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02/07/2004 13:31 Teilchen & Wellen SS 2004 Denninger Harmonischer Oszillator 1

8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanischQuantenmechanische Behandlung

Klassisch: Rückstellkraft für ein Teilchen der Masse m sei ∝ zur Auslenkung x:

F = -D⋅xD

x

m Bewegungsgleichung: xDxm ⋅−=

Potentielle Energie: ∫ ⋅=⋅x

xDxdxD0

2

21~)~(

Kinetische Energie:m

pxm22

22 =

Lösungsansatz: x(t) = x0·cos(ωt)

-m·ω2x0·cos(ωt) = -D·x0·cos(ωt) mD=ω

Dies ist die klassische Schwingungs-Kreisfrequenz.

Potentielle Energie am Punkt ±x0: 2

00 21)( DxxV =±

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.60.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

harmonicpotential.opj

V(x) = D/2*x2

V(x)

x


Kinetische Energie: )sin()()(v 0 txtxt ω⋅ω==

Die höchste kinetische Energie ist bei x=0,2

02max

0max 2v xmEx kin ω=⇒⋅ω=

Nun ist ω2=D/m ⇒ )( 02

0max

2

1 xVDxEkin ±==

Gesamtenergie: )(cos)(sin)(sin 220

220

2220

2

21

221

2tDxtxm

DmDxtxmE ω⋅+ω⋅=+ωω⋅=

20

2220 2

1))(cos)((sin21 DxttDx =ω+ω⋅=

•Die Gesamtenergie ist also eine Konstante der Bewegung!

•Jede Gesamtenergie E, d.h. jeder Wert von x0 ist erlaubt!

20

2

21 xmE ⋅ω=

Quantenmechanisch:

Schrödinger-Gleichung: )()()(2 2

22xExxVdx

dm ψ⋅=ψ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅−


harmonicpot03.opj

V(x)

x

[ ] )()()(2 2

22xxVExdx

dm ψ⋅−=ψ−

221)( xDxV ⋅= )()( 2

22

2

212 xEDxmx

dxd ψ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅=ψ

Versuch einer numerischen Lösung auf dem Computer:

dxxdx

xEDxmdxd

)()(

)(2)( 2

21

2

ψ=ψ′

ψ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=ψ′=ψ ′′

)(2)(

)()()()()()(

22 2

1 xEDxmx

dxxxdxxdxxxdxx

ψ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=ψ ′′

⋅ψ ′′+ψ′=+ψ′⋅ψ′+ψ=+ψ

0.0 0.2 0.4 0.60.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

harm onicpot02.opj

V(x)

x

EDx −2

21

Gesamtenergie E

x x+dx)(xψ′ψ(x)


Rechenvorschrift:

i) Man hat ψ(x) und ψ´(x) an der Stelle x

ii) Man berechnet :

iii) Man berechnet:

iv) Man berechnet:

Jetzt hat man die Werte ψ(x+∆x) und ψ´(x+∆x) und wiederholt die Vorschrift.

)(2)( 22 2

1 xEDxmx ψ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=ψ ′′

xxxxx ∆⋅ψ ′′+ψ′=∆+ψ′ )()()(

xxxxx ∆⋅ψ′+ψ=∆+ψ )()()(

Ausgehend von ψ(0), ψ´(0) kann man also in diskreten Schritten ∆x die gesamte Wellenfunktion berechnen.

Es gibt zwei Arten von Lösungen unterschiedlicher Symmetrie:

1) Symmetrische Lösungen: ψg(-x) = ψg(x)

2) Antisymmetrische Lösungen: ψu(-x) = -ψu(x)

Für die Ableitungen gilt:

1) ψg´(-x) = -ψg´(x) ⇒ψg´(0) = 0

2) ψu´(-x) = ψu´(x) ⇒ ψu´(0) ≠ 0

⇒ψu(0) = 0


Man startet also mit z.B.:

1) ψg(0) = 1 , ψg´(0) = 0

und errechnet die Wellenfunktion für alle x ≠ 0 für beliebige Energie E

2) ψu(0) = 0 , ψu´(0) = 1/∆x

Für beliebig gewählte Werte von E steigt |ψ(x)| für x → ±∞ exponentiell an!

Diese Lösungen sind nicht normierbar! Und damit für gebundene Teilchen nicht akzeptabel!

Nur für bestimmte Werte von E gehen die Lösungen |ψ(x)| → 0 für x → ±∞ .

Diese speziellen Lösungen lassen sich normieren, ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeitist endlich. Nur diese Lösungen sind akzeptable Lösungen für das quantenmechanische Problem.

Im Hinblick auf die Anwendungen in der Atomphysik interessieren uns hier vor allem die Lösungen für E < 0, also für gebundene Teilchen.


eV2337.1e =ω

n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =

Grundzustand n = 0

E0 = 0.61691 eV


eV2337.1e =ω

n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =

Anregungszustand n = 1

E1 = 1.85056 eV



E2 = 3.08421 eV

n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =

eV2337.1e =ω



E13 = 16.65495 eV

n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =

eV2337.1e =ω


eV2337.1e =ω

E

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7


Gerade Ungerade Theorie

0.61691 0.61685

1.85056 1.85055

3.08421 3.08425

4.3179 4.31795

5.55156 5.55165

6.78535 6.78535

8.0189 8.01905

9.25275 9.25275

10.4862 10.4864

11.72015 11.7201

„Experimentell“ („Computational Physics“) wurden folgende Eigenwerte bestimmt: Es gilt: = 1.8743·1015 1/s

mD

=ω

eV2337.1e =ω

Man hat eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den numerisch bestimmten Werten und den Werten aus der analytischen Lösung.

In den meisten interessanten Fällen ist die Schrödinger-Gleichung nur numerisch lösbar. Die Vergleiche mit den analytischen Lösungen (sofern diese bekannt sind) dienen also dazu, die Genauigkeit der numerischen Lösungen abzuschätzen.

ω⋅+= )(:Erwartet 2/1nEn

D = 3.2 J/m2

Berechnet mit dem Applet ‚harmony.java‘


Lösung der eindimensionalen Schrödinger-GleichungC-Programm Segment:#define NPUNKTE 1000

#define NINT 100

int i,j;

double x,deltx,xanf,xend,PSI,DPSI;

...

PSI = 1.0;

DPSI = 0.0; /* für gerade Lösungen */

deltx = (xend-xanf)/(double)(NPUNKTE-1)/(double)(NINT-1);

x = 0.0;

for(i=0;i<NPUNKTE;i++)

{

for(j=0;j<NINT;j++)

{ DPSI = DPSI + 2*m/(hbar*hbar)*(V(x)-E)*PSI*deltx; /* Neue Ableitung */

PSI = PSI + DPSI*deltx; /* Neue Wellenfunktion */

x = x +deltx;

}

psiwert[i] = PSI; /* Wert an der Stelle xi */

}


8.3 Der Potentialtopf (Quantum well)8.3.1 Der Quantentopf mit unendlich hohen Wänden

+L/2-L/2 x

)()()(2 )(2

22xxVExdx

dm Ψ⋅−=Ψ−


Gerade Lösungen Ungerade Lösungen

22

2222

)12(22

)cos()(

+⋅π⋅=⋅=

⋅⋅=ψ

nLmkmE

xkAx

ngn

nngn

22

2222

)2(22

)(sin)(

nLmkmE

xkBx

nun

nnun

⋅π⋅=⋅=

⋅⋅=ψ

Die Energieeigenwerte steigen quadratisch mit einer ganzen Zahl n = 0,1,2,3,... an.

Im quantumwell mit unendlich hohen Wänden gibt es abzählbar unendlich viele Energieeigenzustände.

Die Wellenfunktionen ψng(x) und ψnu(x) sind reell. Es sind stehende Wellen.

Der Impuls dieser Eigenzustände ist Null, d.h. das eingesperrte Teilchen bewegt sich mit keiner Vorzugsrichtung. Es ist stationär.

Dynamische Zustände (mit Bewegung) ergeben sich durch die kohärente Überlagerung mehrerer dieser Energieeigenzustände (kommt später).


-2 -1 0 1 2-2

0

2

4

6

8

10

12

7.14452 eV

9.7696 eV

4.6632 eV

quantumwellneu.opj

1.18635 eV

2.65190 eV

0.29765 eV

Quantumwell10 eV tief1 nm breit

Ener

gie

(eV)

Abstand x (nm)

Quantumwell mit endlich hohen Wänden, numerische Lösung


-2 -1 0 1 20

2

4

6

8

10

12

trianglewell.opj

5.79513 eV

8.02428 eV

2.52585 eV

Trianglewell10 eV tief1 nm breit

Ener

gie

(eV)

Abstand x (nm)

Dreieckpotential mit endlich hohen Wänden, numerische Lösung

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