10. ( )3 3log x 4 log x 2 0+ − − = 11. ( )2lg x lg x 6 0− − = 12. ( )22 lg x 5lg x 3 0− − = 13. 1 lg x 2x 10+ = 14. 3 1 lg xx 10 x += ⋅ 15. 2 3 2lgx10x x += 16. ( )lg xlg x 9=


17. ( )lg x100x 1000= 18. lg x 4x 10= 19. ( )2lg x lg x 0,75− = 20. ( )2

2 2 2log 5 log x log 1 x 1+ − + = 21. ( )log x 2 logx log3 0+ + − =

22. ( ) xlg 4x lg 1 lg25

+ = +

23. 2 2

2 1 16 log x log x

+ =−

24. ( ) ( )2 2lg x 3 lg x 3 2lg x lg 8− + + = + 25. ( ) ( )3 3 32log x 5 log x 3 2 log 2x 1+ + + = + − 26. ( )lg x 1 2lgx lg6+ − = 27. x x 2xlog 2 log 3 log 4+ = 28. 2 22log x 4log x 1 0− + = 29. ( ) ( )2 2 2log x 3 log x 2 1 log x+ + − = + 30. x 5log 5 log x 4+ = 31. ( ) ( ) ( )lg 2x 1 22x 1 x 0,5−

− = −

32. ( )ln 3 x 0,5 ln x0,5

ln (x 1)− −

=−

33. 2

10lgx 2

100x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

34. ( ) ( )2

3 9log x 2 log x 1− + = 35. ( )0,5 lg x 7 lg 2 1 lg x 2⋅ − + = − − 36. ( ) ( ) ( )5 550,5log x 2 2log 3x log 2x 1+ = − +


37. ( )( )2lg x 3 1x x1000

− =

38. ( )( ) ( ) ( )lg x 2lg x 2 lg x 2x x x 2− −= ⋅ −

39. ( )lgx lg31lg3 x3

= ⋅

40. ( ) ( )lg 3x2lg 3x lg x lg 2 1,5− + =


Gymnasium

Logarithmusgleichungen - Ungleichungen Ermittle jeweils die Lösungsmenge: G = R 1. 2log x 3> 2. ( )3log 2x 3 4− > 3. 2,5 lg x 1− ≤ ≤ − 4. ( )0,5 lg 3x 1,5< < 5. 8 82log x 4log x 1> + 6. ( )3 3log x log 8 5x 1+ − >

7. 2 lgx

1 lgx1 22

+−⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

8. lg x 2≥ 9. lg x 0,1≤ 10. lg x 5 0,5− ≤ −



Definitionsmenge bestimmen Klassen 9 - 11

Bestimme die maximale Definitionsmenge Dmax für folgende Funktionen:

1. x x x3 2− 17. xx n1−

mit n ∈ Z+

2. xx

5

22 + 18. x x

lxl

3. xx

32−

19. xx

x2

12

−

+

4. xx

2

22 − 20. x x

x3 64 2

++

5. x x xx

6 23 4

2 −+

21. x x x2 20+ −

6. x x x

x x

2

28

6

− +

+ − 22. x

x

6

9 3 2− −( )

7. xxn1 mit n ∈ Z+

8. x lxl − 3

9. x lx l− −12 3 1

10. xlxl

12−

11. xx lxl

3+

12. xx

xx

15 2

36−

++

13. x x−

14. x x− oder x x− −

15. x lxl

16. x x− 2 Allgemeines: Die maximale Definitionsmenge ist immer R. Nur dort, wo der Nenner eines Bruches

Null werden könnte, oder wo der Radikand einer Wurzel negativ werden könnte, müssen die entsprechenden Zahlenbereiche bestimmt und von R ausgeklammert werden.



Ungleichungen mit Beträgen Klassen 7 - 11

Gib die Lösungsmenge in der Grundmenge R an:

1. |x| < 4 2. |x| > 4 3. |x - 2| ≤ 4 4. |x - 3| ≥ 7 5. |x + 5| < 1 6. 3 ≤ |2x| ≤ 5 7. x + |3x| < 6 8. |x2 + 2| > 6

9. 5 2x

4 x 2−− +≥


Bruchgleichungen mit Variablen Klasse 7 - 9


Ermittle jeweils die Lösungsmenge für x mit D = . Führe wo notwendig eine Fallunterscheidung durch um den Gültigkeitsbereich der Variablen zu bestimmen.

1. x q1p p+ =

2. ab cx

− =

3. c c 1bx ax

− =

4. px - q = qx + p

5. b - ax = a - bx

6. px - pq = pr - px

7. cx - d = x

8. ax - bx = cx

9. r2 + sx = s2 - rx

10. x xrq p− =

11. x x ba− =

12. x x m nm n− = −

13. 5(a - x) = 3(b - x)

14. x(a - b) = a(b - x)

15. pq - r(x + s) = (x - r)s

16. (p + x)(q + x) = (p - x)(q - x)

17. x a x b 2b a− −

+ =

18. x a x c 2(b c) x bbc ab ab ac− + − +

− = −

19. x x ba b a

−=

−

20. px q pxp q p q−

=− +

21. x 1 ax 1 b+

=−

22. x 1 x 1 2x a x b− +

+ =+ −

23. m n 1 m n 1x m n x m n− +

− = −+ −

24. 2

2 2 21 px p 1 1

m mp m x mpx mx mp p−

− = −+ + +

25. 2 2

2 2 2

b 1 x a 6a 3b ax 0ax a b bx ab bx a b

+ + +− + − =

+ − −

26. x a x a 2x a x a− +

+ =+ −

27. 2

2 2

a 1 a 2 4a a2x a 2x a 4x a

− + −+ =

− + −

28. 2

2 2

a 1 a 2 4a 5a2x a 2x a 4x a

+ − −+ =

+ − −



Ungleichungen Klassen 7 - 11

Bestimme die Lösungsmenge (Grundmenge ist jeweils ). 1. 4x - 1 < x + 8

2. 2x + 9 > 7 - 4x

3. a - 2x < b - 3x

4. 2 53x x 43 2

− > −

5. 2 x 4x 33 2− −

<

6. x 3 x 22 3+ +

>−

7. 5 - x > 2x + 11 ∧ 3x - 7 < 4x - 2

8. 5x - 1 > 3(x + 1) ∧ 3x + 2 < 7 - 2x

9. 1 1x

>

10. 1 1x

<

11. 1 2x 1

<+

12. 5 14 x 2

>−

13. 5 14 x 2

<−

14. 3 42x 5

>+

15. 3 42x 5

<+



Gleichungen mit Beträgen Klassen 7 - 9

Bestimme die Lösungsmengen (Grundmenge ist jeweils ). 1. 3 ⋅ I x I = x + 4

2. 3 ⋅ I x I = - x - 4

3. 4 ⋅ I x I = 2(x + 3)

4. 2 ⋅ ( I x I -1 ) = 1 - x

5. 2 ⋅ ( I x I -1 ) = x - 5

6. I x I - x = 0

7. I x I - x = 6

8. 2( Ix I + x) = 2 ( I x I + 2)

9. I x I ⋅ ( x + 1) = x(2 + I x I ) + 3

10. Ix - 2I = 2x - 1

11. I2 - xI = 2x - 1

12. Ix - 2I = -2x + 1

13. Ix + 2I = 0,5x + 3,5

14. I2 - xI = 0,5x + 3,5

15. I2x + 1I = x + 5

16. I2x - 1I = x - 2

17. I2x + 3I = 3x + 5

18. 2x + 3 = I3x + 5I



Ungleichungen mit Beträgen Klassen 7 - 11

Bestimme die Lösungsmengen (Grundmenge ist jeweils ). 1. 2 ⋅ I x I ≤ 3 - x

2. 2 ⋅ I x I > 3 - x

3. Ix - 3I < x - 1

4. Ix - 3I > x - 1

5. Ix + 3I ≥ 5 + 3x

6. Ix + 3I ≤ 5 + 3x

7. I2x + 3I > 3(x + 4)

8. I2x + 3I < 3(x + 4)

9. I2x - 3I ≤ 3 - 2x

10. I2x - 3I ≥ 3 - 2x

11. 5 ⋅ I 2x+5 I < 29 + 8x

12. 5 ⋅ I 2x+5 I ≥ 29 + 8x

13. I3x - 1I > 12 - x - I3x - 1I

14. I3x + 1I < 5x + 11 - 2 ⋅ I3x + 1I

15. I3x + 2I - 5(x + 2) ≤ 2(x - I3x + 2I)

16. I2x + 4I - 2(x + 5) < x + 5 - 2 ⋅ I 2x + 4I


Potenzen und Wurzeln - Übungsaufgaben Klasse 10


1. Vereinfache die folgenden Terme

a) ( )432a− b) ( )523x− c) ( ) ( )4 33x 3x⋅ d) ( ) ( )3 42a 2a −⋅

e)

1611 82a

−−

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

f) ( ) 0,272 0,46p : p−

g) 2r

r ssx

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h) ( )

( )( )

43 3

433

g 2h

8g h

− ⋅

⋅ −

i ) ( )62

2 35 a b−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

j ) ( )43

2 33 x z−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

k) 44 2

3 2

3 x y 8a b4ab 9 x y

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ l )

5 52 4

2

6 x y 10ab5a b 3 x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

m) ( ) ( ) ( )30 3 23 2 3 12 9 10

4 3 5 3

−⎛ ⎞⋅ + ⋅ − ⋅ + ⎜ ⎟−⎝ ⎠

n) ( )4 88 : 4−− o) ( ) ( )53 122 2−

− ⋅ −

2 Berechne die folgenden Terme

a) ( )2 3 2 5 3 3 4 33a b 5a b 6a b 2a b−− + ⋅ b) ( )2 3 2 5 3 3 3 55 x y 4 x y 3 x y 2x y− −− + ⋅

c) ( ) ( )p q p q2x y 2x y+ ⋅ − d) ( ) ( )n m n ma 3b a 3b+ ⋅ −

e) ( )( )

22 2

3

a b

a b

−

+ f )

5

7 21 x 1

x x− +

g) ( )( )

2n 1

2n 2

3a 2b

3a 2b

−

+

+

+ h) ( )

( )

3m 2

3m 3

2x 3 y

2x 3 y

−

−

+

+ i )

( )( ) 23

3 2

2222

−−

− −

−− −−

j ) ( )

( )2

2 36 83 9

1 16 2 b : b2 b

−−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠ k) ( )( ) ( )m 2 m 14 2 2 2a a a 1 a 1

− −+ + + +

3 Berechne die folgenden Terme

a)

343 232

1 23 3

a b

b c

−−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) m mm

2 n nn

2 2 2a a 1x x a x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

c) 2 2m n 2 m 1 n 1 3

3 2 45a b c a b c

8d 8 d

−− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d) ( ) ( ) ( )

1 22 1,5 12 3

3

x y x y x− −− − −⎡ ⎤

⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

e) ( ) ( ) ( )n nn m m2 m a aa : :b c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

f ) p 1 p 1 2

q q qx : x x+ − −

⋅


Potenzen und Wurzeln - Übungsaufgaben Klasse 10


4 Berechne die folgenden Terme nach der verallgemeinerten binomischen Formel a) ( )42 2 3 42x y 3 x z− − b) ( )43 3 2 32a b 5a c−− 5 Vereinfache die folgenden Terme

a) 3 2 3 3 4 3

3 6 3 3

2x y 16 x y:

3ab 81ab

− −

b) 4 2 3 4 6 5

4 4 4 5 8

64a b 4a b:

x y 81x y

− −

c) 2

18x2x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) 2

12a8a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ e) 33 3⋅ f) 3 42 52 2⋅

g) 4 63 55 : 5 h) 53 9 : 27 i) 6 412 2

⋅

j) 32 4⋅ k) 3 x x l) 3 2 1x y x y−

m) 5 2 6 2a b a b− n) 3 4

64 216⋅

o) 3 42 2

2⋅

p) 3

46

617 17

17

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

q) 125 5z z

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

r) 3

43

2418

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

s) 1313

t ) 3

1125

u) ( ) 32 2

r sr sr 2r s s

−++ +

6 Bestimme die Lösung (Definitionsmenge beachten) G =

a) 3 24 x 2− = b) 4 220 x 2− =

c) 3 7x 6 3 7− + = d) 3 34 5x 8 3 9x 1− = +

e) 1

5 22x 7 0,2

−−⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ f )

3 32 21z 25 8z 10011

⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 0,75 1,524a a 81= − h) 2x 1 2x 2 12x 2

+ = + ++


Exponenzielle Wachstums- und AbnahmevorgängeKlasse 10


Was versteht der Mathematiker unter Wachstum oder Abnahme (Zerfall oder negativesWachstum) mit exponenziellem Charakter ?Wachstum oder Abnahme wird als exponenziell betrachtet, wenn sich der Vorgang durcheine Exponenzialfunktion beschreiben lässt.Charakteristisch daran ist, daß sich eine Größe pro Zeiteinheit um einen festen Prozentsatzändert (z.B. pro Stunde um 5% zunimmt). Oder etwas allgemeiner formuliert:Die in Betracht kommende Größe ändert sich in gleich langen Zeitintervallen um den gleichenFaktor. Der relative Zuwachs, auch Wachstumsrate genannt, ist immer konstant.Genau genommen geht es nicht immer nur um zeitliche Abläufe sondern ganz allgemein umdas Verhalten einer Größe in Abhängigkeit von einer anderen (wie z.B. die Lichtdurch-lässigkeit als Funktion der Dicke einer Glasscheibe).

Beispiele für dieses Wachstumsverhalten finden sich in Physik, Chemie, Biologie, aber auchin der Medizin oder im Finanzwesen:

+ Radioaktiver Zerfall von Atomen+ Wachstum einer Bakterienkultur oder einer natürlichen Population während eines begrenzten Zeitraums+ Aufladen eines Kondensators im Gleichstromkreis+ Luftdruckveränderung mit der Höhe+ Verzinsung eines Kapitals

Neben kontinuierlichen Wachstumsvorgängen bezeichne ich das Wachstum, das nur inbestimmten Schritten erfolgt, als schrittweises exponenzielles Wachstum.Ein Beispiel hierfür wäre die Berechnung von Zinseszinsen. Im Allgemeinen werden Zinsennicht sofort und ständig, sondern nur zu bestimmten Terminen (z.B. Monatsende) gutgeschrieben. Dazwischen weist das Konto keine Veränderung auf.

Auf unserer Erde wird jedes natürliche Wachstum durch äußere Einflüsse begrenzt.Irgendwann stößt das Wachstum an Grenzen, die den Prozeß verlangsamen und die Grenzendes Wachstums bestimmen.Damit gelten alle Wachstumsmodellrechnungen nur für einen bestimmten Zeitraum.Das Wachstum der Weltbevölkerung war zwischen dem Jahre 1700 und 1960 konstant.Es verdoppelte sich etwa alle 35 Jahre. Würde dieses Wachstum aber bis zum Jahre 2500ebenso fortdauern, wäre eine Bevölkerungszahl von ca. 150 000 Milliarden Menschen zuerwarten. Das ist vollkommen unmöglich.Dennoch sind die mathematischen Modelle eine fundierte Grundlage um Vorhersagen oderauch die Grenzen des Gültigkeitsbereiches zu ermitteln.

Die Exponenzialfunktion läßt sich mit beliebiger Basis oder mit der Basis e darstellen.In den Lösungen zur nachfolgenden Aufgabensammlung wird die Basis e nicht verwendet(bis auf eine Ausnahme). In einer Parallel-Datei möchte ich, wenn es die Zeit erlaubt,alternativ auch die Basis e einsetzen.

Die nachfolgend angegebenen Formeln bzw. Formelzeichen sind in den vielen Mathebücherndurchaus unterschiedlich dargestellt. Ich habe mich nun für die folgenden Formelbuchstabenentschieden:




tT

0N(t) N 0,5< √

Wachstumsgesetz:

xy b a< √

Ein Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor in gleichen Zeitspannennennt man exponenzielles Wachstum.

Ist der Wachstumsfaktor a > 1 so handelt es sich um eine Zunahme (Wachstum)

Ist der Wachstumsfaktor 0 < a < 1 so handelt es sich um eine Abnahme (Zerfall)

Zinseszinsrechnung:

n

n 0

nn 0

pK K 1 100

K K q

∑ ⌡< √ ∗

< √

Die Formeln gelten wenn ein festes Kapital auf einem Anlagekonto mehrere Jahre verzinst wird ohne daß man am Ende jeden Jahres die Zinsen abhebt. Die jeweils angefallenen Zinsen werden auch mit verzinst.

Zerfallsgesetz für die Halbwertszeit radioaktiver Elemente:

a = Wachstumsfaktorb = Startwert bzw. Ausgangswert zum Zeitpunkt x = 0x = Zeitwerty = Endwert

K0 = Startkapital vor der VerzinsungKn = Kapital nach n Jahrenq = Zinsfaktorn = Anzahl der Zinsjahrep = Zinssatz in %

N(t) = restliche (nicht zerfallene) Masse zum Zeitpunkt tN0 = Masse zu Beginn des Zerfallst = ZerfallszeitraumT = Halbwertszeit des Isotops




Aufgaben1. Ein Waldbestand von ca. 40 000 fm (Festmeter) wächst mit einer jährlichen Zuwachsrate

von 3% (also exponenziell).a) Um wieviel fm wird der Bestand in 4,5 Jahren gewachsen sein, wenn inzwischen kein Holz geschlagen wird und die Bedingungen sich nicht wesentlich ändern ?b) Um wieviel fm Holz ist der Wald in den vergangenen 3 Jahren gewachsen (voraus- gesetzt die Wachstumsbedingungen waren annähernd konstant gewesen) ?

2. Im Jahre 1993 lebten in Mexiko etwa 92 Mio. Menschen. Die Bevölkerung dort nahmjährlich um ca. 1,75% zu.Wie viele Menschen werden im Jahre 2013 in Mexiko leben, wenn man annimmt, daßdas Wachstum konstant bleibt ?

3. Der Kaninchenbestand in einem Streichelzoo wuchs in 12 Jahren exponenziell von 30auf 125 Kaninchen an.a) Wie groß war der jährliche Wachstumsfaktor ?b) Berechne den Prozentsatz der jährlichen Zunahme.

4. Die Einwohnerzahl Afrikas im Jahre 1991 betrug etwa 712 Mio. Im Jahre 2001 rechneteman dort mit einer Bevölkerung von 948 Mio.Um wie viel Prozent hat die Bevölkerung jährlich zugenommen ?

5. Die Weltbevölkerung wurde im Jahre 1996 auf 5,9 Milliarden Menschen geschätzt beieinem jährlichen Wachstum von ca. 1,5%.In welchem Jahr würde die Menschheit bei gleichem Wachstum die 10-Milliarden-Grenzeerreichen ?

6. In Äthiopien lebten 1995 etwa 60.100.000 Menschen bei einer Wachstumsrate von 3,2%.a) Berechne für diese Wachstumsrate die Bevölkerungszahl im Jahre 2010.b) In welchem Jahr hätte sich bei gleich bleibendem Wachstum die Bevölkerungszahl verdoppelt ?

7. In einer Bakterienkultur werden 2 Stunden nach dem Ansetzen rund 600, nach weiteren4 Stunden rund 25.000 Bakterien gezählt.a) Wie viele Bakterien waren (bei exponenziellem Wachstum) 3 Stunden nach dem Ansetzen der Kultur entstanden ?b) Wie groß ist die stündliche Zuwachsrate der Bakterienkultur in Prozent ? Stelle das Wachstum für die ersten 60 Minuten nach dem Ansetzen grafisch dar.

8. Wir nehmen an, daß sich die Seerosen in einem Teich wöchentlich verdoppeln.a) Wie viel Prozent wachsen die Seerosen täglich ?b) Nach wie viel Tagen hat sich die Seerosenpopulation versechsfacht ?




9. Die Anzahl der Bakterien auf einer Nährlösung wächst annähernd exponenziell.Um 10 Uhr werden 1600 Bakterien gezählt. Es ist bekannt, daß die Kultur stündlichum 5,2% wächst.a) Wie viel Bakterien waren um 6 Uhr in der Kultur ?b) Berechne die Anzahl Bakterien die um 12 Uhr des nächsten Tages auf der Nährlösung gezählt werden können.c) Wie groß ist die Generationszeit der Bakterien ?

10. Ein PKW kostet als Neufahrzeug 24.200 EUR. Der jährliche Wertverlust des Autoskommt auf 20% des jeweiligen Zeitwertes. Handelt es sich um einen linearen oderexponenziellen Vorgang ? Bestimme die Zuordnungsvorschrift.

11. Unter Inflation versteht man einen Kaufkraftverlust oder auch Geldentwertung.Nach welcher Formel kann man die Kaufkraft von 1 EUR in x Jahren berechnen,wenn die konstante jährliche Inflationsrate p % ist ?

12. Der auf die Erdoberfläche wirkende statische Druck der Atmosphäre wird als Luftdruckbezeichnet. Der Luftdruck der Erdatmosphäre nimmt mit der Höhe angenähertexponenziell ab. Die Abnahmerate beträgt ca. 13 % pro 1000 m.a) Wie lautet die Vorschrift, die der Höhe H (in m) den Luftdruck p zuordnet ? Ausgangswert ist ein Luftdruck von 1000 hPa (Hektopascal) am Boden.b) Welcher Luftdruck herrscht in 3500 m Höhe ?

13. Je tiefer ein Taucher in einen See hinabtaucht, um so stärker verringert sich dieBeleuchtungsstärke des Sonnenlichtes. Mit jedem Meter Wassertiefe nimmt dieBeleuchtungsstärke um etwa 39% ab,a) Gib die Formel für die Beleuchtungsstärke in Abhängigkeit von der Wassertiefe an. Die Beleuchtungsstärke an der Wasseroberfläche soll mit 1 angenommen werden.b) Um wie viel Prozent hat sich die Beleuchtungsstärke in 10 m Wassertiefe gegenüber dem Wert an der Wasseroberfläche verringert ?

14. Ein Kapital von 6.000 EUR wird bei einer Bank zu einem festen Zinssatz von 3.5 % füracht Jahre angelegt. Die Zinsen verbleiben auf dem Konto und werden jeweils amJahresende dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst.a) Auf wieviel EUR ist das Kapital nach Ablauf der acht Jahre angewachsen ?b) Nach wie viel Jahren hat sich das Kapital verdoppelt, unter der Voraussetzung, daß sich der Zinssatz nicht ändert ?

15. Ein Kapital von 110.000,- € wächst in 4 Jahren mit allen Zinsen auf 133.705,69 €.Dabei wurden die Zinsen jährlich gutgeschrieben.Wie hoch ist der Zinssatz ?




16. Ein Kapital auf einer amerikanischen Bank wurde mit 4,5% jährlich verzinst und ist in40 Jahren mit Zins und Zinseszins auf 1.163.273 Dollar angewachsen.Wie hoch war das Anfangskapital ?

17. Frau Meier hat vor fünf Jahren für 115.000 EUR ein Haus gekauft. Sie kann es heutefür 137.000 EUR wieder verkaufen.Wie hoch war die durchschnittliche Verzinsung pro Jahr ?

18. Ein beliebiges Kapital soll sich in 35 Jahren verfünffacht haben.Welcher Zinssatz muß vereinbart werden, wenn dieser die fünf Jahre konstant sein sollund die Zinsen stets dem Kapital zugeschlagen werden ?

19. Der Preisanstieg betrug 1985 in der Bundesrepublik 2,9 %.Wieviel kostet demnach 1 Liter Milch (Preis im Jahr 2007: 0,79 EUR) in 5 und in 10Jahren, wenn man diesen Preisanstieg auch für die kommenden Jahre zugrunde legt ?

20. Die Glastür eines Mikrowellenherdes soll die Strahlung (elektromagnetische Wellen)aus dem Inneren dämpfen. Je nach Glasdicke ergeben sich unterschiedlicheDämpfungswerte S in % (siehe folgende Tabelle).a) Stelle den Zusammenhang zwischen Glasdicke d und Dämpfungsfaktor S in einer Formel dar.b) Maximal 1% der Strahlung darf durch die Tür austreten (lt. Gesetzgeber). Welche Glasdicke ist mindestens einzubauen ?c) Wie hoch ist die Strahlungsemission wenn das Glas 6 mm dick wäre ?

d in mm 1 2 3

S in % 30 9 2,7

21. Durch mehrere Zerfallsprozesse entsteht aus dem natürlich vorkommenden IsotopUran 234U das radioaktive Wismut 210Bi . Von Wismut 210Bi zerfallen wiederum jedenTag etwa 13% und wandeln sich in zwei weitere Isotope um.Bestimme die Menge an Wismut Wismut 210Bi die von ursprünglich 20 g nach 12 Tagennoch übrig sind.

22. Radioaktive Stoffe wie z. B. Radium 226Ra oder Caesium137 Cs senden Strahlen ausund zerfallen dabei. Von den jeweiligen Isotopen sind nach der Zeit t nur noch die Hälftevorhanden; diese Zeit t heißt "Radioaktive Halbwertszeit".a) Bei der Umwandlung des Radiumisotops 226Ra beträgt die Halbwertszeit 1602 Jahre. Nach wie viel Jahren hat man von ursprünglich 20 Gramm nur noch 19 Gramm des Isotops zur Verfügung?b) Nach wie viel Jahren ist die radioaktive Substanz auf 1% ihrer Ausgangsmenge (20 g) zerfallen ?




23. Von einem Isotop zerfallen in 12 Jahren 9,5%.Berechne die Halbwertszeit dieses Stoffes.

24. Das radioaktive Nuklid Radon 222Rn zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3,8 Tagen.Berechne, wie viel Prozent der Ausgangsmenge von 5 Gramm nach 25 Tagen nochvorhanden sind.

25. Bei einer Schilddrüsenuntersuchung wird einem Patienten radioaktives Jod mit einerHalbwertszeit von 8 Tagen verabreicht.Wieviel Prozent des verabreichten Jodisotops kann der Patient nach 3 Wochenhöchstens noch in seinem Körper haben ?

26. Uran 231U ist radioaktiv. Von 10.000 Kernen zerfallen pro Tag ca. 1591 Kerne.Wie viel Uran 231U ist nach 8 Tagen noch vorhanden, wenn die Ursprungsmenge bei100 Gramm lag ? Wie lang ist die Halbwertszeit ?

27. Mit der 14C - oder Radiokarbonmethode ist es möglich, das absolute Alter vonorganischen Stoffen z.B. Pflanzenresten zu bestimmen.Jedes Lebewesen nimmt laufend den natürlich in der Atmosphäre vorkommenden,radioaktiven Kohlenstoff 14C auf, und gibt einen Teil davon als Stoffwechselproduktauch wieder ab. Auf diese Weise besteht im lebenden Organismus ein Gleichgewichtmit dem nicht radioaktiven Kohlenstoff 12C . Dieses Verhältnis beginnt sich erst abEintreten des Todes zu verschieben, da nun kein 14C mehr aufgenommen werden kann.Mit Hilfte der Halbwertszeit des radioaktiven Kohlenstoffes kann so der Zeitpunkt desTodes berechnet werden.Jedes Gramm Kohlenstoff, das aus einer Probe einer lebenden Pflanze gewonnen wurde,enthält 10

0N 6,0 10< √ 14C - Atome. Nach dem Tod der Pflanze wird kein 14C mehraufgenommen und die Zahl der 14C - Atome nimmt ab. Nach 10.000 Jahren sind noch

101,8 10√ 14C - Kerne vorhanden.

a) Stelle den Zerfallsprozeß in einem Diagramm dar. Die Ordinate (Hochachse) ist hierbei mit einer logarithmischen Skala zu versehen. Abszisse: Zeitachse mit 1 cm ≅ 1000 Jahren Ordinate: Anzahl 14C - Atome mit 10 101 10 N 10 10√ ′ ′ √

b) Berechne die Halbwertszeit Tc) Aus alten Hirsekörnern die man in einem Pharaonengrab fand, wurde 1 Gramm reiner Kohlenstoff extrahiert. Das Material enthielt 103,78 10√ 14C - Atome. Wann ungefähr könnte der Pharao im Grab beigesetzt worden sein ?


Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10


I. Allgemeines Eine Gleichung höheren Grades wie z. B.

4x 3=

kann nach x aufgelöst werden, indem man die Wurzel zieht. 4 4x 3 x 3= ⇔ =

Tritt die Unbekannte x jedoch im Exponenten einer Potenz auf, spricht man von einer Exponenzialgleichung, wie z. B. bei

x3 5= . Jede Exponenzialgleichung xa b mit a, b und a 1+= ∈ ≠ℝ besitzt genau eine Lösung. Für die Lösung dieser Exponenzialgleichungen, d. h. für den Wert x hat man den Namen: Logarithmus von b zur Basis a eingeführt (Die Buchstaben a bzw. b sind beliebig wählbar).

Logarithmusdefinition:

xaa b x log b= ⇔ = für a, b ; a 1+∈ ≠ℝ

x ist der Logarithmus von b zur Basis a. Der Logarithmus alog b ist also nichts anderes als der Exponent in einer Exponenzialgleichung,

statt xa b= könnte man auch alog ba b= schreiben. ( alog b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten) b ist die Zahl die zu logarithmieren ist, sie wird Numerus genannt. a ist die Basis (der Potenz xa ). Eine Anmerkung zur Schreibweise: Eigentlich müsste man ( )alog b schreiben. Man kann die Klammer weglassen, wenn keine

Missverständnisse aufkommen. z. B. alog b c⋅ ist missverständlich, also muss hier ( )alog b c⋅ geschrieben werden

Hinweise für das Rechnen mit Logarithmen:

• Ist die Basis a größer als 1, dann gilt:

- für einen Numerus b größer als 1 ist der Logarithmus positiv; z. B. ( )32log 8 3 2 8= =

- für einen Numerus zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus negativ; z. B. ( )32log 0,125 3 2 0,125−= − =

• Ist die Basis a kleiner als 1, dann gilt:

- für einen Numerus b größer als 1 ist der Logarithmus negativ; z. B. ( )20,5log 4 2 0,5 4−= − =

- für einen Numerus b zw. 0 und 1 ist der Logarithmus positiv; z. B. ( )20,5log 0,25 2 0,5 0,25= =




Formelsammlung

Rechengesetze für das Logarithmieren

Die Rechengesetze haben für jedes Logarithmensystem Geltung; d. h. sie können immer da angewendet werden, wo Logarithmen auf die gleiche Basis bezogen werden.

Multiplizieren

( )a a alog b c log b log c⋅ = + b, c +∈ℝ

( )a 1 2 n a 1 a 2 a nlog b b ... b log b log b ... log b⋅ ⋅ ⋅ = + + +

Dividieren

( )a a ablog log b log cc

= −

Potenzieren

( )ca alog b c log b= ⋅

Radizieren

mna a

mlog b log bn

= ⋅

Radizieren ist kein eigenes Logarithmengesetz. Es handelt sich um Potenzieren mit rationalem Exponenten. (Rationale Zahlen sind die Menge aller Brüche der Form m/n) Sonderfälle und besondere Logarithmen alog a 1= alog 1 0= ( )n

alog a n= alog ba b=

lg10 1= lg1 0= ( )nlg 10 n= lg b10 b=

ln e 1= ln 1 0= ( )nln e n= na

1log an

=

lb 2 1= lb 1 0= ( )nlb 2 n= ( )a1log 1a

= −

a c alog b log b log c= ⋅ ab

1log blog a

= a ab clog logc b

= − 1 aa

1log b logb

=

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten.

Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten.




Vorzeichen und Logarithmensymbole

log: - in deutschen Büchern Logarithmen zu einer beliebigen Basis - auf amerik. Taschenrechnern und Literatur Logarithmus zur Basis 10

lg: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer, Briggscher oder Zehnerlogarithmus)

ln: Logarithmus zur Basis e = 2,71828… (natürlicher Logarithmus)

lb: Logarithmus zur Basis 2 (binärer oder dualer Logarithmus)

Umrechnung von einem System in ein anderes Berechnung beliebiger Logarithmen (mit Taschenrech ner)

xa

x

log b lg b ln blog b

log a lg a ln a= = =

13

lg 353 ln 353log 353 2,287...

lg13 ln 13= = =

Natürliche Logarithmen

Basis ( ) ( )n 1

hn h 0

1e lim 1 lim 1 hn→∞ →

= + = + e 2,718281828...= (Eulersche Zahl)

elog ln≙ xln a x a e= ⇔ =

ln a

lg a ln a lg eln 10

= = ⋅

1lg eln 10

=

Beim Rechnen mit Logarithmen sei auf folgende Fehler hingewiesen:

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

( )

a a a a

a a a

a a

nna a

a a a

log b c log b log c log b c ist nicht weiter auflösbar

log b c log b log c

log b c log b c

log b log b

log b log c log b c

+ ≠ + +

− ≠ −

+ ≠ +

≠

⋅ ≠ ⋅

mit x als beliebige Basis; insbesondere x = 10 oder x = e




3

4

log x 4

x 3x 81

=

==

{ }IL 1=

{ }IL 81=

27

27

22 log x : 2

3

2log x

⋅ =

=3 2⋅

27

13

3

1log x

3

x 27

x 27

x 3

=

=

=

= { }IL 3=

Musterlösungen

Achtung: Bei allen Logarithmenrechnungen muß die Probe gemacht werden um Scheinlösungen zu erkennen. Die nachfolgenden Rechnungen wurden dahingehend überprüft, die Probe selbst wurde jedoch nicht mit dazugeschrieben.

1. Lösungsverfahren: Logarithmusdefinition verwenden

Voraussetzungen: Gleichung mit nur einem Logarithmus.

Formel: xalog b x a b= ⇔ =

Beispiele: Grundform: Quadratischer Numerus:

{ }

25

2 3

3

log x 3

x 5

IxI 5

x 11,18... IL 11,18...

=

=

== ± = ±

Numerus als Bruch: Faktor vor dem Logarithmus:

( )

3

2

9xlog 2

4x 3

9x3

4x 3

9 4x 3 9x

36x 27 9x

27x 27

x 1

= −

=−

− =

− =

=

=




{ }IL 8=

{ }IL =

{ }IL 1=

2. Lösungsverfahren: Vergleich der Numeri

Voraussetzungen: Logarithmusgleichung mit zwei Logarithmen

Formel: a alog b log c b c= ⇒ =

Wenn zwei Logarithmen gleiche Basis besitzen, sind auch ihre Numeri gleich. Die Formel ist auf Logarithmusgleichungen anwendbar die aus zwei Logarithmen bestehen, aber kein Absolutteil haben.

Beispiele: Aufgabe ohne Scheinlösung:

( ) ( )3 3log 3x 5 log 2x 3

3x 5 2x 3

x 8

− = +

− = +

=

Aufgabe mit Scheinlösung:

( ) ( )7 7log 4x 5 log 3x

4x 5 3x

x 5

+ =

+ =

= −

Faktor vor dem Logarithmus (mit Scheinlösung):

( ) ( )( ) ( )( )

4 4

2

4 4

2

2

2

2

2 log 3x 1 log 6x 10

log 3x 1 log 6x 10

3x 1 6x 10

9x 6x 1 6x 10

9x 9

x 1

IxI 1

x 1

⋅ + = +

+ = +

+ = +

+ + = +

=

=

=

= ±

Weil nach der Probe beide Numeri negativ sind, ist die Gleichung nicht definiert. - 5 ist damit keine Lösung.

Die Probe zeigt, daß nur +1 eine Lösung ist, denn x = -1 führt zu einem negativen Numerus und damit zu einem undefinierten Logarithmus.




7log 49 2=

5log 25 4=

3. Lösungsverfahren: Vergleich der Exponenten

Voraussetzungen: Logarithmus so umformbar daß gleiche Basen entstehen

Beispiele: Einfache Aufgabe:

7

x

x 2

log 49 x

7 49

7 7 gleiche Basis, dann Exponentenvergleich möglich

x 2

=

== ←=

Schwierigere Aufgabe:

( )5

x

x122

x22

log 25 x

5 25

5 5

5 5 gleiche Basis, dann Exponentenvergleich möglich

x 22x 4

=

=

=

= ←

=

=

4. Lösungsverfahren: Logarithmengesetze anwenden

Voraussetzungen: mehr als zwei Logarithmen oder ein zusätzlicher Absolutteil

Formeln: ( )a a alog b c log b log c⋅ = +

( )a a ablog log b log cc

= −

( )xa alog b x log b= ⋅




{ }IL 4= −

{ }IL 1=

Beispiele: Aufgabe mit Scheinlösung:

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2

22

2 7

2

2

2

1/ 2

1/ 2

1 2

log x 12 log 2x 7 0

log x 12 2x 7 0

log 2x 24x 7

2x 24x 2

2x 24x 128 0

x 12x 64 0

12 12 4 1 ( 64)x

2 1

12 20x

2

x 16, x 4

− + + − − =

− + ⋅ − − =

− =

− =

− − =

− − =

± − ⋅ ⋅ −=

⋅±=

= = −

Aufgabe ohne Scheinlösung:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

2 2

2

3

log 8 5x 3 log 7x 1 3

8 5x 3log 3

7x 1

8 5x 32

7x 1

8 5x 3 8 7x 1

5x 3 7x 1

2x 2

x 1

+ − + =

+=

++

=++ = +

+ = +

− = −

=

Die Probe ergibt, daß nur - 4 eine Lösung ist, denn x = 16 führt zu einem negativen Numerus und damit zu einem undefinierten Logarithmus.




5. Lösungsverfahren: Logarithmenbasis wechseln

Voraussetzungen: Logarithmen mit verschiedenen Basen

Formeln: xa

x

log b lg b ln blog b

log a lg a ln a= = =

Beispiele: Aufgabe:

3,5

x

x

log 8 x Umformen in eine Potenzgleichung

3,5 8 logarithmieren

lg3,5 lg8 3. Logarithmengesetz

x lg3,5 lg8

lg8x

lg3,5

=

=

=

⋅ =

=

3,5

lg8log 8

lg3,5=

Wie kann eine Wurzel in eine Potenz umgewandelt werden? Ganz einfach! Der Radikand (der Term unter der Wurzel) ist die Basis der Potenz. Der Exponent der Potenz ist ein Bruch und setzt sich zusammen aus dem Wurzelexponenten (= Nenner) und dem Exponenten des Radikanden (= Zähler). Wenn der Radikand keinen Exponenten aufweist, dann ist der Wert 1.

1. Beispiel: 1

2 1 25 5 5= =

2. Beispiel: 5

3 5 36 6=

3. Beispiel: ( ) ( )115

55 a a a3z 3z 3z

= =

4. Beispiel:

1 1 1 113 3 3 13 3 3 33 3

2 2 2 1 23 3

7xy z 7xy z 7xy z 7 x y z28b 28b 28b 28 b

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅




II. Aufgaben 1. Bestimme die Lösung der Exponenzialgleichung ohne Taschenrechner

a) x2 32= b) x5 0,04=

c) x0,5 32= d) ( )x2 1,53

=

2. Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechner

a) 2log 8 b) 5log 125 c) 4log 1

d) ( )31log3

e) ( )101log

10 f) ( )2

1log32

g) 12

log 0,25 h) 12

log 8 i) 100log 1000


a) 9alog a b) ( )53

alog a c) 32log 2

d) 1a

log a e) 40,1log 10 f) 8 5

1log512

g) 5

log 5 h) 72

log 64 i) 918

log 0,125


a) alog a b) alog 1 c) nalog a

d) ( )a1loga

e) 3 5alog a f) 2

1a

log a

g) 5 7a

1loga

h) 2

3 51

a

log a i) 3alog a

5. Zerlege soweit wie möglich in Summanden

a) ( )2 3alog 5b c b)

8

a 22clog4bx

c) ( )2 2

a

2 p q xlog

x y

+

+

d) 3 4

a 3 5

x b clog

d e

e) ( )3a

4log r3

π f) 3

a 4 4ulog

v w −

g) 2

a 2

3x ylog

2y x h)

32 2 3

a 6

m m nlogm n

i) alog xalog x

k) 5alog 5xy x y+ l)

3

5a 2 2

b clogb c−

m) 4 3alog b c d




6. Fasse zusammen

a) 5 1 0,2 56

log 125 log 216 log 0,04 4 log 0,2− + + ⋅

b) 4 5 0,013 log 0,25 2 log 0,008 6 log 1000+ −

c) ( ) ( )53 2,25 3 3

5 2

8 125 81log 27 log log log27 27 16

+ + −

7. Fasse zusammen und vereinfache weitgehendst

a) a alog 5 log 9+

b) a alog 2,5 log 0,5−

c) a a4 log 2 2 log 16+

d) ( ) ( )2 2a alog b c log b c− − +

e) ( )a a a a31log r r log 2 log r 3 log ss

− + −

f) 19 9 9

1 1 1log 7 log 7 log 812 2 4

−⋅ + ⋅ + ⋅

g) lg 6 lg 3 2− −

h) ( ) ( ) ( )22 lg x 1 3 lg x 1 3 lg x 1⋅ + + ⋅ − − ⋅ −

i) ( ) ( )25 5log u v log u v⋅ − ⋅

k) 1 2lg lgx x

−

l) lg 2 3 lg 2 2 lg x− +

m) ( )5 lg x 3 3 lg x+ −

n) ( ) ( ) 23 lg x 2 4 lg x lg 2 log 16− − + −

o) ( ) ( ) ( ) ( )5 lg x 2 0,2 lg x 2 4 lg x 2 0,8 lg x 2+ − − − + − −




8. Fasse zusammen

a) 2 lg a 0,5 lg b 3 lg c+ +

b) ( ) ( )1 1 1lg a lg a b 2 lg b lg 33 3 3 + − − +

c) ( ) ( )1 lg 2 a 1 lg 3 lg a 12

− − − +

d) 2

3a a

1 zlog z log2 y

−

e) ( )2a a 2

u2 log u u v 4 logv

⋅ −

f) ( )2a a

q10,5 log p q 3 log2 p

⋅ − − −

g) ( )4a4 log b a− ⋅

h) alog x 1+ 9. Berechne - ohne Taschenrechner - und fasse zusammen

a) 2 23

a alog a log a+

b) 5 2 37a a

log a log a+

c) ( )4

8log 2−

d) ( ) 2

19

log 81−−

e) 45

27log 9

f) 3

41

2

log 2

g) 53

481

3log3

h) 13 3

2

1log4 2

⋅




10. Löse nach x auf; mache ggf. die Probe!

a) ( ) ( )4 4log 3x 8 log x 1 2+ − − =

b) ( ) ( ) ( )3 3 3log x 2 log x 4 log 7 2x 1 + + + = −

c) a a a2 log x log 6 3 log 2= −

d) a alog x log 7 1= +

e) 2a alog x log x 2 0− + =

f) 32 2 2

1log x 2 log x 3 log x2

− = −

g) 2lg x 16= −

h) 2 lg x 12= −

i) 2 lg x 12= −

k) 1lg 3x

=

l) ( )x xlog 2 log x 12 2 0+ + − =

m) ( )xlog x 3,75 1 0− + =

n) ( )2 5log log x 1=

o) ( )5 4 3log log log x 0 =

p) 41 log 5x 1 0,25 02

− + =

11. Berechne mit dem Taschenrechner

a) 4log 12 b) ( )61log3

c) 35log 28 d) 1

6

log 3

12. Forme um in Logarithmen

a) zur Basis 8 aa) 2log 3 ab) 4log 5 ac) 16log x b) zur Basis 10 ba) 2log 10 bb) 0,1log 7 bc) 3log 2

c) zur Basis 2 ca) 8log 4 cb) 3log 27 cc) lg100




13. Löse folgende Gleichungen ohne Taschenrechner

a) 13

log 9 x= b) 25

alog a x=

c) ( )8

2

5

1log x5

= d) 3 16 5

1log x4

=

e) xlog 64 3= f) xlog 2 7=

g) xlog 256 8= h) 3

log x 5= −

i) x1log 4

25= k) 1

2

log x 8=

l) ( )5log 4x 1 1− = − m) ( )22log x 1 8− =

n) ( )32

2log x 2 6− = o) ( )xlog x 2 2+ =

p) ( )xlog 2 7,5 x 2− = q) ( ) ( )2 2log x 5 log x 2 3− + + =

r) ( )lg x 4 lgx lg21+ + = s) ( )x xlog x 12 log 2 2+ + =

14. Löse folgende Gleichungen nach x auf (wenn möglich ohne Taschenrechner)

a) 2 8log x log 27 0− =

b) 4 116

log x log 25 0+ =

c) 0,4 6,25log x log 3=

d) 36 6

log x log 2=

e) ( ) ( )a a

15log x 4 log x 04

+ − + =

f) 2a 2

a

log x 4 log 16 0 mit a 0, a 1, a 2− − = > ≠ ≠

g) ( )9 2 3log 1 log x log 2 0+ − =

h) 3 2lg x 2 lg x 5+ =

i) ( ) ( ) ( )lg 2x lg 3x lg 4x 3+ + =

k) 2 lg x3 12=

l) 5log (5x) 4x 625− =




Bestimme jeweils die Lösungsmenge: G = ℝ

1. 1

x x2 2 0− =

2. ( )x 3x5 1−

=

3. x 1 x 148 5 5+ −= −

4. 5

x 1 2,5x 1 5x 3327 9 3 3645− − −+ + =

5. ( ) x 431 x4 2−

− =

6. x x4 2 0,5 −⋅ =

7. ( ) ( )x2x 5x 22x

3

33

3

−−

=

8. 3x 3 5 x 145 5

− +=

9. ( )( ) ( )( )x 1 5x 1 x 2 5x 715 x 83 3 3 3− − − −−⋅ = ⋅

10. ( ) ( )5x 2 4x4x 5 9x 5x7 7 7 7− −= ⋅

11. 22x 7x 63 27− − =

12. 2x 8x 97 1− − =

13. x 3 x2 2 144+ + =

14. 2x 1 2x 1 3 54 4 4 4− ++ = +

15. x x 3 x 4 x 5 x 6 552 2 2 2 264

− − − −− − + + =

16. 2x 1 x 1 2x 15 25 5 149+ + −+ = +

17. x x 1 x 2 x 2 x 1 x3 3 3 5 2 5 2 5+ + + ++ + = − ⋅ − ⋅

18. x 1 x x 2 x 11 16 3 4 6 6 42 3

+ + +⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅

19. ( ) ( )x 1

x 1 5 x18 4 16 4 8

2

−+ ⋅ − = −

20. x x 18 2 81 3 −⋅ = ⋅

21. x 1 x x x3 7 3 3 7+ + = + ⋅

22. 3x 2 3x 3 3x 42 2 2 4− − −− − =

23. 3x 1 2x3 3 40−⋅ =




24. 2x 3x 15 3 2025+⋅ =

25. x 2 x x x 14 3 20 5 2 5 6 3− −⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

26. x x3 4 3 5 0−+ ⋅ − =

27. x x 125 5 4 0+− + =

28. ( ) x 1x 2 15 124

5

−+ − = −

29. 2x 4x 13 5 20−⋅ =

30. 2x 1 x3 9 28 3+ + = ⋅

31. ( )x x9 3 3 3 1+ = +

32. 2x 1 x 1

2 29 54 42 0

3 3

+ − ⋅ + ⋅ − =

33. x x x x6 3 15 5 9 3 6 5⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅

34. x x 110 5 5 ++ =

35. x x 1 x 2 x x 1 x 22 2 2 3 3 3+ + + ++ + = + +

36. x x 1 2x 2x9 5 4 2 2 4 3+− ⋅ = ⋅ − ⋅

37. 2x x 1 x 1 x 13 7 7 9+ − +− = −

38. 3x 2 4x 3 3x 4 4x 1 3x 3 4x 5 3x 13 13 5 12 3 13 3 12 4 13 12 13+ + + − + + +⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + −

39.

2

24x 2

x x 1 127

3

++ − =

40. ( ) ( )x x 34 x5 2 3 19

+−⋅ = ⋅

41. 2 lg x

1 lg x12

2

++ =

42. 5 3log x log x3 5=

43. ln(3x) ln(2x)2 3=

44. x xe e 2 2−+ =

45. x xe e

2,52

−− =

46.

x x4 4

x x4 4

e e 45

e e

−

−

− = −+




Ergebnisse (ausführliche Lösungen in GM_LU048)

1. { }1, 1− 2. { }0, 3

3. { }1,43067... 4. { }1,8

5. 107

6. { }4

7. { }3− 8. { }6411

9. { }1− 10. { }4

11. { }1; 4,5− 12. { }1; 9−

13. { }4 14. { }2

15. { }0 16. { }0,5

17. { }0 18. { }2,709511...

19. { }4 20. { }3−

21. { }0 22. { }2

23. { }2,35776... 24. { }1

25. { }4,30132...− 26. { }0; 1,2618595...

27. { }0; 0,861353... 28. { }2−

29. { }0,5333159... 30. { }1; 2−

31. { }0,5 32. { }1,7095...

33. { }0,658683...− 34. { }0,569323...

35. { }0,47326... 36. { }1,8270432...

37. { }1,3388496...− 38. { }0,535344...−

39. { }1; 0,4− 40. { }8,04...

41. { }1,510 − 42. { }1

43. { }1 44. { }0,88137...; 0,88137...−

45. { }1,64723... 46. { }4,394449...−

Realschule

Vektoren, Skalarprodukt, Ortslinien Klasse 10 I

RM_AU047 **** Lösungen 53 Seiten (RM_LU047) 1 (10) © www.mathe-physik-aufgaben.de

1.0 Gegeben sind die Punkte A(0 / -4 ) , C(0 /4) , sowie die Pfeile 4cos

AB4sin 4

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α +⎝ ⎠

mit [ 90 ; 90 ]α∈ − ° ° .

1.1 Zeichne die drei Punkte B1, B2 und B3 mit { }30 ; 0 ; 30α∈ − ° ° ° in ein KOS.

1.2 Zeige: 4cos

CB4sin 4

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α −⎝ ⎠

.

1.3 Zeige, dass für [ 90 ; 90 ]α∈ − ° ° gilt: [AB] [CB]⊥ . Auf welcher Linie liegen also alle Punkte B ?

1.4 Bestimme die Koordinaten von B und den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α .

1.5 Für welches Winkelmaß 0α wird die Dreiecksfläche am größten ? Gib diesen maximalen Inhalt an. Wie kann dieses Ergebnis auch durch geometrische Überlegungen gefunden werden ?

2.0 Gegeben sind die Pfeile 2

6sin cosOP

6sinα ⋅ α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

mit O(0 /0 ) und 0 90° < α < ° .

2.1 Zeichne die Pfeile für { }30 ; 45 ; 60α∈ ° ° ° in ein Koordinatensystem.

2.2 Im Punkt P wird jeweils die Senkrechte zu [OP] gezeichnet. Diese Senkrechte schneidet die positive x-Achse in T. Stelle die Koordinaten von T in Abhängigkeit von α dar. [Ergebnis: T(6 tan / 0)α ]

2.3 Für welches Winkelmaß 4α ist OP 3cm= ?

2.4 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OTP in Abhängigkeit von α . [Ergebnis: 2A( ) 18 tan sinα = α ⋅ α cm2]

2.5 Tabellarisiere A( )α mit 10∆α = ° und zeichne den Graphen.

3.0 Gegeben sind die Pfeile 5cos

AB5sin

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

und 5cos( 90 )

AD5sin( 90 )

α + °⎛ ⎞= ⎜ ⎟α + °⎝ ⎠

mit A (4 / -3 )

und 0 90≤ α ≤ ° .

3.1 Zeichne die Pfeile für { }0 ; 30 ; 60 ; 90α∈ ° ° ° ° in ein Koordinatensystem.

3.2 Zeige, dass AB und AD für alle Winkelmaße α orthogonal sind.

3.3 Zeige, dass ABD∆ für alle Werte von α gleichschenklig ist mit [BD] als Basis. Ergänze die Dreiecke ABD zu Quadraten ABCD und bestimme die Koordinaten von C in Abhängigkeit von α . [Ergebnis: C(4 5cos 5sin / 3 5cos 5sin )+ α − α − + α + α ]

3.4 Für welchen Wert 4α gilt xD = 4 ? 3.5 Für welchen Wert 5α liegt D auf der Geraden mit 1

3y x= − ?

Realschule



4.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Pfeile 6cos

AB6sin

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

und

3cosAD

3sin− α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟α⎝ ⎠ mit A(0 /0 ) und [ 0 ; 90 ]α∈ ° ° gegeben.

Das Dreieck ABD wird zum Parallelogramm ABCD ergänzt.

4.1 Zeichne die Pfeile und die Parallelogramme für { }30 ; 45 ; 60α∈ ° ° ° . Auf welcher Ortslinie bewegen sich alle Punkte B bzw. D ?

4.2 Bestimme die kartesischen Koordinaten von C in Abhängigkeit von α .

4.3 Bestimme den Flächeninhalt A des Parallelogramms ABCD in Abhängigkeit von α .

4.4 Bestimme das Winkelmaß 4α , für das der Flächeninhalt des Parallelogramms AB4C4D4 maximal wird. Zeige rechnerisch, dass das Parallelogramm mit 2 45α = ° ein Rechteck ist. Formuliere das Ergebnis als Satz.

5.0 Gegeben sind die Punkte A(0 /0 ) , B(8 /0 ) und der Pfeil 2sin 8

BCsin 4

α −⎛ ⎞= ⎜ ⎟α +⎝ ⎠

mit

90 90− ° ≤ α ≤ ° .

5.1 Zeichne die Dreiecke ABC für { }90 ; 30 ; 0 ; 60 ; 90α∈ − ° − ° ° ° ° in ein Koordinatensystem.

5.2 Berechne die Koordinaten von C in Abhängigkeit von α . [Ergebnis: C(2sin / sin 4)α α + ]

5.3 Berechne die Gleichung des Trägergraphen aller Punkte C. Beachte dabei die Definitionsmenge !

5.4 Stelle den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α dar. Bestimme das Winkelmaß, für das der Flächeninhalt des Dreiecks extrem wird und gib den Inhalt an. [Ergebnis: A( ) 4(sin 4)α = α + FE]

5.5 Für welche Winkelmaße wird der Flächeninhalt höchstens 18 cm2 ? 5.6 Für welche Winkelmaße wird das Dreieck ABC rechtwinklig ? 6.0 Gegeben ist das Dreieck ABC (bzw. ACB) mit A(0 /0 ) , B(6 /2 ) und 2C(3sin / 9cos )α α

mit [90 ; 270 ]α∈ ° ° .

6.1 Zeichne die Dreiecke ABC mit { }90 ;120 ;160α∈ ° ° ° in ein Koordinatensystem.

6.2 Berechne die Koordinaten des Punktes C4 mit 4BAC 90= ° .

6.3 Es gibt zwei gleichschenklige Dreiecke ABC mit [AB] als Basis. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte C5 und C6.

6.4 Bestimme die Gleichung des Trägergraphen aller Punkte C und zeichne den Graphen ein. Beachte dabei [90 ; 270 ]α∈ ° ° .

Realschule



6.5 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von α . [Ergebnis: 2A( ) 3(9cos sin )α = α − α FE]

6.6 Bestimme das Maß 7α , für das 112A 27= cm2 ist. Berechne die Koordinaten von C7.

7.0 Gegeben sind die Pfeile 8 tan

OA 1tan

α⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟

α⎝ ⎠ und

1OB

4−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

O ist der Koordinatenursprung; [ 0 ; 90 ]α∈ ° ° .

7.1 Zeichne für { }10 ; 30 ; 60α∈ ° ° ° die Pfeile OA und OB in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 2 x 15− ≤ ≤ ; 1 y 10− ≤ ≤

7.2 Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte A !

7.3 Für welche Werte für α stehen Pfeile OA senkrecht zu dem Pfeil OB ?

7.4 Die Pfeile OA und OB spannen Parallelogramme OACB auf. Bestimme die Koordinaten vom Eckpunkt C in Abhängigkeit von α ! Ermittle durch Rechnung die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte C !

7.5 Berechne den Flächeninhalt A der Parallelogramme OACB in Abhängigkeit von α !

7.6 Für welche Werte für α wird der Flächeninhalt 33 FE groß ?

7.7 Berechne das Maß des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OB für 30α = ° !


sinAB

4cosα⎛ ⎞

= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

und 1

AD2

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

mit O(0 /0 ) und [0 ;180 ]α∈ ° ° .

8.1 Zeichne für { }45 ; 90 ;120 ;150α∈ ° ° ° ° Pfeile AB und AD in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 2 cm; 2 x 4− ≤ ≤ ; 1 y 9− ≤ ≤

8.2 Bestimme die Gleichung der Ortslinie für alle Punkte B !

8.3 Für welchen Wert für α gibt es Pfeile AB , die senkrecht zu AD stehen ?

8.4 Die Pfeile AB und AD spannen Parallelogramme ABCD auf. Bestimme die Ortslinie für alle Punkte C !

8.5 Berechne die Länge der Pfeile AB in Abhängigkeit von α ! Berechne sodann für 150α = ° die zugehörige Pfeillänge !

8.6 Für welche Werte von α gibt es gleichlange Pfeile AB und AD ?

8.7 Berechne das Maß des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AD für 45α = ° !

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9.0 Die Pfeile 2

cosOP4

⎛ ⎞⎜ ⎟α=⎜ ⎟−⎝ ⎠

und 5cos

OR5sin

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

mit [ 0 ; 90 ]α∈ ° ° und O(0 /0 ) sind

gegeben. 9.1 Gib die Gleichung der Ortslinie für die Punkte P an !

9.2 Berechne die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von α ! Berechne die Länge der Pfeile OR ; mache sodann eine Aussage über die Ortslinie der Punkte R !

9.3 Zeichne Pfeile OP und OR für { }0 ; 45 ; 60α∈ ° ° ° und zeichne die Ortslinien für die Punkte P und R in ein Koordinatensystem ! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 1 x 7− ≤ ≤ ; 5 y 7− ≤ ≤

9.4 Für welchen Wert für α gilt IOP I = IOR I ?

9.5 Die Pfeile OP und OR spannen Parallelogramme OPQR auf. Berechne die Koordinaten von Q in Abhängigkeit von α !

9.6 Unter dem Parallelogrammen gibt es ein Rechteck OP0Q0R0. Für welchen Wert für α ist dies der Fall ? Bestimme sodann die Koordinaten der Punkte P0, Q0 und R0, und zeichne das Rechteck OP0Q0R0 in die Zeichnung zu 9.3 ein !

9.7 Unter den Parallelogrammen OPQR gibt es eine Raute OP*Q*R*. Bestimme die Koordinaten von P*, Q* und R* !


OA4

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

und 4cos 4

OC4sin 5

α +⎛ ⎞= ⎜ ⎟α +⎝ ⎠

mit O(0 /0 ) und

[0 ; 360 [α∈ ° ° .

10.1 Zeichne Pfeile OC für { }0 ; 30 ; 60 ; 90 ;120 ;180 ; 270 ; 330α∈ ° ° ° ° ° ° ° ° und OA in ein Koordinatensystem ! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 1 x 10− ≤ ≤ ; 5 y 10− ≤ ≤

10.2 Die Pfeile OA und OC spannen Parallelogramme OABC auf. Unter diesen Parallelogrammen gibt es zwei Rechtecke OAB0C0 und OAB*C*. Für welche Werte für α existieren diese Rechtecke ? Gib die Koordinaten von C0 und C* an !

10.3 Berechne die Koordinaten der Punkte B in Abhängigkeit von α und berechne die Koordinaten von B0 und B* !

10.4 Berechne den Flächeninhalt A der Parallelogramme OABC in Abhängigkeit von α !

10.5 Berechne die Länge der Pfeile OC in Abhängigkeit von α ! Für welche Werte für α gilt IOCI = IOA I ?

10.6 Der Punkt P(4 /5 ) bildet mit den Punkten C Pfeile PC . Berechne die Koordinaten der Pfeile PC , bestimme die Länge dieser Pfeile und nenne die Ortslinie für alle Punkte C !

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10.7 Berechne das Maß ϕ des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OC für 150α = ° !


OA6sin

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

und 3cos

OC3sin− α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟α⎝ ⎠ mit ]0 ; 90 [α∈ ° °

und O(0 /0) .

11.1 Zeichne Pfeile OA und OC für { }30 ; 60 ; 75α∈ ° ° ° in ein Koordinatensystem ! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 4 x 7− ≤ ≤ ; 1 y 10− ≤ ≤

11.2 Die Pfeile OA und OC spannen Parallelogramme OABC auf. Zeichne für die Werte von α aus 11.1 diese Parallelogramme in das KOS zu 11.1 ein, und berechne die Koordinaten des Eckpunktes B in Abhängigkeit von α !

11.3 Für welchen Wert für α stehen die Pfeile OA und OC senkrecht zueinander ?

11.4 Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme OABC in Abhängigkeit von α ! Bestimme α für das flächengrößte Parallelogramm ! [Ergebnis: A 18sin2= α FE]

11.5 Für welchen Wert von α wird der Flächeninhalt der Parallelogramme gleich 12 FE ?

11.6 Gibt es im angegebenen Intervall für α gleichlange Pfeile OA und OC ? Begründe die Antwort durch Rechnung !


AB2sin 4

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟α −⎝ ⎠

und 3cos 5

AC3sin 3

α +⎛ ⎞= ⎜ ⎟α +⎝ ⎠

mit

[0 ;180 ]α∈ ° ° und O(0/0 ) .

12.1 Zeichne die Pfeile AB und AC für { }0 ; 30 ; 90 ;180α∈ ° ° ° ° in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 3 x 9− ≤ ≤ ; 7 y 7− ≤ ≤

12.2 Berechne das Maß β des Winkels zwischen den Pfeilen AB und AC für 90α = ° !

12.3 Entscheide durch Rechnung, ob es Werte für α gibt, so dass AB AC⊥ gilt !

12.4 Berechne die Beträge der Pfeile AB und AC in Abhängigkeit von α ! Berechne die Beträge für { }0 ; 60 ; 90α∈ ° ° ° !

12.5 Die Punkte P(0/-4) und Q(5/3) bilden mit den Punkten B und C Pfeile PB und QC. Gib die Koordinaten dieser Pfeile in Abhängigkeit von α an ! Berechne die zugehörigen Pfeillängen ! Auf welchen Ortslinien bewegen sich die Punkte B und C ? Zeichne die Ortslinien in das Koordinatensystem zu 12.1 ein !

12.6 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks 0 0AB C für 65α = ° !

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13.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0 /0) als Ursprung sind Pfeile 6cos1 sin

OP6sin

1 sin

ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ϕ

= ⎜ ⎟ϕ⎜ ⎟

⎜ ⎟+ ϕ⎝ ⎠

gegeben, die mit der positiven x-Achse Winkel mit dem Winkelmaß ϕ

und [0 ;180 ]ϕ∈ ° ° einschließen.

13.1 Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ .

[Ergebnis: 6OP1 sin

=+ ϕ

LE]

13.2 Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses aus 13.1 die Winkelmaße ϕ so, dass OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird.

13.3 Die Punkte P(x/y) mit den Koordinaten 6cosx 1 sinϕ=

+ ϕ und 6siny 1 sin

ϕ=+ ϕ

liegen auf dem

Graphen p. Tabellarisiere x und y in Abhängigkeit von [0 ;180 ]ϕ∈ ° ° in Schritten von 30∆ϕ = ° . Zeichne sodann den Graphen p für das angegebene Intervall in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: 1cm 1LE .

13.4 Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt P p∈ auf die x-Achse ist Q. Rotiert das Dreieck OQP um die x-Achse, so entsteht als Rotationskörper ein gerader Kreiskegel.

Trage das Dreieck OQP für 30ϕ = ° in das Koordinatensystem zu 13.3 ein.

13.5 Stelle die Mantelfläche M des Rotationskörpers in Abhängigkeit von ϕ dar.

[Ergebnis: ( )2

36sinM( )1 sin

ϕϕ = π ⋅+ ϕ

FE]

13.6 Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mantelfläche M den Wert 8π FE an ?

14.0 Die Pfeile 1 sin

OP2sin− α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟α⎝ ⎠ und

0,8OQ

0,4−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

spannen Parallelogramme OPRQ auf.

14.1 Stelle eine Wertetabelle für { }10 ; 20 ; 45 ; 60α∈ ° ° ° ° auf, und zeichne die Parallelo-gramme OPRQ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 5 cm; 1 x 1− ≤ ≤ ; 0 y 2,5≤ ≤

14.2 Gib den Flächeninhalt A( )α der Parallelogramme OPRQ in Abhängigkeit von α an. [Ergebnis: A( ) 0,4(1 3sin )α = + α FE]

14.3 Für welches Winkelmaß α erhält man ein Parallelogramm mit 1,4 FE Inhalt ?

14.4 Ermittle das Winkelmaß *α , für das sich das flächengrößte Parallelogramm OPRQ ergibt. Gib Amax an.

14.5 Zeige, dass die Pfeilspitzen P eine Gerade beschreiben, indem du ihre Gleichung ermittelst. Anleitung: Für P(x/y) gilt x 1 sin y 2sin= − α ∧ = α . Eliminiere nun sinα .

14.6 Begründe, dass auch die Punkte R auf einer Geraden liegen. Welche Gleichung hat diese Gerade ?

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sinOP2sin

⎛ ⎞⎜ ⎟α=⎜ ⎟α⎝ ⎠

.

15.1 Erstelle eine Wertetabelle für [15 ; 75 ]α∈ ° ° mit 15∆α = ° , und zeichne die Pfeile im Koordinatensystem. Längeneinheit ist 1 cm. Platzbedarf: 5 x 5− ≤ ≤ + ; 4 y 4− ≤ ≤ + .

15.2 Begründe, dass man anhand der Wertetabelle in 15.1 auch die Koordianten der Pfeile für ]90 ; 360 [α∈ ° ° angeben kann. Zeichne sie in das Koordinatensystem zu 15.1 ein.

15.3 Zeige, dass die Pfeilspitzen P auf einer Hyperbel liegen, und ermittle ihre Gleichung in kartesischen Koordinaten.

16. Führe die Aufgabe 15 mit den Pfeilen 2

cosOP

sin 2cosϕ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ϕ + ϕ⎝ ⎠

durch, und zeige, dass die

Pfeilspitzen P auf einer Parabel liegen.


2 sinOP

cos+ ϕ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠

und 2

3cosOQ

3cosϕ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠

.

17.1 Berechne die Koordinaten der Pfeile OP und OQ für { }0 ; 20 ; 40 ; 60 ; 270 ; 300 ; 320 ; 340ϕ∈ ° ° ° ° ° ° ° ° , und trage die Punkte in ein

Koordinatensystem mit 2 cm als Längeneinheit ein. Platzbedarf: 0 x 4≤ ≤ ; 0 y 4≤ ≤

17.2 Begründe, dass die Pfeile mit den Koordinaten ( )21

3

2 sin

2 sin

+ ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ ϕ⎝ ⎠

, die jeweils dieselben x-

Koordinaten wie die Pfeile OP haben, zu den Pfeilen OQ gehören.

17.3 Gemäß Aufgabe 17.2 gilt ( )21

3

2 sinOQ

2 sin

+ ϕ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ϕ⎝ ⎠

. Die Differenz y∆ der y-Koordinaten der

Pfeile OQ und OP gibt somit die Maßzahl der Entfernung QP an. Stelle diese Differenz y∆ in Abhängigkeit von ϕ dar, und zeige durch Umformung, dass sich die beiden Graphen berühren. Berechne die kartesischen Koordinaten des Berührpunktes sowie das zugehörige Winkelmaß ϕ .

17.4 Stelle die Pfeile OP und OQ durch kartesische Koordinaten dar, und zeige damit, dass beide Graphen Parabeln sind. Lösungshinweis: Beachte die Anleitung bei Aufgabe 14.5. [Ergebnis: 2

1p : y (x 2) 1= − − + ; 22

13p : y x= ]

17.5 Zeige erneut mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 17.4, dass sich die beiden Parabeln p1 und p2 berühren, und berechne die kartesischen Koordinaten des Berührpunktes.

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18.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0 /0) als Ursprung sind Pfeile 6cos1 sin

OP6sin

1 sin

ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ϕ

= ⎜ ⎟ϕ⎜ ⎟

⎜ ⎟+ ϕ⎝ ⎠

gegeben mit [0 ;180 ]ϕ∈ ° ° . siehe auch Aufgabe 13 !

Dabei ist ϕ das Maß des Winkels zwischen der positiven x-Achse und den Pfeilen OP .

18.1 Bestimme die Länge der Pfeile OP in Abhängigkeit von ϕ , und ermittle die Winkelmaße für ϕ , so dass OP möglichst groß bzw. möglichst klein wird.

18.2 Die Endpunkte P der Pfeile OP liegen auf dem Graphen p. Gib für [0 ;180 ]ϕ∈ ° ° mit 30∆ϕ = ° die Koordinaten der Punkte P an, und zeichne den Graphen p für das

angegebene Intervall in ein Koordinatensystem (Längeneinheit 1 cm).

18.3 Bestätige durch Rechnung, dass die Spitzen P der Pfeile OP auf dem Graphen zu 21

12y x 3= − + liegen.

18.4 Fällt man von P p∈ das Lot auf die x-Achse, so erhält man als Lotfußpunkt Q. Rotieren sodann die Dreiecke mit den Eckpunkten O, Q und P um die x-Achse, so entstehen Kegel. Stelle die Mantelfläche AM der Kegel in Abhängigkeit von ϕ dar.

[Ergebnis: ( )M 236 sinA1 sin⋅ π ⋅ ϕ=+ ϕ

FE]

18.5 Für welche Belegungen von ϕ nimmt die Mantelfläche AM den Wert 8π FE an ? 19.0 In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit O(0/0) als Ursprung sind Pfeile

8cosOB

8sinϕ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ und

4cosOD

4sin− ϕ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ mt [0 ; 90 ]ϕ∈ ° ° gegeben.

Die Parallelen zu OB und OD durch D bzw. B schneiden sich im Punkt C. 19.1 Ermittle für 30ϕ = ° die Koordinaten der Punkte B und D, und zeichne das

Parallelogramm OBCD in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm. Platzbedarf: 4 x 7− ≤ ≤ ; 1 y 6− ≤ ≤

19.2 Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes C der Parallelogramme in Abhängigkeit von ϕ .

19.3 Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme OBCD in Abhängigkeit von ϕ . [Ergebnis: A( ) 32sin2ϕ = ϕ FE]

19.4 Tabellarisiere A( )ϕ für [0 ; 90 ]ϕ∈ ° ° mit 15∆ϕ = ° , und zeichne den Graphen von A in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Achseϕ− : 1 cm entspricht 10°; A Achse− : 1 cm entspricht 10 FE.

19.5 Bestimme das Maß *ϕ , für das die Fläche des zugehörigen Parallelogramms den größten Wert annimmt. Gib Amax an.

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20. Der Punkt B(8/-1) ist ein Eckpunkt einer Raute ABCD, deren Diagonalenschnittpunkt M(4/2) ist und bei der DCB 60= ° gilt. Zeichne die Raute ABCD in ein Koordinatensystem mit 1 cm als Längeneinheit, und berechne die fehlenden Eckpunktkoordinaten.

21. In einem Drachenviereck ABCD mit B(3/8), C(x/7) und D(0/2) ist AC die

Symmetrieachse, und es gilt CBA ADC 90= = ° . Zeichne das Drachenviereck ABCD in ein Koordinatensystem, und berechne die fehlende Koordinate des Punktes C sowie die Koordinaten des Punktes A.

22. Zeichne die Raute ABCD mit A(-0,5/y), B(6,5/1,5) und D(-2,5/4,5) in ein

Koordinatensystem mit 1 cm als Längeneinheit. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes A, die Koordinaten des Punktes C, die Innenwinkel und den Flächeninhalt der Raute.

23. Der Eckpunkte D einer Raute ABCD mit A(0/3,5) und C(6/1,5) liegt auf der Geraden g

mit der Gleichung 12y x 6= + . Zeichne die Raute ABCD, und berechne die Koordinaten

der Eckpunkte D und B. 24. Die Eckpunkte D von Rauten ABCD mit A(1 / -2 ) und C(7 /4 ) liegen auf der Parabel p

mit der Gleichung 2y x 2x 3= − + . Zeichne die möglichen Rauten ABCD in ein Koordinatensystem mit 1 cm als Längeneinheit, und berechne die Koordinaten der Punkte D und B.

25. Die Punkte A( -1 / yA) und B(2 /yB) liegen auf der Parabel p mit der Gleichung

2y x 2= + . Zeichne Punkte C auf der Parabel p, so dass die Punkte A, B und C Dreiecke bilden, die bei A oder bei B rechtwinklig sind. Berechne die Koordinaten der Punkte C.

26. Die Punkte A(7 / -0 ,5) und B(9 /3 ,5 ) bilden zusammen mit Punkten C der Parabel p

mit der Gleichung 212y x 2x= − +3 Dreiecke ABC, die bei A oder bei B rechtwinklig sind.

Zeichne die möglichen Dreiecke ABC, und berechne die Koordinaten der Punkte C.

27.0 Die Punkte A(0 /0 ) , B(4 / -3 ) und nkC (2k / 8)2− + mit k∈R bilden Dreiecke ABCn.

27.1 Zeichne das Dreieck ABC1 für k = 0 in ein Koordinatensystem mit 1 cm als Längeneinheit, und berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ABC1.

27.2 Unter den Dreiecken ABCn gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke ABC2 und ABC3. Zeichne diese beiden rechtwinkligen Dreicke ein, und berechne die Koordinaten der Punkte C2 und C3 sowie die Innenwinkelmaße der Dreiecke.

27.3 Zeichne die Dreiecke ABC4 mit 4BAC 60= ° und ABC5 mit 5BAC 150= ° ein, und berechne die Koordinaten der Punkte C4 und C5.

27.4 Zeige rechnerisch, dass die Eckpunkte Cn der Dreiecke ABCn auf der Geraden g mit der Gleichung 1

4y x 8= − + liegen.

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27.5 Zeichne das Dreieck ABC0 ein, das gleichschenklig mit [AB] als Basis ist, und berechne die Koordinaten des Punktes C0, den zugehörigen Wert für k und die Maße der Dreiecksinnenwinkel.

27.6 Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks ABC6 mit einem Flächeninhalt von 18 FE ?

27.7 Bestimme mit Hilfe des Skalarprodukts der Vektoren AB und nAC die Definitionsmenge D(k) für k, so dass Dreiecke ABCn entstehen.

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